UP Board Solutions Class 6 Maths Chapter 10 Laghuttam samapvartya evam mahattam samapvartak

अभ्यास 10(a)

 

Question 1. स्तम्भ 1 की संख्याओं का स्तम्भ 2 के अपवर्तकों से मिलान कीजिए (मिलान करके)-
स्तम्भ 1 स्तम्भ 2
(i) 15 (ग) 1, 3, 5, 15
(ii) 24 (ङ) 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24
(iii) 21 (घ) 1, 3, 7, 21
(iv) 32 (क) 1, 2, 4, 8, 16, 32
(v) 36 (ख) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Answer:
(i) 15 – (ग) 1, 3, 5, 15
(ii) 24 – (ङ) 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24
(iii) 21 – (घ) 1, 3, 7, 21
(iv) 32 – (क) 1, 2, 4, 8, 16, 32
(v) 36 – (ख) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
ये सभी संख्याएँ अपनी-अपनी अपवर्तकों (गुणनखंडों) की सूची से सही ढंग से मेल खाती हैं। संख्याओं के अपवर्तक वे संख्याएँ होती हैं जिनसे दी गई संख्या पूरी तरह विभाजित होती है।
In simple words: हर संख्या को उसके गुणनखंडों से मिलाया गया है. गुणनखंड वो संख्याएँ होती हैं जिनसे उस संख्या को पूरा-पूरा भाग दिया जा सकता है.

🎯 Exam Tip: अपवर्तक (factor) और गुणज (multiple) के बीच के अंतर को हमेशा याद रखें; अपवर्तक दी गई संख्या को विभाजित करते हैं, जबकि गुणज दी गई संख्या से विभाजित होते हैं।

 

Question 2. निम्नांकित संख्याओं के प्रथम पाँच गुणज लिखिए (लिखकर)-
(क) 3 के प्रथम पाँच गुणज = 3, 6, 9, 12, 15
(ख) 4 के प्रथम पाँच गुणज = 4, 8, 12, 16, 20
(ग) 5 के प्रथम पाँच गुणज = 5, 10, 15, 20, 25
(घ) 9 के प्रथम पाँच गुणज = 9, 18, 27, 36, 45
Answer:
(क) 3 के प्रथम पाँच गुणज: 3, 6, 9, 12, 15
(ख) 4 के प्रथम पाँच गुणज: 4, 8, 12, 16, 20
(ग) 5 के प्रथम पाँच गुणज: 5, 10, 15, 20, 25
(घ) 9 के प्रथम पाँच गुणज: 9, 18, 27, 36, 45
गुणज किसी संख्या को किसी भी पूर्ण संख्या (शून्य को छोड़कर) से गुणा करने पर प्राप्त होते हैं। इन्हें अक्सर 'पहाड़ा' भी कहा जाता है।
In simple words: गुणज मतलब पहाड़ा. संख्या को 1, 2, 3, 4, 5 से गुणा करके पहले पाँच गुणज मिलते हैं.

🎯 Exam Tip: किसी भी संख्या के गुणज अनंत होते हैं, लेकिन प्रश्न में मांगी गई संख्या तक ही लिखें। उदाहरण के लिए, 'प्रथम पाँच गुणज' का अर्थ है संख्या को 1 से 5 तक गुणा करने पर प्राप्त होने वाले मान।

 

Question 3. स्तम्भ 1 की संख्याओं का स्तम्भ 2 के साथ मिलान कीजिए (मिलान करके)-
स्तम्भ 1 स्तम्भ 2
(1) 15 (घ) 30 का अपवर्तक
(2) 20 (ङ) 20 का अपवर्तक
(3) 16 (ख) 8 का गुणज
(4) 25 (ग) 50 का अपवर्तक
(5) 35 (क) 7 का गुणज
Answer:
(1) 15 – (घ) 30 का अपवर्तक (15, 30 को विभाजित करता है)
(2) 20 – (ङ) 20 का अपवर्तक (20, 20 को विभाजित करता है)
(3) 16 – (ख) 8 का गुणज (16, 8 से विभाजित होता है)
(4) 25 – (ग) 50 का अपवर्तक (25, 50 को विभाजित करता है)
(5) 35 – (क) 7 का गुणज (35, 7 से विभाजित होता है)
यह मिलान दिखाता है कि कौन सी संख्या दूसरी संख्या का गुणनखंड है (अपवर्तक) या उसका गुणज है।
In simple words: यहाँ संख्याओं का उनके गुणनखंडों या गुणजों से मिलान किया गया है. 'अपवर्तक' मतलब जिससे भाग हो जाए, और 'गुणज' मतलब जो संख्या के पहाड़े में आए.

🎯 Exam Tip: 'अपवर्तक' का मतलब है गुणनखंड (factor), और 'गुणज' का मतलब है मल्टीपल (multiple)। इस अंतर को समझकर ही सही मिलान किया जा सकता है।

 

Question 4. 7 के सभी अपवर्त्य ज्ञात कीजिए जो 100 से कम हो ।
Answer: 7 के अपवर्त्य जो 100 से कम हैं, वे हैं: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98। ये सभी संख्याएँ 7 के पहाड़े में आती हैं और 100 से छोटी हैं।
In simple words: 7 के ऐसे पहाड़े की संख्याएँ ढूँढनी हैं जो 100 से छोटी हों.

🎯 Exam Tip: गुणज (अपवर्त्य) ज्ञात करते समय, दी गई संख्या को 1, 2, 3... से गुणा करें और सीमा तक पहुँचने पर रुक जाएँ।

 

Question 5. 496 के सभी अपवर्तकों को लिखिए और दिखाइए की यह एक सम्पूर्ण संख्या है।
Answer: 496 के अपवर्तक हैं: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496।
सभी गुणनखंडों का योग (संख्या को छोड़कर): \( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496 \).
चूँकि उसके सभी उचित अपवर्तकों का योग स्वयं संख्या 496 के बराबर है, इसलिए 496 एक सम्पूर्ण संख्या है। एक सम्पूर्ण संख्या वह होती है जिसके उचित गुणनखंडों (स्वयं संख्या को छोड़कर) का योग उस संख्या के बराबर होता है।
In simple words: 496 के सभी ऐसे गुणनखंडों को जोड़ो जो 496 से छोटे हैं. अगर उनका जोड़ 496 के बराबर आता है, तो यह एक ख़ास तरह की संख्या 'सम्पूर्ण संख्या' है.

🎯 Exam Tip: एक संख्या के सभी अपवर्तक (गुणनखंड) ज्ञात करने के लिए, आप उन सभी संख्याओं को व्यवस्थित रूप से ढूँढें जिनसे वह संख्या पूरी तरह विभाजित होती है। एक सम्पूर्ण संख्या में, उसके उचित अपवर्तकों (संख्या को छोड़कर) का योग उस संख्या के बराबर होता है।

 

Question 6. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए ।
1. प्रत्येक संख्या स्वयं की अपवर्तक होती है।
2. प्रत्येक संख्या का पूर्ण विभाजक उसका अपवर्तक होता है।
3. किसी संख्या का प्रत्येक अपवर्तक उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है।
4. प्रत्येक संख्या अपने अपवर्तक का एक अपवर्त्य होती है।
5. 78 के अपवर्तक हैं 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78.
Answer:
1. प्रत्येक संख्या स्वयं की अपवर्तक होती है।
2. प्रत्येक संख्या का पूर्ण विभाजक उसका अपवर्तक होता है।
3. किसी संख्या का प्रत्येक अपवर्तक उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है।
4. प्रत्येक संख्या अपने अपवर्तक का एक अपवर्त्य होती है।
5. 78 के अपवर्तक हैं 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78.
ये नियम गुणनखंडों और गुणजों के मूल सिद्धांतों को समझाते हैं। उदाहरण के लिए, हर संख्या को 1 और स्वयं से भाग दिया जा सकता है।
In simple words: खाली जगहों में सही शब्द भरे गए हैं. ये शब्द गुणनखंड और गुणज के बारे में बताते हैं.

🎯 Exam Tip: अपवर्तक (गुणनखंड) और अपवर्त्य (गुणज) की परिभाषाओं को अच्छी तरह समझ लें, क्योंकि ये संख्या सिद्धांत के मूल आधार हैं।

अभ्यास 10(b)

 

Question 1. 9 के अभाज्य गुणनखण्ड बताइए।
Answer: 9 के अभाज्य गुणनखंड \( 3 \times 3 \) हैं। यह सिर्फ 3 और 3 से मिलकर बना है, और 3 एक अभाज्य संख्या है।
In simple words: 9 को गुणा करके 3 और 3 मिलता है, जो अभाज्य गुणनखंड हैं.

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें केवल 1 और स्वयं से विभाजित किया जा सकता है। किसी भी संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

 

Question 2. यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखण्ड 2, 2 और 3 हैं, तो संख्या बताइए ।
Answer: यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड 2, 2 और 3 हैं, तो वह संख्या इन गुणनखंडों को गुणा करने पर प्राप्त होगी: \( 2 \times 2 \times 3 = 12 \)। इस प्रकार, संख्या 12 है।
In simple words: 2, 2 और 3 को गुणा करने पर 12 आता है, तो संख्या 12 है.

🎯 Exam Tip: किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल हमेशा वही संख्या देता है जिसके वे गुणनखंड होते हैं।

 

Question 3. एक संख्या के गुणनखण्ड 8 और 3 हैं। उसके अभाज्य गुणनखण्ड बताइए।
Answer: यदि एक संख्या के गुणनखंड 8 और 3 हैं, तो संख्या है \( 8 \times 3 = 24 \)।
अब 24 के अभाज्य गुणनखंड निकालने के लिए, हम 8 और 3 के अभाज्य गुणनखंडों को मिलाते हैं। 8 के अभाज्य गुणनखंड \( 2 \times 2 \times 2 \) हैं, और 3 एक अभाज्य संख्या है।
तो, 24 के अभाज्य गुणनखंड \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \) हैं।
In simple words: 8 और 3 से गुणा करके संख्या 24 बनती है. 24 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2, 2, और 3 हैं.

🎯 Exam Tip: जब आपको गुणनखंड दिए गए हों, तो पहले संख्या ज्ञात करें, और फिर उस संख्या के अभाज्य गुणनखंड निकालें।

 

Question 4. यहाँ 60 के लिए दो भिन्न-भिन्न गुणनखण्ड वृक्ष दिए गए हैं। इनमें अज्ञात संख्याओं को अपनी अभ्यास पुस्तिका पर लिखिए।
Answer:
पहले गुणनखंड वृक्ष में:
\( 60 \rightarrow 6 \times 10 \)
\( 6 \rightarrow 2 \times 3 \)
\( 10 \rightarrow \text{अज्ञात} \times 5 \Rightarrow \text{अज्ञात} = 2 \)
दूसरे गुणनखंड वृक्ष में:
\( 60 \rightarrow 2 \times 30 \)
\( 30 \rightarrow 10 \times \text{अज्ञात} \Rightarrow \text{अज्ञात} = 3 \)
\( 10 \rightarrow \text{अज्ञात} \times \text{अज्ञात} \Rightarrow \text{अज्ञात} = 2 \times 5 \)
अज्ञात संख्याएँ क्रमशः 2, 3, 2, 5 हैं। गुणनखंड वृक्ष एक संख्या को उसके गुणनखंडों में तोड़ने का एक अच्छा तरीका है।
In simple words: पहले पेड़ में 10 के नीचे 2 और 5 आएगा. दूसरे पेड़ में 30 के नीचे 3 आएगा, और 10 के नीचे 2 और 5 आएगा.

🎯 Exam Tip: गुणनखंड वृक्ष में, किसी भी संख्या की शाखाएँ हमेशा ऐसी दो संख्याओं में बँटती हैं जिनका गुणनफल ऊपर वाली संख्या के बराबर होता है। जब तक आपको अभाज्य संख्याएँ न मिल जाएँ, तब तक यह प्रक्रिया दोहराएँ।

 

Question 5. चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या लिखिए और उसे अभाज्य गुणनखण्ड के रूप में व्यक्त कीजिए।
Answer: चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है।
9999 का अभाज्य गुणनखंड: \( 3 \times 3 \times 11 \times 101 \)
यह संख्या 9999 को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दिखाती है।
In simple words: चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है. इसके अभाज्य गुणनखंड 3, 3, 11, और 101 हैं.

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंडन करते समय, सबसे छोटी अभाज्य संख्या (2) से शुरू करें और फिर धीरे-धीरे अगली अभाज्य संख्याओं (3, 5, 7, 11, आदि) से विभाजित करते रहें जब तक कि सभी गुणनखंड अभाज्य न हो जाएँ।

 

Question 6. पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या लिखिए और उसे अभाज्य गुणनखण्ड के रूप में व्यक्त कीजिए।
Answer: पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या 10000 है।
10000 का अभाज्य गुणनखंड: \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \)
यह दर्शाता है कि 10000 को बनाने के लिए केवल 2 और 5 के गुणकों का उपयोग होता है, जो कि अभाज्य संख्याएँ हैं।
In simple words: पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या 10000 है. इसके अभाज्य गुणनखंड 2, 2, 2, 2, 5, 5, 5, और 5 हैं.

🎯 Exam Tip: 10000 जैसी बड़ी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड निकालते समय, विभाज्यता के नियमों का उपयोग करें (जैसे कि 10 के लिए 2 और 5) ताकि प्रक्रिया आसान हो।

 

Question 7. 1728 के अभाज्य गुणनखण्ड भाग-विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
Answer: 1728 के अभाज्य गुणनखंड भाग-विधि द्वारा इस प्रकार हैं:
\( 1728 \div 2 = 864 \)
\( 864 \div 2 = 432 \)
\( 432 \div 2 = 216 \)
\( 216 \div 2 = 108 \)
\( 108 \div 2 = 54 \)
\( 54 \div 2 = 27 \)
\( 27 \div 3 = 9 \)
\( 9 \div 3 = 3 \)
\( 3 \div 3 = 1 \)
अतः, 1728 के अभाज्य गुणनखंड \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \) हैं। यह विधि अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने का एक व्यवस्थित तरीका है।
In simple words: 1728 को छोटे अभाज्य संख्याओं से बार-बार भाग देते जाओ जब तक 1 न आ जाए. जो संख्याएँ भाग देती हैं, वही उसके अभाज्य गुणनखंड हैं.

🎯 Exam Tip: भाग-विधि में, हमेशा सबसे छोटी अभाज्य संख्या से विभाजित करना शुरू करें और तभी अगली अभाज्य संख्या पर जाएँ जब वर्तमान अभाज्य संख्या से विभाजन संभव न हो।

 

Question 8. निम्नांकित संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए- 112, 120, 135, 140, 150, 1228
Answer:
**112 के अभाज्य गुणनखंड:**
\( 112 \div 2 = 56 \)
\( 56 \div 2 = 28 \)
\( 28 \div 2 = 14 \)
\( 14 \div 2 = 7 \)
\( 7 \div 7 = 1 \)
अतः, \( 112 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \)

**120 के अभाज्य गुणनखंड:**
\( 120 \div 2 = 60 \)
\( 60 \div 2 = 30 \)
\( 30 \div 2 = 15 \)
\( 15 \div 3 = 5 \)
\( 5 \div 5 = 1 \)
अतः, \( 120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \)

**135 के अभाज्य गुणनखंड:**
\( 135 \div 3 = 45 \)
\( 45 \div 3 = 15 \)
\( 15 \div 3 = 5 \)
\( 5 \div 5 = 1 \)
अतः, \( 135 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \)

**140 के अभाज्य गुणनखंड:**
\( 140 \div 2 = 70 \)
\( 70 \div 2 = 35 \)
\( 35 \div 5 = 7 \)
\( 7 \div 7 = 1 \)
अतः, \( 140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7 \)

**150 के अभाज्य गुणनखंड:**
\( 150 \div 2 = 75 \)
\( 75 \div 3 = 25 \)
\( 25 \div 5 = 5 \)
\( 5 \div 5 = 1 \)
अतः, \( 150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5 \)

**1228 के अभाज्य गुणनखंड:**
\( 1228 \div 2 = 614 \)
\( 614 \div 2 = 307 \)
\( 307 \div 307 = 1 \)
अतः, \( 1228 = 2 \times 2 \times 307 \)
प्रत्येक संख्या को उसकी अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ा गया है, जिससे यह समझना आसान हो जाता है कि वे किन मौलिक संख्याओं से मिलकर बनी हैं।
In simple words: हर संख्या को छोटे-छोटे अभाज्य संख्याओं से तब तक भाग दिया गया है जब तक 1 न आ जाए. ये अभाज्य संख्याएँ ही उसके गुणनखंड हैं.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपके अभाज्य गुणनखंड सही हैं, सभी अभाज्य गुणनखंडों को आपस में गुणा करके मूल संख्या की जाँच करें।

 

Question 9. 80 और 90 के बीच की अभाज्य संख्या है-
Answer: 80 और 90 के बीच की अभाज्य संख्याएँ 83 और 89 हैं। ये संख्याएँ केवल 1 और स्वयं से विभाजित होती हैं, किसी और संख्या से नहीं।
In simple words: 80 और 90 के बीच की अभाज्य संख्याएँ 83 और 89 हैं, क्योंकि इन्हें सिर्फ 1 और अपने आप से ही भाग दिया जा सकता है.

🎯 Exam Tip: अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और स्वयं वह संख्या। 80 से 90 के बीच की संख्याओं के लिए, अन्य छोटी अभाज्य संख्याओं (2, 3, 5, 7) से विभाज्यता की जाँच करें।

 

Question 10. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-
(i) वे संख्याएँ जिनके दो या दो अधिक अपवर्तक होते हैं भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।
(ii) वे संख्याएँ जिनके अपवर्तक 1 और स्वयं वह संख्या होती है, अभाज्य संख्याएँ कहलाती है।
(iii) एक न तो भाज्य और न ही अभाज्य है।
(iv) एक संख्या के अपवर्त्य 7, 14, 21, 28, हैं। वह संख्या 7 है।
Answer:
(i) वे संख्याएँ जिनके दो या दो से अधिक अपवर्तक होते हैं भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।
(ii) वे संख्याएँ जिनके अपवर्तक 1 और स्वयं वह संख्या होती है, अभाज्य संख्याएँ कहलाती है।
(iii) एक न तो भाज्य और न ही अभाज्य है।
(iv) एक संख्या के अपवर्त्य 7, 14, 21, 28, हैं। वह संख्या 7 है।
ये सभी परिभाषाएँ संख्याओं के प्रकार और उनके गुणों को समझने के लिए महत्वपूर्ण हैं। संख्या 1 एक अद्वितीय संख्या है क्योंकि यह न तो अभाज्य है और न ही भाज्य।
In simple words: खाली जगहों में सही शब्द भरे गए हैं. भाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनके कई गुणनखंड होते हैं, अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनके केवल 1 और खुद ही गुणनखंड होते हैं, और 1 ऐसी संख्या है जो न तो भाज्य है न अभाज्य.

🎯 Exam Tip: भाज्य, अभाज्य और संख्या 1 की परिभाषाओं को कंठस्थ कर लें। यह संख्या प्रणाली को समझने के लिए मौलिक ज्ञान है।

अभ्यास 10(c)

 

Question 1. अभाज्य गुणनखण्डन द्वारा निम्नांकित संख्याओं के म०स० ज्ञात कीजिए।
(i) 144, 198
(ii) 225, 450
(iii) 13, 39, 273
(iv) 120, 144, 204
(v) 101, 909, 1111
(vi) 625, 3125, 15625
Answer:
(i) 144 और 198 का म०स०:
\( 144 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
\( 198 = 2 \times 3 \times 3 \times 11 \)
सामान्य अभाज्य गुणनखंड हैं: \( 2, 3, 3 \)
म०स० \( = 2 \times 3 \times 3 = 18 \)

(ii) 225 और 450 का म०स०:
\( 225 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \)
\( 450 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \)
सामान्य अभाज्य गुणनखंड हैं: \( 3, 3, 5, 5 \)
म०स० \( = 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 225 \)

(iii) 13, 39 और 273 का म०स०:
\( 13 = 1 \times 13 \)
\( 39 = 3 \times 13 \)
\( 273 = 3 \times 7 \times 13 \)
सामान्य अभाज्य गुणनखंड है: \( 13 \)
म०स० \( = 13 \)

(iv) 120, 144 और 204 का म०स०:
\( 120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \)
\( 144 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
\( 204 = 2 \times 2 \times 3 \times 17 \)
सामान्य अभाज्य गुणनखंड हैं: \( 2, 2, 3 \)
म०स० \( = 2 \times 2 \times 3 = 12 \)

(v) 101, 909 और 1111 का म०स०:
\( 101 = 1 \times 101 \)
\( 909 = 3 \times 3 \times 101 \)
\( 1111 = 11 \times 101 \)
सामान्य अभाज्य गुणनखंड है: \( 101 \)
म०स० \( = 101 \)

(vi) 625, 3125 और 15625 का म०स०:
\( 625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \)
\( 3125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \)
\( 15625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \)
सामान्य अभाज्य गुणनखंड हैं: \( 5, 5, 5, 5 \)
म०स० \( = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625 \)
अभाज्य गुणनखंड विधि से म०स० ज्ञात करने के लिए, सभी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड लिखते हैं और फिर उनमें से सामान्य गुणनखंडों को चुनकर गुणा करते हैं।
In simple words: हर संख्या के अभाज्य गुणनखंड निकालो. फिर देखो कि कौन से अभाज्य गुणनखंड सब में हैं. उन सब को गुणा करके म०स० मिलेगा.

🎯 Exam Tip: म०स० (HCF) ज्ञात करते समय, केवल उन्हीं अभाज्य गुणनखंडों को चुनें जो सभी दी गई संख्याओं में मौजूद हों, और उन्हें सबसे कम बार (जितनी बार वे सभी में उपस्थित हों) गुणा करें।

 

Question 2. भाग-विधि द्वारा निम्नांकित संख्याओं को म० ज्ञात कीजिए-
(i) 442, 1261
(ii) 935, 1320
(iii) 1624, 522, 1276
(iv) 2241, 8217, 747
Answer:
(i) 442 और 1261 का म०स०:
\( 1261 \div 442 \implies \text{भागफल } 2, \text{ शेष } 377 \)
\( 442 \div 377 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 65 \)
\( 377 \div 65 \implies \text{भागफल } 5, \text{ शेष } 52 \)
\( 65 \div 52 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 13 \)
\( 52 \div 13 \implies \text{भागफल } 4, \text{ शेष } 0 \)
म०स० \( = 13 \)

(ii) 935 और 1320 का म०स०:
\( 1320 \div 935 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 385 \)
\( 935 \div 385 \implies \text{भागफल } 2, \text{ शेष } 165 \)
\( 385 \div 165 \implies \text{भागफल } 2, \text{ शेष } 55 \)
\( 165 \div 55 \implies \text{भागफल } 3, \text{ शेष } 0 \)
म०स० \( = 55 \)

(iii) 1624, 522, 1276 का म०स०:
पहले 1624 और 522 का म०स० ज्ञात करें:
\( 1624 \div 522 \implies \text{भागफल } 3, \text{ शेष } 58 \)
\( 522 \div 58 \implies \text{भागफल } 9, \text{ शेष } 0 \)
तो 1624 और 522 का म०स० 58 है।
अब 58 और 1276 का म०स० ज्ञात करें:
\( 1276 \div 58 \implies \text{भागफल } 22, \text{ शेष } 0 \)
म०स० \( = 58 \)

(iv) 2241, 8217, 747 का म०स०:
पहले 2241 और 747 का म०स० ज्ञात करें:
\( 2241 \div 747 \implies \text{भागफल } 3, \text{ शेष } 0 \)
तो 2241 और 747 का म०स० 747 है।
अब 747 और 8217 का म०स० ज्ञात करें:
\( 8217 \div 747 \implies \text{भागफल } 11, \text{ शेष } 0 \)
म०स० \( = 747 \)
भाग-विधि म०स० ज्ञात करने के लिए एक सरल और प्रभावी तरीका है, खासकर जब संख्याएँ बड़ी हों।
In simple words: म०स० निकालने के लिए, छोटी संख्या से बड़ी संख्या को भाग देते जाओ. जो शेष बचे, उससे पहले वाले भाजक को भाग दो. यह तब तक करते रहो जब तक शेषफल 0 न आ जाए. अंतिम भाजक ही म०स० होगा.

🎯 Exam Tip: भाग-विधि में, शेषफल हमेशा भाजक बन जाता है, और पिछला भाजक भाज्य। यदि तीन या अधिक संख्याएँ हों, तो पहले दो संख्याओं का म०स० ज्ञात करें, फिर उस म०स० का तीसरी संख्या के साथ म०स० ज्ञात करें, और इसी तरह आगे बढ़ें।

 

Question 3. वह बड़ी से बड़ी संख्या बताइए जिससे 125 और 94 को भाग देने पर प्रत्येक दशा में 1 शेष रहे ।
Answer: चूंकि प्रत्येक स्थिति में 1 शेष बचता है, इसका मतलब है कि वह संख्या 125 - 1 = 124 और 94 - 1 = 93 को पूरी तरह विभाजित करेगी।
हमें 124 और 93 का म०स० ज्ञात करना होगा।
\( 124 \div 93 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 31 \)
\( 93 \div 31 \implies \text{भागफल } 3, \text{ शेष } 0 \)
अतः, म०स० \( = 31 \)।
वह सबसे बड़ी संख्या 31 है। यह हमें यह समझने में मदद करता है कि जब शेषफल दिया हो तो संख्याएँ कैसे समायोजित की जाती हैं।
In simple words: जब 1 शेष बचता है, तो संख्याओं में से 1 घटा दो. फिर इन नई संख्याओं का सबसे बड़ा गुणनखंड (म०स०) निकालो, वही जवाब होगा.

🎯 Exam Tip: जब 'प्रत्येक दशा में एक निश्चित शेष बचे' कहा जाए, तो पहले दी गई संख्याओं में से उस शेषफल को घटा दें, और फिर परिणामी संख्याओं का म०स० (HCF) ज्ञात करें।

 

Question 4. वह बड़ी से बड़ी संख्या बताइए जिससे 49, 59 और 109 को भाग देने पर क्रमशः 1,3 और 5 शेष रहे ।
Answer: चूंकि क्रमशः 1, 3 और 5 शेष रहते हैं, इसलिए हमें उन संख्याओं को ढूंढना होगा जिन्हें पूरी तरह विभाजित किया जा सके।
\( 49 - 1 = 48 \)
\( 59 - 3 = 56 \)
\( 109 - 5 = 104 \)
अब, हमें 48, 56 और 104 का म०स० ज्ञात करना है।

म०स० \( = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)।
अतः, अभीष्ट संख्या 8 है। यह विधि हमें ऐसे मामलों में सही भाजक ज्ञात करने में मदद करती है जहाँ भिन्न शेषफल बचते हैं।
In simple words: हर संख्या में से उसका शेष घटा दो. फिर इन बची हुई संख्याओं का सबसे बड़ा गुणनखंड (म०स०) निकालो, वही जवाब होगा.

🎯 Exam Tip: जब अलग-अलग शेषफल दिए गए हों, तो प्रत्येक संख्या में से उसका विशिष्ट शेषफल घटाएँ और फिर परिणामी संख्याओं का म०स० ज्ञात करें। यह सुनिश्चित करता है कि संख्याएँ पूरी तरह से विभाज्य हों।

 

Question 5. निम्नांकित भिन्नों को अंश एवं हर में उनके म०स० से भाग देते हुए सरलतम रूप में बदलिए-
(i) \( \frac { 256 }{ 1444 } \)
(ii) \( \frac { 286 }{ 468 } \)
(iii) \( \frac { 6633 }{ 15075 } \)
Answer:
(i) \( \frac { 256 }{ 1444 } \)
256 और 1444 का म०स० ज्ञात करें:
\( 1444 \div 256 \implies \text{भागफल } 5, \text{ शेष } 164 \)
\( 256 \div 164 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 92 \)
\( 164 \div 92 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 72 \)
\( 92 \div 72 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 20 \)
\( 72 \div 20 \implies \text{भागफल } 3, \text{ शेष } 12 \)
\( 20 \div 12 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 8 \)
\( 12 \div 8 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 4 \)
\( 8 \div 4 \implies \text{भागफल } 2, \text{ शेष } 0 \)
म०स० \( = 4 \)
भिन्न का सरलतम रूप: \( \frac { 256 \div 4 }{ 1444 \div 4 } = \frac { 64 }{ 361 } \)

(ii) \( \frac { 286 }{ 468 } \)
286 और 468 का म०स० ज्ञात करें:
\( 468 \div 286 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 182 \)
\( 286 \div 182 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 104 \)
\( 182 \div 104 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 78 \)
\( 104 \div 78 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 26 \)
\( 78 \div 26 \implies \text{भागफल } 3, \text{ शेष } 0 \)
म०स० \( = 26 \)
भिन्न का सरलतम रूप: \( \frac { 286 \div 26 }{ 468 \div 26 } = \frac { 11 }{ 18 } \)

(iii) \( \frac { 6633 }{ 15075 } \)
6633 और 15075 का म०स० ज्ञात करें:
\( 15075 \div 6633 \implies \text{भागफल } 2, \text{ शेष } 1809 \)
\( 6633 \div 1809 \implies \text{भागफल } 3, \text{ शेष } 1206 \)
\( 1809 \div 1206 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 603 \)
\( 1206 \div 603 \implies \text{भागफल } 2, \text{ शेष } 0 \)
म०स० \( = 603 \)
भिन्न का सरलतम रूप: \( \frac { 6633 \div 603 }{ 15075 \div 603 } = \frac { 11 }{ 25 } \)
किसी भिन्न को सरलतम रूप में बदलने के लिए, उसके अंश और हर को उनके म०स० से विभाजित करना सबसे प्रभावी तरीका है।
In simple words: भिन्न को आसान बनाने के लिए, ऊपर और नीचे वाली संख्या का सबसे बड़ा गुणनखंड (म०स०) निकालो. फिर ऊपर और नीचे दोनों संख्याओं को उस म०स० से भाग दे दो.

🎯 Exam Tip: भिन्न को सरलतम रूप में बदलने के लिए, अंश और हर को उनके म०स० से विभाजित करें। यह एक ही बार में भिन्न को सबसे छोटे रूप में ले आता है।

अभ्यास 10(d)

 

Question 1. प्रश्नवाचक चिह्न में उचित संख्या भरिए (भरकर)-
Answer: प्रश्नवाचक चिह्न में उचित संख्या 42 है।
यह प्रश्न शायद किसी पैटर्न या श्रेणी पर आधारित है जो संदर्भ में नहीं दिया गया है, लेकिन दिए गए उत्तर के अनुसार, 42 सही है।
In simple words: खाली जगह में 42 आएगा.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, यदि कोई पैटर्न या नियम नहीं दिया गया है, तो पिछले या अगले प्रश्नों के संदर्भ को देखकर हल करने का प्रयास करें।

 

Question 2. निम्नांकित संख्या-युग्मों के ऐसे समापवर्त्य ज्ञात कीजिए जिनका मान 80 से कम हो ।
(क) 9 और 15
(ख) 6 और 10
(ग) 8 और 9
(घ) 7 और 11
Answer:
(क) 9 और 15 के समापवर्त्य जो 80 से कम हैं:
9 के गुणज: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72
15 के गुणज: 15, 30, 45, 60, 75
अतः, 9 और 15 का समापवर्त्य जो 80 से कम है, वह 45 है।

(ख) 6 और 10 के समापवर्त्य जो 80 से कम हैं:
6 के गुणज: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78
10 के गुणज: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70
अतः, 6 और 10 के समापवर्त्य जो 80 से कम हैं, वे 30 और 60 हैं।

(ग) 8 और 9 के समापवर्त्य जो 80 से कम हैं:
8 के गुणज: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72
9 के गुणज: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72
अतः, 8 और 9 का समापवर्त्य जो 80 से कम है, वह 72 है।

(घ) 7 और 11 के समापवर्त्य जो 80 से कम हैं:
7 के गुणज: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77
11 के गुणज: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77
अतः, 7 और 11 का समापवर्त्य जो 80 से कम है, वह 77 है।
समापवर्त्य वे संख्याएँ होती हैं जो दो या अधिक संख्याओं के सामान्य गुणज होती हैं।
In simple words: दोनों संख्याओं के पहाड़े में जो संख्याएँ 80 से कम हों और एक जैसी हों, वही उनके समापवर्त्य हैं.

🎯 Exam Tip: समापवर्त्य (common multiples) ज्ञात करने के लिए, पहले दोनों संख्याओं के कुछ गुणज लिखें, फिर उनमें से उन संख्याओं को चुनें जो दोनों सूचियों में समान हों और दी गई सीमा के भीतर हों।

 

Question 3. 60 तक की उन संख्याओं को ज्ञात कीजिए जो 4 और 6 दोनों से पूर्णतः विभाज्य हैं।
Answer: 4 और 6 दोनों से पूर्णतः विभाज्य होने वाली संख्याएँ वे होती हैं जो 4 और 6 के समापवर्त्य हों।
4 के गुणज: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
6 के गुणज: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
अतः, 60 तक की संख्याएँ जो 4 तथा 6 दोनों से पूर्णतया विभाज्य हैं, वे हैं: 12, 24, 36, 48, 60। ये संख्याएँ 4 और 6 दोनों के पहाड़े में आती हैं।
In simple words: 4 और 6 दोनों के पहाड़े में आने वाली संख्याएँ जो 60 से छोटी या बराबर हों, उन्हें ढूँढो.

🎯 Exam Tip: जो संख्याएँ दो या दो से अधिक संख्याओं से पूरी तरह विभाज्य होती हैं, वे उन संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के गुणज होती हैं। पहले LCM ज्ञात करना और फिर उसके गुणज लिखना इस प्रश्न को हल करने का एक आसान तरीका है।

 

Question 4. निम्नांकित संख्याओं का ल०स० ज्ञात कीजिए-
(क) 5, 10, 15
(ख) 16, 44, 64
(ग) 10, 65, 91
(घ) 22, 121, 418
(ङ) 14, 28, 35, 56
Answer:
(क) 5, 10, 15 का ल०स०:

ल०स० \( = 5 \times 2 \times 3 = 30 \)

(ख) 16, 44, 64 का ल०स०:

ल०स० \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 11 = 704 \)

(ग) 10, 65, 91 का ल०स०:

ल०स० \( = 2 \times 5 \times 7 \times 13 = 910 \)

(घ) 22, 121, 418 का ल०स०:

ल०स० \( = 2 \times 11 \times 11 \times 19 = 4598 \)

(ङ) 14, 28, 35, 56 का ल०स०:

ल०स० \( = 2 \times 2 \times 7 \times 5 \times 2 = 280 \)
ल०स० (LCM) ज्ञात करने के लिए, भाग-विधि का उपयोग किया जाता है जहाँ संख्याओं को उनके सामान्य अभाज्य गुणनखंडों से तब तक विभाजित किया जाता है जब तक सभी संख्याएँ 1 न हो जाएँ, फिर सभी भाजकों को गुणा किया जाता है।
In simple words: ल०स० निकालने के लिए, सारी संख्याओं को एक साथ सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंड से भाग देते जाओ. जो भाग न हो उसे वैसे ही उतार दो. यह तब तक करो जब तक सब 1 न हो जाएँ. फिर सारे भाजकों को गुणा कर लो.

🎯 Exam Tip: ल०स० (LCM) ज्ञात करते समय, भले ही सभी संख्याएँ एक अभाज्य संख्या से विभाजित न हों, फिर भी उस अभाज्य संख्या से विभाजित करते रहें यदि कम से कम एक संख्या विभाजित हो रही हो। जो संख्याएँ विभाजित नहीं होतीं, उन्हें वैसे ही नीचे उतार दें।

 

Question 5. वह छोटी से छोटी संख्या बताइए जो 20, 25 और 40 से पूर्णतः विभाज्य हो ।
Answer: वह छोटी से छोटी संख्या जो 20, 25 और 40 से पूर्णतः विभाज्य हो, वह इन तीनों संख्याओं का ल०स० (LCM) होगी।

ल०स० \( = 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 2 = 200 \)
अतः, वह छोटी से छोटी संख्या 200 है। 200 एक ऐसी संख्या है जो इन तीनों संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाती है।
In simple words: 20, 25 और 40 का ल०स० निकालो. जो ल०स० आएगा, वही सबसे छोटी संख्या होगी जिसे ये तीनों पूरा-पूरा भाग कर सकें.

🎯 Exam Tip: 'छोटी से छोटी संख्या' या 'न्यूनतम संख्या' जैसे शब्दों का उपयोग आमतौर पर यह इंगित करता है कि प्रश्न में ल०स० (LCM) ज्ञात करना है।

 

Question 6. वह छोटी से छोटी संख्या बताइए जिसमें यदि 3 जोड़ दें तो योगफल 36, 45 और 50 से अलगअलग पूरा-पूरा विभाजित हो जाए।
Answer: हमें ऐसी छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करनी है जिसमें 3 जोड़ने पर वह 36, 45 और 50 से पूरी तरह विभाजित हो जाए। इसका मतलब है कि हमें 36, 45 और 50 का ल०स० (LCM) ज्ञात करना होगा, और फिर उसमें से 3 घटाना होगा।
36, 45 और 50 का ल०स०:

ल०स० \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 900 \)
अभीष्ट संख्या ल०स० में से 3 घटाने पर प्राप्त होगी:
अभीष्ट संख्या \( = 900 - 3 = 897 \)
अतः, वह संख्या 897 है। यह दर्शाता है कि किसी विशिष्ट शेषफल को ध्यान में रखते हुए कैसे ल०स० का उपयोग किया जाता है।
In simple words: 36, 45 और 50 का ल०स० निकालो. फिर जो ल०स० आए, उसमें से 3 घटा दो. वही हमारा उत्तर होगा.

🎯 Exam Tip: जब प्रश्न में 'किसी संख्या में कुछ जोड़ने पर पूर्णतः विभाज्य हो जाए' कहा जाए, तो दी गई संख्याओं का ल०स० ज्ञात करें और फिर उस ल०स० में से 'जोड़ने वाली संख्या' को घटा दें।

 

Question 7. वह छोटी से छोटी संख्या बताइए जिसमें 75, 80 और 135 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 3 शेष बचे ।
Answer: हमें ऐसी छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करनी है जिसमें 75, 80 और 135 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 3 शेष बचे। इसके लिए, हमें इन तीनों संख्याओं का ल०स० (LCM) ज्ञात करना होगा, और फिर उसमें 3 जोड़ना होगा।
75, 80 और 135 का ल०स०:

ल०स० \( = 5 \times 3 \times 5 \times 16 \times 9 = 10800 \)
अभीष्ट संख्या \( = 10800 + 3 = 10803 \)
अतः, वह संख्या 10803 है। ल०स० के साथ शेषफल को जोड़कर सही उत्तर प्राप्त किया जा सकता है।
In simple words: 75, 80 और 135 का ल०स० निकालो. फिर जो ल०स० आए, उसमें 3 जोड़ दो. वही उत्तर होगा.

🎯 Exam Tip: जब प्रश्न में 'भाग देने पर प्रत्येक दशा में एक निश्चित शेष बचे' कहा जाए, तो दी गई संख्याओं का ल०स० ज्ञात करें और फिर उस ल०स० में उस निश्चित शेषफल को जोड़ दें।

 

Question 8. वह छोटी से छोटी संख्या बताइए जिसमें 7 घटाने पर शेष बची संख्या 20, 28, 35 और 105 से पूर्णतः विभक्त हो ।
Answer: हमें ऐसी छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करनी है जिसमें से 7 घटाने पर वह 20, 28, 35 और 105 से पूरी तरह विभाजित हो जाए। इसका मतलब है कि हमें इन संख्याओं का ल०स० (LCM) ज्ञात करना होगा, और फिर उसमें 7 जोड़ना होगा।
20, 28, 35 और 105 का ल०स०:

ल०स० \( = 2 \times 2 \times 5 \times 7 \times 3 = 420 \)
अभीष्ट संख्या \( = 420 + 7 = 427 \)
अतः, वह संख्या 427 है। यह प्रक्रिया 'घटाने पर' वाले प्रश्नों को हल करने में मदद करती है।
In simple words: 20, 28, 35 और 105 का ल०स० निकालो. फिर जो ल०स० आए, उसमें 7 जोड़ दो. वही उत्तर होगा.

🎯 Exam Tip: जब प्रश्न में 'किसी संख्या में से कुछ घटाने पर पूर्णतः विभाज्य हो जाए' कहा जाए, तो दी गई संख्याओं का ल०स० ज्ञात करें और फिर उस ल०स० में 'घटाने वाली संख्या' को जोड़ दें।

 

Question 9. वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 35, 45 तथा 55 से भाग देने पर क्रमशः 17, 27 तथा 37 शेष बचें ।
Answer: भाजकों और शेषफलों के बीच का अंतर ज्ञात करें:
\( 35 - 17 = 18 \)
\( 45 - 27 = 18 \)
\( 55 - 37 = 18 \)
चूंकि प्रत्येक मामले में अंतर 18 है, तो हमें 35, 45 और 55 का ल०स० ज्ञात करना होगा और फिर उसमें से 18 घटाना होगा।
35, 45 और 55 का ल०स०:

ल०स० \( = 5 \times 7 \times 9 \times 11 = 3465 \)
अभीष्ट संख्या \( = 3465 - 18 = 3447 \)
अतः, वह संख्या 3447 है। यह विधि तब लागू होती है जब प्रत्येक भाजक के लिए एक अलग शेषफल होता है, लेकिन शेषफल और भाजक के बीच का अंतर समान होता है।
In simple words: भाजक और शेषफल का अंतर निकालो. अगर अंतर हर बार एक जैसा आता है, तो सभी भाजकों का ल०स० निकालो और उस ल०स० में से अंतर वाली संख्या घटा दो.

🎯 Exam Tip: जब अलग-अलग शेषफल दिए गए हों, तो पहले प्रत्येक भाजक और उसके शेषफल के बीच का अंतर ज्ञात करें। यदि यह अंतर समान हो, तो संख्याओं का ल०स० ज्ञात करें और उस समान अंतर को ल०स० में से घटा दें।

अभ्यास 10(e)

 

Question 1. रिक्त भाग में उचित विकल्प भरिए (भरकर)-
(i)

(ii)

(iii)

Answer:
(i) पहले तालिका में रिक्त भाग में 105 आएगा।
(ii) दूसरी तालिका में रिक्त भाग में 7 आएगा।
(iii) तीसरी तालिका में रिक्त भाग में 6 आएगा।
इन तालिकाओं में संख्याएँ कुछ अनुपात या गुणनखंड पैटर्न का पालन करती हैं। उदाहरण के लिए, तीसरी तालिका में 12, 6, 18 में 6 एक सामान्य भाजक है, और 15, 5, 25 में 5 एक सामान्य भाजक है, जो इस प्रकार के संबंध को दर्शाता है।
In simple words: खाली जगहों में सही संख्याएँ भरी गई हैं, जो तालिका के पैटर्न के अनुसार हैं.

🎯 Exam Tip: रिक्त स्थानों की पूर्ति करते समय, तालिका में संख्याओं के बीच के संबंध (जैसे गुणा, भाग, जोड़, घटाव, या गुणनखंड/गुणज का पैटर्न) को ध्यान से देखें।

 

Question 2. निम्नांकित प्रत्येक संख्या-युग्म के लिए दिखाइए कि ल०स० तथा म०स० का गुणनफल संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है-
(क) 14, 21
(ख) 25, 65
(ग) 32, 96
(घ) 81, 135
(ङ) 15, 125
Answer:
(क) 14 और 21 के लिए:
14 के अभाज्य गुणनखंड: \( 2 \times 7 \)
21 के अभाज्य गुणनखंड: \( 3 \times 7 \)
म०स० \( = 7 \)
ल०स० \( = 2 \times 3 \times 7 = 42 \)
संख्याओं का गुणनफल \( = 14 \times 21 = 294 \)
ल०स० \( \times \) म०स० \( = 42 \times 7 = 294 \)
अतः, ल०स० \( \times \) म०स० \( = \) संख्याओं का गुणनफल।

(ख) 25 और 65 के लिए:
25 के अभाज्य गुणनखंड: \( 5 \times 5 \)
65 के अभाज्य गुणनखंड: \( 5 \times 13 \)
म०स० \( = 5 \)
ल०स० \( = 5 \times 5 \times 13 = 325 \)
संख्याओं का गुणनफल \( = 25 \times 65 = 1625 \)
ल०स० \( \times \) म०स० \( = 325 \times 5 = 1625 \)
अतः, ल०स० \( \times \) म०स० \( = \) संख्याओं का गुणनफल।

(ग) 32 और 96 के लिए:
32 के अभाज्य गुणनखंड: \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \)
96 के अभाज्य गुणनखंड: \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)
म०स० \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)
ल०स० \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 96 \)
संख्याओं का गुणनफल \( = 32 \times 96 = 3072 \)
ल०स० \( \times \) म०स० \( = 96 \times 32 = 3072 \)
अतः, ल०स० \( \times \) म०स० \( = \) संख्याओं का गुणनफल।

(घ) 81 और 135 के लिए:
81 के अभाज्य गुणनखंड: \( 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
135 के अभाज्य गुणनखंड: \( 3 \times 3 \times 3 \times 5 \)
म०स० \( = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)
ल०स० \( = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 405 \)
संख्याओं का गुणनफल \( = 81 \times 135 = 10935 \)
ल०स० \( \times \) म०स० \( = 405 \times 27 = 10935 \)
अतः, ल०स० \( \times \) म०स० \( = \) संख्याओं का गुणनफल।

(ङ) 15 और 125 के लिए:
15 के अभाज्य गुणनखंड: \( 3 \times 5 \)
125 के अभाज्य गुणनखंड: \( 5 \times 5 \times 5 \)
म०स० \( = 5 \)
ल०स० \( = 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 375 \)
संख्याओं का गुणनफल \( = 15 \times 125 = 1875 \)
ल०स० \( \times \) म०स० \( = 375 \times 5 = 1875 \)
अतः, ल०स० \( \times \) म०स० \( = \) संख्याओं का गुणनफल।
यह नियम दो संख्याओं के ल०स० और म०स० के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध दर्शाता है।
In simple words: हर जोड़ी की संख्याओं के लिए ल०स० और म०स० निकालो. फिर ल०स० और म०स० को गुणा करो, और संख्याओं को भी गुणा करो. अगर दोनों उत्तर एक जैसे हैं, तो नियम सही है.

🎯 Exam Tip: यह सूत्र, 'दो संख्याओं का गुणनफल = उनका ल०स० \( \times \) उनका म०स०', बहुत उपयोगी है। यदि आपको तीन मान पता हैं, तो आप चौथा मान ज्ञात कर सकते हैं। इसे हमेशा याद रखें।

 

Question 3. दो संख्याओं का म०स० 16 तथा उनका गुणनफल 6400 है, उनका ल०स० ज्ञात कीजिए।
Answer: हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके ल०स० और म०स० के गुणनफल के बराबर होता है:
संख्याओं का गुणनफल \( = \) ल०स० \( \times \) म०स०
\( 6400 = \) ल०स० \( \times 16 \)
ल०स० \( = \frac { 6400 }{ 16 } \)
ल०स० \( = 400 \)
अतः, उन संख्याओं का ल०स० 400 है। यह नियम हमें अज्ञात मान ज्ञात करने में मदद करता है।
In simple words: संख्याओं के गुणनफल को म०स० से भाग दे दो, तो ल०स० मिल जाएगा.

🎯 Exam Tip: ल०स० और म०स० के गुणनफल का सूत्र (संख्याओं का गुणनफल \( = \) ल०स० \( \times \) म०स०) ऐसे प्रश्नों में समय बचाने वाला है जहाँ तीन में से कोई एक मान ज्ञात करना हो।

 

Question 4. क्या दो संख्याओं का म०स० 14 तथा उनका ल०स०204 हो सकता है? उत्तर की पुष्टि में कारण दीजिए ।
Answer: नहीं, दो संख्याओं का म०स० 14 और उनका ल०स० 204 नहीं हो सकता है।
कारण: म०स० हमेशा ल०स० का एक अपवर्तक (गुणनखंड) होना चाहिए। इसका मतलब है कि ल०स० को म०स० से पूरी तरह विभाजित होना चाहिए।
यहाँ, ल०स० \( = 204 \) और म०स० \( = 14 \)
\( 204 \div 14 = 14.57... \)
चूंकि 204, 14 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है, इसलिए म०स० 14 और ल०स० 204 संभव नहीं हैं। यह एक महत्वपूर्ण गणितीय नियम है।
In simple words: नहीं, ऐसा नहीं हो सकता. क्योंकि ल०स० को हमेशा म०स० से पूरा-पूरा भाग होना चाहिए. 204 को 14 से पूरा भाग नहीं होता है.

🎯 Exam Tip: हमेशा याद रखें कि किसी भी दो या अधिक संख्याओं का म०स०, उनके ल०स० का एक गुणनखंड (अपवर्तक) होता है। यदि ल०स०, म०स० से पूरी तरह विभाज्य नहीं है, तो दिए गए मान संभव नहीं हैं।

 

Question 5. 2211 तथा 5025 का म०स० भाग-विधि से ज्ञात करके इसके आधार पर इन संख्याओं का ल०स० ज्ञात कीजिए ।
Answer: 2211 और 5025 का म०स० भाग-विधि द्वारा:
\( 5025 \div 2211 \implies \text{भागफल } 2, \text{ शेष } 603 \)
\( 2211 \div 603 \implies \text{भागफल } 3, \text{ शेष } 402 \)
\( 603 \div 402 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 201 \)
\( 402 \div 201 \implies \text{भागफल } 2, \text{ शेष } 0 \)
अतः, म०स० \( = 201 \)
अब, ल०स० ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: संख्याओं का गुणनफल \( = \) ल०स० \( \times \) म०स०
\( 2211 \times 5025 = \) ल०स० \( \times 201 \)
ल०स० \( = \frac { 2211 \times 5025 }{ 201 } \)
ल०स० \( = \frac { 11110275 }{ 201 } \)
ल०स० \( = 55275 \)
इस प्रकार, भाग-विधि से म०स० ज्ञात करने के बाद, ल०स० भी आसानी से निकाला जा सकता है।
In simple words: पहले 2211 और 5025 का म०स० भाग विधि से निकालो. फिर, संख्याओं के गुणनफल को म०स० से भाग देकर ल०स० पता करो.

🎯 Exam Tip: जब म०स० और ल०स० दोनों की गणना करने को कहा जाए, तो म०स० को भाग-विधि से ज्ञात करना अक्सर आसान होता है, और फिर ल०स० ज्ञात करने के लिए सूत्र \( \text{L.C.M.} = \frac { \text{संख्याओं का गुणनफल} }{ \text{H.C.F.} } \) का उपयोग करें।

 

Question 6. 95, 285 और 399 के लघुतम समापवर्त्य में इनका महत्तम समापवर्तक कितनी बार सम्मिलित है?
Answer: पहले 95, 285 और 399 का म०स० ज्ञात करें।
95 और 285 का म०स०:
\( 285 \div 95 \implies \text{भागफल } 3, \text{ शेष } 0 \)
तो 95 और 285 का म०स० 95 है।
अब 95 और 399 का म०स०:
\( 399 \div 95 \implies \text{भागफल } 4, \text{ शेष } 19 \)
\( 95 \div 19 \implies \text{भागफल } 5, \text{ शेष } 0 \)
अतः, 95, 285 और 399 का म०स० \( = 19 \)
अब 95, 285 और 399 का ल०स० ज्ञात करें:

ल०स० \( = 3 \times 5 \times 7 \times 19 = 1995 \)
लघुत्तम समापवर्त्य में महत्तम समापवर्तक कितनी बार सम्मिलित है, यह ज्ञात करने के लिए ल०स० को म०स० से भाग दें:
\( \frac { \text{ल०स०} }{ \text{म०स०} } = \frac { 1995 }{ 19 } = 105 \)
अतः, ल०स० में म०स० 105 बार सम्मिलित है। यह दर्शाता है कि ल०स० हमेशा म०स० का गुणज होता है।
In simple words: पहले संख्याओं का म०स० निकालो. फिर उनका ल०स० निकालो. अब ल०स० को म०स० से भाग दे दो, जो उत्तर आएगा वही यह बताएगा कि म०स० ल०स० में कितनी बार है.

🎯 Exam Tip: यह संबंध कि ल०स० हमेशा म०स० से विभाज्य होता है, एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। 'कितनी बार सम्मिलित है' का अर्थ सीधे ल०स० को म०स० से विभाजित करना होता है।

 

Question 7. 17 वह बड़ी से बड़ी संख्या है जो संख्याओं 102 तथा 187 को पूर्णतः विभाजित करती है। इसके आधार पर वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसको ये संख्याएँ पूरा-पूरा विभाजित करती हैं।
Answer: हमें दिया गया है कि 102 और 187 का म०स० \( = 17 \)।
हमें वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करनी है जिसको 102 और 187 दोनों पूरा-पूरा विभाजित करती हैं, जिसका अर्थ है हमें उनका ल०स० ज्ञात करना है।
सूत्र का उपयोग करें: संख्याओं का गुणनफल \( = \) ल०स० \( \times \) म०स०
\( 102 \times 187 = \) ल०स० \( \times 17 \)
\( 19074 = \) ल०स० \( \times 17 \)
ल०स० \( = \frac { 19074 }{ 17 } \)
ल०स० \( = 1122 \)
अतः, वह छोटी से छोटी संख्या 1122 है। इस प्रकार, म०स० की जानकारी का उपयोग करके ल०स० ज्ञात किया जा सकता है।
In simple words: संख्याओं के गुणनफल को उनके म०स० से भाग दे दो, तो उनका ल०स० मिल जाएगा.

🎯 Exam Tip: यदि आपको दो संख्याओं का म०स० और वे संख्याएँ स्वयं पता हों, तो आप आसानी से ल०स० ज्ञात करने के लिए सूत्र 'संख्याओं का गुणनफल = ल०स० \( \times \) म०स०' का उपयोग कर सकते हैं।

अभ्यास 10(f)

 

Question 1. रिक्त भाग में नीचे दिए गए विकल्पों में से सही विकल्प चुनकर भरिए (भरकर)-
(i) यदि तालिका में 8, 24, 12, और 15, ___, 35 दिया गया है, तो रिक्त स्थान में क्या आएगा? विकल्प (ग) 105 है।
(ii) यदि तालिका में 24, 12, 60, और 21, ___, 49 दिया गया है, तो रिक्त स्थान में क्या आएगा? विकल्प (ख) 7 है।
Answer:
(i) रिक्त भाग में भरा जाने वाला उचित विकल्प (ग) 105 है।
(ii) रिक्त भाग में भरा जाने वाला उचित विकल्प (ख) 7 है।
ये प्रश्न संख्याओं के बीच के पैटर्न को पहचानने और उपयुक्त विकल्प चुनने पर आधारित हैं।
In simple words: खाली जगहों में सही संख्याएँ भरी गई हैं जो तालिका के पैटर्न को पूरा करती हैं.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले तालिका में दी गई संख्याओं के बीच संबंध को समझने का प्रयास करें। यह गुणन, विभाजन, या कोई अन्य तार्किक पैटर्न हो सकता है।

 

Question 2. एक प्राथमिक विद्यालय की कक्षा-1 में 120 और कक्षा-2 में 90 छात्र हैं। इन्हें बड़ी से बड़ी समान छात्र-संख्या में बाँटने पर प्रत्येक समूह में छात्रों की संख्या कितनी होगी?
Answer: प्रत्येक समूह में विद्यार्थियों की बड़ी से बड़ी समान संख्या ज्ञात करने के लिए हमें 90 और 120 का म०स० (HCF) ज्ञात करना होगा।
\( 120 \div 90 \implies \text{भागफल } 1, \text{ शेष } 30 \)
\( 90 \div 30 \implies \text{भागफल } 3, \text{ शेष } 0 \)
अतः, 90 और 120 का म०स० \( = 30 \)
प्रत्येक समूह में छात्रों की संख्या 30 होगी। म०स० का उपयोग करके, हम सबसे बड़े समान समूह बना सकते हैं।
In simple words: 120 और 90 का सबसे बड़ा गुणनखंड (म०स०) निकालो. जो म०स० आएगा, उतने छात्र हर समूह में होंगे.

🎯 Exam Tip: जब 'सबसे बड़ी', 'अधिकतम' या 'सबसे लंबी' माप जैसी शर्तों का उपयोग किया जाता है और आपको वस्तुओं को समान समूहों में विभाजित करना होता है, तो हमेशा म०स० (HCF) ज्ञात करें।

 

Question 3. कापियों की वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 3,6, 12 व 15 के बंडलों में अलग-अलग किन्तु बराबर-बराबर बाँटी जा सकें ।
Answer: कापियों की वह छोटी से छोटी संख्या जो 3, 6, 12 और 15 के बंडलों में बराबर-बराबर बाँटी जा सके, वह इन संख्याओं का ल०स० (LCM) होगी।

ल०स० \( = 3 \times 2 \times 2 \times 5 = 60 \)
अतः, कापियों की छोटी से छोटी अभीष्ट संख्या 60 है। 60 कापियों को इन सभी बंडलों में बराबर-बराबर बाँटा जा सकता है।
In simple words: 3, 6, 12 और 15 का ल०स० निकालो. जो ल०स० आएगा, वही कापियों की सबसे कम संख्या होगी जिसे बराबर बांटा जा सके.

🎯 Exam Tip: जब 'छोटी से छोटी संख्या' या 'न्यूनतम संख्या' जैसी शर्तों का उपयोग किया जाता है और आपको विभिन्न समूहों में बराबर बांटने की बात हो, तो हमेशा ल०स० (LCM) ज्ञात करें।

 

Question 4. 55 मीटर लम्बे और 22 मीटर चौड़े एक मैदान में वर्गाकार दरियाँ बिछानी हैं। एक ही नाप की कम से कम बिछाई जाने वाली दरियों की संख्या ज्ञात कीजिए ।
Answer: मैदान को कम से कम वर्गाकार दरियों से ढकने के लिए, दरियों का आकार बड़े से बड़ा होना चाहिए। इसके लिए हमें मैदान की लंबाई (55 मीटर) और चौड़ाई (22 मीटर) का महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालना होगा। 55 और 22 का HCF 11 है। तो, प्रत्येक वर्गाकार दरी की भुजा 11 मीटर होगी। एक वर्गाकार दरी का क्षेत्रफल \( = 11 \times 11 = 121 \) वर्ग मीटर होगा। मैदान का कुल क्षेत्रफल \( = 55 \times 22 = 1210 \) वर्ग मीटर है। आवश्यक दरियों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, मैदान के क्षेत्रफल को एक दरी के क्षेत्रफल से भाग देंगे। दरियों की संख्या \( = \frac{1210}{121} = 10 \)। इसलिए, कम से कम 10 वर्गाकार दरियों की आवश्यकता होगी।
In simple words: सबसे कम दरियों का उपयोग करने के लिए, प्रत्येक दरी सबसे बड़ी होनी चाहिए। हम मैदान की लंबाई और चौड़ाई का सबसे बड़ा साझा गुणनखंड (HCF) निकालते हैं, जो 11 मीटर है, यह दरी का किनारा होगा। फिर हम मैदान के कुल क्षेत्रफल को एक दरी के क्षेत्रफल से भाग देकर यह पता लगाते हैं कि कितनी दरियाँ चाहिए।

🎯 Exam Tip: जब कम से कम संख्या में वस्तुओं की आवश्यकता हो (जैसे दरियाँ या टाइलें), तो हमेशा सबसे बड़ा संभव आकार खोजने के लिए HCF का उपयोग करें।

 

Question 5. तीन ग्रह किसी तारे के चारों ओर क्रमशः 200, 250 और 300 दिनों में एक चक्कर लगाते हैं। यदि वे किसी दिन तारे के एक ही ओर एक सीध में हों तो कितने दिनों में पुनः वे उसी स्थिति में आ जायेंगे।
Answer: यह पता लगाने के लिए कि तीनों ग्रह तारे के एक ही ओर पुनः कब एक सीध में होंगे, हमें उनकी परिक्रमण अवधियों (200, 250, और 300 दिन) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा। LCM ज्ञात करने के लिए, हम अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करेंगे:

LCM \( = 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 = 3000 \) दिन। अतः, तीनों ग्रह 3000 दिनों के बाद पुनः एक ही स्थिति में होंगे। LCM ज्ञात करना उन घटनाओं को सिंक्रनाइज़ करने में मदद करता है जो विभिन्न नियमित अंतरालों पर होती हैं।
In simple words: हमें यह पता लगाना है कि कितने दिनों के बाद तीनों ग्रह तारे के चारों ओर अपनी यात्रा पूरी करके एक ही जगह पर वापस मिलेंगे। इसके लिए हम उनके चक्कर लगाने के समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालते हैं, जो 3000 दिन है।

🎯 Exam Tip: जब कई घटनाओं को एक साथ पुनः होने का समय ज्ञात करना हो, तो हमेशा LCM का उपयोग करें। यह सबसे छोटा समय होता है जब सभी घटनाएँ एक ही समय पर दोबारा होती हैं।

 

Question 6. कपड़े के तीन थानों में क्रमशः 125 मी 220 मी और 275 मी कपड़ा है। बड़ी से बड़ी नाप का फीता बताइए जो तीनों थानों के कपड़ों को पूरा-पूरा नाप सके ।
Answer: कपड़े के तीनों थानों को पूरी तरह से नापने वाले सबसे बड़े फीते की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हमें उनकी लंबाइयों (125 मीटर, 220 मीटर और 275 मीटर) का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना होगा। हम HCF ज्ञात करने के लिए भाग विधि का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले, 125 और 220 का HCF ज्ञात करते हैं: \[ \begin{array}{r} 1 \\ 125 \overline{) 220} \\ -125 \\ \hline \\ 95 \overline{) 125} ( 1 \\ -95 \\ \hline \\ 30 \overline{) 95} ( 3 \\ -90 \\ \hline \\ 5 \overline{) 30} ( 6 \\ -30 \\ \hline \\ X \end{array} \] 125 और 220 का HCF 5 है।
अब, 5 और तीसरी लंबाई (275) का HCF ज्ञात करते हैं: \[ \begin{array}{r} 55 \\ 5 \overline{) 275} \\ -25 \\ \hline \\ 25 \\ -25 \\ \hline \\ X \end{array} \] 5 और 275 का HCF 5 है।
अतः, आवश्यक सबसे बड़े नाप के फीते की लंबाई 5 मीटर होगी। विभिन्न मात्राओं से समान माप या वितरण से संबंधित समस्याओं के लिए HCF जानना महत्वपूर्ण है।
In simple words: तीनों थानों के कपड़े को ठीक-ठीक मापने के लिए हमें एक ऐसे फीते की जरूरत है जो सबसे लंबा हो। इसके लिए हम 125 मीटर, 220 मीटर और 275 मीटर का महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालते हैं। हमने पाया कि HCF 5 मीटर है।

🎯 Exam Tip: "बड़ी से बड़ी नाप" या "अधिकतम क्षमता" जैसे शब्दों का मतलब है कि आपको HCF (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करना होगा। प्रक्रिया में, पहले दो संख्याओं का HCF निकालें, फिर उस HCF का तीसरी संख्या के साथ HCF निकालें।

 

Question 7. छः घंटियाँ एक साथ बजनी आरम्भ हुईं। यदि वे क्रमशः 2, 4, 6, 8, 10 और 12 सेकंड के अन्तराल से बजती हों तो 30 मिनट में वे कितनी बार इकट्ठी बजेंगी?
Answer: यह जानने के लिए कि छह घंटियाँ एक साथ फिर कब बजेंगी, हमें उनके बजने के अंतरालों (2, 4, 6, 8, 10, और 12 सेकंड) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा।
LCM ज्ञात करने के लिए:

LCM \( = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 120 \) सेकंड। तो, घंटियाँ हर 120 सेकंड में एक साथ बजेंगी। 120 सेकंड \( = \frac{120}{60} = 2 \) मिनट। हमें यह ज्ञात करना है कि वे 30 मिनट में कितनी बार एक साथ बजेंगी। 30 मिनट में एक साथ बजने की संख्या \( = \frac{30 \text{ मिनट}}{2 \text{ मिनट प्रति बार}} = 15 \) बार। इसलिए, घंटियाँ 30 मिनट में 15 बार एक साथ बजेंगी।
In simple words: पहले, सभी घंटियों के एक साथ बजने का सबसे छोटा समय (LCM) निकालते हैं, जो 120 सेकंड या 2 मिनट है। फिर, कुल समय (30 मिनट) को इस एक साथ बजने के समय (2 मिनट) से भाग देकर पता लगाते हैं कि वे कितनी बार एक साथ बजेंगी।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, घटनाओं के पुनः एक साथ होने का समय ज्ञात करने के लिए हमेशा LCM का उपयोग करें। समय इकाइयों (सेकंड, मिनट) को सही ढंग से परिवर्तित करना सुनिश्चित करें।

 

Question 8. एक टोकरी के आमों को एक बालिका 4, 6 और 9 की ढेरियों में सजाती है। प्रत्येक बार 1 आम टोकरी में शेष बच जाता है। बताइए कि टोकरी में कम से कम कितने आम हैं?
Answer: टोकरी में आमों की संख्या ऐसी है कि जब उन्हें 4, 6, या 9 के समूह में बांटा जाता है, तो हमेशा 1 आम शेष बच जाता है। इसका मतलब है कि यदि हम आमों की कुल संख्या में से 1 घटा दें, तो बची हुई संख्या 4, 6 और 9 से पूरी तरह विभाज्य होगी।
सबसे छोटी ऐसी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले 4, 6 और 9 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं।

LCM \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36 \)। तो, यदि 36 आम होते, तो उन्हें 4, 6, या 9 के समूह में बिना किसी शेष के पूरी तरह से बांटा जा सकता था। चूँकि हमेशा 1 आम शेष बचता है, इसलिए टोकरी में आमों की कुल संख्या \( = 36 + 1 = 37 \) है। अतः, टोकरी में कम से कम 37 आम हैं।
In simple words: अगर हमेशा एक आम बच जाता है, तो इसका मतलब है कि आमों की कुल संख्या में से 1 कम करने पर वह 4, 6 और 9 से पूरी तरह भाग हो जाएगी। हम 4, 6 और 9 का सबसे छोटा साझा गुणज (LCM) निकालते हैं, जो 36 है। फिर इसमें 1 जोड़ देते हैं ताकि बचा हुआ आम भी शामिल हो जाए, तो कुल 37 आम होंगे।

🎯 Exam Tip: जब कोई शेषफल दिया गया हो, तो पहले उस शेषफल को घटाकर या जोड़कर समस्या को पूर्ण विभाज्यता में बदलें, और फिर LCM या HCF का उपयोग करें।

 

Question 9. चार पहियों की परिधियाँ क्रमशः 50 सेमी, 60 सेमी, 90 सेमी और 100 सेमी लम्बी है। कम से कम कितनी दूरी चलने में चारों पहिए साथ-साथ पूरे-पूरे चक्कर लगाएँगे ।
Answer: वह न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए जिसके बाद सभी चारों पहिए एक साथ पूरे चक्कर लगाएंगे, हमें उनकी परिधियों (50 सेमी, 60 सेमी, 90 सेमी, और 100 सेमी) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा।
LCM ज्ञात करने के लिए:

LCM \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 900 \) सेमी। न्यूनतम दूरी 900 सेमी है। इसे मीटर में बदलने पर: \( 900 \text{ सेमी} = \frac{900}{100} = 9 \) मीटर। अतः, सभी चारों पहिए कम से कम 9 मीटर की दूरी तय करने के बाद एक साथ पूरे चक्कर लगाएंगे।
In simple words: हमें वह सबसे छोटी दूरी ढूंढनी है जो सभी चारों पहियों की परिधियों का गुणज हो। यह उनके LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) को निकालकर किया जाता है। 50, 60, 90 और 100 सेमी का LCM 900 सेमी है, जो 9 मीटर के बराबर है।

🎯 Exam Tip: "कम से कम कितनी दूरी" या "सबसे छोटा समय" जैसे वाक्यांशों से पता चलता है कि आपको LCM ज्ञात करना है। सुनिश्चित करें कि आप सभी संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़कर LCM की गणना सही ढंग से करें।

 

Question 10. एक व्यापारी हर चौथे दिन कानपुर जाता है जबकि दूसरा व्यापारी हर दसवें दिन । वे दोनों यदि 3 जनवरी को कानपुर एक साथ गए हों तो अगली तियि बताइए जब वे पुनः एक साथ कानपुर जाएँगे ।
Answer: वह अगली तारीख ज्ञात करने के लिए जब दोनों व्यापारी एक साथ कानपुर जाएंगे, हमें उनके यात्रा के दिनों के बीच के अंतरों (4 दिन और 10 दिन) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा।
4 और 10 का LCM ज्ञात करने के लिए:

LCM \( = 2 \times 2 \times 5 = 20 \) दिन। इसका मतलब है कि वे हर 20 दिन में एक साथ कानपुर जाएंगे। पिछली बार वे 3 जनवरी को एक साथ गए थे। तो, अगली बार वे 3 जनवरी के 20 दिन बाद एक साथ जाएंगे। \( 3 + 20 = 23 \)। अतः, वे दोनों 23 जनवरी को पुनः एक साथ कानपुर जाएंगे।
In simple words: हमें वह सबसे छोटा दिन पता करना है जब दोनों व्यापारी फिर से कानपुर जाएंगे। यह 4 और 10 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालकर होता है, जो 20 दिन है। 3 जनवरी में 20 दिन जोड़ने पर 23 जनवरी आती है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में जहाँ कई घटनाओं को एक साथ पुनः होने का समय पूछा जाता है, हमेशा LCM का उपयोग करें। शुरुआती तारीख में LCM को जोड़कर अगली तारीख प्राप्त करें।

दक्षता अभ्यास-10

 

Question 1. निम्नलिखित में सत्य/असत्य कथन अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखिए (सत्य - असत्य लिखकर)-
(i) दो संख्याओं का गुणनफले उनके ल०स० और म० स० के गुणनफल से छोटा होता है। (असत्य)
(ii) यदि कोई संख्या किन्हीं दो संख्याओं से अलग-अलग पूर्णतः विभाज्य हो तो वह उनके गुणनफल से भी सदैव पूर्णतः विभाज्य होगी । (असत्य)
(iii) एक भाज्य तथा दूसरी अभाज्य संख्याएँ आपस में सह-अभाज्य हो सकती हैं। (सत्य)
(iv) अभाज्य संख्याएँ सह-अभाज्य भी होती हैं। (सत्य)
(v) किसी संख्या का इकाई का अंक विषम हो तो वह 2 से विभाज्य होती है। (असत्य)
(vi) 724 में 4 का पूरा-पूरा भाग जाता है। (सत्य)
(vii) एक संख्या 12 से विभाज्य है तो वह 3 से भी विभाज्य होगी। (सत्य)
(viii) दी गई संख्याओं का ल०स० उनमें से सबसे बड़ी संख्या से छोटा नहीं हो सकता। (सत्य)
(ix) किन्हीं संख्याओं का ल०स० उनके म०स० का अपवर्त्य नहीं होता है। (असत्य)
(x) सह-अभाज्य संख्याओं का म०स०1 होता है। (सत्य)

Answer:
(i) दो संख्याओं का गुणनफल हमेशा उनके ल०स० और म०स० के गुणनफल के बराबर होता है, यह उससे छोटा नहीं होता। इसलिए यह कथन असत्य है।
(ii) यदि कोई संख्या किन्हीं दो संख्याओं से पूरी तरह विभाज्य है, तो यह ज़रूरी नहीं कि वह उनके गुणनफल से भी विभाज्य हो। उदाहरण के लिए, 12 संख्या 4 और 6 दोनों से विभाज्य है, लेकिन \( 4 \times 6 = 24 \) से नहीं। इसलिए यह कथन असत्य है।
(iii) एक भाज्य संख्या और एक अभाज्य संख्या सह-अभाज्य हो सकती हैं यदि उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 हो। उदाहरण के लिए, 4 (भाज्य) और 3 (अभाज्य) सह-अभाज्य हैं क्योंकि उनका HCF 1 है। इसलिए यह कथन सत्य है।
(iv) अभाज्य संख्याएँ सह-अभाज्य हो सकती हैं यदि उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 हो। उदाहरण के लिए, 3 और 5 दोनों अभाज्य हैं और सह-अभाज्य भी हैं। इसलिए यह कथन सत्य है।
(v) कोई संख्या 2 से तभी विभाज्य होती है जब उसका इकाई का अंक सम (0, 2, 4, 6, 8) हो। विषम इकाई अंक वाली संख्याएँ 2 से विभाज्य नहीं होतीं। इसलिए यह कथन असत्य है।
(vi) संख्या 724 में, अंतिम दो अंक 24 हैं, जो 4 से विभाज्य हैं (\( 24 \div 4 = 6 \))। इसलिए, 724 भी 4 से पूर्णतः विभाज्य है। यह कथन सत्य है।
(vii) यदि कोई संख्या 12 से विभाज्य है, तो वह उसके सभी गुणनखंडों (जैसे 1, 2, 3, 4, 6, 12) से भी विभाज्य होगी। इसलिए, यदि कोई संख्या 12 से विभाज्य है, तो वह 3 से भी विभाज्य होगी। यह कथन सत्य है।
(viii) दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) या तो उनमें से सबसे बड़ी संख्या के बराबर होगा या उससे बड़ा होगा। यह कभी भी सबसे बड़ी संख्या से छोटा नहीं हो सकता। इसलिए यह कथन सत्य है।
(ix) किन्हीं संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) हमेशा उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) का एक अपवर्त्य (गुणज) होता है। इसलिए, यह कथन कि वह अपवर्त्य नहीं होता, असत्य है।
(x) सह-अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनका सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड (महत्तम समापवर्तक या HCF) केवल 1 होता है। इसलिए यह कथन सत्य है।
In simple words: यह उत्तर बताता है कि प्रत्येक कथन सत्य क्यों है या असत्य क्यों है। इसमें HCF और LCM के नियम, विभाज्यता, अभाज्य और भाज्य संख्याएँ, और सह-अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं।

🎯 Exam Tip: सत्य/असत्य प्रश्नों में, प्रत्येक कथन को ध्यान से पढ़ें और एक सरल उदाहरण का उपयोग करके या गणितीय नियम को याद करके उसकी सत्यता की पुष्टि करें।

 

Question 2. निम्नांकित के प्रथम पाँच अपवर्त्य लिखिए –
(i) 13
(ii) 23
(iii) 26
(iv) 40
Answer:
(i) 13 के प्रथम पाँच अपवर्त्य हैं: \( 13 \times 1 = 13 \), \( 13 \times 2 = 26 \), \( 13 \times 3 = 39 \), \( 13 \times 4 = 52 \), \( 13 \times 5 = 65 \).
(ii) 23 के प्रथम पाँच अपवर्त्य हैं: \( 23 \times 1 = 23 \), \( 23 \times 2 = 46 \), \( 23 \times 3 = 69 \), \( 23 \times 4 = 92 \), \( 23 \times 5 = 115 \).
(iii) 26 के प्रथम पाँच अपवर्त्य हैं: \( 26 \times 1 = 26 \), \( 26 \times 2 = 52 \), \( 26 \times 3 = 78 \), \( 26 \times 4 = 104 \), \( 26 \times 5 = 130 \).
(iv) 40 के प्रथम पाँच अपवर्त्य हैं: \( 40 \times 1 = 40 \), \( 40 \times 2 = 80 \), \( 40 \times 3 = 120 \), \( 40 \times 4 = 160 \), \( 40 \times 5 = 200 \).
In simple words: किसी संख्या के पहले पाँच अपवर्त्य ज्ञात करने के लिए, उस संख्या को 1, 2, 3, 4 और 5 से गुणा करें।

🎯 Exam Tip: अपवर्त्य (multiples) ज्ञात करने का अर्थ है दी गई संख्या को लगातार पूर्णांकों से गुणा करना। पहले पाँच अपवर्त्य के लिए, 1 से 5 तक गुणा करें।

 

Question 3. निम्नांकित में से 15 किसका अपवर्तक है-
(i) 3125
(ii) 151290
Answer: कोई संख्या 15 का अपवर्त्य तब होती है जब वह 15 से पूरी तरह विभाज्य हो जाती है, यानी भाग देने पर कोई शेषफल न बचे। हमें यह जांचना है कि दी गई संख्याओं में से कौन सी संख्या 15 से बिना शेषफल के विभाजित होती है।
(i) 3125 को 15 से विभाजित करते हैं। \( 3125 \div 15 = 208 \) और शेषफल 5 बचता है। चूँकि शेषफल 5 है, इसलिए 3125, 15 का अपवर्त्य नहीं है।
(ii) 151290 को 15 से विभाजित करते हैं। \( 151290 \div 15 = 10086 \)। चूँकि कोई शेषफल नहीं बचता है, इसलिए 151290, 15 का अपवर्त्य है। अतः, 15, 151290 का अपवर्तक है।
In simple words: यह जानने के लिए कि 15 किस संख्या का अपवर्तक है, हम उस संख्या को 15 से भाग देते हैं। यदि भाग देने पर कुछ भी शेष न बचे, तो 15 उसका अपवर्तक है। यहाँ, केवल 151290 ही 15 से पूरी तरह विभाज्य है।

🎯 Exam Tip: यह जांचने के लिए कि कोई संख्या किसी दूसरी संख्या का अपवर्तक है या नहीं, बस भाग दें। यदि शेषफल 0 आता है, तो वह एक अपवर्तक है; अन्यथा नहीं। 15 से विभाज्यता के लिए, संख्या को 3 और 5 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

 

Question 4. 5904 और 4048 को म०स० ज्ञात कीजिए।
Answer: हम भाग विधि का उपयोग करके महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करेंगे। दी गई समाधान में 5904 और 4848 का HCF ज्ञात किया गया है। हम इन संख्याओं के लिए दिए गए चरणों का पालन करेंगे: \[ \begin{array}{r} 1 \\ 4848 \overline{) 5904} \\ -4848 \\ \hline \\ 1056 \overline{) 4848} ( 4 \\ -4224 \\ \hline \\ 624 \overline{) 1056} ( 1 \\ -624 \\ \hline \\ 432 \overline{) 624} ( 1 \\ -432 \\ \hline \\ 192 \overline{) 432} ( 2 \\ -384 \\ \hline \\ 48 \overline{) 192} ( 4 \\ -192 \\ \hline \\ X \end{array} \] अंतिम अशून्य शेषफल 48 है। इस प्रकार, इन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 48 है। HCF ज्ञात करने से भिन्न को सरल बनाने और सामान्य भाजकों को समझने में मदद मिलती है।
In simple words: HCF ज्ञात करने के लिए, हम लंबी भाग विधि का उपयोग करते हैं। हम बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग देते हैं, फिर भाजक को शेषफल से भाग देते हैं, और यह प्रक्रिया तब तक दोहराते हैं जब तक शेषफल शून्य न हो जाए। अंतिम अशून्य शेषफल ही HCF होता है, यहाँ यह 48 है।

🎯 Exam Tip: लंबी भाग विधि में, प्रक्रिया तब तक जारी रखें जब तक शेषफल शून्य न हो जाए। अंतिम भाजक ही HCF होता है। गणना में सावधानी बरतें।

 

Question 5. चार छ एक मैदान के चारों ओर दौड़ लगाते हैं। वे क्रमशः 30 सेकंह, 40 सेकंड, 50 सेकंड और 60 सेकेंड में मैदान का पूरा चक्कर लगाते हैं। यदि वे मैदान के किसी बिन्दु से एक साथ दौड़ना प्रारम्भ करें तो बताइए किं कम से कम कितने समय पश्चात् वे उसी बिन्दु पर पुनः मिलेंगे ।
Answer: यह पता लगाने के लिए कि सभी चार व्यक्ति पुनः शुरुआती बिंदु पर कब मिलेंगे, हमें उनके व्यक्तिगत चक्कर लगाने के समय (30 सेकंड, 40 सेकंड, 50 सेकंड और 60 सेकंड) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा।
LCM ज्ञात करने के लिए:

LCM \( = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 600 \) सेकंड। तो, वे सभी 600 सेकंड के बाद शुरुआती बिंदु पर पुनः मिलेंगे। सेकंड को मिनट में बदलने पर: \( 600 \text{ सेकंड} = \frac{600}{60} = 10 \) मिनट। अतः, वे सभी 10 मिनट के बाद पुनः एक ही बिंदु पर मिलेंगे। यह अवधारणा उन घटनाओं को सिंक्रनाइज़ करने में उपयोगी है जो विभिन्न नियमित अंतरालों पर होती हैं।
In simple words: हमें वह सबसे छोटा साझा समय पता करना है जब हर कोई अपनी दौड़ पूरी करके एक ही समय पर शुरुआत में वापस आ जाएगा। यह उनके चक्कर लगाने के समय का LCM निकालकर किया जाता है। LCM 600 सेकंड है, जो 10 मिनट के बराबर है।

🎯 Exam Tip: "कम से कम कितने समय" जैसे प्रश्न में हमेशा LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) का उपयोग करें। यदि आवश्यक हो, तो अंतिम उत्तर को मिनट या घंटे में परिवर्तित करना न भूलें।

 

Question 6. दो संख्याओं का मैस० 35 और उनका ल॰स॰ 525 है। उनमें एक संख्या 175 है तो दूसरी संख्या निम्नांकित में से कौन- सी होंगी?
(i) 25.
(ii) 49
(i) 63
(iv) 105
Answer: (iv) 105
हम जानते हैं कि किन्हीं दो संख्याओं के लिए, संख्याओं का गुणनफल उनके HCF (म०स०) और LCM (ल०स०) के गुणनफल के बराबर होता है।
माना दो संख्याएँ A और B हैं। दिया गया है: HCF = 35 LCM = 525 एक संख्या (A) = 175 हमें दूसरी संख्या (B) ज्ञात करनी है। सूत्र: \( A \times B = \text{HCF} \times \text{LCM} \) \( 175 \times B = 35 \times 525 \) \( B = \frac{35 \times 525}{175} \) पहले सरल करें: \( 35 \times 1 = 35 \), \( 35 \times 5 = 175 \)। तो, \( B = \frac{1 \times 525}{5} \) \( B = 105 \) अतः, दूसरी संख्या 105 है। यह विकल्प (iv) से मेल खाता है। HCF के साथ अनुपात को समझना वास्तविक संख्याओं को खोजने को सरल बनाता है।
In simple words: दो संख्याओं के लिए एक खास नियम है कि जब आप उन्हें गुणा करते हैं, तो आपको वही उत्तर मिलता है जो उनके HCF और LCM को गुणा करने पर मिलता है। इस नियम का उपयोग करके, यदि हमें एक संख्या, HCF और LCM पता हो, तो हम आसानी से दूसरी संख्या ज्ञात कर सकते हैं। दूसरी संख्या 105 है।

🎯 Exam Tip: यह सूत्र \( \text{संख्या_1} \times \text{संख्या_2} = \text{HCF} \times \text{LCM} \) बहुत महत्वपूर्ण है। इसे याद रखें और किसी भी तीन ज्ञात मानों का उपयोग करके चौथे को ज्ञात करने के लिए इसका उपयोग करें।

 

Question 7. दो टंकियों में क्रमशः 72 ली तथा 116 ली दूध भरा है। बड़ी से बड़ी धारिता का बरतन बताइए जिससे दोनों टंकियों के दूध को पूरा-पूरा नापा जा सके।
Answer: एक ऐसे सबसे बड़े बर्तन की क्षमता ज्ञात करने के लिए जो दोनों टंकियों के दूध को ठीक-ठीक माप सके, हमें दूध की मात्राओं (72 लीटर और 116 लीटर) का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना होगा।
HCF ज्ञात करने के लिए हम भाग विधि का उपयोग करेंगे: \[ \begin{array}{r} 1 \\ 72 \overline{) 116} \\ -72 \\ \hline \\ 44 \overline{) 72} ( 1 \\ -44 \\ \hline \\ 28 \overline{) 44} ( 1 \\ -28 \\ \hline \\ 16 \overline{) 28} ( 1 \\ -16 \\ \hline \\ 12 \overline{) 16} ( 1 \\ -12 \\ \hline \\ 4 \overline{) 12} ( 3 \\ -12 \\ \hline \\ X \end{array} \] अंतिम अशून्य शेषफल 4 है। अतः, आवश्यक सबसे बड़े बर्तन की क्षमता 4 लीटर है। HCF जानना विभिन्न मात्राओं से समान वितरण या माप से संबंधित समस्याओं के लिए आवश्यक है।
In simple words: हमें एक ऐसे सबसे बड़े बर्तन का आकार ज्ञात करना है जो दोनों टंकियों के दूध को बिना किसी शेष के पूरी तरह से माप सके। हम 72 लीटर और 116 लीटर का HCF निकालते हैं, जो 4 लीटर है।

🎯 Exam Tip: "बड़ी से बड़ी धारिता" या "सबसे बड़ा आकार" जैसे वाक्यांशों का मतलब है कि आपको HCF (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात करना होगा। लंबी भाग विधि HCF ज्ञात करने के लिए एक कुशल तरीका है।

 

Question 8. एक कमरे का फर्श 300 सेमी x 425 सेमी नाप का है। उसमें बड़ी से बड़ी किस नाप की वर्गाकार यत लगाई जा सकती हैं ताकि टाइलों की संख्या कम से कम रहे?
Answer: फर्श को ढकने के लिए आवश्यक वर्गाकार टाइलों की संख्या को न्यूनतम करने के लिए, टाइलों का आकार यथासंभव सबसे बड़ा होना चाहिए। इसका मतलब है कि वर्गाकार टाइल की भुजा की लंबाई फर्श की लंबाई (425 सेमी) और चौड़ाई (300 सेमी) का महत्तम समापवर्तक (HCF) होनी चाहिए।
हम भाग विधि का उपयोग करके 425 और 300 का HCF ज्ञात करेंगे: \[ \begin{array}{r} 1 \\ 300 \overline{) 425} \\ -300 \\ \hline \\ 125 \overline{) 300} ( 2 \\ -250 \\ \hline \\ 50 \overline{) 125} ( 2 \\ -100 \\ \hline \\ 25 \overline{) 50} ( 2 \\ -50 \\ \hline \\ X \end{array} \] अंतिम अशून्य शेषफल 25 है। अतः, वर्गाकार टाइल की सबसे बड़ी संभव भुजा की लंबाई 25 सेमी है। इतनी बड़ी टाइलों का उपयोग यह सुनिश्चित करता है कि पूरे फर्श को ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में टाइलों का उपयोग किया जाए।
In simple words: फर्श को कम से कम टाइलों से ढकने के लिए, प्रत्येक टाइल सबसे बड़ी होनी चाहिए। हम फर्श की लंबाई (425 सेमी) और चौड़ाई (300 सेमी) का सबसे बड़ा साझा गुणनखंड (HCF) निकालते हैं। यह HCF 25 सेमी है, जो सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा होगी।

🎯 Exam Tip: "कम से कम संख्या" और "बड़ी से बड़ी नाप" जैसे संकेत HCF समस्या की ओर इशारा करते हैं। सुनिश्चित करें कि आप HCF के लिए लंबी भाग विधि को सही ढंग से लागू करें।

 

Question 9. तीन हौजों में क्रमशः:330, 375 और 450 लीटर पानी भरा है। बड़े से बड़े पीपे की थाखिला बताइए जिससे लैजों के पास से पूरी-पूरी जुर में निकाला जा के ।
Answer: एक ऐसे सबसे बड़े पीपे की क्षमता ज्ञात करने के लिए जो तीनों हौजों से पानी को ठीक-ठीक निकाल सके, हमें पानी की मात्राओं (330 लीटर, 375 लीटर और 450 लीटर) का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना होगा।
सबसे पहले, भाग विधि का उपयोग करके 330 और 375 का HCF ज्ञात करते हैं: \[ \begin{array}{r} 1 \\ 330 \overline{) 375} \\ -330 \\ \hline \\ 45 \overline{) 330} ( 7 \\ -315 \\ \hline \\ 15 \overline{) 45} ( 3 \\ -45 \\ \hline \\ X \end{array} \] 330 और 375 का HCF 15 है।
अब, 15 और तीसरी मात्रा (450) का HCF ज्ञात करते हैं: \[ \begin{array}{r} 30 \\ 15 \overline{) 450} \\ -45 \\ \hline \\ 00 \\ -00 \\ \hline \\ X \end{array} \] 15 और 450 का HCF 15 है।
अतः, पीपे की सबसे बड़ी क्षमता 15 लीटर होनी चाहिए। यह सुनिश्चित करता है कि तीनों हौजों से पानी को ठीक-ठीक मापा जा सके।
In simple words: तीनों हौजों से पानी को पूरी तरह से मापने वाले सबसे बड़े पीपे का आकार ज्ञात करने के लिए, हमें 330, 375 और 450 लीटर का HCF चाहिए। हमने पहले दो संख्याओं का HCF निकाला, फिर उस परिणाम का तीसरी संख्या के साथ HCF निकाला। HCF 15 लीटर है।

🎯 Exam Tip: तीन या अधिक संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए, पहले दो संख्याओं का HCF निकालें, फिर उस HCF का तीसरी संख्या के साथ HCF निकालें। यह प्रक्रिया सभी संख्याओं के लिए दोहराई जाती है।

 

Question 10. वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 804 तथा 1745 को भाग देने पर क्रमशः 5 तवा 6 शेष बचे ।
Answer: मान लीजिए कि आवश्यक सबसे बड़ी संख्या X है। जब 804 को X से भाग दिया जाता है, तो शेषफल 5 बचता है। इसका मतलब है कि \( 804 - 5 = 799 \) संख्या X से पूरी तरह विभाज्य है। जब 1745 को X से भाग दिया जाता है, तो शेषफल 6 बचता है। इसका मतलब है कि \( 1745 - 6 = 1739 \) संख्या X से पूरी तरह विभाज्य है। तो, X, 799 और 1739 का महत्तम समापवर्तक (HCF) है।
भाग विधि का उपयोग करके 799 और 1739 का HCF ज्ञात करते हैं: \[ \begin{array}{r} 2 \\ 799 \overline{) 1739} \\ -1598 \\ \hline \\ 141 \overline{) 799} ( 5 \\ -705 \\ \hline \\ 94 \overline{) 141} ( 1 \\ -94 \\ \hline \\ 47 \overline{) 94} ( 2 \\ -94 \\ \hline \\ X \end{array} \] अंतिम अशून्य शेषफल 47 है। अतः, वह सबसे बड़ी संख्या जो 804 और 1745 को भाग देने पर क्रमशः 5 और 6 शेषफल छोड़ती है, 47 है। ऐसे प्रश्नों में HCF का उपयोग करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: पहले, मूल संख्याओं में से शेषफलों को घटाएँ (804-5 = 799 और 1745-6 = 1739)। अब जो संख्या हम खोज रहे हैं, वह इन नई संख्याओं को पूरी तरह विभाजित करेगी। इसलिए, हम 799 और 1739 का HCF निकालते हैं, जो 47 है।

🎯 Exam Tip: जब अलग-अलग शेषफल दिए गए हों, तो पहले शेषफल को संबंधित संख्या से घटाकर नई संख्याएँ प्राप्त करें। फिर इन नई संख्याओं का HCF ही आपका उत्तर होगा।

 

Question 11. वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 590, 908 और 1014 को भाग देने पर प्रत्येक दशा में समान शेष बचे ।
Answer: जब कोई संख्या 590, 908 और 1014 को भाग देने पर प्रत्येक दशा में समान शेषफल छोड़ती है, तो इसका मतलब है कि इन संख्याओं के बीच का अंतर उस संख्या से पूरी तरह विभाज्य होना चाहिए।
अंतर हैं: \( 908 - 590 = 318 \) \( 1014 - 908 = 106 \) तो, आवश्यक सबसे बड़ी संख्या 318 और 106 का महत्तम समापवर्तक (HCF) है।
भाग विधि का उपयोग करके 318 और 106 का HCF ज्ञात करते हैं: \[ \begin{array}{r} 3 \\ 106 \overline{) 318} \\ -318 \\ \hline \\ X \end{array} \] 318 और 106 का HCF 106 है। अतः, वह सबसे बड़ी संख्या जो 590, 908 और 1014 को भाग देने पर समान शेषफल छोड़ती है, 106 है। यह विधि सुसंगत शेषफल वाली संख्याओं को खोजने को सरल बनाती है।
In simple words: जब हमें कोई ऐसी संख्या ढूंढनी होती है जो कई संख्याओं को भाग देने पर एक ही शेषफल छोड़े, तो हम उन संख्याओं के बीच के अंतरों का HCF निकालते हैं। यहाँ, अंतर 318 और 106 हैं, और उनका HCF 106 है।

🎯 Exam Tip: समान शेषफल वाले HCF प्रश्नों में, संख्याओं के बीच के अंतरों का HCF ज्ञात करें। यदि तीन संख्याएँ हैं, तो उनके सभी संभावित अंतरों का HCF ज्ञात करें।

 

Question 12. उत्तर का सही विकल्प छौंटिए
(क) तीन संख्याएँ 1 : 2 : 3 के अनुपात में हैं। यदि उनका म०स० 12 है तो ये संख्याएँ हैं-
(i) 12, 24, 36
(ii) 10, 20, 30
(iii) 5, 10, 15
(vi) 4, 8, 12
Answer: (i) 12, 24, 36
यदि तीन संख्याएँ 1:2:3 के अनुपात में हैं और उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 12 है, तो प्रत्येक संख्या को HCF को संबंधित अनुपात भाग से गुणा करके ज्ञात किया जा सकता है।
संख्याएँ हैं: \( 1 \times 12 \), \( 2 \times 12 \), और \( 3 \times 12 \)। तो, संख्याएँ 12, 24, और 36 हैं। यह विकल्प (i) से मेल खाता है। HCF के साथ अनुपात को समझना वास्तविक संख्याओं को खोजने को सरल बनाता है।
In simple words: यदि संख्याओं का एक निश्चित अनुपात है और हमें उनका HCF पता है, तो हम प्रत्येक अनुपात भाग को HCF से गुणा करके वास्तविक संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं। तो, 1 को 12 से, 2 को 12 से, और 3 को 12 से गुणा करने पर 12, 24, और 36 मिलता है।

🎯 Exam Tip: अनुपात और HCF वाले प्रश्नों में, संख्याओं को अनुपात के प्रत्येक पद को HCF से गुणा करके सीधे प्राप्त किया जा सकता है। यह एक सीधा और प्रभावी तरीका है।

 

Question 12. (ख) तीन लकड़ी के लट्टे क्रमशः 36 मी, 45 मी तथा 63 मी लम्बे हैं। इनमें से कोई बराबर लम्बाई के छोटे-छोटे गुटकों में बाँटना है। प्रत्येक गुटके की अधिकतम लम्बाई है-
(i) 9 मी
(ii) 18 मी
(iii) 51 मी
(vi) 4.5 मी
Answer: (i) 9 मी
लकड़ी के तीन लट्ठों (36 मी, 45 मी, और 63 मी) को बराबर और अधिकतम संभव लंबाई के छोटे टुकड़ों में काटने के लिए, हमें उनकी लंबाइयों का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना होगा।
36, 45, और 63 का HCF ज्ञात करते हैं। अभाज्य गुणनखंड विधि: \( 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \) \( 45 = 3 \times 3 \times 5 \) \( 63 = 3 \times 3 \times 7 \) सबसे कम घात वाले उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड \( 3 \times 3 \) हैं। HCF \( = 3 \times 3 = 9 \)। अतः, प्रत्येक टुकड़े की अधिकतम लंबाई 9 मीटर होगी। यह सुनिश्चित करता है कि लकड़ी बर्बाद न हो और सभी टुकड़े अधिकतम समान आकार के हों।
In simple words: तीनों लकड़ी के लट्ठों को सबसे लंबे संभव बराबर टुकड़ों में काटने के लिए, हमें उनकी लंबाइयों का HCF निकालना होगा। 36, 45, और 63 मीटर का HCF 9 मीटर है।

🎯 Exam Tip: "अधिकतम लंबाई" या "सबसे बड़ा आकार" जैसे वाक्यांशों का मतलब HCF समस्या है। आप HCF ज्ञात करने के लिए अभाज्य गुणनखंड विधि का भी उपयोग कर सकते हैं।

 

Question 12. (ग) नापने की तीन छड़े क्रमशः 64 सेमी, 80 सेमी तथा 96 सेमी लम्बी हैं। इनमें से कोई भी छड़ प्रयोग करके कम से कम किस लम्बाई का कपड़ा पूर्ण रूप से नापा जा सकता है-
(i) 0.96 मी
(ii) 19.20 मी
(iii) 9.60 मी
(iv) 96 मी ।
Answer: (iii) 9.60 मी
तीनों नापने वाली छड़ों में से किसी का भी उपयोग करके कपड़े की किसी भी लंबाई को पूरी तरह से मापने के लिए, हमें उनकी लंबाइयों (64 सेमी, 80 सेमी और 96 सेमी) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा।
LCM ज्ञात करने के लिए:

LCM \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 960 \) सेमी। तो, छड़ों में से किसी के द्वारा भी ठीक-ठीक मापी जा सकने वाली कपड़े की न्यूनतम लंबाई 960 सेमी है। इसे मीटर में बदलने पर: \( 960 \text{ सेमी} = \frac{960}{100} = 9.60 \) मीटर। यह विकल्प (iii) से मेल खाता है। LCM ज्ञात करने से सबसे छोटी सामान्य लंबाई निर्धारित करने में मदद मिलती है जिसे सभी दी गई इकाइयों द्वारा मापा जा सकता है।
In simple words: सभी तीनों छड़ों से कपड़े की सबसे छोटी लंबाई को मापने के लिए, हमें उनकी लंबाइयों का LCM निकालना होगा। 64 सेमी, 80 सेमी, और 96 सेमी का LCM 960 सेमी है, जो 9.60 मीटर के बराबर है।

🎯 Exam Tip: "कम से कम किस लंबाई" या "न्यूनतम दूरी" जैसे वाक्यांश LCM समस्याओं के संकेत हैं। अंतिम उत्तर देने से पहले इकाई रूपांतरण (सेमी से मीटर) को ध्यान से करें।

 

Question 13. तीन विभिन्न चौराहों पर यातायात की बत्तियाँ क्रमशः 48 सेकंड, 72 सेकंड और 108 सेकंड के बाद बदलती हैं। यदि वे 8 बजकर 20 मिनट पर एक साथ बदलें तो पुनः एक साथ कब बदलेंगी ।
Answer: यह पता लगाने के लिए कि यातायात की बत्तियाँ फिर कब एक साथ बदलेंगी, हमें उनके बदलने के अंतरालों (48 सेकंड, 72 सेकंड और 108 सेकंड) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा।
LCM ज्ञात करने के लिए:

LCM \( = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 = 432 \) सेकंड। तो, बत्तियाँ 432 सेकंड के बाद फिर से एक साथ बदलेंगी। 432 सेकंड को मिनट और सेकंड में बदलने पर: \( 432 \div 60 = 7 \) और शेषफल \( 12 \)। तो, 432 सेकंड 7 मिनट और 12 सेकंड के बराबर है। बत्तियाँ पिछली बार सुबह 8 बजकर 20 मिनट पर एक साथ बदली थीं। 8 बजकर 20 मिनट में 7 मिनट और 12 सेकंड जोड़ने पर: समय \( = \) 8 घंटे 20 मिनट 00 सेकंड \( + \) 7 मिनट 12 सेकंड समय \( = \) 8 घंटे 27 मिनट 12 सेकंड। अतः, बत्तियाँ सुबह 8:27:12 बजे फिर से एक साथ बदलेंगी। LCM की गणना करने से उन घटनाओं को सिंक्रनाइज़ करने में मदद मिलती है जो विभिन्न नियमित अंतरालों पर होती हैं।
In simple words: हम वह सबसे छोटा समय निकालते हैं जिसके बाद तीनों यातायात बत्तियाँ फिर से एक साथ बदलेंगी। यह उनके बदलने के अंतरालों (48, 72, 108 सेकंड) का LCM निकालकर किया जाता है। LCM 432 सेकंड है, जो 7 मिनट और 12 सेकंड होता है। इसे पिछली बार एक साथ बदलने के समय (सुबह 8:20 बजे) में जोड़ने पर सुबह 8:27:12 बजे मिलेगा।

🎯 Exam Tip: समय-आधारित LCM समस्याओं में, पहले LCM की गणना करें, फिर उसे उपयुक्त समय इकाइयों (जैसे सेकंड को मिनट या घंटे में) में परिवर्तित करें। अंत में, इसे दिए गए शुरुआती समय में जोड़ें।

 

Question 14. एक आयत का क्षेत्रफल 56 वर्ग सेमी है। पूर्णाकों में उसकी लम्बाई और चौड़ाई क्या-क्या हो सकती है?
Answer: आयत का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल \( = \) लंबाई \( \times \) चौड़ाई। दिया गया है कि क्षेत्रफल 56 वर्ग सेमी है। हमें लंबाई और चौड़ाई के सभी संभव पूर्णांक युग्म ज्ञात करने हैं जिनका गुणनफल 56 हो। ये युग्म मूलतः 56 के गुणनखंड युग्म हैं।
56 के गुणनखंड युग्म हैं: \( 1 \times 56 \) \( 2 \times 28 \) \( 4 \times 14 \) \( 7 \times 8 \) (ध्यान दें: हम \( 8 \times 7 \), \( 14 \times 4 \) आदि को सूचीबद्ध नहीं करते हैं, क्योंकि वे लंबाई और चौड़ाई को बदलने पर एक ही आयत को दर्शाते हैं।) अतः, आयत की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव पूर्णांक आयाम हैं: 1. लंबाई \( = \) 56 सेमी, चौड़ाई \( = \) 1 सेमी 2. लंबाई \( = \) 28 सेमी, चौड़ाई \( = \) 2 सेमी 3. लंबाई \( = \) 14 सेमी, चौड़ाई \( = \) 4 सेमी 4. लंबाई \( = \) 8 सेमी, चौड़ाई \( = \) 7 सेमी गुणनखंड युग्म ज्ञात करना ज्यामिति और संख्या सिद्धांत में एक मूलभूत कौशल है।
In simple words: हमें ऐसे पूर्ण संख्याओं के जोड़े ढूंढने हैं जिन्हें गुणा करने पर 56 मिले। ये जोड़े आयत की संभावित लंबाई और चौड़ाई को दर्शाते हैं। संभावित जोड़े (56, 1), (28, 2), (14, 4), और (8, 7) हैं।

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफल और संभावित विमाओं वाले प्रश्नों में, आपको दिए गए क्षेत्रफल के सभी गुणनखंड युग्म (गुणनफल बनाने वाले जोड़े) ज्ञात करने होंगे। हमेशा पूर्णांक जोड़े पर ध्यान दें जब तक कि अन्यथा न कहा जाए।