UP Board Solutions Class 6 Maths Chapter 6 Beejiya vyanjak

अभ्यास 6(a)

निम्नलिखित व्यंजकों के पदों को लिखिए-

Question 1. 5x+6
Answer: पद 5x, 6
In simple words: एक व्यंजक में, प्लस या माइनस के चिन्हों से अलग होने वाले हिस्से पद कहलाते हैं. इस व्यंजक में दो पद हैं.

🎯 Exam Tip: बीजीय व्यंजक के पद वे हिस्से होते हैं जो जोड़ या घटाव के चिन्हों से अलग होते हैं.

Question 2. a²-3ab-4
Answer: पद \( a^{2} \), -3ab, -4
In simple words: इस व्यंजक में, \( a^{2} \), -3ab और -4 तीन अलग-अलग पद हैं जो घटाने के चिन्हों से जुड़े हैं.

🎯 Exam Tip: जब कोई पद संख्या मात्र हो, जैसे -4, तो उसे अचर पद (constant term) कहते हैं.

Question 3. 4ax+6
Answer: पद 4ax, 6
In simple words: यहां 4ax एक पद है क्योंकि इसमें चर और अचर एक साथ गुणा हो रहे हैं, और 6 एक अकेला अचर पद है.

🎯 Exam Tip: चर (variable) और अचर (constant) के गुणनफल से बने पद को मोनोमियल या एकपदीय कहते हैं.

Question 4. x²-3x-7
Answer: पद \( x^{2} \), -3x, -7
In simple words: यह व्यंजक तीन अलग-अलग हिस्सों से बना है, जिन्हें हम पद कहते हैं. ये पद हैं \( x^{2} \), -3x और -7.

🎯 Exam Tip: किसी भी व्यंजक को पदों में तोड़ते समय, हर पद के साथ उसके पहले वाला चिन्ह (अगर माइनस है) शामिल करना महत्वपूर्ण है.

Question 5. 5a-b
Answer: पद 5a, -b
In simple words: यहां 5a एक पद है और -b दूसरा पद है, क्योंकि ये घटाने के चिन्ह से अलग हैं.

🎯 Exam Tip: जब किसी चर के आगे कोई संख्या न लिखी हो, तो उसका गुणांक 1 माना जाता है. जैसे -b का मतलब -1b है.

Question 6. xy²
Answer: पद \( xy^{2} \)
In simple words: यह एक ही पद है क्योंकि इसमें कोई जोड़ या घटाव का चिन्ह नहीं है.

🎯 Exam Tip: गुणा और भाग के चिन्ह एक पद को अलग नहीं करते हैं; केवल जोड़ और घटाव के चिन्ह ही पदों को अलग करते हैं.

Question 7. xyz में xyz का गुणांक 1 है।
Answer: गुणांक 1
In simple words: जब किसी चर या चर समूह के साथ कोई संख्या नहीं दिखती, तो उसका गुणांक हमेशा 1 होता है.

🎯 Exam Tip: गुणांक वह संख्यात्मक मान होता है जो एक चर या चर समूह के साथ गुणा में होता है.

Question 8. -3y² में y² का गुणांक -3 है।
Answer: गुणांक -3
In simple words: यहां \( y^{2} \) के आगे जो संख्या गुणा हो रही है, वह -3 है, इसलिए यह \( y^{2} \) का गुणांक है.

🎯 Exam Tip: गुणांक में हमेशा चिन्ह (प्लस या माइनस) शामिल होता है.

Question 9. \( \frac { -2 }{ 3 } xy^{2} \) में \( y^{2} \) का गुणांक क्या है?
Answer: गुणांक \( \frac { -2 }{ 3 } x \)
In simple words: \( y^{2} \) के साथ जो भी अन्य भाग गुणा हो रहा है, चाहे वह संख्या हो या चर, वह उसका गुणांक कहलाता है.

🎯 Exam Tip: किसी विशेष चर का गुणांक उस पद का शेष भाग होता है जो उस चर के साथ गुणा में होता है.

Question 10. निम्नांकित कथन सत्य है या असत्य:
(i) \( 8x^{2}y \) में \( x^{2}y \) का गुणांक 8 है।
(ii) \( \frac { 1 }{ 6 } xyz^{2} \) में \( xyz^{2} \) का गुणांक 1 है।
Answer:
(i) सत्य
(ii) असत्य (सही गुणांक \( \frac { 1 }{ 6 } \) है, 1 नहीं)
In simple words: गुणांक वह संख्या होती है जो चर के साथ गुणा में होती है. पहले कथन में 8 है, जो सही है. दूसरे कथन में \( \frac { 1 }{ 6 } \) होना चाहिए, न कि 1.

🎯 Exam Tip: गुणांक हमेशा उस चर समूह के साथ गुणा होने वाली संख्यात्मक मान होता है. यदि संख्यात्मक मान भिन्न है, तो कथन असत्य होगा.

अभ्यास 6(b)

Question 1. निम्नलिखित में सजातीय पद छाँटिए (अँटकर)-
(i) \( 6x^{2}y \), \( -6xyz \), \( 8x^{2}y \), \( -7xyz \)
(ii) \( -3pq \), \( -5pq^{2} \), \( 4q^{2}p \), \( 9qp \)
Answer:
(i) सजातीय पद = (\( 6x^{2}y \), \( 8x^{2}y \)) और (\( -6xyz \), \( -7xyz \))
(ii) सजातीय पद = (\( -3pq \), \( 9qp \)) और (\( 4pq^{2} \), \( -5pq^{2} \))
In simple words: सजातीय पद वे होते हैं जिनमें चर (variables) और उनकी घातें (powers) बिल्कुल एक जैसी हों, भले ही उनके गुणांक (coefficients) अलग हों.

🎯 Exam Tip: सजातीय पदों को पहचानने के लिए, केवल चर और उनकी घातों पर ध्यान दें, संख्यात्मक गुणांक पर नहीं. \( pq \) और \( qp \) एक ही हैं क्योंकि गुणा में क्रम महत्वपूर्ण नहीं है.

Question 2. निम्नलिखित में सजातीय युग्मों पर सही (✔) लगाइए।
(i) 5x, -3x (✔)
(ii) 3ab, 7a²
(iii) b²ac, ab²c (✔)
(iv) a²bc, ab²c
Answer:
(i) 5x, -3x (✔) - ये सजातीय पद हैं क्योंकि दोनों में चर 'x' की घात 1 है.
(ii) 3ab, 7a² - ये सजातीय पद नहीं हैं क्योंकि चरों की घातें अलग हैं (ab बनाम a²).
(iii) b²ac, ab²c (✔) - ये सजातीय पद हैं क्योंकि दोनों में \( a^{1} \), \( b^{2} \), \( c^{1} \) चर मौजूद हैं, भले ही क्रम अलग हो.
(iv) a²bc, ab²c - ये सजातीय पद नहीं हैं क्योंकि चरों की घातें अलग हैं ( \( a^{2}b^{1}c^{1} \) बनाम \( a^{1}b^{2}c^{1} \) ).
In simple words: सजातीय पदों में अक्षर (चर) और उनकी घातें एक जैसी होती हैं. सिर्फ क्रम बदल सकता है.

🎯 Exam Tip: सजातीय पदों में चर का क्रम मायने नहीं रखता, जैसे xy और yx समान हैं, लेकिन चर की घातें (जैसे x² और x) समान होनी चाहिए.

अभ्यास 6(c)

Question 1. निम्नलिखित व्यंजकों में पदों की संख्या बताइए (बताकर)-
(i) 13x
(ii) x + y
(iii) \( ax^{2} - bx + c \)
(iv) 3x – 5z
Answer:
(i) पदों की संख्या = 1
(ii) पदों की संख्या = 2
(iii) पदों की संख्या = 3
(iv) पदों की संख्या = 2
In simple words: एक व्यंजक में, प्लस (+) या माइनस (-) के चिन्हों से जो अलग-अलग हिस्से होते हैं, उन्हें पद कहते हैं. हम उन्हें गिनकर बताते हैं कि कितने पद हैं.

🎯 Exam Tip: गुणा या भाग के चिन्ह पदों को अलग नहीं करते, केवल जोड़ और घटाव के चिन्ह ही पदों को अलग-अलग करते हैं.

Question 2. निम्नलिखित व्यंजकों की डिग्री और उनके पदों की डिग्री बताइए-
(i) \( x^{2} + 2y + 3 \)
(ii) \( 3x^{3} + 4x^{2}y \)
(iii) \( 5x^{4} + 7xy^{2} + 2x + 3 \)
(iv) \( y^{2} + 5 \)
Answer:
(i) व्यंजक की डिग्री = 2
पद \( x^{2} \) की डिग्री = 2
पद 2y की डिग्री = 1
पद 3 की डिग्री = 0

(ii) व्यंजक की डिग्री = 3
पद \( 3x^{3} \) की डिग्री = 3
पद \( 4x^{2}y \) की डिग्री = 3 (\( 2+1=3 \))

(iii) व्यंजक की डिग्री = 4
पद \( 5x^{4} \) की डिग्री = 4
पद \( 7xy^{2} \) की डिग्री = 3 (\( 1+2=3 \))
पद 2x की डिग्री = 1
पद 3 की डिग्री = 0

(iv) व्यंजक की डिग्री = 2
पद \( y^{2} \) की डिग्री = 2
पद 5 की डिग्री = 0
In simple words: किसी व्यंजक की डिग्री उसमें मौजूद चरों की सबसे बड़ी घात होती है. एक पद की डिग्री उस पद में सभी चरों की घातों का जोड़ होती है.

🎯 Exam Tip: अचर पद (जैसे 3 या 5) की डिग्री हमेशा शून्य होती है क्योंकि उनके साथ कोई चर नहीं होता है.

Question 3. निम्नांकित में सत्य कथन बताइए (बताकर)-
(i) \( 5x^{2}yz \) द्विपद व्यंजक है, (असत्य )
(ii) \( x^{2} – 8x + 10 \) द्विपद व्यंजक है, (असत्य )
(iii) \( 2x^{2} + 7xy \) द्विपद व्यंजक है, (सत्य)
(iv) \( ax^{2} + bx – c \) द्विपद व्यंजक है, (असत्य )
Answer:
(i) \( 5x^{2}yz \) द्विपद व्यंजक है, (असत्य) - यह एकपदीय व्यंजक है क्योंकि इसमें केवल एक पद है.
(ii) \( x^{2} – 8x + 10 \) द्विपद व्यंजक है, (असत्य) - यह त्रिपदीय व्यंजक है क्योंकि इसमें तीन पद हैं.
(iii) \( 2x^{2} + 7xy \) द्विपद व्यंजक है, (सत्य) - यह द्विपद व्यंजक है क्योंकि इसमें दो पद हैं.
(iv) \( ax^{2} + bx – c \) द्विपद व्यंजक है, (असत्य) - यह त्रिपदीय व्यंजक है क्योंकि इसमें तीन पद हैं.
In simple words: व्यंजक को पदों की संख्या के आधार पर नाम दिया जाता है. एक पद वाला 'एकपदीय', दो पद वाला 'द्विपदीय', और तीन पद वाला 'त्रिपदीय' कहलाता है.

🎯 Exam Tip: पदों की संख्या गिनते समय, जोड़ (+) और घटाव (-) के चिन्हों से अलग होने वाले हर भाग को एक पद मानें.

Question 4. निम्नांकित में एकपदीय, द्विपदीय एवं त्रिपदीय व्यंजक बताइए (बताकर)-
(i) 3xy + 7 – द्विपदीय
(ii) \( 15x^{3} \) – एकपदीय
(iii) \( 2x^{2} + 7x – 3 \) – त्रिपदीय
(iv) \( 3x^{2} – 10xy \) – द्विपदीय
(v) \( px^{2} +qx - r \) – त्रिपदीय
Answer:
(i) 3xy + 7 - द्विपदीय (दो पद)
(ii) \( 15x^{3} \) - एकपदीय (एक पद)
(iii) \( 2x^{2} + 7x – 3 \) - त्रिपदीय (तीन पद)
(iv) \( 3x^{2} – 10xy \) - द्विपदीय (दो पद)
(v) \( px^{2} +qx - r \) - त्रिपदीय (तीन पद)
In simple words: हम व्यंजकों को उनके पदों की संख्या से पहचानते हैं. एक पद 'एकपदीय', दो पद 'द्विपदीय' और तीन पद 'त्रिपदीय' कहलाते हैं.

🎯 Exam Tip: यह वर्गीकरण व्यंजक में मौजूद जोड़ और घटाव के चिन्हों की संख्या पर निर्भर करता है, जो पदों को अलग करते हैं.

Question 5. \( x^{2}y – 7xy + 10 \) पदों की संख्या की दृष्टि से कैसा व्यंजक है?
Answer: \( x^{2}y – 7xy + 10 \) पदों की संख्या की दृष्टि में त्रिपदीय व्यंजक है।
In simple words: इस व्यंजक में तीन हिस्से हैं ( \( x^{2}y \), \( -7xy \), और 10), जो जोड़ या घटाव के चिन्हों से अलग हैं. इसलिए इसे त्रिपदीय कहते हैं.

🎯 Exam Tip: एक व्यंजक में पदों की संख्या गिनकर ही यह निर्धारित किया जाता है कि वह एकपदीय, द्विपदीय या त्रिपदीय है.

Question 6. नसरीन के पास 3x आम हैं। उसने 2y आम अपनी बहन एबीना को दे दिया। ज्ञात कीजिए-
(i) नसरीन के पास कितने आम शेष रहे?
(ii) शेष आमों की संख्या में कितने पद हैं?
(iii) पदों की संख्या की दृष्टि से इसे किस प्रकार का व्यंजक कहेंगे?
Answer:
(i) नसरीन के पास शेष आम = \( 3x – 2y \)
(ii) शेष आमों की संख्या में पदों की संख्या = 2
(iii) पदों की संख्या की दृष्टि से इसे (\( 3x – 2y \)) द्विपदीय व्यंजक कहेंगे। नसरीन ने अपनी बहन को आम दिए, जिससे उसके पास आमों की संख्या कम हो गई.
In simple words: नसरीन के पास जितने आम थे, उनमें से जितने आम उसने दिए, उन्हें घटाने पर बचे हुए आमों की संख्या मिलती है. यह एक दो पदों वाला व्यंजक है.

🎯 Exam Tip: जब कोई वस्तु दी जाती है या घटाई जाती है, तो बीजगणित में उसे घटाव के चिन्ह से दर्शाया जाता है.

अभ्यास 6(d)

Question 1. बीजीय व्यंजकों को जोड़िए (जोड़कर)-
(i) 8a-2b तथा 2a + 2b
(ii) 7a-4b,5a + 2b तथा -2a-3b
(iii) \( 19x^{2}-5y^{2} \), \( 3x^{2} + 5y^{2} \) तथा \( -2a-3b \)
(iv) \( 2x^{2} - y^{2} \), \( x^{2} + 3y^{2} \) तथा \( x^{2}-y^{2} \)
Answer:
(i) (\( 8a-2b \)) + (\( 2a+2b \))
\( = 8a-2b+2a+2b \)
\( = 8a+2a-2b+2b \)
\( = 10a \)

(ii) (\( 7a-4b \)) + (\( 5a+2b \)) + (\( -2a-3b \))
\( = 7a-4b+5a+2b-2a-3b \)
\( = 7a+5a-2a-4b+2b-3b \)
\( = 10a-5b \)

(iii) (\( 19x^{2}-5y^{2} \)) + (\( 3x^{2}+5y^{2} \)) + (\( -2a-3b \))
\( = 19x^{2}-5y^{2}+3x^{2}+5y^{2}-2a-3b \)
\( = 19x^{2}+3x^{2}-5y^{2}+5y^{2}-2a-3b \)
\( = 22x^{2}-2a-3b \)

(iv) (\( 2x^{2} - y^{2} \)) + (\( x^{2} + 3y^{2} \)) + (\( x^{2}-y^{2} \))
\( = 2x^{2} - y^{2} + x^{2} + 3y^{2} + x^{2}-y^{2} \)
\( = 2x^{2} + x^{2} + x^{2} + 3y^{2} - y^{2} - y^{2} \)
\( = 4x^{2} + y^{2} \)
In simple words: व्यंजकों को जोड़ने के लिए, हम सजातीय पदों को एक साथ इकट्ठा करते हैं और उनके गुणांकों को जोड़ या घटा देते हैं. अलग-अलग चरों वाले पद अलग रहते हैं.

🎯 Exam Tip: जोड़ने या घटाने से पहले सभी कोष्ठकों को खोलें और फिर सजातीय पदों को एक साथ समूहित करें.

Question 2. निम्नांकित में पहले बीजीय व्यंजक में से दूसरे बीजीय व्यंजक को घटाइए (घटाकर)-
(i) \( 2xy-2y^{2} +3x^{2}+5y^{2} \) में से \( xy+3xz-y^{2} \) को
(ii) \( 4x-3y+7z \) में से \( -2x-3y+7z \) को
(iii) \( a^{2} - 3b^{2} + 7ab \) में से \( -a^{2}-3b^{2} + 7ab \) को
Answer:
(i) (\( 2xy-2y^{2} +3x^{2}+5y^{2} \)) - (\( xy+3xz-y^{2} \))
\( = 2xy-2y^{2}+3x^{2}+5y^{2}-xy-3xz+y^{2} \)
\( = 2xy-xy-2y^{2}+5y^{2}+y^{2}+3x^{2}-3xz \)
\( = xy+4y^{2}+3x^{2}-3xz \)
\( = 3x^{2}+4y^{2}+xy-3xz \)

(ii) (\( 4x-3y+7z \)) - (\( -2x-3y+7z \))
\( = 4x-3y+7z+2x+3y-7z \)
\( = 4x+2x-3y+3y+7z-7z \)
\( = 6x \)

(iii) (\( a^{2} - 3b^{2} + 7ab \)) - (\( -a^{2}-3b^{2} + 7ab \))
\( = a^{2}-3b^{2}+7ab+a^{2}+3b^{2}-7ab \)
\( = a^{2}+a^{2}-3b^{2}+3b^{2}+7ab-7ab \)
\( = 2a^{2} \)
In simple words: जब हम व्यंजकों को घटाते हैं, तो घटाए जाने वाले व्यंजक के हर पद का चिन्ह बदल जाता है. फिर हम सजातीय पदों को एक साथ इकट्ठा करके जोड़ या घटा देते हैं.

🎯 Exam Tip: घटाने से पहले, घटाए जाने वाले व्यंजक के हर पद के चिन्ह को बदलना (जैसे प्लस को माइनस और माइनस को प्लस) न भूलें.

Question 3. निम्नांकित प्रश्नों के उत्तर के सही विकल्प लिखिए (लिखकर)।
(a) \( x – y + 2x – 4y \) का मान होगा।
(b) \( 2x + y – z – (3x + y – 2z) \) का मान होगा।
Answer:
(a) \( x – y + 2x – 4y \)
\( = x + 2x – y – 4y \)
\( = 3x – 5y \)

(b) \( 2x + y – z – (3x + y – 2z) \)
\( = 2x + y – z – 3x – y + 2z \)
\( = 2x – 3x + y – y – z + 2z \)
\( = -x + z \)
In simple words: ऐसे सवालों में, पहले सभी सजातीय पदों को एक साथ लाएँ. फिर उनके गुणांकों को जोड़ें या घटाएँ ताकि व्यंजक को छोटा किया जा सके.

🎯 Exam Tip: कोष्ठक खोलने के बाद, सुनिश्चित करें कि सभी सजातीय पदों को सही ढंग से पहचाना और संयोजित किया गया है.

Question 4. 1 में से \( -3x + 2y – 4z \) को घटाइए (घटाकर)।
Answer: \( 1 – (-3x + 2y – 4z) \)
\( = 1 + 3x – 2y + 4z \)
\( = 3x – 2y + 4z + 1 \)
In simple words: किसी संख्या में से एक व्यंजक को घटाते समय, उस व्यंजक के हर पद का चिन्ह बदल जाता है.

🎯 Exam Tip: 'में से घटाना' का मतलब है कि जिस संख्या से घटाया जा रहा है, वह पहले लिखी जाएगी, और जिसे घटाया जा रहा है, वह कोष्ठक में होगी.

Question 5. \( a – b \) में क्या जोड़े की योगफल \( 2a + b \) हो जाए?
Answer: मान लीजिए कि \( a-b \) में x जोड़ने पर योगफल \( 2a+b \) हो जाता है।
तो, \( (a-b) + x = 2a+b \)
\( x = (2a+b) - (a-b) \)
\( x = 2a+b-a+b \)
\( x = a+2b \)
अतः \( a – b \) में \( (a + 2b) \) जोड़ने पर योगफल \( (2a + b) \) प्राप्त होगा।
In simple words: यह जानने के लिए कि किसी संख्या में क्या जोड़ें ताकि एक निश्चित परिणाम मिले, हमें परिणाम में से पहली संख्या को घटाना होता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में, अज्ञात संख्या को 'x' मानकर एक समीकरण बना लें और फिर उसे हल करें.

Question 6. \( 2x + y \), \( x – 2y \) से कितना अधिक है?
Answer: यह जानने के लिए कि \( 2x+y \), \( x-2y \) से कितना अधिक है, हमें \( (2x+y) \) में से \( (x-2y) \) को घटाना होगा।
अंतर = \( (2x + y) – (x – 2y) \)
\( = 2x + y – x + 2y \)
\( = 2x – x + y + 2y \)
\( = x + 3y \)
अतः \( 2x + y \), \( x – 2y \) से \( x + 3y \) अधिक है।
In simple words: जब पूछा जाए कि एक चीज़ दूसरी चीज़ से कितनी ज़्यादा है, तो बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाते हैं.

🎯 Exam Tip: "कितना अधिक है" या "कितना कम है" जैसे प्रश्नों में हमेशा दिए गए व्यंजकों का अंतर ज्ञात करें.

Question 7. किसी गाँव में पुरुषों की संख्या \( 6xy + 5y^{2} – 8z \) है, महिलाओं की संख्या \( 2x + yx – 2y \) है। बताइए पुरुषों की संख्या महिलाओं की संख्या से कितनी अधिक है?
Answer: पुरुषों की संख्या = \( 6xy + 5y^{2} – 8z \)
महिलाओं की संख्या = \( 2x + yx – 2y \)
पुरुषों की संख्या महिलाओं से अधिक है = पुरुषों की संख्या - महिलाओं की संख्या
\( = (6xy + 5y^{2} – 8z) – (2x + yx – 2y) \)
\( = 6xy + 5y^{2} – 8z – 2x – yx + 2y \)
\( = 6xy – yx + 5y^{2} – 2x + 2y – 8z \)
\( = 5xy + 5y^{2} – 2x + 2y – 8z \)
In simple words: यह पता लगाने के लिए कि एक संख्या दूसरी से कितनी ज़्यादा है, हमें दोनों संख्याओं के बीच का अंतर निकालना होता है.

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय व्यंजकों में \( xy \) और \( yx \) सजातीय पद होते हैं क्योंकि चरों का क्रम गुणन में मायने नहीं रखता है.

Question 8. डेविड प्रतिमाह Rs. (\( 4x^{2} + 7y – 2xy \)) भोजन पर तथा Rs. (\( -2x^{2} + 4x + 5xy \)) शिक्षा पर तथा Rs. (\( x^{2} – 3xy \)) किराए पर खर्च करता है। यदि उसकी मासिक आय Rs. (\( -5x^{2} + 4x + 5xy \)) हो तो ज्ञात कीजिए-
(i) डेविड का मासिक खर्च
(ii) डेविड की मासिक बचत
Answer:
(i) डेविड का मासिक खर्च = भोजन पर खर्च + शिक्षा पर खर्च + किराए पर खर्च
\( = (4x^{2} + 7y – 2xy) + (-2x^{2} + 4x + 5xy) + (x^{2} – 3xy) \)
\( = 4x^{2} + 7y – 2xy – 2x^{2} + 4x + 5xy + x^{2} – 3xy \)
सजातीय पदों को एक साथ रखने पर:
\( = (4x^{2} – 2x^{2} + x^{2}) + (7y) + (–2xy + 5xy – 3xy) + (4x) \)
\( = 3x^{2} + 4x + 7y \)

(ii) डेविड की मासिक बचत = डेविड की मासिक आय - डेविड का मासिक खर्च
\( = (-5x^{2} + 4x + 5xy) – (3x^{2} + 4x + 7y) \)
\( = -5x^{2} + 4x + 5xy – 3x^{2} – 4x – 7y \)
सजातीय पदों को एक साथ रखने पर:
\( = (-5x^{2} – 3x^{2}) + (4x – 4x) + (5xy) + (-7y) \)
\( = -8x^{2} + 5xy – 7y \)
In simple words: कुल खर्च निकालने के लिए सभी अलग-अलग खर्चों को जोड़ते हैं. बचत निकालने के लिए, कुल आय में से कुल खर्च को घटा देते हैं.

🎯 Exam Tip: खर्चों को जोड़ते समय और बचत निकालते समय सजातीय पदों को सावधानी से जोड़ें और घटाएँ, और चिन्हों का ध्यान रखें.

अभ्यास 6(e)

Question 1. निम्नांकित के मान ज्ञात कीजिए, यदि x = 7, y = 3
(i) x + y
(ii) 2x - y
(iii) 3xy
(iv) \( 2x^{2} \)
(v) \( 5x^{3}y \)
Answer:
(i) \( x+y = 7+3 = 10 \)
(ii) \( 2x-y = (2 \times 7) - 3 = 14-3 = 11 \)
(iii) \( 3xy = 3 \times 7 \times 3 = 63 \)
(iv) \( 2x^{2} = 2 \times (7)^{2} = 2 \times 7 \times 7 = 98 \)
(v) \( 5x^{3}y = 5 \times (7)^{3} \times 3 = 5 \times 7 \times 7 \times 7 \times 3 = 5145 \)
In simple words: किसी व्यंजक का मान निकालने के लिए, चरों की जगह उनके दिए गए मानों को रख देते हैं और फिर गणित के नियमों के अनुसार हल करते हैं.

🎯 Exam Tip: चरों के मान रखते समय, घात और गुणन के क्रम (BODMAS/PEMDAS) का ध्यान रखें ताकि सही उत्तर मिले.

Question 2. सही विकल्प छाँटिए (अँटकर)-
(a) यदि \( l = 3 \) तो \( (2l)^{3} \) का मान है।
(a) 100
(b) 216
(c) 36
Answer: (b) 216
In simple words: पहले \( 2 \times 3 \) करें, जो 6 आता है. फिर 6 को तीन बार गुणा करें \( (6 \times 6 \times 6) \), जो 216 होगा.

🎯 Exam Tip: किसी भी व्यंजक में, पहले कोष्ठक के अंदर के मान को हल करें, फिर घात को, और अंत में गुणन करें.

Question 2. (b) यदि \( x = 2, y = 1 \) तो \( (5xy)^{2} \) का मान है।
(a) 100
(b) 216
(c) 36
Answer: (a) 100
In simple words: पहले \( 5 \times 2 \times 1 \) करें, जो 10 आता है. फिर 10 को दो बार गुणा करें \( (10 \times 10) \), जो 100 होगा.

🎯 Exam Tip: चरों के मानों को सही जगह पर रखें और घात के नियमों का सही ढंग से पालन करें.

Question 2. (c) यदि \( x = 3, y = 1, z = 2 \) तो \( (x+y+z)^{2} \) का मान है।
(a) 100
(b) 216
(c) 36
Answer: (c) 36
In simple words: पहले \( x, y, z \) के मानों को जोड़ें \( (3+1+2) \), जो 6 आता है. फिर 6 को दो बार गुणा करें \( (6 \times 6) \), जो 36 होगा.

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय व्यंजकों में हमेशा चरों के मानों को सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करें और गणितीय संक्रियाओं के क्रम का पालन करें.

Question 3. यदि x = 4 तथा y = 3 तो पार्श्व चित्र में आयत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए। (आयत की भुजाएँ \( (2x + y) \) सेमी० और \( (3x - y) \) सेमी० हैं)
Answer: आयत की लम्बाई = \( (2x + y) \)
\( = (2 \times 4 + 3) \)
\( = 8 + 3 = 11 \) सेमी०
आयत की चौड़ाई = \( (3x - y) \)
\( = (3 \times 4 - 3) \)
\( = 12 - 3 = 9 \) सेमी०
In simple words: आयत की भुजाओं का मान निकालने के लिए, दिए गए \( x \) और \( y \) के मानों को भुजाओं के व्यंजकों में रखें और गणना करें.

🎯 Exam Tip: आयत की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करते समय, चरों के मानों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करें और ध्यान से गणना करें.

Question 4. यदि a = 4 तो पार्श्व चित्र में त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए। (त्रिभुज की भुजाएँ \( (2a + 1) \) सेमी०, \( (3a - 1) \) सेमी० तथा \( (3a + 1) \) सेमी० हैं)
Answer: त्रिभुज की भुजाएँ:
पहली भुजा = \( (2a + 1) \) सेमी०
\( = (2 \times 4 + 1) \)
\( = 8 + 1 = 9 \) सेमी०
दूसरी भुजा = \( (3a - 1) \) सेमी०
\( = (3 \times 4 - 1) \)
\( = 12 - 1 = 11 \) सेमी०
तीसरी भुजा = \( (3a + 1) \) सेमी०
\( = (3 \times 4 + 1) \)
\( = 12 + 1 = 13 \) सेमी०
In simple words: त्रिभुज की भुजाओं का मान जानने के लिए, \( a \) के दिए गए मान को हर भुजा के व्यंजक में रखें और जोड़-घटाव करें.

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय आकृतियों के सवालों में, चरों के मानों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें.

Question 5. यदि \( y = -1 \) तो बीजीय व्यंजक \( 2y^{2} + 3y^{2} + y – 3 \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए व्यंजक को सरल करने पर:
\( 2y^{2} + 3y^{2} + y - 3 = 5y^{2} + y - 3 \)
अब \( y = -1 \) रखने पर:
\( = 5(-1)^{2} + (-1) - 3 \)
\( = 5 \times 1 - 1 - 3 \)
\( = 5 - 1 - 3 \)
\( = 4 - 3 = 1 \)
In simple words: सबसे पहले एक जैसे पदों को जोड़ें. फिर \( y \) की जगह \( -1 \) रखें और घातों का ध्यान रखते हुए गणना करें.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक संख्याओं की घात निकालते समय विशेष ध्यान दें, जैसे \( (-1)^{2} = 1 \) और \( (-1)^{3} = -1 \).

Question 6. यदि \( a = -2, b = 2 \) तथा \( c = 1 \) तो बीजीय व्यंजक \( 4a^{3} – 2abc + 3bc + b^{3} \) का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: दिए गए व्यंजक में \( a = -2, b = 2, c = 1 \) रखने पर:
\( 4a^{3} – 2abc + 3bc + b^{3} \)
\( = 4(-2)^{3} – 2(-2)(2)(1) + 3(2)(1) + (2)^{3} \)
\( = 4(-8) – (-8) + 6 + 8 \)
\( = -32 + 8 + 6 + 8 \)
\( = -32 + 22 \)
\( = -10 \)
In simple words: सभी अक्षरों की जगह उनके दिए गए मानों को रखें. फिर पहले गुणा और घात वाले काम करें, उसके बाद जोड़ और घटाव करें.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय चिन्हों के नियमों का बहुत ध्यान रखें, विशेषकर जब वे गुणा या घात में हों.

Question 7. यदि \( a = 3 \) तथा \( b = 2 \) तो निम्नांकित को सत्यापित कीजिए ।
(i) \( (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \)
(ii) \( (a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2} \)
(iii) \( a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b) \)
Answer:
(i) \( (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \)
\( a = 3 \) तथा \( b = 2 \) रखने पर:
L.H.S. \( = (3+2)^{2} = (5)^{2} = 25 \)
R.H.S. \( = (3)^{2} + 2(3)(2) + (2)^{2} \)
\( = 9 + 12 + 4 = 25 \)
यहाँ L.H.S. = R.H.S., अतः यह सत्यापित होता है।

(ii) \( (a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2} \)
\( a = 3 \) तथा \( b = 2 \) रखने पर:
L.H.S. \( = (3-2)^{2} = (1)^{2} = 1 \)
R.H.S. \( = (3)^{2} - 2(3)(2) + (2)^{2} \)
\( = 9 - 12 + 4 = 13 - 12 = 1 \)
यहाँ L.H.S. = R.H.S., अतः यह सत्यापित होता है।

(iii) \( a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b) \)
\( a = 3 \) तथा \( b = 2 \) रखने पर:
L.H.S. \( = (3)^{2}-(2)^{2} = 9 - 4 = 5 \)
R.H.S. \( = (3+2)(3-2) \)
\( = (5)(1) = 5 \)
यहाँ L.H.S. = R.H.S., अतः यह सत्यापित होता है।
In simple words: किसी भी समीकरण को सत्यापित करने के लिए, हम दोनों तरफ (बायां पक्ष और दायां पक्ष) चरों के मान रखते हैं. यदि दोनों पक्ष बराबर आते हैं, तो समीकरण सही होता है.

🎯 Exam Tip: बीजीय सर्वसमिकाओं को सत्यापित करते समय, चरों के मानों को दोनों पक्षों में अलग-अलग रखें और फिर गणना करें.

अभ्यास 6(f)

Question 1. निम्नांकित कथनों में कोष्ठक का प्रयोग कीजिए।
(i) 3x तथा 4z के योग में से 5y घटाइए।
(ii) 4pq में 7r को जोड़िए तथा प्राप्त मान का आधा कीजिए।
(iii) 3xy तथा 7yz के योग के तिहाई में 3z²y जोड़िए ।
Answer:
(i) (\( 3x + 4z \)) - \( 5y \)
(ii) \( \frac { 1 }{ 2 } (4pq + 7r) \)
(iii) \( \frac { 1 }{ 3 } (3xy + 7yz) + 3z^{2}y \)
In simple words: कोष्ठक का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि कौन सी क्रिया पहले करनी है. 'योग' के लिए जोड़ और 'में से घटाने' के लिए घटाव का चिन्ह उपयोग होता है.

🎯 Exam Tip: किसी समूह के योग या अंतर को एक साथ रखने के लिए कोष्ठकों का प्रयोग करें ताकि गणितीय संक्रियाओं का क्रम स्पष्ट रहे.

Question 2. प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिए हैं। सही उत्तर को अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखिए ।
(i) \( 5x + (2x – 3) \) को सरल करने पर प्राप्त होता है।
(a) \( 3 - 7x \)
(b) \( 3x - 3 \)
(c) \( 7x + 3 \)
(d) \( 7x - 3 \)
Answer: (d) \( 7x - 3 \)
In simple words: पहले कोष्ठक खोलें. फिर एक जैसे पदों को जोड़ें. \( 5x \) और \( 2x \) मिलकर \( 7x \) बनाते हैं, और \( -3 \) अकेला रहता है.

🎯 Exam Tip: कोष्ठक के बाहर प्लस चिन्ह होने पर अंदर के पदों के चिन्ह नहीं बदलते हैं.

Question 2. (ii) \( a – (b – 2a) \) को सरल करने पर प्राप्त होता है।
(a) \( 3a – b \)
(b) \( 3b - a \)
(c) \( a - b \)
(d) \( 3a + b \)
Answer: (a) \( 3a – b \)
In simple words: कोष्ठक के बाहर माइनस चिन्ह होने पर, अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदल जाते हैं. \( -b \) becomes \( -b \) and \( -2a \) becomes \( +2a \). सो, \( a-b+2a = 3a-b \).

🎯 Exam Tip: जब कोष्ठक के बाहर ऋण (-) का चिन्ह हो, तो कोष्ठक खोलने पर कोष्ठक के भीतर के सभी पदों के चिन्ह बदल जाते हैं.

Question 2. (iii) \( (a + b + c) – (a + b – c) \) को सरल करने पर प्राप्त होता है।
(a) \( 2a + 2b \)
(b) \( 2c \)
(c) \( 2b + 2a \)
(d) \( 2c \)
Answer: (b) \( 2c \)
In simple words: पहले कोष्ठक खोलें. दूसरे कोष्ठक के बाहर माइनस चिन्ह है, तो उसके अंदर के हर पद का चिन्ह बदल जाएगा. फिर एक जैसे पदों को जोड़ें या घटाएँ.

🎯 Exam Tip: समान चर और घात वाले पद ही एक-दूसरे से जुड़ते या घटते हैं. विपरीत चिन्ह वाले समान पद एक-दूसरे को काट देते हैं.

Question 2. (iv) \( -2x^{2} – (-x^{2} + 4x) \) को सरल करने पर प्राप्त होता है।
(a) \( -x^{2} - 4x \)
(b) \( x^{2} - 4x \)
(c) \( -x^{2} + 4x \)
(d) \( x^{2} + 4x \)
Answer: (a) \( -x^{2} - 4x \)
In simple words: कोष्ठक खोलते समय, माइनस चिन्ह अंदर के \( -x^{2} \) को \( +x^{2} \) में और \( +4x \) को \( -4x \) में बदल देता है. फिर \( -2x^{2} \) और \( +x^{2} \) को जोड़ें.

🎯 Exam Tip: माइनस और माइनस का गुणन या घटाव प्लस बन जाता है, और माइनस और प्लस का गुणन या घटाव माइनस बन जाता है.

Question 3. निम्नांकित को सरल कीजिए-
(i) \( (a^{2} + 8ab + 5) + (3ab – 4a^{2} + 8) \)
(ii) \( (x + y + z) – (x – y + z) \)
Answer:
(i) \( (a^{2} + 8ab + 5) + (3ab – 4a^{2} + 8) \)
\( = a^{2} + 8ab + 5 + 3ab – 4a^{2} + 8 \)
\( = a^{2} – 4a^{2} + 8ab + 3ab + 5 + 8 \)
\( = -3a^{2} + 11ab + 13 \)

(ii) \( (x + y + z) – (x – y + z) \)
\( = x + y + z – x + y – z \)
\( = x – x + y + y + z – z \)
\( = 2y \)
In simple words: व्यंजकों को सरल करने के लिए, पहले कोष्ठक खोलें. अगर कोष्ठक के बाहर माइनस है, तो अंदर के चिन्ह बदल दें. फिर एक जैसे पदों को एक साथ लाएँ और जोड़ें या घटाएँ.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप सभी पदों को सही ढंग से मिलाएं, और विपरीत चिन्हों वाले समान पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं.

Question 3. निम्नांकित को सरल कीजिए-
(iii) \( x^{2} + \{2x^{2} + (x^{2}-y^{2})\} \)
Answer: \( x^{2} + \{2x^{2} + (x^{2}-y^{2})\} \)
\( = x^{2} + (2x^{2} + x^{2} - y^{2}) \)
\( = x^{2} + 3x^{2} - y^{2} \)
\( = 4x^{2} - y^{2} \)
In simple words: सबसे अंदर वाले कोष्ठक से शुरू करें. फिर मध्यम कोष्ठक और अंत में बड़े कोष्ठक को हल करें, सजातीय पदों को जोड़ते या घटाते हुए.

🎯 Exam Tip: व्यंजकों को सरल करते समय कोष्ठकों के क्रम (छोटा, मध्यम, बड़ा) का पालन करना महत्वपूर्ण है.

Question 3. (iv) \( 2p -\{3q+ (5p-q+2p)\} \)
Answer: \( 2p -\{3q+ (5p-q+2p)\} \)
\( = 2p -\{3q+ 5p-q+2p\} \)
\( = 2p -\{3q-q+5p+2p\} \)
\( = 2p -\{2q+7p\} \)
\( = 2p - 2q - 7p \)
\( = 2p - 7p - 2q \)
\( = -5p - 2q \)
In simple words: पहले छोटे कोष्ठक को हल करें, फिर बीच वाले कोष्ठक को और अंत में बाहर वाले कोष्ठक को. हर चरण में समान पदों को जोड़ें या घटाएँ.

🎯 Exam Tip: कोष्ठक के बाहर माइनस चिन्ह होने पर, अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदल जाते हैं.

Question 3. (v) \( 5xy + [3z- \{2x - (2z - 3y)\}] \)
Answer: \( 5xy + [3z- \{2x - (2z - 3y)\}] \)
\( = 5xy + [3z- \{2x - 2z + 3y\}] \)
\( = 5xy + [3z- 2x + 2z - 3y] \)
\( = 5xy + [3z + 2z - 2x - 3y] \)
\( = 5xy + 5z - 2x - 3y \)
In simple words: कोष्ठकों को अंदर से बाहर की ओर एक-एक करके खोलें. हर बार जब आप एक माइनस चिन्ह के बाद कोष्ठक खोलें, तो अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदल दें.

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय व्यंजकों को हल करते समय कोष्ठकों के पदानुक्रम (BEDMAS/PEMDAS) का सही ढंग से पालन करें.

Question 3. (vi) \( 2x^{2}yz - [3x^{2}-\{2y - (x^{2}yz - y^{2}+x^{2})\}] \)
Answer: \( 2x^{2}yz - [3x^{2}-\{2y - (x^{2}yz - y^{2}+x^{2})\}] \)
\( = 2x^{2}yz - [3x^{2}-\{2y - x^{2}yz + y^{2} - x^{2}\}] \)
\( = 2x^{2}yz - [3x^{2}-2y + x^{2}yz - y^{2} + x^{2}] \)
\( = 2x^{2}yz - 3x^{2} + 2y - x^{2}yz + y^{2} - x^{2} \)
\( = 2x^{2}yz - x^{2}yz - 3x^{2} - x^{2} + y^{2} + 2y \)
\( = x^{2}yz - 4x^{2} + y^{2} + 2y \)
In simple words: व्यंजकों को हल करने के लिए, सबसे पहले सबसे अंदर वाले कोष्ठक को खोलें और उसके चिन्हों को बदलें. फिर बाहर की ओर बढ़ते हुए सभी कोष्ठकों को खोलते जाएँ और सजातीय पदों को जोड़ते-घटाते जाएँ.

🎯 Exam Tip: यदि किसी पद के आगे कोई चिन्ह नहीं है, तो उसे धनात्मक (+) मानें. कोष्ठक हटाने पर उसके पहले के चिन्ह का प्रभाव सभी आंतरिक पदों पर पड़ता है.

Question 3. (vii) \( a-[(a^{2}-5b)-2\{2a^{2} - (3c-2b)\}] \)
Answer: \( a-[(a^{2}-5b)-2\{2a^{2} - (3c-2b)\}] \)
\( = a-[(a^{2}-5b)-2\{2a^{2} - 3c + 2b\}] \)
\( = a-[a^{2}-5b-4a^{2}+6c-4b] \)
\( = a-a^{2}+5b+4a^{2}-6c+4b \)
\( = 4a^{2}-a^{2}+a+5b+4b-6c \)
\( = 3a^{2}+a+9b-6c \)
In simple words: कोष्ठकों को अंदर से बाहर की ओर खोलें. जब संख्या 2 को कोष्ठक से गुणा करें, तो अंदर के हर पद से गुणा करें. फिर सभी समान पदों को जोड़ें या घटाएँ.

🎯 Exam Tip: बीजगणित में, यदि किसी संख्या को कोष्ठक से गुणा करना हो, तो उसे कोष्ठक के अंदर के सभी पदों से गुणा करना चाहिए (वितरण नियम).

Question 4. निम्नांकित व्यंजकों में अन्तिम दो पदों को कोष्ठक में लिखकर पहले ऋण चिह्न इस प्रकार लगाइए कि व्यंजक का मान न बदले-
(i) \( -p+r+x^{2}+q^{2} -a^{2} \)
(ii) \( a+b+c-ab-bc-ca \)
(iii) \( 3xy-5pq+3y^{2}-4x+7 \)
Answer:
(i) \( -p+r+x^{2}+q^{2} -a^{2} = -p+r+x^{2} - (-q^{2}+a^{2}) \)
(ii) \( a+b+c-ab-bc-ca = a+b+c-ab-(bc+ca) \)
(iii) \( 3xy-5pq+3y^{2}-4x+7 = 3xy-5pq+3y^{2}-(4x-7) \)
In simple words: जब अंतिम दो पदों को कोष्ठक में डालते हैं और बाहर ऋण (-) का चिन्ह लगाते हैं, तो अंदर के पदों के चिन्ह बदल जाते हैं ताकि व्यंजक का कुल मान वही रहे.

🎯 Exam Tip: कोष्ठक के बाहर माइनस चिन्ह लगाते समय, कोष्ठक के अंदर के सभी पदों के चिन्हों को उलट देना आवश्यक है.

दक्षता अभ्यास - 6

Question 1. अधोलिखित बीजीय व्यंजक के सभी पद लिखिए (लिखकर)-
(i) 3x – 7y + 9
(ii) \( 2a^{2} + 5a – 3b^{2} \)
Answer:
(i) पद 3x, -7y, 9
(ii) पद \( 2a^{2} \), 5a, \( -3b^{2} \)
In simple words: एक बीजीय व्यंजक में, पद वे हिस्से होते हैं जो प्लस या माइनस के चिन्हों से अलग होते हैं.

🎯 Exam Tip: पदों को लिखते समय, उनके साथ के चिन्हों को भी शामिल करें, खासकर यदि वे नकारात्मक हों.

Question 2. निम्नांकित में का गुणांक बताइए (बताकर)-
(i) 3x में x का गुणांक
(ii) \( -a^{2}x \) में x का गुणांक
(iii) \( 5xy^{2} \) में x का गुणांक
(iv) \( -pqx \) में x का गुणांक
Answer:
(i) x का गुणांक = 3
(ii) x का गुणांक = \( -a^{2} \)
(iii) x का गुणांक = \( 5y^{2} \)
(iv) x का गुणांक = -pq
In simple words: गुणांक वह संख्या या अक्षर होता है जो किसी विशेष चर के साथ गुणा में होता है.

🎯 Exam Tip: जब एक से अधिक चर हों, तो किसी विशेष चर का गुणांक उस पद का बचा हुआ भाग होता है जो उस चर के साथ गुणा में होता है.

Question 3. निम्नलिखित में सजातीय पदों को छाँटिए (आँटकर)-
(i) \( a^{2},b^{2},3a^{2}, c^{2} \)
(ii) \( -3xy, yz, 7x, 2xy \)
(iii) \( cab^{2}, a^{2}bc, bac, ab^{2}, acb^{2} \)
(iv) \( 7m^{2}n,m^{2}n,-nm^{2}, m^{2}n^{2}, 7nm^{2} \)
Answer:
(i) सजातीय पद = \( a^{2},3a^{2} \)
(ii) सजातीय पद = \( -3xy, 2xy \)
(iii) सजातीय पद = \( cab^{2}, ab^{2} \)
(iv) सजातीय पद = \( 7m^{2}n,m^{2}n,-nm^{2}, 7nm^{2} \)
In simple words: सजातीय पद वे होते हैं जिनमें चर और उनकी घातें बिल्कुल समान हों, भले ही उनके गुणांक अलग हों.

🎯 Exam Tip: सजातीय पदों में चरों का क्रम मायने नहीं रखता है; महत्वपूर्ण यह है कि हर चर की घात समान हो.

Question 4. सरेल कीजिए-
(i) \( (x – 2y) + (3y – x) – (3x – 2y) \)
Answer: \( (x – 2y) + (3y – x) – (3x – 2y) \)
\( = x – 2y + 3y – x – 3x + 2y \)
\( = x – x – 3x – 2y + 3y + 2y \)
\( = -3x + 3y \)
In simple words: व्यंजक को सरल करने के लिए, पहले सभी कोष्ठकों को खोलें, चिन्हों का ध्यान रखें. फिर सभी \( x \) वाले पदों को एक साथ और सभी \( y \) वाले पदों को एक साथ जोड़ें या घटाएँ.

🎯 Exam Tip: कोष्ठकों को खोलते समय, यदि कोष्ठक के बाहर माइनस चिन्ह है तो अंदर के सभी पदों के चिन्ह बदल दें.

Question 4. (ii) \( 3mn^{2} - (5m^{2}n^{2}) + (-7mn^{2}) – (2m^{2}n^{2}) \)
Answer: \( 3mn^{2} - (5m^{2}n^{2}) + (-7mn^{2}) – (2m^{2}n^{2}) \)
\( = 3mn^{2} - 5m^{2}n^{2} - 7mn^{2} - 2m^{2}n^{2} \)
\( = 3mn^{2} - 7mn^{2} - 5m^{2}n^{2} - 2m^{2}n^{2} \)
\( = -4mn^{2} - 7m^{2}n^{2} \)
In simple words: सभी कोष्ठकों को खोलें. फिर समान पदों को एक साथ लाएँ (जैसे \( mn^{2} \) वाले एक साथ और \( m^{2}n^{2} \) वाले एक साथ) और उनके गुणांकों को जोड़ें या घटाएँ.

🎯 Exam Tip: यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि \( mn^{2} \) और \( m^{2}n^{2} \) सजातीय पद नहीं हैं, क्योंकि चरों की घातें अलग हैं.

Question 4. (iii) \( 15x - [8x^{3} + 3x^{2}-\{8x^{2}-(4-2x-x^{3})-5x^{3}\}-2x] \)
Answer: \( 15x - [8x^{3} + 3x^{2}-\{8x^{2}-(4-2x-x^{3})-5x^{3}\}-2x] \)
\( = 15x - [8x^{3} + 3x^{2}-\{8x^{2}-4+2x+x^{3}-5x^{3}\}-2x] \)
\( = 15x - [8x^{3} + 3x^{2}-\{8x^{2}-4+2x-4x^{3}\}-2x] \)
\( = 15x - [8x^{3} + 3x^{2}-8x^{2}+4-2x+4x^{3}-2x] \)
\( = 15x - [8x^{3}+4x^{3}+3x^{2}-8x^{2}-2x-2x+4] \)
\( = 15x - [12x^{3}-5x^{2}-4x+4] \)
\( = 15x - 12x^{3}+5x^{2}+4x-4 \)
\( = -12x^{3}+5x^{2}+15x+4x-4 \)
\( = -12x^{3}+5x^{2}+19x-4 \)
In simple words: सबसे अंदर वाले कोष्ठक से शुरू करके बाहर की ओर सरल करें. हर बार जब कोष्ठक खोलें, तो चिन्हों का ध्यान रखें और एक जैसे पदों को एक साथ जोड़ें या घटाएँ.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई गलती न हो, कोष्ठकों को एक-एक करके हटाएँ और हर चरण में सावधानीपूर्वक गणना करें.

Question 5. दी गई आकृतियों का परिमाप ज्ञात कीजिए, यदि \( a = 3, b = 2 \)
(i) पार्श्व आकृति में वर्ग की भुजा दी गई है। (वर्ग की भुजा \( (2a+1) \) सेमी० है)
Answer: वर्ग की भुजा = \( 2a + 1 \)
\( = 2 \times 3 + 1 \)
\( = 6 + 1 = 7 \) सेमी०
वर्ग का परिमाप = \( 4 \times \) भुजा
\( = 4 \times 7 = 28 \) सेमी०
In simple words: वर्ग की भुजा का मान निकालने के लिए \( a \) का मान रखें. फिर वर्ग के परिमाप के सूत्र \( (4 \times \text{भुजा}) \) का उपयोग करके परिमाप ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: वर्ग का परिमाप उसकी चारों भुजाओं की लंबाई का योग होता है, जो \( 4 \times \text{भुजा} \) के बराबर होता है.

Question 5. (ii) पार्श्व आकृति में आयत की भुजाएँ दीं हैं। (आयत की भुजाएँ \( (3a-b) \) सेमी० और \( (4a-3b) \) सेमी० हैं)<
Answer: आयत की लम्बाई = \( 3a – b \)
\( = (3 \times 3) – 2 \)
\( = 9 – 2 = 7 \) सेमी०
आयत की चौड़ाई = \( 4a – 3b \)
\( = (4 \times 3) – (3 \times 2) \)
\( = 12 – 6 = 6 \) सेमी०
आयत का परिमाप = \( 2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \)
\( = 2 \times (7 + 6) \)
\( = 2 \times 13 = 26 \) सेमी०
In simple words: पहले \( a \) और \( b \) के मानों को रखकर आयत की लंबाई और चौड़ाई का पता लगाएँ. फिर आयत के परिमाप के सूत्र \( (2 \times (\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई})) \) का उपयोग करें.

🎯 Exam Tip: आयत का परिमाप उसकी सभी भुजाओं का योग होता है, जहाँ विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं.

Question 5. (iii) पार्श्व आकृति में त्रिभुज की भुजाएँ दी हैं। (त्रिभुज की भुजाएँ \( (2a - b) \) सेमी, \( (a + b) \) सेमी, \( (3a - b) \) सेमी हैं)
Answer: त्रिभुज की भुजाएँ:
पहली भुजा = \( (2a - b) \) सेमी
\( = (2 \times 3 - 2) \)
\( = 6 - 2 = 4 \) सेमी
दूसरी भुजा = \( (a + b) \) सेमी
\( = (3 + 2) \)
\( = 5 \) सेमी
तीसरी भुजा = \( (3a - b) \) सेमी
\( = (3 \times 3 - 2) \)
\( = 9 - 2 = 7 \) सेमी
त्रिभुज का परिमाप = भुजा 1 + भुजा 2 + भुजा 3
\( = 4 + 5 + 7 = 16 \) सेमी
In simple words: \( a \) और \( b \) के मानों को हर भुजा के व्यंजक में रखकर उनकी लंबाई ज्ञात करें. फिर तीनों भुजाओं को जोड़कर त्रिभुज का परिमाप निकालें.

🎯 Exam Tip: त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई का योग होता है, इसलिए सभी मानों को सही ढंग से जोड़ना महत्वपूर्ण है.

Question 6. यदि \( a = -4, b = -2, c = -1, d = 6 \), तो \( \frac { c^{2}-d^{2} }{ a+b+c } \) का मान ज्ञात कीजिए-
Answer: दिए गए मानों को व्यंजक में रखने पर:
\( \frac { c^{2}-d^{2} }{ a+b+c } = \frac { (-1)^{2}-(6)^{2} }{ (-4)+(-2)+(-1) } \)
\( = \frac { 1-36 }{ -4-2-1 } \)
\( = \frac { -35 }{ -7 } \)
\( = 5 \)
In simple words: सभी अक्षरों की जगह उनके मान रखें. ऊपर (अंश) और नीचे (हर) की गणना अलग-अलग करें, फिर भाग करें.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक संख्याओं की घात और घटाव के चिन्हों का बहुत ध्यान रखें, क्योंकि एक छोटी सी गलती पूरे उत्तर को बदल सकती है.

Question 7. यदि \( A = 7a^{2} + 5ab – 9b^{2}, B = -4a^{2} + ab + 5b^{2}, C = 4b^{2} – 3a^{2} – 6ab \), तो दिखाइए \( A + B + C = 0 \).
Answer: \( A + B + C \)
\( = (7a^{2} + 5ab – 9b^{2}) + (-4a^{2} + ab + 5b^{2}) + (4b^{2} – 3a^{2} – 6ab) \)
सभी पदों को एक साथ लिखने पर:
\( = 7a^{2} - 4a^{2} - 3a^{2} + 5ab + ab - 6ab - 9b^{2} + 5b^{2} + 4b^{2} \)
\( = (7-4-3)a^{2} + (5+1-6)ab + (-9+5+4)b^{2} \)
\( = 0a^{2} + 0ab + 0b^{2} \)
\( = 0 \)
अतः \( A + B + C = 0 \) सिद्ध होता है।
In simple words: \( A, B \) और \( C \) के व्यंजकों को एक साथ लिखें. फिर सभी \( a^{2} \) पदों, सभी \( ab \) पदों, और सभी \( b^{2} \) पदों को अलग-अलग जोड़ें या घटाएँ.

🎯 Exam Tip: यह दिखाने के लिए कि योग शून्य है, सुनिश्चित करें कि प्रत्येक प्रकार के सजातीय पदों का कुल गुणांक शून्य हो जाता है.

Question 8. निम्नांकित को सरल कीजिए-
(i) \( 3abc – 2ab^{2} – 5abc + 3ab^{2} \)
(ii) \( 5x^{2} + 2xy + 3x^{2} + 5xy – 9x^{2} \)
Answer:
(i) \( 3abc – 2ab^{2} – 5abc + 3ab^{2} \)
\( = 3abc – 5abc – 2ab^{2} + 3ab^{2} \)
\( = (3-5)abc + (-2+3)ab^{2} \)
\( = -2abc + ab^{2} \)
या \( = ab^{2} - 2abc \)

(ii) \( 5x^{2} + 2xy + 3x^{2} + 5xy – 9x^{2} \)
\( = 5x^{2} + 3x^{2} – 9x^{2} + 2xy + 5xy \)
\( = (5+3-9)x^{2} + (2+5)xy \)
\( = -x^{2} + 7xy \)
In simple words: एक जैसे पदों को एक साथ लाएँ. फिर उनके गुणांकों को जोड़ें या घटाएँ ताकि व्यंजक छोटा हो जाए.

🎯 Exam Tip: केवल सजातीय पद ही जोड़े या घटाए जा सकते हैं. \( abc \) और \( ab^{2} \) जैसे अलग-अलग चरों और घातों वाले पद आपस में नहीं जुड़ते.

Question 9. यदि \( a = 2, b = 1 \) तथा \( c = 3 \), तो \( (2a + 4b – c)^{3} \) के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए व्यंजक में \( a = 2, b = 1, c = 3 \) रखने पर:
\( (2a + 4b – c)^{3} \)
\( = (2 \times 2 + 4 \times 1 – 3)^{3} \)
\( = (4 + 4 – 3)^{3} \)
\( = (8 – 3)^{3} \)
\( = (5)^{3} \)
\( = 125 \)
In simple words: सबसे पहले कोष्ठक के अंदर \( a, b \) और \( c \) के मान रखें. गुणा और घटाव करने के बाद, परिणाम को तीन बार गुणा करें.

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय व्यंजकों का मान निकालते समय, BODMAS/PEMDAS नियम का पालन करें: पहले कोष्ठक, फिर गुणा/भाग, अंत में जोड़/घटाव.

Question 10. अपनी अभ्यास पुस्तिका में A समूह के व्यंजकों को सरल करने पर प्राप्त सही उत्तरों को समूह B में आँटकर सुमेलित कीजिए (सुमेलित करके)-
Answer:
समूह A के व्यंजकों को सरल करने पर:
(i) \( (x+y)+(2x-3y) = x+y+2x-3y = 3x-2y \)
(ii) \( (x-y)-(x+y) = x-y-x-y = -2y \)
(iii) \( x^{2}+2xy+y^{2}-(x^{2}+y^{2}-2xy) = x^{2}+2xy+y^{2}-x^{2}-y^{2}+2xy = 4xy \)
(iv) \( 2(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-y^{2}) = 2x^{2}+2y^{2}-x^{2}+y^{2} = x^{2}+3y^{2} \)
(v) \( (3x^{2}-y)-2(x^{2}+\frac{y}{2}) = 3x^{2}-y-2x^{2}-y = x^{2}-2y \)

सही सुमेलन इस प्रकार है:
(i) \( 3x-2y \) -> (समूह B में ii) \( 3x-2y \)
(ii) \( -2y \) -> (समूह B में iv) \( -2y \)
(iii) \( 4xy \) -> (समूह B में v) \( 4xy \)
(iv) \( x^{2}+3y^{2} \) -> (समूह B में iii) \( x^{2}+3y^{2} \)
(v) \( x^{2}-2y \) -> (समूह B में i) \( x^{2}-\frac{5}{3}y^{2} \)
In simple words: पहले समूह A के हर व्यंजक को सरल करके उसका सबसे छोटा रूप पता करें. फिर इस सरल रूप को समूह B में दिए गए व्यंजकों से मिलाएँ.

🎯 Exam Tip: सुमेलन वाले प्रश्नों में, हर पद को सावधानी से सरल करें और फिर सही उत्तर से मिलाएँ. कोष्ठकों और चिन्हों का विशेष ध्यान रखें.