UP Board Solutions Class 7 Maths Chapter 2 Ghaatank

अभ्यास 2(a)

Question 1. \( \left(-\frac { 2 }{ 3 } \right)^{5} \) का मान है
(a) \( \frac{32}{243} \)
(b) \( -\frac{32}{243} \)
(c) \( \frac{10}{15} \)
(d) \( -\frac{10}{15} \)
Answer: (b) \( -\frac{32}{243} \)
In simple words: जब \( \left(-\frac{2}{3}\right) \) को पांच बार गुणा करते हैं, तो विषम संख्या में नकारात्मक संख्याओं का गुणनफल हमेशा नकारात्मक होता है. इसलिए, \( -\frac{2}{3} \times -\frac{2}{3} \times -\frac{2}{3} \times -\frac{2}{3} \times -\frac{2}{3} = -\frac{32}{243} \).

🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक ऋणात्मक संख्या को विषम घात तक बढ़ाने पर परिणाम ऋणात्मक होता है, जबकि सम घात तक बढ़ाने पर परिणाम धनात्मक होता है।

Question 2. 3125 का घातीय संकेतन है :
(a) \( 5^5 \)
(b) \( 5^2 \)
(c) \( 5^3 \)
(d) \( 5^4 \)
Answer: (a) \( 5^5 \)
In simple words: 3125 को छोटे अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ने पर पता चलता है कि यह \( 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \) के बराबर है. इसे घातांक रूप में \( 5^5 \) लिखा जाता है.

🎯 Exam Tip: घातीय संकेतन के लिए, संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें और फिर गिनें कि प्रत्येक गुणनखंड कितनी बार आया है।

Question 3. “2 की घात 7” का मान है :
Answer: \( 2^7 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 128 \)
In simple words: "2 की घात 7" का मतलब है कि संख्या 2 को सात बार खुद से गुणा किया गया है. जब आप 2 को सात बार गुणा करते हैं, तो आपको 128 मिलता है.

🎯 Exam Tip: "घात" (power) का अर्थ है आधार (base) को उतनी ही बार स्वयं से गुणा करना जितनी बार घात (exponent) दर्शाती है।

Question 4. एक वर्गाकार क्यारी की भुजा 5 मी० है। इसके क्षेत्रफल को घातीय संकेतन के रूप में लिखिए।
Answer: वर्गाकार क्यारी की भुजा \( = 5 \text{ मी०} \)
वर्गाकार क्यारी का क्षेत्रफल \( = \text{भुजा} \times \text{भुजा} \)
\( = 5 \text{ मी०} \times 5 \text{ मी०} = 5^2 \text{ वर्ग मी०} \)
In simple words: एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा को उसी से गुणा करके निकाला जाता है. यदि भुजा 5 मीटर है, तो क्षेत्रफल \( 5 \times 5 \) होगा, जिसे \( 5^2 \) (5 का वर्ग) लिखा जाता है.

🎯 Exam Tip: वर्ग का क्षेत्रफल हमेशा उसकी भुजा के वर्ग के रूप में व्यक्त किया जाता है।

Question 5. सरल कीजिए -
(i) \( 2^4 \times 3^2 \)
(ii) \( (-2)^3 \times (-10)^3 \)
Answer:
(i) \( 2^4 \times 3^2 = (2 \times 2 \times 2 \times 2) \times (3 \times 3) = 16 \times 9 = 144 \)
(ii) \( (-2)^3 \times (-10)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-10) \times (-10) \times (-10) = (-8) \times (-1000) = 8000 \)
In simple words: पहले प्रत्येक संख्या को उसकी घात के अनुसार खोलकर गुणा करें. फिर, उन परिणामों को आपस में गुणा करें. याद रखें कि ऋणात्मक संख्या को विषम घात तक बढ़ाने पर वह ऋणात्मक रहती है, और दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर धनात्मक परिणाम मिलता है.

🎯 Exam Tip: गुणा करते समय, ऋणात्मक संख्याओं के चिन्हों का ध्यान रखें. यदि ऋणात्मक संख्याओं को विषम बार गुणा किया जाता है, तो उत्तर ऋणात्मक होगा; यदि सम बार गुणा किया जाता है, तो उत्तर धनात्मक होगा।

Question 6. 15625 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कर 15625 को आधार 5 पर घातीय संकेतन के रूप में व्यक्त कीजिए।
Answer: \( 15625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^6 \)
In simple words: 15625 को तब तक 5 से भाग करते रहें जब तक यह पूरी तरह विभाजित न हो जाए. आपको पता चलेगा कि 5 छह बार आता है, इसलिए इसे \( 5^6 \) के रूप में लिखा जा सकता है.

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंडन के लिए, सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंड से शुरू करें और तब तक भाग दें जब तक आप 1 तक न पहुंच जाएं।

अभ्यास 2(b)

Question 1. सरल कीजिए -
(i) \( 3^7 \times 3^8 \)
(ii) \( 6^4 \times 6^2 \div 6^5 \)
(iii) \( 5^9 \times 5^4 \div 5^8 \)
(iv) \( 2 \times 5^2 + 5 \times 2^5 \)
(v) \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^3 \)
(vi) \( \left(\frac{3}{4}\right)^3 \times \left(\frac{3}{4}\right)^4 \div \left(\frac{3}{4}\right)^5 \)
Answer:
(i) \( 3^7 \times 3^8 = 3^{7+8} = 3^{15} = 14348907 \)
(ii) \( 6^4 \times 6^2 \div 6^5 = 6^{4+2-5} = 6^1 = 6 \)
(iii) \( 5^9 \times 5^4 \div 5^8 = 5^{9+4-8} = 5^5 = 3125 \)
(iv) \( 2 \times 5^2 + 5 \times 2^5 = 2 \times (5 \times 5) + 5 \times (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) = 2 \times 25 + 5 \times 32 = 50 + 160 = 210 \)
(v) \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^{2+3} = \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{32}{243} \)
(vi) \( \left(\frac{3}{4}\right)^3 \times \left(\frac{3}{4}\right)^4 \div \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \left(\frac{3}{4}\right)^{3+4-5} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \)
In simple words: जब आधार समान होते हैं: गुणा करते समय घातों को जोड़ें, भाग देते समय घातों को घटाएं. यदि विभिन्न आधार और घात हैं, तो प्रत्येक पद को अलग-अलग हल करें. यदि घात ऋणात्मक है, तो संख्या को उसका व्युत्क्रम बना दें.

🎯 Exam Tip: घातांक के नियमों को ध्यान से लागू करें: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) और \( a^m \div a^n = a^{m-n} \)।

Question 2. सरल कीजिए –
(i) \( 15^8 \times 15^{12} \div 15^{20} \)
(ii) \( 25^3 \times 25^7 \div 25^{10} \)
(iii) \( \left(\frac{1}{2}\right)^6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 \div \left(\frac{1}{2}\right)^8 \)
(iv) \( \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^6 \div \left(\frac{3}{4}\right)^5 \)
Answer:
(i) \( 15^8 \times 15^{12} \div 15^{20} = 15^{8+12-20} = 15^0 = 1 \)
(ii) \( 25^3 \times 25^7 \div 25^{10} = 25^{3+7-10} = 25^0 = 1 \)
(iii) \( \left(\frac{1}{2}\right)^6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 \div \left(\frac{1}{2}\right)^8 = \left(\frac{1}{2}\right)^{6+3-8} = \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2} \)
(iv) \( \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^6 \div \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \left(\frac{3}{4}\right)^{2+6-5} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64} \)
In simple words: यदि आधार एक समान हैं, तो गुणा करते समय घातों को जोड़ दें और भाग देते समय घातों को घटा दें. याद रखें कि किसी भी संख्या की घात 0 होने पर उसका मान 1 होता है.

🎯 Exam Tip: हमेशा \( a^0 = 1 \) नियम को याद रखें, जो किसी भी गैर-शून्य संख्या पर लागू होता है।

Question 3. \( (-1)^3 \times (-1)^2 \times (-1)^{15} \) का मान बताइए ।
Answer: \( (-1)^3 \times (-1)^2 \times (-1)^{15} = (-1)^{3+2+15} = (-1)^{20} = 1 \)
In simple words: जब आधार -1 हो, तो घातों को जोड़ दें. यदि कुल घात सम संख्या है, तो उत्तर 1 होगा; यदि विषम संख्या है, तो उत्तर -1 होगा. यहाँ, कुल घात 20 है, जो एक सम संख्या है.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक आधार (-1) के साथ काम करते समय, घात के सम या विषम होने पर ध्यान दें. सम घात धनात्मक 1 देती है, जबकि विषम घात ऋणात्मक 1 देती है।

Question 4. \( (-1)^{49} \div (-1)^{25} \) का मान बताइए ।
Answer: \( (-1)^{49} \div (-1)^{25} = (-1)^{49-25} = (-1)^{24} = 1 \)
In simple words: जब आधार समान होते हैं और आप भाग दे रहे होते हैं, तो घातों को घटा दें. यहाँ, \( 49 - 25 = 24 \) है. चूंकि घात 24 एक सम संख्या है, तो -1 की घात 24 का मान 1 होगा.

🎯 Exam Tip: भाग के नियम लागू करने के बाद, परिणामी घात को ध्यान से जांचें ताकि (-1) के लिए सही मान निर्धारित किया जा सके।

Question 5. \( 3^{12} \times 3^7 \div 3^{25} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: \( 3^{12} \times 3^7 \div 3^{25} = 3^{12+7-25} = 3^{19-25} = 3^{-6} = \frac{1}{3^6} = \frac{1}{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3} = \frac{1}{729} \)
In simple words: आधार 3 समान है, इसलिए गुणा के लिए घातों को जोड़ें और भाग के लिए घटाएं. परिणाम \( 3^{-6} \) होगा, जिसका मतलब है \( \frac{1}{3^6} \). 3 को छह बार गुणा करने पर 729 मिलता है.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक घात \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) के नियम को याद रखें।

Question 6. अपनी अभ्यास पुस्तिका में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करके) –
(i) \( 4 \times 4 \times 4 \times \dots \) बीस बार \( = (4)^{20} \)
(ii) \( 8^6 \times 7^6 = (56)^6 \)
(iii) \( \frac{9^{12}}{5^{12}} = \left(\frac{9}{5}\right)^{12} \)
(iv) \( (3^8)^3 = 3^{24} \)
(v) \( (2^3)^5 = (2^5)^3 \)
Answer:
(i) \( 4 \times 4 \times 4 \times \dots \) बीस बार \( = (4)^{20} \)
(ii) \( 8^6 \times 7^6 = (56)^6 \)
(iii) \( \frac{9^{12}}{5^{12}} = \left(\frac{9}{5}\right)^{12} \)
(iv) \( (3^8)^3 = 3^{24} \)
(v) \( (2^3)^5 = (2^5)^3 \)
In simple words: ये घातांक के मूलभूत नियम हैं. समान आधार के साथ बार-बार गुणा करने पर घात बढ़ती है. समान घात वाले अलग-अलग आधारों को गुणा या भाग करते समय, आधारों पर ऑपरेशन करके घात को समान रखा जाता है. एक घात पर दूसरी घात का मतलब है घातों का गुणा.

🎯 Exam Tip: घातांक के नियमों की अच्छी समझ होना इन रिक्त स्थानों को भरने के लिए महत्वपूर्ण है: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \), \( (ab)^m = a^m b^m \), \( \left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m} \), \( (a^m)^n = a^{mn} \)।

प्रश्न संख्या 7 से 9 तक के उत्तर का सही विकल्प छाँटकर लिखिए –

Question 7. \( 5^5 \times 8^5 \) का सरल रूप होगा –
(a) 40
(b) 4010
(c) 405
(d) 540
Answer: (a) 40
In simple words: जब दो संख्याओं की घात समान होती है, तो आप आधारों को गुणा करके उसी घात को रख सकते हैं. यहाँ, \( 5^5 \times 8^5 = (5 \times 8)^5 = 40^5 \). यदि प्रश्न घातीय रूप के आधार को पूछ रहा है, तो उत्तर 40 होगा.

🎯 Exam Tip: \( a^m \times b^m = (a \times b)^m \) नियम को याद रखें, जो समान घात वाले आधारों को गुणा करने में मदद करता है।

Question 8. \( (-3)^4 \div (-3)^2 \) का मान होगा –
(a) 81
(b) -81
(c) 9
(d) -9
Answer: (c) 9
In simple words: जब आधार समान होते हैं और आप भाग दे रहे होते हैं, तो घातों को घटा दें. यहाँ, \( 4 - 2 = 2 \), तो यह \( (-3)^2 \) बन जाता है. \( (-3) \times (-3) = 9 \), क्योंकि दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणा धनात्मक होता है.

🎯 Exam Tip: भाग का नियम (\( a^m \div a^n = a^{m-n} \)) लागू करने के बाद, ऋणात्मक आधार के वर्ग को सही ढंग से गणना करें।

Question 9. \( 4 \times 5^2 + 5 \times 4^2 \) का मान होगा –
(a) 100
(b) 80
(c) 200
(d) 180
Answer: (d) 180
In simple words: पहले घातों का मान निकालें: \( 5^2 = 25 \) और \( 4^2 = 16 \). फिर, गुणा करें: \( 4 \times 25 = 100 \) और \( 5 \times 16 = 80 \). अंत में, परिणामों को जोड़ दें: \( 100 + 80 = 180 \).

🎯 Exam Tip: BODMAS/PEMDAS नियम का पालन करें: पहले कोष्ठक, फिर घात, फिर गुणा/भाग, और अंत में जोड़/घटाव।

अभ्यास 2(c)

Question 1. \( 12 \times 12 \times 12 \times 12 \times 12 \times 12 \) को घात रूप में व्यक्त कीजिए।
Answer: \( 12^6 \)
In simple words: जब एक ही संख्या (आधार) को कई बार खुद से गुणा किया जाता है, तो उसे घात रूप में लिखते हैं. संख्या 12 को छह बार गुणा किया गया है, इसलिए इसे \( 12^6 \) लिखा जाता है.

🎯 Exam Tip: आधार को उतनी ही बार लिखें जितनी बार वह गुणा किया गया है, और उसे घात के रूप में दिखाएं।

Question 2. 15625 को आधार 5, आधार 25 एवं आधार 125 के घातीय संकेतनों में व्यक्त कीजिए।
Answer:
आधार 5 पर: \( 15625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^6 \)
आधार 25 पर: \( 15625 = 25 \times 25 \times 25 = 25^3 \)
आधार 125 पर: \( 15625 = 125 \times 125 = 125^2 \)
In simple words: 15625 को अलग-अलग आधारों (5, 25, 125) का उपयोग करके घातीय रूप में लिखने के लिए, आप देखते हैं कि 15625, 5 को 6 बार, 25 को 3 बार, या 125 को 2 बार गुणा करने पर मिलता है.

🎯 Exam Tip: एक ही संख्या को विभिन्न आधारों पर व्यक्त किया जा सकता है, यह देखकर कि आधार स्वयं एक छोटी संख्या की घात है (जैसे \( 25 = 5^2 \))।

Question 3. \( 0.0001 \) को आधार \( 0.01 \) पर घात रूप में व्यक्त कीजिए।
Answer: \( 0.0001 = 0.01 \times 0.01 = (0.01)^2 \)
In simple words: 0.0001 को \( 0.01 \times 0.01 \) के रूप में लिखा जा सकता है. इसका मतलब है कि 0.0001, 0.01 का वर्ग है, इसलिए इसे \( (0.01)^2 \) के रूप में दर्शाया जाता है.

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं को घातांक रूप में व्यक्त करते समय, दशमलव स्थानों की संख्या गिनें।

Question 4. \( - \frac{343}{512} \) को आधार \( \frac{-7}{8} \) पर घात रूप में व्यक्त कीजिए ।
Answer: \( - \frac{343}{512} = \frac{(-7) \times (-7) \times (-7)}{8 \times 8 \times 8} = \left( \frac{-7}{8} \right)^3 \)
In simple words: 343, 7 का घन है (\( 7 \times 7 \times 7 \)), और 512, 8 का घन है (\( 8 \times 8 \times 8 \)). चूंकि संख्या ऋणात्मक है, तो आधार भी ऋणात्मक होगा, यानी \( (-\frac{7}{8})^3 \).

🎯 Exam Tip: भिन्नों को घातांक रूप में व्यक्त करते समय, अंश और हर दोनों के घातांकों की जांच करें।

Question 5. \( \frac{1000}{1331} \) को आधार \( \frac{10}{11} \) पर घातीय संकेतन में व्यक्त कीजिए।
Answer: \( \frac{1000}{1331} = \frac{10 \times 10 \times 10}{11 \times 11 \times 11} = \left( \frac{10}{11} \right)^3 \)
In simple words: 1000, 10 का घन है (\( 10^3 \)), और 1331, 11 का घन है (\( 11^3 \)). इसलिए, पूरे भिन्न को \( (\frac{10}{11})^3 \) के रूप में लिखा जा सकता है.

🎯 Exam Tip: पूर्ण घन संख्याओं को पहचानना भिन्नों के घातीय संकेतन को सरल बनाने में मदद करता है।

Question 6. \( \frac{1024}{1089} \) को वर्गरूप में व्यक्त कीजिए।
Answer: \( \frac{1024}{1089} = \frac{32 \times 32}{33 \times 33} = \left( \frac{32}{33} \right)^2 \)
In simple words: 1024, 32 का वर्ग है (\( 32^2 \)), और 1089, 33 का वर्ग है (\( 33^2 \)). इसलिए, इस भिन्न को \( (\frac{32}{33})^2 \) के रूप में लिखा जा सकता है.

🎯 Exam Tip: वर्ग संख्याओं को पहचानने से भिन्नों को उनके वर्ग रूप में व्यक्त करना आसान हो जाता है।

Question 7. \( \frac{512}{729} \) को घनरूप में व्यक्त कीजिए।
Answer: \( \frac{512}{729} = \frac{8 \times 8 \times 8}{9 \times 9 \times 9} = \left( \frac{8}{9} \right)^3 \)
In simple words: 512, 8 का घन है (\( 8^3 \)), और 729, 9 का घन है (\( 9^3 \)). इसलिए, इस भिन्न को \( (\frac{8}{9})^3 \) के रूप में लिखा जा सकता है.

🎯 Exam Tip: पूर्ण घन संख्याओं को पहचानने का अभ्यास करें, जैसे 512 और 729, ताकि भिन्नों को घनरूप में आसानी से लिख सकें।

Question 8. \( 0.000001 \) का वर्ग रूप होगा।
(a) \( (0.01)^2 \)
(b) \( (0.001)^2 \)
(c) \( (0.0001)^2 \)
Answer: (b) \( (0.001)^2 \)
In simple words: 0.000001 को \( 0.001 \times 0.001 \) के रूप में लिखा जा सकता है. इसलिए, यह \( 0.001 \) का वर्ग है, जिसे \( (0.001)^2 \) के रूप में दर्शाया जाता है.

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं का वर्गमूल निकालते समय, दशमलव स्थानों की संख्या को आधा करें।

Question 9. \( (0.05)^3 \) का मान होगा।
(a) 0.125
(b) 0.0125
(c) 0.00125
(d) 0.000125
Answer: (d) 0.000125
In simple words: \( (0.05)^3 \) का मतलब है \( 0.05 \times 0.05 \times 0.05 \). पहले \( 5 \times 5 \times 5 = 125 \) करें. फिर दशमलव स्थानों की संख्या गिनें. \( 0.05 \) में दो दशमलव स्थान हैं, तो \( (0.05)^3 \) में \( 2 \times 3 = 6 \) दशमलव स्थान होंगे. तो, 125 से पहले तीन शून्य लगाकर कुल छह दशमलव स्थान बनाएँ, जिससे 0.000125 मिलेगा.

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं को गुणा करते समय, परिणामों में कुल दशमलव स्थानों की संख्या को सही ढंग से गिनना सुनिश्चित करें।

Question 10. \( \frac{64}{125} \) के घन रूप का आधार होगा -
(a) \( \frac{2}{5} \)
(b) \( \frac{4}{5} \)
(c) \( \frac{8}{25} \)
(d) \( \frac{4}{25} \)
Answer: (b) \( \frac{4}{5} \)
In simple words: 64, 4 का घन है (\( 4 \times 4 \times 4 \)), और 125, 5 का घन है (\( 5 \times 5 \times 5 \)). तो, \( \frac{64}{125} \) को \( \left(\frac{4}{5}\right)^3 \) के रूप में लिखा जा सकता है, जिसका आधार \( \frac{4}{5} \) है.

🎯 Exam Tip: घन रूप के आधार को ज्ञात करने के लिए, अंश और हर दोनों के घनमूल ज्ञात करें।

अभ्यास 2(d)

Question 1. \( 3^4 \times 3^5 \times 3^{-9} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: \( 3^4 \times 3^5 \times 3^{-9} = 3^{4+5-9} = 3^{9-9} = 3^0 = 1 \)
In simple words: जब आधार समान होते हैं, तो गुणा करते समय घातों को जोड़ें. \( 4+5-9=0 \), तो \( 3^0 \) का मान 1 होता है.

🎯 Exam Tip: घातांक का नियम \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) और \( a^0 = 1 \) को याद रखें।

Question 2. \( \left( \frac{2}{3} \right)^2 \times \left( \frac{2}{3} \right)^4 \times \left( \frac{2}{3} \right)^{-4} \) को सरल कीजिए।
Answer: \( \left( \frac{2}{3} \right)^2 \times \left( \frac{2}{3} \right)^4 \times \left( \frac{2}{3} \right)^{-4} = \left( \frac{2}{3} \right)^{2+4-4} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \)
In simple words: आधार \( \frac{2}{3} \) समान है, इसलिए सभी घातों को जोड़ें: \( 2+4-4 = 2 \). तो, उत्तर \( (\frac{2}{3})^2 \) होगा, जो \( \frac{4}{9} \) है.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक घात को सही ढंग से जोड़ना सुनिश्चित करें, क्योंकि यह घटाव के रूप में कार्य करता है।

Question 3. \( \left( -\frac{1}{2} \right)^{-2} \times 2^2 \) का मान होगा :
(a) 2
(b) 4
(c) 8
(d) 16
Answer: (d) 16
In simple words: \( (-\frac{1}{2})^{-2} \) का मतलब है \( (-2)^2 = 4 \). फिर \( 4 \times 2^2 = 4 \times 4 = 16 \).

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक घात वाले भिन्न को पलट दें और घात को धनात्मक बना दें, जैसे \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \)।

Question 4. \( 3^{-2} \times 3^5 \) का मान होगाः
(a) 3
(b) 9
(c) 27
(d) 81
Answer: (c) 27
In simple words: आधार 3 समान है, इसलिए घातों को जोड़ें: \( -2+5 = 3 \). तो, \( 3^3 \) का मान \( 3 \times 3 \times 3 = 27 \) होगा.

🎯 Exam Tip: गुणा करते समय घातों को जोड़ें, भले ही एक घात ऋणात्मक हो।

Question 5. निम्नांकित को सरल कीजिए :
(i) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \times 3^2 \div 3^{-3} \)
(iii) \( 3^0 + 3^{-1} + 3^{-2} \)
(ii) \( 7^4 \times \left(\frac{1}{7}\right)^3 \div 7 \)
(iv) \( (3^3)^3 \div 3^{25} \times (3^4)^4 \)
Answer:
(i) \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \times 3^2 \div 3^{-3} \)
\( \implies 3^2 \times 3^2 \times 3^3 \) (चूंकि \( (\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 \) और \( 3^{-3} = \frac{1}{3^3} \), तो भाग \( 3^{-3} \) गुणा \( 3^3 \) बन जाता है)
\( \implies 3^{2+2+3} = 3^7 = 2187 \)
(iii) \( 3^0 + 3^{-1} + 3^{-2} \)
\( \implies 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} \)
\( \implies \frac{9}{9} + \frac{3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{9+3+1}{9} = \frac{13}{9} \)
(ii) \( 7^4 \times \left(\frac{1}{7}\right)^3 \div 7 \)
\( \implies 7^4 \times 7^{-3} \div 7^1 \) (चूंकि \( \frac{1}{7} = 7^{-1} \))
\( \implies 7^{4-3-1} = 7^0 = 1 \)
(iv) \( (3^3)^3 \div 3^{25} \times (3^4)^4 \)
\( \implies 3^{3 \times 3} \div 3^{25} \times 3^{4 \times 4} \)
\( \implies 3^9 \div 3^{25} \times 3^{16} \)
\( \implies 3^{9-25+16} = 3^0 = 1 \)
In simple words: घातांक के नियमों का उपयोग करें: \( a^{-n} = 1/a^n \), \( a^0=1 \), \( (a^m)^n=a^{mn} \) और जब आधार समान होते हैं, तो गुणा करते समय घातों को जोड़ें और भाग देते समय घटाएं. भिन्नों को हल करते समय समान हर का उपयोग करें.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप ऋणात्मक घातों को सही ढंग से परिवर्तित करते हैं और घात पर घात के नियम को लागू करते हैं।

Question 6. \( (2 \times 3)^6 \times 6^{-3} \) को मान ज्ञात कीजिए।
Answer: \( (2 \times 3)^6 \times 6^{-3} = 6^6 \times 6^{-3} = 6^{6-3} = 6^3 = 216 \)
In simple words: पहले कोष्ठक के अंदर गुणा करें: \( 2 \times 3 = 6 \). फिर आधार 6 समान हो जाता है, इसलिए घातों को जोड़ें: \( 6 + (-3) = 3 \). अंत में, \( 6^3 \) का मान निकालें, जो 216 है.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप गुणा करने से पहले कोष्ठक के अंदर की संक्रियाओं को हल करें ताकि आधार समान हो जाएं।

Question 7. \( (4 \times 5)^2 \div \left( \frac{1}{10} \right)^{-2} + 3^4 \) को सरल कीजिए।
Answer: \( (4 \times 5)^2 \div \left( \frac{1}{10} \right)^{-2} + 3^4 \)
\( \implies (20)^2 \div (10)^2 + 3^4 \) (चूंकि \( (\frac{1}{10})^{-2} = 10^2 \))
\( \implies 400 \div 100 + 81 \)
\( \implies 4 + 81 = 85 \)
In simple words: पहले कोष्ठक को हल करें, फिर ऋणात्मक घात को धनात्मक में बदलें, फिर वर्ग करें. फिर भाग दें, और अंत में जोड़ें.

🎯 Exam Tip: संक्रियाओं के सही क्रम (BODMAS/PEMDAS) का पालन करना सुनिश्चित करें, खासकर जब घात, भाग और जोड़ एक साथ हों।

Question 8. \( \left\{ \left( \frac{3}{5} \right)^0 + \left( \frac{3}{5} \right)^1 + \left( \frac{3}{5} \right)^2 \right\} \div \left( \frac{7}{5} \right)^2 \) को सरल कीजिए।
Answer: \( \left\{ \left( \frac{3}{5} \right)^0 + \left( \frac{3}{5} \right)^1 + \left( \frac{3}{5} \right)^2 \right\} \div \left( \frac{7}{5} \right)^2 \)
\( \implies \left\{ 1 + \frac{3}{5} + \frac{9}{25} \right\} \div \frac{49}{25} \)
\( \implies \left\{ \frac{25+15+9}{25} \right\} \div \frac{49}{25} \)
\( \implies \frac{49}{25} \div \frac{49}{25} \)
\( \implies \frac{49}{25} \times \frac{25}{49} = 1 \)
In simple words: पहले कोष्ठक के अंदर की घातों को हल करें. \( (\frac{3}{5})^0 \) का मान 1 होता है. फिर सभी भिन्नों को जोड़ें और भाग को गुणा में बदलकर पलट दें. अंत में गुणा करें.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 0 का मान 1 होता है, और भिन्नों को भाग देने के लिए, आप भाजक को पलट कर गुणा करते हैं।

Question 9. निम्नांकित को सरल कीजिए। \( 2^{-2} - \{2^{-3} - (2^{-2}-3^{-2})\} \)
Answer: \( 2^{-2} - \{2^{-3} - (2^{-2}-3^{-2})\} \)
\( \implies \frac{1}{2^2} - \left\{ \frac{1}{2^3} - \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) \right\} \)
\( \implies \frac{1}{4} - \left\{ \frac{1}{8} - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) \right\} \)
\( \implies \frac{1}{4} - \left\{ \frac{1}{8} - \left( \frac{9-4}{36} \right) \right\} \)
\( \implies \frac{1}{4} - \left\{ \frac{1}{8} - \frac{5}{36} \right\} \)
\( \implies \frac{1}{4} - \left\{ \frac{9-10}{72} \right\} \)
\( \implies \frac{1}{4} - \left( - \frac{1}{72} \right) \)
\( \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{72} \)
\( \implies \frac{18}{72} + \frac{1}{72} = \frac{19}{72} \)
In simple words: पहले सबसे अंदर के कोष्ठक से शुरू करें, सभी ऋणात्मक घातों को धनात्मक भिन्नों में बदलें. फिर समान हर वाले भिन्नों को जोड़ें या घटाएं. धीरे-धीरे बाहर की ओर काम करते हुए, अंत में मान प्राप्त करें.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक घातों को भिन्नों में सही ढंग से परिवर्तित करने और भिन्नों को जोड़ते या घटाते समय समान हर का उपयोग करने पर विशेष ध्यान दें।

अभ्यास 2(e)

Question 1. \( 62,00,00,000 \) को मानक रूप में लिखिए।
Answer: \( 62,00,00,000 = 6.2 \times 10^8 \)
In simple words: मानक रूप में लिखने के लिए, दशमलव बिंदु को पहली गैर-शून्य संख्या के बाद रखें. फिर गिनें कि दशमलव बिंदु को कितनी बार बाईं ओर ले जाया गया है. यहाँ, इसे 8 बार ले जाया गया है, इसलिए \( 10^8 \) से गुणा करें.

🎯 Exam Tip: मानक रूप में, संख्या \( 1 \le a < 10 \) और \( 10^n \) के रूप में होती है, जहाँ \( n \) एक पूर्णांक है।

Question 2. \( 0.00008 \) को वैज्ञानिक संकेतन में व्यक्त कीजिए ।
Answer: \( 0.00008 = 8 \times 10^{-5} \)
In simple words: दशमलव बिंदु को पहली गैर-शून्य संख्या (8) के बाद ले जाने के लिए, इसे 5 बार दाईं ओर ले जाना होगा. इसलिए, इसे \( 10^{-5} \) से गुणा किया जाता है.

🎯 Exam Tip: जब दशमलव बिंदु को दाईं ओर ले जाया जाता है, तो घात ऋणात्मक होती है, और जब इसे बाईं ओर ले जाया जाता है, तो घात धनात्मक होती है।

Question 3. वैज्ञानिकों का अनुमान है कि चन्द्रमा की उत्पत्ति आज से लगभग \( 460 \) करोड़ वर्ष पहले हुई थी। चन्द्रमा की आयु वैज्ञानिक संकेतन द्वारा व्यक्त कीजिए।
Answer: चन्द्रमा की आयु \( = 460 \) करोड़ वर्ष \( = 460 \times 10^7 \) वर्ष \( = 4.6 \times 10^2 \times 10^7 \) वर्ष \( = 4.6 \times 10^9 \) वर्ष
In simple words: \( 460 \) करोड़ का मतलब है \( 460 \) के बाद सात शून्य. इसे मानक रूप में बदलने के लिए, दशमलव को \( 4.6 \) पर ले जाएं. फिर, कुल घात \( 2+7=9 \) होगी, इसलिए \( 4.6 \times 10^9 \) वर्ष.

🎯 Exam Tip: "करोड़" का अर्थ \( 10^7 \) है, और वैज्ञानिक संकेतन में बदलने के लिए संख्याओं को सही ढंग से संयोजित करें।

Question 4. पृथ्वी को सूर्य से दूरी लगभग \( 15,00,00,000 \) किमी है। इस दूरी को मानक रूप में व्यक्त कीजिए।
Answer: पृथ्वी की सूर्य से दूरी \( = 15,00,00,000 \) किमी \( = 1.5 \times 10^8 \) किमी
In simple words: \( 15,00,00,000 \) को मानक रूप में लिखने के लिए, दशमलव बिंदु को 1 के बाद ले जाएं. इसके लिए इसे 8 स्थान बाईं ओर ले जाना होगा, इसलिए \( 1.5 \times 10^8 \) किमी.

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं को मानक रूप में लिखते समय, दशमलव को पहली गैर-शून्य संख्या के बाद ले जाएं और गिने हुए स्थानों को 10 की धनात्मक घात के रूप में व्यक्त करें।

Question 5. पृथ्वी का द्रव्यमान \( 5.98 \times (10)^{22} \) क्विंटल है। ज्ञात कीजिए कि साधारण संख्या के रूप में इसे लिखने पर \( 598 \) के आगे कितने शून्य रखने होंगे?
Answer: पृथ्वी का द्रव्यमान \( = 5.98 \times 10^{22} \) क्विंटल
\( = \frac{598}{100} \times 10^{22} = 598 \times 10^{-2} \times 10^{22} = 598 \times 10^{20} \)
अतः \( 598 \) के आगे \( 20 \) शून्य रखने होंगे।
In simple words: \( 5.98 \times 10^{22} \) को \( 598 \) में बदलने के लिए, दशमलव को दो स्थान दाईं ओर ले जाना होगा, जिससे \( 10^{22} \) घात \( 10^{20} \) बन जाएगी. तो, \( 598 \) के बाद \( 20 \) शून्य होंगे.

🎯 Exam Tip: वैज्ञानिक संकेतन को साधारण संख्या में बदलते समय, घात का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए करें कि दशमलव बिंदु को कितनी बार खिसकाना है और कितने शून्य जोड़ने हैं।

Question 6. निम्नांकित संख्याओं को वैज्ञानिक संकेतन के रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 4250000
(ii) दो करोड़ बीस लाख
(iii) 0.000045
(iv) 0.0025
Answer:
(i) \( 4250000 = 4.25 \times 10^6 \)
(ii) दो करोड़ बीस लाख \( = 2,20,00,000 = 2.2 \times 10^7 \)
(iii) \( 0.000045 = 4.5 \times 10^{-5} \)
(iv) \( 0.0025 = 2.5 \times 10^{-3} \)
In simple words: वैज्ञानिक संकेतन में, आप संख्या को 1 और 10 के बीच लिखते हैं, और फिर इसे 10 की घात से गुणा करते हैं. यदि संख्या बड़ी है, तो घात धनात्मक होगी; यदि संख्या छोटी है (0 और 1 के बीच), तो घात ऋणात्मक होगी.

🎯 Exam Tip: मानक रूप में, केवल एक गैर-शून्य अंक दशमलव बिंदु के बाईं ओर होना चाहिए।

Question 7. निम्नांकित को साधारण संख्या के रूप में लिखिए –
(i) \( 2.5 \times 10^4 \)
(ii) \( 1.75 \times 10^6 \)
(iii) \( 1.21 \times 10^{-8} \)
(iv) \( 4.5 \times 10^{-5} \)
(v) \( 2.3 \times 10^2 \)
(vi) \( 2.5 \times 10^{-4} \)
Answer:
(i) \( 2.5 \times 10^4 = 2.5 \times 10000 = 25000 \)
(ii) \( 1.75 \times 10^6 = 1.75 \times 1000000 = 1750000 \)
(iii) \( 1.21 \times 10^{-8} = \frac{1.21}{10^8} = \frac{1.21}{100000000} = 0.0000000121 \)
(iv) \( 4.5 \times 10^{-5} = \frac{4.5}{10^5} = \frac{4.5}{100000} = 0.000045 \)
(v) \( 2.3 \times 10^2 = 2.3 \times 100 = 230 \) (यदि प्रश्न का उद्देश्य \( 2.3 \times 10^{-7} \) है जैसा कि स्रोत समाधान में परिलक्षित होता है, तो: \( 2.3 \times 10^{-7} = \frac{2.3}{10^7} = \frac{2.3}{10000000} = 0.00000023 \))
(vi) \( 2.5 \times 10^{-4} = \frac{2.5}{10^4} = \frac{2.5}{10000} = 0.00025 \)
In simple words: यदि घात धनात्मक है, तो दशमलव बिंदु को उतनी ही बार दाईं ओर ले जाएं. यदि घात ऋणात्मक है, तो दशमलव बिंदु को उतनी ही बार बाईं ओर ले जाएं और आवश्यक शून्य जोड़ें.

🎯 Exam Tip: वैज्ञानिक संकेतन से साधारण संख्या में बदलते समय, दशमलव स्थानों की संख्या गिनने में सावधानी बरतें।

Question 8. एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान \( 9.107 \times 10^{-28} \) ग्राम है इसे साधारण दशमलव भिन्न में बदलने पर दशमलव बिन्दु (.) तथा अंक \( 9 \) के बीच कितने शून्य होंगे ?
Answer: \( 9.107 \times 10^{-28} = 0.9107 \times 10^{-28+1} = 0.9107 \times 10^{-27} \)
अतः दशमलव बिंदु तथा \( 9 \) के बीच \( 27 \) शून्य होंगे।
In simple words: जब \( 9.107 \times 10^{-28} \) को एक साधारण दशमलव संख्या में बदलते हैं, तो दशमलव बिंदु को 28 स्थान बाईं ओर खिसकाना पड़ता है. इसमें से 1 स्थान 9 के लिए है, तो दशमलव बिंदु और 9 के बीच 27 शून्य बचते हैं.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक घात का अर्थ है संख्या बहुत छोटी है, और दशमलव बिंदु को बाईं ओर खिसकाया जाता है; दशमलव और पहले गैर-शून्य अंक के बीच के शून्यों की संख्या घात से एक कम होती है।

दक्षता अभ्यास - 2

Question 1. \( (-8)^7 \) का गुणा रूप बताइए ।
Answer: \( (-8) \times (-8) \times (-8) \times (-8) \times (-8) \times (-8) \times (-8) \)
In simple words: "गुणा रूप" का मतलब है आधार (यहाँ -8) को उतनी बार गुणा के साथ लिखना जितनी बार घात (यहाँ 7) दर्शाती है.

🎯 Exam Tip: घातांक का विस्तारित रूप लिखते समय आधार और घात दोनों को सही ढंग से दर्शाना सुनिश्चित करें।

Question 2. \( (-1)^{999} \) का मान बताइए ।
Answer: \( -1 \)
In simple words: जब -1 को एक विषम संख्या (जैसे 999) की घात तक बढ़ाया जाता है, तो परिणाम हमेशा -1 होता है. यदि घात सम होती, तो परिणाम 1 होता.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक आधार (-1) के साथ, विषम घातें ऋणात्मक परिणाम देती हैं, जबकि सम घातें धनात्मक परिणाम देती हैं।

Question 3. \( 3^8 \times 3^{12} \) को आधार \( 3 \) पर घातीय संकेतन लिखिए।
Answer: \( 3^{8+12} = 3^{20} \)
In simple words: जब आधार समान होते हैं और आप संख्याओं को गुणा कर रहे होते हैं, तो आप केवल घातों को जोड़ देते हैं. यहाँ, 8 और 12 को जोड़ने पर 20 मिलता है, इसलिए उत्तर \( 3^{20} \) है.

🎯 Exam Tip: गुणा नियम (\( a^m \times a^n = a^{m+n} \)) का पालन करें जब आधार समान हों।

Question 4. \( 9^7 \div 9^3 \) को आधार \( 9 \) पर घातीय संकेतन लिखिए।
Answer: \( 9^{7-3} = 9^4 \)
In simple words: जब आधार समान होते हैं और आप संख्याओं को भाग दे रहे होते हैं, तो आप भाजक की घात को भाज्य की घात से घटा देते हैं. यहाँ, 7 से 3 घटाने पर 4 मिलता है, इसलिए उत्तर \( 9^4 \) है.

🎯 Exam Tip: भाग नियम (\( a^m \div a^n = a^{m-n} \)) का पालन करें जब आधार समान हों।

Question 5. \( 8^{(5-5)} \) का मान बताइए ।
Answer: \( 8^0 = 1 \)
In simple words: पहले कोष्ठक के अंदर का हल करें: \( 5-5 = 0 \). किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 0 का मान हमेशा 1 होता है.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी भी गैर-शून्य आधार की घात 0 हमेशा 1 होती है।

Question 6. \( (2^3)^8 \) का आधार \( 2 \) पर घातीय संकेतन बताइए ।
Answer: \( 2^{3 \times 8} = 2^{24} \)
In simple words: जब एक घात पर दूसरी घात होती है, तो आप घातों को आपस में गुणा करते हैं. यहाँ, \( 3 \times 8 = 24 \), इसलिए उत्तर \( 2^{24} \) है.

🎯 Exam Tip: घात पर घात के नियम (\( (a^m)^n = a^{mn} \)) को लागू करें।

Question 7. \( -128 \) को \( (-2) \) के घातरूप में व्यक्त कीजिए।
Answer: \( -128 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = (-2)^7 \)
In simple words: -128 को -2 के गुणनखंडों में तोड़ने पर पता चलता है कि -2 को सात बार गुणा करने पर -128 मिलता है. इसलिए, इसे \( (-2)^7 \) के रूप में लिखा जा सकता है.

🎯 Exam Tip: एक ऋणात्मक संख्या को घातांक रूप में व्यक्त करते समय, घात को गिनें और यह सुनिश्चित करें कि आधार ऋणात्मक हो यदि परिणाम ऋणात्मक है।

Question 8. \( \left( - \frac{7}{9} \right)^2 \div \left( - \frac{14}{3} \right)^2 \) को सरल कर मान ज्ञात कीजिए।
Answer: \( \left( - \frac{7}{9} \right)^2 \div \left( - \frac{14}{3} \right)^2 \)
\( \implies \left( \frac{7}{9} \right)^2 \div \left( \frac{14}{3} \right)^2 \) (चूंकि ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है)
\( \implies \left( \frac{7}{9} \div \frac{14}{3} \right)^2 \)
\( \implies \left( \frac{7}{9} \times \frac{3}{14} \right)^2 \)
\( \implies \left( \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \right)^2 \)
\( \implies \left( \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{1}{36} \)
In simple words: पहले, याद रखें कि एक ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है. फिर, चूंकि दोनों भिन्नों की घात समान है, तो आप उन्हें पहले भाग दे सकते हैं और फिर परिणाम का वर्ग कर सकते हैं. भाग देने के लिए, दूसरे भिन्न को पलट कर गुणा करें.

🎯 Exam Tip: \( \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{c}{d}\right)^m = \left(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}\right)^m \) नियम का उपयोग करें, और भिन्नों को भाग देते समय हमेशा भाजक को पलट कर गुणा करें।

Question 9. \( (-4)^{-4} \) किस संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम है?
Answer: \( (-4)^{-4} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( (-4)^4 \) है।
In simple words: एक ऋणात्मक घात का मतलब है कि संख्या को पलट दिया जाता है. तो, \( (-4)^{-4} = \frac{1}{(-4)^4} \). इसका गुणात्मक प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे इससे गुणा करने पर 1 मिले, जो \( (-4)^4 \) है.

🎯 Exam Tip: किसी संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम उस संख्या का व्युत्क्रम होता है. यदि संख्या \( a^{-n} \) है, तो उसका प्रतिलोम \( a^n \) होगा।

Question 10. पृथ्वी से चन्द्रमा की औसत दूरी \( 384400000 \) मीटर है। इसे वैज्ञानिक संकेतन में व्यक्त कीजिए।
Answer: पृथ्वी से चन्द्रमा की औसत दूरी \( = 384400000 \text{ मी०} = 3.844 \times 10^8 \text{ मी०} \)
In simple words: 384400000 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखने के लिए, दशमलव को 3 के बाद ले जाएं. इसके लिए इसे 8 स्थान बाईं ओर खिसकाना होगा, इसलिए इसे \( 10^8 \) से गुणा किया जाता है.

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं के लिए, दशमलव बिंदु को पहली गैर-शून्य संख्या के बाद रखने के लिए जितनी बार बाईं ओर खिसकाया जाता है, उतनी ही 10 की धनात्मक घात होती है।

Question 11. प्रकाश की एक किरण वर्ष में तय की गई दूरी \( 9460500000000000 \) मीटर है। इसे वैज्ञानिक संकेतन में व्यक्त कीजिए ।
Answer: प्रकाश की एक किरण वर्ष में तय की गई दूरी \( = 9460500000000000 \text{ मी०} = 9.4605 \times 10^{15} \text{ मी०} \)
In simple words: इस बड़ी संख्या को वैज्ञानिक संकेतन में बदलने के लिए, दशमलव बिंदु को 9 के बाद रखें. इसे 15 स्थान बाईं ओर खिसकाया गया है, इसलिए इसे \( 10^{15} \) से गुणा किया जाता है.

🎯 Exam Tip: बहुत बड़ी संख्याओं के साथ काम करते समय, वैज्ञानिक संकेतन उन्हें अधिक आसानी से पढ़ने और तुलना करने में मदद करता है।

Question 12. \( 2^{38} \times 5^{32} \) का मान ज्ञात कीजिए तथा बताइए इसमें कुल कितने अंक हैं।
Answer: \( 2^{38} \times 5^{32} = 2^6 \times 2^{32} \times 5^{32} \)
\( = 2^6 \times (2 \times 5)^{32} \)
\( = 64 \times 10^{32} \)
यह संख्या \( 64 \) के बाद \( 32 \) शून्य हैं।
कुल अंक \( = 2 \) (64 के अंक) \( + 32 \) (शून्य) \( = 34 \)
In simple words: \( 2^{38} \times 5^{32} \) को सरल बनाने के लिए, \( 2^{38} \) को \( 2^6 \times 2^{32} \) में तोड़ें ताकि \( (2 \times 5)^{32} = 10^{32} \) बना सकें. \( 2^6 = 64 \). तो यह \( 64 \times 10^{32} \) बन जाता है. इसका मतलब है 64 के बाद 32 शून्य, कुल 34 अंक.

🎯 Exam Tip: इस तरह की समस्याओं को हल करने के लिए \( (a^m)^n = a^{mn} \) और \( a^m \times b^m = (ab)^m \) जैसे घातांक नियमों का उपयोग करें।

Question 13. एक ग्राम मानव मल में \( 10,00,000 \) वायरस होते हैं। इनका मान वैज्ञानिक संकेतन में ज्ञात कीजिए।
Answer: 1 ग्राम मानव मल में वायरस \( = 10,00,000 = 10^6 \)
In simple words: \( 10,00,000 \) में छह शून्य होते हैं, इसलिए इसे वैज्ञानिक संकेतन में \( 10^6 \) लिखा जाता है.

🎯 Exam Tip: 10 की घात में लिखी जाने वाली संख्याओं के लिए, केवल शून्यों की संख्या गिनें और उसे घात के रूप में लिखें।

Question 14. गाँव के एक स्कूल में विश्व स्वच्छता दिवस पर बच्चों से हाथ धोने का अभ्यास कराया गया । प्रत्येक बच्चा हाथ धोने में \( 2 \) मिनट का समय लगाता है। यदि कक्षा में \( 64 \) बच्चे हों तो पूरी कक्षा के बच्चों को बारी-बारी से हाथ धोने में लगे समय को घातांक में व्यक्त कीजिए।
Answer: 1 बच्चे को हाथ धोने में समय लगता है \( = 2 \) मिनट
\( 64 \) बच्चों को हाथ धोने में समय लगता है \( = 2 \times 64 \) मिनट
\( = 2 \times (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \)
\( = 2 \times 2^6 = 2^{1+6} = 2^7 \) मिनट
In simple words: एक बच्चे को 2 मिनट लगते हैं, और 64 बच्चे हैं. 64 को 2 की घात के रूप में \( 2^6 \) लिखा जा सकता है. तो, कुल समय \( 2 \times 2^6 \) होगा, जो \( 2^7 \) मिनट है.

🎯 Exam Tip: समस्या को सरल बनाने के लिए संख्याओं को घातांक रूप में व्यक्त करें, जैसे \( 64 = 2^6 \)।

Question 15. एक कस्बे में आबादी के अधिकांश लोग श्वांस की बीमारी से ग्रस्त थे, जाँच करने पर उस कस्बे की प्रदूषित वायु में \( 2000 \) विषाक्त जीवाणु प्रति घन मीटर पाए गए, जो कि एक सप्ताह में \( 100 \) गुना बढ़ जाते हैं। तीन सप्ताह बाद जीवाणुओं की संख्या को मानक संकेतांक में लिखिए।
Answer: कस्बे की प्रदूषित वायु में जीवाणुओं की प्रारंभिक संख्या \( = 2000 \)
एक सप्ताह में जीवाणुओं की संख्या \( 100 \) गुना बढ़ जाती है।
1 सप्ताह बाद जीवाणुओं की संख्या \( = 2000 \times 100 = 2 \times 10^3 \times 10^2 = 2 \times 10^5 \)
3 सप्ताह बाद जीवाणुओं की संख्या \( = 2000 \times 100 \times 100 \times 100 \)
\( = 2000 \times (100)^3 \)
\( = 2 \times 10^3 \times (10^2)^3 \)
\( = 2 \times 10^3 \times 10^{2 \times 3} = 2 \times 10^3 \times 10^6 \)
\( = 2 \times 10^{3+6} = 2 \times 10^9 \)
In simple words: जीवाणुओं की संख्या हर सप्ताह 100 गुना बढ़ जाती है. तीन सप्ताह के लिए, यह \( 2000 \times 100 \times 100 \times 100 \) होगा. इसे \( 2 \times 10^3 \times (10^2)^3 \) के रूप में लिखें, फिर घातों को सरल करें, जिससे \( 2 \times 10^9 \) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: वृद्धि की गणना करते समय घातों के नियमों को सावधानी से लागू करें, विशेष रूप से जब वृद्धि दर को कई अवधियों के लिए लागू किया जाता है।