UP Board Solutions Class 11 Maths Chapter 11 Conic Sections

UP Board Solutions For Class 11 Maths Chapter 11 Conic Sections

Exercise 11.1

निम्नलिखित प्रश्न 1 से 5 तक प्रत्येक में वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए:

Question 1. केंद्र (0, 2) और त्रिज्या 2 इकाई ।
Answer: हल: यहाँ h = 0, k = 2 तथा r = 2 रखने पर, वृत्त का समीकरण, \( (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 2^2 \)
\( x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4 \)
अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण, \( x^2 + y^2 - 4y = 0 \).
In simple words: A circle's equation \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \) is found by plugging in the given center \((h, k)\) and radius \(r\). For center \((0, 2)\) and radius \(2\), it simplifies to \(x^2 + y^2 - 4y = 0\).

🎯 Exam Tip: Remember the standard form of a circle's equation and correctly substitute the given center coordinates and radius to avoid calculation errors.

 

Question 2. केंद्र (-2, 3) और त्रिज्या 4 इकाई ।
Answer: हल: वृत्त का समीकरण \( (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4^2 \)
या \( (x^2+ 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 16 \)
या \( x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0 \).
In simple words: Using the standard circle equation \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \), substitute the center \((-2, 3)\) and radius \(4\) to get \( (x+2)^2 + (y-3)^2 = 16 \), which expands to \( x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0 \).

🎯 Exam Tip: Pay close attention to the signs when expanding binomials like \( (x+2)^2 \) and \( (y-3)^2 \). A common mistake is mismanaging the negative sign of a coordinate when it's part of the subtraction in the formula.

 

Question 3. केंद्र (,) और त्रिज्या इकाई ।
Answer: हल : यहाँ \( h = \frac{1}{2} \), \( k = \frac{1}{4} \) तथा \( r = \frac{1}{12} \) हो, तब
वृत्त का समीकरण,
\[ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{4}\right)^2 = \left(\frac{1}{12}\right)^2 \]
\[ x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{16} = \frac{1}{144} \]
\[ x^2 + y^2 - x - \frac{1}{2}y + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{144} = 0 \]
या \( 144x^2 + 144y^2 - 144x - 72y - 44 = 0 \)
या \( 36x^2 + 36y^2 - 36x - 18y + 11 = 0 \).
In simple words: Given a fractional center and radius, the circle equation \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \) involves expanding and combining terms, then multiplying by the LCM to clear denominators, resulting in \( 36x^2 + 36y^2 - 36x - 18y + 11 = 0 \).

🎯 Exam Tip: When dealing with fractional coordinates and radii, be meticulous with common denominators and algebraic expansion. Simplification to the final integer coefficient form is often expected.

 

Question 4. केंद्र (1, 1) और त्रिज्या √2 इकाई ।
Answer: हल: यहाँ \( h = 1, k = 1 \) तथा \( r = \sqrt{2} \) हों, तब वृत्त का समीकरण,
\( (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{2})^2 \)
\( (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 2 \)
\( x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0 \).
In simple words: For a circle with center \((1, 1)\) and radius \( \sqrt{2} \), substitute these values into the standard equation \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \) and expand to get the simplified form \( x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0 \).

🎯 Exam Tip: Squaring terms like \( (\sqrt{2})^2 \) correctly is important. Also, be careful with negative signs during the expansion of \( (x-1)^2 \) and \( (y-1)^2 \).

 

Question 5. केंद्र (-a, -b) और त्रिज्या √(a² - b²) इकाई ।
Answer: हल: वृत्त का समीकरण, \( (x + a)^2 + (y + b)^2 = \{\sqrt{(a^2 - b^2)}\}^2 \)
\( x^2 + 2ax + a^2 + y^2 + 2by + b^2 = a^2 - b^2 \)
\( x^2 + y^2 + 2ax + 2by + 2b^2 = 0 \).
In simple words: Using the given center \((-a, -b)\) and radius \( \sqrt{a^2 - b^2} \) in the circle equation, expand the squared terms and simplify. The \(a^2\) on both sides cancels out, leaving \( x^2 + y^2 + 2ax + 2by + 2b^2 = 0 \).

🎯 Exam Tip: Remember that squaring a square root term simply removes the root. Careful algebraic expansion and cancellation of identical terms on both sides are key to simplifying such expressions.

 

निम्नलिखित प्रश्न 6 से 9 तक में प्रत्येक वृत्त का केन्द्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए:

Question 6. (x + 5)² + (y - 3)² = 36.
Answer: हल: वृत्त \( (x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 36 \) की \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) से तुलना करने पर,
\( -h = 5 \implies h = -5 \)
\( -k = -3 \implies k = 3 \)
\( r^2 = 36 \implies r = 6 \)
केन्द्र \( (-5, 3) \), त्रिज्या \( = 6 \).
In simple words: By comparing the given equation \( (x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 36 \) with the standard form \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \), we directly identify the center \((h, k)\) as \((-5, 3)\) and the radius \(r\) as \(6\).

🎯 Exam Tip: Directly relate the given equation to the standard form. Remember that \( (x+a)^2 \) corresponds to \( (x - (-a))^2 \), so the x-coordinate of the center will have the opposite sign of the constant term inside the parenthesis.

 

Question 7. x² + y² - 4x - 8y - 45 = 0
Answer: हल :
\( (x^2 - 4x) + (y^2 - 8y) = 45 \)
या \( (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 8y + 16) = 45 + 4 + 16 = 65 \)
\( (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 65 \)
\( \therefore h = 2, k = 4, r = \sqrt{65} \)
\( \implies \) केन्द्र \( (2, 4) \) और त्रिज्या \( = \sqrt{65} \).
दूसरी विधि : \( 2g = -4 \implies g = -2 \)
\( 2f = -8 \implies f = -4 \)
\( c = -45 \)
\( r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} \)
\( r = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 - (-45)} \)
\( r = \sqrt{4 + 16 + 45} \)
\( = \sqrt{65} \)
केन्द्र \( (-g, -f) \) अर्थात् \( (2, 4) \)
त्रिज्या \( = r = \sqrt{65} \).
In simple words: To find the center and radius from the general equation \( x^2 + y^2 - 4x - 8y - 45 = 0 \), complete the square for both \(x\) and \(y\) terms to transform it into the standard form \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \). This reveals the center as \((2, 4)\) and the radius as \( \sqrt{65} \). Alternatively, use the general formula for center \((-g, -f)\) and radius \( \sqrt{g^2+f^2-c} \).

🎯 Exam Tip: Mastering the technique of completing the square is crucial for converting the general equation of a circle into its standard form. Ensure you add the same values to both sides of the equation to maintain balance.

 

Question 8. x² + y² - 8x + 10y - 12 = 0.
Answer: हल: \( (x^2 - 8x) + (y^2 + 10y) = 12 \)
या \( (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 10y + 25) = 12 + 16 + 25 \)
\( (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 53 \)
केन्द्र \( (4, -5) \), त्रिज्या \( = \sqrt{53} \).
In simple words: By completing the square for the given equation \( x^2 + y^2 - 8x + 10y - 12 = 0 \), we rewrite it as \( (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 53 \), identifying the center as \((4, -5)\) and the radius as \( \sqrt{53} \).

🎯 Exam Tip: When completing the square, remember to add \( (\text{coefficient of x}/2)^2 \) and \( (\text{coefficient of y}/2)^2 \) to both sides of the equation. Be mindful of the signs to correctly determine the center coordinates.

 

Question 9. 2x² + 2y² - x = 0.
Answer: हल :
\( 2x^2 + 2y^2 - x = 0 \)
या \( x^2 + y^2 - \frac{x}{2} = 0 \)
या \( (x^2 - \frac{x}{2}) + y^2 = 0 \)
या \( (x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{16}) + y^2 = \frac{1}{16} \)
\[ \left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \]
केन्द्र \( \left(\frac{1}{4}, 0\right) \) तथा त्रिज्या \( = \frac{1}{4} \).
In simple words: First, divide the entire equation by 2 to get unit coefficients for \(x^2\) and \(y^2\). Then, complete the square for the \(x\) terms to transform it into the standard form \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \), revealing the center as \( \left(\frac{1}{4}, 0\right) \) and the radius as \( \frac{1}{4} \).

🎯 Exam Tip: Always divide the entire equation by the coefficient of \(x^2\) (or \(y^2\)) if it's not 1, to bring it to the standard general form before completing the square. This ensures correct values for \(g, f, c\) or \(h, k, r\).

 

Question 10. बिन्दुओं (4, 1) और (6, 5) से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र रेखा 4x + y = 16 पर स्थित है।
Answer: हल: वृत्त का व्यापक समीकरण \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)
बिन्दु \( (4, 1) \) इस पर स्थित है।
\( 16 + 1 + 8g + 2f + c = 0 \)
\( 8g + 2f + c = -17 \) ......(1)
बिन्दु \( (6, 5) \) वृत्त पर स्थित है।
\( 36 + 25 + 12g + 10f + c = 0 \)
\( 12g + 10f + c = -61 \) ........(2)
केंद्र \( (-g, -f) \) रेखा \( 4x + y = 16 \) पर स्थित है।
\( 4(-g) + (-f) = 16 \)
\( -4g - f = 16 \)
\( 4g + f = -16 \) .......(3)
समीकरण (1) को (2) में से घटाने पर
\( (12g + 10f + c) - (8g + 2f + c) = -61 - (-17) \)
\( 4g + 8f = -44 \) ........(4)
समीकरण (3) को (4) में से घटाने पर
\( (4g + 8f) - (4g + f) = -44 - (-16) \)
\( 7f = -28 \implies f = -4 \)
समीकरण (3) में \(f\) का मान रखने पर
\( 4g + (-4) = -16 \)
\( 4g - 4 = -16 \)
\( 4g = -12 \implies g = -3 \)
\(f\) और \(g\) का मान समी (1) में रखने पर
\( 8(-3) + 2(-4) + c = -17 \)
\( -24 - 8 + c = -17 \)
\( -32 + c = -17 \)
\( c = -17 + 32 \implies c = 15 \)
अतः वृत्त का समीकरण \( x^2 + y^2 - 6x - 8y + 15 = 0 \).
In simple words: Use the general equation of a circle \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \). Substitute the two given points to form two equations. Since the center \((-g, -f)\) lies on the line \(4x+y=16\), form a third equation. Solve these three simultaneous equations for \(g, f,\) and \(c\), then substitute them back into the general equation to find the circle's equation.

🎯 Exam Tip: This type of problem often involves solving a system of three linear equations. Carefully write down each equation, perform substitutions or elimination steps precisely, and double-check your calculations to avoid errors in determining \(g, f,\) and \(c\).

 

Question 11. बिन्दुओं (2, 3) और (-1, 1) से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा x - 3y - 11 = 0 पर स्थित है।
Answer: हलः मान लीजिए वृत्त का समीकरण \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) .....(1)
इस पर बिन्दु \( (2, 3) \) स्थित है।
\( 4 + 9 + 4g + 6f + c = 0 \)
\( 4g + 6f + c = -13 \) .....(2)
इसी प्रकार \( (-1, 1) \) भी वृत्त (1) पर स्थित है।
\( 1 + 1 - 2g + 2f + c = 0 \)
\( -2g + 2f + c = -2 \) .......(3)
केंद्र \( (-g, -f) \) रेखा \( x - 3y - 11 = 0 \) पर स्थित है।
\( -g - 3(-f) - 11 = 0 \)
\( -g + 3f - 11 = 0 \)
या \( -g + 3f = 11 \) ......(4)
समीकरण (2) में से (3) को घटाने पर
\( (4g + 6f + c) - (-2g + 2f + c) = -13 - (-2) \)
\( 6g + 4f = -11 \) ........(5)
समी. (4) को 6 से गुणा करने पर,
\( 6(-g) + 6(3f) = 6(11) \)
\( -6g + 18f = 66 \) ......(6)
समी. (5) और समी (6) को जोड़ने पर,
\( (6g + 4f) + (-6g + 18f) = -11 + 66 \)
\( 22f = 55 \)
\( \implies f = \frac{55}{22} = \frac{5}{2} \)
\(f\) का मान समी (5) में रखने पर,
\( 6g + 4\left(\frac{5}{2}\right) = -11 \)
\( 6g + 10 = -11 \)
\( 6g = -21 \)
\( g = -\frac{21}{6} = -\frac{7}{2} \)
\(g\) और \(f\) का मान समी (3) में रखने पर,
\( -2\left(-\frac{7}{2}\right) + 2\left(\frac{5}{2}\right) + c = -2 \)
\( 7 + 5 + c = -2 \)
\( 12 + c = -2 \)
\( c = -14 \)
\(g, f,\) और \(c\) के मान समीकरण (1) में रखने पर,
\( x^2 + y^2 - 2\left(\frac{7}{2}\right)x + 2\left(\frac{5}{2}\right)y - 14 = 0 \)
\( x^2 + y^2 - 7x + 5y - 14 = 0 \) यह वृत्त का वांछित समीकरण है।
In simple words: Similar to Question 10, use the general equation of a circle. Form three equations by substituting the two given points and by using the condition that the center lies on the line \(x - 3y - 11 = 0\). Solve this system of equations for \(g, f,\) and \(c\), and substitute them back to get the final circle equation \( x^2 + y^2 - 7x + 5y - 14 = 0 \).

🎯 Exam Tip: When fractions arise during solving the system of equations, maintain precision and avoid rounding until the final steps. Double-check each arithmetic operation, especially with signs, as minor errors can lead to incorrect final values for \(g, f,\) and \(c\).

 

Question 12. त्रिज्या 5 के उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद x-अक्ष पर हो और जो बिन्दु (2, 3) से जाता है।
Answer: हल: केंद्र x-अक्ष पर है। मान लीजिए ऐसा बिन्दु \( (p, 0) \) है ।
त्रिज्या \( 5 \) वाले वृत्त का समीकरण \( (x - p)^2 + (y - 0)^2 = 5^2 \)
\( (x - p)^2 + y^2 = 25 \)
बिन्दु \( (2, 3) \) इस वृत्त से होकर जाता है।
\( (2 - p)^2 + 3^2 = 25 \)
\( (2 - p)^2 + 9 = 25 \)
\( (2 - p)^2 = 25 - 9 \)
\( (2 - p)^2 = 16 \)
\( 2 - p = \pm 4 \)
+ve चिन्ह लेने पर,
\( 2 - p = 4 \implies p = 2 - 4 = -2 \)
-ve चिन्ह लेने पर,
\( 2 - p = -4 \implies p = 2 + 4 = 6 \)
जब \( p = -2 \), वृत्त का समीकरण
\( (x - (-2))^2 + y^2 = 25 \)
\( (x + 2)^2 + y^2 = 25 \)
\( x^2 + 4x + 4 + y^2 = 25 \)
\( x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0 \)
जब \( p = 6 \), वृत्त का समीकरण
\( (x - 6)^2 + y^2 = 25 \)
\( x^2 - 12x + 36 + y^2 = 25 \)
\( x^2 + y^2 - 12x + 11 = 0 \)
वृत्त के अभीष्ट समीकरण \( x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0 \) और \( x^2 + y^2 - 12x + 11 = 0 \).
In simple words: Since the center is on the x-axis, its coordinates are \((p, 0)\). Use the given radius \(5\) and the passing point \((2, 3)\) to form an equation \((2-p)^2 + 3^2 = 5^2\). Solving for \(p\) yields two possible values, \(-2\) and \(6\), leading to two distinct circle equations: \( x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0 \) and \( x^2 + y^2 - 12x + 11 = 0 \).

🎯 Exam Tip: Remember to consider both positive and negative roots when solving \( (2-p)^2 = 16 \). Each value of \(p\) will yield a valid circle equation, so two solutions are expected for this type of problem.

 

Question 13. (0, 0) से होकर जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक्षों पर a और B अंतः खण्ड बनाता है।
Answer: हलः वृत्त मूल बिन्दु से होकर जाता है और अक्षों पर अंत:खण्ड \(a, b\) बनाता है।
OA = \(a\), A के निर्देशांक \( (a, 0) \)
OB = \(b\), B के निर्देशांक \( (0, b) \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जो मूल बिंदु \((0,0)\) से गुजरता है और धनात्मक x-अक्ष पर \(a\) अंतःखंड तथा धनात्मक y-अक्ष पर \(b\) अंतःखंड बनाता है। वृत्त का केंद्र \( \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \) पर स्थित है, और \(A(a,0)\) तथा \(B(0,b)\) वृत्त पर स्थित बिंदु हैं।
\( \implies \) केंद्र के निर्देशांक \( \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}\right) \) या \( \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \)
त्रिज्या OC \( = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2} \)
\( = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \)
\( \therefore \) वृत्त का समीकरण
\[ \left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2 \]
\[ x^2 - ax + \frac{a^2}{4} + y^2 - by + \frac{b^2}{4} = \frac{a^2+b^2}{4} \]
या \( x^2 + y^2 - ax - by + \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - \frac{a^2+b^2}{4} = 0 \)
या \( x^2 + y^2 - ax - by = 0 \).
\( \therefore \) वृत्त का अभीष्ट समीकरण \( x^2 + y^2 - ax - by = 0 \).
In simple words: If a circle passes through the origin \((0,0)\) and makes intercepts \(a\) and \(b\) on the axes, its diameter lies between points \((a,0)\) and \((0,b)\). The center is the midpoint \( \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \) and the radius is half the distance between \((a,0)\) and \((0,b)\). Using these in the standard circle equation simplifies to \( x^2 + y^2 - ax - by = 0 \).

🎯 Exam Tip: When a circle passes through the origin and makes intercepts on the axes, the points \((a,0)\) and \((0,b)\) are key. The line segment connecting these two points forms a diameter of the circle, simplifying the calculation of its center and radius.

 

Question 14. उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र (2, 2) हो तथा (4, 5) से जाता है।
Answer: हल : वृत्त की त्रिज्या \( = \) केंद्र \( (2, 2) \) और बिन्दु \( (4, 5) \) के बीच की दूरी
\( r = \sqrt{(2-4)^2 + (2-5)^2} \)
\( r = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} \)
\( r = \sqrt{4 + 9} \)
\( r = \sqrt{13} \)
केन्द्र \( (2, 2) \) और त्रिज्या \( = \sqrt{13} \)
\( \therefore \) वृत्त का समीकरण,
\( (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{13})^2 \)
\( (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) = 13 \)
या \( x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 = 13 \)
\( x^2 + y^2 - 4x - 4y - 5 = 0 \).
In simple words: The radius of the circle is the distance between the given center \((2, 2)\) and the point it passes through \((4, 5)\), which is \( \sqrt{13} \). Using this radius and the center in the standard circle equation \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \) gives the equation \( x^2 + y^2 - 4x - 4y - 5 = 0 \).

🎯 Exam Tip: The distance formula \( \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \) is essential here. Be careful with calculations, especially when squaring negative numbers, as \( (-2)^2 \) is \(4\), not \(-4\).

 

Question 15. क्या बिन्दु (-2.5, 3.5) वृत्त x² + y² = 25 के अंदर, बाहर या वृत्त पर स्थित है।
Answer: हल : वृत्त का केंद्र O\( (0, 0) \) है।
दिया हुआ बिन्दु P\( (-2.5, 3.5) \) है।
\( \therefore \) OP\( = \sqrt{(-2.5)^2 + (3.5)^2} \)
\( = \sqrt{6.25 + 12.25} \)
\( = \sqrt{18.50} \)
\( = 4.30 \) (लगभग)
वृत्त की त्रिज्या \( r^2 = 25 \implies r = 5 \).
यह त्रिज्या \( (\text{OP} = 4.30) \) जो 5 इकाई से कम है
अतः बिन्दु \( (-2.5, 3.5) \) वृत्त के अंदर स्थित होगा।
In simple words: To determine if a point is inside, outside, or on the circle, compare its distance from the center to the circle's radius. For \( x^2 + y^2 = 25 \), the center is \((0,0)\) and radius is \(5\). The distance of point \((-2.5, 3.5)\) from the origin is approximately \(4.30\), which is less than \(5\), so the point lies inside the circle.

🎯 Exam Tip: To check the position of a point \((x_1, y_1)\) relative to a circle \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \), calculate the distance \(d\) from the center \((h,k)\) to \((x_1, y_1)\). If \(d < r\), it's inside; if \(d > r\), it's outside; if \(d = r\), it's on the circle.

Exercise 11.2

निम्नलिखित प्रश्न 1 से 6 तक प्रत्येक में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए ।

Question 1. y² = 12x
Answer: हलः परवलय का समीकरण, \( y^2 = 12x \)
\( y^2 = 4ax \) से तुलना करने पर ।
\( 4a = 12 \) या \( a = 3 \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक परवलय को दर्शाता है जिसका शीर्ष मूल बिंदु \((0,0)\) पर है और जो धनात्मक x-अक्ष की ओर खुलता है। नाभि \(F\) x-अक्ष पर स्थित है, और नियता एक ऊर्ध्वाधर रेखा \(x = -a\) है जो y-अक्ष के समानांतर है। नाभिलंब जीवा नाभि से गुजरने वाला एक रेखाखंड है जो परवलय के अक्ष के लंबवत है।
(i) नाभि के निर्देशांक \( (a, 0) \) या \( (3, 0) \)
(ii) परवलय का अक्ष OX इसका समीकरण \( y = 0 \)
(iii) नियता का समीकरण : \( x = -a \) अर्थात् \( x = -3 \)
(iv) नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = 4a = 12 \).
In simple words: For the parabola \( y^2 = 12x \), compare it to the standard form \( y^2 = 4ax \) to find \(a=3\). This allows us to determine the focus at \((3,0)\), the x-axis as its axis of symmetry \((y=0)\), the directrix equation as \(x=-3\), and the length of the latus rectum as \(12\).

🎯 Exam Tip: Recognizing the standard form \( y^2 = 4ax \) or \( x^2 = 4ay \) is the first step. The sign of \(4a\) determines the opening direction (positive/negative x-axis or y-axis), which then dictates the coordinates of the focus and the equation of the directrix.

 

Question 2. x² = 6y
Answer: हलः परवलय का समीकरण \( x^2 = 6y \)
\( x^2 = 4ay \) से तुलना करने पर ।
\( 4a = 6 \) या \( a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक परवलय को दर्शाता है जिसका शीर्ष मूल बिंदु \((0,0)\) पर है और जो धनात्मक y-अक्ष की ओर खुलता है। नाभि \(F\) y-अक्ष पर स्थित है, और नियता एक क्षैतिज रेखा \(y = -a\) है जो x-अक्ष के समानांतर है। नाभिलंब जीवा नाभि से गुजरने वाला एक रेखाखंड है जो परवलय के अक्ष के लंबवत है।
इसका अक्ष y-अक्ष है जिसका
(i) समीकरण \( x = 0 \) है।
(ii) नाभि F \( (0, a) \) के निर्देशांक \( \left(0, \frac{3}{2}\right) \) है।
(iii) नियता \( y = -a \) का समीकरण \( y = -\frac{3}{2} \)
(iv) नाभिलंब जीवा की लम्बाई \( 4a = 6 \).
In simple words: For the parabola \( x^2 = 6y \), compare it to the standard form \( x^2 = 4ay \) to find \( a = \frac{3}{2} \). This parabola opens upwards, with its axis along the y-axis (\(x=0\)). The focus is at \( \left(0, \frac{3}{2}\right) \), the directrix is \( y = -\frac{3}{2} \), and the latus rectum length is \(6\).

🎯 Exam Tip: When the equation is \( x^2 = 4ay \), the axis of symmetry is the y-axis. Remember that the focus coordinates will be \( (0, a) \) and the directrix equation \( y = -a \).

 

Question 3. y² = -8x
Answer: हलः परवलय का समीकरण \( y^2 = -8x \)
\( y^2 = -4ax \) से तुलना करने पर ।
\( 4a = 8 \implies a = 2 \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक परवलय को दर्शाता है जिसका शीर्ष मूल बिंदु \((0,0)\) पर है और जो ऋणात्मक x-अक्ष की ओर खुलता है। नाभि \(F\) ऋणात्मक x-अक्ष पर स्थित है, और नियता एक ऊर्ध्वाधर रेखा \(x = a\) है जो y-अक्ष के समानांतर है। नाभिलंब जीवा नाभि से गुजरने वाला एक रेखाखंड है जो परवलय के अक्ष के लंबवत है।
(i) नाभि F \( (-a, 0) \) के निर्देशांक \( (-2, 0) \)
(ii) परवलय का अक्ष x-अक्ष इसका समीकरण \( y = 0 \)
(iii) नियता \( x = a \) का समीकरण \( x = 2 \).
(iv) नाभिलंब जीवा की लंबाई \( 4a = 8 \).
In simple words: For the parabola \( y^2 = -8x \), comparing with \( y^2 = -4ax \) gives \( a = 2 \). This parabola opens to the left along the negative x-axis. Its focus is at \((-2,0)\), the axis is \(y=0\), the directrix is \(x=2\), and the latus rectum length is \(8\).

🎯 Exam Tip: A negative sign in \( y^2 = -4ax \) means the parabola opens to the left (negative x-axis), and for \( x^2 = -4ay \), it opens downwards (negative y-axis). Adjust the focus and directrix accordingly.

 

Question 4. x² = -16y.
Answer: हलः परवलय का समीकरण \( x^2 = -16y \)
\( x^2 = -4ay \) से तुलना करने पर ।
\( 4a = 16 \) या \( a = 4 \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक परवलय को दर्शाता है जिसका शीर्ष मूल बिंदु \((0,0)\) पर है और जो ऋणात्मक y-अक्ष की ओर खुलता है। नाभि \(F\) ऋणात्मक y-अक्ष पर स्थित है, और नियता एक क्षैतिज रेखा \(y = a\) है जो x-अक्ष के समानांतर है। नाभिलंब जीवा नाभि से गुजरने वाला एक रेखाखंड है जो परवलय के अक्ष के लंबवत है।
(i) नाभि F \( (0, -a) \) के निर्देशांक \( (0, -4) \)
(ii) परवलय अक्ष का समीकरण \( x = 0 \).
(iii) नियता \( y = a \) का समीकरण \( y = 4 \).
(iv) नाभिलंब जीवा की लंबाई \( 4a = 16 \).
In simple words: Comparing \( x^2 = -16y \) with \( x^2 = -4ay \), we find \( a = 4 \). This parabola opens downwards along the negative y-axis, with focus at \((0,-4)\), axis \(x=0\), directrix \(y=4\), and a latus rectum length of \(16\).

🎯 Exam Tip: A parabola's orientation (up, down, left, right) is critical. For \( x^2 = -4ay \), the focus is \((0, -a)\), and the directrix is \(y = a\), ensuring it's equidistant from any point on the parabola.

 

Question 5. y² = 10x.
Answer: हलः परवलय का समीकरण \( y^2 = 10x \)
\( y^2 = 4ax \) से तुलना करने पर ।
\( 4a = 10 \) या \( a = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)
(i) नाभि F \( (a, 0) \) के निर्देशांक \( \left(\frac{5}{2}, 0\right) \)
(ii) परवलय का अक्ष : x-अक्ष, समीकरण \( y = 0 \)
(iii) नियता \( x = -a \) का समीकरण \( x = -\frac{5}{2} \)
(iv) नाभिलंब जीवा की लंबाई \( 4a = 10 \).
In simple words: For \( y^2 = 10x \), comparing it with \( y^2 = 4ax \) yields \( a = \frac{5}{2} \). The focus is at \( \left(\frac{5}{2}, 0\right) \), the axis of symmetry is \( y=0 \), the directrix is \( x = -\frac{5}{2} \), and the latus rectum length is \(10\).

🎯 Exam Tip: Always state the axis of the parabola clearly, as it dictates the coordinates of the focus and the orientation of the directrix. For \( y^2 = 4ax \), the x-axis is the axis of symmetry.

 

Question 6. x² = -9y.
Answer: हलः परवलय का समीकरण \( x^2 = -9y \)
\( x^2 = -4ay \) से तुलना करने पर ।
\( 4a = 9 \) या \( a = \frac{9}{4} \)
(i) नाभि \( (0, -a) \) के निर्देशांक \( \left(0, -\frac{9}{4}\right) \)
(ii) परवलय का अक्ष : y-अक्ष, समीकरण \( x = 0 \)
(iii) नियता \( y = a \) का समीकरण \( y = \frac{9}{4} \)
(iv) नाभिलंब जीवा की लंबाई \( 4a = 9 \).
In simple words: Comparing \( x^2 = -9y \) with \( x^2 = -4ay \) gives \( a = \frac{9}{4} \). This parabola opens downwards. Its focus is at \( \left(0, -\frac{9}{4}\right) \), the axis is \( x=0 \), the directrix is \( y = \frac{9}{4} \), and the latus rectum length is \(9\).

🎯 Exam Tip: Always be careful with the sign of the \(4a\) term as it determines the direction of opening and thus the precise coordinates of the focus and equation of the directrix. A negative sign for \(y\) in \(x^2 = -4ay\) means the parabola opens downwards.

 

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 12 तक प्रत्येक में परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए प्रतिबंध को संतुष्ट करता है।

Question 7. नाभि (6, 0), नियता x = -6.
Answer: हलः परवलय का अक्ष : x-अक्ष, \( y = 0 \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक परवलय को दर्शाता है जिसकी नाभि \(F(6,0)\) और नियता \(x=-6\) है। परवलय का शीर्ष मूल बिंदु \((0,0)\) पर है, क्योंकि शीर्ष नाभि और नियता के बीच का मध्यबिंदु होता है। परवलय धनात्मक x-अक्ष की ओर खुलता है।
शीर्ष \( (0, 0) \) है, नाभि के निर्देशांक \( (6, 0) \) परवलय का अक्ष, धन x-अक्ष के अनुदिश है।
परवलय का समीकरण \( y^2 = 4ax \) के रूप का होगा।
चूंकि नाभि \( (a, 0) = (6, 0) \implies a = 6 \)
अतः परवलय का समीकरण \( y^2 = 4(6)x \)
\( y^2 = 24x \).
In simple words: Given the focus \((6, 0)\) and directrix \(x = -6\), the x-axis is the axis of the parabola, and the vertex is at \((0,0)\). Comparing the focus with \((a,0)\) gives \(a=6\). Therefore, the equation of the parabola is \( y^2 = 4ax \), which becomes \( y^2 = 24x \).

🎯 Exam Tip: The vertex of a parabola is always halfway between the focus and the directrix. This fact helps in determining the vertex, especially when it's not at the origin, or in identifying 'a' if the vertex is at the origin.

 

Question 8. नाभि (0, -3), नियता y = 3.
Answer: हलः परवलय का अक्ष y-अक्ष है।
नाभि \( (0, -3) \) और नियता \( y = 3 \) है।
शीर्ष नाभि और नियता का मध्य बिन्दु है।
शीर्ष के निर्देशांक \( \left(\frac{0+0}{2}, \frac{-3+3}{2}\right) = (0, 0) \) है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक परवलय को दर्शाता है जिसकी नाभि \(F(0,-3)\) और नियता \(y=3\) है। परवलय का शीर्ष मूल बिंदु \((0,0)\) पर है। नाभि y-अक्ष पर होने और नियता \(y=3\) होने के कारण, परवलय ऋणात्मक y-अक्ष की ओर खुलता है।
नाभि \( (0, -3) \) से स्पष्ट होता है कि परवलय की अक्ष OY के अनुदिश है और ऋणात्मक दिशा में खुलता है।
परवलय के समीकरण का रूप \( x^2 = -4ay \) होगा।
नाभि \( (0, -a) = (0, -3) \implies a = 3 \)
यहाँ पर \( a = 3 \), \( 4a = 12 \)
परवलय का समीकरण \( x^2 = -12y \).
In simple words: Given focus \((0,-3)\) and directrix \(y=3\), the vertex is at \((0,0)\) and the y-axis is the axis of the parabola. Since the focus is on the negative y-axis, the parabola opens downwards, corresponding to the form \( x^2 = -4ay \). With \(a=3\), the equation becomes \( x^2 = -12y \).

🎯 Exam Tip: When the focus is \((0, -a)\) and the directrix is \(y = a\), the parabola opens downwards. Conversely, if the focus is \((0, a)\) and the directrix is \(y = -a\), it opens upwards.

 

Question 9. शीर्ष (0, 0), नाभि (3, 0)
Answer: हल: परवलय का अक्ष OX के अनुदिश है।
नाभि \( (3, 0) \) है, इसलिए \( a = 3 \).
परवलय का समीकरण \( y^2 = 4ax \) के रूप का होगा।
\( y^2 = 4(3)x \)
\( y^2 = 12x \).
In simple words: With the vertex at \((0,0)\) and focus at \((3,0)\), the parabola opens along the positive x-axis. This corresponds to the form \( y^2 = 4ax \). Since \(a=3\), the equation of the parabola is \( y^2 = 12x \).

🎯 Exam Tip: The position of the focus relative to the vertex directly indicates the direction of the parabola's opening. If the focus is \((a,0)\) and vertex is \((0,0)\), it opens right; if \((-a,0)\), it opens left; if \((0,a)\), it opens up; if \((0,-a)\), it opens down.

 

Question 10. शीर्ष (0, 0), नाभि (-2, 0).
Answer: हलः परवलय का अक्ष OX' के अनुदिश है।
नाभि \( (-2, 0) \) है तो \( a = 2 \).
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक परवलय को दर्शाता है जिसका शीर्ष मूल बिंदु \((0,0)\) पर है और जिसकी नाभि \(F(-2,0)\) है। नाभि ऋणात्मक x-अक्ष पर होने के कारण, परवलय ऋणात्मक x-अक्ष की ओर खुलता है।
परवलय का रूप \( y^2 = -4ax \) होगा।
\( 4a = 4(2) = 8 \)
परवलय का समीकरण \( y^2 = -8x \).
In simple words: Given the vertex at \((0,0)\) and focus at \((-2,0)\), the parabola opens along the negative x-axis, fitting the form \( y^2 = -4ax \). With \(a=2\), the equation becomes \( y^2 = -8x \).

🎯 Exam Tip: The 'a' value is always a positive distance. The negative sign in the standard form (e.g., \(-4ax\)) indicates the direction, not that 'a' itself is negative.

 

Question 11. शीर्ष (0, 0), (2, 3) से जाता है और अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
Answer: हलः परवलय का शीर्ष \( (0, 0) \) है और अक्ष : x-अक्ष है।
परवलय के समीकरण का रूप \( y^2 = 4ax \) होगा।
यह बिन्दु \( (2, 3) \) से होकर जाता है।
\( (3)^2 = 4a(2) \)
\( 9 = 8a \)
या \( 4a = \frac{9}{2} \)
अतः परवलय का समीकरण \( y^2 = \frac{9}{2}x \) या \( 2y^2 = 9x \).
In simple words: Since the vertex is \((0,0)\) and the axis is the x-axis, the parabola's equation is of the form \( y^2 = 4ax \). Substituting the point \((2,3)\) that it passes through, we find \(4a = \frac{9}{2}\). Therefore, the equation is \( 2y^2 = 9x \).

🎯 Exam Tip: If a parabola's vertex is at the origin and its axis is one of the coordinate axes, substituting a point it passes through is a straightforward way to determine the value of 'a'.

 

Question 12. शीर्ष (0, 0), (5, 2) से जाता है और y-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
Answer: हलः शीर्ष \( (0, 0) \), परवलय y-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
समीकरण का रूप \( x^2 = 4ay \) है।
यह बिन्दु \( (5, 2) \) से गुजरता है।
\( (5)^2 = 4a(2) \)
\( 25 = 8a \)
\( 4a = \frac{25}{2} \)
परवलय का समीकरण, \( x^2 = \frac{25}{2}y \) या \( 2x^2 = 25y \).
In simple words: A parabola with vertex \((0,0)\) and symmetry about the y-axis has the form \( x^2 = 4ay \). By plugging in the point \((5,2)\) that it passes through, we find \(4a = \frac{25}{2}\). Thus, the equation of the parabola is \( 2x^2 = 25y \).

🎯 Exam Tip: "Symmetric about the y-axis" means the axis of the parabola is the y-axis, which corresponds to the standard form \( x^2 = 4ay \). Similarly, symmetry about the x-axis corresponds to \( y^2 = 4ax \).

Exercise 11.3

निम्नलिखित प्रश्नों 1 से 9 तक प्रत्येक दीर्घवृत्त में नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, उत्केंदता तथा नाभिलंब जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।

Question 1. \( \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1. \)
Answer: हल : दीर्घवृत्त का समीकरण \( \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 \)
समीकरण \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) से तुलना करने पर,
\( a^2 = 36 \implies a = 6 \)
\( b^2 = 16 \implies b = 4 \)
\( c^2 = a^2 - b^2 = 36 - 16 = 20 \)
\( c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
दीर्घ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
नाभियों के निर्देशांक \( (\pm c, 0) \), अर्थात् \( (\pm 2\sqrt{5}, 0) \)
शीर्ष \( (\pm a, 0) \) यो \( (\pm 6, 0) \)
दीर्घ अक्ष की लंबाई \( = 2a = 2 \times 6 = 12 \)
लघु अक्ष की लंबाई \( = 2b = 2 \times 4 = 8 \)
उत्केंद्रता \( e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3} \)
नाभिलंब जीवा \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 16}{6} = \frac{16}{3} \).
In simple words: By comparing \( \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 \) with \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \), we find \(a=6\) and \(b=4\). Calculate \(c = \sqrt{a^2-b^2} = 2\sqrt{5}\). Since \(a^2\) is under \(x^2\), the major axis is along the x-axis. From these values, determine the foci \( (\pm 2\sqrt{5}, 0) \), vertices \( (\pm 6, 0) \), major axis length \(12\), minor axis length \(8\), eccentricity \( \frac{\sqrt{5}}{3} \), and latus rectum length \( \frac{16}{3} \).

🎯 Exam Tip: For an ellipse, if \(a^2\) is under \(x^2\), the major axis is horizontal (along x-axis), and if \(a^2\) is under \(y^2\), it's vertical (along y-axis). This dictates the form of foci and vertices coordinates.

 

Question 2. \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1. \)
Answer: हल : दीर्घवृत्त का समीकरण \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1 \)
समीकरण \( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \) से तुलना करने पर,
\( a^2 = 25 \implies a = 5 \)
\( b^2 = 4 \implies b = 2 \)
\( c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21 \)
\( c = \sqrt{21} \)
दीर्घ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
नाभि के निर्देशांक \( (0, \pm c) \) या \( (0, \pm\sqrt{21}) \)
शीर्ष निर्देशांक \( (0, \pm a) \) या \( (0, \pm 5) \)
दीर्घ अक्ष की लंबाई \( = 2a = 2 \times 5 = 10 \)
लघु अक्ष की लंबाई \( = 2b = 2 \times 2 = 4 \)
उत्केंद्रता \( e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{21}}{5} \)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 4}{5} = \frac{8}{5} \).
In simple words: For \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1 \), since \(a^2=25\) is under \(y^2\), the major axis is vertical (y-axis). This means \(a=5, b=2\). Calculate \(c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{21}\). The foci are \( (0, \pm\sqrt{21}) \), vertices are \( (0, \pm 5) \), major axis length is \(10\), minor axis length is \(4\), eccentricity is \( \frac{\sqrt{21}}{5} \), and latus rectum length is \( \frac{8}{5} \).

🎯 Exam Tip: The larger denominator always corresponds to \(a^2\). If \(a^2\) is under \(y^2\), the ellipse is vertically oriented, and the foci/vertices will have x-coordinate 0.

 

Question 3. \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1. \)
Answer: हल : दीर्घवृत्त का समीकरण \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \)
समीकरण \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) से तुलना करने पर,
\( a^2 = 16 \implies a = 4 \)
\( b^2 = 9 \implies b = 3 \)
\( c^2 = a^2 - b^2 = 16 - 9 = 7 \)
\( c = \sqrt{7} \)
दीर्घ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
नाभि के निर्देशांक \( (\pm c, 0) \) या \( (\pm \sqrt{7}, 0) \)
शीर्ष के निर्देशांक \( (\pm a, 0) \) या \( (\pm 4, 0) \)
दीर्घ अक्ष की लंबाई \( = 2a = 2 \times 4 = 8 \)
लघु अक्ष की लंबाई \( = 2b = 2 \times 3 = 6 \)
उत्केंद्रता \( e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{4} \)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{9}{2} \).
In simple words: For \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \), since \(a^2=16\) is under \(x^2\), the major axis is horizontal (x-axis). Thus, \(a=4, b=3\). Calculate \(c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{7}\). The foci are \( (\pm\sqrt{7}, 0) \), vertices are \( (\pm 4, 0) \), major axis length is \(8\), minor axis length is \(6\), eccentricity is \( \frac{\sqrt{7}}{4} \), and latus rectum length is \( \frac{9}{2} \).

🎯 Exam Tip: Ensure you correctly identify \(a\) and \(b\). \(a\) is always associated with the longer axis (major axis), and \(b\) with the shorter axis (minor axis). This affects which coordinate is non-zero for foci and vertices.

 

Question 4. \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{100} = 1. \)
Answer: हल : दीर्घवृत्त का समीकरण \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{100} = 1 \)
समीकरण \( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \) से तुलना करने पर,
\( a^2 = 100 \implies a = 10 \)
\( b^2 = 25 \implies b = 5 \)
\( c^2 = a^2 - b^2 = 100 - 25 = 75 \)
\( c = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \)
दीर्घ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
नाभि के निर्देशांक \( (0, \pm c) \) या \( (0, \pm 5\sqrt{3}) \)
शीर्षों के निर्देशांक \( (0, \pm a) \) या \( (0, \pm 10) \)
दीर्घ अक्ष की लंबाई \( = 2a = 2 \times 10 = 20 \)
लघु अक्ष की लंबाई \( = 2b = 2 \times 5 = 10 \)
उत्केंद्रता \( e = \frac{c}{a} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 25}{10} = 5 \).
In simple words: For \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{100} = 1 \), \(a^2=100\) (under \(y^2\)), so \(a=10, b=5\). The major axis is vertical. Calculate \(c = \sqrt{a^2-b^2} = 5\sqrt{3}\). The foci are \( (0, \pm 5\sqrt{3}) \), vertices are \( (0, \pm 10) \), major axis length is \(20\), minor axis length is \(10\), eccentricity is \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), and latus rectum length is \(5\).

🎯 Exam Tip: Distinguishing between a horizontally and vertically oriented ellipse is key. The position of the larger denominator \(a^2\) (under \(x^2\) or \(y^2\)) dictates this, which in turn determines the coordinates of the foci and vertices.

 

Question 5. \(\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{36} = 1\).
Answer: हल : दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{36} = 1\)
यहाँ \(a^2 = 49\), \(b^2 = 36\)
\( \implies a = 7\), \(b = 6\)
दीर्घ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है
\(c^2 = a^2 - b^2 = 49 - 36 = 13\)
\( \implies c = \sqrt{13}\)
नाभियों के निर्देशांक \((\pm c, 0)\) या \((\pm \sqrt{13}, 0)\)
शीर्षों के निर्देशांक \((\pm a, 0)\) या \((\pm 7, 0)\)
दीर्घ अक्ष की लंबाई \( = 2a = 2 \times 7 = 14\)
लघु अक्ष की लंबाई \( = 2b = 2 \times 6 = 12\)
उत्केंद्रता \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{7}\)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 36}{7} = \frac{72}{7}\)
In simple words: This question asks for various properties of an ellipse given its equation. We first identify 'a' and 'b' from the equation, then calculate 'c' using the relation \(c^2 = a^2 - b^2\). With 'a', 'b', and 'c', we can find the foci, vertices, lengths of major and minor axes, eccentricity, and the length of the latus rectum.

🎯 Exam Tip: Remember the standard form of an ellipse and the formulas for its key properties. Pay attention to whether the major axis is along the x-axis or y-axis, as this affects the coordinates of foci and vertices.

 

Question 6. \(\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{400} = 1\).
Answer: हल : दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{400} = 1\)
यहाँ \(a^2 = 400\), \(b^2 = 100\)
\( \implies a = 20\), \(b = 10\)
दीर्घ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है
\(c^2 = a^2 - b^2 = 400 - 100 = 300\)
\( \implies c = 10\sqrt{3}\)
नाभियों के निर्देशांक \( (0, \pm c) \) या \( (0, \pm 10\sqrt{3}) \)
शीर्षों के निर्देशांक \( (0, \pm a) \) या \( (0, \pm 20) \)
दीर्घ अक्ष की लंबाई \( = 2a = 2 \times 20 = 40\)
लघु अक्ष की लंबाई \( = 2b = 2 \times 10 = 20\)
उत्केंद्रता \(e = \frac{c}{a} = \frac{10\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 100}{20} = 10\)
In simple words: This question provides an ellipse equation and asks for its characteristics. We first identify the values of 'a' and 'b', noting that the major axis is along the y-axis because 'a' is associated with \(y^2\). Then, we calculate 'c' and use 'a', 'b', and 'c' to determine the foci, vertices, axis lengths, eccentricity, and latus rectum.

🎯 Exam Tip: When \(a^2\) is under \(y^2\), the major axis is vertical (along the y-axis). Ensure you correctly apply the formulas for foci and vertices for a vertical ellipse.

 

Question 7. \(36x^2 + 4y^2 = 144\).
Answer: हल : दीर्घवृत्त का समीकरण \(36x^2 + 4y^2 = 144\)
या \(\frac{36x^2}{144} + \frac{4y^2}{144} = 1\)
या \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{36} = 1\)
यहाँ \(a^2 = 36\), \(b^2 = 4\)
\( \implies a = 6\), \(b = 2\)
दीर्घवृत्त का अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है
\(c^2 = a^2 - b^2 = 36 - 4 = 32\)
\( \implies c = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
नाभियों के निर्देशांक \( (0, \pm c) \) या \( (0, \pm 4\sqrt{2}) \)
शीर्षों के निर्देशांक \( (0, \pm a) \) या \( (0, \pm 6) \)
दीर्घ अक्ष की लंबाई \( = 2a = 2 \times 6 = 12\)
लघु अक्ष की लंबाई \( = 2b = 2 \times 2 = 4\)
उत्केंद्रता \(e = \frac{c}{a} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 4}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)
In simple words: First, we convert the given equation into the standard form of an ellipse by dividing by 144. Then, we identify 'a' and 'b' and calculate 'c' using the ellipse property. Finally, we use these values to find the foci, vertices, axis lengths, eccentricity, and latus rectum for this y-axis aligned ellipse.

🎯 Exam Tip: Always convert the given general equation to the standard form \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) or \(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\) first, to correctly identify \(a^2\) and \(b^2\) and determine the orientation of the major axis.

 

Question 8. \(16x^2 + y^2 = 16\).
Answer: हल : दीर्घवृत्त का समीकरण \(16x^2 + y^2 = 16\)
या \(\frac{16x^2}{16} + \frac{y^2}{16} = 1\)
या \(\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{16} = 1\)
यहाँ \(a^2 = 16\), \(b^2 = 1\)
\( \implies a = 4\), \(b = 1\)
दीर्घवृत्त का अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
\(c^2 = a^2 - b^2 = 16 - 1 = 15\)
\( \implies c = \sqrt{15}\)
नाभियों के निर्देशांक \( (0, \pm c) \) या \( (0, \pm \sqrt{15}) \)
शीर्षों के निर्देशांक \( (0, \pm a) \) या \( (0, \pm 4) \)
दीर्घ अक्ष की लंबाई \( = 2a = 2 \times 4 = 8\)
लघु अक्ष की लंबाई \( = 2b = 2 \times 1 = 2\)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 1}{4} = \frac{1}{2}\)
उत्केंद्रता \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{15}}{4}\)
In simple words: We first normalize the given equation by dividing by 16 to get the standard form. Then, we extract 'a' and 'b', calculate 'c', and use these values to determine all the required properties of the ellipse, which is aligned along the y-axis.

🎯 Exam Tip: Double-check your calculation of 'c' (or \(c^2\)) as it is crucial for finding the foci and eccentricity correctly. Remember that for an ellipse, \(a\) is always greater than \(b\).

 

Question 9. \(4x^2 + 9y^2 = 36\).
Answer: हल : दीर्घवृत्त का समीकरण \(4x^2 + 9y^2 = 36\)
या \(\frac{4x^2}{36} + \frac{9y^2}{36} = 1\)
या \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)
यहाँ \(a^2 = 9\), \(b^2 = 4\)
\( \implies a = 3\), \(b = 2\)
दीर्घ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
\(c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5\)
\( \implies c = \sqrt{5}\)
नाभियों के निर्देशांक \( (\pm c, 0) \) या \( (\pm \sqrt{5}, 0) \)
शीर्षों के निर्देशांक \( (\pm a, 0) \) या \( (\pm 3, 0) \)
दीर्घ अक्ष की लंबाई \( = 2a = 2 \times 3 = 6\)
लघु अक्ष की लंबाई \( = 2b = 2 \times 2 = 4\)
उत्केंद्रता \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}\)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 4}{3} = \frac{8}{3}\)
In simple words: The first step is to transform the given equation into the standard form of an ellipse. Once in standard form, we identify 'a' and 'b', calculate 'c', and then compute the coordinates of the foci and vertices, the lengths of the major and minor axes, the eccentricity, and the latus rectum for this ellipse, which is horizontally aligned.

🎯 Exam Tip: It is crucial to correctly identify \(a^2\) as the larger denominator and \(b^2\) as the smaller denominator in the standard form to avoid errors in determining the major axis and subsequent properties.

 

Question 10. शीर्षों \((\pm5, 0)\), नाभियाँ \((\pm4, 0)\).
Answer: हल: शीर्षों \((\pm5, 0)\) से \(a = 5\), नाभियाँ \((\pm4, 0)\) से \(c = 4\)
दीर्घ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
\(c^2 = a^2 - b^2\)
\( \implies 4^2 = 5^2 - b^2\)
\( \implies 16 = 25 - b^2\)
\( \implies b^2 = 25 - 16 = 9\)
अतः दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
या \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)
In simple words: Given the vertices and foci, we identify 'a' and 'c'. Since the foci are on the x-axis, the major axis is along the x-axis. We then use the relationship \(c^2 = a^2 - b^2\) to find \(b^2\) and construct the standard equation of the ellipse.

🎯 Exam Tip: The coordinates of the vertices and foci directly tell you the values of 'a' and 'c' respectively, and also indicate the orientation of the major axis (horizontal or vertical).

 

Question 11. शीर्षों \( (0, \pm13) \), नाभियाँ \( (0, \pm5) \).
Answer: हल: शीर्षों \( (0, \pm13) \) से \(a = 13\), नाभियाँ \( (0, \pm5) \) से \(c = 5\)
दीर्घ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
\(c^2 = a^2 - b^2\)
\( \implies 5^2 = 13^2 - b^2\)
\( \implies 25 = 169 - b^2\)
\( \implies b^2 = 169 - 25 = 144\)
अतः दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\)
या \(\frac{x^2}{144} + \frac{y^2}{169} = 1\)
In simple words: From the given vertices and foci, we deduce 'a' and 'c' and also determine that the major axis is along the y-axis. We then use the fundamental ellipse relation \(c^2 = a^2 - b^2\) to find \(b^2\) and write the standard equation of the ellipse.

🎯 Exam Tip: If the non-zero coordinates of vertices and foci are in the y-position, then the major axis is along the y-axis, and the standard equation takes the form \(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\).

 

Question 12. शीर्ष \(\boldsymbol{(\pm6, 0)}\), नाभियाँ \(\boldsymbol{(\pm4, 0)}\).
Answer: हल : शीर्ष \((\pm6, 0)\) से \(a = 6\), नाभियाँ \((\pm4, 0)\) से \(c = 4\)
दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है।
\(c^2 = a^2 - b^2\)
\( \implies 4^2 = 6^2 - b^2\)
\( \implies 16 = 36 - b^2\)
\( \implies b^2 = 36 - 16 = 20\)
अतः दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
या \(\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1\)
In simple words: We are given the vertices and foci on the x-axis, which tells us 'a' and 'c' and that the major axis is horizontal. We then use the equation \(c^2 = a^2 - b^2\) to find \(b^2\) and construct the ellipse's standard equation.

🎯 Exam Tip: Always confirm the orientation of the major axis from the given coordinates of vertices or foci. A horizontal major axis means \(a^2\) is under \(x^2\).

 

Question 13. दीर्घ अक्ष के अंत्य बिन्दु \(\boldsymbol{(\pm3, 0)}\), लघु अक्ष के अंत्य बिन्दु \(\boldsymbol{(0, \pm2)}\).
Answer: हल : दीर्घ अक्ष के अंत्य बिन्दु \((\pm3, 0)\) से \(a = 3\), लघु अक्ष के अंत्य बिन्दु \( (0, \pm2) \) से \(b = 2\)
दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है।
अतः दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
या \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)
In simple words: The given endpoints of the major and minor axes directly provide the values for 'a' and 'b'. Since the major axis endpoints are on the x-axis, the ellipse is horizontally oriented. We then substitute these values into the standard ellipse equation.

🎯 Exam Tip: The endpoints of the major axis are \((\pm a, 0)\) or \( (0, \pm a) \), and for the minor axis are \( (0, \pm b) \) or \( (\pm b, 0) \). These directly give you 'a' and 'b' without needing to calculate 'c'.

 

Question 14. दीर्घ अक्ष के अंत्य बिन्दु \( (0, \pm\sqrt{5}) \), लघु अक्ष के अंत्य बिन्दु \( (\pm1, 0) \).
Answer: हल: दीर्घ अक्ष के अंत्य बिन्दु \( (0, \pm\sqrt{5}) \) से \(a = \sqrt{5}\), लघु अक्ष के अंत्य बिन्दु \( (\pm1, 0) \) से \(b = 1\)
दीर्घ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
अतः दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\)
या \(\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{5} = 1\)
In simple words: We are given the endpoints of the major and minor axes. The major axis endpoints on the y-axis indicate a vertically oriented ellipse, giving us 'a'. The minor axis endpoints provide 'b'. We then use these values to write the standard equation of the ellipse.

🎯 Exam Tip: Identifying the major axis orientation correctly based on which axis contains the major axis endpoints is crucial for selecting the correct standard form of the ellipse equation.

 

Question 15. दीर्घ अक्ष की लंबाई = 26, नाभियाँ \( (\pm5, 0) \).
Answer: हल : दीर्घ अक्ष की लंबाई \( = 2a = 26 \implies a = 13\), नाभियाँ \( (\pm5, 0) \) से \(c = 5\)
दीर्घ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
\(c^2 = a^2 - b^2\)
\( \implies 5^2 = 13^2 - b^2\)
\( \implies 25 = 169 - b^2\)
\( \implies b^2 = 169 - 25 = 144\)
अतः दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
या \(\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1\)
In simple words: The length of the major axis gives us 'a', and the foci give us 'c'. Since the foci are on the x-axis, the major axis is horizontal. We then use the relation \(c^2 = a^2 - b^2\) to find \(b^2\) and form the ellipse's equation.

🎯 Exam Tip: Understand that "length of major axis" is \(2a\), and "length of minor axis" is \(2b\). Use these direct relationships to find 'a' and 'b' when provided.

 

Question 16. दीर्घ अक्ष की लंबाई = 16, नाभियाँ \( (0, \pm6) \).
Answer: हल : दीर्घ अक्ष की लंबाई \( = 2a = 16 \implies a = 8\), नाभियाँ \( (0, \pm6) \) से \(c = 6\)
दीर्घ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
\(c^2 = a^2 - b^2\)
\( \implies 6^2 = 8^2 - b^2\)
\( \implies 36 = 64 - b^2\)
\( \implies b^2 = 64 - 36 = 28\)
अतः दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\)
या \(\frac{x^2}{28} + \frac{y^2}{64} = 1\)
In simple words: We find 'a' from the major axis length and 'c' from the foci. Since the foci are on the y-axis, the major axis is vertical. Using \(c^2 = a^2 - b^2\), we calculate \(b^2\) and then write the standard equation of the ellipse.

🎯 Exam Tip: For vertical ellipses, remember that \(a^2\) is the denominator of the \(y^2\) term. Consistent application of this rule prevents common errors.

 

Question 17. नाभियाँ \( (\pm3, 0) \), \(\boldsymbol{a = 4}\).
Answer: हल : नाभियाँ \( (\pm3, 0) \) से \(c = 3\), और \(a = 4\)
दीर्घ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
\(c^2 = a^2 - b^2\)
\( \implies 3^2 = 4^2 - b^2\)
\( \implies 9 = 16 - b^2\)
\( \implies b^2 = 16 - 9 = 7\)
अतः दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
या \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1\)
In simple words: Given 'a' and 'c' from the foci, and knowing the major axis is horizontal (foci on x-axis), we use the relationship \(c^2 = a^2 - b^2\) to find \(b^2\). With 'a' and \(b^2\), we construct the standard equation for the ellipse.

🎯 Exam Tip: When 'a' and 'c' are directly given, the first step is always to find \(b^2\) using the fundamental relation \(c^2 = a^2 - b^2\).

 

Question 18. \(\boldsymbol{b = 3}\), \(\boldsymbol{c = 4}\), केन्द्र मूल बिन्दु पर, नाभियाँ x-अक्ष पर है।
Answer: हल : दिया है \(b = 3\), \(c = 4\), केन्द्र मूल बिन्दु पर, नाभियाँ x-अक्ष पर है।
दीर्घ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
\(c^2 = a^2 - b^2\)
\( \implies 4^2 = a^2 - 3^2\)
\( \implies 16 = a^2 - 9\)
\( \implies a^2 = 16 + 9 = 25\)
अतः दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
या \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)
In simple words: We are given 'b' and 'c', and that the foci are on the x-axis, meaning the major axis is horizontal. We use the ellipse formula \(c^2 = a^2 - b^2\) to calculate \(a^2\), and then substitute \(a^2\) and \(b^2\) into the standard equation for a horizontally oriented ellipse.

🎯 Exam Tip: Always note the location of the foci (or vertices) to correctly identify the orientation of the major axis before applying the standard equation form.

 

Question 19. केंद्र \( (0, 0) \) पर, दीर्घ अक्ष y-अक्ष पर और बिन्दुओं \( (3, 2) \) और \( (1, 6) \) से जाता है।
Answer: हल : मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण,
चूँकि दीर्घ अक्ष y-अक्ष पर है, तो समीकरण का रूप \(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\) .....(1)
बिन्दु \( (3, 2) \) से होकर जाता है, तो समीकरण (1) में रखने पर,
\(\frac{3^2}{b^2} + \frac{2^2}{a^2} = 1 \implies \frac{9}{b^2} + \frac{4}{a^2} = 1\) .....(2)
और बिन्दु \( (1, 6) \) से होकर जाता है, तो समीकरण (1) में रखने पर,
\(\frac{1^2}{b^2} + \frac{6^2}{a^2} = 1 \implies \frac{1}{b^2} + \frac{36}{a^2} = 1\) .....(3)
समीकरण (3) को 9 से गुणा करने पर,
\(\frac{9}{b^2} + \frac{324}{a^2} = 9\) .....(4)
समीकरण (4) में से समीकरण (2) घटाने पर,
\( (\frac{9}{b^2} + \frac{324}{a^2}) - (\frac{9}{b^2} + \frac{4}{a^2}) = 9 - 1\)
\( \implies \frac{320}{a^2} = 8\)
\( \implies a^2 = \frac{320}{8} = 40\)
\(a^2\) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\(\frac{9}{b^2} + \frac{4}{40} = 1\)
\(\frac{9}{b^2} + \frac{1}{10} = 1\)
\(\frac{9}{b^2} = 1 - \frac{1}{10}\)
\(\frac{9}{b^2} = \frac{9}{10}\)
\( \implies b^2 = 10\)
अतः दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{40} = 1\)
In simple words: Since the major axis is along the y-axis, we assume the standard ellipse equation \(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\). We then substitute the coordinates of the two given points into this equation to form a system of two linear equations in terms of \(\frac{1}{a^2}\) and \(\frac{1}{b^2}\). Solving this system yields \(a^2\) and \(b^2\), which are then used to write the final ellipse equation.

🎯 Exam Tip: For problems involving points on the ellipse, substitute the coordinates into the chosen standard equation form. If multiple unknowns exist, set up simultaneous equations to solve for them, such as \(a^2\) and \(b^2\).

 

Question 20. दीर्घ अक्ष, x-अक्ष पर और बिन्दुओं \( (4, 3) \), \( (6, 2) \) से जाता है।
Answer: हल : मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण,
चूँकि दीर्घ अक्ष x-अक्ष पर है, तो समीकरण का रूप \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) .....(1)
यह बिन्दु \( (4, 3) \) से जाता है, तो समीकरण (1) में रखने पर,
\(\frac{4^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2} = 1 \implies \frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1\) .....(2)
यह बिन्दु \( (6, 2) \) से जाता है, तो समीकरण (1) में रखने पर,
\(\frac{6^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2} = 1 \implies \frac{36}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1\) .....(3)
समीकरण (2) को 4 से और समीकरण (3) को 9 से गुणा करने पर,
समीकरण (2) \(\times 4 \implies \frac{64}{a^2} + \frac{36}{b^2} = 4\) .....(4)
समीकरण (3) \(\times 9 \implies \frac{324}{a^2} + \frac{36}{b^2} = 9\) .....(5)
समीकरण (5) में से समीकरण (4) घटाने पर,
\( (\frac{324}{a^2} + \frac{36}{b^2}) - (\frac{64}{a^2} + \frac{36}{b^2}) = 9 - 4\)
\( \implies \frac{260}{a^2} = 5\)
\( \implies a^2 = \frac{260}{5} = 52\)
\(a^2\) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\(\frac{16}{52} + \frac{9}{b^2} = 1\)
\(\frac{4}{13} + \frac{9}{b^2} = 1\)
\(\frac{9}{b^2} = 1 - \frac{4}{13}\)
\(\frac{9}{b^2} = \frac{13 - 4}{13}\)
\(\frac{9}{b^2} = \frac{9}{13}\)
\( \implies b^2 = 13\)
अतः दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{52} + \frac{y^2}{13} = 1\)
In simple words: Since the major axis is on the x-axis, we use the standard form \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\). Substituting the given two points into this equation creates a system of two linear equations. Solving these equations for \(\frac{1}{a^2}\) and \(\frac{1}{b^2}\) allows us to find \(a^2\) and \(b^2\), which are then used to write the final ellipse equation.

🎯 Exam Tip: When solving simultaneous equations for \(a^2\) and \(b^2\), ensure accurate multiplication and subtraction to avoid calculation errors. A good strategy is to eliminate one variable by making its coefficients equal.

 

Exercise 11.4

निम्नलिखित प्रश्न 1 से 6 तक प्रत्येक में, अतिपरवलयों के शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

 

Question 1. \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\).
Answer: हल : अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)
अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
यहाँ \(a^2 = 16\), \(b^2 = 9\)
\( \implies a = 4\), \(b = 3\)
\(c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25\)
\( \implies c = 5\)
शीर्षों के निर्देशांक \((\pm a, 0)\) या \((\pm 4, 0)\)
नाभियों के निर्देशांक \((\pm c, 0)\) या \((\pm 5, 0)\)
उत्केंद्रता \(e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}\)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}\)
In simple words: We identify 'a' and 'b' from the given hyperbola equation. For a hyperbola, \(c^2 = a^2 + b^2\), which helps us find 'c'. Once 'a', 'b', and 'c' are known, we calculate the coordinates of the vertices and foci, the eccentricity, and the length of the latus rectum.

🎯 Exam Tip: Remember the key difference for hyperbola: \(c^2 = a^2 + b^2\), unlike ellipse where \(c^2 = a^2 - b^2\). Also, \(a\) is always the denominator of the positive term for a hyperbola.

 

Question 2. \(\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{27} = 1\).
Answer: हल : अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{27} = 1\)
अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
यहाँ \(a^2 = 9\), \(b^2 = 27\)
\( \implies a = 3\), \(b = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)
\(c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 27 = 36\)
\( \implies c = 6\)
शीर्षों के निर्देशांक \( (0, \pm a) \) या \( (0, \pm 3) \)
नाभियों के निर्देशांक \( (0, \pm c) \) या \( (0, \pm 6) \)
उत्केंद्रता \(e = \frac{c}{a} = \frac{6}{3} = 2\)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 27}{3} = \frac{54}{3} = 18\)
In simple words: For this hyperbola, the \(y^2\) term is positive, indicating a vertical transverse axis. We extract 'a' and 'b' from the equation, then calculate 'c' using \(c^2 = a^2 + b^2\). Finally, we use 'a', 'b', and 'c' to find the vertices, foci, eccentricity, and latus rectum.

🎯 Exam Tip: When the \(y^2\) term is positive, the transverse axis is vertical, and the foci and vertices will have non-zero y-coordinates. Ensure to use \( (0, \pm a) \) and \( (0, \pm c) \).

 

Question 3. \(\boldsymbol{9y^2 - 4x^2 = 36}\).
Answer: हल : अतिपरवलय का समीकरण \(9y^2 - 4x^2 = 36\)
36 से भाग देने पर,
\(\frac{9y^2}{36} - \frac{4x^2}{36} = \frac{36}{36}\)
\(\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{9} = 1\)
अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
यहाँ \(a^2 = 4\), \(b^2 = 9\)
\( \implies a = 2\), \(b = 3\)
\(c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 9 = 13\)
\( \implies c = \sqrt{13}\)
शीर्षों के निर्देशांक \( (0, \pm a) \) या \( (0, \pm 2) \)
नाभियों के निर्देशांक \( (0, \pm c) \) या \( (0, \pm \sqrt{13}) \)
उत्केंद्रता \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{2}\)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{2} = 9\)
In simple words: We first convert the given equation into the standard form of a hyperbola by dividing by 36. Since the \(y^2\) term is positive, the transverse axis is vertical. We then find 'a' and 'b', calculate 'c' using \(c^2 = a^2 + b^2\), and use these values to determine the vertices, foci, eccentricity, and latus rectum.

🎯 Exam Tip: Always normalize the equation to \( \pm \frac{x^2}{A^2} \pm \frac{y^2}{B^2} = 1 \) to correctly identify \(a^2\) and \(b^2\). The term with the positive sign determines the direction of the transverse axis.

 

Question 4. \(\boldsymbol{16x^2 - 9y^2 = 576}\).
Answer: हल : अतिपरवलय का समीकरण \(16x^2 - 9y^2 = 576\)
576 से भाग देने पर,
\(\frac{16x^2}{576} - \frac{9y^2}{576} = \frac{576}{576}\)
\(\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1\)
अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
यहाँ \(a^2 = 36\), \(b^2 = 64\)
\( \implies a = 6\), \(b = 8\)
\(c^2 = a^2 + b^2 = 36 + 64 = 100\)
\( \implies c = 10\)
शीर्षों के निर्देशांक \( (\pm a, 0) \) या \( (\pm 6, 0) \)
नाभियों के निर्देशांक \( (\pm c, 0) \) या \( (\pm 10, 0) \)
उत्केंद्रता \(e = \frac{c}{a} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 64}{6} = \frac{128}{6} = \frac{64}{3}\)
In simple words: We first divide the equation by 576 to get its standard form. Since the \(x^2\) term is positive, the transverse axis is horizontal. We identify 'a' and 'b', then calculate 'c' using the hyperbola relation \(c^2 = a^2 + b^2\). Finally, we use these values to find the vertices, foci, eccentricity, and latus rectum.

🎯 Exam Tip: Always simplify fractions after normalization. For instance, \(a^2\) is associated with the positive term's denominator, even if it's numerically smaller than \(b^2\), in contrast to an ellipse.

 

Question 5. \(\boldsymbol{5y^2 - 9x^2 = 36}\).
Answer: हल : अतिपरवलय का समीकरण \(5y^2 - 9x^2 = 36\)
36 से भाग देने पर,
\(\frac{5y^2}{36} - \frac{9x^2}{36} = \frac{36}{36}\)
\(\frac{y^2}{36/5} - \frac{x^2}{4} = 1\)
अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
यहाँ \(a^2 = \frac{36}{5}\), \(b^2 = 4\)
\( \implies a = \frac{6}{\sqrt{5}}\), \(b = 2\)
\(c^2 = a^2 + b^2 = \frac{36}{5} + 4\)
\(c^2 = \frac{36 + 20}{5} = \frac{56}{5}\)
\( \implies c = \sqrt{\frac{56}{5}} = \frac{\sqrt{56}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}}\)
शीर्षों के निर्देशांक \( (0, \pm a) \) या \( (0, \pm \frac{6}{\sqrt{5}}) \)
नाभियों के निर्देशांक \( (0, \pm c) \) या \( (0, \pm \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}}) \)
उत्केंद्रता \(e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{14}/\sqrt{5}}{6/\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{14}}{6} = \frac{\sqrt{14}}{3}\)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 4}{6/\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{6} = \frac{4\sqrt{5}}{3}\)
In simple words: First, we normalize the given equation by dividing by 36 to obtain the standard hyperbola form. Since the \(y^2\) term is positive, the transverse axis is vertical. We then identify 'a' and 'b' (which might be fractions), calculate 'c' using \(c^2 = a^2 + b^2\), and proceed to find the vertices, foci, eccentricity, and latus rectum.

🎯 Exam Tip: Be careful when dealing with fractional values for \(a^2\) or \(b^2\). Rationalize denominators if needed in the final coordinates or values for 'a', 'c', and length of latus rectum.

 

Answer:
शीर्षों के निर्देशांक \((0, \pm a)\) या \((0, \pm \frac{6}{\sqrt{5}})\)
नाभियों के निर्देशांक \((0, \pm c)\) या \((0, \pm \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}})\)
उत्केंद्रता \(e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}} \div \frac{6}{\sqrt{5}}\)
\( = \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{6}\)
\( = \frac{\sqrt{14}}{3}\)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times \frac{4}{1}}{ \frac{6}{\sqrt{5}}}\)
\( = \frac{2 \times 4 \times \sqrt{5}}{6}\)
\( = \frac{8\sqrt{5}}{6} = \frac{4\sqrt{5}}{3}\)
In simple words: For the given hyperbola equation, we find the values of a, b, and c to determine the coordinates of the vertices and foci, then calculate the eccentricity and the length of the latus rectum using standard formulas for hyperbolas with a vertical transverse axis.

🎯 Exam Tip: When the transverse axis is along the y-axis, the vertices and foci will have y-coordinates as \(\pm a\) and \(\pm c\) respectively, and the x-coordinate will be 0. Remember the formula for c for hyperbolas is \(c^2 = a^2 + b^2\).

 

Question 6. 49y² - 16x² = 784.
Answer:
हल : अतिपरवलय का समीकरण: \(49y^2 - 16x^2 = 784\)
784 से भाग देने पर,
\( \frac{49y^2}{784} - \frac{16x^2}{784} = 1 \)
\( \frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{49} = 1 \)
अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
यहाँ \(a^2 = 16\), \(b^2 = 49\)
\(c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 49 = 65\)
\(a = 4\), \(b = 7\), \(c = \sqrt{65}\)
शीर्षों के निर्देशांक \((0, \pm a)\) या \((0, \pm 4)\).
नाभियों के निर्देशांक \((0, \pm c)\) या \((0, \pm \sqrt{65})\).
उत्केंद्रता \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{65}}{4}\)
नाभिलंब जीवा की लंबाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 49}{4} = \frac{49}{2}\)
In simple words: We normalize the given equation to the standard form of a hyperbola with a vertical transverse axis. Then, we extract a, b, and c to find the vertices, foci, eccentricity, and latus rectum length using their respective formulas.

🎯 Exam Tip: Always identify the orientation of the transverse axis first (x-axis or y-axis) by looking at which term is positive in the standard form. This determines the placement of vertices and foci.

 

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 15 तक प्रत्येक में, दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलयका समीकरण ज्ञात कीजिए।

 

Question 7. शीर्ष (±2, 0), नाभियाँ (±3, 0).
Answer:
हल : अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
यहां \(a = 2\), \(c = 3\)
अतिपरवलय के लिए \(c^2 = a^2 + b^2\)
\(3^2 = 2^2 + b^2\)
\(9 = 4 + b^2\)
\(b^2 = 9 - 4\)
\(b^2 = 5\)
अतिपरवलय का समीकरण : \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
\( \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1 \)
In simple words: Given the vertices and foci, we identify the transverse axis is along the x-axis. Using the values of 'a' (from vertices) and 'c' (from foci), we calculate 'b' from the hyperbola relation \(c^2 = a^2 + b^2\), and then substitute a and b into the standard hyperbola equation.

🎯 Exam Tip: Remember the relationship \(c^2 = a^2 + b^2\) for a hyperbola, distinguishing it from an ellipse. The signs in the standard equation dictate the orientation of the transverse axis.

 

Question 8. शीर्ष (0, ±5), नाभियाँ (0, ±8).
Answer:
हल : अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
यहां \(a = 5\), \(c = 8\)
अतिपरवलय के लिए \(c^2 = a^2 + b^2\)
\(8^2 = 5^2 + b^2\)
\(64 = 25 + b^2\)
\(b^2 = 64 - 25\)
\(b^2 = 39\)
\(a^2 = 25\)
अतिपरवलय का समीकरण : \( \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \)
\( \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{39} = 1 \)
In simple words: Since the vertices and foci are on the y-axis, the transverse axis is vertical. We use the given 'a' and 'c' values to find 'b' using \(c^2 = a^2 + b^2\), and then construct the standard hyperbola equation.

🎯 Exam Tip: For hyperbolas with a vertical transverse axis, the y-term comes first in the standard equation \(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\). Be careful not to mix up \(a^2\) and \(b^2\).

 

Question 9. शीर्ष (0, ±3), नाभियाँ (0, ±5).
Answer:
हल : अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
शीर्ष \((0, \pm 3)\) \( \implies a = 3, a^2 = 9\)
नाभियाँ \((0, \pm 5)\) \( \implies c = 5\)
अतिपरवलय के लिए \(c^2 = a^2 + b^2\)
\(5^2 = 3^2 + b^2\)
\(25 = 9 + b^2\)
\(b^2 = 16\)
अतिपरवलय का समीकरण : \( \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \)
\( \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1 \)
In simple words: Given the y-coordinates of the vertices and foci, we deduce that the transverse axis is along the y-axis. We use 'a' and 'c' to calculate 'b' for the hyperbola and then form the equation.

🎯 Exam Tip: Clearly identify 'a' from the vertices and 'c' from the foci. The value of 'a' always corresponds to the distance from the center to a vertex along the transverse axis.

 

Question 10. नाभियाँ (±5, 0), अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई = 8.
Answer:
हलः
नाभियाँ \(( \pm 5, 0)\) \(\implies c = 5, c^2 = 25\)
अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई \( = 2a = 8\)
\(a = 4, a^2 = 16\)
अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
अतिपरवलय के लिए \(c^2 = a^2 + b^2\)
\(25 = 16 + b^2\)
\(b^2 = 25 - 16\)
\(b^2 = 9\)
अतिपरवलय का समीकरण : \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
\( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \)
In simple words: From the foci's coordinates, we get 'c', and from the length of the transverse axis, we get 'a'. Since foci are on the x-axis, the transverse axis is horizontal. We calculate 'b' using \(c^2 = a^2 + b^2\) and then write the hyperbola equation.

🎯 Exam Tip: The length of the transverse axis is \(2a\), and the length of the conjugate axis is \(2b\). These values are crucial for defining the size of the hyperbola.

 

Question 11. नाभियाँ (0, ±13), संयुग्मी अक्ष की लम्बाई = 24.
Answer:
हल : नाभियाँ \((0, \pm 13)\)
\( \implies c = 13, c^2 = 169\)
अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
संयुग्मी अक्ष की लम्बाई \( = 2b = 24\)
\(b = 12, b^2 = 144\)
अतिपरवलय के लिए \(c^2 = a^2 + b^2\)
\(169 = a^2 + 144\)
\(a^2 = 169 - 144\)
\(a^2 = 25\)
अतिपरवलय का समीकरण : \( \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \)
\( \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{144} = 1 \)
In simple words: Given the y-coordinates of the foci, the transverse axis is vertical, and we find 'c'. The length of the conjugate axis gives us 'b'. Using \(c^2 = a^2 + b^2\), we find 'a' and then form the hyperbola equation.

🎯 Exam Tip: Be careful to distinguish between the transverse axis and the conjugate axis lengths. For a vertical transverse axis, the equation starts with \(\frac{y^2}{a^2}\).

 

Question 12. नाभियाँ (±3√5, 0), नाभिलंब जीवा की लम्बाई = 8.
Answer:
हल : नाभियाँ \((\pm 3\sqrt{5}, 0)\) \(\implies c = 3\sqrt{5}\) या \(c^2 = 45\)
अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
अतिपरवलय के लिए \(c^2 = a^2 + b^2\)
\(45 = a^2 + b^2\) ...(1)
नाभिलंब जीवा की लम्बाई \( = \frac{2b^2}{a} = 8\)
\(2b^2 = 8a\)
\(b^2 = 4a\) ...(2)
समी (1) और (2) से, \(b^2\) का मान समी (1) में रखने पर
\(45 = a^2 + 4a\)
\(a^2 + 4a - 45 = 0\)
\( (a + 9)(a - 5) = 0 \)
परन्तु \(a \neq -9\) (क्योंकि a एक लंबाई है, जो ऋणात्मक नहीं हो सकती)
इसलिए, \(a = 5 \implies a^2 = 25\)
\(b^2 = 4a = 4 \times 5 = 20\)
अतिपरवलय का समीकरण : \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
\( \frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{20} = 1 \)
In simple words: We get 'c' from the foci and use the latus rectum length formula to get an expression for \(b^2\) in terms of 'a'. Substituting this into the hyperbola relation \(c^2 = a^2 + b^2\), we solve for 'a', then find \(b^2\), and finally form the hyperbola equation.

🎯 Exam Tip: Always verify that 'a' is a positive value, as it represents a distance. The latus rectum formula \(\frac{2b^2}{a}\) is a key tool when 'a' or 'b' is not directly given.

 

Question 13. नाभियाँ (±4, 0), नाभिलंब जीवा की लम्बाई 12 है।
Answer:
हल : नाभियाँ \((\pm 4, 0)\) \( \implies c = 4\) या \(c^2 = 16\)
अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
अतिपरवलय के लिए \(c^2 = a^2 + b^2\)
\(16 = a^2 + b^2\) ...(1)
नाभिलंब जीवा की लम्बाई \( = \frac{2b^2}{a} = 12\)
\(2b^2 = 12a\)
\(b^2 = 6a\) ...(2)
समी (1) और (2) से, \(b^2\) का मान समी (1) में रखने पर
\(16 = a^2 + 6a\)
\(a^2 + 6a - 16 = 0\)
\( (a + 8)(a - 2) = 0 \)
परन्तु \(a \neq -8\)
इसलिए, \(a = 2 \implies a^2 = 4\)
\(b^2 = 6a = 6 \times 2 = 12\)
अतिपरवलय का समीकरण : \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
\( \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1 \)
In simple words: Given the foci on the x-axis, we find 'c' and know the transverse axis is horizontal. We use the latus rectum length to relate \(b^2\) and 'a'. Solving the system of equations from \(c^2 = a^2 + b^2\) and the latus rectum, we find 'a' and 'b', then write the hyperbola equation.

🎯 Exam Tip: When solving quadratic equations for 'a', always discard negative roots as 'a' represents a physical distance.

 

Question 14. शीर्ष (±7, 0), e = 4/3.
Answer:
हल : शीर्ष \((\pm 7,0)\) \( \implies a = 7, a^2 = 49\)
अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
उत्केंद्रता \(e = \frac{c}{a} = \frac{4}{3}\)
\( \frac{c}{7} = \frac{4}{3} \)
\( c = \frac{28}{3} \)
\( c^2 = (\frac{28}{3})^2 = \frac{784}{9} \)
अतिपरवलय के लिए \(c^2 = a^2 + b^2\)
\( \frac{784}{9} = 49 + b^2 \)
\( b^2 = \frac{784}{9} - 49 \)
\( b^2 = \frac{784 - 49 \times 9}{9} \)
\( b^2 = \frac{784 - 441}{9} \)
\( b^2 = \frac{343}{9} \)
अतिपरवलय का समीकरण : \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
\( \frac{x^2}{49} - \frac{y^2}{\frac{343}{9}} = 1 \)
\( \frac{x^2}{49} - \frac{9y^2}{343} = 1 \)
In simple words: From the vertices, we get 'a' and determine the horizontal transverse axis. Using the eccentricity formula \(e = \frac{c}{a}\) and the given 'e', we find 'c'. Then, we use \(c^2 = a^2 + b^2\) to find \(b^2\), and finally substitute these values into the standard hyperbola equation.

🎯 Exam Tip: Eccentricity is a key characteristic of conic sections. For a hyperbola, \(e > 1\). Using it with 'a' helps find 'c', which is often a missing link.

 

Question 15. नाभियाँ (0, ±√10) हैं तथा (2, 3) से होकर जाता है।
Answer:
हल : नाभियाँ \((0, \pm \sqrt{10})\) \( \implies c = \sqrt{10}\) या \(c^2 = 10\)
अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
अतिपरवलय के लिए \(c^2 = a^2 + b^2\)
\(10 = a^2 + b^2\)
\(b^2 = 10 - a^2\) ...(1)
मान लीजिए अतिपरवलय का समीकरण
\( \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \)
यह बिन्दु \((2, 3)\) से जाता है
\( \frac{3^2}{a^2} - \frac{2^2}{b^2} = 1 \)
\( \frac{9}{a^2} - \frac{4}{b^2} = 1 \)
समी (1) में से \(b^2\) का मान रखने से
\( \frac{9}{a^2} - \frac{4}{(10 - a^2)} = 1 \)
\( 9(10 - a^2) - 4a^2 = a^2 (10 - a^2) \)
\( 90 - 9a^2 - 4a^2 = 10a^2 - a^4 \)
\( a^4 - 23a^2 + 90 = 0 \)
\( (a^2 - 18)(a^2 - 5) = 0 \)
जब \(a^2 = 18\)
\(b^2 = 10 - a^2 = 10 - 18 = -8\)
यह संभव नहीं है क्योंकि \(b^2\) ऋणात्मक नहीं हो सकता।
अतः जब \(a^2 = 5\)
\(b^2 = 10 - 5 = 5\)
अतिपरवलय का समीकरण : \( \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \)
\( \frac{y^2}{5} - \frac{x^2}{5} = 1 \)
In simple words: From the foci, we determine 'c' and that the transverse axis is vertical. We express \(b^2\) in terms of \(a^2\) using \(c^2 = a^2 + b^2\). Substituting the passing point \((2, 3)\) into the standard hyperbola equation, we form a quadratic equation in \(a^2\). We solve for \(a^2\) and choose the valid positive solution to find \(b^2\), then write the final hyperbola equation.

🎯 Exam Tip: Always check the validity of your calculated \(a^2\) and \(b^2\) values. They must be positive since they represent squared distances. If you get a negative value, recheck your calculations or assumptions.

 

अध्याय 11 पर विविध प्रश्नावली

 

Question 1. यदि एक परवलयाकार परावर्तक का व्यास 20 सेमी और गहराई 5 सेमी है, तो नाभि ज्ञात कीजिए।
Answer:
हलः
परवलयाकार परावर्तक AOB का व्यास, AB = 20 सेमी
AM = 10 सेमी
परावर्तक की गहराई, OM = 5 सेमी
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक परवलयिक परावर्तक को दर्शाता है जिसका शीर्ष मूल बिंदु पर है और अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है। परावर्तक का व्यास 20 सेमी है, इसलिए इसकी आधी चौड़ाई 10 सेमी होगी, और इसकी गहराई 5 सेमी है। बिंदु A (5, 10) परावर्तक के किनारे पर स्थित है।
माना OX, OY निर्देशांक अक्ष हो तो बिन्दु \((5, 10)\) परवलय पर स्थित है।
माना परवलय का समीकरण, \(y^2 = 4ax\)
बिन्दु \((5, 10)\) को समीकरण में रखने पर:
\(10^2 = 4a \times 5\)
\(100 = 20a\)
\(a = \frac{100}{20}\)
\(a = 5\)
परवलय की नाभि \((a, 0)\) या \((5, 0)\) है।
In simple words: We model the parabolic reflector with its vertex at the origin and axis along the x-axis. Using the given dimensions (diameter and depth), we find a point on the parabola. We substitute this point into the standard parabolic equation \(y^2 = 4ax\) to solve for 'a', which directly gives the focus.

🎯 Exam Tip: For problems involving shapes of reflectors, bridges, or arches, always start by placing the vertex at the origin \((0,0)\) and aligning the axis with either the x-axis or y-axis to simplify the equation. Identify a known point on the curve from the given dimensions.

 

Question 2. एक मेहराब परवलय के आकार का है और इसका अक्ष ऊर्ध्वाधर है। मेहराब 10 मीटर ऊँचा है और आधार में 5 मीटर चौड़ा है। यह परवलय के दो मीटर की दूरी पर शीर्ष से कितना चौड़ा होगा?
Answer:
हलः
इसका आकार परवलय की आकृति का है।
माना OX, OY इसके निर्देशांक अक्ष है, और समीकरण \(x^2 = -4ay\) है। (क्योंकि मेहराब नीचे की ओर खुलती है)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक ऊर्ध्वाधर परवलयिक मेहराब को दर्शाता है जिसका शीर्ष मूल बिंदु O पर है और यह नीचे की ओर खुलता है। मेहराब 10 मीटर ऊँची है (OL = 10) और आधार पर 5 मीटर चौड़ी (EF = 5) है। P (2.5, -10) एक बिंदु है जो मेहराब के आधार पर स्थित है।
मेहराब की ऊँचाई, OL = 10 मीटर
चौड़ाई EF = 5 मीटर
LF = \(\frac{EF}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\) मीटर
बिन्दु F के निर्देशांक \((2.5, -10)\) हैं।
चूंकि बिन्दु \((2.5, -10)\) परवलय \(x^2 = -4ay\) पर स्थित है
\( (2.5)^2 = -4a \times (-10) \)
\( 6.25 = 40a \)
\( a = \frac{6.25}{40} = \frac{625}{4000} = \frac{25}{160} = \frac{5}{32} \)
परवलय का समीकरण, \( x^2 = -4 \times \frac{5}{32} y \)
\( x^2 = -\frac{5}{8} y \)
शीर्ष O से 2 मीटर नीचे, y-अक्ष पर बिंदु के निर्देशांक \((0, -2)\) हैं।
माना इस स्थान पर मेहराब की चौड़ाई \(2x_1\) है, तो बिंदु \((x_1, -2)\) परवलय पर स्थित होगा।
\( x_1^2 = -\frac{5}{8} (-2) \)
\( x_1^2 = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \)
\( x_1 = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \)
इस स्थान पर मेहराब की चौड़ाई \( = 2x_1 = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}\) मीटर
\(\sqrt{5} \approx 2.24\) मीटर (लगभग)।
In simple words: We model the arch as an inverted parabola with its vertex at the origin. Using the arch's height and total width, we find a point on the parabola and substitute it into the standard equation \(x^2 = -4ay\) to find 'a'. Then, to find the width at 2 meters below the vertex, we set \(y = -2\) in the parabola's equation, solve for x, and double it to get the total width.

🎯 Exam Tip: For inverted parabolic shapes, use \(x^2 = -4ay\). Pay close attention to the signs of coordinates when substituting points. A "width" always implies \(2x\) or \(2y\) distance from the axis of symmetry.

 

Question 3. एक सर्वसम भारी झूलते पुल की केबिल (cable) परवलय के रूप में लटकी हुई है। सड़क पथ जो क्षैतिज है 100 मीटर लम्बा है तथा केबिल से जुड़े अर्ध्वाधर तारों पर टिका हुआ है, जिसमें सबसे लम्बा तार 30 मीटर और सबसे छोटा तार 6 मीटर है। मध्य से 18 मीटर दूर सड़क पथ से जुड़े समर्थक (supporting) तार की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
हलः
माना OX, OY निर्देशांक अक्ष हैं। AOB परवलय के रूप में केबिल है। इसका समीकरण \(x^2 = 4ay\) के रूप में होगा।
सबसे छोटे तार की लम्बाई OL = 6 मीटर
सबसे बड़े तार की लम्बाई BM = 30 मीटर
शीर्ष O से रेखा LM की दूरी OL = 6 मीटर है।
सड़क की लंबाई AB = 100 मीटर, यदि C मध्य बिन्दु हो तो
CB = \(\frac{AB}{2} = \frac{100}{2} = 50\) मीटर
OC = CL - OL = 30 - 6 = 24 मीटर
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक परवलयिक पुल की केबल को दर्शाता है जिसका सबसे निचला बिंदु O (जो शीर्ष है) y-अक्ष पर स्थित है। सड़क पथ क्षैतिज x-अक्ष के समानांतर है। A और B केबल के उच्चतम बिंदु हैं, जहाँ ऊर्ध्वाधर समर्थक तार लगे हैं। सबसे छोटा तार OL है (6 मीटर) और सबसे लंबा तार BM है (30 मीटर)। सड़क पथ की कुल लंबाई AB 100 मीटर है, जिससे C से B तक की दूरी 50 मीटर हो जाती है। बिंदु P सड़क पथ पर C से 18 मीटर की दूरी पर है।
इस प्रकार B के निर्देशांक \((50, 24)\) हैं।
यह परवलय \(x^2 = 4ay\) पर स्थित है
\( (50)^2 = 4a \times 24 \)
\( 2500 = 96a \)
\( 4a = \frac{2500}{24} = \frac{625}{6} \)
परवलय का समीकरण \(x^2 = \frac{625}{6} y\)
OY से 18 मीटर दूरी पर एक बिन्दु R लिया गया है। OX से R की दूरी b हो, तब
R के निर्देशांक \((18, b)\)
यह परवलय \(x^2 = \frac{625}{6} y\) पर स्थित है
\( (18)^2 = \frac{625}{6} b \)
\( 324 = \frac{625}{6} b \)
\( b = \frac{324 \times 6}{625} \)
\( b = \frac{1944}{625} \)
\( b \approx 3.11\) मीटर
आधार LM से R की दूरी \( = RS = RP + PS \)
\( = b + 6 \) (चूंकि OL = 6 मीटर)
\( = 3.11 + 6 \)
\( = 9.11 \) मीटर
तार की लंबाई = \(9.11\) मीटर।
In simple words: We model the cable as a parabola opening upwards with its vertex at the lowest point. Using the given dimensions (total length of road path, longest wire, shortest wire), we determine a point on the parabola. We substitute this point into the standard parabolic equation \(x^2 = 4ay\) to find 'a'. Then, for a point 18 meters from the center, we find its y-coordinate on the parabola and add the height of the shortest wire to get the total length of the supporting wire.

🎯 Exam Tip: In real-world parabolic problems, carefully identify the origin and orientation of the parabola. The shortest and longest support wires provide critical points to determine the parabola's equation. Remember to add the shortest wire's length to the calculated y-coordinate for the total support wire length.

 

Question 4. एक मेहराब अर्ध-दीर्घवृत्ताकार रूप का है। यह 8 मीटर चौड़ा है और केंद्र से 2 मीटर ऊँचा है। एक. सिरे से 1.5 मीटर दूर बिन्दु पर मेहराब की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
हलः
आकृति में ELF एक मेहराब है जिसकी चौड़ाई EF = 8 मीटर और ऊंचाई = 2 मीटर है।
माना OX, OY निर्देशांक अक्ष है। ELF एक दीर्घवृत्त है जिसमें \(a = 4, b = 2\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक अर्ध-दीर्घवृत्ताकार मेहराब को दर्शाता है जिसका केंद्र मूल बिंदु O पर है। इसकी कुल चौड़ाई EF 8 मीटर है, इसलिए अर्ध-प्रमुख अक्ष OE या OF 4 मीटर है। इसकी अधिकतम ऊंचाई (अर्ध-लघु अक्ष) OL 2 मीटर है। बिंदु Q मेहराब के एक सिरे F से 1.5 मीटर दूर है, जिसका अर्थ है कि O से Q की दूरी 2.5 मीटर है। P(2.5, p) मेहराब पर स्थित बिंदु है जिसकी ऊंचाई 'p' है।
दीर्घवृत्त का समीकरण, \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
\( \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1 \)
\( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \)
एक बिन्दु Q सिरे F से 1.5 मीटर की दूरी पर है।
Q की O से दूरी \( = OF - QF = 4 - 1.5 = 2.5\) मीटर
मान लीजिए बिन्दु Q पर मेहराब की ऊंचाई p है।
तो, बिन्दु P\((2.5, p)\) दीर्घवृत्त पर स्थित है।
दीर्घवृत्त के समीकरण में \((2.5, p)\) रखने पर:
\( \frac{(2.5)^2}{16} + \frac{p^2}{4} = 1 \)
\( \frac{6.25}{16} + \frac{p^2}{4} = 1 \)
\( \frac{p^2}{4} = 1 - \frac{6.25}{16} \)
\( \frac{p^2}{4} = \frac{16 - 6.25}{16} \)
\( \frac{p^2}{4} = \frac{9.75}{16} \)
\( p^2 = \frac{9.75 \times 4}{16} \)
\( p^2 = \frac{9.75}{4} \)
\( p = \sqrt{\frac{9.75}{4}} = \frac{\sqrt{9.75}}{2} \)
\( p = \frac{3.122}{2} \)
\( p \approx 1.56\) मीटर (लगभग)
अतः Q बिन्दु पर मेहराब की ऊंचाई = \(1.56\) मीटर (लगभग) है।
In simple words: We model the semi-elliptical arch with its center at the origin. The given width (8m) gives us the semi-major axis 'a' (4m), and the height (2m) gives us the semi-minor axis 'b' (2m). We write the standard ellipse equation. To find the arch's height at 1.5m from one end, we find the x-coordinate from the center (4 - 1.5 = 2.5m). We then substitute this x-value into the ellipse equation and solve for y (which is 'p', the height).

🎯 Exam Tip: For semi-elliptical arches, the total width is \(2a\) and the maximum height is \(b\). Carefully calculate the x-coordinate from the center when a distance from the end is given. Pay attention to decimal calculations for accuracy.

 

Question 4. एक मेहराब अर्ध-दीर्घवृत्ताकार रूप का है। यह 8 मीटर चौड़ा है और केंद्र से 2 मीटर ऊँचा है। एक. सिरे से 1.5 मीटर दूर बिन्दु पर मेहराब की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक अर्ध-दीर्घवृत्ताकार मेहराब को दर्शाता है। केंद्र O पर स्थित है, क्षैतिज अक्ष X-X' और ऊर्ध्वाधर अक्ष Y-Y' हैं। मेहराब की चौड़ाई EF 8 मीटर है, जिसमें E और F दीर्घवृत्त के सिरे हैं। मेहराब की ऊँचाई OL 2 मीटर है। बिंदु Q, F से 1.5 मीटर दूर है, और बिंदु P (2.5, p) दीर्घवृत्त पर स्थित एक सामान्य बिंदु है, जिसकी ऊँचाई p ज्ञात करनी है। हलः आकृति में ELF एक मेहराब है जिसकी चौड़ाई EF = 8 मीटर और ऊंचाई = 2 मीटर है। माना OX, OY निर्देशांक अक्ष है। ELF एक दीर्घवृत्त है जिसमें \(a = 4, b = 2\) वृत्त का समीकरण, \( \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1 \) या \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \) एक बिन्दु Q सिरे F से 1.5 मीटर की दूरी पर है। Q की O से दूरी \( = 4-1.5 = 2.5 \) मीटर मान लीजिए बिन्दु \(Q\) पर मेहराब की ऊँचाई \(p\) है। P(\(2.5, p\)) दीर्घवृत्त पर स्थित है। \( \frac{(2.5)^2}{16} + \frac{p^2}{4} = 1 \) या \( \frac{p^2}{4} = 1 - \frac{6.25}{16} \) \( \frac{p^2}{4} = \frac{16 - 6.25}{16} \) \( \frac{p^2}{4} = \frac{9.75}{16} \) \( p^2 = \frac{9.75 \times 4}{16} \) \( p^2 = \frac{9.75}{4} \) \( p = \sqrt{\frac{9.75}{4}} \) \( p = \frac{\sqrt{9.75}}{2} \) \( p = \frac{3.122}{2} \) \( p = 1.56 \) मीटर (लगभग) अतः Q बिन्दु पर मेहराब की ऊंचाई \( = 1.56 \) मीटर (लगभग) है।
In simple words: This problem asks us to find the height of an elliptical arch at a specific point. We use the standard equation of an ellipse and substitute the given dimensions and the x-coordinate of the point to find its y-coordinate, which represents the height.

🎯 Exam Tip: Remember the standard equation of an ellipse and how to determine 'a' and 'b' from the given dimensions of an arch. Accuracy in calculation, especially with square roots, is crucial for full marks.

 

Question 5. एक 12 सेमी छड़ इस प्रकार चलती है कि इसके सिरे निर्देशांक्षों को स्पर्श करते हैं। छड़ के बिन्दु P का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष के संपर्क वाले सिरे से 3 सेमी दूर है।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक छड़ PQ को दर्शाता है जिसकी लंबाई 12 सेमी है। छड़ के सिरे P और Q निर्देशांक अक्षों (x-अक्ष और y-अक्ष) को स्पर्श कर रहे हैं। बिंदु L(x, y) छड़ PQ पर स्थित है और P से 3 सेमी की दूरी पर है। A और B क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष पर छड़ के अंतःखंडों को दर्शाते हैं। हल : माना OX, OY निर्देशांक्ष हैं। इन अक्षों पर रेखा PQ = 12 सेमी चलती है। \( \triangle POQ \) में, \( PQ^2 = OP^2 + OQ^2 \) \( 12^2 = a^2 + b^2 \) \( a^2 + b^2 = 144 \) ...(1) जहाँ \(OA = a, OB = b\) अक्षों पर अंतःखण्ड हैं। बिन्दु L(\(x, y\)), PQ को \(3 : 9 = 1:3\) के अनुपात में विभाजित करता है। जब कि P और Q के निर्देशांक क्रमशः (\(a, 0\)) और (\(0, b\)) हैं। L. के निर्देशांके इस प्रकार होंगे \( x = \frac{3a + 1 \times 0}{3+1} = \frac{3a}{4} \) \( a = \frac{4x}{3} \) \( y = \frac{3 \times 0 + 1 \times b}{3+1} = \frac{b}{4} \) \( b = 4y \) इनका मान समी (1) में रखने पर, \( (\frac{4x}{3})^2 + (4y)^2 = 144 \) \( \frac{16x^2}{9} + \frac{16y^2}{1} = 144 \) \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 9 \) अतः L का बिन्दुपथ एक दीर्घवृत्त है। जिसका समीकरण \( \frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{9} = 1 \) है।
In simple words: A rod of fixed length slides with its ends on the x and y axes. We need to find the path (locus) of a point on the rod that is a certain distance from one end. By using section formula and the Pythagorean theorem, we find that the locus is an ellipse.

🎯 Exam Tip: This problem combines coordinate geometry with the concept of loci. Remember to use the section formula to relate the coordinates of the moving point to the intercepts on the axes and apply the Pythagorean theorem for the rod's length.

 

Question 6. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो परवलय \(x^2 = 12y\) के शीर्ष को इसकी नाभिलंब जीवा के सिरों को मिलाने वाली रेखाओं से बना है।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक परवलय \(x^2 = 12y\) को दर्शाता है जिसका शीर्ष O पर है। F परवलय की नाभि है, और PQ नाभिलंब जीवा है जो F से गुजरती है और x-अक्ष के समानांतर है। O, P और Q से मिलकर एक त्रिभुज APOQ (या OPQ) बन रहा है, जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना है। हलः परवलय का समीकरण, \(x^2 = 12y\) नाभि के निर्देशांक (\(a, 0\)) या (\(3, 0\)) हैं। OF = 3 इकाई नाभिलंब जीवा की लंबाई = \(4a = 12\) \( \triangle POQ \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times OF \times PQ \) \( = \frac{1}{2} \times 3 \times 12 = 18 \) वर्ग इकाई ।
In simple words: We are asked to find the area of a triangle formed by the vertex of a parabola and the endpoints of its latus rectum. We identify the focus and the length of the latus rectum from the parabola's equation, then use these values to calculate the triangle's area.

🎯 Exam Tip: For a parabola of the form \(x^2 = 4ay\), the vertex is (0,0), the focus is (0,a), and the length of the latus rectum is \(4a\). The endpoints of the latus rectum will be \(( \pm 2a, a )\). Use the base and height formula for the triangle's area.

 

Question 7. एक व्यक्ति दौड़पथ पर दौड़ते हुए अंकित करता है कि उससे दो झंडा चौकियों की दूरियों का योग सदैव 10 मीटर रहता है। और झंडा चौकियों के बीच की दूरी 8 मीटर है। व्यक्ति द्वारा बनाए पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक व्यक्ति (P) को दर्शाता है जो एक दौड़पथ पर दौड़ रहा है। F1 और F2 दो झंडा चौकियाँ हैं। व्यक्ति की स्थिति P से दोनों झंडा चौकियों F1 और F2 तक की दूरियों का योग (PF1 + PF2) हमेशा स्थिर रहता है, जो कि 10 मीटर है। F1 और F2 के बीच की दूरी (F1F2) 8 मीटर है। व्यक्ति का पथ एक दीर्घवृत्त बनाता है। हल : \(F_1, F_2\) दो झंडा चौकियाँ हैं। वह व्यक्ति पथ LPM पर दौड़ रहा है। दिया है कि \(PF_1 + PF_2 = 10\) और \(F_1F_2 = 8\) स्पष्ट है कि P का बिन्दुपथ एक दीर्घवृत्त है। \(PF_1 + PF_2 = 10 = 2a\) \( a = 5 \) \(F_1F_2 = 8 = 2c\) \( c = 4 \) \(c^2 = a^2 - b^2\) \( 16 = 25 - b^2 \) \( b^2 = 9 \) दीर्घवृत्त का समीकरण, \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) अर्थात् \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \)
In simple words: We are given that the sum of distances from a moving point to two fixed points is constant, which is the definition of an ellipse. The distance sum gives 2a, and the distance between fixed points (foci) gives 2c. Using the relationship \(c^2 = a^2 - b^2\), we find \(b^2\) and then write the ellipse equation.

🎯 Exam Tip: Recognize the definition of an ellipse from the problem statement: sum of distances from a point to two fixed points (foci) is constant (2a). Use this along with the distance between foci (2c) to find 'a' and 'c', then use \(c^2 = a^2 - b^2\) to find 'b' and form the ellipse equation.

 

Question 8. परवलय \(y^2 = 4ax\) के अंतर्गत एक समबाहु त्रिभुज है जिसका एक शीर्ष परवलय का शीर्ष है। त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक परवलय \(y^2 = 4ax\) को दर्शाता है जिसका शीर्ष O पर है। इसके अंतर्गत एक समबाहु त्रिभुज OLP बनाया गया है, जहाँ O त्रिभुज का एक शीर्ष है और परवलय का भी शीर्ष है। L और P त्रिभुज के अन्य दो शीर्ष हैं। LM एक रेखा है जो परवलय की समरूपता को दर्शाती है और त्रिभुज के भुजा की गणना में मदद करती है। हल: परवलय \(y^2 = 4ax\), एक समबाहु त्रिभुज बनाई गई है। मान लीजिए इसकी भुजा की लंबाई \(p\) है । \( \triangle OLP \) में, \( OL^2 = OP^2 + LP^2 \) \( p^2 = OP^2 + (\frac{p}{2})^2 \) \( OP^2 = p^2 - \frac{p^2}{4} = \frac{3p^2}{4} \) L के निर्देशांक \( (\frac{p}{2}, \frac{\sqrt{3}p}{2}) \) हैं। यह परवलय \(y^2 = 4ax\) पर स्थित है। \( (\frac{\sqrt{3}p}{2})^2 = 4a (\frac{p}{2}) \) \( \frac{3p^2}{4} = 2ap \) या \( 3p^2 = 8ap \) \( 3p = 8a \) (चूंकि \(p \neq 0\)) \( p = \frac{8a}{3} \) अतः समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई \( \frac{8a}{3} \) है।
In simple words: We have an equilateral triangle with one vertex at the origin, inscribed in a parabola. We use the properties of an equilateral triangle and the parabola's equation to find the side length of the triangle in terms of 'a'.

🎯 Exam Tip: When dealing with inscribed figures, draw a clear diagram and use the symmetry of the parabola. Relate the coordinates of the triangle's vertices to its side length and then substitute these coordinates into the parabola's equation to find the unknown.