UP Board Solutions Class 11 Maths Chapter 10 Straight Lines

UP Board Solutions For Class 11 Maths Chapter 10 Straight Lines (सरल रेखाएँ)

UP Board Solution Class 11 Math Chapter 10 प्रश्नावली 10.1

Question 1. कार्तीय तल में एक चतुर्भुज खीचिए जिसके शीर्ष (-4, 5), (0, 7), (5, -5) और (-4, -2) हैं। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः दिए गए बिन्दुओं (-4, 5), (0, 7), (5, -5) और (-4, -2) क्रमशः A, B, C, D द्वारा दर्शाया गया है। चतुर्भुज ABCD को दो भागों में बाँटा गया है। जो △ABD तथा △BDC के रूप में हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र कार्तीय तल में एक चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। शीर्ष A(-4, 5), B(0, 7), C(5, -5) और D(-4, -2) को निर्देशांक अक्षों पर प्लॉट किया गया है। चतुर्भुज को दो त्रिभुजों, ABD और BDC, में विभाजित दिखाया गया है, जिसका उपयोग इसके क्षेत्रफल की गणना के लिए किया गया है। AABD के शीर्ष A(-4, 5), B(0, 7), D(-4, - 2) हैं।
△ABD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} |[-4(7+2)+0(-2-5) + (-4)(5-7)] |\)
= \(\frac{1}{2} |[-36+8]|=\frac{1}{2} \times 28\)
= 14 वर्ग इकाई △BDC के शीर्ष B(0, 7), D(-4, -2), C (5,-5) हैं।
△BDC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} [0(-2+5)-4(-5-7) + 5(7 + 2)]\)
= \(\frac{1}{2} [48+45]=\frac{1}{2} \times 93\)
= 46.5 वर्ग इकाई
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = △ABD का क्षेत्रफल + ABDC का क्षेत्रफल
= 14 + 46.5
= 60.5 वर्ग इकाई ।
In simple words: हमने चतुर्भुज के शीर्षों को प्लॉट किया और उसे दो त्रिभुजों में बाँट दिया। प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया और फिर दोनों को जोड़कर पूरे चतुर्भुज का क्षेत्रफल 60.5 वर्ग इकाई प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, उसे त्रिभुजों में विभाजित करने के बाद उनके निर्देशांक ज्यामिति सूत्र का सावधानीपूर्वक उपयोग करें और सभी गणनाएँ सही ढंग से करें।

 

Question 2. 2 भुजा के समबाहु त्रिभुज का आधार y-अक्ष के अनुदिश इस प्रकार है कि आधार का मध्य बिन्दु मूल बिन्दु पर है। त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः माना △ABC की भुजा BC, y-अक्ष के अनुदिश है जिसका मध्य बिन्दु मूल बिन्दु O है।
\(\implies\) B और C के शीर्ष बिन्दु (0, a) और (0, -a) हैं। बिन्दु A, x-अक्ष पर है, AB = 2a, OB = a
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक समबाहु त्रिभुज OAB को दर्शाता है जिसका आधार BC y-अक्ष के अनुदिश है और मूल बिंदु O पर केंद्रित है। बिंदु B(0, a) और C(0, -a) हैं, तथा बिंदु A x-अक्ष पर है, जिससे एक समकोण त्रिभुज OAB बनता है जिसकी भुजाएं 2a और a हैं। समकोण त्रिभुज OAB में,
\(OA^2 = AB^2 - OB^2 = (2a)^2 – a^2\)
\( = 4a^2 - a^2 = 3a^2\)
\(OA = \sqrt{3}a\)
A के निर्देशांक \((\sqrt{3}a,0)\) हैं।
अतः △ABC के निर्देशांक \((\sqrt{3}a,0), (0, a), (0 – a)\) हैं।
In simple words: हमने एक समबाहु त्रिभुज के आधार को y-अक्ष पर रखा और मूल बिंदु को मध्य बिंदु माना। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके तीसरे शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात किए, जिससे त्रिभुज के सभी शीर्षों के निर्देशांक प्राप्त हुए।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करते समय, निर्देशांक अक्षों पर उसकी स्थिति को सही ढंग से समझना और दूरी सूत्र या पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके गणना करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 3. P(\(x_1\), \(y_1\)) और Q(\(x_2\), \(y_2\)) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जब :
(i) PQ, y-अक्ष के समांतर है,
(ii) PQ, x-अक्ष के समांतर है।
Answer: हलः (i) जब कोई रेखा y-अक्ष के समांतर होती है तो उसे पर जितने भी बिन्दु होंगे उनके x-निर्देशांक बराबर होते हैं अर्थात् \(x_1 = x_2\).
\(PQ = |y_2-y_1|\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह कार्तीय तल में एक ऊर्ध्वाधर रेखा पर दो बिंदु P(\(x_1\), \(y_1\)) और Q(\(x_2\), \(y_2\)) को दर्शाता है। यह स्थिति तब होती है जब रेखा y-अक्ष के समांतर होती है, जहाँ \(x_1\) और \(x_2\) समान होते हैं, और बिंदुओं के बीच की दूरी उनके y-निर्देशांकों के अंतर से दी जाती है। (ii) जब कोई रेखा x-अक्ष के समांतर लेती है तो उसके प्रत्येक बिन्दु का y-निर्देशांक बराबर होता है। अर्थात्
\(y_1 = y_2\)
\(PQ = |x_2-x_1|\).
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह कार्तीय तल में एक क्षैतिज रेखा पर दो बिंदु P(\(x_1\), \(y_1\)) और Q(\(x_2\), \(y_2\)) को दर्शाता है। यह स्थिति तब होती है जब रेखा x-अक्ष के समांतर होती है, जहाँ \(y_1\) और \(y_2\) समान होते हैं, और बिंदुओं के बीच की दूरी उनके x-निर्देशांकों के अंतर से दी जाती है।
In simple words: यदि दो बिंदु y-अक्ष के समांतर हैं, तो उनके बीच की दूरी उनके y-निर्देशांकों के अंतर का निरपेक्ष मान होता है। यदि वे x-अक्ष के समांतर हैं, तो दूरी उनके x-निर्देशांकों के अंतर का निरपेक्ष मान होती है।

🎯 Exam Tip: समांतर रेखाओं पर बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, ध्यान दें कि कौन से निर्देशांक समान रहते हैं। यह दूरी सूत्र को सरल बनाता है और गणना को आसान करता है।

 

Question 4. x-अक्ष पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (7, 6) और (3, 4) बिन्दुओं से समान दूरी पर है।
Answer: हलः मान लीजिए x-अक्ष पर बिन्दु A(a, 0), बिन्दु B(7, 6) और C(3, 4) से समान दूरी पर है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह कार्तीय तल में एक बिंदु A(a, 0) को दर्शाता है जो x-अक्ष पर स्थित है। इस बिंदु A की अन्य दो बिंदुओं B(7, 6) और C(3, 4) से दूरी समान है, जैसा कि आरेख में AB और AC रेखाखंडों द्वारा दिखाया गया है। अर्थात् AB = AC
या \(AB^2 = AC^2\)
\((a-7)^2 + (0-6)^2 = (a - 3)^2 + (0-4)^2\)
\(a^2-14a + 49 + 36 = a^2- 6a + 9 + 16\)
\(-14a + 6a = 25 - 85\)
\( = - 60\)
या \(- 8a = - 60\)
या \(a=\frac{60}{8}=\frac{15}{2}\)
अतः बिन्दु A के निर्देशांक \((\frac{15}{2},0)\) हैं...
In simple words: हमने x-अक्ष पर एक अज्ञात बिंदु (a, 0) लिया और उसे दिए गए दो बिंदुओं से समान दूरी पर सेट किया। दूरी सूत्र का उपयोग करके एक समीकरण बनाया और उसे हल करके 'a' का मान ज्ञात किया, जिससे x-अक्ष पर उस बिंदु के निर्देशांक मिल गए।

🎯 Exam Tip: x-अक्ष पर स्थित बिंदु का y-निर्देशांक हमेशा 0 होता है। दूरी सूत्र का सही अनुप्रयोग और बीजगणितीय गणनाएँ इस प्रकार के प्रश्नों में महत्वपूर्ण होती हैं।

 

Question 5. रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु और P(0, -4) तथा B (8, 0) बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिन्दु से जाती है।
Answer: हलः बिन्दु P(0, -4) और B (8, 0) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिन्दु
\(x = \frac{x_1+x_2}{2}\)
\( = \frac{0+8}{2} = 4\)
\(y = \frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-4+0}{2}\)
\( = \frac{-4}{2} = -2\)
\(\implies\) PB का मध्य बिन्दु M के निर्देशांक (4,-2) है। मूल बिन्दु O के निर्देशांक (0, 0) हैं।
OM की ढाल = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-2-0}{4-0}=\frac{-2}{4}=\frac{-1}{2}\).
In simple words: पहले हमने दिए गए दो बिंदुओं का मध्य बिंदु ज्ञात किया। फिर, मूल बिंदु और उस मध्य बिंदु के बीच की रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए ढाल सूत्र का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: मध्य बिंदु सूत्र \(( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} )\) और ढाल सूत्र \( (m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}) \) को याद रखना इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए आवश्यक है।

 

Question 6. पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग बिना दिखलाइए कि बिन्दु (4, 4), (3, 5) और (-1, -1) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Answer: हलः माना दिए गए बिन्दु A(4, 4), B(3, 5) और C(-1, -1) हैं, तब
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक निर्देशांक तल में तीन बिंदुओं A(4, 4), B(3, 5) और C(-1, -1) को दर्शाता है। इन बिंदुओं को मिलाकर एक त्रिभुज ABC बनता है, जिसकी भुजाओं की ढालों की गणना करके यह सिद्ध किया जाएगा कि यह एक समकोण त्रिभुज है।
AB की ढाल = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{5-4}{3-4} = \frac{1}{-1} = -1 = m_1\)
BC की ढाल = \(\frac{-1-5}{-1-3} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}\)
CA की ढाल = \(\frac{-1-4}{-1-4} = \frac{-5}{-5} = 1 = m_2\)
AB की ढाल × CA की ढाल = \(m_1 \times m_2 = -1 \times 1 = -1\)
अतः AB \(\bot\) CA
\(\implies\) A, B, C एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
In simple words: हमने त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की ढाल (स्लोप) ज्ञात की। चूँकि दो भुजाओं (AB और CA) की ढालों का गुणनफल -1 आया, इसका मतलब है कि वे भुजाएँ एक-दूसरे पर लंबवत हैं, और इसलिए त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

🎯 Exam Tip: दो रेखाओं के लंबवत होने की स्थिति \(m_1 m_2 = -1\) का उपयोग करके त्रिभुज के समकोण होने का प्रमाण दें। ढाल सूत्र का सही अनुप्रयोग इस प्रकार के प्रश्नों में महत्वपूर्ण है।

 

Question 7. उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष की धन दिशा से वामावर्त मापा गया 30° का कोण बनाती है।
Answer: हलः माना रेखों OP, y-अक्ष से वामावर्त 30° का कोण बनाती है। x- अक्षे, की धन दिशा से \(90^\circ + 30^\circ = 120^\circ\) का कोण बनाती है।
रेखा OP की ढाल = tan \(120^\circ\) = \(-\sqrt{3}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह मूलबिंदु O से होकर जाने वाली एक रेखा OP को दर्शाता है। यह रेखा y-अक्ष की धन दिशा से 30° का कोण बनाती है, जिसका अर्थ है कि यह x-अक्ष की धन दिशा से \(90^\circ + 30^\circ = 120^\circ\) का कोण बनाती है। यह रेखा मूलबिन्दु (0, 0) से होकर जाती है। रेखा का बिन्दु ढाल रूप है।
\(y - y_1 = m(x – x_1)\)
OP का समीकरण \(y – 0 = -\sqrt{3} (x – 0) \implies y = -\sqrt{3}x\).
In simple words: हमने y-अक्ष से 30° के कोण का उपयोग करके x-अक्ष के साथ बने कोण को \(120^\circ\) ज्ञात किया। इस कोण का tan मान रेखा की ढाल है। क्योंकि रेखा मूलबिंदु से गुजरती है, हमने बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करके रेखा का समीकरण प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जब कोण y-अक्ष से दिया गया हो, तो x-अक्ष से कोण ज्ञात करने के लिए \(90^\circ\) जोड़ना न भूलें। फिर \(y = mx + c\) या बिंदु-ढाल रूप \(y - y_1 = m(x - x_1)\) का उपयोग करके समीकरण प्राप्त करें।

 

Question 8. x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिन्दु (x, -1), (2, 1) और (4, 5) संरेख हैं।
Answer: हलः मान लीजिए बिन्दु A (x, -1), B (2, 1), C (4, 5) सरेख हैं यदि, AB की ढाल = BC की ढाल
AB की ढाल = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{1-(-1)}{2-x} = \frac{2}{2-x}\) ...(1)
BC की ढाल = \(\frac{5-1}{4-2} = \frac{4}{2} = 2\) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से,
\(\frac{2}{2-x} = 2\)
या \(1 = 2-x\)
\(x = 1\).
In simple words: तीन बिंदुओं को संरेख होने के लिए, किसी भी दो युग्म बिंदुओं से बनी रेखाओं की ढाल समान होनी चाहिए। हमने AB और BC की ढाल ज्ञात की, उन्हें बराबर किया और x के लिए हल किया।

🎯 Exam Tip: संरेखता प्रश्नों में, ढाल सूत्र का उपयोग सबसे सीधा तरीका है। गणना में त्रुटियों से बचने के लिए निर्देशांकों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करें।

 

Question 9. दूरी सूत्र का प्रयोग किए बिना दिखलाइए कि बिन्दु (-2, -1), (4, 0), (3, 3) और (-3, 2) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
Answer: हलः मान लीजिए एक चतुर्भुज के शीर्ष A(-2, -1), B(4, 0), C(3, 3), तथा D(-3, 2) हैं ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह कार्तीय तल में एक चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसके शीर्ष A(-2, -1), B(4, 0), C(3, 3) और D(-3, 2) हैं। भुजाओं की ढालों की तुलना करके यह दिखाया गया है कि यह एक समांतर चतुर्भुज है।
AB की ढाल = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{0-(-1)}{4-(-2)} = \frac{1}{6}\)
DC की ढाल = \(\frac{3-2}{3-(-3)} = \frac{1}{6}\)
AB की ढाल = DC की ढाल
अर्थात् AB || DC
BC की ढाल = \(\frac{3-0}{3-4} = \frac{3}{-1} = -3\)
AD की ढाल = \(\frac{2-(-1)}{-3-(-2)} = \frac{3}{-1} = -3\)
BC की ढाल = AD की ढाल
अर्थात् BC || AD
अतः AB || DC, BC || AD
अतः ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
In simple words: हमने चतुर्भुज की प्रत्येक भुजा की ढाल ज्ञात की। चूँकि सम्मुख भुजाओं AB और DC की ढालें समान हैं, वे समांतर हैं। इसी प्रकार, सम्मुख भुजाओं BC और AD की ढालें समान हैं, वे भी समांतर हैं। इसलिए, यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज सिद्ध करने के लिए, ढालों का उपयोग करके दिखाएं कि सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं। ढाल सूत्र के अनुप्रयोग में सटीकता महत्वपूर्ण है।

 

Question 10. x-अक्ष और (3, -1) और (4,-2) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना A(3, -1), B(4, -2) को मिलाने वाली रेखा AB की ढाल = \(\frac{-2-(-1)}{4-3} = \frac{-1}{1} = -1\). यदि x-अक्ष और AB के बीच से कोण \(\theta\) हो, तो
tan \(\theta\) = -1 = tan \(135^\circ \implies \theta = 135^\circ\).
In simple words: सबसे पहले, हमने दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा की ढाल ज्ञात की। फिर, इस ढाल का उपयोग करके x-अक्ष के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण को \(\tan\theta = m\) सूत्र से ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: रेखा की ढाल ज्ञात करने के बाद, \(m = \tan\theta\) संबंध का उपयोग करके कोण \(\theta\) ज्ञात करें। ध्यान दें कि \(m\) का ऋणात्मक मान \(\theta\) के दूसरे चतुर्थांश में होने का संकेत देता है।

 

Question 11. एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है। यदि दोनों के बीच के कोण की स्पर्शज्या (tangent) \(\frac{1}{3}\) है तो रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : माना रेखाओं की ढाल \(m_1\), \(m_2\) हों, तब -
\(m_1 = 2m_2\) यदि दोनों रेखाओं के बीच \(\theta\) कोण हो, तो
tan \(\theta\) = \(\frac{1}{3}\) हम जानते हैं कि
tan \(\theta\) = \(\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\) जहाँ \(m_1\) = \(2m_2\)
\(\implies \frac{2m_2-m_2}{1+2m_2^2} = \pm \frac{1}{3}\)
\(\implies \frac{m_2}{1+2m_2^2} = \pm \frac{1}{3}\) धनात्मक चिन्ह लेने पर,
\(1+2m_2^2 = 3m_2\)
\(\implies 2m_2^2-3m_2 +1 = 0\)
\(\implies (m_2-1)(2m_2 - 1) = 0\)
\(\implies m_2 = 1, \frac{1}{2}\)
\(m_1\) = \(2m_2\) में \(m_2\) = 1 रखने पर,
\(m_1\) = \(1 \times 2 = 2\)
रेखाओं की ढाल 2 और 1 है तथा \(1, \frac{1}{2}\) है। - ve चिन्ह लेने पर, \(1+2m_2^2 = -3m_2\) या \(2m_2^2 + 3m_2 +1 = 0\)
\(\implies (m_2 + 1) (2m_2 + 1) = 0\) अर्थात् \(m_2 = -1, -\frac{1}{2}\)
\(\implies\) रेखा की ढाल 2, 1, तथा – 1, \(-\frac{1}{2}\) है।
In simple words: हमने दो रेखाओं की ढालों के बीच संबंध \((m_1 = 2m_2)\) और उनके बीच के कोण की स्पर्शज्या \((tan\theta = \frac{1}{3})\) का उपयोग किया। कोण सूत्र का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण बनाया और उसे हल करके \(m_2\) के मान ज्ञात किए, जिससे \(m_1\) के संगत मान भी मिल गए, इस प्रकार सभी संभावित ढालें प्राप्त हुईं।

🎯 Exam Tip: दो रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र \(( \tan\theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}| )\) याद रखें। द्विघात समीकरण को हल करते समय \(m_2\) के दोनों धनात्मक और ऋणात्मक मानों पर विचार करना सुनिश्चित करें।

 

Question 12. एक रेखा (\(x_1\), \(y_1\)) और (h, k) से जाती है। यदि रेखा की ढाल m है तो दिखाइए \(k - y_1 = m (h - x_1)\).
Answer: हल: माना रेखा AB बिन्दु A(\(x_1\), \(y_1\)) और B(h, k) से गुजरती हो, तब
AB की ढाल = \(\frac{k-y_1}{h-x_1}\) = m
अर्थात् \(k-y_1 = m (h-x_1)\).
In simple words: हमने दो बिंदुओं (\(x_1\), \(y_1\)) और (h, k) से गुजरने वाली रेखा की ढाल को उनके y-निर्देशांकों के अंतर को x-निर्देशांकों के अंतर से भाग देकर परिभाषित किया। यह ढाल 'm' के बराबर है, जिससे रेखा का बिंदु-ढाल समीकरण प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: रेखा की ढाल को समझने के लिए यह एक सीधा सूत्र है। सुनिश्चित करें कि आप \(y_2-y_1\) और \(x_2-x_1\) को सही क्रम में उपयोग करते हैं।

 

Question 13. यदि तीन बिन्दु (h, 0), (a, b) और (0, k) एक रेखा पर हैं तो दिखाइए कि \(\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1\).
Answer: हल: मान लीजिए बिन्दु A (h, 0), B(a, b), तथा C(0, k) एक रेखा पर हों, तब
AB की ढाल = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{b-0}{a-h} = \frac{b}{a-h}\)
BC की ढाल = \(\frac{k-b}{0-a} = \frac{k-b}{-a}\)
\(\implies\) AB की ढाल = BC की ढाल
\(\implies \frac{b}{a-h} = \frac{k-b}{-a}\)
या \( -a b = (a-h)(k-b)\)
या \(-ab = ak - ab - hk + hb\)
\(\implies ak + hb = hk\) hk से भाग देने पर,
\(\implies \frac{ak}{hk} + \frac{hb}{hk} = \frac{hk}{hk}\)
\(\implies \frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1\).
In simple words: हमने शर्त लगाई कि संरेख बिंदुओं के लिए रेखा AB की ढाल रेखा BC की ढाल के बराबर होनी चाहिए। ढाल सूत्र का उपयोग करके एक समीकरण बनाया और उसे सरल करके \(\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1\) सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: संरेखता की शर्त \(m_1 = m_2\) का उपयोग करते समय, सभी पदों को सही ढंग से संयोजित और सरल करना महत्वपूर्ण है ताकि आवश्यक परिणाम प्राप्त हो सके।

 

Question 14. जनसंख्या और वर्ष के निम्नलिखित लेखाचित्र पर विचार कीजिए। (देखिए आकृति में) रेखा AB की ढाल ज्ञात कीजिए और इसके प्रयोग से बताइए कि वर्ष 2010 में जनसंख्या कितनी होगी ?
Answer: हलः दी गयी आकृति में रेखा AB बिन्दु A(1985, 92) और B (1995, 97) से होकर जाती है।
AB की ढाल = \(\frac{97-92}{1995-1985} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\) मान लीजिए सन् 2010 में जनसंख्या \(y_1\) करोड़ होगी जो बिन्दु P(2010, \(y_1\)), AB पर पड़ता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह वर्ष और जनसंख्या (करोड़ों में) के बीच के संबंध को दर्शाता एक लेखाचित्र है। रेखा AB दो ज्ञात बिंदुओं A(1985, 92) और B(1995, 97) से होकर गुजरती है, और बिंदु P(2010, y1) इसी रेखा पर स्थित है, जिसका उपयोग वर्ष 2010 की अनुमानित जनसंख्या ज्ञात करने के लिए किया जाता है। ABP सरेखीय हैं।
या AB की ढाल = BP की ढाल
\(\implies \frac{1}{2} = \frac{y_1-97}{2010-1995}\)
\(\implies \frac{1}{2} = \frac{y_1-97}{15}\)
\(\implies 2(y_1 - 97) = 15\)
\(\implies 2y_1 = 15+2 \times 97\)
\(\implies 2y_1 = 15+194 = 209\)
\(\implies y_1 = \frac{209}{2} = 104.5\) सन् 2010 में जनसंख्या 104.5 करोड़ होगी।
In simple words: हमने दिए गए जनसंख्या-वर्ष ग्राफ से रेखा AB की ढाल ज्ञात की। फिर, यह मानते हुए कि वर्ष 2010 में जनसंख्या \(y_1\) है और यह बिंदु P रेखा AB पर स्थित है, हमने ढालों को बराबर करके एक समीकरण बनाया। इस समीकरण को हल करके वर्ष 2010 के लिए अनुमानित जनसंख्या 104.5 करोड़ पाई गई।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के समस्याओं में, ढाल (m) निरंतर परिवर्तन दर का प्रतिनिधित्व करती है। ढाल सूत्र का उपयोग करके अज्ञात मान की गणना करने के लिए संरेखता की अवधारणा का उपयोग करें।

प्रश्नावली 10.2

प्रश्न 1 से 8 तक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है।

 

Question 1. x-अक्ष और y-अक्ष के समीकरण लिखिए।
Answer: हल: x-अक्ष का समीकरण \(y = 0\). तथा y-अक्ष का समीकरण \(x = 0\).
In simple words: x-अक्ष पर सभी बिंदुओं का y-निर्देशांक शून्य होता है, इसलिए इसका समीकरण \(y=0\) है। इसी तरह, y-अक्ष पर सभी बिंदुओं का x-निर्देशांक शून्य होता है, इसलिए इसका समीकरण \(x=0\) है।

🎯 Exam Tip: ये निर्देशांक ज्यामिति के मूल समीकरण हैं। इन्हें सीधा याद रखना महत्वपूर्ण है क्योंकि ये अन्य रेखाओं के समीकरणों को समझने का आधार बनाते हैं।

 

Question 2. ढाल \(\frac{1}{2}\) और बिन्दु (-4, 3) से जाने वाली ।
Answer: हलः ढाल \(m = \frac{1}{2}\), बिन्दु (-4, 3) अभीष्ट रेखा का समीकरण
\(y - y_1 = m(x – x_1)\)
\(y – 3 = \frac{1}{2} (x + 4)\)
\(\implies 2y – 6 = x + 4\)
\(\implies x – 2y + 10 = 0\).
In simple words: हमने रेखा के ढाल (\(m = \frac{1}{2}\)) और एक बिंदु (\(x_1 = -4\), \(y_1 = 3\)) का उपयोग किया। फिर, \(y - y_1 = m(x - x_1)\) नामक बिंदु-ढाल रूप में इन मानों को रखकर रेखा का समीकरण प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: बिंदु-ढाल रूप \(y - y_1 = m(x - x_1)\) एक रेखा का समीकरण ज्ञात करने का एक कुशल तरीका है जब आपको एक बिंदु और ढाल दी गई हो। गणना में चिह्नों का ध्यान रखें।

 

Question 3. बिन्दु (0, 0) से जाने वाली और ढाल m वाली ।
Answer: हलः दिया है : बिन्दु (0, 0), ढाल = m ढाल m, तथा (\(x_1\), \(y_1\)) से जाने वाली रेखा का समीकरण
\(y - y_1 = m(x – x_1)\)
\(y – 0 = m(x – 0)\)
अतः अभीष्ट समीकरण \(y = mx\).
In simple words: जब एक रेखा मूलबिंदु (0, 0) से होकर गुजरती है और उसकी ढाल 'm' होती है, तो उसका समीकरण सीधे \(y = mx\) होता है, क्योंकि इसमें कोई y-अंतःखंड नहीं होता (या y-अंतःखंड 0 होता है)।

🎯 Exam Tip: यह \(y = mx + c\) समीकरण का एक विशेष मामला है जहाँ \(c = 0\) होता है क्योंकि रेखा मूलबिंदु से गुजरती है। यह एक सीधा परिणाम है जो समय बचाता है।

 

Question 4. बिन्दुः(2, \(2\sqrt{3}\)) से जाने वाली और x-अक्ष से \(75^\circ\) के कोण पर झुकी हुई ।
Answer: हलः चूँकि रेखा x-अक्ष के साथ \(75^\circ\) पर झुकी हुई है, तब रेखा की ढाल
\(m = \tan 75^\circ = \tan (45^\circ + 30^\circ)\)
\( = \frac{\tan 45^\circ+\tan 30^\circ}{1-\tan 45^\circ \tan 30^\circ}\)
\( = \frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\)
\( = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}\) रेखा बिन्दु (2, \(2\sqrt{3}\)) से होकर जाती है। रेखा जो (\(x_1\), \(y_1\)) से होकर जाती है तथा ढाल m हो तो उसका समीकरण
\(y-y_1 = m(x-x_1)\) यहाँ \(x_1 = 2\) तथा \(y_1 = 2\sqrt{3}\) रखने पर,
\(y - 2\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})(x-2)\)
\( = (2 + \sqrt{3}) x - (4+2\sqrt{3})\)
या \((2 + \sqrt{3})x-y+2\sqrt{3}-4-2\sqrt{3} = 0\)
अतः \((2+\sqrt{3})x-y-4 = 0\).
In simple words: हमने x-अक्ष के साथ \(75^\circ\) के कोण का उपयोग करके रेखा की ढाल ज्ञात की, जिसके लिए \(\tan(A+B)\) सूत्र का उपयोग किया गया। फिर, दिए गए बिंदु (2, \(2\sqrt{3}\)) और इस ढाल का उपयोग करके बिंदु-ढाल रूप \(y - y_1 = m(x - x_1)\) में समीकरण प्राप्त किया और उसे सरल किया।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय मान जैसे \(\tan 75^\circ\) को \( \tan(45^\circ + 30^\circ) \) के रूप में व्यक्त करके ज्ञात करें। गणनाओं में \(\sqrt{3}\) के साथ बीजगणित को ध्यान से करें।

 

Question 5. मूल बिन्दु के बाईं ओर y-अक्ष को 3 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने तथा ढाल -2 वाली ।
Answer: हलः मूल बिन्दु से बाईं ओर 3 इकाई की दूरी पर स्थित बिन्दु (-3, 0) होगा तथा ढाल \(m = -2\). (\(x_1 = -3\), \(y_1 = 0\)) के द्वारा, रेखा का समीकरण,
\(y - y_1 = m(x – x_1)\) यहाँ \(x_1 = -3\) तथा \(y_1 = 0\) रखने पर, \(y – 0 = -2 (x + 3)\)
यो \(y = -2x – 6\)
\(\implies 2x + y + 6 = 0\).
In simple words: मूलबिंदु के बाईं ओर y-अक्ष से 3 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने का मतलब है कि रेखा x-अक्ष को बिंदु (-3, 0) पर काटती है। इस बिंदु और दी गई ढाल (-2) का उपयोग करके हमने रेखा का समीकरण \(y - y_1 = m(x - x_1)\) सूत्र से ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: "मूलबिंदु के बाईं ओर y-अक्ष को प्रतिच्छेद करना" का अर्थ x-अक्ष पर एक ऋणात्मक x-अंतःखंड है। बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते समय ऋणात्मक चिह्नों का सावधानी से उपयोग करें।

 

Question 6. मूल बिन्दु से ऊपर y-अक्ष को 2 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने वाली और x-अक्ष की धन दिशा के साथ \(30^\circ\) का कोण बनाने वाली ।
Answer: हलः मूल बिन्दु से y-अक्ष पर 2 इकाई की दूरी पर स्थित बिन्दु (0, 2) होगा। x-अक्ष की धन दिशा के साथ रेखा \(30^\circ\) का कोण बनाती है।
\(m = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) रेखा का समीकरण,
\(y-y_1 = m (x-x_1)\)
\(y – 2 = \frac{1}{\sqrt{3}} (x – 0)\)
या \(\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=x\)
या \(x-\sqrt{3}y+2\sqrt{3}= 0\).
In simple words: हमने y-अक्ष पर दिए गए बिंदु (0, 2) का उपयोग y-अंतःखंड के रूप में किया। फिर, x-अक्ष के साथ \(30^\circ\) के कोण से ढाल \(m = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) ज्ञात की। इन मानों को \(y = mx + c\) समीकरण में रखकर रेखा का समीकरण प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जब y-अंतःखंड और x-अक्ष से बना कोण दिया गया हो, तो \(y = mx + c\) या बिंदु-ढाल रूप \(y - y_1 = m(x - x_1)\) का उपयोग करें। \(\tan 30^\circ\) का मान याद रखें।

 

Question 8. उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी मूल बिन्दु से लांबिक दूरी 5 इकाई और लंब धन x-अक्ष से 30° को कोण बनाती है।
Answer: हलः
हम जानते हैं कि लंबे रूप में रेखा AB का समीकरण,
\(x \cos\omega + y \sin\omega = p\)
यहाँ पर दिया हैः \( \omega = 30°\), तथा \(p = 5\)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली को दर्शाता है जिसमें एक रेखा AB है। मूल बिंदु O से रेखा AB पर एक लंब OP खींचा गया है, जिसकी लंबाई p है। लंब OP x-अक्ष की धनात्मक दिशा से \(\omega\) कोण बनाता है।
अतः रेखा AB का समीकरण,
\(x \cos 30 + y \sin 30 = 5\)
\(x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + y \cdot \frac{1}{2} = 5\)
\( \implies \sqrt{3} x + y = 10\).
In simple words: एक रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए, जब मूल बिंदु से उसकी लंबवत दूरी (p) और लंब द्वारा x-अक्ष के साथ बनाया गया कोण (\(\omega\)) दिया हो, तो सामान्य लंब रूप \(x \cos\omega + y \sin\omega = p\) का उपयोग किया जाता है। दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करके, हमें रेखा का समीकरण प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: रेखा का लंब रूप (normal form) याद रखना महत्वपूर्ण है, खासकर जब दूरी और कोण दिए गए हों। \(\cos\) और \(\sin\) के मानक कोणों के मानों को सही ढंग से लागू करने पर ध्यान दें।

 

Question 9. APQR के शीर्ष P(2, 1), Q(-2, 3) और R (4, 5) हैं। शीर्ष R से जाने वाली माध्यिका का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : PQ का मध्य बिन्दु M \(\left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) अर्थात् M (0, 2) है।
अतः दो बिन्दुओं से जाने वाली रेखा का समीकरण,
\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज PQR को दर्शाता है जिसके शीर्ष P(2,1), Q(-2,3) और R(4,5) हैं। बिंदु M, PQ का मध्यबिंदु है। रेखाखंड RM त्रिभुज PQR की एक माध्यिका है जो शीर्ष R से विपरीत भुजा PQ के मध्यबिंदु M तक जाती है।
अब बिन्दुओं R (4, 5) तथा M(0, 2) से जाने वाली रेखा का समीकरण,
\(\frac{y-5}{2-5} = \frac{x-4}{0-4}\)
\( \implies \frac{y-5}{-3} = \frac{x-4}{-4}\)
\( \implies -4(y-5) = -3(x-4)\)
\( \implies 4(y-5) = 3(x-4)\)
\( \implies 4y-20 = 3x-12\)
\( \implies 3x-4y + 20-12 = 0\)
\( \implies 3x-4y + 8 = 0\)
अतः माध्यिका RM का समीकरण \(3x-4y + 8 = 0\).
In simple words: माध्यिका का समीकरण ज्ञात करने के लिए, पहले उस भुजा के मध्यबिंदु को ज्ञात करें जिससे माध्यिका गुजरती है। फिर, शीर्ष बिंदु और मध्यबिंदु का उपयोग करके, दो-बिंदु रूप सूत्र का उपयोग करके रेखा का समीकरण निकालें।

🎯 Exam Tip: माध्यिका की परिभाषा को याद रखें - यह शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ती है। मध्यबिंदु सूत्र और दो-बिंदु रेखा समीकरण सूत्र का सही उपयोग महत्वपूर्ण है।

 

Question 10. (-3, 5) से होकर जाने वाली और बिन्दु (2, 5) और (-3, 6) से जाने वाली रेखा पर लंब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः
बिन्दु A(2, 5) और B(-3, 6) से होकर जाने वाली रेखा का ढाल
\(m_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{6-5}{-3-2} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}\)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में दो बिंदु A(2,5) और B(-3,6) से गुजरने वाली एक रेखा AB को दर्शाता है। बिंदु P(-3,5) से रेखा AB पर एक लंब PL खींचा गया है, जहाँ L रेखा AB पर स्थित है। यह रेखाओं के लंबवत संबंध को स्पष्ट करता है।
यदि PL बिन्दु P(-3, 5) से AB पर लम्ब डाला गया हो तो उसकी ढाल \(m_2\) मान लीजिए।
रेखाएँ PL और AB परस्पर लम्ब हैं।
अतः PL की ढाल \(\times\) AB की ढाल = - 1
\(m_2 \times \left(-\frac{1}{5}\right) = -1\)
\( \implies m_2 = 5\)
PL की ढाल 5 है और P(-3, 5) से होकर जाती है तो PL का समीकरण,
\(y-y_1 = m_2(x-x_1)\)
\( \implies y-5 = 5 (x - (-3))\)
\( \implies y-5 = 5 (x + 3)\)
\( \implies y-5 = 5x + 15\)
\( \implies 5x-y+ 15+5 = 0\)
\( \implies 5x-y+ 20 = 0\).
In simple words: लंब रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए, पहले दी गई रेखा का ढाल निकालें। फिर, लंबवत रेखा के ढाल के लिए संबंध \(m_1m_2 = -1\) का उपयोग करें। अंत में, ज्ञात ढाल और दिए गए बिंदु का उपयोग करके बिंदु-ढाल रूप से समीकरण ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: दो लंबवत रेखाओं के ढाल के बीच संबंध \(m_1m_2 = -1\) को याद रखें। बिंदु-ढाल रूप \(y - y_1 = m(x - x_1)\) का उपयोग करके समीकरण को सही ढंग से निर्मित करें।

 

Question 11. एक रेखा (1, 0) तथा (2, 3) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखंड पर लम्ब है तथा उसको 1 : n के अनुपात में विभाजित करती है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
रेखा AB बिन्दु A(1, 0) तथा B(2, 3) से होकर जाती है।
AB की ढाल \( = \frac{3-0}{2-1} = \frac{3}{1} = 3\)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली को दर्शाता है जिसमें एक रेखाखंड AB है जो बिंदुओं A(1,0) और B से जुड़ता है। एक दूसरी रेखा PQ रेखाखंड AB को बिंदु C पर काटती है, और PQ, AB पर लंबवत है। बिंदु C, रेखाखंड AB को 1:n के अनुपात में विभाजित करता है।
PQ \(\perp\) AB
AB की ढाल = 3
अतः PQ की ढाल, \(m = -\frac{1}{3}\)
PQ रेखा AB को C पर प्रतिछेदन करती है।
साथ ही बिन्दु C रेखाखंड AB को 1: n के अनुपात में बांटता है।
अर्थात् C के निर्देशांक \(\left(\frac{1 \times 2+n \times 1}{1+n}, \frac{1 \times 3+n \times 0}{1+n}\right)\)
या C \(\left(\frac{n+2}{n+1}, \frac{3}{n+1}\right)\)
अब रेखा PQ का समीकरण,
\(y-y_1 = m (x-x_1)\)
जहाँ \(x_1 = \frac{n+2}{n+1}\) और \(y_1 = \frac{3}{n+1}\)
\(y - \frac{3}{n+1} = -\frac{1}{3} \left(x - \frac{n+2}{n+1}\right)\)
\( \implies 3(n+1)y - 9 = -(n+1)x + (n+2)\)
\( \implies 3(n+1)y - 9 = -(n+1)x - (n+2)\)
\( \implies (n+1)x + 3(n+1)y = 9 - (n+2)\)
\( \implies (n+1)x + 3(n+1)y = 9 - n - 2\)
\( \implies (n+1)x + 3(n+1)y = 7 - n\)
In simple words: एक लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए जो एक रेखाखंड को एक निश्चित अनुपात में विभाजित करती है, पहले रेखाखंड का ढाल और विभाजन बिंदु (सेक्शन फॉर्मूला का उपयोग करके) ज्ञात करें। फिर, लंबवत रेखा के ढाल का उपयोग करके और बिंदु-ढाल रूप से समीकरण बनाएं।

🎯 Exam Tip: सेक्शन फॉर्मूला \(\left(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n}\right)\) का सही उपयोग और दो लंबवत रेखाओं के ढाल के बीच संबंध \(m_1m_2 = -1\) को याद रखें।

 

Question 12. एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों से समान अंत:खण्ड काटती है और बिन्दु (2, 3) से जाती है।
Answer: हलः
(i) रेखा AB बिन्दु P(2, 3) से होकर जाती है और निर्देशांक अक्षों पर समान अंत:खंड बनाती है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली को दर्शाता है जिसमें एक रेखा AB है जो बिंदु P(2,3) से होकर गुजरती है। यह रेखा x-अक्ष और y-अक्ष पर समान अंत:खंड काटती है। कोण 45° और 135° अक्षों के साथ रेखा के झुकाव को दर्शाते हैं।
AB की ढाल, \(m = \tan 135° = -1\)
रेखा का समीकरण, \(y - y_1 = m(x - x_1)\)
जहाँ \(x_1 = 2, y_1 = 3\) तथा \(m = -1\)
\(y - 3 = -1 (x - 2)\)
\( \implies y-3 = -x+2\)
\( \implies x+y-3-2 = 0\)
\( \implies x+y-5 = 0\).
In simple words: जब एक रेखा अक्षों पर समान अंत:खंड काटती है, तो इसका ढाल -1 या 1 होता है (जो रेखा के चतुर्थांश पर निर्भर करता है)। दिए गए बिंदु और इस ढाल का उपयोग करके बिंदु-ढाल रूप से रेखा का समीकरण ज्ञात किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: "समान अंत:खंड" का मतलब है कि रेखा x-अक्ष और y-अक्ष के साथ 45° या 135° का कोण बनाती है, जिससे ढाल 1 या -1 हो सकता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि कौन सा ढाल सही है, दिए गए बिंदु के चतुर्थांश पर विचार करें।

 

Question 13. बिन्दु (2, 2) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा अक्षों से कटे अंत:खंडों का योम 9 है।
Answer: हलः
मान लीजिए P(2, 2) से होकर जाने वाली रेखा से अक्षों पर बने अंतः खंड a तथा b हैं।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली को दर्शाता है जिसमें एक रेखा AB है जो बिंदु P(2,2) से होकर गुजरती है। यह रेखा x-अक्ष को बिंदु A(a,0) पर और y-अक्ष को बिंदु B(0,b) पर काटती है, जहाँ a और b रेखा के x और y अंतःखंड हैं।
अंतः खंड रूप में रेखा का समीकरण \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)
यह रेखा P(2, 2) से होकर जाती है।
अतः \(\frac{2}{a} + \frac{2}{b} = 1\)
दिया है कि अंतः खंडों का योग 9 है।
\(a+b = 9\)
\( \implies b = 9-a\)
b का मान (1) में रखने पर,
\(\frac{2}{a} + \frac{2}{9-a} = 1\)
\( \implies 2(9-a) + 2a = a (9 - a)\)
\( \implies 18-2a + 2a = 9a - a^2\)
\( \implies 18 = 9a - a^2\)
\( \implies a^2 - 9a + 18 = 0\)
\( \implies (a-6)(a-3) = 0\)
\( \implies a = 6, 3\)
जब \(a = 6\) तब \(b = 9-6 = 3\)
जब \(a = 3\) तब \(b = 9-3 = 6\)
जब \(a = 6\) तथा \(b = 3\) हो, तो रेखा का अभीष्ट समीकरण
\( \frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1\)
\( \implies 3x + 6y = 18\)
\( \implies x + 2y = 6\).
जब \(a = 3\) तथा \(b = 6\) हो, तब रेखा का अभीष्ट समीकरण,
\( \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 1\)
\( \implies 6x + 3y = 18\)
\( \implies 2x + y = 6\)
In simple words: जब एक रेखा एक दिए गए बिंदु से गुजरती है और अक्षों पर कटे अंतःखंडों का योग दिया होता है, तो पहले अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण लिखें। फिर दिए गए बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें और अंतःखंडों के योग की शर्त का उपयोग करके एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करें। अंतःखंडों के मानों को हल करें और फिर संबंधित रेखा समीकरणों को ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: अंतःखंड रूप \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) और दिए गए बिंदु का उपयोग समीकरण बनाने के लिए करें। Quadratic समीकरण को हल करते समय \( (a-6)(a-3) = 0 \) जैसे गुणनखंडन तकनीकों का सही ढंग से उपयोग करें।

 

Question 14. बिन्दु (0, 2) से जाने वाली और धन x-अक्ष से के कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। इसके समांतर और y-अक्ष को मूल बिन्दु से 2 इकाई नीचे की दूरी पर प्रतिच्छेद करती हुई रेखा का समीकरण भी ज्ञात करो।
Answer: हलः
माना एक रेखा PQ बिन्दु P(0, 2) से होकर जाती है और धन x-अक्ष के साथ \(\frac{2\pi}{3}\) का कोण बनाती है।
अतः PQ की ढाल \( = \tan \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}\)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली को दर्शाता है जिसमें एक रेखा PQ बिंदु P(0,2) से होकर गुजरती है और धनात्मक x-अक्ष के साथ \(\frac{2\pi}{3}\) कोण बनाती है। एक दूसरी रेखा RS, PQ के समांतर है और y-अक्ष को मूल बिंदु से 2 इकाई नीचे, अर्थात R(0,-2) पर प्रतिच्छेद करती है।
अतः रेखा PQ को समीकरण, \(y - y_1 = m(x-x_1)\)
\(y - 2 = -\sqrt{3} (x-0)\)
\( \implies \sqrt{3}x+y-2=0\).
दूसरी रेखा RS रेखा PQ के समांतर है
अतः RS का ढाल \( = -\sqrt{3}\)
यह रेखा (0, -2) से होकर जाती है।
रेखा RS का समीकरण, \(y - y_1 = m(x-x_1)\)
\(y - (-2) = -\sqrt{3} (x-0)\)
\( \implies y + 2 = -\sqrt{3} x\)
\( \implies \sqrt{3}x + y + 2 = 0\).
In simple words: पहले रेखा PQ का ढाल उसके x-अक्ष से बने कोण का उपयोग करके ज्ञात करें, फिर दिए गए बिंदु P(0,2) और इस ढाल का उपयोग करके उसका समीकरण लिखें। दूसरी रेखा RS, PQ के समांतर है, इसलिए उसका ढाल भी वही होगा। RS, y-अक्ष को मूल बिंदु से 2 इकाई नीचे प्रतिच्छेद करती है, इसलिए यह बिंदु (0,-2) से गुजरती है। इन जानकारियों से RS का समीकरण निकालें।

🎯 Exam Tip: ढाल (\(m = \tan \theta\)) का सही गणना और बिंदु-ढाल रूप \(y - y_1 = m(x - x_1)\) का उपयोग महत्वपूर्ण है। समांतर रेखाओं का ढाल समान होता है, इस तथ्य को याद रखना भी आवश्यक है।

 

Question 15. मूल बिन्दु से किसी रेखा पर डाला गया लम्ब रेखा से बिन्दु (-2, 9) पर मिलता है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
मान लीजिए रेखा AB पर मूल बिन्दु से डाला गया लम्ब AB पर मिलता है।
OP की ढाल \( = \frac{9-0}{-2-0} = -\frac{9}{2}\)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली को दर्शाता है जिसमें एक रेखा AB है। मूल बिंदु O से रेखा AB पर एक लंब OP खींचा गया है, जो बिंदु P(-2,9) पर AB को काटता है। यह ज्यामितीय विन्यास लंबवतता और निर्देशांकों के संबंधों को स्पष्ट करता है।
परन्तु AB \(\perp\) OP
अतः AB की ढाल \( = -\frac{1}{\text{OP की ढाल}} = -\frac{1}{-9/2} = \frac{2}{9}\)
अब AB की ढाल \(\frac{2}{9}\) है और P(-2, 9) से होकर जाती है।
अतः AB का समीकरण \(y-y_1 = m(x-x_1)\)
\(y - 9 = \frac{2}{9}(x - (-2))\)
\( \implies y - 9 = \frac{2}{9}(x + 2)\)
\( \implies 9(y-9) = 2(x+2)\)
\( \implies 9y-81 = 2x + 4\)
\( \implies 2x - 9y + 4 + 81 = 0\)
\( \implies 2x - 9y + 85 = 0\).
In simple words: लंब रेखा के ढाल का उपयोग करके, मूल रेखा का ढाल \( (m_1 = -1/m_2)\) ज्ञात करें। फिर मूल रेखा पर दिए गए बिंदु और उसके ढाल का उपयोग करके, बिंदु-ढाल रूप \(y - y_1 = m(x - x_1)\) से रेखा का समीकरण ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: मूल बिंदु से एक रेखा पर डाले गए लंब का ढाल मूल रेखा के ढाल के ऋणात्मक व्युत्क्रम के बराबर होता है। यह संबंध \(m_1m_2 = -1\) को याद रखें और बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करके समीकरण को सटीक रूप से ज्ञात करें।

 

Question 16. तांबे की छड़ की लम्बाई L (सेमी में) सेल्सियस ताप C का रैखिक फलन है। एक प्रयोग में यदि L = 124.942, जब C = 20 और L = 125.134 जब C = 110 हो, तो L को C के पदों में व्यक्त कीजिए ।
Answer: हल:
L ताप C का रैखिक फलन है।
(20, 124.942), (110, 125.134) इसका रैखिक फलन है। इन दो बिन्दुओं से संतुष्ट फलन
\(\frac{L-L_1}{L_2-L_1} = \frac{C-C_1}{C_2-C_1}\)
\(L - 124.942 = \frac{125.134-124.942}{110-20} (C-20)\)
\(L - 124.942 = \frac{0.192}{90} (C-20)\)
\(L = \frac{0.192}{90} (C-20) + 124.942\).
In simple words: जब दो चरों (यहाँ L और C) के बीच एक रैखिक संबंध दिया जाता है, तो उन्हें दो-बिंदु रूप सूत्र का उपयोग करके एक समीकरण में व्यक्त किया जा सकता है। दिए गए दो डेटा बिंदुओं को \((C_1, L_1)\) और \((C_2, L_2)\) के रूप में मानें और फिर समीकरण \( \frac{L-L_1}{L_2-L_1} = \frac{C-C_1}{C_2-C_1} \) का उपयोग करें।

🎯 Exam Tip: दो-बिंदु सूत्र \( \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \) को सही ढंग से लागू करें। गणनाएँ सावधानी से करें, खासकर दशमलव मानों के साथ।

 

Question 17. किसी दूध भण्डार का स्वामी प्रति सप्ताह 980 लीटर दूध, 14 Rs. प्रति लीटर के भव से और 1220 लीटर दूध 16 Rs. प्रति लीटर के भाव से बेच सकता है। विक्रय मूल्य तथा मांग के मध्य के संबंध को रैखिक मानते हुए ज्ञात कीजिए कि प्रति सप्ताह वह कितना दूध 17 Rs. प्रति लीटर के भाव से बेच सकता है?
Answer: हलः
दूध के भाव और मात्रा में रैखिक सम्बन्ध है। यह रेखा दो बिन्दुओं (14, 980), (16, 1220) से होकर जाती है।
इससे प्राप्त रेखा का समीकरण,
\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)
\(y - 980 = \frac{1220-980}{16-14} (x-14)\)
\(y - 980 = \frac{240}{2} (x-14)\)
\(y - 980 = 120(x-14)\)
\(y = 980 + 120 (x-14)\)
जब \(x\) का मान 17 है तो \(y\) का मान नीचे दिया गया है।
\(y = 980 + 120(17-14)\)
\(y = 980 + 120 \times 3\)
\(y = 980 + 360\)
\(y = 1340\)
अतः 17 Rs. प्रति लीटर भाव का 1340 लीटर दूध बिकेगा।
In simple words: जब दो चरों (मूल्य और मात्रा) के बीच रैखिक संबंध दिया हो और दो डेटा बिंदु ज्ञात हों, तो पहले दो-बिंदु रूप का उपयोग करके समीकरण ज्ञात करें। फिर, दिए गए नए मूल्य को समीकरण में प्रतिस्थापित करके संबंधित मात्रा ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: यह एक सीधा अनुप्रयोग प्रश्न है जिसमें दो-बिंदु रूप सूत्र का उपयोग किया जाता है। डेटा बिंदुओं को सही ढंग से \((x_1, y_1)\) और \((x_2, y_2)\) के रूप में पहचानें और प्रतिस्थापन एवं गणना में सावधानी बरतें।

 

Question 18. अक्षों के बीच रेखाखंड का मध्य बिंदु P(a, b) है। दिखाइए कि रेखा का समीकरण
Answer: हलः
माना रेखा AB अक्षों पर p और q अंत: खंड बनते हैं।
बिन्दु A और B के क्रमशः निर्देशांक (p, 0) और (0, q) हैं।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली को दर्शाता है जिसमें एक रेखा AB है जो x-अक्ष को A(p,0) पर और y-अक्ष को B(0,q) पर काटती है। बिंदु P(a,b) रेखाखंड AB का मध्यबिंदु है। यह ज्यामितीय संरचना अंत:खंडों और मध्यबिंदु के संबंधों को दर्शाता है।
AB के मध्य बिन्दु P(a, b) इस प्रकार ज्ञात करेंगे।
\(a = \frac{p+0}{2} \implies p = 2a\)
\(b = \frac{0+q}{2} \implies q = 2b\)
अतः अंतः खंड रूप में रेखा का समीकरण,
\(\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1\)
\( \implies \frac{x}{2a} + \frac{y}{2b} = 1\)
या \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2\).
In simple words: रेखा के x और y अंत:खंडों को p और q मानें। चूंकि P(a,b) मध्यबिंदु है, तो मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करके p को 2a और q को 2b के रूप में व्यक्त करें। फिर अंत:खंड रूप में रेखा के समीकरण में p और q के मानों को प्रतिस्थापित करें।

🎯 Exam Tip: मध्यबिंदु सूत्र \(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) और रेखा के अंत:खंड रूप \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) का सही उपयोग इस प्रश्न को हल करने की कुंजी है।

 

Question 19. अक्षों के बीच रेखाखण्ड को बिन्दु R(h, k), 1 : 2 के अनुपात में विभक्त करता है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः अक्षों के बीच रेखाखंड AB को R(h, k) AR : RB = 1 : 2 के अनुपात में विभक्त करता है। मान लीजिए अक्षों पर अंत:खण्ड OA = a और OB = b है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक निर्देशांक प्रणाली दिखाता है जहाँ एक रेखा AB, x-अक्ष पर A(a, 0) और y-अक्ष पर B(0, b) को जोड़ती है। बिन्दु R(h, k) रेखाखंड AB को 1:2 के अनुपात में विभाजित करता है।
\( \therefore \) A और B के निर्देशांक क्रमशः \( (a, 0) \) और \( (0, b) \) हैं।
बिन्दु R के निर्देशांक इस प्रकार ज्ञात करेंगे। \[ h = \frac{1 \times 0 + 2 \times a}{1+2} = \frac{2a}{3} \]
\( \implies \) \( a = \frac{3h}{2} \)
और \[ k = \frac{1 \times b + 2 \times 0}{1+2} = \frac{b}{3} \]
\( \implies \) \( b = 3k \)
अंत:खण्ड रूप में रेखा का समीकरण \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \]
\( a \) और \( b \) के मान रखने पर, \[ \frac{x}{\frac{3h}{2}} + \frac{y}{3k} = 1 \]
या \[ \frac{2x}{3h} + \frac{y}{3k} = 1 \]
\( \implies \) \( \frac{2x}{3h} + \frac{y}{3k} = 1 \) को \( 3hk \) से गुणा करने पर,
\( \implies \) \( 2kx + hy = 3hk \)In simple words: हमने विभाजन सूत्र का उपयोग करके रेखा पर एक बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात किए, फिर उन निर्देशांकों को अंत:खण्ड रूप के समीकरण में प्रतिस्थापित करके रेखा का समीकरण प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: विभाजन सूत्र और रेखा के विभिन्न रूपों के समीकरणों को याद रखना महत्वपूर्ण है। जब भी रेखाखंड को किसी अनुपात में विभाजित किया जाता है, तो विभाजन सूत्र का उपयोग किया जाता है।

 

Question 20. रेखा के समीकरण की संकल्पना का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि तीन बिन्दु (3, 0), (-2, -2) और (8, 2) संरेख हैं।
Answer: हलः बिन्दु A(3, 0), B(-2, -2) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण \[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) \] \[ y - 0 = \frac{-2 - 0}{-2 - 3}(x - 3) \] \[ y = \frac{-2}{-5}(x - 3) \]
या \[ y = \frac{2}{5}(x - 3) \]
या \[ 5y = 2x - 6 \]
\( \implies \) \( 2x - 5y - 6 = 0 \) बिन्दु C(8, 2) इस रेखा पर पड़ता है तब इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करेंगे।
\( \therefore \) \( 2 \times 8 - 5 \times 2 - 6 = 0 \)
या \( 16 - 10 - 6 = 0 \)
\( \implies \) \( 0 = 0 \) अतः दिए हुए बिन्दु A, B, C संरेख हैं।In simple words: हमने पहले दो बिन्दुओं का उपयोग करके एक रेखा का समीकरण ज्ञात किया, फिर तीसरे बिन्दु के निर्देशांक को उस समीकरण में रखकर जाँच की। यदि तीसरा बिन्दु समीकरण को संतुष्ट करता है, तो सभी बिन्दु संरेख होते हैं।

🎯 Exam Tip: संरेखता सिद्ध करने के लिए ढाल विधि (दो बिन्दुओं की ढाल समान हो) या क्षेत्रफल विधि (त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो) का भी उपयोग किया जा सकता है। समीकरण विधि यहाँ सबसे प्रत्यक्ष है।

प्रश्नावली 10.3

 

Question 1. निम्नलिखित समीकरणों को ढाल अंत:खण्ड रूप में रूपान्तरित कीजिए और उनके ढाल तथा y-अंत:खण्ड ज्ञात कीजिए:
(i) x + 7y = 0
(ii) 6x + 3y - 5 = 0
(iii) y = 0.
Answer: हलः (i) \( x + 7y = 0 \) \[ 7y = -x \] \[ y = -\frac{1}{7}x + 0 \] ढाल \( = -\frac{1}{7} \), y-अंत:खण्ड \( = 0 \).
(ii) \( 6x + 3y - 5 = 0 \) \[ 3y = -6x + 5 \] \[ y = -\frac{6}{3}x + \frac{5}{3} \] \[ y = -2x + \frac{5}{3} \] ढाल \( = -2 \), y-अंत:खण्ड \( = \frac{5}{3} \).
(iii) \( y = 0 \) \[ y = 0 \cdot x + 0 \] ढाल \( = 0 \), y-अंत:खण्ड \( = 0 \).In simple words: हमने दिए गए समीकरणों को \( y = mx + c \) रूप में परिवर्तित किया, जहाँ \( m \) ढाल है और \( c \) y-अंत:खण्ड है।

🎯 Exam Tip: ढाल-अंतःखण्ड रूप \( y=mx+c \) में समीकरणों को बदलना एक मूलभूत कौशल है। इसमें \( y \) को एक तरफ अलग करना और बाकी को दूसरी तरफ रखना शामिल है।

 

Question 2. निम्नलिखित समीकरणों को अंतःखण्ड रूप में रूपान्तरित कीजिए और अक्षों पर इनके द्वारा काटे गए अंत:खण्ड ज्ञात कीजिए:
(i) 3x + 2y - 12 = 0
(ii) 4x – 3y = 6
(iii) 3y + 2 = 0.
Answer: हल : (i) \( 3x + 2y - 12 = 0 \)
या \( 3x + 2y = 12 \)
12 से दोनों पक्षों में भाग देने पर \[ \frac{3x}{12} + \frac{2y}{12} = \frac{12}{12} \] \[ \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1 \] अतः अंतः खण्ड 4 तथा 6 हैं।
(ii) \( 4x - 3y = 6 \)
6 से दोनो पक्षों में भाग देने पर, \[ \frac{4x}{6} - \frac{3y}{6} = \frac{6}{6} \] \[ \frac{2x}{3} - \frac{y}{2} = 1 \] \[ \frac{x}{\frac{3}{2}} + \frac{y}{-2} = 1 \] अतः अंतः खण्ड \( \frac{3}{2} \) तथा -2 हैं।
(iii) \( 3y + 2 = 0 \)
या \( 3y = -2 \)
\[ y = -\frac{2}{3} \] अन्तः खण्ड हेतु समीकरण का रूप: \[ \frac{x}{0} + \frac{y}{-\frac{2}{3}} = 1 \] अंत: खण्ड 0 और \( -\frac{2}{3} \) हैं।In simple words: हमने प्रत्येक समीकरण को अंतःखण्ड रूप \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) में बदला, जहाँ \( a \) x-अंत:खण्ड है और \( b \) y-अंत:खण्ड है।

🎯 Exam Tip: अंतःखण्ड रूप में बदलने के लिए, समीकरण के स्थिरांक पद को दाहिनी ओर ले जाएँ और फिर पूरे समीकरण को उस स्थिरांक से विभाजित करें ताकि दाहिनी ओर 1 बचे।

 

Question 3. निम्नलिखित समीकरणों को लम्ब रूप में रूपान्तरित कीजिए। उनकी मूल बिन्दु से लॉबिक दूरियाँ और लम्ब तथा धन-अक्ष के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
(i) x - √3 y + 8 = 0
(ii) y – 2 = 0
(iii) x - y = 4.
Answer: हल : (i) \( x - \sqrt{3}y + 8 = 0 \)
या \( -x + \sqrt{3}y = 8 \)
\( \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 \) से भाग देने पर, \[ -\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y = \frac{8}{2} \] \[ -\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y = 4 \] \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \), \( \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \therefore \) \( -\frac{1}{2} \) और \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) के स्थान पर क्रमशः \( \cos 120^\circ \) तथा \( \sin 120^\circ \) रखने पर, \[ x \cos 120^\circ + y \sin 120^\circ = 4 \] की तुलना \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) से करने पर,
\( p = 4, \alpha = 120^\circ = \frac{2\pi}{3} \) रेडियन।
(ii) \( y - 2 = 0 \) या \( y = 2 \) \[ 0x + 1y = 2 \] \[ x \cos 90^\circ + y \sin 90^\circ = 2 \quad [\because \cos 90^\circ = 0, \sin 90^\circ = 1] \]
\( \therefore \) \( p = 2, \alpha = 90^\circ \).
(iii) \( x - y = 4 \)
\( \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \) से भाग देने पर \[ \frac{1}{\sqrt{2}}x + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)y = \frac{4}{\sqrt{2}} \] \[ \frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y = 2\sqrt{2} \]
\( \therefore \) \( \cos (360^\circ - 45^\circ) = \cos 315^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
और \( \sin (360^\circ - 45^\circ) = \sin 315^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( x - y = 4 \) का लम्ब रूप \[ x \cos 315^\circ + y \sin 315^\circ = 2\sqrt{2} \] की तुलना \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) से करने पर,
\( p = 2\sqrt{2}, \alpha = 315^\circ \).In simple words: हमने प्रत्येक रेखा के समीकरण को लम्ब रूप \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) में बदला, जहाँ \( p \) मूल बिन्दु से लम्बवत दूरी है और \( \alpha \) लम्ब द्वारा धन x-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।

🎯 Exam Tip: लम्ब रूप में परिवर्तित करते समय, \( \sqrt{A^2+B^2} \) से विभाजित करना सुनिश्चित करें और \( p \) हमेशा धनात्मक होना चाहिए। \( \alpha \) का मान \( \cos \alpha \) और \( \sin \alpha \) के संकेतों से निर्धारित होता है।

 

Question 4. बिन्दु (-1, 1) की रेखा 12(x + 6) = 5(y – 2) से दूरी ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : दी गई रेखा का समीकरण: \( 12(x + 6) = 5(y - 2) \)
या \( 12x + 72 = 5y - 10 \)
\( \implies \) \( 12x - 5y + 82 = 0 \) बिन्दु \( (x_1, y_1) \) की रेखा \( ax + by + c = 0 \) से दूरी \[ d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right| \]
\( \therefore \) बिन्दु (-1, 1) से रेखा \( 12x - 5y + 82 = 0 \) की दूरी \[ d = \left| \frac{12 \times (-1) - 5 \times 1 + 82}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} \right| \] \[ d = \left| \frac{-12 - 5 + 82}{\sqrt{144 + 25}} \right| \] \[ d = \left| \frac{65}{\sqrt{169}} \right| \] \[ d = \frac{65}{13} \] \[ d = 5 \text{ इकाई} \]In simple words: हमने दी गई रेखा के समीकरण को मानक रूप में परिवर्तित किया और फिर एक बिन्दु से रेखा की दूरी के सूत्र का उपयोग करके दूरी की गणना की।

🎯 Exam Tip: बिन्दु से रेखा की दूरी का सूत्र \( d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2+B^2}} \right| \) को याद रखना और समीकरण को \( Ax+By+C=0 \) रूप में लाना महत्वपूर्ण है।

 

Question 5. x-अक्ष पर बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिनकी रेखा \( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \) से दूरियाँ 4 इकाई हैं।
Answer: हल : दिया गया समीकरण है: \( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \)
12 से गुणा करने पर \[ 4x + 3y = 12 \]
\( \implies \) \( 4x + 3y - 12 = 0 \) ...(1) x-अक्ष पर माना कोई बिन्दु \( (a, 0) \) हो, तो बिन्दु \( (a, 0) \) से रेखा (1) की दूरी \[ d = \left| \frac{4a + 3(0) - 12}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \right| \] \[ d = \left| \frac{4a - 12}{\sqrt{16 + 9}} \right| \] \[ d = \left| \frac{4a - 12}{\sqrt{25}} \right| \] \[ d = \left| \frac{4a - 12}{5} \right| \] दूरी 4 इकाई है, इसलिए \[ \left| \frac{4a - 12}{5} \right| = 4 \] \[ 4a - 12 = \pm 4 \times 5 \] \[ 4a - 12 = \pm 20 \]
+ ve चिन्ह लेकर: \( 4a - 12 = 20 \) \( 4a = 32 \)
या \( a = 8 \) x-अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु (8, 0) है।
- ve चिन्ह लेकर, \( 4a - 12 = -20 \) \( 4a = -8 \)
या \( a = -2 \) दूसरा अभीष्ट बिन्दु (-2, 0) है।In simple words: हमने x-अक्ष पर एक सामान्य बिन्दु \( (a, 0) \) माना, फिर उस बिन्दु से दी गई रेखा की दूरी के सूत्र का उपयोग करके \( a \) का मान ज्ञात किया, जिससे दो संभव बिन्दु प्राप्त हुए।

🎯 Exam Tip: जब दूरी सूत्र में निरपेक्ष मान \( |X|=Y \) का उपयोग करते हैं, तो \( X = \pm Y \) लेकर दोनों मामलों पर विचार करना याद रखें, क्योंकि इससे दो संभावित समाधान हो सकते हैं।

 

Question 6. समान्तर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए-
(i) 15x + 8y – 34 = 0 और 15x + 8y + 31 = 0
(ii) l(x + y) + p = 0 और l(x + y) – r = 0
Answer: हल : हम जानते हैं कि दो समान्तर रेखाओं \( Ax + By + C_1 = 0 \) और \( Ax + By + C_2 = 0 \) के बीच की दूरी \( d = \left| \frac{C_1 - C_2}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right| \)
(i) यहाँ पर \( A = 15, B = 8, C_1 = -34, C_2 = 31 \)
\( \therefore \) दी हुई समान्तर रेखाओं के बीच दूरी \[ d = \left| \frac{-34 - 31}{\sqrt{15^2 + 8^2}} \right| \] \[ d = \left| \frac{-65}{\sqrt{225 + 64}} \right| \] \[ d = \left| \frac{-65}{\sqrt{289}} \right| \] \[ d = \frac{65}{17} \text{ इकाई।} \]
(ii) यहाँ \( A = l, B = l, C_1 = p, C_2 = -r \)
समान्तर रेखाओं के बीच की दूरी \[ d = \left| \frac{C_1 - C_2}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right| \] \[ d = \left| \frac{p - (-r)}{\sqrt{l^2 + l^2}} \right| \] \[ d = \left| \frac{p+r}{\sqrt{2l^2}} \right| \] \[ d = \frac{|p+r|}{l\sqrt{2}} = \frac{|p+r|\sqrt{2}}{2l} \text{ इकाई।} \]In simple words: हमने समान्तर रेखाओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करके दोनों भागों में दी गई रेखाओं के बीच की दूरी की गणना की।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप \( Ax+By+C=0 \) में लाएँ ताकि \( A, B, C_1, C_2 \) के मान सही हों। सूत्र \( \left| \frac{C_1 - C_2}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right| \) याद रखें।

 

Question 7. रेखा 3x – 4y + 2 = 0 के समान्तर और बिन्दु (-2, 3) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : दी गई रेखा का समीकरण: \( 3x - 4y + 2 = 0 \)
या \( 4y = 3x + 2 \)
\( \therefore \) \( y = \frac{3}{4}x + \frac{2}{4} \)
रेखा की ढाल \( m = \frac{3}{4} \)
समान्तर रेखा की ढाल भी \( m' = \frac{3}{4} \) होगी। दिया गया बिन्दु (-2, 3) और ढाल \( m = \frac{3}{4} \) से जाने वाली रेखा का समीकरण \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - 3 = \frac{3}{4}(x - (-2)) \] \[ y - 3 = \frac{3}{4}(x + 2) \]
या \( 4(y - 3) = 3(x + 2) \) \[ 4y - 12 = 3x + 6 \]
या \( 3x - 4y + 18 = 0 \).
दूसरी विधि : कोई भी रेखा \( Ax + By + C = 0 \) के समान्तर रेखा \( Ax + By + k = 0 \) के रूप में लिखी जा सकती है।
\( \therefore \) \( 3x - 4y + 2 = 0 \) के समान्तर रेखा \( 3x - 4y + k = 0 \) है यह (-2, 3) से होकर जाती है।
\( \therefore \) \( 3 \times (-2) - 4 \times 3 + k = 0 \)
\( -6 - 12 + k = 0 \)
\( -18 + k = 0 \)
या \( k = 18 \) अभीष्ट समान्तर रेखा का समीकरण: \( 3x - 4y + 18 = 0 \).In simple words: हमने दी गई रेखा की ढाल ज्ञात की, और चूंकि समान्तर रेखाओं की ढाल समान होती है, हमने बिन्दु-ढाल रूप का उपयोग करके अभीष्ट रेखा का समीकरण प्राप्त किया। एक वैकल्पिक विधि में समान्तर रेखा के सामान्य रूप का उपयोग किया गया।

🎯 Exam Tip: समान्तर रेखाओं की ढाल समान होती है, जबकि लम्बवत रेखाओं की ढालों का गुणनफल -1 होता है। इन गुणों को याद रखें।

 

Question 8. रेखा 4x – 7y + 5 = 0 पर लम्ब और x-अन्त:खण्ड 3 वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : x-अंतःखण्ड \( = 3 \)
\( \therefore \) रेखा A(3, 0) से होकर जाती है। रेखा PQ : \( x - 7y + 5 = 0 \)
या \( 7y = x + 5 \)
या \( y = \frac{1}{7}x + \frac{5}{7} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक निर्देशांक प्रणाली में, रेखा \( x-7y+5=0 \) को PQ के रूप में दर्शाया गया है। यह रेखा y-अक्ष को B पर और x-अक्ष को x-अंत:खण्ड -5 पर काटती है, जबकि x-अक्ष पर एक बिन्दु A(3,0) दिखाया गया है।
इसलिए PQ की ढाल \( m_1 = \frac{1}{7} \)
यदि AB, PQ पर लम्ब है, तो \( m_{AB} \times m_{PQ} = -1 \)
\( \implies \) \( m_{AB} \times \frac{1}{7} = -1 \)
\( \therefore \) AB की ढाल \( m_{AB} = -7 \)
\( \therefore \) बिन्दु (3, 0) से रेखा AB का समीकरण, \[ y - 0 = -7(x - 3) \] \[ y = -7x + 21 \]
या \( 7x + y - 21 = 0 \).
दूसरी विधि : \( Ax + By + C = 0 \) की लम्ब कोई रेखा \( Bx - Ay + k = 0 \) होती है।
\( \therefore \) \( x - 7y + 5 = 0 \) की लम्ब रेखा \( -7x - y + k = 0 \) या \( 7x + y - k = 0 \) है। यह रेखा (3, 0) से होकर जाती है।
\( \therefore \) \( 7 \times 3 + 0 - k = 0 \)
\( 21 - k = 0 \)
अर्थात् \( k = 21 \)
\( \therefore \) अभीष्ट रेखा का समीकरण \( 7x + y - 21 = 0 \).In simple words: हमने दी गई रेखा की ढाल का उपयोग करके लम्बवत रेखा की ढाल ज्ञात की, फिर दिए गए x-अंत:खण्ड (जिससे बिन्दु (3,0) मिलता है) और ढाल का उपयोग करके रेखा का समीकरण प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: लम्बवत रेखा की ढाल प्राप्त करने के लिए, मूल ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम लें। \( x \)-अंतःखण्ड \( a \) का अर्थ है रेखा बिन्दु \( (a, 0) \) से गुजरती है।

 

Question 9. रेखाओं \( \sqrt{3}x + y = 1 \) और \( x + \sqrt{3}y = 1 \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : पहली रेखा : \( \sqrt{3}x + y = 1 \)
या \( y = -\sqrt{3}x + 1 \) ढाल \( m_1 = -\sqrt{3} \)
दूसरी रेखा : \( x + \sqrt{3}y = 1 \)
या \( \sqrt{3}y = -x + 1 \)
या \( y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{\sqrt{3}} \) ढाल \( m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) दो रेखाओं के बीच कोण \( \theta \) हो, तब \[ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right| \] \[ \tan \theta = \left| \frac{-\sqrt{3} - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1 + (-\sqrt{3})\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)} \right| \] \[ \tan \theta = \left| \frac{-\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1} \right| \] \[ \tan \theta = \left| \frac{\frac{-3+1}{\sqrt{3}}}{2} \right| \] \[ \tan \theta = \left| \frac{\frac{-2}{\sqrt{3}}}{2} \right| \] \[ \tan \theta = \left| -\frac{2}{2\sqrt{3}} \right| \] \[ \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
\( \implies \) \( \theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \) रेडियन।In simple words: हमने दोनों रेखाओं की ढाल ज्ञात की, और फिर दो रेखाओं के बीच के कोण के सूत्र का उपयोग करके \( \tan \theta \) का मान निकाला, जिससे कोण \( \theta \) प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: \( \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right| \) सूत्र को याद रखना महत्वपूर्ण है। त्रिकोणमितीय मानों को भी सही ढंग से पहचानना सुनिश्चित करें।

 

Question 10. बिन्दुओं (h, 3) और (4, f) से जाने वाली रेखा, रेखा 7x – 9y – 19 = 0 को समकोण पर प्रतिच्छेद करती है। h का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः माना रेखा AB बिन्दु A(h, 3), B(4, 1) से जाने वाली रेखा की ढाल, \[ m_1 = \frac{1 - 3}{4 - h} = \frac{-2}{4 - h} = \frac{2}{h - 4} \]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आरेख में एक निर्देशांक प्रणाली है जहाँ एक रेखा AB बिन्दुओं A(h,3) और B(4,1) से गुजरती है। एक अन्य रेखा 7x-9y-19=0, रेखा AB को बिंदु C पर समकोण पर प्रतिच्छेद करती है।
दूसरी रेखा का समीकरण \( 7x - 9y - 19 = 0 \)
या \( 9y = 7x - 19 \)
या \( y = \frac{7}{9}x - \frac{19}{9} \) दूसरी रेखा की ढाल, \( m_2 = \frac{7}{9} \) चूँकि दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं,
\( \therefore \) \( m_1m_2 = -1 \) \[ \frac{2}{h - 4} \times \frac{7}{9} = -1 \] \[ \frac{14}{9(h - 4)} = -1 \] \[ 14 = -9(h - 4) \] \[ 14 = -9h + 36 \] \[ 9h = 36 - 14 \] \[ 9h = 22 \]
या \( h = \frac{22}{9} \).In simple words: हमने दोनों रेखाओं की ढालों की गणना की। चूंकि रेखाएं समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, उनकी ढालों का गुणनफल -1 होता है। इस संबंध का उपयोग करके हमने \( h \) का मान ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: लम्बवत रेखाओं की ढालों के गुणनफल को -1 के बराबर रखना महत्वपूर्ण है। समीकरणों को \( y=mx+c \) रूप में परिवर्तित करके ढाल निकालना हमेशा सुविधाजनक होता है।

 

Question 11. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु \((x_1, y_1)\) से जाने वाली और रेखा \(Ax + By + C = 0\) के समान्तर रेखा को समीकरण \(A(x - x_1) + B(y - y_1) = 0\) है।

Answer:हल : रेखा \(Ax + By + C = 0\) या \(y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}\) रेखा की ढाल \( = -\frac{A}{B}\) समान्तर रेखा की ढाल \( = -\frac{A}{B}\) समान्तर रेखा जो \((x_1, y_1)\) से जाती है, उसकी समीकरण \(y - y_1 = -\frac{A}{B}(x - x_1)\)
\( \implies B(y - y_1) = -A(x - x_1)\)
\( \implies A(x - x_1) + B(y - y_1) = 0\).In simple words: This solution proves that a line parallel to \(Ax + By + C = 0\) and passing through \((x_1, y_1)\) has the equation \(A(x - x_1) + B(y - y_1) = 0\), by using the property that parallel lines have the same slope.

🎯 Exam Tip: Understanding the relationship between slopes of parallel and perpendicular lines is crucial for solving problems involving linear equations and geometry. This proof is a fundamental concept in coordinate geometry.

 

Question 12. बिन्दु \((2, 3)\) से जाने वाली दो रेखाएँ परस्पर \(60^\circ\) के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि एक रेखा की ढाल 2 है तो दूसरी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:हलः माना दूसरी रेखा की ढाल \(m\) है। दोनों रेखाओं के बीच कोण \(\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|\) जहाँ \(\theta = 60^\circ\), \(m_1 = m\) और \(m_2 = 2\)
\( \implies \tan 60^\circ = \pm \frac{m - 2}{1 + 2m} = \sqrt{3}\)
+ ve चिन्ह लेकर :
\( \implies \sqrt{3} = \frac{m - 2}{1 + 2m}\)
\( \implies \sqrt{3}(1 + 2m) = m - 2\)
\( \implies \sqrt{3} + 2\sqrt{3}m = m - 2\)
\( \implies m(2\sqrt{3} - 1) = -2 - \sqrt{3}\)
\( \implies m = -\frac{2 + \sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 1}\)
\( \implies m = -\frac{(2 + \sqrt{3})(2\sqrt{3} + 1)}{(2\sqrt{3} - 1)(2\sqrt{3} + 1)}\)
\( \implies m = -\frac{4\sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{3}}{12 - 1}\)
\( \implies m = -\frac{8 + 5\sqrt{3}}{11}\)
- ve चिन्ह लेकर :
\( \implies -\sqrt{3} = \frac{m - 2}{1 + 2m}\)
\( \implies -\sqrt{3}(1 + 2m) = m - 2\)
\( \implies -\sqrt{3} - 2\sqrt{3}m = m - 2\)
\( \implies 2 - \sqrt{3} = m(1 + 2\sqrt{3})\)
\( \implies m = \frac{2 - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}\)
\( \implies m = \frac{(2 - \sqrt{3})(2\sqrt{3} - 1)}{(1 + 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} - 1)}\)
\( \implies m = \frac{4\sqrt{3} - 2 - 6 + \sqrt{3}}{12 - 1}\)
\( \implies m = \frac{5\sqrt{3} - 8}{11}\) अतः उस रेखा का समीकरण जो \((2, 3)\) से होकर जाती है जिसकी ढाल \(m = -\frac{8 + 5\sqrt{3}}{11}\) है: \(y - 3 = -\frac{8 + 5\sqrt{3}}{11}(x - 2)\)
\( \implies 11(y - 3) = -(8 + 5\sqrt{3})(x - 2)\)
\( \implies 11y - 33 = -(8 + 5\sqrt{3})x + 2(8 + 5\sqrt{3})\)
\( \implies (8 + 5\sqrt{3})x + 11y - 33 - 16 - 10\sqrt{3} = 0\)
\( \implies (8 + 5\sqrt{3})x + 11y - (49 + 10\sqrt{3}) = 0\) और जब ढाल \(m = \frac{5\sqrt{3} - 8}{11}\) हो, तब बिन्दु \((2, 3)\) से रेखा का समीकरण, \(y - 3 = \frac{5\sqrt{3} - 8}{11}(x - 2)\)
\( \implies 11(y - 3) = (5\sqrt{3} - 8)(x - 2)\)
\( \implies 11y - 33 = (5\sqrt{3} - 8)x - 2(5\sqrt{3} - 8)\)
\( \implies (8 - 5\sqrt{3})x + 11y - 33 + 10\sqrt{3} - 16 = 0\)
\( \implies (8 - 5\sqrt{3})x + 11y + (10\sqrt{3} - 49) = 0\)In simple words: To find the equation of the second line, we use the formula for the angle between two lines, \(\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|\). Since the angle is \(60^\circ\) and one slope is 2, we can find two possible values for the second slope \(m\). Then, using the point-slope form \(y - y_1 = m(x - x_1)\) with the given point \((2, 3)\) and each calculated slope, we get two possible equations for the line.

🎯 Exam Tip: Remember that the angle between two lines can yield two possible slopes (due to the \(\pm\) sign in the tangent formula). Both solutions must be provided unless a specific quadrant or orientation is implied. Rationalizing the denominator for slopes is good practice.

 

Question 13. बिन्दुओं \((3, 4)\) और \((-1, 2)\) को मिलाने वाली रेखाखण्ड के लम्बे समद्विभाजक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:हलः माना बिन्दुओं \(A(3, 4)\) और \(B(-1, 2)\) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु \(D \left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right)\) या \(D(1, 3)\) \(AB\) की ढाल, \(m_1 = \frac{2 - 4}{-1 - 3} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक रेखाखंड AB को दर्शाता है जिसके मध्यबिंदु D पर एक लम्ब समद्विभाजक रेखा CD खींची गई है। बिंदु A और B के निर्देशांक दिए गए हैं, और लम्ब रेखा CD मध्यबिंदु D से होकर गुजरती है, जो AB पर लम्ब है। माना दूसरी रेखा \(CD\) रेखा \(AB\) पर लम्ब है
\( \implies CD\) की ढाल \( = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{1/2} = -2\) रेखा \(CD\) बिन्दु \(D(1, 3)\) से होकर जाती है
\( \implies \) रेखा \(CD\) का समीकरण \(y - 3 = -2(x - 1)\)
\( \implies y - 3 = -2x + 2\)
\( \implies 2x + y - 5 = 0\).In simple words: A perpendicular bisector of a line segment passes through its midpoint and is perpendicular to it. First, calculate the midpoint of the given points. Then, find the slope of the original line segment. The slope of the perpendicular bisector will be the negative reciprocal. Finally, use the point-slope form with the midpoint and the perpendicular slope to find the equation.

🎯 Exam Tip: When finding a perpendicular bisector, accurately calculating the midpoint and the negative reciprocal slope is key. Ensure you use the midpoint (not one of the endpoints) when applying the point-slope form for the bisector's equation.

 

Question 14. बिन्दु \((-1, 3)\) से रेखा \(3x - 4y - 16 = 0\) पर डाले गए लम्बपाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Answer:हलः मान लीजिए रेखा \(AB\) को समीकरण, \(3x - 4y - 16 = 0\) ...... (i) या \(4y = 3x - 16\) या \(y = \frac{3}{4}x - 4\) रेखा \(AB\) की ढाल \( = \frac{3}{4}\) बिन्दु \(C(-1, 3)\) से \(AB\) पर डाला गया लम्ब \(CD\) है
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक रेखा AB को दर्शाता है जिसका समीकरण \(3x - 4y - 16 = 0\) है। एक बिंदु C \((-1, 3)\) से रेखा AB पर एक लम्ब CD डाला गया है। बिंदु D लम्बपाद है, और यह बिंदु C से रेखा AB पर लम्बवत गिरने वाले बिंदु को दर्शाता है।
\( \implies AB \perp CD\).
\( \implies CD\) की ढाल \( = -\frac{1}{\text{रेखा } AB \text{ की ढाल}} = -\frac{1}{3/4} = -\frac{4}{3}\) अतः रेखा \(CD\) का समीकरण, \(y - y_1 = m(x - x_1)\) \(y - 3 = -\frac{4}{3}(x - (-1))\)
\( \implies y - 3 = -\frac{4}{3}(x + 1)\)
\( \implies 3(y - 3) = -4(x + 1)\)
\( \implies 3y - 9 = -4x - 4\)
\( \implies 4x + 3y - 5 = 0\). ......(ii) समी (i) को 3 से और (ii) को 4 से गुणा करने पर, \(9x - 12y = 48\) \(16x + 12y = 20\) इनको जोड़ने पर \(25x = 68\) या \(x = \frac{68}{25}\) \(x\) का मान (i) में रखने पर, \(3\left(\frac{68}{25}\right) - 4y = 16\)
\( \implies \frac{204}{25} - 4y = 16\)
\( \implies 4y = \frac{204}{25} - 16\)
\( \implies 4y = \frac{204 - 400}{25}\)
\( \implies 4y = -\frac{196}{25}\)
\( \implies y = -\frac{196}{25 \times 4}\)
\( \implies y = -\frac{49}{25}\) अतः लम्ब पाद \(D\) के निर्देशांक \(\left(\frac{68}{25}, -\frac{49}{25}\right)\) हैं।In simple words: To find the foot of the perpendicular from a point to a line, first find the equation of the line perpendicular to the given line and passing through the point. The intersection point of these two lines will be the foot of the perpendicular. This involves finding slopes, using the point-slope form, and solving a system of linear equations.

🎯 Exam Tip: A common mistake is to confuse the point on the line with the foot of the perpendicular. Remember that the foot of the perpendicular is the intersection point of the original line and the perpendicular line passing through the given external point. Solving simultaneous equations accurately is crucial here.

 

Question 15. मूल बिन्दु से रेखा \(y = mx + c\) पर डाला गया लम्ब रेखा से बिन्दु \((-1, 2)\) पर मिलता है। \(m\) और \(c\) के मान ज्ञात कीजिए।

Answer:हलः माना रेखा \(AB\) का समीकरण, \(y = mx + c\) रेखा \(AB\) की ढाल \( = m\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र मूलबिंदु O और एक रेखा AB को दर्शाता है जिसका समीकरण \(y = mx + c\) है। मूलबिंदु O से रेखा AB पर एक लम्ब OC डाला गया है, जो रेखा AB को बिंदु C \((-1, 2)\) पर प्रतिच्छेद करता है। \(O\) से रेखा \(AB\) पर लम्ब \(OC\) डाला गया है जो बिन्दु \(C(-1, 2)\) पर मिलता है।
\( \implies OC \perp AB\).
लम्ब रेखा \(OC\) की ढाल \( = \frac{2 - 0}{-1 - 0} = -2\)
\( \implies m_1 m_2 = -1\)
\( \implies (-2)(m) = -1\)
\( \implies m = \frac{1}{2}\) अब रेखा \(OC\) का समीकरण, \(y - 0 = -2(x - 0)\)
\( \implies y = -2x\)
\( \implies 2x + y = 0\) बिन्दु \(C(-1, 2)\) निम्न रेखा पर स्थित है : \(y = mx + c\) \(2 = m(-1) + c\) \(2 = -m + c\) \(m = \frac{1}{2}\) रखने पर, \(2 = -\frac{1}{2} + c\)
\( \implies c = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\) अतः \(m = \frac{1}{2}\) और \(c = \frac{5}{2}\).In simple words: Given a line \(y=mx+c\) and a perpendicular from the origin to this line meeting at \((-1,2)\), we need to find \(m\) and \(c\). First, find the slope of the perpendicular line using the origin and the meeting point. Since the lines are perpendicular, their slopes' product is -1, which gives us \(m\). Then, substitute the point \((-1,2)\) and the found \(m\) into \(y=mx+c\) to find \(c\).

🎯 Exam Tip: The key idea here is that the line segment from the origin to the point of intersection of the perpendicular is itself a line. Calculating its slope and using the perpendicularity condition efficiently determines the unknown slope \(m\). Remember to use the point of intersection to find the y-intercept \(c\).

 

Question 16. यदि \(p\) और \(q\) क्रमशः मूल बिन्दु से रेखाओं \(x \cos\theta - y \sin\theta = k \cos 2\theta\) और \(x \sec\theta + y \operatorname{cosec}\theta = k\) पर लम्ब की लंबाइयाँ हैं तो सिद्ध कीजिए कि \(p^2 + 4q^2 = k^2\)।

Answer:हलः मूल बिन्दु \((0, 0)\) से \(x \cos\theta - y \sin\theta = k \cos 2\theta\) की दूरी, \[p = \left| \frac{0 \cdot \cos\theta - 0 \cdot \sin\theta - k \cos 2\theta}{\sqrt{\cos^2\theta + (-\sin\theta)^2}} \right|\] \[p = \left| \frac{- k \cos 2\theta}{\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}} \right|\] \[p = |-k \cos 2\theta|\] \[p = k |\cos 2\theta|\] मूल बिन्दु \((0, 0)\) से \(x \sec\theta + y \operatorname{cosec}\theta = k\) की दूरी, \[q = \left| \frac{0 \cdot \sec\theta + 0 \cdot \operatorname{cosec}\theta - k}{\sqrt{\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta}} \right|\] \[q = \left| \frac{-k}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta} + \frac{1}{\sin^2\theta}}} \right|\] \[q = \left| \frac{-k}{\sqrt{\frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin^2\theta \cos^2\theta}}} \right|\] \[q = \left| \frac{-k}{\sqrt{\frac{1}{\sin^2\theta \cos^2\theta}}} \right|\] \[q = \left| -k \sqrt{\sin^2\theta \cos^2\theta} \right|\] \[q = k |\sin\theta \cos\theta|\] We know \(\sin 2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta\), so \(\sin\theta \cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}\). \[q = k \left| \frac{\sin 2\theta}{2} \right|\] \[q = \frac{k}{2} |\sin 2\theta|\] Therefore, \(2q = k |\sin 2\theta|\). समीकरण \((p = k |\cos 2\theta|)\) और \((2q = k |\sin 2\theta|)\) को वर्ग करके जोड़ने पर, \(p^2 = k^2 \cos^2 2\theta\) \((2q)^2 = k^2 \sin^2 2\theta\) \(p^2 + 4q^2 = k^2 \cos^2 2\theta + k^2 \sin^2 2\theta\) \(p^2 + 4q^2 = k^2 (\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta)\) We know \(\cos^2 A + \sin^2 A = 1\).
\( \implies p^2 + 4q^2 = k^2 (1)\)
\( \implies p^2 + 4q^2 = k^2\). इति सिद्धम् ।In simple words: This problem asks us to prove a relationship between the perpendicular distances \(p\) and \(q\) from the origin to two given lines, and the constant \(k\). We calculate \(p\) and \(q\) using the formula for the distance from a point to a line. Then, we simplify these expressions using trigonometric identities, square them, and add them to show that \(p^2 + 4q^2 = k^2\).

🎯 Exam Tip: Remember the formula for the perpendicular distance from a point \((x_0, y_0)\) to a line \(Ax + By + C = 0\): \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\). Also, be proficient with trigonometric identities like \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) and \(\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\) for simplification.

 

Question 17. शीर्षों \(A (2, 3), B (4,-1)\) और \(C (1, 2)\) वाले त्रिभुज \(ABC\) के शीर्ष \(A\) से उसकी सम्मुख भुजा पर लम्बे डाला गया है। लम्बे की लम्बाई तथा समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer:हलः मान लीजिए \(AM\) रेखा \(BC\) पर लंब डाला गया है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसके शीर्ष A, B और C हैं। शीर्ष A से सम्मुख भुजा BC पर एक लम्ब AM डाला गया है। यह लम्ब भुजा BC को बिंदु M पर प्रतिच्छेद करता है, जिससे AM की लम्बाई और समीकरण ज्ञात करने में मदद मिलती है। (i) रेखा \(BC\) की ढाल \( = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-1)}{1 - 4} = \frac{3}{-3} = -1\) \(AM \perp BC\),
\( \implies \) लम्ब \(AM\) की ढाल \( = -\frac{1}{\text{रेखा } BC \text{ की ढाल}} = -\frac{1}{-1} = 1\) रेखा \(AM\) बिन्दु \(A(2, 3)\) से जाती है और ढाल 1 है।
\( \implies AM\) को समीकरण \(y - y_1 = m(x - x_1)\) \(y - 3 = 1 \cdot (x - 2)\)
\( \implies y - 3 = x - 2\)
\( \implies x - y + 1 = 0\) (ii) बिन्दु \(B(4, -1)\) और \(C(1, 2)\) से होकर जाने वाली रेखा \(BC\) का समीकरण \(y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)\) \(y - (-1) = \frac{2 - (-1)}{1 - 4}(x - 4)\)
\( \implies y + 1 = \frac{3}{-3}(x - 4)\)
\( \implies y + 1 = -(x - 4)\)
\( \implies y + 1 = -x + 4\)
\( \implies x + y - 3 = 0\) बिन्दु \(A(2, 3)\) से \(BC\) पर डाले गए लम्ब \(AM\) की लम्बाई (दूरी सूत्र) \[d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right|\] यहां, \(A=1, B=1, C=-3\) और बिंदु \(A(2,3)\) है। \[d = \left| \frac{1(2) + 1(3) - 3}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \right|\] \[d = \left| \frac{2 + 3 - 3}{\sqrt{1 + 1}} \right|\] \[d = \left| \frac{2}{\sqrt{2}} \right| = \sqrt{2}\]. अतः लम्ब की लम्बाई \(\sqrt{2}\) इकाई और समीकरण \(x - y + 1 = 0\).In simple words: To find the length and equation of the altitude from vertex A to side BC of a triangle, first determine the equation of side BC. Then, calculate the slope of BC to find the slope of the altitude (which is perpendicular to BC). Using point A and the altitude's slope, find its equation. The length of the altitude is the perpendicular distance from A to the line BC.

🎯 Exam Tip: For altitude problems, remember that the altitude is perpendicular to the opposite side. This means the product of their slopes is -1. The length of the altitude is best found using the perpendicular distance formula from the vertex to the line representing the opposite side.

 

Question 18. यदि \(p\) मूल बिन्दु से उस रेखा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई हो जिस पर अक्षों पर कटे अंतः खण्ड, \(a\) और \(b\) हों, तो दिखाइए कि \(\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\)।

Answer:हल : उस रेखा का समीकरण, जिसकी अक्षों पर कटे अंतः खण्ड \(a\) और \(b\) हों, \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) (अंतः खण्ड समीकरण) या \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0\) मूल बिन्दु \((0, 0)\) से इस रेखा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई \[p = \left| \frac{\frac{0}{a} + \frac{0}{b} - 1}{\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^2 + \left(\frac{1}{b}\right)^2}} \right|\] \[p = \left| \frac{-1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}} \right|\] \[p = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}\] दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, \(p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}\)
\( \implies \frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\). इति सिद्धम् ।In simple words: This problem asks us to prove a relationship between the perpendicular distance \(p\) from the origin to a line and the x and y-intercepts \(a\) and \(b\) of that line. We start with the intercept form of a line equation, then use the formula for the perpendicular distance from a point (the origin) to this line. Squaring and rearranging the result gives the desired relationship.

🎯 Exam Tip: The intercept form of a line equation (\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)) is crucial here. Remember to transform it into the general form \(Ax + By + C = 0\) before applying the perpendicular distance formula. Algebraic manipulation involving fractions and squares needs to be precise.

अध्याय 10 पर विविध प्रश्नावली

 

Question 1. \(k\) के मान ज्ञात कीजिए जब कि रेखा \((k - 3) x - (4 - k^2) y + k^2 - 7k + 6 = 0\)

Answer:हल: (a) \(x\)-अक्ष के समान्तर है। यदि रेखा \(x\)-अक्ष के समान्तर है, तो \(x\) का गुणांक = 0.
\( \implies k - 3 = 0\)
\( \implies k = 3\). (b) \(y\)-अक्ष के समान्तर है। यदि रेखा \(y\)-अक्ष के समान्तर है, तो \(y\) का गुणांक = 0.
\( \implies -(4 - k^2) = 0\)
\( \implies 4 - k^2 = 0\)
\( \implies k^2 = 4\)
\( \implies k = \pm 2\). (c) मूल बिन्दु से जाती है। यदि रेखा मूल बिन्दु \((0, 0)\) से जाती है, तो \((0, 0)\) समीकरण को संतुष्ट करेगा। \((k - 3)(0) - (4 - k^2)(0) + k^2 - 7k + 6 = 0\)
\( \implies k^2 - 7k + 6 = 0\)
\( \implies (k - 6)(k - 1) = 0\)
\( \implies k = 1, 6\).In simple words: This problem asks for the value(s) of \(k\) under three conditions for a given line equation. For a line parallel to the x-axis, the coefficient of \(x\) is zero. For a line parallel to the y-axis, the coefficient of \(y\) is zero. For a line passing through the origin, substituting \((0,0)\) into the equation must satisfy it. Solve the resulting equations for \(k\) in each case.

🎯 Exam Tip: Remember these fundamental properties of lines: a line parallel to the x-axis has a slope of 0 (coefficient of x is 0), a line parallel to the y-axis has an undefined slope (coefficient of y is 0), and a line passing through the origin has no constant term (or the constant term becomes 0 when \((0,0)\) is substituted). Systematically apply these to find \(k\).

 

Question 2. \(\theta\) और \(p\) के मान ज्ञात कीजिए यदि समीकरण \(x \cos\theta + y \sin\theta = p\) रेखा \(\sqrt{3} x + y + 2 = 0\) को लम्ब रूप है।

Answer:हल : दी गयी रेखा का समीकरण \(\sqrt{3}x + y + 2 = 0\) या \(\sqrt{3}x + y = -2\) लम्ब रूप में \(p\) धनात्मक होता है, इसलिए हम समीकरण को \(-1\) से गुणा करेंगे: \(-\sqrt{3}x - y = 2\) \(\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\) से भाग देने पर, \(\frac{-\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y = \frac{2}{2}\) \(\frac{-\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y = 1\) इसकी तुलना \(x \cos\theta + y \sin\theta = p\) से करने पर, \(p = 1\) और \(\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(\sin\theta = -\frac{1}{2}\) \(\theta\) तीसरे चतुर्थांश में है, जहाँ \(\cos\theta\) और \(\sin\theta\) दोनों ऋणात्मक हैं। \(\theta = 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ\) \(\theta = 210^\circ = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\) रेडियन।In simple words: To convert a given line equation into its normal (perpendicular) form \(x \cos\theta + y \sin\theta = p\), first ensure the constant term is positive on the right side. Then, divide the entire equation by the square root of the sum of the squares of the coefficients of \(x\) and \(y\). The coefficients of \(x\) and \(y\) become \(\cos\theta\) and \(\sin\theta\) respectively, and the constant term becomes \(p\). Determine \(\theta\) based on the signs of \(\cos\theta\) and \(\sin\theta\).

🎯 Exam Tip: Always make the right-hand side of the normal form equation (\(p\)) positive. The signs of \(\cos\theta\) and \(\sin\theta\) dictate the quadrant of \(\theta\). Remember that \(\theta\) is measured counterclockwise from the positive x-axis to the normal (perpendicular) from the origin to the line.

 

Question 3. उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जिनके अक्षों से कटे अंत:खण्डों का योग और गुणनफल क्रमशः 1 और-6 हैं।

Answer:हल : मान लीजिए अक्षों पर कटे अंत: खण्ड \(a\) और \(b\) हैं। दिया है: \(a + b = 1\) ......(1) और \(ab = -6\) ......(2) समी (1) से, \(b = 1 - a\) \(b\) का मान समी (2) में रखने पर, \(a(1 - a) = -6\)
\( \implies a - a^2 = -6\)
\( \implies a^2 - a - 6 = 0\)
\( \implies (a - 3)(a + 2) = 0\)
\( \implies a = 3\) या \(a = -2\) यदि \(a = 3\), तब \(b = 1 - 3 = -2\) यदि \(a = -2\), तब \(b = 1 - (-2) = 3\) अतः दो संभावित अंत: खण्ड युग्म हैं: \((3, -2)\) और \((-2, 3)\)। जब अंत:खण्ड \(a = 3\) और \(b = -2\) हों, तब रेखा का समीकरण (अंतः खण्ड रूप), \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) \(\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} = 1\)
\( \implies -2x + 3y = -6\)
\( \implies 2x - 3y = 6\). जब अंत:खण्ड \(a = -2\) और \(b = 3\) हों, तब रेखा का समीकरण (अंतः खण्ड रूप), \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) \(\frac{x}{-2} + \frac{y}{3} = 1\)
\( \implies 3x - 2y = -6\)
\( \implies -3x + 2y = 6\).In simple words: Given the sum and product of the x and y-intercepts, we first form a quadratic equation to find the possible values for the intercepts. Since there are two pairs of intercepts, we will get two distinct line equations using the intercept form \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

🎯 Exam Tip: The intercept form of a line is very useful when dealing with intercepts. Solving the system of equations (sum and product) for the intercepts is a common algebraic step. Remember that the constant term in the general form \(Ax + By = C\) can be made 1 by dividing by \(C\) to easily get the intercept form.

 

Question 4. \(y\)-अक्ष पर कौन से बिन्दु ऐसे हैं, जिनकी रेखा \(4x + 3y = 12\) से दूरी 4 इकाई है।

Answer:हल : मान लीजिए \(y\)-अक्ष पर बिन्दु \((0, y_1)\) है। दी गयी रेखा \(4x + 3y = 12\) या \(4x + 3y - 12 = 0\). बिन्दु \((0, y_1)\) की रेखा \(4x + 3y - 12 = 0\) से दूरी 4 इकाई है। \[\left| \frac{4(0) + 3y_1 - 12}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \right| = 4\] \[\left| \frac{3y_1 - 12}{\sqrt{16 + 9}} \right| = 4\] \[\left| \frac{3y_1 - 12}{\sqrt{25}} \right| = 4\] \[\left| \frac{3y_1 - 12}{5} \right| = 4\]
\( \implies 3y_1 - 12 = \pm 4 \times 5\)
\( \implies 3y_1 - 12 = \pm 20\) स्थिति 1: \(3y_1 - 12 = 20\)
\( \implies 3y_1 = 20 + 12\)
\( \implies 3y_1 = 32\)
\( \implies y_1 = \frac{32}{3}\) बिन्दु \(\left(0, \frac{32}{3}\right)\). स्थिति 2: \(3y_1 - 12 = -20\)
\( \implies 3y_1 = -20 + 12\)
\( \implies 3y_1 = -8\)
\( \implies y_1 = -\frac{8}{3}\) बिन्दु \(\left(0, -\frac{8}{3}\right)\). अतः \(y\)-अक्ष पर बिन्दु \(\left(0, \frac{32}{3}\right)\) और \(\left(0, -\frac{8}{3}\right)\) हैं जो दी हुई रेखा से 4 इकाई दूरी पर हैं।In simple words: We need to find points on the y-axis that are 4 units away from a given line. A point on the y-axis has coordinates \((0, y_1)\). We use the perpendicular distance formula from a point to a line and set it equal to 4. Solving the resulting absolute value equation will give two possible values for \(y_1\), and thus two points on the y-axis.

🎯 Exam Tip: Remember that points on the y-axis always have an x-coordinate of 0. The perpendicular distance formula \(\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\) will involve an absolute value, leading to two possible solutions for the unknown coordinate. Be careful with signs when solving the absolute value equation.

 

Question 5. मूल बिन्दु से बिन्दुओं \((\cos\theta, \sin\theta)\) और \((\cos\phi, \sin\phi)\) को मिलाने वाली रेखा की लांबिक दूरी ज्ञात कीजिए ।

Answer:हलः बिन्दुओं \((\cos\theta, \sin\theta)\) और \((\cos\phi, \sin\phi)\) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण, \(y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)\) \(y - \sin\theta = \frac{\sin\phi - \sin\theta}{\cos\phi - \cos\theta}(x - \cos\theta)\) Using sum-to-product trigonometric identities: \(\sin\phi - \sin\theta = 2 \cos\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) \sin\left(\frac{\phi - \theta}{2}\right)\) \(\cos\phi - \cos\theta = -2 \sin\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) \sin\left(\frac{\phi - \theta}{2}\right)\) Substituting these into the equation: \(y - \sin\theta = \frac{2 \cos\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) \sin\left(\frac{\phi - \theta}{2}\right)}{-2 \sin\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) \sin\left(\frac{\phi - \theta}{2}\right)}(x - \cos\theta)\) \(y - \sin\theta = -\cot\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right)(x - \cos\theta)\) Multiplying by \(\sin\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right)\): \(y \sin\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) - \sin\theta \sin\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) = -\cos\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right)(x - \cos\theta)\) \(y \sin\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) - \sin\theta \sin\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) = -x \cos\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) + \cos\theta \cos\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right)\) Rearranging into general form \(Ax + By + C = 0\): \(x \cos\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) + y \sin\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) - \cos\theta \cos\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) - \sin\theta \sin\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) = 0\) Using \(\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\): \(x \cos\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) + y \sin\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) - \cos\left(\theta - \frac{\phi + \theta}{2}\right) = 0\) \(x \cos\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) + y \sin\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) - \cos\left(\frac{\theta - \phi}{2}\right) = 0\) This is the equation of the line. अब मूल बिन्दु \((0, 0)\) से इस रेखा की दूरी \(d\) ज्ञात कीजिए। \[d = \left| \frac{0 \cdot \cos\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) + 0 \cdot \sin\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) - \cos\left(\frac{\theta - \phi}{2}\right)}{\sqrt{\cos^2\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{\phi + \theta}{2}\right)}} \right|\] \[d = \left| \frac{- \cos\left(\frac{\theta - \phi}{2}\right)}{1} \right|\] \[d = \left| \cos\left(\frac{\theta - \phi}{2}\right) \right|\] या \(d = \left| \cos\left(\frac{\phi - \theta}{2}\right) \right|\)In simple words: To find the perpendicular distance from the origin to the line passing through two given points with trigonometric coordinates, first find the equation of the line using the two-point form. Simplify the slope using trigonometric identities. Then convert the line equation to general form \(Ax+By+C=0\). Finally, use the formula for the perpendicular distance from the origin \((0,0)\) to this line, which simplifies significantly.

🎯 Exam Tip: When dealing with trigonometric coordinates, expect to use sum-to-product or other trigonometric identities to simplify the slope and the equation of the line. The distance formula often simplifies well due to \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\).

 

Question 6. रेखाओं \(x - 7y + 5 = 0\) और \(3x + y = 0\) के प्रतिच्छेद बिन्दु से खीचीं गई और \(y\)-अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।

Answer:हल : दी गयी रेखाएँ \(x - 7y + 5 = 0\) ......(1) \(3x + y = 0\) ......(2) समी (2) से, \(y = -3x\) \(y\) का मान समी (1) में रखने पर, \(x - 7(-3x) + 5 = 0\)
\( \implies x + 21x + 5 = 0\)
\( \implies 22x + 5 = 0\)
\( \implies x = -\frac{5}{22}\) अब \(x\) का मान \(y = -3x\) में रखने पर, \(y = -3\left(-\frac{5}{22}\right)\)
\( \implies y = \frac{15}{22}\) प्रतिच्छेद बिन्दु \(\left(-\frac{5}{22}, \frac{15}{22}\right)\) है। वह रेखा जो प्रतिच्छेद बिन्दु \(\left(-\frac{5}{22}, \frac{15}{22}\right)\) से जाती है और \(y\)-अक्ष के समान्तर है, का समीकरण \(x = -\frac{5}{22}\) होगा। या \(22x + 5 = 0\).In simple words: First, find the intersection point of the two given lines by solving their equations simultaneously. Once the intersection point is found, the equation of a line parallel to the y-axis passing through this point will simply be \(x = \text{x-coordinate of the intersection point}\).

🎯 Exam Tip: A line parallel to the y-axis has the form \(x = \text{constant}\), where the constant is the x-coordinate of any point on that line. Similarly, a line parallel to the x-axis has the form \(y = \text{constant}\). Ensure accurate calculation of the intersection point.

 

Question 7. उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष की धन दिशा से वामावर्त मापा गया 30° का कोण बनाती है।
Answer: हलः
माना रेखों OP, y-अक्ष से वामावर्त 30° का कोण बनाती है।
x- अक्षे, की धन दिशा से 90° + 30° = 120° को कोण बनाती है।
रेखा OP की ढाल = \( \tan 120 = -\sqrt{3} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक निर्देशांक अक्षों (X और Y) पर एक बिंदु P और एक रेखा OP को दर्शाता है। रेखा OP y-अक्ष की धनात्मक दिशा से वामावर्त 30° का कोण बनाती है, और x-अक्ष की धनात्मक दिशा से 120° का कोण बनाती हुई दिखाई गई है।
यह रेखा मूलबिन्दु (0, 0) से होकर जाती है। रेखा का बिन्दु ढाल रूप है।
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
OP का समीकरण \( y - 0 = -\sqrt{3} (x - 0) \)
\( y = -\sqrt{3} x \)
In simple words: A line passing through the origin makes a 120° angle with the positive x-axis (which is 30° from the positive y-axis). Its slope is \( \tan(120^\circ) \), leading to the equation \( y = -\sqrt{3}x \).

🎯 Exam Tip: Remember that the angle a line makes with the positive y-axis (counter-clockwise) can be converted to the angle with the positive x-axis by adding 90 degrees. Use the point-slope form \( y - y_1 = m(x - x_1) \) for the equation.

 

Question 8. x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिन्दु (x, -1), (2, 1) और (4, 5) संरेख हैं।
Answer: हलः
मान लीजिए बिन्दु A (x, -1), B (2, 1), C (4, 5) सरेख हैं यदि,
AB की ढाल = BC की ढाल
AB की ढाल \( = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1+1}{2-x} = \frac{2}{2-x} \) ...(1)
BC की ढाल \( = \frac{5-1}{4-2} = \frac{4}{2} = 2 \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से,
\( \frac{2}{2-x} = 2 \)
या \( 1 = 2-x \)
\( x = 1 \).
In simple words: For three points to be collinear, the slope between any two pairs of points must be equal. By calculating the slopes of AB and BC and setting them equal, we find the value of x.

🎯 Exam Tip: Collinearity problems often involve comparing slopes. Ensure correct application of the slope formula \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).

 

Question 9. दूरी सूत्र का प्रयोग किए बिना दिखलाइए कि बिन्दु (-2, -1), (4, 0), (3, 3) और (-3, 2) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
Answer: हलः
मान लीजिए एक चतुर्भुज के शीर्ष A(-2, -1), B(4, 0), C(3, 3), तथा D(-3, 2) हैं ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसके शीर्ष A(-2, -1), B(4, 0), C(3, 3), और D(-3, 2) हैं। यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज के रूप में चित्रित किया गया है।
AB की ढाल \( = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0+1}{4+2} = \frac{1}{6} \)
DC की ढाल \( = \frac{3-2}{3+3} = \frac{1}{6} \)
AB की ढाल = DC की ढाल
अर्थात् AB || DC
BC की ढाल \( = \frac{3-0}{3-4} = \frac{3}{-1} = -3 \)
AD की ढाल \( = \frac{2+1}{-3+2} = \frac{3}{-1} = -3 \)
BC की ढाल = AD की ढाल
अर्थात् BC || AD
अतः AB || DC, BC || AD
अतः ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
In simple words: To prove a quadrilateral is a parallelogram without using distance formula, we show that opposite sides have the same slope, meaning they are parallel. Here, AB is parallel to DC and BC is parallel to AD.

🎯 Exam Tip: For proving a parallelogram without distance, always use the slope concept. Parallel sides have equal slopes. Calculate slopes for all four sides and match them for opposite pairs.

 

Question 10. x-अक्ष और (3, -1) और (4,-2) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
माना A(3, -1), B(4, -2) को मिलाने वाली रेखा AB की ढाल \( = \frac{-2-(-1)}{4-3} = \frac{-1}{1} = -1 \)
यदि x-अक्ष और AB के बीच से कोण हो, तो
\( \tan \theta = -1 \)
\( \tan \theta = \tan 135^\circ \)
\( \theta = 135^\circ \).
In simple words: First, find the slope of the line segment using the given points. Then, use the relationship \( \tan \theta = \text{slope} \) to find the angle the line makes with the x-axis.

🎯 Exam Tip: The slope of a line is equal to the tangent of the angle it makes with the positive x-axis. Remember common tangent values for angles like 135°.

 

Question 11. एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है। यदि दोनों के बीच के कोण की स्पर्शज्या (tangent) है तो रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : माना रेखाओं की ढाल \( m_1, m_2 \) हों, तब -
\( m_1 = 2m_2 \)
यदि दोनों रेखाओं के बीच \( \theta \) कोण हो, तो
\( \tan \theta = \frac{1}{3} \)
हम जानते हैं कि \( \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \right| \)
जहाँ \( m_1 = 2m_2 \)
\( \frac{1}{3} = \left| \frac{2m_2 - m_2}{1+2m_2 \cdot m_2} \right| \)
\( \frac{1}{3} = \left| \frac{m_2}{1+2m_2^2} \right| \)
धनात्मक चिन लेने पर,
\( \frac{1}{3} = \frac{m_2}{1+2m_2^2} \)

\( 1+2m_2^2 = 3m_2 \)
\( 2m_2^2 - 3m_2 + 1 = 0 \)
\( (m_2-1)(2m_2 - 1) = 0 \)
\( m_2 = 1, \frac{1}{2} \)
\( m_1 = 2m_2 \) में \( m_2 = 1 \) रखने पर,
\( m_1 = 1 \times 2 = 2 \)
रेखाओं की ढाल 2 और 1 है तथा \( m_2 = \frac{1}{2} \) रखने पर,
\( m_1 = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \)
रेखाओं की ढाल 1 और \( \frac{1}{2} \) है।
- ve चिन्ह लेने पर, \( \frac{1}{3} = -\frac{m_2}{1+2m_2^2} \)
\( 1+2m_2^2 = -3m_2 \)
\( 2m_2^2 + 3m_2 + 1 = 0 \)
\( (m_2 + 1) (2m_2 + 1) = 0 \)
अर्थात् \( m_2 = -1, -\frac{1}{2} \)
यदि \( m_2 = -1 \), तो \( m_1 = 2(-1) = -2 \).
यदि \( m_2 = -\frac{1}{2} \), तो \( m_1 = 2(-\frac{1}{2}) = -1 \).
रेखा की ढाल 2, 1, तथा – 1, \( -\frac{1}{2} \) है।
In simple words: Given the relationship between the slopes and the tangent of the angle between them, we use the formula for the angle between two lines. Solving the resulting quadratic equations for \( m_2 \) provides the possible slope values, and then \( m_1 \) is found.

🎯 Exam Tip: The formula for the angle between two lines \( \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \right| \) is crucial here. Remember to consider both positive and negative cases when removing the absolute value sign.

 

Question 12. एक रेखा (x1, y1) और (h, k) से जाती है। यदि रेखा की ढाल m है तो दिखाइए \( k - y_1 = m (h - x_1) \).
Answer: हल:
माना रेखा AB बिन्दु A(x1, y1) और B(h, k) से गुजरती हो, तब
AB की ढाल \( = \frac{k-y_1}{h-x_1} = m \)
अर्थात् \( k-y_1 = m (h-x_1) \).
In simple words: The slope of a line passing through two points is given by the change in y-coordinates divided by the change in x-coordinates. Multiplying the slope by the change in x-coordinates gives the change in y-coordinates.

🎯 Exam Tip: This question is a direct application of the definition of slope. \( m = \frac{\text{change in y}}{\text{change in x}} \).

 

Question 13. यदि तीन बिन्दु (h, 0), (a, b) और (0, k) एक रेखा पर हैं तो दिखाइए कि \( \frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1 \).
Answer: हलः
मान लीजिए बिन्दु A (h, 0), B(a, b), तथा C(0, k) एक रेखा पर हों, तब
AB की ढाल \( = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{b-0}{a-h} = \frac{b}{a-h} \)
BC की ढाल \( = \frac{k-b}{0-a} = \frac{k-b}{-a} \)
AB की ढाल = BC की ढाल

\( \frac{b}{a-h} = \frac{k-b}{-a} \)
या \( -ab = (a-h)(k-b) \)
या \( -ab = ak - ab - hk + hb \)
या \( 0 = ak - hk + hb \)
या \( ak + hb = hk \)
hk से भाग देने पर,
\( \frac{ak}{hk} + \frac{hb}{hk} = \frac{hk}{hk} \)
\( \frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1 \).
In simple words: For three points to be collinear, the slope between any two pairs of points must be equal. By setting the slope of AB equal to the slope of BC and simplifying the equation, we can derive the required relationship.

🎯 Exam Tip: When points are collinear, their slopes are equal. Careful algebraic manipulation is key to simplifying the expression and reaching the desired proof.

 

Question 14. जनसंख्या और वर्ष के निम्नलिखित लेखाचित्र पर विचार कीजिए। (देखिए आकृति में) रेखा AB की ढाल ज्ञात कीजिए और इसके प्रयोग से बताइए कि वर्ष 2010 में जनसंख्या कितनी होगी ?
Answer: हलः
दी गयी आकृति में रेखा AB बिन्दु A(1985, 92) और B (1995, 97) से होकर जाती है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक ग्राफ है जो वर्षों (x-अक्ष) और जनसंख्या (करोड़ों में, y-अक्ष) के बीच संबंध दिखाता है। इसमें एक सीधी रेखा AB है जो दो बिंदुओं A(1985, 92) और B(1995, 97) से गुजरती है। बिंदु P(2010, y1) रेखा AB पर स्थित है, जो 2010 में जनसंख्या का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है।
AB की ढाल \( = \frac{97-92}{1995-1985} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
मान लीजिए सन् 2010 में जनसंख्या \( y_1 \) करोड़ होगी जो बिन्दु P(2010, \( y_1 \)), AB पर पड़ता है।
ABP सरेखीय हैं।
AB की ढाल = BP की ढाल
\( \frac{1}{2} = \frac{y_1-97}{2010-1995} \)
\( \frac{1}{2} = \frac{y_1-97}{15} \)
\( 2(y_1 - 97) = 15 \)
\( 2y_1 = 15+2 \times 97 \)
\( 2y_1 = 15+194 \)
\( 2y_1 = 209 \)
\( y_1 = \frac{209}{2} = 104.5 \)
सन् 2010 में जनसंख्या 104.5 करोड़ होगी।
In simple words: We calculate the slope of the line AB using the given points. Since the population in 2010 lies on the same line, the slope between point A (or B) and the point representing 2010 will be the same. Using this, we solve for the unknown population.

🎯 Exam Tip: When data points are linearly related, the slope remains constant. Use the slope formula to find the rate of change and then extend it to predict values for other points on the line.

प्रश्नावली 10.2

 

Question 1. x-अक्ष और y-अक्ष के समीकरण लिखिए।
Answer: हल: x-अक्ष का समीकरण y = 0. तथा y-अक्ष का समीकरण x = 0.
In simple words: The x-axis is the line where all y-coordinates are zero, and the y-axis is the line where all x-coordinates are zero.

🎯 Exam Tip: These are fundamental equations. Remember them as basic building blocks for coordinate geometry problems.

 

Question 2. ढाल और बिन्दु (-4, 3) से जाने वाली ।
Answer: हलः
ढाल m = , बिन्दु (-4, 3)
अभीष्ट रेखा का समीकरण
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 3 = (x + 4) \)
\( 2y - 6 = x + 4 \)
\( x - 2y + 10 = 0 \).
In simple words: Given a point and a slope, we use the point-slope form \( y - y_1 = m(x - x_1) \) to find the equation of the line.

🎯 Exam Tip: The point-slope form \( y - y_1 = m(x - x_1) \) is highly versatile. Substitute the given point coordinates and slope carefully to avoid errors.

 

Question 3. बिन्दु (0, 0) से जाने वाली और ढाल m वाली ।
Answer: हलः
दिया है : बिन्दु (0, 0), ढाल = m
ढाल m, तथा (x1, y1) से जाने वाली रेखा का समीकरण
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 0 = m(x - 0) \)
अतः अभीष्ट समीकरण \( y = mx \).
In simple words: For a line passing through the origin (0,0) with a slope 'm', the equation simplifies to \( y = mx \).

🎯 Exam Tip: Lines passing through the origin always have the form \( y = mx \), where 'm' is the slope. This is a special case of the point-slope form.

 

Question 4. बिन्दुः(2, 2√3) से जाने वाली और x-अक्ष से 75° के कोण पर झुकी हुई ।
Answer: हलः
चूँकि रेखा x-अक्ष के साथ 75° पर झुकी हुई है, तब रेखा की ढाल
\( m = \tan 75^\circ = \tan (45^\circ + 30^\circ) \)
\( = \frac{\tan 45^\circ+\tan 30^\circ}{1-\tan 45^\circ \tan 30^\circ} \)
\( = \frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \)
\( = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} \)
\( = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \)
\( = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} \)
\( = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{3-1} \)
\( = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3} \)
रेखा बिन्दु (2, \( 2\sqrt{3} \)) से होकर जाती है।
रेखा जो (x1, y1) से होकर जाती है तथा ढाल m हो तो उसका समीकरण
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
यहाँ \( x_1 = 2 \) तथा \( y_1 = 2\sqrt{3} \) रखने पर,
\( y - 2\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})(x - 2) \)
\( y - 2\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})x - 2(2 + \sqrt{3}) \)
\( y - 2\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})x - 4 - 2\sqrt{3} \)
या \( (2 + \sqrt{3})x - y + 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} = 0 \)
अतः \( (2+\sqrt{3})x - y - 4 = 0 \).
In simple words: First, calculate the slope 'm' using \( \tan 75^\circ \) and the trigonometric sum formula. Then, substitute this slope and the given point (2, \( 2\sqrt{3} \)) into the point-slope form \( y - y_1 = m(x - x_1) \) to find the line's equation.

🎯 Exam Tip: Remember the tangent addition formula: \( \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \). Rationalize denominators when simplifying slope values. Be careful with algebraic expansion and simplification.

 

Question 5. मूल बिन्दु के बाईं ओर y-अक्ष को 3 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने तथा ढाल -2 वाली ।
Answer: हलः
मूल बिन्दु से बाईं ओर 3 इकाई की दूरी पर स्थित बिन्दु (-3, 0) होगा तथा ढाल \( m = -2 \)
\( m \) तथा (x1, y1) के द्वारा, रेखा का समीकरण,
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
यहाँ \( x_1 = -3 \) तथा \( y_1 = 0 \) रखने पर,
\( y - 0 = -2 (x + 3) \)
यो \( y = -2x - 6 \)
\( 2x + y + 6 = 0 \).
In simple words: Identifying the x-intercept as (-3, 0) and given the slope, we use the point-slope formula to write the equation of the line.

🎯 Exam Tip: "To the left of the origin" for x-axis intersection means a negative x-coordinate. Convert the description into a specific point and use the point-slope form.

 

Question 6. मूल बिन्दु से ऊपर y-अक्ष को 2 इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने वाली और x-अक्ष की धन दिशा के साथ 30° का कोण बनाने वाली ।
Answer: हलः
मूल बिन्दु से y-अक्ष पर 2 इकाई की दूरी पर स्थित बिन्दु (0, 2) होगा। x-अक्ष की धन दिशा के साथ रेखा 30° का कोण बनाती है।
\( m = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
रेखा का समीकरण
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 2 = \frac{1}{\sqrt{3}} (x - 0) \)
या \( \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = x \)
या \( x - \sqrt{3}y + 2\sqrt{3} = 0 \).
In simple words: We find the y-intercept (0, 2) and calculate the slope using \( \tan 30^\circ \). Then, we substitute these values into the point-slope form to get the line's equation.

🎯 Exam Tip: "Above the origin" for y-axis intersection means a positive y-coordinate. Remember \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \) and use the point-slope form.

 

Question 7. बिन्दुओं (-1, 1) और (2, -4) से जाते हुए ।
Answer: हल : बिन्दुओं (x1, y1) और (x2, y2) से जाने वाली रेखा की ढाल \( = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
(x1, y1) और (x2, y2) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण,
\( \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
दिया है : \( x_1 = -1, y_1 = 1, x_2 = 2 \) और \( y_2 = -4 \) रखने पर,
\( \frac{y - 1}{x - (-1)} = \frac{-4 - 1}{2 - (-1)} \)
\( \frac{y - 1}{x + 1} = \frac{-5}{3} \)
या \( 3(y - 1) = -5(x + 1) \)
\( 3y - 3 = -5x - 5 \)
अतः \( 5x + 3y + 2 = 0 \).
In simple words: Given two points, we use the two-point form of the line equation. We substitute the coordinates of the two points into the formula and simplify to get the linear equation.

🎯 Exam Tip: The two-point form \( \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) is efficient for finding the equation of a line when two points are known. Be cautious with negative signs during substitution.

 

Question 8. उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी मूल बिन्दु से लांबिक दूरी 5 इकाई और लंब धन x-अक्ष से 30° को कोण बनाती है।
Answer: हलः
हम जानते हैं कि लंबे रूप में रेखा AB का समीकरण,
\( x \cos \omega + y \sin \omega = p \)
यहाँ पर दिया हैः \( \omega = 30^\circ \), तथा \( p = 5 \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक निर्देशांक अक्षों (X और Y) पर एक रेखा AB को दर्शाता है। मूल बिंदु O से रेखा AB पर एक लंब OP डाला गया है, जिसकी लंबाई p है। यह लंब धन x-अक्ष से एक कोण \( \omega \) बनाता है। दिए गए मान हैं \( p=5 \) और \( \omega=30^\circ \).
रेखा AB का समीकरण,
\( x \cos 30^\circ + y \sin 30^\circ = 5 \)
\( x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + y \cdot \frac{1}{2} = 5 \)
\( \sqrt{3} x + y = 10 \).
In simple words: We use the normal form of the line equation, \( x \cos \omega + y \sin \omega = p \), where 'p' is the perpendicular distance from the origin and \( \omega \) is the angle the normal makes with the positive x-axis. Substituting the given values gives the equation.

🎯 Exam Tip: The normal form of a line equation is important when perpendicular distance from the origin and the angle of the normal are given. Remember the standard trigonometric values for common angles like 30°.

 

Question 9. APQR के शीर्ष P(2, 1), Q(-2, 3) और R (4, 5) हैं। शीर्ष R से जाने वाली माध्यिका का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : PQ का मध्य बिन्दु M \( \left( \frac{2+(-2)}{2}, \frac{1+3}{2} \right) \) अर्थात् M (0, 2) है।
दो बिन्दुओं से जाने वाली रेखा का समीकरण,
\( \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज PQR को दर्शाता है जिसके शीर्ष P(2,1), Q(-2,3), और R(4,5) हैं। बिंदु M, PQ का मध्यबिंदु है, और RM शीर्ष R से माध्यिका है।
अब बिन्दुओं R (4, 5) तथा M(0, 2) से जाने वाली रेखा का समीकरण,
\( \frac{y - 5}{x - 4} = \frac{2 - 5}{0 - 4} \)
\( \frac{y - 5}{x - 4} = \frac{-3}{-4} \)
या \( 4(y - 5) = 3 (x - 4) \)
\( 4y - 20 = 3x - 12 \)
या \( 3x - 4y + 8 = 0 \)
अतः माध्यिका RM का समीकरण \( 3x - 4y + 8 = 0 \).
In simple words: First, find the midpoint M of the side opposite to vertex R. Then, use the two-point form of the line equation with vertex R and midpoint M to find the equation of the median RM.

🎯 Exam Tip: A median connects a vertex to the midpoint of the opposite side. Use the midpoint formula \( \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \) and then the two-point form for the line equation.

 

Question 10. (-3, 5) से होकर जाने वाली और बिन्दु (2, 5) और (-3, 6) से जाने वाली रेखा पर लंब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः
बिन्दु A(2, 5) और B(-3, 6) से होकर जाने वाली रेखा का ढाल \( m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6-5}{-3-2} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक निर्देशांक तल में तीन बिंदु P(-3,5), A(2,5), और B(-3,6) को दर्शाता है। रेखा PL को बिंदु P से रेखा AB पर लंबवत दर्शाया गया है।
यदि PL बिन्दु P(-3, 5) से AB पर लम्ब डाला गया हो तो उसकी ढाल \( m_2 \) मान लीजिए।
रेखाएँ PL और AB परस्पर लम्ब हैं।
यदि PL की ढाल \( \times \) AB की ढाल = - 1
अर्थात \( m_2 \times (-\frac{1}{5}) = -1 \)
\( m_2 = 5 \)
PL की ढाल 5 है और P(-3, 5) से होकर जाती है तो PL का समीकरण,
\( y - y_1 = m_2(x - x_1) \)
या \( y - 5 = 5 (x + 3) \)
\( y - 5 = 5x + 15 \)
\( 5x - y + 20 = 0 \).
In simple words: First, find the slope of the line AB. Since the required line is perpendicular to AB, its slope will be the negative reciprocal of AB's slope. Then, use this perpendicular slope and the given point (-3, 5) in the point-slope form to find the equation.

🎯 Exam Tip: The product of slopes of two perpendicular lines (neither being horizontal/vertical) is -1. Use this property to find the slope of the perpendicular line, then use the point-slope form.

 

Question 11. एक रेखा (1, 0) तथा (2, 3) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखंड पर लम्ब है तथा उसको 1 : n के अनुपात में विभाजित करती है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
रेखा AB बिन्दु A(1, 0) तथा B(2, 3) से होकर जाती है।
AB की ढाल \( = \frac{3-0}{2-1} = \frac{3}{1} = 3 \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक रेखाखंड AB को दर्शाता है जिसके बिंदु A(1,0) और B हैं। एक रेखा PQ इस रेखाखंड AB पर लंबवत है और इसे बिंदु C पर 1:n के अनुपात में काटती है।
PQ \( \perp \) AB
PQ की ढाल, \( m = -\frac{1}{\text{AB की ढाल}} = -\frac{1}{3} \)
PQ रेखा AB को C पर प्रतिछेदन करती है।
साथ ही बिन्दु C रेखाखंड AB को 1: n के अनुपात में बांटता है।
अर्थात् C के निर्देशांक \( \left( \frac{1 \times 2 + n \times 1}{1+n}, \frac{1 \times 3 + n \times 0}{1+n} \right) \)
या C \( \left( \frac{2+n}{n+1}, \frac{3}{n+1} \right) \)
अब रेखा PQ का समीकरण,
\( y - y_1 = m (x - x_1) \)
जहाँ \( x_1 = \frac{2+n}{n+1} \) और \( y_1 = \frac{3}{n+1} \)
\( y - \frac{3}{n+1} = -\frac{1}{3} \left( x - \frac{n+2}{n+1} \right) \)
\( 3(n + 1)y - 9 = -( (n + 1)x - (n + 2) ) \)
\( 3(n + 1)y - 9 = -(n + 1)x + n + 2 \)
या \( (n + 1)x + 3(n+1)y = n + 2 + 9 \)
\( (n + 1)x + 3(n+1)y = n + 11 \).
In simple words: First, find the slope of AB. Since PQ is perpendicular, its slope is the negative reciprocal. Then, find the coordinates of point C (the intersection point) using the section formula for the given ratio. Finally, use the point-slope form with the slope of PQ and point C to get the equation.

🎯 Exam Tip: This problem combines several concepts: slope of perpendicular lines, section formula for internal division, and the point-slope form. Be diligent with algebraic steps involving 'n'.

 

Question 12. एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों से समान अंत:खण्ड काटती है और बिन्दु (2, 3) से जाती है।
Answer: हलः
रेखा AB बिन्दु P(2, 3) से होकर जाती है और निर्देशांक अक्षों पर समान अंत:खंड बनाती है।
माना समान अंत:खंड 'a' है। तब, रेखा का समीकरण अंत:खंड रूप में \( \frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1 \)
अर्थात् \( x + y = a \)
चूँकि यह रेखा बिन्दु (2, 3) से होकर जाती है, तो यह इस बिन्दु के निर्देशांकों को संतुष्ट करेगी।
\( 2 + 3 = a \)
\( a = 5 \)
तो, रेखा का समीकरण \( x + y = 5 \).
Alternatively, from the provided OCR content that used slopes (leading to two cases for m):
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक निर्देशांक अक्षों पर एक रेखा AB को दर्शाता है जो P(2,3) से गुजरती है और अक्षों पर समान अंतःखंड काटती है। रेखा x-अक्ष से 135° का कोण बनाती है और y-अक्ष से 45° का कोण बनाती है।
AB की ढाल, \( m = \tan 135^\circ = -1 \)
रेखा का समीकरण, \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
जहाँ \( x_1 = 2, y_1 = 3 \) तथा \( m = -1 \)
\( y - 3 = -1 (x - 2) \)
\( y - 3 = -x + 2 \)
\( x + y - 5 = 0 \)
\( x + y = 5 \).
In simple words: If a line makes equal intercepts on the coordinate axes, its equation is of the form \( x+y=a \). By substituting the given point (2,3) into this equation, we can find the value of 'a' and thus the equation of the line.

🎯 Exam Tip: A line cutting equal intercepts on axes has a slope of -1. The intercept form of the line \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) is very useful, and for equal intercepts, \( a=b \).

 

Question 13. बिन्दु (2, 2) से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा अक्षों से कटे अंत:खंडों का योम 9 है।
Answer: हलः
मान लीजिए P(2, 2) से होकर जाने वाली रेखा से अक्षों पर बने अंतः खंड a तथा b हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक निर्देशांक अक्षों पर एक रेखा को दर्शाता है जो बिंदु P(2,2) से गुजरती है। रेखा x-अक्ष को 'a' पर और y-अक्ष को 'b' पर काटती है, जो इसके अंतःखंड हैं।
अंतः खंड रूप में रेखा का समीकरण \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)
यह रेखा P(2, 2) से होकर जाती है।
\( \frac{2}{a} + \frac{2}{b} = 1 \)
दिया है कि अंतः खंडों का योग 9 है।
\( a + b = 9 \)
\( b = 9-a \)
b का मान (1) में रखने पर,
\( \frac{2}{a} + \frac{2}{9-a} = 1 \)
\( 2(9-a) + 2a = a (9 - a) \)
\( 18 - 2a + 2a = 9a - a^2 \)
\( 18 = 9a - a^2 \)
\( a^2 - 9a + 18 = 0 \)
\( (a-6)(a-3) = 0 \)
\( a = 6, 3 \)
जब \( a = 6 \), तब \( b = 9-6 = 3 \)
जब \( a = 3 \), तब \( b = 9-3 = 6 \)
जब \( a = 6 \) तथा \( b = 3 \) हो, तो रेखा का अभीष्ट समीकरण
\( \frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1 \)
या \( 3x + 6y = 18 \)
या \( x + 2y = 6 \).
जब \( a = 3 \) तथा \( b = 6 \) हो, तब रेखा का अभीष्ट समीकरण,
\( \frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 1 \)
या \( 6x + 3y = 18 \)
या \( 2x + y = 6 \).
In simple words: Using the intercept form of a line and the given sum of intercepts, we form a quadratic equation in terms of 'a'. Solving this gives two possible pairs of intercepts, leading to two possible equations for the line.

🎯 Exam Tip: Problems involving intercepts and a passing point require setting up equations using the intercept form. Remember that a quadratic equation can yield multiple valid solutions.

 

Question 14. बिन्दु (0, 2) से जाने वाली और धन x-अक्ष से \( \frac{2\pi}{3} \) के कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। इसके समांतर और y-अक्ष को मूल बिन्दु से 2 इकाई नीचे की दूरी पर प्रतिच्छेद करती हुई रेखा का समीकरण भी ज्ञात करो।
Answer: हलः
माना एक रेखा PQ बिन्दु P(0, 2) से होकर जाती है और धन x-अक्ष के साथ \( \frac{2\pi}{3} \) का कोण बनाती है।
PQ की ढाल \( = \tan \frac{2\pi}{3} = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक निर्देशांक अक्षों पर दो रेखाएं, PQ और RS, दर्शाता है। रेखा PQ बिंदु P(0,2) से गुजरती है और धन x-अक्ष के साथ \( 2\pi/3 \) (120°) का कोण बनाती है। रेखा RS, PQ के समानांतर है और y-अक्ष को बिंदु R(0,-2) पर काटती है, जो मूल बिंदु से 2 इकाई नीचे है।
रेखा PQ को समीकरण, \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 2 = -\sqrt{3} (x - 0) \)
या \( \sqrt{3}x + y - 2 = 0 \).
दूसरी रेखा RS रेखा PQ के समांतर है
RS का ढाल \( = -\sqrt{3} \)
यह रेखा (0, - 2) से होकर जाती है।
रेखा RS का समीकरण, \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - (-2) = -\sqrt{3} (x - 0) \)
\( y + 2 = -\sqrt{3} x \)
\( \sqrt{3}x + y + 2 = 0 \).
In simple words: For the first line, we find its slope using the given angle and then use the point-slope form with the y-intercept (0, 2). For the second line, since it's parallel, it has the same slope. We use its y-intercept (0, -2) and the same slope to find its equation.

🎯 Exam Tip: Parallel lines have identical slopes. Convert angles to slopes using \( m = \tan \theta \). Pay attention to whether the y-intercept is above or below the origin to correctly determine its sign.

 

Question 15. मूल बिन्दु से किसी रेखा पर डाला गया लम्ब रेखा से बिन्दु (-2, 9) पर मिलता है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
मान लीजिए रेखा AB पर मूल बिन्दु से डाला गया लम्ब AB पर मिलता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक निर्देशांक अक्षों पर एक रेखा AB और मूल बिंदु O को दर्शाता है। बिंदु P(-2,9) वह बिंदु है जहां मूल बिंदु से रेखा AB पर एक लंब OP डाला जाता है।
OP की ढाल \( = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9-0}{-2-0} = -\frac{9}{2} \)
परन्तु AB \( \perp \) OP
AB की ढाल \( = -\frac{1}{\text{OP की ढाल}} = -\frac{1}{-\frac{9}{2}} = \frac{2}{9} \)
अब AB की ढाल \( \frac{2}{9} \) है और P(-2, 9) से होकर जाती है।
AB का समीकरण
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
अर्थात् \( y - 9 = \frac{2}{9}(x + 2) \)
\( 9(y - 9) = 2(x + 2) \)
\( 9y - 81 = 2x + 4 \)
या \( 2x - 9y + 85 = 0 \).
In simple words: First, find the slope of the line segment from the origin to the given point P. Since this segment is perpendicular to the required line AB, the slope of AB will be the negative reciprocal. Then, use this slope and point P to find the equation of line AB using the point-slope form.

🎯 Exam Tip: The line segment from the origin to the foot of the perpendicular on a line is normal to that line. The slope of the normal is the negative reciprocal of the line's slope. Utilize this property to find the required equation.

 

Question 16. तांबे की छड़ की लम्बाई L (सेमी में) सेल्सियस ताप C का रैखिक फलन है। एक प्रयोग में यदि L = 124.942, जब C = 20 और L = 125.134 जब C = 110 हो, तो L को C के पदों में व्यक्त कीजिए ।
Answer: हल:
L ताप C का रैखिक फलन है।
(20, 124.942), (110, 125.134) इसका रैखिक फलन है। इन दो बिन्दुओं से संतुष्ट फलन
\( \frac{L - L_1}{C - C_1} = \frac{L_2 - L_1}{C_2 - C_1} \)
\( L - 124.942 = \frac{125.134 - 124.942}{110 - 20} (C - 20) \)
\( L - 124.942 = \frac{0.192}{90} (C - 20) \)
\( L = \frac{0.192}{90} (C - 20) + 124.942 \).
In simple words: Since L is a linear function of C, we can use the two-point form of a line equation. We treat (C, L) as coordinates and substitute the two given (C, L) pairs into the formula to express L in terms of C.

🎯 Exam Tip: Linear function problems are essentially line equation problems. Identify the two "points" (C, L) and use the two-point form or calculate the slope first, then use the point-slope form. Precision in calculations is important for decimal values.

 

Question 17. समकोण त्रिभुज के कर्ण के अंत्य बिन्दु (1, 3) और (-4, 1) हैं। त्रिभुज के पाद (leg) (समकोणीय नाओं) का एक समीकरण ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः माना त्रिभुज ABC एक समकोणीय त्रिभुज है जिसका कर्ण AB है। A और B के निर्देशांक क्रमशः (1, 3) और (-4, 1) हैं। मान लीजिए BC की ढाल \( m \) है।
AC की ढाल \( = -\frac{1}{m} \)
BC समीकरण,
\( y-y_1 = m(x-x_1) \)
\( y-1=m(x+4) \)
\( mx - y + 4m + 1 = 0 \) ...(1)
रेखा AC का समीकरण
\( y-3 = -\frac{1}{m}(x-1) \)
\( my - 3m = -x + 1 \)
\( x + my - 3m - 1 = 0 \) ...(2)
यह दोनों रेखाएँ \( m \) के दिए मान से इन का समीकरण ज्ञात कर सकते हैं। यदि BC भुजा x-अक्ष के समांतर हो तो \( m = 0 \).
BC का समीकरण, \( y-1=0 \)
या \( y = 1 \)
अतः AC, y-अक्ष के समांतर हो और यह A(1, 3) से जाती है। अतः AC का समीकरण \( x = 1 \)
अतः BC और AC के समीकरण \( y = 1 \) और \( x = 1 \) हैं।
In simple words: समकोण त्रिभुज के कर्ण के अंत्य बिंदुओं और एक भुजा की ढाल का उपयोग करके, हम दूसरी भुजा की ढाल ज्ञात करते हैं। फिर, उन ढालों और संबंधित बिंदुओं का उपयोग करके, हम त्रिभुज के पाद (समकोणीय भुजाओं) के समीकरण प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, समकोण त्रिभुज की ज्यामितीय विशेषताओं का उपयोग करना महत्वपूर्ण है, खासकर जब दो भुजाएं लंबवत हों, तो उनकी ढालों का गुणनफल -1 होता है।

 

Question 18. किसी बिन्दु के लिए रेखा को दर्पण मानते हुए बिन्दु (3, 8) का रेखा x + 3y = 7 में प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः माना रेखा AB का समीकरण \( x + 3y = 7 \) है और बिन्दु P के निर्देशांक (3, 8) हैं।
बिन्दु P का प्रतिबिंब Q होगा यदि PQ \( \perp \) AB, PQ और AB बिन्दु M पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि PM = QM
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक बिंदु P(3,8) और एक रेखा AB (x+3y=7) को दर्शाता है, जहाँ Q, P का प्रतिबिंब है। M रेखा AB पर PQ का मध्यबिंदु है।
रेखा AB की ढाल \( = -\frac{1}{3} \)
और PQ की ढाल \( = 3 \)
PQ रेखा का समीकरण, \( y-8 = 3(x-3) \)
\( = 3x-9 \)
या \( 3x - y = 1 \) ...(1)
AB का समीकरण \( x + 3y = 7 \) ...(2)
समी (1) को 3 से गुणा करके समी (2) में जोड़ने पर, \( 9x-3y = 3 \) और \( x+3y=7 \).
\( 10x = 10 \)
या \( x = 1 \)
समी (1) से \( y = 3x-1 = 3(1)-1 = 2 \)
बिन्दु M के निर्देशांक (1, 2) हैं।
मान लीजिए Q के निर्देशांक \((x_1, y_1)\) हैं
बिन्दु M रेखाखण्ड PQ का मध्य बिन्दु है
जबकि P(3, 8) है।
\( \frac{x_1+3}{2} = 1 \)
\( \implies x_1+3 = 2 \)
\( \implies x_1 = -1 \)
\( \frac{y_1+8}{2} = 2 \)
\( \implies y_1+8 = 4 \)
\( \implies y_1 = -4 \)
P का प्रतिबिंब (-1,-4) हैं।
In simple words: एक बिंदु का रेखा में प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए, हम उस बिंदु से रेखा पर एक लंब खींचते हैं और लंब के अंतबिंदु से उतनी ही दूरी पर दूसरी तरफ प्रतिबिंब बिंदु ढूंढते हैं। यह मध्यबिंदु सूत्र और लंबवत रेखाओं की ढाल के संबंध का उपयोग करके किया जाता है।

🎯 Exam Tip: प्रतिबिंब वाले प्रश्नों में, मूल बिंदु और प्रतिबिंब बिंदु को मिलाने वाली रेखा दर्पण रेखा के लंबवत होती है और दर्पण रेखा दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु होती है।

 

Question 19. यदि रेखाएँ y = 3x +1 और 2y = x + 3, रेखा y = mx + 4 पर समान रूप से आनत हो तो m का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः रेखा AB का समीकरण, \( y = 3x + 1 \) की ढाल \( = 3 \)
रेखा BC का समीकरण, \( y = mx + 4 \) की ढाल \( = m \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जहाँ y = 3x + 1 रेखा AB है, 2y = x + 3 रेखा AC है, और y = mx + 4 रेखा BC है। इसमें कोणों \( \theta \) और \( \beta \) को दर्शाया गया है जो रेखाओं के झुकाव को दिखाते हैं।
यदि इनके बीच में \( \theta \) कोण हो, तो
रेखा AC का समीकरण, \( 2y = x + 3 \)
या \( y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \)
AC की ढाल \( = \frac{1}{2} \)
जब AB और BC के बीच कोण \( \theta \) हो, तब \( \tan \theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right| \)
\( \tan \theta = \left|\frac{m-3}{1+3m}\right| \) ...(1)
जब BC और AC के बीच कोण \( \theta \) हो, तब \( \tan \theta = \left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+m\times\frac{1}{2}}\right| = \left|\frac{2m-1}{2+m}\right| \) ...(2)
समी (1) और समी (2) से,
\( \frac{m-3}{1+3m} = \pm \frac{2m-1}{2+m} \)
+ve चिन्ह लेने पर,
\( \frac{m-3}{1+3m} = \frac{2m-1}{2+m} \)
\( (m-3)(2+m) = (2m-1)(1+3m) \)
\( 2m+m^2-6-3m = 2m+6m^2-1-3m \)
\( m^2-m-6 = 6m^2-m-1 \)
\( 5m^2 = -5 \)
\( m^2 = -1 \) (मान्य नहीं है)
-ve चिन्ह लेने पर
\( \frac{m-3}{1+3m} = -\frac{2m-1}{2+m} \)
\( (m-3)(2+m) = -(2m-1)(1+3m) \)
\( m^2-m-6 = -(6m^2-m-1) \)
\( m^2-m-6 = -6m^2+m+1 \)
\( 7m^2-2m-7 = 0 \)
यहाँ, \( a=7, b=-2, c=-7 \)
\( m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
\( m = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(7)(-7)}}{2(7)} \)
\( m = \frac{2 \pm \sqrt{4+196}}{14} \)
\( m = \frac{2 \pm \sqrt{200}}{14} = \frac{2 \pm 10\sqrt{2}}{14} \)
\( m = \frac{1 \pm 5\sqrt{2}}{7} \)
अतः \( m \) का अभीष्ट मान \( = \frac{1 \pm 5\sqrt{2}}{7} \)
In simple words: जब एक रेखा दो अन्य रेखाओं पर समान रूप से आनत होती है, तो इसका मतलब है कि यह उन दोनों रेखाओं के साथ समान कोण बनाती है। हम कोण के स्पर्शज्या (tan) सूत्र का उपयोग करके तीनों रेखाओं की ढालों के बीच संबंध स्थापित करते हैं और समीकरणों को हल करके \( m \) का मान ज्ञात करते हैं।

🎯 Exam Tip: दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने का सूत्र \( \tan \theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right| \) महत्वपूर्ण है। यदि \( m^2 \) का मान ऋणात्मक आता है, तो वह समाधान अमान्य होता है।

 

Question 20. यदि एक चर बिन्दु P(x, y) की रेखाओं x + y - 5 = 0 और 3x - 2y + 7 = 0 से लांबिक दूरियों का योग सदैव 10 रहे तो दर्शाइए कि P अनिवार्य रूप से एक रेखा पर गमन करता है।
Answer: हल : P(x, y) से रेखा \( x + y - 5 = 0 \) की दूरी \( = d_1 = \frac{|x+y-5|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y-5|}{\sqrt{2}} \)
P(x, y) से रेखा \( 3x - 2y + 7 = 0 \) की दूरी \( = d_2 = \frac{|3x-2y+7|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}} = \frac{|3x-2y+7|}{\sqrt{9+4}} = \frac{|3x-2y+7|}{\sqrt{13}} \)
दोनों दूरियों का योग \( = 10 \) (दिया है)
\( d_1 + d_2 = 10 \)
\( \frac{|x+y-5|}{\sqrt{2}} + \frac{|3x-2y+7|}{\sqrt{13}} = 10 \)
चूंकि P एक चर बिन्दु है और दूरियों का योग सदैव 10 रहता है, इसका अर्थ है कि \( x+y-5 \) और \( 3x-2y+7 \) के चिन्ह ऐसे चुने जा सकते हैं कि दूरियों का योग हमेशा धनात्मक रहे। इसलिए, निरपेक्ष मानों को हटाकर, हम एक रैखिक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं।
\( \frac{x+y-5}{\sqrt{2}} + \frac{3x-2y+7}{\sqrt{13}} = 10 \) (यह मानते हुए कि दोनों निरपेक्ष मान धनात्मक हैं, या उनके चिन्हों का उचित संयोजन लिया गया है)
\( \sqrt{13}(x+y-5) + \sqrt{2}(3x-2y+7) = 10\sqrt{26} \)
\( \sqrt{13}x + \sqrt{13}y - 5\sqrt{13} + 3\sqrt{2}x - 2\sqrt{2}y + 7\sqrt{2} = 10\sqrt{26} \)
या \( (\sqrt{13} + 3\sqrt{2})x + (\sqrt{13} - 2\sqrt{2})y - 5\sqrt{13} + 7\sqrt{2} - 10\sqrt{26} = 0 \)
जो कि \( Ax+By+C=0 \) के रूप का एक सरल रेखा का समीकरण है।
अतः P एक अनिवार्य रूप से एक रेखा पर गमन करता है।
In simple words: यदि किसी बिंदु की दो दी गई रेखाओं से लंबवत दूरियों का योग एक स्थिर मान है, तो वह बिंदु हमेशा एक सीधी रेखा पर चलेगा। यह दूरी सूत्र का उपयोग करके और प्राप्त समीकरण को सरल करके सिद्ध किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, यह समझना महत्वपूर्ण है कि दूरियों का योग स्थिर होने पर निरपेक्ष मानों को कैसे संभाला जाए, आमतौर पर यह एक रैखिक समीकरण की ओर ले जाता है।

 

Question 21. समांतर रखाओं 9x + 6y - 7 = 0 और 3x + 2y + 6 = 0 से समदूरस्थ रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : दी गयी समांतर रेखाएँ \( 9x+6y-7=0 \) ...(1)
और \( 3x+2y+6=0 \)
या \( 9x+6y+18=0 \) ...(2) (समीकरण (2) को 3 से गुणा करने पर, यह समीकरण (1) के समांतर रूप में आ जाती है।)
एक रेखा जो इसके समांतर है, उसका समीकरण \( 9x+6y+c=0 \) ...(3)
रेखा (1) और (3) के बीच दूरी \( d_1 = \frac{|c-(-7)|}{\sqrt{9^2+6^2}} = \frac{|c+7|}{\sqrt{81+36}} = \frac{|c+7|}{\sqrt{117}} \) ...(4)
रेखा (2) और (3) के बीच दूरी \( d_2 = \frac{|c-18|}{\sqrt{9^2+6^2}} = \frac{|c-18|}{\sqrt{81+36}} = \frac{|c-18|}{\sqrt{117}} \) ...(5)
दूरियाँ (4) और (5) आपस में समान हैं।
\( \frac{|c+7|}{\sqrt{117}} = \frac{|c-18|}{\sqrt{117}} \)
\( |c+7| = |c-18| \)
जब \( c+7 \) और \( c-18 \) के चिन्ह विपरीत हों (क्योंकि यदि वे समान चिन्ह के होते तो \( 7=-18 \) होता, जो असत्य है):
\( c+7 = -(c-18) \)
\( c+7 = -c+18 \)
\( 2c = 18-7 \)
\( 2c = 11 \)
\( c = \frac{11}{2} \)
c का मान समी (3) में रखने पर,
\( 9x+6y+\frac{11}{2}=0 \)
या \( 18x+12y+11=0 \)
In simple words: दो समांतर रेखाओं से समान दूरी पर स्थित रेखा उन दोनों रेखाओं के बिल्कुल बीच में होती है। इसे ज्ञात करने के लिए, हम दोनों रेखाओं के स्थिर पदों का औसत लेते हैं, ढालों को समान रखते हुए।

🎯 Exam Tip: दो समांतर रेखाओं \( Ax+By+C_1=0 \) और \( Ax+By+C_2=0 \) से समदूरस्थ रेखा का समीकरण \( Ax+By+\frac{C_1+C_2}{2}=0 \) होता है। इस विधि का उपयोग करके गणना को सरल बनाया जा सकता है।

 

Question 22. बिन्दु (1, 2) से होकर जाने वाली एक प्रकाश किरण x-अक्ष के बिन्दु A से परावर्तित होती है और परावर्तित किरण बिन्दु (5, 3) से होकर जाती है। A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः मान लीजिए BC, x-अक्ष के अनुदिश उस बिन्दु के निर्देशांक A (a, 0) है। AN इस पर लंब है। PA एक आपतित किरण है और AQ परावर्तित किरण है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक प्रकाश किरण के परावर्तन को दर्शाता है। बिंदु P(1,2) आपतित किरण का स्रोत है, बिंदु Q(5,3) परावर्तित किरण पर एक बिंदु है, और बिंदु A(a,0) x-अक्ष पर परावर्तन का बिंदु है। PAN आपतित कोण और NAQ परावर्तित कोण है, जहाँ AN x-अक्ष पर लंब है।
परावर्तन के नियम से, आपतित कोण PAN = परावर्तित कोण NAQ
\( \angle PAB = \angle QAC \)
यदि QA का झुकाव \( \theta \) हो तो PA का झुकाव \( 180^\circ - \theta \) होगा।
QA की ढाल जबकि Q(5, 3) और A(a, 0) हो, तो
\( \tan \theta = \frac{0-3}{a-5} = \frac{-3}{a-5} \)
PA की ढाल जबकि P(1, 2) और A(a, 0) हो, तब
\( \tan(180^\circ - \theta) = \frac{0-2}{a-1} = \frac{-2}{a-1} \)
हम जानते हैं कि \( \tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta \)
तो, \( \frac{-2}{a-1} = -\left(\frac{-3}{a-5}\right) \)
\( \frac{-2}{a-1} = \frac{3}{a-5} \)
\( -2(a-5) = 3(a-1) \)
\( -2a+10 = 3a-3 \)
\( 13 = 5a \)
\( a = \frac{13}{5} \)
बिन्दु A के निर्देशांक \( (\frac{13}{5}, 0) \) हैं।
In simple words: प्रकाश के परावर्तन के नियम का उपयोग करके (आपतन कोण = परावर्तन कोण), हम आपतित और परावर्तित किरणों की ढालों के बीच संबंध स्थापित करते हैं। x-अक्ष पर परावर्तन बिंदु A की ढालों को बराबर करके, हम A के x-निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं।

🎯 Exam Tip: परावर्तन वाले प्रश्नों में, x-अक्ष पर परावर्तन होने पर, आपतित और परावर्तित किरणें x-अक्ष से समान कोण बनाती हैं, लेकिन विपरीत दिशा में, जिससे उनकी ढालों के बीच \( m_1 = -m_2 \) का संबंध बनता है।

 

Question 23. दिखाइए कि \( (\sqrt{a^2-b^2}, 0) \) और \( (-\sqrt{a^2-b^2}, 0) \) बिन्दुओं से रेखा \( \frac{x}{a}\cos\theta + \frac{y}{b}\sin\theta = 1 \) पर खींचे गए लम्बों की लंबाइयों का गुणनफल \( b^2 \) है।
Answer: हल : दी गयी रेखा \( \frac{x}{a}\cos\theta + \frac{y}{b}\sin\theta - 1 = 0 \) ...(1)
बिन्दु \( (\sqrt{a^2-b^2}, 0) \) से खींचें गए लम्ब की लम्बाई \( P_1 \)
\( P_1 = \frac{|\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\cos\theta + \frac{0}{b}\sin\theta - 1|}{\sqrt{(\frac{\cos\theta}{a})^2 + (\frac{\sin\theta}{b})^2}} = \frac{|\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\cos\theta - 1|}{\sqrt{\frac{\cos^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\theta}{b^2}}} \)
इसी प्रकार बिन्दु \( (-\sqrt{a^2-b^2}, 0) \) से रेखा (1) पर खींचे गए लम्ब की लंबाई \( P_2 \)
\( P_2 = \frac{|-\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\cos\theta + \frac{0}{b}\sin\theta - 1|}{\sqrt{(\frac{\cos\theta}{a})^2 + (\frac{\sin\theta}{b})^2}} = \frac{|-\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\cos\theta - 1|}{\sqrt{\frac{\cos^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\theta}{b^2}}} \)
लम्बों की लंबाइयों का गुणनफल \( P_1 P_2 \)
\( P_1P_2 = \frac{|(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\cos\theta - 1)(-\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\cos\theta - 1)|}{\left(\frac{\cos^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\theta}{b^2}\right)} \)
\( = \frac{| - (\frac{a^2-b^2}{a^2}\cos^2\theta) - (\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\cos\theta) + (\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\cos\theta) + 1 |}{\frac{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}{a^2b^2}} \)
\( = \frac{| - \frac{a^2-b^2}{a^2}\cos^2\theta + 1 |}{\frac{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}{a^2b^2}} \)
\( = \frac{|\frac{a^2 - (a^2-b^2)\cos^2\theta}{a^2}|}{\frac{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}{a^2b^2}} \)
\( = \frac{|\frac{a^2 - a^2\cos^2\theta + b^2\cos^2\theta}{a^2}|}{\frac{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}{a^2b^2}} \)
\( = \frac{|\frac{a^2(1-\cos^2\theta) + b^2\cos^2\theta}{a^2}|}{\frac{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}{a^2b^2}} \)
चूंकि \( 1-\cos^2\theta = \sin^2\theta \)
\( = \frac{|\frac{a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta}{a^2}|}{\frac{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}{a^2b^2}} \)
\( = \frac{a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta}{a^2} \times \frac{a^2b^2}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta} \) (मानते हुए कि अंश धनात्मक है)
\( = b^2 \)
इति सिद्धम ।
In simple words: दो विशिष्ट बिंदुओं से एक दी गई रेखा पर लंबवत दूरियों की गणना करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं। फिर, इन दूरियों को गुणा करके और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल बनाने पर, हम पाते हैं कि उनका गुणनफल \( b^2 \) के बराबर है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रमाण-आधारित प्रश्नों में, दूरी सूत्र का सही अनुप्रयोग और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं \( (\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1) \) का कुशल उपयोग महत्वपूर्ण है।

 

Question 24. एक व्यक्ति समीकरणों 2x – 3y + 4 = 0 और 3x + 4y – 5 = 0 से निरूपित सरल रेखीय पथों के संधि बिन्दुओं (junction/crossing) पर खड़ा है और समीकरण 6x – 7y + 8 = 0 से निरूपित पथ पर न्यूनतम समय में पहुँचना चाहता है। उसके द्वारा अनुसरित पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः AB और BC दो रेखीय पथ हैं। AB वे BC रेखाओं के समीकरण
\( 2x - 3y + 4 = 0 \) .........(1)
और \( 3x + 4y - 5 = 0 \) ........(2)
AB और BC बिन्दु B पर मिलते हैं।
समी (1) को 3 से तथा समी (2) को 2 से गुणा करने पर
\( 6x-9y = -12 \) ...(3)
\( 6x+8y = 10 \) ...(4)
समी (3) को समी (4) में से घटाने पर,
\( (6x-9y) - (6x+8y) = -12 - 10 \)
\( -17y = -22 \)
\( y = \frac{22}{17} \)
y का मान समी (1) में रखने पर,
\( 2x - 3(\frac{22}{17}) = -4 \)
\( 2x = -4 + \frac{66}{17} \)
\( 2x = \frac{-68+66}{17} \)
\( 2x = \frac{-2}{17} \)
\( x = -\frac{1}{17} \)
इस प्रकार B के निर्देशांक \( (-\frac{1}{17}, \frac{22}{17}) \) हैं।
B से AC तक न्यूनतम समय में पहुँचने के लिए कम से कम दूरी BD (BD \( \perp \) AC) तय करनी है।
रेखा AC का समीकरण, \( 6x-7y+8=0 \) की ढाल \( m_{AC} = \frac{-(\text{x का गुणांक})}{\text{y का गुणांक}} = \frac{-6}{-7} = \frac{6}{7} \)
BD की ढाल \( m_{BD} \) होगी क्योंकि BD \( \perp \) AC, तो \( m_{BD} \times m_{AC} = -1 \)
\( m_{BD} \times \frac{6}{7} = -1 \)
\( m_{BD} = -\frac{7}{6} \)
BD बिन्दु B \( (-\frac{1}{17}, \frac{22}{17}) \) से होकर जाती है।
रेखा BD का समीकरण \( y-y_1=m(x-x_1) \)
\( y - \frac{22}{17} = -\frac{7}{6}(x - (-\frac{1}{17})) \)
\( y - \frac{22}{17} = -\frac{7}{6}(x + \frac{1}{17}) \)
दोनों पक्षों को 102 (17 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य) से गुणा करने पर,
\( 6(17y - 22) = -7(17x + 1) \)
\( 102y - 132 = -119x - 7 \)
\( 119x + 102y - 132 + 7 = 0 \)
\( 119x + 102y - 125 = 0 \)
अतः B से AC तक पहुँचने के लिए BD पथ अपनाना है जिसका समीकरण \( 119x + 102y - 125 = 0 \) है।
In simple words: व्यक्ति पहले दो दिए गए पथों के प्रतिच्छेदन बिंदु को ज्ञात करता है। फिर, इस बिंदु से तीसरे पथ तक सबसे कम दूरी का पथ उस पथ के लंबवत होगा। हम इस लंबवत पथ की ढाल ज्ञात करते हैं और बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करके इसका समीकरण निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: न्यूनतम दूरी हमेशा लंबवत होती है। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को ज्ञात करने के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना और लंबवत रेखाओं की ढालों के बीच संबंध \( (m_1 m_2 = -1) \) का उपयोग करना महत्वपूर्ण है।