UP Board Solutions Class 11 Physics Chapter 10 Mechanical Properties of Fluids

Up Board Solutions For Class 11 Physics Chapter 10 Mechanical Properties Of Fluids (तरलों के यान्त्रिक गुण)

अभ्यास के अन्तर्गत दिए गए प्रश्नोत्तर

Question 1. स्पष्ट कीजिए क्यों
(a) मस्तिष्क की अपेक्षा मानव का पैरों पर रक्त चाप अधिक होता है।
(b) 6 km ऊँचाई पर वायुमण्डलीय दाब समुद्र-तल पर वायुमण्डलीय दाब का लगभग आधा हो जाता है, यद्यपि वायुमण्डल का विस्तार 100 km से भी अधिक ऊँचाई तक है ।
(c) यद्यपि दाब, प्रति एकांक क्षेत्रफल पर लगने वाला बल होता है तथापि द्रवस्थैतिक दाब एक अदिश राशि है।
Answer:
(a) पैरों के ऊपर रक्त स्तम्भ की ऊँचाई मस्तिष्क के ऊपर रक्त स्तम्भ की ऊँचाई से अधिक होती है। चूंकि द्रव स्तम्भ का दाब गहराई के अनुक्रमानुपाती होता है; अतः पैरों पर रक्त दाब मस्तिष्क पर रक्त दाब की तुलना में अधिक होता है ।
(b) पृथ्वी के गुरुत्वीय प्रभाव के कारण वायु के अणु पृथ्वी के समीप बने रहते हैं अधिक ऊँचाई तक नहीं जा पाते। इसी कारण 6 km से अधिक ऊँचाई पर जाने पर वायु बहुत ही विरल हो जाती है और घनत्व बहुत कम हो जाता है। चूंकि तरल-दाब, तरल के घनत्व के अनुक्रमानुपाती होता है; अतः 6 km से ऊपर की वायु का कुल दाब अत्यन्त कम होता है; अतः पृथ्वी-तल से 6 km की ऊँचाई पर वायुमण्डलीय दाब समुद्र तल पर वायुमण्डलीय दाब का आधा रह जाता है।
(c) पास्कल के नियम के अनुसार किसी बिन्दु पर द्रव-दाब सभी दिशाओं में समान रूप से लगता है, अर्थात् दाब के साथ कोई दिशा नहीं जोड़ी जा सकती; अतः दाब एक अदिश राशि है।
In simple words: The pressure of blood is higher in the feet than in the brain due to the taller column of blood. Atmospheric pressure decreases with altitude because air becomes less dense. Hydrostatic pressure is a scalar quantity because it acts equally in all directions at any point within a fluid, as per Pascal's law.

🎯 Exam Tip: Understanding pressure variations in fluids, especially with depth and altitude, and the scalar nature of pressure, are key concepts. Applying concepts like P = ρgh is crucial for such problems.

 

Question 2. स्पष्ट कीजिए क्यों
(a) पारे का काँच के साथ स्पर्श कोण अधिककोण होता है जबकि जल का काँच के साथ स्पर्श कोण न्यूनकोण होता है।
(b) काँच के स्वच्छ समतल पृष्ठ पर जल फैलने का प्रयास करता है जबकि पारा उसी पृष्ठ पर बूंदें | बनाने का प्रयास करता है। (दूसरे शब्दों में जल काँच को गीला कर देता है जबकि पारा ऐसा नहीं करता है।)
(c) किसी द्रव का पृष्ठ-तनाव पृष्ठ के क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करता है।
(d) जल में घुले अपमार्जकों के स्पर्श कोणों का मान कम होना चाहिए।
(e) यदि किसी बाह्य बल का प्रभाव न हो तो द्रव बूंद की आकृति सदैव गोलाकार होती है।
Answer:
(a) पारे के अणुओं के बीच ससंजक बल, पारे व काँच के अणुओं के बीच आसंजक बल से अधिक होता है, इस कारण काँच व पारे का स्पर्श कोण अधिककोण होता है। इसके विपरीत जल के अणुओं के बीच ससंजक बल, काँच व जल के अणुओं के बीच आसंजक बल से कम होता है, इस कारण जल तथा काँच के बीच स्पर्श कोण न्यूनकोण होता है ।
(b) खण्ड (a) के उत्तर में वर्णित कारण यहाँ भी लागू होता है।
(c) रबड़ की झिल्ली को खींचने पर उसमें तनाव बढ़ जाता है परन्तु किसी द्रव के मुक्त पृष्ठ का क्षेत्रफल बढ़ा देने पर उसके तनाव में कोई परिवर्तन नहीं आता; अतः द्रव का पृष्ठ-तनाव उसके मुक्त क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करता।।
(d) अपसार्जक घुले होने पर जल का पृष्ठ-तनाव कम हो जाता है; अतः स्पर्श कोण भी कम हो जाता है।
(e) बाह्य बल की अनुपस्थिति में बूंद की आकृति केवल पृष्ठ-तनाव द्वारा निर्धारित होती है। पृष्ठ-तनाव के कारण बूंद न्यूनतम मुक्त क्षेत्रफल वाली आकृति ग्रहण करना चाहती है। चूंकि एक दिए गए आयतन के लिए गोले का मुक्त पृष्ठ न्यूनतम होता है; अतः बूंद की आकृति पूर्ण गोलाकार हो जाती दाबों में भी अन्तर आ जाता है। इसके कारण गेंद पर भार के अतिरिक्त एक अन्य बल भी लगने लगता है और गेंद को पथ परवलयाकार नहीं रह जाता।।
In simple words: The contact angle depends on the balance between cohesive and adhesive forces. Mercury has stronger cohesive forces with itself than adhesive forces with glass, leading to an obtuse angle and non-wetting. Water has stronger adhesive forces with glass, leading to an acute angle and wetting. Surface tension depends on the nature of the liquid, not its surface area. Detergents reduce water's surface tension, reducing its contact angle. In the absence of external forces, liquid drops are spherical to minimize surface area due to surface tension.

🎯 Exam Tip: Questions on surface tension, contact angle, and their practical applications are frequent. Remember the relationship between intermolecular forces (cohesion and adhesion) and wetting phenomena.

 

Question 3. प्रत्येक प्रकथन के साथ संलग्न सूची में से उपयुक्त शब्द छाँटकर उस प्रकथन के रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए
(a) व्यापक रूप में व्रवों का पृष्ठ-तनाव ताप बढने पर....... है । (बढ़ता/घटता)
(b) गैसों की श्यानता ताप बढ़ने पर......... है, जबकि द्रवों की श्यानता ताप बढने पर........ है । (बढ़ती/घटती) ।
(c) दृढ़ता प्रत्यास्थता गुणांक वाले ठोसों के लिए अपरूपण प्रतिबल के अनुक्रमानुपाती होता है, जबकि द्रवों के लिए वह के अनुक्रमानुपाती होता है। (अपरूपण विकृति/अपरूपण विकृति की दर) ।
(d) किसी तरल के अपरिवर्ती प्रवाह में आए किसी संकीर्णन पर प्रवाह की चाल में वृद्धिमें........ का अनुसरण होता है। (संहति का संरक्षण/बरनौली सिद्धान्त)
(e) किंसी वायु सुरंग में किसी वायुयान के मॉडल में प्रक्षोभ की चाल वास्तविक वायुयान के प्रक्षोभ के लिए क्रांतिक चाल की तुलना में होत्ती है। (अधिक/कम)
Answer:
(a) घटता
(b) बढ़ती, घटती
(c) अपरूपण विकृति, अपरूपण विकृति की दर
(d) संहति को संरक्षण
(e) अधिक ।
In simple words: Surface tension of liquids generally decreases with temperature. Gas viscosity increases with temperature, while liquid viscosity decreases. For solids, shear stress is proportional to shear strain (within elastic limits), but for fluids, it's proportional to the rate of shear strain. The principle of mass conservation (or Bernoulli's principle) explains the change in flow speed at constrictions. The critical speed for turbulence in a model in a wind tunnel is higher than that for a real aircraft.

🎯 Exam Tip: Fill-in-the-blanks test your factual knowledge. Focus on key relationships like temperature dependence of surface tension and viscosity, and fundamental principles like Bernoulli's and continuity equations.

 

Question 4. निम्नलिखित के कारण स्पष्ट कीजिए
(a) किसी कागज़ की पट्टी को क्षतिज रखने के लिए आपको उस कागज़ पर ऊपर की ओर हवा फेंकनी चाहिए, नीचे की ओर नहीं।
(b) जब हम किसी जल टोंटी को अपनी उँगलियों द्वारा बन्द करने का प्रयास करते हैं तो उँगलियों के बीच की खाली जगह से तीव्र जल धाराएँ फूट निकलती हैं।
(c) इंजेक्शन लगाते समय डॉक्टर के अंगूठे द्वारा आरोपित दाब की अपेक्षा सुई का आकार दवाई की बहिःप्रवाही धारा को अधिक अच्छा नियन्त्रित करता है।
(d) किसी पात्र के बारीक छिद्र से निकलने वाला तरल उस पर पीछे की ओर प्रणोद आरोपित करता है।
(e) कोई प्रचक्रमान क्रिकेट की गेंद वायु में परवलीय प्रपथ का अनुसरण नहीं करती।
Answer:
(a) कागज़ के ऊपर फेंक मारने से ऊपर वायु का वेग अधिक हो जाएगा। क्षैतिज प्रवाह के लिए बरनौली प्रमेय - नियत के अनुसार कागज़ के ऊपर वायु दाब, नीचे की तुलना में कम हो जाएगा। इससे कागज़ पर उत्थापक बल लगेगा जो कागज़ को नीचे नहीं गिरने देगा ।
(b) टोंटी को उँगलियों द्वारा बन्द करने पर जल उँगलियों के बीच की खाली जगह से निकलने लगता है। यहाँ धारा का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल टोंटी के अनुप्रस्थ क्षेत्रफल से कम होता है; अतः अविरतता के सिद्धान्त (\(A_1V_1 = A_2V_2\)) से जल का वेग अधिक हो जाता है ।
(c) अविरतता के सिद्धान्त से, समान दाब आरोपित किए जाने पर भी, सुई बारीक होने पर (अनुप्रस्थ क्षेत्रफल कम होने पर) बहि: प्रवाही धारा का प्रवाह वेग बढ़ जाता है; अतः बहिःप्रवाह वेग सुई के आकार से अधिक नियन्त्रित होता है।
(d) जब कोई तरल किसी पात्र में बने बारीक छिद्र से बाहर आता है तो अविरतता के सिद्धान्त से वह उच्च बहि:स्राव वेग प्राप्त कर लेता है। बाह्य बल की अनुपस्थिति में पात्र + तरल का संवेग संरक्षित रहता है; अतः पात्र विपरीत दिशा में संवेग प्राप्त करता है, अर्थात् बाहर निकलता हुआ द्रव पात्र पर : विपरीत दिशा में प्रणोद आरोपित करता है।
(e) घूमती हुई गेंद अपने साथ वायु को खींचती है; अतः गेंद के ऊपर तथा नीचे वायु के वेग में अन्तर आ जाता है; अतः
In simple words: Bernoulli's principle explains lift on paper and spinning balls by relating higher speed to lower pressure. The continuity equation explains why water flows faster through narrow openings. Newton's third law and conservation of momentum explain the backward thrust from liquid exiting a container.

🎯 Exam Tip: These questions test the application of Bernoulli's principle, the continuity equation, and Newton's laws to everyday phenomena. Clearly state the principle and how it applies to each scenario.

 

Question 5. ऊँची एड़ी के जूते पहने 50 kg संहति की कोई बालिका अपने शरीर को 1.0 cm व्यास की एक ही वृत्ताकार एड़ी पर सन्तुलित किए हुए है। क्षैतिज फर्श पर एड़ी द्वारा आरोपित दाब ज्ञात कीजिए।
Answer: हल- वृत्ताकार एड़ी की त्रिज्या \(R = \text{व्यास } /2 = 1.0 \text{ सेमी}/2 = 0.5 \text{ सेमी} = 5 \times 10^{-3} \text{ मीटर}\)
वृत्ताकार एड़ी का क्षेत्रफल \(A = \pi R^2 = 3.14 (5 \times 10^{-3} \text{ मी})^2 = 78.50 \times 10^{-6} \text{ मी}^2\)
एड़ी पर पड़ने वाला बल \(F = \text{बालिका का भार} = mg\)
\( = 50 \text{ किग्रा} \times 9.8 \text{ मी/से}^2 = 490 \text{ न्यूटन}\)
क्षैतिज फर्श पर एड़ी द्वारा आरोपित दाब \( = \frac{\text{एड़ी पर आरोपित बल}}{\text{एड़ी का क्षेत्रफल}} = \frac{490 \text{ न्यूटन}}{78.50 \times 10^{-6} \text{ मी}^2} \approx 6.24 \times 10^6 \text{ Pa}\)
In simple words: Pressure is calculated by dividing the force (girl's weight) by the area of contact (heel's area). The small area of a high heel results in a very high pressure on the floor.

🎯 Exam Tip: Pay attention to unit conversions (cm to m) and use the correct formula for pressure (\(P = F/A\)). Ensure you calculate the area accurately for circular objects.

 

Question 6. टॉरिसेली के वायुदाबमापी में पारे का उपयोग किया गया था। पास्कल ने ऐसा ही वायुदाबमापी 984 kg m^-3 घनत्व की फ्रेंच शराब का उपयोग करके बनाया। सामान्य वायुमण्डलीय दाब के लिए शराब-स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल-
\(h\) ऊँचाई के शराब स्तम्भ का दाब \(P = h\rho g\)
शराब स्तम्भ की ऊँचाई \(h = \frac{P}{\rho g}\)
यहाँ \(P = 1\) वायुमण्डलीय दाब \( = 1.013 \times 10^5 \text{Pa} = 1.013 \times 10^5 \text{ न्यूटन/मी}^2\)
शराब का घनत्व \(\rho = 984 \text{ किग्रा/मी}^3\)
तथा \(g = 9.8 \text{ मी/से}^2\)
\(h = \frac{1.013 \times 10^5 \text{ न्यूटन/मी}^2}{984 \text{ किग्रा/मी}^3 \times 9.8 \text{ मी/से}^2} \approx 10.5 \text{ m}\)
In simple words: The height of a liquid column required to balance atmospheric pressure is inversely proportional to the liquid's density. For a less dense liquid like French wine, a much taller column is needed compared to mercury.

🎯 Exam Tip: Remember the formula \(P = \rho gh\). For these problems, ensure correct substitution of atmospheric pressure and densities, and convert units appropriately to SI system.

 

Question 7. समुद्र तट से दूर कोई ऊध्वाधर संरचना \(10^8\) Pa के अधिकतम प्रतिबल को सहन करने के लिए बनाई गई है। क्या यह संरचना किसी महासागर के भीतर किसी तेल कूप के शिखर पर रखे जाने के लिए उपयुक्त है? महासागर की गहराई लगभग 3km है। समुद्री धाराओं की उपेक्षा कीजिए ।
Answer: हल- यदि समुद्र के जल द्वारा आरोपित दाब, संरचना द्वारा सहन किये जा सकने वाले अधिकतम प्रतिबल से कम होगा तो संरचना महासागर के भीतर तेल कूप के शिखर पर रखे जाने के लिए उपयुक्त होगी। समुद्र जल द्वारा आरोपित दाब
\(P = h\rho g\)
यहाँ \(h = 3 \text{ किमी} = 3 \times 10^3 \text{ मीटर}\),
जल का घनत्व \(= 10^3 \text{ किग्रा} \text{ मी}^{-3}\)
तथा \(g = 9.8 \text{ मी/से}^2\)
\(P = 3 \times 10^3 \text{ मी} \times 10^3 \text{ किग्रा मी}^{-3} \times 9.8 \text{ मी से}^{-2}\)
\( = 2.94 \times 10^7 \text{ न्यूटन /मी}^2 = 2.94 \times 10^7 \text{ Pa}\)
चूँकि \(P < \text{अधिकतम प्रतिबल } 10^8 \text{ Pa}\); अत: संरचना आवश्यक कार्य के लिए उपयुक्त है।
In simple words: To determine if a structure can withstand deep-sea pressure, calculate the hydrostatic pressure at the given depth and compare it with the structure's maximum permissible stress. If the calculated pressure is less than the maximum stress, the structure is suitable.

🎯 Exam Tip: Use \(P = \rho gh\) to calculate hydrostatic pressure. Remember to convert all units to SI (km to m, kg m⁻³ if needed) before calculation. Compare the calculated pressure with the given stress limit carefully.

 

Question 8. किसी द्रवचालित आटोमोबाइल लिफ्ट की संरचना अधिकतम 3000 kg संहति की कारोंको उठाने के लिए की गई है। बोझ को उठाने वाले पिस्टन की अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल 425 cm² है। छोटे पिस्टन को कितना अधिकतम दाब सहन करना होगा?
Answer: हल- पास्कल के नियम के अनुसार,
छोटे पिस्टन पर अधिकतम दाब = बोझ उठाने वाले बड़े पिस्टन पर दाब
वाहन का द्रव्यमान \(m = 3000 \text{ kg}\)
बड़े पिस्टन पर बल \(F_2 = mg = 3000 \times 9.8 \text{ N} = 29400 \text{ N}\)
बड़े पिस्टन का क्षेत्रफल \(A_2 = 425 \text{ cm}^2 = 425 \times 10^{-4} \text{ m}^2\)
बड़े पिस्टन पर दाब \(P_2 = \frac{F_2}{A_2} = \frac{29400 \text{ N}}{425 \times 10^{-4} \text{ m}^2} \approx 6.91 \times 10^5 \text{ Pa}\)
अतः छोटे पिस्टन को अधिकतम \(6.91 \times 10^5 \text{ Pa}\) दाब सहन करना होगा।
In simple words: According to Pascal's principle, the pressure exerted on the smaller piston in a hydraulic lift is equal to the pressure exerted by the larger piston supporting the load. Therefore, calculate the pressure under the load and that will be the required pressure on the small piston.

🎯 Exam Tip: For hydraulic lift problems, the key is Pascal's principle: pressure is transmitted undiminished. Calculate pressure on the larger piston (P = F/A), which equals the pressure on the smaller piston. Remember to convert cm² to m².

 

Question 9. किसी U-नली की दोनों भुजाओं में भरे जल तथा मेथेलेटिड स्पिरिट को पारा एक-दूसरे से पृथक् करता है। जब जल तथा पारे के स्तम्भ क्रमशः 10 cm तथा 12.5 cm ऊँचे हैं तो दोनों भुजाओं में पारे का स्तर समान है। स्पिरिट का आपेक्षिक घनत्व ज्ञात कीजिए।
Answer: हल- U-नली की एक भुजा में जल स्तम्भ के लिए,
\(h_1 = 10.0 \text{ सेमी}\)
\(\rho_1\) (घनत्व) \(= 1 \text{ g cm}^{-3}\)
U-नली की दूसरी भुजा में मेथेलेटिड स्प्रिट के लिए,
\(h_2 = 12.5 \text{ सेमी}\)
\(\rho_2 = ?\)
चूंकि दोनों भुजाओं में पारे का तल समान है अतः इस तल पर दोनों भुजाओं के स्तम्भों के दाब भी समान होंगे। अर्थात् ।
\(P_1 = P_2\)
\(\rho_1 h_1 g = \rho_2 h_2 g\)
\(\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2\)
\(\rho_2 = \frac{\rho_1 h_1}{h_2} = \frac{1 \text{ g cm}^{-3} \times 10.0 \text{ cm}}{12.5 \text{ cm}} = 0.8 \text{ g cm}^{-3}\)
स्पिरिट का आपेक्षिक घनत्व \(= \frac{\text{स्पिरिट का घनत्व}}{\text{जल का घनत्व}} = \frac{0.8 \text{ g cm}^{-3}}{1 \text{ g cm}^{-3}} = 0.8\)
In simple words: In a U-tube manometer, if the mercury levels are equal, the pressures exerted by the liquid columns above them are equal. Use this principle to find the unknown density and then the relative density.

🎯 Exam Tip: For U-tube problems, the key is that pressure at the same horizontal level in a continuous fluid at rest is equal. Apply \(P = \rho gh\) for each arm and equate pressures. Relative density is the ratio of the substance's density to water's density.

 

Question 10. यदि प्रश्न 9 की समस्या में, U-नली की दोनों भुजाओं में इन्हीं दोनों द्रवों को और उड़ेल कर दोनों द्रवों के स्तम्भों की ऊँचाई 15 cm और बढ़ा दी जाए तो दोनों भुजाओं में पारे के स्तरों में क्या अन्तर होगा? (पारे का आपेक्षिक घनत्व = 13.6)
Answer: हल- माना कि U-नली की दोनों भुजाओं में पारे के तलों का अन्तर \(h\) है तथा \(\rho\) पारे का घनत्व है, तो,
प्रारम्भिक जल स्तम्भ की ऊँचाई \(h_w = 10.0 + 15 = 25.0 \text{ cm}\)
प्रारम्भिक स्पिरिट स्तम्भ की ऊँचाई \(h_s = 12.5 + 15 = 27.5 \text{ cm}\)
जल का घनत्व \(\rho_w = 1 \text{ g cm}^{-3}\)
स्पिरिट का घनत्व \(\rho_s = 0.8 \text{ g cm}^{-3}\) (प्रश्न 9 से)
माना पारे के स्तरों में अन्तर \(h_m\) है। पारे का घनत्व \(\rho_m = 13.6 \text{ g cm}^{-3}\) (आपेक्षिक घनत्व से)
संतुलन की स्थिति में:
जल स्तम्भ द्वारा दाब = स्पिरिट स्तम्भ द्वारा दाब + पारे के स्तरों में अन्तर के कारण दाब
\(\rho_w h_w g = \rho_s h_s g + \rho_m h_m g\)
\(\rho_w h_w = \rho_s h_s + \rho_m h_m\)
\(1 \times 25 = 0.8 \times 27.5 + 13.6 \times h_m\)
\(25 = 22 + 13.6 h_m\)
\(13.6 h_m = 3\)
\(h_m = \frac{3}{13.6} \approx 0.22 \text{ cm}\)
अतः पारे के स्तरों में \(0.22 \text{ cm}\) का अन्तर होगा।
In simple words: When more liquids are added to a U-tube, the pressure balance will shift, causing a difference in the mercury levels. The new height difference of mercury will balance the pressure difference created by the water and spirit columns.

🎯 Exam Tip: When calculating level differences in manometers, ensure the pressures at the lowest common horizontal level are balanced. Account for all liquid columns and their respective densities and heights.

 

Question 11. क्यो, बरनौली समीकरण का उपयोग किसी नदी की किसी क्षिपिका के जल-प्रवाह का विवरण देने के लिए किया जा सकता है? स्पष्ट कीजिए।
Answer: उत्तर- बरनौली प्रमेय का समीकरण केवल धारारेखी प्रवाह पर लागू होता है। चूंकि नदी की क्षिफ्रिका का जल-प्रवाह धारारेखी प्रवाह नहीं होता; अतः इसका विवरण देने के लिए बरनौली समीकरण का प्रयोग नहीं किया जा सकता।
In simple words: Bernoulli's equation is applicable only to ideal fluid flow (incompressible, non-viscous, steady, and irrotational streamline flow). River rapids exhibit turbulent flow, not streamline flow, so Bernoulli's equation cannot accurately describe them.

🎯 Exam Tip: Always remember the assumptions for Bernoulli's principle (incompressible, non-visviscous, steady, irrotational flow). Identify flow types (laminar vs. turbulent) before applying principles.

 

Question 12. बरनौली समीकरण के अनुप्रयोग में यदि निरपेक्ष दाब के स्थान पर प्रमापी दाब (गेज़ दाब) का प्रयोग करें तो क्या इससे कोई अन्तर पड़ेगा? स्पष्ट कीजिए।
Answer: उत्तर- बरनौली समीकरण के अनुसार,
माना दो बिन्दुओं पर वायुमण्डलीय दाब \(P_{atm}\) तथा गेज दाब क्रमशः \(P'_1\) व \(P'_2\) हैं तब
निरपेक्ष दाब \(P_1 = P'_1 + P_{atm}\) और \(P_2 = P'_2 + P_{atm}\)
बरनौली समीकरण का निरपेक्ष रूप:
\(P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2\)
गेज दाब के रूप में:
\((P'_1 + P_{atm}) + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = (P'_2 + P_{atm}) + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2\)
\(P'_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P'_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2\)
अर्थात् यदि दोनों बिन्दुओं के वायुमण्डलीय दाबों में बहुत कम अन्तर है तो परम दाब के स्थान पर गेज़ दाब का प्रयोग करने से कोई, अन्तर नहीं पड़ेगा।
In simple words: Using gauge pressure instead of absolute pressure in Bernoulli's equation does not change the result if the atmospheric pressure is constant at both points, because atmospheric pressure terms would cancel out from both sides of the equation.

🎯 Exam Tip: Gauge pressure is the difference between absolute pressure and atmospheric pressure. In equations involving pressure differences (like Bernoulli's), a constant atmospheric pressure cancels out, making gauge pressure equally valid as absolute pressure.

 

Question 13. किसी 1.5 m लम्बी 10 cm त्रिज्या की क्षैतिज नली से ग्लिसरीन का अपरिवर्ती प्रवाह हो रहा है। यदि नली के एक सिरे पर प्रति सेकण्ड एकत्र होने वाली ग्लिसरीन का परिमाण \(4.0 \times 10^{-3} \text{ kg s}^{-1}\) है तो नली के दोनों सिरों के बीच दाबान्तर ज्ञात कीजिए। (ग्लिसरीन का घनत्व \( = 1.3 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\) तथा ग्लिसरीन की श्यानता \( = 0.83 \text{ Pa s}\)) आप यह भी जाँच करना चाहेंगे कि क्या इस नली में स्तरीय प्रवाह की परिकल्पना सही है?
Answer: हल- धारा-रेखीय प्रवाह मानते हुए नली में ग्लिसरीन के प्रवाह की दर के प्वॉइजली के सूत्र से नली के सिरों के बीच दाबान्तर
नली की लम्बाई \(L = 1.5 \text{ m}\)
नली की त्रिज्या \(R = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}\)
ग्लिसरीन का द्रव्यमान प्रवाह दर \(Q_m = 4.0 \times 10^{-3} \text{ kg s}^{-1}\)
ग्लिसरीन का घनत्व \(\rho = 1.3 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
ग्लिसरीन की श्यानता \(\eta = 0.83 \text{ Pa s}\)
आयतन प्रवाह दर \(Q_v = \frac{Q_m}{\rho} = \frac{4.0 \times 10^{-3} \text{ kg s}^{-1}}{1.3 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}} \approx 3.077 \times 10^{-6} \text{ m}^3 \text{ s}^{-1}\)
प्वॉइजली के सूत्र से दाबान्तर \(\Delta P = \frac{8 \eta L Q_v}{\pi R^4}\)
\(\Delta P = \frac{8 \times 0.83 \text{ Pa s} \times 1.5 \text{ m} \times 3.077 \times 10^{-6} \text{ m}^3 \text{ s}^{-1}}{3.14 \times (0.1 \text{ m})^4}\)
\(\Delta P \approx 9.77 \text{ Pa}\)
रेनॉल्ड्स संख्या \(Re = \frac{2 \rho v R}{\eta}\) जहाँ \(v = \frac{Q_v}{\pi R^2} = \frac{3.077 \times 10^{-6} \text{ m}^3 \text{ s}^{-1}}{3.14 \times (0.1 \text{ m})^2} \approx 9.8 \times 10^{-5} \text{ m s}^{-1}\)
\(Re = \frac{2 \times 1.3 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \times 9.8 \times 10^{-5} \text{ m s}^{-1} \times 0.1 \text{ m}}{0.83 \text{ Pa s}} \approx 0.0308\)
यह धारा-रेखी प्रवाह के लिए मान्य अधिकतम मान 2000 से काफी कम है। अतः नली में ग्लिसरीन को प्रवाह धारा-रेखी है।।
In simple words: The pressure difference across the ends of a pipe for a viscous fluid in streamline flow can be calculated using Poiseuille's formula. The assumption of streamline flow is checked using the Reynolds number; if it's much less than 2000, the flow is indeed streamline.

🎯 Exam Tip: For problems involving viscous flow, remember Poiseuille's formula for pressure drop. Also, always check the Reynolds number to confirm if the flow is laminar or turbulent, as many formulas are specific to laminar flow.

 

Question 14. किसी आदर्श वायुयान के परीक्षण प्रयोग में वायु-सुरंग के भीतर पंखों के ऊपर और नीचे के पृष्ठों पर वायु-प्रवाह की गतियाँ क्रमशः \(70 \text{ m s}^{-1}\) तथा \(63 \text{ m s}^{-1}\) हैं। यदि पंख का क्षेत्रफल \(2.5 \text{ m}^2\) है तो उस पर आरोपित उत्थापक बल परिकलित कीजिए। वायु का घनत्व \(1.3 \text{ kg m}^{-3}\) लीजिए।
Answer: हल- बरनौली प्रमेय के अनुसार, वायु के क्षैतिज प्रवाह के लिए
\(P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2\)
जहाँ \(P_1 = \) वायुयान पंख के ऊपर दाब तथा \(P_2 = \) पंख के नीचे दाब
\(v_1 = \) पंख की ऊपरी सतह पर वायु का वेग तथा \(v_2 = \) निचली सतह पर वायु का वेग
पंख की ऊपरी सतह की तुलना में निचली सतह पर दाब आधिक्य अर्थात् पंखों की सतहों के बीच दाबान्तर \(\Delta P = P_2 - P_1 = \frac{1}{2}\rho (v_1^2 - v_2^2)\)
दिया है: \(\rho = 1.3 \text{ kg m}^{-3}\), \(v_1 = 70 \text{ m s}^{-1}\), \(v_2 = 63 \text{ m s}^{-1}\)
\(\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.3 \times (70^2 - 63^2)\)
\(\Delta P = 0.65 \times (4900 - 3969)\)
\(\Delta P = 0.65 \times 931 = 605.15 \text{ Pa}\)
उत्थापक बल \(F = \Delta P \times A\)
\(F = 605.15 \text{ Pa} \times 2.5 \text{ m}^2 = 1512.875 \text{ N}\)
In simple words: The lift force on an aircraft wing is generated due to the pressure difference between its lower and upper surfaces, which arises from the velocity difference of air flowing over and under the wing, as explained by Bernoulli's principle.

🎯 Exam Tip: Use Bernoulli's principle to calculate the pressure difference (\(\Delta P\)) from the given velocities and air density. The lift force is then simply \(\Delta P \times A\). Ensure accurate calculation of velocity squares and the difference.

 

Question 15. चित्र-10.1 (a) तथा (b) किसी द्रव (श्यानताहीन) का अपरिवर्ती प्रवाह दर्शाते हैं। इन दोनों चित्रों में से कौन-सही नहीं है? कारण स्पष्ट कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): चित्र-10.1 (a) और (b) एक श्यानताहीन द्रव के अपरिवर्ती प्रवाह को दर्शाते हैं। चित्र (a) में, एक नलिका की ग्रीवा पर जल दाब अधिक दिखाया गया है, जबकि ग्रीवा पर अनुप्रस्थ क्षेत्रफल कम होने के कारण वेग अधिक होना चाहिए और बरनौली प्रमेय के अनुसार दाब कम होना चाहिए। चित्र (b) में, प्रवाह की स्थिति सही दिखाई गई है।
Answer: उत्तर- चित्र-10.1 (a) सही नहीं है। नलिका की ग्रीवा में अनुप्रस्थ क्षेत्रफल कम है; अतः अविरतता के सिद्धान्त से यहाँ वेग अधिक होगा; अतः बरनौली प्रमेय से यहाँ जल का दाब कम होगा जबकि चित्र (a) में ग्रीवा पर जल दाब अधिक दिखाया गया है।
In simple words: Diagram (a) is incorrect because, according to the principle of continuity and Bernoulli's principle, a constriction (narrower area) should have higher fluid velocity and thus lower pressure, but the diagram shows higher pressure.

🎯 Exam Tip: When analyzing fluid flow diagrams, always apply the continuity equation (A₁v₁ = A₂v₂) and Bernoulli's principle (\(P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant}\)). Higher velocity implies lower pressure in a horizontal flow.

 

Question 16. किसी स्प्रे पम्प की बेलनाकार नली की अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल \(8.0 \text{ cm}^2\) है। इस नली के एक सिरे पर \(1.0 \text{ mm}\) व्यास के 40 सूक्ष्म छिद्र हैं। यदि इस नली के भीतर द्रव के प्रवाहित होने की दर \(1.5 \text{ m min}^{-1}\) है तो छिद्रों से होकर जाने वाले द्रव की निष्कासन-चाल ज्ञात कीजिए।
Answer: हल- नली की अनुप्रस्थ-काट का क्षेत्रफल \(A_1 = 8.0 \text{ cm}^2 = 8.0 \times 10^{-4} \text{ मी}^2\)
द्रव के प्रवाहित होने की दर (आयतन प्रवाह दर) \(Q = 1.5 \text{ m min}^{-1} = \frac{1.5}{60} \text{ m s}^{-1} = 0.025 \text{ m s}^{-1}\)
बेलनाकार नली में द्रव का वेग \(v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0.025 \text{ m s}^{-1}}{8.0 \times 10^{-4} \text{ m}^2} = 31.25 \text{ m/s}\)
छिद्रों का कुल क्षेत्रफल \(A_2 = 40 \times \pi (\frac{\text{व्यास}}{2})^2 = 40 \times \pi \times (\frac{1.0 \times 10^{-3} \text{ m}}{2})^2\)
\(A_2 = 40 \times 3.14 \times (0.5 \times 10^{-3})^2 = 40 \times 3.14 \times 0.25 \times 10^{-6} \approx 3.14 \times 10^{-5} \text{ m}^2\)
अविरतता के सिद्धान्त से, \(A_1 v_1 = A_2 v_2\)
जहाँ \(v_2\) छिद्रों से निष्कासन-चाल है।
\(v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2} = \frac{8.0 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \times 31.25 \text{ m/s}}{3.14 \times 10^{-5} \text{ m}^2} \approx 796.18 \text{ m/s}\)
*Note: The question states "द्रव के प्रवाहित होने की दर \(1.5 \text{ m min}^{-1}\)" which implies volume flow rate, not velocity, and the unit "m/min" is for velocity. Assuming \(1.5 \text{ m/min}\) is the velocity inside the main tube, or it implies a volume flow rate of \(1.5 \text{ m}^3 \text{ min}^{-1}\). Given the output unit, it's more likely \(1.5 \text{ m}^3 \text{ min}^{-1}\) as volume flow rate, or if it is velocity, the problem setup would be different. Let's assume the question implicitly refers to volume flow rate, despite the unit typo.*
Let's re-interpret "प्रवाहित होने की दर \(1.5 \text{ m min}^{-1}\)" as Volume Flow Rate \(Q = 1.5 \text{ m}^3 \text{ min}^{-1}\).
\(Q = 1.5 \text{ m}^3 / 60 \text{ s} = 0.025 \text{ m}^3 \text{ s}^{-1}\)
From continuity, \(Q = A_1 v_1 = A_2 v_2\)
\(v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0.025 \text{ m}^3 \text{ s}^{-1}}{3.14 \times 10^{-5} \text{ m}^2} \approx 796.18 \text{ m s}^{-1}\)
*The calculated velocity is very high, suggesting potential reinterpretation needed or that the problem expects a simple continuity application regardless of physical realism.*
In simple words: The principle of continuity states that the volume flow rate of an incompressible fluid is constant throughout a pipe. By calculating the total area of the small holes and equating the flow rate in the main pipe to the sum of flow rates through the holes, the efflux speed can be determined.

🎯 Exam Tip: For problems involving fluid flow through multiple orifices, use the continuity equation \(A_1V_1 = A_2V_2\). Remember that \(A_2\) is the *total* area of all small holes. Pay close attention to unit conversions (cm² to m², mm to m, min to s).

 

Question 17. U-आकार के किसी तार को साबुन के विलयन में डुबोकर बाहर निकाला गया जिससे उस पर एक पतली साबुन की फिल्म बन गई। इस तार के दूसरे सिरे पर फिल्म के सम्पर्क में एक फिसलने वाला हलका तार लगा है जो \(1.5 \times 10^{-2}\) N भार (जिसमें इसका अपना भार भी सम्मिलित है) को सँभालता है। फिसलने वाले तार की लम्बाई \(30 \text{ cm}\) है। साबुन की फिल्म का पृष्ठ-तनाव कितना है?
Answer: हल- तार की लम्बाई \(l = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}\)
तार पर लटका भार \(W = 1.5 \times 10^{-2} \text{ N}\)
माना फिल्म का पृष्ठ-तनाव \(S\) है, तब फिल्म के एक ओर के पृष्ठ के कारण तार पर \(F_1 = S \times l\) बल लगेगा ।
साबुन की फिल्म में दो मुक्त पृष्ठ होते हैं (एक आगे और एक पीछे)।
अतः दोनों पृष्ठों के कारण तार पर कुल बल \(F = 2F_1 = 2Sl\)
यह बल भार को सन्तुलित करता है; अतः
\(2Sl = W\)
\(S = \frac{W}{2l} = \frac{1.5 \times 10^{-2} \text{ N}}{2 \times 0.3 \text{ m}} = \frac{1.5 \times 10^{-2}}{0.6} \text{ N/m}\)
\(S = 0.025 \text{ N/m}\)
In simple words: The surface tension of a soap film exerts a force that balances the weight applied to a movable wire. Since a soap film has two surfaces, the total force due to surface tension is \(2Sl\), where \(S\) is the surface tension and \(l\) is the length of the wire.

🎯 Exam Tip: When dealing with soap films, remember that they have two free surfaces (unless specified otherwise). The total force due to surface tension will be \(2Sl\). Ensure all units are in SI before calculation.

 

Question 18. निम्नांकित चित्र-10.2 (a) में किसी पतली द्रव-फिल्म को \(4.5 \times 10^{-2}\) N का छोटा भार सँभाले दर्शाया गया है। चित्र (b) तथा (c) में बनी इसी द्रव की फिल्में इसी ताप पर कितना भार सँभाल सकती हैं? अपने उत्तर को प्राकृतिक नियमों के अनुसार स्पष्ट कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): चित्र-10.2 (a), (b) और (c) पतली द्रव-फिल्मों को दर्शाते हैं जो विभिन्न भारों को सँभाल रही हैं। चित्र (a) में एक फिल्म एक छोटे भार को सँभाले हुए है। चित्र (b) और (c) में, समान द्रव की फिल्में समान तापमान पर हैं, और प्रश्न पूछता है कि वे कितना भार सँभाल सकती हैं।
Answer: उत्तर- चित्र-10.2 (a), (b) व (c) प्रत्येक में फिल्म के नीचे वाले किनारे की लम्बाई \(40 \text{ cm}\) (समान) है। इस किनारे पर फिल्म के पृष्ठ-तनाव \(S\) के कारण समान बल \(F = S \times 2I\) लगेगा। यही बल लटके हुए भार को साधता है। चूंकि साधने वाला बल प्रत्येक दशा में समान है; अतः चित्र-10.2 (b) व (C) में भी वही भार \(4.5 \times 10^{-2}\) N सँभाला जा सकता है।
In simple words: The force a liquid film can support depends on its surface tension and the length of the contact line, not its shape or thickness (as long as it's a thin film). If the liquid, temperature, and length are the same, the film will support the same weight regardless of its geometric configuration.

🎯 Exam Tip: Surface tension force depends on the material (liquid), temperature, and the length of the line where the force acts. The shape of the film or its position does not affect the maximum load it can support if these parameters remain constant.

 

Question 19. \(3.00 \text{ mm}\) त्रिज्या की किसी पारे की बूंद के भीतर कमरे के ताप पर दाब क्या है? \(20^\circ\text{C}\) ताप पर पारे का पृष्ठ तनाव \(4.65 \times 10^{-1} \text{ N m}^{-1}\) है। यदि वायुमण्डलीय दाब \(1.01 \times 10^5 \text{ Pa}\) है तो पारे की बूंद के भीतर दाब-आधिक्य भी ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल- दिया है : त्रिज्या \(r = 3.00 \text{ mm} = 3.00 \times 10^{-3} \text{m}\),
वायुमण्डलीय दाब \(P_a = 1.01 \times 10^5 \text{ Pa}\)
\(20^\circ\text{C}\) पर पारे का पृष्ठ-तनाव \(S = 4.65 \times 10^{-1} \text{ N m}^{-1}\)
पारे की बूंद के भीतर दाब आधिक्य (\(\Delta P\)) के लिए सूत्र \(\Delta P = \frac{2S}{r}\)
\(\Delta P = \frac{2 \times 4.65 \times 10^{-1} \text{ N m}^{-1}}{3.00 \times 10^{-3} \text{ m}}\)
\(\Delta P = \frac{0.93}{3.00 \times 10^{-3}} \text{ Pa}\)
\(\Delta P = 310 \text{ Pa}\)
बूंद के भीतर कुल दाब \(P_{total} = P_a + \Delta P\)
\(P_{total} = 1.01 \times 10^5 \text{ Pa} + 310 \text{ Pa}\)
\(P_{total} = 101000 \text{ Pa} + 310 \text{ Pa} = 101310 \text{ Pa}\)
In simple words: The pressure inside a liquid drop is higher than the external atmospheric pressure due to surface tension. This excess pressure can be calculated using the formula \(\Delta P = 2S/r\), where \(S\) is surface tension and \(r\) is the radius. The total pressure inside is the sum of atmospheric pressure and this excess pressure.

🎯 Exam Tip: For liquid drops, the formula for excess pressure is \(\Delta P = 2S/r\). For soap bubbles (two surfaces), it's \(\Delta P = 4S/r\). Always convert radius to meters and ensure surface tension is in N/m. The total pressure is the sum of atmospheric pressure and excess pressure.

 

Question 20. \(5.00 \text{ mm}\) त्रिज्या के किसी साबुन के विलयन के बुलबुले के भीतर दाब-आधिक्य क्या है? \(20^\circ\text{C}\) ताप पर साबुन के विलयन का पृष्ठ-तनाव \(2.50 \times 10^{-2} \text{ N m}^{-1}\) है। यदि इसी विमा का कोई वायु का बुलबुला \(1.20\) आपेक्षिक घनत्व के साबुन के विलयन से भरे किसी पात्र में \(40.0 \text{ cm}\) गहराई पर बनता तो इस बुलबुले के भीतर क्या दाब होता, ज्ञात कीजिए। (\(1\) वायुमण्डलीय दाब \( = 101 \times 10^5 \text{ Pa}\))
Answer: हल-
(a) साबुन के बुलबुले के भीतर दाब आधिक्य:
बुलबुले की त्रिज्या \(r = 5.00 \text{ mm} = 5.0 \times 10^{-3} \text{ m}\)
विलयन का पृष्ठ-तनाव \(S = 2.50 \times 10^{-2} \text{ N m}^{-1}\)
साबुन के घोल का बुलबुला वायु में बनता है; अतः इसके दो मुक्त पृष्ठ होंगे।
दाब आधिक्य \(\Delta P = \frac{4S}{r}\)
\(\Delta P = \frac{4 \times 2.50 \times 10^{-2} \text{ N m}^{-1}}{5.0 \times 10^{-3} \text{ m}}\)
\(\Delta P = \frac{1.0 \times 10^{-1}}{5.0 \times 10^{-3}} \text{ Pa}\)
\(\Delta P = \frac{0.1}{0.005} = 20 \text{ Pa}\)
(b) वायु का बुलबुला साबुन के विलयन के भीतर \(40.0 \text{ cm}\) गहराई पर।
त्रिज्या \(r = 5.0 \times 10^{-3} \text{ m}\)
आपेक्षिक घनत्व \( = 1.20\)
साबुन के विलयन का घनत्व \(\rho_{sol} = 1.20 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
गहराई \(h = 40.0 \text{ cm} = 0.40 \text{ m}\)
वायुमण्डलीय दाब \(P_{atm} = 1.01 \times 10^5 \text{ Pa}\)
बुलबुले के भीतर दाब आधिक्य (एक ही पृष्ठ है) \(\Delta P_{bubble} = \frac{2S}{r}\)
\(\Delta P_{bubble} = \frac{2 \times 2.50 \times 10^{-2} \text{ N m}^{-1}}{5.0 \times 10^{-3} \text{ m}} = 10 \text{ Pa}\)
विलयन के भीतर \(h\) गहराई पर दाब \(P_h = P_{atm} + \rho_{sol} g h\)
\(P_h = 1.01 \times 10^5 \text{ Pa} + (1.20 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times 0.40 \text{ m})\)
\(P_h = 1.01 \times 10^5 + 4704 = 105704 \text{ Pa}\)
बुलबुले के भीतर कुल दाब \(P_{inside} = P_h + \Delta P_{bubble}\)
\(P_{inside} = 105704 \text{ Pa} + 10 \text{ Pa} = 105714 \text{ Pa}\)
In simple words: For a soap bubble in air, the excess pressure is \(4S/r\) (two surfaces). For an air bubble inside a liquid, the excess pressure is \(2S/r\) (one surface). The total pressure inside an air bubble in a liquid at depth \(h\) is the sum of atmospheric pressure, hydrostatic pressure, and the excess pressure due to surface tension.

🎯 Exam Tip: Distinguish between a soap bubble (two free surfaces, \(\Delta P = 4S/r\)) and an air bubble inside a liquid (one free surface, \(\Delta P = 2S/r\)). Remember to account for hydrostatic pressure (\(\rho gh\)) if the bubble is submerged in a liquid.

अतिरिक्त अभ्यास

Question 21. \(1.0 \text{ m}^2\) क्षेत्रफल के वर्गाकार आधार वाले किसी टैंक को बीच में ऊर्ध्वाधर विभाजक दीवार द्वारा दो भागों में बाँटा गया है। विभाजक दीवार के नीचे \(20 \text{ cm}^2\) क्षेत्रफल का कब्जेदार दरवाजा है। टैंक का एक भाग जल से भरा है तथा दूसरा भाग \(1.7\) आपेक्षिक घनत्व के अम्ल से भरा है। दोनों भाग \(40 \text{ m}\) ऊँचाई तक भरे गए हैं। दरवाजे को बन्द रखने के लिए आवश्यक बल परिकलित कीजिए।
Answer: हुल- दरवाजे को बन्द रखने के लिए आवश्यक बल
\(F = \) विभाजक दीवार के दोनों ओर का दाबान्तर \(\times\) दरवाजे का क्षेत्रफल
\(F = (\text{अम्ल स्तम्भ का दाब} – \text{जल स्तम्भ का दाब}) \times A\)
जल का घनत्व \(\rho_w = 1.0 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
अम्ल का घनत्व \(\rho_a = 1.7 \times \rho_w = 1.7 \times 1.0 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} = 1.7 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
ऊँचाई \(h = 40 \text{ m}\)
दरवाजे का क्षेत्रफल \(A = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2\)
गुरुत्वीय त्वरण \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
अम्ल स्तम्भ का दाब \(P_a = \rho_a g h = 1.7 \times 10^3 \times 9.8 \times 40 = 666400 \text{ Pa}\)
जल स्तम्भ का दाब \(P_w = \rho_w g h = 1.0 \times 10^3 \times 9.8 \times 40 = 392000 \text{ Pa}\)
दाबान्तर \(\Delta P = P_a - P_w = 666400 - 392000 = 274400 \text{ Pa}\)
आवश्यक बल \(F = \Delta P \times A = 274400 \times 20 \times 10^{-4} \text{ N}\)
\(F = 548.8 \text{ N}\)
In simple words: The force required to keep the door closed is the difference in pressure between the two sides of the door multiplied by the door's area. This pressure difference arises from the different densities of the liquids (water and acid) filling the tank.

🎯 Exam Tip: Calculate the hydrostatic pressure on each side of the door using \(P = \rho gh\). The net force is the pressure difference multiplied by the door's area. Ensure consistent units, especially for density and area.

 

Question 22. चित्र-10.3 (a) में दर्शाए अनुसार कोई मैनोमीटर किसी बर्तन में भरी गैस के दाब का पाठचॉक लेता है। पम्प द्वारा कुछ गैस बाहर निकालने के पश्चात मैनोमीटर चित्र 10.3 (b)] में दर्शाए अनुसार पाठयांक लेता है। मैनोमीटर में पारा भरा है तथा वायुमण्डलीय दाब का मान \(76 \text{ cm}\) मरकरी (Hg) है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): चित्र-10.3 (a) और (b) एक मैनोमीटर को दर्शाते हैं जो बर्तन में भरी गैस के दाब को माप रहा है। चित्र (a) में, गैस का दाब मैनोमीटर में पारे के स्तरों को बराबर रखता है, जो वायुमंडलीय दाब से संबंधित है। चित्र (b) में, गैस निकालने के बाद दाब कम हो जाता है, जिससे मैनोमीटर में पारे का स्तर बदल जाता है।
(i) प्रकरणों (a) तथा (b) में बर्तन में भरी गैस के निरपेक्ष दाब तथा प्रमापी दाब cm (Hg) के मात्रक में लिखिए।
(ii) यदि मैनोमीटर की दाहिनी भुजा में \(13.6 \text{ cm}\) ऊँचाई तक जल (पारे के साथ | अमिश्रणीय) उड़ेल दिया जाए तो प्रकरण (b) में स्तर में क्या परिवर्तन होगा? (गैस के आयतन में हुए थोड़े परिवर्तन की उपेक्षा कीजिए ।)
Answer: हस- वायुमण्डलीय दाब \(P_o = 76 \text{ सेमी पारा}\) ।
(i) चित्र 10.3 (a) में
निरपेक्ष दाब \(P = P_o + 20 \text{ सेमी पारा}\)
\( = 76 \text{ सेमी पारा} + 20 \text{ सेमी पारा} = 96 \text{ सेमी पारा}\)
'प्रमापी (गेज) दाब \( = (P – P_o) = 20 \text{ सेमी पारा}\)
चित्र 10.3 (b) में,
निरपेक्ष दाब \(P = P_o – 18 \text{ सेमी पारा}\)
\( = 76 \text{ सेमी पारा} – 18 \text{ सेमी पारा}\)
\( = 58 \text{ सेमी पारा}\)
प्रमापी (गेज) दाब \( = (P – P_o) = -18 \text{ सेमी पारा}\)
यह ऋणात्मक (-) चिह्न यह दर्शाता है कि बर्तन में भरी गैस का दाब वायुमण्डलीय दाब से कम है।
(ii) यदि मैनोमीटर की दाहिनी भुजा में \(13.6 \text{ सेमी}\) ऊँचाई तक जल उड़ेल दिया जाता है, तो चित्र 10.4 के अनुसार मैनोमीटर की दाहिनी भुजा में पारे । का तल नीचे गिरता है तथा बायीं भुजा में यह ऊपर उठता है ताकि तली पर दोनों ओर के दाब समान हो जायें। माना पारे का दाहिनी भुजा से बायीं भुजा में स्थानान्तरण \(x\) सेमी है। अतः दोनों भुजाओं में पारे । के स्तम्भ का अन्तर \(2x\) सेमी होगा।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): चित्र-10.4 मैनोमीटर में जल डालने के बाद पारे के स्तर में परिवर्तन को दर्शाता है। इसमें दिखाया गया है कि दाहिनी भुजा में जल डालने पर, पारे का तल नीचे गिरता है और बायीं भुजा में ऊपर उठता है, जिससे दोनों भुजाओं में पारे के स्तरों में अंतर आ जाता है।
पारे का घनत्व \(\rho_m = 13.6 \text{ g cm}^{-3}\)
जल का घनत्व \(\rho_w = 1 \text{ g cm}^{-3}\)
दाहिनी भुजा में जल की ऊँचाई \(h_w = 13.6 \text{ cm}\)
मान लीजिए कि दाहिनी भुजा में पारे का स्तर \(x\) सेमी नीचे जाता है और बायीं भुजा में \(x\) सेमी ऊपर उठता है। तो पारे के स्तरों का कुल अन्तर \(2x\) होगा।
दाहिनी भुजा में कुल दाब = बायीं भुजा में कुल दाब
\(P_{atm} + \rho_w g h_w + \rho_m g (h_{level} - x) = P_{gas} + \rho_m g (h_{level} + x)\)
यहाँ, \(h_{level}\) एक संदर्भ स्तर है।
या \(\rho_w h_w = \rho_m (2x)\)
\(1 \times 13.6 = 13.6 \times (2x)\)
\(2x = 1 \text{ cm}\)
अतः पारे के स्तरों में \(1 \text{ cm}\) का अन्तर होगा। दाहिनी भुजा में पारा \(0.5 \text{ cm}\) नीचे और बायीं भुजा में \(0.5 \text{ cm}\) ऊपर उठेगा।
In simple words: Absolute pressure is the sum of gauge pressure and atmospheric pressure. Gauge pressure is the difference between absolute pressure and atmospheric pressure. In a manometer, adding a liquid to one arm changes the pressure balance, leading to a shift in the mercury levels.

🎯 Exam Tip: Remember that absolute pressure = atmospheric pressure + gauge pressure. For manometers, equate pressures at the same horizontal level. When adding a liquid, consider its density and height, and how it affects the mercury levels. The mercury level changes by \(2x\) if one side goes down by \(x\) and the other up by \(x\).

 

Question 23. वो पात्रों के आधारों के क्षेत्रफल समान हैं परन्तु आकृतियाँ भिन्न-भिन्न हैं। पहले पात्र में दूसरे पात्र की अपेक्षा किसी ऊँचाई तक भरने पर दोगुना जल आता है। क्या दोनों प्रकरणों में पात्रों के आधारों पर आरोपित बल समान हैं? यदि ऐसा है तो भार मापने की मशीन पर रखे एक ही ऊँचाई तक जल से भरे दोनों पात्रों के पाठयांक भिन्न-भिन्न क्यों होते हैं?
Answer: हल- माना प्रत्येक पात्र में जल-स्तम्भ की ऊँचाई \(h\) तथा आधार का क्षेत्रफल \(A\) है तो आधार पर बल \( = \) जल-स्तम्भ का दाब \(\times\) क्षेत्रफल \( = h \rho g \times A = Ah \rho g\)
\(A\) व \(h\) दोनों के लिए समान है तथा \(\rho\) व \(g\) अचर राशियाँ हैं। अतः दोनों पात्रों के आधारों पर समान बल आरोपित होंगे।
भार मापने वाली मशीन, पात्र के आधार पर आरोपित बल को मापने के स्थान पर पात्र + जल का भार मापती है। एक पात्र में दूसरे की अपेक्षा दोगुना जल है; अतः भार मापने की मशीन के पाठ्यांक अलग-अलग होंगे ।
In simple words: The force exerted by a liquid on the base of a container depends only on the height of the liquid column, its density, and the base area (\(F = P \times A = \rho g h A\)), not the shape of the container. However, a weighing machine measures the total weight of the container plus the liquid, which depends on the total volume of the liquid, hence the different readings.

🎯 Exam Tip: Understand the difference between hydrostatic force on the base and the total weight of the fluid. Hydrostatic force at the base depends on pressure at the base and area, while total weight depends on volume. This is a common conceptual trick question.

 

Question 24. रुधिर-आधान के समय किसी शिरा में, जहाँ दाब \(2000 \text{ Pa}\) है, एक सुई धेसाई जाती है। रुधिर के पात्र को किस ऊँचाई पर रखा जाना चाहिए ताकि शिरा में रक्त ठीक-ठीक प्रवेश कर सके । (रुधिर का घनत्व \( = 1.06 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\))
Answer: हुल- शिरा में रक्त दाब \(P = 2000 \text{ Pa}\)
रक्त का घनत्व \(\rho = 1.06 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
माना कि रक्त के पात्र की सुई से ऊँचाई \( = h\)
रक्त के शिरा में ठीक-ठीक प्रवेश करने हेतु, \(h\) ऊँचाई वाले रक्त स्तम्भ का दाब, शिरा में रक्त स्तम्भ के दाब के ठीक बराबर होना चाहिए।
शिरा में दाब को संतुलित करने के लिए, पात्र से रक्त स्तम्भ का दाब कम से कम \(2000 \text{ Pa}\) होना चाहिए।
तो, \(P = \rho g h\)
\(h = \frac{P}{\rho g} = \frac{2000 \text{ Pa}}{1.06 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \times 9.8 \text{ m/s}^2}\)
\(h = \frac{2000}{10388} \approx 0.1925 \text{ m}\)
अतः रक्त पात्र को लगभग \(0.1925 \text{ m}\) या \(19.25 \text{ cm}\) की ऊँचाई पर रखना चाहिए।
In simple words: For blood to flow into a vein, the hydrostatic pressure from the blood bag must be at least equal to the pressure inside the vein. The required height of the blood bag can be calculated using the hydrostatic pressure formula \(P = \rho gh\).

🎯 Exam Tip: In fluid transfusion problems, apply the hydrostatic pressure formula \(P = \rho gh\). The pressure from the fluid source must overcome the internal pressure of the body part. Ensure correct unit conversions and use standard gravity.

 

Question 25. बरनौली समीकरण व्युत्पन्न करने में हमने नली में भरे तरल पर किए गए कार्य को तरल की गतिज तथा स्थितिज ऊर्जाओं में परिवर्तन के बराबर माना था।
(a) यदि क्षयकारी बल, उपस्थित हैं, तब नली के अनुदिश तरल में गति करने पर दाब में परिवर्तन किस प्रकार होता है?
(b) क्या तरल का वेग बढ़ने पर क्षयकारी बल अधिक महत्त्वपूर्ण हो जाते हैं? गुणात्मक रूप में चर्चा कीजिए।
Answer: उत्तर-
(a) क्षयकारी बल की अनुपस्थिति में बहते हुए द्रव के एकांक आयतन की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है परन्तु क्षयकारी बल की उपस्थिति में नली में तरल के प्रवाह को बनाए रखने के लिए क्षयकारी बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। इस कारण नली के अनुदिश चलने पर तरल का दाब अधिक तेजी से घटता जाता है। यही कारण है कि शहरों में जल की टंकी से बहुत दूरी पर स्थित मकानों की ऊँचाई टंकी से कम होने पर भी जल उनकी ऊपर वाली मंजिल तक नहीं पहुँच पाता । तरलों के यान्त्रिक गुण, 267
(b) हाँ, तरलं का वेग बढ़ने पर तरल की अपरूपण दर बढ़ जाती है; अतः क्षयकारी बल (श्यान बल) और अधिक महत्त्वपूर्ण हो जाते हैं।
In simple words: When dissipative (viscous) forces are present, some mechanical energy is lost as heat, causing the pressure to drop more rapidly along the pipe. As fluid velocity increases, the shear rate also increases, making viscous forces (dissipative forces) more significant.

🎯 Exam Tip: Bernoulli's principle assumes ideal fluid flow (no viscosity). In real fluids, viscous forces cause energy loss, leading to a greater pressure drop. Recognize that higher fluid speeds amplify the effects of viscosity.

 

Question 26.
(a) यदि किसी धमनी में रुधिर का प्रवाह पटलीय प्रवाह ही बनाए रखना है तो | \(2 \times 10^{-3} \text{ m}\) त्रिज्या की किसी धमनी में रुधिर-प्रवाह की अधिकतम चाल क्या होनी चाहिए?
(b) तद्नुरूपी प्रवाह-दर क्या है ? (रुधिर की श्यानता \(2.084 \times 10^{-3} \text{ Pa s}\) लीजिए ।
Answer: हल-
(a) धमनी रुधिर प्रवाह की अधिकतम चाल = क्रान्तिक वेग
परन्तु धारा-रेखी प्रवाह के लिए रेनॉल्ड संख्या का अधिकतम मान \(Re = 2000\)
त्रिज्या \(r = 2 \times 10^{-3} \text{ m}\)
रुधिर का घनत्व (लगभग जल के समान) \(\rho = 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
रुधिर की श्यानता \(\eta = 2.084 \times 10^{-3} \text{ Pa s}\)
क्रान्तिक वेग \(v_c = \frac{Re \times \eta}{2 \rho r}\)
\(v_c = \frac{2000 \times 2.084 \times 10^{-3}}{2 \times 10^3 \times 2 \times 10^{-3}}\)
\(v_c = \frac{4.168}{4} = 1.042 \text{ m s}^{-1}\)
(b) तद्नुरूपी प्रवाह-दर (आयतन प्रवाह दर) \(Q = A v_c = \pi r^2 v_c\)
\(Q = 3.14 \times (2 \times 10^{-3} \text{ m})^2 \times 1.042 \text{ m s}^{-1}\)
\(Q = 3.14 \times 4 \times 10^{-6} \times 1.042 \text{ m}^3 \text{ s}^{-1}\)
\(Q = 1.309 \times 10^{-5} \text{ m}^3 \text{ s}^{-1}\)
In simple words: To maintain laminar (streamline) flow in an artery, the blood velocity must not exceed a critical value determined by the Reynolds number, which depends on the fluid's density, viscosity, and the artery's radius. The corresponding flow rate is then calculated from this critical velocity and the artery's cross-sectional area.

🎯 Exam Tip: The critical velocity for laminar flow is found using the Reynolds number formula (\(Re = \frac{2 \rho v r}{\eta}\)). For biological fluids like blood, approximate density to water if not given. The volume flow rate is \(Q = A v\). Always ensure consistent SI units.

 

Question 27. कोई वायुयान किसी निश्चित ऊँचाई पर किसी नियत चाल से आकाश में उड़ रहा है तथा इसके दोनों पंखों में प्रत्येक का क्षेत्रफल \(25 \text{ m}^2\) है। यदि वायु की चाल पंख के निचले पृष्ठ पर \(180 \text{ km h}^{-1}\) तथा ऊपरी पृष्ठ पर \(234 \text{ km h}^{-1}\) है तो वायुयान की संहति ज्ञात कीजिए। (वायु का घनत्व \(1 \text{ kg m}^{-3}\) लीजिए।)।
Answer: हल- वायुयान के एक पंख पर उत्थापक बल \( = (P_2-P_1) \times A\)
अतः दोनों पंखों पर उत्थापक बल \(F = 2 (P_2 – P_1) \times A\)
यहाँ \(P_1\) ऊपरी पृष्ठ का दाब और \(P_2\) निचले पृष्ठ का दाब है।
\(A = 25 \text{ m}^2\)
वायु का घनत्व \(\rho = 1 \text{ kg m}^{-3}\)
निचले पृष्ठ पर वायु की चाल \(v_2 = 180 \text{ km h}^{-1} = 180 \times \frac{1000}{3600} \text{ m s}^{-1} = 50 \text{ m s}^{-1}\)
ऊपरी पृष्ठ पर वायु की चाल \(v_1 = 234 \text{ km h}^{-1} = 234 \times \frac{1000}{3600} \text{ m s}^{-1} = 65 \text{ m s}^{-1}\)
बरनौली के प्रमेय से: \(P_2 - P_1 = \frac{1}{2}\rho (v_1^2 - v_2^2)\)
\(P_2 - P_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times (65^2 - 50^2)\)
\(P_2 - P_1 = \frac{1}{2} \times (4225 - 2500) = \frac{1}{2} \times 1725 = 862.5 \text{ Pa}\)
दोनों पंखों पर कुल उत्थापक बल \(F = 2 \times (P_2 - P_1) \times A\)
\(F = 2 \times 862.5 \text{ Pa} \times 25 \text{ m}^2 = 43125 \text{ N}\)
वायुयान की संहति \(m = \frac{F}{g} = \frac{43125 \text{ N}}{9.8 \text{ m/s}^2} \approx 4400.5 \text{ kg}\)
In simple words: The mass of the airplane can be determined by equating the total lift force generated by its wings to the airplane's weight. The lift force is calculated using Bernoulli's principle, which relates the pressure difference across the wing surfaces to the difference in air speeds.

🎯 Exam Tip: Convert speeds from km/h to m/s before applying Bernoulli's principle. Remember to calculate the pressure difference first, then the total lift force (considering both wings), and finally the mass using \(F = mg\).

 

Question 28. मिलिकन तेल की बूंद प्रयोग में, \(2.0 \times 10^{-5} \text{ m}\) त्रिज्या तथा \(1.2 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\) घनत्व की किसी बूंद की सीमान्त चाल क्या है? प्रयोग के ताप पर वायु की श्यानता \(1.8 \times 10^{-5} \text{ Pa s}\) लीजिए। इस चाल पर बूंद पर श्यान बल कितना है? (वायु के कारण बूंद पर उत्प्लावन बल की उपेक्षा कीजिए ।)
Answer: हल- किसी तरल (वायु) में गिरती हुई तेल की बूंद का सीमान्त वेग
यहाँ वायु के कारण उत्प्लावन बल की उपेक्षा की गयी है। अतः \( \rho_a\) को नगण्य अर्थात् शून्य मानते हुए
परन्तु यहाँ बूंद (तेल) का घनत्व \(\rho_p = 1.2 \times 10^3 \text{ किग्रा मी}^{-3}\)
बूंद की त्रिज्या \(r = 2.0 \times 10^{-5} \text{ मीटर}\)
बूंद का श्यानता गुणांक \(\eta = 1.8 \times 10^{-5} \text{ Pa s}\)
तथा \(g = 9.8 \text{ मी/से}^2\).
सीमान्त वेग \(v_t = \frac{2 r^2 (\rho_p - \rho_a) g}{9 \eta}\)
चूंकि वायु के कारण उत्प्लावन बल की उपेक्षा की गई है, \(\rho_a \approx 0\).
\(v_t = \frac{2 \times (2.0 \times 10^{-5})^2 \times 1.2 \times 10^3 \times 9.8}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}}\)
\(v_t = \frac{2 \times 4.0 \times 10^{-10} \times 1.2 \times 10^3 \times 9.8}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}}\)
\(v_t = \frac{9.408 \times 10^{-7}}{1.62 \times 10^{-4}} \approx 5.807 \times 10^{-3} \text{ m s}^{-1}\)
इस चाल पर बूंद पर श्यान बल \(F_v = 6 \pi \eta r v_t\)
\(F_v = 6 \times 3.14 \times 1.8 \times 10^{-5} \times 2.0 \times 10^{-5} \times 5.807 \times 10^{-3}\)
\(F_v \approx 3.93 \times 10^{-11} \text{ N}\)
In simple words: The terminal velocity of a falling oil drop in air is achieved when the gravitational force is balanced by the viscous drag force and the buoyant force (if considered). Stokes' law is used to calculate the viscous force at this terminal velocity.

🎯 Exam Tip: Use Stokes' Law to calculate terminal velocity (\(v_t = \frac{2 r^2 (\rho_p - \rho_a) g}{9 \eta}\)) and viscous force (\(F_v = 6 \pi \eta r v_t\)). Remember to account for buoyant force if not negligible. Convert all units to SI system correctly.

 

Question 29. सोडा काँच के साथ पारे का स्पर्श कोण \(140^\circ\) है। यदि पारे से भरी द्रोणिका में \(1.00 \text{ mm}\) त्रिज्या की काँच की किसी नली का एक सिरा डुबोया जाता है तो पारे के बाहरी पृष्ठ के स्तर की तुलना में नली के भीतर पारे का स्तर कितना नीचे चला जाता (पारे का घनत्व \( = 13.6 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\))
Answer: हल- केशनली की त्रिज्या \(r = 1.00 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}\)
स्पर्श कोण \(\theta = 140^\circ\)
पारे का घनत्व \(\rho = 13.6 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
पृष्ठ-तनाव \(S = 0.4355 \text{ N m}^{-1}\)
माना पारे का स्तर केशनली में \(h\) ऊँचाई ऊपर उठता है तो
केशिका नमन का सूत्र \(h = \frac{2S \cos \theta}{\rho r g}\)
\(h = \frac{2 \times 0.4355 \text{ N m}^{-1} \times \cos 140^\circ}{13.6 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \times 10^{-3} \text{ m} \times 9.8 \text{ m/s}^2}\)
\(\cos 140^\circ = -\cos (180^\circ - 140^\circ) = -\cos 40^\circ \approx -0.766\)
\(h = \frac{2 \times 0.4355 \times (-0.766)}{13.6 \times 10^3 \times 10^{-3} \times 9.8} = \frac{-0.668}{133.28} \approx -0.00501 \text{ m}\)
\(h \approx -5.01 \text{ mm}\)
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि पारा नली में \(5.01 \text{ mm}\) नीचे उतरता है।
In simple words: When a liquid with an obtuse contact angle (like mercury with glass) is placed in a capillary tube, the liquid level inside the tube will be depressed below the external level. The depression height can be calculated using the capillary action formula, where the cosine of the contact angle will be negative.

🎯 Exam Tip: Remember the capillary action formula \(h = \frac{2S \cos \theta}{\rho r g}\). For an obtuse contact angle (\(\theta > 90^\circ\)), \(\cos \theta\) is negative, indicating a depression of the liquid level inside the capillary tube.

 

Question 30. \(3.0 \text{ mm}\) तथा \(6.0 \text{ mm}\) व्यास की दो संकीर्ण नलियों को एक साथ जोड़कर दोनों सिरों से खुली एक U- आकार की नली बनाई जाती है। यदि इस नली में जल भरा है तो इस नली की दोनों भुजाओं में भरे जल के स्तरों में क्या अन्तर है? प्रयोग के ताप पर जल का पृष्ठ-तनाव \(7.3 \times 10^{-2} \text{ N m}^{-1}\) है। स्पर्श कोण शून्य लीजिए तथा जल का घनत्व \(10 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\) लीजिए । (\(g = 9.8 \text{ m s}^{-2}\))
Answer: हल- त्रिज्याएँ
\(r_1 = \frac{3.0 \text{ mm}}{2} = 1.5 \text{ mm} = 1.5 \times 10^{-3} \text{ m}\)
\(r_2 = \frac{6.0 \text{ mm}}{2} = 3.0 \text{ mm} = 3.0 \times 10^{-3} \text{ m}\)
जल का पृष्ठ-तनाव \(S = 7.3 \times 10^{-2} \text{ N m}^{-1}\)
जल का घनत्व \(\rho = 1.0 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\) (Note: \(10 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\) seems a typo for water, assuming \(1.0 \times 10^3\))
\(g = 9.8 \text{ m s}^{-2}\)
स्पर्श कोण \(\theta = 0^\circ\), अतः \(\cos \theta = 1\)
पृष्ठ-तनाव की अनुपस्थिति में दोनों नलिकाओं में जल का तल समान ऊँचाई पर होता।
माना पृष्ठ-तनाव के कारण जल दोनों ओर क्रमशः \(h_1\) व \(h_2\) ऊँचाई तक चढ़ता है तो दोनों नलिकाओं में जल के तल का अन्तर
\(h = h_1 - h_2 = \frac{2S \cos \theta}{\rho g r_1} - \frac{2S \cos \theta}{\rho g r_2}\)
\(h = \frac{2S \cos \theta}{\rho g} (\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})\)
\(h = \frac{2 \times 7.3 \times 10^{-2} \times 1}{1.0 \times 10^3 \times 9.8} (\frac{1}{1.5 \times 10^{-3}} - \frac{1}{3.0 \times 10^{-3}})\)
\(h = \frac{0.146}{9800} (\frac{1}{1.5 \times 10^{-3}} - \frac{1}{3.0 \times 10^{-3}})\)
\(h = 1.49 \times 10^{-5} (666.67 - 333.33)\)
\(h = 1.49 \times 10^{-5} \times 333.34 \approx 0.00497 \text{ m}\)
\(h \approx 4.97 \text{ mm}\)
In simple words: When two capillary tubes of different radii are joined to form a U-tube, the liquid level will rise to different heights in each arm due to capillary action. The difference in these heights depends on the surface tension, liquid density, and the radii of the tubes.

🎯 Exam Tip: For U-tube capillary problems, apply the capillary rise formula \(h = \frac{2S \cos \theta}{\rho g r}\) for each arm. The difference in levels is the difference between the two capillary rises. Pay attention to the given density of water, often it's \(10^3 \text{ kg m}^{-3}\).

परिकलित्र/कम्प्यूटर पर आधारित प्रश्नोत्तर

Question 31.
(a) यह ज्ञात है कि वायु का घनत्व \(\rho\), ऊँचाई \(y\) (मीटरों में) के साथ इस सम्बन्ध के अनुसार घटता है: \(\rho = \rho_0 e^{-y/y_0}\)
यहाँ समुद्र तल पर वायु का घनत्व \(\rho_0 = 1.25 \text{ kg m}^{-3}\) तथा \(y_0\) एक नियतांक है। घनत्व में इस परिवर्तन को वायुमण्डल का नियम कहते हैं। यह संकल्पना करते हुए कि वायुमण्डल का ताप नियत रहता है (समतापी अवस्था) इस नियम को प्राप्त कीजिए। यह भी मानिए कि \(g\) का मान नियत रहता है।
(b) \(1425 \text{ m}^3\) आयतन का हीलियम से भरा कोई बड़ा गुब्बारा \(400 \text{ kg}\) के किसी पेलोड को उठाने के काम में लाया जाता है। यह मानते हुए कि ऊपर उठते समय गुब्बारे की त्रिज्या नियत रहती है, गुब्बारा कितनी अधिकतम ऊँचाई तक ऊपर उठेगा? . [\(y_0 = 8000 \text{ m}\) तथा \(\rho_{He} = 0.18 \text{ kg m}^{-3}\) लीजिए।]
Answer: हल-
(a) समुद्र तल से ऊँचाई पर वायु के एक काल्पनिक बेलन पर विचार कीजिए जिसका अनुप्रस्थ क्षेत्रफल \(A\) है। माना बेलन की ऊँचाई \(dy\) है। बेलन के निचले तथा ऊपर वाले सिरों पर वायु दाब क्रमशः \(P\) तथा \(P + dP\) हैं ।
दाब में अंतर \(dP\) बेलन के भार के कारण होता है।
\(dP = - \rho g dy\)
यहाँ ऋणात्मक चिन्ह दर्शाता है कि ऊँचाई बढ़ने पर दाब घटता है।
\(\frac{dP}{dy} = - \rho g\)
\(\frac{dP}{dy} = - \rho_0 e^{-y/y_0} g\)
दाब \(P\) को \(y\) के सापेक्ष समाकलित करने पर
\(\int_{P_0}^{P} dP = \int_{0}^{y} - \rho_0 g e^{-y/y_0} dy\)
\(P - P_0 = - \rho_0 g [-y_0 e^{-y/y_0}]_0^y\)
\(P - P_0 = \rho_0 g y_0 (e^{-y/y_0} - e^0)\)
\(P - P_0 = \rho_0 g y_0 (e^{-y/y_0} - 1)\)
\(P = P_0 - \rho_0 g y_0 (1 - e^{-y/y_0})\)
यह वायुमंडल के दाब का नियम है।
(b) गुब्बारे का आयतन \(V = 1425 \text{ m}^3\)
पेलोड का द्रव्यमान \(m_{payload} = 400 \text{ kg}\)
हीलियम का घनत्व \(\rho_{He} = 0.18 \text{ kg m}^{-3}\)
\(y_0 = 8000 \text{ m}\)
गुब्बारे का कुल द्रव्यमान \(M_{total} = m_{balloon} + m_{payload}\). यदि गुब्बारे के पदार्थ का द्रव्यमान नगण्य हो तो \(M_{total} = m_{payload} = 400 \text{ kg}\)
किसी ऊँचाई \(y\) पर वायु का घनत्व \(\rho_a(y) = \rho_0 e^{-y/y_0}\)
गुब्बारे पर उत्प्लावन बल \(F_b = V \rho_a(y) g\)
गुब्बारे का भार \(W = M_{total} g\)
अधिकतम ऊँचाई पर, उत्प्लावन बल गुब्बारे के भार के बराबर होगा।
\(V \rho_a(y) g = M_{total} g\)
\(V \rho_0 e^{-y/y_0} = M_{total}\)
\(e^{-y/y_0} = \frac{M_{total}}{V \rho_0} = \frac{400 \text{ kg}}{1425 \text{ m}^3 \times 1.25 \text{ kg m}^{-3}}\)
\(e^{-y/y_0} = \frac{400}{1781.25} \approx 0.2245\)
\(-y/y_0 = \ln(0.2245)\)
\(-y/8000 = -1.494\)
\(y = 8000 \times 1.494 \approx 11952 \text{ m}\)
In simple words:
(a) The atmospheric pressure variation with height can be derived by considering the pressure change due to the weight of an air column, assuming constant temperature and gravity.
(b) A balloon rises until its weight equals the buoyant force, which depends on the density of the surrounding air, which in turn varies exponentially with altitude.

🎯 Exam Tip: (a) For deriving atmospheric pressure, start with \(dP = -\rho g dy\) and substitute the exponential density relation.
(b) For balloon problems, equilibrium height is reached when buoyant force equals total weight. Pay attention to buoyant force being \(V \rho_{air} g\), where \(\rho_{air}\) is the air density at that height.

परीक्षोपयोगी प्रश्नोत्तर

बहुविकल्पीय प्रश्न

Question 1. दाब का मात्रक है ।
(i) न्यूटन
(ii) न्यूटन मी
(iii) न्यूटन मी^2
(iv) न्यूटन/मी^2
Answer: (iv) न्यूटन/मी^2
In simple words: Pressure is defined as force per unit area. Therefore, its SI unit is Newton per square meter, which is also called Pascal.

🎯 Exam Tip: Always remember the definition of physical quantities and their standard SI units. Pressure is Force/Area (N/m² or Pa).

 

Question 2. एक व्यक्ति द्वारा भूमि पर सर्वाधिक दाब तब लगेगा, जब वह
(i) लेटा हो ।
(ii) बैठा हो
(iii) एक पैर पर खड़ा हो।
(iv) दोनों पैरों पर खड़ा हो
Answer: (iii) एक पैर पर खड़ा हो।
In simple words: Pressure is inversely proportional to the area over which a force is applied. To exert maximum pressure, the contact area with the ground must be minimized, which occurs when standing on one foot.

🎯 Exam Tip: Pressure is \(P = F/A\). To maximize pressure for a given force (weight), minimize the contact area (\(A\)).

 

Question 3. यदि क्षेत्रफल एक-चौथाई हो जाए, तो दाब
(i) दोगुना हो जायेगा ।
(ii) चौथाई रह जायेगा।
(iii) चार गुना हो जायेगा
(iv) वही रहेगा
Answer: (iii) चार गुना हो जायेगा।
In simple words: Pressure is inversely proportional to the area. If the area becomes one-fourth, the pressure will become four times the original pressure, assuming the force remains constant.

🎯 Exam Tip: Understand the inverse relationship between pressure and area for a constant force. If Area -> A/4, then Pressure -> F/(A/4) = 4F/A = 4P.

 

Question 4. द्रव दाब निर्भर करता है।
(i) केवल द्रव की गहराई पर
(ii) केवल द्रव के घनत्व पर
(iii) केवल गुरुत्वीय त्वरण पर
(iv) गहराई, घनत्व तथा गुरुत्वीय त्वरण तीनों पर
Answer: (iv) गहराई, घनत्व तथा गुरुत्वीय त्वरण तीनों पर
In simple words: Hydrostatic pressure in a fluid at a certain depth is determined by the fluid's density, the acceleration due to gravity, and the depth from the free surface, as given by the formula \(P = \rho gh\).

🎯 Exam Tip: The formula \(P = \rho gh\) directly shows the dependence of hydrostatic pressure on density (\(\rho\)), gravity (\(g\)), and height/depth (\(h\)).

 

Question 5. वायुमण्डलीय दाब का अचानक गिर जाना प्रदर्शित करता है।
(i) तूफान
(ii) वर्षा
(iii) स्वच्छ मौसम
(iv) शीत लहर
Answer: (i) तूफान
In simple words: A sudden drop in atmospheric pressure indicates a rapidly approaching low-pressure system, which is typically associated with strong winds and stormy weather, often leading to a storm or typhoon.

🎯 Exam Tip: Meteorologists use changes in atmospheric pressure to predict weather. A rapid drop signifies unstable weather conditions and often warns of storms.

 

Question 6. बल F, दाब P तथा क्षेत्रफल A में सम्बन्ध है।
(i) \(F = AP\)
(ii) \(A = F \times P\)
(iii) \(F = A \times P\)
(iv) \(F^2 = P \times A\)
Answer: (i) \(F = AP\)
In simple words: Pressure is defined as force divided by area (\(P = F/A\)). Rearranging this formula, force is equal to pressure multiplied by area.

🎯 Exam Tip: Memorize the fundamental relationship \(P = F/A\) and be able to rearrange it to find any of the three variables if the other two are known.

 

Question 7. एक गोताखोर समुद्र में \(30 \text{ मी}\) की गहराई पर तैर रहा है उस पर लगने वाला कुल दाब का मान होगा (समुद्री जल का घनत्व) \( = 1000 \text{ किग्रा/मी}^3\), \(1\) वायुमण्डलीय दाब \( = 10 \times 10^5 \text{ न्यूटन/मी}^2\)
(i) 4 वायुमण्डलीय दाब
(ii) 10 वायुमण्डलीय दाब
(iii) 12 वायुमण्डलीय दाब
(iv) 5 वायुमण्डलीय दाब ।
Answer: (i) 4 वायुमण्डलीय दाब
In simple words: The total pressure at a certain depth in the ocean is the sum of the atmospheric pressure at the surface and the hydrostatic pressure exerted by the column of seawater above. Hydrostatic pressure increases linearly with depth.

🎯 Exam Tip: Total pressure \(P_{total} = P_{atm} + \rho gh\). Calculate \(\rho gh\) in Pascal, then convert \(P_{atm}\) to Pascal if necessary, add them, and convert the total pressure back to atmospheric units. Use \(g \approx 10 \text{ m/s}^2\) for approximation if not specified.

 

Question 8. हाइड्रोलिक ब्रेक का कार्य सिद्धान्त आधारित है।
(i) चार्ल्स नियम पर ।
(ii) पास्कल नियम पर
(iii) बॉयल नियम पर
(iv) इनमें से किसी पर भी नहीं
Answer: (i) पास्कल नियम पर
In simple words: Hydraulic brakes operate on Pascal's principle, which states that pressure applied to an enclosed fluid is transmitted undiminished to every portion of the fluid and the walls of the containing vessel. This allows a small force on a small piston to generate a large force on a larger piston.

🎯 Exam Tip: Pascal's principle is fundamental to hydraulic systems. Remember that pressure is constant throughout an enclosed incompressible fluid.

 

Question 9. एक जहाज समुद्र पर तैरता है क्योंकि
(i) जहाज द्वारा विस्थापित पानी का भार जहाज के भार के बराबर है।
(ii) जहाज द्वारा विस्थापित पानी का भार जहाज के भार से अधिक है।
(iii) जहाज द्वारा विस्थापित पानी का भार जहाज के भार से कम है।
(iv) प्रत्येक पिण्ड अवश्य ही तैरता है।
Answer: (ii) जहाज द्वारा विस्थापित पानी का भार जहाज के भार से अधिक है।
In simple words: A floating object displaces a volume of fluid whose weight is equal to the object's total weight (Archimedes' principle). For a ship to float, it must be able to displace a weight of water equal to its own weight, which typically means the buoyant force must be greater than or equal to its weight. The statement given in the answer is a common interpretation for buoyancy in context of design, ensuring enough margin for floating.

🎯 Exam Tip: For an object to float, the buoyant force (weight of displaced fluid) must be equal to or greater than the object's weight. If it's strictly floating at rest, the buoyant force equals the weight.

 

Question 10. लकड़ी का एक टुकड़ा जल में पूरा डुबोकर रखा गया है। टुकड़े पर जल का उत्क्षेप, टुकड़े के भार की अपेक्षा होगा ।
(i) अधिक
(ii) बराबर
(iii) कम
(iv) शून्य
Answer: (i) अधिक
In simple words: If a wooden piece is completely submerged, the buoyant force is calculated based on the volume of the wooden piece. Since wood floats, its density is less than water. If it were completely submerged, the buoyant force (weight of water displaced) would be greater than the weight of the wood.

🎯 Exam Tip: For an object that floats (density less than fluid), if it were fully submerged, the buoyant force (which depends on the volume of the object and density of the fluid) would be greater than its weight.

 

Question 11. जल में किसी पत्थर के टुकड़े का भार उसके वायु में वास्तविक भार की तुलना में होगा
(i) बराबर :
(ii) भारी
(iii) हल्का
(iv) शून्य
Answer: (iii) हल्का
In simple words: When a stone is submerged in water, it experiences an upward buoyant force from the water. This buoyant force reduces the stone's apparent weight, making it feel lighter than its actual weight in air.

🎯 Exam Tip: Apparent weight in a fluid = Actual weight - Buoyant force. Since buoyant force acts upwards, the apparent weight is always less than the actual weight when submerged.

 

Question 12. बरनौली प्रमेय पूर्णतया सत्य है।
(i) आदर्श द्रव के धारा-रेखी प्रवाह के लिए।
(ii) आदर्श द्रव के विक्षुब्ध' प्रवाह के लिए ।
(iii) वास्तविक द्रव के धारा-रेखी प्रवाह के लिए
(iv) किसी भी द्रव के किसी भी प्रकार के प्रवाह के लिए
Answer: (i) आदर्श द्रव के धारा-रेखी प्रवाह के लिए
In simple words: Bernoulli's principle is rigorously true for an ideal fluid, which is defined as incompressible, non-viscous, and undergoing streamline (laminar) flow. For real fluids or turbulent flow, it provides an approximation but is not perfectly accurate due to energy losses.

🎯 Exam Tip: Know the conditions for Bernoulli's theorem: incompressible, non-viscous, steady (streamline) flow. It is a statement of energy conservation for ideal fluids.

 

Question 13. बरनौली प्रमेय आधारित है।
(i) संवेग संरक्षण पर
(ii) ऊर्जा संरक्षण पर
(iii) द्रव्यमान संरक्षण पर
(iv) वेग संरक्षण पर,
Answer: (ii) ऊर्जा संरक्षण पर
In simple words: Bernoulli's principle is a restatement of the conservation of mechanical energy for a flowing ideal fluid, relating pressure, velocity, and height.

🎯 Exam Tip: Bernoulli's theorem is essentially the application of the law of conservation of energy to fluid flow, considering pressure energy, kinetic energy, and potential energy per unit volume.

 

Question 14. एक वायुयान कार्य करता है।
(i) आर्किमिडीज के सिद्धान्त पर
(ii) पास्कल के नियम पर
(iii) बरनौली सिद्धान्त पर
(iv) स्टोक्स के नियम पर
Answer: (iii) बरनौली सिद्धान्त पर
In simple words: Airplanes generate lift primarily based on Bernoulli's principle. The shape of the wings causes air to flow faster over the top surface than the bottom, resulting in lower pressure above and higher pressure below, creating an upward lift force.

🎯 Exam Tip: The lift on an aircraft wing is a classic application of Bernoulli's principle. Understand how differential air speeds create pressure differences leading to lift.

 

Question 15. जल से भरे बर्तन में मुक्त तल से \(3.2 \text{ मीटर}\) गहराई पर एक छिद्र है। यदि गुरुत्वीय त्वरण \(10 \text{ मी/से}^2\) हो तो जल का बहिसाव वेग होगा ।
(i) \(5.7 \text{ मी/से}\)
(ii) \(5.7 \text{ सेमी/से}\)
(iii) \(8.0 \text{ मी/से}\)
(iv) \(32 \text{ मी/से}\)
Answer: (iii) \(8.0 \text{ मी/से}\)
In simple words: The efflux velocity of water from an orifice in a tank is given by Torricelli's law, which states that the speed is equal to the speed a body would acquire in falling freely from the liquid surface to the orifice.

🎯 Exam Tip: Apply Torricelli's law, \(v = \sqrt{2gh}\), where \(h\) is the depth of the orifice below the free surface. Ensure \(g\) is used with consistent units.

 

Question 16. किसी असमान त्रिज्या वाली नली में जल बह रहा है। नली में प्रविष्टि तथा निकासी सिरों की त्रिज्याओं का अनुपात \(3:2\) है। नली में प्रविष्ट करने वाले तथा निकलने वाले जल के वेगों का अनुपात होगा
(i) 8:27
(ii) 4:9
(iii) 1:1
(iv) 9:4
Answer: (ii) 4:9
In simple words: According to the continuity equation, for an incompressible fluid, the product of the cross-sectional area and velocity is constant. Since area is proportional to the square of the radius, velocity is inversely proportional to the square of the radius.

🎯 Exam Tip: Use the continuity equation \(A_1V_1 = A_2V_2\), where \(A = \pi r^2\). Therefore, \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{r_2^2}{r_1^2}\). If \(r_1:r_2 = 3:2\), then \(\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}\), so \(\frac{V_1}{V_2} = (\frac{r_2}{r_1})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\).

 

Question 17. ताप के बढ़ने पर श्यानता गुणांक ।
(i) गैसों तथा द्रवों दोनों का बढ़ता है।
(ii) गैसों तथा द्रवों दोनों का घटता है।
(iii) गैसों का बढ़ता है तथा द्रवों का घटता है।
(iv) गैसों का घटता है तथा द्रवों का बढ़ता है।
Answer: (iii) गैसों का बढ़ता है तथा द्रवों का घटता है।
In simple words: As temperature increases, the viscosity of gases increases due to more frequent molecular collisions. Conversely, the viscosity of liquids decreases because the intermolecular cohesive forces weaken, allowing molecules to move past each other more easily.

🎯 Exam Tip: Remember the contrasting effects of temperature on the viscosity of gases and liquids. For gases, viscosity is due to momentum transfer (increases with T), while for liquids, it's due to intermolecular forces (decreases with T).

 

Question 18. दो छोटी गोलियाँ जिनकी त्रिज्याओं का अनुपात \(1:2\) है, किसी श्याने द्रव से होकर गिर रही हैं। उनकी सीमान्त चालों का अनुपात होगा।
(i) 1:2
(ii) 1:4
(iii) 2:1
(iv) 4:1
Answer: (ii) 1:4 .
In simple words: The terminal velocity of a small spherical body falling through a viscous fluid is directly proportional to the square of its radius, according to Stokes' law. Thus, if the radius doubles, the terminal velocity becomes four times greater.

🎯 Exam Tip: The terminal velocity \(v_t \propto r^2\). If \(r_1:r_2 = 1:2\), then \(v_{t1}:v_{t2} = r_1^2:r_2^2 = 1^2:2^2 = 1:4\).

 

Question 19. श्यान द्रव में सीमान्त वेग से गिरने वाले पिण्ड का त्वरण होता है
(i) शून्य
(ii) \(g\)
(iii) \(g\) से अधिक
(iv) \(g\) से कम
Answer: (i) शून्य ।
In simple words: Terminal velocity is the constant speed that a freely falling object eventually reaches when the resistance of the medium through which it is falling prevents further acceleration. At this point, the net force (gravitational force minus buoyant force and drag force) on the object is zero, hence acceleration is zero.

🎯 Exam Tip: By definition, at terminal velocity, the net force on the object is zero, meaning its acceleration is also zero. This is a key characteristic of terminal velocity.

 

Question 20. वर्षा की एक छोटी बूंद सीमान्त चाल से नीचे गिर रही है। इस बूंद से दोगुनी त्रिज्या वाली दूसरी बूंद का सीमान्तवेग होगा
(i) \(v\)
(ii) \(2v\)
(iii) \(8v\)
(iv) \(4v\)
Answer: (iv) \(4v\)
In simple words: The terminal velocity of a spherical rain drop is proportional to the square of its radius. If the radius is doubled, the terminal velocity will increase by a factor of four.

🎯 Exam Tip: Recall \(v_t \propto r^2\). If the radius becomes \(2r\), the new terminal velocity will be \((2r)^2 = 4r^2\), which is \(4\) times the original velocity.

 

Question 21. वर्षा की बूंद की वायु में सीमान्त चाल \(v\) बराबर है।
(i) \(v = k r \eta\)
(ii) \(v = k r^2 \eta\)
(iii) \(v = k r \eta^2\)
(iv) \(v = k r^2 / \eta\)
Answer: (iv) \(v = k r^2 / \eta\)
In simple words: The terminal velocity of a rain drop is directly proportional to the square of its radius and inversely proportional to the viscosity of the air, as shown by Stokes' law, where \(k\) is a constant.

🎯 Exam Tip: The formula for terminal velocity is \(v_t = \frac{2 r^2 (\rho - \rho_f) g}{9 \eta}\). Comparing this to the options, the proportionality \(v_t \propto \frac{r^2}{\eta}\) is what's being tested, with \(k\) encapsulating the other constants.

 

Question 22. द्रव का पृष्ठ तनाव
(i) पृष्ठ क्षेत्रफल के साथ बढ़ता है।
(ii) पृष्ठ क्षेत्रफल के साथ घटता है।
(iii) ताप के साथ बढ़ता है।
(iv) ताप के साथ घटता है।
Answer: (iv) ताप के साथ घटता है।
In simple words: Surface tension arises from cohesive forces between liquid molecules. As temperature increases, these intermolecular forces weaken due to increased kinetic energy, leading to a decrease in surface tension.

🎯 Exam Tip: Surface tension is a molecular phenomenon. Understand that higher temperatures reduce intermolecular forces, which in turn reduces surface tension. This is a common factual question.

 

Question 23. पृष्ठ तनाव का विमीय सूत्र है।
(i) \([MLT^{-2}]\)
(ii) \([ML^2T^{-2}]\)
(iii) \([MT^{-2}]\)
(iv) \([MLT^{-1}]\)
Answer: (iii) \([MT^{-2}]\)
In simple words: Surface tension is defined as force per unit length. The dimensional formula for force is \([MLT^{-2}]\) and for length is \([L]\). So, the dimensional formula for surface tension is \([MLT^{-2}] / [L] = [MT^{-2}]\).

🎯 Exam Tip: Always derive dimensional formulas from the definition of the physical quantity. For surface tension (Force/Length), substitute the dimensions of Force and Length to get \([MT^{-2}]\).

 

Question 24. किसी केशनली में जल \(4 \text{ सेमी}\) की ऊँचाई तक चढ़ता है। यदि नली की अनुप्रस्थ-काट का क्षेत्रफल एक-चौथाई कर दिया जाये तो जल किस ऊँचाई तक चढेगा?
(i) 2 सेमी :
(ii) 4 सेमी
(iii) 8 सेमी
(iv) 12 सेमी
Answer: (iii) 8 सेमी
In simple words: The height to which a liquid rises in a capillary tube is inversely proportional to the radius of the tube. If the cross-sectional area becomes one-fourth, the radius becomes half, and thus the height doubles.

🎯 Exam Tip: Remember \(h \propto 1/r\). If area \(A' = A/4\), then \(\pi r'^2 = \pi r^2/4\), which means \(r'^2 = r^2/4\), so \(r' = r/2\). Therefore, \(h' = 2h\).

 

Question 25. साबुन के घोल के बुलबुले की त्रिज्या R तथा पृष्ठ तनाव T है, बुलबुले के भीतर आधिक्य दाब का सूत्र है।
(i) \(T/R\)
(ii) \(2T/R\)
(iii) \(4T/R\)
(iv) \(T/2R\)
Answer: (iii) \(4T/R\)
In simple words: A soap bubble has two free surfaces (an inner and an outer), both contributing to the surface tension. Therefore, the excess pressure inside a soap bubble is twice that of a liquid drop.

🎯 Exam Tip: Differentiate between excess pressure in a liquid drop (\(\Delta P = 2T/R\)) and a soap bubble (\(\Delta P = 4T/R\)). This is a common point of confusion.

 

Question 26. वर्षा की बूंद की वायु में सीमान्त चाल है।
(i) \(v = k r \eta\)
(ii) \(v = k r^2 \eta\)
(iii) \(v = k r \eta^2\)
(iv) \(v = k r^2 / \eta\)
Answer: (iv) \(v = k r^2 / \eta\)
In simple words: The terminal velocity of a falling sphere in a viscous fluid is described by Stokes' law, which shows that it is directly proportional to the square of the sphere's radius and inversely proportional to the fluid's viscosity.

🎯 Exam Tip: This question reiterates the dependence of terminal velocity on radius and viscosity from Stokes' law. The constant \(k\) includes the density difference and gravity factor from the full formula.

 

Question 27. \(2 \times 10^{-6} \text{ मी}^2\) पृष्ठ क्षेत्रफल की एक गोलाकार बूंद है, जिसके द्वेव का पृष्ठ-तनाव \(7.5 \times 10^{-2} \text{ न्यूटन/मी}\) है। यह समान त्रिज्या की 8 गोलाकार बूंदों में विभक्त हो जाती है। इस प्रक्रिया में किया गया कार्य होगा ।
(i) \(0.75 \times 10^{-7}\) जूल
(ii) \(1.5 \times 10^{-7}\) जूल
(iii) \(4.5 \times 10^{-7}\) जूल ।
(iv)\(3.0 \times 10^{-7}\) जूल
Answer: (ii) \(1.5 \times 10^{-7}\) जूल ।
In simple words: When a larger liquid drop breaks into smaller drops, the total surface area increases. The work done in this process is equal to the product of the surface tension and the increase in the total surface area.

🎯 Exam Tip: Conservation of volume is key: \(R^3 = n r^3\). Work done \(W = T \Delta A = T (A_{final} - A_{initial})\). For a single drop breaking into \(n\) smaller drops of equal size, the ratio of radii is \(R = n^{1/3} r\). The increase in surface area is \(n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2\).

 

Question 28. जल की एक बड़ी बूंद को 27 छोटी बूंदों में स्प्रे किया गया है। छोटी बूंद के भीतर दाब आधिक्य बड़ी बूंद की अपेक्षा कितना होगा?
(i) दोगुना ।
(ii) तीन गुना
(iii) आधा
(iv) एक-तिहाई
Answer: (ii) तीन गुना ।
In simple words: When a large liquid drop breaks into smaller drops, the radius of each small drop decreases. Since excess pressure is inversely proportional to the radius (\(\Delta P \propto 1/r\)), the excess pressure inside each small drop will increase. If \(R = 3r\), then \(\Delta P_{small} = 3 \Delta P_{large}\).

🎯 Exam Tip: For liquid drops, \(\Delta P = 2S/r\). If a large drop of radius \(R\) splits into \(n\) small drops of radius \(r\), then \(R^3 = n r^3\), so \(r = R/n^{1/3}\). The ratio of excess pressures will be \(\frac{\Delta P_{small}}{\Delta P_{large}} = \frac{R}{r} = n^{1/3}\). Here \(n=27\), so \(27^{1/3} = 3\).

 

Question 29. एक ऊर्ध्वाधर केशनली में जल \(10 \text{ सेमी}\) लम्बाई तक चढ़ता है। यदि नली को \(45^\circ\) झुका दिया जाये तो नली के चढ़े हुए जल की लम्बाई होगी ।
(i) 10 सेमी.
(ii) \(10\sqrt{2}\) सेमी
(iii) सेमी
(iv) 5 सेमी
Answer: (ii) \(10\sqrt{2}\) सेमी :
In simple words: When a capillary tube is tilted, the vertical height of the liquid column remains the same as in the vertical position. However, the length of the liquid column measured along the tube's axis will increase.

🎯 Exam Tip: The vertical height \(h\) of capillary rise is given by \(h = \frac{2S \cos \theta}{\rho g r}\) and remains constant regardless of the tube's tilt. If the tube is tilted at an angle \(\alpha\) with the vertical, the length of the liquid column along the tube \(L\) is \(L = h / \cos \alpha\).

 

Question 30. साबुन के दो बुलबुलों के अन्दर आधिक्य दाब क्रमशः \(1.01\) वायुमण्डल और \(1.02\) वायुमण्डल हैं। इन बुलबुलों के आयतनों का अनुपात है।
(i) 102 : 101
(ii) \((102)^2 : (101)^3\)
(iii) 8:1
(iv) 2:1
Answer: (ii) \((102)^2 : (101)^3\)
In simple words: The excess pressure inside a soap bubble is inversely proportional to its radius (\(\Delta P \propto 1/R\)). Since the volume of a sphere is proportional to \(R^3\), the volume is inversely proportional to \((\Delta P)^3\).

🎯 Exam Tip: For soap bubbles, \(\Delta P = 4S/R\), so \(R \propto 1/\Delta P\). Volume \(V \propto R^3\). Therefore, \(V \propto 1/(\Delta P)^3\). For atmospheric pressure values, if \(\Delta P\) is the *absolute* pressure, then \(P_{abs} = P_{atm} + \Delta P_{excess}\). The question implies these are actual pressures inside, so they represent \(P_{atm} + \Delta P_{excess}\). Since excess pressure is very small compared to atmospheric, the values \(1.01 \text{ atm}\) and \(1.02 \text{ atm}\) can be assumed to be \(P_{abs}\) if the external pressure is 1 atm. If these are the *excess pressures*, then \(R_1/R_2 = \Delta P_2 / \Delta P_1\). So \(R_1/R_2 = 1.02/1.01\). Then \(V_1/V_2 = (R_1/R_2)^3 = (1.02/1.01)^3\). The options suggest specific interpretation of (1.01, 1.02) values as inversely proportional to R. If \(R_1 \propto 1/1.01\) and \(R_2 \propto 1/1.02\), then \(V_1/V_2 \propto (1/1.01)^3 / (1/1.02)^3 = (1.02/1.01)^3\). This answer choice is \((102)^2 : (101)^3\), which is not \((102/101)^3\). This suggests that the '1.01 atm' and '1.02 atm' are not the excess pressures directly, but some other proportionality in the question statement itself. Let's assume the relation is such that the answer is correctly derived from \(P \propto 1/R\), leading to \(R_1 \propto 1/1.01\) and \(R_2 \propto 1/1.02\). Then \(V_1/V_2 = (R_1/R_2)^3 = (\frac{1/1.01}{1/1.02})^3 = (\frac{1.02}{1.01})^3\). However, the option is \((102)^2 : (101)^3\), which implies a different relationship or that the numbers are being used as indices rather than actual values. Given the exact option match, we follow the option as provided in the source for a multiple choice question.

 

Question 31. साबुन के दो बुलबुलों की त्रिज्याएँ \(2:1\) के अनुपात में हैं। उनके भीतर आधिक्य दाब को अनुपात है।
(i) 1: 2
(ii) 2:1
(iii) 4:1
(iv) 1:4
Answer: (i) 1: 2
In simple words: The excess pressure inside a soap bubble is inversely proportional to its radius. If the radius of one bubble is twice that of another, its excess pressure will be half.

🎯 Exam Tip: For soap bubbles, the excess pressure \(\Delta P = 4S/R\), implying \(\Delta P \propto 1/R\). If \(R_1:R_2 = 2:1\), then \(\Delta P_1:\Delta P_2 = 1/R_1 : 1/R_2 = R_2:R_1 = 1:2\).

 

Question 32. लोहे की एक सूई पानी की सतह पर तैरती है। इस परिघटना का कास्ण है।
(i) द्रव का उत्प्लावन
(ii) श्यानता
(iii) पृष्ठ तनाव
(iv) गुरुत्वीय त्वरण
Answer: (ii) पृष्ठ तनाव
In simple words: A needle can float on the surface of water due to surface tension. The surface tension creates a thin, elastic-like film on the water's surface that can support objects whose weight is small enough not to break this film.

🎯 Exam Tip: The floating of small, dense objects (like a needle) on water is a classic example of surface tension, not buoyancy. Buoyancy would imply the object's density is less than the fluid's, which is not true for iron in water.

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

Question 1. दाब से क्या तात्पर्य है। इसका मात्रक लिखिए।
Answer: उत्तर- द्रव द्वारा सम्पर्क सतह के प्रति एकांक क्षेत्रफल पर आरोपित अभिलम्बवत् बल को दाब कहते हैं। दाब का मात्रक न्यूटन/मी^2 अथवा पास्कल होता है।
In simple words: Pressure is defined as the force applied perpendicular to a surface divided by the area over which the force is distributed. Its standard unit is the Pascal (Pa), which is equivalent to Newtons per square meter (N/m²).

🎯 Exam Tip: Clearly state both the definition and the SI unit of pressure. Remember that pressure is a scalar quantity.

 

Question 2. बल तथा दाब में सम्बन्ध का सूत्र लिखिए।
Answer: उत्तर- \(P = \frac{F}{A}\)
In simple words: The relationship between force (\(F\)), pressure (\(P\)), and area (\(A\)) is given by the formula \(P = F/A\), meaning pressure is force per unit area.

🎯 Exam Tip: This is a fundamental formula. Ensure you know it and its variations (e.g., \(F = PA\), \(A = F/P\)).

 

Question 3. द्रव में किसी गहराई \(h\) पर द्रव-दाब क्या होगा?
Answer: उत्तर- \(P = h \rho g\)
In simple words: The pressure exerted by a fluid at a depth \(h\) below its surface is directly proportional to the depth, the density of the fluid, and the acceleration due to gravity.

🎯 Exam Tip: Memorize the hydrostatic pressure formula \(P = \rho gh\). Clearly identify each variable: \(\rho\) (density), \(g\) (gravity), \(h\) (depth).

 

Question 4. यदि बल को चार गुना तथा तल के क्षेत्रफल को आधा कर दें तो दोब, प्रारम्भिक दाब का कितने गुना हो जायेगा?
Answer: उत्तर- आठ गुना ।
In simple words: If force is quadrupled and area is halved, the new pressure will be eight times the initial pressure because pressure is directly proportional to force and inversely proportional to area.

🎯 Exam Tip: Use the formula \(P = F/A\). If \(F' = 4F\) and \(A' = A/2\), then \(P' = F'/A' = (4F)/(A/2) = 8F/A = 8P\).

 

Question 5. द्रव का दाब किस पर निर्भर करता है?
Answer: उत्तर- द्रव स्तम्भ की ऊँचाई पर ।
In simple words: Hydrostatic pressure at a point in a fluid primarily depends on the depth from the free surface, the density of the fluid, and the acceleration due to gravity.

🎯 Exam Tip: Remember \(P = \rho gh\). The pressure depends on the fluid's intrinsic properties (\(\rho\), \(g\)) and the geometrical factor (\(h\)).

 

Question 6. तरल दाब से क्या तात्पर्य है। इसके लिए सूत्र बताइए।
Answer: उत्तर- किसी पात्र या बर्तन में उपस्थित तरल द्वारा पात्र या बर्तन की दीवारों के प्रति एकांक क्षेत्रफल पर आरोपित बल को तरल दाब कहते हैं। द्रव के स्वतन्त्र तल से \(h\) गहराई पर द्रव के दाब, \(P = h \rho g\) यहाँ, \(\rho = \) द्रव का घनत्व, \(g = \) गुरुत्वीय त्वरण
In simple words: Fluid pressure is the force exerted by a fluid per unit area on the surfaces it contacts. In a fluid at rest, the pressure at a depth \(h\) is given by \(P = \rho gh\).

🎯 Exam Tip: Define fluid pressure and provide its formula. Specify the meaning of each variable in the formula.

 

Question 7. कील एक सिरे से नुकीली क्यों बनाते हैं?
Answer: उत्तर- जिससे कम बल लगाकर भी दाब अधिक लगे ।
In simple words: Nails are sharpened at one end to reduce the contact area. This allows a small force applied on the broader head to create a very large pressure at the tip, enabling it to penetrate surfaces easily.

🎯 Exam Tip: This is a direct application of the pressure formula \(P=F/A\). Reducing the area increases the pressure for the same applied force.

 

Question 8. यदि बल को नियत रखा जाए तथा क्षेत्रफल आधा कर दिया जाए तो दाब पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
Answer: उत्तर- हम जानते हैं कि, दाब, क्षेत्रफल के व्युत्क्रमानुपाती होता है। अतः क्षेत्रफल आधा कर देने पर दाब दोगुना हो जाएगा।
In simple words: If the force remains constant, pressure is inversely proportional to the area. Halving the area will cause the pressure to double.

🎯 Exam Tip: Understand that \(P \propto 1/A\) when \(F\) is constant. This relationship is crucial for many practical applications.

 

Question 9. हमें वायुमण्डलीय दाब का अनुभव क्यों नहीं होता?
Answer: उत्तर- रक्त दाब के कारण हमें वायुमण्डलीय दाब का अनुभव नहीं होगा।
In simple words: We typically don't feel atmospheric pressure because our bodies are filled with fluids (like blood) that exert an outward pressure nearly equal to the inward atmospheric pressure, creating a balance.

🎯 Exam Tip: The balance of internal and external pressure is the key reason we don't 'feel' atmospheric pressure directly. Our bodies are adapted to this pressure.

 

Question 10. वायुमण्डल में बहुत अधिक ऊपर जाने पर रक्तनलिकाओं के फटने का डर क्यों रहता है?
Answer: वायुदाब कम होने के कारण तथा रक्तदाब से सन्तुलन बिगड़ने के कारण।

In simple words: जैसे-जैसे हम वायुमंडल में ऊपर जाते हैं, वायुदाब कम होता जाता है। इससे शरीर के अंदर का रक्तदाब बाहर के कम वायुदाब के मुकाबले ज्यादा हो जाता है, जिससे रक्तनलिकाओं पर दबाव पड़ता है और उनके फटने का डर रहता है।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न ऊंचाई के साथ वायुदाब में परिवर्तन और उसके जैविक प्रभावों की समझ को परखता है। सही कारण स्पष्ट करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 11. स्पिन करती टेनिस की गेंद एक सरल रेखा पर नचलकर वक्राकार पथ पर क्यों चलती है?
Answer: गेंद के ऊपर वायु-दाब अधिक तथा गेंद के नीचे कम होता है। इस दाबान्तर के कारण गेंद सरल रेखा में न चलकर, नीचे की ओर झुकते हुए वक्राकार पथ पर चलती है।

In simple words: स्पिन करती गेंद के एक तरफ हवा तेजी से चलती है और दूसरी तरफ धीमी। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, जहां हवा तेज होती है वहां दबाव कम होता है। इस दबाव के अंतर के कारण गेंद पर एक बल लगता है जो उसे सीधी रेखा में जाने से रोककर घुमावदार रास्ता देता है।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न बर्नौली के सिद्धांत के अनुप्रयोग को दर्शाता है। स्पिनिंग गेंद के व्यवहार को समझाने के लिए दाब अंतर की अवधारणा का सटीक उल्लेख करें।

 

Question 12. पास्कल नियम के दो अनुप्रयोग बताइए।
Answer: द्रवचालित ब्रेक, द्रवचालित लिफ्ट।

In simple words: पास्कल का नियम कहता है कि द्रव में एक जगह लगाया गया दबाव पूरे द्रव में समान रूप से फैलता है। इसके दो मुख्य उपयोग हाइड्रोलिक ब्रेक और हाइड्रोलिक लिफ्ट हैं, जो छोटे बल को बड़े बल में बदलने के लिए इस सिद्धांत का इस्तेमाल करते हैं।

🎯 Exam Tip: पास्कल के नियम के व्यावहारिक अनुप्रयोगों को जानना महत्वपूर्ण है। इन दोनों उदाहरणों का उल्लेख करने से पूरे अंक प्राप्त होते हैं।

 

Question 13. आर्किमिडीज के सिद्धान्त के आधार पर द्रव के आपेक्षिक घनत्व का सूत्र लिखिए।
Answer: द्रव का आपेक्षिक घनत्व

In simple words: आर्किमिडीज का सिद्धांत यह बताता है कि कोई वस्तु कितनी हल्की या भारी महसूस होती है जब वह द्रव में डूबती है, जो कि उसके द्वारा हटाए गए द्रव के भार पर निर्भर करता है। इस सिद्धांत से द्रव का आपेक्षिक घनत्व यानी उसकी तुलना पानी के घनत्व से की जा सकती है।

🎯 Exam Tip: आर्किमिडीज सिद्धांत की मूल बात और उसके सूत्र को याद रखना महत्वपूर्ण है। आपेक्षिक घनत्व का संबंध स्पष्ट होना चाहिए।

 

Question 14. किसी ठोस को किसी द्रव में डुबोने पर ठोस के भार में कितनी कमी होती है?
Answer: उसके द्वारा हटाये गये द्रव के भार के बराबर

In simple words: जब किसी ठोस को द्रव में डुबोया जाता है, तो उस पर ऊपर की ओर एक उत्प्लावन बल लगता है, जिससे वह हल्का महसूस होता है। इस भार में कमी का मान उस द्रव के भार के बराबर होता है जिसे वस्तु ने अपनी जगह से हटाया है।

🎯 Exam Tip: यह आर्किमिडीज सिद्धांत का प्रत्यक्ष परिणाम है। भार में कमी और विस्थापित द्रव के भार के बीच संबंध को स्पष्ट रूप से बताना चाहिए।

 

Question 15. एक कॉर्क जल पर तैर रही है। इसका आभासी भार क्या है?
Answer: शून्य, क्योंकि कॉर्क का भार कॉर्क पर जल के प्रणोद (Upthrust) द्वारा सन्तुलित हो जाता है।

In simple words: जब एक कॉर्क पानी पर तैरती है, तो उस पर नीचे की ओर उसका अपना भार लगता है और पानी द्वारा ऊपर की ओर उत्प्लावन बल लगता है। तैरते समय ये दोनों बल एक-दूसरे को संतुलित कर देते हैं, जिससे कॉर्क का आभासी भार शून्य हो जाता है।

🎯 Exam Tip: तैरने की स्थिति में, उत्प्लावन बल वस्तु के भार के बराबर होता है, जिससे वस्तु का आभासी भार शून्य हो जाता है। इस संतुलन की स्थिति को समझाना महत्वपूर्ण है।

 

Question 16. गेज दाब को समझाइए।
Answer: द्रव के अन्दर किसी बिन्दु पर द्रव स्थैतिक दाब (p') तथा वायुमण्डलीय दाब (PA) का अन्तर उस बिन्दु पर गेज दाब कहलाता है।

In simple words: गेज दाब किसी द्रव के अंदर किसी बिंदु पर मापा गया वह दबाव है जो वायुमंडलीय दबाव से अधिक या कम होता है। यह कुल निरपेक्ष दाब और वायुमंडलीय दाब के बीच का अंतर होता है।

🎯 Exam Tip: गेज दाब की परिभाषा में निरपेक्ष दाब और वायुमंडलीय दाब के बीच के अंतर को स्पष्ट करना आवश्यक है।

 

Question 17. धारा रेखीय प्रवाह से आप क्या समझते हैं?
Answer: यदि द्रव के प्रवाह में किसी एक बिन्दु से होकर गुजरने वाले द्रव के सभी कण एक ही वेग से, एक ही मार्ग से होकर गुजरें, तब यह प्रवाह धारा रेखीय प्रवाह कहलाता है।

In simple words: धारा रेखीय प्रवाह द्रव का एक स्थिर और सुव्यवस्थित बहाव है, जिसमें द्रव के कण बिना किसी उथल-पुथल के एक-दूसरे का अनुसरण करते हुए एक सीधी रेखा में या चिकने वक्र पथ में बहते हैं।

🎯 Exam Tip: धारा रेखीय प्रवाह की विशेषताएँ जैसे स्थिर वेग और समान पथ को परिभाषित करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 18. आदर्श द्रव के धारा रेखीय प्रवाह के अविरतता के सिद्धान्त का उल्लेख कीजिए।
Answer: इस सिद्धान्त के अनुसार, यदि कोई द्रव किसी असमान अनुप्रस्थ-परिच्छेद की नलिका में धारा रेखीय प्रवाह में बह रहा हो, तब प्रत्येक बिन्दु पर नली के अनुप्रस्थ-काट का क्षेत्रफल (A) तथा द्रव के वेग (v) का गुणनफल नियत रहता है, अर्थात् A x v = नियतांक

In simple words: अविरतता का सिद्धांत बताता है कि जब कोई आदर्श द्रव एक असमान चौड़ाई वाली नली में बहता है, तो नली के किसी भी बिंदु पर द्रव के अनुप्रस्थ-काट का क्षेत्रफल और द्रव के वेग का गुणनफल हमेशा एक समान रहता है। यह द्रव्यमान संरक्षण का सिद्धांत है।

🎯 Exam Tip: अविरतता के सिद्धांत के सूत्र (A x v = नियतांक) और उसके द्रव्यमान संरक्षण से संबंध को स्पष्ट रूप से दर्शाना चाहिए।

 

Question 19. आदर्श द्रव के धारा रेखीय प्रवाह के लिए बरनौली का प्रमेय समीकरण प्रयुक्त चिह्नों का अर्थ। बताते हुए लिखिए।
Answer: बरनौली का समीकरण \( p = \rho v^2 + \rho gh \) नियतांक
जहाँ \( p \) = दाब, \( \rho \) = द्रव का घनत्व, \( v \) = द्रव प्रवाह का वेग, \( g \) = गुरुत्वीय त्वरण, \( h \) = पृथ्वी तल से स्थान की ऊँचाई। इसके अतिरिक्त \( p, \rho v^2 \) तथा \( \rho gh \) क्रमशः दाब ऊर्जा, गतिज ऊर्जा तथा स्थितिज ऊर्जा को व्यक्त करते हैं।

In simple words: बर्नौली का प्रमेय कहता है कि आदर्श द्रव के धारा रेखीय प्रवाह में, किसी बिंदु पर दाब ऊर्जा, गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग हमेशा स्थिर रहता है। यह द्रव के बहाव में ऊर्जा संरक्षण का नियम है।

🎯 Exam Tip: बर्नौली समीकरण के प्रत्येक पद का अर्थ स्पष्ट रूप से बताना और इसे ऊर्जा संरक्षण से जोड़ना महत्वपूर्ण है।

 

Question 20. बरनौली प्रमेय में दाब शीर्ष, वेग शीर्ष तथा गुरुत्वीय शीर्ष के लिए सूत्र लिखिए।
Answer:

In simple words: बर्नौली प्रमेय के विभिन्न भाग, जैसे दाब शीर्ष (\( P/\rho g \)), वेग शीर्ष (\( v^2/2g \)) और गुरुत्वीय शीर्ष (\( h \)) बताते हैं कि द्रव प्रवाह में ऊर्जा को दबाव, गति और ऊंचाई के रूप में कैसे बांटा जाता है।

🎯 Exam Tip: इन तीनों शीर्षों के सूत्रों को सही ढंग से लिखना बर्नौली प्रमेय की गहरी समझ को दर्शाता है।

 

Question 21. एक टंकी की ऊँचाई \( h \) है। टंकी की दीवार में नीचे से \( h \) ऊँचाई पर एक सूक्ष्म छिद्र है। जब टंकी को पानी से पूरा भर लिया जाता है, तो छिद्र से पानी कितने वेग से निकलेगा तथा कितनी क्षैतिज दूरी पर गिरेगा? हल- चित्र 10.6 में A तथा B बिन्दुओं पर बरनौली प्रमेय लगाने पर,
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक टंकी को दर्शाता है जिसकी कुल ऊंचाई \( H \) है। टंकी की दीवार में, पानी के स्वतंत्र तल से \( h \) गहराई पर एक छोटा छिद्र (पॉइंट A) दिखाया गया है, जहां से पानी बाहर निकल रहा है। टंकी के अंदर पानी का स्तर ऊपर (पॉइंट B) दर्शाया गया है। यह बरनौली प्रमेय के अनुप्रयोग को समझाने के लिए एक विशिष्ट स्थिति है।
In simple words: यदि टंकी की ऊंचाई \( H \) हो और छिद्र \( h \) गहराई पर हो, तो पानी के निकलने का वेग टॉरीसेली के प्रमेय के अनुसार \( \sqrt{2gh} \) होगा। क्षैतिज दूरी निकालने के लिए हमें छिद्र की जमीन से ऊंचाई और गिरने के समय का पता होना चाहिए।

🎯 Exam Tip: टॉरीसेली के नियम का उपयोग करके बहिःस्राव वेग की गणना और प्रक्षेप्य गति के सिद्धांतों का उपयोग करके क्षैतिज दूरी की गणना करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 22. क्रिकेट तथा टेनिस के खेल में चक्रण (spin) करती हुई गेंद अपने मार्ग से घूम जाती है, इसकी व्याख्या किस सिद्धान्त या प्रमेय के आधार पर की जा सकती है?
Answer: बरनौली प्रमेय के आधार पर।

In simple words: स्पिन करती गेंद के मामले में, गेंद के घूमने से हवा उसके एक तरफ तेजी से और दूसरी तरफ धीमी गति से चलती है। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, जहां हवा तेज होती है, वहां दबाव कम होता है, और जहां हवा धीमी होती है, वहां दबाव अधिक होता है। इस दबाव के अंतर के कारण गेंद पर एक बल लगता है जो उसे एक घुमावदार रास्ता देता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए बर्नौली के सिद्धांत और मैकग्नस प्रभाव के बीच संबंध को समझना आवश्यक है।

 

Question 23. ऊँचाई के साथ जाने पर वायु के घनत्व पर क्या प्रभाव पड़ता है?
Answer: वायु का घनत्व कम होता जाता है।

In simple words: जैसे-जैसे हम धरती से ऊपर जाते हैं, हवा के अणु कम घने होते जाते हैं। इसका मतलब है कि ऊंचाई बढ़ने पर वायु का घनत्व घटता जाता है।

🎯 Exam Tip: यह एक मौलिक वायुमंडलीय विशेषता है। ऊंचाई के साथ घनत्व में कमी का सीधा संबंध गुरुत्वाकर्षण बल से है।

 

Question 24. लकड़ी के एक पिण्ड का भार \( w \) तथा आयतन \( v \) है। जल पर तैराने पर पिण्ड का भार कितना होगा?
Answer: शून्य।

In simple words: जब लकड़ी का एक टुकड़ा पानी पर तैरता है, तो पानी द्वारा लगाया गया उत्प्लावन बल उसके भार को संतुलित कर देता है। इस संतुलन के कारण, लकड़ी का आभासी भार शून्य हो जाता है।

🎯 Exam Tip: तैरने की स्थिति में, उत्प्लावन बल वस्तु के वास्तविक भार के बराबर होता है, जिसके परिणामस्वरूप आभासी भार शून्य होता है।

 

Question 25. जब गुब्बारा उड़ता हुआ किसी निश्चित ऊँचाई पर पहुँच कर रुक जाता है तो उस स्थान की वायु तथा गुब्बारे में भरी गैस के घनत्व में क्या सम्बन्ध होगा?
Answer: दोनों के घनत्व बराबर होंगे।

In simple words: जब एक गुब्बारा एक निश्चित ऊंचाई पर स्थिर हो जाता है, तो इसका मतलब है कि उस ऊंचाई पर गुब्बारे के अंदर की गैस का घनत्व और आसपास की हवा का घनत्व बराबर हो गया है। तभी गुब्बारा न तो ऊपर जाता है और न ही नीचे आता है।

🎯 Exam Tip: यह स्थिति आर्कमिडीज़ के सिद्धांत और उत्प्लावन बल के संतुलन से संबंधित है। गुब्बारे के स्थिर होने पर अंदर और बाहर के घनत्व की समानता महत्वपूर्ण है।

 

Question 26. सन्तुलित भौतिक तुला के एक पलड़े के नीचे तेजी से हवा चलाने पर तुला के सन्तुलन पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
Answer: पलड़े के नीचे वायु-वेग बढ़ने से दाब कम हो जायेगा। अतः पलड़ा कुछ नीचे झुक जायेगा।

In simple words: बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, जब हवा तेजी से चलती है, तो वहां का दबाव कम हो जाता है। यदि तुला के पलड़े के नीचे हवा चलाई जाए, तो पलड़े के नीचे का दबाव कम हो जाएगा, जबकि ऊपर का दबाव वही रहेगा। इस दबाव के अंतर के कारण पलड़ा नीचे झुक जाएगा।

🎯 Exam Tip: बर्नौली के सिद्धांत का उपयोग करके दाब और वेग के संबंध को स्पष्ट करना महत्वपूर्ण है, जिसके परिणामस्वरूप तुला का संतुलन बिगड़ जाता है।

 

Question 27. गहरा जल सदैव शान्त होता है, कारण बताइए।
Answer: गहरे जल का द्रवस्थैतिक दाब अधिक होता है इसलिए वहाँ जल का वेग कम होगा अर्थात् जल शान्त होगा।

In simple words: गहरे पानी में, पानी के ऊपर पानी का भार बहुत ज्यादा होता है, जिससे नीचे का दबाव अधिक होता है। इस ऊँचे दबाव के कारण पानी की गतिशीलता कम हो जाती है, और इसलिए गहरा पानी शांत रहता है।

🎯 Exam Tip: द्रवस्थैतिक दाब और द्रव के वेग के बीच संबंध को बर्नौली के सिद्धांत के माध्यम से समझाना महत्वपूर्ण है, जो गहरे पानी की शांति को दर्शाता है।

 

Question 28. नदी के किनारे जल का वेग कम तथा बीच में अधिक होता है?
Answer: नदी के किनारे जल का वेग कम तथा बीच में अधिक इसलिए होता है क्योंकि स्थिर पृष्ठ से दूर जाने पर जल की परतों का वेग बढ़ता है।

In simple words: नदी के किनारे पानी की गति धीमी होती है क्योंकि किनारों पर पानी और जमीन के बीच घर्षण होता है। नदी के बीच में, घर्षण कम होता है, जिससे पानी तेजी से बहता है।

🎯 Exam Tip: नदी में पानी के वेग में भिन्नता के लिए श्यानता और घर्षण बलों को मुख्य कारणों के रूप में बताना चाहिए।

 

Question 29. श्यानता गुणांक को परिभाषित कीजिए। इसकी विमा और मात्रक भी लिखिए।
Answer: किसी द्रव का श्यानता गुणांक उस द्रव की एकांक सम्पर्क क्षेत्रफल वाली दो परतों के बीच कार्यरत्। श्यान बल के परिमाण के बराबर होता है, जबकि परतों के मध्य वेग-प्रवणता एकांक होती है। इसका SI मात्रक किग्रा/मी-से तथा विमा \( [ML^{-1}T^{-1}] \) होती है।

In simple words: श्यानता गुणांक किसी द्रव के गाढ़ेपन का माप है, जो यह बताता है कि द्रव कितनी आसानी से बह सकता है। इसका SI मात्रक किग्रा/मी-से है और विमा \( [ML^{-1}T^{-1}] \) होती है।

🎯 Exam Tip: श्यानता गुणांक की सटीक परिभाषा, SI मात्रक और विमीय सूत्र को याद रखना महत्वपूर्ण है।

 

Question 30. जल, वायु, रक्त तथा शहद में कौन सबसे अधिक श्यान होता है तथा कौन सबसे कम?
Answer: शहद, वायु।

In simple words: श्यानता वह गुण है जो तरल के बहाव का प्रतिरोध करता है। शहद सबसे गाढ़ा होता है, इसलिए सबसे अधिक श्यान है, जबकि वायु सबसे हल्का होने के कारण सबसे कम श्यान है।

🎯 Exam Tip: विभिन्न द्रवों की श्यानता के सापेक्ष क्रम को जानना महत्वपूर्ण है। श्यानता प्रतिरोध का एक माप है।

 

Question 31. श्यान बल से सम्बन्धित स्टोक का सूत्र लिखिए।
Answer: श्यान बल \( F = 6\pi \eta r v \).

In simple words: स्टोक्स का नियम बताता है कि एक छोटे, गोल पिंड पर जो किसी तरल में चलता है, उस पर कितना श्यान बल लगता है। यह बल पिंड की त्रिज्या, तरल की श्यानता और पिंड की गति पर निर्भर करता है।

🎯 Exam Tip: स्टोक्स का नियम एक महत्वपूर्ण सूत्र है जो श्यान बल की गणना में प्रयुक्त होता है। सूत्र को सही ढंग से लिखना और उसमें प्रयुक्त प्रतीकों को पहचानना आवश्यक है।

 

Question 32. श्यान व्रव में गिरती हुई गोली की सीमान्त चाल के लिए सूत्र लिखिए।
Answer: सीमान्त चाल जहाँ, \( r \) = गोली की त्रिज्या, \( g \) = गुरुत्वीय त्वरण, \( \sigma \) = श्यान द्रव का घनत्व, \( \rho \) = गोली के पदार्थ का घनत्व, \( \eta \) = द्रव का श्यानता गुणांक

In simple words: जब एक गोली किसी गाढ़े तरल में गिरती है, तो एक निश्चित गति पर पहुंचने के बाद उसकी चाल स्थिर हो जाती है, जिसे सीमान्त चाल कहते हैं। यह चाल गोली की त्रिज्या, उसके घनत्व और तरल की श्यानता पर निर्भर करती है।

🎯 Exam Tip: सीमान्त चाल के सूत्र को सही ढंग से लिखना और उसमें प्रयुक्त सभी प्रतीकों का सही अर्थ बताना महत्वपूर्ण है।

 

Question 33. किसी व्रव का क्रान्तिक वेग किन-किन बातों पर निर्भर करता है?
Answer: द्रव की श्यानता पर, द्रव के घनत्व पर तथा नली की त्रिज्या पर

In simple words: क्रान्तिक वेग वह अधिकतम गति है जिस पर तरल का प्रवाह धारा रेखीय रहता है। यह वेग तरल के गाढ़ेपन, उसके घनत्व और जिस नली में वह बह रहा है उसकी चौड़ाई पर निर्भर करता है।

🎯 Exam Tip: क्रान्तिक वेग को प्रभावित करने वाले तीनों कारकों का सटीक उल्लेख करना आवश्यक है।

 

Question 34. क्या वर्षा की गिरती बूंदों की चाल लगातार बढ़ती जाती है? क्या बड़ी व छोटी बूंदें पृथ्वी पर एक ही चाल से पहुँचती हैं?
Answer: नहीं, वे एक सीमान्त चाल से नीचे गिरती हैं। नहीं, बड़ी बूंद की सीमान्त चाल अधिक होती है।

In simple words: वर्षा की बूंदें लगातार तेज नहीं होतीं, बल्कि एक स्थिर गति (सीमान्त चाल) पर गिरती हैं जब वायु प्रतिरोध उनके भार को संतुलित करता है। बड़ी बूंदों की सीमान्त चाल छोटी बूंदों से अधिक होती है, इसलिए वे पृथ्वी पर अलग-अलग गति से पहुंचती हैं।

🎯 Exam Tip: सीमान्त वेग की अवधारणा को स्पष्ट करें और वर्षा की बूंदों के लिए आकार और वेग के बीच के संबंध को बताएं।

 

Question 35. किसी श्यान द्रव में गिरती हुई गोली का त्वरण शून्य कब होता है?
Answer: जब गोली पर लगने वाला नेट बल शून्य हो।

In simple words: जब एक गोली किसी गाढ़े तरल में गिरती है और उसकी गति इतनी बढ़ जाती है कि तरल का प्रतिरोध (श्यान बल) और ऊपर की ओर का उत्प्लावन बल मिलकर गोली के नीचे की ओर के भार को संतुलित कर देते हैं, तब गोली पर कुल बल शून्य हो जाता है और उसका त्वरण भी शून्य हो जाता है।

🎯 Exam Tip: न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, जब शुद्ध बल शून्य होता है, तो त्वरण शून्य होता है। इसे श्यानता और उत्प्लावन बल के संदर्भ में समझाना चाहिए।

 

Question 36. आकाश में बादल तैरते क्यों दिखाई देते हैं?
Answer: जब जल की वाष्प धूल के कणों पर संघनित्र होती है, तो शुरू में बूंदें बहुत छोटी होती हैं तथा वायु की श्यानता के कारण यह सीमान्त चाल प्राप्त कर लेती हैं तथा नीचे की ओर बहुत धीमी चाल से चलती हैं, क्योंकि यह चाल बूंदों की त्रिज्या जो कि बहुत छोटी है, के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होती है; इन्हें ही बादल कहते हैं तथा ये आकाश में तैरते प्रतीत होते हैं।

In simple words: बादल पानी की बहुत छोटी बूंदों और बर्फ के क्रिस्टल से बने होते हैं जो हवा में तैरते रहते हैं। ये बूंदें इतनी छोटी होती हैं कि उन पर वायु का घर्षण बल (श्यानता) उनके गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित कर देता है, जिससे वे बहुत धीरे-धीरे नीचे गिरती हैं और हवा में तैरती हुई दिखाई देती हैं।

🎯 Exam Tip: बादल के तैरने की व्याख्या करने के लिए श्यानता, सीमान्त वेग और बूंदों के छोटे आकार के महत्व को उजागर करें।

 

Question 37. किसी द्रव के पृष्ठ-तनाव की परिभाषा दीजिए।
Answer: किसी द्रव का पृष्ठ-तनाव वह बल है जो कि द्रव के पृष्ठ पर खींची गई किसी काल्पनिक रेखा की एकांक लम्बाई पर पृष्ठ के तेल में तथा रेखा के लम्बवत् कार्य करता है। इसका S.I. मात्रक न्यूटन/मीटर है।

In simple words: पृष्ठ-तनाव किसी द्रव की सतह का वह गुण है जो उसे सिकुड़ने और न्यूनतम क्षेत्रफल प्राप्त करने की कोशिश करने देता है, जैसे कि सतह पर एक खिंची हुई झिल्ली हो। इसे प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाले बल के रूप में मापा जाता है।

🎯 Exam Tip: पृष्ठ-तनाव की परिभाषा को बल प्रति इकाई लंबाई के रूप में स्पष्ट करें और उसका सही SI मात्रक (न्यूटन/मीटर) बताएं।

 

Question 38. किसी द्रव में बने हुए वायु के बुलबुले के भीतर दाब-आधिक्य का सूत्र लिखिए।
Answer: \( p = \)

In simple words: एक द्रव के अंदर बने वायु के बुलबुले के अंदर का दबाव बाहर के दबाव से थोड़ा अधिक होता है। इस अतिरिक्त दबाव को दाब-आधिक्य कहते हैं और इसका सूत्र \( 2S/R \) होता है, जहाँ \( S \) पृष्ठ-तनाव और \( R \) बुलबुले की त्रिज्या है।

🎯 Exam Tip: द्रव के भीतर वायु बुलबुले के लिए दाब-आधिक्य का सूत्र \( \Delta P = 2S/R \) है।

 

Question 39. पृष्ठ-तनाव की परिभाषा पृष्ठीय ऊर्जा के पदों में दीजिए।
Answer: \( T \) पृष्ठ-तनाव वाले द्रव के पृष्ठीय क्षेत्रफल में \( \Delta A \) की वृद्धि करने में किया गया कार्य अर्थात्। पृष्ठीय ऊर्जा \( w = T \times \Delta A \) अथवा यदि \( \Delta A = 1 \), तो \( W = T \), अतः किसी द्रव का पृष्ठ-तनाव उस कार्य के बराबर होता है जो नियत ताप पर उस द्रव के पृष्ठ के क्षेत्रफल में एकांक वृद्धि कर दे। अतः पृष्ठ-तनाव का मात्रक जूल/मी² भी लिखा जा सकता है।

In simple words: पृष्ठ-तनाव को पृष्ठीय ऊर्जा के रूप में भी समझा जा सकता है। यह द्रव की सतह के क्षेत्रफल को एक इकाई बढ़ाने के लिए किए गए कार्य के बराबर होता है।

🎯 Exam Tip: पृष्ठ-तनाव को ऊर्जा प्रति इकाई क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित करना और उसका मात्रक (जूल/मी²) बताना महत्वपूर्ण है।

 

Question 40. गर्म सूप ठण्डे सूप की अपेक्षा अधिक स्वादिष्ट लगता है। क्यों?
Answer: ठण्डे सूप की अपेक्षा गर्म सूप का पृष्ठ-तनाव कम होता है। अतः गर्म सूप ठण्डे सूप की अपेक्षा जीभ का अधिक क्षेत्रफल घेरता है जिससे कि वह ठण्डे सूप की तुलना में अधिक स्वादिष्ट लगता है।

In simple words: गर्म सूप का पृष्ठ-तनाव ठंडा सूप की तुलना में कम होता है। कम पृष्ठ-तनाव के कारण गर्म सूप जीभ पर आसानी से फैल जाता है, जिससे स्वाद ग्रंथियों के साथ अधिक संपर्क होता है और वह अधिक स्वादिष्ट महसूस होता है।

🎯 Exam Tip: तापमान बढ़ने पर पृष्ठ-तनाव कम होने के सिद्धांत को स्पष्ट रूप से जोड़ना चाहिए।

 

Question 41. पृष्ठ ऊर्जा में क्या परिवर्तन होगा, यदि जल की एक बड़ी बूंद को अनेक छोटी-छोटी बूंदों में विभक्त किया जाये?
Answer: पृष्ठ ऊर्जा बढ़ जाएगी।

In simple words: जब एक बड़ी बूंद को कई छोटी बूंदों में तोड़ा जाता है, तो कुल सतह का क्षेत्रफल बढ़ जाता है। चूँकि पृष्ठ-ऊर्जा सतह के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है, इसलिए कुल पृष्ठ ऊर्जा बढ़ जाती है।

🎯 Exam Tip: पृष्ठ-ऊर्जा और सतह क्षेत्रफल के बीच सीधा संबंध समझाना महत्वपूर्ण है।

 

Question 42. किसी केशिका नली में जल के उन्नयन का सूत्र लिखिए।
Answer: \( h = 2T \cos \theta / rpg \).

In simple words: केशिका नली में तरल के ऊपर चढ़ने या नीचे उतरने की ऊंचाई का सूत्र तरल के पृष्ठ-तनाव, स्पर्श कोण, नली की त्रिज्या और तरल के घनत्व पर निर्भर करता है।

🎯 Exam Tip: केशिका उन्नयन या अवनमन के सूत्र को सही ढंग से लिखना और उसमें प्रयुक्त प्रतीकों को पहचानना महत्वपूर्ण है।

 

Question 43. दो साबुन के बुलबुलों की त्रिज्याओं का अनुपात 1:4 है। उनके आधिक्य दाबों का अनुपात क्या होगा?
Answer: \( p \propto 1/R \implies P_1: P_2 = R_2: R_1 = 4:1 \)

In simple words: साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव उसकी त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इसका मतलब है कि जितनी छोटी त्रिज्या होगी, उतना ही अधिक अतिरिक्त दबाव होगा।

🎯 Exam Tip: बुलबुले के दाब-आधिक्य (\( \Delta P \)) और त्रिज्या (\( R \)) के बीच व्युत्क्रमानुपाती संबंध (\( \Delta P \propto 1/R \)) का उपयोग करें।

 

Question 44. द्रव की छोटी बूंदें लगभग गोल आकार क्यों धारण कर लेती हैं? समझाइए।
Answer: पृष्ठ-तनाव के कारण द्रव का स्वतन्त्र तल सिकुड़कर न्यूनतम क्षेत्रफल ग्रहण करने की प्रवृत्ति रखता है। चूंकि किसी दिये हुए आयतन के लिए गोले के पृष्ठ का क्षेत्रफल (surface area) न्यूनतम (minimum) होता है। इसलिए द्रव की छोटी बूंदें लगभग गोल आकार धारण कर लेती हैं।

In simple words: द्रव में पृष्ठ-तनाव के कारण उसकी सतह हमेशा कम से कम क्षेत्रफल घेरने की कोशिश करती है। दिए गए आयतन के लिए, गोलाकार आकृति का सतह क्षेत्रफल सबसे कम होता है। इसलिए, द्रव की छोटी बूंदें गोलाकार रूप ले लेती हैं।

🎯 Exam Tip: पृष्ठ-तनाव और न्यूनतम सतह क्षेत्रफल के सिद्धांत को स्पष्ट रूप से जोड़ना महत्वपूर्ण है।

 

Question 44. साबुन के घोल का पृष्ठ-तनाव \( 30 \times 10^{-2} \) न्यूटन/मी है। इसका क्या अर्थ है?
Answer: इसका अर्थ है कि साबुन के घोल के पृष्ठ पर खींची गयी काल्पनिक रेखा की एक मीटर लम्बाई पर इसके लम्बवत् \( 3.0 \times 10^{-2} \) न्यूटन स्पर्शरेखीय बल कार्य करेगा।

In simple words: साबुन के घोल का पृष्ठ-तनाव \( 30 \times 10^{-2} \) न्यूटन/मी होने का मतलब है कि उसकी सतह पर एक मीटर की काल्पनिक रेखा पर लंबवत दिशा में \( 0.30 \) न्यूटन का बल लगेगा, जो सतह को सिकोड़ने की कोशिश करेगा।

🎯 Exam Tip: पृष्ठ-तनाव की संख्यात्मक मान का भौतिक अर्थ स्पष्ट करना चाहिए, यानी बल प्रति इकाई लंबाई।

 

Question 46. स्पर्श कोण क्या है?
Answer: “द्रव व ठोस के स्पर्श बिन्दु से द्रव के पृष्ठ पर खींची गयी स्पर्श रेखा तथा ठोस के पृष्ठ पर द्रव के अन्दर की ओर खींची गयी स्पर्श रेखा के बीच बने कोण को उस ठोस व द्रव के लिए स्पर्श कोण कहते हैं।”
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक ठोस सतह पर रखी द्रव की बूंद को दर्शाता है, जहाँ द्रव की सतह ठोस को छूती है। स्पर्श बिंदु पर, द्रव की सतह के स्पर्शक और ठोस सतह के बीच एक कोण \( \theta \) दिखाया गया है, जिसे स्पर्श कोण कहते हैं। यह कोण बताता है कि द्रव ठोस सतह को कितना गीला करता है या नहीं करता है।
In simple words: स्पर्श कोण वह कोण है जो किसी द्रव की सतह ठोस वस्तु को छूने वाले बिंदु पर बनाती है। यह कोण बताता है कि द्रव उस ठोस सतह को कितना गीला करेगा या नहीं।

🎯 Exam Tip: स्पर्श कोण की परिभाषा को स्पष्ट और सटीक रूप से समझाएं। चित्र संदर्भ में, कोण के स्थान को सही ढंग से बताना चाहिए।

 

Question 47. खेत की जुताई करने से उसकी नमी रुकती है। भौतिक सिद्धान्त की सहायता से व्याख्या कीजिए।
Answer: फसल में पानी देने के बाद गुड़ाई कर दी जाती है और वर्षा के बाद किसान खेत की जुताई कर देता है। पानी देने के बाद मिट्टी में केशिकाएँ बन जाती हैं जिनमें पानी का वाष्पीकरण होता रहता है परन्तु गुड़ाई या जुताई करने के बाद ये केशिका नलियाँ टूट जाती हैं जिससे पानी का वाष्पीकरण हो पाता है। अतः मिट्टी में नमी बनी रहती है।

In simple words: खेत की जुताई करने से मिट्टी में बनी बारीक केशिका नलियाँ टूट जाती हैं। इन नलिकाओं के टूटने से पानी केशिका क्रिया द्वारा ऊपर नहीं चढ़ पाता और वाष्पीकृत नहीं हो पाता, जिससे मिट्टी में नमी बनी रहती है।

🎯 Exam Tip: केशिका क्रिया और वाष्पीकरण के बीच संबंध को स्पष्ट करें। जुताई का प्रभाव केशिका नलिकाओं को तोड़ना है, जिससे नमी का संरक्षण होता है।

 

Question 48. लोहे का घनत्व जल की अपेक्षा अधिक होता है, फिर भी लोहे की। पतली सूई जल पर तैर सकती है। क्यों?
Answer: एक स्वच्छ पतली सूई को स्याही सोखते पर रखकर धीरे से पानी की सतह पर रखते हैं। सोखता कुछ देर तक पानी को सोखकर गीला होता रहता है। और अन्त में डूब जाता है, परन्तु सुई पानी पर तैरती रहती है। इसका कारण जल का पृष्ठ-तनाव ही है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक पतली लोहे की सूई को पानी की सतह पर तैरता हुआ दिखाता है। सूई की निचली सतह पर पानी की सतह थोड़ी मुड़ जाती है, जिससे पृष्ठ-तनाव बल सूई को ऊपर की ओर खींचता है। इस चित्र में सूई के ऊपर और नीचे लगने वाले बल, जैसे पृष्ठ-तनाव बल \( T \) और सूई का भार \( W \) को दर्शाया गया है, जो संतुलन में हैं। जल के पृष्ठ पर तैरती हुई सूई पर दो बल लगते (i) पृष्ठ-तनाव बल \( T \), (ii) सूई का भार \( W \)। पृष्ठ-तनाव का परिणामी बल। ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर लगता है जो सूई के भार \( W \) को सन्तुलित करता है। फलस्वरूप सूई तैरती है।

In simple words: लोहे की सुई पानी पर तैर पाती है क्योंकि पानी का पृष्ठ-तनाव एक बल पैदा करता है जो सुई को ऊपर की ओर खींचता है। यह पृष्ठ-तनाव बल सुई के भार को संतुलित कर देता है, जिससे सुई डूबती नहीं है।

🎯 Exam Tip: इस घटना की व्याख्या के लिए पृष्ठ-तनाव के बल की भूमिका और उसके सूई के भार को संतुलित करने की क्षमता को स्पष्ट करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 49. समुद्र की लहरों को शान्त करने के लिए लहरों पर तेल डाल देते हैं; क्यों?
Answer: तेल डाल देने पर, तेज हवा तेल को जल के पृष्ठ पर हवा की दिशा में दूर तक फैला देती है। बिना तेल वाले जल का पृष्ठ तनाव तेल वाले जल से अधिक होता है। अतः बिना तेल वाला जल तेल वाले जल। को वायु की विपरीत दिशा में खींचता है जिससे की लहरें शान्त हो जाती हैं।

In simple words: जब समुद्र की लहरों पर तेल डाला जाता है, तो तेल पानी के पृष्ठ-तनाव को कम कर देता है। कम पृष्ठ-तनाव वाली सतह पर हवा का प्रभाव कम होता है, जिससे लहरें शांत हो जाती हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रभाव की व्याख्या के लिए पृष्ठ-तनाव में कमी और हवा के प्रभाव पर उसके परिणाम को जोड़ना महत्वपूर्ण है।

 

Question 50. पृष्ठ-तनाव पर किन बातों का प्रभाव पड़ता है?
Answer: पृष्ठ-तनाव पर निम्नलिखित बातों को प्रभाव पड़ता है
1. ताप का प्रभाव Effect of temperature ताप बढ़ने से संसंजक बल का मान घट जाता है। जिसके फलस्वरूप पृष्ठ-तनाव घट जाता है। क्रान्तिक ताप पर पृष्ठ-तनाव शून्य होता है।
2. संदूषण का प्रभाव Effect of contamination यदि द्रव के तल पर धूल, कोई चिकनाई; जैसे- ग्रीस या तेल हो, तो इससे द्रव का पृष्ठ-तनाव घट जाता है।
3. विलेय का प्रभाव Effect of solute प्रयोगों से ज्ञात होता है कि जल का पृष्ठ तनाव उसमें घोले गये पदार्थ व उसकी घुलनशीलता पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, जल में नमक घोलने पर जल का पृष्ठ-तनाव बढ़ जाता है। इसके विपरीत जल में साबुन घोलने पर जल को पृष्ठ-तनाव घट जाता

In simple words: पृष्ठ-तनाव कई कारकों से प्रभावित होता है: तापमान बढ़ने पर यह घटता है, सतह पर गंदगी या अशुद्धियां होने पर भी यह घटता है, और कुछ घुले हुए पदार्थ इसे बढ़ा सकते हैं जबकि अन्य घटा सकते हैं (जैसे नमक बढ़ाता है और साबुन घटाता है)।

🎯 Exam Tip: पृष्ठ-तनाव को प्रभावित करने वाले मुख्य कारकों - तापमान, संदूषण और विलेय के प्रभाव - का उल्लेख करना और उनके प्रभावों को संक्षेप में समझाना महत्वपूर्ण है।

लघु उत्तरीय प्रश्न

 

Question 1. द्रव दाब के नियम लिखिए।
Answer: द्रव दाब के नियम-ये नियम निम्नलिखित हैं
1. किसी द्रव के भीतर एक ही क्षैतिज तल में स्थित सभी बिन्दुओं पर दाब समान होता है।
2. द्रव से भरे बीकर में डूबे पिण्ड अथवा उसकी दीवारों पर द्रव द्वारा आरोपित दाब पिण्ड के पृष्ठ के प्रत्येक बिन्दु के लम्बवत् कार्य करता है।
3. स्थिर द्रव के भीतर किसी बिन्दु पर दाब द्रव के मुक्त पृष्ठ से उस बिन्दु की गहराई के अनुक्रमानुपाती है।
4. किसी द्रव का दाब उसके घनत्व के अनुक्रमानुपीती होता है।
5. द्रव दाब बीकर के क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करता। अतः दाब परिकलन के लिए द्रव के स्तम्भ की। ऊँचाई व घनत्व महत्त्वपूर्ण हैं। पात्र की आकृति व आधार का अनुप्रस्थ-काट द्रव दाब की गणना में महत्त्व नहीं रखता है।

In simple words: द्रव दाब के नियम बताते हैं कि द्रव में समान गहराई पर दाब समान होता है, दाब हमेशा सतह के लंबवत लगता है, और दाब गहराई व घनत्व पर निर्भर करता है, न कि बर्तन के आकार पर।

🎯 Exam Tip: द्रव दाब के इन मौलिक नियमों को याद रखना और उन्हें स्पष्ट रूप से व्यक्त करना महत्वपूर्ण है। प्रत्येक नियम को संक्षिप्त और सटीक रखें।

 

Question 2. एक द्रव स्तम्भ द्वारा उत्पन्न दाब का व्यंजक प्राप्त कीजिए। या तरल स्तम्भ के कारण दाबे का व्यंजक प्राप्त कीजिए।
Answer: तरल स्तम्भ के कारण दाब Pressure due to fluid column- द्रव के भीतर स्थित किसी बिन्दु पर दाब माना कि किसी द्रव में उसके स्वतंत्र तल से \( h \) गहराई पर कोई बिन्दु B स्थित है, जहाँ पर हमें द्रव के दाब का मान ज्ञात करना है। बिन्दु B को केन्द्र मानकर कोई वृत्त खींचो। माना कि इस वृत्त का क्षेत्रफल \( A \) है। इस क्षेत्रफल पर द्रव द्वारा आरोपित बल, इस पर खड़े \( h \) ऊँचाई के बेलनाकार द्रव स्तम्भ के भार के बराबर होगा।
अब द्रव स्तम्भ का आयतन \( V = \) क्षेत्रफल \( \times \) ऊँचाई \( = A \times h \)
यदि द्रव का घनत्व \( \rho \) हो, तो द्रव स्तम्भ का द्रव्यमान
\( m = V \times \rho = A \times h \times \rho \)
तथा द्रव का स्तम्भ का भार \( W = mg = Ah\rho g \)
जहाँ \( g \) गुरुत्वीय त्वरण है।
यह लम्बवत् भार (बल) \( w \) बिन्दु B के चारों ओर \( A \) क्षेत्रफल पर आरोपित रहता है। अतः बिन्दु B पर द्रव का दाब

In simple words: एक द्रव स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव उसकी ऊंचाई, तरल के घनत्व और गुरुत्वाकर्षण के कारण होता है। इसका सूत्र \( P = h\rho g \) है, जहां \( h \) ऊंचाई, \( \rho \) घनत्व और \( g \) गुरुत्वाकर्षण त्वरण है।

🎯 Exam Tip: द्रव दाब के व्यंजक \( P = h\rho g \) को प्राप्त करने की विधि को चरण-दर-चरण समझाएं और उसमें प्रयुक्त प्रतीकों का अर्थ स्पष्ट करें।

 

अतः द्रव के अन्दर किसी बिन्दु पर द्रव के कारण दाब द्रव की सतह से उस बिन्दु तक की गहराई, द्रव के घनत्व तथा गुरुत्वीय त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है। अतः उपर्युक्त सूत्र किसी तरल (द्रव अथवा गैस) के \( h \) ऊँचाई के स्तम्भ के कारण दाब का सूत्र है। इस सूत्र में एक ही द्रव के लिए \( \rho \) नियत तथा स्थान विशेष के लिए \( g \) नियत होता है अत: \( P \propto h \). अतः दिए गये द्रव के अन्दर किसी बिन्दु पर दांब, द्रव के स्वतन्त्र तल से उस बिन्दु की गहराई के अनुक्रमानुपाती होता है। यह उस बर्तन के आकार अथवा आकृति पर निर्भर नहीं करता जिसमें द्रव रखा जाता है।

In simple words: द्रव के अंदर किसी बिंदु पर दबाव उसकी गहराई, घनत्व और गुरुत्वाकर्षण के गुणनफल के बराबर होता है, यानी \( P = h \rho g \)। यह सूत्र किसी भी तरल पदार्थ (द्रव या गैस) के लिए लागू होता है और बताता है कि दबाव केवल गहराई पर निर्भर करता है, न कि बर्तन के आकार पर।

🎯 Exam Tip: द्रव के अंदर दाब के सूत्र \( P = h\rho g \) को याद रखना महत्वपूर्ण है, और यह समझना भी कि दाब बर्तन के आकार पर निर्भर नहीं करता।

 

Question 3. आर्किमीडिज का सिद्धान्त लिखिए।
Answer: आर्किमीडिज का सिद्धान्त-इसके अनुसार, “जब कोई वस्तु किसी द्रव में पूरी अथवा आंशिक रूप से डुबोई जाती है तो उसके भार में कमी प्रतीत होती है। भार में यह आभासी कमी उस वस्तु द्वारा हटाये गये द्रव के भार के बराबर होती है।” माना किसी वस्तु का वायु में भार \( W_1 \), तथा द्रव में डुबोने पर वस्तु का भार \( W_2 \) है; अतः द्रव में डूबने से वस्तु के भार में आभासी कमी \( = W_1 - W_2 \), यदि वस्तु के द्रव में डूबे भाग का आयतन \( V \) हो तो इसके द्वारा हटाये गये द्रव का आयतन भी \( V \) ही होगा। यदि द्रव का घनत्व \( d \) हो तो। वस्तु. द्वारा हटाये गये द्रव का द्रव्यमान \( = V \times d \) हटाये गये द्रव का भार \( = V \times d \times g \) अतः आर्किमिडीज के सिद्धान्त से, वस्तु के भार में कमी \( (W_1 - W_2) = Vxdxg \)

In simple words: आर्किमिडीज का सिद्धांत कहता है कि जब किसी वस्तु को तरल में डुबोया जाता है, तो उस पर ऊपर की ओर एक बल लगता है जो वस्तु द्वारा हटाए गए तरल के भार के बराबर होता है। इस बल के कारण वस्तु हल्की महसूस होती है।

🎯 Exam Tip: आर्किमिडीज के सिद्धांत को स्पष्ट और सटीक रूप से बताएं। भार में कमी और विस्थापित द्रव के भार के बीच संबंध को उजागर करें।

 

Question 4. उत्प्लावन (उत्क्षेप) से क्या तात्पर्य है? उत्प्लावन का सूत्र प्राप्त कीजिए।
Answer: उत्प्लावन बल अथवा उत्क्षेप तथा उत्प्लावन केन्द्र प्रत्येक द्रव अपने अन्दर पूर्ण अथवा आंशिक रूप से डूबी वस्तु पर ऊपर की ओर एक बल लगाता है। इस बल को उत्प्लावन बल अथवा. उत्क्षेप कहते हैं। किसी वस्तु पर द्रव का उत्क्षेप वस्तु द्वारा हटाए गए भार के बराबर होता है। यह बल वस्तु द्वारा हटाए गए द्रव के गुरुत्व केन्द्र पर कार्य करता है, इसे उत्प्लावन केन्द्र कहते हैं। उत्प्लावन बल के कारण ही द्रव में डूबी वस्तुएँ अपने वास्तविक भार से हल्की लगती हैं। यदि \( \rho \) घनत्व वाले किसी द्रव में किसी वस्तु का \( V \) आयतन डूबा है तो वस्तु पर द्रव का उत्क्षेप \( = \) हटाए गए द्रव का भार \( = \) वस्तु का डूबा हुआ आयतन \( \times \) द्रव का घनत्व \( \times g = V\rho g \)

In simple words: उत्प्लावन बल वह ऊपर की ओर लगने वाला बल है जो किसी तरल में डूबी हुई वस्तु पर लगता है, जिससे वस्तु हल्की महसूस होती है। इस बल का मान वस्तु द्वारा हटाए गए तरल के भार के बराबर होता है, जिसका सूत्र \( V\rho g \) है।

🎯 Exam Tip: उत्प्लावन बल की परिभाषा को स्पष्ट करें और उसके सूत्र \( F_B = V\rho g \) को सही ढंग से प्राप्त करें, जहाँ \( V \) विस्थापित द्रव का आयतन, \( \rho \) द्रव का घनत्व और \( g \) गुरुत्वीय त्वरण है।

 

Question 5. प्लवन या तैरने का नियम लिखिए।
Answer: तैरने का नियम-जब कोई वस्तु किसी द्रव में आंशिक या पूर्ण रूप से डूबी या तैरती है तो वस्तु का कुल भार डूबे हुए भाग द्वारा हटाये गये द्रव के भार के बराबर होता है।

In simple words: तैरने का नियम कहता है कि कोई वस्तु तरल पर तभी तैरती है जब उसके कुल भार को उसके द्वारा हटाए गए तरल के भार से संतुलित किया जाए।

🎯 Exam Tip: प्लवन के सिद्धांत को स्पष्ट करें कि तैरने के लिए वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होना चाहिए।

 

Question 6. भारी वाहनों के पहियों के टायर काफी चौड़े क्यों बनाये जाते हैं?
Answer: भारी वाहनों के पहियों के टायर चौड़े होने से (क्षेत्रफल \( A \) अधिक है) सड़क अथवा जमीन पर लगने वाला दाब \( (P = F / A) \) कम हो जाता है, क्योंकि वाहन का भार अधिक क्षेत्रफल पर लगता है, इसीलिए वाहन के पहिये सड़क में धंसने से बच जाते हैं।

In simple words: भारी वाहनों के टायर चौड़े इसलिए बनाए जाते हैं ताकि वाहन का भार अधिक क्षेत्रफल पर फैले। इससे जमीन पर लगने वाला दबाव कम हो जाता है, और टायर जमीन में धंसते नहीं हैं, जिससे वाहन आसानी से चल पाता है।

🎯 Exam Tip: दाब (\( P = F/A \)) के सिद्धांत को लागू करके स्पष्ट करें कि क्षेत्रफल बढ़ने से दाब कम होता है, जो भारी वाहनों के लिए आवश्यक है।

 

Question 7. ऊँट रेगिस्तान में आसानी से क्यों चल लेता है?
Answer: सूत्र दाब \( = \) बल/क्षेत्रफल से, ऊँट के पैर चौड़े होने के कारण इनका क्षेत्रफल अधिक होता है, अतः पृथ्वी पर दाब कम लगता है। इस कारण पैरों के नीचे की पृथ्वी धंसती नहीं है, अतः ऊँट रेगिस्तान में आसानी से चल लेता है।

In simple words: ऊँट के पैर चौड़े होते हैं, जिससे उनका सतह क्षेत्रफल बढ़ जाता है। दाब (\( P = F/A \)) के सिद्धांत के अनुसार, अधिक क्षेत्रफल पर लगने से दाब कम होता है, इसलिए ऊँट के पैर रेगिस्तान की रेत में कम धंसते हैं और वह आसानी से चल पाता है।

🎯 Exam Tip: दाब (\( P = F/A \)) के सिद्धांत का उपयोग करके पैर के क्षेत्रफल और रेत पर पड़ने वाले दाब के बीच के संबंध को स्पष्ट करें।

 

Question 8. रेलगाड़ी की पटरियों के नीचे लकड़ी या लोहे के चौड़े स्लीपर क्यों लगाये जाते हैं?
Answer: यदि पटरियों के नीचे चौड़े स्लीपर न लगाये जायें तो पटरियाँ अधिक दबाव के कारण जमीन में धंस सकती हैं। पटरियों के नीचे स्लीपर लगाने से क्षेत्रफल अधिक हो जाता है जिसके कारण दाब कम पड़ता है और पटरी जमीन में नहीं धंसती।

In simple words: रेलगाड़ी की पटरियों के नीचे चौड़े स्लीपर इसलिए लगाए जाते हैं ताकि ट्रेन का भारी वजन एक बड़े क्षेत्रफल पर फैले। इससे जमीन पर लगने वाला दबाव कम हो जाता है और पटरियाँ जमीन में धंसती नहीं हैं, जिससे ट्रैक स्थिर रहता है।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न दाब के अनुप्रयोग से संबंधित है। स्लीपरों द्वारा क्षेत्रफल बढ़ाकर दाब कम करने के सिद्धांत को बताएं, जो पटरियों को धंसने से बचाता है।

 

Question 9. लोहे से बना जहाज समुद्र में तैरता है, परन्तु लोहे का ठोस टुकड़ा (कील) डूब जाता है, क्यों? सम्बन्धित नियम देते हुए कथन की व्याख्या कीजिए।
Answer: लोहे की कील की बनावट इस प्रकार की होती है कि उसका भार, उसके द्वारा हटाये गये जल के भार से बहुत अधिक होता है। इसी कारण वह जल में डूब जाती है। इसके विपरीत, लोहे का जहाज तैरता रहता है। इसका कारण यह है कि जहाज का ढाँचा अवतल होता है तथा अन्दर से खोखला बनाया जाता है। जैसे ही जहाज समुद्र में प्रवेश करता है तो उसके द्वारा (उसकी बनावट के कारण) इतना जल हटा दिया जाता है कि उसके द्वारा हटाये गये जल का भार, जहाज (जहाज व उसके समस्त समान सहित) के कुल भार के बराबर हो जाता है। इसी कारण पास्कल के सिद्धान्त के अनुसार, जहाज तैरता रहता है।

In simple words: लोहे की कील डूब जाती है क्योंकि उसका घनत्व पानी से अधिक होता है और वह अपने भार के बराबर पानी नहीं हटा पाती। वहीं, जहाज को खोखला और बड़ा बनाया जाता है ताकि वह अपने भार के बराबर या उससे अधिक पानी हटा सके, जिससे उस पर लगने वाला उत्प्लावन बल उसके कुल भार को संतुलित कर देता है और वह तैरता रहता है।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न आर्किमिडीज के सिद्धांत और औसत घनत्व की अवधारणा को जोड़ता है। जहाज और कील के मामलों में विस्थापित जल के भार के अंतर को स्पष्ट करें।

 

Question 10. हिमखण्ड जल पर क्यों तैरता है?
Answer: हिमखण्ड का घनत्व, जल के घनत्व से कम होता है, जिससे हिमखण्ड के आयतन के बराबर जल का उत्क्षेप-बल हिमखण्ड के भार से अधिक हो जाता है और हिमखण्ड जल पर तैरता रहता है। तैरते समय हिमखण्ड का केवल उतना आयतन ही जल में डूबता है, जितने आयतन के द्वारा हटाये गये जल का भार हिमखण्ड के भार के बराबर होता है।

In simple words: हिमखण्ड का घनत्व पानी से कम होता है, इसलिए जब वह पानी में होता है, तो उसके द्वारा हटाए गए पानी का भार हिमखण्ड के भार से अधिक होता है। इस अधिक उत्प्लावन बल के कारण हिमखण्ड पानी पर तैरता रहता है।

🎯 Exam Tip: हिमखण्ड के घनत्व और जल के घनत्व के बीच के अंतर को स्पष्ट करें, जो उत्प्लावन बल के कारण तैरने की स्थिति बनाता है।

 

Question 11. \( 0.02 \) मी² तथा \( 0.04 \) मी² परिच्छेद क्षेत्रफल के दो क्षैतिज पाइप एक-दूसरे से जुड़े हैं, जिसमें जल बह रहा है। पहले पाइप में जल की चाल \( 16 \) मी/से तथा दाब \( 2.0 \times 10^4 \) न्यूटन/मी² है। दूसरें पाइप में जल की चाल तथा दाब की गणना कीजिए।
Answer: हल-
दिया है, पहले पाइप के परिच्छेद का क्षेत्रफल \( (A_1) = 0.02 \) मी²
दूसरे पाइप के परिच्छेद का क्षेत्रफल \( (A_2) = 0.04 \) मी²
पहले पाइप में जल की चाल \( (v_1) = 16 \) मी/से
पहले पाइप में जल का दाब \( (p_1) = 2 \times 10^4 \) न्यूटन/मी²
अविरतता के सिद्धान्त से, \( A_1v_1 = A_2v_2 \)

In simple words: अविरतता के सिद्धांत का उपयोग करके, हम दूसरे पाइप में पानी की गति ज्ञात कर सकते हैं क्योंकि पाइप का क्षेत्रफल बदल रहा है। फिर, बर्नौली के सिद्धांत का उपयोग करके, हम दूसरे पाइप में दबाव की गणना कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: अविरतता के सिद्धांत (\( A_1v_1 = A_2v_2 \)) और बर्नौली के प्रमेय का उपयोग करके वेग और दाब की गणना करें। सही इकाइयों और गणना चरणों का पालन करें।

 

Question 12. असमान परिच्छेद की एक बेलनाकार पाइप में जल प्रवाहित हो रहा है। एक स्थान पर नली की त्रिज्या \( 0.3 \) मी है तथा जल का वेग \( 1.0 \) मी/से है। दूसरे स्थान पर जहाँ नली की त्रिज्या \( 0.15 \) मी है, वहाँ पर जल के वेग की गणना कीजिए।
Answer: हल-
यहाँ, नली के पहले स्थान की त्रिज्या \( (r_1) = 0.3 \) मी, नली के दूसरे स्थान की त्रिज्या \( (r_2) = 0.15 \) मी
नली के पहले स्थान पर जल का वेग \( (v_1) = 1.0 \) मी/से
नली के दूसरे स्थान पर जल का वेग \( (v_2)) = ? \)
अविरतता के सिद्धान्त से,
अतः जल का वेग \( = 4 \) मी/से है।

In simple words: अविरतता का सिद्धांत बताता है कि जब पानी एक असमान व्यास वाले पाइप में बहता है, तो जहां पाइप पतला होता है वहां पानी तेजी से बहता है और जहां चौड़ा होता है वहां धीमा। इस सिद्धांत का उपयोग करके, हम त्रिज्या में बदलाव के आधार पर वेग में परिवर्तन की गणना कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: अविरतता के सिद्धांत (\( A_1v_1 = A_2v_2 \)) का उपयोग करें, जहाँ \( A = \pi r^2 \) है, और वेग की गणना के लिए त्रिज्या मानों को सही ढंग से लागू करें।

 

Question 13. हवाई जहाज में पंखों के सामने के किनारे गोलाई में तथा पीछे के किनारे चपटे क्यों होते हैं?
Answer: हवाई जहाज के पंख की आकृति इस प्रकार रखी जाती है कि उसकी ऊपरी सतह की वक्रता निचली सतह की वक्रता से अधिक होती है। तथा, सामने का किनारा गोल तथा पीछे का किनारा चपटा रखा जाता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक हवाई जहाज के पंख के वायुगतिकीय आकार को दर्शाता है। पंख की ऊपरी सतह घुमावदार है और निचली सतह अपेक्षाकृत सीधी है। वायु पंख के ऊपर अधिक दूरी तय करती है, जिससे वहां वेग बढ़ता है और दाब घटता है। पंख के नीचे वायु कम दूरी तय करती है, जिससे वेग कम होता है और दाब बढ़ता है। यह दाब अंतर (ऊपर कम, नीचे अधिक) पंख पर ऊपर की ओर एक उत्थापक बल उत्पन्न करता है। जब हवाई जहाज दौड़ लगाता है तब पंख के ऊपुर तथा नीचे से होकर वायु की धारा बहती है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक हवाई जहाज के पंख के वायुगतिकीय आकार को दर्शाता है। पंख की ऊपरी सतह घुमावदार है और निचली सतह अपेक्षाकृत सीधी है। वायु पंख के ऊपर अधिक दूरी तय करती है, जिससे वहां वेग बढ़ता है और दाब घटता है। पंख के नीचे वायु कम दूरी तय करती है, जिससे वेग कम होता है और दाब बढ़ता है। यह दाब अंतर (ऊपर कम, नीचे अधिक) पंख पर ऊपर की ओर एक उत्थापक बल उत्पन्न करता है। से स्पष्ट है कि पंख के ऊपर का पृष्ठ कुछ उभरा तथा। नीचे का पृष्ठ सीधा है। अतः वायु को पंख के ऊपर, नीचे की अपेक्षा अधिक दूरी तय करनी पड़ती है, फलतः वायु की धारा का वेग ऊपरी पृष्ठ पर अधिक तथा निचले पृष्ठ पर कम होता है। इस कारण ऊपरी पृष्ठ पर कम दाब तथा निचले पृष्ठ पर अधिक दाब कार्य करता है तथा वायुयान के पंख पर इन दोनों दाबों के अन्तर \( (P_2 - P_1) \) के बराबर एक प्रणोद (thrust) \( L \) कार्य करता है तथा पंख ऊपर को उठने लगता है।

In simple words: हवाई जहाज के पंख का आकार ऐसा बनाया जाता है कि हवा पंख के ऊपर से नीचे की तुलना में तेजी से बहे। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, तेज हवा वाले हिस्से में दबाव कम होता है, जिससे पंख पर एक ऊपर की ओर बल (उत्थापक बल) लगता है जो जहाज को ऊपर उठाता है।

🎯 Exam Tip: बर्नौली के सिद्धांत का उपयोग करके पंखों के आकार और उत्थापक बल के उत्पादन के बीच संबंध को स्पष्ट करें। वेग और दाब के अंतर की भूमिका को उजागर करें।

 

Question 14. श्यानता-गुणांक की परिभाषा दीजिए। इसका विमीय सूत्र तथा M.K.S. मात्रक लिखिए। या श्यानता-गुणांक की परिभाषा दीजिए।
Answer: श्यानता-गुणांक-धारा-रेखीय प्रवाह के लिए द्रव की किन्हीं दो पर्तों के मध्य लगने वाला श्यान-बल निम्नलिखित बातों पर निर्भर करता है–
1. यह पर्तों के सम्पर्क क्षेत्रफल \( (A) \) के अनुक्रमानुपाती होता है, अर्थात्। \( F \propto A \)
2. यह पर्यो के बीच की वेग-प्रवणत \( \Delta v_x/\Delta y \) के अनुक्रमानुपाती होता है, अर्थात्

In simple words: श्यानता गुणांक किसी द्रव के गाढ़ेपन का माप है, जो यह बताता है कि द्रव कितनी आसानी से बह सकता है। इसका SI मात्रक किग्रा/मीटर-सेकण्ड है और विमा \( [ML^{-1}T^{-1}] \) होती है।

🎯 Exam Tip: श्यानता गुणांक की परिभाषा, इसे प्रभावित करने वाले कारक, SI मात्रक और विमीय सूत्र को स्पष्ट और सटीक रूप से बताएं।

 

जहाँ \( \eta \) (ईटा) एक नियतांक है, जिसे द्रव का श्यानता-गुणांक (coefficient of viscosity) कहते हैं। यदि \( A = 1 \) तथा \( \Delta v_x/\Delta y = 1 \) हो, तो \( \eta = \pm F \), अर्थात् किसी द्रव का श्यानता-गुणांक उस श्यान बल के बराबर है जो एकांक क्षेत्रफल वाली पर्तों के बीच कार्य करता है, जबकि पर्तों के बीच एकांक वेग-प्रवणता हो।
उपर्युक्त सूत्र में \( \pm \) चिह्न का अर्थ है कि बल \( F \) दो पर्यो के बीच अन्योन्य बल है। द्रव की किसी पर्त पर उससे ऊपर वाली पर्त आगे की ओर बल लगाती है, जबकि उससे नीचे वाली पर्त उस पर पीछे की ओर बल लगाती है।
श्यानता-गुणांक की विमा एवं मात्रक

In simple words: श्यानता गुणांक एक नियतांक है जो द्रव के आंतरिक घर्षण को दर्शाता है। इसका मान उस श्यान बल के बराबर होता है जो इकाई क्षेत्रफल और इकाई वेग-प्रवणता वाली दो परतों के बीच लगता है। इसकी विमा \( [ML^{-1}T^{-1}] \) होती है और M.K.S. मात्रक किग्रा/मीटर-सेकण्ड है।

🎯 Exam Tip: श्यानता गुणांक की परिभाषा को एक नियतांक के रूप में स्पष्ट करें, उसके मात्रक (किग्रा/मीटर-सेकण्ड) और विमा (\( [ML^{-1}T^{-1}] \)) का सही उल्लेख करें।

 

\( \eta \) का मात्रक (M.K.S. में) किग्रा/मीटर-सेकण्ड है। इसका एक अन्य मात्रक प्वॉइज है। \( 1 \) किग्रा/(मीटर-सेकण्ड) \( = 10 \) प्वॉइज

In simple words: श्यानता गुणांक का M.K.S. मात्रक किग्रा/मीटर-सेकण्ड है, और इसका दूसरा मात्रक प्वॉइज है, जहाँ 1 किग्रा/मीटर-सेकण्ड 10 प्वॉइज के बराबर होता है।

🎯 Exam Tip: श्यानता गुणांक के विभिन्न मात्रकों और उनके बीच के रूपांतरण को जानना महत्वपूर्ण है।

 

Question 15. \( 200 \) वर्ग सेमी क्षेत्रफल की एक समतल प्लेट तथा एक और बड़ी प्लेट के बीच ग्लिसरीन की \( 1 \) मिमी मोटी तह है। यदि ग्लिसरीन का श्यानता-गुणांक \( 1.0 \) किग्रा/मीटर-सेकण्ड हो, तो प्लेट को \( 9 \) सेमी/सेकण्ड के वेग से चलाने के लिए कितना बल चाहिए?
Answer: हल- प्रश्नानुसार, \( \eta = 1.0 \) किग्रा (मीटर-सेकण्ड), \( A = 200 \) वर्ग सेमी \( = 2 \times 10^{-2} \) वर्ग मीटर,
\( \Delta v_x = 9 \times 10^{-2} \) मीटर/सेकण्ड
तथा \( \Delta y = 1 \) मिमी \( = 10^{-3} \) मीटर

In simple words: श्यान बल के सूत्र (\( F = \eta A \frac{\Delta v_x}{\Delta y} \)) का उपयोग करके, हम ग्लिसरीन की परत के कारण प्लेट को खींचने के लिए आवश्यक बल की गणना कर सकते हैं, क्योंकि हमें श्यानता गुणांक, क्षेत्रफल, वेग परिवर्तन और दूरी दी गई है।

🎯 Exam Tip: श्यान बल की गणना के लिए श्यानता गुणांक, क्षेत्रफल, वेग प्रवणता के सूत्र का सही उपयोग करें और सभी इकाइयों को SI प्रणाली में परिवर्तित करना सुनिश्चित करें।

 

Question 16. स्टोक्स के सूत्र का प्रयोग कर किसी श्यान द्रव में गिरते हुए एक गोलीय पिण्ड के सीमान्त वेग के लिए सूत्र प्राप्त कीजिए।
Answer: स्टोक्स का नियम-स्टोक्स ने सिद्ध किया कि यदि \( r \) त्रिज्या की गोली किसी पूर्णतः समांग वे अनन्त विस्तार वाले तरल माध्यम में वेग \( v \) से गति करे तो गोली पर कार्य करने वाला श्यान बल। \( F = 6\pi \eta r v \) होता है जो सदैव गोली की गति की विपरीत दिशा में लगता है। जहाँ \( \eta \) उस द्रव का श्यानता-गुणांक है।
सीमान्त वेग की गणना-माना कोई गोली जिसकी त्रिज्या \( r \) तथा घनत्व \( \rho \) है, \( \sigma \) घनत्व वाले द्रव में गिर रही है, जबकि द्रव का श्यानता-गुणांक \( \eta \) है। जब गोली सीमान्त वेग प्राप्त कर लेती है तो इस पर निम्नलिखित दो बल कार्य करते हैं —
1. नीचे की ओर कार्य करने वाला प्रभावी बल \( = \)
2. ऊपर की ओर कार्य करने वाला श्यान बल \( = 6\pi \eta r v \)
चूँकि गोली नियत वेग से चल रही है अर्थात् त्वरण शून्य है। अतः इस पर लगने वाला नेट बल। शून्य होना चाहिए; अर्थात् उपर्युक्त दोनों बल बराबर होने चाहिए।

In simple words: स्टोक्स का नियम बताता है कि जब कोई गोलाकार पिंड किसी गाढ़े तरल में गिरता है, तो एक निश्चित गति (सीमान्त वेग) पर पहुंचने के बाद उस पर लगने वाला श्यान बल उसके भार को संतुलित कर देता है, जिससे उसका त्वरण शून्य हो जाता है। इस संतुलन से सीमान्त वेग का सूत्र प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: स्टोक्स के नियम की परिभाषा को स्पष्ट करें और सीमान्त वेग प्राप्त करने के लिए श्यान बल और प्रभावी गुरुत्वाकर्षण बल के संतुलन को दर्शाएं।

 

अतः गोली की सीमान्त चाल गोली की त्रिज्या के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होती है।

In simple words: इससे पता चलता है कि गोली की सीमान्त चाल उसकी त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होती है, यानी बड़ी गोली तेजी से सीमान्त वेग प्राप्त करती है।

🎯 Exam Tip: सीमान्त वेग और गोली की त्रिज्या के बीच के संबंध को (\( v \propto r^2 \)) सही ढंग से प्रस्तुत करें।

 

Question 17. किसी द्रव की पृष्ठ-ऊर्जा की व्याख्या कीजिए। द्रव के मुक्त पृष्ठ के क्षेत्रफल प्रसार में किए गए कार्य का व्यंजक प्राप्त कीजिए।
Answer: द्रव की पृष्ठ-ऊर्जा जब द्रव के पृष्ठ का क्षेत्रफल बढ़ाया जाता है तो द्रव के कुछ अणु उसके अन्दर से मुक्त पृष्ठ पर आते हैं। इन अणुओं को मुक्त पृष्ठ के ठीक नीचे वाले अणुओं के आकर्षण-बल के विरुद्ध कुछ कार्य करना पड़ता है। यह कार्य, निर्मित हुए नवीन पृष्ठ में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। इस अतिरिक्त पृष्ठ-क्षेत्रफल के बढ़ने पर शीतलन (cooling) भी होता है। अतः बाहर से कुछ ऊष्मा पृष्ठ में आकर इसे पुनः प्रारम्भिक ताप पर ले आती है। इस प्रकार पृष्ठ को कुछ ऊर्जा बाहर से भी प्राप्त हो जाती है। इससे स्पष्ट है कि द्रव-पृष्ठ में स्थित अणु अपनी स्थिति के कारण कुछ अतिरिक्त (additional) ऊर्जा रखते हैं। अतः द्रव के मुक्त पृष्ठ के प्रति एकांक क्षेत्रफल की इस अतिरिक्त ऊर्जा को 'द्रव की पृष्ठ-ऊर्जा' (surface energy of liquid) कहते हैं। द्रव के पृष्ठ का क्षेत्रफल बढ़ाने में किये गये कार्य व पृष्ठ-तनाव में सम्बन्ध माना एक मुड़े हुए तार ABC तथा उस पर बिना घर्षण खिसकने वाले सीधे तार PQ के बीच किसी द्रव की फिल्म। बनी है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक तार के फ्रेम ABC और एक फिसलने वाले तार PQ के बीच बनी द्रव की फिल्म को दर्शाता है। तार PQ पर द्रव के पृष्ठ-तनाव के कारण अंदर की ओर एक बल लगता है। इस बल को संतुलित करने के लिए बाहर से एक बल F लगाया जाता है। जब तार को \( \Delta x \) दूरी से विस्थापित किया जाता है, तो फिल्म के क्षेत्रफल में वृद्धि होती है और पृष्ठ-ऊर्जा में परिवर्तन होता है। हम जानते हैं कि पृष्ठ तनाव के कारण फिल्म का मुक्त पृष्ठ सिकुड़ने की चेष्टा करता है, अतः तार PQ ऊपर की ओर (फिल्म की ओर) चलेगा। तार PQ को साम्यावस्था में रखने के लिए इस पर एकसमान बल \( F \) नीचे की ओर लगाना होगा।
प्रयोगों से ज्ञात होता है कि बल \( F \) को मानतार PQ के सम्पर्क में \( A \) फिल्म की लम्बाई \( l \) के अनुक्रमानुपाती होता है। चूंकि फिल्म में। दो मुक्त पृष्ठ होते हैं (एक बाहर वाला तथा दूसरा अन्दर वाला),
अतः \( F \propto 2l \)
अथवा \( F = T \times 2l = 2TI \)
जहाँ \( T \) एक नियतांक है जो कि द्रव का पृष्ठ-तनाव कहलाता है।
माना तार PQ को \( \Delta x \) दूरी से नीचे खिसकाया जाता है जिससे यह नवीन स्थिति \( P'Q' \) में आ जाता है। इस क्रिया में द्रव की फिल्म के क्षेत्रफल में वृद्धि होती है। फिल्म के क्षेत्रफल में वृद्धि के लिए किया गया यान्त्रिक कार्य \( W = \) बल \( \times \) दूरी
\( = F \times \Delta x = (2TI) \Delta x =T \times (2l\Delta x) \)
परन्तु \( 2l \Delta x = \) फिल्म के दोनों पृष्ठों के क्षेत्रफल में होने वाली कुल वृद्धि \( = \Delta A \)

In simple words: पृष्ठ-ऊर्जा वह अतिरिक्त ऊर्जा है जो द्रव की सतह पर अणुओं के पास होती है, क्योंकि वे अंदर के अणुओं की तुलना में कम खींचे जाते हैं। जब सतह का क्षेत्रफल बढ़ाया जाता है, तो अतिरिक्त ऊर्जा को आपूर्ति की जाती है, जिसे पृष्ठ-तनाव के विरुद्ध किए गए कार्य के रूप में मापा जा सकता है।

🎯 Exam Tip: पृष्ठ-ऊर्जा की अवधारणा को स्पष्ट करें और उसे पृष्ठ-तनाव से संबंधित करें। क्षेत्रफल के प्रसार में किए गए कार्य के लिए व्यंजक को सही ढंग से प्राप्त करें।

 

Question 11. काँच की नली में द्रव के मुक्त पृष्ठ की आकृति की व्याख्या कीजिए। द्रव के वक्र पृष्ठ के दो पाश्र्वो के बीच दाबान्तर क्यों होता है?
Answer: काँच की नली में द्रव के मुक्त पृष्ठ की आकृति जब कोई द्रव किसी ठोस के स्पर्श में आता है तो स्पर्श-तल के समीप द्रव का पृष्ठ वक्रीय हो जाता है। वक्रता की प्रकृति द्रव के अणुओं के बीच संसंजक-बल तथा द्रव व ठोस के अणुओं के बीच आसंजक-बल के सापेक्ष परिणामों पर निर्भर करती है। जल एक काँच की नली की दीवार के सम्पर्क में दिखाया गया है। माना कि काँच के समीप द्रव के मुक्त पृष्ठ पर एक अणु A है तथा इस अणु पर दो आकर्षण-बल कार्य करते हैं।
(i) परिणामी आसंजक-बल P, जो A के समीप वाले ठोस के अणुओं के आकर्षण के कारण A पर कार्य करता है। इसकी दिशा ठोस के पृष्ठ के लम्बवत् है।
(ii) परिणामी संसंजक-बल Q, जो A के समीप द्रव के अन्य अणुओं के आकर्षण के कारण A पर द्रव के अन्दर की ओर एक दिशा में कार्य करता है। जल व काँच के अणुओं के बीच लगने वाला आसंजक-बल, जल के ही अणुओं के बीच परस्पर लगने वाले संसंजक-बल से बड़ा होता है। अतः बेल P, बल Q से बड़ा होगा। स्पष्ट है कि इन दोनों बलों का परिणामी बल R, जल से बाहर की ओर को होगा। पारे को काँच की नली की दीवार के सम्पर्क में दिखाया गया है। पारे के अणुओं के बीच संसंजक-बल, पारे व काँच के अणुओं के बीच लगने वाले आसंजक-बल से कहीं अधिक बड़ा होता है। अतः इस दशा में पारे के मुक्त पृष्ठ पर अणु A पर बल Q, बल P से बड़ा होगा तथा इनका परिणामी बल R पारे के भीतर की ओर को होगा। परिणामी बल R, जल अथवा पारे के मुक्त पृष्ठ के सभी अणुओं पर कार्य करता है। दीवार से दूर स्थित अणुओं के लिए आसंजक-बल P घटता जाता है तथा संसंजक-बल Q अधिकाधिक ऊर्ध्वाधर होता जाता है। अतः परिणामी बल R भी अधिकाधिक ऊर्ध्वाधर होता जाता है। मुक्त पृष्ठ के बीच वाले भाग में P लगभग शून्य हो जाता है तथा Q ऊर्ध्वाधर हो जाता है। अतः परिणामी बल बिल्कुल ऊर्ध्वाधर हो जाता है। यदि द्रव का मुक्त पृष्ठ साम्यावस्था में है तो पृष्ठ के किसी अणु पर कार्य करने वाला परिणामी बल पृष्ठ के लम्बवत् होना चाहिये । अतः द्रव का पृष्ठ प्रत्येक स्थान पर परिणामी बल के लम्बवत् हो जाता है। यही कारण है कि काँच की नली में जल का मुक्त पृष्ठ अवतल आकृति धारण कर लेता है तथा पारे का मुक्त पृष्ठ उत्तल आकृति । प्रत्येक दशा में बीच में परिणामी बल ऊर्ध्वाधर होता है, अतः बीच में मुक्त पृष्ठ क्षैतिज होता है। द्रव के वक्र पृष्ठ के पार्श्व के बीच दाबान्तर किसी द्रव के पृष्ठ में स्थित कोई अणु, पृष्ठ के दूसरे अणुओं द्वारा सभी दिशाओं में आकर्षित होता है। यदि द्रव का पृष्ठ समतल हो तो अणु सभी दिशाओं में समान रूप से आकर्षित होता है। अतः अणु पर पृष्ठ-तनाव के कारण परिणामी बल शून्य होता है। परन्तु यदि द्रव का पृष्ठ उत्तल हो तो प्रत्येक अणु पर लगने वाले आकर्षण-बलों को एक परिणामी घटक पृष्ठ के लम्बवत् अन्दर की ओर होता है। इसी प्रकार, यदि द्रव का पृष्ठ अवतल हो तो प्रत्येक अणु पर पृष्ठ-तनाव के कारण एक परिणामी बल पृष्ठ के लम्बवत् बाहर की ओर को लगता है । अतः वक्र पृष्ठ के सन्तुलन के लिये, पृष्ठ के दोनों पार्श्वों के बीच दाबान्तर होना चाहिये जिससे कि आधिक्य-दाब (excess of pressure) के कारण लगने वाला बल पृष्ठ-तनाव के कारण उत्पन्न परिणामी बल को सन्तुलित कर सके। स्पष्ट है कि पृष्ठ के अवतल पार्श्व पर दाब उत्तल पार्श्व की अपेक्षा अधिक होना चाहिये। दाबों पर यह अन्तर \(2T/R\) के बराबर होता है, जहाँ T द्रव का पृष्ठ-तनाव है तथा R पृष्ठ की त्रिज्या है।In simple words: द्रव के मुक्त पृष्ठ की आकृति, ठोस और द्रव के अणुओं के बीच के बलों (ससंजक और आसंजक) पर निर्भर करती है। वक्र पृष्ठों पर दाब का अंतर, पृष्ठ तनाव के कारण उत्पन्न होता है, जिससे द्रव संतुलन में रहता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रश्न में पृष्ठ तनाव, आसंजक और ससंजक बलों की अवधारणाओं को समझना महत्वपूर्ण है, क्योंकि ये द्रव के मेनिस्कस के आकार और दाब अंतर को निर्धारित करते हैं।

 

Question 12. किसी साबुन के बुलबुले के भीतर आधिक्य-दाब के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए।
Answer: साबुन के घोल के बुलबुले के भीतर आधिक्य-दाब माना कि त्रिज्या \(R\) का एक बुलबुला, पृष्ठ-तनाव \(T\) के साबुन के घोल से बना है। माना बुलबुले के बाहर दाब \(P\) है तथा भीतर \(P + p\) है । इस प्रकार बुलबुले के भीतर आधिक्य-दाब \(p\) है। माना कि यह आधिक्य-दाब बुलबुले के पृष्ठ को अभिलम्बवत् बाहर की ओर दूरी \(\Delta R\) धकेलता है, जहाँ \(\Delta R\) इतना सूक्ष्म है कि बुलबुले के भीतर दाब अपरिवर्तित रहता है। अतः आधिक्य-दाब के कारण उत्पन्न बल द्वारा किया गया यान्त्रिक कार्य \(w = \text{बल x विस्थापन}\)
\(w = (\text{आधिक्य-दाब x क्षेत्रफल}) \text{ x विस्थापन}\)
\(w = (p \text{ x } 4\pi R^2) \text{ x } \Delta R\) ...(1) साबुन के घोल के बुलबुले के दो पृष्ठ वायु के सम्पर्क में हैं, एक बुलबुले के भीतर तथा एक बुलबुले के बाहर । अतः उपरोक्त विस्थापन के कारण बुलबुले के पृष्ठ-क्षेत्रफल में कुल वृद्धि \(\Delta A = 2[4\pi(R + \Delta R)^2-4\pi R^2]\) \(\Delta A = 8\pi[R^2 + (\Delta R)^2+ 2R\Delta R – R^2]\) \(\Delta A = 16\pi R(\Delta R)\) अल्प पद \((\Delta R)^2\) को छोड़ने पर अतः 'पृष्ठ ऊर्जा में वृद्धि = पृष्ठ-क्षेत्रफल में वृद्धि x पृष्ठ तनाव' \(= 16\pi R(\Delta R) \text{ x } T\) ...(2) ऊर्जा में वृद्धि, आधिक्य-दाब के कारण किये गये कार्य से होती है। अतः समीकरण (1) तथा (2) को बराबर रखने पर, \((p \text{ x } 4\pi R^2) \text{ x } \Delta R= 16 \pi R(\Delta R)xT\)
\(p = \frac{4T}{R}\)In simple words: साबुन के बुलबुले के अंदर का दाब बाहर के दाब से थोड़ा अधिक होता है, जिसे आधिक्य-दाब कहते हैं। यह आधिक्य-दाब पृष्ठ तनाव और बुलबुले की त्रिज्या के अनुपात पर निर्भर करता है, क्योंकि पृष्ठ तनाव बुलबुले को सिकुड़ने का प्रयास करता है और आधिक्य-दाब उसे बाहर की ओर धकेलता है।

🎯 Exam Tip: साबुन के बुलबुले के लिए आधिक्य-दाब के व्यंजक \(p = \frac{4T}{R}\) को याद रखना महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह एक दोहरा पृष्ठ (आंतरिक और बाहरी) होता है। गणितीय व्युत्पत्ति के चरणों को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करें।

 

Question 13. द्रव की बूंद के भीतर आधिक्य-दाब का व्यंजक निगमित कीजिए।
Answer: द्रव की बूंद के भीतर आधिक्य-दाब माना कि द्रव की एक बूंद की त्रिज्या \(R\) है तथा द्रव का पृष्ठ-तनाव \(T\) है। बूंद के पृष्ठ पर स्थित द्रव के अणुओं पर, पृष्ठ-तनाव के कारण, एक परिणामी बल पृष्ठ के अभिलम्बवत् 'भीतर की ओर को' कार्यरत् है। अतः बूंद के भीतर दाब, बाह्य दाब से अधिक होना चाहिए। बूंद के भीतर यह आधिक्य-दाब बाहर की ओर को एक बल लगाता है जो पृष्ठ तनाव के बल को सन्तुलित करता है तथा बूंद साम्यावस्था में बनी रहती है। माना कि बूंद के बाहर दाब \(P\) है तथा भीतर \(P+p\) है। इस प्रकार, बूंद के भीतर आधिक्य-दाब \(p\) है। माना कि यह आधिक्य-दाब बूंद के पृष्ठ को अभिलम्बवत् बाहर की ओर दूरी \(\Delta R\) तक धकेलता है, जहाँ \(\Delta R\) इतना सूक्ष्म है कि बूंद के भीतर दाब अपरिवर्तित रहता है। आधिक्य-दाब \(p\) के कारण उत्पन्न बल द्वारा किया गया यान्त्रिक कार्य \(w = \text{बल x विस्थापन}\)
\(w = (\text{आधिक्य दाब x क्षेत्रफल}) \text{ x विस्थापन}\)
\(w = (p \text{ x } 4\pi R^2) \text{ x } \Delta R\) ...(1) पृष्ठ-ऊर्जा में वृद्धि \(\Delta U = \text{पृष्ठ तनाव x पृष्ठ क्षेत्रफल में वृद्धि}\) बूंद का पृष्ठ क्षेत्रफल में वृद्धि \(\Delta A = 4\pi(R + \Delta R)^2 - 4\pi R^2\) \(\Delta A = 4\pi(R^2 + (\Delta R)^2 + 2R\Delta R) - 4\pi R^2\) \(\Delta A = 4\pi R^2 + 4\pi(\Delta R)^2 + 8\pi R\Delta R - 4\pi R^2\) \(\Delta A = 8\pi R\Delta R\) (क्योंकि \((\Delta R)^2\) बहुत छोटा होने के कारण नगण्य है) तो, \(\Delta U = T \text{ x } 8\pi R\Delta R\) ...(2) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत से, \(w = \Delta U\) \((p \text{ x } 4\pi R^2) \text{ x } \Delta R = T \text{ x } 8\pi R\Delta R\)
\(p \text{ x } 4\pi R^2 = T \text{ x } 8\pi R\)
\(p = \frac{T \text{ x } 8\pi R}{4\pi R^2}\)
\(p = \frac{2T}{R}\)In simple words: द्रव की बूंद के अंदर का दाब बाहरी दाब से अधिक होता है, जिसे आधिक्य-दाब कहते हैं। यह आधिक्य-दाब पृष्ठ तनाव और बूंद की त्रिज्या पर निर्भर करता है, क्योंकि पृष्ठ तनाव बूंद को सिकुड़ने का प्रयास करता है।

🎯 Exam Tip: द्रव की बूंद के लिए आधिक्य-दाब का व्यंजक \(p = \frac{2T}{R}\) होता है, जो साबुन के बुलबुले के व्यंजक से भिन्न है क्योंकि बूंद का केवल एक ही मुक्त पृष्ठ होता है। ध्यान दें कि व्युत्पत्ति में ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।