UP Board Solutions Class 7 Maths Chapter 1 Parimey Sankhyaen

Exercise 1(A)

Question 1. निम्नांकित पूर्णांकों को परिमेय संख्याओं के रूप में लिखिए, जिनका हर 1 हो -7, 11, 27, -45, -71
Answer: दिए गए पूर्णांकों को परिमेय संख्या के रूप में बदलने के लिए, हमें उनका हर 1 बनाना होगा। यह बहुत आसान है; हम हर पूर्णांक को 1 से भाग कर सकते हैं।
हल :
\( -7 = \frac{-7}{1} \)
\( 11 = \frac{11}{1} \)
\( 27 = \frac{27}{1} \)
\( -45 = \frac{-45}{1} \)
\( -71 = \frac{-71}{1} \)
In simple words: किसी भी पूरी संख्या को एक परिमेय संख्या बनाने के लिए, जिसके नीचे 1 हो, बस उस संख्या के नीचे 1 लिख दें. इसका मतलब है कि वह संख्या 1 से भाग हो रही है.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि हर पूर्णांक को \( \frac{\text{पूर्णांक}}{1} \) के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे वह एक परिमेय संख्या बन जाता है.

Question 2. \( \frac{-4}{5} \) को ऐसी परिमेय संख्याओं के रूप में व्यक्त कीजिए, जिसका अंश है –
(क) 8
(ख) -16
(ग) 20
(घ) -24
Answer: हमें \( \frac{-4}{5} \) के अंश को बदलना है, इसलिए हम अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा करेंगे ताकि नया अंश दिए गए मान के बराबर हो जाए।
हल :
(क) 8
अंश -4 को 8 बनाने के लिए, हमें -2 से गुणा करना होगा \( (-4 \times -2 = 8) \)।
\( \frac{-4}{5} = \frac{-4 \times (-2)}{5 \times (-2)} = \frac{8}{-10} \)
(ख) -16
अंश -4 को -16 बनाने के लिए, हमें 4 से गुणा करना होगा \( (-4 \times 4 = -16) \)।
\( \frac{-4}{5} = \frac{-4 \times 4}{5 \times 4} = \frac{-16}{20} \)
(ग) 20
अंश -4 को 20 बनाने के लिए, हमें -5 से गुणा करना होगा \( (-4 \times -5 = 20) \)।
\( \frac{-4}{5} = \frac{-4 \times (-5)}{5 \times (-5)} = \frac{20}{-25} \)
(घ) -24
अंश -4 को -24 बनाने के लिए, हमें 6 से गुणा करना होगा \( (-4 \times 6 = -24) \)।
\( \frac{-4}{5} = \frac{-4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{-24}{30} \)
In simple words: किसी भी भिन्न का अंश बदलने के लिए, आपको अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा करना होगा. यह संख्या ऐसी होनी चाहिए जिससे पुराना अंश गुणा होकर नया अंश बन जाए.

🎯 Exam Tip: समतुल्य परिमेय संख्याएँ बनाते समय अंश और हर दोनों को एक ही शून्येतर पूर्णांक से गुणा करना न भूलें. यह सुनिश्चित करता है कि भिन्न का मान नहीं बदलता है.

Question 3. \( \frac{-5}{-7} \) को ऐसी परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त कीजिए, जिसका हर है
(क) 7
(ख) -14
(ग) 21
(घ) -35
Answer: हमें \( \frac{-5}{-7} \) के हर को बदलना है, इसलिए हम अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा करेंगे ताकि नया हर दिए गए मान के बराबर हो जाए।
हल :
(क) 7
हर -7 को 7 बनाने के लिए, हमें -1 से गुणा करना होगा \( (-7 \times -1 = 7) \)।
\( \frac{-5}{-7} = \frac{-5 \times (-1)}{-7 \times (-1)} = \frac{5}{7} \)
(ख) -14
हर -7 को -14 बनाने के लिए, हमें 2 से गुणा करना होगा \( (-7 \times 2 = -14) \)।
\( \frac{-5}{-7} = \frac{-5 \times 2}{-7 \times 2} = \frac{-10}{-14} \)
(ग) 21
हर -7 को 21 बनाने के लिए, हमें -3 से गुणा करना होगा \( (-7 \times -3 = 21) \)।
\( \frac{-5}{-7} = \frac{-5 \times (-3)}{-7 \times (-3)} = \frac{15}{21} \)
(घ) -35
हर -7 को -35 बनाने के लिए, हमें 5 से गुणा करना होगा \( (-7 \times 5 = -35) \)।
\( \frac{-5}{-7} = \frac{-5 \times 5}{-7 \times 5} = \frac{-25}{-35} \)
In simple words: किसी भी भिन्न का हर बदलने के लिए, आपको अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा करना होगा. यह संख्या ऐसी होनी चाहिए जिससे पुराना हर गुणा होकर नया हर बन जाए.

🎯 Exam Tip: अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करते समय, ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं के गुणन के नियमों का ध्यान रखें.

Question 4. निम्नांकित परिमेय संख्या के हर को धनात्मक बनाइए।
(क) \( \frac{-9}{-11} \)
(ख) \( \frac{11}{-17} \)
(ग) \( \frac{4}{-19} \)
(घ) \( \frac{-7}{-13} \)
Answer: किसी भी परिमेय संख्या के हर को धनात्मक बनाने के लिए, यदि हर ऋणात्मक है, तो हम अंश और हर दोनों को -1 से गुणा करते हैं। इससे भिन्न का मान नहीं बदलता है।
हल :
(क) \( \frac{-9}{-11} \)
हर को धनात्मक बनाने के लिए, \( -1 \) से गुणा करें:
\( \frac{-9}{-11} = \frac{-9 \times (-1)}{-11 \times (-1)} = \frac{9}{11} \)
(ख) \( \frac{11}{-17} \)
हर को धनात्मक बनाने के लिए, \( -1 \) से गुणा करें:
\( \frac{11}{-17} = \frac{11 \times (-1)}{-17 \times (-1)} = \frac{-11}{17} \)
(ग) \( \frac{4}{-19} \)
हर को धनात्मक बनाने के लिए, \( -1 \) से गुणा करें:
\( \frac{4}{-19} = \frac{4 \times (-1)}{-19 \times (-1)} = \frac{-4}{19} \)
(घ) \( \frac{-7}{-13} \)
हर को धनात्मक बनाने के लिए, \( -1 \) से गुणा करें:
\( \frac{-7}{-13} = \frac{-7 \times (-1)}{-13 \times (-1)} = \frac{7}{13} \)
In simple words: अगर किसी भिन्न के नीचे वाली संख्या (हर) घटा वाली है, तो उसे जमा वाली बनाने के लिए, ऊपर और नीचे दोनों संख्याओं को घटा एक (–1) से गुणा करो. ऐसा करने से भिन्न वही रहता है, बस लिखने का तरीका बदल जाता है.

🎯 Exam Tip: हर को धनात्मक बनाते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप अंश और हर दोनों को -1 से गुणा करें ताकि परिमेय संख्या का मान अपरिवर्तित रहे.

Question 5. निम्नांकित परिमेय संख्या के अंश को धन पूर्णांक बनाइए ।
(क) \( \frac{-7}{13} \)
(ख) \( \frac{11}{-19} \)
(ग) \( \frac{-18}{23} \)
(घ) \( \frac{-19}{-23} \)
Answer: किसी भी परिमेय संख्या के अंश को धनात्मक बनाने के लिए, यदि अंश ऋणात्मक है, तो हम अंश और हर दोनों को -1 से गुणा करते हैं।
हल :
(क) \( \frac{-7}{13} \)
अंश को धनात्मक बनाने के लिए, \( -1 \) से गुणा करें:
\( \frac{-7}{13} = \frac{-7 \times (-1)}{13 \times (-1)} = \frac{7}{-13} \)
(ख) \( \frac{11}{-19} \)
यहां अंश पहले से ही धनात्मक है।
(ग) \( \frac{-18}{23} \)
अंश को धनात्मक बनाने के लिए, \( -1 \) से गुणा करें:
\( \frac{-18}{23} = \frac{-18 \times (-1)}{23 \times (-1)} = \frac{18}{-23} \)
(घ) \( \frac{-19}{-23} \)
अंश को धनात्मक बनाने के लिए, \( -1 \) से गुणा करें:
\( \frac{-19}{-23} = \frac{-19 \times (-1)}{-23 \times (-1)} = \frac{19}{23} \)
In simple words: अगर किसी भिन्न के ऊपर वाली संख्या (अंश) घटा वाली है, तो उसे जमा वाली बनाने के लिए, ऊपर और नीचे दोनों संख्याओं को घटा एक (–1) से गुणा करें. ऐसा करने से भिन्न वही रहता है, बस अंश जमा वाला हो जाता है.

🎯 Exam Tip: यदि अंश पहले से ही धनात्मक है, तो कोई बदलाव करने की आवश्यकता नहीं है, अन्यथा अंश और हर दोनों को -1 से गुणा करें.

Question 6. निम्नांकित संख्याओं में कौन सी परिमेय संख्याएँ धनात्मक हैं?
(क) \( \frac{-9}{-13} \)
(ख) \( \frac{11}{-19} \)
(ग) \( \frac{-7}{-23} \)
(घ) \( \frac{-8}{13} \)
Answer: एक परिमेय संख्या धनात्मक होती है यदि उसके अंश और हर दोनों या तो धनात्मक हों या दोनों ऋणात्मक हों। जब अंश और हर दोनों ऋणात्मक होते हैं, तो वे एक दूसरे को रद्द करके धनात्मक मान देते हैं।
हल :
(क) \( \frac{-9}{-13} \)
यहां अंश और हर दोनों ऋणात्मक हैं, इसलिए \( \frac{-9}{-13} = \frac{9}{13} \). यह एक धनात्मक परिमेय संख्या है।
(ख) \( \frac{11}{-19} \)
यहां अंश धनात्मक और हर ऋणात्मक है, इसलिए यह एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है।
(ग) \( \frac{-7}{-23} \)
यहां अंश और हर दोनों ऋणात्मक हैं, इसलिए \( \frac{-7}{-23} = \frac{7}{23} \). यह एक धनात्मक परिमेय संख्या है।
(घ) \( \frac{-8}{13} \)
यहां अंश ऋणात्मक और हर धनात्मक है, इसलिए यह एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है।
अतः, (क) \( \frac{-9}{-13} \) तथा (ग) \( \frac{-7}{-23} \) धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं।
In simple words: कोई भिन्न जमा वाला (धनात्मक) तब होता है जब उसका ऊपर वाला नंबर और नीचे वाला नंबर दोनों जमा के हों, या फिर दोनों घटा के हों. अगर एक जमा का और दूसरा घटा का हो, तो वह घटा वाला (ऋणात्मक) होता है.

🎯 Exam Tip: परिमेय संख्या के धनात्मक या ऋणात्मक होने का निर्धारण करते समय अंश और हर के चिह्नों को देखें: समान चिह्न धनात्मक होते हैं, जबकि विपरीत चिह्न ऋणात्मक होते हैं.

Question 7. निम्नांकित संख्याओं में कौन-कौन-सी परिमेय संख्याएँ ऋणात्मक हैं?
(क) \( \frac{-7}{11} \)
(ख) \( \frac{6}{-13} \)
(ग) \( \frac{8}{35} \)
(घ) \( \frac{-21}{-23} \)
Answer: एक परिमेय संख्या ऋणात्मक होती है यदि उसके अंश और हर में से कोई एक धनात्मक हो और दूसरा ऋणात्मक हो।
हल :
(क) \( \frac{-7}{11} \)
यहां अंश ऋणात्मक और हर धनात्मक है, इसलिए यह एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है।
(ख) \( \frac{6}{-13} \)
यहां अंश धनात्मक और हर ऋणात्मक है, इसलिए यह एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है।
(ग) \( \frac{8}{35} \)
यहां अंश और हर दोनों धनात्मक हैं, इसलिए यह एक धनात्मक परिमेय संख्या है।
(घ) \( \frac{-21}{-23} \)
यहां अंश और हर दोनों ऋणात्मक हैं, इसलिए \( \frac{-21}{-23} = \frac{21}{23} \). यह एक धनात्मक परिमेय संख्या है।
अतः, (क) \( \frac{-7}{11} \) तथा (ख) \( \frac{6}{-13} \) ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ हैं।
In simple words: कोई भिन्न घटा वाला (ऋणात्मक) तब होता है जब उसका ऊपर वाला नंबर और नीचे वाला नंबर अलग-अलग चिह्न के हों. मतलब, एक जमा का और दूसरा घटा का.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक परिमेय संख्या पहचानने के लिए, देखें कि क्या अंश और हर में से केवल एक में ही ऋणात्मक चिह्न है. यदि दोनों में है, तो संख्या धनात्मक हो जाती है.

Question 8. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को सरलतम रूप में लिखिए।
(क) \( \frac{21}{35} \)
(ख) \( \frac{-18}{-27} \)
(ग) \( \frac{36}{64} \)
(घ) \( \frac{-36}{64} \)
Answer: किसी परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखने के लिए, हम अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) से भाग करते हैं।
हल :
(क) \( \frac{21}{35} \)
21 और 35 का H.C.F. 7 है।
\( \frac{21 \div 7}{35 \div 7} = \frac{3}{5} \)
(ख) \( \frac{-18}{-27} \)
-18 और -27 का H.C.F. -9 है। (या 18 और 27 का H.C.F. 9 है, और चूंकि दोनों ऋणात्मक हैं, संख्या धनात्मक होगी)
\( \frac{-18 \div (-9)}{-27 \div (-9)} = \frac{2}{3} \)
(ग) \( \frac{36}{64} \)
36 और 64 का H.C.F. 4 है।
\( \frac{36 \div 4}{64 \div 4} = \frac{9}{16} \)
(घ) \( \frac{-36}{64} \)
-36 और 64 का H.C.F. 4 है।
\( \frac{-36 \div 4}{64 \div 4} = \frac{-9}{16} \)
In simple words: किसी भिन्न को सबसे सरल रूप में लाने के लिए, उसके ऊपर और नीचे वाले नंबर को ऐसे सबसे बड़े नंबर से भाग दो जिससे दोनों भाग हो सकें. ऐसा करने से भिन्न छोटा हो जाता है पर उसका मान वही रहता है.

🎯 Exam Tip: सरलतम रूप में लिखने के लिए, यह सुनिश्चित करें कि अंश और हर का 1 के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड न हो. यदि आवश्यक हो, तो हर को धनात्मक बनाएं.

Question 9. अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखकर रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिये
(क) \( \frac{-3}{4} = \frac{\_\_}{-20} = \frac{28}{\_\_} \)
(ख) \( \frac{-5}{-8} = \frac{25}{\_\_} = \frac{\_\_}{24} \)
(ग) \( \frac{7}{-9} = \frac{-14}{\_\_} = \frac{\_\_}{45} \)
(घ) \( \frac{4}{15} = \frac{-8}{\_\_} = \frac{\_\_}{-60} \)
Answer: रिक्त स्थानों की पूर्ति करने के लिए, हमें दी गई परिमेय संख्या के अंश या हर में हुए परिवर्तन को देखना होगा, और फिर अंश और हर दोनों को उसी संख्या से गुणा या भाग करना होगा।
हल :
(क) \( \frac{-3}{4} = \frac{\_\_}{-20} = \frac{28}{\_\_} \)
पहले भाग के लिए: हर 4 को -20 बनाने के लिए, 4 को -5 से गुणा करना होगा \( (4 \times -5 = -20) \)। इसलिए, अंश -3 को भी -5 से गुणा करें: \( -3 \times -5 = 15 \)।
\( \frac{-3}{4} = \frac{15}{-20} \)
दूसरे भाग के लिए: अंश -3 को 28 बनाने के लिए, यह संभव नहीं है कि -3 को किसी पूर्णांक से गुणा करके 28 बनाया जा सके, क्योंकि 28, -3 का गुणज नहीं है। (नोट: प्रश्न में त्रुटि हो सकती है, या अपेक्षित मान भिन्न हो सकता है)।
*सही गणना के लिए, यदि हम \( \frac{-3}{4} \) को \( \frac{28}{\_\_} \) से जोड़ते हैं, तो -3 को -28/3 से गुणा करना होगा, जो पूर्णांक नहीं है। हालाँकि, यदि हम 28 को अंश के रूप में मानते हैं और \( \frac{-3}{4} \) से समतुल्य बनाना चाहते हैं, तो \( \frac{-3 \times k}{4 \times k} = \frac{28}{x} \implies -3k=28 \) जो पूर्णांक हल नहीं देता। यदि यह \( \frac{\_\_}{28} \) होता, तो 4 को 7 से गुणा करते और -3 को भी 7 से गुणा करके -21 मिलता।*
*पुनः प्रश्न को देखें, 28 अंश के स्थान पर है। यदि अंश 28 हो, और मूल भिन्न \( \frac{-3}{4} \) हो, तो \( \frac{-3 \times x}{4 \times x} = \frac{28}{\_\_} \). \( -3x = 28 \) से x का मान पूर्णांक नहीं आता। जैसा कि हल में दिया गया है, \( \frac{-3 \times 7}{4 \times 7} = \frac{-21}{28} \). यह इंगित करता है कि प्रश्न में 28 की जगह -21 होना चाहिए था, या 28 के साथ हर 28 होना चाहिए था। हम हल के अनुसार ही चलते हैं, जिसमें \( \frac{-21}{28} \) दिखाया गया है, जिसका मतलब है कि अंश -21 था।*
\( \frac{-3}{4} = \frac{-3 \times 7}{4 \times 7} = \frac{-21}{28} \)
अतः, \( \frac{-3}{4} = \frac{15}{-20} = \frac{-21}{28} \)

(ख) \( \frac{-5}{-8} = \frac{25}{\_\_} = \frac{\_\_}{24} \)
पहले भाग के लिए: अंश -5 को 25 बनाने के लिए, -5 को -5 से गुणा करना होगा \( (-5 \times -5 = 25) \)। इसलिए, हर -8 को भी -5 से गुणा करें: \( -8 \times -5 = 40 \)।
\( \frac{-5}{-8} = \frac{25}{40} \)
दूसरे भाग के लिए: हर -8 को 24 बनाने के लिए, -8 को -3 से गुणा करना होगा \( (-8 \times -3 = 24) \)। इसलिए, अंश -5 को भी -3 से गुणा करें: \( -5 \times -3 = 15 \)।
\( \frac{-5}{-8} = \frac{15}{24} \)
अतः, \( \frac{-5}{-8} = \frac{25}{40} = \frac{15}{24} \)

(ग) \( \frac{7}{-9} = \frac{-14}{\_\_} = \frac{\_\_}{45} \)
पहले भाग के लिए: अंश 7 को -14 बनाने के लिए, 7 को -2 से गुणा करना होगा \( (7 \times -2 = -14) \)। इसलिए, हर -9 को भी -2 से गुणा करें: \( -9 \times -2 = 18 \)।
\( \frac{7}{-9} = \frac{-14}{18} \)
दूसरे भाग के लिए: हर -9 को 45 बनाने के लिए, -9 को -5 से गुणा करना होगा \( (-9 \times -5 = 45) \)। इसलिए, अंश 7 को भी -5 से गुणा करें: \( 7 \times -5 = -35 \)।
\( \frac{7}{-9} = \frac{-35}{45} \)
अतः, \( \frac{7}{-9} = \frac{-14}{18} = \frac{-35}{45} \)

(घ) \( \frac{4}{15} = \frac{-8}{\_\_} = \frac{\_\_}{-60} \)
पहले भाग के लिए: अंश 4 को -8 बनाने के लिए, 4 को -2 से गुणा करना होगा \( (4 \times -2 = -8) \)। इसलिए, हर 15 को भी -2 से गुणा करें: \( 15 \times -2 = -30 \)।
\( \frac{4}{15} = \frac{-8}{-30} \)
दूसरे भाग के लिए: हर 15 को -60 बनाने के लिए, 15 को -4 से गुणा करना होगा \( (15 \times -4 = -60) \)। इसलिए, अंश 4 को भी -4 से गुणा करें: \( 4 \times -4 = -16 \)।
\( \frac{4}{15} = \frac{-16}{-60} \)
अतः, \( \frac{4}{15} = \frac{-8}{-30} = \frac{-16}{-60} \)
In simple words: खाली जगह भरने के लिए, पहले देखो कि ऊपर या नीचे की संख्या कैसे बदली है (कितने से गुणा या भाग हुई है). फिर उसी बदलाव को दूसरी संख्या पर लागू करो.

🎯 Exam Tip: परिमेय संख्याओं में रिक्त स्थान भरते समय, हमेशा अंश और हर दोनों पर एक ही गुणन या विभाजन संक्रिया लागू करें, जिससे कि भिन्न का मान समान बना रहे.

Question 10. प्रत्येक के समतुल्य तीन और परिमेय संख्याएँ लिखिए।
(क) \( \frac{2}{5} \)
(ख) \( \frac{7}{-11} \)
(ग) \( \frac{-8}{-5} \)
Answer: किसी परिमेय संख्या के समतुल्य परिमेय संख्याएँ प्राप्त करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को एक ही गैर-शून्य पूर्णांक से गुणा करते हैं।
हल :
(क) \( \frac{2}{5} \)
\( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} \)
\( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15} \)
\( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20} \)
इसलिए, \( \frac{2}{5} \) की तीन समतुल्य भिन्न \( \frac{4}{10}, \frac{6}{15}, \frac{8}{20} \) हैं।

(ख) \( \frac{7}{-11} \)
\( \frac{7}{-11} = \frac{7 \times 2}{-11 \times 2} = \frac{14}{-22} \)
\( \frac{7}{-11} = \frac{7 \times 3}{-11 \times 3} = \frac{21}{-33} \)
\( \frac{7}{-11} = \frac{7 \times 4}{-11 \times 4} = \frac{28}{-44} \)
इसलिए, \( \frac{7}{-11} \) की तीन समतुल्य भिन्न \( \frac{14}{-22}, \frac{21}{-33}, \frac{28}{-44} \) हैं।

(ग) \( \frac{-8}{-5} \)
\( \frac{-8}{-5} = \frac{-8 \times 2}{-5 \times 2} = \frac{-16}{-10} \)
\( \frac{-8}{-5} = \frac{-8 \times 3}{-5 \times 3} = \frac{-24}{-15} \)
\( \frac{-8}{-5} = \frac{-8 \times 4}{-5 \times 4} = \frac{-32}{-20} \)
इसलिए, \( \frac{-8}{-5} \) की तीन समतुल्य भिन्न \( \frac{-16}{-10}, \frac{-24}{-15}, \frac{-32}{-20} \) हैं। अंश और हर दोनों ऋणात्मक होने पर भिन्न का मान धनात्मक ही रहता है।
In simple words: किसी भी भिन्न की वैसी ही दिखने वाली पर अलग संख्या वाली भिन्न बनाने के लिए, उसके ऊपर और नीचे दोनों नंबरों को एक ही गिनती से गुणा करो. आप जितनी चाहें उतनी ऐसी भिन्न बना सकते हैं.

🎯 Exam Tip: समतुल्य परिमेय संख्याएँ लिखते समय, सुनिश्चित करें कि आप अंश और हर दोनों को एक ही पूर्णांक से गुणा कर रहे हैं, और वह पूर्णांक शून्य नहीं होना चाहिए.

Exercise 1(B)

Question 1. निम्नलिखित परिमेय संख्या को उनके सरलतम रूप में लिखिए।
(क) \( \frac{-8}{10} \)
(ख) \( \frac{15}{20} \)
(ग) \( \frac{25}{45} \)
(घ) \( \frac{-14}{77} \)
Answer: किसी परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखने के लिए, हम अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) से भाग करते हैं।
हल :
(क) \( \frac{-8}{10} \)
-8 और 10 का H.C.F. 2 है।
\( \frac{-8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{-4}{5} \)
(ख) \( \frac{15}{20} \)
15 और 20 का H.C.F. 5 है।
\( \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} \)
(ग) \( \frac{25}{45} \)
25 और 45 का H.C.F. 5 है।
\( \frac{25 \div 5}{45 \div 5} = \frac{5}{9} \)
(घ) \( \frac{-14}{77} \)
-14 और 77 का H.C.F. 7 है।
\( \frac{-14 \div 7}{77 \div 7} = \frac{-2}{11} \)
In simple words: किसी भिन्न को उसके सबसे सरल रूप में बदलने के लिए, ऊपर और नीचे दोनों नंबरों को ऐसे सबसे बड़े नंबर से भाग दें जिससे दोनों बिना शेष बचे भाग हो सकें.

🎯 Exam Tip: सरलतम रूप में लिखते समय, सुनिश्चित करें कि अंश और हर का 1 के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड न हो. यदि आवश्यक हो, तो हर को धनात्मक बनाएं.

Question 2. संकेतों = और \( \ne \) में से चुनकर रिक्त स्थानों को भरिए ।
(क) \( \frac{-4}{5} \_\_ \frac{-5}{7} \)
(ख) \( \frac{-7}{11} \_\_ \frac{7}{-11} \)
(ग) \( \frac{-8}{5} \_\_ \frac{-7}{4} \)
(घ) \( \frac{14}{-16} \_\_ \frac{-21}{16} \)
Answer: दो परिमेय संख्याओं की तुलना करने के लिए, हम उनके हरों को समान बनाते हैं और फिर उनके अंशों की तुलना करते हैं। यदि अंश समान हैं, तो संख्याएँ बराबर हैं, अन्यथा नहीं।
हल :
(क) \( \frac{-4}{5} \_\_ \frac{-5}{7} \)
हरों को समान बनाने के लिए, 5 और 7 का ल.स.प. 35 है।
\( \frac{-4}{5} = \frac{-4 \times 7}{5 \times 7} = \frac{-28}{35} \)
\( \frac{-5}{7} = \frac{-5 \times 5}{7 \times 5} = \frac{-25}{35} \)
चूंकि \( -28 \ne -25 \), इसलिए \( \frac{-4}{5} \ne \frac{-5}{7} \)

(ख) \( \frac{-7}{11} \_\_ \frac{7}{-11} \)
\( \frac{7}{-11} \) के हर को धनात्मक बनाने पर \( \frac{7 \times (-1)}{-11 \times (-1)} = \frac{-7}{11} \) प्राप्त होता है।
चूंकि \( \frac{-7}{11} = \frac{-7}{11} \), इसलिए \( \frac{-7}{11} = \frac{7}{-11} \)

(ग) \( \frac{-8}{5} \_\_ \frac{-7}{4} \)
हरों को समान बनाने के लिए, 5 और 4 का ल.स.प. 20 है।
\( \frac{-8}{5} = \frac{-8 \times 4}{5 \times 4} = \frac{-32}{20} \)
\( \frac{-7}{4} = \frac{-7 \times 5}{4 \times 5} = \frac{-35}{20} \)
चूंकि \( -32 \ne -35 \), इसलिए \( \frac{-8}{5} \ne \frac{-7}{4} \)

(घ) \( \frac{14}{-16} \_\_ \frac{-21}{16} \)
\( \frac{14}{-16} \) के हर को धनात्मक बनाने पर \( \frac{14 \times (-1)}{-16 \times (-1)} = \frac{-14}{16} \) प्राप्त होता है।
अब हमें \( \frac{-14}{16} \) और \( \frac{-21}{16} \) की तुलना करनी है।
चूंकि \( -14 \ne -21 \), इसलिए \( \frac{-14}{16} \ne \frac{-21}{16} \)
In simple words: यह जानने के लिए कि दो भिन्न बराबर हैं या नहीं, उनके नीचे के नंबर (हर) को एक जैसा बनाओ. अगर ऊपर के नंबर (अंश) भी एक जैसे हो जाएं, तो भिन्न बराबर हैं, नहीं तो नहीं.

🎯 Exam Tip: तुलना करने से पहले हमेशा हर को धनात्मक करें, और फिर सबसे छोटे सामान्य हर का उपयोग करके भिन्नों को समान हर वाली समतुल्य भिन्नों में बदलें.

Question 3. निम्नांकित परिमेय संख्याओं के जोड़ों में कौन-कौन समान हैं?
(क) \( \frac{-9}{12} \) और \( \frac{8}{-12} \)
(ख) \( \frac{-15}{45} \) और \( \frac{16}{-48} \)
(ग) \( \frac{7}{-21} \) और \( \frac{-3}{9} \)
(घ) \( \frac{-8}{14} \) और \( \frac{13}{21} \)
Answer: दो परिमेय संख्याएँ समान होती हैं यदि उनका सरलतम रूप समान हो या उनके क्रॉस-गुणा का परिणाम समान हो। हम क्रॉस-गुणा विधि का उपयोग करेंगे।
हल :
(क) \( \frac{-9}{12} \) और \( \frac{8}{-12} \)
क्रॉस-गुणा करें: \( (-9) \times (-12) \) और \( 12 \times 8 \)
\( 108 \) और \( 96 \)
चूंकि \( 108 \ne 96 \), अतः समान नहीं हैं।

(ख) \( \frac{-15}{45} \) और \( \frac{16}{-48} \)
क्रॉस-गुणा करें: \( (-15) \times (-48) \) और \( 45 \times 16 \)
\( 720 \) और \( 720 \)
चूंकि \( 720 = 720 \), अतः समान हैं।

(ग) \( \frac{7}{-21} \) और \( \frac{-3}{9} \)
क्रॉस-गुणा करें: \( 7 \times 9 \) और \( (-21) \times (-3) \)
\( 63 \) और \( 63 \)
चूंकि \( 63 = 63 \), अतः समान हैं।

(घ) \( \frac{-8}{14} \) और \( \frac{13}{21} \)
क्रॉस-गुणा करें: \( (-8) \times 21 \) और \( 14 \times 13 \)
\( -168 \) और \( 182 \)
चूंकि \( -168 \ne 182 \), अतः समान नहीं हैं।
In simple words: दो भिन्न बराबर हैं या नहीं, यह जानने के लिए, पहले भिन्न का ऊपर वाला नंबर दूसरे भिन्न के नीचे वाले नंबर से गुणा करो, और पहले भिन्न का नीचे वाला नंबर दूसरे भिन्न के ऊपर वाले नंबर से गुणा करो. अगर दोनों उत्तर एक जैसे आएं, तो भिन्न बराबर हैं.

🎯 Exam Tip: क्रॉस-गुणा विधि परिमेय संख्याओं की समानता की जांच करने का एक त्वरित तरीका है. यदि \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), तो \( ad = bc \).

Question 4. निम्नांकित परिमेय संख्या को संख्या-रेखा पर निरूपित कीजिए -
(क) \( \frac{3}{4} \)
(ख) \( \frac{3}{5} \)
(ग) \( \frac{5}{8} \)
(घ) \( \frac{3}{16} \)
Answer: संख्या-रेखा पर परिमेय संख्या को निरूपित करने के लिए, हम पूर्णांकों के बीच के हिस्से को हर के बराबर भागों में बांटते हैं और फिर अंश के मान के अनुसार बिंदु चिह्नित करते हैं।
हल :
(क) \( \frac{3}{4} \)
चूंकि \( \frac{3}{4} \) 0 और 1 के बीच है, हम 0 और 1 के बीच के हिस्से को 4 बराबर भागों में बांटते हैं और तीसरे भाग पर बिंदु A चिह्नित करते हैं।
\( \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \)

(ख) \( \frac{3}{5} \)
चूंकि \( \frac{3}{5} \) 0 और 1 के बीच है, हम 0 और 1 के बीच के हिस्से को 5 बराबर भागों में बांटते हैं और तीसरे भाग पर बिंदु A चिह्नित करते हैं।
\( \frac{3}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \)

(ग) \( \frac{5}{8} \)
चूंकि \( \frac{5}{8} \) 0 और 1 के बीच है, हम 0 और 1 के बीच के हिस्से को 8 बराबर भागों में बांटते हैं और पाँचवें भाग पर बिंदु A चिह्नित करते हैं।
\( \frac{5}{8} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \)

(घ) \( \frac{3}{16} \)
चूंकि \( \frac{3}{16} \) 0 और 1 के बीच है, हम 0 और 1 के बीच के हिस्से को 16 बराबर भागों में बांटते हैं और तीसरे भाग पर बिंदु A चिह्नित करते हैं।
\( \frac{3}{16} = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} \)

In simple words: किसी भिन्न को नंबर-रेखा पर दिखाने के लिए, देखो कि वह 0 और 1 के बीच है या नहीं. फिर 0 और 1 के बीच के हिस्से को भिन्न के नीचे वाले नंबर (हर) जितने बराबर हिस्सों में बांटो और ऊपर वाले नंबर (अंश) के हिसाब से सही जगह पर निशान लगा दो.

🎯 Exam Tip: संख्या-रेखा पर परिमेय संख्याओं को निरूपित करते समय, हर के अनुसार इकाई अंतराल (जैसे 0 से 1) को बराबर भागों में बांटना सुनिश्चित करें.

Question 5. निम्नांकित परिमेय संख्याओं के जोड़ों में कौन-कौन असमान हैं?
(क) \( \frac{-8}{24} \) और \( \frac{7}{-21} \)
(ख) \( \frac{-15}{20} \) और \( \frac{25}{-30} \)
(ग) \( \frac{0}{-7} \) और \( \frac{0}{4} \)
(घ) \( \frac{-6}{10} \) और \( \frac{9}{-15} \)
Answer: दो परिमेय संख्याएँ असमान होती हैं यदि उनके क्रॉस-गुणा का परिणाम समान न हो।
हल :
(क) \( \frac{-8}{24} \) और \( \frac{7}{-21} \)
क्रॉस-गुणा करें: \( (-8) \times (-21) \) और \( 24 \times 7 \)
\( 168 \) और \( 168 \)
चूंकि \( 168 = 168 \), अतः समान हैं।

(ख) \( \frac{-15}{20} \) और \( \frac{25}{-30} \)
क्रॉस-गुणा करें: \( (-15) \times (-30) \) और \( 20 \times 25 \)
\( 450 \) और \( 500 \)
चूंकि \( 450 \ne 500 \), अतः समान नहीं हैं।

(ग) \( \frac{0}{-7} \) और \( \frac{0}{4} \)
\( \frac{0}{-7} = 0 \) और \( \frac{0}{4} = 0 \)
चूंकि \( 0 = 0 \), अतः समान हैं।

(घ) \( \frac{-6}{10} \) और \( \frac{9}{-15} \)
क्रॉस-गुणा करें: \( (-6) \times (-15) \) और \( 10 \times 9 \)
\( 90 \) और \( 90 \)
चूंकि \( 90 = 90 \), अतः समान हैं।
अतः, केवल (ख) में परिमेय संख्याएँ असमान हैं।
In simple words: दो भिन्न तब बराबर नहीं होते जब पहले भिन्न के ऊपर वाले नंबर को दूसरे भिन्न के नीचे वाले नंबर से गुणा करने पर, और पहले भिन्न के नीचे वाले नंबर को दूसरे भिन्न के ऊपर वाले नंबर से गुणा करने पर, उत्तर अलग-अलग आएं.

🎯 Exam Tip: असमानता की जांच करने के लिए क्रॉस-गुणा विधि का उपयोग करें; यदि गुणनफल समान नहीं हैं, तो परिमेय संख्याएँ असमान हैं. शून्य वाले भिन्नों में, \( \frac{0}{a} \) हमेशा 0 के बराबर होता है, बशर्ते \( a \ne 0 \).

Exercise 1(C)

Question 1. निम्नांकित दो परिमेय संख्याओं में कौन बड़ी है?
(क) \( \frac{7}{-9}, \frac{-4}{9} \)
(ख) \( \frac{5}{-12}, \frac{-7}{12} \)
(ग) \( \frac{-7}{12}, \frac{5}{-8} \)
(घ) \( \frac{-3}{-13}, \frac{-5}{9} \)
Answer: दो परिमेय संख्याओं की तुलना करने के लिए, हम उनके हरों को धनात्मक और समान बनाते हैं। फिर, जिस संख्या का अंश बड़ा होता है, वह परिमेय संख्या बड़ी होती है।
हल :
(क) \( \frac{7}{-9}, \frac{-4}{9} \)
पहले \( \frac{7}{-9} \) के हर को धनात्मक करें: \( \frac{7 \times (-1)}{-9 \times (-1)} = \frac{-7}{9} \)
अब \( \frac{-7}{9} \) और \( \frac{-4}{9} \) की तुलना करें। हर समान हैं (9)।
चूंकि \( -4 > -7 \), अतः \( \frac{-4}{9} \) बड़ी है।

(ख) \( \frac{5}{-12}, \frac{-7}{12} \)
पहले \( \frac{5}{-12} \) के हर को धनात्मक करें: \( \frac{5 \times (-1)}{-12 \times (-1)} = \frac{-5}{12} \)
अब \( \frac{-5}{12} \) और \( \frac{-7}{12} \) की तुलना करें। हर समान हैं (12)।
चूंकि \( -5 > -7 \), अतः \( \frac{-5}{12} \) बड़ी है।

(ग) \( \frac{-7}{12}, \frac{5}{-8} \)
पहले \( \frac{5}{-8} \) के हर को धनात्मक करें: \( \frac{5 \times (-1)}{-8 \times (-1)} = \frac{-5}{8} \)
अब \( \frac{-7}{12} \) और \( \frac{-5}{8} \) की तुलना करें। हरों (12 और 8) का ल.स.प. 24 है।
\( \frac{-7}{12} = \frac{-7 \times 2}{12 \times 2} = \frac{-14}{24} \)
\( \frac{-5}{8} = \frac{-5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{-15}{24} \)
चूंकि \( -14 > -15 \), अतः \( \frac{-7}{12} \) बड़ी है।

(घ) \( \frac{-3}{-13}, \frac{-5}{9} \)
पहले \( \frac{-3}{-13} \) के हर को धनात्मक करें: \( \frac{-3 \times (-9)}{-13 \times (-9)} = \frac{27}{117} \)
हर 9 को भी 117 बनाने के लिए \( \frac{-5 \times 13}{9 \times 13} = \frac{-65}{117} \)
अब \( \frac{27}{117} \) और \( \frac{-65}{117} \) की तुलना करें। हर समान हैं (117)।
चूंकि \( 27 > -65 \), अतः \( \frac{-3}{-13} \) बड़ी है।
In simple words: दो भिन्नों में कौन बड़ा है यह पता करने के लिए, पहले उनके नीचे वाले नंबरों (हर) को जमा वाला और एक जैसा बनाओ. फिर, जिस भिन्न का ऊपर वाला नंबर (अंश) बड़ा होगा, वही भिन्न बड़ा होगा.

🎯 Exam Tip: भिन्नों की तुलना करते समय, हमेशा पहले उनके हरों को धनात्मक और समान बनाएं. ऋणात्मक अंश वाली संख्याओं में, शून्य के करीब वाली संख्या बड़ी होती है.

Question 2. निम्नांकित दो परिमेय संख्याओं में कौन छोटी है?
(क) \( \frac{4}{9}, \frac{-5}{9} \)
(ख) \( \frac{-11}{6}, \frac{-7}{3} \)
(ग) \( 16, \frac{3}{1} \)
(घ) \( \frac{-4}{3}, \frac{-8}{7} \)
Answer: दो परिमेय संख्याओं में से छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम उनके हरों को धनात्मक और समान बनाते हैं। फिर, जिस संख्या का अंश छोटा होता है, वह परिमेय संख्या छोटी होती है।
हल :
(क) \( \frac{4}{9}, \frac{-5}{9} \)
हर समान हैं (9)।
चूंकि \( -5 < 4 \), अतः \( \frac{-5}{9} \) छोटी है।

(ख) \( \frac{-11}{6}, \frac{-7}{3} \)
हरों को समान बनाने के लिए, 6 और 3 का ल.स.प. 6 है।
\( \frac{-7}{3} = \frac{-7 \times 2}{3 \times 2} = \frac{-14}{6} \)
अब \( \frac{-11}{6} \) और \( \frac{-14}{6} \) की तुलना करें।
चूंकि \( -14 < -11 \), अतः \( \frac{-7}{3} \) छोटी है।

(ग) \( \frac{16}{1}, \frac{3}{1} \)
यहां \( \frac{16}{1} = 16 \) और \( \frac{3}{1} = 3 \)
चूंकि \( 3 < 16 \), अतः \( \frac{3}{1} \) छोटी है।

(घ) \( \frac{-4}{3}, \frac{-8}{7} \)
हरों को समान बनाने के लिए, 3 और 7 का ल.स.प. 21 है।
\( \frac{-4}{3} = \frac{-4 \times 7}{3 \times 7} = \frac{-28}{21} \)
\( \frac{-8}{7} = \frac{-8 \times 3}{7 \times 3} = \frac{-24}{21} \)
अब \( \frac{-28}{21} \) और \( \frac{-24}{21} \) की तुलना करें।
चूंकि \( -28 < -24 \), अतः \( \frac{-4}{3} \) छोटी है।
In simple words: दो भिन्नों में कौन छोटा है यह पता करने के लिए, पहले उनके नीचे वाले नंबरों (हर) को जमा वाला और एक जैसा बनाओ. फिर, जिस भिन्न का ऊपर वाला नंबर (अंश) छोटा होगा, वही भिन्न छोटा होगा.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करते समय सावधान रहें; शून्य से दूर वाली ऋणात्मक संख्या छोटी होती है (जैसे -10, -5 से छोटा है).

Question 3. निम्नांकित प्रश्नों के उत्तर के चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक ही सही है। सही उत्तर अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखिए।
(क) किसी परिमेय संख्या के समतुल्य परिमेय संख्याएँ होती हैं :
(a) एक
(b) दो
(c) सीमित
(d) अनन्त
Answer: (d) अनन्त
In simple words: किसी भी भिन्न की वैसी ही दिखने वाली पर अलग संख्या वाली भिन्न आप कितनी भी बना सकते हैं, उनकी कोई सीमा नहीं होती.

🎯 Exam Tip: एक परिमेय संख्या के समतुल्य परिमेय संख्याएँ प्राप्त करने के लिए अंश और हर को किसी भी शून्येतर पूर्णांक से गुणा किया जा सकता है, जिससे अनन्त संख्याएँ बनती हैं.

Question 3. निम्नांकित प्रश्नों के उत्तर के चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक ही सही है। सही उत्तर अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखिए।
(ख) परिमेय संख्या \( \frac{-16}{80} \) का सरलतम रूप है :
(a) \( \frac{1}{5} \)
(b) \( \frac{-1}{-5} \)
(c) \( \frac{-1}{5} \)
(d) \( \frac{-2}{5} \)
Answer: (c) \( \frac{-1}{5} \)
In simple words: भिन्न \( \frac{-16}{80} \) को सरल करने के लिए, ऊपर और नीचे दोनों संख्याओं को 16 से भाग दिया जाता है, जिससे \( \frac{-1}{5} \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: सरलतम रूप में लिखने के लिए, अंश और हर के महत्तम समापवर्तक (HCF) से भाग करें और सुनिश्चित करें कि हर धनात्मक हो.

Question 3. निम्नांकित प्रश्नों के उत्तर के चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक ही सही है। सही उत्तर अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखिए।
(ग) परिमेय संख्या \( \frac{40}{-25} \) का सरलतम रूप है :
(a) \( \frac{8}{25} \)
(b) \( \frac{-8}{5} \)
(c) \( \frac{16}{-5} \)
(d) \( \frac{8}{5} \)
Answer: (b) \( \frac{-8}{5} \)
In simple words: भिन्न \( \frac{40}{-25} \) को सरल करने के लिए, ऊपर और नीचे दोनों संख्याओं को 5 से भाग दिया जाता है, और हर को धनात्मक बनाया जाता है, जिससे \( \frac{-8}{5} \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: हमेशा हर को धनात्मक रूप में प्रस्तुत करें. यदि हर ऋणात्मक है, तो अंश और हर दोनों को -1 से गुणा करें, फिर सरलतम रूप में लाएँ.

Question 3. निम्नांकित प्रश्नों के उत्तर के चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक ही सही है। सही उत्तर अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखिए।
(घ) दो असमान परिमेय संख्या के बीच परिमेय संख्याएँ होती हैं :
(a) एक
(b) दो
(c) सीमित
(d) अनन्त
Answer: (d) अनन्त
In simple words: किसी भी दो अलग-अलग भिन्नों के बीच, आप कितनी भी दूसरी भिन्न संख्याएँ ढूंढ सकते हैं, उनकी कोई सीमा नहीं होती.

🎯 Exam Tip: दो परिमेय संख्याओं के बीच अनन्त संख्याएँ होती हैं. इसे समझने के लिए आप दो संख्याओं के बीच के मध्यबिंदु को अनन्त बार विभाजित कर सकते हैं.

Question 2. निम्नांकित कथनों में सत्य और असत्य बताइए :
(क) समान परिमेय संख्याओं के सरलतम रूप समान होते हैं। (सत्य)
(ख) \( \frac{-7}{-11} \) धन परिमेय संख्या है। (सत्य)
(ग) \( \frac{3}{-4} \) धन परिमेय संख्या है। (असत्य)
(घ) \( \frac{1}{2} \) और \( \frac{-1}{2} \) समान है। (असत्य)
(च) \( \frac{2}{3}, \frac{4}{6}, \frac{6}{9}, \ldots \) एक ही परिमेय संख्या के विभिन्न रूप हैं। (सत्य)
(छ) \( \frac{-1}{-3}, \frac{-2}{-6}, \frac{-3}{-9}, \ldots \) विभिन्न परिमेय संख्याएँ हैं। (असत्य)
(ज) \( \frac{-5}{8} \) और \( \frac{-4}{7} \) समान परिमेय संख्याएँ हैं। (असत्य)
(झ) सभी पूर्णांक, परिमेय संख्या हैं। (सत्य)
(ट) सभी परिमेय संख्याएँ पूर्णांक होती हैं। (असत्य)
(ठ) \( \frac{-5}{-3} \) और \( \frac{0}{-3} \) समान परिमेय संख्याएँ नहीं हैं। (सत्य)
(ड) दो असमान परिमेय संख्याओं के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ होती हैं। (सत्य)
Answer: हम प्रत्येक कथन का विश्लेषण करेंगे और तय करेंगे कि वह सत्य है या असत्य।
(क) समान परिमेय संख्याओं के सरलतम रूप समान होते हैं।
यह सत्य है। दो समान परिमेय संख्याएँ हमेशा सरलतम रूप में एक ही भिन्न दर्शाएंगी।
(ख) \( \frac{-7}{-11} \) धन परिमेय संख्या है।
यह सत्य है। जब अंश और हर दोनों ऋणात्मक होते हैं, तो संख्या धनात्मक होती है: \( \frac{-7}{-11} = \frac{7}{11} \).
(ग) \( \frac{3}{-4} \) धन परिमेय संख्या है।
यह असत्य है। अंश धनात्मक है और हर ऋणात्मक, इसलिए यह एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है।
(घ) \( \frac{1}{2} \) और \( \frac{-1}{2} \) समान है।
यह असत्य है। \( \frac{1}{2} \) एक धनात्मक संख्या है और \( \frac{-1}{2} \) एक ऋणात्मक संख्या है, इसलिए वे समान नहीं हो सकतीं।
(च) \( \frac{2}{3}, \frac{4}{6}, \frac{6}{9}, \ldots \) एक ही परिमेय संख्या के विभिन्न रूप हैं।
यह सत्य है। \( \frac{4}{6} \) का सरलतम रूप \( \frac{2}{3} \) है, और \( \frac{6}{9} \) का सरलतम रूप भी \( \frac{2}{3} \) है। ये सभी समतुल्य भिन्न हैं।
(छ) \( \frac{-1}{-3}, \frac{-2}{-6}, \frac{-3}{-9}, \ldots \) विभिन्न परिमेय संख्याएँ हैं।
यह असत्य है। ये सभी समतुल्य परिमेय संख्याएँ हैं। \( \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \), \( \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} \), \( \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3} \).
(ज) \( \frac{-5}{8} \) और \( \frac{-4}{7} \) समान परिमेय संख्याएँ हैं।
यह असत्य है। क्रॉस-गुणा करने पर \( -5 \times 7 = -35 \) और \( 8 \times -4 = -32 \). चूंकि \( -35 \ne -32 \), वे समान नहीं हैं।
(झ) सभी पूर्णांक, परिमेय संख्या हैं।
यह सत्य है। किसी भी पूर्णांक \( a \) को \( \frac{a}{1} \) के रूप में लिखा जा सकता है, जो एक परिमेय संख्या है।
(ट) सभी परिमेय संख्याएँ पूर्णांक होती हैं।
यह असत्य है। उदाहरण के लिए, \( \frac{1}{2} \) एक परिमेय संख्या है लेकिन पूर्णांक नहीं है।
(ठ) \( \frac{-5}{-3} \) और \( \frac{0}{-3} \) समान परिमेय संख्याएँ नहीं हैं।
यह सत्य है। \( \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \) जबकि \( \frac{0}{-3} = 0 \). ये दोनों संख्याएँ समान नहीं हैं।
(ड) दो असमान परिमेय संख्याओं के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ होती हैं।
यह सत्य है। किन्हीं भी दो अलग-अलग परिमेय संख्याओं के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ होती हैं।
In simple words: यहां हर वाक्य को यह देखने के लिए जांचा गया कि क्या वह सही है या गलत. हमने देखा कि भिन्नों के बराबर होने, उनके जमा या घटा वाले होने, और भिन्न संख्याओं के बारे में कुछ बुनियादी नियम क्या कहते हैं.

🎯 Exam Tip: सत्य/असत्य प्रश्नों में, प्रत्येक कथन के पीछे के गणितीय तर्क को समझने का प्रयास करें. एक भी प्रतिउदाहरण पूरे कथन को असत्य साबित करने के लिए पर्याप्त है.

Question 3. निम्नांकित परिमेय संख्याओं को अवरोही क्रम में लिखिए।
(क) \( \frac{2}{5}, \frac{4}{7}, \frac{5}{9}, \frac{1}{6} \)
(ख) \( \frac{-1}{11}, \frac{-5}{3}, \frac{-3}{7}, \frac{-4}{4} \)
(ग) \( \frac{5}{-9}, \frac{-7}{12}, \frac{7}{-18}, \frac{-2}{3} \)
(घ) \( \frac{-3}{4}, \frac{5}{-12}, \frac{-7}{16}, \frac{9}{-24} \)
Answer: परिमेय संख्याओं को अवरोही क्रम (घटते क्रम) में लिखने के लिए, हम सबसे पहले उनके हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) ज्ञात करते हैं। फिर, सभी भिन्नों को समान हर वाली समतुल्य भिन्नों में बदलते हैं। अंत में, हम उनके अंशों की तुलना करके उन्हें बड़े से छोटे क्रम में व्यवस्थित करते हैं।
हल :
(क) \( \frac{2}{5}, \frac{4}{7}, \frac{5}{9}, \frac{1}{6} \)
हरों (5, 7, 9, 6) का ल.स.प. 630 है।
\( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 126}{5 \times 126} = \frac{252}{630} \)
\( \frac{4}{7} = \frac{4 \times 90}{7 \times 90} = \frac{360}{630} \)
\( \frac{5}{9} = \frac{5 \times 70}{9 \times 70} = \frac{350}{630} \)
\( \frac{1}{6} = \frac{1 \times 105}{6 \times 105} = \frac{105}{630} \)
अंशों की तुलना करने पर: \( 360 > 350 > 252 > 105 \)
अतः अवरोही क्रम = \( \frac{4}{7}, \frac{5}{9}, \frac{2}{5}, \frac{1}{6} \)

(ख) \( \frac{-1}{11}, \frac{-5}{3}, \frac{-3}{7}, \frac{-4}{4} \)
पहले \( \frac{-4}{4} = -1 \). हरों (11, 3, 7, 4) का ल.स.प. 924 है।
\( \frac{-1}{11} = \frac{-1 \times 84}{11 \times 84} = \frac{-84}{924} \)
\( \frac{-5}{3} = \frac{-5 \times 308}{3 \times 308} = \frac{-1540}{924} \)
\( \frac{-3}{7} = \frac{-3 \times 132}{7 \times 132} = \frac{-396}{924} \)
\( \frac{-4}{4} = -1 = \frac{-1 \times 924}{1 \times 924} = \frac{-924}{924} \)
(यह \( \frac{-4}{4} \) है, इसलिए इसे \( \frac{-924}{924} \) लिखा जाएगा, \( -1 \times 924 = -924 \)).
*यहां अंश \( -336, -308, -660, -693 \) दिया गया है, जो दिए गए भिन्नों से मेल नहीं खाता है। हम अपनी गणना से प्राप्त अंशों का उपयोग करेंगे: -84, -1540, -396, -924.*
अंशों की तुलना करने पर (ऋणात्मक संख्याओं में, शून्य के करीब वाली संख्या बड़ी होती है):
\( -84 > -396 > -924 > -1540 \)
अतः अवरोही क्रम = \( \frac{-1}{11}, \frac{-3}{7}, \frac{-4}{4}, \frac{-5}{3} \)

(ग) \( \frac{5}{-9}, \frac{-7}{12}, \frac{7}{-18}, \frac{-2}{3} \)
पहले हरों को धनात्मक करें:
\( \frac{5}{-9} = \frac{-5}{9} \)
\( \frac{7}{-18} = \frac{-7}{18} \)
अब संख्याएँ हैं: \( \frac{-5}{9}, \frac{-7}{12}, \frac{-7}{18}, \frac{-2}{3} \)
हरों (9, 12, 18, 3) का ल.स.प. 36 है।
\( \frac{-5}{9} = \frac{-5 \times 4}{9 \times 4} = \frac{-20}{36} \)
\( \frac{-7}{12} = \frac{-7 \times 3}{12 \times 3} = \frac{-21}{36} \)
\( \frac{-7}{18} = \frac{-7 \times 2}{18 \times 2} = \frac{-14}{36} \)
\( \frac{-2}{3} = \frac{-2 \times 12}{3 \times 12} = \frac{-24}{36} \)
अंशों की तुलना करने पर: \( -14 > -20 > -21 > -24 \)
अतः अवरोही क्रम = \( \frac{7}{-18}, \frac{5}{-9}, \frac{-7}{12}, \frac{-2}{3} \)

(घ) \( \frac{-3}{4}, \frac{5}{-12}, \frac{-7}{16}, \frac{9}{-24} \)
पहले हरों को धनात्मक करें:
\( \frac{5}{-12} = \frac{-5}{12} \)
\( \frac{9}{-24} = \frac{-9}{24} \)
अब संख्याएँ हैं: \( \frac{-3}{4}, \frac{-5}{12}, \frac{-7}{16}, \frac{-9}{24} \)
हरों (4, 12, 16, 24) का ल.स.प. 48 है।
\( \frac{-3}{4} = \frac{-3 \times 12}{4 \times 12} = \frac{-36}{48} \)
\( \frac{-5}{12} = \frac{-5 \times 4}{12 \times 4} = \frac{-20}{48} \)
\( \frac{-7}{16} = \frac{-7 \times 3}{16 \times 3} = \frac{-21}{48} \)
\( \frac{-9}{24} = \frac{-9 \times 2}{24 \times 2} = \frac{-18}{48} \)
अंशों की तुलना करने पर: \( -18 > -20 > -21 > -36 \)
अतः अवरोही क्रम = \( \frac{9}{-24}, \frac{5}{-12}, \frac{-7}{16}, \frac{-3}{4} \)
In simple words: भिन्नों को बड़े से छोटे क्रम में लगाने के लिए, पहले उनके नीचे के नंबरों (हर) को एक जैसा बनाओ. फिर, जिन भिन्नों का ऊपर वाला नंबर (अंश) सबसे बड़ा हो, उन्हें पहले लिखो, और सबसे छोटे वाले को आखिर में.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक परिमेय संख्याओं को अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते समय, याद रखें कि ऋणात्मक अंश वाली संख्याओं में, सबसे बड़ा मान वह होता है जो शून्य के सबसे करीब हो (उदाहरण के लिए, -10, -20 से बड़ा है).