UP Board Solutions Class 6 Maths Chapter 5 Beejganitiya avdharna

अभ्यास 5(a)

 

प्रश्न 1. शिक्षक प्रत्येक शिक्षार्थी को 3 पेंसिल देते हैं। यदि कक्षा में शिक्षार्थियों की कुल संख्या \( x \) हो तो बताइए कि शिक्षक शिक्षार्थियों को कुल कितनी पेंसिलें देते हैं?
Answer: शिक्षक एक विद्यार्थी को 3 पेंसिल देते हैं। अगर कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या \( x \) है, तो शिक्षक द्वारा दी गई कुल पेंसिलों की संख्या \( 3 \times x = 3x \) होगी। यह गुणनफल बताता है कि कुल कितने वस्तुएँ वितरित की गईं।
In simple words: अगर शिक्षक हर छात्र को 3 पेंसिल देता है और कुल \( x \) छात्र हैं, तो शिक्षक कुल \( 3x \) पेंसिलें देगा।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, 'प्रत्येक' या 'हर' शब्द अक्सर गुणा का संकेत देते हैं। कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, प्रति इकाई मान को इकाइयों की कुल संख्या से गुणा करें।

 

प्रश्न 2. अपनी उत्तर पुस्तिका पर रिक्त स्थानों में संख्याओं की जगह कोई बीज लिखिए और बताइए कि उसका प्रयोग किस संख्या के लिए किया गया है।
Answer: हम अज्ञात संख्या को \( x \) मानेंगे।
(i) समीकरण \( 12+5=17 \) में, यदि हम 12 को \( x \) से बदलते हैं, तो यह \( x+5=17 \) हो जाता है। इस स्थिति में, \( x = 17-5 = 12 \).
(ii) समीकरण \( 40-10=30 \) में, यदि हम 10 को \( x \) से बदलते हैं, तो यह \( 40-x=30 \) हो जाता है। इस स्थिति में, \( x = 40-30 = 10 \).
(iii) समीकरण \( 4 \times 6 = 24 \) में, यदि हम 4 को \( x \) से बदलते हैं, तो यह \( x \times 6 = 24 \) हो जाता है। इस स्थिति में, \( x = \frac{24}{6} = 4 \).
(iv) समीकरण \( \frac{35}{5} = 7 \) में, यदि हम 5 को \( x \) से बदलते हैं, तो यह \( \frac{35}{x} = 7 \) हो जाता है। इस स्थिति में, \( x = \frac{35}{7} = 5 \). चर का उपयोग हमें अज्ञात मानों को आसानी से हल करने में मदद करता है।
In simple words: दिए गए गणितीय कथनों में, हमने अज्ञात संख्याओं की जगह \( x \) का उपयोग किया और उन्हें हल करके \( x \) का मान ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: बीजगणित में, चर (जैसे \( x \)) अज्ञात संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। समीकरणों को हल करने के लिए, हमें चर के मान का पता लगाना होता है।

 

प्रश्न 3. रहीम के पास 10 रुपये थे, उसने रजिया को कुछ रुपये दे दिए। उसके पास कितने रुपए बचे। इस सम्बन्ध को अक्षर संख्याओं की सहायता से व्यक्त कीजिए।
Answer: मान लीजिए कि रहीम ने रजिया को \( x \) रुपये दिए। तो, रहीम के पास बची हुई राशि को \( 10 - x \) रुपये के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह बीजगणित में घटाव का एक सरल उदाहरण है।
In simple words: रहीम के पास 10 रुपये थे। उसने \( x \) रुपये रजिया को दिए। तो उसके पास \( 10 - x \) रुपये बचे।

🎯 Exam Tip: जब कोई वस्तु किसी से ली जाती है या दी जाती है, तो कुल मात्रा में से उस वस्तु को घटाया जाता है। अज्ञात मात्रा को चर से दर्शाएँ।

 

प्रश्न 4. एक बगीचे में कुछ पेड़ थे। 50 पेड़ और लगा देने पर पेड़ों की संख्या 120 हो गई? इस कथन को अक्षर संख्या की सहायता से व्यक्त कीजिए।
Answer: मान लीजिए कि बगीचे में शुरुआत में \( x \) पेड़ थे। जब 50 और पेड़ लगाए गए, तो पेड़ों की कुल संख्या 120 हो गई। इसे बीजगणितीय रूप में \( x + 50 = 120 \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह समीकरण हमें मूल संख्या ज्ञात करने में मदद करता है।
In simple words: शुरुआत में \( x \) पेड़ थे। 50 और लगाने पर कुल 120 पेड़ हो गए। इसे \( x + 50 = 120 \) लिखा जाएगा।

🎯 Exam Tip: 'और लगाने पर' या 'जोड़ने पर' जैसे वाक्यांश योग (addition) को दर्शाते हैं, जबकि 'हो गई' या 'कुल' बराबर चिह्न (equals sign) के बाद आने वाली संख्या को इंगित करते हैं।

 

प्रश्न 4. पावं चित्र में आयत की आसन्न भुजाएँ \( x \) मीटर तथा \( y \) मीटर हैं। आयत का परिमाप लिखिए।

Answer: आयत की आसन्न भुजाएँ \( x \) मीटर और \( y \) मीटर हैं। आयत का परिमाप उसकी सभी भुजाओं का योग होता है। चूंकि आयत में विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं, तो परिमाप \( 2 \times (x + y) \) मीटर या \( 2x + 2y \) मीटर होगा। यह सूत्र किसी भी आयताकार आकार की परिधि की गणना के लिए आवश्यक है।
In simple words: यदि आयत की भुजाएँ \( x \) और \( y \) हैं, तो उसका परिमाप \( 2(x+y) \) या \( 2x+2y \) मीटर होगा।

🎯 Exam Tip: आयत का परिमाप \( 2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \) होता है। इस सूत्र को याद रखें और इसे सही ढंग से लागू करें।

 

प्रश्न 5. अक्षर N और M का प्रत्येक प्रतिरूप तीलियों से बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या के लिए नियम ज्ञात कीजिए। नियम लिखने के लिए एक चर का प्रयोग कीजिए ।
Answer:
अक्षर N का प्रतिरूप बनाने के लिए:
एक N बनाने में 3 तीलियाँ लगती हैं। यदि हमें \( n \) प्रतिरूप बनाने हों, तो आवश्यक तीलियों की कुल संख्या \( 3 \times n = 3n \) होगी।

अक्षर M का प्रतिरूप बनाने के लिए:
एक M बनाने में 4 तीलियाँ लगती हैं। यदि हमें \( n \) प्रतिरूप बनाने हों, तो आवश्यक तीलियों की कुल संख्या \( 4 \times n = 4n \) होगी। यह नियम अज्ञात संख्याओं के लिए चर का उपयोग करने का एक अच्छा उदाहरण है।
In simple words: N के लिए हर प्रतिरूप में 3 तीलियाँ लगती हैं (नियम \( 3n \))। M के लिए हर प्रतिरूप में 4 तीलियाँ लगती हैं (नियम \( 4n \))।

🎯 Exam Tip: प्रतिरूप (pattern) वाले प्रश्नों में, पहले छोटे मानों के लिए पैटर्न को समझें, फिर एक सामान्य नियम (चर का उपयोग करके) बनाएँ जो किसी भी संख्या के लिए काम करे।

अभ्यास 5(b)

 

प्रश्न 1. निम्नलिखित को बीजगणितीय रूप में लिखिए-
(i) 6 और \( x \) का योगफल
(ii) \( x \) में से 7 घटाने पर शेष
(iii) \( x \) का 5 गुना
(iv) \( x \) का एक तिहाई
Answer: हम इन मौखिक कथनों को बीजगणितीय व्यंजकों में बदलेंगे:
(i) 6 और \( x \) का योगफल \( = 6 + x \)
(ii) \( x \) में से 7 घटाने पर शेष \( = x - 7 \)
(iii) \( x \) का 5 गुना \( = 5x \)
(iv) \( x \) का एक तिहाई \( = \frac{1}{3}x = \frac{x}{3} \). ये मूल बीजगणितीय संक्रियाएँ हैं।
In simple words: 'योगफल' का मतलब जोड़ना, 'घटाने पर शेष' का मतलब घटाना, 'गुना' का मतलब गुणा करना और 'एक तिहाई' का मतलब 3 से भाग देना होता है।

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय व्यंजक बनाते समय, 'और', 'में से', 'का', 'गुना', 'तिहाई' जैसे शब्दों पर ध्यान दें, क्योंकि वे सही गणितीय संक्रिया को इंगित करते हैं।

 

प्रश्न 2. निम्नलिखित कथनों को संख्याओं, बीजों तथा मूल संक्रियाओं के चिह्नों की सहायता से व्यक्त कीजिए-
(i) वृत्त का व्यास उसकी त्रिज्या का दूना होता है।
Answer: वृत्त का व्यास \( d \) उसकी त्रिज्या \( r \) का दोगुना होता है। इसे \( d = 2 \times r \) लिखा जाता है। यह वृत्त की एक महत्वपूर्ण विशेषता है।
(ii) वर्ग का परिमाप उसकी एक भुजा का 4 गुना होता है।
Answer: वर्ग का परिमाप \( s \) उसकी भुजा \( x \) का 4 गुना होता है। इसे \( s = 4 \times x \) लिखा जाता है। परिमाप किसी आकृति की बाहरी सीमा की कुल लंबाई होती है।
(iii) आयत का क्षेत्रफल उसकी लम्बाई तथा चौड़ाई का गुणनफल होता है।
Answer: आयत का क्षेत्रफल \( A \) उसकी लम्बाई \( x \) और चौड़ाई \( y \) का गुणनफल होता है। इसे \( A = x \times y \) लिखा जाता है। क्षेत्रफल यह बताता है कि एक सपाट सतह कितनी जगह घेरती है।
(iv) लाभ, विक्रय मूल्य तथा क्रय मूल्य के अन्तर के बराबर होता है, जब विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से अधिक हो
Answer: लाभ \( I \) विक्रय मूल्य \( SP \) और क्रय मूल्य \( CP \) के अंतर के बराबर होता है, जब विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य से अधिक हो। इसे \( I = SP - CP \) लिखा जाता है। लाभ तब होता है जब बेचने का दाम खरीदने के दाम से ज़्यादा होता है।
In simple words: हमने विभिन्न गणितीय और वाणिज्यिक अवधारणाओं को चर और संक्रियाओं का उपयोग करके बीजगणितीय सूत्रों के रूप में व्यक्त किया।

🎯 Exam Tip: प्रत्येक कथन को ध्यान से पढ़ें और सही चर और संक्रियाओं का उपयोग करके उसे एक गणितीय सूत्र में बदलें। परिभाषाओं को याद रखना सहायक होता है।

 

प्रश्न 3. (a) एक टोकरी में 50 आम हैं तथा एक दूसरी टोकरी में \( x \) आम हैं। पहली टोकरी में दूसरी टोकरी से कितने आम अधिक हैं?
(b) एक विद्यालय में कुल 100 छात्र हैं। जिनमें से \( x \) छात्र प्रदूषित जल पीने से बीमार हो गए, तो स्वस्थ छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए ।
Answer:
(a) पहली टोकरी में 50 आम हैं, और दूसरी टोकरी में \( x \) आम हैं। पहली टोकरी में दूसरी टोकरी से \( (50 - x) \) आम अधिक हैं। यह अंतर घटाव का उपयोग करके निकाला जाता है।
(b) विद्यालय में कुल 100 छात्र हैं। इनमें से \( x \) छात्र दूषित पानी पीने के कारण बीमार हो गए। तो, स्वस्थ छात्रों की संख्या \( (100 - x) \) है। यह कुल संख्या में से एक भाग को घटाने का एक उदाहरण है।
In simple words:
(a) पहली टोकरी में \( 50-x \) आम ज़्यादा हैं।
(b) स्कूल में \( 100-x \) छात्र स्वस्थ हैं।

🎯 Exam Tip: 'कितने अधिक हैं' या 'कितने बचे' जैसे प्रश्न घटाव की संक्रिया को दर्शाते हैं। हमेशा बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटाएँ या कुल संख्या में से दिए गए भाग को घटाएँ।

 

प्रश्न 5. एक गुब्बारे का मूल्य \( x \) पैसे है। ऐसे 12 गुब्बारों का मूल्य कितना होगा?
Answer: एक गुब्बारे का मूल्य \( x \) पैसे है। इसलिए, 12 गुब्बारों का मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम एक गुब्बारे के मूल्य को 12 से गुणा करेंगे। इस प्रकार, 12 गुब्बारों का कुल मूल्य \( 12 \times x = 12x \) पैसे होगा। यह बीजगणित में गुणन का सीधा उपयोग है।
In simple words: एक गुब्बारा \( x \) पैसे का है। तो, 12 गुब्बारे \( 12x \) पैसे के होंगे।

🎯 Exam Tip: जब आपको 'एक' वस्तु का मूल्य दिया हो और 'कई' वस्तुओं का मूल्य ज्ञात करना हो, तो हमेशा गुणन (multiplication) संक्रिया का उपयोग करें।

 

प्रश्न 6. कक्षा में \( x \) विद्यार्थी हैं। जिनमें एक चौथाई बालिकाएँ हैं। कक्षा में कितनी बालिकाएँ हैं?
Answer: कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या \( x \) है। इनमें से एक चौथाई बालिकाएँ हैं। बालिकाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल विद्यार्थियों की संख्या को \( \frac{1}{4} \) से गुणा करेंगे। इस प्रकार, कक्षा में बालिकाओं की संख्या \( \frac{1}{4} \times x = \frac{x}{4} \) होगी। यह भिन्नों को बीजगणित में व्यक्त करने का एक उदाहरण है।
In simple words: कुल छात्र \( x \) हैं। एक चौथाई लड़कियां हैं, तो लड़कियां \( \frac{x}{4} \) हैं।

🎯 Exam Tip: 'एक चौथाई' का अर्थ \( \frac{1}{4} \) होता है। जब किसी संख्या का कोई भाग निकालना हो, तो उस संख्या को भिन्न से गुणा करें।

 

प्रश्न 7. पाश्र्वांकित चित्र में एक वर्ग की भुजा \( a \) सेमी है। वर्ग का परिमाप लिखिए।

Answer: वर्ग की भुजा \( a \) सेमी है। वर्ग का परिमाप उसकी भुजा की लंबाई का 4 गुना होता है। इसलिए, वर्ग का परिमाप \( 4 \times a = 4a \) सेमी होगा। वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, जिससे परिमाप की गणना आसान हो जाती है।
In simple words: एक वर्ग की भुजा \( a \) है, तो उसका परिमाप \( 4a \) सेमी होगा।

🎯 Exam Tip: वर्ग की चारों भुजाएँ समान होती हैं। इसलिए, परिमाप ज्ञात करने के लिए, भुजा की लंबाई को 4 से गुणा करें।

 

प्रश्न 8. लीला राधा की छोटी बहन है। वह राधा से 6 वर्ष छोटी है। लीला की आयु राधा की आयु के पदों में लिखिए ।
Answer: मान लीजिए राधा की आयु \( x \) वर्ष है। चूंकि लीला राधा से 6 वर्ष छोटी है, तो लीला की आयु राधा की आयु से 6 वर्ष कम होगी। इस प्रकार, लीला की आयु \( (x - 6) \) वर्ष है। यह एक संबंध को बीजगणितीय रूप में व्यक्त करने का तरीका है।
In simple words: अगर राधा की उम्र \( x \) साल है, तो लीला की उम्र \( x - 6 \) साल होगी, क्योंकि वह 6 साल छोटी है।

🎯 Exam Tip: 'छोटा/छोटी' या 'कम' जैसे शब्दों का अर्थ घटाव होता है। अज्ञात आयु को एक चर (जैसे \( x \)) से दर्शाकर संबंध स्थापित करें।

अभ्यास 5(c)

 

प्रश्न 1. निम्नलिखित को घातांकीय रूप में लिखिए-
(i) \( c \times c \times c \times c \times c \) (5 बार) \( = c^5 \)
(ii) \( 5 \times a \times a \times b \times b \times b = 5a^2b^3 \)
(iii) \( 7 \times 7 \times 7 = 7^3 \)
(iv) \( t \times t \times y \times y = t^2y^2 \)
Answer: हम दिए गए व्यंजकों को घातांकीय रूप में लिखेंगे:
(i) \( c \) को 5 बार गुणा करने पर, इसे \( c^5 \) के रूप में लिखा जाता है।
(ii) \( 5 \times a \times a \times b \times b \times b \) में, 5 एक बार है, \( a \) दो बार है (\( a^2 \)), और \( b \) तीन बार है (\( b^3 \))। तो यह \( 5a^2b^3 \) है।
(iii) 7 को 3 बार गुणा करने पर, इसे \( 7^3 \) के रूप में लिखा जाता है।
(iv) \( t \times t \times y \times y \) में, \( t \) दो बार है (\( t^2 \)), और \( y \) दो बार है (\( y^2 \))। तो यह \( t^2y^2 \) है। घातांकीय रूप दोहराए जाने वाले गुणन को छोटा करने का एक तरीका है।
In simple words: घातांक रूप में, आधार वह संख्या या चर होता है जिसे गुणा किया जाता है, और घात बताती है कि उसे कितनी बार गुणा किया गया है।

🎯 Exam Tip: घातांकीय रूप में, आधार (base) को उतनी ही बार गुणा किया जाता है जितनी घात (exponent) होती है। ध्यान दें कि गुणा किए गए प्रत्येक अद्वितीय चर के लिए एक अलग घात लिखें।

 

प्रश्न 2. निम्नांकित को गुणा के रूप में लिखिए-
(i) \( a^2b^2 = a \times a \times b \times b \)
(ii) \( 9ab^3 = 9 \times a \times b \times b \times b \)
(iii) \( 10x^3y^3z^3 = 10 \times x \times x \times x \times y \times y \times y \times z \times z \times z \)
Answer: हम दिए गए घातांकीय व्यंजकों को उनके गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखेंगे:
(i) \( a^2b^2 \) का अर्थ है \( a \) को दो बार और \( b \) को दो बार गुणा करना। तो यह \( a \times a \times b \times b \) है।
(ii) \( 9ab^3 \) का अर्थ है 9 को \( a \) से एक बार और \( b \) को तीन बार गुणा करना। तो यह \( 9 \times a \times b \times b \times b \) है।
(iii) \( 10x^3y^3z^3 \) का अर्थ है 10 को \( x \) से तीन बार, \( y \) से तीन बार और \( z \) से तीन बार गुणा करना। तो यह \( 10 \times x \times x \times x \times y \times y \times y \times z \times z \times z \) है। घातांकीय पदों को विस्तारित करने से गुणन को समझना आसान हो जाता है।
In simple words: घात का मतलब है कि आधार को उतनी ही बार गुणा किया गया है। हमें बस उसे गुणा के रूप में फैला कर लिखना है।

🎯 Exam Tip: विस्तारित रूप में लिखते समय, प्रत्येक चर और गुणांक को उसकी घात के अनुसार अलग-अलग लिखें। हर पद के बीच में गुणन चिह्न लगाना न भूलें।

 

प्रश्न 3. निम्नलिखित को घातांकीय रूप में लिखिए-
(i) \( a \times a \times a \times \ldots \ldots n \) बार \( = a^n \)
(ii) \( b \times b \times b \times b \times \ldots \ldots \) बार \( = b^n \)
(iii) \( 3 \times 3 \times 4 \times 4 \times a \times a = 144a^2 \)
(iv) \( a \times s \times t \times t = ast^2 \)
Answer: हम इन व्यंजकों को घातांकीय रूप में लिखेंगे:
(i) जब \( a \) को \( n \) बार गुणा किया जाता है, तो इसे \( a^n \) के रूप में लिखा जाता है।
(ii) जब \( b \) को कई बार गुणा किया जाता है, तो इसे \( b^n \) के रूप में लिखा जाता है।
(iii) \( 3 \times 3 \times 4 \times 4 \times a \times a \) को \( (3^2) \times (4^2) \times (a^2) = 9 \times 16 \times a^2 = 144a^2 \) के रूप में सरल किया जाता है।
(iv) \( a \times s \times t \times t \) को \( a \times s \times t^2 = ast^2 \) के रूप में सरल किया जाता है। घातांकीय संकेतन बार-बार गुणन को संक्षिप्त करने में सहायक होता है।
In simple words: जहाँ संख्या या चर बार-बार गुणा होता है, उसे आधार लिखते हैं और जितनी बार गुणा होता है उसे घात लिखते हैं।

🎯 Exam Tip: गुणनफल को घातांकीय रूप में बदलते समय, प्रत्येक अद्वितीय आधार की घात की पहचान करें और सभी गुणांकों को एक साथ गुणा करें।

 

प्रश्न 4. एक व्यक्ति की वर्तमान आय \( a \) रुपये है। उसकी आय प्रतिवर्ष \( b \) गुनी हो जाती है। तीन वर्ष बाद उसकी आय कितनी होगी?
Answer: एक व्यक्ति की वर्तमान आय \( a \) रुपये है।
पहले वर्ष के बाद आय \( = a \times b \)
दूसरे वर्ष के बाद आय \( = (a \times b) \times b = ab^2 \)
तीसरे वर्ष के बाद आय \( = (ab^2) \times b = ab^3 \) रुपये होगी। यह समय के साथ आय की वृद्धि को दर्शाता है।
In simple words: यदि वर्तमान आय \( a \) है और हर साल \( b \) गुना हो जाती है, तो तीन साल बाद आय \( ab^3 \) रुपये होगी।

🎯 Exam Tip: 'प्रतिवर्ष गुना होना' घातांकीय वृद्धि को दर्शाता है। प्रत्येक वर्ष के लिए गुणांक को उसकी घात के रूप में लिखें।

अभ्यास 5(d)

 

प्रश्न 1. निम्नलिखित कथनों में सत्य तथा असत्य कथन छाँटिए (अँटकर)-
(i) \( x \) अचर राशि है।
(ii) 5 एक अचर राशि है।
(iii) \( (x + 5) \) एक अचर राशि है।
(iv) \( x^5 \) अचर राशि है।
Answer: हमें प्रत्येक कथन के सत्य या असत्य होने की पहचान करनी है:
(i) \( x \) अचर राशि है। (असत्य) - \( x \) एक चर (variable) है, जिसका मान बदल सकता है।
(ii) 5 एक अचर राशि है। (सत्य) - 5 एक निश्चित संख्यात्मक मान है जो नहीं बदलता।
(iii) \( (x + 5) \) एक अचर राशि है। (असत्य) - क्योंकि \( x \) एक चर है, \( (x + 5) \) का मान भी \( x \) के मान पर निर्भर करेगा, जिससे यह एक चर व्यंजक बन जाता है।
(iv) \( x^5 \) अचर राशि है। (असत्य) - इसी प्रकार, \( x \) के चर होने के कारण, \( x^5 \) भी एक चर व्यंजक है। चर और अचर के बीच का अंतर समझना बीजगणित में महत्वपूर्ण है।
In simple words: अचर वे होते हैं जिनका मान निश्चित होता है (जैसे 5), जबकि चर वे होते हैं जिनका मान बदल सकता है (जैसे \( x \))।

🎯 Exam Tip: अचर (constant) का मान निश्चित होता है, जबकि चर (variable) का मान बदलता रहता है। चर वाले व्यंजक भी चर ही माने जाते हैं।

 

प्रश्न 2. निम्नलिखित कथनों में अचर लिखिए (लिखकर) –
(i) \( y = 4x \)
(ii) \( y = x + 7 \)
(iii) \( x + y = 3 \)
(iv) \( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \)
Answer: हम प्रत्येक समीकरण में अचर पदों की पहचान करेंगे:
(i) \( y = 4x \) में, चर \( x \) से गुणा की गई संख्या 4 है। तो, अचर 4 है।
(ii) \( y = x + 7 \) में, चर \( x \) में जोड़ी गई संख्या 7 है। तो, अचर 7 है।
(iii) \( x + y = 3 \) में, अकेला संख्यात्मक मान 3 है। तो, अचर 3 है।
(iv) \( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \) को \( \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = 1 \) के रूप में भी लिखा जा सकता है। यहाँ, \( \frac{1}{3} \) चर \( x \) का गुणांक है, \( \frac{1}{4} \) चर \( y \) का गुणांक है, और 1 एक स्वतंत्र अचर पद है। इसलिए, अचर \( \frac{1}{3} \), \( \frac{1}{4} \), और 1 हैं। अचर समीकरण के निश्चित भाग होते हैं।
In simple words: अचर वे संख्याएँ होती हैं जो किसी चर से गुणा या भाग नहीं होतीं या जो अपने आप में एक निश्चित मान होती हैं।

🎯 Exam Tip: समीकरणों में अचर या तो स्वतंत्र संख्यात्मक पद होते हैं या वे गुणांक होते हैं जो चरों को गुणा करते हैं।

दक्षता अभ्यास - 5

 

प्रश्न 1. निम्नलिखित गणितीय कथनों पर ध्यान दीजिए तथा अपनी अभ्यास पुस्तिका में बॉक्स के स्थान पर अक्षर संख्याओं के लिए संख्या लिखिए-
(i) \( 6 + 4 = x \)
(ii) \( 3 \times 9 = y \)
(iii) \( 6 - 2 = a \)
(iv) \( b \div 2 = 5 \)
Answer: हमें दिए गए गणितीय कथनों में प्रत्येक चर (अक्षर संख्या) के मान का पता लगाना है:
(i) \( 6 + 4 = x \). क्योंकि \( 6 + 4 = 10 \), तो \( x \) का मान 10 है।
(ii) \( 3 \times 9 = y \). क्योंकि \( 3 \times 9 = 27 \), तो \( y \) का मान 27 है।
(iii) \( 6 - 2 = a \). क्योंकि \( 6 - 2 = 4 \), तो \( a \) का मान 4 है।
(iv) \( b \div 2 = 5 \). \( b \) का मान ज्ञात करने के लिए, हम 5 को 2 से गुणा करेंगे, तो \( b = 5 \times 2 = 10 \). ये चर इन सरल समीकरणों में विशिष्ट संख्याओं के लिए स्थानधारक का काम करते हैं।
In simple words: हम दिए गए समीकरणों को हल करके अक्षर संख्याओं (चरों) का मान ज्ञात करेंगे।

🎯 Exam Tip: समीकरणों में अज्ञात मानों (चरों) को ज्ञात करने के लिए, गणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) के नियमों का सही ढंग से पालन करें।

 

प्रश्न 2. ज्ञात कीजिए (ज्ञात करके)-
(i) 10 में से \( x \) घटाने पर प्राप्त संख्या
(ii) \( 2x \) और \( 3y \) को जोड़ने पर प्राप्त संख्या
(iii) \( y \) की 6 गुनी संख्या
(iv) \( a \) में 3 का भाग देने पर प्राप्त संख्या
Answer: हम इन मौखिक कथनों को बीजगणितीय रूप में व्यक्त करेंगे:
(i) 10 में से \( x \) घटाने पर प्राप्त संख्या \( = 10 - x \)
(ii) \( 2x \) और \( 3y \) को जोड़ने पर प्राप्त संख्या \( = 2x + 3y \). ये असमान पद हैं, इसलिए इन्हें और आगे नहीं जोड़ा जा सकता।
(iii) \( y \) की 6 गुनी संख्या \( = y \times 6 = 6y \)
(iv) \( a \) में 3 का भाग देने पर प्राप्त संख्या \( = \frac{a}{3} \). बीजगणितीय व्यंजक गणितीय संबंधों को संक्षेप में दर्शाते हैं।
In simple words: हम दी गई स्थितियों को बीजगणितीय रूप में लिखेंगे, जैसे घटाना, जोड़ना, गुणा करना और भाग देना।

🎯 Exam Tip: 'में से घटाना', 'और जोड़ना', 'की गुनी' और 'में भाग देना' जैसे वाक्यांशों के लिए सही गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करें।

 

प्रश्न 3. यदि \( a = 5 \) तथा \( b = 9 \), तो निम्नांकित के मान ज्ञात कीजिए (ज्ञात करके)-
(i) \( a + 10 \)
(ii) \( b - 3 \)
(iii) \( a + b - 14 \)
(iv) \( a \times b \)
(v) \( 30 \div a \)
Answer: दिया गया है कि \( a = 5 \) और \( b = 9 \)। हम इन मानों को व्यंजकों में प्रतिस्थापित करके उनके परिणाम ज्ञात करेंगे:
(i) \( a + 10 = 5 + 10 = 15 \).
(ii) \( b - 3 = 9 - 3 = 6 \).
(iii) \( a + b - 14 = 5 + 9 - 14 = 14 - 14 = 0 \).
(iv) \( a \times b = 5 \times 9 = 45 \).
(v) \( 30 \div a = 30 \div 5 = 6 \). बीजगणितीय व्यंजकों में मानों को प्रतिस्थापित करना एक बुनियादी कौशल है।
In simple words: हमें \( a \) और \( b \) के दिए गए मानों को हर समीकरण में रखना है और फिर उन्हें हल करना है।

🎯 Exam Tip: मानों को प्रतिस्थापित करते समय, सुनिश्चित करें कि आप उन्हें सही चरों में डालें और फिर गणितीय संक्रियाओं के क्रम (BODMAS/PEMDAS) का पालन करें।

 

प्रश्न 4. विस्तृत रूप को घातांकीय रूप में लिखिए (लिखकर)-
(i) \( x \times x \times x \times x \times x \times x \times y \)
(ii) \( q \times q \times q \)
(iii) \( 2 \times y \times y \times y \)
(iv) \( 5 \times 5 \times 5 \times x \times x \times x \times y \times y \times y \)
(v) \( m \times m \times m \times m \)
Answer: हम दिए गए विस्तृत रूपों को घातांकीय संकेतन में लिखेंगे:
(i) \( x \times x \times x \times x \times x \times x \times y = x^6y \). यहाँ \( x \) 6 बार और \( y \) 1 बार गुणा हुआ है।
(ii) \( q \times q \times q = q^3 \). यहाँ \( q \) 3 बार गुणा हुआ है।
(iii) \( 2 \times y \times y \times y = 2y^3 \). यहाँ 2 गुणा हुआ है \( y \) से, जो 3 बार गुणा हुआ है।
(iv) \( 5 \times 5 \times 5 \times x \times x \times x \times y \times y \times y = 125x^3y^3 \). यहाँ 5, \( x \), और \( y \) तीनों 3-3 बार गुणा हुए हैं।
(v) \( m \times m \times m \times m = m^4 \). यहाँ \( m \) 4 बार गुणा हुआ है। घातांकीय रूप बार-बार गुणन को संक्षिप्त करने का एक कुशल तरीका है।
In simple words: आधार को कितनी बार गुणा किया गया है, उसे गिनकर घात के रूप में लिखो।

🎯 Exam Tip: घातांकीय रूप में लिखते समय, प्रत्येक चर की पुनरावृत्ति की संख्या को उसकी घात के रूप में दर्शाएँ। गुणांकों को अलग से गुणा करें।

 

प्रश्न 5. रिक्त स्थानों की पूर्ति अपनी अभ्यास पुस्तिका में कीजिए-
(i) \( 10 \times 10 \times 10 \times t \times t \times t \)
(ii) \( 4 \times 4 \times 4 \)
(iii) \( 6 \times p \times p \times q \times q \times q \)
(iv) \( s \times s \times s \times t \times t \)
Answer: हम रिक्त स्थानों की पूर्ति घातांकीय रूप में व्यंजकों को लिखकर करेंगे:
(i) \( 10 \times 10 \times 10 \times t \times t \times t = 10^3t^3 \). यहाँ 10 को 3 बार और \( t \) को 3 बार गुणा किया गया है।
(ii) \( 4 \times 4 \times 4 = 4^3 \). यहाँ 4 को 3 बार गुणा किया गया है।
(iii) \( 6 \times p \times p \times q \times q \times q = 6p^2q^3 \). यहाँ 6 एक बार, \( p \) 2 बार और \( q \) 3 बार गुणा हुए हैं।
(iv) \( s \times s \times s \times t \times t = s^3t^2 \). यहाँ \( s \) 3 बार और \( t \) 2 बार गुणा हुए हैं। रिक्त स्थान भरने के लिए घातांक के मूलभूत नियमों को समझना आवश्यक है।
In simple words: गुणा हो रही संख्या को आधार लिखें और जितनी बार गुणा हुई है उसे घात लिखें।

🎯 Exam Tip: रिक्त स्थानों की पूर्ति करते समय, सुनिश्चित करें कि प्रत्येक आधार के लिए सही घात का उपयोग किया गया है। गुणांकों को अलग से लिखें।

 

प्रश्न 6. अधोलिखित कथनों को देखकर उसमें चर और अचर छाँटिए (अँटकर)
(i) \( 5x^2y^2z^3 \)
(ii) \( 7x^2y^2 \)
(iii) \( m^4n^2 \)
(iv) \( a^3b^5 \)
Answer: हम प्रत्येक बीजगणितीय व्यंजक में चर और अचर की पहचान करेंगे:
(i) \( 5x^2y^2z^3 \) में, चर \( x, y, z \) हैं क्योंकि इनके मान बदल सकते हैं। अचर 5 है, जो एक निश्चित संख्यात्मक मान है।
(ii) \( 7x^2y^2 \) में, चर \( x, y \) हैं। अचर 7 है।
(iii) \( m^4n^2 \) में, चर \( m, n \) हैं। कोई स्पष्ट अचर गुणांक नहीं है, इसलिए हम इसे 1 मान सकते हैं।
(iv) \( a^3b^5 \) में, चर \( a, b \) हैं। कोई स्पष्ट अचर गुणांक नहीं है, इसलिए हम इसे 1 मान सकते हैं। चर बदलती हुई मात्राओं को दर्शाते हैं, जबकि अचर निश्चित मात्राओं को दर्शाते हैं।
In simple words: चर अक्षरों (जैसे \( x, y, z \)) से दिखाए जाते हैं जिनके मान बदल सकते हैं, जबकि अचर निश्चित संख्याएँ होती हैं (जैसे 5, 7)। अगर कोई संख्या नहीं दिखती, तो अचर 1 होता है।

🎯 Exam Tip: चर वे अक्षर होते हैं जिनके मान बदल सकते हैं (जैसे \( x, y, a, b, m, n \))। अचर वे संख्याएँ होती हैं जिनके मान निश्चित होते हैं (जैसे 5, 7)। यदि कोई संख्यात्मक गुणांक नहीं है, तो उसे 1 माना जाता है।