UP Board Solutions Class 7 Maths Chapter 4 Rachnayen

Exercise 4(A)

 

Question 1. 6 सेमी माप के एक रेखाखण्ड को दो बराबर भागों में परकार और पटरी की सहायता से विभाजित कीजिए ।

Answer:ज्ञात है: रेखाखण्ड AB। रचना करनी है: रेखाखण्ड AB का समद्विभाजन। रचना के चरण: 1. सबसे पहले, 6.0 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। 2. अब, AB की लम्बाई के आधे से ज्यादा त्रिज्या (जैसे \( \frac { 6.0 }{ 2 } = 3.0 \) सेमी से ज्यादा) लीजिए। बिन्दु A को केंद्र मानकर, रेखाखण्ड AB के दोनों ओर चाप लगाइए। 3. फिर, बिन्दु B को केंद्र मानकर उसी त्रिज्या से दो और चाप लगाइए। ये चाप पहले वाले चापों को बिन्दु C और D पर काटेंगे। 4. रेखाखण्ड CD को मिलाइए। यह रेखाखण्ड AB को बिन्दु O पर काटता है और उसे दो बराबर भागों में बांट देता है। यह रेखाखण्ड AB का लम्ब समद्विभाजक है।In simple words: आपको 6 सेमी की एक लाइन AB बनानी है। फिर परकार से आधी से ज्यादा दूरी लेकर, A और B से चाप (arcs) बनाओ जो एक-दूसरे को C और D पर काटें। C और D को मिलाओ। यह लाइन AB को दो बराबर हिस्सों में बांट देगी।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि परकार की त्रिज्या रेखाखण्ड की आधी लम्बाई से अधिक हो, तभी चाप एक-दूसरे को काटेंगे।

 

Question 2. 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त जिसका केन्द्र \( O \) है, अपनी अभ्यास पुस्तिका पर खीचिए। इसमें दो जीवाएँ PQ और RS लीजिए। इन दोनों रेखाखण्डों के लम्ब समद्विभाजक खीचिए। ये दोनों लम्ब समद्विभाजक किस बिन्दु पर मिलते हैं?

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, केन्द्र \( O \) मानकर 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। 2. इस वृत्त पर दो जीवाएँ PQ और RS खींचिए। 3. जीवा PQ और RS के लम्ब समद्विभाजक खींचिए (जैसा कि प्रश्न 1 में बताया गया है)। 4. इन दोनों जीवाओं के लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केन्द्र \( O \) पर मिलते हैं। वृत्त की जीवा का लम्ब समद्विभाजक हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।In simple words: 3 सेमी का एक गोला बनाओ। उसमें दो लाइनें (जीवाएँ) PQ और RS खींचो। फिर इन दोनों लाइनों को ठीक बीच से काटने वाली सीधी लाइनें बनाओ। ये दोनों सीधी लाइनें गोले के बीच (केंद्र) पर मिलेंगी।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी भी वृत्त में, किसी भी जीवा का लम्ब समद्विभाजक हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।

 

Question 3. 8 सेमी माप के रेखाखण्ड को चार बराबर भागों में बाँटिए ।

Answer:ज्ञात है: रेखाखण्ड AB = 8 सेमी। रचना करनी है: रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करना। रचना के चरण: 1. सबसे पहले, 8 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। 2. अब, रेखाखण्ड AB का लम्ब समद्विभाजक खींचिए (जैसा कि प्रश्न 1 में बताया गया है)। यह रेखा AB को बिन्दु C पर काटता है, जिससे \( AC = BC \) हो जाता है। 3. इसी तरह, रेखाखण्ड AC का लम्ब समद्विभाजक खींचिए। यह AC को बिन्दु D पर काटेगा। 4. फिर, रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक खींचिए। यह BC को बिन्दु E पर काटेगा। 5. इस प्रकार, रेखाखण्ड AB चार बराबर भागों AD, DC, CE और EB में विभाजित हो जाता है।In simple words: 8 सेमी की एक लाइन बनाओ। पहले उसे बीच से काटो। फिर जो दो छोटे हिस्से बने हैं, उन दोनों को भी बीच से काटो। इस तरह लाइन चार बराबर टुकड़ों में बंट जाएगी।

🎯 Exam Tip: रेखाखण्ड को बराबर भागों में बांटने के लिए, उसे बार-बार बीच से दो हिस्सों में बांटते जाएँ। हर बार लम्ब समद्विभाजक का उपयोग करें।

 

Question 4. परकार की सहायता से 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खीचिए । वृत्त पर एक जीवा खीचिए। वृत्त के केन्द्र से जीवा के मध्य बिन्दु की दूरी माप कर ज्ञात कीजिए।

Answer:ज्ञात है: 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त। ज्ञात करना है: वृत्त के केन्द्र से जीवा के मध्य बिन्दु की दूरी की माप। रचना के चरण: 1. सबसे पहले, 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए, जिसका केन्द्र \( O \) है। 2. वृत्त के केन्द्र \( O \) से कुछ दूरी पर कोई भी जीवा AB खींचिए। 3. अब, वृत्त के केन्द्र \( O \) से जीवा AB पर लम्ब OM खींचिए। यह लम्ब जीवा AB को मध्यबिन्दु M पर काटेगा। 4. मापकर देखने पर, OM की लम्बाई 2.4 सेमी आती है। यह दूरी जीवा AB और वृत्त के केंद्र O के बीच की सबसे कम दूरी है।In simple words: 4 सेमी त्रिज्या का एक गोला बनाओ। गोले में एक सीधी लाइन (जीवा) AB खींचो। गोले के बीच (केंद्र O) से AB पर एक सीधी लाइन (लम्ब) बनाओ जो AB को M पर मिले। फिर O से M तक की दूरी मापो, वह 2.4 सेमी होगी।

🎯 Exam Tip: किसी जीवा पर केंद्र से डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है, और लम्ब की लम्बाई ही केंद्र से जीवा की दूरी होती है।

 

Question 5. 4 सेमी का एक रेखाखण्ड PQ खीचिए। इसके लम्बावर्द्धक कीजिए जो रेखा PQ को बिन्दु D पर काटे, क्या PD = Q D है? पुनः PD त्रिज्या का एक वृत्त खीचिए और देखिए क्या यह वृत्त बिन्दु P और Q से होकर हा रहा है।

Answer:ज्ञात है: रेखाखण्ड PQ = 4 सेमी। रचना करनी है: \( PD = QD \) की जाँच करना और PD त्रिज्या का वृत्त खींचना। रचना के चरण: 1. सबसे पहले, 4 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड PQ खींचिए। 2. बिन्दु P को केन्द्र मानकर और PQ की आधी से अधिक त्रिज्या लेकर, PQ के दोनों ओर चाप लगाइए। 3. उसी त्रिज्या को लेकर, बिन्दु Q को केन्द्र मानकर, PQ के दोनों ओर फिर से चाप लगाइए जो पहले चापों को M और N पर काटते हैं। 4. रेखाखण्ड MN को मिलाइए। यह रेखाखण्ड PQ को बिन्दु D पर काटता है। 5. हाँ, \( PD = QD \) है। ऐसा इसलिए है क्योंकि लम्ब समद्विभाजक रेखाखण्ड को दो बराबर भागों में बांटता है। 6. अब, D को केन्द्र मानकर और PD त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए। यह वृत्त बिन्दु P और Q दोनों से होकर गुजरेगा क्योंकि D, PQ का मध्यबिन्दु है और PD = QD है।In simple words: 4 सेमी की एक लाइन PQ बनाओ। उसे ठीक बीच से काटो, जहाँ वह D पर मिलती है। हाँ, P से D तक और Q से D तक की दूरी बराबर होगी। फिर D को बीच मानकर P तक की दूरी जितनी बड़ा एक गोला बनाओ। यह गोला P और Q दोनों बिन्दुओं से होकर गुजरेगा।

🎯 Exam Tip: किसी रेखाखण्ड का लम्ब समद्विभाजक उस रेखाखण्ड के प्रत्येक बिन्दु से समान दूरी पर होता है, इसलिए \( PD = QD \) होता है।

 

Question 6. 6.4 सेमी का एक रेखाखण्ड AB खीचिए और उसका सममित अक्ष खीचिए ।
Answer:ज्ञात है: रेखाखण्ड AB = 6.4 सेमी। रचना करनी है: रेखाखण्ड AB का सममित अक्ष खींचना। रचना के चरण: 1. सबसे पहले, 6.4 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। 2. अब, रेखाखण्ड AB का लम्ब समद्विभाजक खींचिए (जैसा कि प्रश्न 1 में बताया गया है)। 3. यह लम्ब समद्विभाजक रेखाखण्ड AB का सममित अक्ष होता है। सममित अक्ष वह रेखा होती है जो किसी आकृति को दो समान और प्रतिबिंबित भागों में बांटती है।In simple words: 6.4 सेमी की एक लाइन AB खींचो। फिर उस लाइन को बीच से काटने वाली एक सीधी लाइन बनाओ। यही सीधी लाइन उस लाइन का सममित अक्ष है।

🎯 Exam Tip: किसी रेखाखण्ड का लम्ब समद्विभाजक ही उसका सममित अक्ष होता है, क्योंकि यह रेखाखण्ड को दो बराबर और समरूप हिस्सों में बांटता है। इसे बनाने का अभ्यास करें।

Exercise 4(B)

 

Question 1. अपनी अभ्यास पुस्तिका पर एक 60° का कोण बनाकर पटरी परकार की सहायता से उसे समद्विभाजित कीजिए ।

Answer:ज्ञात है: 60° का कोण। रचना करनी है: 60° के कोण का समद्विभाजन। रचना के चरण: 1. सबसे पहले, पटरी और परकार की सहायता से एक 60° का कोण \( \angle ABC \) बनाइए। 2. बिन्दु B को केंद्र मानकर किसी भी त्रिज्या से एक चाप (arc) लगाइए जो भुजा BA और BC को क्रमशः P और Q बिन्दुओं पर काटे। 3. अब, P और Q को केंद्र मानकर और आधी से ज्यादा त्रिज्या लेकर दो चाप लगाइए जो एक-दूसरे को R पर काटें। 4. रेखाखण्ड BR को मिलाइए और उसे S तक आगे बढ़ाइए। 5. रेखाखण्ड BS, कोण \( \angle ABC \) को समद्विभाजित करता है। यानी, \( \angle ABS = \angle SBC = 30^\circ \) होगा।In simple words: पहले एक 60 डिग्री का कोण बनाओ। फिर उस कोण को बीच से दो बराबर हिस्सों में बांटो। यह काम परकार और रूलर की मदद से किया जाता है।

🎯 Exam Tip: किसी कोण का समद्विभाजक खींचते समय, दूसरे चाप को लगाने के लिए दोनों बिन्दुओं (P और Q) से समान त्रिज्या का उपयोग करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 2. कोई कोण PQR खीचिए। एक किरण QS इस प्रकार खीचिए कि \( \angle PQS = \angle RQS \) |

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, किसी भी माप का एक कोण \( \angle PQR \) बनाइए। 2. अब, प्रश्न 1 में बताई गई विधि का उपयोग करके \( \angle PQR \) का समद्विभाजक किरण QS खींचिए। 3. मापने पर, किरण QS कोण \( \angle PQR \) को दो बराबर भागों में बांटती है, जिससे \( \angle PQS = \angle RQS \) होता है।In simple words: एक कोण PQR बनाओ। फिर उसके ठीक बीच से एक और किरण QS खींचो ताकि कोण PQS और कोण RQS दोनों बराबर हो जाएँ।

🎯 Exam Tip: कोण समद्विभाजक का मतलब कोण को दो बराबर भागों में बांटना होता है। यह किरण कोण के प्रत्येक बिन्दु से समान दूरी पर होती है।

 

Question 3. एक 120° का कोण खींचकर पटरी परकार की सहायता से इसको चार बराबर भागों में विभक्त कीजिए और नापकर सत्यापित कीजिए ।

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, पटरी और परकार की सहायता से एक 120° का कोण \( \angle CAB \) बनाइए। 2. कोण \( \angle CAB \) को समद्विभाजित कीजिए (यानी, दो बराबर 60° के कोणों में बांटिए)। इससे हमें एक किरण AD मिलती है। 3. अब, कोण \( \angle DAB \) (60°) और कोण \( \angle CAD \) (60°) को भी समद्विभाजित कीजिए। इससे हमें किरण AF (30°) और किरण AM (90°) मिलती हैं। 4. इस प्रकार, 120° का कोण \( \angle CAB \) चार बराबर भागों में विभाजित हो जाता है, जिसमें प्रत्येक भाग 30° का होता है।In simple words: एक 120 डिग्री का कोण बनाओ। उसे दो बराबर हिस्सों में बांटो। फिर उन दो हिस्सों को भी फिर से दो-दो हिस्सों में बांटो। इस तरह कोण चार बराबर 30 डिग्री के टुकड़ों में बंट जाएगा।

🎯 Exam Tip: किसी कोण को \( 2^n \) बराबर भागों में बांटने के लिए, उसे \( n \) बार समद्विभाजित करें। उदाहरण के लिए, 4 भागों के लिए 2 बार समद्विभाजन करें।

 

Question 4. एक समकोण बनाइए तथा उसके समद्विभाजक की रचना कीजिए।

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, एक रेखाखण्ड AB खींचिए। 2. बिन्दु A पर 90° का कोण \( \angle MAB \) बनाइए। इसके लिए, A को केंद्र मानकर एक चाप लगाइए जो AB को P पर काटे। फिर P को केंद्र मानकर पहले चाप पर एक और चाप (Q) लगाइए। फिर Q को केंद्र मानकर एक और चाप (R) लगाइए। अब, Q और R को केंद्र मानकर दो चाप लगाइए जो M पर कटें। A और M को मिलाइए। 3. अब, कोण \( \angle MAB = 90^\circ \) को समद्विभाजित कीजिए। इसके लिए, A को केंद्र मानकर एक चाप लगाइए जो AM को N पर और AB को P पर काटे। फिर N और P को केंद्र मानकर दो चाप लगाइए जो एक-दूसरे को O पर काटें। AO को मिलाइए। 4. इस प्रकार, किरण AO कोण \( \angle MAB \) को समद्विभाजित करती है, जिससे \( \angle OAB = \frac { 1 }{ 2 } \angle MAB = \frac { 1 }{ 2 } \times 90^\circ = 45^\circ \) होता है।In simple words: पहले एक 90 डिग्री का कोण बनाओ। फिर उस 90 डिग्री के कोण को ठीक बीच से काटो। तुम्हें 45-45 डिग्री के दो कोण मिलेंगे।

🎯 Exam Tip: समकोण का समद्विभाजक 45° का कोण बनाता है। 90° का कोण बनाने के लिए परकार का उपयोग करें, और फिर उसे बीच से काट दें।

 

Question 5. अपनी अभ्यास पुस्तिका पर एक \( \angle PQR = 60^\circ \) बनाइए तथा दूसरा कोण \( \angle ABC = 45^\circ \) खीचिए \( \angle PQN = \angle PQR - \angle ABC \) हो जाए ।

Answer:ज्ञात है: एक बड़ा कोण \( \angle PQR \) और एक छोटा कोण \( \angle ABC \)। रचना करनी है: \( \angle PQN = \angle PQR - \angle ABC \) के बराबर कोण की रचना करना। रचना के चरण: 1. सबसे पहले, अपनी अभ्यास पुस्तिका पर एक बड़ा कोण \( \angle PQR \) (जैसे 60°) और एक छोटा कोण \( \angle ABC \) (जैसे 45°) बनाइए। 2. एक नई रेखा XY खींचिए। X को केंद्र मानकर और कोण \( \angle PQR \) में ली गई त्रिज्या से एक चाप (arc) लगाइए जो XY को G पर काटे। 3. अब, कोण \( \angle PQR \) के दोनों भुजाओं के बीच की दूरी को परकार से मापिए (जैसे P और Q पर चाप काटकर)। यह दूरी H पर चाप लगाने के लिए उपयोग होगी। 4. फिर, G को केंद्र मानकर और कोण \( \angle ABC \) के दोनों भुजाओं के बीच की दूरी को परकार से मापकर, एक चाप लगाइए जो पहले चाप को I पर काटे। 5. X को I से मिलाइए और इसे Z तक बढ़ाइए। इस प्रकार, \( \angle ZXY \) कोण \( \angle PQR \) और \( \angle ABC \) के अंतर के बराबर होगा। मापने पर, \( \angle NQR \) का मान \( \angle PQR - \angle ABC \) के बराबर होता है।In simple words: दो कोण बनाओ - एक बड़ा (PQR) और एक छोटा (ABC)। फिर एक नया कोण बनाओ जो बड़े कोण में से छोटे कोण को घटाने पर मिले।

🎯 Exam Tip: दो कोणों का अंतर बनाने के लिए, बड़े कोण में से छोटे कोण की माप को घटाकर एक नया कोण बनाइए। इसमें पहले बड़े कोण को एक आधार रेखा पर बनाते हैं, फिर उस कोण के भीतर से छोटे कोण की माप काट ली जाती है।

Exercise 4(C)

 

Question 1. अपनी अभ्यास पुस्तिका पर दो समान्तर रेखाएँ AB और CD खीचिए । बिन्दु A और C पर क्रमशः 30° और 60° के कोण बनाती हुई रेखाखण्ड AM और रेखाखंड CM बनाइए। \( \angle AMC \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, दो समान्तर रेखाएँ AB और CD खींचिए। 2. बिन्दु A पर 30° का कोण बनाती हुई रेखाखण्ड AM खींचिए। 3. बिन्दु C पर 60° का कोण बनाती हुई रेखाखण्ड CM खींचिए। 4. रेखाखण्ड AM और CM एक-दूसरे को बिन्दु M पर काटते हैं। 5. कोण \( \angle AMC \) का मान मापने पर 90° प्राप्त होता है।In simple words: दो समानांतर रेखाएँ बनाओ। एक रेखा से 30 डिग्री का कोण बनाओ और दूसरी से 60 डिग्री का। जहाँ ये दोनों कोण की लाइनें मिलें, वहाँ बनने वाले कोण (AMC) को मापो, वह 90 डिग्री होगा।

🎯 Exam Tip: समांतर रेखाओं के बीच बने तिर्यक छेदी रेखाओं से बनने वाले कोणों के संबंधों को याद रखें। यहाँ \( \angle MAC \) और \( \angle MCA \) एक त्रिभुज बनाते हैं।

 

Question 2. पटरी और परकार की सहायता से एक वर्ग की रचना कीजिए जिसकी प्रत्येक भुजा 5 सेमी है। विकर्ण की लम्बाई को मापकर उसका मान लिखिए।

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, 5 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। 2. बिन्दु A और B पर पटरी और परकार की सहायता से 90° का कोण बनाइए। 3. परकार में 5 सेमी की दूरी भरिए। A को केंद्र मानकर AX पर चाप लगाइए जो उसे D पर काटे। B को केंद्र मानकर BY पर चाप लगाइए जो उसे C पर काटे। 4. रेखाखण्ड CD को मिलाइए। इस प्रकार, ABCD एक वर्ग है जिसकी प्रत्येक भुजा 5 सेमी है। 5. विकर्ण AC को मिलाइए। मापने पर, विकर्ण AC की लम्बाई लगभग 7.1 सेमी आती है। पाइथागोरस प्रमेय से भी इसकी पुष्टि होती है (\( \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.07 \) सेमी)।In simple words: 5 सेमी भुजा वाला एक वर्ग बनाओ। इसमें सभी कोने 90 डिग्री के होंगे और सभी भुजाएँ बराबर होंगी। फिर इसके एक कोने से दूसरे कोने तक तिरछी लाइन खींचो और उसकी लम्बाई मापो। यह लगभग 7.1 सेमी होगी।

🎯 Exam Tip: वर्ग की रचना करते समय 90° के कोणों का सटीक निर्माण और भुजाओं की समान लम्बाई सुनिश्चित करें। विकर्ण की लम्बाई को मापने के बाद, आप इसकी पुष्टि पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भी कर सकते हैं।

 

Question 3. 4 सेमी माप के रेखाखण्ड AB के अन्त्य बिन्दु A पर \( \angle BAC=60^\circ \) की रचना कीजिए। बिन्दु B से AC के समान्तर रेखा खींचिए ।

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, 4 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। 2. बिन्दु A पर पटरी और परकार की सहायता से 60° का कोण \( \angle BAC \) बनाइए। 3. बिन्दु B से AC के समान्तर रेखा खींचने के लिए, बिन्दु B पर 60° का कोण बनाइए (जो AB के साथ बनाए गए \( \angle BAC \) के संगत कोण या एकान्तर अंतः कोण के बराबर होगा)। यह किरण BD खींचिए। 4. इस प्रकार, रेखा BD, रेखा AC के समान्तर है।In simple words: 4 सेमी की एक लाइन AB बनाओ। A पर 60 डिग्री का कोण बनाओ। फिर B पर भी 60 डिग्री का कोण बनाओ (जो पहले कोण के जैसा ही होगा)। यह दूसरी लाइन (BD) पहली लाइन (AC) के समानांतर होगी।

🎯 Exam Tip: समान्तर रेखाएँ खींचने के लिए संगत कोण या एकान्तर अंतः कोणों के बराबर कोण बनाने की विधि का उपयोग करें। यह सुनिश्चित करता है कि रेखाएँ कभी नहीं मिलेंगी।

 

Question 4. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जबकि BC=4 सेमी, CA=8 सेमी और AB=6 सेमी । AB के मध्य बिन्दु से BC के समान्तर रेखा खीचिए जो AC को बिन्दु M पर काटे । AM तथा CM की लम्बाई को मापकर लिखिए। क्या AM=CM है?

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, AB = 6 सेमी का एक रेखाखण्ड खींचिए। 2. बिन्दु A को केंद्र मानकर 8 सेमी त्रिज्या का एक चाप लगाइए। 3. बिन्दु B को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का दूसरा चाप लगाइए जो पहले चाप को बिन्दु C पर काटे। 4. A, B और C को मिलाइए। इस प्रकार, \( \triangle ABC \) अभीष्ट त्रिभुज है। 5. रेखाखण्ड AB का मध्य बिन्दु H ज्ञात कीजिए (समद्विभाजक खींचकर)। 6. बिन्दु H से BC के समान्तर एक रेखा HM खींचिए जो AC को बिन्दु M पर काटे। (समान्तर रेखा खींचने के लिए प्रश्न 3 की विधि का उपयोग करें, जैसे \( \angle AHM = \angle ABC \) बनाइए।) 7. मापने पर, AM = 4 सेमी और CM = 4 सेमी आता है। 8. हाँ, AM = CM है। त्रिभुज के मध्यबिन्दु प्रमेय के अनुसार, यदि एक भुजा के मध्यबिन्दु से दूसरी भुजा के समान्तर रेखा खींची जाए, तो वह तीसरी भुजा को भी मध्यबिन्दु पर काटती है।In simple words: एक त्रिभुज ABC बनाओ, जिसकी भुजाएँ 4, 6, और 8 सेमी हों। AB के बीच वाले बिन्दु (H) से, BC के समानांतर एक लाइन खींचो जो AC को M पर काटे। AM और CM की लम्बाई मापो। दोनों 4 सेमी होंगे, इसलिए हाँ, AM और CM बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रश्न में मध्यबिन्दु प्रमेय का उपयोग होता है। प्रमेय कहता है कि त्रिभुज की एक भुजा के मध्यबिन्दु से दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को भी समद्विभाजित करती है।

Exercise 4(D)

 

Question 1. एक रेखाखण्ड AB खीचिए। इस पर कोई बिन्दु M अंकित कीजिए। M से होकर रेखाखण्ड AB पर एक लम्ब पटरी और परक द्वारा खीचिए ।

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, एक रेखाखण्ड AB खींचिए। 2. इस रेखाखण्ड AB पर कोई बिन्दु M अंकित कीजिए। 3. M को केंद्र मानकर और किसी भी त्रिज्या से एक चाप लगाइए जो AB को P और Q बिन्दुओं पर काटे। 4. अब, P को केंद्र मानकर PM से थोड़ी अधिक त्रिज्या लेकर AB के ऊपर की ओर एक चाप लगाइए। 5. फिर, Q को केंद्र मानकर उसी त्रिज्या से दूसरा चाप लगाइए जो पहले चाप को C पर काटे। 6. बिन्दु M और C को मिलाते हुए रेखाखण्ड MC खींचिए। यह रेखाखण्ड AB पर लम्ब होगा।In simple words: एक लाइन AB बनाओ। उस पर एक बिन्दु M लगाओ। M को केंद्र मानकर लाइन पर P और Q पर चाप लगाओ। फिर P और Q से ऊपर की ओर चाप लगाओ जो C पर मिलें। C और M को मिलाओ। यह लाइन AB पर सीधी खड़ी होगी।

🎯 Exam Tip: एक रेखा पर स्थित बिन्दु से लम्ब खींचते समय, रेखा पर दो समान दूरी वाले बिन्दु (P और Q) बनाना पहला महत्वपूर्ण चरण होता है।

 

Question 2. एक रेखाखण्ड PQ खीचिए । कोई बिन्दु R लीजिए जो रेखा PQ पर न हो। R से होकर रेखा PQ पर एक लम्ब खीचिए ।

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, एक रेखाखण्ड PQ खींचिए। 2. रेखा PQ पर न स्थित कोई बिन्दु R लीजिए। 3. R को केंद्र मानकर और इतनी त्रिज्या लेकर एक चाप लगाइए जो रेखा PQ को दो बिन्दुओं A और B पर काटे। 4. अब, A को केंद्र मानकर AB की आधी से अधिक त्रिज्या लेकर R के विपरीत दिशा में (यानी, PQ के नीचे) एक चाप लगाइए। 5. फिर, B को केंद्र मानकर उसी त्रिज्या से दूसरा चाप लगाइए जो पहले चाप को S पर काटे। 6. बिन्दु R और S को मिलाइए। यह रेखाखण्ड RS, रेखा PQ को बिन्दु C पर काटता है और उस पर लम्ब होता है।In simple words: एक लाइन PQ बनाओ। उसके बाहर एक बिन्दु R लगाओ। R से एक चाप बनाओ जो लाइन PQ को दो जगह काटे। उन दोनों जगह से फिर चाप बनाओ जो S पर मिलें। R और S को मिलाओ। यह लाइन PQ पर सीधी खड़ी होगी।

🎯 Exam Tip: रेखा के बाहर स्थित बिन्दु से लम्ब खींचते समय, रेखा पर दो बिन्दु (A और B) बनाना और फिर उनसे समान त्रिज्या के चाप लगाना मुख्य चरण होता है।

 

Question 3. 5 सेमी का एक रेखाखण्ड MN खीचिए। रेखाखण्ड MN पर एक बिन्दु Pलेकर, बिन्दु P से रेखाखण्ड MN पर एक लम्ब खीचिए ।

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, 5 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड MN खींचिए। 2. इस रेखाखण्ड MN पर कोई बिन्दु P लीजिए। 3. P को केंद्र मानकर और किसी भी त्रिज्या से एक चाप लगाइए जो रेखाखण्ड MN को R और S बिन्दुओं पर काटे। 4. अब, R को केंद्र मानकर RP से अधिक त्रिज्या लेकर MN के ऊपर की ओर एक चाप लगाइए। 5. फिर, S को केंद्र मानकर उसी त्रिज्या से दूसरा चाप लगाइए जो पहले चाप को L पर काटे। 6. बिन्दु L और P को मिलाइए। इस प्रकार, रेखा LP रेखा MN पर लम्ब है।In simple words: 5 सेमी की एक लाइन MN बनाओ। उस पर एक बिन्दु P लगाओ। P को बीच मानकर लाइन पर R और S पर चाप लगाओ। फिर R और S से ऊपर की ओर चाप बनाओ जो L पर मिलें। L और P को मिलाओ। यह लाइन MN पर सीधी खड़ी होगी।

🎯 Exam Tip: रेखा पर स्थित बिन्दु से लम्ब खींचने की विधि प्रश्न 1 (अभ्यास 4(d)) के समान है। रेखाखण्ड की लम्बाई का उपयोग केवल उसे खींचने के लिए होता है।

दक्षता अभ्यास-4

 

Question 1. चाँदी की सहायता से 30° का कोण खींचिए। अब पटरी और परकार की सहायता से इसे समद्विभाजित कीजिए। प्रत्येक कोण को माप कर सत्यापन कीजिए।

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, पटरी की सहायता से एक रेखाखण्ड BC खींचिए। 2. बिन्दु B पर चाँदा (protractor) की सहायता से 30° का कोण \( \angle ABC \) बनाइए। 3. बिन्दु B को केंद्र मानकर किसी भी त्रिज्या से एक चाप लगाइए जो भुजा BA और BC को क्रमशः N और M बिन्दुओं पर काटे। 4. अब, N और M को केंद्र मानकर उसी त्रिज्या से दो चाप लगाइए जो एक-दूसरे को P पर काटें। 5. बिन्दु B और P को मिलाइए और उसे D तक आगे बढ़ाइए। यह किरण BD, कोण \( \angle ABC \) का समद्विभाजक है। 6. मापने पर, \( \angle DBC = 15^\circ \) और \( \angle ABD = 15^\circ \) होता है। इस प्रकार, कोण 30° को दो 15° के कोणों में समद्विभाजित किया गया है।In simple words: पहले चाँदा से 30 डिग्री का कोण बनाओ। फिर परकार और पटरी से उस कोण को ठीक बीच से काटो। तुम देखोगे कि दोनों नए कोण 15-15 डिग्री के होंगे।

🎯 Exam Tip: चाँदा का उपयोग केवल कोण बनाने के लिए करें। समद्विभाजन के लिए हमेशा पटरी और परकार का उपयोग करें ताकि आपकी रचना सटीक हो।

 

Question 2. दो रेखाएँ AB और CD खीचिए जो किसी बिन्दू \( O \) पर प्रतिच्छेदित करती हैं। इस प्रकार बने शीर्षाभिमुख कोण COA और कोण BOD की पटरी परकार की सहायता से समद्विभाजित करके सत्यापित कीजिए कि इनके समद्विभाजक एक ही रेखा में हैं।

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, दो रेखाएँ AB और CD खींचिए जो एक-दूसरे को बिन्दु \( O \) पर प्रतिच्छेदित करती हैं। 2. कोण \( \angle COA \) का समद्विभाजक रेखा OT खींचिए। 3. कोण \( \angle BOD \) का समद्विभाजक रेखा OS खींचिए। सत्यापन: मापने पर, \( \angle SOT = 180^\circ \) पाया जाता है। इसका मतलब है कि कोणों के समद्विभाजक OT और OS एक ही सीधी रेखा में हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं और उनके समद्विभाजक भी एक सीधी रेखा बनाते हैं।In simple words: दो लाइनें खींचो जो एक-दूसरे को काटें (O पर)। जो कोण आमने-सामने हों (शीर्षाभिमुख कोण), उनके बीच से एक-एक लाइन खींचो। तुम देखोगे कि ये दोनों नई लाइनें मिलकर एक सीधी लाइन बनाती हैं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि शीर्षाभिमुख कोण हमेशा बराबर होते हैं, और उनके समद्विभाजक भी हमेशा एक सीधी रेखा में होते हैं।

 

Question 3. एक अधिक कोण \( \angle PQR \) तथा एक न्यून कोण \( \angle ABC \) खीचिए। इन दोनों के अन्तर के बराबर कोण की रचना कीजिए। बनाए गए कोण की माप बताइए। यह एक न्यूनकोण है या अधिक कोण?

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, अपनी अभ्यास पुस्तिका पर एक अधिक कोण \( \angle PQR \) (जैसे 120°) और एक न्यून कोण \( \angle ABC \) (जैसे 40°) खींचिए। 2. एक किरण XY खींचिए। X को केंद्र मानकर और किसी भी त्रिज्या से एक बड़ा चाप लगाइए। कोण \( \angle PQR \) में भी उसी त्रिज्या का चाप लगाइए जो भुजाओं को S और T पर काटे। कोण \( \angle ABC \) में भी उसी त्रिज्या का चाप लगाइए जो भुजाओं को E और F पर काटे। 3. अब, कोण \( \angle PQR \) की भुजाओं के बीच की दूरी ST को परकार से मापिए। 4. X को केंद्र मानकर XY पर लगाए गए चाप पर G से चाप लगाइए जो उसे H पर काटे। 5. फिर, कोण \( \angle ABC \) की भुजाओं के बीच की दूरी EF को परकार से मापिए। 6. H को केंद्र मानकर G पर लगाए गए चाप पर I से चाप लगाइए। 7. X को I से मिलाइए और इसे Z तक आगे बढ़ाइए। इस प्रकार, कोण \( \angle ZXY \) कोण \( \angle PQR \) और \( \angle ABC \) के अंतर के बराबर होगा। मापकर देखने पर, मान लीजिए यदि \( \angle PQR = 120^\circ \) और \( \angle ABC = 40^\circ \), तो \( \angle ZXY = 120^\circ - 40^\circ = 80^\circ \) होगा। यह एक न्यूनकोण है क्योंकि इसका माप 90° से कम है।In simple words: एक बड़ा (अधिक) कोण और एक छोटा (न्यून) कोण बनाओ। फिर एक तीसरा कोण ऐसा बनाओ जिसकी माप बड़े कोण में से छोटे कोण को घटाकर मिले। उदाहरण के लिए, यदि एक कोण 120 डिग्री है और दूसरा 40 डिग्री, तो अंतर 80 डिग्री होगा, जो एक छोटा (न्यून) कोण है।

🎯 Exam Tip: कोणों का अंतर बनाने की विधि में, एक बड़े कोण के आधार से शुरू करें और फिर छोटे कोण की माप को "घटाने" के लिए चापों का उपयोग करें। यह सुनिश्चित करें कि आप माप सही ढंग से घटा रहे हैं।

 

Question 4. पटरी और परकार की सहायता से \( 7\frac { 1 }{ 2 }^\circ \) और \( 22\frac { 1 }{ 2 }^\circ \) के कोणों की रचना कीजिए ।

Answer:रचना के चरण: 1. \( 7\frac { 1 }{ 2 }^\circ \) के कोण की रचना: सबसे पहले 30° का कोण बनाइए (जैसा कि पहले सिखाया गया है)। इस 30° के कोण को समद्विभाजित कीजिए, जिससे 15° का कोण मिलेगा। अब इस 15° के कोण को फिर से समद्विभाजित कीजिए, जिससे \( 7\frac { 1 }{ 2 }^\circ \) का कोण प्राप्त होगा। 2. \( 22\frac { 1 }{ 2 }^\circ \) के कोण की रचना: सबसे पहले 90° का कोण बनाइए (जैसा कि पहले सिखाया गया है)। इस 90° के कोण को समद्विभाजित कीजिए, जिससे 45° का कोण मिलेगा। अब इस 45° के कोण को फिर से समद्विभाजित कीजिए, जिससे \( 22\frac { 1 }{ 2 }^\circ \) का कोण प्राप्त होगा।In simple words: 7.5 डिग्री का कोण बनाने के लिए, पहले 30 डिग्री का कोण बनाओ, फिर उसे दो बार आधा करो। 22.5 डिग्री का कोण बनाने के लिए, पहले 90 डिग्री का कोण बनाओ, फिर उसे दो बार आधा करो।

🎯 Exam Tip: छोटे कोणों की रचना हमेशा बड़े, ज्ञात कोणों (जैसे 30°, 60°, 90°) को बार-बार समद्विभाजित करके की जाती है। प्रत्येक समद्विभाजन कोण को आधा कर देता है।

 

Question 5. एक 3 सेमी माप के रेखाखण्ड AB के सिरे A पर लम्ब AC = 3 सेमी खीचिए । बिन्दुओं B,C को मिलाइए। कोणों को मापकर सत्यापित कीजिए कि \( \angle ABC = \angle ACB = 45^\circ \)

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, 3 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। 2. बिन्दु A पर रेखाखण्ड AB पर लम्ब AC = 3 सेमी खींचिए (जैसा कि अभ्यास 4(d) के प्रश्न 1 में बताया गया है)। 3. बिन्दु B और C को मिलाइए। इस प्रकार, \( \triangle ABC \) एक समकोण त्रिभुज बनता है। सत्यापन: चूँकि \( AC = AB = 3 \) सेमी है, यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है। हम जानते हैं कि समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं। इसलिए, \( \angle ABC = \angle ACB \)। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है: \( \angle ABC + \angle ACB + \angle CAB = 180^\circ \) चूँकि \( \angle CAB = 90^\circ \) (लम्ब होने के कारण), \( \angle ABC + \angle ABC + 90^\circ = 180^\circ \) \( 2 \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ \) \( 2 \angle ABC = 90^\circ \) \( \angle ABC = \frac { 90^\circ }{ 2 } = 45^\circ \) इसलिए, \( \angle ABC = \angle ACB = 45^\circ \) है।In simple words: 3 सेमी की एक सीधी लाइन AB बनाओ। A पर 3 सेमी की एक और लाइन AC सीधी खड़ी बनाओ। B और C को मिला दो। तुम देखोगे कि A पर 90 डिग्री का कोण बना है और B और C पर 45-45 डिग्री के कोण बने हैं।

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में, समकोण के अलावा बाकी दो कोण हमेशा 45° के होते हैं। इसे याद रखने से सत्यापन में मदद मिलती है।

 

Question 6. एक 5 सेमी माप का रेखाखण्ड AB खीचिए। बिन्दुओं A और B पर क्रमशः 60° और 120° के कोणों की रचना पटरी और परकार की सहायता से खीचिए। इन कोणों के अर्धक खीचिए । मान लीजिए कि ये बिन्दु C पर मिलते हैं। \( \angle ACB \) को नापिए ।

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, 5 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। 2. बिन्दु A पर पटरी और परकार की सहायता से 60° का कोण \( \angle MAB \) बनाइए। 3. बिन्दु B पर पटरी और परकार की सहायता से 120° का कोण \( \angle NBA \) बनाइए (जहाँ NB किरण AB के विपरीत दिशा में 120° का कोण बनाती है, यानी अंदर की ओर 60° का कोण)। 4. कोण \( \angle MAB \) का समद्विभाजक खींचिए (यह 30° का कोण होगा)। 5. कोण \( \angle NBA \) का समद्विभाजक खींचिए (यह 60° का कोण होगा)। 6. ये दोनों समद्विभाजक एक-दूसरे को बिन्दु C पर काटते हैं। 7. मापने पर, \( \angle ACB \) का मान 90° प्राप्त होता है। (त्रिभुज ABC में कोण \( \angle A \) का आधा \( 30^\circ \) और कोण \( \angle B \) का आधा \( 30^\circ \) होगा, तो \( \angle C = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \). यदि 120 डिग्री का कोण बाहर की ओर है, तो त्रिभुज के अंदर कोण 60 डिग्री होगा। यदि कोण \( \angle MAB = 60^\circ \) और \( \angle NBA = 120^\circ \) हैं, तो \( \triangle ABC \) के कोण \( \angle BAC = 60^\circ \) और \( \angle ABC = 60^\circ \) होंगे। तब \( \angle ACB = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ \)। यदि \( \angle MAB = 60^\circ \) है, तो उसका अर्धक \( 30^\circ \) है। यदि \( \angle NBA = 120^\circ \) है, तो उसका अर्धक \( 60^\circ \) है। तो त्रिभुज में \( \angle CAB \) का अर्धक \( 30^\circ \) और \( \angle CBA \) का अर्धक \( 60^\circ \) माना जा रहा है। तो \( \angle ACB = 180 - (30 + 60) = 90^\circ \) )In simple words: 5 सेमी की एक लाइन AB बनाओ। A पर 60 डिग्री का कोण और B पर 120 डिग्री का कोण बनाओ। फिर इन दोनों कोणों को आधा-आधा कर दो। जहाँ ये आधी लाइनें मिलें (C पर), वहाँ का कोण (ACB) मापो। वह 90 डिग्री होगा।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के दो कोणों के समद्विभाजक जहाँ मिलते हैं, वहाँ बनने वाला कोण ज्ञात करने के लिए त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करें। यह सुनिश्चित करें कि कोणों को सही ढंग से समद्विभाजित किया गया है।

 

Question 7. किसी त्रिज्या का एक वृत्त खीचिए। इसमें दो जीवा PQ और QR लीजिए। इन जीवाओं के लम्बर्धक खीचिए। इनके प्रतिच्छेद बिन्दु C से P, Q और R को मिलाइए। रचना द्वारा सत्यापित कीजिए कि बिन्दु C वृत्त का केन्द्र है।

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, किसी भी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। 2. इस वृत्त में दो जीवाएँ PQ और QR खींचिए। 3. जीवा PQ का लम्ब समद्विभाजक खींचिए। 4. जीवा QR का लम्ब समद्विभाजक खींचिए। 5. ये दोनों लम्ब समद्विभाजक एक-दूसरे को बिन्दु C पर काटते हैं। 6. बिन्दु C से P, Q और R को मिलाइए (यानी CP, CQ, CR रेखाखण्ड खींचिए)। सत्यापन: मापने पर, CP = CQ = CR पाया जाता है। चूँकि C से वृत्त पर स्थित बिन्दु P, Q और R की दूरी समान है, अतः बिन्दु C वृत्त का केन्द्र है।In simple words: कोई भी गोला बनाओ। उसमें दो लाइनें (जीवाएँ) PQ और QR खींचो। फिर इन दोनों लाइनों को ठीक बीच से काटने वाली लाइनें बनाओ। जहाँ ये दोनों लाइनें मिलें (C पर), वह गोले का बीच (केंद्र) होगा। C से P, Q, R तक की दूरी नापो, सब बराबर होंगी।

🎯 Exam Tip: वृत्त के केंद्र का पता लगाने के लिए, किसी भी दो जीवाओं के लम्ब समद्विभाजक खींचें। जहाँ वे मिलते हैं, वही वृत्त का केंद्र होता है। यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण है।

 

Question 8. एक त्रिभुज PQR खीचिए। इनके अन्तः कोणों के समद्विभाजक खींचिए। क्या इनके अर्द्धक एक ही बिन्दु पर मिलते हैं?

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, एक त्रिभुज PQR बनाइए। 2. त्रिभुज के प्रत्येक अन्तः कोण (यानी \( \angle P, \angle Q, \angle R \)) का समद्विभाजक खींचिए (जैसा कि अभ्यास 4(b) के प्रश्न 1 में बताया गया है)। 3. ये सभी समद्विभाजक (उदाहरण के लिए, AP, BQ, और CR) एक ही बिन्दु पर मिलते हैं। इस बिन्दु को त्रिभुज का अन्तःकेन्द्र (Incenter) कहते हैं।In simple words: एक त्रिभुज PQR बनाओ। उसके तीनों कोनों को आधा-आधा करने वाली लाइनें खींचो। हाँ, ये तीनों लाइनें एक ही बिन्दु पर मिलेंगी।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के अन्तः कोणों के समद्विभाजक हमेशा एक ही बिन्दु पर मिलते हैं। यह बिन्दु त्रिभुज के अंदर स्थित होता है और अन्तःवृत्त का केंद्र होता है।

 

Question 9. एक त्रिभुज ABC खीचिए। इनकी भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक खीचिए। क्या ये एक ही बिन्दु पर मिलते हैं?

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, एक त्रिभुज ABC बनाइए। 2. त्रिभुज की प्रत्येक भुजा (AB, BC, और CA) का लम्ब समद्विभाजक खींचिए (जैसा कि अभ्यास 4(a) के प्रश्न 1 में बताया गया है)। 3. ये सभी लम्ब समद्विभाजक (उदाहरण के लिए, PQ, RS, और TU) एक ही बिन्दु पर मिलते हैं। इस बिन्दु को त्रिभुज का परिकेन्द्र (Circumcenter) कहते हैं। 4. हाँ, ये एक ही बिन्दु पर मिलते हैं। यह बिन्दु त्रिभुज के शीर्षों से समान दूरी पर होता है।In simple words: एक त्रिभुज ABC बनाओ। उसकी तीनों भुजाओं को ठीक बीच से काटने वाली सीधी लाइनें खींचो। हाँ, ये तीनों लाइनें एक ही बिन्दु पर मिलेंगी।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज की भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक हमेशा एक ही बिन्दु पर मिलते हैं। यह बिन्दु त्रिभुज के शीर्षों से समान दूरी पर होता है और परिवृत्त का केंद्र होता है।

 

Question 10. पटरी और परकार की सहायता से 210° के कोण की रचना कीजिए।

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, एक रेखाखण्ड AB खींचिए। 2. बिन्दु A पर 180° का कोण \( \angle BAC \) (एक सीधी रेखा) और 240° का कोण \( \angle BAD \) बनाइए। 3. कोण \( \angle CAD \) (जो \( 240^\circ - 180^\circ = 60^\circ \) है) का समद्विभाजक खींचिए। 4. इस समद्विभाजक किरण को AE नाम दीजिए। इस प्रकार प्राप्त कोण \( \angle BAE = \frac { \angle BAC + \angle BAD }{ 2 } \) होगा। \( \implies \) \( \angle BAE = \frac { 180^\circ + 240^\circ }{ 2 } \) \( \implies \) \( \angle BAE = \frac { 420^\circ }{ 2 } \) \( \implies \) \( \angle BAE = 210^\circ \) इस प्रकार, \( 210^\circ \) के कोण की रचना होती है।In simple words: 210 डिग्री का कोण बनाने के लिए, पहले एक सीधी लाइन बनाओ जो 180 डिग्री दिखाए। फिर एक और लाइन ऐसी बनाओ जो 240 डिग्री पर हो। इन दोनों लाइनों के बीच को आधा कर दो। वह लाइन 210 डिग्री का कोण बनाएगी।

🎯 Exam Tip: 180° से बड़े कोणों की रचना के लिए, कोण को दो ज्ञात कोणों के बीच के क्षेत्र को समद्विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है। इसमें हमेशा 180° के कोण को आधार के रूप में उपयोग करना शामिल होता है।

 

Question 11. एक रेखाखण्ड AB खीचिए। ABके बाहर कोई बिन्दु \( O \) लीजिए । \( O \) से होकर जाने वाली AB के समान्तर रेखा PQ खीचिए । \( O \) को बिन्दु B से मिलाइए । रेखा PQ पर कोई अन्य बिन्दु S लीजिए । बिन्दु S से होकर जाने वाली रेखा OB के समान्तर एक रेखा खीचिए जो PQ को बिन्दु T पर काटे । समान्तर रेखाओं के इन युग्मों से कौन-सी आकृति बनती है।

Answer:रचना के चरण: 1. सबसे पहले, एक रेखाखण्ड AB खींचिए। 2. रेखाखण्ड AB के बाहर कोई बिन्दु \( O \) लीजिए। \( O \) को B से मिलाइए। 3. अब, बिन्दु \( O \) से होकर जाने वाली और रेखा AB के समान्तर एक रेखा PQ खींचिए (समान्तर रेखा खींचने के लिए प्रश्न 3, अभ्यास 4(c) की विधि का उपयोग करें)। 4. रेखाखण्ड AB पर कोई अन्य बिन्दु S लीजिए। बिन्दु S से होकर जाने वाली और रेखा OB के समान्तर एक रेखा खींचिए जो PQ को बिन्दु T पर काटे। 5. रेखाखण्ड ST को मिलाइए। 6. इस प्रकार बनी आकृति SBOT एक समान्तर चतुर्भुज (Parallelogram) है। समान्तर चतुर्भुज में विपरीत भुजाओं के युग्म एक-दूसरे के समान्तर होते हैं (यानी, OB \( \parallel \) ST और OS \( \parallel \) BT)।In simple words: एक लाइन AB बनाओ। बाहर एक बिन्दु O लो। O से AB के समान्तर एक लाइन PQ बनाओ। O को B से जोड़ो। AB पर एक और बिन्दु S लो। S से OB के समान्तर एक लाइन खींचो जो PQ को T पर काटे। यह आकृति (OBTS) एक समानांतर चतुर्भुज होगी।

🎯 Exam Tip: समान्तर रेखाओं के युग्मों का उपयोग करके अक्सर समान्तर चतुर्भुज या समलम्ब चतुर्भुज जैसी आकृतियाँ बनती हैं। समान्तर रेखाएँ बनाने की विधियों का अभ्यास करें।