Official UP Board Solutions for Class 5 Maths: Chapter 04 महत्तं समापवर्तक एवं लघुत्तम समापवर्त्य
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Chapter-wise Solutions for Maths: Chapter 04 महत्तं समापवर्तक एवं लघुत्तम समापवर्त्य
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तुम भी करोः
Question 1. निम्नलिखित संख्याओं के जोड़ों में कौन-सा जोड़ा सह-अभाज्य है? (क) 16 और 18 (ख) 12 और 25 (ग) 21 और 24
Answer: (ख) 12 और 25. सह-अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनका 1 के अलावा कोई और समान गुणनखंड नहीं होता है. इस जोड़े में 12 और 25 का सबसे बड़ा समान गुणनखंड (म.स.) 1 है.
In simple words: 12 और 25 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं क्योंकि उनका 1 के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं है.
🎯 Exam Tip: सह-अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, हमेशा प्रत्येक जोड़े के सभी गुणनखंडों को लिखें और देखें कि 1 के अलावा कोई साझा गुणनखंड है या नहीं।
Question 2. निम्नलिखित संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य बताओ – (क) 5,10 और 20 (ख) 2 और 7 (ग) 3, 4 और 6
Answer:
(क) 5, 10 और 20 का ल.स.:
| 5 | 10 | 20 | |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | 2 | 4 |
| 2 | 1 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 1 |
(ख) 2 और 7 का ल.स. \( = 2 \times 7 = 14 \). चूंकि ये अभाज्य संख्याएँ हैं, इनका ल.स. इनकी गुणा के बराबर होता है.
(ग) 3, 4 और 6 का ल.स.:
| 3 | 4 | 6 | |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 | 3 |
| 3 | 1 | 2 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
In simple words: ल.स. निकालने के लिए, उन सभी संख्याओं का सबसे छोटा साझा गुणज ढूँढते हैं.
🎯 Exam Tip: ल.स. ज्ञात करने के लिए अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करते समय, सभी अभाज्य गुणनखंडों को गुणा करना सुनिश्चित करें, जिसमें वे भी शामिल हैं जो केवल एक संख्या में आते हैं।
Question 3. निम्नलिखित संख्याओं का मस. ज्ञात करो- (क) 6,9, 12 (ख) 14, 21, 35
Answer:
(क) 6, 9, 12 का म.स.:
| 6 | 9 | 12 | |
|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 3 | 4 |
(ख) 14, 21, 35 का म.स.:
| 14 | 21 | 35 | |
|---|---|---|---|
| 7 | 2 | 3 | 5 |
In simple words: म.स. वह सबसे बड़ी संख्या है जिससे सभी दी गई संख्याओं को पूरा-पूरा भाग दिया जा सकता है.
🎯 Exam Tip: म.स. ज्ञात करने के लिए, सभी संख्याओं को विभाजित करने वाले केवल साझा अभाज्य गुणनखंडों को गुणा करें।
Question 4. निम्नलिखित संख्याओं का गुणनखण्ड विधि से मस ज्ञात करो। (क) 24, 26 (ख) 32, 96
Answer:
(क) 24 और 26 का म.स.:
\( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)
\( 26 = 2 \times 13 \)
साझा गुणनखंड केवल 2 है.
म.स. \( = 2 \).
(ख) 32 और 96 का म.स.:
\( 32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \)
\( 96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)
साझा गुणनखंड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \). यह विधि संख्याओं के सबसे छोटे हिस्सों को देखकर साझा गुणनखंड निकालने में मदद करती है.
म.स. \( = 32 \).
In simple words: म.स. निकालने के लिए, हर संख्या के गुणनखंड करते हैं, फिर उन सभी गुणनखंडों को एक साथ गुणा करते हैं जो सभी संख्याओं में समान रूप से मौजूद होते हैं.
🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करते समय, सुनिश्चित करें कि आप संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों को सूचीबद्ध करें और फिर उन सभी को पहचानें जो दोनों संख्याओं में साझा हैं।
Question 5. निम्नलिखित संख्याओं का ल.स. गुणनखण्ड विधि से ज्ञात करो। (क) 16, 44, 64 (ख) 10, 65, 91
Answer:
(क) 16, 44, 64 का ल.स.:
\( 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \)
\( 44 = 2 \times 2 \times 11 \)
\( 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \)
सबसे बड़ी घातों के साथ अभाज्य गुणनखंडों को इकट्ठा करना.
ल.स. \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 11 = 704 \).
(ख) 10, 65, 91 का ल.स.:
\( 10 = 2 \times 5 \)
\( 65 = 5 \times 13 \)
\( 91 = 7 \times 13 \)
यहाँ सभी गुणनखंड अद्वितीय हैं या केवल एक संख्या में साझा हैं. सभी अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों को एक साथ गुणा करते हैं.
ल.स. \( = 2 \times 5 \times 7 \times 13 = 910 \).
In simple words: ल.स. ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड लिखते हैं, फिर प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात को गुणा करते हैं जो किसी भी संख्या में आती है.
🎯 Exam Tip: गुणनखंड विधि से ल.स. निकालते समय, प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात का उपयोग करना याद रखें जो किसी भी दी गई संख्या में मौजूद हो।
तुम भी करोः
Question 1. निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-सी संख्याएँ 8 या 12 से विभाज्य हैं? 2496, 7000, 6927, 5700, 1564,300, 384, 513, 745, 560, 960
Answer:
8 से विभाज्य संख्याएँ: 2496, 7000, 384, 560, 960. (कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हों).
12 से विभाज्य संख्याएँ: 2496, 5700, 300, 384, 960. (कोई संख्या 12 से विभाज्य होती है यदि वह 3 और 4 दोनों से विभाज्य हो).
In simple words: 8 से भाग होने वाली संख्याएँ वे हैं जिनके आखिरी तीन अंक 8 से भाग होते हैं. 12 से भाग होने वाली संख्याएँ वे हैं जो 3 और 4 दोनों से भाग होती हैं.
🎯 Exam Tip: 12 से विभाज्यता की जांच के लिए, यह जांचना याद रखें कि संख्या 3 (अंकों का योग 3 से विभाज्य) और 4 (अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य) दोनों से विभाज्य है या नहीं।
Question 2. निम्नलिखित में 15 से विभाज्य संख्याएँ छाँटो। 612, 711,900, 913, 6225, 3690, 3609
Answer: 15 से विभाज्य संख्याएँ: 900, 6225, 3690. (कोई संख्या 15 से विभाज्य होती है यदि वह 3 और 5 दोनों से विभाज्य हो).
In simple words: जो संख्याएँ 3 और 5 दोनों से भाग हो जाती हैं, वे 15 से भी भाग हो जाती हैं.
🎯 Exam Tip: 15 से विभाज्यता के लिए, जांचें कि संख्या 3 (अंकों का योग 3 से विभाज्य) और 5 (अंतिम अंक 0 या 5) दोनों से विभाज्य है।
Question 3. एक संख्या दूसरी संख्या की अपवर्त्य है दोनों संख्याओं का लल्स होगा।
Answer: (ख) बड़ी संख्या. यदि एक संख्या दूसरी की गुणज है, तो बड़ी संख्या उन दोनों का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) होगी. उदाहरण के लिए, 4 और 8 में 8, 4 का गुणज है, और 8 ही उनका ल.स. है.
In simple words: अगर एक संख्या दूसरी संख्या की गुणज है, तो ल.स. हमेशा बड़ी संख्या ही होगी.
🎯 Exam Tip: जब एक संख्या दूसरी का गुणज हो, तो उनका ल.स. हमेशा बड़ी संख्या होती है और उनका म.स. हमेशा छोटी संख्या होती है।
अभ्यास
Question 1. एक अलमारी में कुछ पुस्तकें रखी हुई हैं। इनको 10, 15, और 24 के समूह में रखने पर पूरे-पूरे समूह बन जाते हैं। अलमारी में कम से कम कितनी पुस्तकें हैं?
Answer: अलमारी में पुस्तकों की कम से कम संख्या ज्ञात करने के लिए हमें 10, 15 और 24 का ल.स. निकालना होगा.
| 10 | 15 | 24 | |
|---|---|---|---|
| 2 | 5 | 15 | 12 |
| 3 | 5 | 5 | 4 |
| 5 | 1 | 1 | 4 |
| 1 | 1 | 1 |
अतः अलमारी में कम से कम 120 पुस्तकें हैं. यह सबसे छोटी संख्या है जो तीनों समूहों में पूरी तरह से फिट हो सकती है.
In simple words: कम से कम किताबें जानने के लिए, हमें 10, 15 और 24 का ल.स. निकालना होगा. ल.स. 120 है, तो अलमारी में कम से कम 120 किताबें हैं.
🎯 Exam Tip: 'कम से कम' या 'न्यूनतम' जैसे शब्दों वाले प्रश्नों के लिए हमेशा लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) ज्ञात करें।
Question 2. एक फूलवारी में बेला, रातरानी और गुलाब के कुछ पौधे लगाने हैं। उनको क्रमशः 20, 15 एवं 12 के समूह में लगाने पर पूरे-पूरे समूह बन जाते हैं, तो कम से कम कितने पौधों की जरूरत होगी?
Answer: कम से कम पौधों की संख्या ज्ञात करने के लिए हमें 20, 15 और 12 का ल.स. निकालना होगा.
| 20 | 15 | 12 | |
|---|---|---|---|
| 2 | 10 | 15 | 6 |
| 2 | 5 | 15 | 3 |
| 3 | 5 | 5 | 1 |
| 5 | 1 | 1 | 1 |
अतः कम से कम 60 पौधों की जरूरत होगी. यह संख्या सुनिश्चित करती है कि सभी पौधे बराबर-बराबर समूहों में लगाए जा सकें.
In simple words: फूलवारी में कम से कम 60 पौधे चाहिए ताकि उन्हें 20, 15 या 12 के समूहों में पूरा-पूरा लगाया जा सके.
🎯 Exam Tip: जब वस्तुओं को विभिन्न आकार के समूहों में व्यवस्थित करने की आवश्यकता हो और कोई शेष न बचे, तो ल.स. का उपयोग करें।
Question 3. एक माली के पास कुछ फूल हैं। जब वह 25 अथवा 35 फूलों की मालाएँ बनाता है तो कोई फूल शेष नहीं रहता है। कम से कम फूलों की संख्या कितनी है?
Answer: कम से कम फूलों की संख्या ज्ञात करने के लिए हमें 25 और 35 का ल.स. निकालना होगा.
ल.स. \( = 5 \times 5 \times 7 = 175 \). (यहाँ 5, 25 का एक गुणनखंड है और 7, 35 का एक गुणनखंड है, और दोनों में 5 साझा है).
अतः कम से कम 175 फूल हैं. यह संख्या सुनिश्चित करती है कि मालाएँ 25 या 35 फूलों से पूरी तरह बनाई जा सकें.
In simple words: माली के पास कम से कम 175 फूल हैं, क्योंकि यह 25 और 35 दोनों से पूरा-पूरा भाग हो जाता है.
🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में जहाँ 'शेष नहीं बचता' और 'कम से कम' शब्द आते हैं, हमेशा ल.स. (LCM) का उपयोग करें।
Question 4. तीन अंकों की छोटी से छोटी संख्या बताओ, जो 4, 8 तथा 16 से पूरी-पूरी बँट जाए?
Answer: सबसे पहले, हमें 4, 8 और 16 का ल.स. निकालना होगा.
| 4 | 8 | 16 | |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 4 | 8 |
| 2 | 1 | 2 | 4 |
| 1 | 1 | 2 |
अब, हमें तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या (जो 100 है) को ल.स. (16) से भाग देना होगा.
| भाज्य | भाजक | भागफल | शेषफल | |
|---|---|---|---|---|
| 100 | 16 | 6 | 4 |
तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या जो 4, 8 तथा 16 से पूरी-पूरी बँट जाए \( = 100 + (16 - 4) = 100 + 12 = 112 \).
यह संख्या 16 का अगला गुणज है जो 100 से बड़ा है.
In simple words: पहले 4, 8 और 16 का ल.स. 16 निकालते हैं. फिर 100 को 16 से भाग देते हैं. जो शेष बचता है, उसे 16 में से घटाकर 100 में जोड़ देते हैं.
🎯 Exam Tip: 'छोटी से छोटी संख्या' या 'न्यूनतम संख्या' वाले प्रश्नों में, पहले सभी संख्याओं का ल.स. ज्ञात करें और फिर उस संख्या के गुणज की जांच करें जो प्रश्न में दी गई श्रेणी में आती है।
Question 5. वह छोटी से छोटी संख्या बताओ जिसमें 19 जोड़ने पर वह संख्या 28, 36 और 45 से पूरी-पूरी विभाजित हो सके ।
Answer: सबसे पहले, हमें 28, 36 और 45 का ल.स. निकालना होगा.
| 28 | 36 | 45 | |
|---|---|---|---|
| 2 | 14 | 18 | 45 |
| 2 | 7 | 9 | 45 |
| 3 | 7 | 3 | 15 |
| 3 | 7 | 1 | 5 |
| 5 | 7 | 1 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 1 |
चूंकि 19 जोड़ने पर संख्या 28, 36 और 45 से विभाजित हो जाती है, तो मूल संख्या ल.स. से 19 कम होगी.
अभीष्ट छोटी से छोटी संख्या \( = 1260 - 19 = 1241 \). यह संख्या दिए गए नियमों को पूरा करती है.
In simple words: पहले 28, 36 और 45 का ल.स. 1260 निकालते हैं. फिर क्योंकि 19 जोड़ने पर संख्या पूरी भाग होती है, तो हमें 1260 में से 19 घटाना होगा.
🎯 Exam Tip: जब कहा जाए कि एक संख्या जोड़ने पर वह पूर्णतः विभाज्य हो जाती है, तो पहले ल.स. ज्ञात करें और फिर उस ल.स. में से जोड़ी गई संख्या को घटा दें।
Question 6. दो बर्तनों में क्रमशः 75 ली और 60 ली पेट्रोल है। उस बड़े से बड़े बर्तन की धारिता बताओ जिससे दोनों बर्तनों का पेट्रोल पूरी-पूरी बार नापा जा सके?
Answer: उस बड़े से बड़े बर्तन की धारिता ज्ञात करने के लिए हमें 75 और 60 का म.स. निकालना होगा.
| 75 | 60 | |
|---|---|---|
| 5 | 15 | 12 |
| 3 | 5 | 4 |
अतः बड़े से बड़े बर्तन की माप 15 ली. होगी. यह सबसे बड़ी मात्रा है जिससे दोनों बर्तनों में पेट्रोल को बिना किसी शेष के नापा जा सकता है.
In simple words: दोनों बर्तनों के पेट्रोल को पूरा-पूरा नापने के लिए, हमें 75 और 60 का म.स. निकालना होगा, जो 15 लीटर है.
🎯 Exam Tip: 'बड़े से बड़े' या 'अधिकतम' जैसे शब्दों वाले प्रश्नों में हमेशा महत्तम समापवर्त्य (म.स.) ज्ञात करें।
Question 7. जिस संख्या का स्वयं और 1 के अतिरिक्त और कोई गुणनखण्ड नहीं होता, उसे कहते हैं- (क) मिश्रित (ख) सह-अभाज्य (ग) भाज्य (घ) अभाज्य
Answer: (घ) अभाज्य
In simple words: जिस संख्या को केवल 1 और खुद से ही भाग दिया जा सकता है, उसे अभाज्य संख्या कहते हैं.
🎯 Exam Tip: अभाज्य संख्याओं की परिभाषा को याद रखना महत्वपूर्ण है कि उनके ठीक दो गुणनखंड होते हैं: 1 और स्वयं संख्या।
कितना सीखा-1
Question 1. हल करो-
(क) 5435404 + 3387868 \( = 8823272 \)
(ख) 2214342 + 6148330 \( = 8362672 \)
(ग) 5645320 - 2130978 \( = 3514342 \)
(घ) 9633211 - 8956478 \( = 676733 \)
(ड) 62058 \( \times \) 29 \( = 1799682 \)
(च) 9043407 \( \div \) 217
भागफल \( = 41674 \), शेषफल \( = 149 \).
(ज) 861747 \( \div \) 301
भागफल \( = 2862 \), शेषफल \( = 285 \).
ये सभी गणितीय संक्रियाएँ (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) सही तरीके से की गई हैं.
In simple words: इसमें दिए गए जोड़, घटाव, गुणा और भाग के सवाल हल किए गए हैं.
🎯 Exam Tip: जोड़, घटाव, गुणा और भाग करते समय, खासकर बड़ी संख्याओं के साथ, हमेशा अपनी गणनाओं को दोबारा जांचें।
Question 2. 1, 2, 3, 6, 8 और 9 से बनने वाली छह अंकों की सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या बताओ। दोनों संख्याओं का अन्तर कितना होगा?
Answer:
दिए गए अंकों 1, 2, 3, 6, 8, 9 से बनने वाली:
सबसे बड़ी संख्या \( = 986321 \). (अंकों को बड़े से छोटे क्रम में लिखने पर).
सबसे छोटी संख्या \( = 123689 \). (अंकों को छोटे से बड़े क्रम में लिखने पर).
दोनों संख्याओं का अन्तर \( = 986321 - 123689 = 862632 \). यह अंतर दो संख्याओं के बीच की दूरी दिखाता है.
In simple words: अंकों से सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या बनाकर, उनका घटाव 862632 आता है.
🎯 Exam Tip: सबसे बड़ी संख्या बनाने के लिए अंकों को अवरोही क्रम में और सबसे छोटी संख्या बनाने के लिए आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
Question 3. एक ट्रांजिस्टर का मूल्य 1160 रुपए है। टीवी का मूल्य ट्रांजिस्टर सेट से 7190 रुपए अधिक है। एक ट्रांजिस्टर और एक टीवी सेट का मूल्य कितना होगा?
Answer:
ट्रांजिस्टर का मूल्य \( = 1160 \) Rs.
टीवी का मूल्य ट्रांजिस्टर से 7190 Rs. अधिक है, तो
टीवी का मूल्य \( = 1160 + 7190 = 8350 \) Rs.
एक ट्रांजिस्टर और एक टीवी सेट का कुल मूल्य \( = 1160 + 8350 = 9510 \) Rs.
अतः एक ट्रांजिस्टर और एक टीवी सेट का मूल्य 9510 Rs. होगा. यह कुल खर्च दर्शाता है.
In simple words: ट्रांजिस्टर का दाम 1160 Rs. है. टीवी का दाम 1160 + 7190 = 8350 Rs. है. दोनों का कुल दाम 1160 + 8350 = 9510 Rs. है.
🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सुनिश्चित करें कि आप पहले प्रत्येक वस्तु के मूल्य की सही गणना करें और फिर कुल मूल्य ज्ञात करने के लिए उन्हें जोड़ें।
Question 4. 214368 में कितना जोड़ें कि योगफल पचास लाख हो जाए?
Answer: पचास लाख \( = 5000000 \).
हमें 214368 में कितना जोड़ना है, यह ज्ञात करने के लिए, हमें 5000000 में से 214368 को घटाना होगा.
\( 5000000 - 214368 = 4785632 \).
अतः 214368 में 4785632 जोड़ें तो योगफल पचास लाख हो जाएगा. यह बताता है कि लक्ष्य तक पहुँचने के लिए कितनी मात्रा कम है.
In simple words: 50 लाख बनाने के लिए, 5000000 में से 214368 घटाएंगे, जिससे 4785632 मिलेगा.
🎯 Exam Tip: यह पता लगाने के लिए कि किसी संख्या को किसी निश्चित लक्ष्य तक पहुंचने के लिए कितना जोड़ना है, हमेशा लक्ष्य संख्या में से दी गई संख्या को घटा दें।
Question 5. दो संख्याओं का गुणनफल 1425 है। एक संख्या 25 है, दूसरी संख्या होगी- (क) 1450 (ख) 1400 (ग) 57 (घ) 35625
Answer: (ग) 57
दो संख्याओं का गुणनफल \( = 1425 \).
एक संख्या \( = 25 \).
दूसरी संख्या \( = 1425 \div 25 = 57 \). गुणनफल को एक संख्या से विभाजित करके दूसरी संख्या मिलती है.
In simple words: अगर दो संख्याओं को गुणा करके 1425 आता है और एक संख्या 25 है, तो दूसरी संख्या 1425 को 25 से भाग देने पर 57 होगी.
🎯 Exam Tip: जब दो संख्याओं का गुणनफल और उनमें से एक संख्या दी गई हो, तो दूसरी संख्या ज्ञात करने के लिए गुणनफल को दी गई संख्या से भाग दें।
Question 6. गुणा के एक प्रश्न को हल करने के बाद सुजाता ने बताया कि इसका गुणक 999 और गुणनफल 744255 है। गुण्य कितना होगा?
Answer:
गुणक \( = 999 \).
गुणनफल \( = 744255 \).
गुण्य \( = \) गुणनफल \( \div \) गुणक.
गुण्य \( = 744255 \div 999 = 745 \). गुणनफल को गुणक से विभाजित करके गुण्य प्राप्त होता है.
In simple words: गुण्य निकालने के लिए, गुणनफल (744255) को गुणक (999) से भाग देंगे, तो 745 आएगा.
🎯 Exam Tip: गुणा के प्रश्नों में, 'गुणनफल = गुण्य \( \times \) गुणक' सूत्र का उपयोग करें और फिर लापता पद ज्ञात करने के लिए उसे पुनर्व्यवस्थित करें।
Question 7. एक किसान के यहाँ 5775 किग्रा चावल है। एक बोरे में 105 किग्रा चावल भरा जाता हो तो कुल चावल रखने के लिए उसे कितने बोरों की आवश्यकता होगी?
Answer:
एक बोरे में भरा जाने वाला चावल \( = 105 \) किग्रा.
कुल चावल \( = 5775 \) किग्रा.
आवश्यक बोरों की संख्या \( = \) कुल चावल \( \div \) एक बोरे में भरा जाने वाला चावल.
आवश्यक बोरों की संख्या \( = 5775 \div 105 = 55 \) बोरे. कुल मात्रा को प्रति बोरा मात्रा से विभाजित करके कुल बोरे प्राप्त होते हैं.
In simple words: किसान को 5775 किग्रा चावल रखने के लिए 55 बोरे चाहिए, क्योंकि एक बोरे में 105 किग्रा चावल आता है.
🎯 Exam Tip: कुल मात्रा को प्रति इकाई मात्रा से विभाजित करके कुल इकाइयों की संख्या ज्ञात करने के लिए भाग का उपयोग करें।
Question 8. एक गाँव के विकास के लिए एक लाख रुपए मिले। 68905 रुपए विकास कार्यों में खर्च करने के बाद बचे धन को तूफान पीड़ित 9 परिवारों में बराबर-बराबर बाँट दिया गया। हर परिवार को कितने रुपए मिले?
Answer:
गाँव के विकास के लिए प्राप्त धन \( = 100000 \) Rs.
विकास कार्यों में खर्च किया गया धन \( = 68905 \) Rs.
बचा हुआ धन \( = 100000 - 68905 = 31095 \) Rs.
यह बचा हुआ धन 9 परिवारों में बराबर-बराबर बाँटा गया.
प्रत्येक परिवार को मिला धन \( = 31095 \div 9 = 3455 \) Rs. यह प्रत्येक परिवार को मिली राशि दर्शाता है.
In simple words: गाँव को 1 लाख रुपए मिले, 68905 रुपए खर्च हुए. बचे हुए 31095 रुपए को 9 परिवारों में बांटा गया, तो हर परिवार को 3455 रुपए मिले.
🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले कुल प्राप्त धन में से खर्च की गई राशि को घटाकर शेष राशि ज्ञात करें, और फिर उस शेष राशि को परिवारों की संख्या से भाग दें।
Question 9. शांति की मासिक आय 3500 रुपए हैं। वह 2800 रुपये घर के खर्च के लिए रखकर शेष धन डाकखाने में जमा कर देती है। शांति ने 2 वर्ष में कितने रुपये डाकखाने में जमा किए?
Answer:
शांति की मासिक आय \( = 3500 \) Rs.
घर खर्च के लिए रखा धन \( = 2800 \) Rs.
प्रतिमाह डाकखाने में जमा धन \( = 3500 - 2800 = 700 \) Rs.
2 वर्ष में कुल महीने \( = 2 \times 12 = 24 \) महीने.
2 वर्ष में डाकखाने में जमा कुल धन \( = 700 \times 24 = 16800 \) Rs. यह कुल बचत को दर्शाता है.
In simple words: शांति हर महीने 3500 में से 2800 घटाकर 700 रुपए बचाती है. 2 साल (24 महीने) में वह 700 \( \times \) 24 = 16800 रुपए जमा करती है.
🎯 Exam Tip: 'मासिक' जानकारी वाले प्रश्नों में 'वार्षिक' या 'कुल' राशि ज्ञात करने के लिए, पहले प्रति माह राशि की गणना करें और फिर उसे आवश्यक महीनों की संख्या से गुणा करें।
Question 10. विश्व में डायरिया से हर वर्ष लगभग 20,40,000 बच्चों की मृत्यु हो जाती है (WHO के अनुसार) तो हर माह इस बीमारी से मरने वाले बच्चों की संख्या ज्ञात करो।
Answer:
एक वर्ष में डायरिया से मरने वाले बच्चों की संख्या \( = 20,40,000 \).
एक माह में डायरिया से मरने वाले बच्चों की संख्या \( = 20,40,000 \div 12 \). एक वर्ष में 12 महीने होते हैं.
\( 20,40,000 \div 12 = 1,70,000 \).
अतः हर माह इस बीमारी से मरने वाले बच्चों की संख्या 1,70,000 होगी. यह दर्शाता है कि हर महीने कितने बच्चे इस बीमारी से प्रभावित होते हैं.
In simple words: अगर साल में 20,40,000 बच्चे डायरिया से मरते हैं, तो हर महीने 20,40,000 को 12 से भाग देकर 1,70,000 बच्चे मरते हैं.
🎯 Exam Tip: वार्षिक दर को मासिक दर में बदलने के लिए, कुल वार्षिक संख्या को 12 से विभाजित करना याद रखें।
Question 11. 1800 मिनट में कितने घंटे होंगे?
Answer:
हम जानते हैं कि 1 घंटा \( = 60 \) मिनट.
तो, 1 मिनट \( = \frac {1}{60} \) घंटा.
1800 मिनट में घंटे \( = 1800 \div 60 = 30 \) घंटे. यह समय की इकाई बदलने का एक सामान्य उदाहरण है.
In simple words: एक घंटे में 60 मिनट होते हैं, तो 1800 मिनट में 1800 को 60 से भाग देने पर 30 घंटे होंगे.
🎯 Exam Tip: समय की इकाइयों को परिवर्तित करते समय, 60 मिनट = 1 घंटा और 24 घंटे = 1 दिन जैसे मूल रूपांतरणों को याद रखें।
Question 12. गुणनखण्ड विधि से मस. ज्ञात करो- (क) 18 और 24 (ख) 4, 8 और 12
Answer:
(क) 18 और 24 का म.स.:
\( 18 = 2 \times 3 \times 3 \)
\( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)
साझा गुणनखंड \( = 2 \times 3 \).
म.स. \( = 6 \).
(ख) 4, 8 और 12 का म.स.:
\( 4 = 2 \times 2 \)
\( 8 = 2 \times 2 \times 2 \)
\( 12 = 2 \times 2 \times 3 \)
साझा गुणनखंड \( = 2 \times 2 \).
म.स. \( = 4 \). यह विधि संख्याओं के सबसे छोटे हिस्सों को देखकर साझा गुणनखंड निकालने में मदद करती है.
In simple words: म.स. निकालने के लिए, हर संख्या के गुणनखंड करते हैं, फिर उन सभी गुणनखंडों को एक साथ गुणा करते हैं जो सभी संख्याओं में समान रूप से मौजूद होते हैं.
🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंड विधि से म.स. ज्ञात करते समय, केवल उन अभाज्य गुणनखंडों को गुणा करें जो सभी दी गई संख्याओं में साझा हों।
Question 13. लप्स बताओ- (क) 3 और 5 (ख) 8 और 25 (ग) 15, 25 और 30 (घ) 5,15 और 25
Answer:
(क) 3 और 5 का ल.स.:
चूंकि 3 और 5 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, उनका ल.स. उनकी गुणा के बराबर होगा.
ल.स. \( = 3 \times 5 = 15 \).
(ख) 8 और 25 का ल.स.:
चूंकि 8 और 25 में 1 के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं है, उनका ल.स. उनकी गुणा के बराबर होगा.
ल.स. \( = 8 \times 25 = 200 \).
(ग) 15, 25 और 30 का ल.स.:
| 15 | 25 | 30 | |
|---|---|---|---|
| 5 | 3 | 5 | 6 |
| 3 | 1 | 5 | 2 |
| 1 | 1 | 1 |
(घ) 5, 15 और 25 का ल.स.:
5, 15 और 25 के गुणजों को ध्यान में रखते हुए, सबसे छोटा साझा गुणज ढूँढना.
ल.स. \( = 5 \times 5 \times 3 = 75 \). (या \( 25 \times 3 = 75 \) क्योंकि 5 और 15, 75 को विभाजित करते हैं और 25 भी).
In simple words: ल.स. उन संख्याओं का सबसे छोटा साझा गुणज होता है. यदि संख्याएँ अभाज्य हों या उनमें कोई साझा गुणनखंड न हो, तो उनका ल.स. उनकी गुणा के बराबर होता है.
🎯 Exam Tip: दो अभाज्य संख्याओं या सह-अभाज्य संख्याओं का ल.स. हमेशा उनका गुणनफल होता है।
Question 14. वह छोटी से छोटी संख्या बताओ, जो 2, 3 और 5 से पूरी-पूरी विभाजित हो जाए।
Answer: वह छोटी से छोटी संख्या जो 2, 3 और 5 से पूरी-पूरी विभाजित हो जाए, वह इन तीनों संख्याओं का ल.स. होगी.
ल.स. \( = 2 \times 3 \times 5 = 30 \). (चूंकि 2, 3 और 5 सभी अभाज्य संख्याएँ हैं, उनका ल.स. उनकी गुणा के बराबर होता है).
अतः अभीष्ट छोटी से छोटी संख्या 30 है. यह सबसे छोटी संख्या है जो इन तीनों से विभाजित होती है.
In simple words: 2, 3 और 5 का ल.स. 30 है. यही सबसे छोटी संख्या है जो तीनों से पूरी-पूरी भाग हो जाती है.
🎯 Exam Tip: जब कोई संख्या दी गई सभी अभाज्य संख्याओं से विभाज्य हो, तो वह संख्या उन सभी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के बराबर होती है।
Question 15. वह बड़ी से बड़ी संख्या बताओ, जिससे 15, 30 और 45 को पूरा-पूरा बाँटा जा सके ।
Answer: वह बड़ी से बड़ी संख्या जो 15, 30 और 45 को पूरा-पूरा बाँट सके, वह इन तीनों संख्याओं का म.स. होगी.
15 से 30 को भाग देने पर: \( 30 \div 15 = 2 \), शेषफल \( = 0 \).
15 से 45 को भाग देने पर: \( 45 \div 15 = 3 \), शेषफल \( = 0 \).
अतः म.स. \( = 15 \). यह सबसे बड़ी संख्या है जो इन तीनों संख्याओं को पूरी तरह विभाजित करती है.
In simple words: 15, 30 और 45 को पूरा-पूरा भाग करने वाली सबसे बड़ी संख्या 15 है.
🎯 Exam Tip: 'बड़ी से बड़ी संख्या' या 'अधिकतम' शब्द वाले प्रश्नों में हमेशा महत्तम समापवर्त्य (म.स.) ज्ञात करें।
Question 16. वह बड़े से बड़ा बर्तन किस नाप का होगा जिससे 6, 8 और 10 लीटर दूध पूरा-पूरा नापा जा सके?
Answer: बड़े से बड़े बर्तन की माप ज्ञात करने के लिए हमें 6, 8 और 10 का म.स. निकालना होगा.
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करके:
6 और 8 का म.स.:
8 को 6 से भाग देने पर, भागफल 1 और शेषफल 2.
6 को 2 से भाग देने पर, भागफल 3 और शेषफल 0.
तो, 6 और 8 का म.स. 2 है.
अब, हमें 2 और 10 का म.स. निकालना होगा.
10 को 2 से भाग देने पर, भागफल 5 और शेषफल 0.
तो, 2 और 10 का म.स. 2 है.
अतः बड़े से बड़े बर्तन की माप 2 लीटर होगी. यह सबसे बड़ी माप है जिससे सभी मात्राओं को ठीक-ठीक नापा जा सकता है.
In simple words: 6, 8 और 10 लीटर दूध को पूरा-पूरा नापने के लिए, सबसे बड़े बर्तन का आकार 2 लीटर होगा, जो इन तीनों का म.स. है.
🎯 Exam Tip: तीन या अधिक संख्याओं का म.स. ज्ञात करने के लिए, पहले दो संख्याओं का म.स. ज्ञात करें और फिर उस परिणाम का तीसरी संख्या के साथ म.स. ज्ञात करें।
Question 17. कुल फूल 54, 48 और 40 की ढेरियों में पूरे-पूरे रखे जा सकते हैं। बताओ कम से कम कितने फूल हैं?
Answer: कम से कम फूलों की संख्या ज्ञात करने के लिए हमें 54, 48 और 40 का ल.स. निकालना होगा.
| 54 | 48 | 40 | |
|---|---|---|---|
| 2 | 27 | 24 | 20 |
| 2 | 27 | 12 | 10 |
| 2 | 27 | 6 | 5 |
| 3 | 9 | 2 | 5 |
| 3 | 3 | 2 | 5 |
| 1 | 1 | 1 |
अतः कम से कम 2160 फूल हैं. यह संख्या सुनिश्चित करती है कि सभी ढेरियों में फूल पूरी तरह से रखे जा सकें.
In simple words: कम से कम फूल जानने के लिए, हमें 54, 48 और 40 का ल.स. निकालना होगा, जो 2160 है.
🎯 Exam Tip: जब कोई वस्तु विभिन्न आकार के समूहों में बिना किसी शेष के रखी जा सके, तो कुल न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए हमेशा ल.स. का उपयोग करें।
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