UP Board Solutions Class 7 Maths Chapter 11 Vritt

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अभ्यास 11 (a)

 

Question 1. पाश्र्व चित्र में Oवृत्त का केन्द्र है। निम्नलिखित कथनों में सत्य/असत्य कथनों को बताइएः
(i) रेखाखंड AB जीवा है। (√)
(ii) QF त्रिज्या है। (X)
(iii) OD त्रिज्या है। (√)
(iv) PC जीवा है। (X)
Answer:
(i) रेखाखंड AB एक जीवा है। (सत्य)
(ii) QF एक त्रिज्या नहीं है। (असत्य)
(iii) OD एक त्रिज्या है। (सत्य)
(iv) PC एक जीवा नहीं है। (असत्य)
In simple words: वृत्त में, केंद्र O से परिधि तक की रेखा को त्रिज्या कहते हैं। वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा को जीवा कहते हैं। व्यास सबसे लंबी जीवा होती है, जो केंद्र से गुजरती है।

O D E F C B A P Q

🎯 Exam Tip: ज्यामिति में आकृतियों को ध्यान से देखें। जीवा वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ती है, जबकि त्रिज्या केंद्र से वृत्त की परिधि तक जाती है।

 

Question 2. अर्धवृत्त में बने कोण की माप होती है।
(i) 30°
(ii) 60°
(iii) 180°
(iv) 90°
Answer: (iv) 90°
In simple words: किसी अर्धवृत्त के भीतर बनने वाला कोण हमेशा एक समकोण (90 डिग्री) होता है। यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय नियम है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि अर्धवृत्त में बना कोण हमेशा समकोण होता है, यह प्रमेय वृत्त से संबंधित कई प्रश्नों को हल करने में मदद करता है।

 

Question 3. आकृति 11.5 के अनुसार अपनी अभ्यास पुस्तिका पर एक आकृति खींचकर उसके दीर्घ वृत्तखंड को छायांकित कीजिए ।
Answer: चित्र में दीर्घ वृत्तखंड ADB है, जिसे छायांकित करके दिखाया गया है। दीर्घ वृत्तखंड वृत्त का वह बड़ा हिस्सा होता है जो एक जीवा द्वारा कटा होता है।
In simple words: जब एक वृत्त को एक सीधी रेखा (जीवा) से काटा जाता है, तो दो हिस्से बनते हैं। बड़ा हिस्सा दीर्घ वृत्तखंड कहलाता है, और उसे अक्सर छायांकित करके दिखाया जाता है।

A B D

🎯 Exam Tip: वृत्तखंडों को पहचानते समय, जीवा के ऊपर या नीचे के बड़े हिस्से को दीर्घ वृत्तखंड और छोटे हिस्से को लघु वृत्तखंड कहते हैं।

 

Question 4. आकृति 11.6 में O वृत्त का केन्द्र है। आकृति में निर्मित किन्हीं दी त्रिज्यखंडों के नाम लिखिए।
Answer: चित्र में निर्मित दो त्रिज्यखंड OAB तथा OBC हैं। त्रिज्यखंड वृत्त का वह हिस्सा होता है जो केंद्र से खींची गई दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा होता है।
In simple words: त्रिज्यखंड वृत्त का वह हिस्सा होता है जो दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा होता है। यह एक पिज्जा के टुकड़े जैसा दिखता है।

O A B C Question 17. आकृति 11.44 में O वृत्त का केन्द्र है। यदि \( \angle OBC = 40^\circ \) है, तो \( \angle BAC \) का माप ज्ञात कीजिए।
Answer: त्रिभुज \( \triangle OBC \) में, \( OB \) और \( OC \) दोनों वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए वे बराबर होंगी। जब किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर होती हैं, तो उनके सामने के कोण भी बराबर होते हैं।
\( \implies \angle OCB = \angle OBC = 40^\circ \)
एक वृत्त में, केंद्र से परिधि तक की सभी दूरियाँ (त्रिज्याएँ) समान होती हैं। एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है, तो:
\( \implies \angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ \)
\( \implies 40^\circ + 40^\circ + \angle BOC = 180^\circ \)
\( \implies 80^\circ + \angle BOC = 180^\circ \)
\( \implies \angle BOC = 180^\circ - 80^\circ \)
\( \implies \angle BOC = 100^\circ \)
अब, हम जानते हैं कि किसी चाप द्वारा वृत्त के केंद्र पर बना कोण उसी चाप द्वारा परिधि के शेष भाग पर बने कोण का दुगुना होता है। यहाँ, चाप BC द्वारा केंद्र पर \( \angle BOC \) और परिधि पर \( \angle BAC \) बना है।
\( \implies \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC \)
\( \implies \angle BAC = \frac{1}{2} \times 100^\circ \)
\( \implies \angle BAC = 50^\circ \)
In simple words: सबसे पहले, हमने देखा कि त्रिभुज \( \triangle OBC \) में दो भुजाएँ (त्रिज्याएँ) बराबर हैं, तो उनके सामने के कोण \( 40^\circ \) होंगे। फिर, त्रिभुज के कोणों का योग \( 180^\circ \) का उपयोग करके केंद्र पर \( \angle BOC \) का मान \( 100^\circ \) निकाला। अंत में, वृत्त के केंद्र पर बने कोण और परिधि पर बने कोण के संबंध से \( \angle BAC \) का मान \( 50^\circ \) मिल गया।

🎯 Exam Tip: इस तरह के ज्यामिति के प्रश्नों को हल करते समय, समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों और वृत्त के केंद्र पर बने कोण तथा परिधि पर बने कोण के संबंध को याद रखना महत्वपूर्ण है।

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