UP Board Solutions Class 6 Maths Chapter 3 Poornank

अभ्यास 3(A)

प्रश्न 1. निम्नांकित सारणियों में रिक्त स्थानों की पूर्ति के लिए सारणी के नीचे चार विकल्प दिए गए हैं। जिसमें से केवल एक ही सही है। सही विकल्प चुनकर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-
Answer:

🎯 Exam Tip: सारणी के पैटर्न को ध्यान से देखें और समझें कि संख्याएँ किस क्रम में बदल रही हैं।

प्रश्न 2.
Answer:

🎯 Exam Tip: सारणी के पैटर्न को समझने के लिए, संख्याओं के बीच के अंतर या संबंध को देखें।

प्रश्न 3. निम्नलिखित को पूर्णांक के रूप में लिखिए। पूर्व को धन दिशा तथा समुद्र तल से ऊँचाई को धन दिशा मानिए (लिखकर) –
(i) शून्य से नीचे 4° सेल्सियस का तापक्रम
(ii) 7 कदम पूर्व
(iii) Rs 3.28 रुपये की हानि
(iv) 18 मी पश्चिम का विस्थापन
(v) समुद्र तल से 1,000 मीटर ऊँचाई
Answer:
(i) -4°C
(ii) +7
(iii) -Rs 3.28
(iv) -18 मी
(v) +1000 मी
In simple words: जब दिशा दी गई हो, तो पूर्व या ऊँचाई जैसी दिशाओं के लिए धनात्मक पूर्णांक का उपयोग करें, और पश्चिम या नीचे जैसी दिशाओं के लिए ऋणात्मक पूर्णांक का उपयोग करें। नुकसान को ऋणात्मक संख्या से दिखाया जाता है।

🎯 Exam Tip: धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों का सही उपयोग करें। पूर्व और ऊपर के लिए '+' चिह्न, जबकि पश्चिम और नीचे के लिए '-' चिह्न का प्रयोग करें। हानि भी ऋणात्मक मानी जाती है।

प्रश्न 4. निम्नलिखित को पूर्णांकों के योगात्मक प्रतिलोम लिखिए (लिखकर) –
(i) +9 का योगात्मक प्रतिलोम
(ii) -21 का योगात्मक प्रतिलोम
(iii) +39 का योगात्मक प्रतिलोम
(iv) -41 का योगात्मक प्रतिलोम
(v) +91 का योगात्मक प्रतिलोम
Answer:
(i) -9
(ii) +21
(iii) -39
(iv) +41
(v) -91
In simple words: किसी भी पूर्णांक का योगात्मक प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे मूल संख्या में जोड़ने पर शून्य (0) प्राप्त होता है। बस संख्या का चिह्न बदल दें।

🎯 Exam Tip: योगात्मक प्रतिलोम का अर्थ है संख्या का विपरीत चिह्न। यदि संख्या धनात्मक है, तो उसका योगात्मक प्रतिलोम ऋणात्मक होगा, और यदि ऋणात्मक है, तो धनात्मक होगा।

प्रश्न 5. संख्या-रेखा खीचिए। उस पर निम्नांकित पूर्णांकों को प्रदर्शित कीजिए
(क) +4
(ख) -9
(ग) +7
(घ) -3
(ङ) -6
Answer: दी गई संख्याओं को संख्या रेखा पर प्रदर्शित करने के लिए एक सीधी रेखा खींचते हैं, उसके बीच में शून्य (0) लिखते हैं। शून्य के दाईं ओर धनात्मक पूर्णांक (+1, +2, +3...) और बाईं ओर ऋणात्मक पूर्णांक (-1, -2, -3...) समान दूरी पर लिखते हैं। फिर दिए गए पूर्णांकों को उस रेखा पर चिह्नित करते हैं।
In simple words: संख्या रेखा पर संख्याओं को दिखाने के लिए, एक सीधी लाइन बनाएं, बीच में 0 लिखें, और फिर +4, -9, +7, -3, -6 जैसे अंकों को उनकी सही जगह पर निशान लगाकर दिखाएं।

🎯 Exam Tip: संख्या रेखा पर पूर्णांकों को प्रदर्शित करते समय, सुनिश्चित करें कि सभी संख्याएँ एक-दूसरे से समान दूरी पर हों और शून्य की स्थिति सही हो।

प्रश्न 6. पूर्णांकों को ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा पर भी दिखा सकते हैं। जिस पर ऊपर की दिशा को धनात्मक तथा नीचे की दिशा को ऋणात्मक माना जाता है। पाश्र्वांकित संख्या रेखा देखिए और निम्नांकित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
(क) A बिन्दु +7 है। कौन-सा बिन्दु -7 है?
(ख) बिन्दु B किस पूर्णांक को निरूपित करता है?
(ग) बिन्दु B का विपरीत बिन्दु बताइए ।
(घ) बिन्दु D, K और L से निरूपित पूर्णांक लिखिए।
(ङ) बिन्दुओं D, K और L के विपरीतों को बताइए।
Answer:
(क) E बिन्दु -7 है।
(ख) बिन्दु B पूर्णांक -3 को निरूपित करता है।
(ग) बिन्दु B का विपरीत बिन्दु +3 (अर्थात् C) है।
(घ) बिन्दु D, K और L से निरूपित पूर्णांक क्रमशः +5, -5 तथा +6 हैं।
(ङ) बिन्दुओं D, K और L के विपरीत क्रमशः K, D तथा M हैं (अर्थात् +5 का विपरीत -5 (K), -5 का विपरीत +5 (D), और +6 का विपरीत -6 (M) है)।
In simple words: ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा पर ऊपर की ओर धनात्मक संख्याएँ होती हैं और नीचे की ओर ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं। किसी बिन्दु का विपरीत वह बिन्दु होता है जिसकी संख्या का चिह्न उल्टा हो।

🎯 Exam Tip: ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा पर भी, क्षैतिज संख्या रेखा की तरह ही, ऊपर को धन और नीचे को ऋण मानकर संख्याओं को चिह्नित करें। विपरीत बिन्दु का अर्थ केवल चिह्न बदलना है।

प्रश्न 7. निम्नांकित के बीच के सभी पूर्णांक लिखिए ।
(क) -2 और +3
(ख) 0 और 6
(ग) -4 और 4
(घ) -5 और +2
(ङ) -3 और +5
(च) -8 और 4
Answer:
(क) -2 और +3 के बीच के पूर्णांक = -1, 0, +1, +2
(ख) 0 और 6 के बीच के पूर्णांक = +1, +2, +3, +4, +5
(ग) -4 और 4 के बीच के पूर्णांक = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3
(घ) -5 और +2 के बीच के पूर्णांक = -4, -3, -2, -1, 0, +1
(ङ) -3 और +5 के बीच के पूर्णांक = -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4
(च) -8 और +4 के बीच के पूर्णांक = -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3
In simple words: दो संख्याओं के बीच के पूर्णांक लिखने का मतलब है कि वे संख्याएँ जो उन दोनों संख्याओं से बड़ी हों लेकिन दूसरी संख्या से छोटी हों।

🎯 Exam Tip: पूर्णांकों को सूचीबद्ध करते समय, दी गई प्रारंभिक और अंतिम संख्या को शामिल न करें, केवल उनके बीच की संख्याओं को शामिल करें। हमेशा संख्याओं को आरोही क्रम में लिखें।

प्रश्न 8. निम्नांकित पूर्णांकों के जोड़े के बीच के पूर्णाकों को आरोही (बढ़ते हुए) क्रम में लिखिए।
(क) 2, 5
(ख) -4, 0
(ग) 3,8
(घ) 0, 4
(ङ) -5, -2
(च) -1, 4
Answer:
(क) 2 और 5 के बीच के पूर्णांक = 3, 4
(ख) -4 और 0 के बीच के पूर्णांक = -3, -2, -1
(ग) 3 और 8 के बीच के पूर्णांक = 4, 5, 6, 7
(घ) 0 और 4 के बीच के पूर्णांक = 1, 2, 3
(ङ) -5 और -2 के बीच के पूर्णांक = -4, -3
(च) -1 और 4 के बीच के पूर्णांक = 0, 1, 2, 3
In simple words: आरोही क्रम में पूर्णांकों को लिखने का मतलब है उन्हें सबसे छोटी संख्या से सबसे बड़ी संख्या तक क्रमबद्ध करना।

🎯 Exam Tip: दो संख्याओं के बीच के पूर्णांक लिखते समय, छोटी संख्या से शुरू करें और बड़ी संख्या तक पहुँचने तक एक-एक करके आगे बढ़ें, लेकिन अंतिम संख्या को शामिल न करें।

प्रश्न 9. निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।
(क) |-13|
(ख) |12|
(ग) |-37|
(घ) |0|
(ङ) |47|
(च) |101|
Answer:
(क) 13
(ख) 12
(ग) 37
(घ) 0
(ङ) 47
(च) 101
In simple words: किसी भी संख्या का निरपेक्ष मान (absolute value) हमेशा एक धनात्मक संख्या होती है, चाहे मूल संख्या धनात्मक हो या ऋणात्मक। यह संख्या-रेखा पर शून्य से उसकी दूरी को दर्शाता है।

🎯 Exam Tip: निरपेक्ष मान ज्ञात करते समय, संख्या का चिह्न हटा दें; उदाहरण के लिए, \( |-5| \) का मान 5 है और \( |5| \) का मान भी 5 है। शून्य का निरपेक्ष मान शून्य ही होता है।

प्रश्न 10. अपनी अभ्यास पुस्तिका में सत्य या असत्य कथन की पहचान कर लिखिए (सत्य-असत्य की पहचान करके)-
(क) सबसे छोटा पूर्णांक शून्य है।
(ख) शून्य का विपरीत नहीं होता है।
(ग) -17 > -5
(घ) एक धनात्मक पूर्णांक अपने योगात्मक प्रतिलोम से बड़ा होता है।
(ङ) एक ऋणात्मक पूर्णांक अपने योगात्मक प्रतिलोम से बड़ा होता है।
(च) शून्य का योगात्मक प्रतिलोम शून्य है।
Answer:
(क) असत्य (सबसे छोटा पूर्णांक परिभाषित नहीं किया जा सकता, क्योंकि ऋणात्मक पूर्णांक अनंत तक जाते हैं।)
(ख) सत्य
(ग) असत्य (क्योंकि -17, -5 से छोटा है।)
(घ) सत्य
(ङ) असत्य (एक ऋणात्मक पूर्णांक अपने धनात्मक योगात्मक प्रतिलोम से छोटा होता है।)
(च) सत्य
In simple words: सत्य-असत्य कथनों को तय करने के लिए पूर्णांकों के नियमों और उनकी संख्या रेखा पर स्थिति को याद रखें।

🎯 Exam Tip: पूर्णांकों की तुलना करते समय, संख्या रेखा का उपयोग करें: बाईं ओर की संख्याएँ छोटी होती हैं, और दाईं ओर की संख्याएँ बड़ी होती हैं। योगात्मक प्रतिलोम और सबसे छोटे/सबसे बड़े पूर्णांक की परिभाषाओं को याद रखें।

अभ्यास 3(B)

प्रश्न 1. निम्नांकित प्रश्नों (1-2) में केन्द्रीय खाने की संख्या उसके चारों ओर के पटलों पर अंकित संख्याओं से किसी प्रकार सम्बन्धित है। प्रश्न चिह्न (?) वाली संख्या ज्ञात कीजिए-
(क)

(i) -2
(ii) 2
(iii) 3
(iv) -3
Answer: (i) -2
In simple words: इस प्रकार के पहेली वाले प्रश्नों में, संख्याओं के बीच छिपे हुए संबंध या पैटर्न को ढूँढें। यह जोड़, घटाव, गुणा, भाग या इनका कोई संयोजन हो सकता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए, सभी संख्याओं के बीच के गणितीय संबंध को खोजने का प्रयास करें। अक्सर, आस-पास की संख्याओं का योग या गुणा केंद्रीय संख्या के बराबर होता है।

प्रश्न 2. (क)

(i) -5
(ii) 5
(iii) 6
(iv) -6
Answer: (ii) 5
In simple words: यहाँ भी, केंद्रीय संख्या और उसके आसपास की संख्याओं के बीच के संबंध को समझकर अज्ञात संख्या का पता लगाएं।

🎯 Exam Tip: जब कोई पैटर्न स्पष्ट न हो, तो विभिन्न गणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) के संयोजन का प्रयास करें।

प्रश्न 3. अपनी अभ्यास पुस्तिका में खाली जगह भरिए (भरकर) –
(क) दो पूर्णांकों का योगफल सदैव ______ होता है।
(ख) दो धन पूर्णांकों का योगफल ______ पूर्णांक होता है।
(ग) दो ऋण पूर्णांकों का योगफल ______ पूर्णांक होता है।
Answer:
(क) दो पूर्णांकों का योगफल सदैव **पूर्णांक** होता है।
(ख) दो धन पूर्णांकों का योगफल **धन** पूर्णांक होता है।
(ग) दो ऋण पूर्णांकों का योगफल **ऋण** पूर्णांक होता है।
In simple words: पूर्णांक वे संख्याएँ होती हैं जिनमें धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य शामिल होते हैं। जब आप दो पूर्णांकों को जोड़ते हैं, तो उत्तर हमेशा एक पूर्णांक ही होता है।

🎯 Exam Tip: पूर्णांकों के गुणों को याद रखें, जैसे कि पूर्णांकों का योग हमेशा पूर्णांक होता है, धनात्मक पूर्णांकों का योग धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों का योग ऋणात्मक होता है।

प्रश्न 4. सत्य अथवा असत्य बताइए (सत्य-असत्य बताकर)
(क) किसी पूर्णांक तथा इसके योगात्मक प्रतिलोम का योगफल शून्य होता है।
(ख) शून्य ऋण पूर्णाक है।
(ग) दो ऋण पूर्णांकों का योगफल धन पूर्णांक होता है।
(घ) किसी पूर्णांक और शून्य का योगफल उस पूर्णांक के बराबर होता है।
(ङ) एक ऋण और एक धन पूर्णांक को योगफल सदैव धन पूर्णांक होता है।
(च) संख्या रेखा पर -18 और + 18 शून्य से समान दूरी पर हैं।
(ज) दो धन पूर्णांकों का योगफल सदैव धन पूर्णांक होता हैं।
Answer:
(क) सत्य
(ख) असत्य (शून्य न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक पूर्णांक है।)
(ग) असत्य (दो ऋण पूर्णांकों का योगफल हमेशा एक ऋण पूर्णांक होता है।)
(घ) सत्य
(ङ) असत्य (योगफल धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है, यह संख्याओं के मान पर निर्भर करता है।)
(च) सत्य
(ज) सत्य
In simple words: गणित के नियमों और पूर्णांकों के व्यवहार को ध्यान में रखकर इन कथनों की सच्चाई जाँचें।

🎯 Exam Tip: पूर्णांकों के जोड़, घटाव और तुलना के नियमों को अच्छी तरह से समझें। शून्य की विशेष स्थिति को याद रखें कि यह न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।

अभ्यास 3(C)

प्रश्न 1. प्रश्नवाचक चिह्न (?) के स्थान पर कौन-सी संख्या होगी?

Answer: प्रश्नवाचक चिह्न के स्थान पर संख्या 54 होगी।
In simple words: दी गई संख्या पहेली में, बाहरी संख्याओं को जोड़कर केंद्रीय संख्या के साथ एक विशिष्ट पैटर्न बनता है, और इस पैटर्न का पालन करते हुए प्रश्न चिह्न की संख्या 54 है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सभी ज्ञात संख्याओं के बीच संबंध को समझने का प्रयास करें। अक्सर एक निश्चित नियम या सूत्र होता है जो सभी संख्याओं पर लागू होता है।

प्रश्न 2. प्रत्येक पूर्णांक का पूर्ववर्ती ज्ञात कीजिए (ज्ञात करके) –
(i) 6
(ii) -4
(iii) -19
(iv) -996
(v) 0
Answer:
(i) 6 की पूर्ववर्ती संख्या = 5
(ii) -4 की पूर्ववर्ती संख्या = -5
(iii) -19 की पूर्ववर्ती संख्या = -20
(iv) -996 की पूर्ववर्ती संख्या = -997
(v) 0 की पूर्ववर्ती संख्या = -1
In simple words: पूर्ववर्ती संख्या का मतलब है दी गई संख्या से ठीक एक कम संख्या। इसे ज्ञात करने के लिए संख्या में से 1 घटा दें।

🎯 Exam Tip: किसी भी पूर्णांक का पूर्ववर्ती ज्ञात करने के लिए, उस पूर्णांक में से 1 घटा दें। धनात्मक पूर्णांक के लिए संख्या छोटी हो जाती है, और ऋणात्मक पूर्णांक के लिए संख्या और अधिक ऋणात्मक हो जाती है।

प्रश्न 3. अपनी अभ्यास पुस्तिका में खाली स्थान में > अथवा < भरिए (भरकर) -
(क) (-3)+(-6) _____ (-3)-(-6)
(ख) (-21) - (-21) _____ (-21)+(-27)
(ग) (-27)-(+27) _____ 27-(+45)
Answer:
(क) (-3)+(-6) < (-3)-(-6)
\( -9 < 3 \)
(ख) (-21) - (-21) > (-21)+(-27)
\( 0 > -48 \)
(ग) (-27)-(+27) < 27-(+45)
\( -54 < -18 \)
In simple words: संख्याओं की तुलना करते समय, पहले दोनों तरफ की गणितीय क्रियाओं को हल करें, फिर परिणामी संख्याओं की तुलना करें।

🎯 Exam Tip: पूर्णांकों की तुलना करते समय, ऋणात्मक संख्याओं के लिए ध्यान रखें कि संख्या रेखा पर बाईं ओर की संख्याएँ छोटी होती हैं। पहले प्रत्येक तरफ के मान की गणना करें, फिर तुलना करें।

प्रश्न 4. निम्न सारणी में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:

🎯 Exam Tip: सारणी में पैटर्न को खोजने के लिए, संख्याओं के बीच जोड़, घटाव, गुणा या भाग के संबंधों का परीक्षण करें। अक्सर यह एक रैखिक संबंध होता है (जैसे \( ax+b \))।

प्रश्न 5. प्रत्येक पूर्णांक का उत्तरवर्ती ज्ञात कीजिए (ज्ञात करके) –
(i) 7
(ii) -5
(iii) -20
(iv) -997
(v) 0
Answer:
(i) 7 की उत्तरवर्ती संख्या = 8
(ii) -5 की उत्तरवर्ती संख्या = -4
(iii) -20 की उत्तरवर्ती संख्या = -19
(iv) -997 की उत्तरवर्ती संख्या = -996
(v) 0 की उत्तरवर्ती संख्या = 1
In simple words: उत्तरवर्ती संख्या का मतलब है दी गई संख्या से ठीक एक अधिक संख्या। इसे ज्ञात करने के लिए संख्या में 1 जोड़ दें।

🎯 Exam Tip: किसी भी पूर्णांक का उत्तरवर्ती ज्ञात करने के लिए, उस पूर्णांक में 1 जोड़ दें। धनात्मक पूर्णांक के लिए संख्या बड़ी हो जाती है, और ऋणात्मक पूर्णांक के लिए संख्या शून्य के करीब आती है।

प्रश्न 6. किसी स्थान पर 12 बजे दोपहर तापमान शून्य से 19° सेल्सियस अधिक था तथा अर्द्धरात्रि को तापमान 0° से 2° सेल्सियस कम हो गया था। तापमान में परिवर्तन ज्ञात कीजिए ।
Answer: दोपहर 12 बजे का तापमान \( = +19^\circ\text{C} \)। अर्द्धरात्रि का तापमान \( = -2^\circ\text{C} \)।
तापमान में परिवर्तन ज्ञात करने के लिए, हम अर्द्धरात्रि के तापमान में से दोपहर के तापमान को घटाते हैं।
तापमान में परिवर्तन \( = (-2^\circ\text{C}) - (+19^\circ\text{C}) \)
\( = -2^\circ\text{C} - 19^\circ\text{C} \)
\( = -21^\circ\text{C} \)
In simple words: तापमान में बदलाव का मतलब है बाद वाले तापमान में से पहले वाले तापमान को घटाना। अगर तापमान घट रहा है, तो उत्तर ऋणात्मक होगा।

🎯 Exam Tip: तापमान परिवर्तन की गणना करते समय, हमेशा अंतिम तापमान में से प्रारंभिक तापमान घटाएँ। "कम" या "नीचे" के लिए ऋणात्मक चिह्न का प्रयोग करें, और "अधिक" या "ऊपर" के लिए धनात्मक चिह्न का प्रयोग करें।

प्रश्न 7. प्लेटो का जन्म 429 ईसा पूर्व में हुआ था और 348 ईसा पूर्व में दिवंगत हुए। वे कितने वर्षों तक जीवित रहे?
Answer: प्लेटो का जन्म 429 ईसा पूर्व में हुआ था, जिसे \( -429 \) ईसवी के रूप में दर्शाया जा सकता है।
प्लेटो 348 ईसा पूर्व में दिवंगत हुए, जिसे \( -348 \) ईसवी के रूप में दर्शाया जा सकता है।
उनके जीवित रहने की अवधि ज्ञात करने के लिए, हम उनके दिवंगत होने के वर्ष में से जन्म के वर्ष को घटाते हैं।
जीवित रहने की अवधि \( = (-348) - (-429) \)
\( = -348 + 429 \)
\( = 81 \) वर्ष
In simple words: ईसा पूर्व की तारीखों को ऋणात्मक संख्याओं की तरह माना जा सकता है। जीवित रहने की अवधि निकालने के लिए, मृत्यु के वर्ष में से जन्म का वर्ष घटा दें।

🎯 Exam Tip: ईसा पूर्व (BC) की घटनाओं को ऋणात्मक पूर्णांकों के रूप में सोचें। समय अवधि या अंतर ज्ञात करने के लिए, हमेशा बाद के समय बिंदु से पहले के समय बिंदु को घटाएँ।

प्रश्न 8. समुद्र तल से अधिकतम गहराई वाला बिन्दु 11600 मीटर नीचे है। अधिकतम ऊँचाई की पर्वत चोटी समुद्र तट से 8846 मीटर ऊँची है। गहराई वाले बिन्दु से चोटी की ऊँचाई बताइए ।
Answer: समुद्र तल से अधिकतम गहराई वाला बिन्दु \( = -11600 \) मी (नीचे होने के कारण ऋणात्मक)।
समुद्र तल से अधिकतम ऊँचाई की पर्वत चोटी \( = +8846 \) मी (ऊपर होने के कारण धनात्मक)।
गहराई वाले बिन्दु से चोटी की कुल ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हमें इन दोनों मानों को जोड़ना होगा क्योंकि वे विपरीत दिशाओं में हैं।
कुल ऊँचाई \( = 8846 \) मी \( + 11600 \) मी
\( = 20446 \) मी
In simple words: जब एक बिन्दु समुद्र तल से नीचे हो और दूसरा ऊपर, तो दोनों के बीच की कुल दूरी जानने के लिए उनकी दूरियों को आपस में जोड़ देते हैं।

🎯 Exam Tip: जब कोई वस्तु एक संदर्भ बिंदु से विपरीत दिशाओं में हो (जैसे समुद्र तल से ऊपर और नीचे), तो उनके बीच की कुल दूरी ज्ञात करने के लिए दोनों दूरियों को जोड़ा जाता है।

अभ्यास 3(D)

प्रश्न 1. निम्न सारणी में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:

🎯 Exam Tip: सारणी के पैटर्न को खोजने के लिए, ऊपर और नीचे की संख्याओं के बीच गुणा, भाग या किसी अन्य गणितीय संबंध का पता लगाएँ। नियम एक निश्चित क्रम में लागू होता है।

प्रश्न 2. निम्नांकित के मान ज्ञात कीजिए (ज्ञात करके)-
(क) \( 8 \times (4) \times (-5) \)
(ख) \( (-10) \times (-10) \times (-10) \)
(ग) \( (-2) \times 35 \times (-5) \)
(घ) \( (-8) \times (+57) \times 0 \)
(ङ) \( (-1) \times (-2) \times (-3) \times (4) \)
(च) \( (4) \times (8) \times (-12) \times (-5) \)
Answer:
(क) \( 8 \times 4 \times (-5) = 32 \times (-5) = -160 \)
(ख) \( (-10) \times (-10) \times (-10) = (100) \times (-10) = -1000 \)
(ग) \( (-2) \times 35 \times (-5) = -70 \times (-5) = 350 \)
(घ) \( (-8) \times (+57) \times 0 = 0 \) (किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर शून्य ही आता है।)
(ङ) \( (-1) \times (-2) \times (-3) \times (4) = 2 \times (-12) = -24 \)
(च) \( (4) \times (8) \times (-12) \times (-5) = 32 \times 60 = 1920 \)
In simple words: पूर्णांकों को गुणा करते समय, पहले संख्याओं को गुणा करें, फिर ऋणात्मक चिह्नों की संख्या गिनें। यदि ऋणात्मक चिह्नों की संख्या सम है, तो उत्तर धनात्मक होगा; यदि विषम है, तो उत्तर ऋणात्मक होगा। शून्य से गुणा करने पर हमेशा शून्य मिलता है।

🎯 Exam Tip: गुणा करते समय, ऋणात्मक चिह्नों की संख्या पर ध्यान दें। यदि ऋणात्मक चिह्नों की संख्या सम हो तो गुणनफल धनात्मक होगा, और यदि विषम हो तो ऋणात्मक होगा। याद रखें, किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर हमेशा शून्य प्राप्त होता है।

प्रश्न 3. निम्नांकित के मान ज्ञात कीजिए-
(क) \( (-7) \times (0) \times (-57) \times (-57) \)
(ख) \( 1456 \times 625 - 456 \times 625 \)
(ग) \( (-187) \times (-54) + (-187) \times (46) \)
(घ) \( 18764 \times 99 - (-18764) \)
(ङ) \( 15341 \times (-2) + (-15341) \times 98 \)
(च) \( (-8) \times \{10 - 5 - 43 + 98\} \)
Answer:
(क) \( (-7) \times (0) \times (-57) \times (-57) = 0 \)
(क्योंकि किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य होता है।)
(ख) \( 1456 \times 625 - 456 \times 625 \)
\( = 625 \times (1456 - 456) \)
\( = 625 \times 1000 \)
\( = 625000 \)
(ग) \( (-187) \times (-54) + (-187) \times (46) \)
\( = -187 \times [(-54) + (46)] \)
\( = -187 \times (-8) \)
\( = 1496 \)
(घ) \( 18764 \times 99 - (-18764) \)
\( = 18764 \times 99 + 18764 \times 1 \)
\( = 18764 \times (99 + 1) \)
\( = 18764 \times 100 \)
\( = 1876400 \)
(ङ) \( 15341 \times (-2) + (-15341) \times 98 \)
\( = 15341 \times (-2) - 15341 \times 98 \)
\( = 15341 \times (-2 - 98) \)
\( = 15341 \times (-100) \)
\( = -1534100 \)
(च) \( (-8) \times \{10 - 5 - 43 + 98\} \)
\( = (-8) \times \{5 - 43 + 98\} \)
\( = (-8) \times \{-38 + 98\} \)
\( = (-8) \times 60 \)
\( = -480 \)
In simple words: गणितीय संक्रियाओं के क्रम (BODMAS/PEMDAS) का पालन करें और कोष्ठकों को पहले हल करें। साझा गुणनखंडों को बाहर निकालना गणना को आसान बना सकता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों को हल करते समय, गुणा करने से पहले कोष्ठकों को हल करने और वितरण नियम (distributive property) जैसे \( a \times b + a \times c = a \times (b+c) \) का उपयोग करने को प्राथमिकता दें। शून्य से गुणा करने का नियम याद रखें।

प्रश्न 5. उस पूर्णांक को ज्ञात कीजिए जिसका -1 से गुणनफल है-
(क) -37
(ख) 49
(ग) 0
Answer:
(क) यदि पूर्णांक को -1 से गुणा करने पर -37 प्राप्त होता है, तो वह पूर्णांक 37 है। (क्योंकि \( 37 \times (-1) = -37 \))
(ख) यदि पूर्णांक को -1 से गुणा करने पर 49 प्राप्त होता है, तो वह पूर्णांक -49 है। (क्योंकि \( -49 \times (-1) = 49 \))
(ग) यदि पूर्णांक को -1 से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है, तो वह पूर्णांक 0 है। (क्योंकि \( 0 \times (-1) = 0 \))
In simple words: यदि किसी संख्या को -1 से गुणा किया जाता है, तो उसका चिह्न बदल जाता है। धनात्मक संख्या ऋणात्मक हो जाती है और ऋणात्मक संख्या धनात्मक हो जाती है। शून्य अपरिवर्तित रहता है।

🎯 Exam Tip: किसी भी संख्या को -1 से गुणा करने पर उसका योगात्मक प्रतिलोम प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि संख्या का केवल चिह्न बदल जाता है, संख्या का मान वही रहता है।

प्रश्न 6. उत्तर के चार विकल्पों में से सही उत्तर बताइए-
(क) \( (3 + 2) \times 7 \) का मान है।
(i) \( 3 + 2 \times 7 \)
(ii) \( 3 \times 7 + 2 \)
(iii) \( 3 \times 7 + 2 \times 7 \)
(iv) \( 3 \times 7 - 2 \times 7 \)
Answer: (iii) \( 3 \times 7 + 2 \times 7 \)
In simple words: \( (3+2) \times 7 \) का मान ज्ञात करने के लिए, आप पहले कोष्ठक के अंदर का हल कर सकते हैं (\( 5 \times 7 = 35 \)), या वितरण नियम का उपयोग कर सकते हैं (\( (3 \times 7) + (2 \times 7) \))।

🎯 Exam Tip: वितरण नियम (Distributive Property) को याद रखें: \( a \times (b+c) = (a \times b) + (a \times c) \)। यह आपको कोष्ठक वाले गुणा को सरल बनाने में मदद करता है।

प्रश्न 6.
(ख) \( (3 - 2) \times 6 \) का मान है:
(i) \( 3 \times 6 - 2 \times 6 \)
(ii) \( 3 \times 6 - 2 \)
(iii) \( 3 \times 6 + 2 \times 6 \)
(iv) \( 3 \times 2 \times 6 \)
Answer: (i) \( 3 \times 6 - 2 \times 6 \)
In simple words: \( (3-2) \times 6 \) को हल करने के लिए, आप पहले कोष्ठक के अंदर का मान निकाल सकते हैं (\( 1 \times 6 = 6 \)), या वितरण नियम का उपयोग करके \( (3 \times 6) - (2 \times 6) \) लिख सकते हैं।

🎯 Exam Tip: वितरण नियम घटाव पर भी लागू होता है: \( a \times (b-c) = (a \times b) - (a \times c) \)। यह आपको जटिल गुणा को छोटे भागों में तोड़ने में मदद करता है।

प्रश्न 6.
(ग) \( (-8) \times (-5) \) का मान है।
(i) -40
(ii) 40
(iii) 13
(iv) उपर्युक्त में कोई नहीं।
Answer: (ii) 40
In simple words: जब दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो उत्तर हमेशा एक धनात्मक संख्या होता है।

🎯 Exam Tip: पूर्णांकों के गुणन के नियम याद रखें: (+) x (+) = (+), (-) x (-) = (+), (+) x (-) = (-), (-) x (+) = (-)।

प्रश्न 6.
(घ) तीन ऋणात्मक पूर्णांकों के गुणनफल में एक धनात्मक पूर्णांक से गुणा करने पर गुणनफल का चिहुन है-
(i) धनात्मक
(ii) न तो धनात्मक और न ऋणात्मक
(iii) ऋणात्मक
(iv) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
Answer: (iii) ऋणात्मक
In simple words: जब आप विषम संख्या में ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करते हैं, तो उत्तर ऋणात्मक होता है। जब आप सम संख्या में ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करते हैं, तो उत्तर धनात्मक होता है।

🎯 Exam Tip: गुणनफल का चिह्न निर्धारित करने के लिए, ऋणात्मक चिह्नों की कुल संख्या गिनें। यदि यह संख्या विषम है, तो गुणनफल ऋणात्मक होगा। यदि यह संख्या सम है, तो गुणनफल धनात्मक होगा।

प्रश्न 7. निम्नलिखित में सत्य या असत्य बताइए (सत्य-असत्य छाँटकर)-
(i) 5 ऋणात्मक पूर्णाकों का सतत गुणनफल धनात्मक होता है।
(ii) दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल धनात्मक होता है।
(iii) दो पूर्णांकों में यदि केवल एक ऋणात्मक है, तो उनको गुणनफल ऋणात्मक होता है।
(iv) -17 का विपरीत +17 है।
(v) किसी पूर्णांक का विपरीत ज्ञात करने के लिए उसमें शून्य से गुणा करते हैं।
(vi) 1 से किसी पूर्णाक में गुणा करने पर गुणनफल वही पूर्णांक होता है।
Answer:
(i) असत्य (पाँच ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल ऋणात्मक होगा, क्योंकि 5 एक विषम संख्या है।)
(ii) सत्य
(iii) सत्य
(iv) सत्य
(v) असत्य (किसी पूर्णांक का विपरीत ज्ञात करने के लिए उसे -1 से गुणा करते हैं, शून्य से नहीं।)
(vi) सत्य
In simple words: गुणनफल के चिह्न के नियमों और पूर्णांकों के अन्य गुणों को याद रखें। विपरीत संख्या का अर्थ है केवल चिह्न बदलना।

🎯 Exam Tip: गुणनफल का चिह्न तय करते समय, ऋणात्मक संख्याओं की संख्या देखें। विषम संख्या में ऋणात्मक संख्याएँ ऋणात्मक गुणनफल देती हैं, और सम संख्याएँ धनात्मक गुणनफल देती हैं।

अभ्यास 3(E)

प्रश्न 1. भागफल ज्ञात कीजिए-
(क) \( 21 \div (-3) \)
(ख) \( -36 \div 9 \)
(ग) \( (-18) \div (-6) \)
(घ) \( 35 \div (-7) \)
(ङ) \( 0 \div (-11) \)
(च) \( (-51) \div 17 \)
(छ) \( -15625 \div 125 \)
(ज) \( (-1728) \div 12 \)
(झ) \( 1051 \div (-1) \)
(ञ) \( (-729) \div (-9) \)
(ट) \( 17672 \div (-17672) \)
(ठ) \( 20000 \div (-1000) \)
Answer:
(क) \( 21 \div (-3) = -7 \)
(ख) \( -36 \div 9 = -4 \)
(ग) \( (-18) \div (-6) = 3 \)
(घ) \( 35 \div (-7) = -5 \)
(ङ) \( 0 \div (-11) = 0 \)
(च) \( (-51) \div 17 = -3 \)
(छ) \( -15625 \div 125 = -125 \)
(ज) \( (-1728) \div 12 = -144 \)
(झ) \( 1051 \div (-1) = -1051 \)
(ञ) \( (-729) \div (-9) = 81 \)
(ट) \( 17672 \div (-17672) = -1 \)
(ठ) \( 20000 \div (-1000) = -20 \)
In simple words: पूर्णांकों का भागफल ज्ञात करने के लिए, संख्याओं को सामान्य तरीके से विभाजित करें। यदि भाज्य और भाजक के चिह्न समान हैं, तो भागफल धनात्मक होगा; यदि चिह्न अलग-अलग हैं, तो भागफल ऋणात्मक होगा। शून्य को किसी भी गैर-शून्य संख्या से भाग देने पर शून्य ही मिलता है।

🎯 Exam Tip: भागफल के चिह्न के लिए वही नियम लागू होते हैं जो गुणनफल के लिए होते हैं। (+) \(\div\) (+) = (+), (-) \(\div\) (-) = (+), (+) \(\div\) (-) = (-), (-) \(\div\) (+) = (-)। याद रखें कि शून्य को किसी भी संख्या से भाग देने पर शून्य आता है।

प्रश्न 2. प्रश्नवाचक चिह्न के स्थान पर संख्या होगी।
(i) \( (18 - 3) + (9 \times 2) - 6 \)
(ii) \( (28 + 4) - (10 \times 5) + (42) \)
Answer:
(i) \( (18 - 3) + (9 \times 2) - 6 \)
\( = 15 + 18 - 6 \)
\( = 33 - 6 \)
\( = 27 \)
(ii) \( (28 + 4) - (10 \times 5) + (42) \)
\( = 32 - 50 + 42 \)
\( = -18 + 42 \)
\( = 24 \)
In simple words: किसी भी गणितीय व्यंजक को हल करने के लिए, हमेशा BODMAS या PEMDAS के नियमों का पालन करें: पहले कोष्ठक, फिर गुणा/भाग, और अंत में जोड़/घटाव।

🎯 Exam Tip: BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) नियम का सावधानीपूर्वक पालन करें। हमेशा कोष्ठक के अंदर की संक्रियाओं को पहले हल करें।

प्रश्न 3. स्तम्भ 'क' और 'ख' दिए गए हैं। स्तम्भ 'क' में अंकित भाग के प्रश्नों के उत्तरों स्तम्भ 'ख' में अव्यवस्थित क्रम में दिए गए हैं। अपनी अभ्यास-पुस्तिका में स्तम्भ 'क' के भाग के प्रश्न का स्तम्भ 'ख' में उसके उत्तर से मिलान कीजिए ।
Answer:
स्तम्भ 'क' से स्तम्भ 'ख' का सही मिलान इस प्रकार है:
1. \( 6 - 3 \) \( \implies \) 3
2. \( -12 \div 6 \) \( \implies \) -2
3. \( 18 - 6 \) \( \implies \) 12
4. \( -21 - 7 \) \( \implies \) -28
5. \( 24 \div 4 \) \( \implies \) 6
6. \( -25 - 5 \) \( \implies \) -30
7. \( -21 \div 3 \) \( \implies \) -7
8. \( 28 \div 7 \) \( \implies \) 4
In simple words: प्रत्येक प्रश्न का सही उत्तर खोजने के लिए, स्तम्भ 'क' में दी गई सभी गणनाएँ करें और फिर उन्हें स्तम्भ 'ख' के सही मान से मिलाएँ।

🎯 Exam Tip: मिलान वाले प्रश्नों में, प्रत्येक गणना को अलग से हल करें और फिर उसे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर के साथ मिलाएँ। चिह्नों का ध्यान रखें।

प्रश्न 4. प्रश्न के प्रत्येक खण्ड में उत्तर के चार विकल्प दिए गए हैं। इन उत्तरों में से केवल एक सही है। सही उत्तर अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखिए-
(क) \( -36 \div 9 \) का चिह्न है :
(i) धन
(ii) ऋण
(iii) न तो धन और न ऋण
(iv) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
Answer: (ii) ऋण
In simple words: जब आप एक ऋणात्मक संख्या को एक धनात्मक संख्या से भाग देते हैं, तो उत्तर हमेशा ऋणात्मक होता है।

🎯 Exam Tip: भागफल का चिह्न तय करते समय, यह देखें कि क्या भाज्य और भाजक के चिह्न समान हैं या भिन्न। यदि भिन्न हैं, तो भागफल ऋणात्मक होगा।

प्रश्न 4.
(ख) \( 27 \div (-3) \) का चिहून है :
(i) न तो धन और न ऋण
(ii) धन
(iii) ऋण
(iv) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
Answer: (iii) ऋण
In simple words: जब एक धनात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या से भाग दिया जाता है, तो भागफल का चिह्न ऋणात्मक होता है।

🎯 Exam Tip: भाग के चिह्न नियमों को याद रखें: यदि एक संख्या धनात्मक और दूसरी ऋणात्मक है, तो परिणाम हमेशा ऋणात्मक होता है।

प्रश्न 4.
(ग) \( -36 \div (4) \) का चिह्न है :
(i) धन
(ii) न तो धन और न ऋण
(iii) ऋण
(iv) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
Answer: (iii) ऋण
In simple words: एक ऋणात्मक संख्या को एक धनात्मक संख्या से विभाजित करने पर परिणाम हमेशा ऋणात्मक आता है।

🎯 Exam Tip: भागफल के चिह्न के लिए, याद रखें कि यदि चिह्नों में भिन्नता है (एक धनात्मक, एक ऋणात्मक), तो उत्तर हमेशा ऋणात्मक होगा।

प्रश्न 4.
(घ) \( 28 \div 7 \) के मान का चिहून है :
(i) ऋण
(ii) धन
(iii) न तो धन और न ऋण
(iv) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
Answer: (ii) धन
In simple words: जब आप एक धनात्मक संख्या को एक अन्य धनात्मक संख्या से भाग देते हैं, तो उत्तर हमेशा धनात्मक होता है।

🎯 Exam Tip: यदि भाज्य और भाजक दोनों धनात्मक हैं, तो भागफल भी हमेशा धनात्मक होगा।

अभ्यास 3(F)

प्रश्न 1. निम्नांकित का मान ज्ञात कीजिए-
(i) \( 21 + 18 \div 3 \)
(ii) \( 123 - 81 \div 9 \)
(iii) \( 13 - (8 \times 2) + 3 \)
(iv) \( 12 - (13 - 12 + 3) \)
(v) \( 28 - 5 \times 7 + 7 \)
(vi) \( 117 \div (7 + 6) \)
(vii) \( (-17) + 8 \div (7 - 3) \)
(viii) \( (-3) + (-6) \div (-3) \)
(ix) \( 17 + (-2) \times (-5) - 4 \)
(x) \( 13 \div 4 - 3 \)
(xi) \( (-36) \times (-1) + (-24) \div 6 \)
(xii) \( (-5) - (-45) \div (-15) + (-3) \times 5 \)
(xiii) \( 5 [18 + \{3 + 6 (5-3)\}] \)
(xiv) \( (12 - 5) \times [6 + \{3 + 8 - 2\}] \)
(xv) \( 16 + \{1 + (16 - 3) \times 4\} \)
(xvi) \( 3 - [3 - \{3 - (3 - 3 - 3)\}] \)
(xvii) \( 112 - [121 \div (11 \times 11) - (-4) - \{3 - 8 - 1\}] \)
(xviii) \( (-2) \{(-5) + (-25)\} \times (-7) - (4 - 6) (-5) \)
(xix) \( 15 - (-3) \{4 - 6 - 2\} \div 3 \{5 + (-3) \times (-6)\} \)
(xx) \( 4 \times [25 - 18 \div \{7 - 2 \times 3 - (13 - 4 - 3) + 5\}] \)
Answer:
(i) \( 21 + 18 \div 3 \)
\( = 21 + 6 \)
\( = 27 \)
(ii) \( 123 - 81 \div 9 \)
\( = 123 - 9 \)
\( = 114 \)
(iii) \( 13 - (8 \times 2) + 3 \)
\( = 13 - 16 + 3 \)
\( = -3 + 3 \)
\( = 0 \)
(iv) \( 12 - (13 - 12 + 3) \)
\( = 12 - (1 + 3) \)
\( = 12 - 4 \)
\( = 8 \)
(v) \( 28 - 5 \times 7 + 7 \)
\( = 28 - 35 + 7 \)
\( = -7 + 7 \)
\( = 0 \)
(vi) \( 117 \div (7 + 6) \)
\( = 117 \div 13 \)
\( = 9 \)
(vii) \( (-17) + 8 \div (7 - 3) \)
\( = -17 + 8 \div 4 \)
\( = -17 + 2 \)
\( = -15 \)
(viii) \( (-3) + (-6) \div (-3) \)
\( = -3 + 2 \)
\( = -1 \)
(ix) \( 17 + (-2) \times (-5) - 4 \)
\( = 17 + 10 - 4 \)
\( = 27 - 4 \)
\( = 23 \)
(x) \( 13 \div 4 - 3 \) (यह पूर्णांक नहीं है। संभवतः प्रश्न में त्रुटि है या दशमलव उत्तर अपेक्षित है। एक सटीक पूर्णांक उत्तर के लिए, इसे \( (13 \div 1) - 3 \) के रूप में भी समझा जा सकता है यदि 4 एक गलती थी।)
\( = \frac{13}{4} - 3 = 3.25 - 3 = 0.25 \)
यदि 4 की जगह 1 होता: \( 13 \div 1 - 3 = 13 - 3 = 10 \)
(गए स्रोत में \( 13 \div 4 - 3 = 13 + 1 = 13 \) दिया गया है, जो त्रुटिपूर्ण प्रतीत होता है। यदि \( 13 \div 1 + 3 \) माना जाए तो 16 होगा। यदि `4` की जगह `1` है और `+` की जगह `-` है, जैसा कि स्रोत के हल में \( 13 + 1 = 13 \) लिखा है, तो यह गणितीय रूप से असंगत है। यहाँ, BODMAS नियम का पालन किया गया है।)
(xi) \( (-36) \times (-1) + (-24) \div 6 \)
\( = 36 + (-4) \)
\( = 36 - 4 \)
\( = 32 \)
(xii) \( (-5) - (-45) \div (-15) + (-3) \times 5 \)
\( = -5 - (3) + (-15) \)
\( = -5 - 3 - 15 \)
\( = -8 - 15 \)
\( = -23 \)
(xiii) \( 5 [18 + \{3 + 6 (5-3)\}] \)
\( = 5 [18 + \{3 + 6 \times 2\}] \)
\( = 5 [18 + \{3 + 12\}] \)
\( = 5 [18 + 15] \)
\( = 5 \times 33 \)
\( = 165 \)
(xiv) \( (12 - 5) \times [6 + \{3 + 8 - 2\}] \)
\( = 7 \times [6 + \{11 - 2\}] \)
\( = 7 \times [6 + 9] \)
\( = 7 \times 15 \)
\( = 105 \)
(xv) \( 16 + \{1 + (16 - 3) \times 4\} \)
\( = 16 + \{1 + 13 \times 4\} \)
\( = 16 + \{1 + 52\} \)
\( = 16 + 53 \)
\( = 69 \)
(xvi) \( 3 - [3 - \{3 - (3 - 3 - 3)\}] \)
\( = 3 - [3 - \{3 - (0 - 3)\}] \)
\( = 3 - [3 - \{3 - (-3)\}] \)
\( = 3 - [3 - \{3 + 3\}] \)
\( = 3 - [3 - 6] \)
\( = 3 - (-3) \)
\( = 3 + 3 \)
\( = 6 \)
(xvii) \( 112 - [121 \div (11 \times 11) - (-4) - \{3 - 8 - 1\}] \)
\( = 112 - [121 \div 121 - (-4) - \{ -6 \}] \)
\( = 112 - [1 - (-4) - (-6)] \)
\( = 112 - [1 + 4 + 6] \)
\( = 112 - 11 \)
\( = 101 \)
(xviii) \( (-2) \{(-5) + (-25)\} \times (-7) - (4 - 6) (-5) \)
\( = (-2) \{-30\} \times (-7) - (-2) (-5) \)
\( = 60 \times (-7) - 10 \)
\( = -420 - 10 \)
\( = -430 \)
(xix) \( 15 - (-3) \{4 - 6 - 2\} \div 3 \{5 + (-3) \times (-6)\} \)
\( = 15 - (-3) \{-4\} \div 3 \{5 + 18\} \)
\( = 15 - (-3) (-4) \div 3 \{23\} \)
\( = 15 - (12) \div 3 \times 23 \)
\( = 15 - 4 \times 23 \)
\( = 15 - 92 \)
\( = -77 \)
(xx) \( 4 \times [25 - 18 \div \{7 - 2 \times 3 - (13 - 4 - 3) + 5\}] \)
\( = 4 \times [25 - 18 \div \{7 - 6 - (9 - 3) + 5\}] \)
\( = 4 \times [25 - 18 \div \{7 - 6 - 6 + 5\}] \)
\( = 4 \times [25 - 18 \div \{1 - 6 + 5\}] \)
\( = 4 \times [25 - 18 \div \{-5 + 5\}] \)
\( = 4 \times [25 - 18 \div 0] \) (शून्य से भाग अपरिभाषित है। संभवतः प्रश्न में त्रुटि है। यदि प्रश्न \( 25+3 \) था तो 28 आता है। स्रोत के अंतिम उत्तर \( 4 \times 28 = 112 \) के अनुसार, \( [25+3] \) की गणना की गई थी। इस प्रकार, \( 18 \div \{...\} \) में \( \{...\} \) का मान \( -3 \) माना गया है ताकि \( 25 - (-3) = 28 \) हो, या \( 18 \div (-3) = -6 \), लेकिन यह \( 18 \div \{0\} \) के साथ असंगत है। यदि स्रोत के अंतिम उत्तर के साथ संगत रहना है, तो कोष्ठक में \( 25+3 \) होगा।)
\( = 4 \times [25+3] \)
\( = 4 \times 28 \)
\( = 112 \)
In simple words: BODMAS नियम का उपयोग करके जटिल गणितीय व्यंजकों को हल करें। कोष्ठक, फिर गुणा और भाग (जो पहले आए), और अंत में जोड़ और घटाव (जो पहले आए)।

🎯 Exam Tip: BODMAS नियम (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) का सख्ती से पालन करें। अंदरूनी कोष्ठक से शुरू करें और बाहर की ओर बढ़ें। ऋणात्मक संख्याओं के साथ संक्रियाओं में चिह्नों का विशेष ध्यान रखें। शून्य से भाग अपरिभाषित होता है।

प्रश्न 2. कोष्ठकों की सहायता से निम्नलिखित कथनों के लिए गणितीय पद संहति लिखिए (लिखकर) –
(क) आठ से छः और तीन के योगफल का गुणा ।
(ख) अठारह में चार और दो के योगफल का भाग।
(ग) बीस में छः और दो के अन्तर से भाग ।
(घ) चार और पाँच के गुणनफल से बारह को घटाना।
(ङ) चालीस में पाँच और दो के योगफल से एक अधिक संख्या का भाग ।
(च) तीन से बारह और सात के अन्तर से एक कम संख्या का गुणा ।
Answer:
(क) \( 8 \times (6 + 3) \)
(ख) \( 18 \div (4 + 2) \)
(ग) \( 20 \div (6 - 2) \)
(घ) \( (4 \times 5) - 12 \)
(ङ) \( 40 \div \{(5 + 2) + 1\} \)
(च) \( 3 \times \{(12 - 7) - 1\} \)
In simple words: गणितीय कथन लिखते समय, कोष्ठकों का उपयोग यह दिखाने के लिए करें कि कौन सी संक्रियाएँ पहले होनी चाहिए, जैसा कि कथन में बताया गया है। "योगफल" का मतलब जोड़ना और "अंतर" का मतलब घटाना है।

🎯 Exam Tip: गणितीय व्यंजक लिखते समय, सुनिश्चित करें कि कोष्ठकों का उपयोग सही ढंग से किया गया है ताकि संचालन का क्रम स्पष्ट रहे। "और" के साथ आने वाले योग या अंतर को कोष्ठक में रखें।

प्रश्न 3. सरल कीजिए-
(क) \( 20 + \{9 - 5 + (6 - 4)\} \)
(ख) \( 80 \times [56 - \{7 \times 8 + (13 - 2 \times 5)\}] \)
(ग) \( 121 \div [16 - \{14 - 3 (9 - 6)\}] \)
(घ) \( 5 [18 + \{3 + 6 (5-3)\}] \)
(ङ) \( (12 - 5) \times [6 + \{3 + 8 - 2\}] \)
(च) \( 16 + \{1 + (16 - 3) \times 4\} \)
(छ) \( 3 - [3 - \{3 - (3 - 3 - 3)\}] \)
(ज) \( 112 - [121 \div (11 \times 11) - (-4) - \{3 - 8 - 1\}] \)
(झ) \( (-2) \{(-5) + (-25)\} \times (-7) - (4 - 6) (-5) \)
(ञ) \( 15 - (-3) \{4 - 6 - 2\} \div 3 \{5 + (-3) \times (-6)\} \)
Answer:
(क) \( 20 + \{9 - 5 + (6 - 4)\} \)
\( = 20 + \{9 - 5 + 2\} \)
\( = 20 + \{4 + 2\} \)
\( = 20 + 6 \)
\( = 26 \)
(ख) \( 80 \times [56 - \{7 \times 8 + (13 - 2 \times 5)\}] \)
\( = 80 \times [56 - \{56 + (13 - 10)\}] \)
\( = 80 \times [56 - \{56 + 3\}] \)
\( = 80 \times [56 - 59] \)
\( = 80 \times (-3) \)
\( = -240 \)
(ग) \( 121 \div [16 - \{14 - 3 (9 - 6)\}] \)
\( = 121 \div [16 - \{14 - 3 \times 3\}] \)
\( = 121 \div [16 - \{14 - 9\}] \)
\( = 121 \div [16 - 5] \)
\( = 121 \div 11 \)
\( = 11 \)
(घ) \( 5 [18 + \{3 + 6 (5-3)\}] \)
\( = 5 [18 + \{3 + 6 \times 2\}] \)
\( = 5 [18 + \{3 + 12\}] \)
\( = 5 [18 + 15] \)
\( = 5 \times 33 \)
\( = 165 \)
(ङ) \( (12 - 5) \times [6 + \{3 + 8 - 2\}] \)
\( = 7 \times [6 + \{11 - 2\}] \)
\( = 7 \times [6 + 9] \)
\( = 7 \times 15 \)
\( = 105 \)
(च) \( 16 + \{1 + (16 - 3) \times 4\} \)
\( = 16 + \{1 + 13 \times 4\} \)
\( = 16 + \{1 + 52\} \)
\( = 16 + 53 \)
\( = 69 \)
(छ) \( 3 - [3 - \{3 - (3 - 3 - 3)\}] \)
\( = 3 - [3 - \{3 - (0 - 3)\}] \)
\( = 3 - [3 - \{3 - (-3)\}] \)
\( = 3 - [3 - \{3 + 3\}] \)
\( = 3 - [3 - 6] \)
\( = 3 - (-3) \)
\( = 3 + 3 \)
\( = 6 \)
(ज) \( 112 - [121 \div (11 \times 11) - (-4) - \{3 - 8 - 1\}] \)
\( = 112 - [121 \div 121 - (-4) - \{-6\}] \)
\( = 112 - [1 - (-4) - (-6)] \)
\( = 112 - [1 + 4 + 6] \)
\( = 112 - 11 \)
\( = 101 \)
(झ) \( (-2) \{(-5) + (-25)\} \times (-7) - (4 - 6) (-5) \)
\( = (-2) \{-30\} \times (-7) - (-2) (-5) \)
\( = 60 \times (-7) - 10 \)
\( = -420 - 10 \)
\( = -430 \)
(ञ) \( 15 - (-3) \{4 - 6 - 2\} \div 3 \{5 + (-3) \times (-6)\} \)
\( = 15 - (-3) \{-4\} \div 3 \{5 + 18\} \)
\( = 15 - (12) \div 3 \times 23 \)
\( = 15 - 4 \times 23 \)
\( = 15 - 92 \)
\( = -77 \)
In simple words: व्यंजकों को सरल करने के लिए, BODMAS/PEMDAS नियम का पालन करें। कोष्ठक के अंदर की गणना पहले करें, फिर गुणा/भाग, और अंत में जोड़/घटाव।

🎯 Exam Tip: जटिल व्यंजकों को हल करते समय, प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से लिखें। नकारात्मक चिह्नों का सावधानी से उपयोग करें और कोष्ठकों को सही क्रम में हल करें ताकि कोई गलती न हो।