UP Board Solutions Class 6 Maths Chapter 14 Vritt

Exercise 14(A)

Question 1. पार्श्व चित्र को देखकर लिखिए (लिखकर)-
Answer:
(i) वृत्त का केन्द्र: वृत्त का केन्द्र बिंदु O है। वृत्त का केंद्र वह बिंदु होता है जिससे वृत्त के सभी बिंदु समान दूरी पर होते हैं।
(ii) तीन त्रिज्याओं के नाम: तीन त्रिज्याएँ OB, OC, और OD हैं। एक त्रिज्या केंद्र से वृत्त पर किसी बिंदु तक की दूरी होती है।
(iii) एक व्यास का नाम: एक व्यास BC है। व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है जो केंद्र से होकर गुजरती है।
(iv) दो जीवाओं के नाम: दो जीवाएँ AB और CD हैं। जीवा वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड होती है।
(v) अन्तः क्षेत्र में एक बिन्दु: वृत्त के अंदर का बिंदु E है। यह बिंदु वृत्त की परिधि के अंदर स्थित है।
(vi) बाह्य क्षेत्र में एक बिन्दु: वृत्त के बाहरी क्षेत्र में कोई बिंदु नहीं दिया गया है। बाह्य क्षेत्र वृत्त की परिधि के बाहर होता है।
(vii) चर चाप (दो लघु, दो दीर्घ) के नाम:
लघु चाप: AB और AC हैं। लघु चाप वृत्त के छोटे हिस्से होते हैं।
दीर्घ चाप: ABDC और BDCA हैं। दीर्घ चाप वृत्त के बड़े हिस्से होते हैं।
(viii) एक अर्द्धवृत्त का नाम: एक अर्द्धवृत्त BAC है। अर्द्धवृत्त व्यास द्वारा वृत्त को दो बराबर भागों में विभाजित करने पर बनता है।
In simple words: चित्र को देखकर, हम वृत्त के अलग-अलग हिस्से पहचान सकते हैं, जैसे केंद्र O, त्रिज्याएँ (OB, OC, OD), व्यास BC, जीवाएँ (AB, CD), वृत्त के अंदर बिंदु E, और चाप (लघु और दीर्घ)।

🎯 Exam Tip: ज्यामिति के प्रश्नों में चित्र को ध्यान से देखकर सभी बिंदुओं और रेखाओं को पहचानें। प्रत्येक भाग को सही नाम देने के लिए परिभाषाओं को याद रखें।

Question 2. पाश्र्व चित्र देखकर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए-
(i) तीन त्रिज्याओं के नाम बताइए ।
Answer: त्रिज्या OA, त्रिज्या OB तथा त्रिज्या OC हैं। त्रिज्याएँ वृत्त के केंद्र से उसकी परिधि तक खींचे गए रेखाखंड होते हैं। ये सभी रेखाखंड लंबाई में बराबर होते हैं।
(ii) तीन जीवाओं के नाम बताइए।
Answer: जीवा AC, जीवा AB तथा जीवा BC हैं। जीवा वृत्त की परिधि पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड होती है।
(iii) चित्र में कितने व्यास खीचें गए हैं? उनके नाम भी लिखिए।
Answer: चित्र में एक व्यास खींचा गया है, जिसका नाम AC है। व्यास एक जीवा होती है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है और वृत्त को दो बराबर हिस्सों में बांटती है।
In simple words: चित्र को देखकर, हम बता सकते हैं कि OA, OB, OC वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, AB, AC, BC जीवाएँ हैं, और AC वृत्त का व्यास है क्योंकि यह केंद्र से गुजरती है।

🎯 Exam Tip: त्रिज्या और व्यास को पहचानते समय, याद रखें कि त्रिज्या केंद्र से परिधि तक जाती है, जबकि व्यास केंद्र से गुजरते हुए परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ता है।

Question 3. पाश्र्व चित्र में, बिन्दु O वृत्त का केन्द्र है। चित्रानुसार वृत्त के निम्नलिखित अंगों का विशिष्ट नाम दें (नाम देकर)-
Answer:
(i) रेखाखण्ड OA वृत्त की त्रिज्या है। त्रिज्या वृत्त के केंद्र O से वृत्त की परिधि पर स्थित बिंदु A तक की दूरी को दर्शाती है।
(ii) रेखाखण्ड AB जीवा है और CD वृत्त का व्यास है। जीवा वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ती है, जबकि व्यास केंद्र से गुजरने वाली सबसे लंबी जीवा होती है।
(iii) चाप CBD वृत्त का अर्द्ध-चाप है। अर्द्ध-चाप वह चाप होता है जो व्यास द्वारा वृत्त को दो बराबर हिस्सों में बांटने पर बनता है।
(iv) चाप CAD वृत्त का अर्द्ध-चाप है। यह भी व्यास द्वारा बने वृत्त के दो बराबर हिस्सों में से एक है।
In simple words: चित्र में, OA त्रिज्या है, AB एक जीवा है (केंद्र से नहीं गुजर रही है), CD व्यास है (केंद्र से गुजर रही है), और CBD और CAD दोनों आधे वृत्त हैं।

🎯 Exam Tip: यह पहचानने के लिए कि कोई रेखाखंड जीवा है या व्यास, देखें कि क्या वह वृत्त के केंद्र से गुजर रहा है। यदि हाँ, तो वह व्यास है, अन्यथा जीवा।

Question 4. परकार की सहायता से निम्नलिखित त्रिज्याओं के वृत्त खींचिए (खींचकर)-
(i) 4.5 सेमी
(ii) 3.2 सेमी
Answer:
(i) परकार को 4.5 सेमी खोलकर एक वृत्त खींचें। यह वृत्त एक निश्चित केंद्र से 4.5 सेमी की दूरी पर सभी बिंदुओं को जोड़ेगा।
(ii) परकार को 3.2 सेमी खोलकर एक वृत्त खींचें। इस वृत्त का हर बिंदु केंद्र से 3.2 सेमी दूर होगा।
In simple words: परकार को दी गई त्रिज्या जितना खोलें और एक पूरा गोल खींचें। यह वृत्त बन जाएगा।

🎯 Exam Tip: परकार से वृत्त खींचते समय, सुनिश्चित करें कि परकार की नोक कागज पर स्थिर रहे और पेंसिल की नोक पूरी तरह से घूमकर एक बंद आकृति बनाए।

Question 5. परकार की सहायता से निम्नलिखित व्यास के वृत्त खींचिए (खींचकर)-
(i) 7.6 सेमी
(ii) 10 सेमी
Answer:
(i) व्यास \( = 7.6 \) सेमी है, तो त्रिज्या \( = \frac{7.6}{2} = 3.8 \) सेमी होगी। परकार को 3.8 सेमी खोलकर एक वृत्त खींचें। व्यास हमेशा त्रिज्या का दोगुना होता है।
(ii) व्यास \( = 10 \) सेमी है, तो त्रिज्या \( = \frac{10}{2} = 5 \) सेमी होगी। परकार को 5 सेमी खोलकर एक वृत्त खींचें। पहले त्रिज्या ज्ञात करना व्यास से वृत्त बनाने का सही तरीका है।
In simple words: व्यास को 2 से भाग देकर त्रिज्या निकालें। फिर परकार को उस त्रिज्या जितना खोलकर वृत्त बनाएं।

🎯 Exam Tip: व्यास दिए जाने पर, वृत्त खींचने से पहले हमेशा त्रिज्या की गणना करें, क्योंकि परकार को त्रिज्या की लंबाई के बराबर खोलना पड़ता है।

Question 6. एक वृत्त की त्रिज्या 4.5 सेमी है। इस वृत्त के व्यास की माप ज्ञात कीजिए।
Answer:
वृत्त की त्रिज्या \( = 4.5 \) सेमी है।
वृत्त का व्यास \( = 2 \times \) त्रिज्या
\( \implies \) व्यास \( = 2 \times 4.5 \) सेमी
\( \implies \) व्यास \( = 9.0 \) सेमी।
एक वृत्त का व्यास हमेशा उसकी त्रिज्या का दोगुना होता है।
In simple words: त्रिज्या को 2 से गुणा करने पर वृत्त का व्यास मिल जाता है।

🎯 Exam Tip: व्यास और त्रिज्या के संबंध को हमेशा याद रखें: व्यास \( = 2 \times \) त्रिज्या, और त्रिज्या \( = \frac{\text{व्यास}}{2} \)।

Question 7. किसी त्रिज्या का एक वृत्त खीचिए । वृत्त पर कोई दो बिन्दु P और Q लेकर इन्हें मिला दीजिए। बताइए कि क्या बिन्दु P, Q को छोड़कर रेखाखण्ड PQ के सभी बिन्दु
(i) वृत्त पर हैं?
(ii) वृत्त के बाहर है?
(iii) वृत्त के अन्दर हैं?
Answer:
(i) नहीं, बिन्दु P और Q को छोड़कर रेखाखण्ड PQ के कोई भी बिन्दु वृत्त पर नहीं हैं। केवल P और Q ही वृत्त की परिधि पर स्थित हैं।
(ii) नहीं, रेखाखण्ड PQ के कोई भी बिन्दु वृत्त के बाहर नहीं हैं। रेखाखंड के सभी बिंदु वृत्त के अंदर या उसकी परिधि पर होते हैं।
(iii) हाँ, बिन्दु P और Q को छोड़कर रेखाखण्ड PQ के सभी बिन्दु वृत्त के अन्दर हैं। रेखाखंड PQ वृत्त के अंदर है, इसलिए इसके बीच के सभी बिंदु वृत्त के आंतरिक भाग में हैं।
In simple words: जब हम वृत्त पर दो बिंदु P और Q को सीधी रेखा से जोड़ते हैं, तो P और Q खुद तो वृत्त पर होते हैं, लेकिन उनके बीच के सारे बिंदु वृत्त के अंदर होते हैं, बाहर नहीं।

🎯 Exam Tip: जीवा एक रेखाखंड होती है जिसके सिरे वृत्त पर होते हैं, लेकिन उसके बीच के सभी बिंदु वृत्त के अंदर होते हैं।

Question 8. निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य हैं?
Answer:
(i) वृत्त की त्रिज्या वृत्त की जीवा होती है। (असत्य) - त्रिज्या एक रेखाखंड है जिसका एक सिरा केंद्र पर और दूसरा वृत्त पर होता है, जबकि जीवा के दोनों सिरे वृत्त पर होते हैं।
(ii) वृत्त का व्यास वृत्त की जीवा होती है। (सत्य) - व्यास एक जीवा ही है, लेकिन यह केंद्र से होकर गुजरती है, इसलिए यह सबसे बड़ी जीवा भी है।
(iii) व्यास वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है। (सत्य) - व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है, क्योंकि यह केंद्र से गुजरती है और वृत्त को दो बराबर हिस्सों में बांटती है।
In simple words: त्रिज्या और जीवा अलग-अलग चीजें हैं। व्यास एक खास तरह की जीवा है, जो सबसे लंबी होती है और वृत्त के केंद्र से होकर जाती है।

🎯 Exam Tip: त्रिज्या, जीवा और व्यास की परिभाषाएँ स्पष्ट रूप से याद रखें ताकि ऐसे सत्य/असत्य प्रश्नों को सही ढंग से हल कर सकें।

Question 9. एक रेखाखण्ड AB खीचिए जिसकी लम्बाई 4 सेमी है। बिन्दु A को केन्द्र मानकर एक कृत इस प्रकार खीचिए कि वह बिन्दु B से होकर जाए। इस कृत की त्रिज्या नापकर लिखिए।
Answer: सर्वप्रथम एक रेखाखण्ड AB \( = 4 \) सेमी खींचा जाता है। फिर बिन्दु A को केन्द्र मानकर एक वृत्त खींचा जाता है, जो बिन्दु B से होकर जाता है। इस वृत्त की त्रिज्या रेखाखण्ड AB के बराबर होगी, इसलिए वृत्त की त्रिज्या \( = AB = 4 \) सेमी है। जब वृत्त का केंद्र एक बिंदु होता है और वह किसी दूसरे बिंदु से होकर गुजरता है, तो केंद्र से उस दूसरे बिंदु तक की दूरी ही वृत्त की त्रिज्या होती है।
In simple words: पहले 4 सेमी की एक सीधी रेखा AB बनाएं। फिर A पर परकार की नोक रखकर और B तक फैलाकर एक वृत्त खींचें। इस वृत्त की त्रिज्या 4 सेमी होगी।

🎯 Exam Tip: यदि वृत्त केंद्र A से होकर बिंदु B तक खींचा गया है, तो AB की लंबाई सीधे वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगी।

Exercise 14(B)

Question 1. पाश्र्वाकित चित्र में बिन्दु O वृत्त का केन्द्र है। रेखाखंड OA, OB एवं OC त्रिज्याएँ हैं। रेखाखंड AB, AC तथा DE जीवाएँ हैं। इनका एक त्रिज्यखंड OA, OB तथा चाप AXB से घिरा क्षेत्र और उसके संगत वृत्तखंड, जीवा AB तथा AXB चाप से घिरा क्षेत्र है। इस प्रकार अपनी अभ्यास पुस्तिका पर चिंत्रानुसार अन्य पाँच त्रिज्यखंडों के नाम तथा उनके संगत वृत्तखंडों के नाम लिखें ।
Answer: दिए गए चित्र के अनुसार, अन्य पाँच त्रिज्यखंडों के नाम और उनके संगत वृत्तखंडों के नाम इस प्रकार हैं:
1. त्रिज्यखंड: OAC, संगत वृत्तखंड: जीवा AC और चाप AXC से घिरा क्षेत्र।
2. त्रिज्यखंड: OBC, संगत वृत्तखंड: जीवा BC और चाप BYC से घिरा क्षेत्र।
3. त्रिज्यखंड: ODE, संगत वृत्तखंड: जीवा DE और चाप DKE से घिरा क्षेत्र।
4. त्रिज्यखंड: OAD, संगत वृत्तखंड: जीवा AD और चाप AKD से घिरा क्षेत्र।
5. त्रिज्यखंड: OEB, संगत वृत्तखंड: जीवा EB और चाप EKB से घिरा क्षेत्र।
त्रिज्यखंड वृत्त के केंद्र और दो त्रिज्याओं से घिरा क्षेत्र होता है, जबकि वृत्तखंड जीवा और चाप से घिरा क्षेत्र होता है।
In simple words: चित्र में केंद्र O को लेकर, दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से बनने वाले हिस्से को त्रिज्यखंड कहते हैं। जब एक जीवा और उसके चाप से हिस्सा बनता है, तो वह वृत्तखंड कहलाता है।

🎯 Exam Tip: त्रिज्यखंड को हमेशा केंद्र (O) और दो त्रिज्याओं के नाम से दर्शाया जाता है (जैसे OAC), जबकि वृत्तखंड को जीवा और संगत चाप के नाम से दर्शाया जाता है।

Question 2. पाश्र्वांकित चित्र में छायांकित त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या लिखिए।
Answer: छायांकित त्रिज्यखण्ड की त्रिज्याएँ OA और OB हैं। त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से बनता है, इसलिए ये दोनों रेखाएँ उसकी त्रिज्याएँ होती हैं।
In simple words: चित्र में जो रंगीन हिस्सा है, उसे त्रिज्यखंड कहते हैं। इसकी सीधी किनारे वाली रेखाएँ, जो केंद्र से शुरू होती हैं, OA और OB त्रिज्याएँ हैं।

🎯 Exam Tip: त्रिज्यखंड की त्रिज्याएँ हमेशा वृत्त के केंद्र से शुरू होती हैं और वृत्त की परिधि तक जाती हैं।

Question 3. निम्नांकित चित्र में छायांकित वृत्तखण्ड की जीवा तथा उसके संगत त्रिज्यखण्ड का नाम लिखिए ।
Answer: छायांकित वृत्तखण्ड की जीवा PQ है। इस वृत्तखंड का संगत त्रिज्यखण्ड OPQ है। वृत्तखंड एक जीवा और चाप से घिरा होता है, जबकि त्रिज्यखंड केंद्र और दो त्रिज्याओं से घिरा होता है।
In simple words: रंगीन हिस्से (वृत्तखंड) में, सीधी रेखा जीवा PQ है। इस जीवा और केंद्र O से मिलकर बनने वाला त्रिज्यखंड OPQ है।

🎯 Exam Tip: वृत्तखंड को जीवा द्वारा परिभाषित किया जाता है, जबकि संगत त्रिज्यखंड हमेशा वृत्त के केंद्र और वृत्तखंड की जीवा के सिरों से बनता है।