UP Board Solutions Class 6 Maths Chapter 7 Jyamitiya avdharnayein

Exercise 7(A)

Question 1. निम्नलिखित शब्दों में से उपयुक्त शब्द चुनकर रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करके)- (असंख्य, एक, वक्र)
(a) समतल में स्थित दो बिन्दुओं से होकर एक रेखा खींची जा सकती है।
(b) समतल में स्थित किसी रेखा में असंख्य बिन्दु होते हैं।
(c) गोले का तल वक्र होता है।
(d) समतल में स्थित एक बिन्दु से होकर असंख्य रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
Answer:
(a) समतल में स्थित दो बिन्दुओं से होकर **एक** रेखा खींची जा सकती है।
(b) समतल में स्थित किसी रेखा में **असंख्य** बिन्दु होते हैं।
(c) गोले का तल **वक्र** होता है।
(d) समतल में स्थित एक बिन्दु से होकर **असंख्य** रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
In simple words: यहाँ हमें सही शब्द चुनकर खाली जगहों को भरना है. दो बिंदुओं से सिर्फ एक रेखा बन सकती है, लेकिन एक रेखा पर बहुत सारे बिंदु होते हैं. गोले की सतह हमेशा गोल (वक्र) होती है, और एक बिंदु से बहुत सारी रेखाएँ निकल सकती हैं.

🎯 Exam Tip: रिक्त स्थानों की पूर्ति करते समय, दिए गए विकल्पों को ध्यान से देखें और सबसे सटीक शब्द चुनें जो गणितीय परिभाषाओं से मेल खाता हो.

Question 2. निम्नलिखित कथनों में सही कथन के सामने कोष्ठक में सही का चिह्न (✓) तथा गलत कथन के सामने क्रॉस का, चिह्न (X) लगाइए (चिडून लगाकर)-
(a) कागज का तल समतल है। (√)
(b) तीन असंरेखीय बिन्दुओं से असंख्य समतल खींचे जा सकते हैं। (X)
(c) समतल में स्थित दो रेखाएँ सदैव समान्तुर होती हैं। (X)
(a) कमरे की दीवार का तल समतल का एक उदाहरण है। (√)
Answer:
(a) कागज का तल समतल है। (✓) – हाँ, कागज की सतह एकदम सपाट होती है, इसलिए यह समतल है।
(b) तीन असंरेखीय बिन्दुओं से असंख्य समतल खींचे जा सकते हैं। (X) – नहीं, तीन असंरेखीय बिन्दुओं से केवल एक ही समतल खींचा जा सकता है।
(c) समतल में स्थित दो रेखाएँ सदैव समान्तुर होती हैं। (X) – नहीं, समतल में दो रेखाएँ समानांतर हो सकती हैं या एक-दूसरे को काट सकती हैं।
(d) कमरे की दीवार का तल समतल का एक उदाहरण है। (✓) – हाँ, कमरे की दीवार की सतह भी सपाट होती है, जैसे एक बोर्ड।
In simple words: दिए गए वाक्यों में से जो सही हैं उनके आगे (✓) और जो गलत हैं उनके आगे (X) का निशान लगाइए. कागज और दीवार का तल सपाट होता है, इसलिए वे समतल के उदाहरण हैं. तीन अलग-अलग बिंदुओं से सिर्फ एक ही समतल बन सकता है, और समतल में रेखाएँ समानांतर या कटने वाली हो सकती हैं.

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय अवधारणाओं में, परिभाषाओं को स्पष्ट रूप से समझें जैसे कि एक समतल क्या है और कैसे रेखाएँ या बिंदु उसमें व्यवहार करते हैं, ताकि सही या गलत कथन पहचान सकें.

Question 3. स्तम्भ 'A' एवं 'B' में सही जोड़े का मिलान कीजिए (सही मिलान करके)-
स्तम्भ 'A'
1. ग्लोब
2. स्टील अलमारी
3. खीरा
4. लोहे का पाइप
5. शंकु
7. ठोस बेलन
8. काँच की गोली
स्तम्भ 'B'
R. वक्रतल
P. समतल
R. वक्रतल
R. वक्रतल
Q. समतल एवं वक्रतल
P. समतल
Q. समतल एवं वक्रतल
R. वक्रतल
Answer:

🎯 Exam Tip: वस्तुओं को उनकी ज्यामितीय आकृतियों के आधार पर पहचानना सीखें. याद रखें कि गोल या घुमावदार सतहें वक्रतल होती हैं, जबकि सपाट सतहें समतल होती हैं.

Question 4. ठोस बेलन में कितने समतल एवं वक्रतल होते हैं?
Answer: एक ठोस बेलन में दो समतल सतहें (ऊपर और नीचे के वृत्ताकार हिस्से) और एक वक्रतल सतह (गोल किनारा) होता है। बेलन के सीधे किनारे और गोलाकार आधार इसे एक खास आकार देते हैं।
In simple words: एक ठोस बेलन में दो सपाट तल (ऊपर-नीचे) और एक गोल तल (किनारे) होते हैं.

🎯 Exam Tip: ठोस ज्यामितीय आकृतियों की सतहों को गिनते समय, ऊपर, नीचे और चारों ओर की सभी सतहों को ध्यान से देखें.

Question 5. समतल के तीन गुण बताइए ।
Answer: समतल के तीन गुण निम्नलिखित हैं:
1. समतल में स्थित एक बिन्दु से असंख्य रेखाएँ खींची जा सकती हैं। ये सभी रेखाएँ कागज के तल पर स्थित होती हैं।
2. समतल में स्थित दो बिन्दुओं से एक और केवल एक ही रेखा खीचीं जा सकती है। यह रेखा उसी तल में होती है जिसमें दोनों बिन्दु स्थित होते हैं।
3. समतल में दो बिन्दुओं से जाने वाली रेखा का प्रत्येक बिन्दु तल पर स्थित होता है।
ये गुण हमें बताते हैं कि समतल कैसे काम करता है और उस पर बिंदु और रेखाएँ कैसे संबंधित होती हैं।
In simple words: समतल की तीन खास बातें हैं: एक बिंदु से बहुत सारी रेखाएँ निकल सकती हैं, दो बिंदुओं से सिर्फ एक रेखा बन सकती है, और दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के सभी बिंदु समतल पर ही होते हैं.

🎯 Exam Tip: समतल के गुणों को याद रखें, खासकर कि एक बिंदु से कितनी रेखाएँ गुजर सकती हैं, दो बिंदुओं से कितनी रेखाएँ गुजर सकती हैं, और रेखा के बिंदु समतल पर कैसे होते हैं. यह मूल ज्यामितीय अवधारणाओं का आधार है.

Question 6. समतल वाली वस्तुओं एवं वक्रतल वाली वस्तुओं के चार-चार उदाहरण दीजिए।
Answer:
समतल वाली वस्तुएँ – मेज, दीवार, फर्श, सन्दूक । ये सभी वस्तुएँ सीधी और सपाट सतह वाली होती हैं।
वक्रतल वाली वस्तुएँ – फुटबॉल, तरबूज, कंचा, अण्डा । इन वस्तुओं की सतह घुमावदार या गोल होती है।
यह समझना महत्वपूर्ण है कि हमारे आस-पास की चीजों में समतल और वक्रतल दोनों तरह की सतहें होती हैं।
In simple words: सपाट सतह वाली चीजें मेज, दीवार, फर्श, और बक्सा हैं. गोल या घुमावदार सतह वाली चीजें फुटबॉल, तरबूज, कंचा, और अंडा हैं.

🎯 Exam Tip: अपने आस-पास की वस्तुओं का अवलोकन करें और पहचानें कि उनकी सतहें समतल (फ्लैट) हैं या वक्रतल (घुमावदार). यह ज्यामिति को समझने का एक व्यावहारिक तरीका है.

Exercise 7(B)

Question 1. अपनी अभ्यास पुस्तिका में एक रेखा खींचिए और अंग्रेजी वर्णमाला के एक छोटे अक्षर का प्रयोग करके उसका नाम लिखिए ।
Answer: अपनी कॉपी में एक सीधी रेखा खींचिए। आप इस रेखा को 'l' या 'm' जैसे किसी भी छोटे अंग्रेजी अक्षर से नाम दे सकते हैं। उदाहरण के लिए: ______ l ______ । रेखाओं को छोटे अक्षरों से नाम देना एक सामान्य तरीका है।
In simple words: अपनी कॉपी में एक सीधी रेखा बनाओ और उसे 'l' जैसा छोटा अक्षर नाम दो.

🎯 Exam Tip: रेखाओं को नाम देते समय हमेशा छोटे अक्षरों का प्रयोग करें. यह ज्यामिति में रेखाओं को दर्शाने का मानक तरीका है.

Question 2. अपने आस-पास में उपलब्ध वस्तुओं की सहायता से कोई तीन ऐसे उदाहरण दीजिए जिनसे रेखाओं (या उनके भाग) का बोध होता हो ।
Answer: हमारे आस-पास की तीन वस्तुएँ जिनसे रेखाओं या उनके भागों का पता चलता है, वे हैं:
1. कमरे की दीवार का किनारा – यह एक सीधी रेखा जैसा दिखता है।
2. कमरे की छत का किनारा – यह भी एक सीधी रेखा का उदाहरण है।
3. ब्लैक बोर्ड की भुजाएँ – ब्लैक बोर्ड के चारों किनारे भी रेखाखंड की तरह होते हैं।
ये उदाहरण हमें रोज़मर्रा की ज़िंदगी में रेखाओं को पहचानने में मदद करते हैं।
In simple words: अपने घर या स्कूल में, आप कमरे की दीवार के किनारों, छत के किनारों, और ब्लैकबोर्ड के किनारों को देख सकते हैं. ये सब रेखाओं या रेखा के टुकड़ों जैसे दिखते हैं.

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय आकृतियों को वास्तविक जीवन की वस्तुओं से जोड़कर समझें. यह अवधारणाओं को समझने और याद रखने में आसान बनाता है.

Question 3. रेखा और किरण में अन्तर चित्र खींचकर स्पष्ट कीजिए।
Answer: रेखा और किरण में मुख्य अंतर नीचे दिया गया है:
**रेखा** – एक रेखा दोनों दिशाओं में बिना रुके बढ़ती रहती है. इसका कोई अंत बिंदु नहीं होता है। आप इसे दोनों तरफ से कितना भी बढ़ा सकते हैं।
**किरण** – एक किरण में केवल एक शुरुआती बिंदु होता है और यह केवल एक ही दिशा में अनंत तक बढ़ती है. इसका एक अंत बिंदु होता है, जिसे प्रारंभिक बिंदु कहते हैं।
इन दोनों को चित्रों से दिखाया जा सकता है, जहाँ रेखा के दोनों सिरों पर तीर के निशान होते हैं और किरण के एक सिरे पर बिंदु और दूसरे पर तीर का निशान होता है।
In simple words: रेखा दोनों तरफ से लंबी होती जाती है और उसका कोई अंत नहीं होता. किरण एक जगह से शुरू होकर बस एक ही तरफ बढ़ती जाती है. चित्र बनाकर इन दोनों को आसानी से समझा जा सकता है.

🎯 Exam Tip: रेखा और किरण की परिभाषाओं को उनके चित्रों के साथ याद रखें. रेखा को दोनों सिरों पर तीर से और किरण को एक तरफ बिंदु और दूसरी तरफ तीर से दर्शाया जाता है.

Question 4. दिए गए प्रारम्भिक बिन्दु (निगमन बिन्दु) A और एक अन्य बिन्दु B से होकर जाती हुई एक किरण खीचिए।
Answer: अपनी अभ्यास पुस्तिका में एक बिंदु 'A' बनाइए। फिर 'A' से थोड़ी दूर एक और बिंदु 'B' बनाइए। अब 'A' से 'B' की ओर एक सीधी रेखा खींचिए और 'B' के आगे तीर का निशान लगाइए। यह किरण बिंदु A से शुरू होकर बिंदु B से होकर आगे बढ़ती रहेगी। किरणों को हमेशा एक शुरुआती बिंदु से दर्शाया जाता है।
In simple words: एक बिंदु 'A' बनाओ. फिर 'A' से 'B' की तरफ एक लाइन खींचो और 'B' के आगे तीर लगाओ. यह किरण A से शुरू होकर B से आगे बढ़ती जाएगी.

🎯 Exam Tip: एक किरण को हमेशा एक प्रारंभिक बिंदु (जैसे A) और एक दिशा (जैसे B की ओर) से पहचाना जाता है. तीर का निशान उस दिशा को दर्शाता है जिसमें किरण आगे बढ़ती है.

दक्षता अभ्यास - 7

Question 1. तीन संरेख बिन्दुओं से होकर जाती हुई कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
Answer: तीन संरेख (एक ही रेखा पर स्थित) बिन्दुओं से होकर केवल एक रेखा खींची जा सकती है। यदि तीन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर हैं, तो उन्हें जोड़ने वाली सिर्फ एक ही सीधी रेखा बन सकती है।
In simple words: अगर तीन बिंदु एक ही सीधी लाइन पर हैं, तो उनसे होकर सिर्फ एक ही सीधी लाइन खींची जा सकती है.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि 'संरेख' बिंदुओं का मतलब है वे बिंदु जो एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं. यदि बिंदु संरेख हैं, तो उनसे केवल एक ही रेखा गुजरेगी.

Question 2. कागज के तल पर निम्नांकित बिन्दुओं को अंकित कर स्पष्ट कीजिए कि –
(a) एक बिन्दु से कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(b) दो बिन्दुओं से कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(c) तीन बिन्दु, जो संरेख नहीं हैं, में से दो-दो बिन्दुओं से कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(d) चार बिन्दु, जिनमें कोई तीन संरेख नहीं हैं, में से दो-दो बिन्दुओं से कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(e) पाँच बिन्दु, जिनमें कोई संरेख नहीं है, में से दो-दो बिन्दुओं से कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
Answer:
(a) एक बिन्दु से असंख्य रेखाएँ खींची जा सकती हैं। एक बिंदु से होकर हम जितनी चाहें उतनी रेखाएँ खींच सकते हैं।
(b) दो बिन्दुओं से एक रेखा खींची जा सकती है। दो अलग-अलग बिंदुओं को जोड़ने वाली केवल एक ही सीधी रेखा हो सकती है।
(c) तीन बिन्दु, जो संरेख नहीं हैं, में से दो-दो बिन्दुओं से तीन रेखाएँ खींची जा सकती हैं। यदि तीन बिंदु एक सीधी रेखा में नहीं हैं, तो उन्हें आपस में जोड़ने पर तीन अलग-अलग रेखाएँ बनेंगी।
(d) चार बिन्दु, जिनमें कोई तीन संरेख नहीं हैं, में से दो-दो बिन्दुओं से छः रेखाएँ खींची जा सकती हैं। चार बिंदुओं से, जहाँ कोई भी तीन एक रेखा में नहीं हैं, कुल 6 रेखाएँ बन सकती हैं।
(e) पाँच बिन्दु, जिनमें कोई संरेख नहीं है, में से दो-दो बिन्दुओं से दस रेखाएँ खींची जा सकती हैं। पाँच बिंदुओं से, जहाँ कोई भी तीन एक रेखा में नहीं हैं, कुल 10 रेखाएँ बन सकती हैं।
यह समझना महत्वपूर्ण है कि बिंदुओं की संख्या बढ़ने पर कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं, यह बदल जाता है।
In simple words: एक बिंदु से बहुत सारी रेखाएँ निकल सकती हैं. दो बिंदुओं से सिर्फ एक रेखा बनती है. तीन बिंदुओं से (जो एक लाइन में न हों) 3 रेखाएँ, चार बिंदुओं से 6 रेखाएँ, और पाँच बिंदुओं से (जो एक लाइन में न हों) 10 रेखाएँ बनाई जा सकती हैं.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक बिंदु से अनंत रेखाएँ गुजर सकती हैं, लेकिन दो भिन्न बिंदुओं से केवल एक अद्वितीय रेखा गुजरती है. n बिंदुओं से बनने वाली रेखाओं की संख्या \( \frac{n(n-1)}{2} \) सूत्र से भी निकाली जा सकती है जब कोई तीन बिंदु संरेख न हों.

Question 3. स्तम्भ A स्तम्भ B (a) किरण AB (b) रेखा AB (c) रेखाखण्ड AB
Answer:

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय प्रतीकों को सही ढंग से पहचानना और उनका उपयोग करना बहुत महत्वपूर्ण है. किरण, रेखा और रेखाखंड के प्रतीकों को हमेशा याद रखें.

Question 4. किसी तल पर स्थित एक रेखा में कितने बिन्दु हो सकते हैं?
Answer: किसी तल पर स्थित एक रेखा में असंख्य बिन्दु हो सकते हैं। एक रेखा बिंदुओं का एक अनंत समूह होती है, जो एक सीधी दिशा में विस्तारित होती है।
In simple words: एक सीधी रेखा पर गिनने से भी ज्यादा, बहुत सारे बिंदु होते हैं. हम कभी गिन नहीं सकते कि कितने बिंदु हैं.

🎯 Exam Tip: यह एक मौलिक ज्यामितीय अवधारणा है कि एक रेखा अनगिनत बिंदुओं से बनी होती है. इस तथ्य को हमेशा ध्यान में रखें.

Question 5.
(i) दी गई आकृति में रेखाओं के नाम लिखिए ।
(ii) आकृति की उन रेखाओं के नाम लिखिए जो बिन्दु A से होकर जाती हैं।
Answer: दी गई आकृति (एक आयत ABCD) के आधार पर:
(i) दी गई आकृति में रेखाओं के नाम हैं: रेखा AB, रेखा BC, रेखा CD, तथा रेखा AD। ये सभी रेखाखंड हैं जो आयत की भुजाएँ बनाते हैं।
(ii) आकृति की उन रेखाओं के नाम जो बिन्दु A से होकर जाती हैं, वे हैं: रेखा AD तथा रेखा AB। बिंदु A आयत के दो किनारों का शुरुआती बिंदु है।
In simple words: चित्र में जो आयत ABCD दिया गया है, उसकी भुजाएँ AB, BC, CD और AD रेखाएँ हैं. बिंदु A से होकर जाने वाली रेखाएँ AD और AB हैं.

🎯 Exam Tip: जब किसी आकृति में रेखाओं या रेखाखंडों के नाम लिखने हों, तो उनके अंत बिंदुओं का उपयोग करें. उदाहरण के लिए, एक रेखाखंड जो बिंदु A से शुरू होकर बिंदु B पर खत्म होता है, उसे AB या BA कहा जाता है.

Question 6. निम्नांकित आकृति में एक बिन्दुगामी रेखाएँ और उनके संगमन बिन्दु लिखिए।
Answer: दी गई आकृति के अनुसार, बिन्दुगामी रेखाएँ और उनके संगमन बिन्दु (वह बिंदु जहाँ रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं) इस प्रकार हैं:
(i) संगमन बिन्दु A तथा एक बिन्दुगामी रेखाएँ l, n, q
(ii) संगमन बिन्दु B तथा एक बिन्दुगामी रेखाएँ t, p, m, q
(iii) संगमन बिन्दु C तथा एक बिन्दुगामी रेखाएँ t, n
(iv) संगमन बिन्दु D तथा एक बिन्दुगामी रेखाएँ n, m
(v) संगमन बिन्दु E तथा एक बिन्दुगामी रेखाएँ n, p
(vi) संगमन बिन्दु F तथा एक बिन्दुगामी रेखाएँ m, l
प्रोजेक्ट :- नोट - विद्यार्थी स्वयं करें ।
संगमन बिंदु वह जगह होती है जहाँ दो या दो से अधिक रेखाएँ एक साथ मिलती हैं या एक दूसरे को काटती हैं।
In simple words: चित्र में जहाँ-जहाँ रेखाएँ एक-दूसरे को काट रही हैं, उन बिंदुओं (जैसे A, B, C, D, E, F) को संगमन बिंदु कहते हैं. उन हर बिंदु से कुछ रेखाएँ (जैसे l, n, q) गुजर रही हैं, जो उस बिंदु पर मिलती हैं.

🎯 Exam Tip: संगमन बिंदु वह बिंदु होता है जहाँ दो या दो से अधिक रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं. पहचानें कि कौन सी रेखाएँ किस बिंदु पर मिल रही हैं.