UP Board Solutions Class 6 Maths Chapter 11 Samikaran ek char mein

अभ्यास 11(a)

 

Question 1. निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए एवं अपने उत्तर की जाँच कीजिए-
(a) \( x+2=3 \)
(b) \( 3+x=4 \)
(c) \( 15=a+12 \)
Answer:
(a) हल : \( x+2 = 3 \)
\( \implies x = 3-2 \)
\( \implies x = 1 \)
जाँच : बायाँ पक्ष \( = x + 2 = 1+2=3 \)
दायाँ पक्ष \( = 3 \)
(बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष) हमारा उत्तर सही है। समीकरणों को हल करते समय हमेशा दोनों पक्षों की जाँच करना महत्वपूर्ण है।
(b) हल : \( 3+x = 4 \)
\( \implies x = 4-3 \)
\( \implies x = 1 \)
जाँच : बायाँ पक्ष \( = 3+x = 3+1=4 \)
दायाँ पक्ष \( = 4 \)
(बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष) यह जाँच पुष्टि करती है कि x का मान सही है।
(c) हल : \( 15=a+12 \)
\( \implies 15-12 = a \)
\( \implies a = 3 \)
इस प्रकार, a का मान 3 है जो समीकरण को संतुलित करता है।
In simple words: आपको दिए गए समीकरणों को हल करना है, जिसका मतलब है कि आपको अज्ञात मान (जैसे x या a) का पता लगाना है। इसके बाद, आपको अपने उत्तर की जाँच करनी है कि क्या वह समीकरण को सही बनाता है।

🎯 Exam Tip: समीकरण हल करने के बाद, हमेशा अपने उत्तर की जाँच मूल समीकरण में मान रखकर करें ताकि कोई गलती न हो।

 

Question 2. (a) \( 11=b-3 \)
(b) \( y-6=0 \)
(c) \( 3+g=3 \)
Answer:
(a) हल : \( 11=b-3 \)
\( \implies 11+3 = b \)
\( \implies b = 14 \)
b का मान 14 है, जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
(b) हल : \( y-6=0 \)
\( \implies y = 0+6 \)
\( \implies y = 6 \)
y का मान 6 है। यह एक सरल समीकरण है।
(c) हल : \( 3+g=3 \)
\( \implies g = 3-3 \)
\( \implies g = 0 \)
g का मान 0 है, जो समीकरण को संतुलित करता है।
In simple words: समीकरणों को हल करने के लिए, आपको अज्ञात संख्या को एक तरफ अकेला छोड़ना होता है। ऐसा करने के लिए, आप संख्याओं को समीकरण के दूसरी तरफ ले जाते हैं और उनके चिन्ह बदल देते हैं।

🎯 Exam Tip: जब आप एक संख्या को समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ ले जाते हैं, तो उसका चिन्ह (जोड़ या घटाव) हमेशा बदल जाता है।

 

Question 3. (a) \( 5g=10 \)
(b) \( 3x=12 \)
(c) \( 33=11x \)
Answer:
(a) हल : \( 5g = 10 \)
\( \implies g = \frac{10}{5} \)
\( \implies g = 2 \)
g का मान 2 है। विभाजन एक महत्वपूर्ण ऑपरेशन है।
(b) हल : \( 3x = 12 \)
\( \implies x = \frac{12}{3} \)
\( \implies x = 4 \)
x का मान 4 है, जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
(c) हल : \( 33 = 11x \)
\( \implies \frac{33}{11} = x \)
\( \implies x = 3 \)
x का मान 3 है, जो समीकरण को सही बनाता है।
In simple words: यदि कोई संख्या किसी अक्षर (वेरिएबल) के साथ गुणा हो रही है, तो उस अक्षर का मान निकालने के लिए आपको समीकरण के दूसरी तरफ की संख्या को इस संख्या से भाग देना होगा।

🎯 Exam Tip: जब एक संख्या और एक चर गुणा में हों, तो चर का मान निकालने के लिए गुणा वाली संख्या को बराबर के दूसरी ओर ले जाकर भाग करें।

 

Question 4. (a) \( \frac{x}{3}=2 \)
(b) \( \frac{7x}{15}=0 \)
(c) \( \frac{y}{5}=1 \)
Answer:
(a) हल : \( \frac{x}{3} = 2 \)
\( \implies x = 3 \times 2 \)
\( \implies x = 6 \)
x का मान 6 है। गुणा से समीकरण हल होते हैं।
(b) हल : \( \frac{7x}{15} = 0 \)
\( \implies 7x = 15 \times 0 \)
\( \implies 7x = 0 \)
\( \implies x = \frac{0}{7} \)
\( \implies x = 0 \)
x का मान 0 है। किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर 0 आता है।
(c) हल : \( \frac{y}{5} = 1 \)
\( \implies y = 5 \times 1 \)
\( \implies y = 5 \)
y का मान 5 है, जो समीकरण को संतुलित करता है।
In simple words: यदि कोई अक्षर किसी संख्या से भाग हो रहा है, तो उस अक्षर का मान निकालने के लिए आपको समीकरण के दूसरी तरफ की संख्या को इस संख्या से गुणा करना होगा।

🎯 Exam Tip: भिन्न वाले समीकरणों को हल करते समय, हर (denominator) को बराबर के दूसरी ओर ले जाकर गुणा करें ताकि चर अकेला हो जाए।

 

Question 5. (a) \( 2x-3=5 \)
(b) \( 3+4x=x+9 \)
(c) \( \frac{y}{7}+1=2 \)
(d) \( 3=10-z \)
(e) \( \frac{5y}{3}+1=6 \)
(f) \( 1.2x+3=4.2 \)
(g) \( \frac{2}{3}x-2=0 \)
(h) \( \frac{2x-3}{5}=7 \)
Answer:
(a) हल : \( 2x-3 = 5 \)
\( \implies 2x = 5+3 \)
\( \implies 2x = 8 \)
\( \implies x = \frac{8}{2} \)
\( \implies x = 4 \)
x का मान 4 है, जिसे सरल चरणों में हल किया गया।
(b) हल : \( 3+4x=x+9 \)
\( \implies 4x-x = 9-3 \)
\( \implies 3x = 6 \)
\( \implies x = \frac{6}{3} \)
\( \implies x = 2 \)
x का मान 2 है। एक तरफ सभी चरों को इकट्ठा करना पहला कदम है।
(c) हल : \( \frac{y}{7}+1 = 2 \)
\( \implies \frac{y}{7} = 2-1 \)
\( \implies \frac{y}{7} = 1 \)
\( \implies y = 1 \times 7 \)
\( \implies y = 7 \)
y का मान 7 है। यह चरण-दर-चरण प्रक्रिया का पालन करता है।
(d) हल : \( 3=10-z \)
\( \implies z = 10-3 \)
\( \implies z = 7 \)
z का मान 7 है, जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
(e) हल : \( \frac{5y}{3}+1 = 6 \)
\( \implies \frac{5y}{3} = 6-1 \)
\( \implies \frac{5y}{3} = 5 \)
\( \implies 5y = 5 \times 3 \)
\( \implies 5y = 15 \)
\( \implies y = \frac{15}{5} \)
\( \implies y = 3 \)
y का मान 3 है। इस समीकरण में भिन्नों को हल करना शामिल है।
(f) हल : \( 1.2x+3 = 4.2 \)
\( \implies 1.2x = 4.2-3 \)
\( \implies 1.2x = 1.2 \)
\( \implies x = \frac{1.2}{1.2} \)
\( \implies x = 1 \)
x का मान 1 है। दशमलव संख्याओं को भी समान नियमों से हल किया जाता है।
(g) हल : \( \frac{2}{3}x-2 = 0 \)
\( \implies \frac{2}{3}x = 0+2 \)
\( \implies \frac{2}{3}x = 2 \)
\( \implies 2x = 2 \times 3 \)
\( \implies 2x = 6 \)
\( \implies x = \frac{6}{2} \)
\( \implies x = 3 \)
x का मान 3 है। यह भिन्नात्मक गुणांक वाले समीकरण को हल करने का एक उदाहरण है।
(h) हल : \( \frac{2x-3}{5} = 7 \)
\( \implies 2x-3 = 7 \times 5 \)
\( \implies 2x-3 = 35 \)
\( \implies 2x = 35+3 \)
\( \implies 2x = 38 \)
\( \implies x = \frac{38}{2} \)
\( \implies x = 19 \)
x का मान 19 है। इस प्रकार के समीकरणों में, पहले हर को गुणा करें।
In simple words: इन सभी सवालों में आपको एक समीकरण दिया गया है जिसमें एक अज्ञात संख्या (जैसे x, y, a, या g) है। आपको सभी संख्याओं को एक तरफ और अज्ञात संख्या को दूसरी तरफ ले जाकर उस अज्ञात संख्या का मान निकालना है।

🎯 Exam Tip: भिन्न या दशमलव वाले समीकरणों को हल करते समय भी वही नियम लागू होते हैं; बस गणना करते समय अधिक सावधान रहें।

अभ्यास 11(b)

 

Question 1. निम्नांकित चित्र की सहायता से समीकरण बनाइए एवं x का मान ज्ञात कीजिए-
Answer:
यह चित्र एक रेखाखंड को दर्शाता है जिसकी कुल लंबाई 30 सेमी है, जिसे दो भागों में बांटा गया है: x सेमी और 17 सेमी। इससे हम एक समीकरण बना सकते हैं।

हल: \( x + 17 = 30 \)
\( \implies x = 30 - 17 \)
\( \implies x = 13 \) सेमी
अतः, x का मान 13 सेमी है। यह समीकरण गणितीय संबंधों को समझने में मदद करते हैं।
In simple words: चित्र में एक पूरी लंबाई 30 सेमी है, जिसके दो हिस्से हैं: एक 'x' और दूसरा 17 सेमी। हमें इन दोनों हिस्सों को जोड़कर कुल लंबाई के बराबर रखना है और फिर 'x' का मान निकालना है।

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय समस्याओं में, आकृतियों से सही समीकरण बनाने के लिए हमेशा दी गई सभी लंबाइयों और संबंधों का ध्यान रखें।

 

Question 2. राम की उम्र श्याम से 5 वर्ष अधिक है, यदि राम की वर्तमान उम्र 28 वर्ष है, तो श्याम की वर्तमान उम्र बताइए।
Answer:
माना श्याम की वर्तमान उम्र \( = x \) वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार, राम की वर्तमान उम्र \( = (x + 5) \) वर्ष।
हमें दिया गया है कि राम की वर्तमान उम्र \( = 28 \) वर्ष।
समीकरण बनाने पर: \( x + 5 = 28 \)
\( \implies x = 28 - 5 \)
\( \implies x = 23 \)
इसलिए, श्याम की वर्तमान उम्र 23 वर्ष है। उम्र संबंधी समस्याओं में समीकरण बनाना बहुत उपयोगी होता है।
In simple words: राम श्याम से 5 साल बड़ा है, और राम अभी 28 साल का है। तो, श्याम की उम्र पता करने के लिए, हमें 28 में से 5 घटाना होगा।

🎯 Exam Tip: ऐसे शब्दों की समस्याओं को हल करते समय, "अधिक", "कम", "गुणा", "भाग" जैसे कीवर्ड्स का उपयोग करके सही समीकरण बनाएं।

 

Question 3. किसी संख्या में 5 जोड़ने पर 15 प्राप्त होता है, संख्या बताइए।
Answer:
माना वह संख्या \( = x \) है।
प्रश्न के अनुसार, संख्या में 5 जोड़ने पर 15 प्राप्त होता है।
समीकरण बनाने पर: \( x + 5 = 15 \)
\( \implies x = 15 - 5 \)
\( \implies x = 10 \)
इसलिए, वह संख्या 10 है। यह एक सीधी समीकरण समस्या है।
In simple words: एक संख्या में 5 जोड़ने पर 15 मिलता है। वह संख्या जानने के लिए, 15 में से 5 घटा दो।

🎯 Exam Tip: अज्ञात संख्या को हमेशा एक चर (जैसे x) के रूप में लिखें और फिर शब्द समस्या को एक गणितीय समीकरण में बदल दें।

 

Question 4. शशि ने कुछ पेंसिलें खरीदीं। 2 पेंसिल उसने अपनी छोटी बहन को दे दी। अब उसके पास यदि 3 पेंसिलें बची हों, तो उसने कुल कितनी पेंसिलें खरीदी थीं?
Answer:
माना शशि ने कुल \( = x \) पेंसिलें खरीदी थीं।
उसने 2 पेंसिलें अपनी छोटी बहन को दे दीं।
अब उसके पास बची पेंसिलें \( = x - 2 \)
प्रश्न के अनुसार, उसके पास 3 पेंसिलें बची हैं।
समीकरण बनाने पर: \( x - 2 = 3 \)
\( \implies x = 3 + 2 \)
\( \implies x = 5 \)
इसलिए, शशि ने कुल 5 पेंसिलें खरीदी थीं। इस तरह के समीकरण वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं।
In simple words: शशि ने कुछ पेंसिलें खरीदीं, 2 बहन को दे दीं, और 3 बचीं। कुल पेंसिलें जानने के लिए, 3 में 2 जोड़ दो।

🎯 Exam Tip: "दे दीं" या "कम हो गईं" जैसे वाक्यांश घटाव को दर्शाते हैं, और "बचीं" का मतलब है कि घटाव के बाद जो संख्या बराबर में आती है।

 

Question 5. प्रज्ञा का वजन पहले से 3 किग्रा बढ़कर 17 किग्रा हो जाता है। उसका भार पहले क्या था?
Answer:
माना प्रज्ञा का वजन पहले \( = x \) किग्रा था।
उसका वजन 3 किग्रा बढ़ गया, तो नया वजन \( = x + 3 \) किग्रा।
प्रश्न के अनुसार, उसका नया वजन 17 किग्रा है।
स समीकरण बनाने पर: \( x + 3 = 17 \)
\( \implies x = 17 - 3 \)
\( \implies x = 14 \)
इसलिए, प्रज्ञा का वजन पहले 14 किग्रा था। वजन में बदलाव को समीकरणों से आसानी से समझा जा सकता है।
In simple words: प्रज्ञा का वजन 3 किलो बढ़ा और 17 किलो हो गया। तो, पहले उसका वजन कितना था यह जानने के लिए, 17 में से 3 घटाओ।

🎯 Exam Tip: "बढ़कर हो जाता है" का मतलब है कि प्रारंभिक मात्रा में वृद्धि हुई और फिर कुल परिणाम बराबर के बाद आता है।

 

Question 6. y मीटर लम्बे फीते को 7 बराबर भागों में बाँटा गया है। यदि प्रत्येक भाग की लम्बाई 3 मी हो, तो y का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना पूरे फीते की लम्बाई \( = y \) मीटर है।
इसे 7 बराबर भागों में बाँटा गया है।
प्रत्येक भाग की लम्बाई \( = 3 \) मीटर है।
तो, कुल लम्बाई \( = \) भागों की संख्या \( \times \) प्रत्येक भाग की लम्बाई
समीकरण बनाने पर: \( y = 7 \times 3 \)
\( \implies y = 21 \)
इसलिए, फीते की कुल लम्बाई 21 मीटर है। यह गुणा का एक सरल अनुप्रयोग है।
In simple words: एक y मीटर लंबा फीता है, जिसे 7 बराबर हिस्सों में बांटा गया है। हर हिस्सा 3 मीटर का है। तो, पूरे फीते की लंबाई जानने के लिए, 7 को 3 से गुणा करो।

🎯 Exam Tip: यदि किसी चीज़ को बराबर भागों में बांटा जाता है, तो कुल लंबाई निकालने के लिए भागों की संख्या को एक भाग की लंबाई से गुणा करें।

 

Question 7. किसी संख्या का आधा, उसकी चौथाई से 10 अधिक है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना कोई संख्या \( = x \) है।
संख्या का आधा \( = \frac{x}{2} \)
संख्या का चौथाई \( = \frac{x}{4} \)
प्रश्न के अनुसार, संख्या का आधा उसकी चौथाई से 10 अधिक है।
समीकरण बनाने पर: \( \frac{x}{2} = \frac{x}{4} + 10 \)
अब इसे हल करते हैं:
\( \implies \frac{x}{2} - \frac{x}{4} = 10 \)
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 4 लेने पर:
\( \implies \frac{2x - x}{4} = 10 \)
\( \implies \frac{x}{4} = 10 \)
\( \implies x = 10 \times 4 \)
\( \implies x = 40 \)
इसलिए, वह संख्या 40 है। भिन्नात्मक समीकरणों को हल करने के लिए भिन्नों को जोड़ना और घटाना आना चाहिए।
In simple words: एक संख्या का आधा हिस्सा उसके चौथाई हिस्से से 10 ज्यादा है। वह संख्या जानने के लिए, हम समीकरण बनाएंगे: \( \frac{x}{2} = \frac{x}{4} + 10 \), और फिर x का मान निकालेंगे।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक समीकरणों को हल करते समय, पहले सभी भिन्नों को एक तरफ लाएँ और फिर उन्हें सरल करने के लिए एक सामान्य हर (common denominator) का उपयोग करें।

 

Question 8. एक ठेले पर 550 संतरे हैं। इन्हें दो ठेलों पर इस प्रकार बॅटिए कि उनमें से एक पर दूसरे की अपेक्षा 50 संतरे अधिक हैं।
Answer:
माना पहले ठेले पर संतरों की संख्या \( = x \) है।
दूसरे ठेले पर संतरों की संख्या \( = x + 50 \) है।
कुल संतरों की संख्या \( = 550 \) है।
प्रश्न के अनुसार, कुल संतरे दोनों ठेलों पर मौजूद संतरों की संख्या के बराबर होंगे।
समीकरण बनाने पर: \( x + (x + 50) = 550 \)
\( \implies 2x + 50 = 550 \)
\( \implies 2x = 550 - 50 \)
\( \implies 2x = 500 \)
\( \implies x = \frac{500}{2} \)
\( \implies x = 250 \)
अतः, पहले ठेले पर 250 संतरे हैं।
दूसरे ठेले पर \( = x + 50 = 250 + 50 = 300 \) संतरे हैं।
दोनों ठेलों पर संतरों की संख्या का योग 550 है। यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि उत्तर वास्तविक जीवन की स्थितियों के अनुरूप हो।
In simple words: कुल 550 संतरे हैं जिन्हें दो ठेलों पर बांटना है। एक ठेले पर दूसरे से 50 संतरे ज्यादा होने चाहिए। तो, हम एक ठेले पर x संतरे और दूसरे पर x+50 संतरे मानकर समीकरण बनाएंगे और x का मान निकालेंगे।

🎯 Exam Tip: जब दो मात्राओं के बीच का अंतर दिया गया हो, तो छोटी मात्रा को x मानकर समीकरण बनाने से हल करना आसान हो जाता है।

 

Question 9. निम्नांकित समीकरणों को पश्चान्तर विधि से हल कीजिए।
(a) \( x + 6 = 10 \)
(b) \( x + 9 = 10 \)
Answer:
(a) समीकरण: \( x + 6 = 10 \)
इस विधि में हम x के विभिन्न मान रखकर जाँच करते हैं कि कब बायाँ पक्ष (LHS) दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर होता है। यह एक परीक्षण और त्रुटि (trial and error) विधि है।

अतः x के विभिन्न मानों में से केवल \( x = 4 \) ही ऐसा मान है जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है। इसलिए, \( x = 4 \) समीकरण का हल है। समीकरणों को हल करने के लिए परीक्षण विधि का उपयोग करना भी एक तरीका है।

(b) समीकरण: \( x + 9 = 10 \)
हम फिर से x के अलग-अलग मानों को आजमाकर देखेंगे कि कब दोनों पक्ष बराबर होते हैं। यह विधि समीकरणों की मूल समझ बनाने में सहायक है।
अतः x के विभिन्न मानों में से \( x = 1 \) ही ऐसा मान है जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है। इसलिए, \( x = 1 \) समीकरण का हल है। विभिन्न मानों के साथ प्रयोग करना गणितीय अंतर्दृष्टि विकसित करने में मदद करता है।
In simple words: आपको x के अलग-अलग मानों को समीकरण \( x + 9 = 10 \) में रखकर यह देखना है कि बायां पक्ष (x+9) कब दाएं पक्ष (10) के बराबर आता है। जिस मान पर यह बराबर हो जाए, वही आपका उत्तर है।

🎯 Exam Tip: पश्चान्तर विधि (Trial and Error method) में, आपको विभिन्न मानों को तब तक आज़माना चाहिए जब तक आपको समीकरण को संतुष्ट करने वाला मान न मिल जाए।

 

Question 10. निम्नांकित समीकरणों को पक्षान्तर विधि से हल कीजिए।
(a) \( P + 19 = 21 \)
(b) \( n - 7 = 8 \)
(c) \( x - 11 = 20 \)
(d) \( 7 = y + 8 \)
(e) \( x + 5 = 0 \)
Answer:
(a) समीकरण: \( P + 19 = 21 \)
दोनों पक्षों से 19 घटाने पर:
\( \implies P + 19 - 19 = 21 - 19 \)
\( \implies P = 2 \)
अतः P का मान 2 है। पक्षान्तर विधि में, हम बराबर के दोनों ओर एक ही संख्या को जोड़ या घटा सकते हैं।

(b) समीकरण: \( n - 7 = 8 \)
दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर:
\( \implies n - 7 + 7 = 8 + 7 \)
\( \implies n = 15 \)
अतः n का मान 15 है। यह अज्ञात चर को अलग करने का एक तरीका है।

(c) समीकरण: \( x - 11 = 20 \)
दोनों पक्षों में 11 जोड़ने पर:
\( \implies x - 11 + 11 = 20 + 11 \)
\( \implies x = 31 \)
अतः x का मान 31 है। संतुलन बनाए रखने के लिए, दोनों पक्षों में समान संक्रिया करनी होती है।

(d) समीकरण: \( 7 = y + 8 \)
दोनों पक्षों से 8 घटाने पर:
\( \implies 7 - 8 = y + 8 - 8 \)
\( \implies -1 = y \)
या \( y = -1 \)
अतः y का मान -1 है। नकारात्मक संख्याएँ भी समीकरणों के हल हो सकती हैं।

(e) समीकरण: \( x + 5 = 0 \)
दोनों पक्षों से 5 घटाने पर:
\( \implies x + 5 - 5 = 0 - 5 \)
\( \implies x = -5 \)
अतः x का मान -5 है। पक्षान्तर विधि का उपयोग करके x का मान -5 प्राप्त होता है।
In simple words: पक्षान्तर विधि का मतलब है कि आपको समीकरण के दोनों तरफ एक ही संख्या को जोड़ना, घटाना, गुणा करना या भाग करना है, ताकि अज्ञात अक्षर (जैसे P, n, x, y) एक तरफ अकेला रह जाए और उसका मान निकल आए।

🎯 Exam Tip: पक्षान्तर विधि का उपयोग करते समय, याद रखें कि समीकरण के दोनों पक्षों पर हमेशा एक ही क्रिया (जोड़ना, घटाना, गुणा करना या भाग करना) करें ताकि संतुलन बना रहे।