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अभ्यास 3(a)
Question 1. किसी कक्षा की वार्षिक परीक्षा के 60 शिक्षार्थियों के परिणाम निम्नांकित पाई ग्राफ द्वारा निरूपित हैं। चित्र देखकर बताइए :
(i) सबसे अधिक शिक्षार्थी किस श्रेणी में उत्तीर्ण हुए?
(ii) सबसे कम शिक्षार्थी किस श्रेणी में उत्तीर्ण हुए?
(iii) अनुत्तीर्ण शिक्षार्थियों की संख्या कितनी है?
(iv) प्रथम श्रेणी और द्वितीय श्रेणी में उत्तीर्ण शिक्षार्थियों की संख्याओं में अनुपात क्या है?
Answer:
(i) सबसे अधिक शिक्षार्थी द्वितीय श्रेणी में उत्तीर्ण हुए। द्वितीय श्रेणी में 180° का कोण है, जो कुल शिक्षार्थियों का आधा हिस्सा है, जिसका मतलब है सबसे ज़्यादा छात्र इसी श्रेणी में पास हुए।
(ii) पास होने वाली श्रेणियों में (प्रथम, द्वितीय, तृतीय), सबसे कम शिक्षार्थी प्रथम श्रेणी में उत्तीर्ण हुए। प्रथम श्रेणी में छात्रों की संख्या सबसे कम (60° का कोण) है।
(iii) अनुत्तीर्ण शिक्षार्थियों की संख्या \( = \frac { 30 }{ 360 } \times 60 = 5 \) है। अनुत्तीर्ण छात्रों का केंद्रीय कोण 30° है, जो कुल 60 छात्रों में से 5 छात्र दर्शाता है।
(iv) प्रथम श्रेणी और द्वितीय श्रेणी में उत्तीर्ण शिक्षार्थियों की संख्याओं में अनुपात 1 : 3 है। प्रथम श्रेणी में 10 छात्र (60° कोण) और द्वितीय श्रेणी में 30 छात्र (180° कोण) हैं, जिनका अनुपात 1:3 बनता है।
In simple words: पाई चार्ट को देखकर हम छात्रों के परिणामों को समझ सकते हैं। सबसे ज्यादा छात्र द्वितीय श्रेणी में पास हुए, सबसे कम छात्र प्रथम श्रेणी में पास हुए, कुल 5 छात्र फेल हुए, और प्रथम तथा द्वितीय श्रेणी के छात्रों का अनुपात 1:3 है।
🎯 Exam Tip: पाई चार्ट के प्रश्नों को हल करते समय, हमेशा पहले कुल संख्या और प्रत्येक भाग के केंद्रीय कोण को ध्यान से देखें। फिर आप आसानी से संख्या और अनुपात निकाल सकते हैं।
Question 2. भारत के किसी शहर में तेज गति एवं यातायात नियमों का पालन न करने के कारण विभिन्न साधनों से यात्रा कर रहे सड़क दुर्घटना में घायल व्यक्तियों की प्रतिशत दरों का पाई ग्राफ निम्नवत है :
(i) सबसे अधिक घायल होने वाले व्यक्ति किस प्रकार यात्रा कर रहे थे?
(ii) साइकिल से यात्रा करने वाले कितने प्रतिशत व्यक्ति घायल हुए?
(iii) मोटर साइकिल से यात्रा करने वाले कुल कितने प्रतिशत व्यक्ति घायल हुए?
(iv) पैदल व कार यात्रियों के घायल होने की प्रतिशतता कितनी है?
(v) विभिन्न यात्रा साधनों से घायल होने वाले व्यक्तियों की कुल प्रतिशतता कितनी है?
Answer:
(i) सबसे अधिक घायल होने वाले व्यक्ति पैदल यात्रा कर रहे थे। पैदल यात्रियों का केंद्रीय कोण 144° है, जो सभी साधनों में सबसे बड़ा है।
(ii) साइकिल से यात्रा करने वाले व्यक्ति, कुल घायलों का \( \frac { 36 \times 100 }{ 360 } = 10\% \) घायल हुए। यह गणना साइकिल के केंद्रीय कोण को कुल 360° से विभाजित करके की जाती है।
(iii) मोटर साइकिल से यात्रा करने वाले व्यक्ति, कुल घायलों का \( \frac { 90 \times 100 }{ 360 } = 25\% \) घायल हुए।
(iv) पैदल यात्रियों के घायल होने की प्रतिशतता \( = \frac { 144 \times 100 }{ 360 } = 40\% \). कार द्वारा यात्रियों के घायल होने की प्रतिशतता \( = \frac { 36 \times 100 }{ 360 } = 10\% \). पैदल और कार यात्रियों के घायल होने की कुल प्रतिशतता = (40 + 10)% = 50% है।
(v) विभिन्न यात्रा साधनों से घायल होने वाले व्यक्तियों की कुल प्रतिशतता = कार + बस + साइकिल + मोटर साइकिल = 10% + 15% + 10% + 25% = 60% है। (बस का केंद्रीय कोण 54° है, इसलिए \( \frac { 54 \times 100 }{ 360 } = 15\% \)). यह कुल प्रतिशत अलग-अलग साधनों से घायल हुए लोगों को दर्शाता है।
In simple words: पाई ग्राफ दिखाता है कि सड़क दुर्घटनाओं में किस तरह के यात्री सबसे ज्यादा घायल होते हैं। पैदल चलने वाले सबसे ज्यादा घायल हुए, साइकिल से 10%, मोटरसाइकिल से 25%, और पैदल तथा कार से कुल 50% घायल हुए। सभी यात्रा साधनों से कुल 60% लोग घायल हुए।
🎯 Exam Tip: पाई चार्ट के प्रतिशत वाले सवालों में, केंद्रीय कोण को 360 से भाग देकर 100 से गुणा करने पर ही सही प्रतिशत मिलता है। कोणों के योग की विसंगतियों को नज़रअंदाज़ करते हुए दिए गए गणना के तरीकों का पालन करें।
Question 3. पंचायत भवन के प्रांगण में वृत्ताकार क्षेत्र में फूलों के पौधे लगे हैं। इसमें आधे क्षेत्र में गुलाब एक तिहाई क्षेत्र में गेंदा तथा शेष में डहेलिया के पौधे हैं। इसको पाई ग्राफ द्वारा प्रदर्शित कीजिए।
Answer:
कुल वृत्ताकार क्षेत्र 360° का होता है। हम दिए गए अनुपातों के अनुसार प्रत्येक फूल के लिए केंद्रीय कोण की गणना करेंगे।
गुलाब के पौधे का क्षेत्र \( = \frac { 1 }{ 2 } \times 360^\circ = 180^\circ \)
गेंदा के पौधे का क्षेत्र \( = \frac { 1 }{ 3 } \times 360^\circ = 120^\circ \)
डहेलिया के पौधे का क्षेत्र (शेष) \( = 360^\circ - (180^\circ + 120^\circ) = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ \)
यह पाई ग्राफ फूलों के पौधों के वितरण को दर्शाता है।
In simple words: हमने फूलों के लिए एक गोल जगह को तीन हिस्सों में बांटा। आधे हिस्से में गुलाब, एक-तिहाई में गेंदा, और बचे हुए छोटे हिस्से में डहेलिया लगाया गया। इसे हमने डिग्री में बदलकर पाई चार्ट पर दिखाया।
🎯 Exam Tip: पाई ग्राफ बनाने के लिए हमेशा पहले कुल कोण 360° को दिए गए अनुपातों में विभाजित करें। सुनिश्चित करें कि सभी कोणों का योग 360° ही हो।
Question 4. किसी समूह में कुल 36 शिक्षार्थी हैं। उनकी पसन्द के गुलाब के रंग के आधार पर पाई ग्राफ बनाया गया है। पाई ग्राफ देखकर अलग-अलग रंग पसन्द करने वाले शिक्षार्थियों की संख्या दी गयी सारणी में लिखिए ।
Answer:
पाई ग्राफ के अनुसार, अलग-अलग रंगों को पसंद करने वाले शिक्षार्थियों की संख्या नीचे दी गई सारणी में है। प्रत्येक रंग के केंद्रीय कोण को कुल 360° से भाग देकर 36 कुल शिक्षार्थियों से गुणा किया जाता है।
| रंग | केन्द्रीय कोण | शिक्षार्थियों की संख्या |
|---|---|---|
| गुलाबी | 180° | \( \frac{180}{360} \times 36 = 18 \) |
| सफेद | 60° | \( \frac{60}{360} \times 36 = 6 \) |
| पीला | 120° | \( \frac{120}{360} \times 36 = 12 \) |
| योग | 360° | 36 |
🎯 Exam Tip: पाई ग्राफ से संख्या निकालने के लिए, केंद्रीय कोण को 360° से भाग दें और कुल संख्या से गुणा करें।
Question 5. किसी संकुल के विद्यार्थियों के कक्षा 7 के शिक्षार्थियों की टीमों के लिए गणित क्विज का आयोजन किया गया। उनके द्वारा प्राप्त अंकों के आधार पर पाई ग्राफ बनाइए ।
Answer:
पहले, प्रत्येक टीम द्वारा प्राप्त अंकों के लिए केंद्रीय कोण की गणना करेंगे। कुल प्राप्त अंक 90 हैं।
| विद्यालय | प्राप्त अंक | केन्द्रीय कोण |
|---|---|---|
| A | 20 | \( \frac{20}{90} \times 360 = 80 \) |
| B | 25 | \( \frac{25}{90} \times 360 = 100 \) |
| C | 30 | \( \frac{30}{90} \times 360 = 120 \) |
| D | 15 | \( \frac{15}{90} \times 360 = 60 \) |
🎯 Exam Tip: पाई ग्राफ बनाने के लिए, सबसे पहले सभी मदों का कुल योग ज्ञात करें। फिर प्रत्येक मद के लिए केंद्रीय कोण की गणना करें और सुनिश्चित करें कि सभी कोणों का योग 360° हो।
Question 6. टेलीविज़न के विभिन्न ब्रांडों को क्रय करने वाले ग्राहकों की संख्या निम्नवतू है : आँकड़ों को पाई ग्राफ द्वारा प्रदर्शित कीजिए।
Answer:
पहले, प्रत्येक ब्रांड के ग्राहकों की संख्या के लिए केंद्रीय कोण की गणना करेंगे। कुल ग्राहक 100 हैं।
| ब्रांड | संख्या | केन्द्रीय कोण |
|---|---|---|
| A | 40 | \( \frac{40}{100} \times 360 = 144 \) |
| B | 20 | \( \frac{20}{100} \times 360 = 72 \) |
| C | 15 | \( \frac{15}{100} \times 360 = 54 \) |
| D | 15 | \( \frac{15}{100} \times 360 = 54 \) |
| E | 10 | \( \frac{10}{100} \times 360 = 36 \) |
🎯 Exam Tip: पाई ग्राफ में प्रत्येक खंड का आकार उस मद की कुल संख्या या प्रतिशत के सीधे आनुपातिक होता है। सभी खंडों के केंद्रीय कोणों का योग हमेशा 360° होना चाहिए।
अभ्यास 3(b)
Question 1. किसी कक्षा में 5 शिक्षार्थियों ने गणित की परीक्षा में क्रमशः 40, 50, 68, 70, 72 अंक प्राप्त किए। प्राप्तांकों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए
Answer:
दिए गए अंकों का योग करेंगे और उसे कुल शिक्षार्थियों की संख्या से भाग देंगे।
समान्तर माध्य \( = \frac { 40+50+68+70+72 }{ 5 } \)
\( = \frac { 300 }{ 5 } \)
\( = 60 \)
अतः, शिक्षार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का समान्तर माध्य 60 है। यह औसत अंक को दर्शाता है।
In simple words: सभी नंबरों को जोड़ें, फिर जितने नंबर हैं उससे भाग दें। यही औसत (मीन) है।
🎯 Exam Tip: समान्तर माध्य (Arithmetic Mean) ज्ञात करने के लिए, सभी मानों को जोड़कर उनकी कुल संख्या से भाग दें।
Question 2. किसी फैक्टरी के 15 मजदूरों की प्रतिदिन की मजदूरी क्रमशः 70, 110, 65, 80, 75, 85, 80, 76, 94, 100, 105, 110, 103, 81, 86 रुपये है। रुपये मजदूरों की मजदूरी का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए?
Answer:
पहले सभी 15 मजदूरों की प्रतिदिन की मजदूरी का कुल योग ज्ञात करेंगे।
कुल मजदूरी \( = 70+110+65+80+75+85+80+76+94+100+105+110+103+81+86 = 1320 \) Rs
मजदूरों की कुल संख्या = 15
समान्तर माध्य \( = \frac { \text{कुल मजदूरी} }{ \text{मजदूरों की संख्या} } \)
\( = \frac { 1320 }{ 15 } \)
\( = 88 \) Rs
अतः, मजदूरों की प्रतिदिन की मजदूरी का समान्तर माध्य 88 रुपये है। यह दर्शाता है कि औसतन प्रत्येक मजदूर 88 रुपये कमाता है।
In simple words: सभी मजदूरों की दिहाड़ी जोड़ें, फिर उसे मजदूरों की कुल संख्या से भाग दें। जो जवाब आएगा, वह उनकी औसत दिहाड़ी है।
🎯 Exam Tip: जब आंकड़े एक लंबी सूची में दिए गए हों, तो पहले सभी मानों को जोड़ें, फिर उनकी संख्या से भाग दें। ₹ चिन्ह को 'Rs' में बदलें।
Question 3. नीचे दी गई सारणी के आँकड़ों को समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
हम समान्तर माध्य की गणना के लिए सारणी का उपयोग करेंगे।
| पद x | बारंबारता f | x x f |
|---|---|---|
| 4 | 3 | 12 |
| 6 | 4 | 24 |
| 8 | 2 | 16 |
| 10 | 2 | 20 |
| 12 | 6 | 72 |
| 14 | 8 | 112 |
| \( \Sigma f = 25 \) | \( \Sigma xf = 256 \) |
समान्तर माध्य \( = \frac { \Sigma xf }{ \Sigma f } \)
\( = \frac { 256 }{ 25 } \)
\( = 10.24 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों का समान्तर माध्य 10.24 है। यह माध्य, आंकड़ों के केंद्रीय मूल्य को दर्शाता है।
In simple words: जब बारंबारता दी हो, तो हर पद को उसकी बारंबारता से गुणा करें, फिर उन सभी गुणनफलों को जोड़ दें। इस योग को कुल बारंबारता के योग से भाग दें।
🎯 Exam Tip: बारंबारता बंटन का समान्तर माध्य ज्ञात करने के लिए, \( \Sigma xf \) को \( \Sigma f \) से विभाजित करें, जहाँ \( \Sigma \) योग को दर्शाता है।
Question 4. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए ।
Answer:
हम दिए गए बारम्बारता बंटन से समान्तर माध्य की गणना करेंगे।
| ऊँचाई x (cm) | 140 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 154 | 158 | 159 | 160 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता f | 3 | 4 | 5 | 6 | 10 | 7 | 5 | 4 | 4 | 2 |
| x x f | 420 | 588 | 740 | 894 | 1500 | 1057 | 770 | 632 | 636 | 320 |
| \( \Sigma f = 50 \) | ||||||||||
| \( \Sigma xf = 7557 \) | ||||||||||
समान्तर माध्य \( = \frac { \Sigma xf }{ \Sigma f } \)
\( = \frac { 7557 }{ 50 } \)
\( = 151.14 \) cm
अतः, शिक्षार्थियों की ऊँचाई का समान्तर माध्य 151.14 सेमी है। यह माध्य समूह की औसत ऊँचाई को दर्शाता है।
In simple words: बारंबारता सारणी से समान्तर माध्य निकालने के लिए, हर ऊँचाई (x) को उसकी बारंबारता (f) से गुणा करें। फिर सभी 'xf' मानों को जोड़ें और उसे सभी बारंबारताओं के योग से भाग दें।
🎯 Exam Tip: बड़ी बारंबारता सारणी के लिए, गणनाओं को व्यवस्थित रखने के लिए एक अतिरिक्त कॉलम 'xf' बनाना सहायक होता है।
दक्षता अभ्यास - 3
Question 1. किसी परीक्षा में एक कक्षा के 15 शिक्षार्थियों के पूर्णांक 100 में से प्राप्तांक निम्नवतू हैं – 00, 30, 30, 20, 20, 40, 30, 50, 60, 50, 60, 80, 70, 30, 30 प्राप्तांकों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहले सभी 15 शिक्षार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का योग करेंगे।
प्राप्तांकों का योग \( = 0+30+30+20+20+40+30+50+60+50+60+80+70+30+30 = 600 \)
शिक्षार्थियों की संख्या = 15
समान्तर माध्य \( = \frac { \text{प्राप्तांकों का योग} }{ \text{शिक्षार्थियों की संख्या} } \)
\( = \frac { 600 }{ 15 } \)
\( = 40 \)
इस प्रकार, शिक्षार्थियों के प्राप्तांकों का समान्तर माध्य 40 है। यह कक्षा का औसत प्रदर्शन दर्शाता है।
In simple words: सभी छात्रों के नंबरों को जोड़ें, फिर कुल छात्रों की संख्या (15) से भाग दें। यह आपको औसत अंक देगा।
🎯 Exam Tip: समान्तर माध्य की गणना करते समय, सुनिश्चित करें कि आपने सभी डेटा बिंदुओं को सही ढंग से जोड़ा है और उन्हें सही संख्या से विभाजित किया है।
Question 2. 10 बालिकाओं के भार किग्रा में क्रमशः 40, 42, 41, 38, 36, 35, 42, 37, 35, 35 किग्रा है। इनके भारों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहले सभी 10 बालिकाओं के भार का कुल योग ज्ञात करेंगे।
कुल भार \( = 40+42+41+38+36+35+42+37+35+35 = 381 \) किग्रा
बालिकाओं की संख्या = 10
समान्तर माध्य \( = \frac { \text{कुल भार} }{ \text{बालिकाओं की संख्या} } \)
\( = \frac { 381 }{ 10 } \)
\( = 38.1 \) किग्रा
अतः, बालिकाओं के भार का समान्तर माध्य 38.1 किग्रा है। यह दर्शाता है कि औसतन प्रत्येक बालिका का भार 38.1 किग्रा है।
In simple words: सभी लड़कियों का वजन जोड़ो, फिर उसे लड़कियों की कुल संख्या (10) से भाग दो। इससे आपको उनका औसत वजन मिलेगा।
🎯 Exam Tip: औसत (समान्तर माध्य) निकालते समय, सभी डेटा बिंदुओं को सावधानीपूर्वक जोड़ें और गिनें, खासकर जब सूची लंबी हो।
Question 3. निम्नलिखित सारणी में 50 शिक्षार्थियों का भार किग्रा में दिया हुआ है। उनके भार का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए
Answer:
हम दिए गए बारंबारता बंटन से शिक्षार्थियों के भार का समान्तर माध्य ज्ञात करेंगे।
| भार x (किग्रा) | 40 | 42 | 43 | 44 | 45 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता f | 4 | 12 | 18 | 10 | 6 |
| x x f | 160 | 504 | 774 | 440 | 270 |
| \( \Sigma f = 50 \) | |||||
| \( \Sigma xf = 2148 \) | |||||
समान्तर माध्य \( = \frac { \Sigma xf }{ \Sigma f } \)
\( = \frac { 2148 }{ 50 } \)
\( = 42.96 \) किग्रा
अतः, शिक्षार्थियों के भार का समान्तर माध्य 42.96 किग्रा है। यह समूह के औसत भार को दर्शाता है।
In simple words: इस सारणी में, हर भार को उसकी बारंबारता से गुणा करें। फिर उन सभी गुणनफलों को जोड़ दें और उसे कुल बारंबारता के योग से भाग दें।
🎯 Exam Tip: सारणीबद्ध डेटा में माध्य ज्ञात करते समय, \( \Sigma xf \) की गणना सही ढंग से करें, और फिर उसे \( \Sigma f \) से विभाजित करें।
Question 4. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए ।
Answer:
हम दिए गए बारम्बारता बंटन से समान्तर माध्य की गणना करेंगे।
| ऊँचाई (सेमी में) x | 142.5 | 143.5 | 144.5 | 145.5 | 146.5 | 147.5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता f | 3 | 5 | 7 | 7 | 3 | 2 |
| x x f | 427.5 | 717.5 | 1011.5 | 1018.5 | 439.5 | 295 |
| \( \Sigma f = 27 \) | ||||||
| \( \Sigma xf = 3909.5 \) | ||||||
समान्तर माध्य \( = \frac { \Sigma xf }{ \Sigma f } \)
\( = \frac { 3909.5 }{ 27 } \)
\( = 144.8 \) सेमी०
इस प्रकार, दिए गए आंकड़ों का समान्तर माध्य 144.8 सेमी है। यह औसत ऊँचाई को दर्शाता है।
In simple words: सारणी में दिए गए ऊँचाई (x) को बारंबारता (f) से गुणा करें। फिर सभी 'xf' मानों को जोड़ें और उसे कुल बारंबारता के योग से भाग दें।
🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक मानों के साथ समान्तर माध्य की गणना करते समय दशमलव बिंदुओं को ध्यान से जोड़ें और गुणा करें।
Question 5. नीचे दी गई तालिका में किसी क्षेत्र के एक वर्ष में विभिन्न खाद्यानों में उत्पादन के आँकड़े दिए गए हैं। आँकड़ों का पाई ग्राफ निरूपण कीजिए।
Answer:
पाई ग्राफ बनाने के लिए, हम पहले प्रत्येक खाद्यान्न के उत्पादन के लिए केंद्रीय कोण की गणना करेंगे। कुल उत्पादन 36 लाख टन है।
| अनाज/दाल | उत्पादन (लाख टन में) | केन्द्रीय कोण |
|---|---|---|
| मक्का | 4 | \( \frac{4}{36} \times 360 = 40 \) |
| मटर | 4 | \( \frac{4}{36} \times 360 = 40 \) |
| चना | 6 | \( \frac{6}{36} \times 360 = 60 \) |
| गेहूँ | 10 | \( \frac{10}{36} \times 360 = 100 \) |
| धान | 12 | \( \frac{12}{36} \times 360 = 120 \) |
🎯 Exam Tip: पाई ग्राफ में सभी खंडों के केंद्रीय कोणों का योग हमेशा 360° होना चाहिए। यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपका ग्राफ सही है, सभी कोणों का योग करें।
Question 6. रविवार के दिन किसी बेकरी की दुकान में हुई विभिन्न वस्तुओं की बिक्री (रुपयों में) नीचे दी गई है। केन्द्रीय कोण ज्ञात करके सारणी बनाइए और इस सारणी का प्रयोग करके एक चार्ट खीचिए ।
Answer:
पाई ग्राफ बनाने के लिए, हम पहले प्रत्येक वस्तु की बिक्री के लिए केंद्रीय कोण की गणना करेंगे। कुल बिक्री 720 Rs है।
| वस्तु | बिक्री (Rs में) | केंद्रीय कोण |
|---|---|---|
| ब्रेड | 320 | \( \frac{320}{720} \times 360 = 160^\circ \) |
| मीठा बिस्कुट | 120 | \( \frac{120}{720} \times 360 = 60^\circ \) |
| नमकीन बिस्कुट | 160 | \( \frac{160}{720} \times 360 = 80^\circ \) |
| पेस्ट्री | 80 | \( \frac{80}{720} \times 360 = 40^\circ \) |
| अन्य | 40 | \( \frac{40}{720} \times 360 = 20^\circ \) |
🎯 Exam Tip: बिक्री डेटा को पाई ग्राफ में बदलने के लिए, प्रत्येक मद की बिक्री को कुल बिक्री से विभाजित करें और फिर उसे 360° से गुणा करके केंद्रीय कोण प्राप्त करें।
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