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Detailed Chapter 8 अपवर्त्या और गुणखंड UP Board Solutions for Class 4 Maths
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Class 4 Maths Chapter 8 अपवर्त्या और गुणखंड UP Board Solutions PDF
तुम भी करो
Question 1. सही (√) का निशान लगाओ (सही का निशान लगाकर)-
(क) क्या 3 का अपवर्त्य 24 है? हाँ । नहीं उत्तरः हाँ (✔)
(ख) क्या 57, 5 का अपवर्त्य है? हाँ / नहीं उत्तरः नहीं (√)
Answer:
(क) 24, 3 का एक अपवर्त्य है क्योंकि 3 के पहाड़े में 24 आता है (3 × 8 = 24). इसका उत्तर 'हाँ' है.
(ख) 57, 5 का अपवर्त्य नहीं है क्योंकि 57 को 5 से पूरा-पूरा भाग नहीं किया जा सकता. इसका उत्तर 'नहीं' है. यह समझना महत्वपूर्ण है कि अपवर्त्य वह संख्या होती है जो किसी दी गई संख्या से पूरी तरह विभाजित हो जाए.
In simple words: हमें यह बताना था कि कौन सी संख्या किस का अपवर्त्य है. 'अपवर्त्य' का मतलब है कि जब हम किसी संख्या को गुणा करते हैं, तो जो उत्तर आता है, वह अपवर्त्य होता है.
🎯 Exam Tip: किसी संख्या का अपवर्त्य जानने के लिए, उसे दी गई संख्या से भाग करके देखें. यदि शेषफल शून्य आए, तो वह अपवर्त्य है.
Question 2. खाली जगह भरो (खाली जगह भरकर)-
(क) 3 × 8 = 24, तो 3 और 8 का अपवर्त्य है 24.
(ख) 15 × 3 = 45, तो 15 और 3 का अपवर्त्य है 45
Answer:
(क) जब हम 3 को 8 से गुणा करते हैं, तो 24 मिलता है. इसका मतलब है कि 24, 3 और 8 दोनों का अपवर्त्य है.
(ख) जब 15 को 3 से गुणा किया जाता है, तो 45 मिलता है. इसलिए, 45, 15 और 3 दोनों का अपवर्त्य है. अपवर्त्य वे संख्याएँ होती हैं जो गुणा करने पर मिलती हैं.
In simple words: जब दो संख्याओं को गुणा करते हैं, तो जो उत्तर आता है, वह उन दोनों संख्याओं का अपवर्त्य कहलाता है.
🎯 Exam Tip: अपवर्त्य हमेशा दी गई संख्या से बड़ा या उसके बराबर होता है.
Question 3. नीचे की सारणी में 3 के अपवयों पर घेरा बनाओ (अपवयों पर गोला बनाकर)-
1 2 ③ 4 5 ⑥ 7 8 ⑨ 10
11 (12) 13 14 (15) 16 17 (18) 19 20
21 22 23 (24) 25 26 (27) 28 29 (30)
Answer: सारणी में 3 के अपवर्त्य वे संख्याएँ हैं जो 3 के पहाड़े में आती हैं. इन संख्याओं पर घेरा बनाया गया है:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. ये सभी संख्याएँ 3 से पूरी तरह भाग हो जाती हैं.
In simple words: हमें उन सभी संख्याओं पर घेरा लगाना था जो 3 के गुणज हैं, यानी जो 3 के पहाड़े में आती हैं.
🎯 Exam Tip: किसी संख्या के अपवर्त्य ज्ञात करने के लिए, उस संख्या को लगातार 1, 2, 3, 4... से गुणा करते रहें.
Question 4. ऊपर की सारणी से छाँटकर 7 और 8 के अपवर्त्य लिखो। हल: 7 के अपवर्त्य = 7, 14, 21, 28 8 के अपवर्त्य = 8, 16, 24
Answer: ऊपर दी गई सारणी से, 7 के अपवर्त्य जो 30 तक हैं, वे हैं: 7, 14, 21, 28. इसी तरह, 8 के अपवर्त्य जो 30 तक हैं, वे हैं: 8, 16, 24. अपवर्त्य संख्याओं की सूची बनाने से हमें गुणनफल का एक पैटर्न समझने में मदद मिलती है.
In simple words: 7 के पहाड़े में 7, 14, 21, 28 आते हैं और 8 के पहाड़े में 8, 16, 24 आते हैं.
🎯 Exam Tip: अपवर्त्य निकालते समय, दी गई सीमा (जैसे 30 तक) का ध्यान रखें ताकि अनावश्यक संख्याएँ शामिल न हों.
Question 5. 5 के ऐसे सभी अपवर्त्य लिखो जो 40 से कम हों। हल: 5 के ऐसे अपवर्त्य जो 40 से कम है, निम्न हैं- 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35
Answer: 5 के अपवर्त्य वे संख्याएँ हैं जो 5 से पूरी तरह विभाजित हो जाती हैं. 40 से कम 5 के अपवर्त्य इस प्रकार हैं: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35. इन संख्याओं को 5 को 1, 2, 3 आदि से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है.
In simple words: हमें 5 के पहाड़े की वे सारी संख्याएँ लिखनी थीं जो 40 से छोटी हैं.
🎯 Exam Tip: किसी भी संख्या का पहला अपवर्त्य वह संख्या स्वयं होती है.
तुम भी करो
Question 1. खाली जगह भरो (खाली जगह भरकर)-
(क) 4 × 5 = 20; में 4 और 5, 20 के गुणनखण्ड हैं।
(ख) 4 × 7 = 28; में 4 और 7, 28 के गुणनखण्ड हैं।
(ग) 6 × 7 = 42; में 6 और 7, 42 के गुणनखण्ड हैं।
Answer:
(क) 4 × 5 = 20; में 4 और 5, 20 के गुणनखण्ड हैं.
(ख) 4 × 7 = 28; में 4 और 7, 28 के गुणनखण्ड हैं. यहाँ 4 और 7 वे संख्याएँ हैं जिन्हें गुणा करने पर 28 मिलता है.
(ग) 6 × 7 = 42; में 6 और 7, 42 के गुणनखण्ड हैं. गुणनखण्ड वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें गुणा करने पर कोई दूसरी संख्या बनती है.
In simple words: जब दो संख्याओं को गुणा करके कोई तीसरी संख्या बनती है, तो वे दोनों संख्याएँ उस तीसरी संख्या के गुणनखण्ड कहलाती हैं.
🎯 Exam Tip: हर संख्या का गुणनखण्ड 1 और वह संख्या स्वयं होती है.
Question 2. सही उत्तर पर (√) चिह्न लगाओ (सही का चिह्न लगाकर)-
(क) 71 का गुणनखण्ड 8 है? हाँ । नहीं उत्तरः नहीं (✔)
(ख) 81 का गुणनखण्ड 9 है हाँ । नहीं उत्तरः हाँ (√)
Answer:
(क) 71 का गुणनखण्ड 8 नहीं है क्योंकि 71 को 8 से पूरा-पूरा भाग नहीं किया जा सकता. 71 को 8 से भाग देने पर शेषफल बचता है.
(ख) 81 का गुणनखण्ड 9 है क्योंकि 81 को 9 से पूरा-पूरा भाग किया जा सकता है (9 × 9 = 81). यह दर्शाता है कि 9, 81 को पूरी तरह विभाजित करता है.
In simple words: गुणनखण्ड का मतलब है कि दी गई संख्या उस बड़ी संख्या को पूरा-पूरा काटती है या नहीं.
🎯 Exam Tip: किसी संख्या को भाग करके देखें कि वह गुणनखण्ड है या नहीं; यदि शेषफल शून्य हो तो वह गुणनखण्ड है.
तुम भी करो
Question 1. सही (√) का निशान लगाओ (सही का निशान लगाकर)-
(क) क्या 19 अभाज्य संख्या है? हाँ । नहीं उत्तरः हाँ (✔)
(ख) क्या 24 अभाज्य संख्या है? हाँ / नहीं उत्तरः नहीं (√)
Answer:
(क) 19 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि यह केवल 1 और खुद 19 से ही भाग होती है. अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनके केवल दो ही गुणनखण्ड होते हैं.
(ख) 24 एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि यह 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 और 24 से भाग होती है, यानी इसके दो से अधिक गुणनखण्ड हैं. ऐसी संख्याओं को भाज्य संख्या कहते हैं.
In simple words: अभाज्य संख्याएँ वो होती हैं जो सिर्फ 1 और खुद से भाग होती हैं. भाज्य संख्याएँ वो होती हैं जो 1 और खुद के अलावा और भी संख्याओं से भाग हो जाती हैं.
🎯 Exam Tip: अभाज्य संख्या पहचानने के लिए, उसे सबसे छोटी अभाज्य संख्याओं (2, 3, 5, 7...) से भाग करके देखें.
Question 2. निम्नलिखित में कौन-कौन सी भाज्य संख्याएँ हैं? 3, 6, 7, 9, 11, 13, 17, 25, 44, 77, 31 हल: भाज्य संख्याएँ = 6, 9, 25, 44, 77
Answer: दी गई संख्याओं में से भाज्य संख्याएँ वे हैं जिनके दो से अधिक गुणनखण्ड होते हैं. ये संख्याएँ हैं:
6 (गुणनखण्ड: 1, 2, 3, 6)
9 (गुणनखण्ड: 1, 3, 9)
25 (गुणनखण्ड: 1, 5, 25)
44 (गुणनखण्ड: 1, 2, 4, 11, 22, 44)
77 (गुणनखण्ड: 1, 7, 11, 77)
बाकी संख्याएँ (3, 7, 11, 13, 17, 31) अभाज्य संख्याएँ हैं क्योंकि उनके केवल दो ही गुणनखण्ड होते हैं: 1 और वह संख्या स्वयं.
In simple words: भाज्य संख्याएँ वो होती हैं जिन्हें 1 और अपने आप के अलावा किसी और संख्या से भी भाग किया जा सकता है.
🎯 Exam Tip: अभाज्य संख्याओं के केवल दो गुणनखण्ड होते हैं, जबकि भाज्य संख्याओं के दो से अधिक गुणनखण्ड होते हैं.
अभ्यास
Question 1. निम्नलिखित संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड लिखो-
(क) 15 हल: \( 15 = 1 \times 3 \times 5 \)
(ख) 36 हल: \( 36 = 1 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
(ग) 45 हल: \( 45 = 1 \times 3 \times 3 \times 5 \)
(घ) 56 हल: \( 56 = 1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \)
Answer: अभाज्य गुणनखण्ड किसी संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखने का तरीका है. यहाँ दिए गए अभाज्य गुणनखण्ड सही हैं:
(क) \( 15 = 1 \times 3 \times 5 \)
(ख) \( 36 = 1 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
(ग) \( 45 = 1 \times 3 \times 3 \times 5 \)
(घ) \( 56 = 1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \)
यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि 1 को अभाज्य गुणनखण्ड में शामिल नहीं किया जाता है, क्योंकि यह एक अभाज्य संख्या नहीं है; हालाँकि, यदि स्रोत में शामिल है, तो हम उसे वैसे ही रखेंगे.
In simple words: किसी संख्या को छोटी-छोटी अभाज्य संख्याओं में तोड़कर गुणा के रूप में लिखना ही अभाज्य गुणनखण्ड कहलाता है.
🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखण्ड करते समय हमेशा सबसे छोटी अभाज्य संख्या से भाग करना शुरू करें.
Question 2. निम्नलिखित में कौन-कौन 12 के अपवर्तक नहीं हैं? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12 हल: 5, 7, 8
Answer: 12 के अपवर्तक वे संख्याएँ हैं जो 12 को पूरी तरह विभाजित करती हैं. 12 के अपवर्तक 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं. इसलिए, दी गई सूची में से 5, 7 और 8, 12 के अपवर्तक नहीं हैं क्योंकि वे 12 को पूरी तरह विभाजित नहीं करते. अपवर्तक संख्याओं का ज्ञान भाग की अवधारणा को मजबूत करता है.
In simple words: हमें वे संख्याएँ बतानी थीं जिनसे 12 को पूरा-पूरा भाग नहीं किया जा सकता. वे 5, 7 और 8 हैं.
🎯 Exam Tip: किसी संख्या के अपवर्तक हमेशा उस संख्या से छोटे या उसके बराबर होते हैं.
Question 3. 35 का एक गुणनखण्ड 5 है तो इसका दूसरा गुणनखण्ड क्या होगा? हलः संख्या = 35, पहला गुणनखण्ड = 5, दूसरा गुणनखण्ड = ? दूसरा गुणनखण्ड = 35 + 5 = 7
Answer: यदि 35 का एक गुणनखण्ड 5 है, तो दूसरा गुणनखण्ड ज्ञात करने के लिए हमें 35 को 5 से भाग देना होगा.
\( \text{संख्या} = 35 \)
\( \text{पहला गुणनखण्ड} = 5 \)
\( \text{दूसरा गुणनखण्ड} = \text{संख्या} \div \text{पहला गुणनखण्ड} \)
\( \implies \text{दूसरा गुणनखण्ड} = 35 \div 5 \)
\( \implies \text{दूसरा गुणनखण्ड} = 7 \).
इस तरह, 7 दूसरा गुणनखण्ड है. गुणनखण्ड हमेशा युग्मों में आते हैं.
In simple words: अगर हमें एक संख्या और उसका एक गुणनखण्ड पता है, तो दूसरा गुणनखण्ड निकालने के लिए उस संख्या को दिए गए गुणनखण्ड से भाग करना होगा.
🎯 Exam Tip: गुणनखण्ड हमेशा उस संख्या को पूरी तरह से विभाजित करते हैं. यदि एक गुणनखण्ड दिया हो, तो दूसरे के लिए भाग करें.
Question 4. 30 के तीन अभाज्य गुणनखण्ड हैं। एक गुणनखण्ड 2 है। अन्य दो गुणनखण्ड होंगे-
(क) 2, 3 और 5
(ख) 10 और 3
(ग) 15 और 2
(घ) 3 और 5
Answer: (घ) 3 और 5
In simple words: 30 के अभाज्य गुणनखण्ड 2, 3 और 5 होते हैं. जब 2 दिया गया है, तो बाकी दो 3 और 5 हैं.
🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखण्डों का गुणनफल हमेशा मूल संख्या के बराबर होता है.
Question 5. 10 और 20 के बीच की सभी अभाज्य संख्याएँ लिखो । उत्तर : 11, 13, 17, 19
Answer: 10 और 20 के बीच की अभाज्य संख्याएँ वे हैं जो 10 से बड़ी और 20 से छोटी हैं, और केवल 1 तथा खुद से ही भाग होती हैं. ये संख्याएँ 11, 13, 17 और 19 हैं. ये सभी संख्याएँ किसी अन्य छोटी संख्या से विभाजित नहीं होतीं.
In simple words: हमें 10 और 20 के बीच की वो संख्याएँ बतानी थीं जो सिर्फ 1 और अपने आप से भाग होती हैं.
🎯 Exam Tip: अभाज्य संख्याओं की पहचान के लिए, 2, 3, 5, 7 जैसे छोटे अभाज्य संख्याओं से भाग करके देखें.
Question 6. 30 के सभी अभाज्य गुणनखण्ड लिखो । उत्तर : 30 के अभाज्य गुणनखण्ड = \( 1 \times 2 \times 3 \times 5 \)
Answer: 30 के अभाज्य गुणनखण्ड वे अभाज्य संख्याएँ हैं जिन्हें गुणा करने पर 30 मिलता है. \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \). यहाँ 1 को आमतौर पर अभाज्य गुणनखण्ड में शामिल नहीं किया जाता है क्योंकि यह अभाज्य नहीं है, लेकिन स्रोत में दिए गए प्रारूप का पालन किया गया है. अभाज्य गुणनखण्ड एक संख्या को उसके सबसे छोटे हिस्सों में तोड़ते हैं.
In simple words: 30 को अभाज्य संख्याओं के गुणा के रूप में लिखने पर \( 2 \times 3 \times 5 \) मिलता है.
🎯 Exam Tip: 1 को अभाज्य संख्या नहीं माना जाता है, इसलिए अभाज्य गुणनखण्ड लिखते समय इसे छोड़ देना चाहिए.
Question 7. विषम संख्याओं को घेरो (विषम संख्याओं को घेरकर)-
Answer: विषम संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होतीं, यानी जिन्हें 2 से भाग देने पर शेषफल 1 बचता है. जैसे 1, 3, 5, 7, 9 आदि. विषम संख्याएँ अक्सर गिनती में एक के बाद एक आती हैं.
In simple words: विषम संख्याएँ वो होती हैं जो 2 के पहाड़े में नहीं आतीं.
🎯 Exam Tip: किसी संख्या के विषम होने की पहचान उसका इकाई अंक देखकर की जा सकती है. यदि इकाई अंक 1, 3, 5, 7, या 9 हो, तो वह विषम संख्या है.
Question 8. वह छोटी से छोटी संख्या बताओ जिसे किसी सम संख्या में जोड़ने पर विषम संख्या प्राप्त होती हैं। हल: वह छोटी से छोटी संख्या 1 है, जिसे किसी सम संख्या में जोड़ने पर विषम संख्या प्राप्त होती हैं।
Answer: जब हम किसी सम संख्या (जैसे 2, 4, 6) में 1 जोड़ते हैं, तो हमें हमेशा एक विषम संख्या (जैसे 3, 5, 7) मिलती है. इसलिए, 1 सबसे छोटी संख्या है जिसे किसी सम संख्या में जोड़ने पर एक विषम संख्या प्राप्त होती है. यह जोड़ और घटाव के मौलिक नियमों में से एक है.
In simple words: 1 वो सबसे छोटी संख्या है जिसे किसी सम संख्या में जोड़ने पर विषम संख्या बनती है.
🎯 Exam Tip: सम + विषम = विषम, और विषम + विषम = सम होता है. इस नियम को याद रखें.
Question 9. वह छोटी से छोटी संख्या बताओ, जिसे किसी विषम संख्या से घटाने पर शेषफल सम संख्या हो जाती है। हल: वह छोटी-से-छोटी संख्या 1 है, जिसे किसी विषम संख्या से घटाने पर शेषफल सम संख्या हो जाती है।
Answer: जब हम किसी विषम संख्या (जैसे 3, 5, 7) में से 1 घटाते हैं, तो हमें हमेशा एक सम संख्या (जैसे 2, 4, 6) प्राप्त होती है. इसलिए, 1 सबसे छोटी संख्या है जिसे किसी विषम संख्या से घटाने पर एक सम संख्या मिलती है. यह भी संख्याओं के मूल गुणों में से एक है.
In simple words: 1 वो सबसे छोटी संख्या है जिसे किसी विषम संख्या में से घटाने पर सम संख्या बनती है.
🎯 Exam Tip: विषम - विषम = सम, और सम - विषम = विषम होता है. यह नियम घटाव में भी उपयोगी है.
Question 10. 51 और 71 के बीच की सभी सम संख्याएँ लिखो । हल: 51 से 71 के बीच की सम संख्याएँ- 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70
Answer: 51 और 71 के बीच की सम संख्याएँ वे हैं जो 51 से बड़ी और 71 से छोटी हैं, तथा 2 से पूरी तरह विभाजित होती हैं. ये संख्याएँ हैं: 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70. सम संख्याएँ हमेशा 2 के पहाड़े में आती हैं.
In simple words: हमें 51 और 71 के बीच की वो संख्याएँ लिखनी थीं जो 2 से भाग हो जाती हैं.
🎯 Exam Tip: सम संख्या का इकाई अंक हमेशा 0, 2, 4, 6 या 8 होता है.
अपने आप-2
स्वाध्याय पाठ
इस नियम की जाँच भी करो, जब योगफल 20 हो। नोट-छात्र स्वयं करें ।
गिनो और बताओ
Question 1. कितने आयत? उत्तर: 10
Answer: दी गई आकृति में कुल 10 आयत हैं. आयत एक चार भुजाओं वाली आकृति होती है जिसमें आमने-सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण 90 डिग्री के होते हैं. इन आयतों को गिनने के लिए छोटे आयतों को गिनना और फिर बड़े आयतों को गिनना एक अच्छा तरीका है.
In simple words: इस चित्र में कुल 10 आयत हैं.
🎯 Exam Tip: आयतों की गिनती करते समय, छोटे आयतों और उनके संयोजन से बनने वाले बड़े आयतों को सावधानी से गिनें.
Question 2. कितने त्रिभुज? उत्तरः 32 + 5 = 37
Answer: दी गई आकृति में कुल 37 त्रिभुज हैं. त्रिभुज एक तीन भुजाओं वाली बंद आकृति होती है. जटिल आकृतियों में त्रिभुजों को गिनने के लिए, विभिन्न आकार और स्थितियों में मौजूद सभी त्रिभुजों को क्रमबद्ध तरीके से गिनना होता है. इस तरह की गणना से ज्यामितीय आकृतियों की समझ बढ़ती है.
In simple words: इस चित्र में कुल 37 त्रिभुज हैं.
🎯 Exam Tip: त्रिभुजों की गिनती करते समय, सबसे पहले छोटे त्रिभुजों को गिनें, फिर दो या तीन छोटे त्रिभुजों से मिलकर बनने वाले त्रिभुजों को गिनें, और इसी तरह आगे बढ़ें.
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UP Board Solutions Class 4 Maths Chapter 8 अपवर्त्या और गुणखंड
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