UP Board Solutions Class 6 Maths Chapter 2 Poorn sankhyayein

Exercise 2(A)

Question 1. सबसे छोटी पूर्ण संख्या बताइए।
Answer: सबसे छोटी पूर्ण संख्या शून्य (0) है। पूर्ण संख्याएँ 0 से शुरू होकर आगे बढ़ती हैं।
In simple words: The smallest whole number is 0. Whole numbers start from zero and go up.

🎯 Exam Tip: Remember that natural numbers start from 1, while whole numbers include 0, making 0 the smallest whole number.

Question 2. संख्या रेखा पर निम्नांकित पूर्ण संख्याओं को प्रदर्शित कीजिए ।
Answer:पूर्ण संख्याओं को संख्या रेखा पर दिखाने के लिए, हम एक सीधी रेखा खींचते हैं और उस पर समान दूरी पर बिंदु अंकित करते हैं, फिर उन बिंदुओं को 0, 1, 2, 3, 4, 5... से दर्शाते हैं।
In simple words: Draw a straight line and mark points evenly. Label them 0, 1, 2, 3, 4, 5 to show the whole numbers on the line.

🎯 Exam Tip: When drawing a number line, ensure points are equally spaced and clearly labeled. Use arrows at the end to show it extends infinitely.

Question 3. तीन क्रमागत पूर्ण संख्याओं में पहली और तीसरी का योगफल 28 है। संख्याएँ ज्ञान कीजिए।
Answer: यदि पहली और तीसरी क्रमागत पूर्ण संख्याओं का योगफल 28 है, तो हम बीच की संख्या ज्ञात कर सकते हैं।
पहली और तीसरी संख्या का योगफल \( = 28 \)
बीच की संख्या \( = \frac{28}{2} = 14 \)
चूंकि संख्याएँ क्रमागत हैं, तो बीच की संख्या 14 है। इससे पहले की संख्या \( (14 - 1) = 13 \) होगी और इसके बाद की संख्या \( (14 + 1) = 15 \) होगी।
अतः क्रमागत संख्याएँ \( = 13, 14, 15 \) हैं।
In simple words: If you add the first and third of three numbers that come one after another, and the total is 28, then the middle number is half of 28, which is 14. So the numbers are 13, 14, and 15.

🎯 Exam Tip: For consecutive numbers, the middle number is often the average of the first and last, which simplifies finding all of them.

Question 4. यदि तीन क्रमागत पूर्ण संख्याओं में मध्य की संख्या 39 हो तो तीनों संख्या ज्ञात कीजिए ।
Answer: यदि तीन क्रमागत पूर्ण संख्याओं में मध्य की संख्या 39 है, तो हम बाकी दो संख्याएँ आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।
मध्य की संख्या \( = 39 \)
इससे ठीक पहले की क्रमागत संख्या \( = 39 - 1 = 38 \)
इससे ठीक बाद की क्रमागत संख्या \( = 39 + 1 = 40 \)
अतः तीनों क्रमागत संख्याएँ 38, 39, और 40 हैं।
In simple words: If the middle number out of three numbers in a row is 39, then the number before it is 38 and the number after it is 40. So the three numbers are 38, 39, 40.

🎯 Exam Tip: Consecutive numbers always differ by 1. Use addition and subtraction of 1 to find numbers before and after a given consecutive number.

Question 5. प्राकृतिक संख्याओं के समूह में किस संख्या के सम्मिलित कर लेने पर वह पूर्ण संख्याओं का समूह बन जाता है।
Answer: प्राकृतिक संख्याओं के समूह में शून्य (0) को सम्मिलित कर लेने पर वह पूर्ण संख्याओं का समूह बन जाता है। प्राकृतिक संख्याएँ \( \{1, 2, 3, ...\} \) होती हैं और पूर्ण संख्याएँ \( \{0, 1, 2, 3, ...\} \) होती हैं।
In simple words: When you add the number zero (0) to the group of natural numbers (1, 2, 3, ...), it becomes the group of whole numbers.

🎯 Exam Tip: Remember the key difference: natural numbers are counting numbers (starting from 1), while whole numbers include zero (starting from 0).

Exercise 2(B)

Question 1. संख्या रेखा पर अंकित योग तथ्यों को लिखिए (लिखकर) –
Answer: संख्या रेखा पर अंकित योग तथ्यों को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
(i) 5 + 4 = 9
(ii) 0 + 5 = 5
(iii) 2 + 3 + 4 = 9
संख्या रेखा पर योग को दिखाने के लिए, हम पहले नंबर से शुरू करते हैं, फिर दूसरे नंबर के बराबर कदम आगे बढ़ते हैं। जहाँ हम रुकते हैं, वही हमारा योग होता है।
In simple words: To show addition on a number line, start at the first number. Then, move forward the number of steps of the second number. The point where you land is the total.

🎯 Exam Tip: When showing addition on a number line, ensure each jump is clearly marked with an arrow and the correct number of units it represents. The final landing point indicates the sum.

Question 3. निम्नांकित कथनों में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करके)-
Answer: रिक्त स्थानों की पूर्ति के बाद कथन इस प्रकार होंगे:
(i) \( 345 + 789 = 789 + 345 \) (यह योग का क्रमविनिमेय नियम है)
(ii) \( 2889 + 0 = 2889 \) (शून्य किसी भी संख्या में जोड़ने पर वही संख्या देता है, इसे योगात्मक तत्समक कहते हैं)
(iii) \( (234 + 456) + 789 = 234 + (456 + 789) \) (यह योग का साहचर्य नियम है)
In simple words: You fill in the empty spaces. For addition, the order of numbers doesn't change the sum (like 3+5 is same as 5+3). Adding zero to any number keeps the number the same. Also, when adding three numbers, how you group them does not change the sum (like (1+2)+3 is same as 1+(2+3)).

🎯 Exam Tip: Understand the basic properties of whole numbers: Commutative (order doesn't matter for addition/multiplication), Associative (grouping doesn't matter for addition/multiplication), and Identity (0 for addition, 1 for multiplication).

Question 4. पूर्ण संख्याओं के लिए घटाने की संक्रिया क्रम-विनिमेय नहीं है। तीन विभिन्न युग्म लेकर इसकी जाँच कीजिए ।
Answer: पूर्ण संख्याओं के लिए घटाने की संक्रिया क्रम-विनिमेय नहीं होती है, जिसका अर्थ है कि संख्याओं का क्रम बदलने पर उत्तर बदल जाता है। हम इसे तीन अलग-अलग उदाहरणों से जाँच सकते हैं:
(i) \( 5 - 4 = 1 \), लेकिन \( 4 - 5 = -1 \)
(ii) \( 11 - 9 = 2 \), लेकिन \( 9 - 11 = -2 \)
(iii) \( 20 - 10 = 10 \), लेकिन \( 10 - 20 = -10 \)
जैसा कि हम देख सकते हैं, जब हम एक छोटी संख्या से एक बड़ी संख्या घटाते हैं, तो हमें पूर्ण संख्या नहीं मिलती है। चूंकि \( 1 \neq -1 \), \( 2 \neq -2 \), और \( 10 \neq -10 \), यह सिद्ध होता है कि घटाने की संक्रिया क्रम-विनिमेय नहीं है।
In simple words: Subtraction does not follow the commutative property for whole numbers. This means if you change the order of the numbers, the answer changes (e.g., 5-4 is not the same as 4-5). We can see this in examples where reversing the order gives a different result.

🎯 Exam Tip: The commutative property applies to addition and multiplication, but not to subtraction or division. Always check examples to confirm properties for different operations.

Exercise 2(C)

Question 1. अपनी अभ्यास पुस्तिका में गुणन-संक्रिया के प्रगुणों के आधार पर निम्नांकित कथनों में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करके)-
Answer: गुणन-संक्रिया के प्रगुणों के आधार पर रिक्त स्थानों की पूर्ति करने पर:
(i) \( 468 \times 0 = 0 \) (किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर गुणनफल शून्य होता है)
(ii) \( 8976 \times 5432 = 5432 \times 8976 \) (यह गुणन का क्रमविनिमेय नियम है)
(iii) \( 8973 \times 1 = 8973 \) (किसी भी संख्या को एक से गुणा करने पर वही संख्या प्राप्त होती है, इसे गुणात्मक तत्समक कहते हैं)
In simple words: When you fill in the blanks using multiplication rules: anything multiplied by zero is zero. The order of numbers in multiplication doesn't change the answer. And any number multiplied by one stays the same.

🎯 Exam Tip: Remember the special properties of 0 and 1 in multiplication: 0 is the multiplicative zero property, and 1 is the multiplicative identity.

Question 2. निम्नलिखित का गुणनफल योग्य प्रगुणों का प्रयोग करके ज्ञात कीजिए –
(i) 4 x 2834 x 25
(ii) 5 x 658 x 80
(iii) 25 x 4837 x 40
Answer: गुणनफल ज्ञात करने के लिए योग्य प्रगुणों का प्रयोग इस प्रकार है:
(i) \( 4 \times 2834 \times 25 \)
सबसे पहले, हम 4 और 25 को एक साथ गुणा करके 100 बनाते हैं, जिससे गणना आसान हो जाती है।
\( 4 \times 2834 \times 25 = (4 \times 2834) \times 25 \) (साहचर्य नियम से)
\( = (2834 \times 4) \times 25 \) (क्रमविनिमेय नियम से)
\( = 2834 \times (4 \times 25) \) (साहचर्य नियम से)
\( = 2834 \times 100 = 283400 \)
(ii) \( 5 \times 658 \times 80 \)
यहाँ, हम 5 और 80 को गुणा करके 400 प्राप्त करते हैं, जो गुणा को सरल बनाता है।
\( 5 \times 658 \times 80 = (5 \times 658) \times 80 \) (साहचर्य नियम से)
\( = (658 \times 5) \times 80 \) (क्रमविनिमेय नियम से)
\( = 658 \times (5 \times 80) \) (साहचर्य नियम से)
\( = 658 \times 400 = 263200 \)
(iii) \( 25 \times 4837 \times 40 \)
इस मामले में, 25 और 40 का गुणनफल 1000 होता है, जिससे बड़ी संख्या से गुणा करना आसान हो जाता है।
\( 25 \times 4837 \times 40 = (25 \times 4837) \times 40 \) (साहचर्य नियम से)
\( = (4837 \times 25) \times 40 \) (क्रमविनिमेय नियम से)
\( = 4837 \times (25 \times 40) \) (साहचर्य नियम से)
\( = 4837 \times 1000 = 4837000 \)
In simple words: To multiply these numbers easily, we group the numbers that make 10, 100, or 1000 when multiplied together (like 4 and 25 make 100). This uses the associative and commutative properties to simplify the calculation.

🎯 Exam Tip: Always look for pairs of numbers that multiply to 10, 100, or 1000 (e.g., 2x5, 4x25, 8x125, 20x5, 40x25, 50x2) to simplify calculations using the associative and commutative properties of multiplication.

Question 3. वितरण प्रगुण का प्रयोग करके निम्नांकित में से प्रत्येक का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
(i) 487 x 1008
(ii) 998 x 436
(iii) 6754 x 94
(iv) 26478 x 106
Answer: वितरण प्रगुण (Distributive Property) का प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम एक संख्या को दो भागों में तोड़ते हैं ताकि गुणा आसान हो जाए:
(i) \( 487 \times 1008 \)
हम 1008 को \( (1000 + 8) \) के रूप में लिख सकते हैं। फिर 487 को दोनों भागों से गुणा करते हैं।
\( = 487 \times (1000 + 8) \)
\( = 487 \times 1000 + 487 \times 8 \) (वितरण नियम से)
\( = 487000 + 3896 \)
\( = 490896 \)
(ii) \( 998 \times 436 \)
हम 998 को \( (1000 - 2) \) के रूप में लिख सकते हैं। यह गुणा को घटाने के साथ आसान बनाता है।
\( = (1000 - 2) \times 436 \)
\( = 1000 \times 436 - 2 \times 436 \) (वितरण नियम से)
\( = 436000 - 872 \)
\( = 435128 \)
(iii) \( 6754 \times 94 \)
हम 94 को \( (100 - 6) \) के रूप में लिख सकते हैं, जिससे गुणा सरल हो जाता है।
\( = 6754 \times (100 - 6) \)
\( = 6754 \times 100 - 6754 \times 6 \) (वितरण नियम से)
\( = 675400 - 40524 \)
\( = 634876 \)
(iv) \( 26478 \times 106 \)
हम 106 को \( (100 + 6) \) के रूप में लिख सकते हैं।
\( = 26478 \times (100 + 6) \)
\( = 26478 \times 100 + 26478 \times 6 \) (वितरण नियम से)
\( = 2647800 + 158868 \)
\( = 2806668 \)
In simple words: The distributive property helps us multiply big numbers by breaking one number into parts (like 1000+8 or 100-2). Then, we multiply the other number by each part separately and add or subtract the results. This makes the multiplication easier to do.

🎯 Exam Tip: Use the distributive property wisely by choosing to break down the number that simplifies calculations, typically by making it a sum or difference with 100, 1000, etc.

Exercise 2(D)

Question 1. संख्या रेखा द्वारा विभाजन तथ्यों को बताइए -
(i)
(ii)
उपरोक्त संख्या रेखाएँ योग के तथ्यों को दर्शाती हैं, भले ही प्रश्न विभाजन के बारे में पूछता है।
(i) पहली संख्या रेखा 4 + 5 = 9 को दर्शाती है।
(ii) दूसरी संख्या रेखा 5 + 6 = 11 को दर्शाती है।
विभाजन तथ्य के लिए, उदाहरण के तौर पर:
\( 12 \div 2 = 6 \)
यह बताता है कि 12 को 2 बराबर भागों में बाँटने पर प्रत्येक भाग 6 के बराबर होता है।
In simple words: The number lines show addition, like 4+5=9 and 5+6=11. Although the question asks for division facts, these images show how numbers are added. For division, if you have 12 and divide it into groups of 2, you get 6 groups.

🎯 Exam Tip: When representing operations on a number line, ensure each step is clear. For addition, jumps move forward; for subtraction, jumps move backward; for division, jumps of the divisor are repeatedly subtracted from the dividend.

Question 2. \( 21 \div 3 = 7 \) के संगत गुणात्मक तथ्य \( 3 \times 7 = 21 \) हैं अतः निम्नांकित तथ्यों के संगत गुणात्मक तथ्य बताइए।
(i) \( 56 \div 8 = 7 \)
(ii) \( 66 \div 11 = 6 \)
Answer: यदि \( 21 \div 3 = 7 \) का संगत गुणात्मक तथ्य \( 3 \times 7 = 21 \) है, तो निम्नांकित तथ्यों के संगत गुणात्मक तथ्य इस प्रकार होंगे:
(i) \( 56 \div 8 = 7 \) का संगत गुणात्मक तथ्य \( 8 \times 7 = 56 \) है। (यह दर्शाता है कि विभाजन गुणा का उल्टा ऑपरेशन है)
(ii) \( 66 \div 11 = 6 \) का संगत गुणात्मक तथ्य \( 11 \times 6 = 66 \) है। (यह भी गुणा और विभाजन के संबंध को दर्शाता है)
In simple words: Division and multiplication are opposite operations. So, if you divide 56 by 8 and get 7, it means 8 multiplied by 7 gives 56. Similarly, for 66 divided by 11 equals 6, it means 11 multiplied by 6 equals 66.

🎯 Exam Tip: Remember that every division fact has a related multiplication fact, and vice-versa. This is very useful for checking answers and understanding number relationships.

Question 3. 117 को दो संख्याओं के गुणा के रूप में व्यक्त कीजिए जिसकी एक संख्या 13 है।
Answer: 117 को दो संख्याओं के गुणा के रूप में व्यक्त करने के लिए, जिसमें एक संख्या 13 हो, हम 117 को 13 से विभाजित करते हैं।
\( 117 \div 13 = 9 \)
अतः, 117 को \( 13 \times 9 \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
In simple words: To show 117 as a multiplication of two numbers, where one number is 13, you just divide 117 by 13. The answer is 9, so 117 is equal to 13 multiplied by 9.

🎯 Exam Tip: If you need to find a missing factor in a multiplication, division is the inverse operation that will help you find it quickly.

Question 4. क्या ऐसी कोई पूर्ण संख्या सम्भव है कि जिसको स्वयं से विभाजित करने पर वही संख्या प्राप्त होती है?
Answer: हाँ, ऐसी एक पूर्ण संख्या संभव है। वह संख्या 1 है।
यदि हम 1 को स्वयं से विभाजित करते हैं, तो हमें 1 ही प्राप्त होता है।
\( 1 \div 1 = 1 \)
In simple words: Yes, there is a whole number that gives itself when divided by itself. That number is 1, because 1 divided by 1 is 1.

🎯 Exam Tip: Remember that any number (except zero) divided by itself is 1. This is a fundamental property of division.

Question 5. क्या दो विभिन्न शून्येतर पूर्ण संख्याओं के लिए पहली संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने पर तथा दूसरी संख्या को पहली संख्या से विभाजित करने पर समान भागफल प्राप्त होता है?
Answer: नहीं, दो विभिन्न शून्येतर पूर्ण संख्याओं के लिए पहली संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करने पर और दूसरी संख्या को पहली संख्या से विभाजित करने पर समान भागफल प्राप्त नहीं होता है।
उदाहरण के लिए, यदि हम 4 और 2 लेते हैं:
\( 4 \div 2 = 2 \)
लेकिन, \( 2 \div 4 = \frac{1}{2} \) (या 0.5)
चूंकि \( 2 \neq 0.5 \), इससे पता चलता है कि विभाजन की संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है।
In simple words: No, if you have two different whole numbers (not zero), dividing the first by the second is not the same as dividing the second by the first. For example, 4 divided by 2 is 2, but 2 divided by 4 is 0.5, which are different.

🎯 Exam Tip: Just like subtraction, division is not commutative. The order of numbers in a division problem matters greatly, and changing it will almost always change the result.