UP Board Solutions Class 7 Maths Chapter 12 Kshetramiti Mensuration

Up Board Solution Class 7 Math Chapter 12 अभ्यास 12 (a)

 

Question 1. निम्नांकित आकृतियों के परिमाप ज्ञात कीजिए:
(i) एक आयत जिसकी लम्बाई \(6 \text{ सेमी}\) और चौड़ाई \(3 \text{ सेमी}\) है।
(ii) एक वर्ग जिसकी भुजा \(10 \text{ मिमी}\) है।
(iii) एक आयत जिसकी लम्बाई \(10 \text{ मी}\) और चौड़ाई \(1.5 \text{ मी}\) है।
(iv) एक बहुभुज जिसकी भुजाएँ \(5 \text{ मी}, 1.2 \text{ मी}, 1.5 \text{ मी}, 1.0 \text{ मी}, 2.0 \text{ मी}, 1.0 \text{ मी}, 1.5 \text{ मी}\) और \(1.2 \text{ मी}\) हैं।
Answer:
(i) आयत का परिमाप \( = 2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \)
\( = 2 \times (6 + 3) \)
\( = 2 \times 9 \)
\( = 18 \text{ सेमी} \)
(ii) वर्ग का परिमाप \( = 4 \times \text{भुजा} \)
\( = 4 \times 10 \)
\( = 40 \text{ मिमी} \)
(iii) आयत का परिमाप \( = 2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \)
\( = 2 \times (10 + 1.5) \)
\( = 2 \times 11.5 \)
\( = 23.0 \text{ मी} \)
(iv) आकृति का परिमाप \( = 5 + 1.2 + 1.5 + 1.0 + 2.0 + 1.0 + 1.5 + 1.2 \)
\( = 14.4 \text{ मी} \) (सभी भुजाओं को जोड़कर परिमाप प्राप्त होता है।)
In simple words: किसी भी आकृति के चारों ओर की कुल लम्बाई को उसका परिमाप कहते हैं। आयत के लिए \(2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई})\) और वर्ग के लिए \(4 \times \text{भुजा}\) का सूत्र इस्तेमाल करते हैं। अन्य आकृतियों के लिए सभी भुजाओं को जोड़ दिया जाता है।

🎯 Exam Tip: परिमाप निकालते समय हमेशा सभी भुजाओं की इकाई (जैसे सेमी, मीटर, मिमी) एक समान रखें और अंतिम उत्तर में सही इकाई लिखें।

 

Question 2. प्रश्न संख्या 1 में दी गई आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
1. आयत का क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \)
\( = 6 \times 3 \)
\( = 18 \text{ सेमी}^2 \)
2. वर्ग का क्षेत्रफल \( = \text{भुजा} \times \text{भुजा} \)
\( = 10 \times 10 \)
\( = 100 \text{ मिमी}^2 \)
3. आयत का क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \)
\( = 10 \times 1.5 \)
\( = 15 \text{ मी}^2 \)
4. दी हुई आकृति का क्षेत्रफल \( = 5 \times 1.2 + 1.0 \times 2 \) (यहाँ आकृति को छोटे आयतों में बाँटा गया है।)
\( = 6 + 2 \)
\( = 8 \text{ मी}^2 \)
In simple words: क्षेत्रफल किसी सतह का माप होता है। आयत के लिए लम्बाई को चौड़ाई से गुणा करते हैं, और वर्ग के लिए भुजा को भुजा से गुणा करते हैं। जटिल आकृतियों को सरल आकृतियों में बांटकर उनके क्षेत्रफल को जोड़कर कुल क्षेत्रफल निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल की गणना करते समय, हमेशा ध्यान रखें कि इकाई वर्ग में लिखी जाती है (जैसे \( \text{सेमी}^2 \), \( \text{मी}^2 \), \( \text{मिमी}^2 \))।

 

Question 3. निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिएः (पूरा करके)

Answer:
इस सारणी में आयत की लम्बाई, चौड़ाई, परिमाप और क्षेत्रफल के मान दिए गए हैं। हम आयत के परिमाप के सूत्र \(P = 2(L+W)\) और क्षेत्रफल के सूत्र \(A = L \times W\) का उपयोग करके रिक्त स्थान भर सकते हैं। पहले, हम दिए गए मानों से अज्ञात मानों की गणना करते हैं।
1. लम्बाई \( = 5 \text{ मीटर}\), चौड़ाई \( = 4 \text{ मीटर}\)
परिमाप \( = 2(5+4) = 2 \times 9 = 18 \text{ मीटर}\)
क्षेत्रफल \( = 5 \times 4 = 20 \text{ मीटर}^2\)
2. लम्बाई \( = 8 \text{ मीटर}\), चौड़ाई \( = 3 \text{ मीटर}\)
परिमाप \( = 2(8+3) = 2 \times 11 = 22 \text{ मीटर}\)
क्षेत्रफल \( = 8 \times 3 = 24 \text{ मीटर}^2\)
3. लम्बाई \( = 5 \text{ सेमी}\), चौड़ाई \( = 4 \text{ सेमी}\)
परिमाप \( = 2(5+4) = 2 \times 9 = 18 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = 5 \times 4 = 20 \text{ सेमी}^2\)
4. लम्बाई \( = 210 \text{ सेमी}\), चौड़ाई \( = 30 \text{ सेमी}\)
परिमाप \( = 2(210+30) = 2 \times 240 = 480 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = 210 \times 30 = 6300 \text{ सेमी}^2\)
In simple words: इस टेबल को भरने के लिए आयत के दो मुख्य नियमों का इस्तेमाल किया गया: परिमाप (चारों ओर की लम्बाई) और क्षेत्रफल (अंदर का स्थान)। लम्बाई और चौड़ाई पता होने पर हम दोनों निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: सारणी भरते समय, हमेशा सुनिश्चित करें कि आप आयत के परिमाप \(2(L+W)\) और क्षेत्रफल \(L \times W\) के सही सूत्रों का उपयोग कर रहे हैं, और सभी इकाइयाँ सुसंगत हैं।

 

Question 4. निशा के विद्यालय में खेल के मैदान की लम्बाई \(60 \text{ मीटर}\), चौड़ाई \(50 \text{ मीटर}\) है। खेल के मैदान का क्षेत्रफल एअर में बताइए।
Answer: आयत का क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \)
\( = 60 \times 50 \text{ मीटर}^2 \)
\( = 3000 \text{ मी}^2 \)
हम जानते हैं कि \(100 \text{ मी}^2 = 1 \text{ एअर}\) होता है।
तो, \(3000 \text{ मी}^2 = \frac{3000}{100} \text{ एअर} = 30 \text{ एअर}\)
अतः, खेल के मैदान का क्षेत्रफल \( = 30 \text{ एअर} \)
In simple words: पहले मैदान की लम्बाई और चौड़ाई को गुणा करके उसका क्षेत्रफल वर्ग मीटर में निकालते हैं। फिर, याद रखें कि \(100\) वर्ग मीटर को \(1\) एअर कहते हैं, तो कुल वर्ग मीटर को \(100\) से भाग देकर क्षेत्रफल एअर में बदल देते हैं।

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल को एक इकाई से दूसरी इकाई में बदलते समय, जैसे वर्ग मीटर से एअर या हेक्टेयर, रूपांतरण दर को हमेशा याद रखें। \(1 \text{ एअर} = 100 \text{ मी}^2\)।

 

Question 5. अविनाश के कृषि फार्म की लम्बाई \(240 \text{ मीटर}\) और चौड़ाई \(110 \text{ मीटर}\) है। कृषि फार्म का क्षेत्रफल हेक्टेयर में ज्ञात कीजिए।
Answer: फार्म का क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \)
\( = 240 \times 110 \text{ मी}^2 \)
\( = 26400 \text{ मी}^2 \)
हमें पता है कि \(10000 \text{ मी}^2 = 1 \text{ हेक्टेयर}\) होता है।
तो, \(26400 \text{ मी}^2 = \frac{26400}{10000} \text{ हेक्टेयर} = 2.64 \text{ हेक्टेयर}\)
अतः, कृषि फार्म का क्षेत्रफल \( = 2.64 \text{ हेक्टेयर} \)
In simple words: पहले फार्म की लम्बाई और चौड़ाई को गुणा करके वर्ग मीटर में क्षेत्रफल निकालते हैं। फिर, क्योंकि \(10000\) वर्ग मीटर एक हेक्टेयर के बराबर होता है, तो वर्ग मीटर के क्षेत्रफल को \(10000\) से भाग देकर हेक्टेयर में बदल देते हैं।

🎯 Exam Tip: हेक्टेयर में क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, वर्ग मीटर को हेक्टेयर में बदलने के लिए \(10000\) से भाग देना न भूलें। यह एक मानक इकाई रूपांतरण है।

 

Question 6. एक आयताकार मैदान का क्षेत्रफल \(0.5 \text{ हेक्टेयर}\) है। यदि इस आयताकार मैदान की एक भुजा \(125 \text{ मीटर}\) है, तो दूसरी भुजा ज्ञात कीजिए।
Answer: मैदान का क्षेत्रफल \( = 0.5 \text{ हेक्टेयर}\)
हम जानते हैं कि \(1 \text{ हेक्टेयर} = 10000 \text{ मी}^2\)
तो, मैदान का क्षेत्रफल \( = 0.5 \times 10000 \text{ मी}^2 = 5000 \text{ मी}^2 \)
मैदान की एक भुजा \( = 125 \text{ मीटर}\)
आयताकार मैदान का क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \)
\(5000 = 125 \times \text{दूसरी भुजा}\)
दूसरी भुजा \( = \frac{5000}{125} \)
\( = 40 \text{ मी}\)
अतः, मैदान की दूसरी भुजा की लम्बाई \( = 40 \text{ मी} \)
In simple words: सबसे पहले, मैदान के क्षेत्रफल को हेक्टेयर से वर्ग मीटर में बदलते हैं। फिर, आयत के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हुए, एक दी गई भुजा से कुल क्षेत्रफल को भाग देकर दूसरी भुजा की लम्बाई ज्ञात करते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले सभी मापों को एक ही इकाई में लाना महत्वपूर्ण है। यहाँ, हेक्टेयर को वर्ग मीटर में बदलना एक महत्वपूर्ण पहला कदम है।

 

Question 7. एक वर्गाकार टाइल की एक भुजा \(12 \text{ सेमी}\) है। टाइल को क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer: वर्गाकार टाइल की एक भुजा \( = 12 \text{ सेमी}\)
टाइल का क्षेत्रफल \( = \text{भुजा} \times \text{भुजा} \)
\( = 12 \times 12 \)
\( = 144 \text{ सेमी}^2 \)
टाइल का परिमाप \( = 4 \times \text{भुजा} \)
\( = 4 \times 12 \)
\( = 48 \text{ सेमी} \)
In simple words: वर्ग का क्षेत्रफल निकालने के लिए उसकी एक भुजा को उसी से गुणा करते हैं। वर्ग का परिमाप निकालने के लिए उसकी एक भुजा को \(4\) से गुणा करते हैं, क्योंकि वर्ग की चारों भुजाएं बराबर होती हैं।

🎯 Exam Tip: वर्ग के क्षेत्रफल और परिमाप के सूत्रों को याद रखना महत्वपूर्ण है। क्षेत्रफल के लिए \(s^2\) और परिमाप के लिए \(4s\), जहाँ \(s\) भुजा की लम्बाई है।

 

Question 8. एक आयताकार खेत की लम्बाई और चौड़ाई में \(3:2\) का अनुपात है। खेत के चारों ओर मेड़ बनवाने का खर्च Rs \(1.50\) प्रति मीटर की दर से बताइए जबकि खेत का क्षेत्रफल \(1.5 \text{ हेक्टेयर}\) है।
Answer: माना खेत की लम्बाई \( = 3x \text{ मीटर}\)
तथा खेत की चौड़ाई \( = 2x \text{ मीटर}\)
खेत का क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} = 3x \times 2x = 6x^2 \text{ मी}^2\)
दिया गया है कि खेत का क्षेत्रफल \( = 1.5 \text{ हेक्टेयर}\)
हम जानते हैं कि \(1 \text{ हेक्टेयर} = 10000 \text{ मी}^2\)
तो, \(1.5 \text{ हेक्टेयर} = 1.5 \times 10000 \text{ मी}^2 = 15000 \text{ मी}^2\)
अब, \(6x^2 = 15000\)
\(x^2 = \frac{15000}{6} = 2500\)
\(x = \sqrt{2500} = 50 \text{ मी}\)
तो, खेत की लम्बाई \( = 3x = 3 \times 50 = 150 \text{ मी}\)
और खेत की चौड़ाई \( = 2x = 2 \times 50 = 100 \text{ मी}\)
खेत का परिमाप \( = 2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \)
\( = 2 \times (150 + 100) \)
\( = 2 \times 250 \)
\( = 500 \text{ मी}\)
मेड़ बनवाने का खर्च Rs \(1.50\) प्रति मीटर है।
तो, \(500 \text{ मी}\) मेड़ बनवाने का खर्च \( = 500 \times 1.50 \)
\( = \text{Rs } 750 \)
In simple words: पहले, लम्बाई और चौड़ाई का अनुपात उपयोग करके एक अज्ञात \(x\) के रूप में लिखते हैं। क्षेत्रफल को हेक्टेयर से वर्ग मीटर में बदलकर \(x\) का मान निकालते हैं। फिर, लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करके खेत का परिमाप निकालते हैं। अंत में, परिमाप को प्रति मीटर के खर्च से गुणा करके कुल खर्च पता चलता है।

🎯 Exam Tip: अनुपात वाले प्रश्नों में, अज्ञात मान \(x\) का उपयोग करके भुजाओं को व्यक्त करें। हेक्टेयर को वर्ग मीटर में बदलना और परिमाप के लिए सही सूत्र का उपयोग करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 9. एक कार्यालय के \(15\) दरवाजों पर खस की टट्टियाँ लगानी है। प्रत्येक दरवाजों की लम्बाई \(2.5 \text{ मीटर}\) और चौड़ाई \(1.2 \text{ मीटर}\) है। यदि खस की टट्टी लगाने का खर्च खस के मूल्य सहित Rs \(105.0\) प्रति वर्ग मीटर हो, तो कुल कितना खर्च पड़ेगी।
Answer: दरवाजे की लम्बाई \( = 2.5 \text{ मी}\)
दरवाजे की चौड़ाई \( = 1.2 \text{ मी}\)
एक दरवाजे का क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \)
\( = 2.5 \times 1.2 \)
\( = 3 \text{ मी}^2 \)
\(15\) दरवाजों का कुल क्षेत्रफल \( = 15 \times 3 \)
\( = 45 \text{ मी}^2 \)
\(1 \text{ मी}^2\) खस लगवाने का खर्च \( = \text{Rs } 105.0\)
तो, \(45 \text{ मी}^2\) खस लगवाने का कुल खर्च \( = 45 \times 105.0 \)
\( = \text{Rs } 4725 \)
In simple words: सबसे पहले, एक दरवाजे का क्षेत्रफल निकालते हैं। फिर, कुल \(15\) दरवाजों का कुल क्षेत्रफल निकालने के लिए उसे \(15\) से गुणा करते हैं। अंत में, कुल क्षेत्रफल को प्रति वर्ग मीटर के खर्च से गुणा करके कुल लागत पता चलती है।

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में, पहले एक इकाई का क्षेत्रफल ज्ञात करें, फिर कुल आवश्यक क्षेत्रफल के लिए गुणा करें, और अंत में लागत की गणना करें। सभी चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाएं।

अभ्यास 12 (b)

 

Question 1. आकृति \(12.10\) में अन्दर वाले आयत की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए (जहाँ बाहरी आयत की लम्बाई \(30 \text{ मी}\) और चौड़ाई \(20 \text{ मी}\) है, और बाहरी व भीतरी आयत के बीच \(2 \text{ मी}\) का अंतर है)।
Answer: अन्दर वाले आयत की लम्बाई \( = (\text{बाहरी आयत की लम्बाई}) - 2 \times (\text{रास्ते की चौड़ाई}) \)
\( = 30 - 2 - 2 \)
\( = 30 - 4 \)
\( = 26 \text{ मी}\)
अन्दर वाले आयत की चौड़ाई \( = (\text{बाहरी आयत की चौड़ाई}) - 2 \times (\text{रास्ते की चौड़ाई}) \)
\( = 20 - 2 - 2 \)
\( = 20 - 4 \)
\( = 16 \text{ मी}\)
In simple words: किसी बड़े आयत के अंदर एक छोटा आयत बना हो और उनके बीच रास्ते की चौड़ाई दी हो, तो छोटे आयत की लम्बाई और चौड़ाई निकालने के लिए बड़े आयत की लम्बाई और चौड़ाई में से रास्ते की चौड़ाई को दोनों तरफ से घटा देते हैं।

🎯 Exam Tip: जब कोई रास्ता किसी आकृति के 'अंदर' होता है, तो आंतरिक आयाम प्राप्त करने के लिए कुल आयामों से रास्ते की चौड़ाई को दोनों तरफ से घटाना पड़ता है।

 

Question 2. आकृति \(12.11\) में बाहर वाले आयत की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए (जहाँ अंदर वाले आयत की लम्बाई \(25 \text{ मी}\) और चौड़ाई \(15 \text{ मी}\) है, और बाहरी व भीतरी आयत के बीच \(3 \text{ मी}\) का अंतर है)।
Answer: बाहरी आयत की लम्बाई \( = (\text{अन्दर वाले आयत की लम्बाई}) + 2 \times (\text{रास्ते की चौड़ाई}) \)
\( = 25 + 3 + 3 \)
\( = 25 + 6 \)
\( = 31 \text{ मी}\)
बाहरी आयत की चौड़ाई \( = (\text{अन्दर वाले आयत की चौड़ाई}) + 2 \times (\text{रास्ते की चौड़ाई}) \)
\( = 15 + 3 + 3 \)
\( = 15 + 6 \)
\( = 21 \text{ मी}\)
In simple words: यदि छोटे आयत की लम्बाई और चौड़ाई पता हो और रास्ते की चौड़ाई भी दी गई हो, तो बड़े आयत की लम्बाई और चौड़ाई निकालने के लिए छोटे आयत की लम्बाई और चौड़ाई में रास्ते की चौड़ाई को दोनों तरफ से जोड़ देते हैं।

🎯 Exam Tip: जब कोई रास्ता किसी आकृति के 'बाहर' होता है, तो बाहरी आयाम प्राप्त करने के लिए आंतरिक आयामों में रास्ते की चौड़ाई को दोनों तरफ से जोड़ना पड़ता है।

 

Question 3. आकृति \(12.12\) में बने छायांकित रास्ते की चौड़ाई \(3 \text{ मीटर}\) है। बड़े आयत, और रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात करके रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करके) (बाहरी आयत की लम्बाई \(20 \text{ मी}\) और चौड़ाई \(10 \text{ मी}\) है)।
Answer: बड़े आयत का क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \)
\( = 20 \times 10 = 200 \text{ मीटर}^2 \)
छोटे आयत की लम्बाई \( = 20 - 3 - 3 = 14 \text{ मीटर}\)
छोटे आयत की चौड़ाई \( = 10 - 3 - 3 = 4 \text{ मीटर}\)
छोटे आयत का क्षेत्रफल \( = 14 \times 4 = 56 \text{ मीटर}^2 \)
छायांकित रास्ते का क्षेत्रफल \( = (\text{बड़े आयत का क्षेत्रफल}) - (\text{छोटे आयत का क्षेत्रफल}) \)
\( = 200 - 56 = 144 \text{ मीटर}^2 \)
In simple words: बड़े आयत का क्षेत्रफल निकालने के लिए उसकी लम्बाई और चौड़ाई को गुणा करते हैं। छोटे आयत की लम्बाई और चौड़ाई निकालने के लिए रास्ते की चौड़ाई को दोनों तरफ से घटाते हैं, फिर उसका क्षेत्रफल निकालते हैं। छायांकित रास्ते का क्षेत्रफल निकालने के लिए बड़े आयत के क्षेत्रफल में से छोटे आयत का क्षेत्रफल घटाते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले कुल (बड़े) क्षेत्रफल की गणना करें, फिर खाली (छोटे) क्षेत्रफल की गणना करें, और अंत में छायांकित क्षेत्र के लिए बड़े क्षेत्रफल से छोटे क्षेत्रफल को घटाएं।

 

Question 4. एक हॉल की लम्बाई \(20 \text{ मीटर}\) और चौड़ाई \(8 \text{ मीटर}\) है। इसकी दीवारों के चारों ओर फर्श में \(2 \text{ मीटर}\) चौड़ाई का संगमरमर लगा हुआ है। अपनी अभ्यास पुस्तिका पर एक रफ चित्र बनाकर संगमरमर लगे फर्श का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हॉल की लम्बाई \( = 20 \text{ मी}\)
हॉल की चौड़ाई \( = 8 \text{ मी}\)
हॉल का कुल क्षेत्रफल \( = 20 \times 8 = 160 \text{ मी}^2 \)
संगमरमर रहित हॉल की लम्बाई \( = 20 - 2 - 2 = 16 \text{ मी}\)
संगमरमर रहित हॉल की चौड़ाई \( = 8 - 2 - 2 = 4 \text{ मी}\)
संगमरमर रहित हॉल का क्षेत्रफल \( = 16 \times 4 = 64 \text{ मी}^2 \)
अतः, संगमरमर लगे फर्श का क्षेत्रफल \( = (\text{कुल क्षेत्रफल}) - (\text{संगमरमर रहित क्षेत्रफल}) \)
\( = 160 - 64 \)
\( = 96 \text{ मी}^2 \)
In simple words: सबसे पहले, पूरे हॉल का क्षेत्रफल निकालते हैं। फिर, संगमरमर के बिना अंदर वाले हिस्से की लम्बाई और चौड़ाई पता करते हैं, और उसका क्षेत्रफल निकालते हैं। अंत में, संगमरमर वाले हिस्से का क्षेत्रफल निकालने के लिए कुल क्षेत्रफल में से बिना संगमरमर वाले हिस्से का क्षेत्रफल घटाते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, बाहरी और आंतरिक आयामों के बीच अंतर को समझें। रास्ते या बॉर्डर की चौड़ाई को कुल लम्बाई और चौड़ाई से दो बार (प्रत्येक तरफ एक बार) घटाना या जोड़ना सुनिश्चित करें।

 

Question 5. एक वर्गाकार बगीचे के चारों ओर \(50 \text{ सेमी}\) चौड़ाई का मार्ग बना हुआ है। बगीचे की लम्बाई मार्ग सहित \(51 \text{ मीटर}\) है। बगीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: मार्ग सहित वर्गाकार बगीचे की लम्बाई \( = 51 \text{ मी}\)
मार्ग की चौड़ाई \( = 50 \text{ सेमी}\)
पहले मार्ग की चौड़ाई को मीटर में बदलते हैं: \(50 \text{ सेमी} = 0.5 \text{ मीटर}\)
केवल बगीचे की लम्बाई (मार्ग के बिना) \( = (\text{मार्ग सहित लम्बाई}) - 2 \times (\text{मार्ग की चौड़ाई}) \)
\( = 51 - 0.5 - 0.5 \)
\( = 51 - 1 \)
\( = 50 \text{ मी}\)
वर्गाकार बगीचे का क्षेत्रफल \( = \text{भुजा} \times \text{भुजा} \)
\( = 50 \times 50 \)
\( = 2500 \text{ मी}^2 \)
In simple words: पहले मार्ग की चौड़ाई को सेंटीमीटर से मीटर में बदलते हैं। फिर, रास्ते सहित कुल लम्बाई में से रास्ते की चौड़ाई को दोनों तरफ से घटाकर सिर्फ बगीचे की लम्बाई निकालते हैं। अंत में, बगीचे की लम्बाई को उसी से गुणा करके उसका क्षेत्रफल पता करते हैं।

🎯 Exam Tip: इकाई रूपांतरण (जैसे सेमी से मीटर) पर विशेष ध्यान दें, ताकि सभी गणनाएं एक ही इकाई में हों और कोई त्रुटि न हो।

अभ्यास 12 (c)

 

Question 1. आकृति \(12.14\) में चित्रों में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(i) बाहरी आयत \(50 \text{ मी}\) लम्बा और \(40 \text{ मी}\) चौड़ा है। इसके बीचों-बीच \(5 \text{ मी}\) चौड़ा लम्बाई के समांतर रास्ता और \(5 \text{ मी}\) चौड़ा चौड़ाई के समांतर रास्ता है।
(ii) बाहरी आयत \(70 \text{ मी}\) लम्बा और \(35 \text{ मी}\) चौड़ा है। इसके बीचों-बीच \(2 \text{ मी}\) चौड़ा लम्बाई के समांतर रास्ता और \(2 \text{ मी}\) चौड़ा चौड़ाई के समांतर रास्ता है।
Answer:
(i) छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = (\text{लम्बाई वाले रास्ते का क्षेत्रफल}) + (\text{चौड़ाई वाले रास्ते का क्षेत्रफल}) - (\text{बीच वाले उभयनिष्ठ वर्गाकार रास्ते का क्षेत्रफल}) \)
लम्बाई वाले रास्ते का क्षेत्रफल \( = 50 \times 5 = 250 \text{ मी}^2 \)
चौड़ाई वाले रास्ते का क्षेत्रफल \( = 40 \times 5 = 200 \text{ मी}^2 \)
बीच वाले उभयनिष्ठ वर्गाकार रास्ते का क्षेत्रफल \( = 5 \times 5 = 25 \text{ मी}^2 \)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = 250 + 200 - 25 \)
\( = 450 - 25 \)
\( = 425 \text{ मी}^2 \)
(ii) छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = (\text{लम्बाई वाले रास्ते का क्षेत्रफल}) + (\text{चौड़ाई वाले रास्ते का क्षेत्रफल}) - (\text{बीच वाले उभयनिष्ठ वर्गाकार रास्ते का क्षेत्रफल}) \)
लम्बाई वाले रास्ते का क्षेत्रफल \( = 70 \times 2 = 140 \text{ मी}^2 \)
चौड़ाई वाले रास्ते का क्षेत्रफल \( = 35 \times 2 = 70 \text{ मी}^2 \)
बीच वाले उभयनिष्ठ वर्गाकार रास्ते का क्षेत्रफल \( = 2 \times 2 = 4 \text{ मी}^2 \)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = 140 + 70 - 4 \)
\( = 210 - 4 \)
\( = 206 \text{ मी}^2 \)
In simple words: जब बीच में रास्ते एक-दूसरे को काटते हैं, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल निकालने के लिए लम्बाई वाले रास्ते और चौड़ाई वाले रास्ते के क्षेत्रफल को जोड़ते हैं। फिर, क्योंकि बीच का चौराहा दो बार गिना जाता है, इसलिए एक बार उसके क्षेत्रफल को घटा देते हैं।

🎯 Exam Tip: ओवरलैपिंग रास्तों वाले प्रश्नों में, उभयनिष्ठ क्षेत्र को एक बार घटाना न भूलें, क्योंकि इसे दो बार जोड़ा जाता है।

 

Question 2. एक आयताकार प्रांगण की लम्बाई \(6 \text{ मीटर}\) और चौड़ाई \(5 \text{ मीटर}\) है। इसके मध्य में \(2 \text{ मीटर}\) चौड़े दो मार्ग इस प्रकार स्थित हैं कि प्रत्येक एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं। एक मार्ग की लम्बाई के समान्तर और दूसरा मार्ग चौड़ाई के समान्तर है। मार्ग पर Rs \(25\) प्रति वर्ग मीटर की दर से कंकड़ कुटवाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer: लम्बाई के समान्तर मार्ग (\text{ABCD}) का क्षेत्रफल \( = 5 \times 2 = 10 \text{ वर्ग मी}\)
चौड़ाई के समान्तर मार्ग (\text{EFGH}) का क्षेत्रफल \( = 6 \times 2 = 12 \text{ वर्ग मी}\)
उभयनिष्ठ वर्ग (\text{IJKL}) का क्षेत्रफल (जहाँ मार्ग काटते हैं) \( = 2 \times 2 = 4 \text{ वर्ग मी}\)
कुल मार्ग का क्षेत्रफल \( = (\text{लम्बाई वाले मार्ग का क्षेत्रफल}) + (\text{चौड़ाई वाले मार्ग का क्षेत्रफल}) - (\text{उभयनिष्ठ वर्ग का क्षेत्रफल}) \)
\( = 10 + 12 - 4 \)
\( = 22 - 4 \)
\( = 18 \text{ वर्ग मी}\)
कंकड़ कुटवाने का खर्च Rs \(25\) प्रति वर्ग मीटर है।
कुल खर्च \( = 18 \times 25 \)
\( = \text{Rs } 450 \)
In simple words: पहले, लम्बाई के समांतर बने रास्ते का क्षेत्रफल और चौड़ाई के समांतर बने रास्ते का क्षेत्रफल निकालते हैं। क्योंकि दोनों रास्ते एक-दूसरे को काटते हैं, तो जहाँ वे मिलते हैं (चौराहा), उस वर्ग का क्षेत्रफल दो बार गिना जाता है। इसलिए, उस चौराहे के क्षेत्रफल को एक बार घटा देते हैं। इससे हमें कुल रास्ते का क्षेत्रफल मिलता है। अंत में, रास्ते के कुल क्षेत्रफल को प्रति वर्ग मीटर के खर्च से गुणा करके कुल लागत निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप उभयनिष्ठ क्षेत्र के क्षेत्रफल को केवल एक बार घटाते हैं, क्योंकि इसे दो बार जोड़ा गया होता है जब आप व्यक्तिगत रास्तों के क्षेत्रफल की गणना करते हैं।

 

Question 3. आकृति \(12.15\) चित्रों में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (जहाँ बाहरी आयत की लम्बाई \(20 \text{ मी}\) और चौड़ाई \(15 \text{ मी}\) है, और अंदर वाले आयत की चौड़ाई \(3 \text{ मी}\) है)।
Answer: पूरे आयत का क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \)
\( = 20 \times 15 = 300 \text{ वर्ग मी}\)
छाया रहित भाग की लम्बाई \( = 20 - 3 - 3 = 14 \text{ मी}\)
छाया रहित भाग की चौड़ाई \( = 15 - 3 - 3 = 9 \text{ मी}\)
छाया रहित भाग का क्षेत्रफल \( = 14 \times 9 = 126 \text{ वर्ग मी}\)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = (\text{पूरे आयत का क्षेत्रफल}) - (\text{छाया रहित भाग का क्षेत्रफल}) \)
\( = 300 - 126 \)
\( = 174 \text{ वर्ग मी}\)
In simple words: पहले पूरे बड़े आयत का क्षेत्रफल निकालते हैं। फिर, छायांकित भाग के बिना अंदर वाले छोटे आयत की लम्बाई और चौड़ाई निकालते हैं, और उसका क्षेत्रफल पता करते हैं। अंत में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल निकालने के लिए पूरे आयत के क्षेत्रफल में से अंदर वाले छोटे आयत का क्षेत्रफल घटाते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे मामलों में जहाँ छायांकित भाग एक बड़े क्षेत्र के चारों ओर एक सीमा है, बड़े क्षेत्र से आंतरिक खाली क्षेत्र को घटाकर छायांकित क्षेत्र को सबसे आसानी से पाया जा सकता है।

 

Question 4. आकृति \(12.16\) में उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो छायांकित नहीं है (बाहरी आयत की लम्बाई \(75 \text{ मी}\) और चौड़ाई \(24 \text{ मी}\) है, और छायांकित भाग की चौड़ाई \(10 \text{ मी}\) है)।
Answer: छाया रहित भाग की लम्बाई \( = (\text{पूरे आयत की लम्बाई}) - 2 \times (\text{छायांकित भाग की चौड़ाई}) \)
\( = 75 - 10 - 10 \)
\( = 75 - 20 = 55 \text{ मी}\)
छाया रहित भाग की चौड़ाई \( = (\text{पूरे आयत की चौड़ाई}) - 2 \times (\text{छायांकित भाग की चौड़ाई}) \)
\( = 24 - 10 - 10 \)
\( = 24 - 20 = 4 \text{ मी}\)
अतः, छाया रहित भाग का क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \)
\( = 55 \times 4 \)
\( = 220 \text{ मी}^2 \)
In simple words: सबसे पहले, पूरे आयत की लम्बाई और चौड़ाई में से छायांकित रास्ते की चौड़ाई को दोनों तरफ से घटाकर छाया रहित अंदर वाले आयत की लम्बाई और चौड़ाई निकालते हैं। फिर, उन नई लम्बाई और चौड़ाई को गुणा करके छाया रहित भाग का क्षेत्रफल पता करते हैं।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आप सही आयामों का उपयोग कर रहे हैं, हमेशा यह जांचें कि रास्ता या सीमा 'अंदर' है या 'बाहर'। यहां, रास्ता अंदर है, इसलिए चौड़ाई को घटाया जाता है।

 

Question 5. आकृति \(12.17\) में एक राजकीय भवन का मानचित्र दिया गया है। इसमें सड़क को बिन्दुदार भाग से दिखाया गया है। इस सड़क की चौड़ाई \(2 \text{ मीटर}\) है।
(i) सड़क का क्षेत्रफल बताइए।
(ii) सड़क पर ईंट बिछवाने का खर्च Rs \(45\) प्रति वर्ग मीटर की दर से क्या होगा?
Answer:
(i) बाहरी आयत (सड़क सहित पार्क) की लम्बाई \( = 30 \text{ मी}\)
बाहरी आयत की चौड़ाई \( = 20 \text{ मी}\)
सड़क सहित पार्क का कुल क्षेत्रफल \( = 30 \times 20 = 600 \text{ मी}^2 \)
अंदर वाले आयत (केवल पार्क) की लम्बाई \( = 30 - 2 - 2 = 26 \text{ मी}\)
अंदर वाले आयत (केवल पार्क) की चौड़ाई \( = 20 - 2 - 2 = 16 \text{ मी}\)
पार्क का क्षेत्रफल \( = 26 \times 16 = 416 \text{ मी}^2 \)
सड़क का क्षेत्रफल \( = (\text{सड़क सहित पार्क का क्षेत्रफल}) - (\text{केवल पार्क का क्षेत्रफल}) \)
\( = 600 - 416 \)
\( = 184 \text{ मी}^2 \)
(ii) सड़क पर ईंट बिछवाने का खर्च Rs \(45\) प्रति वर्ग मीटर है।
कुल खर्च \( = 184 \times 45 \)
\( = \text{Rs } 8280 \)
In simple words: (i) पहले, सड़क सहित पूरे क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालते हैं। फिर, सड़क को छोड़कर अंदर वाले पार्क का क्षेत्रफल निकालते हैं। सड़क का क्षेत्रफल जानने के लिए कुल क्षेत्रफल में से पार्क का क्षेत्रफल घटाते हैं। (ii) सड़क के क्षेत्रफल को प्रति वर्ग मीटर के खर्च से गुणा करके ईंट बिछवाने का कुल खर्च पता करते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में जहाँ एक बाहरी मार्ग या सड़क हो, तो बड़े क्षेत्र से छोटे क्षेत्र को घटाकर मार्ग का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है। सभी गणनाओं में इकाइयों को सुसंगत रखें।

 

Question 6. अमरूद के एक बाग की लम्बाई \(180 \text{ मीटर}\) और चौड़ाई \(120 \text{ मीटर}\) है। बाग के बीचों-बीच एक दूसरे को समकोण पर काटते हुए \(3 \text{ मीटर}\) चौड़े दो रास्ते हैं। रास्तों पर मिट्टी डलवाने का खर्च Rs \(12\) प्रति वर्ग मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।
Answer: लम्बाई के समान्तर मार्ग का क्षेत्रफल \( = 180 \times 3 = 540 \text{ मी}^2 \)
चौड़ाई के समान्तर मार्ग का क्षेत्रफल \( = 120 \times 3 = 360 \text{ मी}^2 \)
उभयनिष्ठ वर्गाकार चौराहे का क्षेत्रफल \( = 3 \times 3 = 9 \text{ मी}^2 \)
कुल रास्तों का क्षेत्रफल \( = (\text{लम्बाई वाले मार्ग का क्षेत्रफल}) + (\text{चौड़ाई वाले मार्ग का क्षेत्रफल}) - (\text{उभयनिष्ठ चौराहे का क्षेत्रफल}) \)
\( = 540 + 360 - 9 \)
\( = 900 - 9 \)
\( = 891 \text{ मी}^2 \)
मिट्टी डलवाने का खर्च Rs \(12\) प्रति वर्ग मीटर है।
कुल खर्च \( = 891 \times 12 \)
\( = \text{Rs } 10692 \)
In simple words: पहले, बाग की लम्बाई और चौड़ाई के समांतर बने रास्तों का क्षेत्रफल निकालते हैं। क्योंकि ये रास्ते बीच में एक-दूसरे को काटते हैं, तो चौराहे का क्षेत्रफल दो बार जुड़ जाता है, इसलिए उसे एक बार घटाते हैं। कुल रास्ते के क्षेत्रफल को प्रति वर्ग मीटर के खर्च से गुणा करके मिट्टी डलवाने का कुल खर्च निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: चौराहे वाले रास्ते के प्रश्नों में, उभयनिष्ठ क्षेत्र को एक बार घटाना महत्वपूर्ण है ताकि उसके क्षेत्रफल की गणना दो बार न हो।

 

Question 7. किसी स्कूल के छात्रों ने फाई अभियान के लिए एक रैली निकाली। रैली कुछ समय बाद स्कूल से कुछ दूरी पर बने एक आयताकार पार्क में पहुँचीं जिसकी लम्बाई \(40 \text{ मीटर}\), तथा चौड़ाई \(25 \text{ मीटर}\) है। छात्र तीन समूहों में बँट गये और चित्र के अनुसार पार्क में \(5 \text{ मीटर}\) चौड़े दो परस्पर लम्बवत् रास्तों के क्रमशः \(\text{ABEF}\) तथा \(\text{GCDH}\) भागों को प्रतिम समूह ने \(\text{PEHS}\) तथा \(\text{FQRG}\) भागों को द्वितीय समूह ने और \(\text{EFGH}\) भाग को तृतीय समूह ने साफ किया। प्रत्येक समूह द्वारा साफ किये गये क्षेत्रल ज्ञात कीजिए।
Answer: पार्क की लम्बाई \( = 40 \text{ मी}\)
पार्क की चौड़ाई \( = 25 \text{ मी}\)
रास्ते की चौड़ाई \( = 5 \text{ मी}\)
प्रथम समूह द्वारा साफ किया गया क्षेत्र (\text{ABEF} और \text{GCDH}) \( = (\text{पूरे लम्बाई वाले रास्ते का क्षेत्रफल}) - (\text{उभयनिष्ठ वर्ग का क्षेत्रफल}) \)
\( = (40 \times 5) - (5 \times 5) \)
\( = 200 - 25 \)
\( = 175 \text{ वर्ग मीटर}\)
द्वितीय समूह द्वारा साफ किया गया क्षेत्र (\text{PEHS} और \text{FQRG}) \( = (\text{पूरे चौड़ाई वाले रास्ते का क्षेत्रफल}) - (\text{उभयनिष्ठ वर्ग का क्षेत्रफल}) \)
\( = (25 \times 5) - (5 \times 5) \)
\( = 125 - 25 \)
\( = 100 \text{ वर्ग मीटर}\)
तृतीय समूह द्वारा साफ किया गया क्षेत्र (\text{EFGH}) \( = 5 \times 5 \)
\( = 25 \text{ वर्ग मीटर}\)
In simple words: पहले, प्रत्येक रास्ते के क्षेत्रफल को अलग-अलग निकालते हैं। चूंकि बीच का हिस्सा (चौराहा) एक से अधिक बार आता है, इसलिए उसे ध्यान से घटाना या पहचानना होता है। प्रथम समूह ने लम्बाई वाले रास्ते का एक हिस्सा साफ किया, जिसमें से चौराहे को घटाया। द्वितीय समूह ने चौड़ाई वाले रास्ते का एक हिस्सा साफ किया, जिसमें से भी चौराहे को घटाया। तृतीय समूह ने केवल चौराहे का क्षेत्रफल साफ किया।

🎯 Exam Tip: जब एक ही क्षेत्र को विभिन्न समूहों द्वारा साफ किया जा रहा हो, तो प्रत्येक समूह द्वारा साफ किए गए अद्वितीय क्षेत्र को सुनिश्चित करने के लिए सावधानी से ओवरलैपिंग क्षेत्रों को विभाजित करें या घटाएं।

अभ्यास 12 (d)

 

Question 1. निम्नांकित सारणी में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करके)

Answer:
इस सारणी में त्रिभुज के आधार, ऊँचाई और क्षेत्रफल के मान दिए गए हैं। हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र \( A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \) का उपयोग करके रिक्त स्थान भर सकते हैं।
1. आधार \( = 4.2 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \( = 2.1 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 4.2 \times 2.1 = 4.41 \text{ सेमी}^2\)
2. आधार \( = 10 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \( = 8 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40 \text{ सेमी}^2\)
3. आधार \( = 6.4 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \( = 4 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 6.4 \times 4 = 12.8 \text{ सेमी}^2\)
4. आधार \( = 12 \text{ सेमी}\), क्षेत्रफल \( = 36 \text{ सेमी}^2\)
ऊँचाई \( = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{\text{आधार}} = \frac{2 \times 36}{12} = \frac{72}{12} = 6 \text{ सेमी}\)
5. आधार \( = 6 \text{ सेमी}\), क्षेत्रफल \( = 12 \text{ सेमी}^2\)
ऊँचाई \( = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{\text{आधार}} = \frac{2 \times 12}{6} = \frac{24}{6} = 4 \text{ सेमी}\)
6. ऊँचाई \( = 10.5 \text{ सेमी}\), क्षेत्रफल \( = 42 \text{ सेमी}^2\)
आधार \( = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{\text{ऊँचाई}} = \frac{2 \times 42}{10.5} = \frac{84}{10.5} = 8 \text{ सेमी}\)
7. आधार \( = x \text{ सेमी}\), ऊँचाई \( = 2x \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times x \times 2x = x^2 \text{ सेमी}^2\)
In simple words: इस टेबल को भरने के लिए त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र \(\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}\) का उपयोग किया जाता है। यदि कोई एक मान गायब हो (आधार, ऊँचाई या क्षेत्रफल), तो सूत्र को बदलकर उस मान को निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के क्षेत्रफल, आधार या ऊँचाई से संबंधित प्रश्न हल करते समय, सूत्र \( A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \) को याद रखें और अज्ञात मान के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करना सीखें।

 

Question 2. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल \(48 \text{ सेमी}^2\) है। यदि उसकी ऊँचाई \(8 \text{ सेमी}\) हो, तो त्रिभुज का आधार बताइए।
Answer: त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = 48 \text{ सेमी}^2 \)
त्रिभुज की ऊँचाई \( = 8 \text{ सेमी}\)
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: \( \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
इस सूत्र को आधार के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
आधार \( = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{\text{ऊँचाई}} \)
\( = \frac{2 \times 48}{8} \)
\( = \frac{96}{8} \)
\( = 12 \text{ सेमी}\)
In simple words: त्रिभुज का आधार निकालने के लिए, क्षेत्रफल को \(2\) से गुणा करें, फिर उस परिणाम को ऊँचाई से भाग दें। यह त्रिभुज के क्षेत्रफल के मूल सूत्र को बदलकर किया जाता है।

🎯 Exam Tip: सूत्र को सही ढंग से पुनर्व्यवस्थित करने में सावधानी बरतें। हमेशा \(2 \times \text{क्षेत्रफल}\) को अंश में और दी गई भुजा को हर में रखें।

 

Question 3. एक त्रिभुज का आधार \(5 \text{ सेमी}\) है। यदि त्रिभुज की ऊँचाई, आधार से दुगुनी है, तो त्रिभुज से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: त्रिभुज का आधार \( = 5 \text{ सेमी}\)
त्रिभुज की ऊँचाई, आधार से दुगुनी है।
तो, ऊँचाई \( = 2 \times 5 \text{ सेमी} = 10 \text{ सेमी}\)
त्रिभुज से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 \)
\( = \frac{1}{2} \times 50 \)
\( = 25 \text{ सेमी}^2 \)
In simple words: पहले, आधार की लम्बाई का दुगुना करके त्रिभुज की ऊँचाई निकालते हैं। फिर, आधार और ऊँचाई के मानों को त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र (\(\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}\)) में रखकर क्षेत्रफल की गणना करते हैं।

🎯 Exam Tip: यदि कोई आयाम सीधे नहीं दिया गया है, तो उसे दिए गए संबंधों (जैसे 'दुगुना') का उपयोग करके पहले ज्ञात करें, फिर क्षेत्रफल के लिए सूत्र लागू करें।

 

Question 4. निम्नांकित त्रिभुजों के क्षेत्रफल वर्गमीटर में ज्ञात कीजिए, जबकि उनके आधार और संगत ऊँचाई ज्ञात हैं
(i) आधार \( = 15 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \( = 8 \text{ सेमी}\)
(ii) आधार \( = 7.5 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \( = 4 \text{ सेमी}\)
(iii) आधार \( = 1.5 \text{ मी}\), ऊँचाई \( = 0.8 \text{ मी}\)
(iv) आधार \( = 32 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \( = 105 \text{ सेमी}\)
Answer:
(i) आधार \( = 15 \text{ सेमी} = \frac{15}{100} \text{ मी} = 0.15 \text{ मी}\)
ऊँचाई \( = 8 \text{ सेमी} = \frac{8}{100} \text{ मी} = 0.08 \text{ मी}\)
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times 0.15 \times 0.08 \)
\( = 0.075 \times 0.08 \)
\( = 0.006 \text{ मी}^2 \)
(ii) आधार \( = 7.5 \text{ सेमी} = \frac{7.5}{100} \text{ मी} = 0.075 \text{ मी}\)
ऊँचाई \( = 4 \text{ सेमी} = \frac{4}{100} \text{ मी} = 0.04 \text{ मी}\)
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times 0.075 \times 0.04 \)
\( = 0.0375 \times 0.04 \)
\( = 0.0015 \text{ मी}^2 \)
(iii) आधार \( = 1.5 \text{ मी}\)
ऊँचाई \( = 0.8 \text{ मी}\)
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times 1.5 \times 0.8 \)
\( = 0.75 \times 0.8 \)
\( = 0.6 \text{ मी}^2 \)
(iv) आधार \( = 32 \text{ सेमी} = \frac{32}{100} \text{ मी} = 0.32 \text{ मी}\)
ऊँचाई \( = 105 \text{ सेमी} = \frac{105}{100} \text{ मी} = 1.05 \text{ मी}\)
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times 0.32 \times 1.05 \)
\( = 0.16 \times 1.05 \)
\( = 0.168 \text{ मी}^2 \)
In simple words: सभी आधार और ऊँचाई को पहले मीटर में बदलें। अगर वे सेंटीमीटर में दिए गए हों, तो उन्हें \(100\) से भाग दें। फिर, त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र (\(\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}\)) का उपयोग करके प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग मीटर में निकालें।

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल को वर्ग मीटर में ज्ञात करने के लिए, सभी आयामों (आधार और ऊँचाई) को मीटर में बदलना एक महत्वपूर्ण पहला कदम है। इकाई रूपांतरण में सटीकता पर ध्यान दें।

 

Question 5. निम्नांकित त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(i) त्रिभुज का आधार \( = 6 \text{ सेमी}\), संगत ऊँचाई \( = 8 \text{ सेमी}\)
(ii) त्रिभुज का आधार \( = 25 \text{ सेमी}\), संगत ऊँचाई \( = 8 \text{ सेमी}\)
(iii) त्रिभुज का आधार \( = 15 \text{ सेमी}\), संगत ऊँचाई \( = 10 \text{ सेमी}\)
Answer:
(i) त्रिभुज का आधार \( = 6 \text{ सेमी}\)
त्रिभुज की संगत ऊँचाई \( = 8 \text{ सेमी}\)
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{संगत ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \)
\( = 24 \text{ सेमी}^2 \)
(ii) त्रिभुज का आधार \( = (12.5 + 12.5) = 25 \text{ सेमी}\)
त्रिभुज की संगत ऊँचाई \( = 8 \text{ सेमी}\)
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{संगत ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times 25 \times 8 \)
\( = 100 \text{ सेमी}^2 \)
(iii) त्रिभुज का आधार \( = 15 \text{ सेमी}\)
त्रिभुज की संगत ऊँचाई \( = 10 \text{ सेमी}\)
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{संगत ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times 15 \times 10 \)
\( = 75 \text{ सेमी}^2 \)
In simple words: त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए, आधार को ऊँचाई से गुणा करें और फिर उसे \(2\) से भाग दें। यह सूत्र सभी त्रिभुजों के लिए काम करता है, बशर्ते आधार और उस पर लंबवत ऊँचाई दी गई हो।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप 'आधार' और 'संगत ऊँचाई' की अवधारणा को समझते हैं, जहाँ ऊँचाई हमेशा आधार पर लंबवत होती है। सही मानों को सूत्र में सही ढंग से प्रतिस्थापित करें।

 

Question 6. एक सड़क के किनारे एक त्रिभुजाकार यातायात संकेत बोर्ड लगा है जिस पर आगे स्कूल है। लिखा है। यदि संकेत बोर्ड की भुजाएँ क्रमशः \(60 \text{ सेमी}, 80 \text{ सेमी}\) एवं \(100 \text{ सेमी}\) है, तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: त्रिभुजाकार बोर्ड की भुजाएँ हैं: \(a = 60 \text{ सेमी}, b = 80 \text{ सेमी}\) तथा \(c = 100 \text{ सेमी}\)
यह एक विषमबाहु त्रिभुज है। हम हीरोन के सूत्र का उपयोग करेंगे।
पहले अर्ध-परिमाप (\(s\)) ज्ञात करें:
\(s = \frac{a+b+c}{2} \)
\( = \frac{60+80+100}{2} \)
\( = \frac{240}{2} = 120 \text{ सेमी}\)
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{120(120-60)(120-80)(120-100)} \)
\( = \sqrt{120 \times 60 \times 40 \times 20} \)
\( = \sqrt{(20 \times 6) \times (20 \times 3) \times (20 \times 2) \times 20} \)
\( = \sqrt{20^4 \times 6 \times 3 \times 2} \)
\( = \sqrt{20^4 \times 36} \)
\( = 20^2 \times \sqrt{36} \)
\( = 400 \times 6 \)
\( = 2400 \text{ वर्ग सेमी}\)
In simple words: जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ अलग-अलग हों, तो हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हैं। पहले, तीनों भुजाओं को जोड़कर \(2\) से भाग देते हैं, जिससे अर्ध-परिमाप (\(s\)) मिलता है। फिर, \(s\) और प्रत्येक भुजा के अंतर को गुणा करके उसका वर्गमूल निकालते हैं, जो त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है।

🎯 Exam Tip: हीरोन का सूत्र विषमबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफल की गणना के लिए उपयोगी है जब ऊँचाई ज्ञात न हो। अर्ध-परिमाप की गणना और सूत्र में सही मानों को प्रतिस्थापित करने में सावधानी बरतें।

अभ्यास 12 (e)

 

Question 1. निम्नांकित सारणी में दिये गये मापों से प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer:
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
(i) आधार \( = 8 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \( = 3 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = 8 \times 3 = 24 \text{ सेमी}^2 \)
(ii) आधार \( = 2.8 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \( = 5 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = 2.8 \times 5 = 14.0 \text{ सेमी}^2 \)
(iii) आधार \( = 12 \text{ मिमी} = 1.2 \text{ सेमी}\) (क्योंकि \(10 \text{ मिमी} = 1 \text{ सेमी}\))
ऊँचाई \( = 8.7 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = 1.2 \times 8.7 = 10.44 \text{ सेमी}^2 \)
(iv) आधार \( = 6.5 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \( = 4.8 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = 6.5 \times 4.8 = 31.20 \text{ सेमी}^2 \)
(v) आधार \( = 1 \text{ मी } 5 \text{ सेमी} = 100 \text{ सेमी} + 5 \text{ सेमी} = 105 \text{ सेमी}\) (क्योंकि \(1 \text{ मी} = 100 \text{ सेमी}\))
ऊँचाई \( = 45 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = 105 \times 45 = 4725 \text{ सेमी}^2 \)
(vi) आधार \( = 4.2 \text{ डेसीमी} = 0.42 \text{ मी} = 42 \text{ सेमी}\) (क्योंकि \(1 \text{ डेसीमी} = 0.1 \text{ मी} = 10 \text{ सेमी}\))
ऊँचाई \( = 25 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = 42 \times 25 = 1050 \text{ सेमी}^2 \)
In simple words: समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए, आधार को उसकी ऊँचाई से गुणा करते हैं। क्षेत्रफल निकालने से पहले यह सुनिश्चित करें कि आधार और ऊँचाई दोनों एक ही इकाई में हों। यदि इकाइयाँ अलग हों, तो उन्हें एक समान इकाई में बदलें।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, यह सुनिश्चित करने के लिए इकाई रूपांतरण पर विशेष ध्यान दें कि आधार और ऊँचाई दोनों एक ही इकाई में हों।

 

Question 2. निम्नांकित समान्तर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) आधार \(20 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \(27 \text{ सेमी}\)
(ii) आधार \(8 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \(16 \text{ सेमी}\)
(iii) आधार \(8 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \(18 \text{ सेमी}\)
(iv) आधार \(13 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \(24 \text{ सेमी}\)
Answer:
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
(i) आधार \( = 20 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \( = 27 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = 20 \times 27 = 540 \text{ सेमी}^2 \)
(ii) आधार \( = 8 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \( = 16 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = 8 \times 16 = 128 \text{ सेमी}^2 \)
(iii) आधार \( = 8 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \( = 18 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = 8 \times 18 = 144 \text{ सेमी}^2 \)
(iv) आधार \( = 13 \text{ सेमी}\), ऊँचाई \( = 24 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = 13 \times 24 = 312 \text{ सेमी}^2 \)
In simple words: किसी भी समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, उसके आधार की लम्बाई को उसकी संगत ऊँचाई से सीधा गुणा करते हैं। यह एक सीधा सूत्र है जिसे बस दिए गए मानों के साथ लागू करना होता है।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \((\text{आधार} \times \text{ऊँचाई})\) सूत्र याद रखें। सुनिश्चित करें कि ऊँचाई हमेशा आधार के लंबवत मापी जाती है।

 

Question 3. उस समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, जिसका क्षेत्रफल \(2.25 \text{ मी}^2\) और आधार \(25 \text{ डेसीमी}\) है।
Answer: समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = 2.25 \text{ मी}^2 \)
समान्तर चतुर्भुज का आधार \( = 25 \text{ डेसीमी}\)
पहले आधार को मीटर में बदलते हैं: \(1 \text{ डेसीमी} = 0.1 \text{ मी}\)
तो, आधार \( = 25 \times 0.1 \text{ मी} = 2.5 \text{ मी}\)
समान्तर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: \( \text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
इस सूत्र को ऊँचाई के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
ऊँचाई \( = \frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{आधार}} \)
\( = \frac{2.25 \text{ मी}^2}{2.5 \text{ मी}} \)
\( = 0.9 \text{ मी}\)
हम इसे सेंटीमीटर में भी बदल सकते हैं: \(0.9 \text{ मी} = 0.9 \times 100 \text{ सेमी} = 90 \text{ सेमी}\)
In simple words: सबसे पहले, आधार को डेसीमीटर से मीटर में बदलते हैं ताकि सभी इकाइयाँ एक समान हों। फिर, ऊँचाई निकालने के लिए, क्षेत्रफल को आधार से भाग देते हैं। यह समान्तर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को बदलकर किया जाता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले सभी मापों को एक ही इकाई में लाना महत्वपूर्ण है। यहाँ, डेसीमीटर को मीटर में बदलना एक महत्वपूर्ण पहला कदम है।

 

Question 4. एक खेत समान्तर चतुर्भुज के आकार का है। इसको आधार \(15 \text{ डेकामी}\) और ऊँचाई \(8 \text{ डेकामी}\) है। Rs \(5\) प्रति वर्गमीटर की दर से सिंचाई कराने का खर्च ज्ञात कीजिए।
Answer: खेत का आधार \( = 15 \text{ डेकामी}\)
खेत की ऊँचाई \( = 8 \text{ डेकामी}\)
पहले डेकामीटर को मीटर में बदलते हैं: \(1 \text{ डेकामी} = 10 \text{ मीटर}\)
आधार \( = 15 \times 10 \text{ मीटर} = 150 \text{ मीटर}\)
ऊँचाई \( = 8 \times 10 \text{ मीटर} = 80 \text{ मीटर}\)
समान्तर चतुर्भुजाकार खेत का क्षेत्रफल \( = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = 150 \times 80 \text{ मी}^2 \)
\( = 12000 \text{ मी}^2 \)
सिंचाई कराने का खर्च Rs \(5\) प्रति वर्ग मीटर है।
कुल सिंचाई कराने का खर्च \( = 12000 \times 5 \)
\( = \text{Rs } 60000 \)
In simple words: सबसे पहले, आधार और ऊँचाई को डेकामीटर से मीटर में बदलते हैं। फिर, आधार को ऊँचाई से गुणा करके खेत का कुल क्षेत्रफल वर्ग मीटर में निकालते हैं। अंत में, खेत के कुल क्षेत्रफल को प्रति वर्ग मीटर के खर्च से गुणा करके कुल सिंचाई का खर्च पता करते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि क्षेत्रफल की गणना के लिए सभी आयामों को एक ही इकाई में होना चाहिए। डेकामीटर को मीटर में बदलना यहाँ महत्वपूर्ण है।

 

Question 5. आकृति \(12.28\) में \(\text{ABCD}\) समान्तर चतुर्भुज है।
(i) यदि \(\text{AB} = 16 \text{ सेमी}\), \(\text{AD} = 12 \text{ सेमी}\) और \(\text{CF} = 10 \text{ सेमी}\) तो \(\text{BG}\) ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि \(\text{AD} = 10 \text{ सेमी}\), \(\text{CF} = 8 \text{ सेमी}\) और \(\text{BG} = 12 \text{ सेमी}\) तो \(\text{AB}\) ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
आधार \(\text{AB}\) के लिए ऊँचाई \(\text{CF}\) है, और आधार \(\text{AD}\) के लिए ऊँचाई \(\text{BG}\) है।
इसलिए, \(\text{AD} \times \text{BG} = \text{AB} \times \text{CF}\)
\(12 \text{ सेमी} \times \text{BG} = 16 \text{ सेमी} \times 10 \text{ सेमी}\)
\(\text{BG} = \frac{16 \times 10}{12} \)
\(\text{BG} = \frac{160}{12} \)
\(\text{BG} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3} \text{ सेमी}\)
(ii) समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
इसलिए, \(\text{AB} \times \text{CF} = \text{AD} \times \text{BG}\)
\(\text{AB} \times 8 \text{ सेमी} = 10 \text{ सेमी} \times 12 \text{ सेमी}\)
\(\text{AB} = \frac{10 \times 12}{8} \)
\(\text{AB} = \frac{120}{8} \)
\(\text{AB} = 15 \text{ सेमी}\)
In simple words: समान्तर चतुर्भुज में, किसी भी आधार और उसकी संगत ऊँचाई का गुणनफल हमेशा बराबर होता है। इस नियम का उपयोग करके, यदि तीन मान दिए गए हों, तो चौथे अज्ञात मान को आसानी से निकाला जा सकता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \((\text{आधार} \times \text{ऊँचाई})\) स्थिर रहता है, भले ही आप किस आधार और संगत ऊँचाई के जोड़े का उपयोग करें (\(b_1 h_1 = b_2 h_2\))।

अभ्यास 12 (f)

 

Question 1. नीचे सारिणी में समचतुर्भुज से सम्बन्धित नापें दी हुई हैं। रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करके)

Answer:
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{पहला विकर्ण} \times \text{दूसरा विकर्ण} \)
(i) पहला विकर्ण \( = 8 \text{ सेमी}\), दूसरा विकर्ण \( = 10 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40 \text{ सेमी}^2\)
(ii) पहला विकर्ण \( = 12 \text{ सेमी}\), दूसरा विकर्ण \( = 40 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 12 \times 40 = 240 \text{ सेमी}^2\)
(iii) पहला विकर्ण \( = 6 \text{ सेमी}\), दूसरा विकर्ण \( = 3 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9 \text{ सेमी}^2\)
(iv) पहला विकर्ण \( = 8.4 \text{ सेमी}\), दूसरा विकर्ण \( = 6 \text{ सेमी}\)
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 8.4 \times 6 = 25.2 \text{ सेमी}^2\)
In simple words: इस टेबल को भरने के लिए समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र (\(\frac{1}{2} \times \text{विकर्ण 1} \times \text{विकर्ण 2}\)) का उपयोग किया जाता है। यदि कोई एक मान गायब हो, तो सूत्र को बदलकर उस मान को निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है। यह सूत्र याद रखें और गणना करते समय सटीक रहें।

 

Question 2. आकृति \(12.31\) समचतुर्भुज \(\text{ABCD}\) का क्षेत्रफल \(24 \text{ वर्ग सेमी}\) और \(\text{OD}=3 \text{ सेमी}\)। ज्ञात कीजिए:
(i) विकर्ण \(\text{BD}\) की लम्बाई
(ii) विकर्ण \(\text{AC}\) लम्बाई
Answer:
(i) हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए, \(\text{BD} = 2 \times \text{OD}\)
\(\text{BD} = 2 \times 3 \text{ सेमी} = 6 \text{ सेमी}\)
(ii) समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{पहला विकर्ण} \times \text{दूसरा विकर्ण} \)
\(24 \text{ सेमी}^2 = \frac{1}{2} \times \text{AC} \times \text{BD}\)
\(24 = \frac{1}{2} \times \text{AC} \times 6 \)
\(24 = 3 \times \text{AC}\)
\(\text{AC} = \frac{24}{3} \)
\(\text{AC} = 8 \text{ सेमी}\)
In simple words: (i) समचतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को आधा-आधा काटते हैं। इसलिए, \(\text{BD}\) की लम्बाई \(\text{OD}\) की लम्बाई का दुगुनी होगी। (ii) फिर, क्षेत्रफल के सूत्र (\(\frac{1}{2} \times \text{विकर्ण 1} \times \text{विकर्ण 2}\)) का उपयोग करके और एक विकर्ण की लम्बाई को सूत्र में रखकर दूसरे विकर्ण की लम्बाई निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज के विकर्णों के गुणों को याद रखें: वे एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। यह संपत्ति अज्ञात विकर्णों की लम्बाई ज्ञात करने में महत्वपूर्ण है।

 

Question 3. नीलिमा के समचतुर्भुजाकार प्लॉट का क्षेत्रफल \(80 \text{ वर्ग मीटर}\) है। यदि इसके एक विकर्ण की लम्बाई \(16 \text{ मीटर}\) है, तो इसके दूसरे विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: समचतुर्भुजाकार प्लॉट का क्षेत्रफल \( = 80 \text{ वर्ग मीटर}\)
एक विकर्ण की लम्बाई \( = 16 \text{ मीटर}\)
समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: \( \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{पहला विकर्ण} \times \text{दूसरा विकर्ण} \)
\(80 = \frac{1}{2} \times 16 \times \text{दूसरा विकर्ण}\)
\(80 = 8 \times \text{दूसरा विकर्ण}\)
दूसरा विकर्ण \( = \frac{80}{8} \)
दूसरा विकर्ण \( = 10 \text{ मीटर}\)
In simple words: दूसरे विकर्ण की लम्बाई ज्ञात करने के लिए, समचतुर्भुज के क्षेत्रफल को \(2\) से गुणा करें, फिर उस परिणाम को दिए गए पहले विकर्ण की लम्बाई से भाग दें। यह क्षेत्रफल के सूत्र को बदलकर किया जाता है।

🎯 Exam Tip: जब क्षेत्रफल और एक विकर्ण ज्ञात हो, तो दूसरा विकर्ण ज्ञात करने के लिए सूत्र को \( \text{दूसरा विकर्ण} = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{\text{पहला विकर्ण}} \) के रूप में पुनर्व्यवस्थित करना याद रखें।

 

Question 4. आकृति \(12.32\) में दी गई नापों के आधार पर समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (जहाँ विकर्णों के आधे हिस्से \(3 \text{ सेमी}\) और \(4 \text{ सेमी}\) हैं)।
Answer: समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
एक विकर्ण का आधा भाग (\(\text{OA}\)) \( = 3 \text{ सेमी}\)
तो, विकर्ण \(\text{AC} = 2 \times \text{OA} = 2 \times 3 = 6 \text{ सेमी}\)
दूसरे विकर्ण का आधा भाग (\(\text{OD}\)) \( = 4 \text{ सेमी}\)
तो, विकर्ण \(\text{BD} = 2 \times \text{OD} = 2 \times 4 = 8 \text{ सेमी}\)
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{विकर्ण AC} \times \text{विकर्ण BD} \)
\( = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \)
\( = \frac{1}{2} \times 48 \)
\( = 24 \text{ सेमी}^2 \)
In simple words: पहले, विकर्णों के आधे-आधे हिस्सों को दुगुना करके प्रत्येक विकर्ण की पूरी लम्बाई निकालते हैं। फिर, समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र (\(\frac{1}{2} \times \text{विकर्ण 1} \times \text{विकर्ण 2}\)) का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।

🎯 Exam Tip: जब विकर्णों के आधे हिस्से दिए गए हों, तो पहले प्रत्येक विकर्ण की पूरी लम्बाई ज्ञात करें और फिर क्षेत्रफल सूत्र में उनका उपयोग करें।

 

Question 5. एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 20 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 25 मीटर और एक विकर्ण 30 मीटर है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा?
Answer: समचतुर्भुज की भुजा \(a = 25\) मीटर।
एक विकर्ण \(d_1 = 30\) मीटर।
विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। इसलिए, आधे विकर्ण की लम्बाई \( \frac{d_1}{2} = \frac{30}{2} = 15\) मीटर होगी।
समकोण त्रिभुज में, भुजा के वर्ग और आधे विकर्णों के वर्गों के बीच संबंध \(a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \) होता है।
\(25^2 = 15^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \)
\(625 = 225 + (\frac{d_2}{2})^2 \)
\((\frac{d_2}{2})^2 = 625 - 225 = 400\)
\( \frac{d_2}{2} = \sqrt{400} = 20 \) मीटर
दूसरा विकर्ण \(d_2 = 2 \times 20 = 40\) मीटर।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 30 \times 40 = 600 \) वर्ग मीटर।
कुल गायों की संख्या = 20
प्रत्येक गाय को चरने के लिए प्राप्त क्षेत्रफल \( = \frac{\text{कुल क्षेत्रफल}}{\text{गायों की संख्या}} = \frac{600}{20} = 30 \) वर्ग मीटर।
प्रत्येक गाय को 30 वर्ग मीटर घास चरने के लिए मिलेगी, जिससे उनके लिए पर्याप्त जगह सुनिश्चित होगी।
In simple words: एक समचतुर्भुज खेत की एक भुजा 25 मीटर और एक विकर्ण 30 मीटर है। हमने दूसरा विकर्ण 40 मीटर निकाला। खेत का कुल क्षेत्रफल 600 वर्ग मीटर है। क्योंकि 20 गायें हैं, हर गाय को चरने के लिए 30 वर्ग मीटर जगह मिलेगी।

🎯 Exam Tip: Remember that diagonals of a rhombus bisect each other at right angles, which is key for using the Pythagorean theorem to find the length of the unknown diagonal.

 

अभ्यास 12 (g)

 

Question 1. निम्नांकित सारणी में घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई दी गई है। प्रत्येक घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

Answer: घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है: \(2(lb + bh + hl)\).
(i) लम्बाई (\(l\)) = 5 सेमी, चौड़ाई (\(b\)) = 4 सेमी, ऊँचाई (\(h\)) = 3 सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(5 \times 4 + 4 \times 3 + 3 \times 5) \)
\( = 2(20 + 12 + 15) \)
\( = 2(47) = 94 \) सेमी\(^2\)
(ii) लम्बाई (\(l\)) = 6 सेमी, चौड़ाई (\(b\)) = 3 सेमी, ऊँचाई (\(h\)) = 2 सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(6 \times 3 + 3 \times 2 + 2 \times 6) \)
\( = 2(18 + 6 + 12) \)
\( = 2(36) = 72 \) सेमी\(^2\)
(iii) लम्बाई (\(l\)) = 10 सेमी, चौड़ाई (\(b\)) = 8 सेमी, ऊँचाई (\(h\)) = 5 सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(10 \times 8 + 8 \times 5 + 5 \times 10) \)
\( = 2(80 + 40 + 50) \)
\( = 2(170) = 340 \) सेमी\(^2\)
(iv) लम्बाई (\(l\)) = 4 सेमी, चौड़ाई (\(b\)) = 1.7 सेमी, ऊँचाई (\(h\)) = 2.3 सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(4 \times 1.7 + 1.7 \times 2.3 + 2.3 \times 4) \)
\( = 2(6.8 + 3.91 + 9.2) \)
\( = 2(19.91) = 39.82 \) सेमी\(^2\)
(v) लम्बाई (\(l\)) = \(5 \frac{1}{2}\) सेमी \( = 5.5 \) सेमी, चौड़ाई (\(b\)) = 4 सेमी, ऊँचाई (\(h\)) = \(10 \frac{1}{2}\) सेमी \( = 10.5 \) सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(5.5 \times 4 + 4 \times 10.5 + 10.5 \times 5.5) \)
\( = 2(22 + 42 + 57.75) \)
\( = 2(121.75) = 243.5 \) सेमी\(^2\)
(vi) लम्बाई (\(l\)) = 16 सेमी, चौड़ाई (\(b\)) = 8 सेमी, ऊँचाई (\(h\)) = 6 सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(16 \times 8 + 8 \times 6 + 6 \times 16) \)
\( = 2(128 + 48 + 96) \)
\( = 2(272) = 544 \) सेमी\(^2\)
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने के लिए, उसकी सभी छह सतहों के क्षेत्रफल को जोड़ना होता है।
In simple words: घनाभ के कुल क्षेत्रफल को निकालने के लिए, आपको उसकी सभी भुजाओं (लंबाई, चौड़ाई, ऊँचाई) का उपयोग करके सूत्र लगाना होगा। हर बार, लम्बाई को चौड़ाई से, चौड़ाई को ऊँचाई से और ऊँचाई को लम्बाई से गुणा करें, इन तीनों को जोड़ें और फिर पूरे योग को 2 से गुणा करें।

🎯 Exam Tip: Be careful with decimal calculations and unit conversions (like from mixed fractions to decimals) to avoid errors in the final surface area calculation.

 

Question 2. नीचे दी गई भुजा की नाप वाले घन का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
(i) भुजा = 18 सेमी
(ii) भुजा = 8.8 सेमी
(iii) भुजा = 1.2 सेमी
(iv) भुजा = 110 सेमी
Answer: घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है: \(6 \times (\text{भुजा})^2\).
(i) भुजा \(a = 18\) सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 6 \times (18)^2 \)
\( = 6 \times 324 = 1944 \) सेमी\(^2\)
(ii) भुजा \(a = 8.8\) सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 6 \times (8.8)^2 \)
\( = 6 \times 77.44 = 464.64 \) सेमी\(^2\)
(iii) भुजा \(a = 1.2\) सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 6 \times (1.2)^2 \)
\( = 6 \times 1.44 = 8.64 \) सेमी\(^2\)
(iv) भुजा \(a = 110\) सेमी
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 6 \times (110)^2 \)
\( = 6 \times 12100 = 72600 \) सेमी\(^2\)
घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल हमेशा उसकी एक भुजा के वर्ग को 6 से गुणा करके निकाला जाता है क्योंकि घन में सभी फलक बराबर होते हैं।
In simple words: घन का कुल क्षेत्रफल निकालने के लिए, उसकी एक भुजा की लम्बाई को खुद से गुणा करें, फिर उस उत्तर को 6 से गुणा करें।

🎯 Exam Tip: Remember that a cube has six identical square faces, so its total surface area is simply 6 times the area of one face.

 

Question 3. दिए गए घनाभ के कुल पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer: दिए गए घनाभ की लम्बाई (\(l\)) = 4 मी, चौड़ाई (\(b\)) = 3.3 मी, और ऊँचाई (\(h\)) = 2.5 मी है।
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) \)
\( = 2(4 \times 3.3 + 3.3 \times 2.5 + 2.5 \times 4) \)
\( = 2(13.2 + 8.25 + 10.0) \)
\( = 2(31.45) \)
\( = 62.90 \) मी\(^2\)
यह क्षेत्रफल घनाभ के सभी छह फलकों को ढकने के लिए आवश्यक कुल सामग्री को दर्शाता है।
In simple words: इस बॉक्स की लम्बाई 4 मीटर, चौड़ाई 3.3 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर है। इसका कुल क्षेत्रफल 62.90 वर्ग मीटर है, जो सभी बाहरी सतहों का जोड़ है।

🎯 Exam Tip: Ensure that all dimensions (length, breadth, height) are in the same units before applying the surface area formula to avoid calculation errors.

 

Question 4. अभिषेक के कमरे की लम्बाई 4 मीटर, चौड़ाई 3.5 मीटर और ऊँचाई 3 मीटर है। इस कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: कमरे की लम्बाई (\(l\)) = 4 मीटर, चौड़ाई (\(b\)) = 3.5 मीटर, ऊँचाई (\(h\)) = 3 मीटर।
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल \( = 2(l + b) \times h \)
\( = 2(4 + 3.5) \times 3 \)
\( = 2(7.5) \times 3 \)
\( = 15 \times 3 = 45 \) मी\(^2\)
यह क्षेत्रफल दर्शाता है कि कमरे की दीवारों को पेंट या सजाने के लिए कितनी सतह उपलब्ध है।
In simple words: अभिषेक के कमरे की लम्बाई 4 मीटर, चौड़ाई 3.5 मीटर और ऊँचाई 3 मीटर है। उसकी चार दीवारों का कुल क्षेत्रफल 45 वर्ग मीटर है।

🎯 Exam Tip: Remember that for walls (excluding floor and ceiling), the formula is perimeter of the base times height, i.e., \(2(l+b)h\).

 

Question 5. एक घनाकार बक्से की एक भुजा की लम्बाई 1 मीटर 30 सेमी है। बक्से का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
Answer: घनाकार बक्से की भुजा (\(a\)) = 1 मीटर 30 सेमी।
इसे सेमी में बदलने पर, \(a = 100 + 30 = 130\) सेमी।
घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 6 \times a^2 \)
\( = 6 \times (130)^2 \)
\( = 6 \times 16900 \)
\( = 1,01,400 \) सेमी\(^2\)
इस क्षेत्रफल को वर्ग मीटर में बदलने के लिए, \(101400 \div 10000 = 10.14\) वर्ग मीटर होगा।
In simple words: एक बक्से की हर भुजा 1 मीटर 30 सेमी लम्बी है। इसे 130 सेमी भी कह सकते हैं। इस बक्से का पूरा बाहरी क्षेत्रफल 101400 वर्ग सेमी है।

🎯 Exam Tip: Always ensure consistent units throughout the calculation. Convert all measurements to a single unit (e.g., cm or m) at the beginning of the problem.

 

Question 6. रहीम के कमरे की लम्बाई 3.5 मीटर, चौड़ाई 3 मीटर, ऊँचाई 3 मीटर है। इसकी चारों दीवारों पर 15 प्रति वर्ग मीटर की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer: कमरे की लम्बाई (\(l\)) = 3.5 मीटर, चौड़ाई (\(b\)) = 3 मीटर, ऊँचाई (\(h\)) = 3 मीटर।
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल \( = 2(l + b) \times h \)
\( = 2(3.5 + 3) \times 3 \)
\( = 2(6.5) \times 3 \)
\( = 13 \times 3 = 39 \) मी\(^2\)
सफेदी कराने की दर = Rs. 15 प्रति वर्ग मीटर।
सफेदी कराने का कुल व्यय \( = \text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} \)
\( = 39 \times 15 = 585 \) Rs.
कमरे की दीवारों को सफेदी कराने का कुल खर्च Rs. 585 होगा।
In simple words: रहीम के कमरे की लम्बाई 3.5 मीटर, चौड़ाई 3 मीटर और ऊँचाई 3 मीटर है। इसकी दीवारों का कुल क्षेत्रफल 39 वर्ग मीटर है। अगर सफेदी का खर्च 15 Rs प्रति वर्ग मीटर है, तो कुल खर्च 585 Rs होगा।

🎯 Exam Tip: When calculating costs for painting or whitewashing, remember to find the area of only the relevant surfaces (usually walls) and then multiply by the given rate.

 

Question 7. एक घनाकार डिब्बे की एक भुजा 10 सेमी है तथा एक अन्य घनाभ के आकार के डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई क्रमशः 12.5 सेमी, 10 सेमी तथा 8 सेमी है। किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?
Answer: **घनाकार डिब्बे के लिए:**
भुजा (\(a\)) = 10 सेमी
घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (चारों दीवारों का क्षेत्रफल) \( = 4 \times a^2 \)
\( = 4 \times (10)^2 \)
\( = 4 \times 100 = 400 \) सेमी\(^2\)

**घनाभ के आकार के डिब्बे के लिए:**
लम्बाई (\(l\)) = 12.5 सेमी, चौड़ाई (\(b\)) = 10 सेमी, ऊँचाई (\(h\)) = 8 सेमी
घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(l + b) \times h \)
\( = 2(12.5 + 10) \times 8 \)
\( = 2(22.5) \times 8 \)
\( = 45 \times 8 = 360 \) सेमी\(^2\)

**तुलना:**
घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 400 सेमी\(^2\)
घनाभ के आकार के डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 360 सेमी\(^2\)
घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है।
अंतर \( = 400 - 360 = 40 \) सेमी\(^2\)
इस तुलना से पता चलता है कि घनाकार डिब्बे में अधिक सतह क्षेत्र है, जिसका मतलब है कि उसे अधिक पेंट या कवर की आवश्यकता होगी।
In simple words: एक घन के डिब्बे की भुजा 10 सेमी है, उसका पार्श्व क्षेत्रफल 400 वर्ग सेमी है। दूसरे बॉक्स की लम्बाई 12.5 सेमी, चौड़ाई 10 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है, उसका पार्श्व क्षेत्रफल 360 वर्ग सेमी है। घन वाला डिब्बा 40 वर्ग सेमी अधिक बड़ा है।

🎯 Exam Tip: Distinguish carefully between total surface area and lateral surface area. Lateral surface area excludes the top and bottom faces.

 

Question 8. प्रदीप स्वीट स्टॉल को मिठाइयाँ पैक करने के लिए गत्ते के घनाभ के आकार के 200 डिब्बे बनवाने हैं, जिनकी लम्बाई 25 सेमी, चौड़ाई 20 सेमी तथा ऊँचाई 5 सेमी है। यदि गत्ते का मूल्य Rs. 40 प्रति वर्ग मीटर है, तो डिब्बे बनवाने की कुल कीमत ज्ञात कीजिए।
Answer: एक डिब्बे के लिए:
लम्बाई (\(l\)) = 25 सेमी, चौड़ाई (\(b\)) = 20 सेमी, ऊँचाई (\(h\)) = 5 सेमी।
एक डिब्बे का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) \)
\( = 2(25 \times 20 + 20 \times 5 + 5 \times 25) \)
\( = 2(500 + 100 + 125) \)
\( = 2(725) = 1450 \) सेमी\(^2\)

कुल 200 डिब्बे बनवाने हैं।
200 डिब्बों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 200 \times 1450 = 290000 \) सेमी\(^2\)

गत्ते का मूल्य प्रति वर्ग मीटर में दिया गया है। इसलिए, हमें क्षेत्रफल को वर्ग मीटर में बदलना होगा।
1 मी\(^2\) = 10000 सेमी\(^2\)
कुल क्षेत्रफल \( = \frac{290000}{10000} = 29 \) मी\(^2\)

गत्ते का मूल्य = Rs. 40 प्रति वर्ग मीटर।
कुल कीमत \( = \text{कुल क्षेत्रफल (मी}^2) \times \text{दर} \)
\( = 29 \times 40 = 1160 \) Rs.
इन 200 मिठाई के डिब्बों को बनाने में कुल Rs. 1160 का खर्च आएगा, जो गत्ते की लागत को दर्शाता है।
In simple words: हर डिब्बे की लम्बाई 25 सेमी, चौड़ाई 20 सेमी और ऊँचाई 5 सेमी है। एक डिब्बे का पूरा क्षेत्रफल 1450 वर्ग सेमी है। ऐसे 200 डिब्बों के लिए कुल 290000 वर्ग सेमी गत्ता चाहिए, जो 29 वर्ग मीटर होता है। अगर गत्ते का भाव 40 Rs प्रति वर्ग मीटर है, तो कुल 1160 Rs लगेंगे।

🎯 Exam Tip: Always pay attention to the units specified for dimensions and cost. Convert all measurements to a consistent unit (e.g., square meters) before calculating the total cost.

 

दक्षता अभ्यास – 12

 

Question 1. निम्नांकित आकृति 12.38 में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Answer: **(i) छायांकित भाग का क्षेत्रफल:**
बाहरी आयत की लम्बाई = 15 मीटर, चौड़ाई = 10 मीटर।
बाहरी आयत का क्षेत्रफल \( = 15 \times 10 = 150 \) मी\(^2\)
अन्दर वाले आयत की लम्बाई = \(15 - (2+2) = 15 - 4 = 11\) मीटर।
अन्दर वाले आयत की चौड़ाई = \(10 - (2+2) = 10 - 4 = 6\) मीटर।
अन्दर वाले आयत का क्षेत्रफल \( = 11 \times 6 = 66 \) मी\(^2\)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = \text{बाहरी आयत का क्षेत्रफल} - \text{अन्दर वाले आयत का क्षेत्रफल} \)
\( = 150 - 66 = 84 \) मी\(^2\)
यह क्षेत्रफल उस हिस्से को दर्शाता है जो दो आयतों के बीच में है।
In simple words: एक बड़े आयत में एक छोटा आयत है। बड़े आयत का क्षेत्रफल 150 वर्ग मीटर और छोटे आयत का क्षेत्रफल 66 वर्ग मीटर है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल 150 में से 66 घटाकर, 84 वर्ग मीटर मिलेगा।

🎯 Exam Tip: To find the area of a shaded region between two concentric rectangles, subtract the area of the inner rectangle from the area of the outer rectangle.

 

Answer: **(ii) छायांकित भाग का क्षेत्रफल:**
बाहरी आयत की लम्बाई = 20 मीटर, चौड़ाई = 15 मीटर।
बाहरी आयत का क्षेत्रफल \( = 20 \times 15 = 300 \) मी\(^2\)
अन्दर वाले आयत की लम्बाई = \(20 - (2+2) = 20 - 4 = 16\) मीटर।
अन्दर वाले आयत की चौड़ाई = \(15 - (2+2) = 15 - 4 = 11\) मीटर।
अन्दर वाले आयत का क्षेत्रफल \( = 16 \times 11 = 176 \) मी\(^2\)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = 300 - 176 = 124 \) मी\(^2\)
यह विधि आंतरिक क्षेत्र को हटाकर बाहरी क्षेत्र के चारों ओर की पट्टी के क्षेत्र को दर्शाती है।
In simple words: एक बड़े आयत का क्षेत्रफल 300 वर्ग मीटर है। उसके अंदर एक छोटा आयत है जिसका क्षेत्रफल 176 वर्ग मीटर है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल इन दोनों के अंतर के बराबर, यानी 124 वर्ग मीटर है।

🎯 Exam Tip: Remember to subtract the path width from both sides of the length and breadth when calculating the inner rectangle's dimensions.

 

Answer: **(iii) छायांकित भाग का क्षेत्रफल:**
बाहरी आयत की लम्बाई = 40 मीटर, चौड़ाई = 25 मीटर।
बाहरी आयत का क्षेत्रफल \( = 40 \times 25 = 1000 \) मी\(^2\)
अन्दर वाले आयत की लम्बाई = \(40 - (5+5) = 40 - 10 = 30\) मीटर।
अन्दर वाले आयत की चौड़ाई = \(25 - (5+5) = 25 - 10 = 15\) मीटर।
अन्दर वाले आयत का क्षेत्रफल \( = 30 \times 15 = 450 \) मी\(^2\)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = 1000 - 450 = 550 \) मी\(^2\)
यह भीतरी स्थान को हटाकर बाहरी सीमा के क्षेत्र का पता लगाने के लिए एक सामान्य तरीका है।
In simple words: सबसे बड़े आयत का क्षेत्रफल 1000 वर्ग मीटर है, और अंदर वाले छोटे आयत का क्षेत्रफल 450 वर्ग मीटर है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल निकालने के लिए, बड़े में से छोटा घटा दिया गया, जिससे 550 वर्ग मीटर मिला।

🎯 Exam Tip: When the path width is given, remember to subtract twice the width from both length and breadth to get the dimensions of the inner rectangle.

 

Answer: **(iv) छायांकित भाग का क्षेत्रफल:**
लम्बाई वाला रास्ता: लम्बाई = 120 मीटर, चौड़ाई = 5 मीटर।
क्षेत्रफल \( = 120 \times 5 = 600 \) मी\(^2\)
चौड़ाई वाला रास्ता: लम्बाई = 80 मीटर, चौड़ाई = 5 मीटर।
क्षेत्रफल \( = 80 \times 5 = 400 \) मी\(^2\)
बीच वाला उभयनिष्ठ वर्गाकार रास्ता: भुजा = 5 मीटर (क्योंकि दोनों रास्ते 5 मीटर चौड़े हैं)।
क्षेत्रफल \( = 5 \times 5 = 25 \) मी\(^2\)
छायांकित भाग का कुल क्षेत्रफल \( = (\text{लम्बाई वाले रास्ते का क्षेत्रफल}) + (\text{चौड़ाई वाले रास्ते का क्षेत्रफल}) - (\text{उभयनिष्ठ वर्ग का क्षेत्रफल}) \)
\( = 600 + 400 - 25 \)
\( = 1000 - 25 = 975 \) मी\(^2\)
यह दर्शाता है कि जब दो रास्ते एक-दूसरे को काटते हैं, तो चौराहे के क्षेत्र को एक बार ही गिना जाना चाहिए।
In simple words: दो रास्ते हैं, एक लम्बाई में और एक चौड़ाई में, जो एक दूसरे को काटते हैं। लम्बे रास्ते का क्षेत्रफल 600 वर्ग मीटर है और चौड़े रास्ते का क्षेत्रफल 400 वर्ग मीटर है। बीच का हिस्सा दो बार गिना जाता है, जो 25 वर्ग मीटर है, इसलिए इसे एक बार घटाया गया। कुल छायांकित क्षेत्रफल 975 वर्ग मीटर है।

🎯 Exam Tip: For cross-path problems, always subtract the area of the common overlapping square (intersection) to avoid counting it twice.

 

Question 2. एक वर्गाकार पार्क की सीमा से लगा हुआ पार्क के अन्दर चारों ओर 1 मीटर चौड़ाई का मार्ग है। पार्क की लंबाई 30 मीटर है। पार्क के शेष भाग में Rs. 6 प्रति वर्ग मीटर की दर से घास लगवाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer: वर्गाकार पार्क की बाहरी भुजा = 30 मीटर।
मार्ग की चौड़ाई = 1 मीटर।
अतः मार्ग को हटाने के बाद पार्क के भीतरी भाग की भुजा = \(30 - (1+1) = 30 - 2 = 28\) मीटर।
भीतरी पार्क का क्षेत्रफल \( = (\text{भुजा})^2 = (28)^2 = 784 \) मी\(^2\)
घास लगवाने की दर = Rs. 6 प्रति वर्ग मीटर।
घास लगवाने का कुल व्यय \( = \text{भीतरी पार्क का क्षेत्रफल} \times \text{दर} \)
\( = 784 \times 6 = 4704 \) Rs.
इस हिसाब से, पार्क के भीतरी भाग में घास लगवाने का कुल खर्च Rs. 4704 होगा।
In simple words: एक 30 मीटर भुजा वाले वर्गाकार पार्क के अंदर 1 मीटर चौड़ा रास्ता है। रास्ते के बाद, अंदर का पार्क 28 मीटर भुजा वाला हो जाता है। अंदर के पार्क का क्षेत्रफल 784 वर्ग मीटर है। अगर घास लगाने का खर्च 6 Rs प्रति वर्ग मीटर है, तो कुल खर्च 4704 Rs होगा।

🎯 Exam Tip: When a path is *inside* a square or rectangle, subtract twice the path's width from the outer dimensions to find the inner dimensions.

 

Question 3. उस त्रिभुज को क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिस का आधार 9.6 सेमी और ऊँचाई 5 सेमी है।
Answer: त्रिभुज का आधार (\(b\)) = 9.6 सेमी, ऊँचाई (\(h\)) = 5 सेमी।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times 9.6 \times 5 \)
\( = 4.8 \times 5 = 24 \) सेमी\(^2\)
त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी है, जो उसकी सतह को मापने का एक सीधा तरीका है।
In simple words: एक त्रिभुज का आधार 9.6 सेमी और ऊँचाई 5 सेमी है। उसका क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी है।

🎯 Exam Tip: Always use the formula \( \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} \) for finding the area of a triangle.

 

Question 4. उस त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 45 सेमी है तथा आधार 15 सेमी है।
Answer: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 45 सेमी\(^2\), आधार (\(b\)) = 15 सेमी।
त्रिभुज का क्षेत्रफल का सूत्र है: \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
इसलिए, ऊँचाई \( = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{\text{आधार}} \)
\( = \frac{2 \times 45}{15} \)
\( = \frac{90}{15} = 6 \) सेमी
त्रिभुज की ऊँचाई 6 सेमी है, जो यह दर्शाता है कि आधार से शीर्ष तक की लंबवत दूरी 6 सेमी है।
In simple words: एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 45 वर्ग सेमी है और उसका आधार 15 सेमी है। उसकी ऊँचाई निकालने के लिए, क्षेत्रफल को 2 से गुणा करके आधार से भाग दिया गया, जिससे ऊँचाई 6 सेमी मिली।

🎯 Exam Tip: If the area and base of a triangle are given, you can find the height by rearranging the area formula: \( \text{Height} = \frac{2 \times \text{Area}}{\text{Base}} \).

 

Question 5. आकृति 12.39 चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AC=48 सेमी, BF = 10 सेमी और DE=20 सेमी।
Answer: चतुर्भुज ABCD को दो त्रिभुजों में विभाजित किया गया है: त्रिभुज ABC और त्रिभुज ADC।
विकर्ण AC त्रिभुज ABC के लिए आधार और त्रिभुज ADC के लिए भी आधार है।
BF, त्रिभुज ABC के लिए ऊँचाई है (AC पर लंब)।
DE, त्रिभुज ADC के लिए ऊँचाई है (AC पर लंब)।

दिया गया है:
\(AC = 48\) सेमी
\(BF = 10\) सेमी
\(DE = 20\) सेमी

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल \( = \text{त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल} + \text{त्रिभुज ADC का क्षेत्रफल} \)
\( = (\frac{1}{2} \times AC \times BF) + (\frac{1}{2} \times AC \times DE) \)
\( = \frac{1}{2} \times AC \times (BF + DE) \)
\( = \frac{1}{2} \times 48 \times (10 + 20) \)
\( = \frac{1}{2} \times 48 \times 30 \)
\( = 24 \times 30 = 720 \) सेमी\(^2\)
इस चतुर्भुज का क्षेत्रफल 720 वर्ग सेमी है, जो इसे मापने का एक सरल तरीका है जब एक विकर्ण और उस पर विपरीत शीर्षों से लंब दिए गए हों।
In simple words: चतुर्भुज ABCD को दो त्रिभुजों में बांटा गया है। विकर्ण AC की लम्बाई 48 सेमी है। दो ऊँचाईयां BF (10 सेमी) और DE (20 सेमी) हैं। चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल निकालने के लिए, विकर्ण और दोनों ऊँचाईयों को जोड़कर आधे से गुणा किया गया, जिससे 720 वर्ग सेमी मिला।

🎯 Exam Tip: A general quadrilateral's area can be found by dividing it into two triangles using one of its diagonals. The area is then \( \frac{1}{2} \times \text{diagonal} \times (\text{sum of perpendiculars from other vertices to the diagonal}) \).

 

Question 6. उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसको आधार 7 सेमी और ऊँचाई 4.3 सेमी हो।
Answer: समान्तर चतुर्भुज का आधार (\(b\)) = 7 सेमी, ऊँचाई (\(h\)) = 4.3 सेमी।
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = 7 \times 4.3 \)
\( = 30.1 \) सेमी\(^2\)
इस तरह के समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 30.1 वर्ग सेमी है, जो आधार और ऊँचाई के सीधे गुणनफल से प्राप्त होता है।
In simple words: एक समान्तर चतुर्भुज का आधार 7 सेमी और ऊँचाई 4.3 सेमी है। उसका क्षेत्रफल 30.1 वर्ग सेमी है।

🎯 Exam Tip: The area of a parallelogram is calculated by multiplying its base by its perpendicular height. Do not confuse it with the side length.

 

Question 7. 12 सेमी भुजा के दो घन सटाकर रखे गए हैं। सटाकर रखने से बने घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
Answer: जब 12 सेमी भुजा के दो घनों को एक साथ सटाकर रखा जाता है, तो वे एक घनाभ बनाते हैं।
इस नए घनाभ की लम्बाई (\(l\)) \( = 12 + 12 = 24 \) सेमी।
चौड़ाई (\(b\)) \( = 12 \) सेमी (वही रहती है)।
ऊँचाई (\(h\)) \( = 12 \) सेमी (वही रहती है)।

घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) \)
\( = 2(24 \times 12 + 12 \times 12 + 12 \times 24) \)
\( = 2(288 + 144 + 288) \)
\( = 2(720) \)
\( = 1440 \) सेमी\(^2\)
इस प्रकार बने घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 1440 वर्ग सेमी है।
In simple words: जब 12 सेमी भुजा वाले दो घनों को एक साथ जोड़ा जाता है, तो वे एक नया लंबा बॉक्स बनाते हैं। इस नए बॉक्स की लम्बाई 24 सेमी हो जाती है, जबकि चौड़ाई और ऊँचाई 12 सेमी ही रहती है। इस बड़े बॉक्स का पूरा बाहरी क्षेत्रफल 1440 वर्ग सेमी है।

🎯 Exam Tip: When combining solids, remember that the faces where they join become internal surfaces and are no longer part of the total surface area of the new combined solid.