UP Board Solutions Class 7 Maths Chapter 10 Chaturbhuj

अभ्यास 10 (a)

Question 1. आकृति चतुर्भुज ABCD में,
(a) कितनी भुजाएँ हैं?
(b) कितने अन्तः कोण हैं?
(c) सम्मुख कोणों के कितने युग्म हैं?
(d) संलग्न भुजाओं के कितने जोड़े हैं?
(e) कितने विकर्ण होंगे?
(f) क्या AB, BC, CD और DA में से कोई विकर्ण है?
(g) कितने शीर्ष हैं?Answer:
(a) इस चतुर्भुज में चार भुजाएँ हैं।
(b) इसमें चार अन्तः कोण हैं।
(c) सम्मुख कोणों के दो युग्म हैं।
(d) संलग्न भुजाओं के चार जोड़े हैं।
(e) इसमें दो विकर्ण होंगे।
(f) नहीं, AB, BC, CD और DA में से कोई भी विकर्ण नहीं है, ये भुजाएँ हैं।
(g) इसमें चार शीर्ष हैं। एक चतुर्भुज हमेशा चार भुजाओं और चार शीर्षों से बनता है, जिसके अंदर चार कोण होते हैं।
In simple words: एक चतुर्भुज में चार भुजाएँ, चार अंदर के कोण, दो सम्मुख कोणों के जोड़े, चार संलग्न भुजाओं के जोड़े, और दो विकर्ण होते हैं। इसके चार शीर्ष भी होते हैं।

🎯 Exam Tip: चतुर्भुज के मूलभूत गुणों को याद रखें: भुजाओं, कोणों, शीर्षों और विकर्णों की संख्या को ध्यान में रखें।

Question 2. उपर्युक्त आकृति के आधार पर अपनी अभ्यास-पुस्तिका में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करके)
Answer:
(a) Q अन्तः क्षेत्र में स्थित है।
(b) R बाह्य क्षेत्र में स्थित है।
(c) T भुजा DC पर स्थित है। यह बिन्दु भुजा DC पर ही मौजूद है।
In simple words: चित्र में देखकर यह पता लगाना था कि कौन सा बिन्दु चतुर्भुज के अंदर है, कौन सा बाहर और कौन सा उसकी भुजा पर है।

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय आकृतियों में बिंदुओं की स्थिति को समझना महत्वपूर्ण है, खासकर जब वे अंदर, बाहर या भुजा पर हों।

चतुर्भुज के बाह्य कोणों का योग

Question 3. किसी चतुर्भुज ABCD से सम्बन्धित निम्नांकित कथनों में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करके)
(a) दो सम्मुख शीर्षों को मिलाने से विकर्ण बनता है।
(b) शीर्ष A और शीर्ष C को मिलाने से विकर्ण बनता है।
(c) शीर्ष D और शीर्ष B को मिलाने से विकर्ण बनता है।
(d) चतुर्भुज का एक विकर्ण इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।
Answer:
(a) दो सम्मुख शीर्षों को मिलाने से विकर्ण बनता है।
(b) शीर्ष A और शीर्ष C को मिलाने से विकर्ण बनता है।
(c) शीर्ष D और शीर्ष B को मिलाने से विकर्ण बनता है।
(d) चतुर्भुज का एक विकर्ण इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। यह विकर्ण चतुर्भुज को दो अलग-अलग त्रिभुजों में बाँट देता है।
In simple words: चतुर्भुज से जुड़े कुछ खाली स्थानों को भरना था, जैसे सम्मुख शीर्षों को मिलाने से क्या बनता है और एक विकर्ण चतुर्भुज को कितने हिस्सों में बाँटता है।

🎯 Exam Tip: चतुर्भुज के विकर्णों की परिभाषा और उनके कार्यों को समझें, क्योंकि यह ज्यामिति में एक मूलभूत अवधारणा है।

सामान्य चतुर्भुज

Question 4. अपनी अभ्यास-पुस्तिका में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करके)
(a) सम चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।
(b) आयत के चारों कोण समकोण होते हैं।
(c) वर्ग की चारों भुजाएँ बराबर और चारों कोण समकोण होते हैं।
(d) समलम्ब चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान्तर होता है।
Answer:
(a) सम चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।
(b) आयत के चारों कोण समकोण होते हैं। आयत में हर कोण 90 डिग्री का होता है।
(c) वर्ग की चारों भुजाएँ बराबर और चारों कोण समकोण होते हैं।
(d) समलम्ब चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान्तर होता है।
In simple words: विभिन्न प्रकार के चतुर्भुजों की विशेषताओं को याद करें, जैसे समचतुर्भुज, आयत, वर्ग और समलम्ब चतुर्भुज में क्या-क्या खास होता है।

🎯 Exam Tip: विभिन्न प्रकार के चतुर्भुजों की परिभाषाएँ और उनके मुख्य गुणों को पूरी तरह से याद रखें।

अभ्यास 10 (b)

Question 1. किसी चतुर्भुज का एक कोण 60° तथा शेष तीन अन्तः कोण बराबर हैं। शेष प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना शेष प्रत्येक अन्तः कोण की माप \( = x^\circ \)
चतुर्भुज के सभी अन्तः कोणों का योग \( = 360^\circ \)
प्रश्नानुसार, \( 60^\circ + x^\circ + x^\circ + x^\circ = 360^\circ \)
\( \implies 60^\circ + 3x^\circ = 360^\circ \)
\( \implies 3x^\circ = 360^\circ - 60^\circ \)
\( \implies 3x^\circ = 300^\circ \)
\( \implies x^\circ = \frac{300^\circ}{3} \)
\( \implies x^\circ = 100^\circ \) इसलिए, शेष तीनों कोणों में से प्रत्येक कोण \( 100^\circ \) का है।
अतः शेष प्रत्येक कोण का मान \( = 100^\circ, 100^\circ, 100^\circ \). चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 360 डिग्री होता है, जिसका उपयोग इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए किया जाता है।
In simple words: एक चतुर्भुज में चार कोण होते हैं। अगर आपको एक कोण और बाकी तीन बराबर कोणों का योग पता हो, तो आप 360 डिग्री में से ज्ञात कोण को घटाकर बचे हुए कोणों का मान निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा \( 360^\circ \) होता है। यह नियम ऐसे प्रश्नों को हल करने की कुंजी है।

एक आयत में भुजाएँ बराबर होती हैं

Question 2. किसी चतुर्भुज के दो कोण 60° और 120° के हैं। शेष दो कोण समान हैं। शेष प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer:
माना चतुर्भुज के शेष प्रत्येक कोण की माप \( = x^\circ \)
चतुर्भुज के सभी अन्तः कोणों का योग \( = 360^\circ \)
प्रश्नानुसार, \( 60^\circ + 120^\circ + x^\circ + x^\circ = 360^\circ \)
\( \implies 180^\circ + 2x^\circ = 360^\circ \)
\( \implies 2x^\circ = 360^\circ - 180^\circ \)
\( \implies 2x^\circ = 180^\circ \)
\( \implies x^\circ = \frac{180^\circ}{2} \)
\( \implies x^\circ = 90^\circ \). इस प्रकार, शेष दोनों कोणों में से प्रत्येक कोण 90 डिग्री का होता है, जिससे यह एक विशेष चतुर्भुज भी बन सकता है।
अतः शेष प्रत्येक कोण का मान \( = 90^\circ, 90^\circ \).
In simple words: एक चतुर्भुज के दो कोण दिए गए थे। बाकी दो कोण बराबर थे, जिनका मान 360 डिग्री में से दिए गए कोणों का योग घटाकर और फिर 2 से भाग करके निकाला गया।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का कुल योग 360 डिग्री होता है, जो अज्ञात कोणों को खोजने में सहायक होता है।

Question 3. किसी चतुर्भुज के अन्तः कोण बराबर हैं। प्रत्येक कोण को मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना चतुर्भुज का प्रत्येक कोण \( = x^\circ \)
चतुर्भुज के सभी अन्तः कोणों का योग \( = 360^\circ \)
प्रश्नानुसार, \( x^\circ + x^\circ + x^\circ + x^\circ = 360^\circ \)
\( \implies 4x^\circ = 360^\circ \)
\( \implies x^\circ = \frac{360^\circ}{4} \)
\( \implies x^\circ = 90^\circ \). यदि किसी चतुर्भुज के सभी कोण 90 डिग्री हों, तो वह एक आयत या वर्ग होता है।
अतः चतुर्भुज के प्रत्येक कोण का मान \( = 90^\circ, 90^\circ, 90^\circ, 90^\circ \).
In simple words: अगर चतुर्भुज के सभी चार कोण बराबर हों, तो प्रत्येक कोण का मान 360 डिग्री को 4 से भाग देकर निकाला जाता है, जो 90 डिग्री होता है।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि एक चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा \( 360^\circ \) होता है, जो अज्ञात कोणों को हल करने में मदद करता है।

Question 4. यदि किसी चतुर्भुज के दो अन्तः कोण सम्पूरक हैं, तो शेष दो कोणों का योग ज्ञात कीजिए ।
Answer:
यदि चतुर्भुज के दो अन्तः कोण सम्पूरक हैं, तो उनका योग \( = 180^\circ \).
माना चतुर्भुज के शेष दो अन्तः कोणों का योग \( = x^\circ \)
चतुर्भुज के सभी अन्तः कोणों का योग \( = 360^\circ \)
प्रश्नानुसार, \( 180^\circ + x^\circ = 360^\circ \)
\( \implies x^\circ = 360^\circ - 180^\circ \)
\( \implies x^\circ = 180^\circ \). सम्पूरक कोणों का मतलब है कि उनका योग 180 डिग्री होता है।
अतः शेष दो कोणों का योग \( = 180^\circ \).
In simple words: अगर चतुर्भुज के दो कोणों का योग 180 डिग्री है, तो बाकी बचे दो कोणों का योग भी 180 डिग्री होगा क्योंकि कुल योग 360 डिग्री होता है।

🎯 Exam Tip: "सम्पूरक कोण" का अर्थ याद रखें, जिसका मतलब है कि दो कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। यह अवधारणा ऐसे प्रश्नों में महत्वपूर्ण है।

Question 5. एक 45° के \( \angle BAC \) की रचना कीजिए। इसके अंतः क्षेत्र में बिन्दु P से रेखी खंड BA और AC पर लम्ब PN और PM खीचिए । \( \angle NPM \) का मान । ज्ञात कीजिए।
Answer:
हमें \( \angle NPM \) का मान ज्ञात करना है।
चतुर्भुज AMPN में, आंतरिक कोणों का योग \( = 360^\circ \).
हमें दिया गया है: \( \angle BAC = 45^\circ \).
चूंकि PN लम्ब BA पर है, \( \angle PNA = 90^\circ \).
चूंकि PM लम्ब AC पर है, \( \angle PMA = 90^\circ \).
इसलिए, चतुर्भुज AMPN के कोणों का योग:
\( \angle BAC + \angle PNA + \angle NPM + \angle PMA = 360^\circ \)
\( \implies 45^\circ + 90^\circ + \angle NPM + 90^\circ = 360^\circ \)
\( \implies 225^\circ + \angle NPM = 360^\circ \)
\( \implies \angle NPM = 360^\circ - 225^\circ \)
\( \implies \angle NPM = 135^\circ \). इस प्रकार, जब हम किसी चतुर्भुज के तीन कोण जानते हैं, तो चौथा कोण 360 डिग्री में से उन तीनों का योग घटाकर निकाला जा सकता है।
In simple words: एक चतुर्भुज में, अगर तीन कोण पता हों और उनमें से दो 90 डिग्री के हों (क्योंकि वे लंब हैं), तो चौथा कोण 360 डिग्री में से बाकी तीनों कोणों को घटाकर मिल जाता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी भी चतुर्भुज के चारों आंतरिक कोणों का योग \( 360^\circ \) होता है। लम्ब रेखाएँ हमेशा \( 90^\circ \) का कोण बनाती हैं।

Question 6. यदि चतुर्भुज के अन्तः कोणों का अनुपात 3:4:5:6 हो, तो प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer:
माना चतुर्भुज के अन्तः कोण \( = 3x^\circ, 4x^\circ, 5x^\circ, 6x^\circ \).
चतुर्भुज के सभी अन्तः कोणों का योग \( = 360^\circ \).
प्रश्नानुसार, \( 3x^\circ + 4x^\circ + 5x^\circ + 6x^\circ = 360^\circ \)
\( \implies 18x^\circ = 360^\circ \)
\( \implies x^\circ = \frac{360^\circ}{18} \)
\( \implies x^\circ = 20^\circ \). अनुपात के प्रश्नों में, अज्ञात मान (x) ज्ञात करके प्रत्येक भाग का सही मान निकाला जाता है।
अतः चतुर्भुज के अन्तः कोण हैं:
\( 3x^\circ = 3 \times 20^\circ = 60^\circ \)
\( 4x^\circ = 4 \times 20^\circ = 80^\circ \)
\( 5x^\circ = 5 \times 20^\circ = 100^\circ \)
\( 6x^\circ = 6 \times 20^\circ = 120^\circ \).
In simple words: जब कोणों का अनुपात दिया हो, तो उन्हें \( x \) के रूप में मानकर जोड़ दें। कुल योग 360 डिग्री के बराबर रखकर \( x \) का मान निकालें, फिर प्रत्येक कोण का मान ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: अनुपात वाले प्रश्नों में, प्रत्येक भाग को \( x \) के साथ गुणा करके लिखें और फिर सभी कोणों का योग \( 360^\circ \) के बराबर रखें।

Question 7. यदि चतुर्भुज के तीन बाह्य कोण क्रमशः 80°, 100° और 120° हों, तो चौथे अन्तः कोण का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer:
चतुर्भुज के तीन बाह्य कोण क्रमशः \( 80^\circ, 100^\circ \) और \( 120^\circ \) हैं।
चतुर्भुज के सभी बाह्य कोणों का योग \( = 360^\circ \).
माना चौथा बाह्य कोण \( = y^\circ \).
\( 80^\circ + 100^\circ + 120^\circ + y^\circ = 360^\circ \)
\( \implies 300^\circ + y^\circ = 360^\circ \)
\( \implies y^\circ = 360^\circ - 300^\circ \)
\( \implies y^\circ = 60^\circ \). इसलिए, चौथा बाह्य कोण \( 60^\circ \) है।
हमें चौथा अन्तः कोण ज्ञात करना है। एक आंतरिक कोण और उसका संगत बाह्य कोण मिलकर \( 180^\circ \) बनाते हैं।
माना चौथा अन्तः कोण \( = x^\circ \).
\( x^\circ + y^\circ = 180^\circ \)
\( x^\circ + 60^\circ = 180^\circ \)
\( x^\circ = 180^\circ - 60^\circ \)
\( x^\circ = 120^\circ \). यह दर्शाता है कि बाह्य कोणों का उपयोग करके आंतरिक कोणों को कैसे निकाला जा सकता है।
अतः चौथे अन्तः कोण का मान \( = 120^\circ \).
In simple words: चतुर्भुज के सभी बाहरी कोणों का योग 360 डिग्री होता है। तीन बाहरी कोणों का योग करके चौथा बाहरी कोण निकालें। फिर, आंतरिक कोण और बाहरी कोण का योग 180 डिग्री होता है, इससे चौथा आंतरिक कोण ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी भी बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग \( 360^\circ \) होता है, और एक आंतरिक कोण व उसका संगत बाह्य कोण हमेशा \( 180^\circ \) का योग बनाते हैं।

Question 8. यदि चतुर्भुज के अन्तः कोण A, B, C और D इस प्रकार हों कि इनके अनुपात \( \angle A : \angle B = 1 : 2 \), \( \angle B : \angle C = 2 : 3 \), \( \angle C : \angle D = 3:4 \) तो प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हमें कोणों का अनुपात दिया गया है:
\( \angle A : \angle B = 1 : 2 \)
\( \angle B : \angle C = 2 : 3 \)
\( \angle C : \angle D = 3 : 4 \)
इन अनुपातों को एक साथ मिलाकर, हमें मिलता है:
\( \angle A : \angle B : \angle C : \angle D = 1 : 2 : 3 : 4 \). यह समान अनुपात को एक साथ जोड़ने का एक मानक तरीका है।
आनुपातिक योग \( = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \).
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के चारों अन्तः कोणों का योग \( 360^\circ \) होता है।
अब, प्रत्येक कोण का मान ज्ञात करते हैं:
\( \angle A = \frac{1}{10} \times 360^\circ = 36^\circ \)
\( \angle B = \frac{2}{10} \times 360^\circ = 72^\circ \)
\( \angle C = \frac{3}{10} \times 360^\circ = 108^\circ \)
\( \angle D = \frac{4}{10} \times 360^\circ = 144^\circ \).
In simple words: कोणों के अलग-अलग अनुपातों को एक साथ मिलाकर एक बड़ा अनुपात बनाया गया। फिर, अनुपातिक योग से 360 डिग्री को भाग करके प्रत्येक कोण का सही मान निकाला गया।

🎯 Exam Tip: विभिन्न अनुपातों को एक सामान्य अनुपात में संयोजित करना सीखें ताकि कुल योग का उपयोग करके प्रत्येक भाग का मान निकाला जा सके।

Question 9. एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का शीर्ष कोण 40° है। त्रिभुज की भुजा AB और AC के मध्य बिन्दु क्रमशः M और N हैं। बिन्दुओं M और N को मिलाइए। इस प्रकार बने चतुर्भुज BMNC के अन्तः कोण BMN तथा कोण CNM का योग ज्ञात कीजिए। इनका अलग-अलग मान भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
समद्विबाहु त्रिभुज ABC में,
\( \angle A = 40^\circ \).
चूंकि यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, इसलिए \( \angle B = \angle C \).
त्रिभुज के कोणों का योग \( = 180^\circ \).
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
\( 40^\circ + \angle C + \angle C = 180^\circ \)
\( 40^\circ + 2 \angle C = 180^\circ \)
\( 2 \angle C = 180^\circ - 40^\circ \)
\( 2 \angle C = 140^\circ \)
\( \angle C = \frac{140^\circ}{2} \)
\( \implies \angle C = 70^\circ \). तो, \( \angle B = 70^\circ \) और \( \angle C = 70^\circ \).
चूंकि M और N क्रमशः AB और AC के मध्य बिन्दु हैं, इसलिए MN, BC के समानांतर है (मध्यबिन्दु प्रमेय से)।
इसलिए, \( \angle AMN = \angle B = 70^\circ \) (संगत कोण)।
और \( \angle ANM = \angle C = 70^\circ \) (संगत कोण)।
अब, हम \( \angle BMN \) और \( \angle CNM \) ज्ञात करते हैं। ये दोनों कोण एक सीधी रेखा पर बनते हैं।
\( \angle BMN = 180^\circ - \angle AMN = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \). (रैखिक युग्म)
\( \angle CNM = 180^\circ - \angle ANM = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \). (रैखिक युग्म)
इसलिए, \( \angle BMN + \angle CNM = 110^\circ + 110^\circ = 220^\circ \). मध्यबिन्दु प्रमेय का उपयोग ज्यामिति में समानांतर रेखाओं और कोणों के संबंधों को स्थापित करने में मदद करता है।
In simple words: पहले समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण ज्ञात किए। फिर, मध्यबिन्दु प्रमेय का उपयोग करके समान्तर रेखाओं के संगत कोण निकाले। अंत में, रैखिक युग्म के नियम से आवश्यक कोणों का मान और उनका योग निकाला।

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों (आधार कोण बराबर होते हैं) और मध्यबिन्दु प्रमेय (मध्यबिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है) को ध्यान में रखें।

अभ्यास 10 (c)

Question 1. समान्तर चतुर्भुज का एक अन्तः कोण 30° है। शेष कोणों के मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
यदि एक अन्तः कोण \( = 30^\circ \), तो उसका सम्मुख कोण भी \( = 30^\circ \).
माना शेष दो सम्मुख कोण \( = x^\circ \). तो, ये दोनों कोण भी बराबर होंगे।
चतुर्भुज के सभी अन्तः कोणों का योग \( = 360^\circ \).
प्रश्नानुसार, \( x^\circ + x^\circ + 30^\circ + 30^\circ = 360^\circ \)
\( \implies 2x^\circ + 60^\circ = 360^\circ \)
\( \implies 2x^\circ = 360^\circ - 60^\circ \)
\( \implies 2x^\circ = 300^\circ \)
\( \implies x^\circ = \frac{300^\circ}{2} \)
\( \implies x^\circ = 150^\circ \). समान्तर चतुर्भुज के लगातार कोण पूरक होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग 180 डिग्री होता है।
अतः शेष कोण \( = 30^\circ, 150^\circ, 150^\circ \).
In simple words: समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं। सभी कोणों का योग 360 डिग्री होता है। एक कोण के आधार पर बाकी सभी कोणों का मान निकाला गया।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज के महत्वपूर्ण गुणों को याद रखें: सम्मुख कोण बराबर होते हैं और क्रमागत कोण पूरक होते हैं (उनका योग \( 180^\circ \) होता है)।

Question 2. समान्तर चतुर्भुज की किसी भुजा पर बने कोणों में 40° का अन्तर है। प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer:
माना समान्तर चतुर्भुज की भुजा पर बना एक कोण \( = x^\circ \).
चूंकि कोणों में \( 40^\circ \) का अन्तर है, तो दूसरा कोण \( = (x + 40)^\circ \).
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के क्रमागत कोण पूरक होते हैं, यानी उनका योग \( 180^\circ \) होता है।
\( x^\circ + (x + 40)^\circ = 180^\circ \)
\( \implies 2x^\circ + 40^\circ = 180^\circ \)
\( \implies 2x^\circ = 180^\circ - 40^\circ \)
\( \implies 2x^\circ = 140^\circ \)
\( \implies x^\circ = \frac{140^\circ}{2} \)
\( \implies x^\circ = 70^\circ \).
तो, पहला कोण \( = 70^\circ \).
दूसरा कोण \( = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ \).
चूंकि सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए चारों कोण हैं: \( 70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ \). इस प्रकार, कोणों के बीच के अंतर का उपयोग करके अज्ञात कोणों को आसानी से निर्धारित किया जा सकता है।
In simple words: अगर समान्तर चतुर्भुज के लगातार कोणों के बीच 40 डिग्री का अंतर है, तो एक कोण को \( x \) और दूसरे को \( x + 40 \) मानकर उनका योग 180 डिग्री के बराबर करें। इससे \( x \) का मान मिल जाएगा और फिर सभी कोण ज्ञात हो जाएँगे।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज के क्रमागत कोणों के पूरक होने का गुण (योग \( 180^\circ \)) इस तरह के प्रश्नों को हल करने में बहुत उपयोगी होता है।

Question 3. समान्तर चतुर्भुज की किसी भुजा पर बने कोणों में 1 और 3 का अनुपात हो। तो प्रत्येक कोण का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer:
माना समान्तर चतुर्भुज की भुजा पर बने कोण \( x^\circ \) और \( 3x^\circ \) हैं।
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के क्रमागत कोण पूरक होते हैं (उनका योग \( 180^\circ \) होता है)।
\( x^\circ + 3x^\circ = 180^\circ \)
\( \implies 4x^\circ = 180^\circ \)
\( \implies x^\circ = \frac{180^\circ}{4} \)
\( \implies x^\circ = 45^\circ \).
तो, पहला कोण \( = 45^\circ \).
दूसरा कोण \( = 3 \times 45^\circ = 135^\circ \).
चूंकि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए चारों कोण हैं: \( 45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ \). अनुपातों का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं को हल करना एक आम तरीका है।
In simple words: समान्तर चतुर्भुज के लगातार कोणों का अनुपात 1:3 है, तो उन्हें \( x \) और \( 3x \) मानें। उनका योग 180 डिग्री के बराबर करें, इससे \( x \) का मान मिलेगा और फिर सभी कोण ज्ञात हो जाएँगे।

🎯 Exam Tip: अनुपात वाले प्रश्नों में, कोणों को अनुपात के गुणकों के रूप में \( (x, 3x) \) मानें और फिर समान्तर चतुर्भुज के गुणों (क्रमागत कोणों का योग \( 180^\circ \)) का उपयोग करें।

Question 4. समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 4 सेमी और 6 सेमी हैं। चतुर्भुज की अन्य दो भुजाओं की माप बताइए ।
Answer:
समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 4 सेमी और 6 सेमी हैं।
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए, 4 सेमी के सामने वाली भुजा भी 4 सेमी होगी।
और 6 सेमी के सामने वाली भुजा भी 6 सेमी होगी।
अतः चतुर्भुज की अन्य दो भुजाएँ भी 4 सेमी और 6 सेमी होंगी। यह समान्तर चतुर्भुज की एक मूलभूत विशेषता है।
In simple words: समान्तर चतुर्भुज में आमने-सामने की भुजाएँ हमेशा बराबर होती हैं। इसलिए, दी गई भुजाओं के माप के अनुसार बाकी दो भुजाओं की माप भी वही होगी।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज की परिभाषा और गुणों को याद रखें, विशेषकर यह कि उसकी सम्मुख भुजाएँ समान लम्बाई की होती हैं।

Question 5. समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 8 सेमी और 6 सेमी हैं। चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए ।
Answer:
समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 8 सेमी और 6 सेमी हैं।
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
तो, चतुर्भुज की अन्य दो भुजाएँ भी 8 सेमी और 6 सेमी होंगी।
चतुर्भुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं की लम्बाइयों का योग होता है।
परिमाप \( = 8 + 6 + 8 + 6 = 28 \) सेमी। किसी भी बहुभुज का परिमाप उसकी सीमाओं की कुल लंबाई होता है।
In simple words: समान्तर चतुर्भुज का परिमाप निकालने के लिए, उसकी सभी चारों भुजाओं की लम्बाइयों को जोड़ दें। क्योंकि आमने-सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए दो संलग्न भुजाओं के माप को दो बार जोड़ना होता है।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज का परिमाप \( 2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \) सूत्र से भी ज्ञात किया जा सकता है, जहाँ लम्बाई और चौड़ाई संलग्न भुजाएँ होती हैं।

Question 6. समान्तर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाओं का अनुपात 1:2 है। यदि इसका परिमाप 30 सेमी हो, तो प्रत्येक भुजा की माप ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना समान्तर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाएँ \( = x \) सेमी और \( 2x \) सेमी हैं।
चूंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, तो चारों भुजाएँ \( x, 2x, x, 2x \) होंगी।
चतुर्भुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं की लम्बाइयों का योग होता है।
परिमाप \( = x + 2x + x + 2x = 6x \).
हमें दिया गया है कि परिमाप \( = 30 \) सेमी।
इसलिए, \( 6x = 30 \)
\( \implies x = \frac{30}{6} \)
\( \implies x = 5 \).
अब, प्रत्येक भुजा की माप:
पहली भुजा \( = x = 5 \) सेमी।
दूसरी संलग्न भुजा \( = 2x = 2 \times 5 = 10 \) सेमी।
तो, समान्तर चतुर्भुज की प्रत्येक भुजा की माप \( 5 \) सेमी, \( 10 \) सेमी, \( 5 \) सेमी, \( 10 \) सेमी है। अनुपात का उपयोग करने से समस्या को बीजगणितीय रूप से हल करना आसान हो जाता है।
In simple words: संलग्न भुजाओं को अनुपात के हिसाब से \( x \) और \( 2x \) मान लिया। सभी भुजाओं को जोड़कर परिमाप के बराबर रखा, जिससे \( x \) का मान मिला। फिर, \( x \) का मान रखकर प्रत्येक भुजा की असली माप ज्ञात की गई।

🎯 Exam Tip: अनुपात वाले प्रश्नों में, अज्ञात मान (जैसे \( x \)) का उपयोग करके भुजाओं को व्यक्त करें और फिर परिमाप के सूत्र का उपयोग करके \( x \) का मान ज्ञात करें।

Question 7. आकृति 10.24 PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है । रेखाखण्ड OP,OQ,OR और OS को माप कर सत्यापित कीजिए कि OP = OR तथा OQ = OS
Answer:
आकृति 10.24 में PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। PR और SQ इसके विकर्ण हैं।
समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसका मतलब है कि वे एक दूसरे को ठीक बीच से काटते हैं।
इसलिए, \( OP = OR \) और \( OQ = OS \). यह समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों की एक महत्वपूर्ण विशेषता है।
In simple words: समान्तर चतुर्भुज में, विकर्ण एक दूसरे को बीच से काटते हैं। इससे विकर्णों के आधे-आधे हिस्से बराबर होते हैं, जैसे OP बराबर OR और OQ बराबर OS।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों का गुण (कि वे एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं) को हमेशा याद रखें।

Question 8. आकृति 10.25 में समलम्ब PQRS में कोण P और S के मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
समलम्ब चतुर्भुज PQRS में, हमें \( \angle P \) और \( \angle S \) का मान ज्ञात करना है।
दिया है कि \( \angle Q = 40^\circ \) और \( \angle R = 60^\circ \).
मान लीजिए PQ, SR के समानांतर है (समलम्ब की परिभाषा से)।
जब दो समानांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है, तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
इसलिए, \( \angle P + \angle Q = 180^\circ \)
\( \implies \angle P + 40^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle P = 180^\circ - 40^\circ \)
\( \implies \angle P = 140^\circ \).
इसी प्रकार, \( \angle S + \angle R = 180^\circ \)
\( \implies \angle S + 60^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle S = 180^\circ - 60^\circ \)
\( \implies \angle S = 120^\circ \). समलम्ब चतुर्भुज में समानांतर भुजाओं के बीच के कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
अतः \( \angle P = 140^\circ \) और \( \angle S = 120^\circ \).
In simple words: समलम्ब चतुर्भुज में समानांतर भुजाओं के बीच बने कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है। दिए गए कोणों का उपयोग करके अज्ञात कोणों को 180 में से घटाकर निकाला गया।

🎯 Exam Tip: समलम्ब चतुर्भुज में समानांतर भुजाओं के बीच तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोणों का योग हमेशा \( 180^\circ \) होता है। इस नियम का उपयोग करें।

अभ्यास 10 (d)

Question 1. आकृति 10.30 में ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है । वे प्रतिबंध बताइए जब कि यह
(i) समचतुर्भुज होगा,
(ii) आयत होगा,
(iii) वर्ग होगा ।
Answer:
(i) ABCD समचतुर्भुज होगा, यदि इसकी संलग्न भुजाएँ समान हों। इसका मतलब है कि \( AB = BC \) या \( AD = CD \) होना चाहिए।
(ii) ABCD आयत होगा, यदि इसका प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) हो। एक आयत में सभी कोण समकोण होते हैं।
(iii) ABCD वर्ग होगा, यदि इसका प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) हो तथा इसकी संलग्न भुजाएँ बराबर हों। एक वर्ग में सभी भुजाएँ बराबर और सभी कोण 90 डिग्री होते हैं।
In simple words: एक समान्तर चतुर्भुज को समचतुर्भुज, आयत या वर्ग बनाने के लिए कुछ खास शर्तें पूरी करनी होती हैं, जैसे भुजाओं का बराबर होना या कोणों का 90 डिग्री होना।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज, आयत और वर्ग की परिभाषाओं को याद रखें और समझें कि एक समान्तर चतुर्भुज को इनमें से किसी एक में बदलने के लिए कौन सी अतिरिक्त शर्तों की आवश्यकता होती है।

Question 2. समान्तर चतुर्भुज ABCD में निम्नांकित प्रत्येक कथन के सत्य होने पर आकृति को किस नाम से पुकारेंगे?
(i) AB = BC
(ii) \( \angle ABC = 90^\circ \)
(iii) \( \angle ABC = 90^\circ \) और AB = BC
Answer:
(i) यदि \( AB = BC \) हो, तो आकृति समचतुर्भुज होगी। क्योंकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
(ii) यदि \( \angle ABC = 90^\circ \) हो, तो आकृति आयत होगी। आयत में प्रत्येक कोण 90 डिग्री का होता है।
(iii) यदि \( \angle ABC = 90^\circ \) और \( AB = BC \) हो, तो आकृति वर्ग होगी। वर्ग में सभी भुजाएँ बराबर और सभी कोण 90 डिग्री के होते हैं।
In simple words: समान्तर चतुर्भुज में कुछ खास बदलाव करने पर वह समचतुर्भुज (जब भुजाएँ बराबर हों), आयत (जब कोण 90 डिग्री हों) या वर्ग (जब भुजाएँ और कोण दोनों ही खास हों) बन जाता है।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज के विशेष मामलों को पहचानना सीखें: कब वह समचतुर्भुज, आयत या वर्ग बनता है, इसके लिए आवश्यक शर्तों को याद रखें।

Question 3. वर्ग में (पूर्ति करके)
\( \bullet \) भुजाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।
\( \bullet \) विकर्ण बराबर होते हैं।
\( \bullet \) प्रत्येक कोण समकोण होता है।
\( \bullet \) विकर्ण एक दूसरे के लम्बवत् होती हैं।
Answer:
\( \bullet \) वर्ग में सभी भुजाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।
\( \bullet \) वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं।
\( \bullet \) वर्ग का प्रत्येक कोण समकोण (90 डिग्री) होता है।
\( \bullet \) वर्ग के विकर्ण एक दूसरे के लम्बवत् काटते हैं। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण ज्यामितीय विशेषता है।
In simple words: वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, विकर्ण भी बराबर होते हैं और एक-दूसरे को 90 डिग्री पर काटते हैं। प्रत्येक कोण 90 डिग्री का होता है।

🎯 Exam Tip: वर्ग के सभी गुणों को याद रखें, जैसे कि भुजाओं, कोणों और विकर्णों की विशेषताएँ। यह वर्ग से संबंधित किसी भी प्रश्न के लिए आवश्यक है।

Question 4. यदि किसी वर्ग के विकर्ण का वर्ग 50 वर्ग सेमी है, तो इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना वर्ग की प्रत्येक भुजा की लम्बाई \( = a \) सेमी है।
वर्ग के विकर्ण का वर्ग \( = 50 \) वर्ग सेमी (दिया गया है)।
आकृति में, \( \triangle ABC \) एक समकोण त्रिभुज है (चूंकि वर्ग का प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) होता है)।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
\( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
\( a^2 + a^2 = \text{विकर्ण}^2 \)
\( 2a^2 = 50 \)
\( \implies a^2 = \frac{50}{2} \)
\( \implies a^2 = 25 \)
\( \implies a = \sqrt{25} \)
\( \implies a = 5 \) सेमी। पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज में भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करती है।
वर्ग का परिमाप \( = 4 \times \text{भुजा} \)
परिमाप \( = 4 \times 5 = 20 \) सेमी।
In simple words: वर्ग के विकर्ण के वर्ग का मान दिया था। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके वर्ग की भुजा ज्ञात की गई। फिर, भुजा की लम्बाई से वर्ग का परिमाप निकाला गया।

🎯 Exam Tip: वर्ग के गुणों (प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) होता है) और पाइथागोरस प्रमेय को याद रखें। वर्ग का परिमाप \( 4 \times \text{भुजा} \) होता है।

Question 5. आप की पुस्तक के एक पन्ने का एक विकर्ण दूसरे विकर्ण से छोटा है। क्या यह पुस्तक आयताकार है?
Answer:
नहीं, यदि पुस्तक के एक पन्ने का एक विकर्ण दूसरे विकर्ण से छोटा है तो यह पुस्तक आयताकार नहीं होगी।
आयत की एक विशेषता यह है कि उसके दोनों विकर्ण बराबर लम्बाई के होते हैं। यदि विकर्ण बराबर नहीं हैं, तो आकृति आयत नहीं हो सकती। आयत के विकर्णों का बराबर होना उसकी परिभाषा का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।
In simple words: नहीं, अगर पुस्तक के पन्ने के विकर्ण बराबर नहीं हैं, तो वह आयताकार नहीं हो सकता, क्योंकि आयत के विकर्ण हमेशा बराबर होते हैं।

🎯 Exam Tip: आयत के गुणों को ध्यान में रखें, विशेषकर यह कि उसके दोनों विकर्ण हमेशा समान लम्बाई के होते हैं। यदि वे समान नहीं हैं, तो वह आयत नहीं है।

Question 6. एक आयत बनाइए जिसकी संलग्न भुजाएँ क्रमशः 6 सेमी और 8 सेमी हैं। इनके विकर्ण को मापिए और पाइथागोरस प्रमेय से माप का सत्यापन कीजिए।
Answer:
माना आयत की संलग्न भुजाएँ AB \( = 8 \) सेमी और BC \( = 6 \) सेमी हैं।
एक आयत में, प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) का होता है, इसलिए \( \triangle ABC \) एक समकोण त्रिभुज है।
मापने पर, विकर्ण AC (या BD) की लम्बाई लगभग \( 10 \) सेमी आती है।
अब, पाइथागोरस प्रमेय से सत्यापन करते हैं:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( AC^2 = (8)^2 + (6)^2 \)
\( AC^2 = 64 + 36 \)
\( AC^2 = 100 \)
\( AC = \sqrt{100} \)
\( \implies AC = 10 \) सेमी। इस प्रकार, मापी गई और गणना की गई लम्बाई बराबर है।
In simple words: आयत की भुजाओं का उपयोग करके, पाइथागोरस प्रमेय से विकर्ण की लम्बाई निकाली गई। मापने पर भी वही लम्बाई आई, जिससे यह सत्यापित हो गया।

🎯 Exam Tip: आयत में प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) का होता है, जिससे विकर्णों की लम्बाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।

Question 7. एक आयत बनाइए जिसकी संलग्न भुजाएँ क्रमशः 5 सेमी और 12 सेमी हैं। इनके विकर्णों को मापिए और पाइथागोरस प्रमेय से इसका सत्यापन कीजिए।
Answer:
माना आयत की संलग्न भुजाएँ AB \( = 12 \) सेमी और BC \( = 5 \) सेमी हैं।
एक आयत में, प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) का होता है, इसलिए \( \triangle ABC \) एक समकोण त्रिभुज है।
मापने पर, विकर्ण AC (या BD) की लम्बाई लगभग \( 13 \) सेमी आती है।
अब, पाइथागोरस प्रमेय से सत्यापन करते हैं:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( AC^2 = (12)^2 + (5)^2 \)
\( AC^2 = 144 + 25 \)
\( AC^2 = 169 \)
\( AC = \sqrt{169} \)
\( \implies AC = 13 \) सेमी। मापन और गणना के परिणाम एक-दूसरे से मेल खाते हैं।
In simple words: आयत की भुजाओं का उपयोग करके, पाइथागोरस प्रमेय से विकर्ण की लम्बाई निकाली गई। मापने पर भी वही लम्बाई आई, जिससे यह सत्यापित हो गया।

🎯 Exam Tip: किसी भी आयत में विकर्ण की लम्बाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है, क्योंकि आयत के कोण 90 डिग्री होते हैं।

Question 8. समचतुर्भुज का एक विकर्ण यदि इसकी एक भुजा के बराबर हो, तो इनके सभी अन्तः कोणों का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना एक समचतुर्भुज ABCD है। हम जानते हैं कि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए, \( AB = BC = CD = DA \).
हमें दिया गया है कि एक विकर्ण एक भुजा के बराबर है। मान लीजिए विकर्ण BD, भुजा AB के बराबर है।
तो, \( AB = BD = DA \).
त्रिभुज ABD में, सभी भुजाएँ बराबर हैं \( (AB = BD = DA) \), जिसका अर्थ है कि \( \triangle ABD \) एक समबाहु त्रिभुज है।
एक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण \( 60^\circ \) के होते हैं।
इसलिए, \( \angle DAB = 60^\circ \), \( \angle ABD = 60^\circ \), और \( \angle ADB = 60^\circ \).
समचतुर्भुज में, सम्मुख कोण बराबर होते हैं, और क्रमागत कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
तो, \( \angle BCD = \angle DAB = 60^\circ \).
अब, हम \( \angle ABC \) ज्ञात करते हैं। \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \).
\( \angle ABC = 180^\circ - \angle DAB \) (क्रमागत कोण पूरक होते हैं)।
\( \implies \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
इसी प्रकार, \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC \).
\( \angle ADC = 180^\circ - \angle BCD \) (क्रमागत कोण पूरक होते हैं)।
\( \implies \angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
विकर्ण \( BD \) कोण \( \angle ABC \) और \( \angle ADC \) को समद्विभाजित करता है।
इसलिए, \( \angle ABD = \angle DBC = 60^\circ \), तो \( \angle ABC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).
और \( \angle ADB = \angle BDC = 60^\circ \), तो \( \angle ADC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).
अतः, समचतुर्भुज के सभी अन्तः कोण हैं: \( 60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ \). यह समबाहु त्रिभुज के गुणों का एक अच्छा अनुप्रयोग है।
In simple words: अगर समचतुर्भुज का एक विकर्ण उसकी भुजा के बराबर हो, तो एक त्रिभुज समबाहु बन जाता है, जिसके सभी कोण 60 डिग्री होते हैं। इससे समचतुर्भुज के बाकी कोण भी 60 और 120 डिग्री के हिसाब से मिल जाते हैं।

🎯 Exam Tip: समच चतुर्भुज के गुणों (सभी भुजाएँ बराबर) और समबाहु त्रिभुज के गुणों (सभी कोण \( 60^\circ \)) को याद रखें। क्रमागत कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।