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Detailed Chapter 9 महात्तम समपवर्तक UP Board Solutions for Class 4 Maths
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तुम भी करो
Question 1. निम्नलिखित संख्याओं के जोड़ों में से कौन सह अभाज्य हैं- (क) 5, 9 (ख) 8, 18 (ग) 18, 27 (घ) 11, 22 (ङ) 55, 63 (च) 17, 71
Answer: सह अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनका केवल एक ही साझा गुणनखंड होता है, और वह गुणनखंड 1 होता है।
(क) 5, 9
(ङ) 55, 63
(च) 17, 71
ये सभी जोड़े सह अभाज्य संख्याएँ हैं क्योंकि उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 है, मतलब 1 के अलावा कोई और संख्या उन्हें एक साथ विभाजित नहीं करती। एक और आसान तरीका है कि किसी भी अभाज्य संख्या का जोड़ा जिसमें दूसरी संख्या उसका गुणज न हो, सह अभाज्य होता है।
In simple words: सह अभाज्य संख्याएँ ऐसी संख्याएँ होती हैं जिनका 1 के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। ऊपर दिए गए जोड़ों में, (क), (ङ) और (च) में संख्याओं का कोई साझा गुणनखंड नहीं है, सिवाय 1 के।
🎯 Exam Tip: सह अभाज्य संख्याओं का पता लगाने के लिए, हमेशा उनके गुणनखंडों को लिखकर देखें कि क्या 1 के अलावा कोई और संख्या दोनों को विभाजित करती है।
Question 2. इन संख्याओं के सम अपवर्तक ज्ञात करो-
(क) 9 और 15
(ख) 24 और 40
(ग) 30 और 50
Answer: संख्याओं के सम अपवर्तक वे संख्याएँ होती हैं जो दोनों दी गई संख्याओं को पूरी तरह विभाजित करती हैं।
(क) 9 और 15
9 के अपवर्तक: 1, 3, 9
15 के अपवर्तक: 1, 3, 5, 15
समापवर्तक (Common Factors): 1, 3
(ख) 24 और 40
24 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
40 के अपवर्तक: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
समापवर्तक (Common Factors): 1, 2, 4, 8
(ग) 30 और 50
30 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
50 के अपवर्तक: 1, 2, 5, 10, 25, 50
समापवर्तक (Common Factors): 1, 2, 5, 10
In simple words: किसी भी संख्या के अपवर्तक वे संख्याएँ होती हैं जिनसे वह संख्या पूरी तरह भाग हो जाती है। जब हम दो संख्याओं के अपवर्तक निकालते हैं और फिर देखते हैं कि कौन से अपवर्तक दोनों में हैं, तो वे "समापवर्तक" कहलाते हैं।
🎯 Exam Tip: समापवर्तक निकालते समय यह सुनिश्चित करें कि आप सभी संभावित गुणनखंडों को सूचीबद्ध करें, जिसमें 1 और स्वयं संख्या भी शामिल है।
Question 3. निम्नलिखित संख्याओं का मसः सभी अपवर्तक लिखकर ज्ञात करो-
(क) 18, 42
(ख) 52, 78
(ग) 12, 18
(घ) 6, 9, 12
Answer: महत्तम समापवर्तक (म.स.) या HCF, दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा साझा अपवर्तक होता है। इसे ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक संख्या के सभी अपवर्तक लिखते हैं, फिर उनमें से सबसे बड़ा साझा अपवर्तक चुनते हैं।
(क) 18, 42
18 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 6, 9, 18
42 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
समापवर्तक (Common Factors): 1, 2, 3, 6
म.स. (HCF): 6
(ख) 52, 78
52 के अपवर्तक: 1, 2, 4, 13, 26, 52
78 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78
समापवर्तक (Common Factors): 1, 2, 13, 26
म.स. (HCF): 26
(ग) 12, 18
12 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 6, 9, 18
समापवर्तक (Common Factors): 1, 2, 3, 6
म.स. (HCF): 6
(घ) 6, 9, 12
6 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 6
9 के अपवर्तक: 1, 3, 9
12 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 4, 6, 12
समापवर्तक (Common Factors): 1, 3
म.स. (HCF): 3
In simple words: म.स. निकालने के लिए, पहले हर संख्या के सभी गुणनखंड लिखो। फिर देखो कि कौन से गुणनखंड सभी संख्याओं में समान हैं। उन समान गुणनखंडों में जो सबसे बड़ा होता है, वही म.स. होता है।
🎯 Exam Tip: म.स. निकालने के लिए हमेशा सभी अपवर्तकों को सूचीबद्ध करें। यह सुनिश्चित करने में मदद करता है कि आपको सबसे बड़ा साझा अपवर्तक मिले।
अभ्यास
Question 1. सही उत्तर पर सही (√) का चिह्न लगाओ (सही का चिह्न लगाकर)-
(क) 36 के अभाज्य गुणनखंड \( 9 \times 4 \) हैं।
(ख) 62 के अभाज्य गुणनखंड \( 2 \times 31 \) हैं ।
(ग) 65 के अभाज्य गुणनखंड \( 5 \times 13 \) हैं।
(घ) 128 के अभाज्य गुणनखंड \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \) हैं।
Answer: अभाज्य गुणनखंड का मतलब है कि गुणनखंड करने वाली सभी संख्याएँ अभाज्य होनी चाहिए।
(क) 36 के अभाज्य गुणनखंड \( 9 \times 4 \) हैं। (गलत, क्योंकि 9 और 4 अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।) \( 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
(ख) 62 के अभाज्य गुणनखंड \( 2 \times 31 \) हैं । (सही, क्योंकि 2 और 31 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं।)
(ग) 65 के अभाज्य गुणनखंड \( 5 \times 13 \) हैं। (सही, क्योंकि 5 और 13 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं।)
(घ) 128 के अभाज्य गुणनखंड \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \) हैं। (सही, क्योंकि 2 एक अभाज्य संख्या है।)
इसलिए, सही कथन हैं: (ख), (ग) और (घ)।
In simple words: अभाज्य गुणनखंड वो होते हैं जहाँ किसी संख्या को सिर्फ अभाज्य संख्याओं के गुणा के रूप में लिखा जाता है। अभाज्य संख्याएँ वो होती हैं जो केवल 1 और खुद से भाग होती हैं, जैसे 2, 3, 5, 7, 11 आदि।
🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंड की परिभाषा याद रखें: गुणनखंड हमेशा अभाज्य संख्याएँ ही होनी चाहिए। 1 या भाज्य संख्याएँ अभाज्य गुणनखंड नहीं होती हैं।
Question 2. निम्नलिखित में 30 के अभाज्य गुणनखण्ड क्या हैं?
(क) \( 2 \times 15 \)
(ख) \( 5 \times 6 \)
(ग) \( 2 \times 3 \times 5 \)
Answer: (ग) \( 2 \times 3 \times 5 \)
In simple words: 30 के अभाज्य गुणनखंड \( 2 \times 3 \times 5 \) हैं क्योंकि 2, 3 और 5 सभी अभाज्य संख्याएँ हैं।
🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंड करते समय, हमेशा यह जांचें कि गुणनखंडों में शामिल सभी संख्याएँ अभाज्य हैं या नहीं।
Question 3. अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात करो (गुणनखण्ड ज्ञात करके)-
(क) 20
(ख) 72
(ग) 91
(घ) 30
(ङ) 54
(च) 63
(छ) 55
(ज) 50
(झ) 64
Answer: अभाज्य गुणनखंड किसी संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखने का तरीका है।
(क) \( 20 = 2 \times 2 \times 5 \)
(ख) \( 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
(ग) \( 91 = 7 \times 13 \)
(घ) \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)
(ङ) \( 54 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \)
(च) \( 63 = 3 \times 3 \times 7 \)
(छ) \( 55 = 5 \times 11 \)
(ज) \( 50 = 2 \times 5 \times 5 \)
(झ) \( 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \)
In simple words: किसी भी संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणा के रूप में लिखना अभाज्य गुणनखंड कहलाता है। यहाँ, हर संख्या को केवल अभाज्य संख्याओं (जैसे 2, 3, 5, 7, 11, 13) के गुणा से बनाया गया है।
🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंड करने के लिए, सबसे छोटी अभाज्य संख्या (जैसे 2) से भाग देना शुरू करें और तब तक जारी रखें जब तक भागफल 1 न हो जाए।
Question 4. 9, 12, 18 और 24 के समापवर्तक लिखो-
Answer: समापवर्तक वे संख्याएँ होती हैं जो सभी दी गई संख्याओं को पूरी तरह विभाजित करती हैं।
9 के अपवर्तक: 1, 3, 9
12 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 6, 9, 18
24 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
समापवर्तक (Common Factors): 1, 3
In simple words: यहाँ हमें 9, 12, 18 और 24 के वो सभी गुणनखंड खोजने हैं जो इन चारों संख्याओं में समान हों। हमने देखा कि 1 और 3 ही ऐसी संख्याएँ हैं जो इन चारों को पूरी तरह विभाजित करती हैं।
🎯 Exam Tip: जब कई संख्याओं के समापवर्तक निकालने हों, तो पहले सभी संख्याओं के अलग-अलग अपवर्तक लिख लें और फिर उनमें से समान अपवर्तकों को चुनें।
Question 5. 24, 54 और 72 का महत्तम समापवर्तक उनके अपवर्तकों को लिखकर ज्ञात करो।
Answer: महत्तम समापवर्तक (म.स.) सबसे बड़ा साझा अपवर्तक होता है।
24 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
54 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
72 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
समापवर्तक (Common Factors): 1, 2, 3, 6
म.स. (HCF): 6
In simple words: पहले 24, 54 और 72 तीनों के सभी गुणनखंड लिखे गए। फिर देखा गया कि 1, 2, 3, 6 ये चार संख्याएँ तीनों में समान गुणनखंड हैं। इन चारों में सबसे बड़ी संख्या 6 है, इसलिए यही म.स. है।
🎯 Exam Tip: म.स. निकालने के लिए सभी अपवर्तक सही ढंग से लिखे गए हैं और फिर सबसे बड़ा समान अपवर्तक चुना गया है, यह दोबारा जांचें।
Question 6. निम्नलिखित संख्याओं का म.स. उनके अपवर्तकों को लिखकर ज्ञात करो (ज्ञात करके)-
(क) 14, 21, 35
(ख) 55, 44, 88
(ग) 54, 90, 108
Answer: महत्तम समापवर्तक (म.स.) वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं को पूरी तरह विभाजित करती है।
(क) 14, 21, 35
14 के अपवर्तक: 1, 2, 7, 14
21 के अपवर्तक: 1, 3, 7, 21
35 के अपवर्तक: 1, 5, 7, 35
समापवर्तक (Common Factors): 1, 7
म.स. (HCF): 7
(ख) 55, 44, 88
55 के अपवर्तक: 1, 5, 11, 55
44 के अपवर्तक: 1, 2, 4, 11, 22, 44
88 के अपवर्तक: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88
समापवर्तक (Common Factors): 1, 11
म.स. (HCF): 11
(ग) 54, 90, 108
54 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
90 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
108 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108
समापवर्तक (Common Factors): 1, 2, 3, 9, 18
म.स. (HCF): 18
In simple words: म.स. ज्ञात करने के लिए, हर संख्या के सभी गुणनखंड लिखे गए। फिर देखा गया कि कौन से गुणनखंड सभी संख्याओं में समान हैं। उन समान गुणनखंडों में जो सबसे बड़ा होता है, वही महत्तम समापवर्तक होता है।
🎯 Exam Tip: तीन या अधिक संख्याओं का म.स. ज्ञात करते समय, यह सुनिश्चित करें कि आपके द्वारा चुने गए सभी गुणनखंड तीनों (या अधिक) संख्याओं में मौजूद हों।
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