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Detailed Chapter 13 त्रिभुज UP Board Solutions for Class 6 Maths
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Class 6 Maths Chapter 13 त्रिभुज UP Board Solutions PDF
Question 1. निम्नांकित चित्रों को काटिए, प्रत्येक को दो भागों में इस प्रकार मोड़िए कि दोनों भाग सर्वांगसम हो जाएँ।
Answer: छात्रों को चित्रों को काटना और स्वयं मोड़ना चाहिए ताकि दोनों भाग एक जैसे हों. यह गतिविधि उन्हें सर्वांगसम आकृतियों को समझने में मदद करेगी.
In simple words: Students should cut the pictures and fold them themselves so that both parts match exactly, showing they are congruent.
🎯 Exam Tip: Practical activities like cutting and folding help in visualizing and understanding geometric concepts such as congruence better than just reading definitions.
Question 2. नीचे बने चित्रों को यदि बिन्दुदार रेखाओं पर दो भागों में मोड़ा जाए, तो प्रत्येक के दोनों भाग सर्वांगसम हैं या नहीं? अपनी अभ्यास पुस्तिका में प्रत्येक के समक्ष हाँ या नहीं में उत्तर लिखिए-
Answer:
| क्रमांक | चित्र | हाँ/नहीं | क्रमांक | चित्र | हाँ/नहीं |
|---|---|---|---|---|---|
| (i) | हाँ | (ii) | नहीं | ||
| (iii) | हाँ | (iv) | हाँ | ||
| (v) | नहीं | (vi) | हाँ | ||
| (vii) | नहीं |
🎯 Exam Tip: Congruent shapes mean that two shapes are exactly the same size and shape. When you fold a figure along an axis of symmetry, the two halves perfectly overlap.
Question 3. निम्नलिखित त्रिभुजों को उनके कोणों के आधार पर वर्गीकृत कीजिए। उत्तर
Answer: दिए गए त्रिभुजों को उनके कोणों के आधार पर निम्नानुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:
1. अधिक कोण त्रिभुज (Obtuse-angled triangle) - इस त्रिभुज में एक कोण 90° से अधिक है (120°).
2.
🎯 Exam Tip: त्रिभुज के कोणों के योग गुण (कोणों का जोड़ 180°) को हमेशा याद रखें, खासकर जब अज्ञात कोण ज्ञात करने हों।
Question 7. एक समकोण त्रिभुज के दो कोण बराबर हैं, दोनों कोण कितने-कितने अंश के हैं?
Answer: मान लीजिए समकोण त्रिभुज के बराबर दो कोणों में से प्रत्येक \( x^{\circ} \) है। एक समकोण त्रिभुज में एक कोण हमेशा \( 90^{\circ} \) होता है, और तीनों कोणों का जोड़ \( 180^{\circ} \) होता है।
\( \implies x^{\circ} + x^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)
\( \implies 2x^{\circ} = 180^{\circ} - 90^{\circ} \)
\( \implies 2x^{\circ} = 90^{\circ} \)
\( \implies x^{\circ} = \frac{90^{\circ}}{2} \)
\( \implies x^{\circ} = 45^{\circ} \)
इस प्रकार, समकोण त्रिभुज के बाकी दोनों कोण \( 45^{\circ} \) और \( 45^{\circ} \) हैं। ऐसे त्रिभुज को समद्विबाहु समकोण त्रिभुज कहते हैं, जिसके आधार कोण बराबर होते हैं।
In simple words: समकोण त्रिभुज में एक कोण 90 डिग्री होता है। यदि बाकी दो कोण बराबर हों, तो वे दोनों 45-45 डिग्री के होंगे।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि समकोण त्रिभुज के दो न्यूनकोणों का योग हमेशा 90° होता है। यदि वे बराबर हों, तो प्रत्येक 45° होगा।
Question 8. पाश्वाकित चित्र में, बिन्दु D, E, त्रिभुज ABC की भुजा AB और AC पर इस प्रकार स्थित है कि DE || BC, यदि ∠B = 30°, ∠A = 40°, तो कोण x, y, z के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: चित्र के अनुसार,
क्योंकि \( DE \parallel BC \) है और AB एक तिर्यक रेखा है, इसलिए कोण \( x^{\circ} \) और कोण \( B \) संगत कोण हैं। संगत कोण बराबर होते हैं, तो:
\( \implies \angle x^{\circ} = \angle B = 30^{\circ} \)
अब त्रिभुज \( ADE \) में, हम जानते हैं कि तीनों कोणों का योग \( 180^{\circ} \) होता है।
\( \implies \angle A + \angle x^{\circ} + \angle z^{\circ} = 180^{\circ} \)
दिए गए मानों को रखने पर:
\( \implies 40^{\circ} + 30^{\circ} + \angle z^{\circ} = 180^{\circ} \)
\( \implies 70^{\circ} + \angle z^{\circ} = 180^{\circ} \)
\( \implies \angle z^{\circ} = 180^{\circ} - 70^{\circ} \)
\( \implies \angle z^{\circ} = 110^{\circ} \)
फिर, क्योंकि \( DE \parallel BC \) है, कोण \( y^{\circ} \) और कोण \( z^{\circ} \) संगत कोण हैं।
\( \implies \angle y^{\circ} = \angle z^{\circ} = 110^{\circ} \)
इस प्रकार, कोण \( x = 30^{\circ} \), कोण \( y = 110^{\circ} \) और कोण \( z = 110^{\circ} \) हैं। जब दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है, तो संगत कोण हमेशा बराबर होते हैं।
In simple words: x 30 डिग्री है क्योंकि यह कोण B का संगत कोण है। त्रिभुज ADE में, सारे कोणों का जोड़ 180 डिग्री होता है, जिससे z 110 डिग्री निकलता है। y भी z के बराबर है, यानी 110 डिग्री।
🎯 Exam Tip: समांतर रेखाओं और तिर्यक रेखाओं द्वारा बनाए गए संगत कोणों और एकांतर कोणों के गुणों को अच्छी तरह समझ लें।
Question 9. पाश्र्वांकित चित्र में ∠C समकोण हैं। CD ⊥ AB है। ∠A = 65°, तो निम्नांकित कोणों के मान ज्ञात कीजिए।
(i) ∠ACD
(ii) ∠BCD
(iii) ∠CBD
Answer:(i) त्रिभुज \( ACD \) में, कोणों का योग \( 180^{\circ} \) होता है। चूंकि \( CD \perp AB \) है, तो \( \angle CDA = 90^{\circ} \).
\( \implies \angle CAD + \angle CDA + \angle ACD = 180^{\circ} \)
\( \implies 65^{\circ} + 90^{\circ} + \angle ACD = 180^{\circ} \)
\( \implies 155^{\circ} + \angle ACD = 180^{\circ} \)
\( \implies \angle ACD = 180^{\circ} - 155^{\circ} \)
\( \implies \angle ACD = 25^{\circ} \)
एक त्रिभुज में एक समकोण और एक अन्य कोण ज्ञात होने पर तीसरा कोण आसानी से निकाला जा सकता है।
(ii) बड़े त्रिभुज \( ABC \) में, कोण \( C \) समकोण है, जिसका अर्थ है \( \angle ACB = 90^{\circ} \). इस कोण को \( \angle ACD \) और \( \angle BCD \) में बांटा गया है।
\( \implies \angle ACD + \angle BCD = 90^{\circ} \)
हमने पहले ही \( \angle ACD = 25^{\circ} \) निकाला है, तो:
\( \implies 25^{\circ} + \angle BCD = 90^{\circ} \)
\( \implies \angle BCD = 90^{\circ} - 25^{\circ} \)
\( \implies \angle BCD = 65^{\circ} \)
समकोण त्रिभुज में समकोण वाले शीर्ष से डाले गए लंब के कारण कोणों का विभाजन महत्वपूर्ण होता है।
(iii) त्रिभुज \( BCD \) में, कोणों का योग \( 180^{\circ} \) होता है। हमने \( \angle BCD = 65^{\circ} \) निकाला है, और \( CD \perp AB \) होने के कारण \( \angle CDB = 90^{\circ} \).
\( \implies \angle BCD + \angle CDB + \angle CBD = 180^{\circ} \)
\( \implies 65^{\circ} + 90^{\circ} + \angle CBD = 180^{\circ} \)
\( \implies 155^{\circ} + \angle CBD = 180^{\circ} \)
\( \implies \angle CBD = 180^{\circ} - 155^{\circ} \)
\( \implies \angle CBD = 25^{\circ} \)
इस प्रकार, त्रिभुज \( ABC \) में \( \angle A = \angle CBD \) और \( \angle B = \angle ACD \), जो यह दर्शाता है कि छोटे त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप हैं।
In simple words: (i) त्रिभुज ACD में, कोणों का जोड़ 180° होता है। ∠A 65° है और ∠CDA 90° है, तो ∠ACD 25° होगा। (ii) ∠C कुल 90° है। चूंकि ∠ACD 25° है, तो ∠BCD 90°-25° = 65° होगा। (iii) त्रिभुज BCD में, ∠BCD 65° और ∠CDB 90° है, तो ∠CBD 180° - (65°+90°) = 25° होगा।
🎯 Exam Tip: जब एक समकोण त्रिभुज में समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लम्ब डाला जाता है, तो बनने वाले दोनों छोटे त्रिभुज मूल त्रिभुज और एक दूसरे के समरूप होते हैं।
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UP Board Solutions Class 6 Maths Chapter 13 त्रिभुज
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