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Detailed Chapter 8 कॉन UP Board Solutions for Class 6 Maths
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Class 6 Maths Chapter 8 कॉन UP Board Solutions PDF
अभ्यास 8(A)
प्रयास कीजिए-
Question 1. निम्नांकित कोणों में से प्रत्येक कोण का कोटिपूरक कोण लिखिए।
Answer:
(i) \( 20^\circ \) का कोटिपूरक कोण ज्ञात करने के लिए, हम इसे \( 90^\circ \) से घटाते हैं:
\( 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ \)
(ii) \( 55^\circ \) का कोटिपूरक कोण है:
\( 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ \)
(iii) \( 68^\circ \) का कोटिपूरक कोण है:
\( 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ \)
कोटिपूरक कोण वे कोण होते हैं जिनका योग ठीक \( 90^\circ \) होता है, जिससे वे एक-दूसरे को पूरा करते हैं।
In simple words: कोटिपूरक कोण निकालने के लिए, दिए गए कोण को \( 90^\circ \) में से घटा दें। बचा हुआ कोण ही उसका कोटिपूरक कोण होता है।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि 'कोटिपूरक' का अर्थ है कि दो कोणों का योग \( 90^\circ \) होना चाहिए। यदि आप इस नियम को याद रखते हैं, तो आप इन सवालों को आसानी से हल कर सकते हैं।
Question 2. निम्नांकित कोणों में से प्रत्येक कोण का संपूरक कोण लिखिए।
Answer:
(i) \( 45^\circ \) का संपूरक कोण ज्ञात करने के लिए, हम इसे \( 180^\circ \) से घटाते हैं:
\( 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \)
(ii) \( 70^\circ \) का संपूरक कोण है:
\( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \)
(iii) \( 120^\circ \) का संपूरक कोण है:
\( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
संपूरक कोणों का योग हमेशा \( 180^\circ \) होता है, जो एक सीधी रेखा बनाता है।
In simple words: संपूरक कोण ढूंढने के लिए, दिए गए कोण को \( 180^\circ \) में से घटा दें। जो कोण बचेगा, वही उसका संपूरक कोण होगा।
🎯 Exam Tip: 'संपूरक' शब्द को 'संपूर्ण' रेखा से जोड़कर याद रखें, क्योंकि \( 180^\circ \) का कोण एक सीधी रेखा बनाता है। यह आपको कोटिपूरक और संपूरक कोणों के बीच अंतर करने में मदद करेगा।
Question 3. निम्नांकित कोण-युग्म में कौन पूरक और कौन संपूरक हैं?
(i) \( 48^\circ, 42^\circ \)
(ii) \( 135^\circ,45^\circ \)
(iii) \( 160^\circ, 20^\circ \)
Answer:
(i) \( 48^\circ \) और \( 42^\circ \) का योग \( 48^\circ + 42^\circ = 90^\circ \) है। इसलिए, यह एक पूरक कोण युग्म है।
(ii) \( 135^\circ \) और \( 45^\circ \) का योग \( 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ \) है। इसलिए, यह एक संपूरक कोण युग्म है।
(iii) \( 160^\circ \) और \( 20^\circ \) का योग \( 160^\circ + 20^\circ = 180^\circ \) है। इसलिए, यह एक संपूरक कोण युग्म है।
कोणों का योग \( 90^\circ \) होने पर वे पूरक होते हैं, और \( 180^\circ \) होने पर संपूरक।
In simple words: दो कोणों को जोड़कर देखें। अगर उनका जोड़ \( 90^\circ \) हो, तो वे पूरक हैं। अगर उनका जोड़ \( 180^\circ \) हो, तो वे संपूरक हैं।
🎯 Exam Tip: पूरक कोण हमेशा \( 90^\circ \) बनाते हैं (जैसे एक समकोण), जबकि संपूरक कोण हमेशा \( 180^\circ \) बनाते हैं (जैसे एक सीधी रेखा)। यह जानना आपको इन कोणों को सही ढंग से वर्गीकृत करने में मदद करेगा।
Question 4. पाश्र्व चित्र में रैखिक-युग्म और शीर्षाभिमुख कोण के नाम बताइए।
Answer:
चित्र में रैखिक-युग्म और शीर्षाभिमुख कोणों के नाम इस प्रकार हैं:
रैखिक युग्म:
(i) \( \angle COB \) और \( \angle BOA \)
(ii) \( \angle BOA \) और \( \angle AOD \)
(iii) \( \angle AOD \) और \( \angle DOC \)
(iv) \( \angle DOC \) और \( \angle COB \)
शीर्षाभिमुख कोण:
(i) \( \angle AOB \) और \( \angle COD \)
(ii) \( \angle BOC \) और \( \angle AOD \)
रैखिक युग्म कोण एक सीधी रेखा पर बनते हैं और उनका योग \( 180^\circ \) होता है, जबकि शीर्षाभिमुख कोण एक-दूसरे के विपरीत होते हैं और हमेशा बराबर होते हैं।
In simple words: रैखिक युग्म कोण वे होते हैं जो एक सीधी रेखा पर बनते हैं, और शीर्षाभिमुख कोण वे होते हैं जो दो रेखाओं के काटने पर एक-दूसरे के आमने-सामने होते हैं।
🎯 Exam Tip: रैखिक युग्म में कोणों का योग हमेशा \( 180^\circ \) होता है, जबकि शीर्षाभिमुख कोण हमेशा माप में बराबर होते हैं। इन नियमों को याद रखने से आपको कोणों को सही ढंग से पहचानने में मदद मिलेगी।
दक्षता अभ्यास-8
Question 1. यदि साइकिल के पहिए मैं 36 तीलियाँ हों, तो दो आसन्न तीलियों के बीच का कौण ज्ञात कीजिए।
Answer:
साइकिल के पहिए में कुल तीलियाँ = 36
एक पूरे वृत्त का कोण = \( 360^\circ \)
दो आसन्न तीलियों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, हम पूरे कोण को तीलियों की कुल संख्या से भाग देते हैं:
कोण \( = \frac { 360^\circ }{ 36 } = 10^\circ \)
इसलिए, साइकिल के पहिए में दो पास-पास की तीलियों के बीच का कोण \( 10^\circ \) है।
In simple words: एक पूरे गोल पहिए में \( 360^\circ \) होते हैं। अगर पहिए में 36 तीलियाँ हैं, तो दो साथ वाली तीलियों के बीच का कोण निकालने के लिए \( 360^\circ \) को 36 से भाग देना होगा, जिससे \( 10^\circ \) मिलेगा।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक पूरा वृत्त \( 360^\circ \) का होता है। जब किसी वस्तु को समान भागों में बांटा जाता है, तो प्रत्येक भाग का कोण ज्ञात करने के लिए कुल कोण को भागों की संख्या से भाग दें।
Question 2. कोण \( 60^\circ, 120^\circ, 140^\circ, 150^\circ \) के संपूरक कोण ज्ञात कीजिए।
Answer:
किसी भी कोण का संपूरक कोण ज्ञात करने के लिए, हम उसे \( 180^\circ \) में से घटाते हैं। यहाँ दिए गए कोणों के संपूरक कोण इस प्रकार हैं:
| कोण | संपूरक कोण |
|---|---|
| \( 60^\circ \) | \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) |
| \( 120^\circ \) | \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) |
| \( 140^\circ \) | \( 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \) |
| \( 150^\circ \) | \( 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \) |
In simple words: संपूरक कोण ढूंढने के लिए, हर कोण को \( 180^\circ \) में से घटा दें।
🎯 Exam Tip: संपूरक कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। इस मूलभूत नियम का उपयोग करके, आप किसी भी दिए गए कोण का संपूरक कोण आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।
Question 3. व्यायाम करते समय जब छात्र को निर्देशित किया जाता है कि-
(i) पीछे मुड़, तो वह कितने अंश से घूम जाता है?
(ii) दायें घूम, तो वह कितने अंश से घूम जाता है?
Answer:
(i) जब छात्र को 'पीछे मुड़' का निर्देश दिया जाता है, तो वह पूरी तरह से अपनी विपरीत दिशा में घूमता है। यह एक सीधी रेखा का आधा चक्कर है।
इसलिए, वह \( 180^\circ \) से घूम जाता है।
(ii) जब छात्र को 'दायें घूम' का निर्देश दिया जाता है, तो वह अपनी प्रारंभिक स्थिति से \( 90^\circ \) के कोण पर दाईं ओर मुड़ता है। यह एक चौथाई मोड़ है।
इसलिए, वह \( 90^\circ \) से घूम जाता है।
'पीछे मुड़ना' \( 180^\circ \) का घूमना है जबकि 'दायें घूमना' \( 90^\circ \) का घूमना है, क्योंकि ये सामान्य शारीरिक गतिविधियों में उपयोग होने वाले मानक कोण हैं।
In simple words: 'पीछे मुड़' का मतलब है पूरा \( 180^\circ \) घूमना। 'दायें घूम' का मतलब है \( 90^\circ \) घूमना, जैसे घड़ी की सुई मुड़ती है।
🎯 Exam Tip: 'पीछे मुड़' को 'आधा चक्कर' (\( 180^\circ \)) और 'दायें घूम' को 'चौथाई चक्कर' (\( 90^\circ \)) के रूप में याद रखें। ये सैन्य या ड्रिल में सामान्य कोण होते हैं।
Question 4. निम्नांकित कोणों के प्रकार उनकी माप के आधार पर लिखिए। \( 0^\circ, 30^\circ, 90^\circ, 135^\circ, 180^\circ, 225^\circ, 360^\circ \)
Answer:
कोणों को उनकी माप के आधार पर इस प्रकार वर्गीकृत किया गया है:
\( 0^\circ \) – शून्य कोण (इसकी कोई माप नहीं होती, यह सिर्फ एक बिंदु होता है)
\( 30^\circ \) – न्यून कोण (यह \( 0^\circ \) से \( 90^\circ \) के बीच का कोण है)
\( 90^\circ \) – समकोण (यह ठीक \( 90^\circ \) का कोण है)
\( 135^\circ \) – अधिक कोण (यह \( 90^\circ \) से \( 180^\circ \) के बीच का कोण है)
\( 180^\circ \) – ऋजु कोण (यह ठीक \( 180^\circ \) का कोण है, एक सीधी रेखा बनाता है)
\( 225^\circ \) – वृहत कोण (यह \( 180^\circ \) से \( 360^\circ \) के बीच का कोण है)
\( 360^\circ \) – सम्पूर्ण कोण (यह ठीक \( 360^\circ \) का कोण है, एक पूरा चक्कर लगाता है)
प्रत्येक कोण का एक विशेष नाम होता है जो उसकी माप सीमा पर निर्भर करता है, जिससे उन्हें पहचानना और समझना आसान हो जाता है।
In simple words: कोणों को उनके आकार के हिसाब से नाम दिया जाता है - जैसे शून्य कोण (\( 0^\circ \)), न्यून कोण (छोटा), समकोण (सीधा \( 90^\circ \)), अधिक कोण (बड़ा), ऋजु कोण (सीधी रेखा), वृहत कोण (बहुत बड़ा) और सम्पूर्ण कोण (पूरा चक्कर)।
🎯 Exam Tip: प्रत्येक कोण प्रकार की माप सीमा को याद रखें। उदाहरण के लिए, न्यून कोण हमेशा \( 0^\circ \) से \( 90^\circ \) के बीच होता है, और अधिक कोण \( 90^\circ \) से \( 180^\circ \) के बीच।
Question 5. निम्नांकित का उत्तर लिखिए (लिखकर)-
Answer:
(i) न्यूनकोण का कोटिपूरक कोण एक न्यूनकोण होता है। (उदाहरण के लिए, \( 30^\circ \) का कोटिपूरक \( 60^\circ \) है, दोनों न्यूनकोण हैं)।
(ii) न्यूनकोण का संपूरक कोण एक अधिककोण होता है। (उदाहरण के लिए, \( 30^\circ \) का संपूरक \( 150^\circ \) है, जो एक अधिककोण है)।
(iii) एक समकोण का संपूरक कोण एक समकोण होता है। (उदाहरण के लिए, \( 90^\circ \) का संपूरक \( 90^\circ \) है)।
(iv) अधिक कोण का संपूरक कोण एक न्यूनकोण होता है। (उदाहरण के लिए, \( 120^\circ \) का संपूरक \( 60^\circ \) है, जो एक न्यूनकोण है)।
यह नियम इस बात पर आधारित है कि कोणों का योग \( 90^\circ \) या \( 180^\circ \) होना चाहिए, जिससे दूसरे कोण का प्रकार निर्धारित होता है।
In simple words: छोटे कोण का कोटिपूरक कोण भी छोटा होता है। छोटे कोण का संपूरक कोण बड़ा होता है। \( 90^\circ \) कोण का संपूरक कोण भी \( 90^\circ \) होता है। बड़े कोण का संपूरक कोण छोटा होता है।
🎯 Exam Tip: इन संबंधों को समझने के लिए कुछ उदाहरणों के साथ अभ्यास करें। यह आपको यह याद रखने में मदद करेगा कि जब आप \( 90^\circ \) या \( 180^\circ \) से घटाते हैं तो कोण का प्रकार कैसे बदलता है।
Question 6. निम्नांकित कोणों के कोटिपूरक कोण ज्ञात कीजिए।
(i) \( 30^\circ \)
(ii) \( 60^\circ \)
(iii) \( 40^\circ \)
(iv) \( 50^\circ \)
Answer:
प्रत्येक कोण का कोटिपूरक कोण ज्ञात करने के लिए, हम उसे \( 90^\circ \) में से घटाते हैं:
| कोण | कोटिपूरक कोण |
|---|---|
| (i) \( 30^\circ \) | \( 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \) |
| (ii) \( 60^\circ \) | \( 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \) |
| (iii) \( 40^\circ \) | \( 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \) |
| (iv) \( 50^\circ \) | \( 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \) |
In simple words: इन कोणों का कोटिपूरक कोण निकालने के लिए, हर कोण को \( 90^\circ \) में से घटा दें।
🎯 Exam Tip: कोटिपूरक कोण की परिभाषा है कि दो कोणों का योग \( 90^\circ \) होता है। इस सरल नियम का पालन करके, आप इन प्रश्नों को सही ढंग से हल कर सकते हैं।
Question 7. निम्नांकित चित्रों में कोण A की गणना कीजिए।
Answer:
(i)
चित्र से, \( x \) और \( 2x \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं, जिसका योग \( 180^\circ \) होता है।
\( x + 2x = 180^\circ \)
\( 3x = 180^\circ \)
\( x = \frac{180^\circ}{3} \)
\( x = 60^\circ \)
इसलिए, कोण \( 2x = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \)।
(ii)
चित्र से, \( 30^\circ \) और \( x \) पूरक कोण हैं, जिसका योग \( 90^\circ \) होता है।
\( 30^\circ + x = 90^\circ \)
\( x = 90^\circ - 30^\circ \)
\( x = 60^\circ \)
ये दो कोण मिलकर एक समकोण बनाते हैं, जो \( 90^\circ \) के बराबर होता है।
(iii)
चित्र से, \( x \) एक प्रतिवर्ती कोण है जो एक सीधी रेखा पर \( 30^\circ \) कोण के साथ है। \( x \) को \( 180^\circ \) में \( 30^\circ \) को जोड़कर प्राप्त किया जाता है, क्योंकि यह कोण एक सीधी रेखा के पार होता है और \( 30^\circ \) कोण के साथ \( 360^\circ \) का एक हिस्सा बनाता है।
\( x = 30^\circ + 180^\circ \)
\( x = 210^\circ \)
यह कोण एक वृहत कोण है, क्योंकि इसकी माप \( 180^\circ \) से अधिक है।
(iv)
चित्र से, एक बिंदु के चारों ओर के सभी कोणों का योग \( 360^\circ \) होता है। यहाँ चार कोण हैं, जिनमें से दो \( 150^\circ \) हैं और दो \( x \) हैं।
\( 150^\circ + x + 150^\circ + x = 360^\circ \)
\( 300^\circ + 2x = 360^\circ \)
\( 2x = 360^\circ - 300^\circ \)
\( 2x = 60^\circ \)
\( x = \frac{60^\circ}{2} \)
\( x = 30^\circ \)
यहाँ, \( 150^\circ \) और \( x \) कोण रैखिक युग्म भी बनाते हैं, जिससे \( 150^\circ + x = 180^\circ \Rightarrow x = 30^\circ \), और शीर्षाभिमुख कोण भी बराबर होते हैं।
In simple words: (i) सीधी रेखा पर कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। (ii) समकोण में कोणों का योग \( 90^\circ \) होता है। (iii) सीधी रेखा और उसके ऊपर के कोण के साथ, नीचे का प्रतिवर्ती कोण बनता है। (iv) एक बिंदु के चारों ओर के कोणों का योग \( 360^\circ \) होता है, और शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
🎯 Exam Tip: इन ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए रैखिक युग्म (\( 180^\circ \)), पूरक कोण (\( 90^\circ \)), और एक बिंदु के चारों ओर कोणों का योग (\( 360^\circ \)) जैसे बुनियादी नियमों को याद रखें।
Question 8. एक सम्पूर्ण कोण को \( 60^\circ \) के कितने अपवयों में विभक्त कर सकते हैं। इसका सत्यापन पटरी, परकार से कीजिए।
Answer:
एक सम्पूर्ण कोण \( 360^\circ \) का होता है।
हमें यह ज्ञात करना है कि \( 360^\circ \) को \( 60^\circ \) के कितने अपवयों में विभाजित किया जा सकता है। इसके लिए, हम \( 360^\circ \) को \( 60^\circ \) से भाग देते हैं:
\( \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6 \)
तो, एक सम्पूर्ण कोण को \( 60^\circ \) के 6 अपवयों में विभक्त किया जा सकता है।
\( 60^\circ \) के अपवर्त्य हैं: \( 60^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 240^\circ, 300^\circ, 360^\circ \)।
आप एक वृत्त बनाकर और परकार से \( 60^\circ \) के चाप लगाकर इसका सत्यापन कर सकते हैं। जब आप \( 60^\circ \) के 6 चाप लगाएंगे, तो आप देखेंगे कि वे एक पूर्ण वृत्त (\( 360^\circ \)) को कवर करते हैं।
In simple words: एक पूरा चक्कर \( 360^\circ \) का होता है। अगर हम इसे \( 60^\circ \) के टुकड़ों में बांटें, तो हमें 6 टुकड़े मिलेंगे। इसे परकार और पटरी से एक वृत्त बनाकर और \( 60^\circ \) के निशान लगाकर देख सकते हैं।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि 'अपवर्त्य' का अर्थ होता है गुणा। यहां, \( 60^\circ \) का अपवर्त्य का मतलब है \( 60^\circ \) के गुणज। किसी भी कोण को किसी बड़े कोण में कितनी बार फिट किया जा सकता है, यह जानने के लिए, बड़े कोण को छोटे कोण से भाग दें।
Question 9. पटरी और परकार की सहायता से \( 300^\circ \) का कोण खींचिए।
Answer:
रचना विधि:
1. सबसे पहले, एक रेखा OA खींचिए। यह कोण का एक किनारा होगा।
2. O बिंदु को केंद्र मानकर और परकार में कोई भी दूरी लेकर एक चाप (आर्क) लगाइए, जो OA को किसी बिंदु पर काटे।
3. उसी त्रिज्या (दूरी) से, जहाँ चाप ने OA को काटा था, वहाँ से शुरू करके चाप पर 5 और चाप काटिए। ये चाप \( 60^\circ \) के अंतराल पर होते हैं। छठा चाप प्रारंभिक बिंदु पर वापस आएगा।
4. पाँचवाँ चाप जहाँ समाप्त होता है, उस बिंदु को U मानिए।
5. अब O को U से मिलाते हुए एक रेखा OB खींचिए।
अतः, \( \angle AOB = 300^\circ \) है। यह कोण एक पूर्ण वृत्त के \( 360^\circ \) में से \( 60^\circ \) घटाने पर प्राप्त होता है, क्योंकि पांच \( 60^\circ \) के खंड \( 300^\circ \) बनाते हैं।
In simple words: पहले एक सीधी रेखा OA बनाएँ। O से परकार लेकर एक गोल चाप लगाएँ। फिर उसी परकार की माप से, चाप पर 5 छोटे-छोटे निशान लगाएँ (जैसे \( 60^\circ \) के कोण)। आखिरी निशान को O से मिला दें। यह \( 300^\circ \) का कोण होगा।
🎯 Exam Tip: \( 300^\circ \) का कोण खींचने का सबसे आसान तरीका \( 60^\circ \) का कोण बनाना और फिर शेष \( 300^\circ \) को बाहर से चिह्नित करना है, या \( 60^\circ \) के पाँच भागों को चिह्नित करना है। हमेशा सुनिश्चित करें कि आपकी रेखाएँ स्पष्ट हों और चाप सही ढंग से लगे हों।
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