UP Board Solutions Class 4 Maths Chapter 10 Laghuttam samapvartya

लघुत्तम समापवर्त्य

अभ्यास

Question 1. अपवयों को लिखकर निम्नांकित संख्याओं का लल्स० ज्ञात करो।
(क) 10 और 15
Answer:
10 के अपवर्त्य: 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...
15 के अपवर्त्य: 15, 30, 45, 60, 75, 90, ...
समापवर्त्य (Common Multiples): 30, 60, ...
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): 30
सबसे छोटा सामान्य गुणज वह संख्या है जो दोनों संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाती है।
In simple words: सबसे पहले 10 और 15 के गुणज लिखो। फिर उनमें से जो गुणज दोनों में एक जैसे हैं, उन्हें ढूंढो। उनमें से सबसे छोटा गुणज ही लघुत्तम समापवर्त्य होता है।

🎯 Exam Tip: लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको दोनों संख्याओं के गुणजों की एक सूची बनानी होगी और फिर सबसे छोटे सामान्य गुणज को पहचानना होगा।

Question 1. (ख) 24 और 36
Answer:
24 के अपवर्त्य: 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...
36 के अपवर्त्य: 36, 72, 108, 144, 180, ...
समापवर्त्य (Common Multiples): 72, 144, ...
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): 72
लघुत्तम समापवर्त्य यह बताता है कि कब दो अलग-अलग चक्र एक ही समय पर फिर से मिलेंगे।
In simple words: 24 और 36 दोनों के गुणज लिखो। दोनों में जो सबसे छोटा एक जैसा गुणज है, वही उनका लघुत्तम समापवर्त्य है।

🎯 Exam Tip: जब आप बड़ी संख्याओं के गुणज लिखते हैं, तो पैटर्न को पहचानना महत्वपूर्ण है ताकि आप सभी संभावित सामान्य गुणजों को मिस न करें।

Question 1. (ग) 12 और 16
Answer:
12 के अपवर्त्य: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, ...
16 के अपवर्त्य: 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, ...
समापवर्त्य (Common Multiples): 48, 96, ...
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): 48
लघुत्तम समापवर्त्य का उपयोग अक्सर भिन्न संख्याओं को जोड़ने या घटाने के लिए किया जाता है।
In simple words: 12 और 16 के गुणज की लिस्ट बनाओ। जो नंबर दोनों लिस्ट में सबसे पहले आता है, वही उनका ल.स.प. है।

🎯 Exam Tip: आप गुणज को एक-एक करके लिखने के बजाय, बड़ी संख्या के गुणज को देखकर यह जांच सकते हैं कि क्या वह छोटी संख्या से विभाजित होता है।

Question 1. (घ) 7, 21 और 35
Answer:
7 के अपवर्त्य: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, ...
21 के अपवर्त्य: 21, 42, 63, 84, 105, 126, ...
35 के अपवर्त्य: 35, 70, 105, 140, ...
समापवर्त्य (Common Multiples): 105, ...
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): 105
जब तीन संख्याओं का ल.स.प. निकालना हो, तो सभी तीन सूचियों में आने वाले सबसे छोटे समान गुणज को ढूंढना होता है।
In simple words: 7, 21 और 35 तीनों के गुणज लिखो। जो नंबर तीनों लिस्ट में सबसे पहले आता है, वही उनका लघुत्तम समापवर्त्य है।

🎯 Exam Tip: तीन या अधिक संख्याओं का ल.स.प. ज्ञात करते समय धैर्य रखें और सभी संख्याओं के पर्याप्त गुणज लिखें ताकि आप सामान्य गुणज को ढूंढ सकें।

Question 1. (च) 6 और 15
Answer:
6 के अपवर्त्य: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, ...
15 के अपवर्त्य: 15, 30, 45, 60, 75, 90, ...
समापवर्त्य (Common Multiples): 30, 60, ...
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): 30
छोटी संख्याओं के लिए गुणज विधि से ल.स.प. निकालना बहुत आसान होता है।
In simple words: 6 और 15 के गुणज लिखो। फिर उनमें से सबसे छोटा गुणज जो दोनों में एक जैसा है, वह 30 है, जो कि उनका ल.स.प. है।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप गुणज को सही ढंग से गुणा करके लिखते हैं, क्योंकि एक भी गलती पूरे उत्तर को बदल सकती है।

Question 1. (छ) 8 और 28
Answer:
8 के अपवर्त्य: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, ...
28 के अपवर्त्य: 28, 56, 84, 112, ...
समापवर्त्य (Common Multiples): 56, 112, ...
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): 56
ल.स.प. की अवधारणा वास्तविक जीवन में समय-सारणी और घटनाओं के दोहराव में भी मदद करती है।
In simple words: 8 और 28 दोनों के गुणज लिखो। जो संख्या दोनों लिस्ट में सबसे पहले आती है, वही उनका ल.स.प. है, जो कि 56 है।

🎯 Exam Tip: जब एक संख्या दूसरी संख्या का गुणज हो, तो बड़ी संख्या ही उनका ल.स.प. होती है। हालाँकि, यहाँ 8 और 28 के मामले में ऐसा नहीं है।

Question 1. (ज) 6, 18, 54
Answer:
6 के अपवर्त्य: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 84, 90, 96, 102, 108, ...
18 के अपवर्त्य: 18, 36, 54, 72, 90, 108, ...
54 के अपवर्त्य: 54, 108, 162, ...
समापवर्त्य (Common Multiples): 54, 108, ...
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): 54
यदि सबसे बड़ी संख्या अन्य सभी संख्याओं का गुणज है, तो वही सबसे बड़ी संख्या ल.स.प. होगी।
In simple words: 6, 18 और 54 तीनों के गुणज लिखो। जो संख्या तीनों लिस्ट में सबसे पहले आती है, वही उनका ल.स.प. है, जो कि 54 है।

🎯 Exam Tip: यह एक आसान मामला है क्योंकि 54, 6 और 18 दोनों का गुणज है, इसलिए 54 ही उनका ल.स.प. होगा। ऐसे प्रश्नों को ध्यान से देखें।

Question 1. (झ) 12, 36, 54
Answer:
12 के अपवर्त्य: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ...
36 के अपवर्त्य: 36, 72, 108, 144, ...
54 के अपवर्त्य: 54, 108, 162, ...
समापवर्त्य (Common Multiples): 108, ...
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): 108
ल.स.प. को अभाज्य गुणनखंड विधि से भी आसानी से निकाला जा सकता है, खासकर बड़ी संख्याओं के लिए।
In simple words: 12, 36 और 54 के गुणज लिखो। जो नंबर तीनों लिस्ट में सबसे छोटा और एक जैसा है, वह 108 है। यही उनका ल.स.प. है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सवालों में, आप पहले सबसे बड़ी संख्या के गुणज लिख सकते हैं और फिर जांच सकते हैं कि क्या अन्य संख्याएँ भी उन गुणजों को विभाजित करती हैं।

Question 1. (ट) 7, 49 और 84
Answer:
7 के अपवर्त्य: 7, 14, ..., 91, 98, ..., 140, 147, ..., 162, 169, ..., 574, 581, 588, 595, ...
49 के अपवर्त्य: 49, 98, ..., 294, 343, ..., 539, 588, 637, ...
84 के अपवर्त्य: 84, 168, 252, 336, 420, 504, 588, 672, ...
समापवर्त्य (Common Multiples): 588, ...
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): 588
ल.स.प. वह सबसे छोटी संख्या होती है जो दी गई सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाती है।
In simple words: 7, 49 और 84 के गुणज लिखो। जो संख्या तीनों लिस्ट में सबसे पहले आती है और एक जैसी है, वह 588 है। यही उनका ल.स.प. है।

🎯 Exam Tip: तीन संख्याओं के ल.स.प. को गुणज विधि से ज्ञात करते समय, सबसे बड़ी संख्या के गुणज को लिखकर शुरू करना और फिर जांचना अक्सर आसान होता है।

कितना सीखा-3

Question 1. बताओ-
(क) छः अंकीय सबसे छोटी संख्या
Answer: 100000
छह अंकों की सबसे छोटी संख्या बनाने के लिए, आपको 1 के बाद पांच शून्य लगाने होंगे।
In simple words: छह अंकों की सबसे छोटी संख्या 100000 होती है।

🎯 Exam Tip: किसी भी अंकों की सबसे छोटी संख्या के लिए, हमेशा पहले अंक को 1 लिखें और बाकी सभी अंकों को 0 लिखें।

Question 1. (ख) पाँच अंकीय सबसे बड़ी संख्या
Answer: 99999
पांच अंकों की सबसे बड़ी संख्या बनाने के लिए, आपको पांच बार 9 लिखना होगा।
In simple words: पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99999 होती है।

🎯 Exam Tip: किसी भी अंकों की सबसे बड़ी संख्या के लिए, हमेशा उतने ही 9 लिखें जितने अंकों की संख्या पूछी गई है।

Question 1. (ग) 33671 की अनुवर्ती
Answer: 33672
किसी भी संख्या की अनुवर्ती संख्या जानने के लिए, आपको उसमें 1 जोड़ना होता है।
In simple words: 33671 के बाद आने वाली संख्या 33672 है।

🎯 Exam Tip: अनुवर्ती का मतलब होता है 'बाद वाली' संख्या।

Question 1. (घ) 99999 की पूर्ववर्ती
Answer: 99998
किसी भी संख्या की पूर्ववर्ती संख्या जानने के लिए, आपको उसमें से 1 घटाना होता है।
In simple words: 99999 से ठीक पहले आने वाली संख्या 99998 है।

🎯 Exam Tip: पूर्ववर्ती का मतलब होता है 'पहले वाली' संख्या।

Question 2. निम्नलिखित संख्या समूह में से छाँटकर सबसे बड़ी संख्या और सबसे छोटी संख्या लिखो। 45309, 99999, 34903, 89876, 99099, 40001, 90999, 90834
Answer:
सबसे बड़ी संख्या = 99999
सबसे छोटी संख्या = 34903
संख्याओं को तुलना करने के लिए, पहले उनके अंकों की संख्या देखें, फिर बाएं से दाएं अंकों की तुलना करें।
In simple words: दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या 99999 है और सबसे छोटी संख्या 34903 है।

🎯 Exam Tip: संख्याओं की तुलना करते समय, सबसे पहले देखें कि किस संख्या में सबसे अधिक अंक हैं। यदि अंकों की संख्या समान है, तो सबसे बाईं ओर के अंक से तुलना करना शुरू करें।

Question 3. एक परीक्षा में 90876 परीक्षार्थी सम्मिलित हुए जिनमें 76897 बालक हैं। बताओ बालिकाएँ कितनी हैं?
Answer:
कुल परीक्षार्थियों की संख्या = 90876
बालकों की संख्या = 76897
बालिकाओं की संख्या = कुल परीक्षार्थी - बालकों की संख्या
बालिकाओं की संख्या = \( 90876 - 76897 = 13979 \)
परीक्षा में कुल 13979 बालिकाएँ थीं।
In simple words: कुल बच्चों में से लड़कों की संख्या घटाने पर लड़कियों की संख्या मिल जाती है। यहाँ 90876 में से 76897 घटाने पर 13979 लड़कियाँ बचती हैं।

🎯 Exam Tip: कुल संख्या में से एक भाग को घटाने पर दूसरा भाग प्राप्त होता है। घटाने के सवालों में यह नियम बहुत काम आता है।

Question 4. दो संख्याओं का योगफल 33602 है। यदि पहली संख्या 8390 है तो दूसरी संख्या बताओ।
Answer:
दो संख्याओं का योगफल = 33602
पहली संख्या = 8390
दूसरी संख्या = योगफल - पहली संख्या
दूसरी संख्या = \( 33602 - 8390 = 25212 \)
इसलिए, दूसरी संख्या 25212 है।
In simple words: अगर दो संख्याओं को जोड़कर कुल 33602 आता है और उनमें से एक संख्या 8390 है, तो दूसरी संख्या 25212 होगी।

🎯 Exam Tip: यदि आपको दो संख्याओं का योग और उनमें से एक संख्या पता है, तो दूसरी संख्या ज्ञात करने के लिए योग में से ज्ञात संख्या को घटा दें।

Question 5. गुणनफल बताओ ।
(क) 440 × 200
Answer: \( 440 \times 200 = 88000 \)
गुणनफल ज्ञात करने के लिए, आप गैर-शून्य अंकों को गुणा कर सकते हैं और फिर अंत में सभी शून्य जोड़ सकते हैं।
In simple words: 440 को 200 से गुणा करने पर 88000 आता है।

🎯 Exam Tip: जब संख्याओं के अंत में शून्य होते हैं, तो पहले गैर-शून्य अंकों को गुणा करें और फिर परिणाम में सभी शून्यों को जोड़ दें।

Question 5. (ख) 520 × 0
Answer: \( 520 \times 0 = 0 \)
किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर गुणनफल हमेशा शून्य ही होता है।
In simple words: किसी भी संख्या को शून्य (0) से गुणा करने पर उत्तर हमेशा शून्य ही आता है।

🎯 Exam Tip: शून्य का गुणनफल गुण हमेशा याद रखें: कोई भी संख्या गुणा 0 = 0।

Question 5. (ग) 8786 × 1
Answer: \( 8786 \times 1 = 8786 \)
किसी भी संख्या को एक से गुणा करने पर गुणनफल वही संख्या होती है।
In simple words: किसी भी संख्या को एक (1) से गुणा करने पर उत्तर वही संख्या होती है।

🎯 Exam Tip: एक का गुणनफल गुण हमेशा याद रखें: कोई भी संख्या गुणा 1 = वही संख्या।

Question 6. एक विद्यालय में 1320 छात्र हैं। यदि एक बस में कुल 66 छात्र बैठ सकते हैं, तो बताओ कि सभी छात्रों को ले जाने के लिए कितनी बसें चाहिए?
Answer:
विद्यालय में छात्रों की संख्या = 1320
एक बस में बैठ सकते हैं = 66 छात्र
सभी छात्रों को ले जाने के लिए आवश्यक बसें = कुल छात्रों की संख्या \( \div \) एक बस में बैठने वाले छात्रों की संख्या
बसें चाहिए = \( 1320 \div 66 = 20 \) बसें
इसलिए, सभी छात्रों को ले जाने के लिए 20 बसों की आवश्यकता होगी।
In simple words: कुल 1320 बच्चों को 66 बच्चों वाली बसों में बैठाना है। इसके लिए 20 बसों की जरूरत पड़ेगी।

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में, कुल संख्या को प्रति इकाई क्षमता से विभाजित करने पर इकाइयों की आवश्यक संख्या मिलती है।

Question 7. मान बताओ ।
(क) 885 ÷ 5 × 3 + 18 - 6
Answer:
\( 885 \div 5 \times 3 + 18 - 6 \)
पहले भाग करें: \( 177 \times 3 + 18 - 6 \)
फिर गुणा करें: \( 531 + 18 - 6 \)
फिर जोड़ करें: \( 549 - 6 \)
अंत में घटाएं: \( 543 \)
गणित के सवालों को हल करते समय हमेशा BODMAS/PEMDAS नियम का पालन करें।
In simple words: इस गणित के सवाल को हल करने के लिए, पहले भाग (डिवाइड) करो, फिर गुणा (मल्टीप्लाई) करो, फिर जोड़ो (प्लस), और आखिर में घटाओ (माइनस)। उत्तर 543 आएगा।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए BODMAS/PEMDAS नियम (कोष्ठक, घातांक, गुणा, भाग, जोड़, घटाव) का हमेशा सही क्रम में पालन करें।

Question 7. (ख) 7 × 50 + 32 ÷ 8 - 121
Answer:
\( 7 \times 50 + 32 \div 8 - 121 \)
पहले गुणा और भाग करें (बाएं से दाएं): \( 350 + 4 - 121 \)
फिर जोड़ करें: \( 354 - 121 \)
अंत में घटाएं: \( 233 \)
गणित में सही क्रम का पालन करने से ही सही उत्तर मिलता है।
In simple words: इस सवाल में, पहले गुणा और भाग करो, फिर जोड़ो और आखिर में घटाओ। उत्तर 233 आएगा।

🎯 Exam Tip: गुणा और भाग दोनों को एक ही प्राथमिकता मिलती है, इसलिए जो पहले बाएं से आता है उसे पहले हल करें। जोड़ और घटाव के साथ भी यही नियम लागू होता है।

Question 7. (ग) 21 ÷ 7 × 18 - 2 × 23
Answer:
\( 21 \div 7 \times 18 - 2 \times 23 \)
पहले भाग और गुणा करें (बाएं से दाएं): \( 3 \times 18 - 2 \times 23 \)
फिर गुणा करें: \( 54 - 46 \)
अंत में घटाएं: \( 8 \)
एक ही पंक्ति में कई ऑपरेटर होने पर, सही क्रम का पालन करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: इस गणित के सवाल को हल करने के लिए, पहले भाग और गुणा करो, फिर दोनों गुणा के परिणाम को घटाओ। उत्तर 8 आएगा।

🎯 Exam Tip: जब गुणा और भाग दोनों एक साथ हों, तो जो ऑपरेशन बाएं से पहले आता है उसे पहले किया जाता है।

Question 7. (घ) 31 + 24 ÷ 8 × 9 - 39
Answer:
\( 31 + 24 \div 8 \times 9 - 39 \)
पहले भाग करें: \( 31 + 3 \times 9 - 39 \)
फिर गुणा करें: \( 31 + 27 - 39 \)
फिर जोड़ करें: \( 58 - 39 \)
अंत में घटाएं: \( 19 \)
गणित के प्रश्नों को हल करने में प्रत्येक चरण को सावधानी से करना चाहिए।
In simple words: इस गणित के सवाल में, पहले भाग करो, फिर गुणा करो, फिर जोड़ो और आखिर में घटाओ। उत्तर 19 आएगा।

🎯 Exam Tip: BODMAS/PEMDAS नियम में, जोड़ और घटाव सबसे अंत में किए जाते हैं, जो पहले बाएं से आता है उसे हल करते हुए।

Question 8. 12 के दो अंकों वाले सभी अपवयों को लिखो।
Answer:
12 के दो अंकों वाले अपवर्त्य = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96
ये सभी संख्याएँ 12 के गुणज हैं और दो अंकों की हैं।
In simple words: 12 के गुणज जो 10 से 99 के बीच आते हैं, वे 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 हैं।

🎯 Exam Tip: 'अपवर्त्य' का मतलब 'गुणज' होता है। आपको ऐसी संख्याएँ ढूंढनी हैं जो 12 के पहाड़े में आती हों और दो अंकों की हों।

Question 9. निम्नलिखित संख्याओं के गुणनखण्ड लिखो।
(क) 12
Answer: \( 12 = 2 \times 2 \times 3 \)
अभाज्य गुणनखण्ड किसी संख्या को उसके अभाज्य कारकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करते हैं।
In simple words: 12 को छोटे-छोटे अभाज्य नंबरों में तोड़कर गुणा के रूप में लिखने पर \( 2 \times 2 \times 3 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: गुणनखण्ड हमेशा अभाज्य संख्याएँ होनी चाहिए, मतलब ऐसी संख्याएँ जो केवल 1 और खुद से विभाजित होती हैं।

Question 9. (ख) 30
Answer: \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)
अभाज्य गुणनखंडन किसी संख्या को समझने का एक महत्वपूर्ण तरीका है।
In simple words: 30 को अभाज्य नंबरों में तोड़ने पर \( 2 \times 3 \times 5 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंडन करने के लिए, सबसे छोटी अभाज्य संख्या से भाग देना शुरू करें और तब तक जारी रखें जब तक आपको केवल अभाज्य संख्याएँ न मिल जाएँ।

Question 9. (ग) 56
Answer: \( 56 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 \)
अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग ल.स.प. और म.स.प. ज्ञात करने में किया जाता है।
In simple words: 56 को अभाज्य नंबरों में तोड़ने पर \( 2 \times 2 \times 2 \times 7 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप सभी गुणनखंडों को तब तक तोड़ते रहें जब तक वे अभाज्य न हो जाएं।

Question 10. यदि 45 का एक गुणनखण्ड 9 है, तो दूसरा गुणनखण्ड बताओ ।
Answer:
यदि 45 का एक गुणनखण्ड 9 है, तो दूसरा गुणनखण्ड = \( 45 \div 9 = 5 \)
किसी संख्या के गुणनखण्ड वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें गुणा करने पर वह संख्या प्राप्त होती है।
In simple words: अगर 45 को 9 से भाग करें, तो दूसरा गुणनखण्ड 5 मिलेगा।

🎯 Exam Tip: गुणनखण्ड ज्ञात करने के लिए, दी गई संख्या को ज्ञात गुणनखण्ड से विभाजित करें।

Question 11. निम्नलिखित शर्तों को पूरी करने वाली अभाज्य संख्याओं के तीन जोडे लिखो ।
(क) समान अंकों को लेकर, जैसे 13 और 31
Answer: 17 और 71, 37 और 73, 113 और 311
ये सभी अभाज्य संख्याएँ हैं जिनके अंक समान हैं लेकिन स्थान बदले हुए हैं।
In simple words: ऐसे तीन जोड़े अभाज्य संख्याओं के हैं जिनमें अंक एक जैसे हैं लेकिन जगह बदली हुई है: 17 और 71, 37 और 73, 113 और 311।

🎯 Exam Tip: 'समान अंकों को लेकर' का मतलब है कि संख्याओं में वही अंक मौजूद हों, भले ही उनका क्रम अलग हो। सुनिश्चित करें कि दोनों संख्याएँ अभाज्य हों।

Question 11. (ख) 2 के अन्तर के साथ जैसे 5 और 7
Answer: 11 और 13, 17 और 19, 29 और 31
ये 'जुड़वां अभाज्य' जोड़े हैं, जहाँ दो अभाज्य संख्याओं के बीच का अंतर 2 होता है।
In simple words: 11 और 13, 17 और 19, 29 और 31 ऐसे अभाज्य संख्या के जोड़े हैं जिनके बीच का अंतर 2 है।

🎯 Exam Tip: ऐसे जोड़े को 'जुड़वां अभाज्य' (Twin Primes) कहा जाता है। याद रखें कि दोनों संख्याएँ अभाज्य होनी चाहिए और उनके बीच का अंतर 2 होना चाहिए।

Question 11. (ग) 10 के अन्तर के साथ, जैसे 19 और 29
Answer: 13 और 23, 31 और 41, 37 और 47
ये सभी जोड़े अभाज्य संख्याएँ हैं जिनके बीच 10 का अंतर होता है।
In simple words: 13 और 23, 31 और 41, 37 और 47 ऐसे अभाज्य संख्या के जोड़े हैं जिनके बीच का अंतर 10 है।

🎯 Exam Tip: आपको केवल अभाज्य संख्याओं के जोड़ों पर ध्यान देना है, न कि किसी भी संख्या के जोड़े पर।

Question 12. निम्नलिखित संख्याओं में से सम और विषम संख्याएँ छाँटकर लिखो 68, 71, 84, 90, 93
Answer:
सम संख्याएँ: 68, 84, 90
विषम संख्याएँ: 71, 93
सम संख्याएँ 2 से पूरी तरह विभाजित होती हैं, जबकि विषम संख्याएँ नहीं होतीं।
In simple words: सम संख्याएँ वे हैं जो 2 से भाग हो जाती हैं (68, 84, 90)। विषम संख्याएँ वे हैं जो 2 से भाग नहीं होतीं (71, 93)।

🎯 Exam Tip: एक संख्या सम है यदि उसका अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, या 8 हो। एक संख्या विषम है यदि उसका अंतिम अंक 1, 3, 5, 7, या 9 हो।

Question 13. निम्नलिखित संख्याओं के महत्तम समापवर्तक लिखो।
(क) 33, 121
Answer:
33 के अपवर्तक (Factors): 3, 11, 33
121 के अपवर्तक: 1, 11, 121
समापवर्तक (Common Factors): 11
महत्तम समापवर्तक (HCF): 11
महत्तम समापवर्तक (HCF) सबसे बड़ी संख्या होती है जो दी गई संख्याओं को पूरी तरह विभाजित करती है।
In simple words: 33 और 121 के सभी गुणनखंड लिखो। फिर उनमें से सबसे बड़ा गुणनखंड जो दोनों में एक जैसा है, वह 11 है। यही उनका म.स.प. है।

🎯 Exam Tip: महत्तम समापवर्तक ज्ञात करने के लिए, सभी संख्याओं के गुणनखंडों की सूची बनाएं और फिर सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड को चुनें।

Question 13. (ख) 32, 36, 60
Answer:
32 के अपवर्तक: 1, 2, 4, 8, 16, 32
36 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
60 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
समापवर्तक (Common Factors): 1, 2, 4
महत्तम समापवर्तक (HCF): 4
अभाज्य गुणनखंड विधि से भी म.स.प. आसानी से निकाला जा सकता है।
In simple words: 32, 36 और 60 के सभी गुणनखंड लिखो। तीनों में जो सबसे बड़ा गुणनखंड एक जैसा है, वह 4 है। यही उनका म.स.प. है।

🎯 Exam Tip: तीन या अधिक संख्याओं का म.स.प. ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि आप सभी संख्याओं के लिए सामान्य गुणनखंड ढूंढ रहे हैं।

Question 13. (ग) 65, 104
Answer:
65 के अपवर्तक: 1, 5, 13, 65
104 के अपवर्तक: 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104
समापवर्तक (Common Factors): 1, 13
महत्तम समापवर्तक (HCF): 13
म.स.प. ज्ञात करने में, सभी संभावित गुणनखंडों को ढूंढना महत्वपूर्ण है।
In simple words: 65 और 104 के सभी गुणनखंड लिखो। दोनों में जो सबसे बड़ा गुणनखंड एक जैसा है, वह 13 है। यही उनका म.स.प. है।

🎯 Exam Tip: गुणनखंडों की सूची बनाते समय, हमेशा 1 से शुरू करें और संख्या के वर्गमूल तक जांचें।

Question 14. निम्नलिखित संख्या के महत्तम समापवर्तक, अपवर्तकों को लिखकर ज्ञात करो।
(क) 52, 104
Answer:
52 के अपवर्तक: 1, 2, 4, 13, 26, 52
104 के अपवर्तक: 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104
समापवर्तक (Common Factors): 1, 2, 4, 13, 26, 52
महत्तम समापवर्तक (HCF): 52
यह एक विशेष मामला है क्योंकि 52, 104 का एक गुणनखंड है, इसलिए 52 ही उनका म.स.प. होगा।
In simple words: 52 और 104 के सभी गुणनखंड लिखो। दोनों में जो सबसे बड़ा गुणनखंड एक जैसा है, वह 52 है। यही उनका म.स.प. है।

🎯 Exam Tip: यदि एक संख्या दूसरी संख्या का गुणनखंड है, तो छोटी संख्या ही उनका महत्तम समापवर्तक होती है।

Question 14. (ख) 15, 30, 45
Answer:
15 के अपवर्तक: 1, 3, 5, 15
30 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
45 के अपवर्तक: 1, 3, 5, 9, 15, 45
समापवर्तक (Common Factors): 1, 3, 5, 15
महत्तम समापवर्तक (HCF): 15
म.स.प. को अभाज्य गुणनखंड विधि से भी निकाला जा सकता है, जो अक्सर बड़ी संख्याओं के लिए अधिक सुविधाजनक होती है।
In simple words: 15, 30 और 45 के सभी गुणनखंड लिखो। तीनों में जो सबसे बड़ा गुणनखंड एक जैसा है, वह 15 है। यही उनका म.स.प. है।

🎯 Exam Tip: ऐसे मामलों में जहां सभी संख्याएँ एक ही संख्या के गुणज हैं, तो वह संख्या ही उनका म.स.प. होगी।

Question 14. (ग) 32, 36, 40
Answer:
32 के अपवर्तक: 1, 2, 4, 8, 16, 32
36 के अपवर्तक: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
40 के अपवर्तक: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
समापवर्तक (Common Factors): 1, 2, 4
महत्तम समापवर्तक (HCF): 4
तीनों संख्याओं को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या 4 है।
In simple words: 32, 36 और 40 के सभी गुणनखंड लिखो। तीनों में जो सबसे बड़ा गुणनखंड एक जैसा है, वह 4 है। यही उनका म.स.प. है।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप सभी संख्याओं के सभी गुणनखंडों को सही ढंग से लिखते हैं ताकि कोई भी सामान्य गुणनखंड छूट न जाए।

Question 15. पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या लिखो और उसके सभी अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात करो ।
Answer:
पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या = 10000
अभाज्य गुणनखण्ड = \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \)
किसी भी संख्या के अभाज्य गुणनखण्ड को खोजने के लिए, उसे लगातार अभाज्य संख्याओं से विभाजित करते रहें।
In simple words: पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या 10000 है। इसे अभाज्य नंबरों में तोड़ने पर हमें \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात करते समय, सबसे छोटी अभाज्य संख्या (2) से शुरू करें और तब तक विभाजित करते रहें जब तक वह विभाजित होना बंद न हो जाए, फिर अगली अभाज्य संख्या पर जाएं।