UP Board Solutions Class 11 Maths Chapter 9 Sequences and Series

UP Board Solutions For Class 11 Maths Chapter 9 Sequences And Series (अनुक्रम तथा श्रेणी)

Samantar Shreni Class 11 प्रश्नावली 9.1

प्रश्न 1 से 6 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका नाव पद दिया गया है।

Question 1. समांतर श्रेणी कक्षा 11 प्रश्न 1.an = n(n + 2).
Answer: हलः
\(a_n = n(n + 2)\)
n का मान 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
\(a_1 = 1 \times 3 = 3\)
\(a_2 = 2 \times 4 = 8\)
\(a_3 = 3 \times 5 = 15\)
\(a_4 = 4 \times 6 = 24\)
\(a_5 = 5 \times 7 = 35\)
अतः दिए गए अनुक्रम के पाँच पद 3, 8, 15, 24, 35 हैं।
In simple words: To find the first five terms of the sequence, substitute n=1, 2, 3, 4, 5 into the given formula \(a_n = n(n + 2)\) and calculate each term.

🎯 Exam Tip: Ensure accurate substitution and arithmetic when finding sequence terms to avoid calculation errors.

Question 2. अनुक्रम तथा श्रेणी कक्षा 11 प्रश्न 2.an = \[ \frac{n}{n+1} \]
Answer: हल :
\(a_n = \frac{n}{n+1}\)
n का मान 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
\(a_1 = \frac{1}{2}\), \(a_2 = \frac{2}{3}\), \(a_3 = \frac{3}{4}\), \(a_4 = \frac{4}{5}\), \(a_5 = \frac{5}{6}\)
अतः अनुक्रम के पाँच पद \(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}\) हैं।
In simple words: Substitute n = 1, 2, 3, 4, 5 into the formula \(a_n = \frac{n}{n+1}\) to find the first five terms of the sequence.

🎯 Exam Tip: Pay attention to fractions and ensure correct simplification when calculating terms.

Question 3. UP Board Solution Class 11 Math Chapter 9 प्रश्न 3.an = 2n
Answer: हल : \(a_n = 2^n\) में n का मान 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
\(a_1 = 2^1 = 2\)
\(a_2 = 2^2 = 4\)
\(a_3 = 2^3 = 8\)
\(a_4 = 2^4 = 16\)
\(a_5 = 2^5 = 32\)
अतः अनुक्रम के पाँच पद 2, 4, 8, 16, 32 हैं।
In simple words: To find the first five terms, substitute n=1, 2, 3, 4, 5 into the given formula \(a_n = 2^n\) and calculate the powers of 2.

🎯 Exam Tip: Remember the definition of exponentiation and apply it carefully for each term.

Question 4. अनुक्रम तथा श्रेणी क्लास 11 प्रश्न 4.an = \[ \frac{2n-3}{6} \]
Answer: हल :
\(a_n = \frac{2n-3}{6}\) में n = 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
\(a_1 = \frac{2-3}{6} = \frac{-1}{6}\)
\(a_2 = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}\)
\(a_3 = \frac{6-3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
\(a_4 = \frac{8-3}{6} = \frac{5}{6}\)
\(a_5 = \frac{10-3}{6} = \frac{7}{6}\)
अतः अनुक्रम के पाँच पद \(\frac{-1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}, \frac{5}{6}, \frac{7}{6}\) हैं।
In simple words: Substitute n = 1, 2, 3, 4, 5 into the formula \(a_n = \frac{2n-3}{6}\) to find each of the first five terms.

🎯 Exam Tip: Simplify fractions where possible, like \(3/6\) to \(1/2\), to present the answer in its most reduced form.

Question 5. Anukram Tatha Shreni प्रश्न 5.an = (-1)n-1 5n+1.
Answer: हल : \(a_n = (-1)^{n-1} 5^{n+1}\), n में 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
\(a_1 = (-1)^{1-1} 5^{1+1} = (-1)^0 5^2 = 1 \times 25 = 25\)
\(a_2 = (-1)^{2-1} 5^{2+1} = (-1)^1 5^3 = -1 \times 125 = -125\)
\(a_3 = (-1)^{3-1} 5^{3+1} = (-1)^2 5^4 = 1 \times 625 = 625\)
\(a_4 = (-1)^{4-1} 5^{4+1} = (-1)^3 5^5 = -1 \times 3125 = -3125\)
\(a_5 = (-1)^{5-1} 5^{5+1} = (-1)^4 5^6 = 1 \times 15625 = 15625\)
अनुक्रम के पाँच पद 25, -125, 625, -3125, 15625 हैं।
In simple words: Replace n with 1, 2, 3, 4, and 5 in the given formula \(a_n = (-1)^{n-1} 5^{n+1}\) to determine each of the first five terms, carefully handling the alternating sign.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to the exponent of -1, as it determines the sign of each term, and calculate powers of 5 accurately.

Question 6. प्रश्न 6.an = \[ \frac{n^2+5}{4} \]
Answer: हल : \(a_n = \frac{n^2+5}{4}\), n में 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
\(a_1 = \frac{1^2+5}{4} = \frac{1+5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)
\(a_2 = \frac{2^2+5}{4} = \frac{4+5}{4} = \frac{9}{4}\)
\(a_3 = \frac{3^2+5}{4} = \frac{9+5}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}\)
\(a_4 = \frac{4^2+5}{4} = \frac{16+5}{4} = \frac{21}{4}\)
\(a_5 = \frac{5^2+5}{4} = \frac{25+5}{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}\)
अतः अनुक्रम के पाँच पद \(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}, \frac{7}{2}, \frac{21}{4}, \frac{15}{2}\) हैं।
In simple words: Substitute n with 1, 2, 3, 4, and 5 in the formula \(a_n = \frac{n^2+5}{4}\) to calculate the first five terms of the sequence, remembering to square n first.

🎯 Exam Tip: Ensure the order of operations (squaring before adding) is correctly followed, and simplify fractions if possible.

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 10 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका शव पद दिया गया है:

Question 7. Sequence And Series Class 11 प्रश्न 7.an = 4n -3, a17, a24
Answer: हल :
\(a_n = 4n-3\)
n = 17 लेने पर,
\(a_{17} = 4 \times 17-3 = 68-3 = 65\)
n = 24 लेने पर,
\(a_{24} = 4 \times 24-3 = 96-3 = 93.\)
In simple words: To find \(a_{17}\) and \(a_{24}\), simply substitute n with 17 and 24, respectively, into the given formula \(a_n = 4n-3\) and perform the calculations.

🎯 Exam Tip: Direct substitution is key here; double-check the multiplication and subtraction steps.

Question 8. प्रश्न 8.an = \[ \frac{n^2}{2^n} \]: a7.
Answer: हल :
\(a_n = \frac{n^2}{2^n}\)
n = 7 रखने पर,
\(a_7 = \frac{7^2}{2^7} = \frac{49}{128}\)
In simple words: To find the 7th term, substitute n=7 into the formula \(a_n = \frac{n^2}{2^n}\), calculating both the square of 7 and the 7th power of 2.

🎯 Exam Tip: Be careful when calculating powers, especially for larger exponents like \(2^7\).

Question 9. प्रश्न 9.an = (-1)n – 1n³; a9.
Answer: हल :
\(a_n = (-1)^{n-1} n^3\)
n = 9 रखने पर,
\(a_9 = (-1)^{9-1} 9^3 = (-1)^8 9^3 = 1 \times 729 = 729.\)
In simple words: Substitute n=9 into the formula \(a_n = (-1)^{n-1} n^3\), noting that \((-1)^8\) becomes 1, and then calculate \(9^3\).

🎯 Exam Tip: An even exponent for (-1) results in +1, while an odd exponent results in -1. This is a common point of error.

Question 10. प्रश्न 10.an = \[ \frac{n(n-2)}{n+3} \]: a20.
Answer: हल :
\(a_n = \frac{n(n-2)}{n+3}\)
n = 20 लेने पर,
\(a_{20} = \frac{20(20-2)}{20+3} = \frac{20 \times 18}{23} = \frac{360}{23}\)
In simple words: Substitute n=20 into the formula \(a_n = \frac{n(n-2)}{n+3}\) and perform the arithmetic operations in the numerator and denominator.

🎯 Exam Tip: Simplify the expression step-by-step, first the parentheses, then multiplication, and finally the division.

प्रश्न 11 से 13 तक प्रत्येक अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए:

Question 11. Geometric Progression प्रश्न 11.a₁ = 3, an = 3an-1 + 2 सभी n > 1 के लिए।
Answer: हल : \(a_n = 3a_{n-1} + 2\), और \(a_1 = 3\)
अनुक्रम में n = 2, 3, 4, 5 रखने पर,
\(a_2 = 3a_1 + 2 = 3 \times 3 + 2 = 9 + 2 = 11\)
\(a_3 = 3a_2 + 2 = 3 \times 11 + 2 = 33 + 2 = 35\)
\(a_4 = 3a_3 + 2 = 3 \times 35 + 2 = 105 + 2 = 107\)
\(a_5 = 3a_4 + 2 = 3 \times 107 + 2 = 321 + 2 = 323\)
अतः संगत श्रेणी 3 +11+35+107 + 323 +....
In simple words: Given the first term and a recursive formula, calculate each subsequent term by using the previous term's value until five terms are found, then list them as a series.

🎯 Exam Tip: In recursive sequences, each term depends on the preceding one; ensure you use the correct previous term's value for each calculation.

Question 12. प्रश्न 12.a₁ = - 1, an = \[ \frac{a_{n-1}}{n} \], जहाँ n ≥ 2.
Answer: हल : \(a_1 = -1\), \(a_n = \frac{a_{n-1}}{n}\), n में 2, 3, 4, 5 रखने पर,
\(a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{-1}{2}\)
\(a_3 = \frac{a_2}{3} = \frac{-1/2}{3} = \frac{-1}{6}\)
\(a_4 = \frac{a_3}{4} = \frac{-1/6}{4} = \frac{-1}{24}\)
\(a_5 = \frac{a_4}{5} = \frac{-1/24}{5} = \frac{-1}{120}\)
अतः संगत श्रेणी = \((-1) + (\frac{-1}{2}) + (\frac{-1}{6}) + (\frac{-1}{24}) + (\frac{-1}{120}) +...\)
In simple words: Starting with \(a_1 = -1\), each subsequent term is found by dividing the previous term by its index n, following the recursive rule \(a_n = \frac{a_{n-1}}{n}\).

🎯 Exam Tip: Be careful with fractions when dividing, especially when the numerator is already a fraction; remember to multiply by the reciprocal.

Question 13. अनुक्रम तथा श्रेणी प्रश्न 13.a₁ = a2 = 2, an = an-1 – 1, जहाँ n > 2.
Answer: हल : \(a_1 = a_2 = 2\) (दिया है)
और \(a_n = a_{n-1}-1\)
n = 3, 4, 5 रखने पर,
\(a_3 = a_2-1 = 2-1 = 1\)
\(a_4 = a_3-1 = 1-1 = 0\)
\(a_5 = a_4-1 = 0-1 = -1\)
अतः अनुक्रम के पाँच पद 2, 2, 1, 0 और -1 हैं। संगत श्रेणी = 2 + 2 + 1 + 0 + (-1),
In simple words: Given the first two terms are 2, each subsequent term is found by subtracting 1 from the previous term, following the rule \(a_n = a_{n-1}-1\).

🎯 Exam Tip: This is a simple arithmetic progression with a common difference of -1, starting from the third term.

Question 14. प्रश्न 14.Fibonacci अनुक्रम निम्नलिखित रूप में परिभाषित है :
1 = a₁ = a2, तथा an = an - 1 + an – 2, n > 2 तो, \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \] ज्ञात कीजिए जबकि n = 1, 2, 3, 4, 5.
Answer: हल :
\(a_1 = 1, a_2 = 1\)
\(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\)
n = 3, 4, 5, 6 रखने पर,
\(a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2\)
\(a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3\)
\(a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5\)
\(a_6 = a_5 + a_4 = 5 + 3 = 8\)
अब \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) में n = 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
\(\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{1} = 1\)
\(\frac{a_3}{a_2} = \frac{2}{1} = 2\)
\(\frac{a_4}{a_3} = \frac{3}{2}\)
\(\frac{a_5}{a_4} = \frac{5}{3}\)
\(\frac{a_6}{a_5} = \frac{8}{5}\)
In simple words: First, generate the first six terms of the Fibonacci sequence using the given recursive definition. Then, calculate the ratio of consecutive terms (\(a_{n+1}/a_n\)) for n = 1 to 5.

🎯 Exam Tip: Remember the core Fibonacci rule: each term is the sum of the two preceding ones. When finding ratios, ensure the terms are correctly paired.

प्रश्नावली 9.2

Question 1. प्रश्न 1.1 से 2001 तक के विषम पूर्णाकों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : श्रेणी 1+3+5+7+....+2001
मान लीजिए nवाँ पद 2001 तब
\(2001 = a + (n-1)d\)
\(2001 = 1 + (n-1) \times 2\)
\(2000 = (n-1) \times 2\)
\(1000 = n-1\)
\(n = 1001\)
अतः
योगफल \(S = \frac{n}{2} (a + l)\)
\(S = \frac{1001}{2} [1 + 2001]\)
\(S = \frac{1001}{2} \times 2002\)
\(S = 1001 \times 1001\)
\(S = 1002001.\)
In simple words: This is an arithmetic progression of odd numbers. First, find the number of terms 'n' using the formula for the nth term, then use the sum formula for an AP to find the total sum.

🎯 Exam Tip: Recognize the sequence as an AP. Correctly identifying 'a', 'd', and 'l' (last term) is crucial for accurate calculation of 'n' and 'S'.

Question 2. प्रश्न 2.100 तथा 1000 के मध्य उन सभी प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 5 के गुणज हों।
Answer: हल : 100 और 1000 के बीच की संख्याएँ जो 5 की गुणज हैं उनका योगफल
\(= 105+110+ 115+...+ 995\)
मान लीजिए 995, nवाँ पद है।
n वाँ पद \(= a + (n-1) d\)
\(995 = 105 + (n-1)5\)
\(995 - 105 = (n-1)5\)
\(890 = 5(n-1)\)
\(n-1 = \frac{890}{5}\)
\(n-1 = 178\)

\(n = 179\)
अतः
योगफल, \(S_{179} = \frac{179}{2} [2 \times 105 + (179-1) \times 5]\)
\(S_{179} = \frac{179}{2} [210 + 178 \times 5]\)
\(S_{179} = \frac{179}{2} [210 + 890]\)
\(S_{179} = \frac{179}{2} [1100]\)
\(S_{179} = 179 \times 550\)
\(S_{179} = 98450.\)
In simple words: Identify the first and last multiples of 5 between 100 and 1000, then determine the number of terms 'n' in this arithmetic progression, and finally calculate their sum.

🎯 Exam Tip: Remember "between" means exclusive of 100 and 1000. Identify 'a' (105), 'd' (5), and 'l' (995) accurately to find 'n' and then the sum 'S'.

Question 3. प्रश्न 3.किसी समांतर श्रेणी में प्रथम पद 2 है तथा प्रथम पांच पदों का भागफल, अगले पांच पदों के योगफल का एक चौथाई है। दर्शाइए कि 20वाँ पद -112 है।
Answer: हल : मान लीजिए, d सार्वअंतर है जबकि a = 2
प्रथम पाँच पदों का योगफल \(= \frac{5}{2} [2 \times 2 + (5-1)d]\)
\(= \frac{5}{2} [4 + 4d]\)
\(= 5 [2 + 2d] = 10 (1 + d)\)
तथा
6वाँ पद \(= a + (6-1). d = 2 + 5d\)
अगले पांच पदों का योगफल (यानी 6वें से 10वें पद तक) \(= \frac{5}{2} [2(2+5d) + (5-1)d]\)
\(= \frac{5}{2} [4+10d+4d]\)
\(= \frac{5}{2} [4+14d]\)
\(= 5 (2 + 7d)\)
प्रश्न के अनुसार:
प्रथम पाँच पदों का योगफल \(= \frac{1}{4}\) अगले पाँच पदों का योगफल
\(10(1 + d) = \frac{1}{4} \times 5 (2 + 7d)\)
\(10(1 + d) = \frac{5}{4} (2 + 7d)\)
\(40(1 + d) = 5 (2 + 7d)\)
\(8(1 + d) = (2 + 7d)\)
\(8 + 8d = 2 + 7d\)
\(8d - 7d = 2 - 8\)
\(d = -6\)
20वाँ पद \(= a + (20-1) d\)
\(= 2 + 19 (-6)\)
\(= 2 - 114\)
\(= -112.\)
In simple words: Set up expressions for the sum of the first five terms and the sum of the next five terms (from the 6th to 10th). Use the given condition that the first sum is one-fourth of the second sum to find the common difference 'd', then calculate the 20th term.

🎯 Exam Tip: Clearly distinguish between the sum of the first five terms and the sum of the *next* five terms; the latter requires calculating the 6th term first as the new 'a' for that block of terms.

Question 4. प्रश्न 4.समांतर श्रेढी -6, , 5 ...... के कितने पदों का योगफल -25 है?
Answer: हल : दिया है: \(a = -6\), \(d = \frac{-11}{2} - (-6) = \frac{-11}{2} + 6 = \frac{-11+12}{2} = \frac{1}{2}\)
मान लीजिए n पदों का योगफल -25 है।
\(S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\)
\(-25 = \frac{n}{2} [2 \times (-6) + (n-1) \times \frac{1}{2}]\)
\(-25 = \frac{n}{2} [-12 + \frac{1}{2}(n-1)]\)
\(-50 = n [-12 + \frac{n-1}{2}]\)
\(-50 = n [\frac{-24 + n - 1}{2}]\)
\(-100 = n [n-25]\)
\(-100 = n^2 - 25n\)
\(n^2 - 25n + 100 = 0\)
या \((n-5)(n-20) = 0\)

\(n = 5, 20\)
अतः अभीष्ट पदों की संख्या = 5 या 20.
In simple words: Given the first term, common difference, and sum, use the sum formula for an AP to form a quadratic equation in 'n'. Solve the quadratic equation to find the possible number of terms.

🎯 Exam Tip: Be careful with signs when calculating the common difference. When solving the quadratic equation, both positive integer solutions are valid for the number of terms.

Question 5. प्रश्न 5.किसी समांतर श्रेढ़ी का p वाँ पद \(\frac{1}{q}\) तथा q वाँ पद \(\frac{1}{p}\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम pq पदों का योग \(\frac{1}{2}(pq + 1)\) होगा, जहाँ p ≠ q.
Answer: हल :
मान लीजिए प्रथम पद = a
और सार्व अंतर = d
pवाँ पद \(= a + (p-1)d = \frac{1}{q}\) ...(1)
qवाँ पद \(= a + (q-1)d = \frac{1}{p}\) ...(2)
समी (2) को (1) में से घटाने पर,
\((q-1)d - (p-1)d = \frac{1}{p} - \frac{1}{q}\)
\((q-1-p+1)d = \frac{q-p}{pq}\)
\((q-p)d = \frac{q-p}{pq}\)

\(d = \frac{1}{pq}\)
d का मान समी (1) में रखने पर,
\(a + (p-1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q}\)
\(a = \frac{1}{q} - \frac{p-1}{pq}\)
\(a = \frac{p-(p-1)}{pq}\)
\(a = \frac{p-p+1}{pq}\)
\(a = \frac{1}{pq}\)
pq पदों का योग \(= \frac{pq}{2} [2a + (pq-1)d]\)
\(= \frac{pq}{2} [2 \times \frac{1}{pq} + (pq-1)\frac{1}{pq}]\)
\(= \frac{pq}{2} [\frac{2}{pq} + \frac{pq-1}{pq}]\)
\(= \frac{pq}{2} [\frac{2 + pq-1}{pq}]\)
\(= \frac{pq}{2} [\frac{pq+1}{pq}]\)
\(= \frac{1}{2} [pq+1]\).
In simple words: Use the given nth term information to find the first term 'a' and common difference 'd'. Then, substitute these values into the sum formula for 'pq' terms to prove the required result.

🎯 Exam Tip: Solving for 'a' and 'd' by subtracting the given equations is a standard method. Be precise with algebraic manipulations, especially with fractions.

Question 6. प्रश्न 6.यदि किसी समांतर श्रेणी 25, 22, 19, ....... के कुछ पदों का योगफल 116 है तो अंतिम पद ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : दिया है : \(a = 25\), \(d = 22 - 25 = -3\)
मान लीजिए इस श्रेणी में n पद हैं।
n पदों का योगफल \(= 116\)
\(S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1) d]\)
\(116 = \frac{n}{2} [2 \times 25 + (n-1) (-3)]\)
\(232 = n [50 - 3(n-1)]\)
\(232 = n [50 - 3n + 3]\)
\(232 = n [53 - 3n]\)
\(232 = 53n - 3n^2\)
या \(3n^2 - 53n + 232 = 0\)
मध्य पद विभाजन द्वारा: \(3n^2 - 24n - 29n + 232 = 0\)
\(3n(n-8) - 29(n-8) = 0\)
\((n-8) (3n-29) = 0\)

\(n = 8\) या \(n = \frac{29}{3}\)
क्योंकि n एक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए \(n = 8\)
अतः 8वाँ पद \(= a + (n-1) d\)
\(= 25 + (8-1) (-3)\)
\(= 25 + 7(-3)\)
\(= 25 - 21\)
\(= 4.\)
In simple words: First, identify the first term and common difference. Use the sum formula to form a quadratic equation for 'n' (number of terms). Solve for 'n', select the integer solution, and then find the corresponding last term.

🎯 Exam Tip: After finding multiple solutions for 'n', ensure you choose the valid integer solution for the number of terms. Then, use this 'n' to find the final term, 'l'.

Question 7. प्रश्न 7.उस समांतर श्रेणी के n पदों को योगफल ज्ञात कीजिए जिसका nवाँ पद 5k + 1 हैं।
Answer: हल : दिया है, nवाँ पद \(T_k = 5k + 1\)
k = 1, 2 रखने पर
\(T_1 = 5 \times 1+1 = 6\)
\(T_2 = 5 \times 2+1 = 11\)
सार्व अंतर \(d = T_2 - T_1 = 11 - 6 = 5\)
n पदों का योगफल \(S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1) d]\)
\(= \frac{n}{2} [2 \times 6 + (n-1) \times 5]\)
\(= \frac{n}{2} [12 + 5n - 5]\)
\(= \frac{n}{2} [5n + 7]\).
In simple words: Use the given nth term formula to find the first two terms, from which you can deduce the first term 'a' and common difference 'd'. Then, apply the sum formula for 'n' terms of an AP.

🎯 Exam Tip: The 'n' in the question's \(T_k = 5k+1\) means 'k' for the nth term. When calculating the sum for 'n' terms, 'a' will be \(T_1\) and 'd' will be \(T_2 - T_1\).

Question 8. प्रश्न 8.यदि किसी समांतर श्रेणी के n पदों का योगफले \(pn + qn^2\) है, जहाँ p तथा q अचर हों तो सार्वअंतर ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : n पदों का योगफल \(S_n = pn + qn^2\)
n = 1, 2 रखने पर
\(T_1 = S_1 = p \times 1 + q \times 1^2 = p+q\)
\(S_2 = p \times 2 + q \times 2^2 = 2p + 4q\)
\(T_2 = S_2 - S_1 = (2p + 4q) - (p+q) = p + 3q\)
सार्वअंतर \(d = T_2 - T_1\)
\(= (p+3q) - (p+q)\)
\(= p+3q - p - q\)
\(= 2q\)
सार्वअंतर = 2q.
In simple words: The first term is the sum of the first term (\(S_1\)), and the second term (\(T_2\)) is the sum of the first two terms (\(S_2\)) minus \(S_1\). The common difference is then \(T_2 - T_1\).

🎯 Exam Tip: Remember that \(T_n = S_n - S_{n-1}\) is a useful formula. For \(T_1\), \(S_0\) is considered 0, so \(T_1 = S_1\).

Question 9. प्रश्न 9.दो समांतर श्रेणियों के n पदों के योगफल का अनुपात \(5n + 4 : 9n + 6\) हो, तो उनके 18 वें पदों का अनुपात ज्ञात करो।
Answer: हलः
मान लीजिए समातर श्रेणियों के प्रथम पद \(a_1, a_2\), तथा सार्वअंतर \(d_1\) और \(d_2\) हैं। यदि \(S_n, S'_n\) उनके संगत योगफल हैं। \(T_{18}\) और \(T'_{18}\) उनके संगत 18वें पद हैं।
\(S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d_1]\)
\(S'_n = \frac{n}{2} [2a_2 + (n-1)d_2]\)

\[ \frac{S_n}{S'_n} = \frac{\frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d_1]}{\frac{n}{2} [2a_2 + (n-1)d_2]} = \frac{2a_1 + (n-1)d_1}{2a_2 + (n-1)d_2} \]
दिया है:
\[ \frac{S_n}{S'_n} = \frac{5n+4}{9n+6} \]
हमें ज्ञात करना है
\[ \frac{T_{18}}{T'_{18}} = \frac{a_1 + (18-1)d_1}{a_2 + (18-1)d_2} = \frac{a_1 + 17d_1}{a_2 + 17d_2} \]
अंश और हर दोनों को 2 से गुणा करने पर
\[ \frac{T_{18}}{T'_{18}} = \frac{2a_1 + 34d_1}{2a_2 + 34d_2} \]
समी (1) और (2) की तुलना करने पर, हमें चाहिए कि \(n-1 = 34\)
या \(n = 35\)
समी (2) में n = 35 रखने पर
\[ \frac{T_{18}}{T'_{18}} = \frac{2a_1 + (35-1)d_1}{2a_2 + (35-1)d_2} = \frac{5 \times 35 + 4}{9 \times 35 + 6} \]
\(= \frac{175 + 4}{315 + 6} = \frac{179}{321}\)
In simple words: The ratio of the nth terms of two arithmetic progressions can be found by substituting \(n = (2 \times \text{term number}) - 1\) into the given ratio of their sums. For the 18th term, use \(n = (2 \times 18) - 1 = 35\).

🎯 Exam Tip: A key property is that the ratio of the nth term is equivalent to the ratio of sums with \(n' = 2n-1\), where \(n'\) is the new index for the sum. This shortcut saves a lot of derivation.

Question 10. प्रश्न 10.यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p पदों का योग, प्रथम q पदों के योगफल के बराबर हो, तो प्रथम (p + q) पदों का योगफल ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : मान लीजिए a प्रथम पद व d सार्व अंतर है।
प्रश्नानुसार,
p पदों का योगफल \(= \frac{p}{2} [2a + (p-1)d]\) ...(1)
q पदों का योगफल \(= \frac{q}{2} [2a + (q-1)d]\) ...(2)
चूँकि \(S_p = S_q\)
\[ \frac{p}{2} [2a + (p-1)d] = \frac{q}{2} [2a + (q-1)d] \]
\(p[2a + (p-1)d] = q[2a + (q-1)d]\)
\(2ap + p(p-1)d = 2aq + q(q-1)d\)
\(2ap - 2aq = q(q-1)d - p(p-1)d\)
या \(2a(p-q) = [q(q-1) - p(p-1)]d\)
\(2a(p-q) = [q^2-q - p^2+p]d\)
\(2a(p-q) = [(q^2-p^2) - (q-p)]d\)
\(2a(p-q) = [(q-p)(q+p) - (q-p)]d\)
\(2a(p-q) = (q-p)[q+p-1]d\)
या \(2a(p-q) = -(p-q)[p+q-1]d\)
p-q से भाग करने पर (चूँकि p ≠ q, so \(p-q \neq 0\))
\(2a = -(p+q-1)d\)
\(2a + (p+q-1)d = 0\)
p + q पदों का योगफल \(= S_{p+q} = \frac{p+q}{2} [2a + (p+q-1)d]\)
\(= \frac{p+q}{2} \times 0\)
\(= 0\). [.. समीकरण (3) से ]
In simple words: Equate the sum of 'p' terms to the sum of 'q' terms to derive a relationship between the first term 'a' and common difference 'd'. This relationship will show that \(2a + (p+q-1)d = 0\), which, when substituted into the sum formula for \((p+q)\) terms, yields zero.

🎯 Exam Tip: The crucial step is the algebraic manipulation to factor out (p-q) and derive the condition \(2a + (p+q-1)d = 0\). This condition directly simplifies the sum of (p+q) terms.

Question 11. प्रश्न 11.यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p, q, r पदों का योगफल क्रमशः a, b, c, हो तो सिद्ध कीजिए किः
\[ \frac{a}{p}(q-r) + \frac{b}{q}(r-p) + \frac{c}{r}(p-q) = 0. \]
Answer: हल :
मान लीजिए समांतर श्रेणी का प्रथम पद A और सार्व अंतर D है।
p पदों का योगफल \(= S_p = \frac{p}{2} [2A + (p-1)D] = a\)
\(\implies 2A + (p-1)D = \frac{2a}{p}\) ...(1)
q पदों का योगफल \(= S_q = \frac{q}{2} [2A + (q-1)D] = b\)
\(\implies 2A + (q-1)D = \frac{2b}{q}\) ...(2)
r पदों का योगफल \(= S_r = \frac{r}{2} [2A + (r-1)D] = c\)
\(\implies 2A + (r-1)D = \frac{2c}{r}\) ...(3)
समी (1) को \((q-r)\) से, समी (2) को \((r-p)\) से, समी. (3) को \((p-q)\) से गुणा करके जोड़ने पर
\[ [2A + (p-1)D](q-r) + [2A + (q-1)D](r-p) + [2A + (r-1)D](p-q) \] \[ = \frac{2a}{p}(q-r) + \frac{2b}{q}(r-p) + \frac{2c}{r}(p-q) \] बायाँ पक्ष:
\(2A[(q-r) + (r-p) + (p-q)] + D[(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)]\)
\(2A[0] + D[p(q-r)-1(q-r) + q(r-p)-1(r-p) + r(p-q)-1(p-q)]\)
\(0 + D[pq-pr-q+r + qr-pq-r+p + rp-rq-p+q]\)
\(0 + D[0] = 0\)
दायाँ पक्ष:
\[ \frac{2a}{p}(q-r) + \frac{2b}{q}(r-p) + \frac{2c}{r}(p-q) = 0 \] 2 से भाग देने पर
\[ \frac{a}{p}(q-r) + \frac{b}{q}(r-p) + \frac{c}{r}(p-q) = 0. \] इति सिद्धम ।
In simple words: Express \(2A + (p-1)D\), \(2A + (q-1)D\), and \(2A + (r-1)D\) in terms of \(\frac{2a}{p}, \frac{2b}{q}, \frac{2c}{r}\) respectively. Then, multiply these equations by \((q-r), (r-p), (p-q)\) and sum them up. The left side will simplify to zero, proving the identity.

🎯 Exam Tip: This proof relies on the property that for any three numbers p, q, r, the sum \((q-r) + (r-p) + (p-q) = 0\). This extends to the coefficients of D when expanded.

UP Board Solutions For Class 11 Maths Chapter 9 Sequences And Series (अनुक्रम तथा श्रेणी)

प्रश्नावली 9.3

 

Question 11. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम p, q, r पदों का योगफल क्रमशः a, b, c, हो तो सिद्ध कीजिए किः \[\frac{a}{p}(q-r) + \frac{b}{q}(r-p) + \frac{c}{r}(p-q) = 0.\]
Answer: हल : p पदों का योगफल = \(\frac{p}{2} [2a + (p - 1)d] = a\) \[2a + (p-1)d = \frac{2a}{p} \quad ...(1)\] q पदों का योगफल = \(\frac{q}{2} [2a + (q - 1)d] = b\) \[2a + (q-1)d = \frac{2b}{q} \quad ...(2)\] r पदों का योगफल = \(\frac{r}{2} [2a + (r - 1)d] = c\) \[2a + (r-1)d = \frac{2c}{r} \quad ...(3)\] समी (1) को \(q-r\) से, समी (2) को \(r-p\) से, समी. (3) को \(p-q\) से गुणा करके जोड़ने पर \[[2a+(p-1)d](q-r) + [2a+(q-1)d](r-p) + [2a + (r-1)d](p-q)\] \[\frac{2a}{p}(q-r) + \frac{2b}{q}(r-p) + \frac{2c}{r}(p-q)\] \(\implies 2a[q-r+r-p+p-q]+d [(p-1) (q - r) + (q-1) (r-p) + (r-1) (p-q)]\) \(\implies 0 + d [p(q-r) + q(r-p) +r (p-q)-[q-r+r-p+p-q]]\) \(\implies dpq-pr+qr-pq + pr-qr = 0\) 2 से भाग देने पर \[\frac{a}{p}(q-r) + \frac{b}{q}(r-p) + \frac{c}{r}(p-q)= 0.\] इति सिद्धम ।
In simple words: This problem asks us to prove a specific relationship between the sums of the first p, q, and r terms of an arithmetic progression. We use the formula for the sum of an AP to express 'a', 'b', and 'c' in terms of the first term and common difference, then substitute these into the given equation to show it equals zero.

🎯 Exam Tip: Remember the formula for the sum of an AP. Algebraic manipulation is key here; ensure careful expansion and collection of terms to arrive at the desired result.

 

Question 12. किसी समांतर श्रेणी के m तथा n पदों के योगफलों का अनुपात \(m^2 : n^2\) है तो दर्शाइए कि वे m तथा n वें पदों का अनुपात \((2m - 1) : (2n -1)\) है।
Answer: हल : मान लीजिए समांतर श्रेणी का पहला पद a और सार्व अंतर d है। m पदों का योगफल = \(\frac{m}{2} [2a+(m-1)d]\) n पदों का योगफल = \(\frac{n}{2} [2a+(n-1)d]\) दिया है: \[\frac{\frac{m}{2}[2a+(m-1)d]}{\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]} = \frac{m^2}{n^2}\] \[\frac{2a+(m-1)d}{2a+(n-1)d} = \frac{m}{n} \quad ...(1)\] अब \[\frac{m \text{वाँ पद}}{n \text{वाँ पद}} = \frac{a+(m-1)d}{a+(n-1)d} = \frac{2a+(2m-2)d}{2a+(2n-2)d} \quad ...(2)\] समी. (1) और (2) की तुलना करने पर समी. (1) में \(m - 1\) के स्थान पर समी. (2) में \(2m - 2\) अथवा m के स्थान पर \(2m - 1\) रखने पर तथा इसी प्रकार \(n - 1\) के स्थान पर \(2n - 2\) है अथवा n के स्थान पर \(2n - 1\) रखने पर \[\frac{2a+(2m-2)d}{2a+(2n-2)d} = \frac{2m-1}{2n-1}\] या \[\frac{a+(m-1)d}{a+(n-1)d} = \frac{m\text{वाँ पद}}{n\text{वाँ पद}} = \frac{2m-1}{2n-1}\] इति सिद्धम् ।
In simple words: This problem demonstrates a property of arithmetic progressions: if the ratio of the sums of 'm' and 'n' terms is \(m^2 : n^2\), then the ratio of their individual m-th and n-th terms will be \((2m-1) : (2n-1)\). This is proven by setting up the ratio of sum formulas and then manipulating it to match the ratio of term formulas.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to the index 'm-1' vs '2m-2' in the formulas. The trick is to realize that replacing \((m-1)\) with \((2m-2)\) (or \(m\) with \((2m-1)\)) in the sum-ratio directly gives the term-ratio.

 

Question 13. यदि किसी समांतर श्रेणी के पदों का योगफल \(3n^2 + 5n\) है तथा इसका m वाँ पद 164 है तो m का मान ज्ञात करो।
Answer: हल : n पदों का योगफल, \(S_n = 3n^2 + 5n\) n = 1, 2 रखने पर \(S_1 = 3.1^2 + 5.1 = 8\) = पहला पद = a \(S_2 = 3.2^2 + 5.2 = 12 + 10 = 22\) दूसरा पद, \(T_2 = S_2 - S_1 = 22-8 = 14\) सार्व अंतर = \(14-8 = 6\) mवाँ पद = \(a + (m - 1)d = 164\) \(8+(m-1) \times 6 = 164\) \(6(m-1) = 164-8 = 156\) \(m-1 = \frac{156}{6} = 26\) या \(m = 27.\)
In simple words: Given the sum of n terms of an arithmetic progression, \(S_n = 3n^2 + 5n\), we first find the first term (a) and common difference (d). Then, using the formula for the m-th term, we solve for 'm' when the m-th term is 164.

🎯 Exam Tip: To find the first term from \(S_n\), use \(S_1 = a\). To find the common difference, calculate the second term \(T_2 = S_2 - S_1\), then \(d = T_2 - T_1\). Accuracy in calculation is important.

 

Question 14. 8 और 26 के बीच ऐसी 5 संख्याएँ डालिए ताकि प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी बन जाए।
Answer: हल : माना \(A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\), संख्या 8 और 26 के बीच डाली गई हैं। जिससे \(8, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, 26\) समांतर श्रेणी का रूप है। इस अनुक्रम के कुल पद = 7 पहला पद = 8, अंतिम पद = 26, यदि सार्व अंतर d हो, तो \(26 = a + (n-1)d = 8 + (7-1)d\) \(6d = 26-8 = 18\) \(d = \frac{18}{6} = 3\) दूसरा पद = \(A_1 = 8 + 3 = 11\) \(A_2 = 11+3 = 14\) \(A_3 = 14+3 = 17\) \(A_4 = 17+3 = 20\) \(A_5 = 20 + 3 = 23\) अतः \(A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\), के मान क्रमशः \(11, 14, 17, 20, 23\) हैं।
In simple words: We are inserting five numbers between 8 and 26 to form an arithmetic progression. By considering the resulting sequence of seven terms, we can find the common difference and then determine each of the inserted numbers.

🎯 Exam Tip: When inserting 'k' numbers between two given numbers 'A' and 'B' in an AP, the total number of terms becomes \(k+2\). Use this to find the common difference 'd' and then the intermediate terms.

 

Question 15. यदि \(\frac{a^n + b^n}{a^{n-1} + b^{n-1}}\), a तथा b के मध्य समांतर माध्य हो, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : a और b के बीच समांतर माध्य = \(\frac{a+b}{2}\) \[\frac{a^n + b^n}{a^{n-1} + b^{n-1}} = \frac{a+b}{2}\] \[2(a^n + b^n) = (a + b) (a^{n-1} + b^{n-1})\] \[2a^n + 2b^n = a^n + ab^{n-1} + a^{n-1}b + b^n\] \[a^n - a^{n-1}b = a b^{n-1} - b^n\] \[a^{n-1}(a - b) = b^{n-1}(a - b)\] यदि \(a \ne b\), तो \[a^{n-1} = b^{n-1}\] \[\frac{a^{n-1}}{b^{n-1}} = 1\] \[\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1} = 1\] \[\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1} = \left(\frac{a}{b}\right)^0\] \(\implies n-1 = 0\) या \(n = 1\).
In simple words: This problem asks for the value of 'n' for which the expression \(\frac{a^n + b^n}{a^{n-1} + b^{n-1}}\) represents the arithmetic mean of 'a' and 'b'. By setting the expression equal to the arithmetic mean formula and simplifying, we find that n must be 1.

🎯 Exam Tip: Remember the definition of the arithmetic mean. Careful algebraic manipulation, especially factoring and handling exponents, is crucial. If \(a \ne b\), then \(a^k = b^k\) implies \(k=0\).

 

Question 16. m संख्याओं को 1 तथा 31 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है। और 7 वीं एवं \((m - 1)\) वीं संख्याओं का अनुपात 5 : 9 है, तो m का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : मान लीजिए \(1, A_1, A_2,...., A_m, 31\), समांतर श्रेणी है। कुल पद = \(m + 2\) अंतिम पद = 31 \(31 = a + (m + 2 - 1)d = 1 + (m + 1)d\) \[d = \frac{31-1}{m+1} = \frac{30}{m+1}\] \(A_7 = a + 7d = 1 + 7 \left(\frac{30}{m+1}\right) = \frac{m+1+210}{m+1} = \frac{211+m}{m+1}\) \(A_{m-1} = 1 + (m - 1)d = 1 + (m - 1)\left(\frac{30}{m+1}\right) = \frac{m+1+30m-30}{m+1} = \frac{31m-29}{m+1}\) दिया है : \(\frac{7 \text{वाँ पद}}{(m-1) \text{वाँ पद}} = \frac{5}{9}\) \(\implies \frac{A_7}{A_{m-1}} = \frac{\frac{211+m}{m+1}}{\frac{31m-29}{m+1}} = \frac{211+m}{31m-29} = \frac{5}{9}\) या \(5(31m-29) = 9 (m + 211)\) \(155m-145 = 9m + 1899\) \(146m = 1899 + 145 = 2044\) \(m = \frac{2044}{146} = 14\).
In simple words: We are inserting 'm' numbers between 1 and 31 to form an arithmetic progression. Given the ratio of the 7th inserted number to the \((m-1)\)th inserted number, we need to find the value of 'm'. We use the AP term formula to set up equations for the terms and solve for 'm'.

🎯 Exam Tip: Be careful with the indexing. If 'm' numbers are inserted, the \(k^{th}\) inserted number is the \((k+1)^{th}\) term of the overall sequence. This problem requires meticulous algebraic substitution and simplification.

 

Question 17. एक व्यक्ति ऋण का भुगतान 100 रुपए की प्रथम किश्त से शुरू करता है। यदि वह प्रत्येक किश्त में 5 रुपए प्रति माह बढ़ाता है, तो 30 वीं किश्त की राशि क्या होगी?
Answer: हुल: पहली किश्त \(a = 100\) Rs. हर माह किश्त में बढ़ोत्तरी = सार्व अंतर = 5 Rs. 30वीं किश्त = समांतर श्रेणी का 30वाँ पद = \(a + (n - 1)d = 100 + (30 - 1) 5 = 100 + 29 \times 5 = 100 + 145 = 245\) Rs.
In simple words: A person's loan payments form an arithmetic progression where the first installment is 100 Rs. and each subsequent installment increases by 5 Rs. We need to find the amount of the 30th installment using the formula for the nth term of an AP.

🎯 Exam Tip: This is a direct application of the nth term formula for an AP: \(a_n = a + (n-1)d\). Identify 'a', 'n', and 'd' correctly from the problem statement.

 

Question 18. एक बहुभुज के दो क्रमिक अंतः कोणों का अंतर 5° है। यदि सबसे छोटा कोण 120° हो, तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : एक n भुजाओं वाले बहुभुज के अंतः कोणों का योग = \(180n-360\) दिया है कि एक अंतः कोण = समांतर श्रेणी का पहला पद = \(120^\circ\) क्रमिक अंतः कोणों का अंतर = समांतर श्रेणी का सार्व अंतर = \(d = 5^\circ\) n अंतः कोणों का योग = समांतर श्रेणी के n पदों का योग \[S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\] \[= \frac{n}{2}[2 \times 120 + (n-1) \times 5]\] \[= \frac{n}{2}[240 + 5n-5]\] \[= \frac{n}{2}[5n + 235]\] समी (1) और (2) से, \[\frac{n}{2}[5n + 235] = 180n - 360\] या \(5n^2+235n = 360n - 720\) या \(5n^2-125n + 720 = 0\) या \(n^2 - 25n + 144 = 0\) \((n-16) (n-9) = 0\) \(\implies n = 16, 9\) परन्तु यदि \(n = 16\), तो सबसे बड़ा कोण होगा \(a_{16} = a + (16-1)d = 120 + 15 \times 5 = 120 + 75 = 195^\circ\). यदि \(n = 9\), तो सबसे बड़ा कोण होगा \(a_9 = a + (9-1)d = 120 + 8 \times 5 = 120 + 40 = 160^\circ\). एक बहुभुज का कोई भी आंतरिक कोण \(180^\circ\) से अधिक नहीं हो सकता है। यदि n=16 होता, तो \(a_{16}\) 180 से अधिक हो जाता. इसलिए \(n \ne 16\) इसलिए \(n = 9\).
In simple words: The interior angles of a polygon form an arithmetic progression. We use the formula for the sum of interior angles of an n-sided polygon, \((n-2) \times 180^\circ\) (which is \(180n - 360\)), and the sum of an AP formula. By equating these, we form a quadratic equation for 'n' and solve for it. We must also check that no angle exceeds \(180^\circ\).

🎯 Exam Tip: Remember both the formula for the sum of internal angles of a polygon and the sum of an AP. When solving for 'n', always check if the solutions are valid in the context of the problem (e.g., angles less than \(180^\circ\), 'n' must be an integer).

 

प्रश्नावली 9.3

 

Question 1. गुणोत्तर श्रेणी \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}\), ....... का 20 वाँ तथा n वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद, \(a = \frac{1}{2}\) सार्व अनुपात, \(r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}\) nवाँ पद = \(ar^{n-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2^n}\) n = 20 रखने पर, 20वाँ पद = \(\frac{1}{2^{20}}\)
In simple words: For the given geometric progression, we identify the first term and common ratio. Then, we use the formula for the nth term of a GP to find both the general nth term and the specific 20th term.

🎯 Exam Tip: Clearly identify the first term 'a' and common ratio 'r'. The formula for the nth term of a GP is \(a_n = ar^{n-1}\). Ensure correct handling of exponents.

 

Question 2. उस गुणोत्तर श्रेणी का 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 8वाँ पद 192 तथा सार्व अनुपात 2 है।
Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = a सार्व अनुपात = 2 12वाँ पद = \(a \times 2^{12-1} = 2^{11}a\) 8वाँ पद = \(a.2^{8-1} = a.2^7 = 128a\) दिया है : 8वाँ पद = 192 \[128a = 192\] या \[a = \frac{192}{128} = \frac{3}{2}\] 12वाँ पद = \(2^{11} \times \frac{3}{2}\) \[= 2^{10} \times 3\] \[= 1024 \times 3\] \[= 3072.\]
In simple words: Given the 8th term and common ratio of a geometric progression, we first find the first term 'a'. Once 'a' is known, we can calculate the 12th term using the formula for the nth term of a GP.

🎯 Exam Tip: The key is to first determine the first term 'a' using the given 8th term and common ratio. Then, apply the nth term formula again for the 12th term. Calculation of powers of 2 needs to be accurate.

 

Question 3. किसी गुणोत्तर श्रेणी का 5 वाँ, 8 वाँ तथा 11 वाँ पदक्रमशः p, q तथा s हैं, तो दिखाइए कि \(q^2 = ps\).
Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = a सार्व तथा अनुपात = r 5वाँ पद = \(ar^{5-1} = ar^4 = p\) 8वाँ पद = \(ar^{8-1} = ar^7 = q\) 11वाँ पद = \(ar^{11-1} = ar^{10} = s\) अतः बायाँ पक्ष = \(q^2 = (ar^7)^2 = a^2.r^{14}\) दायाँ पक्ष = \(ps = ar^4 \times ar^{10} = a^2.r^{14}\) \(q^2 = ps\).
In simple words: This problem asks us to prove a relationship between the 5th, 8th, and 11th terms of a geometric progression. By expressing each term using the nth term formula \((a_n = ar^{n-1})\) and substituting these into the given equation, we can show that \(q^2\) equals \(ps\).

🎯 Exam Tip: Express each term (p, q, s) in terms of the first term 'a' and common ratio 'r'. Then, directly substitute these expressions into the equation \(q^2 = ps\) and simplify to prove the equality.

 

Question 4. किसी गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद -3 है, तो 7वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद, \(a = -3\) तथा सार्व-अनुपात = r चौथा पद = \(ar^{4-1} = ar^3 = -3r^3\) दूसरा पद = \(ar = -3r\) दिया है : चौथा पद = (दूसरे पद)\(^2\) \(-3r^3 = (-3r)^2 = 9r^2\) \[-3r^3 - 9r^2 = 0\] \[-3r^2(r+3) = 0\] क्योंकि r सार्व अनुपात है, \(r \ne 0\). तो \(r+3 = 0 \implies r = -3\) 7वाँ पद = \(ar^{7-1} = ar^6 = (-3)(-3)^6\) \[= (-3)^7 = -2187.\]
In simple words: We are given the first term of a geometric progression and a relationship where the fourth term is the square of the second term. We use these facts to find the common ratio 'r' and then calculate the 7th term of the GP.

🎯 Exam Tip: Accurately write out the expressions for the terms \(a_2\) and \(a_4\) using \(a_n = ar^{n-1}\). Solve the resulting equation for 'r', making sure to consider all possible values and reject any that don't fit the context (like r=0 for a GP). Then, calculate \(a_7\).

 

Question 5. अनुक्रमों को कौन सा पदः
(a) \(2, 2\sqrt{2}, 4, ....\) ; 128 है ?
(b) \(\sqrt{3}, 3, 3, ....\) ; 729 है ?
(c) \(\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}\), ....; \(\frac{1}{19683}\) है ?
Answer: हल : (a) गुणोत्तर श्रेणी का पहला व दूसरा पद क्रमशः 2 और \(2\sqrt{2}\) सार्व-अनुपात = \(\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\) nवाँ पद = \(ar^{n-1} = 2 (\sqrt{2})^{n-1} = 128\) \[2^{1} \cdot 2^{\frac{n-1}{2}} = 2^7\] \[2^{1 + \frac{n-1}{2}} = 2^7\] \[1 + \frac{n-1}{2} = 7\] \[\frac{n-1}{2} = 6\] \[n-1 = 12\] या \(n = 13.\)
In simple words: For the given geometric progression, we find the first term and common ratio. Then, we set the nth term formula equal to 128 and solve for 'n' to find which term in the sequence is 128.

🎯 Exam Tip: Determine 'a' and 'r' correctly. Convert all terms to powers of the same base (here, 2) to easily solve for 'n' when equating the nth term formula to the given value.

(b) गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = \(\sqrt{3}\) दूसरा पद = 3 सार्व अनुपात = \(\frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\) nवाँ पद = \(ar^{n-1} = \sqrt{3}(\sqrt{3})^{n-1} = (\sqrt{3})^n = 3^{\frac{n}{2}}\) दिया है: nवाँ पद = \(3^{\frac{n}{2}} = 729\) \(3^{\frac{n}{2}} = 3^6\) \(\implies \frac{n}{2} = 6\) \[n = 12\]
In simple words: For the given geometric progression, we find the first term and common ratio. Then, we set the nth term formula equal to 729 and solve for 'n' to find which term in the sequence is 729.

🎯 Exam Tip: Convert all terms to powers of the same base (here, 3) to solve the exponential equation for 'n'. Be careful with fractional exponents, like \(\sqrt{3} = 3^{1/2}\).

(c) गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद, \(a = \frac{1}{3}\) दूसरा पद = \(\frac{1}{9}\) सार्व अनुपात = \(\frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{3}\) nवाँ पद = \(ar^{n-1} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{3^n}\) दिया है: nवाँ पद = \(\frac{1}{3^n} = \frac{1}{19683}\) \[3^n = 19683\] \[3^n = 3^9\] अतः \(n = 9\).
In simple words: For the given geometric progression, we find the first term and common ratio. Then, we set the nth term formula equal to \(\frac{1}{19683}\) and solve for 'n' to determine its position in the sequence.

🎯 Exam Tip: Identify 'a' and 'r' correctly. Express the target term and the nth term as powers of the same base (here, 3) to easily find 'n'.

 

Question 6. x के किस मान के लिए संख्याएँ, x, गुणोत्तर श्रेणी में हैं?
Answer: हल : संख्याएँ a, b और c गुणोत्तर श्रेणी में है यदि \(b^2 = ac\) \(-\frac{7}{2}, x, -\frac{2}{7}\) गुणोत्तर श्रेणी में हैं। यदि \[x^2 = \left(-\frac{7}{2}\right)\left(-\frac{2}{7}\right) = 1\] \[x = \pm 1.\]
In simple words: For three numbers to be in a geometric progression, the square of the middle term must equal the product of the first and third terms. By applying this property to the given sequence, we find the possible values for x.

🎯 Exam Tip: The core property of a GP is that the ratio between consecutive terms is constant. For three terms a, b, c in GP, this means \(\frac{b}{a} = \frac{c}{b}\), which simplifies to \(b^2 = ac\). Apply this formula directly.

 

Question 7. \(0.15, 0.015, 0.0015, ..... 20\) पदों तक ।
Answer: हत्न : गुणोत्तर श्रेणी \(0.15, 0.015, 0.0015\) पहला पद, \(a = 0.15\) सार्व अनुपात, \(r = \frac{0.015}{0.15} = 0.1\) गुणोत्तर श्रेणी का योगफल = \(\frac{a(1-r^n)}{1-r}\) \[= \frac{0.15[1-(0.1)^{20}]}{1-(0.1)}\] \[= \frac{0.15[1-(0.1)^{20}]}{0.9}\] \[= \frac{1-(0.1)^{20}}{6}\]
In simple words: We need to find the sum of the first 20 terms of the given geometric progression. We first identify the first term and common ratio, then apply the formula for the sum of 'n' terms of a GP.

🎯 Exam Tip: Correctly identify 'a' and 'r'. Since \(r = 0.1 < 1\), use the sum formula \(S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\). Calculation accuracy is important for decimals.

 

Question 8. \(\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3\sqrt{7}, .... n\) पदों तक ।
Answer: हल : गुणोत्तर श्रेणी \(\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3\sqrt{7}, \dots\) पहला पद, \(a = \sqrt{7}\) सार्व अनुपात, \(r = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}} = \sqrt{3}\) n पदों का योग = \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) जब \(r > 1\) \[= \frac{\sqrt{7}[(\sqrt{3})^n-1]}{\sqrt{3}-1}\] \[= \frac{\sqrt{7}(3^{n/2}-1)}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}\] \[= \frac{\sqrt{7}(\sqrt{3}+1)(3^{n/2}-1)}{3-1}\] \[= \frac{\sqrt{7}(\sqrt{3}+1)(3^{n/2}-1)}{2}\]
In simple words: For the given geometric progression, we find the first term and common ratio. Since the common ratio is greater than 1, we use the appropriate sum formula and simplify the expression, rationalizing the denominator.

🎯 Exam Tip: Ensure correct calculation of 'a' and 'r'. Use the sum formula \(S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}\) for \(r>1\). Remember to rationalize the denominator if it involves square roots.

 

Question 9. \(1, -a, a^2, -a^3\) n पदों तक (यदि \(a \ne -1\)).
Answer: हल : गुणोत्तर श्रेणी \(1, -a, a^2, -a^3, \dots\) पहला पद, \(a = 1\) सार्व अनुपात, \(r = \frac{-a}{1} = -a\) n पदों का योग = \(\frac{a(1-r^n)}{1-r}\), \(r>1\) के लिए \[= \frac{1[1-(-a)^n]}{1-(-a)}\] \[= \frac{1-(-a)^n}{1+a}\]
In simple words: For the given geometric progression with first term 1 and common ratio -a, we need to find the sum of its first 'n' terms. We apply the standard formula for the sum of 'n' terms of a GP, noting the condition \(a \ne -1\).

🎯 Exam Tip: Carefully identify the first term 'a' and the common ratio 'r' (here, it's -a). Since 'a' can be positive or negative, it's safer to use the \(S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\) form, which works for all \(r \ne 1\).

 

Question 10. \(x^3, x^5, x^7 \dots n\) पदों तक (यदि \(x \ne \pm 1\)).
Answer: हल : गुणोत्तर श्रेणी \(x^3, x^5, x^7, \dots\) पहला पद, \(a = x^3\) सार्व अनुपात, \(r = \frac{x^5}{x^3} = x^2\) n पदों का योगफल = \(\frac{a(1-r^n)}{1-r}\) \[= \frac{x^3[1-(x^2)^n]}{1-x^2}\] \[= \frac{x^3[1-x^{2n}]}{1-x^2}\]
In simple words: For the given geometric progression, we determine the first term and the common ratio. Then, we apply the formula for the sum of 'n' terms of a GP to derive the required sum.

🎯 Exam Tip: Identify 'a' and 'r' correctly, paying attention to the exponents. The condition \(x \ne \pm 1\) ensures that \(r = x^2 \ne 1\), so the sum formula is valid. Simplify the exponents carefully.

 

Question 11. मान ज्ञात कीजिए \(\sum_{k=1}^{11} (2+3^k)\).
Answer: हल : \(\sum_{k=1}^{11} (2+3^k) = (2+3^1) + (2 + 3^2) + (2 + 3^3) + \dots + (2 + 3^{11})\) \[= (2 \times 11) + (3^1 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{11})\] यहाँ \(3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{11}\) एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें पहला पद \(a=3\), सार्व अनुपात \(r=3\) और पदों की संख्या \(n=11\) है। इसका योग = \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) \[= \frac{3(3^{11}-1)}{3-1}\] \[= \frac{3(3^{11}-1)}{2}\] अतः, \(\sum_{k=1}^{11} (2+3^k) = 22 + \frac{3(3^{11}-1)}{2}\)
In simple words: To evaluate the given summation, we split it into two parts: the sum of 2 for 11 terms and the sum of a geometric progression \(3^k\) for k from 1 to 11. We calculate each sum separately and then add them.

🎯 Exam Tip: Break down complex summations into simpler parts. Recognize the arithmetic and geometric progression components. Remember the sum formula for a GP: \(S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}\) for \(r>1\).

 

Question 12. एक गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योगफल है तथा उनका गुणनफल 1 है। सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी के तीन पद \(\frac{a}{r}, a\) तथा \(ar\) हैं। योगफल, \(\frac{a}{r} + a + ar = \frac{39}{10} \quad ...(1)\) तथा गुणनफल = \(\frac{a}{r} \times a \times ar = a^3 = 1\) या \(a = 1 \quad ...(2)\) समी (1) में \(a = 1\) रखने पर \[\frac{1}{r} + 1 + r = \frac{39}{10}\] 10r से गुणा करने पर \[10 + 10r + 10r^2 = 39r\] \[10r^2 - 29r + 10 = 0\] \[(2r-5)(5r-2) = 0\] \[r = \frac{5}{2} \text{ या } \frac{2}{5}\] यदि \(a = 1\) और \(r = \frac{5}{2}\) तो गुणोत्तर श्रेणी के पद \(\frac{1}{5/2}, 1, \frac{5}{2}\) होंगे, यानी \(\frac{2}{5}, 1, \frac{5}{2}\). यदि \(a = 1\) और \(r = \frac{2}{5}\) तो गुणोत्तर श्रेणी के पद \(\frac{1}{2/5}, 1, \frac{2}{5}\) होंगे, यानी \(\frac{5}{2}, 1, \frac{2}{5}\). अतः गुणोत्तर श्रेणी के पद = \(\frac{2}{5}, 1, \frac{5}{2}\) या \(\frac{5}{2}, 1, \frac{2}{5}\).
In simple words: We are given the sum and product of three terms in a geometric progression. By representing the terms as \(\frac{a}{r}, a, ar\), we can use the product to find 'a' directly. Then, substitute 'a' into the sum equation to find the common ratio 'r', and subsequently determine the terms.

🎯 Exam Tip: When dealing with an odd number of terms in a GP (like 3 or 5), represent them symmetrically as \(\frac{a}{r}, a, ar\) (or \(\frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2\)). This simplifies the product significantly, allowing for a quick solution for 'a'.

 

Question 13. गुणोत्तर श्रेणी \(3, 3^2, 3^3, ......\) के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल 120 हो जाए।
Answer: हल : मान लो गुणोत्तर श्रेणी के कुल पद = n पहला पद, \(a = 3\) सार्व अनुपात, \(r = \frac{3^2}{3} = 3\) n पदों का योगफल = \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), \(r>1\) \[120 = \frac{3(3^n-1)}{3-1}\] \[120 = \frac{3(3^n-1)}{2}\] या \(3(3^n-1) = 120 \times 2 = 240\) 3 से भाग देने पर \[3^n-1 = \frac{240}{3} = 80\] या \(3^n = 80+1 = 81\) \[3^n = 3^4\] अतः \(n = 4\).
In simple words: We need to find how many terms of the given geometric progression sum up to 120. We identify the first term and common ratio, then use the formula for the sum of 'n' terms of a GP and solve for 'n'.

🎯 Exam Tip: Identify 'a' and 'r' correctly. Use the sum formula \(S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}\) as \(r>1\). Solving for 'n' often involves converting numbers to powers of the same base.

 

Question 14. किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल 16 है तथा अगले 3 पदों का योग 128 है तो गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी \(a, ar, ar^2, \dots\) है। पहला पद = a सार्व अनुपात = r तीन पदों का योगफल = \(a + ar + ar^2 = a(1+r+r^2)\) या \(\frac{a(r^3-1)}{r-1} = 16 \quad ...(1)\) अगले तीन पदों का योगफल = \(ar^3 + ar^4 + ar^5 = ar^3(1+r+r^2)\) या \(\frac{ar^3(r^3-1)}{r-1} = 128 \quad ...(2)\) समी (2) को (1) से भाग देने पर, \[\frac{\frac{ar^3(r^3-1)}{r-1}}{\frac{a(r^3-1)}{r-1}} = \frac{128}{16}\] \[r^3 = 8\] या \(r = 2\) समी (1) में r का मान रखने पर \[\frac{a(2^3-1)}{2-1} = 16\] \[\frac{a(8-1)}{1} = 16\] \[7a = 16\] \[a = \frac{16}{7}\] यहाँ \(r > 1\). n पदों का योगफल \(S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}\) \[S_n = \frac{\frac{16}{7}(2^n-1)}{2-1}\] \[S_n = \frac{16}{7}(2^n-1)\] अतः \(a = \frac{16}{7}, r = 2, S_n = \frac{16}{7}(2^n-1)\).
In simple words: We are given the sum of the first three terms and the sum of the next three terms of a geometric progression. We use these sums to find the common ratio 'r' and the first term 'a'. Finally, we write the formula for the sum of 'n' terms of this GP.

🎯 Exam Tip: Write down the sum formulas for the first three terms and the next three terms (which can be seen as \(ar^3\) times the sum of the first three). Dividing these two sums provides a simple way to find 'r'. Then, substitute 'r' back to find 'a'.

 

Question 15. एक गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a = 729 तथा 7वाँ पद 64 है, तो S7 ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद \(a = 729\)
मान लीजिए सार्व अनुपात = \(r\)
\( \therefore \) 7वाँ पद = \(ar^{7-1} = ar^6\)
\(729 r^6 = 64\)

\( \implies r^6 = \frac{64}{729} = \left(\frac{2}{3}\right)^6\)

\( \therefore r = \frac{2}{3}\)
अब \(S_7 = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\)
\( = \frac{729 \left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^7\right]}{1-\frac{2}{3}}\)
\( = \frac{729 \left[1-\frac{128}{2187}\right]}{\frac{1}{3}}\)
\( = 729 \times 3 \times \left[\frac{2187-128}{2187}\right]\)
\( = \frac{729 \times 3}{2187} \times (2059)\)
\( = 2059.\)
In simple words: This question asks to find the sum of the first 7 terms (S7) of a geometric progression. First, we use the given first term (a) and the 7th term to find the common ratio (r). Once 'a' and 'r' are known, the formula for the sum of 'n' terms of a geometric progression is applied to find S7.

🎯 Exam Tip: Remember the formulas for the nth term \( (ar^{n-1}) \) and the sum of n terms \( \left(\frac{a(1-r^n)}{1-r}\right) \) of a geometric progression. Pay attention to calculation accuracy, especially with powers and fractions.

 

Question 16. एक गुणोत्तर श्रेणी को ज्ञात कीजिए, जिसके प्रथम दो पदों का योगफल -4 है तथा 5वाँ पद तृतीय पद को 4 गुना है।
Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = \(a\)
सार्व अनुपात = \(r\)
पहले दो पदों का योग = \(a + ar = -4\)
5वाँ पद = \(ar^4\), तीसरा पद = \(ar^2\)
5वाँ पद = 4 × तीसरा पद
\(ar^4 = 4 \times ar^2\)
\(r^2 = 4\) या \(r = \pm 2\)
समी (1) में \(r = 2\) रखने पर
\(a(1 + 2) = -4\)
\(3a = -4\)
\( \therefore a = -\frac{4}{3}\)
गुणोत्तर श्रेणी है: \(-\frac{4}{3}, -\frac{8}{3}, -\frac{16}{3}, -\frac{32}{3}, \dots\)
और जब \(r = -2\), \( \therefore a(1-2) = -4\), या \(a = 4\)
गुणोत्तर श्रेणी है: \(4, -8, 16, -32, \dots\)
In simple words: We are given two conditions about a geometric progression: the sum of the first two terms and a relationship between the 5th and 3rd terms. We use these to find the first term (a) and the common ratio (r), which allows us to define the geometric progression. Two possible series are found based on \(r = \pm 2\).

🎯 Exam Tip: When solving for the common ratio 'r', remember to consider both positive and negative roots if \(r^2\) is found, as both can lead to valid geometric progressions. Always check if the obtained values satisfy all given conditions.

 

Question 17. यदि किसी गुणोत्तर का 4 वाँ, 10 वाँ तथा 16 वाँ पद क्रमशः x, y तथा z हैं, तो सिद्ध कीजिए कि x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = \(A\)
सार्व अनुपात = \(R\)
चौथा पद = \(x = AR^{4-1} = AR^3\)
10वाँ पद = \(y = AR^{10-1} = AR^9\)
16वाँ पद = \(z = AR^{16-1} = AR^{15}\)
सिद्ध करना है कि \(x, y, z\) गुणोत्तर श्रेणी में हैं, इसका मतलब है कि \(y^2 = xz\)
बायाँ पक्ष = \(y^2 = (AR^9)^2 = A^2R^{18}\)
दायाँ पक्ष = \(xz = (AR^3)(AR^{15}) = A^2R^{3+15} = A^2R^{18}\)
चूंकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष, अतः \(x, y, z\) गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
In simple words: This problem asks us to prove that three specific terms (4th, 10th, and 16th) of a geometric progression (GP) themselves form a GP. We express these terms in general form using the first term A and common ratio R. Then, we check if the property of a GP \( (middle\_term^2 = product\_of\_other\_two) \) holds true for x, y, and z.

🎯 Exam Tip: For proving terms are in a Geometric Progression, always use the definition \(b^2 = ac\). Express the terms using the general formula \(ar^{n-1}\) and simplify to show the relationship.

 

Question 18. अनुक्रम 8, 88, 888, ....... के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : मान लीजिए \(S = 8 + 88 + 888 + \dots n\) पदों तक
\( = 8 [1 + 11 + 111 + \dots n\) पदों तक]\(
\( \therefore = \frac{8}{9} [9 + 99 + 999 + \dots n\) पदों तक]\(
\( = \frac{8}{9} [(10-1) + (100-1) + (1000-1) + \dots n\) पदों तक]\(
\( = \frac{8}{9} [(10 + 100 + 1000 + \dots n\) पदों तक) - \(n]\)
\( = \frac{8}{9} \left[\frac{10(10^n-1)}{10-1} - n\right]\)
\( = \frac{8}{9} \left[\frac{10(10^n-1)}{9} - n\right]\)
\( = \frac{80}{81}(10^n-1) - \frac{8n}{9}\)
In simple words: To find the sum of n terms of the given sequence (8, 88, 888...), we first factor out 8, then multiply and divide by 9 to express each term as \( (10^k - 1) \). This converts the sequence into a sum of a geometric progression (powers of 10) and a simple arithmetic series of 1s, which can then be summed using standard formulas.

🎯 Exam Tip: For sequences of repeating digits like 8, 88, 888, a common technique is to factor out the digit, then multiply and divide by 9 to transform the terms into \( (10^k - 1) \), which simplifies the summation into a geometric series and an arithmetic series.

 

Question 19. अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32, तथा 128, 32, 8, 2, के संगत पेदीं के गुणनफल से बने अनुक्रम का योगफल ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : अनुक्रम \(2, 4, 8, 16, 32\) तथा \(128, 32, 8, 2, \frac{1}{2}\) के संगत पदों के गुणनफल \(2 \times 128, 4 \times 32, 8 \times 8, 16 \times 2, 32 \times \frac{1}{2}\)
या \(256, 128, 64, 32, 16\).
गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद, \(a = 256\)
सार्व अनुपात, \(r = \frac{128}{256} = \frac{1}{2}\), \(n = 5\)
योगफल = \(S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\)
\( = \frac{256 \left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^5\right]}{1-\frac{1}{2}}\)
\( = 256 \times 2 \left(1-\frac{1}{32}\right)\)
\( = 256 \times 2 \times \frac{31}{32}\)
\( = 16 \times 31\)
\( = 496\).
In simple words: This problem involves two given sequences. We first calculate the product of their corresponding terms to form a new sequence. Then, we identify this new sequence as a geometric progression, find its first term, common ratio, and the number of terms. Finally, we apply the formula for the sum of n terms of a geometric progression to find the total sum.

🎯 Exam Tip: When forming a new sequence from existing ones, ensure you correctly apply the operation (here, multiplication) to corresponding terms. Accurately identify the first term, common ratio, and number of terms for the resulting sequence before applying summation formulas.

 

Question 20. दिखाइए कि अनुक्रम \(a, ar, ar^2,\dots ar^{n-1}\) तथा \(A, AR, AR^2, \dots AR^{n-1}\) के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेणी होती है तथा सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम \(aA, (ar)(AR), (ar^2)(AR^2), \dots (ar^{n-1})(AR^{n-1})\)
या \(aA, aArR, aAr^2R^2, \dots aAr^{n-1}R^{n-1}\)
स्पष्ट है कि यह पद गुणोत्तर श्रेणी में है।
इसका पहला पद = \(aA\)
सार्व अनुपात = \(\frac{aArR}{aA} = rR\).
In simple words: We are given two geometric progressions. We form a new sequence by multiplying the corresponding terms of these two progressions. To show that this new sequence is also a geometric progression, we need to demonstrate that the ratio of consecutive terms is constant. We then identify this constant ratio as the common ratio of the new sequence.

🎯 Exam Tip: To prove a sequence is a geometric progression, show that the ratio of any term to its preceding term is constant. The common ratio of the product of two GPs is the product of their individual common ratios.

 

Question 21. ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हो, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से 9 अधिक हो, तथा दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक हो ।
Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी \(a, ar, ar^2, ar^3, \dots\) है
तीसरा पद = \(ar^2\), प्रथम पद = \(a\)
\(ar^2 - a = 9\) ---(1)
दूसरा पद = \(ar\), चौथा पद = \(ar^3\)
\(ar - ar^3 = 18\) ---(2)
समी (1) को (2) से भाग देने पर,
\( \frac{a(r^2-1)}{a(r-r^3)} = \frac{9}{18}\)
\( \frac{r^2-1}{r(1-r^2)} = \frac{1}{2}\)
\( \frac{-(1-r^2)}{r(1-r^2)} = \frac{1}{2}\)
\( \frac{-1}{r} = \frac{1}{2}\)
\(r = -2\)
समी (1) में \(r = -2\) रखने पर,
\(a((-2)^2 - 1) = 9\)
\(a(4-1) = 9\)
\(3a = 9\)
\(a = 3\)
गुणोत्तर श्रेणी के चार पद \(a, ar, ar^2, ar^3\) हैं, जो \(3, 3(-2), 3(-2)^2, 3(-2)^3\) हैं।
\(3, -6, 12, -24\)
In simple words: This problem requires finding four terms of a geometric progression (GP) based on two given conditions. We set up two equations using the general terms of a GP and the provided information. By solving these simultaneous equations, we find the first term 'a' and the common ratio 'r', which then allows us to determine the four required terms of the GP.

🎯 Exam Tip: When setting up equations for geometric progressions, use the general terms \(a, ar, ar^2, \dots\). Look for opportunities to simplify equations by division or factoring common terms to easily find 'a' and 'r'.

 

Question 22. यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का p वाँ, q वाँ तथा r वाँ पद क्रमशः a, b, तथा c हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(a^{q-r} \cdot b^{r-p} \cdot c^{p-q} = 1\).
Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद \(A\) और सार्व अनुपात \(R\) है
pवाँ पद = \(a = AR^{p-1}\) ---(1)
qवाँ पद = \(b = AR^{q-1}\) ---(2)
rवाँ पद = \(c = AR^{r-1}\) ---(3)
समी (1) की \(q-r\), समी (2) की \(r-p\), समी (3) की \(p-q\) घात का प्रयोग करने पर,
\(a^{q-r} \cdot b^{r-p} \cdot c^{p-q} = (AR^{p-1})^{q-r} \cdot (AR^{q-1})^{r-p} \cdot (AR^{r-1})^{p-q}\)
\( = A^{(q-r)+(r-p)+(p-q)} \cdot R^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}\)
\( = A^{q-r+r-p+p-q} \cdot R^{pq-pr-q+r+qr-pq-r+p+rp-rq-p+q}\)
\( = A^0 \cdot R^0\)
\( = 1 \times 1\)
\( = 1\).
इति सिद्धम् ।
In simple words: This problem asks to prove a specific relationship between the p-th, q-th, and r-th terms of a geometric progression (GP). We first express each term (a, b, c) using the general formula for the n-th term of a GP. Then, we substitute these expressions into the given equation, use exponent rules to simplify the powers of the first term and common ratio, and show that the entire expression evaluates to 1.

🎯 Exam Tip: This type of proof is common in sequences and series. Ensure careful application of exponent rules: \( (x^m)^n = x^{mn} \) and \( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \). Pay close attention to cancelling out terms in the exponents to reach \( A^0 R^0 = 1 \).

 

Question 23. यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम तथा n वाँ पद a तथा b हैं, एवं P, n पदों का गुणनफल हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(P^2 = (ab)^n\).
Answer: हल : मान लो गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात \(r\) है।
पहला पद = \(a\)
nवाँ पद = \(ar^{n-1} = b\) ---(1)
\(P = n\) पदों का गुणनफल
\( = a \cdot ar \cdot ar^2 \cdot ar^3 \dots ar^{n-1}\)
\( = a^n \cdot r^{1+2+3+\dots+(n-1)}\)
\( = a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
\(P^2 = \left(a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}\right)^2\)
\(P^2 = a^{2n} \cdot r^{n(n-1)}\) ---(2)
समी (1) से, \(b = ar^{n-1} \implies \frac{b}{a} = r^{n-1}\)
अब \( (ab)^n = (a \cdot ar^{n-1})^n\)
\( = (a^2 r^{n-1})^n\)
\( = a^{2n} r^{n(n-1)}\) ---(3)
समी (2) और (3) से, \(P^2 = (ab)^n\).
इति सिद्धम् ।
In simple words: We need to prove that the square of the product of 'n' terms (P) in a geometric progression (GP) is equal to the product of the first term 'a' and the nth term 'b', raised to the power of 'n'. We express the product P and \( (ab)^n \) using the first term 'a' and common ratio 'r', and then show that both expressions simplify to the same value.

🎯 Exam Tip: For problems involving the product of terms in a GP, remember the sum of the exponents of 'r' from 1 to \( (n-1) \) is \( \frac{(n-1)n}{2} \). Be careful with exponent multiplication and distribution when squaring the product P and raising \( (ab) \) to the power of 'n'.

 

Question 24. दिखाइए कि एक गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योगफल तथा \((n + 1)\) वें पद से \((2n)\) वें पद तक के पदों के योगफल का अनुपात हैं।
Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद \(a\) और सार्व अनुपात = \(r\) हों, तब
n पदों का योगफल = \(S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\) ---(1)
\((n + 1)\) वाँ पद = \(ar^{(n+1)-1} = ar^n\)
\((n + 1)\) वें पद से \((2n)\) वें पद तक के पदों का योगफल = \(ar^n + ar^{n+1} + ar^{n+2} + \dots ar^{2n-1}\)
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका पहला पद \(ar^n\), सार्व अनुपात \(r\) और पदों की संख्या \(n\) है।
योगफल = \( \frac{ar^n(1-r^n)}{1-r} \) ---(2)
समी (1) को (2) से भाग देने पर,
\(\frac{n \text{ पदों का योगफल}}{\text{अगले n पदों का योगफल}} = \frac{\frac{a(1-r^n)}{1-r}}{\frac{ar^n(1-r^n)}{1-r}}\)
\( = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \times \frac{1-r}{ar^n(1-r^n)}\)
\( = \frac{1}{r^n}\)
इति सिद्धम् ।
In simple words: This problem asks us to prove that the ratio of the sum of the first 'n' terms to the sum of the next 'n' terms (from \((n+1)\)th to \((2n)\)th term) in a geometric progression (GP) is \(\frac{1}{r^n}\). We calculate both sums using the GP sum formula, identifying the first term and number of terms for each part, and then simplify their ratio.

🎯 Exam Tip: For sums of consecutive blocks of terms in a GP, remember that the second block can also be treated as a new GP with its own first term and common ratio. The number of terms in each block must be correctly identified.

 

Question 25. यदि \(a, b, c\) तथा \(d\) गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि \((a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2) = (ab + bc + cd)^2\).
Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात \(r\) है।
तब \(b = ar, c = ar^2, d = ar^3\)
बायाँ पक्ष = \((a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + d^2)\)
\( = [a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2][(ar)^2 + (ar^2)^2 + (ar^3)^2]\)
\( = [a^2 + a^2r^2 + a^2r^4][a^2r^2 + a^2r^4 + a^2r^6]\)
\( = a^2(1 + r^2 + r^4) \cdot a^2r^2(1 + r^2 + r^4)\)
\( = a^4r^2(1 + r^2 + r^4)^2\)
दायाँ पक्ष = \((ab + bc + cd)^2\)
\( = [a \cdot ar + ar \cdot ar^2 + ar^2 \cdot ar^3]^2\)
\( = [a^2r + a^2r^3 + a^2r^5]^2\)
\( = [a^2r(1 + r^2 + r^4)]^2\)
\( = a^4r^2(1 + r^2 + r^4)^2\)
अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
इति सिद्धम् ।
In simple words: This problem asks us to prove an identity involving four terms \(a, b, c, d\) that are in a geometric progression (GP). We substitute \(b=ar, c=ar^2, d=ar^3\) into both sides of the given equation. Then, we simplify both the Left-Hand Side (LHS) and the Right-Hand Side (RHS) by factoring out common terms and applying exponent rules, demonstrating that they are equal.

🎯 Exam Tip: When terms are in GP, expressing them in terms of 'a' and 'r' simplifies complex expressions. Always factor out common terms at each step to simplify the algebra and make the equality easier to see.

 

Question 26. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको 3 और 81 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रमः एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाए।
Answer: हल : मान लीजिए \(G_1, G_2\) ऐसी दो संख्याएँ हैं जिससे \(3, G_1, G_2, 81\) गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं।
यह कुल चार पद हैं। यदि \(r\) सार्व अनुपात हो तो
अंतिम पद \(a_4 = ar^{4-1} = ar^3\)
\(81 = 3 \cdot r^3\)
\( \frac{81}{3} = r^3\)
\(27 = r^3\)
\( \implies r = 3\)
तो \(G_1 = ar = 3 \times 3 = 9\)
\(G_2 = ar^2 = 3 \times 3^2 = 3 \times 9 = 27\)
अतः संख्याएँ 9 और 27 हैं।
In simple words: We need to find two numbers that, when inserted between 3 and 81, form a geometric progression (GP). This means we have a GP of four terms: 3, G1, G2, 81. We use the first term (3) and the fourth term (81) to find the common ratio (r). Once 'r' is found, we can calculate G1 and G2.

🎯 Exam Tip: When inserting 'n' geometric means between two numbers, the total number of terms in the sequence becomes \(n+2\). Use the formula for the nth term \( (a_n = ar^{n-1}) \) with the total number of terms to find the common ratio.

 

Question 27. \(n\) का मान ज्ञात कीजिए ताकि \(\frac{a^{n+1} + b^{n+1}}{a^n + b^n}\), \(a\) तथा \(b\) के बीच गुणोत्तर माध्य हो।
Answer: हल : \(a\) और \(b\) के बीच गुणोत्तर माध्य = \(\sqrt{ab}\)
प्रश्नानुसार, \(\frac{a^{n+1} + b^{n+1}}{a^n + b^n} = \sqrt{ab}\)
\(a^{n+1} + b^{n+1} = \sqrt{ab} (a^n + b^n)\)
\(a^{n+1} + b^{n+1} = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}a^n + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}b^n\)
\(a^{n+1} + b^{n+1} = a^{n+\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b^{n+\frac{1}{2}}\)
\(a^{n+1} - a^{n+\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b^{n+\frac{1}{2}} - b^{n+1}\)
\(a^{n+\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = b^{n+\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})\)
चूंकि \(a \ne b\), अतः \(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} \ne 0\). हम दोनों पक्षों को \(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\) से भाग दे सकते हैं।
\(a^{n+\frac{1}{2}} = b^{n+\frac{1}{2}}\)
\(\frac{a^{n+\frac{1}{2}}}{b^{n+\frac{1}{2}}} = 1\)
\(\left(\frac{a}{b}\right)^{n+\frac{1}{2}} = \left(\frac{a}{b}\right)^0\)
\(n + \frac{1}{2} = 0\)
\(n = -\frac{1}{2}\)
In simple words: The problem asks to find the value of 'n' such that a given expression represents the geometric mean of 'a' and 'b'. We set the given expression equal to the formula for the geometric mean (\(\sqrt{ab}\)). Then, we rearrange the equation, factor common terms, and simplify using exponent rules to solve for 'n'.

🎯 Exam Tip: The geometric mean of two positive numbers 'a' and 'b' is \(\sqrt{ab}\). When solving exponential equations, try to express both sides with the same base or same exponent to simplify. Remember that if \(x^k = y^k\) and \(x \ne y\), then \(k\) must be 0.

 

Question 28. दो संख्याओं का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का 6 गुना है तो दिखाइए कि संख्याएँ \((3 + 2\sqrt{2}) : (3 - 2\sqrt{2})\) के अनुपात में हैं।
Answer: हल : मान लीजिए संख्याएँ \(a\) और \(b\) हों, तब
\(a\) और \(b\) का गुणोत्तर माध्य = \(\sqrt{ab}\)
दिया है : \(a + b = 6\sqrt{ab}\)
\(\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{6\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}\)
\(\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = 3\)
योगांतरांनुपात (Componendo and Dividendo) नियम से,
\(\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}} = \frac{3+1}{3-1}\)
\(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = \frac{4}{2} = 2\)
वर्गमूल लेकर,
\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \sqrt{2}\)
पुनः योगांतरांनुपात नियम से,
\(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\)
\(\frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\)
\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\)
वर्ग करने पर,
\(\frac{a}{b} = \left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)^2\)
\( = \frac{(\sqrt{2})^2 + 1^2 + 2\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 + 1^2 - 2\sqrt{2}}\)
\( = \frac{2 + 1 + 2\sqrt{2}}{2 + 1 - 2\sqrt{2}}\)
\( = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}\)
अतः संख्याएँ \((3 + 2\sqrt{2}) : (3 - 2\sqrt{2})\) के अनुपात में हैं।
इति सिद्धम् ।
In simple words: Given that the sum of two numbers is 6 times their geometric mean, we need to prove that their ratio is \((3 + 2\sqrt{2}) : (3 - 2\sqrt{2})\). We start with the given relationship and apply the Componendo and Dividendo rule twice, first to the expression involving \(a+b\) and \(2\sqrt{ab}\), and then again to the simplified expression involving \(\sqrt{a}\) and \(\sqrt{b}\). Finally, we square the result to find the ratio \(a/b\).

🎯 Exam Tip: The Componendo and Dividendo rule is a powerful tool for simplifying ratios \( (\text{if } \frac{x}{y} = \frac{u}{v}, \text{ then } \frac{x+y}{x-y} = \frac{u+v}{u-v}) \). Recognize when to apply it, especially when sums and differences of terms appear in ratios. Rationalize denominators involving square roots for final simplification.

 

Question 29. यदि \(A\) तथा \(G\) दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समांतर तथा गुणोत्तर माध्य हों, तो सिद्ध करो कि संख्याएँ \(A \pm \sqrt{(A + G)(A - G)}\) हैं।
Answer: हल : मान लीजिए संख्याएँ \(a\) और \(b\) हैं।
तब समांतर माध्य \(A = \frac{a+b}{2}\) ---(1)
और गुणोत्तर माध्य \(G = \sqrt{ab}\) ---(2)
समी (1) से, \(a+b = 2A\)
समी (2) से, \(ab = G^2\)
हम जानते हैं कि \((a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab\)
\((a-b)^2 = (2A)^2 - 4G^2\)
\((a-b)^2 = 4A^2 - 4G^2\)
\((a-b)^2 = 4(A^2 - G^2)\)
\(a-b = \pm 2\sqrt{A^2 - G^2}\)
\(a-b = \pm 2\sqrt{(A-G)(A+G)}\) ---(3)
\(a+b = 2A\)
समी (1) और (3) को जोड़ने पर,
\(2a = 2A \pm 2\sqrt{(A-G)(A+G)}\)
\(a = A \pm \sqrt{(A-G)(A+G)}\)
समी (1) में से (3) को घटाने पर,
\(2b = 2A \mp 2\sqrt{(A-G)(A+G)}\)
\(b = A \mp \sqrt{(A-G)(A+G)}\)
अतः संख्याएँ \(a, b\) को \(A \pm \sqrt{A^2 - G^2}\) या \(A \pm \sqrt{(A + G)(A-G)}\) से दर्शाया जा सकता है।
इति सिद्धम् ।
In simple words: This problem asks to prove that if A is the arithmetic mean and G is the geometric mean of two positive numbers 'a' and 'b', then the numbers themselves can be expressed as \(A \pm \sqrt{(A+G)(A-G)}\). We start with the definitions of arithmetic and geometric means to get expressions for \(a+b\) and \(ab\). Then, we use the identity \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \) to find \(a-b\). Finally, we solve the system of equations for \(a+b\) and \(a-b\) to find 'a' and 'b'.

🎯 Exam Tip: Remember the basic definitions: Arithmetic Mean \( (AM = \frac{a+b}{2}) \) and Geometric Mean \( (GM = \sqrt{ab}) \). The identity \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \) is crucial here. Also, recall \( A^2 - G^2 = (A-G)(A+G) \) for simplification.

 

Question 30. किसी कल्चर में बैक्टीरिया की संख्या प्रत्येक घण्टे के पश्चात् दुगुनी हो जाती है। यदि प्रारंभ में उसमें 30 बैक्टीरिया उपस्थित थे, तो बैक्टीरिया की संख्या दूसरे, चौथे तथा n वें घण्टों बाद क्या होगी ?
Answer: हलः प्रारम्भ में बैक्टीरिया की संख्या \(a = 30\)
प्रत्येक घण्टे बाद बैक्टीरिया की संख्या दुगुनी हो जाती है।
सार्व अनुपात = \(r = 2\)
दूसरा घण्टे बाद बैक्टीरिया संख्या = \(ar^2 = 30 \times 2^2 = 30 \times 4 = 120\)
चौथे घण्टे बाद बैक्टीरिया संख्या = \(ar^4 = 30 \times 2^4 = 30 \times 16 = 480\)
n वें घण्टे बाद बैक्टीरिया संख्या = \(ar^n = 30 \times 2^n\)
In simple words: This problem describes bacterial growth as a geometric progression where the initial count is 30 and it doubles every hour. This means the first term (a) is 30 and the common ratio (r) is 2. We then calculate the bacterial count after the 2nd, 4th, and n-th hours by using the general formula for the nth term of a geometric progression, \(ar^{n}\) (where 'n' here refers to the number of hours passed).

🎯 Exam Tip: Growth problems often follow geometric progression patterns. Carefully identify the initial value (first term) and the growth factor (common ratio). Remember that "after n hours" typically refers to the \((n+1)\)th term or \(ar^n\) depending on how the initial state is indexed. Here, "after 2nd hour" means \(ar^2\).

 

Question 31. 500 रुपए धनराशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 10 वर्षों बाद क्या हो जाएगी, ज्ञात कीजिए ?
Answer: हल : माना \(A\) मिश्रधन, \(P\) मूलधन, \(r\%\) प्रतिवर्ष ब्याज की दर तथा \(n\) वर्ष का समय हो, तो
\(A = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n\)
दिया है: \(P = 500\), \(r = 10\%\), \(n = 10\) वर्ष
\(A = 500\left(1+\frac{10}{100}\right)^{10}\)
\(A = 500(1.1)^{10}\)
In simple words: This problem asks for the future value of an investment (compound interest). We are given the principal amount, the annual interest rate, and the time period. We use the compound interest formula \(A = P(1+\frac{r}{100})^n\) to calculate the amount after 10 years.

🎯 Exam Tip: Recognize compound interest problems as applications of geometric progression. Ensure correct substitution of principal (P), rate (r), and time (n) into the formula. Calculations involving powers can be simplified using logarithms or a calculator if allowed.

 

Question 32. यदि किसी द्विघात समीकरण के मूलों के समांतर माध्य एवं गुणोत्तर माध्य क्रमशः 8 तथा 5 हैं, तो द्विघातीय समीकरण ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : मान लीजिए द्विघात समीकरण के मूल \(a\) और \(\beta\) हों, तब
मूलों का समांतर माध्य = \(\frac{\alpha+\beta}{2} = 8\)
\( \therefore \alpha+\beta = 16\)
तथा मूलों का गुणोत्तर माध्य = \(\sqrt{\alpha\beta} = 5\)
\( \therefore \alpha\beta = 25\)
द्विघातीय समीकरण = \(x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0\)
\(x^2 - 16x + 25 = 0\).
In simple words: This problem asks to form a quadratic equation given the arithmetic mean (AM) and geometric mean (GM) of its roots. We know that for a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of roots is \(-b/a\) and the product of roots is \(c/a\). We use the given AM and GM to find the sum and product of the roots, respectively, and then substitute these values into the standard form of a quadratic equation.

🎯 Exam Tip: Remember the relationship between roots and coefficients of a quadratic equation: \(x^2 - (\text{sum of roots})x + (\text{product of roots}) = 0\). The AM gives the sum of roots directly, and the GM allows you to find the product of roots by squaring it.

 

प्रश्नावली 9.4

Question 1. 1x2+2x3+3x4+4x5+....
Answer: हल: \(1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 5 + \dots\)
प्रत्येक पद के दो गुणनखण्ड हैं।
पहले गुणनखंडों से बनी श्रेढ़ी \(1, 2, 3, 4, \dots\)
\( \therefore n\)वाँ पद = \(n\)
दूसरे गुणनखंडों से बनी श्रेढ़ी \(2, 3, 4, 5, \dots\)
\( \therefore n\)वाँ पद = \((n + 1)\)
\(1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \dots\) का \(n\)वाँ पद = \(T_n = n(n + 1) = n^2 + n\)
श्रेढ़ी का योगफल = \(\Sigma T_n = \Sigma n^2 + \Sigma n\)
\( = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}\)
\( = \frac{n(n+1)}{2} \left[\frac{2n+1}{3} + 1\right]\)
\( = \frac{n(n+1)}{2} \left[\frac{2n+1+3}{3}\right]\)
\( = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6}\)
\( = \frac{n(n+1)2(n+2)}{6}\)
\( = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\)
In simple words: To find the sum of 'n' terms of this series, we first determine the general nth term. Each term is a product of two consecutive integers, so the nth term is \(n(n+1)\). We expand this to \(n^2+n\) and then use the summation formulas for \(\Sigma n^2\) and \(\Sigma n\) to find the total sum.

🎯 Exam Tip: For series where each term is a product, first find the formula for the nth term. Then, use standard summation formulas: \( \Sigma n = \frac{n(n+1)}{2} \) and \( \Sigma n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \). Factor out common terms to simplify the final expression.

 

Question 2. 1x2x3+2x3x4+3x4x5+.......
Answer: हल: \(1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \dots\)
पहले गुणनखंडों की श्रेढ़ी \(1, 2, 3, 4, \dots n\)
\( \therefore n\)वाँ पद = \(n\)
दूसरे गुणनखंडों की श्रेढ़ी \(2, 3, 4, 5, \dots\)
\( \therefore n\)वाँ पद = \((n + 1)\)
तीसरे गुणनखंडों की श्रेढ़ी \(3, 4, 5, \dots\)
\( \therefore n\)वाँ पद = \((n + 2)\)
\(1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \dots\) का \(n\)वाँ पद = \(T_n = n(n + 1)(n + 2)\)
\( = n(n^2 + 3n + 2)\)
\( = n^3 + 3n^2 + 2n\)
श्रेढ़ी का योगफल = \(\Sigma T_n = \Sigma n^3 + 3\Sigma n^2 + 2\Sigma n\)
\( = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + 3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\frac{n(n+1)}{2}\)
\( = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)\)
\( = \frac{n(n+1)}{4} [n(n+1) + 2(2n+1) + 4]\)
\( = \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + n + 4n + 2 + 4]\)
\( = \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + 5n + 6]\)
\( = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)
In simple words: To find the sum of 'n' terms for this series, we first determine the nth term. Each term is a product of three consecutive integers: \(n, (n+1), (n+2)\). We expand this product to \(n^3 + 3n^2 + 2n\). Then, we use the summation formulas for \(\Sigma n^3\), \(\Sigma n^2\), and \(\Sigma n\) to compute the total sum.

🎯 Exam Tip: For series with terms as products of multiple consecutive integers, always find the nth term first, expand it into a polynomial, and then apply the standard summation formulas for powers of 'n'. Algebraic simplification is crucial for reaching the final compact form.

 

Question 3. \(3 \times 1^2 + 5 \times 2^2 + 7 \times 3^2 + \dots\)

 

Question 3. 3 x 1² + 5 x 2² + 7 x 3² + .......

Answer: हल : \( 3 \times 1^2 + 5 \times 2^2 + 7 \times 3^2 +..... \) पहले गुणनखंड \( 3, 5, 7,...... \) का nवाँ पद \( = 3 + (n - 1) \cdot 2 = 2n + 1 \) दूसरे गुणनखंड \( 1^2, 2^2, 3^2..... \) का nवाँ पद \( = n^2 \) अतः \( 3 \times 1^2 + 5 \times 2^2 + 7 \times 3^2 +...... \) का nवाँ पद \( = (2n + 1) n^2 = 2n^3 + n^2 \) दी हुई श्रेढ़ी का योगफल \( = 2 \sum n^3 + \sum n^2 \) \( = \frac{2n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) \( = \frac{n(n+1)}{6} [3n(n + 1) + 2n + 1] \) \( = \frac{n(n+1)}{6} (3n^2 + 3n + 2n + 1) \) \( = \frac{1}{6} n(n + 1) (3n^2 + 5n + 1). \)
In simple words: We find the general nth term by identifying the pattern in the coefficients and powers. Then, we use the summation formulas for powers of n to find the sum of the series up to n terms.

🎯 Exam Tip: Remember the standard summation formulas for \( \sum n \), \( \sum n^2 \), and \( \sum n^3 \). Break down complex series into simpler components, like the product of nth terms, before summing.

 

Question 4. \( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} +..... \)

Answer: हल : \( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} +..... \) पहले गुणनखंडों की श्रेढ़ी \( 1, 2, 3,...... \) का nवाँ पद \( = n \) दूसरे गुणनखंडों की श्रेढ़ी \( 2, 3, 4,...... \) का nवाँ पद \( = (n + 1) \) अतः \( \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} +....... \) का nवाँ पद \( = \frac{1}{n(n+1)} \) जिसे \( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \) लिखा जा सकता है। पदों को \( T_1, T_2, T_3, \) से निरूपित करते हैं और \( n = 1, 2, 3 \) रखने पर, \( T_1 = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \) \( T_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \) \( T_3 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \) \( T_4 = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \) ... \( T_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \) जोड़ने पर \( T_1 + T_2 + T_3 +.......+ T_n \) (यह एक टेलीस्कोपिक श्रृंखला है) \( = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \ldots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \) \( = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \)
In simple words: This series can be broken down using partial fractions, where each term becomes the difference of two fractions. When summed, most terms cancel out, leaving a simplified expression.

🎯 Exam Tip: Recognize telescopic series where terms cancel out. This technique often simplifies complex summations significantly. Partial fraction decomposition is key here.

 

Question 5. \( 5^2 + 6^2 + 7^2 +... 20^2 \).

Answer: हल : nवें पद वाली इस श्रेणी में, दी गई श्रेढ़ी \( 5^2 + 6^2 + 7^2 + \ldots + 20^2 \) है। यह श्रेढ़ी \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 \) के योगफल सूत्र का उपयोग करके हल की जा सकती है। यहाँ, हमें \( (1^2 + 2^2 + \ldots + 20^2) - (1^2 + 2^2 + \ldots + 4^2) \) ज्ञात करना है। हम जानते हैं कि \( \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \). पहले भाग के लिए \( n=20 \) है: \( \sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(20+1)(2 \times 20+1)}{6} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 10 \times 7 \times 41 = 2870 \) दूसरे भाग के लिए \( n=4 \) है: \( \sum_{k=1}^{4} k^2 = \frac{4(4+1)(2 \times 4+1)}{6} = \frac{4 \times 5 \times 9}{6} = 2 \times 5 \times 3 = 30 \) अतः, दी गई श्रेढ़ी का योगफल \( = 2870 - 30 = 2840 \).
In simple words: To find the sum of squares from 5 to 20, we calculate the sum of squares from 1 to 20 and subtract the sum of squares from 1 to 4.

🎯 Exam Tip: For sums of squares or cubes starting from a number other than 1, always use the strategy of summing from 1 to the upper limit and subtracting the sum from 1 to (lower limit - 1).

 

Question 6. \( 3 \times 8 + 6 \times 11 + 9 \times 14+..... \)

Answer: हल : दी गई श्रेढ़ी \( 3 \times 8 + 6 \times 11 + 9 \times 14 +.... \) है। पहले गुणनखंडों की श्रेढ़ी \( 3, 6, 9, \ldots \) का nवाँ पद \( = 3n \) है। दूसरे गुणनखंडों की श्रेढ़ी \( 8, 11, 14, \ldots \) का nवाँ पद \( = 8 + (n-1) \cdot 3 = 8 + 3n - 3 = 3n + 5 \) है। अतः, दी गई श्रेढ़ी का nवाँ पद \( T_n = (3n)(3n + 5) = 9n^2 + 15n \) है। दी हुई श्रेढ़ी के n पदों का योगफल \( S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (9k^2 + 15k) \) \( = 9 \sum n^2 + 15 \sum n \) \( = 9 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 15 \frac{n(n+1)}{2} \) \( = \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{15n(n+1)}{2} \) \( = \frac{3n(n+1)}{2} [(2n+1) + 5] \) \( = \frac{3n(n+1)}{2} [2n+6] \) \( = \frac{3n(n+1)}{2} \cdot 2(n+3) \) \( = 3n(n+1)(n+3). \)
In simple words: First, we find the nth term of the series by identifying the pattern in each part of the product. Then, we use the summation formulas for \( \sum n^2 \) and \( \sum n \) to find the total sum up to n terms.

🎯 Exam Tip: When dealing with series whose terms are products, find the general nth term for each factor separately, then multiply them to get the nth term of the product series. Then apply summation formulas.

 

Question 7. \( 1^2 + (1^2 + 2^2) + (1^2 + 2^2 + 3^2) + .... \)

Answer: हल : दी गई श्रेढ़ी \( 1^2 + (1^2 + 2^2) + (1^2 + 2^2 + 3^2) +...... \) है। इसका nवाँ पद \( T_n \) स्वयं एक श्रेढ़ी का योगफल है: \( T_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 +.....+ n^2 \) \( T_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) \( T_n = \frac{n(2n^2 + 3n+1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} \) श्रेढ़ी का योगफल \( S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k^3 + 3k^2 + k}{6} \) \( = \frac{1}{6} [2 \sum n^3 + 3 \sum n^2 + \sum n] \) \( = \frac{1}{6} \left[ 2 \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right] \) \( = \frac{1}{6} \left[ \frac{n^2(n+1)^2}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} \right] \) \( = \frac{n(n+1)}{12} [n(n+1) + (2n+1) + 1] \) \( = \frac{n(n+1)}{12} [n^2 + n + 2n + 1 + 1] \) \( = \frac{n(n+1)}{12} [n^2 + 3n + 2] \) \( = \frac{n(n+1)}{12} (n + 1) (n+2) \) \( = \frac{n(n + 1)^2 (n+2)}{12} \)
In simple words: Each term of this series is the sum of the squares of the first 'k' natural numbers. We first find a formula for the kth term, then sum these kth terms using standard summation identities for cubes, squares, and natural numbers.

🎯 Exam Tip: When a series' terms are themselves sums, always find the formula for the nth term first. This converts the problem into a standard summation problem using \( \sum n \), \( \sum n^2 \), \( \sum n^3 \) identities.

 

Question 8 से 10 तक प्रत्येक श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका nवाँ पद दिया है।

 

Question 8. \( n (n + 1) (n + 4). \)

Answer: हल : nवाँ पद \( T_n = n(n + 1)(n + 4) \) \( T_n = n(n^2 + 5n + 4) \) \( T_n = n^3 + 5n^2 + 4n \) दी हुई श्रेढ़ी के n पदों का योग \( S_n = \sum T_n = \sum n^3 + 5 \sum n^2 + 4 \sum n \) \( = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 5 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4 \frac{n(n+1)}{2} \) \( = \frac{n(n+1)}{12} [3n(n+1)+10(2n + 1) + 24] \) \( = \frac{n(n+1)}{12} [3n^2 + 3n + 20n + 10 + 24] \) \( = \frac{n(n+1)}{12} [3n^2 + 23n + 34]. \)
In simple words: We expand the given nth term formula into a polynomial in 'n'. Then, we sum each power of 'n' using known summation formulas.

🎯 Exam Tip: When the nth term is a polynomial, expand it first. Then apply the sum formulas \( \sum n^k \) for each term. Ensure common factors are extracted at each step to simplify the expression.

 

Question 9. \( n^2 + 2^n \)

Answer: हल : nवाँ पद \( T_n = n^2 + 2^n \) दी हुई श्रेढ़ी के n पदों का योग \( S_n = \sum T_n = \sum n^2 + \sum 2^n \) \( \sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) \( \sum 2^n = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^n \) यह एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( a=2 \) और सार्व अनुपात \( r=2 \) है। गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल \( S_n' = \frac{a(r^n-1)}{r-1} = \frac{2(2^n-1)}{2-1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2 \) अतः, दी हुई श्रेढ़ी का n पदों का योग \( S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2^{n+1} - 2. \)
In simple words: The sum of this series is found by summing the square terms and the exponential terms separately. The sum of squares uses a standard formula, and the sum of the exponential terms forms a geometric progression.

🎯 Exam Tip: If the nth term is a sum of different types of terms (e.g., polynomial and exponential), sum them independently. Remember the formula for the sum of a geometric progression, \( S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \).

 

Question 10. \( (2n - 1)^2 \)

Answer: हल : nवाँ पद \( T_n = (2n - 1)^2 \) \( T_n = 4n^2 - 4n + 1 \) दी हुई श्रेढ़ी के n पदों का योग \( S_n = \sum T_n = \sum (4n^2 - 4n + 1) \) \( = 4 \sum n^2 - 4 \sum n + \sum 1 \) \( = 4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \frac{n(n+1)}{2} + n \) \( = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n \) \( = \frac{n}{3} [2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3] \) \( = \frac{n}{3} [2(2n^2 + 3n + 1) - 6n - 6 + 3] \) \( = \frac{n}{3} [4n^2 + 6n + 2 - 6n - 6 + 3] \) \( = \frac{n}{3} [4n^2 - 1] \) \( = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \)
In simple words: We first expand the square of the nth term to get a polynomial. Then, we apply the standard summation formulas for n-squared, n, and a constant term to find the total sum.

🎯 Exam Tip: Always expand algebraic expressions in the nth term before applying summation formulas. Look for common factors to simplify the final result effectively.

अध्याय 9 पर विविध प्रश्नावली

 

Question 1. दर्शाइए कि किसी समांतर श्रेढ़ी के (m + n) वें तथा (m – n) वें पदों का योग m वें पद को दुगुना है।

Answer: हल : मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी का पहला पद \( a \) और सार्व अंतर \( d \) है। (m + n) वाँ पद \( T_{m+n} = a + ((m + n) - 1)d \) (m - n) वाँ पद \( T_{m-n} = a + ((m - n) - 1)d \) इन दोनों पदों का योग: \( T_{m+n} + T_{m-n} = [a + (m + n - 1)d] + [a + (m - n - 1)d] \) \( = 2a + (m + n - 1 + m - n - 1)d \) \( = 2a + (2m - 2)d \) \( = 2[a + (m - 1)d] \) हम जानते हैं कि mवाँ पद \( T_m = a + (m - 1)d \) होता है। अतः, \( T_{m+n} + T_{m-n} = 2 \times T_m \)
In simple words: We write the formulas for the (m+n)th and (m-n)th terms of an arithmetic progression. When we add them, the 'n' terms cancel out, and the expression simplifies to twice the mth term.

🎯 Exam Tip: For problems involving arithmetic progressions, always start by defining the first term 'a' and common difference 'd'. Carefully write out the formulas for the required terms and simplify.

 

Question 2. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी की तीन संख्याओं का योग 24 है तथा उनका गुणनफल 440 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

Answer: हल : मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी की तीन संख्याएँ \( a - d, a \) और \( a + d \) हैं। तीनों संख्याओं का योग \( = (a - d) + a + (a + d) = 24 \) \( 3a = 24 \) \( a = 8 \) तीन संख्याओं का गुणनफल \( = (a - d) \cdot a \cdot (a + d) \) \( = a(a^2 - d^2) \) दिया गया है कि गुणनफल 440 है। \( 8(8^2 - d^2) = 440 \) \( 8(64 - d^2) = 440 \) \( 64 - d^2 = \frac{440}{8} \) \( 64 - d^2 = 55 \) \( d^2 = 64 - 55 \) \( d^2 = 9 \) \( d = \pm 3 \) यदि \( d = 3 \), तो संख्याएँ \( a-d = 8-3=5 \), \( a=8 \), \( a+d=8+3=11 \) हैं। यदि \( d = -3 \), तो संख्याएँ \( a-d = 8-(-3)=11 \), \( a=8 \), \( a+d=8+(-3)=5 \) हैं। अतः अभीष्ट संख्याएँ 5, 8, 11 हैं।
In simple words: We assume the three numbers in arithmetic progression as a-d, a, a+d. Using their sum, we find 'a'. Then, using their product, we find 'd', which gives us the numbers.

🎯 Exam Tip: When given an odd number of terms in an AP, choosing the terms as \( a-d, a, a+d \) (for 3 terms) or \( a-2d, a-d, a, a+d, a+2d \) (for 5 terms) simplifies calculations significantly as 'd' often cancels out in sums.

 

Question 3. माना कि किसी समांतर श्रेढ़ी के n, 2n तथा 3n पदों का योगफल क्रमशः \( S_1, S_2 \) तथा \( S_3 \) हैं, तो दिखाइए कि \( S_3 = 3(S_2 - S_1). \)

Answer: हल : मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी का पहला पद \( a \) और सार्व अंतर \( d \) है। n पदों का योगफल \( S_1 = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] \) 2n पदों का योगफल \( S_2 = \frac{2n}{2} [2a + (2n - 1)d] = n[2a + (2n - 1)d] \) 3n पदों का योगफल \( S_3 = \frac{3n}{2} [2a + (3n - 1)d] \) अब हम \( S_2 - S_1 \) ज्ञात करते हैं: \( S_2 - S_1 = n[2a + (2n - 1)d] - \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] \) \( = \frac{n}{2} [2(2a + (2n - 1)d) - (2a + (n - 1)d)] \) \( = \frac{n}{2} [4a + (4n - 2)d - 2a - (n - 1)d] \) \( = \frac{n}{2} [2a + (4n - 2 - n + 1)d] \) \( = \frac{n}{2} [2a + (3n - 1)d] \) अब \( 3(S_2 - S_1) \) ज्ञात करते हैं: \( 3(S_2 - S_1) = 3 \times \frac{n}{2} [2a + (3n - 1)d] \) \( = \frac{3n}{2} [2a + (3n - 1)d] \) चूंकि \( S_3 = \frac{3n}{2} [2a + (3n - 1)d] \), तो अतः \( S_3 = 3(S_2 - S_1). \)
In simple words: We calculate \( S_1 \), \( S_2 \), and \( S_3 \) using the sum formula for an AP. Then, we substitute these into the equation \( 3(S_2 - S_1) \) and show that it equals \( S_3 \).

🎯 Exam Tip: Remember the general formula for the sum of n terms of an AP: \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \). Substitute the given number of terms carefully and simplify algebraic expressions to prove the identity.

 

Question 4. 200 और 400 के मध्य आने वाली ने सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 7 से विभाजित है।

Answer: हल : 200 से 400 के मध्य आने वाली संख्याएँ जो 7 से विभाजित हैं, वे एक समांतर श्रेढ़ी बनाती हैं। पहली संख्या: 200 के बाद 7 से विभाजित होने वाली संख्या 203 है \( (203 = 7 \times 29) \). अंतिम संख्या: 400 से पहले 7 से विभाजित होने वाली संख्या 399 है \( (399 = 7 \times 57) \). श्रेढ़ी है: 203, 210, 217,........, 399. यहाँ, प्रथम पद \( a = 203 \), सार्व अंतर \( d = 7 \), और अंतिम पद \( T_n = 399 \). nवाँ पद ज्ञात करने के लिए: \( T_n = a + (n-1)d \) \( 399 = 203 + (n-1)7 \) \( 399 - 203 = (n-1)7 \) \( 196 = (n-1)7 \) \( n-1 = \frac{196}{7} \) \( n-1 = 28 \) \( n = 29 \) अब इन 29 पदों का योगफल ज्ञात करते हैं: योगफल \( S_n = \frac{n}{2} (a + T_n) \) \( S_{29} = \frac{29}{2} (203 + 399) \) \( S_{29} = \frac{29}{2} (602) \) \( S_{29} = 29 \times 301 \) \( S_{29} = 8729. \)
In simple words: We find the first and last numbers between 200 and 400 that are divisible by 7. Then we use the AP formulas to find the count of such numbers and their total sum.

🎯 Exam Tip: For "between X and Y" problems, ensure you find the first term greater than X and the last term less than Y that satisfy the divisibility condition. Use \( T_n = a + (n-1)d \) to find 'n' and then \( S_n = \frac{n}{2} (a+L) \) for the sum.

 

Question 5. 1 से 100 तक आने वाले ने सभी पूर्णाकों का योगफल ज्ञात कीजिए जो 2 या 5 से विभाजित हों ।

Answer: हल : 1 से 100 तक के पूर्णांकों का योग ज्ञात करना है जो 2 या 5 से विभाजित हों। इसकी गणना समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) का उपयोग करके की जा सकती है: योग (2 या 5 से विभाज्य) = योग (2 से विभाज्य) + योग (5 से विभाज्य) - योग (2 और 5 दोनों से विभाज्य) 1. **2 से विभाज्य संख्याएँ (1 से 100 तक):** श्रेढ़ी: 2, 4, 6, ..., 100. यहाँ \( a=2, d=2, L=100 \). पदों की संख्या \( n_2 = \frac{100}{2} = 50 \). योग \( S_2 = \frac{n_2}{2} (a+L) = \frac{50}{2} (2+100) = 25 \times 102 = 2550 \). 2. **5 से विभाज्य संख्याएँ (1 से 100 तक):** श्रेढ़ी: 5, 10, 15, ..., 100. यहाँ \( a=5, d=5, L=100 \). पदों की संख्या \( n_5 = \frac{100}{5} = 20 \). योग \( S_5 = \frac{n_5}{2} (a+L) = \frac{20}{2} (5+100) = 10 \times 105 = 1050 \). 3. **2 और 5 दोनों से विभाज्य संख्याएँ (अर्थात् 10 से विभाज्य) (1 से 100 तक):** श्रेढ़ी: 10, 20, 30, ..., 100. यहाँ \( a=10, d=10, L=100 \). पदों की संख्या \( n_{10} = \frac{100}{10} = 10 \). योग \( S_{10} = \frac{n_{10}}{2} (a+L) = \frac{10}{2} (10+100) = 5 \times 110 = 550 \). समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके कुल योगफल: कुल योग \( = S_2 + S_5 - S_{10} \) \( = 2550 + 1050 - 550 \) \( = 3600 - 550 \) \( = 3050. \)
In simple words: To find the sum of numbers divisible by 2 or 5, we add the sum of numbers divisible by 2 and the sum of numbers divisible by 5, then subtract the sum of numbers divisible by both (i.e., by 10) to avoid double-counting.

🎯 Exam Tip: For "divisible by A or B" problems, always apply the Principle of Inclusion-Exclusion: Sum(A or B) = Sum(A) + Sum(B) - Sum(A and B). 'A and B' implies divisibility by LCM(A, B).

 

Question 6. दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए, जिनको 4 से विभाजित करने पर शेषफल 1 हो।

Answer: हल : दो अंकों की संख्याएँ 10 से 99 तक होती हैं। ऐसी संख्याएँ जो 4 से विभाजित करने पर 1 शेष देती हैं, वे \( 4k+1 \) रूप की होंगी। दो अंकों की पहली ऐसी संख्या: \( 4k+1 > 10 \implies 4k > 9 \implies k > 2.25 \). तो \( k=3 \). पहली संख्या \( = 4(3)+1 = 13 \). दो अंकों की अंतिम ऐसी संख्या: \( 4k+1 < 100 \implies 4k < 99 \implies k < 24.75 \). तो \( k=24 \). अंतिम संख्या \( = 4(24)+1 = 96+1 = 97 \). इस प्रकार, श्रेढ़ी है: 13, 17, 21, ..., 97. यह एक समांतर श्रेढ़ी है जिसमें प्रथम पद \( a=13 \), सार्व अंतर \( d=4 \), और अंतिम पद \( T_n = 97 \). पदों की संख्या \( n \) ज्ञात करने के लिए: \( T_n = a + (n-1)d \) \( 97 = 13 + (n-1)4 \) \( 97 - 13 = (n-1)4 \) \( 84 = (n-1)4 \) \( n-1 = \frac{84}{4} \) \( n-1 = 21 \) \( n = 22 \) अब इन 22 पदों का योगफल ज्ञात करते हैं: योगफल \( S_n = \frac{n}{2} (a + T_n) \) \( S_{22} = \frac{22}{2} (13 + 97) \) \( S_{22} = 11 \times 110 \) \( S_{22} = 1210. \)
In simple words: We find the first and last two-digit numbers that leave a remainder of 1 when divided by 4. These form an arithmetic progression. Then we count the terms and calculate their sum.

🎯 Exam Tip: For remainder-based AP problems, express terms as \( ak+r \). Determine the range for 'k' to find the first and last terms within the given number range (e.g., two-digit numbers).

 

Question 7. सभी \( x, y \in N \) के लिए \( f(x + y) = f(x) \cdot f(y) \) को संतुष्ट करता हुआ । एक ऐसा फलन है कि \( f(1) = 3 \) एवं \( \sum_{x=1}^{n} f(x) = 120 \) तो \( n \) का मान ज्ञात करो।

Answer: हल : दिया गया है कि \( f(x + y) = f(x) \cdot f(y) \) और \( f(1) = 3 \). हम \( f(x) \) के कुछ मान ज्ञात करते हैं: \( f(1) = 3 \) \( f(2) = f(1+1) = f(1) \cdot f(1) = 3 \cdot 3 = 3^2 = 9 \) \( f(3) = f(1+2) = f(1) \cdot f(2) = 3 \cdot 9 = 3^3 = 27 \) \( f(4) = f(1+3) = f(1) \cdot f(3) = 3 \cdot 27 = 3^4 = 81 \) यह स्पष्ट है कि \( f(x) = 3^x \) है। दी गई श्रेढ़ी \( f(1) + f(2) + f(3) + \ldots + f(n) = 120 \) है। अर्थात् \( 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^n = 120 \). यह एक गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) है जिसका प्रथम पद \( a=3 \), सार्व अनुपात \( r=3 \), और पदों की संख्या \( n \) है। गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल का सूत्र \( S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \) होता है। \( S_n = \frac{3(3^n-1)}{3-1} = 120 \) \( \frac{3(3^n-1)}{2} = 120 \) \( 3(3^n-1) = 120 \times 2 \) \( 3(3^n-1) = 240 \) \( 3^n-1 = \frac{240}{3} \) \( 3^n-1 = 80 \) \( 3^n = 80 + 1 \) \( 3^n = 81 \) \( 3^n = 3^4 \) अतः \( n = 4. \)
In simple words: The given functional equation implies that \( f(x) \) is an exponential function. Since \( f(1)=3 \), we find \( f(x) = 3^x \). The sum is then a geometric progression, and we use its sum formula to find 'n'.

🎯 Exam Tip: Recognize common functional equations. \( f(x+y) = f(x)f(y) \) implies an exponential function \( f(x) = a^x \). Once the function is identified, the problem becomes a standard geometric progression sum.

 

Question 8. गुणोचर श्रेढ़ी के कुछ पदों का योग 315 है, उसका प्रथम पद तथा सार्व अनुपात क्रमशः 5 और 2 हैं। अंतिम पद तथा पदों की संख्या ज्ञात करो ।

Answer: हल : दी हुई गुणोत्तर श्रेणी में, प्रथम पद \( a = 5 \) सार्व अनुपात \( r = 2 \) n पदों का योग \( S_n = 315 \) गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल का सूत्र \( S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \) होता है। \( 315 = \frac{5(2^n-1)}{2-1} \) \( 315 = 5(2^n-1) \) \( \frac{315}{5} = 2^n-1 \) \( 63 = 2^n-1 \) \( 2^n = 63 + 1 \) \( 2^n = 64 \) \( 2^n = 2^6 \) अतः, पदों की संख्या \( n = 6 \). अंतिम पद (nवाँ पद) \( T_n = ar^{n-1} \) \( T_6 = 5 \cdot 2^{6-1} \) \( T_6 = 5 \cdot 2^5 \) \( T_6 = 5 \cdot 32 \) \( T_6 = 160. \)
In simple words: We use the given sum, first term, and common ratio of a geometric progression to find the number of terms. Then, with the number of terms, we calculate the last term.

🎯 Exam Tip: Be careful with the power of 'r' in the nth term formula \( (r^{n-1}) \) versus the sum formula \( (r^n-1) \). Both formulas are crucial for GP problems.

 

Question 9. किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 1 है। तीसरे एवं पाँचवें पदों का योग 90 हो, तो गुणोत्तर श्रेढ़ी को सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए ।

Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद \( a \) और सार्व अनुपात \( r \) है। दिया गया है प्रथम पद \( a = 1 \). तीसरा पद \( T_3 = ar^{3-1} = ar^2 = 1 \cdot r^2 = r^2 \) पाँचवाँ पद \( T_5 = ar^{5-1} = ar^4 = 1 \cdot r^4 = r^4 \) तीसरे और पाँचवें पदों का योग 90 है: \( T_3 + T_5 = 90 \) \( r^2 + r^4 = 90 \) \( r^4 + r^2 - 90 = 0 \) यह \( r^2 \) में एक द्विघात समीकरण है। मान लीजिए \( x = r^2 \). \( x^2 + x - 90 = 0 \) मध्य पद को तोड़कर गुणनखंडन करें: \( x^2 + 10x - 9x - 90 = 0 \) \( x(x + 10) - 9(x + 10) = 0 \) \( (x + 10)(x - 9) = 0 \) अतः, \( x = -10 \) या \( x = 9 \). चूंकि \( x = r^2 \), तो \( r^2 \) ऋणात्मक नहीं हो सकता (यदि r वास्तविक है)। \( r^2 = -10 \) मान्य नहीं है (काल्पनिक r)। \( r^2 = 9 \) \( r = \pm \sqrt{9} \) \( r = \pm 3 \) अतः, गुणोत्तर श्रेढ़ी का सार्व अनुपात \( 3 \) या \( -3 \) है।
In simple words: We express the third and fifth terms in terms of the common ratio 'r'. Summing them gives a quadratic equation in \( r^2 \). Solving this quadratic yields the possible values for 'r'.

🎯 Exam Tip: Always check for the physical validity of roots (e.g., \( r^2 \) cannot be negative for a real common ratio). Solving for \( r^2 \) as a variable first can simplify quadratic equations.

 

Question 10. किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के तीन पदों का योग 56 है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाएँ तो हमें एक समांतर श्रेढी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी की तीन संख्याएँ \( a, ar, ar^2 \) हैं। तीनों पदों का योग \( = a + ar + ar^2 = 56 \) ...(1) इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाने पर प्राप्त संख्याएँ \( (a-1), (ar-7), (ar^2-21) \) समांतर श्रेढ़ी में हैं। यदि तीन संख्याएँ A, B, C AP में हैं, तो \( 2B = A + C \). तो, \( 2(ar - 7) = (a - 1) + (ar^2 - 21) \) \( 2ar - 14 = a + ar^2 - 22 \) \( 2ar - 14 = a(1 + r^2) - 22 \) \( 8 = a(1 + r^2) - 2ar \) \( 8 = a(r^2 - 2r + 1) \) \( 8 = a(r-1)^2 \) ...(2) अब समीकरण (1) और (2) का उपयोग करते हैं: समीकरण (1): \( a(1 + r + r^2) = 56 \) समीकरण (2): \( a(r-1)^2 = 8 \) समीकरण (1) को समीकरण (2) से विभाजित करने पर: \( \frac{a(1 + r + r^2)}{a(r-1)^2} = \frac{56}{8} \) \( \frac{1 + r + r^2}{r^2 - 2r + 1} = 7 \) \( 1 + r + r^2 = 7(r^2 - 2r + 1) \) \( 1 + r + r^2 = 7r^2 - 14r + 7 \) \( 0 = 6r^2 - 15r + 6 \) दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर: \( 2r^2 - 5r + 2 = 0 \) द्विघात समीकरण को हल करें: \( 2r^2 - 4r - r + 2 = 0 \) \( 2r(r - 2) - 1(r - 2) = 0 \) \( (2r - 1)(r - 2) = 0 \) अतः, \( r = 2 \) या \( r = \frac{1}{2} \). **Case 1: \( r = 2 \)** समीकरण (2) में \( r=2 \) रखें: \( a(2-1)^2 = 8 \) \( a(1)^2 = 8 \) \( a = 8 \) गुणोत्तर श्रेढ़ी की संख्याएँ \( a, ar, ar^2 \) हैं: \( 8, 8 \cdot 2, 8 \cdot 2^2 \implies 8, 16, 32 \). **Case 2: \( r = \frac{1}{2} \)** समीकरण (2) में \( r=\frac{1}{2} \) रखें: \( a(\frac{1}{2}-1)^2 = 8 \) \( a(-\frac{1}{2})^2 = 8 \) \( a(\frac{1}{4}) = 8 \) \( a = 32 \) गुणोत्तर श्रेढ़ी की संख्याएँ \( a, ar, ar^2 \) हैं: \( 32, 32 \cdot \frac{1}{2}, 32 \cdot (\frac{1}{2})^2 \implies 32, 16, 8 \). अतः, संख्याएँ 8, 16, 32 या 32, 16, 8 हैं।
In simple words: We set up equations based on the sum of three GP terms and the AP condition after subtraction. Solving these simultaneous equations for 'a' and 'r' gives the numbers.

🎯 Exam Tip: Remember the property of an AP: if A, B, C are in AP, then \( 2B = A+C \). This converts the problem into solving a system of equations involving the GP terms.

 

Question 11. किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों की संख्या सम है। यदि उसके सभी पदों का योगफल, विषम स्थान पर रखे पदों के योगफल को 5 गुना है, तो सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी का पहला पद \( a \), सार्व अनुपात \( r \), और पदों की संख्या \( 2n \) (चूंकि पदों की संख्या सम है) है। सभी पदों का योगफल \( S_{2n} = \frac{a(r^{2n}-1)}{r-1} \) विषम स्थानों पर रखे पद होंगे: \( T_1, T_3, T_5, \ldots, T_{2n-1} \). ये पद हैं: \( a, ar^2, ar^4, \ldots, ar^{2n-2} \). यह भी एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है जिसका प्रथम पद \( A = a \), सार्व अनुपात \( R = r^2 \), और पदों की संख्या \( n \) है। विषम स्थानों पर रखे पदों का योगफल \( S_{n, \text{odd}} = \frac{A(R^n-1)}{R-1} = \frac{a((r^2)^n-1)}{r^2-1} = \frac{a(r^{2n}-1)}{r^2-1} \) दिया गया है कि सभी पदों का योगफल, विषम स्थान पर रखे पदों के योगफल का 5 गुना है: \( S_{2n} = 5 \times S_{n, \text{odd}} \) \( \frac{a(r^{2n}-1)}{r-1} = 5 \times \frac{a(r^{2n}-1)}{r^2-1} \) चूंकि \( a \neq 0 \) और \( r^{2n}-1 \neq 0 \) (क्योंकि \( S_{2n} \neq 0 \)), हम \( a(r^{2n}-1) \) को दोनों तरफ से रद्द कर सकते हैं। \( \frac{1}{r-1} = \frac{5}{r^2-1} \) हम जानते हैं कि \( r^2-1 = (r-1)(r+1) \). \( \frac{1}{r-1} = \frac{5}{(r-1)(r+1)} \) चूंकि r=1 होने पर श्रेढ़ी स्थिर हो जाएगी और योगफल 5 गुना नहीं हो पाएगा, इसलिए \( r \neq 1 \). तो, हम \( (r-1) \) से गुणा कर सकते हैं: \( 1 = \frac{5}{r+1} \) \( r+1 = 5 \) \( r = 5 - 1 \) \( r = 4 \) अतः, सार्व अनुपात 4 है।
In simple words: We define two GP sums: one for all terms and one for terms at odd positions. The latter also forms a GP with a common ratio of \( r^2 \). By setting the total sum to 5 times the odd-position sum, we solve for 'r'.

🎯 Exam Tip: Problems involving sums of terms at specific positions (odd/even) in a GP often lead to a new GP. Remember to adjust the first term and common ratio accordingly for the new GP.

 

Question 12. एक समांतर श्रेढ़ी के प्रथम चार पदों का योगफल 56 है। अंतिम चार पदों का योगफल 112 है। यदि इसका प्रथम पद 11 है, तो पदों की संख्या ज्ञात कीजिए ।

Answer: हल : मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद \( a \) और सार्व अंतर \( d \) है। दिया है: प्रथम पद \( a = 11 \). प्रथम चार पदों का योगफल \( S_4 = 56 \). \( S_4 = \frac{4}{2} [2a + (4-1)d] \) \( 56 = 2[2a + 3d] \) \( 56 = 2[2(11) + 3d] \) \( 56 = 2[22 + 3d] \) \( 28 = 22 + 3d \) \( 3d = 28 - 22 \) \( 3d = 6 \) \( d = 2 \) अब, अंतिम चार पदों का योगफल 112 है। अंतिम पद को \( L \) मान लीजिए। यदि श्रेढ़ी में \( n \) पद हैं, तो \( L = T_n = a + (n-1)d \). \( L = 11 + (n-1)2 = 11 + 2n - 2 = 2n + 9 \). अंतिम चार पद हैं: \( T_n, T_{n-1}, T_{n-2}, T_{n-3} \). ये पद हैं: \( (2n+9), (2n+9-2), (2n+9-4), (2n+9-6) \) अर्थात्: \( (2n+9), (2n+7), (2n+5), (2n+3) \). इन अंतिम चार पदों का योगफल: \( = (2n+9) + (2n+7) + (2n+5) + (2n+3) \) \( = 8n + (9+7+5+3) \) \( = 8n + 24 \) दिया गया है कि यह योगफल 112 है। \( 8n + 24 = 112 \) \( 8n = 112 - 24 \) \( 8n = 88 \) \( n = \frac{88}{8} \) \( n = 11 \) अतः, पदों की संख्या 11 है।
In simple words: First, we use the sum of the first four terms and the first term to find the common difference. Then, knowing the common difference, we express the last four terms and sum them. Equating this sum to the given value allows us to find the total number of terms.

🎯 Exam Tip: When dealing with sums of initial and final segments of an AP, determine the common difference first. Express the terms (e.g., \( T_n, T_{n-1} \)) in terms of 'a', 'd', and 'n' to form solvable equations.

 

Question 13. यदि \( \frac{a+bx}{a-bx} = \frac{b+cx}{b-cx} = \frac{c+dx}{c-dx} \) (x \( \neq \) 0) हो, तो दिखाइए कि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में है।
Answer: हल : हम जानते हैं कि यदि \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) तब \( \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \)
इस नियम के अनुसार, यदि \( \frac{a+bx}{a-bx} = \frac{b+cx}{b-cx} = \frac{c+dx}{c-dx} \)
तो,
\( \frac{(a+bx)+(a-bx)}{(a+bx)-(a-bx)} = \frac{(b+cx)+(b-cx)}{(b+cx)-(b-cx)} = \frac{(c+dx)+(c-dx)}{(c+dx)-(c-dx)} \)
\( \implies \frac{2a}{2bx} = \frac{2b}{2cx} = \frac{2c}{2dx} \)
या \( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} \)
अतः a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में है।
इति सिद्धम् ।
In simple words: यह प्रश्न गुणोत्तर श्रेढ़ी के गुणधर्मों पर आधारित है। यदि तीन अनुपात बराबर हैं और वे \( \frac{x+y}{x-y} \) के रूप में हैं, तो हम इसे \( \frac{x}{y} \) के बराबर लिख सकते हैं। इस सिद्धांत का उपयोग करके, हमने यह सिद्ध किया कि दिए गए पद एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।

🎯 Exam Tip: गुणोत्तर श्रेढ़ी के अनुपातिक गुणों को याद रखें, विशेषकर जब पदों को \( \frac{x+y}{x-y} \) के रूप में दिया गया हो। यह अनुपात के नियम का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है।

 

Question 14. किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी में S, n पदों का योग, P उनका गुणनफल तथा R उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि \( P^2 R^n = S^n \).
Answer: हल : मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी \( a + ar + ar^2 +..... + ar^{n-1} \)
इन n पदों का गुणनफल,
\( P = a. ar . ar^2...... ar^{n-1} \)
\( = a^n. r^{1 + 2 +...+ (n - 1)} \)
\( = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}} \)
\( P^2 = a^{2n} r^{n(n-1)} \)
\( R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} +..... + \frac{1}{ar^{n-1}} \)
\( = \frac{1}{a} \frac{(1- (\frac{1}{r})^n)}{1-\frac{1}{r}} \)
\( = \frac{(1-r^n)r}{ar^n(1-r)} \)
\( R^n = \frac{(1-r^n)^n}{a^n r^{n(n-1)}(1-r)^n} \)
बायाँ पक्ष : \( P^2 R^n = a^{2n} r^{n(n-1)} \times \frac{(1-r^n)^n}{a^n r^{n(n-1)}(1-r)^n} \)
\( = \frac{a^n (1-r^n)^n}{(1-r)^n} = S^n \)
जबकि \( S = a + ar + ar^2 +..... + ar^{n-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \)
अतः \( P^2R^n = S^n \).
In simple words: इस प्रश्न में गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों के योग (S), गुणनफल (P) और व्युत्क्रमों के योग (R) के बीच संबंध स्थापित करना था। हमने पहले P, S और R के लिए व्यंजक निकाले, फिर उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करके यह सिद्ध किया कि \( P^2 R^n = S^n \).

🎯 Exam Tip: गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों के योग, गुणनफल और व्युत्क्रमों के योग के सूत्रों को अच्छी तरह याद रखें। ऐसे प्रश्नों में सूत्रों का सही अनुप्रयोग महत्वपूर्ण होता है।

 

Question 15. किसी समांतर श्रेढ़ी का p वाँ, q वाँ, r वाँ पद क्रमशः a, b, c हैं, तो सिद्ध कीजिए : (q - r) a + (r - p) b + (p - q) c = 0.
Answer: हल : मान लीजिए समांतर श्रेणी
\( A + (A + d) + (A + 2d) +....... \) है।
pवाँ पद \( = A + (p-1) d = a \)....(1)
qवाँ पद \( = A + (q - 1) d = b \)....(2)
rवाँ पद \( = A + (r-1) d = c \)....(3)
समी (2) में से समी (3) को, समी (3) में से समी (1) को, समी (1) में से समी (2) को घटाने पर
\( (q-r)d = b-c \)....(4)
\( (r-p)d = c-a \)....(5)
\( (p-q) d = a-b \)....(6)
समीकरण (4), (5) तथा (6) को क्रमशः a, b तथा c से गुणा क्ररके जोड़ने पर,
\( a(q-r)d + b(r-p)d + c(p-d)d \)
\( = a(b - c) + b(c- a) + c(a - b) \)
\( = ab - ac + bc - ba + ca - bc \)
\( = 0 \)
दोनों पक्षों में d से भाग देने पर,
\( (q-r)a + (r-p)b + (p - q)c = 0 \).
In simple words: इस प्रश्न में, हमें समांतर श्रेढ़ी के p, q, r पदों को a, b, c के रूप में दिया गया था। हमने इन पदों के लिए समीकरण बनाए और फिर उन्हें घटाकर \( (q-r)d \), \( (r-p)d \), \( (p-q)d \) के मान प्राप्त किए। अंत में, हमने उन्हें a, b, c से गुणा करके जोड़ा और यह सिद्ध किया कि उनका योग शून्य है।

🎯 Exam Tip: समांतर श्रेढ़ी के nवें पद के सूत्र \( a_n = A + (n-1)d \) का उपयोग करके समीकरण बनाएं। फिर समीकरणों को व्यवस्थित रूप से हल करके परिणाम प्राप्त करें।

 

Question 16. यदि \( a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}), b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}), c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \) समांतर श्रेढ़ी में हैं, तो सिद्ध करो कि a, b, c समांतर श्रेढ़ी में हैं।
Answer: हल : \( a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}), b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}), c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \) समांतर श्रेढ़ी में हैं,
या \( (\frac{a}{b}+\frac{a}{c}), (\frac{b}{c}+\frac{b}{a}), (\frac{c}{a}+\frac{c}{b}) \) भी समांतर श्रेढ़ी में हैं।
\( 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \) से भाग देने पर,
\( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \) समांतर श्रेढ़ी में हैं।
इति सिद्धम् ।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें तीन पद दिए गए थे जो एक समांतर श्रेढ़ी में थे। हमने उन पदों को सरल बनाया और देखा कि वे सभी \( (1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \) से भाग देने पर \( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \) बन जाते हैं, जो समांतर श्रेढ़ी के गुणधर्म को संतुष्ट करते हैं।

🎯 Exam Tip: समांतर श्रेढ़ी के गुणधर्मों का उपयोग करें, जैसे कि यदि a, b, c AP में हैं, तो 2b = a+c। दिए गए पदों को सरल बनाने के लिए सामान्य गुणनखंडों का उपयोग करें।

 

Question 17. यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि \( (a^n + b^n), (b^n + c^n), (c^n + d^n) \) गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
Answer: हल : a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
मान लीजिए सार्व अनुपात r है।
\( b = ar, c = ar^2, d = ar^3 \)
अब
\( a^n + b^n = a^n + (ar)^n = a^n(1+r^n) \)
\( b^n + c^n = (ar)^n + (ar^2)^n = a^n r^n + a^n r^{2n} \)
\( = a^n r^n (1 + r^n) \)
\( c^n + d^n = (ar^2)^n + (ar^3)^n = a^n r^{2n} + a^n r^{3n} \)
\( = a^n r^{2n} (1 + r^n) \)
अब \( a^n(1 + r^n), a^n r^n(1 + r^n), a^n r^{2n}(1+r^n) \).
गुणोत्तर श्रेढ़ी हेतु :
\( [a^n (1+r^n)]^2 = a^{2n} (1 + r^n)^2 r^{2n} \)
तथा \( [a^n (1+r^n)] [a^n r^{2n} (1 + r^n)] = a^{2n} (1 + r^n)^2 r^{2n} \)
अतः \( (a^n + b^n), (b^n + c^n), (c^n + d^n) \) गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें a, b, c, d को एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में दिया गया था। हमने b, c, d को a और सार्व अनुपात r के पदों में व्यक्त किया। फिर हमने दिए गए तीन नए पदों \( (a^n + b^n) \), \( (b^n + c^n) \), \( (c^n + d^n) \) के लिए व्यंजक निकाले। यह दिखाने के लिए कि वे गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, हमने सिद्ध किया कि मध्य पद का वर्ग अन्य दो पदों के गुणनफल के बराबर है।

🎯 Exam Tip: गुणोत्तर श्रेढ़ी के मूल गुणों को याद रखें, जैसे कि यदि a, b, c GP में हैं, तो \( b^2 = ac \)। सार्व अनुपात का उपयोग करके पदों को सरल बनाएं और सिद्ध करने वाले समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

 

Question 18. यदि \( x^2 – 3x + p = 0 \) के मूल a तथा b हैं तथा? \( x^2 – 12x + q = 0 \) के मूल c तथा d हैं, जहाँ a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी के रूप में हैं। सिद्ध कीजिए कि \( (q + p) : (q – p) = 17 : 15 \).
Answer: हल : यदि समीकरण \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) के मूल \( \alpha, \beta \) हैं, तो
\( \alpha + \beta = -\frac{B}{A}, \alpha\beta = \frac{C}{A} \)
दिया है कि \( x^2 – 3x + p = 0 \) के मूल a, b हैं
\( \therefore a + b = 3, ab = p \)....(1)
इसी प्रकार \( x^2 - 12x + q = 0 \) के मूल c, d हैं
\( \therefore c + d = 12. cd = q \)....(2)
अब a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, जिसका मान लीजिए सार्व अनुपात r है।
\( \therefore b = ar, c = ar^2, d = ar^3 \)
\( a + b = 3, a + ar = 3 \)....(3)
\( c + d = 12 \) या \( ar^2 + ar^3 = 12 \)....(4)
समी (3) को (4) से भाग देने पर,
\( \frac{a(1+r)}{ar^2 (1+r)} = \frac{3}{12} \)
\( \implies \frac{1}{r^2} = \frac{1}{4} \)
या \( r = \pm 2 \)
r का मान (3) में रखने पर
\( a(1 + r) = 3 \)
या \( a (1 + 2) = 3 \)
\( \therefore a = 1 \)
\( b = ar = 2, c = ar^2 = 4, d = ar^3 = 8 \)
अब \( \frac{q+p}{q-p} = \frac{cd+ab}{cd-ab} = \frac{(ar^2)(ar^3)+aar}{(ar^2)(ar^3)-a.ar} \)
\( = \frac{a^2r^3(r^2+1)}{a^2r(r^4-1)} = \frac{r^2+1}{r^4-1} \)
\( = \frac{2^4+1}{2^4-1} \)
\( = \frac{16+1}{16-1} = \frac{17}{15} \)
In simple words: इस प्रश्न में, दो द्विघात समीकरणों के मूल दिए गए थे जो एक गुणोत्तर श्रेढ़ी बनाते हैं। हमने मूलों और गुणांकों के संबंध का उपयोग करके समीकरण बनाए। फिर, हमने गुणोत्तर श्रेढ़ी के गुणधर्मों का उपयोग करके सार्व अनुपात r और प्रथम पद a ज्ञात किया। अंत में, हमने p और q के मानों को प्रतिस्थापित करके दिए गए अनुपात को सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: द्विघात समीकरण के मूलों के योग और गुणनफल के सूत्रों को याद रखें। गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों को \( a, ar, ar^2, ar^3 \) के रूप में व्यक्त करें और समीकरणों को सावधानी से हल करें।

 

Question 19. दो धनात्मक संख्याओं a और b के बीच समांतर माध्य तथा गुणोत्तर मध्य का अनुपात m : n है। दर्शाइए कि \( a : b = (m + \sqrt{m^2 – n^2}) : (m-\sqrt{m^2-n^2}) \).
Answer: हल : a और b के बीच समांतर माध्य \( = \frac{a+b}{2} \)
a और b के बीच गुणोत्तर माध्य \( = \sqrt{ab} \)
दोनों माध्यों का अनुपात m : n
अर्थात् \( \frac{\frac{a+b}{2}}{\sqrt{ab}} = \frac{m}{n} \)
या \( \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{m}{n} \)
या \( \frac{a+b+ 2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}} = \frac{m+n}{m-n} \)
या \( \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = \frac{m+n}{m-n} \)
वर्गमूल लेकर,
\( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{m+n}}{\sqrt{m-n}} \)
\( \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{m+n}+\sqrt{m-n}}{\sqrt{m+n}-\sqrt{m-n}} \)
\( \implies \frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{m+n}+\sqrt{m-n}}{\sqrt{m+n}-\sqrt{m-n}} \)
वर्ग करते हुए,
\( \frac{a}{b} = \frac{(\sqrt{m+n}+\sqrt{m-n})^2}{(\sqrt{m-n}-\sqrt{m-n})^2} \)
\( \implies = \frac{(m+n)+(m-n)+ 2\sqrt{m^2 - n^2}}{(m+n)+(m-n)-2\sqrt{m^2-n^2}} \)
\( = \frac{2m+ 2\sqrt{m^2-n^2}}{2m-2\sqrt{m^2-n^2}} \)
\( = \frac{m+\sqrt{m^2-n^2}}{m-\sqrt{m^2-n^2}} \)
अतः \( a : b = m + \sqrt{m^2-n^2} : m-\sqrt{m^2-n^2} \).
In simple words: इस प्रश्न में, हमें दो संख्याओं के समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य का अनुपात दिया गया था। हमने इस अनुपात का उपयोग करके एक समीकरण बनाया। फिर, हमने योग-अंतर विधि (componendo and dividendo) और वर्ग करके a:b के लिए आवश्यक व्यंजक प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: समांतर माध्य \( A = \frac{a+b}{2} \) और गुणोत्तर माध्य \( G = \sqrt{ab} \) के सूत्रों को याद रखें। अनुपात को सरल बनाने के लिए योग-अंतर विधि (componendo and dividendo) का उपयोग करना अक्सर ऐसे प्रश्नों में सहायक होता है।

 

Question 20. यदि a, b, c समांतर श्रेढ़ी में हैं; b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं तथा \( \frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e} \) समांतर श्रेढ़ी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, c, e गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
Answer: हल : a, b, c समांतर श्रेढ़ी में हैं \( \therefore \frac{a+c}{2} = b \)....(1)
b, c, d, गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, \( \therefore bd = c^2 \)....(2)
\( \frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e} \) समांतर श्रेढ़ी में हैं, \( \therefore \frac{2}{d} = \frac{1}{c} + \frac{1}{e} \)
\( \implies d = \frac{2ce}{c+e} \)....(3)
b और d का मान (1) और (3) से लेकर (2) में रखने पर
\( \frac{a+c}{2} \times \frac{2ce}{c+e} = c^2 \)
या \( \frac{ce(a+c)}{c+e} = c^2 \)
या \( c(a+c) = c(c+e) \)
या \( c(a+c) = c^2+ce \)
या \( ac+c^2 = c^2+ce \)
या \( ac = ce \)
या \( a = e \)
\( \implies a, c, e \) गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
इति सिद्धम् ।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें तीन अलग-अलग श्रेढ़ियाँ (समांतर और गुणोत्तर) दी गई थीं, जो a, b, c, d, e से संबंधित थीं। हमने प्रत्येक श्रेढ़ी के गुणधर्मों का उपयोग करके समीकरण बनाए। फिर, हमने उन समीकरणों को एक साथ हल करके यह सिद्ध किया कि a, c, e एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।

🎯 Exam Tip: समांतर श्रेढ़ी (\( 2b = a+c \)) और गुणोत्तर श्रेढ़ी (\( b^2 = ac \)) के मध्य पद संबंधों के सूत्रों को याद रखें। ऐसे प्रश्नों में सभी दिए गए संबंधों को एक साथ संयोजित करके हल करना होता है।

 

Question 21. निम्नलिखित श्रेढ़ियों के n पदों का योग ज्ञात कीजिए:
(i) \( 5 + 55 + 555 + ..... \)
(ii) \( 0.6 + 0.66 + 0.666 + ..... \)
Answer: हल : (i) \( S = 5 +55 +555 +.....n \) पदों तक
\( = \frac{5}{9} [9 + 99 +999 +..... n \) पदों तक]
\( = \frac{5}{9} [(10 − 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) +.... n \) पदों तक]
\( = \frac{5}{9} [\frac{10(10^n-1)}{10-1}-n] \)
\( = \frac{5}{9} [\frac{10(10^n-1)}{9}-n] \)
\( = \frac{50}{81} (10^n-1)-\frac{5n}{9} \)
(ii) \( S = 0.6 + 0.66 + 0.666 +....n \) पदों तक
\( = \frac{6}{9} [0.9 + 0.99 + 0.999 +....n. \) पदों तक]
\( = \frac{2}{3} [(1 – 0.1) + (1 – 0.01) + (1 – 0.001) +....n \) पदों तक]
\( = \frac{2}{3} [n - \{0.1 + (0.1)^2 + (0.1)^3 +......n \) पदों तक}]
\( = \frac{2}{3} [n - \frac{0.1\{1-(0.1)^n\}}{1-0.1}] \)
\( = \frac{2}{3} [n - \frac{1}{9}\{1-(0.1)^n\}] \)
\( = \frac{2n}{3} - \frac{2}{27} (1 - \frac{1}{10^n}) \)
\( = \frac{2n}{3} - \frac{2}{27} (1-10^{-n}) \).
In simple words: इन प्रश्नों में, दी गई विशेष श्रेणियों के n पदों का योग ज्ञात करना था। हमने प्रत्येक पद को \( (10^k - 1) \) या \( (1 - 10^{-k}) \) के रूप में व्यक्त किया और फिर गुणोत्तर श्रेढ़ी के योग के सूत्र का उपयोग करके कुल योग निकाला।

🎯 Exam Tip: ऐसी विशेष श्रेणियों को \( \frac{A}{9} (10^k-1) \) या \( \frac{A}{9} (1-10^{-k}) \) के रूप में बदलने का तरीका याद रखें। फिर गुणोत्तर श्रेढ़ी के योग के सूत्र \( S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \) या \( S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \) का उपयोग करें।

 

Question 22. श्रेढ़ी का 20वाँ पद ज्ञात कीजिए : \( 2 \times 4 +4 \times 6+6 \times 8+ ..... + n \) पदों तक
Answer: हल: 2, 4, 6, ..... का 20 वाँ पद \( = 2n = 2 \times 20 = 40 \)
4, 6, 8...... का 20 वाँ पद \( = 4 + 19 \times 2 = 4 + 38 = 42 \)
\( 2 \times 4 + 4 \times 6 + 6 \times 8 +...... \) का 20 वाँ पद \( = 40 \times 42 = 1680 \).
In simple words: इस प्रश्न में, हमें दी गई श्रेढ़ी का 20वाँ पद ज्ञात करना था। हमने पहले प्रत्येक गुणनफल के पहले और दूसरे भाग का 20वाँ पद अलग-अलग निकाला, जो कि समांतर श्रेढ़ियाँ थीं। फिर, इन दोनों 20वें पदों को गुणा करके पूरी श्रेढ़ी का 20वाँ पद प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: ऐसी श्रेणियों में, प्रत्येक पद के गुणनखंडों की पैटर्न को पहचानें। अक्सर, गुणनखंड भी समांतर या गुणोत्तर श्रेढ़ी में होते हैं। फिर व्यक्तिगत पैटर्न का उपयोग करके वांछित पद ज्ञात करें।

 

Question 23. श्रेणी \( 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + ..... \) के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : मान लीजिए
\( S = 3 + 7 + 13 + 21 + 31 +......+ T_n \)
\( S = \quad 3 + 7 + 13 + 21 +......+ T_{n-1} + T_n \)
घटाने पर,
\( 0 = 3 + [4 + 6 + 8 + 10 + ...... + (n-1) \) पदों तक] \( - T_n \)
\( T_n = 3+ \frac{n-1}{2} [2 \times 4+(n-2). 2] \)
\( =3+\frac{n-1}{2}[8+2n-4] \)
\( T_n = 3+\frac{n-1}{2}[2n+4] \)
\( = 3+(n - 1)(n + 2) \)
\( = n^2+n-2+3 \)
\( = n^2 + n + 1 \)
\( \therefore \) दी हुई श्रेढ़ी का योग
\( = \Sigma n^2 + \Sigma n + n \)
\( = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+ \frac{n(n+1)}{2} + n \)
\( = \frac{n}{6} [(n + 1)(2n + 1) + 3(n + 1) + 6] \)
\( = \frac{n}{6} [2n^2 + 2n + n + 1 + 3n + 3 + 6] \)
\( = \frac{n}{6} [2n^2 + 6n + 10] \)
\( = \frac{n}{3} [n^2 + 3n + 5] \).
In simple words: इस प्रश्न में, हमें एक श्रेढ़ी का योग ज्ञात करना था जहाँ पदों के बीच का अंतर एक समांतर श्रेढ़ी में था (जैसे 4, 6, 8, ...)। हमने पहले nवें पद (T_n) को ज्ञात करने के लिए अंतर विधि का उपयोग किया। फिर, हमने योग के सूत्रों \( \Sigma n^2 \) और \( \Sigma n \) का उपयोग करके n पदों का कुल योग ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: ऐसी श्रेणियों को हल करने के लिए "अंतर विधि" (method of differences) का उपयोग करें जहाँ पदों के अंतर समांतर श्रेढ़ी में होते हैं। \( n^2 \) और \( n \) के योग के सूत्रों को याद रखें।

 

Question 24. यदि \( S_1, S_2, S_3 \) क्रमशः प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग, उनके वर्गों का योग तथा घनों का योग है, तो सिद्ध कीजिए कि \( 9S_2^2 = S_3(1 + 8S_1) \).
Answer: हल :
\( S_1 = n \) प्राकृत संख्याओं का योग
\( = 1 + 2 + 3 +.....n \) पदों तक
\( = \frac{n(n+1)}{2} \)....(1)
\( S_2 = n \) प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग
\( = 1^2 + 2^2 + 3^2 +......+ n^2 \)
\( = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)....(2)
\( S_3 = n \) प्राकृत संख्याओं के घनों का योग
\( = 1^3 + 2^3 +3^3 +....+ n^3 \)
\( = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \)....(3)
दायाँ पक्ष \( = S_3 (1 + 8S_1) \)
\( = \frac{n^2(n+1)^2}{4} [1+8\frac{n(n+1)}{2}] \)
\( = \frac{n^2(n+1)^2}{4} [1 + 4n(n+1)] \)
\( = \frac{n^2(n+1)^2}{4} [1 + 4n^2 + 4n] \)
\( = \frac{n^2(n+1)^2(2n+1)^2}{4} \)
\( = \frac{n^2(n+1)^2(2n+1)^2}{36} \times 9 \)
\( = S_2^2 \times 9 = 9S_2^2 = \) बायाँ पक्ष।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें प्रथम n प्राकृत संख्याओं के योग, वर्गों के योग और घनों के योग के बीच एक संबंध सिद्ध करना था। हमने \( S_1, S_2, S_3 \) के लिए मानक सूत्र लिखे, फिर दाहिने पक्ष में मानों को प्रतिस्थापित किया और उसे सरल बनाया। यह सरलीकरण अंततः बाएं पक्ष के बराबर आया, जिससे संबंध सिद्ध हो गया।

🎯 Exam Tip: प्रथम n प्राकृत संख्याओं के योग \( (S_1) \), वर्गों के योग \( (S_2) \) और घनों के योग \( (S_3) \) के सूत्रों को अच्छी तरह से याद रखें। बीजगणितीय सरलीकरण में सावधानी बरतें।

 

Question 25. निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों का योग ज्ञात कीजिए:
\( \frac{1^3}{1} + \frac{1^3 + 2^3}{1+3} + \frac{1^3 + 2^3 + 3^3}{1+3+5} +..... \)
Answer: हल : अंश में दी हुई संख्याएँ \( 1^3, 1^3 + 2^3, 1^3 + 2^3 + 3^3, ..... \)
nवाँ पद \( = 1^3 + 2^3 + 3^3 +......+ n^3 \)
\( = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \)
हर में दी हुई संख्याएँ \( 1, (1 + 3), (1 + 3 + 5), ...... \)
\( \therefore \) nवाँ पद \( = 1 + 3 + 5 +......n \) पदों तक
\( = \frac{n}{2} [2 + (n - 1) .2] = n^2 \)
\( \therefore \) दी हुई श्रेढ़ी का nवाँ पद \( = \frac{n^2(n+1)^2/4}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{4} \)
\( = \frac{n^2 + 2n+1}{4} \)
\( \therefore \) दी हुई श्रेढ़ी के n पदों का योग \( = \frac{1}{4} (\Sigma n^2 + 2\Sigma n + \Sigma 1) \)
\( = \frac{1}{4} [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\frac{n(n+1)}{2}+n] \)
\( = \frac{n}{24} [(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1) + 6] \)
\( = \frac{n}{24} [2n^2 + 3n + 1 + 6n + 6 + 6] \)
\( = \frac{n}{24} (2n^2 + 9n + 13) \).
In simple words: इस प्रश्न में, हमें एक ऐसी श्रेढ़ी का योग ज्ञात करना था जिसके प्रत्येक पद का अंश घनों का योग था और हर विषम संख्याओं का योग था। हमने पहले अंश और हर के nवें पद के लिए सूत्र निकाले। फिर, हमने nवें पद के सूत्र को सरल बनाया और अंत में n पदों के योग के लिए \( \Sigma n^2 \), \( \Sigma n \) और \( \Sigma 1 \) के सूत्रों का उपयोग करके कुल योग निकाला।

🎯 Exam Tip: घनों के योग \( \Sigma n^3 \) और विषम संख्याओं के योग \( n^2 \) के सूत्रों को याद रखें। भिन्न के रूप में दिए गए पदों वाली श्रेणियों में, पहले अंश और हर के nवें पद को अलग-अलग ज्ञात करें।

 

Question 26. दर्शाइए कि \( \frac{1 \times 2^2 + 2 \times 3^2 + ...... + n(n+1)^2}{1^2 \times 2 + 2^2 \times 3 + .... + n^2(n+1)} = \frac{3n+5}{3n+1} \).
Answer: हल :
अंश का nवाँ पद \( = n(n + 1)^2 = n(n^2 + 2n + 1) \)
\( = n^3 + 2n^2 + n \)
अंश के n पदों का योग \( S_1 = \Sigma n^3 + 2\Sigma n^2 + \Sigma n \)
\( = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \)
\( = \frac{n(n+1)}{12} [3n (n + 1) + 4 (2n + 1) + 6] \)
\( = \frac{n(n+1)}{12} [3n^2 + 3n + 8n + 4 + 6] \)
\( = \frac{n(n+1)}{12} [3n^2 + 11n + 10] \)
\( = \frac{n(n+1)(n+2)(3n + 5)}{12} \)
हर का nवाँ पद \( = n^2(n + 1) = n^3 + n^2 \)

 

Question 27. कोई किसान एक पुराने ट्रैक्टर को 12000 Rs. में खरीदता है। वह 6000 Rs. नकद भुगतान करता है। और शेष राशि को 500 Rs. की वार्षिक किस्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 12% वार्षिक ब्याज भी देता है। किसान को ट्रैक्टर की कुल कितनी कीमत देनी पड़ेगी?

Answer: हल : पुराने ट्रैक्टर का मूल्य = 12000 Rs.
नकद भुगतान = 6000 Rs.
शेष = 12000 - 6000 = 6000 Rs.
एक किस्त का भुगतान = 500 Rs.
कुल किस्तें = \( \frac{6000}{500} \) = 12
P मूलधन पर 12% प्रतिवर्ष की दर से 1 वर्ष का ब्याज
= \( \frac{P \times 12 \times 1}{100} = \frac{3}{25} P \)
एक वर्ष बाद ब्याज = \( \frac{3}{25} P = \frac{3}{25} \times 6000 \)
एक वर्ष बाद राशि का भुगतान = 500 + ब्याज
= \( 500 + \frac{3}{25} \times 6000 \)
दो वर्ष बाद ब्याज = \( \frac{3}{25} \times 5500 \) Rs. किस्त
2 वर्ष बाद भुगतान = \( (500 + \frac{3}{25} \times 5500) \) Rs.
12 वर्ष बाद किस्त = 12 × 500 = 6000
ब्याज = \( \frac{3}{25} \) (6000 + 5500 + 5000 +..... 12 पदों तक)
= \( \frac{3}{25} \times \frac{12}{2} \) [12000 - (12-1) × 500]
= \( \frac{3}{25} \times \frac{12}{2} \) [12000 - 5500]
= \( \frac{3}{25} \times \frac{12}{2} \times 6500 \)
= 4680 Rs.
कुल भुगतान = (12000 + 4680) Rs.,
= 16680 Rs.
In simple words: The total cost of the tractor is the initial payment plus the sum of all installments and the interest paid on the remaining amount over the years. By calculating the total interest and installments, we find the final amount paid.

🎯 Exam Tip: Remember to calculate the remaining principal after each payment for accurate interest calculation, especially in problems involving reducing balances like loan installments. Convert all currency symbols to "Rs." for uniformity.

 

Question 28. शमशाद अली 22000 Rs. में एक स्कूटर खरीदता है। वह 4000 Rs. नकद देता है और शेष राशि को 1000 Rs. वार्षिक किस्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 10% वार्षिक ब्याज भी देता है। उसे स्कूटर के लिए कुल कितनी राशि चुकानी पड़ेगी?

Answer: हल : स्कूटर की कीमत = 22000 Rs.
नकद भुगतान = 4000 Rs.
शेष = 22000 - 4000 = 18000 Rs.
एक किस्त की राशि = 1000 Rs.
कुल किस्तें = \( \frac{18000}{1000} \) = 18
P मूलधन पर एक वर्ष का 10% प्रति वर्ष की दर से ब्याज
= \( \frac{P \times 10 \times 1}{100} = \frac{P}{10} \)
किस्त देने के बाद शेष राशि जिस पर एक वर्ष का ब्याज लगना है,
= 18000, 17000, 16000,....., 1000
कुल ब्याज की राशि
= \( \frac{1}{10} \) (18000 + 17000 + 16000 +......+ 18 पदों तक)
= \( \frac{1}{10} \times \frac{18}{2} \) [2 × 18000 - (18 - 1) × 1000]
= \( \frac{9}{10} \) [36000 - 17000]
= \( \frac{9 \times 19000}{10} \) = 17100 Rs.
कुल किश्तों की राशि = 18000 Rs.
नकद = 4000 Rs.
कुल भुगतान = (18000 + 17100) + 4000 Rs.
= 39,100 Rs.
In simple words: The total amount paid for the scooter includes the initial down payment, the sum of all installments, and the accumulated interest on the outstanding balance. The total cost is determined by adding these components.

🎯 Exam Tip: Ensure all components of the total cost (down payment, installments, and interest) are correctly identified and calculated. Pay attention to how interest is applied to the remaining balance. Convert all currency symbols to "Rs." for uniformity.

 

Question 29. एक व्यक्ति अपने चार मित्रों को पत्र लिखता है। वह प्रत्येक को उसकी नकल करके चार दूसरे व्यक्तियों को भेजने का निर्देश देता है, तथा जिनसे यह भी करने को कहता है कि प्रत्येक पत्र प्राप्त करने वाला व्यक्ति इस श्रृंखला को जारी रखे । यह कल्पना करके कि श्रृंखला न टूटे तो 8वें पत्रों के समूह भेजे जाने तक कितना डाक खर्च होगा जबकि एक पत्र का डाक खर्च 50 पैसे है।

Answer: हल : पहला व्यक्ति चार पत्र लिखता है। पत्र प्राप्त करने वाले 4 व्यक्ति फिर चार-चार पत्र लिखते हैं। इस प्रकार श्रृंखला बढ़ती चली जाती है।
हर अवसर पर पत्रों की संख्याएँ 4, 16, 64....... 8 पदों तक
कुल पत्रों की संख्या = 4 + 16 + 64 + .............8 पदों तक
= \( \frac{4(4^8-1)}{4-1} \)
= \( \frac{4}{3} \) (65536 - 1)
= \( \frac{4}{3} \times 65535 \) = 87380
एक पत्र का डाक खर्च = 50 पै. = \( \frac{1}{2} \) Rs.
कुल डाक खर्च = \( 87380 \times \frac{1}{2} \)
= 43690 Rs.
In simple words: This problem describes a geometric progression where the number of letters sent multiplies by four at each step. We calculate the total number of letters sent over 8 stages and then multiply by the cost per letter to find the total postal expense.

🎯 Exam Tip: Recognize this as a geometric series problem. Clearly identify the first term (a), common ratio (r), and the number of terms (n) to use the sum formula \( S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \). Remember to convert the postal cost to rupees before the final calculation.

 

Question 30. एक आदमी ने एक बैंक में 10000 Rs. 5% वार्षिक साधारण ब्याज पर जमा किया। जब से रकम बैंक में जमा की गई तब से, 15वें वर्ष में उसके खाते में कितनी रकम हो गई तथा 20 वर्षों बाद कुल कितनी रकम हो गयी, ज्ञात कीजिए।

Answer: हल : बैंक में जमा की गई राशि = 10000 Rs.
ब्याज की दर = 5% प्रति वर्ष
एक वर्ष बाद ब्याज = \( \frac{10000 \times 5 \times 1}{100} \) = 500 Rs.
इस प्रकार हर वर्ष उसे 500 Rs. ब्याज के मिलेंगे।
1 वर्ष, 2 वर्ष, 3 वर्ष,........बाद ब्याज की राशि
500, 1000, 1500,
15वें वर्ष में ब्याज = (n-1) × 500 = (15 - 1) × 500
= 14 × 500
= 7000 Rs.
मूलधन = 10000 Rs.
उसके खाते में 15वें वर्ष में = 10000 + 7000
= 17000 Rs. होंगें
20 वर्ष का ब्याज = 20 × 500
= 10000 Rs.
मूलधन = 10000 Rs.
20 वर्ष बाद बैंक में कुल जमा राशि = 10000 + 10000 = 20000 Rs.
In simple words: For simple interest, the interest earned each year remains constant. We calculate the interest for 14 years to find the total amount at the 15th year, and for 20 years to find the total amount at the 20th year, by adding the principal.

🎯 Exam Tip: For simple interest, calculate the interest for one year and then multiply it by the number of years. Remember to add the principal to the total interest to find the total amount. Ensure to replace rupee symbols with "Rs.". This is a simple interest problem, not compound interest.

 

Question 31. एक निर्माता घोषित करता है कि उसे की मशीन जिसका मूल्य 15625 Rs. है, हर वर्ष 20% की दर से उसका अवमूल्यन होता है। 5 वर्ष के बाद मशीन का अनुमानित मूल्य ज्ञात कीजिए।

Answer: हल : यदि किसी मशीन का r% की दर से अवमूल्यन हो रहा है n वर्ष बाद मशीन का मूल्य \( P(1-\frac{r}{100})^n \) होगा।
प्रारभ में मशीन का मूल्य P Rs. है।
यहां पर P = 15625, r = 20% प्रति वर्ष, n = 5 वर्ष
उस मशीन का 5 वर्ष बाद का मूल्य
= \( 15625(1-\frac{20}{100})^5 \)
= \( 15625(\frac{4}{5})^5 \)
= \( 15625 \times (.8)^5 \) = 5120 Rs.
In simple words: Depreciation means the value of an asset decreases over time at a certain percentage. We use the formula for depreciation, similar to compound interest, to find the machine's value after 5 years, given its initial price and annual depreciation rate.

🎯 Exam Tip: This problem involves depreciation, which is similar to compound interest but with a negative growth rate. Use the formula \( A = P(1 - \frac{r}{100})^n \). Ensure calculations are precise, especially for powers. Convert all currency symbols to "Rs." for uniformity.

 

Question 32. किसी कार्य को कुछ दिनों में पूरा करने के लिए 150 कर्मचारी लगाए गए। दूसरे दिन 4 कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया, तीसरे दिन चार और कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया तथा इस प्रकार अन्य । अब कार्य पूरा करने में 8 दिन अधिक लगते हैं, तो दिनों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें कार्य पूरा किया गया।

Answer: हल : 150 कर्मचारी उस कार्य को n दिनों में समाप्त करते हैं
150 कर्मचारियों का 1 दिन का काम = \( \frac{1}{n} \)
1 कर्मचारी का 1 दिन का काम = \( \frac{1}{150n} \)
पहले दिन 150 कर्मचारी 1 दिन में \( \frac{150}{150n} \) कार्य करते हैं
दूसरे दिन 146 कर्मचारी 1 दिन में \( \frac{146}{150n} \) कार्य करते हैं
तीसरे दिन 142 कर्मचारी 1 दिन में \( \frac{142}{150n} \) कार्य करते हैं
वह काम n + 8 दिन में पूरा हुआ
\( \frac{150}{150n} + \frac{146}{150n} + \frac{142}{150n} +.......(n+8) \) पदों तक = 1
या \( \frac{1}{150n} \) [150 + 146 + 142 +..... (n + 8) पदों तक] = 1
या \( \frac{n+8}{2(150n)} \) [2×150+(n+8-1) × (-4)] = 1
या (n+8)[300-4(n+7)] = 300n
या (n+8)(-4n+272) = 300n
या (n+8)(n-68) = - 75n
या n²-60n-544 = - 75n
या n² + 15n-544 = 0
या (n+32)(n-17) = 0
n = -32 या n = 17
कुल समय = n + 8 दिन
= 17 + 8 = 25 दिन।
In simple words: This is a work and time problem involving an arithmetic progression of workers. We set up an equation where the total work done by a decreasing number of workers equals one (representing the full work). We solve for 'n' (original estimated days) and then add 8 days for the actual completion time.

🎯 Exam Tip: Convert work done into a fraction of total work. Recognize the decreasing number of workers each day forms an arithmetic progression. Use the sum formula for an AP to find the total work done over the extended period and solve for the unknown variable. Ensure algebraic manipulations are accurate.