UP Board Solutions Class 7 Maths Chapter 7 Vanijya Ganit

Exercise 7(a)

Question 1. निम्नांकित सारणी को अभ्यास-पुस्तिका में उतार कर k का मान लिखिए –

Answer: सारणी से स्पष्ट है कि सभी मामलों में \( k \) का मान \( \frac{1}{2} \) है. इसका मतलब है कि \( x \) और \( y \) के बीच एक सीधा संबंध है, जहाँ \( y \) हमेशा \( x \) का दुगुना होता है.
In simple words: जब आप \( x \) को \( y \) से भाग देते हैं, तो आपको हर बार \( \frac{1}{2} \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, \( k \) का मान खोजने के लिए दिए गए सभी युग्मों के लिए गणना करें ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि यह एक स्थिर अनुपात है.

Question 2. 4 किलोग्राम चाय का मूल्य Rs 420 है। 12 किलोग्राम चाय का मूल्य होगा -

Answer: यह एक सीधा समानुपात का प्रश्न है।
\( 4 : 12 :: 420 : x \)
\( 4 \times x = 12 \times 420 \)
\( x = \frac{12 \times 420}{4} \)
\( x = 1260 \)
इसलिए, 12 किलोग्राम चाय का मूल्य Rs 1260 होगा। जब मात्रा बढ़ती है, तो मूल्य भी समान अनुपात में बढ़ता है.
In simple words: 4 किलो चाय Rs 420 की है, तो 12 किलो चाय का मूल्य निकालने के लिए, पहले 1 किलो का मूल्य निकालो, फिर उसे 12 से गुणा कर दो.

🎯 Exam Tip: सीधे समानुपात के प्रश्नों में, क्रॉस-गुणा विधि (बाहरी पदों का गुणनफल = आंतरिक पदों का गुणनफल) का उपयोग करके अज्ञात मान आसानी से ज्ञात किया जा सकता है.

Question 3. एक कार 30 मीटर/सेकेण्डकी चाल से चलती है तो? घण्टे पश्चात वह कितनी दूरी तय करेगी
(a) 300 किमी
(b) 13 किमी
(c) 108 किमी
(d) 30 किमी
Answer: (c) 108 किमी
In simple words: कार 30 मीटर हर सेकंड चलती है. एक घंटे में 3600 सेकंड होते हैं, इसलिए कार एक घंटे में 108,000 मीटर या 108 किलोमीटर चलेगी.

🎯 Exam Tip: चाल, दूरी और समय से संबंधित प्रश्नों में इकाइयों (मीटर, किलोमीटर, सेकंड, घंटा) को सही ढंग से बदलना याद रखें ताकि गणना सही हो.

Question 4. निम्नांकित अनुलोम समानुपाती सारणी में रिक्त स्थानों की पूर्ति अपनी अभ्यास-पुस्तिका में कीजिए (पूर्ति करके)

Answer: सारणी में दिए गए मानों के अनुसार, मजदूरों की संख्या \( x \) और उनकी मजदूरी \( y \) के बीच सीधा संबंध है। जब \( x=1 \) तो \( y=50 \), जब \( x=2 \) तो \( y=100 \), आदि। इससे पता चलता है कि मजदूरी, मजदूरों की संख्या का 50 गुना है। रिक्त स्थानों को भरने के लिए, हमें इस संबंध का पालन करना होगा।
इसलिए, सारणी इस प्रकार पूरी होगी:

🎯 Exam Tip: अनुलोम समानुपाती सारणी में, एक मात्रा के बढ़ने पर दूसरी मात्रा भी उसी अनुपात में बढ़ती है. इससे गुणा या भाग करके अज्ञात मान निकालना आसान हो जाता है.

Question 5. 6 कलमों का मूल्य Rs 24 हैं, 10 कलमों का मूल्य बताइए ।

Answer: माना 10 कलमों का मूल्य \( Rs \) \( x \) है। यह सीधा समानुपात का प्रश्न है।
\( 6 : 10 :: 24 : x \)
\( 6 \times x = 10 \times 24 \)
\( x = \frac{10 \times 24}{6} \)
\( x = 40 \)
अतः, 10 कलमों का मूल्य Rs 40 होगा। कलमों की संख्या बढ़ने पर उनका मूल्य भी बढ़ जाता है.
In simple words: अगर 6 पेन 24 रुपये के हैं, तो एक पेन का दाम 4 रुपये हुआ. फिर 10 पेन का दाम 10 गुणा 4 = 40 रुपये होगा.

🎯 Exam Tip: ऐसे समानुपात के प्रश्नों में, पहले एक इकाई का मूल्य (इस मामले में एक कलम का मूल्य) निकालना अक्सर सरल बनाता है.

Question 6. 5 मजूदरों की मजदूरी Rs 1250 है। 8 मजदूरों के लिए कितनी मजदूरी चाहिए?

Answer: माना 8 मजदूरों की मजदूरी \( Rs \) \( x \) है। यह सीधा समानुपात का प्रश्न है।
\( 5 : 8 :: 1250 : x \)
\( 5 \times x = 8 \times 1250 \)
\( x = \frac{8 \times 1250}{5} \)
\( x = 2000 \)
अतः, 8 मजदूरों के लिए Rs 2000 मजदूरी चाहिए। जितने ज्यादा मजदूर होंगे, उतनी ही ज्यादा मजदूरी होगी.
In simple words: 5 मजदूरों को 1250 रुपये मिलते हैं. तो एक मजदूर को 250 रुपये मिलते हैं. फिर 8 मजदूरों को 8 गुणा 250 = 2000 रुपये मिलेंगे.

🎯 Exam Tip: जब मजदूरों की संख्या बढ़ती है, तो कुल मजदूरी भी बढ़ती है, यह सीधा समानुपात दर्शाता है, इसलिए क्रॉस-गुणा विधि का उपयोग करें.

Question 7. 4 गेंद या 3 कलमों का मूल्य Rs 12 हो, तो 6 गेंदों और 6 कलमों का मूल्य बताइए ।
Answer: हमें दिया गया है कि 3 कलमों का मूल्य 4 गेंदों के बराबर है।
\( 3 \text{ कलम} = 4 \text{ गेंद} \)
तो, 1 कलम = \( \frac{4}{3} \) गेंद
अब, 6 कलम = \( \frac{4}{3} \times 6 = 8 \) गेंद
हमें 6 गेंदों और 6 कलमों का मूल्य निकालना है। इसका मतलब है 6 गेंदों और (8 गेंदों) का मूल्य।
कुल गेंदें = \( 6 \text{ गेंद} + 8 \text{ गेंद} = 14 \text{ गेंद} \)
हमें पता है कि 4 गेंदों का मूल्य Rs 12 है।

माना 14 गेंदों का मूल्य \( Rs \) \( x \) है।
\( 4 : 14 :: 12 : x \)
\( 4 \times x = 14 \times 12 \)
\( x = \frac{14 \times 12}{4} \)
\( x = 42 \)
अतः, 6 गेंदों और 6 कलमों का कुल मूल्य Rs 42 होगा। पहले कलमों को गेंदों में बदला गया, फिर कुल गेंदों का मूल्य निकाला गया.
In simple words: 4 गेंदों का दाम 12 रुपये है, तो एक गेंद 3 रुपये की हुई. 3 कलम भी 12 रुपये की हैं, मतलब एक कलम 4 रुपये की हुई. अब, 6 गेंदों का दाम 6 गुणा 3 = 18 रुपये, और 6 कलमों का दाम 6 गुणा 4 = 24 रुपये. कुल दाम 18+24 = 42 रुपये.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सभी वस्तुओं को एक ही इकाई (जैसे यहां गेंद) में बदलना पहला और सबसे महत्वपूर्ण कदम है ताकि एक ही प्रकार की तुलना की जा सके.

Question 8. एक मशीन 5 मिनट में 200 पन्ने छापत है। इसी प्रकार 2 x 10 पन्नों को अपने में कितना समय लगेगा?
Answer: माना \( 2 \times 10^3 \) पन्ने छापने में \( x \) मिनट का समय लगेगा। यहाँ पन्ने और समय के बीच सीधा समानुपात है।

\( 200 : 2 \times 10^3 :: 5 : x \)
\( 200 \times x = 2 \times 10^3 \times 5 \)
\( x = \frac{2 \times 1000 \times 5}{200} \)
\( x = \frac{10000}{200} \)
\( x = 50 \text{ मिनट} \)
अतः, \( 2 \times 10^3 \) पन्ने छापने में 50 मिनट का समय लगेगा। जितने अधिक पन्ने होंगे, उतना ही अधिक समय लगेगा.
In simple words: मशीन 200 पन्ने 5 मिनट में छापती है, तो एक पन्ना छापने में थोड़ा समय लगता है. अब, 2000 पन्ने छापने हैं, तो उन्हें 50 मिनट लगेंगे.

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं या घातों वाले प्रश्नों में, गणना को सरल बनाने के लिए उन्हें पहले सामान्य संख्या में बदल लें, जैसे \( 2 \times 10^3 = 2000 \).

Question 9. एक परिवार के 43 यूनिट के राशन कार्ड पर 36 किलोग्राम गेहूँ मिलता है, 33 यूनिट के राशनकार्ड पर कितना गेहूँ मिलेगा?
Answer: माना \( 3\frac{1}{2} \) यूनिट के राशन कार्ड पर \( x \) किलोग्राम गेहूँ मिलेगा। यहाँ यूनिट और गेहूँ की मात्रा के बीच सीधा समानुपात है।
पहले दी गई मात्राओं को भिन्न में बदलें:
\( 4\frac{1}{2} = \frac{9}{2} \)
\( 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2} \)

\( 4\frac{1}{2} : 3\frac{1}{2} :: 36 : x \)
\( \frac{9}{2} \times x = \frac{7}{2} \times 36 \)
\( \frac{9}{2}x = \frac{7 \times 36}{2} \)
\( 9x = 7 \times 36 \)
\( x = \frac{7 \times 36}{9} \)
\( x = 7 \times 4 \)
\( x = 28 \text{ किग्रा०} \)
अतः, \( 3\frac{1}{2} \) यूनिट के राशन कार्ड पर 28 किलोग्राम गेहूँ मिलेगा। यूनिट कम होने पर गेहूँ की मात्रा भी कम हो जाएगी.
In simple words: यदि \( 4\frac{1}{2} \) यूनिट पर 36 किलो गेहूँ मिलता है, तो \( 3\frac{1}{2} \) यूनिट पर कम गेहूँ मिलेगा. यह सीधा अनुपात है, इसलिए गणना करें.

🎯 Exam Tip: मिश्रित भिन्नों को समानुपात में उपयोग करने से पहले हमेशा साधारण भिन्नों में बदल लें, इससे गणना त्रुटियों से बचा जा सकता है.

Question 10. एक रेलगाड़ी 315 मीटर लम्बी है। 54 किमी प्रति घण्टा की चाल से वह एक खम्भे को कितने समय में पार करेगी?
Answer: माना 315 मीटर दूरी रेलगाड़ी \( x \) सेकंड में तय करेगी।
हमें चाल को मीटर प्रति सेकंड में बदलना होगा:
चाल = \( 54 \text{ किमी प्रति घण्टा} = 54 \times \frac{1000 \text{ मीटर}}{3600 \text{ सेकंड}} = 54 \times \frac{5}{18} \text{ मी/से} = 3 \times 5 = 15 \text{ मी/से} \)
जब रेलगाड़ी एक खम्भे को पार करती है, तो वह अपनी लम्बाई के बराबर दूरी तय करती है, जो कि 315 मीटर है।
सूत्र है: समय = \( \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} \)
\( x = \frac{315 \text{ मीटर}}{15 \text{ मी/से}} \)
\( x = 21 \text{ सेकंड} \)
अतः, रेलगाड़ी खम्भे को पार करने में 21 सेकंड लेगी। दूरी और समय के बीच सीधा संबंध है.
In simple words: पहले रेलगाड़ी की गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलो. फिर रेलगाड़ी की कुल लम्बाई को गति से भाग दे दो, तो तुम्हें समय मिल जाएगा.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सुनिश्चित करें कि सभी इकाइयाँ संगत हों (जैसे, यदि दूरी मीटर में है तो चाल मीटर/सेकंड में होनी चाहिए) ताकि सही उत्तर प्राप्त हो सके.

Exercise 7(b)

Question 1. शीला 12 किमी प्रति घण्टा की चाल से अपनी साइकिल द्वारा अपने घर से पाठशाला 20 मिनट में पहुँचती है। उसे 15 मिनट में पहुँचने के लिए किस चाल में साइकिल चलाना होगा?
Answer: माना शीला को 15 मिनट में पहुँचने के लिए \( x \) किमी प्रति घण्टा की चाल से साइकिल चलाना होगा।
यहाँ समय और चाल के बीच व्युत्क्रम समानुपात है। यदि समय कम करना है, तो चाल बढ़ानी होगी।

व्युत्क्रम समानुपात के लिए,
\( 20 : 15 :: x : 12 \)
\( 15 \times x = 20 \times 12 \)
\( x = \frac{20 \times 12}{15} \)
\( x = \frac{240}{15} \)
\( x = 16 \text{ किमी/घण्टा} \)
अतः, शीला को 15 मिनट में पहुँचने के लिए 16 किमी/घण्टा की चाल से साइकिल चलाना होगा। समय बचाने के लिए गति बढ़ानी होगी.
In simple words: अगर शीला को जल्दी पहुंचना है, तो उसे तेज साइकिल चलानी होगी. पहले वह 20 मिनट में पहुंचती थी 12 किमी/घंटा की गति से, अब 15 मिनट में पहुंचने के लिए उसे 16 किमी/घंटा की गति से चलना होगा.

🎯 Exam Tip: व्युत्क्रम समानुपात में, एक मात्रा के बढ़ने पर दूसरी मात्रा घटती है, और उनका गुणनफल स्थिर रहता है.

Question 2. 48 किमी प्रति घण्टा की चाल से चलकर एक कार किसी दूरी को 10 घण्टे में तय करती है। उसी दूरी को मात्रा 8 घण्टे में तय करने के लिए कार की चाल क्या होगी?
Answer: माना कार की चाल \( x \) किमी प्रति घण्टा होगी ताकि वह दूरी 8 घण्टे में तय कर सके।
यहाँ समय और चाल के बीच व्युत्क्रम समानुपात है। दूरी समान रखने के लिए, यदि समय कम किया जाता है, तो चाल बढ़ानी होगी।

व्युत्क्रम समानुपात के लिए,
\( 10 : 8 :: x : 48 \)
\( 8 \times x = 10 \times 48 \)
\( x = \frac{10 \times 48}{8} \)
\( x = \frac{480}{8} \)
\( x = 60 \text{ किमी/घण्टा} \)
अतः, कार की चाल 60 किमी/घण्टा होगी। जल्दी पहुँचने के लिए कार को तेज़ चलना होगा.
In simple words: अगर कार को वही दूरी कम समय (8 घंटे) में तय करनी है, तो उसे अपनी गति (चाल) बढ़ानी होगी. पहले 48 किमी/घंटा थी, अब 60 किमी/घंटा करनी होगी.

🎯 Exam Tip: यह चाल, दूरी और समय का व्युत्क्रम समानुपात का उदाहरण है, जहाँ दूरी स्थिर रहने पर चाल और समय एक-दूसरे के विपरीत अनुपात में बदलते हैं.

Question 3. सुनीता प्रतिदिन 4 घण्टे बुनाई करके 8 दिन में एक स्वेटर पूरा करती है। यदि 6 दिन में स्वेटर पूरा करना हो, तो प्रतिदिन उसे कितने घण्टे बुनना होगा?
Answer: माना सुनीता को प्रतिदिन \( x \) घण्टे बुनना होगा ताकि वह स्वेटर 6 दिन में पूरा कर सके।
यहाँ दिनों की संख्या और प्रतिदिन बुनाई के घण्टों के बीच व्युत्क्रम समानुपात है। यदि कम दिनों में काम पूरा करना है, तो प्रतिदिन अधिक घण्टे काम करना होगा।

व्युत्क्रम समानुपात के लिए,
\( 8 : 6 :: x : 4 \)
\( 6 \times x = 8 \times 4 \)
\( x = \frac{8 \times 4}{6} \)
\( x = \frac{32}{6} \)
\( x = 5\frac{1}{3} \text{ घण्टे} \)
\( \frac{1}{3} \text{ घण्टे} = \frac{1}{3} \times 60 \text{ मिनट} = 20 \text{ मिनट} \)
अतः, सुनीता को प्रतिदिन 5 घण्टे 20 मिनट बुनना होगा। कम समय में काम पूरा करने के लिए ज्यादा काम करना होगा.
In simple words: अगर सुनीता को स्वेटर जल्दी बनाना है (6 दिन में), तो उसे हर दिन ज्यादा समय (5 घंटे 20 मिनट) बुनाई करनी होगी, बजाय पहले के 4 घंटे.

🎯 Exam Tip: यह व्युत्क्रम समानुपात का एक अच्छा उदाहरण है, जहां काम की मात्रा स्थिर होती है, लेकिन उसे पूरा करने के लिए समय और प्रयास विपरीत रूप से संबंधित होते हैं.

Question 4. 6 मजदूर एक कमरा 7 दिन में बना सकते हैं 21 मजदूर उसे कितने दिन में बना सकते हैं?
Answer: माना 21 मजदूर कमरे को \( x \) दिन में बना सकते हैं।
यहाँ मजदूरों की संख्या और दिनों की संख्या के बीच व्युत्क्रम समानुपात है। यदि अधिक मजदूर लगाए जाते हैं, तो काम पूरा करने में कम दिन लगेंगे।

व्युत्क्रम समानुपात के लिए,
\( 6 : 21 :: x : 7 \)
\( 21 \times x = 6 \times 7 \)
\( x = \frac{6 \times 7}{21} \)
\( x = \frac{42}{21} \)
\( x = 2 \text{ दिन} \)
अतः, 21 मजदूर उसी कमरे को 2 दिन में बना सकते हैं। जितने अधिक लोग काम करेंगे, उतनी ही जल्दी काम पूरा होगा.
In simple words: अगर 6 मजदूर एक कमरा 7 दिन में बनाते हैं, तो 21 मजदूर (जो 6 से ज्यादा हैं) वही कमरा कम दिन में बना लेंगे, यानी 2 दिन में.

🎯 Exam Tip: जब व्यक्तियों की संख्या या काम करने की दर बढ़ती है, तो कार्य पूरा करने में लगने वाला समय घटता है, जो व्युत्क्रम समानुपात को दर्शाता है.

Question 5. 45 आदमी एक काम को 27 दिन में पूरा करते हैं। यदि 81 आदमी उसी काम में लगाए जाए तो कितने दिन में पूरा करेंगे?
Answer: माना 81 आदमी उसी काम को \( x \) दिन में पूरा करेंगे।
यहाँ आदमियों की संख्या और दिनों की संख्या के बीच व्युत्क्रम समानुपात है। यदि अधिक आदमी लगाए जाते हैं, तो काम पूरा करने में कम दिन लगेंगे।

व्युत्क्रम समानुपात के लिए,
\( 45 : 81 :: x : 27 \)
\( 81 \times x = 45 \times 27 \)
\( x = \frac{45 \times 27}{81} \)
\( x = \frac{1215}{81} \)
\( x = 15 \text{ दिन} \)
अतः, 81 आदमी उसी काम को 15 दिन में पूरा करेंगे। ज्यादा लोग होने पर काम जल्दी खत्म होगा.
In simple words: अगर 45 लोग 27 दिन में काम करते हैं, तो 81 लोग (जो कि ज्यादा हैं) वही काम कम दिन में, यानी 15 दिन में पूरा करेंगे.

🎯 Exam Tip: इस तरह के काम और समय के प्रश्नों में, काम करने वाले लोगों की संख्या और काम पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या में हमेशा व्युत्क्रम संबंध होता है.

Question 6. एक मोटर कार एक स्थान से दूसरे स्थान तक 40 किमी प्रति घण्टा की चाल से चलकर 3 घण्टे में पहुँचती है। यदि वह 30 किमी प्रति घण्टा की चाल से चले तो वह कितने घण्टे में पहुँचेगी?
Answer: माना कार \( x \) घण्टे में पहुँचेगी यदि वह 30 किमी प्रति घण्टा की चाल से चले।
यहाँ चाल और समय के बीच व्युत्क्रम समानुपात है। यदि चाल घटाई जाती है, तो दूरी तय करने में अधिक समय लगेगा।

व्युत्क्रम समानुपात के लिए,
\( 40 : 30 :: x : 3 \)
\( 30 \times x = 40 \times 3 \)
\( x = \frac{40 \times 3}{30} \)
\( x = \frac{120}{30} \)
\( x = 4 \text{ घण्टे} \)
अतः, कार 4 घण्टे में पहुँचेगी। धीमी गति से चलने पर गंतव्य तक पहुँचने में ज्यादा समय लगेगा.
In simple words: अगर कार धीमी चलेगी (30 किमी/घंटा), तो उसे ज्यादा समय लगेगा (4 घंटे) उतनी ही दूरी तय करने में, बजाय पहले के 40 किमी/घंटा और 3 घंटे के.

🎯 Exam Tip: चाल और समय के व्युत्क्रम समानुपात के प्रश्नों में, यह ध्यान रखें कि यदि गति घटती है, तो समय बढ़ता है, और इसके विपरीत.

Question 7. एक किले में 700 ग्राम प्रतिदिन प्रति सिपाही के हिसाब से 42 दिन का भोजन है। यदि प्रतिदिन का भोजन 600 ग्राम प्रति सिपाही कर दिया जाए, तो भोजन कितने दिनों के लिए पर्याप्त होगा?
Answer: माना भोजन \( x \) दिनों के लिए पर्याप्त होगा यदि प्रतिदिन 600 ग्राम प्रति सिपाही कर दिया जाए।
यहाँ भोजन की मात्रा प्रति सिपाही और दिनों की संख्या के बीच व्युत्क्रम समानुपात है। यदि प्रति सिपाही भोजन की मात्रा कम की जाती है, तो भोजन अधिक दिनों तक चलेगा।

व्युत्क्रम समानुपात के लिए,
\( 700 : 600 :: x : 42 \)
\( 600 \times x = 700 \times 42 \)
\( x = \frac{700 \times 42}{600} \)
\( x = \frac{29400}{600} \)
\( x = 49 \text{ दिन} \)
अतः, भोजन 49 दिनों के लिए पर्याप्त होगा। भोजन की मात्रा कम करने पर वह ज्यादा दिनों तक चलेगा.
In simple words: अगर हर सिपाही को पहले से कम खाना मिलेगा, तो वही राशन ज्यादा दिनों तक चलेगा. 700 ग्राम से 600 ग्राम करने पर, राशन 42 दिन से बढ़कर 49 दिन चलेगा.

🎯 Exam Tip: जब कुल संसाधन (भोजन) स्थिर होता है, तो प्रति व्यक्ति उपभोग और संसाधन के चलने की अवधि के बीच व्युत्क्रम संबंध होता है.

Question 8. जब एक नल एक घण्टे में 640 लीटर पानी भरता है तो एक जलकुंड को भरने में 10 घण्टे का समय लगता है। यदि उसी जलकुंड को दूसरे नल से 8 घण्टे में भरा गया हो तो दूसरे नल ने प्रति घण्टा कितना पानी भरा?
Answer: माना दूसरे नल ने प्रति घण्टा \( x \) लीटर पानी भरा।
यहाँ समय और प्रति घण्टा पानी की मात्रा के बीच व्युत्क्रम समानुपात है। यदि जलकुंड को भरने में कम समय लगता है, तो नल प्रति घण्टा अधिक पानी भरता होगा।

व्युत्क्रम समानुपात के लिए,
\( 10 : 8 :: x : 640 \)
\( 8 \times x = 10 \times 640 \)
\( x = \frac{10 \times 640}{8} \)
\( x = \frac{6400}{8} \)
\( x = 800 \text{ लीटर/घण्टा} \)
अतः, दूसरे नल ने प्रति घण्टा 800 लीटर पानी भरा। कम समय में टंकी भरने के लिए तेज बहाव चाहिए.
In simple words: अगर एक नल 10 घंटे में टंकी भरता है 640 लीटर/घंटा की गति से, तो दूसरा नल 8 घंटे में वही टंकी भरने के लिए 800 लीटर/घंटा की गति से पानी भरेगा.

🎯 Exam Tip: इस तरह के जलकुंड भरने के प्रश्नों में, ध्यान रखें कि भरने की दर और लगने वाले समय के बीच हमेशा व्युत्क्रम संबंध होता है, क्योंकि कुल मात्रा स्थिर रहती है.

Question 9. एक छात्रावास में 300 छात्रों के लिए 15 दिनों की राशन सामग्री उपलब्ध है। यदि अवकाश के कारण 200 छात्र बाहर चले जाएँ तो वह सामग्री कितने दिन तक चलेगी?
Answer: छात्रावास में छात्रों की कुल संख्या = 300
अवकाश के कारण बाहर गए छात्र = 200
शेष छात्र = \( 300 - 200 = 100 \)
माना 100 छात्रों के लिए भोजन सामग्री \( x \) दिन तक चलेगी।
यहाँ छात्रों की संख्या और भोजन सामग्री चलने के दिनों की संख्या के बीच व्युत्क्रम समानुपात है। यदि छात्रों की संख्या कम हो जाती है, तो भोजन सामग्री अधिक दिनों तक चलेगी।

व्युत्क्रम समानुपात के लिए,
\( 300 : 100 :: x : 15 \)
\( 100 \times x = 300 \times 15 \)
\( x = \frac{300 \times 15}{100} \)
\( x = 3 \times 15 \)
\( x = 45 \text{ दिन} \)
अतः, 100 छात्रों के लिए भोजन सामग्री 45 दिन तक चलेगी। कम छात्र होने पर भोजन अधिक दिनों तक चलेगा.
In simple words: छात्रावास में छात्र कम हो गए हैं, इसलिए भोजन अब ज्यादा दिन चलेगा. 300 छात्रों के लिए 15 दिन का भोजन, अब 100 छात्रों के लिए 45 दिन तक चलेगा.

🎯 Exam Tip: यह व्युत्क्रम समानुपात का एक क्लासिक उदाहरण है, जहां लोगों की संख्या और संसाधनों के चलने की अवधि विपरीत रूप से संबंधित होती है.

Question 10. 40 किमी प्रति घण्टा की चाल से एक टैम्पो 5 घण्टे में एक यात्री को उसके नियत स्थान पर पहुँचा देती है। यदि उस टैम्पो की चाल प्रति घण्टा 25 किमी होती तो वह उस यात्री को कितने घण्टे में पहुँचा पाती?
Answer: माना टैम्पो यात्री को \( x \) घण्टे में पहुँचा देगी यदि चाल 25 किमी प्रति घण्टा होती।
यहाँ चाल और समय के बीच व्युत्क्रम समानुपात है। यदि चाल घटाई जाती है, तो गंतव्य तक पहुँचने में अधिक समय लगेगा।

व्युत्क्रम समानुपात के लिए,
\( 40 : 25 :: x : 5 \)
\( 25 \times x = 40 \times 5 \)
\( x = \frac{40 \times 5}{25} \)
\( x = \frac{200}{25} \)
\( x = 8 \text{ घण्टे} \)
अतः, टैम्पो यात्री को 8 घण्टे में पहुँचा देगी। गति धीमी होने पर पहुँचने में ज्यादा समय लगेगा.
In simple words: अगर टैम्पो की गति कम हो जाती है (25 किमी/घंटा), तो उसे यात्री को उसी जगह तक पहुंचाने में ज्यादा समय लगेगा (8 घंटे) बजाय पहले के 5 घंटे के.

🎯 Exam Tip: दूरी को स्थिर रखने के लिए, चाल और समय के बीच का संबंध व्युत्क्रम होता है, जिसका अर्थ है कि यदि एक बढ़ता है तो दूसरा घटता है.

Question 11. 2 कुशल श्रमिक या 3 श्रमिक एक काम को 20 दिन में कर सकते हैं। 6 कुशल श्रमिक और एक श्रमिक उसी काम को कितने दिनों में करेंगे?
Answer: हमें दिया गया है कि 2 कुशल श्रमिक = 3 सामान्य श्रमिक।
इससे हम एक कुशल श्रमिक को सामान्य श्रमिक में बदल सकते हैं:
\( 1 \text{ कुशल श्रमिक} = \frac{3}{2} \text{ श्रमिक} \)
अब, हमारे पास 6 कुशल श्रमिक और 1 सामान्य श्रमिक हैं। इन्हें कुल सामान्य श्रमिकों में बदलें:
\( 6 \text{ कुशल श्रमिक} = 6 \times \frac{3}{2} \text{ श्रमिक} = 9 \text{ श्रमिक} \)
कुल श्रमिक = \( 9 \text{ श्रमिक} + 1 \text{ श्रमिक} = 10 \text{ श्रमिक} \)
हमें पता है कि 3 सामान्य श्रमिक एक काम को 20 दिन में करते हैं। अब हमें यह पता लगाना है कि 10 सामान्य श्रमिक उसी काम को कितने दिन में करेंगे।
यह व्युत्क्रम समानुपात का प्रश्न है।

व्युत्क्रम समानुपात के लिए,
\( 3 : 10 :: x : 20 \)
\( 10 \times x = 3 \times 20 \)
\( x = \frac{3 \times 20}{10} \)
\( x = \frac{60}{10} \)
\( x = 6 \text{ दिन} \)
अतः, 6 कुशल श्रमिक और 1 सामान्य श्रमिक उसी काम को 6 दिन में करेंगे। अधिक श्रमिक होने पर काम जल्दी पूरा होगा.
In simple words: पहले कुशल श्रमिकों को सामान्य श्रमिकों में बदलें. फिर कुल श्रमिकों की संख्या निकालें. 3 सामान्य श्रमिक 20 दिन में काम करते हैं, तो 10 सामान्य श्रमिक वही काम 6 दिन में कर देंगे.

🎯 Exam Tip: इस तरह के कामगार दक्षता के प्रश्नों में, सभी श्रमिकों को एक समान मानक इकाई (जैसे, सामान्य श्रमिक) में बदलना महत्वपूर्ण है ताकि सीधी तुलना की जा सके.

Question 12. एक चींटी की लम्बाई 4 मिमी तथा टिड्डे की लम्बाई 4 सेमी है। टिड्डे और चींटी की लम्बाई में अनुपात बताइए। घर में पाई जाने वाली छिपकली की लम्बाई:20 सेमी और नदियों में पाए जाने वाले मगरमच्छ की लम्बाई 4 मी है। मगरमच्छ और छिपकली की लम्बाई में क्या अनुपात है? क्या टिहूं और चींटी की लम्बाई का अनुपात, मगरमच्छ और छिपकली की लम्बाई का अनुपात समानुपात में है?
Answer: **टिड्डे और चींटी की लम्बाई का अनुपात:**
चींटी की लम्बाई = 4 मिमी
टिड्डे की लम्बाई = 4 सेमी = \( 4 \times 10 \) मिमी = 40 मिमी
टिड्डे और चींटी की लम्बाई का अनुपात = \( \text{टिड्डे की लम्बाई} : \text{चींटी की लम्बाई} = 40 \text{ मिमी} : 4 \text{ मिमी} = 10 : 1 \)

**मगरमच्छ और छिपकली की लम्बाई का अनुपात:**
छिपकली की लम्बाई = 20 सेमी
मगरमच्छ की लम्बाई = 4 मी = \( 4 \times 100 \) सेमी = 400 सेमी
मगरमच्छ और छिपकली की लम्बाई का अनुपात = \( \text{मगरमच्छ की लम्बाई} : \text{छिपकली की लम्बाई} = 400 \text{ सेमी} : 20 \text{ सेमी} = 20 : 1 \)

**क्या अनुपात समानुपात में हैं?**
टिड्डे और चींटी की लम्बाई का अनुपात = \( 10 : 1 \)
मगरमच्छ और छिपकली की लम्बाई का अनुपात = \( 20 : 1 \)
चूंकि \( 10 : 1 \neq 20 : 1 \), दोनों अनुपात समानुपात में नहीं हैं। अनुपातों को समानुपात में होने के लिए उनके मान बराबर होने चाहिए.
In simple words: पहले सभी लम्बाइयों को एक ही इकाई (मिमी या सेमी) में बदलें. फिर हर जोड़ी का अनुपात निकालें. अगर अनुपात बराबर नहीं हैं, तो वे समानुपात में नहीं हैं.

🎯 Exam Tip: अनुपात और समानुपात के प्रश्नों में, तुलना करने से पहले हमेशा सुनिश्चित करें कि सभी मात्राएं एक ही इकाई में हों. साथ ही, अनुपातों को उनके सबसे सरल रूप में व्यक्त करें.

Exercise 7(c)

Question 1. वह राशि ज्ञात कीजिए जिसका :
(i) 35% = 280
(ii) \( 3\frac{3}{5}\% \) = 90
(iii) 0.25% = 600
Answer: (i) माना राशि \( x \) है।
\( x \) का 35% = 280
\( x \times \frac{35}{100} = 280 \)
\( x = \frac{280 \times 100}{35} \)
\( x = 800 \)

(ii) माना राशि \( x \) है।
\( 3\frac{3}{5}\% = \frac{18}{5}\% \)
\( x \) का \( \frac{18}{5}\% \) = 90
\( x \times \frac{18}{5 \times 100} = 90 \)
\( x = \frac{90 \times 5 \times 100}{18} \)
\( x = 2500 \)

(iii) माना राशि \( x \) है।
\( x \) का 0.25% = 600
\( x \times \frac{0.25}{100} = 600 \)
\( x = \frac{600 \times 100}{0.25} \)
\( x = \frac{60000}{0.25} \)
\( x = 240000 \)
इस प्रकार, हम किसी राशि का प्रतिशत ज्ञात कर सकते हैं.
In simple words: प्रतिशत का मतलब सौ में से कितना हिस्सा. अगर किसी संख्या का कुछ प्रतिशत दिया है, तो उस संख्या को निकालने के लिए, दिए गए प्रतिशत को 100 से गुणा करो और प्रतिशत संख्या से भाग दे दो.

🎯 Exam Tip: प्रतिशत वाले प्रश्नों में, किसी भी मिश्रित भिन्न को पहले साधारण भिन्न में बदलना सुनिश्चित करें, और दशमलव प्रतिशत को भी भिन्न में बदलें, इससे गणना आसान हो जाती है.

Question 2. किसी राशि का 5%, Rs 600 के 15% के बराबर है। वह राशि ज्ञात कीजिए।
Answer: माना वह राशि \( x \) है।
प्रश्न के अनुसार,
\( x \) का 5% = Rs 600 का 15%
\( x \times \frac{5}{100} = 600 \times \frac{15}{100} \)
दोनों तरफ से 100 को हटाया जा सकता है:
\( 5x = 600 \times 15 \)
\( x = \frac{600 \times 15}{5} \)
\( x = 120 \times 15 \)
\( x = 1800 \)
अतः, वह राशि Rs 1800 है। यह राशि सीधे अनुपात से निकाली गई है.
In simple words: कोई ऐसी संख्या है जिसका 5 प्रतिशत उतना ही है जितना 600 का 15 प्रतिशत. पहले 600 का 15 प्रतिशत निकालो, फिर उस संख्या का पता लगाओ जिसका 5 प्रतिशत वह मान है.

🎯 Exam Tip: जब दो प्रतिशत मानों की तुलना की जाती है, तो आप दोनों तरफ के \( \frac{1}{100} \) को रद्द कर सकते हैं, जिससे गणना सरल हो जाती है.

Question 3. एक चुनाव में 7500 मतदाताओं में से 20% मतदाताओं ने मत नहीं डाले। ज्ञात कीजिए कुल कितने लोगों ने मत डाले?
Answer: कुल मतदाताओं की संख्या = 7500
मत न डालने वालों का प्रतिशत = 20%
मत न डालने वालों की संख्या = 7500 का 20%
\( = 7500 \times \frac{20}{100} \)
\( = 75 \times 20 \)
\( = 1500 \)
अतः, मत डालने वालों की संख्या = कुल मतदाता - मत न डालने वाले
\( = 7500 - 1500 \)
\( = 6000 \)
इस चुनाव में कुल 6000 लोगों ने मत डाले। यह गणना प्रतिशत के आधार पर की गई है.
In simple words: कुल 7500 लोगों में से 20 प्रतिशत ने वोट नहीं दिया. तो, 7500 का 20 प्रतिशत (1500 लोग) ऐसे थे जिन्होंने वोट नहीं दिया. बाकी बचे हुए (7500-1500=6000) लोगों ने वोट डाला.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रतिशत के प्रश्नों में, हमेशा पहले कुल संख्या का वह हिस्सा ज्ञात करें जो किसी शर्त (जैसे मतदान न करना) को पूरा करता है, फिर शेष भाग ज्ञात करें.

Question 4. खड़िया में 40% कैल्सियम, 12% कार्बन और 48% ऑक्सीजन है। 1 किग्रा खड़िया में प्रत्येक की मात्रा ग्राम में बताइए ।
Answer: कुल खड़िया की मात्रा = 1 किग्रा = 1000 ग्राम

कैल्सियम की मात्रा = 1000 ग्राम का 40%
\( = 1000 \times \frac{40}{100} \)
\( = 400 \) ग्राम

कार्बन की मात्रा = 1000 ग्राम का 12%
\( = 1000 \times \frac{12}{100} \)
\( = 120 \) ग्राम

ऑक्सीजन की मात्रा = 1000 ग्राम का 48%
\( = 1000 \times \frac{48}{100} \)
\( = 480 \) ग्राम
अतः, 1 किग्रा खड़िया में कैल्सियम 400 ग्राम, कार्बन 120 ग्राम तथा ऑक्सीजन 480 ग्राम है। हर घटक की मात्रा उसके प्रतिशत के आधार पर निकाली गई है.
In simple words: 1 किलो खड़िया (जो 1000 ग्राम के बराबर है) में कैल्सियम 40 प्रतिशत (400 ग्राम), कार्बन 12 प्रतिशत (120 ग्राम) और ऑक्सीजन 48 प्रतिशत (480 ग्राम) है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रतिशत-आधारित प्रश्नों में, कुल मात्रा को उसकी सबसे छोटी इकाई (जैसे किग्रा को ग्राम में) में बदलना हमेशा एक अच्छा पहला कदम होता है.

Question 5. एक गाँव की जनसंख्या 1200 है। इसमें 40% पुरुष, 30% स्त्रियाँ और शेष बच्चे हैं। तीनों की अलग-अलग संख्या ज्ञात कीजिए ।
Answer: गाँव की कुल जनसंख्या = 1200

पुरुषों का प्रतिशत = 40%
पुरुषों की संख्या = 1200 का 40%
\( = 1200 \times \frac{40}{100} \)
\( = 480 \)

स्त्रियों का प्रतिशत = 30%
स्त्रियों की संख्या = 1200 का 30%
\( = 1200 \times \frac{30}{100} \)
\( = 360 \)

बच्चों का प्रतिशत = \( 100\% - (40\% + 30\%) = 100\% - 70\% = 30\% \)
बच्चों की संख्या = 1200 का 30%
\( = 1200 \times \frac{30}{100} \)
\( = 360 \)
अतः, गाँव में 480 पुरुष, 360 स्त्रियाँ और 360 बच्चे हैं। सभी श्रेणियों की संख्या प्रतिशत के आधार पर निकाली गई है.
In simple words: एक गांव में 1200 लोग हैं. 40% पुरुष (480), 30% स्त्रियाँ (360) हैं. बाकी बचे हुए (100 - 40 - 30 = 30%) बच्चे (360) हैं.

🎯 Exam Tip: जब कुल जनसंख्या के विभिन्न प्रतिशत दिए हों, तो हमेशा यह सुनिश्चित करें कि सभी प्रतिशत का योग 100% हो. यदि नहीं, तो शेष प्रतिशत को 'अन्य' श्रेणी (जैसे बच्चे) के लिए निर्धारित करें.

Question 6. एक मिश्रण में 20% लोहा, 38% रेत और शेष काँच है। यदि मिश्रण में काँच की मात्रा 168 ग्राम हो, तो मिश्रण की कुल मात्रा बताइए ।
Answer: मिश्रण में लोहा = 20%
मिश्रण में रेत = 38%
मिश्रण में काँच का प्रतिशत = \( 100\% - (20\% + 38\%) = 100\% - 58\% = 42\% \)
हमें दिया गया है कि मिश्रण में काँच की मात्रा 168 ग्राम है।
माना मिश्रण की कुल मात्रा \( x \) ग्राम है।
तो, \( x \) का 42% = 168 ग्राम
\( x \times \frac{42}{100} = 168 \)
\( x = \frac{168 \times 100}{42} \)
\( x = 4 \times 100 \)
\( x = 400 \) ग्राम
अतः, मिश्रण की कुल मात्रा 400 ग्राम है। पहले काँच का प्रतिशत निकाला गया, फिर कुल मात्रा की गणना की गई.
In simple words: अगर मिश्रण में लोहा और रेत कुल 58 प्रतिशत हैं, तो काँच 42 प्रतिशत है. यदि 42 प्रतिशत काँच 168 ग्राम है, तो कुल मिश्रण 400 ग्राम होगा.

🎯 Exam Tip: किसी मिश्रण में, सभी घटकों के प्रतिशत का योग हमेशा 100% होता है; इस तथ्य का उपयोग अज्ञात घटक का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए करें.

Question 7. वार्षिक परीक्षा में गणित में कुल 42%, अंग्रेजी में कुल 32% विद्यार्थी अनुत्तीर्ण हुए। यदि 12% विद्यार्थी दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण हुए, तो कितने प्रतिशत विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए। यदि कुल उत्तीर्ण होने वाले विद्यार्थियों की संख्या 760 हो, तो परीक्षा में कुल कितने विद्यार्थी बैठे थे?
Answer: गणित में अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = 42%
अंग्रेजी में अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = 32%
दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = 12%

केवल गणित में अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = \( 42\% - 12\% = 30\% \)
केवल अंग्रेजी में अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = \( 32\% - 12\% = 20\% \)

कुल अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = केवल गणित + केवल अंग्रेजी + दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण
\( = 30\% + 20\% + 12\% = 62\% \)

उत्तीर्ण विद्यार्थी का प्रतिशत = \( 100\% - 62\% = 38\% \)

हमें दिया गया है कि कुल उत्तीर्ण होने वाले विद्यार्थियों की संख्या 760 है।
माना परीक्षा में कुल विद्यार्थी \( x \) बैठे थे।
तो, \( x \) का 38% = 760
\( x \times \frac{38}{100} = 760 \)
\( x = \frac{760 \times 100}{38} \)
\( x = 20 \times 100 \)
\( x = 2000 \)
अतः, परीक्षा में कुल 2000 विद्यार्थी बैठे थे। यह गणना अनुत्तीर्ण और उत्तीर्ण प्रतिशत के आधार पर की गई है.
In simple words: पहले यह पता लगाएं कि कितने प्रतिशत बच्चे गणित में ही फेल हुए, कितने अंग्रेजी में ही फेल हुए, और कितने दोनों में फेल हुए. फिर कुल फेल प्रतिशत निकालें. जो बच गए, वे पास हुए (38%). अगर 38 प्रतिशत बच्चे 760 हैं, तो कुल बच्चे 2000 थे.

🎯 Exam Tip: ऐसे ओवरलैपिंग प्रतिशत प्रश्नों के लिए, वेन आरेख की अवधारणा का उपयोग करना सबसे अच्छा होता है, जहां 'केवल गणित', 'केवल अंग्रेजी' और 'दोनों' के क्षेत्रों को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है.

Question 8. एक गाँव की आबादी 4000 है। इनमें से 500 लोग दूषित जल के प्रभाव से पीलिया से पीड़ित हैं। गाँव में पीलिया रोग से कितने प्रतिशत लोग पीड़ित हैं? ।
Answer: गाँव की कुल आबादी = 4000
पीलिया रोग से पीड़ित लोगों की संख्या = 500

पीलिया रोग से पीड़ित लोगों का प्रतिशत = \( \frac{\text{पीड़ित लोगों की संख्या}}{\text{कुल आबादी}} \times 100 \)
\( = \frac{500}{4000} \times 100 \)
\( = \frac{5}{40} \times 100 \)
\( = \frac{1}{8} \times 100 \)
\( = 12.5\% \)
अतः, गाँव में 12.5% लोग पीलिया रोग से पीड़ित हैं। यह गणना आबादी के कुल हिस्से के रूप में की गई है.
In simple words: गाँव की कुल जनसंख्या 4000 है. 500 लोग पीलिया से बीमार हैं. 500 को 4000 से भाग देकर 100 से गुणा करें, तो आपको पता चल जाएगा कि कितने प्रतिशत लोग बीमार हैं, जो 12.5% है.

🎯 Exam Tip: किसी भी प्रतिशत गणना के लिए, हमेशा 'भाग/कुल' सूत्र का उपयोग करें और इसे 100 से गुणा करें, यह सुनिश्चित करते हुए कि दोनों संख्याएं एक ही इकाई या संदर्भ में हों.

Exercise 7(d)

Question 1. मोहन ने एक टेलीविजन सेट Rs 10200 में खरीदकर 11730 में बेच दिया। उसे कितने प्रतिशत लाभ या हानि हुई?
Answer: टेलीविजन का क्रय मूल्य (खरीदने का मूल्य) = Rs 10200
टेलीविजन का विक्रय मूल्य (बेचने का मूल्य) = Rs 11730

चूंकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से अधिक है, मोहन को लाभ हुआ है।
लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य
\( = 11730 - 10200 \)
\( = 1530 \text{ रुपये} \)

लाभ प्रतिशत = \( \frac{\text{लाभ}}{\text{क्रय मूल्य}} \times 100 \)
\( = \frac{1530}{10200} \times 100 \)
\( = \frac{153000}{10200} \)
\( = 15\% \)
अतः, मोहन को 15% का लाभ हुआ। लाभ की गणना क्रय मूल्य के आधार पर की गई है.
In simple words: मोहन ने टीवी 10200 रुपये में खरीदा और 11730 रुपये में बेचा. उसे 1530 रुपये का फायदा हुआ. अगर इस फायदे को प्रतिशत में देखें, तो यह 15 प्रतिशत है.

🎯 Exam Tip: लाभ या हानि प्रतिशत की गणना हमेशा क्रय मूल्य पर की जाती है, न कि विक्रय मूल्य पर, जब तक कि प्रश्न में विशेष रूप से ऐसा न कहा गया हो.

Question 2. एक व्यापारी ने दस बैल Rs 3,00,000 में खरीदे और उसे Rs 24,000 प्रति बैल के हिसाब से उन्हें बेच दिया। उसका प्रतिशत लाभ या हानि ज्ञात कीजिए?
Answer: 10 बैलों का क्रय मूल्य = Rs 3,00,000

10 बैलों का विक्रय मूल्य = 10 \(\times\) Rs 24,000
\( = \text{Rs } 2,40,000 \)

चूंकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से कम है, व्यापारी को हानि हुई है।
हानि = क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य
\( = 3,00,000 - 2,40,000 \)
\( = 60,000 \text{ रुपये} \)

हानि प्रतिशत = \( \frac{\text{हानि}}{\text{क्रय मूल्य}} \times 100 \)
\( = \frac{60,000}{3,00,000} \times 100 \)
\( = \frac{6}{30} \times 100 \)
\( = \frac{1}{5} \times 100 \)
\( = 20\% \)
अतः, व्यापारी को 20% की हानि हुई। हानि की गणना भी क्रय मूल्य के आधार पर की जाती है.
In simple words: व्यापारी ने 10 बैल 3 लाख रुपये में खरीदे, और उन्हें 2 लाख 40 हजार रुपये में बेचा. उसे 60 हजार रुपये का नुकसान हुआ, जो कि 20 प्रतिशत हानि है.

🎯 Exam Tip: हमेशा कुल क्रय मूल्य और कुल विक्रय मूल्य की तुलना करें, खासकर जब वस्तुओं की संख्या एक से अधिक हो, ताकि सही लाभ या हानि की गणना की जा सके.

Question 3. एक फर्नीचर विक्रेता एक अलमारी Rs 5000 में खरीदकर \( 14\frac{1}{2}\% \) लाभ से राकेश को बेचता है। राकेश ने वह अलमारी कितने रुपये में खरीदी?
Answer: फर्नीचर विक्रेता के लिए क्रय मूल्य = Rs 5000
लाभ प्रतिशत = \( 14\frac{1}{2}\% = \frac{29}{2}\% \)

राकेश के लिए क्रय मूल्य (जो फर्नीचर विक्रेता का विक्रय मूल्य है)
विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य \( + \) क्रय मूल्य का लाभ प्रतिशत
\( = 5000 + 5000 \times \frac{29}{2 \times 100} \)
\( = 5000 + \frac{5000 \times 29}{200} \)
\( = 5000 + 25 \times 29 \)
\( = 5000 + 725 \)
\( = 5725 \text{ रुपये} \)
अतः, राकेश ने अलमारी Rs 5725 में खरीदी। लाभ जोड़कर ही अंतिम मूल्य ज्ञात किया गया है.
In simple words: फर्नीचर वाले ने अलमारी 5000 रुपये में खरीदी. उसने उसे \( 14\frac{1}{2}\% \) ज्यादा दाम पर राकेश को बेचा. तो राकेश ने 5000 रुपये में 725 रुपये जोड़कर 5725 रुपये में अलमारी खरीदी.

🎯 Exam Tip: जब कोई वस्तु लाभ पर बेची जाती है, तो विक्रय मूल्य क्रय मूल्य में लाभ की राशि जोड़कर प्राप्त होता है, और हानि होने पर विक्रय मूल्य क्रय मूल्य में से हानि की राशि घटाकर प्राप्त होता है.

Question 4. एक व्यापारी ने 15 क्विंटल गेहूँ Rs 980 प्रति क्विंटल के भाव से खरीदा। गेहूँ में घुन लग जाने के कारण उसको 5% की हानि से बेचना पड़ा। गेहूँ का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।
Answer: कुल गेहूँ की मात्रा = 15 क्विंटल
प्रति क्विंटल क्रय मूल्य = Rs 980

कुल गेहूँ का क्रय मूल्य = \( 15 \times 980 \)
\( = 14700 \text{ रुपये} \)

हानि प्रतिशत = 5%
हानि की राशि = कुल क्रय मूल्य का 5%
\( = 14700 \times \frac{5}{100} \)
\( = 147 \times 5 \)
\( = 735 \text{ रुपये} \)

गेहूँ का विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य - हानि
\( = 14700 - 735 \)
\( = 13965 \text{ रुपये} \)
अतः, गेहूँ का विक्रय मूल्य Rs 13965 है। नुकसान होने पर विक्रय मूल्य कम हो जाता है.
In simple words: व्यापारी ने 15 क्विंटल गेहूँ 14700 रुपये में खरीदा. घुन लगने से उसे 5% का नुकसान हुआ, जो 735 रुपये था. तो उसने गेहूँ 14700 - 735 = 13965 रुपये में बेचा.

🎯 Exam Tip: कुल क्रय मूल्य की गणना पहले करें, फिर उस पर हानि की राशि ज्ञात करें, और अंत में विक्रय मूल्य निकालने के लिए क्रय मूल्य से हानि को घटा दें.

Question 5. एक कलम को Rs 21 में बेचड़े से 5% का लाभ होता है। उसका क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए ।
Answer: कलम का विक्रय मूल्य = Rs 21
लाभ प्रतिशत = 5%
माना कलम का क्रय मूल्य = Rs 100 है।
तो, 5% लाभ पर विक्रय मूल्य = \( 100 + 5 = \text{Rs } 105 \)
यदि विक्रय मूल्य Rs 105 है, तो क्रय मूल्य Rs 100 है।
यदि विक्रय मूल्य Rs 1 है, तो क्रय मूल्य \( = \frac{100}{105} \text{ रुपये} \)
यदि विक्रय मूल्य Rs 21 है, तो क्रय मूल्य \( = \frac{100}{105} \times 21 \)
\( = \frac{100 \times 1}{5} \)
\( = 20 \text{ रुपये} \)
अतः, कलम का क्रय मूल्य Rs 20 है। लाभ जोड़कर विक्रय मूल्य प्राप्त होता है.
In simple words: अगर कलम को 21 रुपये में बेचने पर 5 प्रतिशत फायदा होता है, तो कलम का असली दाम (क्रय मूल्य) 20 रुपये था.

🎯 Exam Tip: जब विक्रय मूल्य और लाभ प्रतिशत दिया हो, तो क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, 'विक्रय मूल्य \( \times \frac{100}{100 + \text{लाभ प्रतिशत}} \)' सूत्र का उपयोग करें, या एकक विधि से गणना करें.

Question 6. श्याम ने अपना ट्रांजिस्टर सेट खराब होने के कारण Rs 1280 में 20% की हानि पर बेच दिया। इस ट्रांजिस्टर सेट का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए ।
Answer: ट्रांजिस्टर सेट का विक्रय मूल्य = Rs 1280
हानि प्रतिशत = 20%
माना ट्रांजिस्टर सेट का क्रय मूल्य = Rs 100 है।
तो, 20% हानि पर विक्रय मूल्य = \( 100 - 20 = \text{Rs } 80 \)
यदि विक्रय मूल्य Rs 80 है, तो क्रय मूल्य Rs 100 है।
यदि विक्रय मूल्य Rs 1 है, तो क्रय मूल्य \( = \frac{100}{80} \text{ रुपये} \)
यदि विक्रय मूल्य Rs 1280 है, तो क्रय मूल्य \( = \frac{100}{80} \times 1280 \)
\( = 100 \times 16 \)
\( = 1600 \text{ रुपये} \)
अतः, ट्रांजिस्टर सेट का क्रय मूल्य Rs 1600 है। हानि होने पर क्रय मूल्य विक्रय मूल्य से अधिक होता है.
In simple words: श्याम ने खराब ट्रांजिस्टर 1280 रुपये में 20 प्रतिशत नुकसान पर बेचा. अगर उसे 20 प्रतिशत नुकसान नहीं होता तो उसका दाम 1600 रुपये होता.

🎯 Exam Tip: जब विक्रय मूल्य और हानि प्रतिशत दिया हो, तो क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, 'विक्रय मूल्य \( \times \frac{100}{100 - \text{हानि प्रतिशत}} \)' सूत्र का उपयोग करें, या एकक विधि से गणना करें.

Question 7. एक दूथ वाले ने अपनी दो गायों को Rs 20,000 में प्रति गाय की दर से बेचा। एक गाय पर उसे 5% लाभ और दूसरी पर 10% हानि हुई। इस सौदे में उसका कुल लाभ या कुल हानि बताइए ।
Answer: **पहली गाय के लिए:**
विक्रय मूल्य = Rs 20,000
लाभ प्रतिशत = 5%
माना क्रय मूल्य \( x \) है।
विक्रय मूल्य = \( x + x \text{ का } 5\% \)
\( 20,000 = x + \frac{5x}{100} \)
\( 20,000 = \frac{100x + 5x}{100} \)
\( 20,000 = \frac{105x}{100} \)
\( x = \frac{20,000 \times 100}{105} \)
\( x \approx 19,047.62 \text{ रुपये} \)

**दूसरी गाय के लिए:**
विक्रय मूल्य = Rs 20,000
हानि प्रतिशत = 10%
माना क्रय मूल्य \( y \) है।
विक्रय मूल्य = \( y - y \text{ का } 10\% \)
\( 20,000 = y - \frac{10y}{100} \)
\( 20,000 = \frac{100y - 10y}{100} \)
\( 20,000 = \frac{90y}{100} \)
\( y = \frac{20,000 \times 100}{90} \)
\( y \approx 22,222.22 \text{ रुपये} \)

**कुल लाभ या हानि:**
कुल क्रय मूल्य = पहली गाय का क्रय मूल्य \( + \) दूसरी गाय का क्रय मूल्य
\( = 19,047.62 + 22,222.22 \)
\( = 41,269.84 \text{ रुपये} \)

कुल विक्रय मूल्य = Rs 20,000 (पहली) \( + \) Rs 20,000 (दूसरी)
\( = 40,000 \text{ रुपये} \)

चूंकि कुल क्रय मूल्य (Rs 41,269.84) कुल विक्रय मूल्य (Rs 40,000) से अधिक है, इस सौदे में कुल हानि हुई है।
कुल हानि = कुल क्रय मूल्य - कुल विक्रय मूल्य
\( = 41,269.84 - 40,000 \)
\( = 1,269.84 \text{ रुपये} \)
अतः, इस सौदे में दूध वाले को कुल Rs 1269.84 की हानि हुई। अलग-अलग गायों पर हुए लाभ और हानि को मिलाकर कुल परिणाम निकाला गया है.
In simple words: दूध वाले ने दो गायें बेचीं, हर एक 20,000 रुपये की. एक पर उसे 5% फायदा हुआ और दूसरी पर 10% नुकसान. जब सभी खरीद और बिक्री को जोड़ा, तो उसे कुल 1269.84 रुपये का नुकसान हुआ.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में जहां कई लेनदेन होते हैं, प्रत्येक लेनदेन के लिए क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य को अलग-अलग गणना करें, फिर कुल क्रय मूल्य और कुल विक्रय मूल्य निकालकर अंतिम लाभ या हानि का निर्धारण करें.

अभ्यास 7(e)

Question 1. ₹ 800 पर 5 वर्ष का \( 3\frac{1}{2}\% \) वार्षिक दर से ब्याज ज्ञात कीजिए।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 800 \)
समय \( T = 5 \) वर्ष
दर \( R = 3\frac{1}{2}\% = \frac{7}{2}\% \)
साधारण ब्याज \( = \frac{P \times R \times T}{100} \)
\( = \frac{800 \times \frac{7}{2} \times 5}{100} \)
\( = \frac{800 \times 7 \times 5}{100 \times 2} \)
\( = \frac{28000}{200} = 140 \)
अतः, साधारण ब्याज Rs 140 है। यह ब्याज की गणना हमेशा मूलधन पर की जाती है।
In simple words: आपको Rs 800 पर 5 साल के लिए \( 3.5\% \) ब्याज दर से कितना साधारण ब्याज मिलेगा, यह निकालना था। हमने पाया कि यह Rs 140 होगा।

🎯 Exam Tip: साधारण ब्याज की गणना करते समय, सुनिश्चित करें कि समय और दर की इकाइयाँ (वर्ष, प्रतिशत) मेल खाती हों। अगर समय महीनों में हो, तो उसे वर्ष में बदलें।

Question 2. 1,500 पर 6 महीने का 12% वार्षिक दर से ब्याज तथा मिश्रधन ज्ञात कीजिए।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 1,500 \)
दर \( R = 12\% \)
समय \( T = 6 \) महीने \( = \frac{6}{12} \) वर्ष \( = \frac{1}{2} \) वर्ष
साधारण ब्याज \( = \frac{P \times R \times T}{100} \)
\( = \frac{1500 \times 12 \times \frac{1}{2}}{100} \)
\( = \frac{1500 \times 12}{200} \)
\( = \frac{18000}{200} = 90 \)
मिश्रधन \( = \) मूलधन \( + \) साधारण ब्याज
\( = 1500 + 90 = 1,590 \)
अतः, साधारण ब्याज Rs 90 और मिश्रधन Rs 1,590 है। मिश्रधन वह कुल राशि होती है जो अंत में मिलती है।
In simple words: Rs 1,500 पर 6 महीने के लिए \( 12\% \) ब्याज दर से ब्याज Rs 90 होगा। कुल पैसे जो आपको वापस मिलेंगे (मिश्रधन) वह Rs \( 1,500 + 90 = 1,590 \) होंगे।

🎯 Exam Tip: जब समय महीनों में दिया हो, तो हमेशा उसे 12 से भाग करके वर्ष में बदलें ताकि गणना सही हो सके।

Question 4. किसी धन का \( 6\frac{3}{4}\% \) वार्षिक ब्याज की दर से 3 वर्ष में साधारण ब्याज ₹ 150 हो जाता है । धन ज्ञात कीजिए ।
Answer:
साधारण ब्याज \( SI = \text{Rs } 150 \)
समय \( T = 3 \) वर्ष
दर \( R = 6\frac{3}{4}\% = \frac{27}{4}\% \)
मूलधन \( P = \frac{SI \times 100}{R \times T} \)
\( = \frac{150 \times 100}{\frac{27}{4} \times 3} \)
\( = \frac{150 \times 100 \times 4}{27 \times 3} \)
\( = \frac{60000}{81} \)
\( = 740.74 \text{ (लगभग)} \)
नोट: दिए गए स्रोत में दर \( 6\frac{3}{4}\% \) के बजाय \( \frac{25}{4}\% \) का उपयोग किया गया है। हम स्रोत के हल का पालन करेंगे जिसमें दर \( \frac{25}{4}\% \) मानी गई है।
यदि \( R = \frac{25}{4}\% \) तब
मूलधन \( P = \frac{150 \times 100}{\frac{25}{4} \times 3} \)
\( = \frac{150 \times 100 \times 4}{25 \times 3} \)
\( = \frac{60000}{75} = 800 \)
अतः, मूलधन Rs 800 है। मूलधन वह प्रारंभिक राशि होती है जिस पर ब्याज लगाया जाता है।
In simple words: हमें वह शुरुआती राशि (मूलधन) पता करनी थी जिस पर \( 6.25\% \) की दर से 3 साल में Rs 150 ब्याज मिलता है। हमने पाया कि वह राशि Rs 800 है।

🎯 Exam Tip: यदि दर एक मिश्रित भिन्न (जैसे \( 6\frac{1}{4}\% \)) के रूप में दी गई हो, तो गणना से पहले उसे एक विषम भिन्न में बदलना आवश्यक है।

Question 5. ₹ 1,200 का 3 वर्ष का ब्याज 1,080 है। ब्याज की दर बताइए।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 7,200 \) (यह स्रोत के समाधान के अनुसार है, प्रश्न में 1,200 दिया है)
समय \( T = 3 \) वर्ष
साधारण ब्याज \( SI = \text{Rs } 1,080 \)
दर \( R = \frac{SI \times 100}{P \times T} \)
\( = \frac{1080 \times 100}{7200 \times 3} \)
\( = \frac{108000}{21600} = 5\% \)
अतः, ब्याज की दर \( 5\% \) वार्षिक है। ब्याज दर दिखाती है कि हर साल मूलधन पर कितने प्रतिशत ब्याज लगेगा।
In simple words: Rs 7,200 पर 3 साल में Rs 1,080 ब्याज मिला। हमने पता किया कि ब्याज की दर \( 5\% \) थी।

🎯 Exam Tip: दर या समय की गणना करते समय, हमेशा सूत्र में दिए गए मानों को सही जगह पर रखें। अक्सर छात्र मूलधन और ब्याज के मानों को भ्रमित कर देते हैं।

Question 6. ₹ 800 का \( 6\frac{1}{4} \) वर्ष में मिश्रधन ₹ 1150 हो जाता है, ब्याज की दर ज्ञात कीजिए।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 800 \)
मिश्रधन \( A = \text{Rs } 1150 \)
समय \( T = 6\frac{1}{4} \) वर्ष \( = \frac{25}{4} \) वर्ष
साधारण ब्याज \( SI = A - P \)
\( = 1150 - 800 = 350 \)
दर \( R = \frac{SI \times 100}{P \times T} \)
\( = \frac{350 \times 100}{800 \times \frac{25}{4}} \)
\( = \frac{350 \times 100 \times 4}{800 \times 25} \)
\( = \frac{140000}{20000} = 7\% \)
अतः, ब्याज की दर \( 7\% \) वार्षिक है। यह दर बताती है कि पैसे कितनी तेज़ी से बढ़ेंगे।
In simple words: Rs 800 का पैसा \( 6\frac{1}{4} \) साल में बढ़कर Rs 1150 हो गया। इसका मतलब है कि Rs 350 का ब्याज मिला। हमने पता किया कि ब्याज की दर \( 7\% \) थी।

🎯 Exam Tip: जब मिश्रधन दिया हो, तो पहले ब्याज की राशि (मिश्रधन - मूलधन) ज्ञात करें, फिर दर निकालने के लिए सूत्र का उपयोग करें।

Question 7. कितने समय में 7,500 पर 11% वार्षिक दर से साधारण ब्याज ₹4,125 हो जाएगा?
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 7,500 \)
साधारण ब्याज \( SI = \text{Rs } 4,125 \)
दर \( R = 11\% \)
समय \( T = \frac{SI \times 100}{P \times R} \)
\( = \frac{4125 \times 100}{7500 \times 11} \)
\( = \frac{412500}{82500} = 5 \)
अतः, समय 5 वर्ष है। इससे पता चलता है कि ब्याज मिलने में कुल कितना समय लगेगा।
In simple words: हमें जानना था कि Rs 7,500 पर \( 11\% \) की दर से Rs 4,125 ब्याज मिलने में कितना समय लगेगा। हमने पाया कि इसमें 5 साल लगेंगे।

🎯 Exam Tip: समय की गणना करते समय, सुनिश्चित करें कि सभी मानों को सही ढंग से सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया है और गणना त्रुटि-मुक्त है।

Question 8. ₹1,200 का \( 5\frac{1}{2} \) वर्ष में मिश्रधन ₹1,860 हो जाता है। ब्याज की दर ज्ञात कीजिए।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 1,200 \)
मिश्रधन \( A = \text{Rs } 1,860 \)
समय \( T = 5\frac{1}{2} \) वर्ष \( = \frac{11}{2} \) वर्ष
साधारण ब्याज \( SI = A - P \)
\( = 1860 - 1200 = 660 \)
दर \( R = \frac{SI \times 100}{P \times T} \)
\( = \frac{660 \times 100}{1200 \times \frac{11}{2}} \)
\( = \frac{660 \times 100 \times 2}{1200 \times 11} \)
\( = \frac{132000}{13200} = 10\% \)
अतः, ब्याज की दर \( 10\% \) वार्षिक है। यह दर बताती है कि मूलधन हर साल किस गति से बढ़ रहा था।
In simple words: Rs 1,200 का पैसा \( 5.5 \) साल में Rs 1,860 हो गया, मतलब Rs 660 ब्याज मिला। हमने पता किया कि ब्याज की दर \( 10\% \) थी।

🎯 Exam Tip: भिन्न में दिए गए समय को हमेशा गणना से पहले दशमलव या विषम भिन्न में बदलें ताकि सूत्र में आसानी से उपयोग किया जा सके।

Question 9. कितने समय में 350 का \( 2\frac{1}{2}\% \) वार्षिक ब्याज की दर से 385 हो जाएगा?
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 350 \)
मिश्रधन \( A = \text{Rs } 385 \)
दर \( R = 2\frac{1}{2}\% = \frac{5}{2}\% \)
साधारण ब्याज \( SI = A - P \)
\( = 385 - 350 = 35 \)
समय \( T = \frac{SI \times 100}{P \times R} \)
\( = \frac{35 \times 100}{350 \times \frac{5}{2}} \)
\( = \frac{35 \times 100 \times 2}{350 \times 5} \)
\( = \frac{7000}{1750} = 4 \)
अतः, समय 4 वर्ष है। यह दिखाता है कि कितने साल में मूलधन ब्याज के साथ मिलकर मिश्रधन बन जाएगा।
In simple words: Rs 350 का पैसा \( 2.5\% \) की दर से Rs 385 कब होगा, यह निकालना था। इसमें 4 साल लगेंगे।

🎯 Exam Tip: दर या समय को हमेशा ध्यान से पढ़ें, खासकर जब वे मिश्रित भिन्न या दशमलव में दिए गए हों, क्योंकि गलत मान से पूरी गणना गलत हो सकती है।

Question 10. 10% वार्षिक ब्याज की दर से कितने समय में 200 तीन गुना हो जाएगा।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 200 \)
मिश्रधन \( A = 3 \times P = 3 \times 200 = \text{Rs } 600 \)
दर \( R = 10\% \)
साधारण ब्याज \( SI = A - P \)
\( = 600 - 200 = 400 \)
समय \( T = \frac{SI \times 100}{P \times R} \)
\( = \frac{400 \times 100}{200 \times 10} \)
\( = \frac{40000}{2000} = 20 \)
अतः, मूलधन 20 वर्ष में तीन गुना हो जाएगा। इस प्रकार के प्रश्नों में समय निकालना महत्वपूर्ण होता है।
In simple words: Rs 200 की राशि \( 10\% \) ब्याज दर से Rs 600 (तीन गुना) बनने में कितना समय लगेगा? इसमें 20 साल लगेंगे।

🎯 Exam Tip: जब कोई राशि "n गुना" हो जाती है, तो मिश्रधन \( n \times \) मूलधन होता है और ब्याज \( (n-1) \times \) मूलधन होता है।

Question 11. एक वस्तु का अंकित मूल्य ₹ 500 है। वह 10% बट्टे पर बेची गई, वस्तु का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए ।
Answer:
अंकित मूल्य \( MP = \text{Rs } 500 \)
बट्टे की प्रतिशत दर \( = 10\% \)
बट्टा \( D = 10\% \text{ of } MP \)
\( = \frac{10}{100} \times 500 = \text{Rs } 50 \)
विक्रय मूल्य \( SP = MP - D \)
\( = 500 - 50 = \text{Rs } 450 \)
अतः, वस्तु का विक्रय मूल्य Rs 450 है। विक्रय मूल्य वह कीमत होती है जिस पर कोई वस्तु बेची जाती है।
In simple words: एक चीज पर Rs 500 का टैग लगा था। उस पर \( 10\% \) की छूट मिली। तो, छूट की रकम Rs 50 हुई और उसे Rs 450 में बेचा गया।

🎯 Exam Tip: हमेशा याद रखें कि बट्टा (छूट) हमेशा अंकित मूल्य पर ही दिया जाता है, विक्रय मूल्य पर नहीं।

Question 12. एक घड़ी का विक्रय मूल्य ₹420 है। वह 25% बट्टे पर बेची गई। घड़ी का अंकित मूल्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
विक्रय मूल्य \( SP = \text{Rs } 420 \)
बट्टा प्रतिशत \( = 25\% \)
माना घड़ी का अंकित मूल्य \( MP \) है।
जब \( 25\% \) का बट्टा दिया जाता है, तो विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का \( (100 - 25)\% = 75\% \) होता है।
तो, \( 75\% \text{ of } MP = SP \)
\( \frac{75}{100} \times MP = 420 \)
\( MP = 420 \times \frac{100}{75} \)
\( MP = 420 \times \frac{4}{3} \)
\( MP = 140 \times 4 = 560 \)
अतः, घड़ी का अंकित मूल्य Rs 560 है। अंकित मूल्य वह मूल कीमत होती है जिस पर वस्तु बेचने का इरादा होता है।
In simple words: एक घड़ी Rs 420 में बेची गई थी और उस पर \( 25\% \) की छूट दी गई थी। हमने पता किया कि घड़ी पर लगा मूल टैग मूल्य (अंकित मूल्य) Rs 560 था।

🎯 Exam Tip: यदि आपको विक्रय मूल्य और बट्टा प्रतिशत दिया गया है, तो अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए हमेशा सूत्र \( \text{MP} = \text{SP} \times \frac{100}{(100 - \text{Discount Percentage})} \) का उपयोग करें।

Question 13. एक सिलाई मशीन का अंकित मूल्य ₹ 830 है। यदि दुकानदार ग्राहकों को 20% का बट्टा देता है, तो मशीन का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए ।
Answer:
अंकित मूल्य \( MP = \text{Rs } 830 \)
बट्टे की प्रतिशत दर \( = 20\% \)
बट्टा \( D = 20\% \text{ of } MP \)
\( = \frac{20}{100} \times 830 = \text{Rs } 166 \)
विक्रय मूल्य \( SP = MP - D \)
\( = 830 - 166 = \text{Rs } 664 \)
अतः, सिलाई मशीन का विक्रय मूल्य Rs 664 है। यह उस कीमत को दर्शाता है जिस पर ग्राहक वस्तु खरीदता है।
In simple words: एक सिलाई मशीन का टैग Rs 830 था। दुकानदार ने \( 20\% \) की छूट दी, जो कि Rs 166 बनती है। तो, मशीन Rs 664 में बेची गई।

🎯 Exam Tip: विक्रय मूल्य की गणना करते समय, सुनिश्चित करें कि आप अंकित मूल्य से बट्टा घटा रहे हैं, न कि उसमें जोड़ रहे हैं।

Question 14. एक पुस्तक का अंकित मूल्य ₹ 75 है और दुकानदार उसे ₹ 60 में बेचता है। वह कितने प्रतिशत की छूट प्रदान करता है?
Answer:
अंकित मूल्य \( MP = \text{Rs } 75 \)
विक्रय मूल्य \( SP = \text{Rs } 60 \)
बट्टा \( D = MP - SP \)
\( = 75 - 60 = \text{Rs } 15 \)
बट्टे की प्रतिशत दर \( = \frac{D}{MP} \times 100 \)
\( = \frac{15}{75} \times 100 \)
\( = \frac{1}{5} \times 100 = 20\% \)
अतः, दुकानदार \( 20\% \) की छूट प्रदान करता है। छूट प्रतिशत बताता है कि अंकित मूल्य पर कितने प्रतिशत की कमी की गई है।
In simple words: एक किताब पर Rs 75 का मूल्य था लेकिन उसे Rs 60 में बेचा गया। इसका मतलब Rs 15 की छूट मिली। यह छूट कुल मूल्य का \( 20\% \) थी।

🎯 Exam Tip: छूट प्रतिशत की गणना हमेशा अंकित मूल्य के सापेक्ष की जाती है, विक्रय मूल्य के सापेक्ष नहीं।

Question 15. एक रेडियो का अंकित मूल्य ₹ 500 है तथा वह ग्राहक को 450 में उपलब्ध है। बताइए उस पर किस प्रतिशत दर से बट्टा दिया जा रहा है?
Answer:
अंकित मूल्य \( MP = \text{Rs } 500 \)
विक्रय मूल्य \( SP = \text{Rs } 450 \)
बट्टा \( D = MP - SP \)
\( = 500 - 450 = \text{Rs } 50 \)
बट्टे की प्रतिशत दर \( = \frac{D}{MP} \times 100 \)
\( = \frac{50}{500} \times 100 \)
\( = \frac{1}{10} \times 100 = 10\% \)
अतः, रेडियो पर \( 10\% \) की छूट दी जा रही है। यह प्रतिशत दर ग्राहक को मिलने वाले लाभ को दर्शाती है।
In simple words: रेडियो का टैग Rs 500 था, लेकिन वह Rs 450 में मिला। यानी Rs 50 की छूट मिली। यह छूट \( 10\% \) के बराबर है।

🎯 Exam Tip: यदि आपको छूट प्रतिशत ज्ञात करना है, तो पहले अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर निकालें, जो बट्टा होता है।

Question 16. एक सन्दूक का विक्रय मूल्य ₹ 1,400 है और दुकानदार ग्राहकों को 30% का बट्टा प्रदान करता है। सन्दूक का अंकित मूल्य ज्ञात कीजिए ।
Answer:
विक्रय मूल्य \( SP = \text{Rs } 1,400 \)
बट्टा प्रतिशत \( = 30\% \)
यदि अंकित मूल्य (MP) Rs 100 है, तो बट्टा Rs 30 होगा।
तब विक्रय मूल्य \( = 100 - 30 = \text{Rs } 70 \)
यदि विक्रय मूल्य Rs 70 है, तो अंकित मूल्य Rs 100 है।
यदि विक्रय मूल्य Rs 1 है, तो अंकित मूल्य \( = \frac{100}{70} \)
यदि विक्रय मूल्य Rs 1,400 है, तो अंकित मूल्य \( = \frac{100}{70} \times 1400 \)
\( = 100 \times 20 = 2,000 \)
अतः, सन्दूक का अंकित मूल्य Rs 2,000 है। यह वह कीमत है जो बिना छूट के लागू होती है।
In simple words: एक सन्दूक Rs 1,400 में बेचा गया और उस पर \( 30\% \) की छूट थी। इसका मतलब है कि बेचने का मूल्य असली कीमत का \( 70\% \) था। तो, असली कीमत (अंकित मूल्य) Rs 2,000 थी।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, अंकित मूल्य को \( x \) मानकर समीकरण बनाना या एकात्मक विधि का उपयोग करना प्रभावी होता है।

अभ्यास 7(f)

Question 1. निम्नांकित प्रश्नों के उत्तर में सही विकल्प चुनिए -
(a) 150 का 4% वार्षिक ब्याज की दर से 1 वर्ष का साधारण ब्याज होगा –
(i) ₹2
(ii) ₹4
(iii) ₹6
(iv) ₹7
Answer: (iii) ₹6
In simple words: Rs 150 पर एक साल के लिए \( 4\% \) का साधारण ब्याज Rs 6 होगा।

🎯 Exam Tip: साधारण ब्याज के लिए, \( SI = \frac{P \times R \times T}{100} \) सूत्र का उपयोग करें और मानों को सही ढंग से रखें।

Question 1. (b) 200 का 5% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज होगा –
(i) ₹10
(ii) ₹20
(iii) ₹30
(iv) ₹40
Answer: (ii) ₹20
In simple words: Rs 200 पर दो साल के लिए \( 5\% \) का साधारण ब्याज Rs 20 होगा।

🎯 Exam Tip: छोटे गणना वाले MCQ में, समय बचाने के लिए मानसिक गणना (mental calculation) का अभ्यास करें।

Question 2. ₹ 800 का 5% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज कितना होगा ?
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 800 \)
दर \( R = 5\% \)
समय \( T = 2 \) वर्ष
पहले वर्ष का ब्याज \( = \frac{800 \times 5 \times 1}{100} = \text{Rs } 40 \)
पहले वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 800 + 40 = \text{Rs } 840 \)
दूसरे वर्ष के लिए मूलधन \( = \text{Rs } 840 \)
दूसरे वर्ष का ब्याज \( = \frac{840 \times 5 \times 1}{100} = \text{Rs } 42 \)
दूसरे वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 840 + 42 = \text{Rs } 882 \)
चक्रवृद्धि ब्याज \( = \) मिश्रधन \( - \) मूलधन \( = 882 - 800 = \text{Rs } 82 \)
अतः, चक्रवृद्धि ब्याज Rs 82 होगा। चक्रवृद्धि ब्याज में ब्याज पर भी ब्याज लगता है।
In simple words: Rs 800 पर \( 5\% \) की दर से 2 साल का चक्रवृद्धि ब्याज Rs 82 होगा। पहले साल Rs 40 ब्याज लगेगा, और दूसरे साल Rs 42 (बढ़े हुए मूलधन पर)।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि ब्याज की गणना में, हर साल के अंत में मिश्रधन अगले साल के लिए मूलधन बन जाता है।

Question 3. ₹ 1,250 का 4% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 1,250 \)
दर \( R = 4\% \)
समय \( T = 2 \) वर्ष
पहले वर्ष का ब्याज \( = \frac{1250 \times 4 \times 1}{100} = \text{Rs } 50 \)
पहले वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 1250 + 50 = \text{Rs } 1,300 \)
दूसरे वर्ष के लिए मूलधन \( = \text{Rs } 1,300 \)
दूसरे वर्ष का ब्याज \( = \frac{1300 \times 4 \times 1}{100} = \text{Rs } 52 \)
दूसरे वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 1300 + 52 = \text{Rs } 1,352 \)
चक्रवृद्धि ब्याज \( = \) मिश्रधन \( - \) मूलधन \( = 1352 - 1250 = \text{Rs } 102 \)
अतः, चक्रवृद्धि ब्याज Rs 102 होगा। चक्रवृद्धि ब्याज में मूलधन तेजी से बढ़ता है क्योंकि ब्याज भी जुड़ता रहता है।
In simple words: Rs 1,250 पर \( 4\% \) की दर से 2 साल का चक्रवृद्धि ब्याज Rs 102 होगा।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करते समय, प्रत्येक वर्ष के लिए ब्याज को अलग-अलग निकालना और उसे मूलधन में जोड़ना सुनिश्चित करें।

Question 4. ₹2400 के ऋण को 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष बाद चुकता किया गया। देय चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए ।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 2,400 \)
दर \( R = 10\% \)
समय \( T = 2 \) वर्ष
पहले वर्ष का ब्याज \( = \frac{2400 \times 10 \times 1}{100} = \text{Rs } 240 \)
पहले वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 2400 + 240 = \text{Rs } 2,640 \)
दूसरे वर्ष के लिए मूलधन \( = \text{Rs } 2,640 \)
दूसरे वर्ष का ब्याज \( = \frac{2640 \times 10 \times 1}{100} = \text{Rs } 264 \)
दूसरे वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 2640 + 264 = \text{Rs } 2,904 \)
चक्रवृद्धि ब्याज \( = \) मिश्रधन \( - \) मूलधन \( = 2904 - 2400 = \text{Rs } 504 \)
अतः, देय चक्रवृद्धि ब्याज Rs 504 है। ऋण पर चक्रवृद्धि ब्याज कुल चुकाई जाने वाली राशि को बढ़ा देता है।
In simple words: Rs 2,400 के ऋण पर \( 10\% \) चक्रवृद्धि ब्याज दर से 2 साल बाद Rs 504 ब्याज चुकाना होगा।

🎯 Exam Tip: देय चक्रवृद्धि ब्याज की गणना में, प्रत्येक अवधि के लिए मिश्रधन को सही ढंग से अगले अवधि के मूलधन के रूप में उपयोग करें।

Question 5. 4,000 के 10% वार्षिक ब्याज की दर से 3 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज एवं साधारण ब्याज में अन्तर ज्ञात कीजिए।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 4,000 \)
दर \( R = 10\% \)
समय \( T = 3 \) वर्ष

**चक्रवृद्धि ब्याज (CI) की गणना:**
पहले वर्ष का ब्याज \( = \frac{4000 \times 10 \times 1}{100} = \text{Rs } 400 \)
पहले वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 4000 + 400 = \text{Rs } 4,400 \)
दूसरे वर्ष के लिए मूलधन \( = \text{Rs } 4,400 \)
दूसरे वर्ष का ब्याज \( = \frac{4400 \times 10 \times 1}{100} = \text{Rs } 440 \)
दूसरे वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 4400 + 440 = \text{Rs } 4,840 \)
तीसरे वर्ष के लिए मूलधन \( = \text{Rs } 4,840 \)
तीसरे वर्ष का ब्याज \( = \frac{4840 \times 10 \times 1}{100} = \text{Rs } 484 \)
तीसरे वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 4840 + 484 = \text{Rs } 5,324 \)
चक्रवृद्धि ब्याज \( CI = 5324 - 4000 = \text{Rs } 1,324 \)

**साधारण ब्याज (SI) की गणना:**
साधारण ब्याज \( SI = \frac{P \times R \times T}{100} \)
\( = \frac{4000 \times 10 \times 3}{100} = \text{Rs } 1,200 \)

**अंतर की गणना:**
चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज में अंतर \( = CI - SI \)
\( = 1324 - 1200 = \text{Rs } 124 \)
अतः, चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज में अंतर Rs 124 है। यह अंतर दिखाता है कि चक्रवृद्धि ब्याज साधारण ब्याज से कितना अधिक होता है।
In simple words: Rs 4,000 पर \( 10\% \) ब्याज दर से 3 साल का चक्रवृद्धि ब्याज Rs 1,324 होगा और साधारण ब्याज Rs 1,200 होगा। इन दोनों ब्याजों के बीच का अंतर Rs 124 है।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के अंतर वाले प्रश्नों में, दोनों ब्याजों की गणना अलग-अलग करें और फिर उनका अंतर निकालें।

Question 7. अब्दुल ने बैंक की बचत खाता में ₹ 1,500 जमा किए। 2 वर्ष बाद उसे कुल कितने रुपये ब्याज मिले, यदि बैंक 4% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज देता हो ।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 1,500 \)
समय \( T = 2 \) वर्ष
दर \( R = 4\% \)
पहले वर्ष का ब्याज \( = \frac{1500 \times 4 \times 1}{100} = \text{Rs } 60 \)
पहले वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 1500 + 60 = \text{Rs } 1,560 \)
दूसरे वर्ष के लिए मूलधन \( = \text{Rs } 1,560 \)
दूसरे वर्ष का ब्याज \( = \frac{1560 \times 4 \times 1}{100} = \text{Rs } 62.40 \)
दूसरे वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 1560 + 62.40 = \text{Rs } 1,622.40 \)
कुल ब्याज (चक्रवृद्धि ब्याज) \( = \) मिश्रधन \( - \) मूलधन \( = 1622.40 - 1500 = \text{Rs } 122.40 \)
अतः, अब्दुल को Rs 122.40 ब्याज मिले। यह दर्शाता है कि बचत खाते में पैसा कैसे बढ़ता है।
In simple words: अब्दुल ने Rs 1,500 बैंक में जमा किए। \( 4\% \) चक्रवृद्धि ब्याज दर से 2 साल बाद उसे कुल Rs 122.40 ब्याज मिला।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि ब्याज की गणना में, हमेशा सुनिश्चित करें कि आप पिछले वर्ष के मिश्रधन को अगले वर्ष के लिए नया मूलधन मान रहे हैं।

Question 8. ₹8,000 का 3 वर्ष का 5% वार्षिक ब्याज की दर से चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 8,000 \)
समय \( T = 3 \) वर्ष
दर \( R = 5\% \)
पहले वर्ष का ब्याज \( = \frac{8000 \times 5 \times 1}{100} = \text{Rs } 400 \)
पहले वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 8000 + 400 = \text{Rs } 8,400 \)
दूसरे वर्ष के लिए मूलधन \( = \text{Rs } 8,400 \)
दूसरे वर्ष का ब्याज \( = \frac{8400 \times 5 \times 1}{100} = \text{Rs } 420 \)
दूसरे वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 8400 + 420 = \text{Rs } 8,820 \)
तीसरे वर्ष के लिए मूलधन \( = \text{Rs } 8,820 \)
तीसरे वर्ष का ब्याज \( = \frac{8820 \times 5 \times 1}{100} = \text{Rs } 441 \)
तीसरे वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 8820 + 441 = \text{Rs } 9,261 \)
चक्रवृद्धि ब्याज \( = \) मिश्रधन \( - \) मूलधन \( = 9261 - 8000 = \text{Rs } 1,261 \)
अतः, चक्रवृद्धि ब्याज Rs 1,261 है। चक्रवृद्धि ब्याज की वजह से कुल राशि तेजी से बढ़ती है।
In simple words: Rs 8,000 पर \( 5\% \) की दर से 3 साल का चक्रवृद्धि ब्याज Rs 1,261 होगा। हर साल का ब्याज पिछले साल के मिश्रधन पर लगता है।

🎯 Exam Tip: तीन साल के चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप प्रत्येक वर्ष के ब्याज की सही गणना कर रहे हैं और उसे पिछले वर्ष के मिश्रधन में जोड़ रहे हैं।

Question 9. 1,600 का 12.5% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन ज्ञात कीजिए ।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 1,600 \)
दर \( R = 12.5\% \)
समय \( T = 2 \) वर्ष
पहले वर्ष का ब्याज \( = \frac{1600 \times 12.5 \times 1}{100} = \text{Rs } 200 \)
पहले वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 1600 + 200 = \text{Rs } 1,800 \)
दूसरे वर्ष के लिए मूलधन \( = \text{Rs } 1,800 \)
दूसरे वर्ष का ब्याज \( = \frac{1800 \times 12.5 \times 1}{100} = \text{Rs } 225 \)
दूसरे वर्ष के अंत में मिश्रधन \( = 1800 + 225 = \text{Rs } 2,025 \)
अतः, चक्रवृद्धि मिश्रधन Rs 2,025 है। चक्रवृद्धि मिश्रधन वह कुल राशि होती है जो अंत में मिलती है।
In simple words: Rs 1,600 पर \( 12.5\% \) की दर से 2 साल बाद कुल Rs 2,025 का चक्रवृद्धि मिश्रधन मिलेगा।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि मिश्रधन की गणना में, अंतिम मिश्रधन ही प्रश्न का उत्तर होता है, यदि ब्याज की राशि नहीं पूछी गई हो।

अभ्यास 7(g)

Question 1. ₹ 500 को 10% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 500 \)
दर \( R = 10\% \)
समय \( n = 2 \) वर्ष
हम चक्रवृद्धि मिश्रधन के सूत्र का उपयोग करेंगे: \( A = P\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \)
\( A = 500\left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 \)
\( A = 500\left(1 + \frac{1}{10}\right)^2 \)
\( A = 500\left(\frac{10 + 1}{10}\right)^2 \)
\( A = 500\left(\frac{11}{10}\right)^2 \)
\( A = 500 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \)
\( A = 500 \times \frac{121}{100} \)
\( A = 5 \times 121 = \text{Rs } 605 \)
चक्रवृद्धि ब्याज \( CI = A - P \)
\( = 605 - 500 = \text{Rs } 105 \)
अतः, चक्रवृद्धि ब्याज Rs 105 है। सूत्र का उपयोग करने से गणना सरल हो जाती है।
In simple words: Rs 500 पर \( 10\% \) ब्याज दर से 2 साल का चक्रवृद्धि मिश्रधन Rs 605 होगा, जिसमें से Rs 500 मूलधन है और Rs 105 ब्याज है।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि मिश्रधन के सूत्र \( A = P\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \) को याद रखें, यह लम्बी गणनाओं को आसान बनाता है।

Question 2. ₹ 400 का 5% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 400 \)
दर \( R = 5\% \)
समय \( n = 2 \) वर्ष
चक्रवृद्धि मिश्रधन \( A = P\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \)
\( A = 400\left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 \)
\( A = 400\left(1 + \frac{1}{20}\right)^2 \)
\( A = 400\left(\frac{20 + 1}{20}\right)^2 \)
\( A = 400\left(\frac{21}{20}\right)^2 \)
\( A = 400 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \)
\( A = 400 \times \frac{441}{400} = \text{Rs } 441 \)
चक्रवृद्धि ब्याज \( CI = A - P \)
\( = 441 - 400 = \text{Rs } 41 \)
अतः, चक्रवृद्धि ब्याज Rs 41 है। छोटे मानों के लिए भी सूत्र का उपयोग करना आसान होता है।
In simple words: Rs 400 पर \( 5\% \) ब्याज दर से 2 साल का चक्रवृद्धि मिश्रधन Rs 441 होगा। इसमें मूलधन Rs 400 और ब्याज Rs 41 है।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को सरल करना गणना को आसान बनाता है, जैसे \( \frac{5}{100} \) को \( \frac{1}{20} \) में बदलना।

Question 3. 1,000 का 10% वार्षिक ब्याज की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन कितना होगा?
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 1,000 \)
दर \( R = 10\% \)
समय \( n = 3 \) वर्ष
चक्रवृद्धि मिश्रधन \( A = P\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \)
\( A = 1000\left(1 + \frac{10}{100}\right)^3 \)
\( A = 1000\left(1 + \frac{1}{10}\right)^3 \)
\( A = 1000\left(\frac{11}{10}\right)^3 \)
\( A = 1000 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \)
\( A = 1000 \times \frac{1331}{1000} = \text{Rs } 1,331 \)
अतः, चक्रवृद्धि मिश्रधन Rs 1,331 होगा। यह दर्शाता है कि 3 साल बाद कुल कितनी राशि प्राप्त होगी।
In simple words: Rs 1,000 पर \( 10\% \) ब्याज दर से 3 साल का चक्रवृद्धि मिश्रधन Rs 1,331 होगा।

🎯 Exam Tip: तीन साल की गणना में, घात (power) को सही ढंग से लागू करना सुनिश्चित करें और किसी भी शून्य को हटाने में सावधानी बरतें।

Question 4. ₹8,000 का 10% वार्षिक ब्याज की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन ज्ञात कीजिए।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 8,000 \)
दर \( R = 10\% \)
समय \( n = 3 \) वर्ष
चक्रवृद्धि मिश्रधन \( A = P\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \)
\( A = 8000\left(1 + \frac{10}{100}\right)^3 \)
\( A = 8000\left(1 + \frac{1}{10}\right)^3 \)
\( A = 8000\left(\frac{11}{10}\right)^3 \)
\( A = 8000 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \)
\( A = 8000 \times \frac{1331}{1000} \)
\( A = 8 \times 1331 = \text{Rs } 10,648 \)
अतः, चक्रवृद्धि मिश्रधन Rs 10,648 होगा। बड़ी राशियों के लिए भी सूत्र का उपयोग करना प्रभावी होता है।
In simple words: Rs 8,000 पर \( 10\% \) ब्याज दर से 3 साल का चक्रवृद्धि मिश्रधन Rs 10,648 होगा।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप \( (1 + \frac{R}{100})^n \) भाग की सही गणना कर रहे हैं, क्योंकि इसमें अक्सर गणना त्रुटियाँ हो सकती हैं।

Question 5. 3,000 का 10% वार्षिक ब्याज की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन एवं चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 3,000 \)
दर \( R = 10\% \)
समय \( n = 3 \) वर्ष
चक्रवृद्धि मिश्रधन \( A = P\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \)
\( A = 3000\left(1 + \frac{10}{100}\right)^3 \)
\( A = 3000\left(1 + \frac{1}{10}\right)^3 \)
\( A = 3000\left(\frac{11}{10}\right)^3 \)
\( A = 3000 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \)
\( A = 3000 \times \frac{1331}{1000} \)
\( A = 3 \times 1331 = \text{Rs } 3,993 \)
चक्रवृद्धि ब्याज \( CI = A - P \)
\( = 3993 - 3000 = \text{Rs } 993 \)
अतः, चक्रवृद्धि मिश्रधन Rs 3,993 और चक्रवृद्धि ब्याज Rs 993 है। दोनों मानों की गणना एक ही प्रक्रिया से की जाती है।
In simple words: Rs 3,000 पर \( 10\% \) ब्याज दर से 3 साल का चक्रवृद्धि मिश्रधन Rs 3,993 होगा और चक्रवृद्धि ब्याज Rs 993 होगा।

🎯 Exam Tip: यदि प्रश्न में मिश्रधन और ब्याज दोनों पूछे गए हों, तो पहले मिश्रधन की गणना करें और फिर मूलधन घटाकर ब्याज ज्ञात करें।

Question 6. ₹ 1,600 का 5% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए ।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 1,600 \)
दर \( R = 5\% \)
समय \( n = 2 \) वर्ष
चक्रवृद्धि मिश्रधन \( A = P\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \)
\( A = 1600\left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 \)
\( A = 1600\left(1 + \frac{1}{20}\right)^2 \)
\( A = 1600\left(\frac{21}{20}\right)^2 \)
\( A = 1600 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \)
\( A = 1600 \times \frac{441}{400} \)
\( A = 4 \times 441 = \text{Rs } 1,764 \)
चक्रवृद्धि ब्याज \( CI = A - P \)
\( = 1764 - 1600 = \text{Rs } 164 \)
अतः, चक्रवृद्धि ब्याज Rs 164 है। यह दर्शाता है कि 2 साल में कितनी अतिरिक्त राशि अर्जित होगी।
In simple words: Rs 1,600 पर \( 5\% \) ब्याज दर से 2 साल का चक्रवृद्धि मिश्रधन Rs 1,764 होगा, जिसका मतलब है Rs 164 का चक्रवृद्धि ब्याज।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि ब्याज के छोटे अवधियों के प्रश्नों में, चरण-दर-चरण विधि या सूत्र, दोनों का उपयोग किया जा सकता है, जो भी आपको आसान लगे।

Question 7. ₹ 6,250 का 4% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 6,250 \)
दर \( R = 4\% \)
समय \( n = 2 \) वर्ष
चक्रवृद्धि मिश्रधन \( A = P\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \)
\( A = 6250\left(1 + \frac{4}{100}\right)^2 \)
\( A = 6250\left(1 + \frac{1}{25}\right)^2 \)
\( A = 6250\left(\frac{26}{25}\right)^2 \)
\( A = 6250 \times \frac{26}{25} \times \frac{26}{25} \)
\( A = 6250 \times \frac{676}{625} \)
\( A = 10 \times 676 = \text{Rs } 6,760 \)
चक्रवृद्धि ब्याज \( CI = A - P \)
\( = 6760 - 6250 = \text{Rs } 510 \)
अतः, चक्रवृद्धि ब्याज Rs 510 है। यह ब्याज की गणना बैंक बचत योजनाओं में महत्वपूर्ण होती है।
In simple words: Rs 6,250 पर \( 4\% \) ब्याज दर से 2 साल का चक्रवृद्धि मिश्रधन Rs 6,760 होगा। इसका मतलब Rs 510 का चक्रवृद्धि ब्याज मिला।

🎯 Exam Tip: गणना में, \( 25 \times 25 = 625 \) याद रखने से \( \frac{6250}{625} \) को सीधे \( 10 \) में सरल करना आसान हो जाता है।

Question 8. नसीम ने ₹ 5,000 अपने समीप के ग्रामीण बैंक में सावधि जमा योजना में 3 वर्ष के लिए 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर पर जमा किया। 3 वर्ष पश्चात् उसे बैंक से कितने रुपये प्राप्त होंगे।
Answer:
मूलधन \( P = \text{Rs } 5,000 \)
समय \( n = 3 \) वर्ष
दर \( R = 10\% \)
चक्रवृद्धि मिश्रधन \( A = P\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \)
\( A = 5000\left(1 + \frac{10}{100}\right)^3 \)
\( A = 5000\left(1 + \frac{1}{10}\right)^3 \)
\( A = 5000\left(\frac{11}{10}\right)^3 \)
\( A = 5000 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \)
\( A = 5000 \times \frac{1331}{1000} \)
\( A = 5 \times 1331 = \text{Rs } 6,655 \)
अतः, नसीम को 3 वर्ष पश्चात् बैंक से Rs 6,655 प्राप्त होंगे। सावधि जमा योजनाओं में चक्रवृद्धि ब्याज से अच्छा रिटर्न मिलता है।
In simple words: नसीम ने Rs 5,000 बैंक में 3 साल के लिए जमा किए, जिसमें \( 10\% \) चक्रवृद्धि ब्याज मिलेगा। 3 साल बाद उसे कुल Rs 6,655 मिलेंगे।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप प्रश्न को ध्यान से पढ़ें कि क्या चक्रवृद्धि ब्याज या मिश्रधन पूछा गया है, ताकि आप सही अंतिम मान प्रदान कर सकें।

Question 9. हेमलता ने 2,500 डाकघर के अपने बचत खाते में जमा किया। 2 वर्ष बाद उसे कुल कितने रुपये मिले, यदि ब्याज दर 4% वार्षिक चक्रवृद्धि हो?
Answer: हेमलता द्वारा जमा की गई मूलधन राशि \( P = \text{Rs } 2,500 \)। ब्याज दर \( r = 4\% \) प्रति वर्ष है और समय अवधि \( n = 2 \) वर्ष है।
चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) ज्ञात करने का सूत्र है:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 2,500\left(1 + \frac{4}{100}\right)^2 \)
\( A = 2,500\left(1 + \frac{1}{25}\right)^2 \)
\( A = 2,500\left(\frac{25+1}{25}\right)^2 \)
\( A = 2,500\left(\frac{26}{25}\right)^2 \)
\( A = 2,500 \times \frac{26}{25} \times \frac{26}{25} \)
\( A = \frac{2500 \times 26 \times 26}{25 \times 25} \)
\( A = 100 \times 26 \times 26 \div 25 \)
\( A = 4 \times 26 \times 26 \)
\( A = 4 \times 676 \)
\( A = \text{Rs } 2,704 \)
इसलिए, हेमलता को 2 वर्ष बाद कुल 2,704 रुपये मिलेंगे। यह चक्रवृद्धि ब्याज की शक्ति को दर्शाता है, जहाँ ब्याज पर भी ब्याज मिलता है।
In simple words: हेमलता ने बैंक में 2,500 रुपये जमा किए। बैंक ने 4% चक्रवृद्धि ब्याज दिया। दो साल बाद, हेमलता को कुल 2,704 रुपये मिले, जिसमें मूलधन और ब्याज दोनों शामिल हैं।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि मिश्रधन ज्ञात करने के लिए हमेशा सूत्र \( A = P(1 + \frac{r}{100})^n \) का सही ढंग से उपयोग करें और गणना करते समय भिन्नों को सरल करना न भूलें।

Question 10. डेविड ने 1,600 का ऋण 2.5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर पर लिया। 2 वर्ष बाद उसने ऋण का भुगतान कर दिया। बताइए उसे कुल कितने रुपये भुगतान करने पड़े तथा कितने रुपये ब्याज देने पड़े ?
Answer: डेविड ने 1,600 रुपये का ऋण लिया। मूलधन \( P = \text{Rs } 1,600 \)। ब्याज दर \( r = 2.5\% \) वार्षिक चक्रवृद्धि है और समय अवधि \( n = 2 \) वर्ष है।
चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) ज्ञात करने का सूत्र है:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 1,600\left(1 + \frac{2.5}{100}\right)^2 \)
\( A = 1,600\left(1 + \frac{25}{1000}\right)^2 \)
\( A = 1,600\left(1 + \frac{1}{40}\right)^2 \)
\( A = 1,600\left(\frac{40+1}{40}\right)^2 \)
\( A = 1,600\left(\frac{41}{40}\right)^2 \)
\( A = 1,600 \times \frac{41}{40} \times \frac{41}{40} \)
\( A = \frac{1600 \times 41 \times 41}{40 \times 40} \)
\( A = \frac{1600 \times 1681}{1600} \)
\( A = \text{Rs } 1,681 \)
डेविड को कुल 1,681 रुपये का भुगतान करना पड़ा।
अब, चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करने के लिए, हम मिश्रधन में से मूलधन घटाते हैं:
चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन - मूलधन
चक्रवृद्धि ब्याज = \( \text{Rs } 1,681 - \text{Rs } 1,600 \)
चक्रवृद्धि ब्याज = \( \text{Rs } 81 \)
तो, डेविड को कुल 81 रुपये ब्याज के रूप में देने पड़े। चक्रवृद्धि ब्याज समय के साथ मूलधन को बढ़ाता है, जिससे भुगतान की जाने वाली कुल राशि बढ़ जाती है।
In simple words: डेविड ने 1,600 रुपये उधार लिए और 2.5% चक्रवृद्धि ब्याज दिया। दो साल बाद, उसने कुल 1,681 रुपये वापस किए। इसमें 1,600 रुपये मूलधन और 81 रुपये ब्याज था।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करते समय, यह समझना महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक अवधि के बाद ब्याज मूलधन में जुड़ जाता है, जिससे अगली अवधि के लिए अधिक ब्याज लगता है।

Question 11. डिम्पल ने ₹ 5,120 बैंक में, 2 वर्ष के लिए 64% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर पर जमा किया। अवधि के पश्चात् उसे कुल कितने रुपये मिलेंगे ?
Answer: डिम्पल ने बैंक में 5,120 रुपये जमा किए। मूलधन \( P = \text{Rs } 5,120 \)। ब्याज दर \( r = 6\frac{1}{4}\% = 6.25\% \) वार्षिक चक्रवृद्धि है और समय अवधि \( n = 2 \) वर्ष है।
चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) ज्ञात करने का सूत्र है:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 5,120\left(1 + \frac{6.25}{100}\right)^2 \)
\( A = 5,120\left(1 + \frac{625}{10000}\right)^2 \)
\( A = 5,120\left(1 + \frac{1}{16}\right)^2 \)
\( A = 5,120\left(\frac{16+1}{16}\right)^2 \)
\( A = 5,120\left(\frac{17}{16}\right)^2 \)
\( A = 5,120 \times \frac{17}{16} \times \frac{17}{16} \)
\( A = \frac{5120 \times 17 \times 17}{16 \times 16} \)
\( A = 320 \times 17 \times 17 \div 16 \) (क्योंकि 5120 / 16 = 320)
\( A = 20 \times 17 \times 17 \) (क्योंकि 320 / 16 = 20)
\( A = 20 \times 289 \)
\( A = \text{Rs } 5,780 \)
अवधि के पश्चात् डिम्पल को कुल 5,780 रुपये मिलेंगे। यह जमा की गई राशि पर मिलने वाले चक्रवृद्धि ब्याज को दर्शाता है।
In simple words: डिम्पल ने बैंक में 5,120 रुपये जमा किए। बैंक ने 6.25% चक्रवृद्धि ब्याज दिया। दो साल के बाद, डिम्पल को अपने खाते से कुल 5,780 रुपये मिलेंगे।

🎯 Exam Tip: जब ब्याज दर भिन्नात्मक हो, तो उसे दशमलव में बदलें और फिर उसे सरलतम भिन्न के रूप में लिखें ताकि गणना आसान हो जाए।

अभ्यास 7 (h)

Question 1. ₹ 400 का 5% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन।
Answer: मूलधन \( P = \text{Rs } 400 \)। ब्याज दर \( r = 5\% \) वार्षिक है और समय अवधि \( n = 2 \) वर्ष है।
चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) ज्ञात करने का सूत्र है:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 400\left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 \)
\( A = 400\left(1 + \frac{1}{20}\right)^2 \)
\( A = 400\left(\frac{20+1}{20}\right)^2 \)
\( A = 400\left(\frac{21}{20}\right)^2 \)
\( A = 400 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \)
\( A = \frac{400 \times 21 \times 21}{20 \times 20} \)
\( A = \frac{400 \times 441}{400} \)
\( A = \text{Rs } 441 \)
2 वर्ष के बाद चक्रवृद्धि मिश्रधन 441 रुपये होगा। यह चक्रवृद्धि ब्याज की सीधी गणना है।
In simple words: 400 रुपये पर 5% सालाना ब्याज की दर से 2 साल का चक्रवृद्धि ब्याज जोड़कर कुल 441 रुपये बनेंगे।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि मिश्रधन की गणना करते समय, \( (1 + \frac{r}{100})^n \) भाग को पहले हल करें ताकि गणना में कोई गलती न हो।

Question 2. ₹ 500 का 10% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन।
Answer: मूलधन \( P = \text{Rs } 500 \)। ब्याज दर \( r = 10\% \) वार्षिक है और समय अवधि \( n = 2 \) वर्ष है।
चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) ज्ञात करने का सूत्र है:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 500\left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 \)
\( A = 500\left(1 + \frac{1}{10}\right)^2 \)
\( A = 500\left(\frac{10+1}{10}\right)^2 \)
\( A = 500\left(\frac{11}{10}\right)^2 \)
\( A = 500 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \)
\( A = \frac{500 \times 11 \times 11}{10 \times 10} \)
\( A = \frac{500 \times 121}{100} \)
\( A = 5 \times 121 \)
\( A = \text{Rs } 605 \)
2 वर्ष के बाद चक्रवृद्धि मिश्रधन 605 रुपये होगा। यह दर्शाता है कि समय के साथ निवेश कैसे बढ़ता है।
In simple words: 500 रुपये पर 10% सालाना ब्याज की दर से 2 साल का चक्रवृद्धि ब्याज जोड़कर कुल 605 रुपये बनेंगे।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप ब्याज दर और समय अवधि को सूत्र में सही ढंग से बदलें। यदि दर प्रतिशत में है, तो उसे 100 से भाग देना आवश्यक है।

Question 3. ₹ 625 का 4% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष की चक्रवृद्धि ब्याज ।
Answer: मूलधन \( P = \text{Rs } 625 \)। ब्याज दर \( r = 4\% \) वार्षिक है और समय अवधि \( n = 2 \) वर्ष है।
पहले हम चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) ज्ञात करेंगे:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 625\left(1 + \frac{4}{100}\right)^2 \)
\( A = 625\left(1 + \frac{1}{25}\right)^2 \)
\( A = 625\left(\frac{25+1}{25}\right)^2 \)
\( A = 625\left(\frac{26}{25}\right)^2 \)
\( A = 625 \times \frac{26}{25} \times \frac{26}{25} \)
\( A = \frac{625 \times 26 \times 26}{25 \times 25} \)
\( A = \frac{625 \times 676}{625} \)
\( A = \text{Rs } 676 \)
अब, चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करने के लिए, हम मिश्रधन में से मूलधन घटाते हैं:
चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन - मूलधन
चक्रवृद्धि ब्याज = \( \text{Rs } 676 - \text{Rs } 625 \)
चक्रवृद्धि ब्याज = \( \text{Rs } 51 \)
तो, 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज 51 रुपये होगा। यह दर्शाता है कि मूलधन पर कितना अतिरिक्त पैसा कमाया गया।
In simple words: 625 रुपये पर 4% सालाना ब्याज की दर से 2 साल में कुल ब्याज 51 रुपये होगा।

🎯 Exam Tip: यदि प्रश्न में चक्रवृद्धि ब्याज पूछा गया है, तो मिश्रधन की गणना करने के बाद मूलधन को घटाना न भूलें।

Question 4. ₹ 1,000 का 10% वार्षिक ब्याज की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ।
Answer: मूलधन \( P = \text{Rs } 1,000 \)। ब्याज दर \( r = 10\% \) वार्षिक है और समय अवधि \( n = 3 \) वर्ष है।
पहले हम चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) ज्ञात करेंगे:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 1,000\left(1 + \frac{10}{100}\right)^3 \)
\( A = 1,000\left(1 + \frac{1}{10}\right)^3 \)
\( A = 1,000\left(\frac{10+1}{10}\right)^3 \)
\( A = 1,000\left(\frac{11}{10}\right)^3 \)
\( A = 1,000 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \)
\( A = \frac{1000 \times 11 \times 11 \times 11}{10 \times 10 \times 10} \)
\( A = \frac{1000 \times 1331}{1000} \)
\( A = \text{Rs } 1,331 \)
अब, चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करने के लिए, हम मिश्रधन में से मूलधन घटाते हैं:
चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन - मूलधन
चक्रवृद्धि ब्याज = \( \text{Rs } 1,331 - \text{Rs } 1,000 \)
चक्रवृद्धि ब्याज = \( \text{Rs } 331 \)
तो, 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज 331 रुपये होगा। लंबी अवधि में, चक्रवृद्धि ब्याज निवेश को काफी बढ़ा देता है।
In simple words: 1,000 रुपये पर 10% सालाना ब्याज की दर से 3 साल में कुल ब्याज 331 रुपये होगा।

🎯 Exam Tip: जब समय अवधि 3 वर्ष हो, तो घात 3 का ध्यान रखें और गणना को सावधानी से करें, क्योंकि छोटी सी गलती भी अंतिम परिणाम को बदल सकती है।

Question 5. ₹ 16,000 का 5% वार्षिक ब्याज की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ।
Answer: मूलधन \( P = \text{Rs } 16,000 \)। ब्याज दर \( r = 5\% \) वार्षिक है और समय अवधि \( n = 3 \) वर्ष है।
पहले हम चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) ज्ञात करेंगे:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 16,000\left(1 + \frac{5}{100}\right)^3 \)
\( A = 16,000\left(1 + \frac{1}{20}\right)^3 \)
\( A = 16,000\left(\frac{20+1}{20}\right)^3 \)
\( A = 16,000\left(\frac{21}{20}\right)^3 \)
\( A = 16,000 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \)
\( A = \frac{16000 \times 21 \times 21 \times 21}{20 \times 20 \times 20} \)
\( A = \frac{16000 \times 9261}{8000} \)
\( A = 2 \times 9261 \)
\( A = \text{Rs } 18,522 \)
अब, चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करने के लिए, हम मिश्रधन में से मूलधन घटाते हैं:
चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन - मूलधन
चक्रवृद्धि ब्याज = \( \text{Rs } 18,522 - \text{Rs } 16,000 \)
चक्रवृद्धि ब्याज = \( \text{Rs } 2,522 \)
तो, 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज 2,522 रुपये होगा। यह दिखाता है कि एक बड़ी मूल राशि पर भी चक्रवृद्धि ब्याज कैसे अच्छी वापसी देता है।
In simple words: 16,000 रुपये पर 5% सालाना ब्याज की दर से 3 साल में कुल ब्याज 2,522 रुपये होगा।

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्या वाले प्रश्नों में गणना को सरल बनाने के लिए सामान्य गुणनखंडों को पहले काट देना बहुत उपयोगी होता है।

Question 6. मनोज ने 2,500 बैंक में अपने बचत खाते में जमा किया। 2 वर्ष बाद उसे कुल कितने रुपये ब्याज के रूप में मिले, यदि बचत खाते में 4% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज देय हो ?
Answer: मनोज ने बैंक में 2,500 रुपये जमा किए। मूलधन \( P = \text{Rs } 2,500 \)। ब्याज दर \( r = 4\% \) वार्षिक है और समय अवधि \( n = 2 \) वर्ष है।
पहले हम चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) ज्ञात करेंगे:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 2,500\left(1 + \frac{4}{100}\right)^2 \)
\( A = 2,500\left(1 + \frac{1}{25}\right)^2 \)
\( A = 2,500\left(\frac{25+1}{25}\right)^2 \)
\( A = 2,500\left(\frac{26}{25}\right)^2 \)
\( A = 2,500 \times \frac{26}{25} \times \frac{26}{25} \)
\( A = \frac{2500 \times 26 \times 26}{25 \times 25} \)
\( A = \frac{2500 \times 676}{625} \)
\( A = 4 \times 676 \)
\( A = \text{Rs } 2,704 \)
अब, चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करने के लिए, हम मिश्रधन में से मूलधन घटाते हैं:
चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन - मूलधन
चक्रवृद्धि ब्याज = \( \text{Rs } 2,704 - \text{Rs } 2,500 \)
चक्रवृद्धि ब्याज = \( \text{Rs } 204 \)
मनोज को कुल 204 रुपये ब्याज के रूप में मिले। यह दर्शाता है कि बचत खाते में पैसा कैसे बढ़ता है।
In simple words: मनोज ने 2,500 रुपये बैंक में रखे। 4% चक्रवृद्धि ब्याज के साथ, दो साल बाद उसे 204 रुपये ब्याज मिला।

🎯 Exam Tip: यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि प्रश्न में क्या पूछा गया है – कुल मिश्रधन या केवल ब्याज। उसी के अनुसार गणना करें।

Question 7. फातिमा ने डाकघर में ₹ 1,350 2 वर्ष के लिए सावधि जमा खाता में जमा किया। यदि ब्याज दर 8% वार्षिक चक्रवृद्धि हो, तो 2 वर्ष बाद चक्रवृद्धि मिश्रधन तथा चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
Answer: फातिमा ने डाकघर में 1,350 रुपये जमा किए। मूलधन \( P = \text{Rs } 1,350 \)। ब्याज दर \( r = 8\% \) वार्षिक है और समय अवधि \( n = 2 \) वर्ष है।
पहले हम चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) ज्ञात करेंगे:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 1,350\left(1 + \frac{8}{100}\right)^2 \)
\( A = 1,350\left(1 + \frac{2}{25}\right)^2 \)
\( A = 1,350\left(\frac{25+2}{25}\right)^2 \)
\( A = 1,350\left(\frac{27}{25}\right)^2 \)
\( A = 1,350 \times \frac{27}{25} \times \frac{27}{25} \)
\( A = \frac{1350 \times 27 \times 27}{25 \times 25} \)
\( A = 54 \times \frac{27 \times 27}{25} \) (क्योंकि 1350 / 25 = 54)
\( A = \frac{54 \times 729}{25} \)
\( A = \frac{39366}{25} \)
\( A = \text{Rs } 1,574.64 \)
तो, 2 वर्ष बाद चक्रवृद्धि मिश्रधन 1,574.64 रुपये होगा।
अब, चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करने के लिए, हम मिश्रधन में से मूलधन घटाते हैं:
चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन - मूलधन
चक्रवृद्धि ब्याज = \( \text{Rs } 1,574.64 - \text{Rs } 1,350 \)
चक्रवृद्धि ब्याज = \( \text{Rs } 224.64 \)
फातिमा को कुल 224.64 रुपये ब्याज के रूप में मिले। सावधि जमा खाते लंबी अवधि के लक्ष्यों के लिए अच्छे होते हैं।
In simple words: फातिमा ने डाकघर में 1,350 रुपये जमा किए। 8% चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 साल बाद, उसे कुल 1,574.64 रुपये मिलेंगे, जिसमें 224.64 रुपये ब्याज है।

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं में गणना करते समय, परिशुद्धता बनाए रखें और अंतिम परिणाम को सही दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करें।

Question 8. जार्ज ने किसी वित्तीय कम्पनी से ₹ 8,000, 2 वर्ष के लिए 15% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार लिए। उसे कम्पनी को कितनी धनराशि वापस करनी पड़ेगी ?
Answer: जार्ज ने वित्तीय कम्पनी से 8,000 रुपये उधार लिए। मूलधन \( P = \text{Rs } 8,000 \)। ब्याज दर \( r = 15\% \) वार्षिक है और समय अवधि \( n = 2 \) वर्ष है।
उसे कम्पनी को वापस करनी वाली धनराशि चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) होगी:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 8,000\left(1 + \frac{15}{100}\right)^2 \)
\( A = 8,000\left(1 + \frac{3}{20}\right)^2 \)
\( A = 8,000\left(\frac{20+3}{20}\right)^2 \)
\( A = 8,000\left(\frac{23}{20}\right)^2 \)
\( A = 8,000 \times \frac{23}{20} \times \frac{23}{20} \)
\( A = \frac{8000 \times 23 \times 23}{20 \times 20} \)
\( A = \frac{8000 \times 529}{400} \)
\( A = 20 \times 529 \)
\( A = \text{Rs } 10,580 \)
जार्ज को कम्पनी को कुल 10,580 रुपये वापस करने पड़ेंगे। उच्च ब्याज दरें ऋण पर कुल भुगतान राशि को काफी बढ़ा देती हैं।
In simple words: जार्ज ने 8,000 रुपये उधार लिए जिस पर 15% चक्रवृद्धि ब्याज था। दो साल बाद, उसे कुल 10,580 रुपये चुकाने होंगे।

🎯 Exam Tip: ऋण की कुल राशि की गणना करते समय, ब्याज दर और समय अवधि पर विशेष ध्यान दें, क्योंकि वे अंतिम भुगतान पर बहुत प्रभाव डालते हैं।

Question 9. तनु ने एक वित्तीय कम्पनी में ₹ 2,000 लगाए यदि कम्पनी 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज देती हो, तो 3 वर्ष बाद उसको कुल कितने रुपये मिले ?
Answer: तनु ने वित्तीय कम्पनी में 2,000 रुपये लगाए। मूलधन \( P = \text{Rs } 2,000 \)। ब्याज दर \( r = 10\% \) वार्षिक है और समय अवधि \( n = 3 \) वर्ष है।
उसको 3 वर्ष बाद मिलने वाली कुल धनराशि चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) होगी:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 2,000\left(1 + \frac{10}{100}\right)^3 \)
\( A = 2,000\left(1 + \frac{1}{10}\right)^3 \)
\( A = 2,000\left(\frac{10+1}{10}\right)^3 \)
\( A = 2,000\left(\frac{11}{10}\right)^3 \)
\( A = 2,000 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \)
\( A = \frac{2000 \times 11 \times 11 \times 11}{10 \times 10 \times 10} \)
\( A = \frac{2000 \times 1331}{1000} \)
\( A = 2 \times 1331 \)
\( A = \text{Rs } 2,662 \)
तनु को 3 वर्ष बाद कुल 2,662 रुपये मिले। यह दर्शाता है कि निवेश समय के साथ कैसे बढ़ता है।
In simple words: तनु ने 2,000 रुपये का निवेश किया। 10% चक्रवृद्धि ब्याज के साथ, तीन साल बाद उसे कुल 2,662 रुपये वापस मिले।

🎯 Exam Tip: निवेश के मामलों में, लंबी अवधि और उच्च ब्याज दरें चक्रवृद्धि प्रभाव के कारण अधिक लाभ दिलाती हैं।

Question 10. अनीता ने एक राष्ट्रीयकृत बैंक में ₹ 2,500 ज़मा किए। 2 वर्ष बाद उसे कुल कितने रुपये मिले, यदि बैंक 8% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज देता हो ?
Answer: अनीता ने बैंक में 2,500 रुपये जमा किए। मूलधन \( P = \text{Rs } 2,500 \)। ब्याज दर \( r = 8\% \) वार्षिक है और समय अवधि \( n = 2 \) वर्ष है।
उसे 2 वर्ष बाद मिलने वाली कुल धनराशि चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) होगी:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 2,500\left(1 + \frac{8}{100}\right)^2 \)
\( A = 2,500\left(1 + \frac{2}{25}\right)^2 \)
\( A = 2,500\left(\frac{25+2}{25}\right)^2 \)
\( A = 2,500\left(\frac{27}{25}\right)^2 \)
\( A = 2,500 \times \frac{27}{25} \times \frac{27}{25} \)
\( A = \frac{2500 \times 27 \times 27}{25 \times 25} \)
\( A = \frac{2500 \times 729}{625} \)
\( A = 4 \times 729 \)
\( A = \text{Rs } 2,916 \)
अनीता को बैंक से कुल 2,916 रुपये मिले। राष्ट्रीयकृत बैंक में जमा करना एक सुरक्षित निवेश विकल्प है।
In simple words: अनीता ने 2,500 रुपये बैंक में जमा किए। 8% चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 साल बाद उसे कुल 2,916 रुपये मिले।

🎯 Exam Tip: यह ध्यान रखें कि "कितने रुपये मिले" का अर्थ हमेशा कुल मिश्रधन होता है, न कि केवल ब्याज।

अभ्यास 7 (i)

Question 1. वर्तमान में कर मुक्त आय की सीमा क्या है?
Answer: वर्तमान में कर मुक्त आय की सीमा 2,50,000 रुपये है। इस राशि तक की आय पर कोई आयकर नहीं लगता है।
In simple words: अभी, आप 2,50,000 रुपये तक कमाते हैं तो उस पर कोई टैक्स नहीं देना होता है।

🎯 Exam Tip: कर मुक्त आय की सीमा एक महत्वपूर्ण वित्तीय जानकारी है; इसे याद रखना चाहिए क्योंकि यह व्यक्तिगत आयकर गणना को प्रभावित करता है।

Question 2. केशव की मासिक ₹ 20,000, है। बताइये केशव की वार्षिक आय कर योग्य है या नहीं?
Answer: केशव की मासिक आय 20,000 रुपये है।
सबसे पहले, हम केशव की वार्षिक आय ज्ञात करेंगे:
वार्षिक आय = मासिक आय \( \times 12 \)
वार्षिक आय = \( \text{Rs } 20,000 \times 12 \)
वार्षिक आय = \( \text{Rs } 2,40,000 \)
वर्तमान में कर मुक्त आय की सीमा 2,50,000 रुपये है। चूंकि केशव की वार्षिक आय (2,40,000 रुपये) कर मुक्त आय की सीमा से कम है, इसलिए केशव की वार्षिक आय कर योग्य नहीं है। यह एक महत्वपूर्ण वित्तीय नियम है।
In simple words: केशव हर महीने 20,000 रुपये कमाता है, तो उसकी साल भर की कमाई 2,40,000 रुपये है। क्योंकि यह 2,50,000 रुपये की टैक्स-फ्री सीमा से कम है, उसे टैक्स नहीं देना होगा।

🎯 Exam Tip: वार्षिक आय की गणना करते समय मासिक आय को 12 से गुणा करना याद रखें। फिर इसकी तुलना कर मुक्त सीमा से करके निर्णय लें कि आय कर योग्य है या नहीं।

Question 3. श्याम के पिता की वार्षिक आय ₹ 3,60,000, है। यदि ₹ 2,50,000 तक की आयकर मुक्त है। तो 5% की दर से उसे कितना आयकर देना होगा?
Answer: श्याम के पिता की वार्षिक आय 3,60,000 रुपये है। कर मुक्त आय की सीमा 2,50,000 रुपये है।
सबसे पहले, हम कर योग्य आय ज्ञात करेंगे:
कर योग्य आय = कुल वार्षिक आय - कर मुक्त आय
कर योग्य आय = \( \text{Rs } 3,60,000 - \text{Rs } 2,50,000 \)
कर योग्य आय = \( \text{Rs } 1,10,000 \)
अब, हमें 5% की दर से आयकर की गणना करनी होगी:
देय आयकर = कर योग्य आय का 5%
देय आयकर = \( \text{Rs } 1,10,000 \times \frac{5}{100} \)
देय आयकर = \( \text{Rs } 1,100 \times 5 \)
देय आयकर = \( \text{Rs } 5,500 \)
तो, श्याम के पिता को 5,500 रुपये आयकर देना होगा। यह एक व्यक्ति की आय पर लागू होने वाले कराधान का एक उदाहरण है।
In simple words: श्याम के पिता की सालाना कमाई 3,60,000 रुपये है। 2,50,000 रुपये पर कोई टैक्स नहीं लगता है। बची हुई 1,10,000 रुपये पर 5% टैक्स लगेगा, जो कि 5,500 रुपये होगा।

🎯 Exam Tip: आयकर की गणना करते समय, पहले कर योग्य आय की सही गणना करना महत्वपूर्ण है, उसके बाद ही उस पर लागू प्रतिशत दर से कर निकालना चाहिए।

Question 4. जीएसटी से आप क्या समझते हैं?
Answer: जीएसटी (GST) का पूरा नाम "वस्तु एवं सेवा कर" (Goods and Service Tax) है। यह 1 जुलाई 2017 से भारत में लागू हुआ एक अप्रत्यक्ष कर है। इसने पहले के कई अप्रत्यक्ष करों जैसे उत्पाद शुल्क (Excise duty), सेवा कर (Service Tax) और राज्यों द्वारा लगाए गए बिक्री कर (Sale Tax) को खत्म करके उनकी जगह ले ली है। जीएसटी का उद्देश्य भारत में एक समान कर प्रणाली लाना है, जिससे व्यापार और कराधान सरल हो जाएं। यह एक राष्ट्रीय स्तर का कर है जो वस्तुओं और सेवाओं की आपूर्ति पर लगाया जाता है।
In simple words: जीएसटी एक टैक्स है जो सामान खरीदने या सर्विस लेने पर लगता है। इसने बहुत सारे पुराने टैक्सों को हटाकर पूरे देश में एक ही टैक्स सिस्टम बना दिया है।

🎯 Exam Tip: जीएसटी की परिभाषा, इसके पूर्ण रूप और यह किन पुराने करों की जगह आया, इन मुख्य बिंदुओं को याद रखना चाहिए।

Question 5. एक जोड़ी सैंडिल का मूल्य ₹ 100 है। यदि उस पर 18% की दर से जीएसटी देना पड़ता है, तो सैंडिल खरीदने पर ग्राहक को कुल कितने रुपये देना पड़ेगा।
Answer: एक जोड़ी सैंडिल का मूल्य 100 रुपये है। जीएसटी की दर 18% है।
सबसे पहले, हम सैंडिल पर लगने वाले जीएसटी की राशि ज्ञात करेंगे:
जीएसटी राशि = सैंडिल के मूल्य का 18%
जीएसटी राशि = \( \text{Rs } 100 \times \frac{18}{100} \)
जीएसटी राशि = \( \text{Rs } 18 \)
अब, ग्राहक को सैंडिल खरीदने के लिए कुल राशि ज्ञात करेंगे:
कुल देय राशि = सैंडिल का मूल्य + जीएसटी राशि
कुल देय राशि = \( \text{Rs } 100 + \text{Rs } 18 \)
कुल देय राशि = \( \text{Rs } 118 \)
तो, ग्राहक को सैंडिल खरीदने पर कुल 118 रुपये देना पड़ेगा। जीएसटी सामानों को महंगा बनाता है, लेकिन इससे सरकार को राजस्व मिलता है।
In simple words: एक सैंडिल का दाम 100 रुपये है। उस पर 18% जीएसटी लगेगा, जो कि 18 रुपये होगा। तो, ग्राहक को सैंडिल के लिए कुल 118 रुपये देने होंगे।

🎯 Exam Tip: वस्तु की अंतिम कीमत ज्ञात करने के लिए हमेशा मूल मूल्य में जीएसटी की राशि को जोड़ना याद रखें। जीएसटी प्रतिशत की गणना सही ढंग से करें।

Question 6. प्रतिभा एक मेज ₹ 24000 में खरीदती है जिसमें 12% जीएसटी भी सम्मिलित है । मेज का अंकित मूल्य ज्ञात कीजिए।
Answer: प्रतिभा ने मेज 24,000 रुपये में खरीदी, जिसमें 12% जीएसटी शामिल है। यह मेज का विक्रय मूल्य है। हमें मेज का अंकित मूल्य (मूल कीमत) ज्ञात करना है।
मान लीजिए मेज का अंकित मूल्य 100 रुपये है।
यदि जीएसटी 12% है, तो विक्रय मूल्य होगा:
विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य + अंकित मूल्य का जीएसटी
विक्रय मूल्य = \( \text{Rs } 100 + 12\% \text{ of Rs } 100 \)
विक्रय मूल्य = \( \text{Rs } 100 + \text{Rs } 12 \)
विक्रय मूल्य = \( \text{Rs } 112 \)
अब, हम ऐकिक नियम का उपयोग करेंगे:
यदि विक्रय मूल्य 112 रुपये है, तो अंकित मूल्य 100 रुपये है।
यदि विक्रय मूल्य 1 रुपये है, तो अंकित मूल्य \( \frac{100}{112} \) रुपये है।
यदि विक्रय मूल्य 24,000 रुपये है, तो अंकित मूल्य होगा:
अंकित मूल्य = \( \frac{100}{112} \times 24,000 \)
अंकित मूल्य = \( \frac{2400000}{112} \)
अंकित मूल्य \( \approx \text{Rs } 21,428.57 \)
तो, मेज का अंकित मूल्य लगभग 21,428.57 रुपये है। यह दर्शाता है कि जीएसटी को हटाने के बाद वस्तु का वास्तविक मूल्य क्या था।
In simple words: प्रतिभा ने एक मेज 24,000 रुपये में खरीदी, जिसमें 12% जीएसटी जुड़ा हुआ था। इसका मतलब है कि मेज का असल दाम (जीएसटी हटाकर) लगभग 21,428.57 रुपये था।

🎯 Exam Tip: जब विक्रय मूल्य में जीएसटी शामिल हो, तो अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए ऐकिक नियम का उपयोग करें, यह मानकर कि अंकित मूल्य 100% है और जीएसटी जुड़ने के बाद विक्रय मूल्य \( (100 + \text{GST}\%) \) है।

Question 7. विशाल ने अपने जन्मदिन पर अपने 20 मित्रों को होटल में भोजन पर आमन्त्रित किया। भोजन पर 5000 खर्च हुआ । इसके अतिरिक्त 18% जीएसटी भी चुकाना पड़ा। विशाल को अपने प्रत्येक मित्रा के लिए भोजन पर कितना व्यय करना पड़ा?
Answer: विशाल ने 20 मित्रों को आमंत्रित किया। भोजन पर कुल खर्च 5,000 रुपये है। इस पर 18% जीएसटी भी लगा।
पहले हम भोजन पर कुल जीएसटी राशि ज्ञात करेंगे:
जीएसटी राशि = भोजन खर्च का 18%
जीएसटी राशि = \( \text{Rs } 5,000 \times \frac{18}{100} \)
जीएसटी राशि = \( \text{Rs } 50 \times 18 \)
जीएसटी राशि = \( \text{Rs } 900 \)
अब, भोजन पर कुल भुगतान की गई राशि ज्ञात करेंगे (जीएसटी सहित):
कुल खर्च = भोजन खर्च + जीएसटी राशि
कुल खर्च = \( \text{Rs } 5,000 + \text{Rs } 900 \)
कुल खर्च = \( \text{Rs } 5,900 \)
विशाल के साथ कुल लोग 20 मित्र + 1 विशाल = 21 लोग। (हालांकि, प्रश्न में "प्रत्येक मित्र" पूछा गया है, और समाधान में 20 व्यक्तियों का उपयोग किया गया है, इसलिए हम भी 20 व्यक्ति ही मानेंगे। यदि विशाल को भी शामिल करना होता तो 21 लोग होते).
प्रत्येक मित्र के लिए भोजन पर व्यय = कुल खर्च \( \div \) मित्रों की संख्या
प्रत्येक मित्र के लिए भोजन पर व्यय = \( \text{Rs } 5,900 \div 20 \)
प्रत्येक मित्र के लिए भोजन पर व्यय = \( \text{Rs } 295 \)
तो, विशाल को अपने प्रत्येक मित्र के लिए भोजन पर 295 रुपये खर्च करना पड़ा। यह दर्शाता है कि जीएसटी सेवाओं की लागत को कैसे प्रभावित करता है।
In simple words: विशाल ने अपने दोस्तों के लिए 5,000 रुपये का खाना खिलाया, जिस पर 900 रुपये का जीएसटी लगा। कुल 5,900 रुपये का बिल आया। चूंकि 20 दोस्त थे, तो हर दोस्त पर 295 रुपये का खर्च आया।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, यह स्पष्ट रूप से पढ़ें कि क्या 'प्रत्येक व्यक्ति' (विशाल सहित) या 'प्रत्येक मित्र' (विशाल को छोड़कर) के लिए लागत पूछी गई है, और उसी के अनुसार लोगों की संख्या का उपयोग करें। यदि कुल व्यक्तियों की संख्या नहीं दी गई है, तो प्रश्न के समाधान में दी गई संख्या का पालन करें।

दक्षता अभ्यास - 7

Question 1. यदि एक मोटरकार 45 किमी प्रति घण्टा जाती है तो वह 1 सेकंड में जाएगी
(a) 45 मी
(b) 50 मी
(c) 12.5 मी
(d) 12.5 किमी
Answer: (c) 12.5 मी
In simple words: एक मोटरकार एक घंटे में 45 किलोमीटर चलती है। अगर हम इसे मीटर प्रति सेकंड में बदलें, तो वह एक सेकंड में 12.5 मीटर की दूरी तय करेगी।

🎯 Exam Tip: किलोमीटर प्रति घंटे की चाल को मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए हमेशा \( \frac{5}{18} \) से गुणा करें। (\( 45 \times \frac{5}{18} = \frac{225}{18} = 12.5 \)).

Question 2. यदि 6 आदमी एक काम को 4 दिन में करते हैं तो उसी काम को 3 आदमी करेंगे
(a) 21 दिन में
(b) 6 दिन में
(c) 8 दिन में
(d) 18 दिन में
Answer: (c) 8 दिन में
In simple words: अगर 6 आदमी एक काम को 4 दिनों में खत्म करते हैं, तो उस काम को करने के लिए 3 आदमियों को 8 दिन लगेंगे क्योंकि कम आदमी होने पर ज्यादा दिन लगते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, जब व्यक्तियों की संख्या घटती है, तो काम पूरा करने में लगने वाले दिन बढ़ते हैं (यह व्युत्क्रमानुपाती संबंध है)। सूत्र \( M_1 D_1 = M_2 D_2 \) का उपयोग करें।

Question 3. यदि राम \( \frac { 1 }{ 4 } \) भाग काम कर सकता है तो वह पूरा काम करेगा –
(a) 20 दिन में,
(b) दिन में,
(c) 5 दिन में,
(d) 80 दिन में
Answer: (a) 20 दिन में
In simple words: यदि राम किसी काम का एक-चौथाई हिस्सा 5 दिनों में कर लेता है, तो उसे पूरा काम करने में 20 दिन लगेंगे।

🎯 Exam Tip: जब काम का एक हिस्सा दिया गया हो और पूरा काम करने का समय पूछा गया हो, तो पूर्ण भाग प्राप्त करने के लिए भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करें।

Question 4. 3 मजदूर किसी मकान की सफेदी 20 दिन में कर सकते हैं यदि सफेदी 6 दिन में करनी हो तो काम पर लगने वाले मजदूरों की संख्या होगी।
(a) 20 मजदूर
(b) 10 मजदूर
(c) 6 मजदूर
(d) 30 मजदूर
Answer: (b) 10 मजदूर
In simple words: यदि 3 मजदूर एक काम को 20 दिन में कर सकते हैं, और उसी काम को 6 दिनों में खत्म करना है, तो हमें 10 मजदूरों की जरूरत होगी। कम दिनों में काम खत्म करने के लिए ज्यादा मजदूर चाहिए।

🎯 Exam Tip: यदि दिनों की संख्या कम करनी है, तो मजदूरों की संख्या बढ़ानी होगी। यह भी व्युत्क्रमानुपाती संबंध है।

Question 5. एक व्यक्ति अपने मासिक वेतन का 80% खर्च करता है। यदि उसकी मासिक बचत ₹1,200 हो, तो उसका मासिक वेतन कितना है?
Answer: एक व्यक्ति अपने मासिक वेतन का 80% खर्च करता है।
इसका मतलब है कि वह अपने मासिक वेतन का 100% - 80% = 20% बचाता है।
हमें दिया गया है कि उसकी मासिक बचत 1,200 रुपये है।
तो, मासिक वेतन का 20% = 1,200 रुपये।
मासिक वेतन = \( \frac{1,200}{20} \times 100 \)
मासिक वेतन = \( 60 \times 100 \)
मासिक वेतन = \( \text{Rs } 6,000 \)
तो, व्यक्ति का मासिक वेतन 6,000 रुपये है। यह आय और बचत के बीच के संबंध को दर्शाता है।
In simple words: एक आदमी अपनी कमाई का 80% खर्च करता है, तो 20% बचाता है। अगर वह 1,200 रुपये बचाता है, तो उसकी कुल महीने की कमाई 6,000 रुपये है।

🎯 Exam Tip: बचत प्रतिशत या खर्च प्रतिशत को पहले कुल आय के प्रतिशत के रूप में समझें, फिर दिए गए मान का उपयोग करके पूरी आय की गणना करें।

Question 6. एक रेलगाड़ी 450 मी० लम्बी है। वह बिजली के खम्भे को \( 22\frac{1}{2} \) सेकंड में पार कर जाती है। गाड़ी की चाल किमी प्रति घण्टा ज्ञात कीजिए।
Answer: रेलगाड़ी की लम्बाई = 450 मीटर।
बिजली के खम्भे को पार करने में लगा समय = \( 22\frac{1}{2} \) सेकंड = 22.5 सेकंड = \( \frac{45}{2} \) सेकंड।
जब एक रेलगाड़ी एक खम्भे को पार करती है, तो वह अपनी लम्बाई के बराबर दूरी तय करती है।
इसलिए, तय की गई दूरी = 450 मीटर।
चाल = \( \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} \)
चाल = \( \frac{450 \text{ मीटर}}{\frac{45}{2} \text{ सेकंड}} \)
चाल = \( \frac{450 \times 2}{45} \text{ मीटर/सेकंड} \)
चाल = \( 10 \times 2 \text{ मीटर/सेकंड} \)
चाल = \( 20 \text{ मीटर/सेकंड} \)
अब, इस चाल को किलोमीटर प्रति घण्टा में बदलें:
चाल (किमी/घण्टा) = चाल (मीटर/सेकंड) \( \times \frac{18}{5} \)
चाल (किमी/घण्टा) = \( 20 \times \frac{18}{5} \)
चाल (किमी/घण्टा) = \( 4 \times 18 \)
चाल (किमी/घण्टा) = \( 72 \text{ किमी/घण्टा} \)
तो, गाड़ी की चाल 72 किमी प्रति घण्टा है। यह एक महत्वपूर्ण रूपांतरण है जिसे याद रखना चाहिए।
In simple words: एक 450 मीटर लंबी ट्रेन एक बिजली के खम्भे को 22.5 सेकंड में पार करती है। इसका मतलब है कि ट्रेन 20 मीटर प्रति सेकंड की रफ्तार से चल रही है, जिसे किलोमीटर प्रति घंटे में बदलने पर 72 किमी प्रति घंटा होता है।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि किलोमीटर प्रति घंटे को मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए \( \frac{5}{18} \) से गुणा करें और मीटर प्रति सेकंड को किलोमीटर प्रति घंटे में बदलने के लिए \( \frac{18}{5} \) से गुणा करें।

Question 7. दो साइकिल चालक क्रमशः 10 किमी० प्रति घण्टा तथा 12 किमी० प्रति घण्टा की चाल से एक ही निश्चित स्थान से विपरीत दिशाओं में चलते हैं। 5 घण्टे बाद दोनों एक दूसरे से कितनी दूरी पर होंगे?
Answer: पहले साइकिल चालक की चाल = 10 किमी प्रति घण्टा।
दूसरे साइकिल चालक की चाल = 12 किमी प्रति घण्टा।
दोनों विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं। जब वस्तुएँ विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष चाल जुड़ जाती है।
सापेक्ष चाल = 10 किमी/घण्टा + 12 किमी/घण्टा = 22 किमी/घण्टा।
समय = 5 घण्टे।
तय की गई दूरी = सापेक्ष चाल \( \times \) समय
तय की गई दूरी = 22 किमी/घण्टा \( \times \) 5 घण्टे
तय की गई दूरी = 110 किमी।
तो, 5 घण्टे बाद दोनों एक दूसरे से 110 किलोमीटर की दूरी पर होंगे। यह सापेक्ष गति के सिद्धांत को दर्शाता है।
In simple words: दो साइकिल चलाने वाले एक जगह से उल्टी दिशाओं में चलते हैं। एक 10 किमी/घंटा और दूसरा 12 किमी/घंटा की रफ्तार से चलता है। 5 घंटे बाद, वे एक-दूसरे से कुल 110 किलोमीटर दूर होंगे।

🎯 Exam Tip: जब दो वस्तुएं विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी अलग-अलग गतियों का योग होती है। इस योग का उपयोग कुल दूरी की गणना के लिए करें।

Question 8. एक विद्यालय में 55% लड़के हैं। यदि लड़कियों की संख्या 900 हो, तो लड़कों की संख्या बताइए ।
Answer: विद्यालय में लड़कों का प्रतिशत = 55%।
इसलिए, लड़कियों का प्रतिशत = 100% - 55% = 45%।
हमें दिया गया है कि लड़कियों की संख्या 900 है।
तो, विद्यालय में कुल विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात करेंगे:
माना कुल विद्यार्थियों की संख्या \( x \) है।
\( x \) का 45% = 900
\( x \times \frac{45}{100} = 900 \)
\( x = \frac{900 \times 100}{45} \)
\( x = 20 \times 100 \)
\( x = 2,000 \)
तो, विद्यालय में कुल 2,000 विद्यार्थी हैं।
अब, लड़कों की संख्या ज्ञात करेंगे:
लड़कों की संख्या = कुल विद्यार्थियों की संख्या - लड़कियों की संख्या
लड़कों की संख्या = \( 2,000 - 900 \)
लड़कों की संख्या = \( 1,100 \)
तो, विद्यालय में लड़कों की संख्या 1,100 है। यह प्रतिशत गणना का एक व्यावहारिक उदाहरण है।
In simple words: एक स्कूल में 55% लड़के हैं। अगर लड़कियों की संख्या 900 है (जो कुल का 45% है), तो स्कूल में कुल 2,000 बच्चे हैं। इसलिए, लड़कों की संख्या 1,100 होगी।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले दिए गए प्रतिशत का उपयोग करके कुल संख्या ज्ञात करें, फिर शेष संख्या की गणना करें। हमेशा 100% से घटाकर दूसरे समूह का प्रतिशत ज्ञात करना याद रखें।

Question 9. एक परीक्षा में गणित में कुल 45%, विज्ञान में कुल 25% विद्यार्थी अनुत्तीर्ण हुए। यदि 15% दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण रहे हों, तो कितने प्रतिशत विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए?
Answer: गणित में अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = 45%।
विज्ञान में अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = 25%।
दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = 15%।
केवल गणित में अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = गणित में अनुत्तीर्ण - दोनों में अनुत्तीर्ण
केवल गणित में अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = 45% - 15% = 30%।
केवल विज्ञान में अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = विज्ञान में अनुत्तीर्ण - दोनों में अनुत्तीर्ण
केवल विज्ञान में अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = 25% - 15% = 10%।
कुल अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = केवल गणित में + केवल विज्ञान में + दोनों में अनुत्तीर्ण
कुल अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = 30% + 10% + 15% = 55%।
अब, उत्तीर्ण विद्यार्थियों का प्रतिशत ज्ञात करेंगे:
उत्तीर्ण विद्यार्थी = कुल विद्यार्थी - कुल अनुत्तीर्ण विद्यार्थी
उत्तीर्ण विद्यार्थी = 100% - 55% = 45%।
तो, कुल 45% विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए। यह समुच्चय सिद्धांत का उपयोग करके प्रतिशत समस्या को हल करने का एक तरीका है।
In simple words: एक परीक्षा में, 45% बच्चे गणित में और 25% बच्चे विज्ञान में फेल हुए। 15% बच्चे दोनों में फेल हुए। इसका मतलब है कि कुल 55% बच्चे फेल हुए, तो 45% बच्चे पास हुए।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए वेन आरेख की अवधारणा का उपयोग करें। कुल अनुत्तीर्ण विद्यार्थी = (गणित में अनुत्तीर्ण) + (विज्ञान में अनुत्तीर्ण) - (दोनों में अनुत्तीर्ण)। फिर 100% से घटाकर उत्तीर्ण विद्यार्थियों का प्रतिशत ज्ञात करें।

Question 10. ₹ 364 में एक रेडियो बेचने से 9% हानि होती है, तो रेडियो का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए ।
Answer: रेडियो का विक्रय मूल्य = 364 रुपये।
हानि प्रतिशत = 9%।
माना रेडियो का क्रय मूल्य 100 रुपये है।
यदि 9% हानि होती है, तो विक्रय मूल्य होगा:
विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य - हानि
विक्रय मूल्य = 100% - 9% = 91% (क्रय मूल्य का)।
यानी, यदि क्रय मूल्य 100 रुपये है, तो विक्रय मूल्य 91 रुपये है।
अब, ऐकिक नियम का उपयोग करेंगे:
यदि विक्रय मूल्य 91 रुपये है, तो क्रय मूल्य 100 रुपये है।
यदि विक्रय मूल्य 1 रुपये है, तो क्रय मूल्य \( \frac{100}{91} \) रुपये है।
यदि विक्रय मूल्य 364 रुपये है, तो क्रय मूल्य होगा:
क्रय मूल्य = \( \frac{100}{91} \times 364 \)
क्रय मूल्य = \( 100 \times 4 \) (क्योंकि \( 364 \div 91 = 4 \))
क्रय मूल्य = \( \text{Rs } 400 \)
तो, रेडियो का क्रय मूल्य 400 रुपये है। यह हानि प्रतिशत के आधार पर मूल लागत ज्ञात करने का एक तरीका है।
In simple words: एक रेडियो को 364 रुपये में बेचने पर 9% का नुकसान होता है। इसका मतलब है कि रेडियो की असल कीमत 400 रुपये थी।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, क्रय मूल्य को 100% मानें। लाभ या हानि प्रतिशत को 100 में जोड़कर या घटाकर विक्रय मूल्य का प्रतिशत ज्ञात करें, फिर ऐकिक नियम का उपयोग करें।

Question 11. साड़ियों की सेल में 20% की छूट मिलने पर 720 अंकित मूल्य की साड़ी कितने रुपये में मिलेगी ?
Answer: साड़ी का अंकित मूल्य = 720 रुपये।
छूट प्रतिशत = 20%।
सबसे पहले, हम छूट की राशि ज्ञात करेंगे:
छूट की राशि = अंकित मूल्य का 20%
छूट की राशि = \( \text{Rs } 720 \times \frac{20}{100} \)
छूट की राशि = \( \text{Rs } 72 \times 2 \)
छूट की राशि = \( \text{Rs } 144 \)
अब, साड़ी का विक्रय मूल्य ज्ञात करेंगे (छूट के बाद की कीमत):
विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य - छूट की राशि
विक्रय मूल्य = \( \text{Rs } 720 - \text{Rs } 144 \)
विक्रय मूल्य = \( \text{Rs } 576 \)
तो, साड़ी 576 रुपये में मिलेगी। यह छूट के बाद किसी वस्तु की प्रभावी कीमत की गणना है।
In simple words: एक साड़ी का दाम 720 रुपये है और उस पर 20% की छूट मिल रही है, जो कि 144 रुपये है। छूट के बाद, वह साड़ी 576 रुपये में मिलेगी।

🎯 Exam Tip: छूट हमेशा अंकित मूल्य पर दी जाती है। छूट की गणना करने के बाद उसे अंकित मूल्य से घटाकर वस्तु का विक्रय मूल्य प्राप्त करें।

Question 12. किरन ने डाकघर के बचत बैंक खाते में ₹ 1,600 जमा किया। उसने 3 वर्ष तक इसमें से कोई धन नहीं निकाला। 3 वर्ष बाद सारा धन निकाल लिया। बताइए उसे कुल कितने रुपये ब्याज मिले, यदि डाकघर में ब्याज दर 5% वार्षिक चक्रवृद्धि हो ।
Answer: किरन ने डाकघर में 1,600 रुपये जमा किए। मूलधन \( P = \text{Rs } 1,600 \)। ब्याज दर \( r = 5\% \) वार्षिक है और समय अवधि \( n = 3 \) वर्ष है।
पहले हम चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) ज्ञात करेंगे:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 1,600\left(1 + \frac{5}{100}\right)^3 \)
\( A = 1,600\left(1 + \frac{1}{20}\right)^3 \)
\( A = 1,600\left(\frac{20+1}{20}\right)^3 \)
\( A = 1,600\left(\frac{21}{20}\right)^3 \)
\( A = 1,600 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \)
\( A = \frac{1600 \times 21 \times 21 \times 21}{20 \times 20 \times 20} \)
\( A = \frac{1600 \times 9261}{8000} \)
\( A = \frac{16 \times 9261}{80} \)
\( A = \frac{1 \times 9261}{5} \)
\( A = \text{Rs } 1,852.20 \)
अब, चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करने के लिए, हम मिश्रधन में से मूलधन घटाते हैं:
चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन - मूलधन
चक्रवृद्धि ब्याज = \( \text{Rs } 1,852.20 - \text{Rs } 1,600 \)
चक्रवृद्धि ब्याज = \( \text{Rs } 252.20 \)
किरन को कुल 252.20 रुपये ब्याज के रूप में मिले। यह दर्शाता है कि समय के साथ बचत पर कितना रिटर्न मिलता है।
In simple words: किरन ने डाकघर में 1,600 रुपये जमा किए। 5% चक्रवृद्धि ब्याज पर 3 साल बाद उसे कुल 252.20 रुपये ब्याज मिला।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप तीन साल की अवधि के लिए घात 3 का सही ढंग से उपयोग कर रहे हैं, और गणना में दशमलव मानों को सावधानी से संभालें।

Question 13. माजिद ने डाकघर के सावधि जमा खाता में है ₹ 5,000 दो वर्ष के लिए जमा किया। 2 वर्ष बाद उसे कुल कितने रुपये मिले, यदि ब्याज की दर 8% वार्षिक चक्रवृद्धि हो ।
Answer: माजिद ने डाकघर में 5,000 रुपये जमा किए। मूलधन \( P = \text{Rs } 5,000 \)। ब्याज दर \( r = 8\% \) वार्षिक है और समय अवधि \( n = 2 \) वर्ष है।
उसे 2 वर्ष बाद मिलने वाली कुल धनराशि चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) होगी:
\( A = P\left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \)
\( A = 5,000\left(1 + \frac{8}{100}\right)^2 \)
\( A = 5,000\left(1 + \frac{2}{25}\right)^2 \)
\( A = 5,000\left(\frac{25+2}{25}\right)^2 \)
\( A = 5,000\left(\frac{27}{25}\right)^2 \)
\( A = 5,000 \times \frac{27}{25} \times \frac{27}{25} \)
\( A = \frac{5000 \times 27 \times 27}{25 \times 25} \)
\( A = \frac{5000 \times 729}{625} \)
\( A = 8 \times 729 \)
\( A = \text{Rs } 5,832 \)
माजिद को कुल 5,832 रुपये मिले। सावधि जमा खाते लंबी अवधि के वित्तीय लक्ष्यों के लिए एक स्थिर निवेश विकल्प प्रदान करते हैं।
In simple words: माजिद ने डाकघर में 5,000 रुपये जमा किए। 8% चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 साल बाद, उसे कुल 5,832 रुपये मिले।

🎯 Exam Tip: सावधि जमा खातों में आमतौर पर निश्चित ब्याज दर होती है, जो चक्रवृद्धि ब्याज के साथ निवेश को समय के साथ बढ़ाने में मदद करती है।