UP Board Solutions Class 11 Maths Chapter 12 Introduction to three Dimensional Geometry

UP Board Solutions For Class 11 Maths Chapter 12 Introduction To Three Dimensional Geometry (त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय)

Exercise 12.1

Question 1. एक बिन्दु x-अक्ष पर स्थित है। इस के y-निर्देशांक तथा z-निर्देशांक क्या हैं ?
Answer: x-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक (x, 0, 0) होते हैं जिसमें y = 0, z = 0.
In simple words: If a point lies on the x-axis, its y and z coordinates are always zero, defining its position purely along the x-direction.

🎯 Exam Tip: Understanding the coordinate system and how points are represented on axes and planes is fundamental for 3D geometry problems.

 

Question 2. एक बिन्दु XZ तल में है। इसके y – निर्देशांक के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
Answer: XZ तल में y- निर्देशांक 0 होता है। इस तल का बिन्दु (x, 0, z) के रूप में होता है।
In simple words: For any point in the XZ-plane, the y-coordinate is always zero, indicating no displacement along the y-axis.

🎯 Exam Tip: Remember that any point lying on a coordinate plane will have the coordinate corresponding to the missing axis as zero (e.g., XZ-plane means y=0).

 

Question 3. अष्टाशों के नाम बताइए, जिनमें निम्नलिखित बिन्दु स्थित हैं:
(1, 2, 3), (4, -2, 3), (4, -2, -5), (4, 2, -5), (-4, 2, -5), (-4, 2, 5), (-3, -1, 6), (2, -4, -7)
Answer: दिए हुए बिन्दुओं के अष्टांश हैं:
(i) (1, 2, 3) - XOYZ - पहला
(ii) (4, -2, 3) - XOYZ. - चौथा
(iii) (4, 2, -5) - XOY'Z' - आठवाँ
(iv) (4, 2, -5) - XOYZ' - पाँचवाँ
(v) (-4, 2, -5) - XOYZ' - छटा
(vi) (-4, 2, 5) - (XOYZ) - दूसरी
(vii) (-3, -1, 6) - (XOY'Z) - तीसरा
(viii) (2, -4, -7) - (XOY'Z') - आठवाँ
In simple words: The octant in which a point lies is determined by the signs of its x, y, and z coordinates, similar to quadrants in 2D but extended to three dimensions.

🎯 Exam Tip: Memorize the sign conventions for each of the eight octants to quickly identify where a given point is located.

 

Question 4. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
(i) x-अक्ष और y-अक्ष दोनों एक साथ मिल कर एक तल बनाते हैं, उस तल को .......... कहते हैं।
(ii) XY- तल में एक बिन्दु के निर्देशांक ... रूप के होते हैं।
(iii) निर्देशांक तल अंतरिक्ष को .......... अष्टांश में विभाजित करते हैं।
Answer:
(i) x-अक्ष और y-अक्ष दोनों एक साथ मिलकर एक तल बनाते है उस तल को XY-तल कहते हैं।
(ii) XY- तल में एक बिन्दु के निर्देशांक (x, y, 0) रूप के होते हैं।
(iii) निर्देशांक तल अंतरिक्ष को 8 क्षेत्र में विभाजित करते हैं।
In simple words: The x and y axes form the XY-plane, points in this plane have a zero z-coordinate, and the three coordinate planes divide space into eight octants.

🎯 Exam Tip: A solid understanding of the coordinate planes and their properties is crucial for visualizing and solving 3D geometry problems.

 

Exercise 12.2

Question 1. निम्नलिखित बिन्दु-युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:
(i) (2, 3, 5) और (4, 3, 1)
Answer: दो बिन्दु \( (x_1, y_1, z_1) \) और \( (x_2, y_2, z_2) \) के बीच की दूरी
\( = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \)
बिन्दु (2, 3, 5) और (4, 3, 1) के बीच की दूरी
\( = \sqrt{(4-2)^2+(3-3)^2+(1-5)^2} \)
\( = \sqrt{2^2 +0^2+(-4)^2} \)
\( = \sqrt{4+16} \)
\( = \sqrt{20}=2\sqrt{5} \)
(ii) (-3, 7, 2) और (2, 4, -1)
हल : बिन्दु (-3, 7, 2) और (2, 4, -1) के बीच की दूरी
\( = \sqrt{(2-(-3))^2 + (4-7)^2 + (-1-2)^2} \)
\( = \sqrt{(2+3)^2 + (4-7)^2 + (-1-2)^2} \)
\( = \sqrt{25+9+9} \)
\( = \sqrt{43} \).
(iii) (-1, 3, - 4) और (1, -3, 4)
हल : बिन्दु (-1, 3, - 4) और (1, -3, 4) के बीच की दूरी
\( = \sqrt{(1-(-1))^2+(-3-3)^2 + (4-(-4))^2} \)
\( = \sqrt{(1+1)^2+(-3-3)^2 + (4+4)^2} \)
\( = \sqrt{4+36+64} \)
\( =\sqrt{104} \)
\( = 2\sqrt{26} \).
(iv) (2,-1, 3) और (- 2, 1, 3).
हल : बिन्दु (2,-1, 3) और (-2, 1, 3) के बीच की दूरी
\( = \sqrt{(-2-2)^2 + (1-(-1))^2 + (3-3)^2} \)
\( = \sqrt{(-2-2)^2 + (1+1)^2 + (3-3)^2} \)
\( = \sqrt{16+4+0} \)
\( =\sqrt{20}=2\sqrt{5} \).
In simple words: The distance between two points in 3D space is calculated using the distance formula, which is an extension of the Pythagorean theorem, considering the differences in x, y, and z coordinates.

🎯 Exam Tip: Be careful with signs when substituting coordinates into the distance formula, especially with negative values. Double-check your calculations.

 

Question 2. दर्शाइए कि बिन्दु (-2, 3, 5), (1, 2, 3) और (7, 0, -1) संरेख हैं।
Answer: मान लीजिए बिन्दु A(-2, 3, 5), और B (1, 2, 3) के बीच की दूरी
\( AB = \sqrt{(1-(-2))^2 + (2-3)^2+(3-5)^2} \)
\( = \sqrt{(1+2)^2 + (2-3)^2+(3-5)^2} \)
\( = \sqrt{9+1+4} \)
\( = \sqrt{14} \)
बिन्दु B(1, 2, 3) और C(7, 0, -1) के बीच की दूरी
\( BC = \sqrt{(7-1)^2 + (0-2)^2 + (-1-3)^2} \)
\( = \sqrt{36+4+16} \)
\( = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \)
बिन्दु A(-2, 3, 5) और C (7, 0, -1) के बीच की दूरी
\( AC = \sqrt{(7-(-2))^2 + (0-3)^2 + (-1-5)^2} \)
\( = \sqrt{(7+2)^2 + (0-3)^2 + (-1-5)^2} \)
\( = \sqrt{81+9+36} \)
\( =\sqrt{126} = 3\sqrt{14} \)
अब
\( AB + BC= \sqrt{14} + 2\sqrt{14} \)
\( = 3\sqrt{14} \)
\( AC = 3\sqrt{14} \)
यहाँ \( AB + BC = AC \)
अतः बिन्दु A, B, C सरेख हैं।
In simple words: Three points are collinear if the sum of the distances between two pairs of points equals the distance between the remaining pair. Here, AB + BC = AC, proving collinearity.

🎯 Exam Tip: To prove collinearity, calculate the distances between all three pairs of points. If the sum of the two smaller distances equals the largest distance, the points are collinear.

 

Question 3. निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए:
(i) (0, 7, -10), (1, 6, -6), और (4, 9, - 6) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Answer: माना त्रिभुज ABC के शीर्ष A(0, 7, -10), B(1, 6, -6) और C(4, 9, - 6) हैं।
अब
\( AB = \sqrt{(1-0)^2+(6-7)^2 + (-6-(-10))^2} \)
\( = \sqrt{(1-0)^2+(6-7)^2 + (-6+10)^2} \)
\( = \sqrt{1+1+16} \)
\( = \sqrt{18}= 3\sqrt{2} \)
\( BC = \sqrt{(4-1)^2 + (9-6)^2 + (-6-(-6))^2} \)
\( = \sqrt{(4-1)^2 + (9-6)^2 + (-6+6)^2} \)
\( = \sqrt{9+9+0} \)
\( = \sqrt{18}=3\sqrt{2} \)
यहाँ \( AB = BC \)
अतः दिए गए शीर्ष समद्धिबाहु त्रिभुज के हैं।
(ii) (0, 7, 10), (-1, 6, 6) और (-4, 9, 6) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल : माना त्रिभुज PQR के शीर्ष P(0, 7, 10), Q(-1, 6, 6) और R(-4, 9, 6) हों, तब
\( PQ^2 = (-1-0)^2 + (6-7)^2 + (6 - 10)^2 \)
\( = 1+1+16=18 \)
\( QR^2 = (-4-(-1))^2 + (9-6)^2 + (6-6)^2 \)
\( = (-4+1)^2 + (9-6)^2 + (6-6)^2 \)
\( = 9+9+0= 18 \)
अब
\( PR^2 = (-4-0)^2 + (9-7)^2 + (6-10)^2 \)
\( = 16+4+16 \)
\( = 36 \)
\( PQ^2 + QR^2 = 18+ 18 = 36 \)
\( PR^2 = 36 \)
\( \implies PQ^2 + QR^2 = PR^2 \)
अतः दिए गए शीर्ष समकोण त्रिभुज के हैं। इति सिद्धम् ।
(iii) (-1, 2, 1), (1, -2, 5), (4, -7, 8) और (2, -3, 4) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल : माना चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A(-1, 2, 1), B(1, -2, 5), C(4, -7, 8) और D(2, -3, 4) हों, तब
\( AB^2 = (1-(-1))^2 + (-2-2)^2 + (5-1)^2 \)
\( = (1+1)^2 + (-2-2)^2 + (5-1)^2 \)
\( = 4+16+16=36 \)
\( BC^2 = (4-1)^2 + (-7-(-2))^2 + (8-5)^2 \)
\( = (4-1)^2 + (-7+2)^2 + (8-5)^2 \)
\( = 9+25+9 = 43 \)
\( CD^2 = (2-4)^2 + (-3-(-7))^2 + (4-8)^2 \)
\( = (2-4)^2 + (-3+7)^2 + (4-8)^2 \)
\( = 4+16+16=36 \)
\( AD^2 = (2-(-1))^2 + (-3-2)^2 + (4-1)^2 \)
\( = (2+1)^2 + (-3-2)^2 + (4-1)^2 \)
\( = 9+25+9 = 43 \)
\( \implies AB^2 = CD^2 \) और \( BC^2 = AD^2 \)
या \( AB = CD \) और \( BC = AD \)
अतः दिए गए बिन्दु एक समांतर चतुर्भुज के हैं। इति सिद्धम् ।
In simple words: To verify triangle types, calculate side lengths using the distance formula. For an isosceles triangle, two sides must be equal. For a right-angled triangle, the sum of squares of two sides must equal the square of the third side (Pythagorean theorem). For a parallelogram, opposite sides must be equal in length.

🎯 Exam Tip: Practice applying the distance formula accurately. For geometrical proofs, always state the conditions that define the shape (e.g., two equal sides for isosceles, Pythagoras for right triangle, opposite sides equal for parallelogram) and show that your calculated lengths satisfy them.

 

Question 4. ऐसे बिन्दुओं के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 2, 3) और (3, 2, -1) से समदूरस्थ हैं।
Answer: माना कोई बिन्दु P(x, y, z) बिन्दु A(1, 2, 3) और बिन्दु B(3, 2, -1) से समान दूरी पर है।
अर्थात् \( PA = PB \)
\( \implies PA^2 = PB^2 \)
\( (x - 1)^2 + (y-2)^2 + (z - 3)^2 = (x - 3)^2 + (y – 2)^2 + (z + 1)^2 \)
\( (x^2-2x + 1) + (y^2-4y+4) + (z^2-6z + 9) = (x^2 - 6x + 9) + (y^2-4y+4) + (z^2+2z + 1) \)
\( x^2-2x + 1 + y^2-4y+4 + z^2-6z + 9 = x^2 - 6x + 9 + y^2-4y+4 + z^2+2z + 1 \)
\( -2x-6z+10 = -6x+2z+10 \)
\( -2x+6x - 6z-2z+10-10 = 0 \)
\( 4x-8z = 0 \)
\( \implies x-2z= 0 \).
अतः अभीष्ट समीकरण \( x-2z= 0 \).
In simple words: The equation of the set of points equidistant from two given points forms a plane that is the perpendicular bisector of the line segment connecting the two points. This is found by setting the squared distances from a generic point (x,y,z) to each given point equal.

🎯 Exam Tip: For problems involving locus, always assume a general point P(x, y, z) and set up the algebraic condition given in the problem. Simplify carefully to arrive at the final equation.

 

Question 5. बिन्दुओं P से बने समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी बिन्दुओं A(4, 0, 0) और B(-4, 0, 0) से दूरियों का योगफल 10 है।
Answer: माना बिन्दु P के निर्देशांक (x, y, z) हैं।
दिए गए बिन्दु A(4, 0, 0) और B(-4, 0, 0) इस प्रकार हैं क्रि \( PA + PB = 10 \)
\( \sqrt{(x-4)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2} + \sqrt{(x-(-4))^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2} = 10 \)
\( \sqrt{(x-4)^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2} = 10 \)
\( \sqrt{(x-4)^2 + y^2 + z^2} = 10 - \sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
\( (x-4)^2 + y^2 + z^2 = (10 - \sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2})^2 \)
\( x^2-8x+16 + y^2 + z^2 = 100 - 20\sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2} + (x+4)^2 + y^2 + z^2 \)
\( x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 16 = 100+ (x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16) - 20\sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16} \)
\( -16x-100 = -20\sqrt{x^2 + y^2 + z^2+8x+16} \)
\( 16x+100 = 20\sqrt{x^2 + y^2 + z^2+8x+16} \)
\( 4x + 25 = 5\sqrt{x^2 + y^2 + z^2+8x+16} \)
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
\( (4x + 25)^2 = (5\sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16})^2 \)
\( (4x + 25)^2 = 25(x^2 + y^2 + z^2 + 8x + 16) \)
\( 16x^2 + 200x + 625 = 25x^2 + 25y^2 + 25z^2 + 200x + 400 \)
\( \implies 9x^2 + 25y^2 + 25z^2 = 625 - 400 = 225 \)
अतः अभीष्ट समीकरण \( 9x^2 + 25y^2 + 25z^2 = 225 \).
In simple words: The set of points for which the sum of distances from two fixed points is constant forms an ellipsoid. The equation is derived by setting PA + PB = constant, then squaring and simplifying to eliminate the square roots.

🎯 Exam Tip: This type of problem often leads to the equation of an ellipsoid. Remember to isolate one square root before squaring to simplify calculations, and repeat the process if necessary. Be meticulous with algebraic manipulations.

 

Exercise 12.3

Question 1. बिन्दुओं (-2, 3, 5) और (1, -4, 6) को मिलाने से बने रेखाखण्ड को अनुपात (i) 2 : 3 में अंतः (ii) 2 : 3 में बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: (i) माना बिन्दु A(-2, 3, 5) और B(1, -4, 6) को मिलाने से बने रेखाखण्ड AB को P(x, y, z), अनुपात 2:3 में अंतः विभाजित करता हो, तब
बिन्दु P के निर्देशांक इस प्रकार
\( x = \frac{2\times1+3\times(-2)}{2+3} = \frac{2-6}{5} = \frac{-4}{5} \)
\( y = \frac{2\times(-4)+3\times3}{2+3} = \frac{-8+9}{5} = \frac{1}{5} \)
\( z = \frac{2\times6+3\times5}{2+3} = \frac{12+15}{5} = \frac{27}{5} \)
अतः बिन्दु P के निर्देशांक \( (-\frac{4}{5}, \frac{1}{5}, \frac{27}{5}) \).
(ii) जब बिन्दु P(x, y, z) रेखाखण्ड AB के बाह्यतः विभाजित करता हो, तो निर्देशांक इस प्रकार होंगे
\( x = \frac{2\times1-3\times(-2)}{2-3} = \frac{2+6}{-1} = -8 \)
\( y = \frac{2\times(-4)-3\times3}{2-3} = \frac{-8-9}{-1} = 17 \)
\( z = \frac{2\times6-3\times5}{2-3} = \frac{12-15}{-1} = 3 \)
अतः बिन्दु P के निर्देशांक ( -8, 17, 3) होंगे।
In simple words: The coordinates of a point dividing a line segment internally or externally in a given ratio are found using the section formula, where the signs in the formula change for external division.

🎯 Exam Tip: Be careful with the signs in the section formula; plus for internal division and minus for external division. Ensure correct substitution of coordinates and ratio values.

 

Question 2. दिया गया है कि बिन्दु P(3, 2, -4), Q(5, 4, -6) और R(9, 8, -10) संरेख हैं। वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें Q, PR को विभाजित करता है।
Answer: हल : माना बिन्दु Q, PR को \( k:1 \) के अनुपात में विभाजित करता है।
\( \therefore x\text{-निर्देशांक}, 5 = \frac{k\times9+1\times3}{k+1} \)
\( \implies 5(k + 1) = 9k + 3 \)
\( \implies 5k + 5 = 9k + 3 \)
\( \implies 4k = 2 \)
\( \implies k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
इसी प्रकार \( y\text{-निर्देशांक}, 4 = \frac{k\times8+1\times2}{k+1} \)
\( \implies 4(k + 1) = 8k + 2 \)
\( \implies 4k + 4 = 8k + 2 \)
\( \implies 4k = 2 \)
\( \implies k = \frac{1}{2} \)
अब \( z\text{-निर्देशांक}, -6 = \frac{k\times(-10)+1\times(-4)}{k+1} \)
\( \implies -6(k + 1) = -10k - 4 \)
\( \implies -6k - 6 = -10k - 4 \)
\( \implies 4k = 2 \)
\( \implies k = \frac{1}{2} \)
अतः बिन्दु P, Q, R, सरेख हैं और Q, PR को 1: 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
In simple words: To find the ratio in which a point divides a line segment, assume the ratio is k:1. Apply the section formula for any one coordinate (x, y, or z) and solve for k. If the value of k is consistent across all coordinates, the points are collinear, and the ratio is k:1.

🎯 Exam Tip: When finding the ratio of division, you only need to use one coordinate (x, y, or z) because the points are collinear. If the question doesn't state collinearity, you'd need to check all three coordinates for consistency.

 

Question 3. बिन्दुओ (-2, 4, 7) और (3, -5, 8) को मिलाने वाली रेखाखण्ड, YZ- तले द्वारा जिस अनुपात में विभक्त होता है, उसे ज्ञात कीजिए ।
Answer: मान लीजिए बिन्दु P पर तल YZ रेखाखण्ड AB क \( k : 1 \) के अनुपात में प्रतिच्छेद करता है, तब YZ – तल पर प्रत्येक बिन्दु (0, y, z) के रूप में होगा।
A, B के निर्देशांक क्रमशः (-2, 4, 7) और (3, -5, 8) हैं।
\( \therefore 0 = \frac{k\times3+1\times(-2)}{k+1} \)
\( \implies 0 = 3k-2 \)
\( \implies 3k - 2= 0 \)
\( \implies k = \frac{2}{3} \)
अतः AB को YZ - तल 2 : 3 के अनुपात में विभक्त करता है।
In simple words: When a line segment intersects the YZ-plane, the x-coordinate of the intersection point is zero. Use the section formula with the x-coordinates and set the result to zero to find the ratio of division.

🎯 Exam Tip: Remember that points on the YZ-plane have x=0. Similarly, points on the XY-plane have z=0, and on the XZ-plane have y=0. This is key for solving such ratio problems.

 

Question 4. विभाजन सूत्र का प्रयोग करके दिखाइए A(2, -3, 4), B(-1, 2, 1) तथा C(0,, 2) संरेख हैं।
Answer: हल : माना A, B, C, सरेख हैं B, रेखाखण्ड AC को \( k : 1 \) में विभाजित करता है।
\( \therefore x\text{-निर्देशांक}: -1 = \frac{k\times0+1\times2}{k+1} \)
या \( -k-1 = 2 \)
या \( k = -3 \)
\( \therefore y\text{-निर्देशांक}: 2 = \frac{k\times(-3)+1\times(-3)}{k+1} \)
या \( 2(k+1) = -3k-3 \)
या \( 2k+2 = -3k-3 \)
या \( 5k = -5 \)
या \( k = -1 \)
और \( z\text{-निर्देशांक}: 1 = \frac{k\times2+1\times4}{k+1} \)
या \( k+1=2k+4 \)
\( \implies k=-3 \)
अतः बिन्दु A, B, C सरेख हैं।
In simple words: To prove collinearity using the section formula, assume one point divides the segment formed by the other two in a k:1 ratio. Calculate 'k' using all three coordinates; if 'k' is consistent, the points are collinear.

🎯 Exam Tip: When using the section formula to prove collinearity, ensure that the ratio 'k' obtained from each coordinate (x, y, z) is identical. If the 'k' values differ, the points are not collinear.

 

Question 5. P(4, 2, -6) और Q(10, -16, 6) के मिलाने वाली रेखाखण्ड PQ को सम-त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
Answer: माना बिन्दु A, B रेखाखण्ड PQ को 3 समान भागों में विभाजित करती है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक रेखाखण्ड PQ को दर्शाता है, जिसे दो बिंदु A और B द्वारा तीन समान भागों में सम-त्रिभाजित किया गया है। बिंदु A रेखाखण्ड PQ को 1:2 के अनुपात में विभाजित करता है, जबकि बिंदु B रेखाखण्ड PQ को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
बिन्दु A, रेखाखण्ड PQ को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।
\( A = (\frac{1\times10+2\times4}{1+2}, \frac{1\times(-16)+2\times2}{1+2}, \frac{1\times6+2\times(-6)}{1+2}) \)
\( A = (\frac{10+8}{3}, \frac{-16+4}{3}, \frac{6-12}{3}) \)
\( A = (\frac{18}{3}, \frac{-12}{3}, \frac{-6}{3}) \)
अर्थात् A(6, -4, -2)
बिन्दु B, रेखा खण्ड PQ को 2 : 1 अनुपात में विभाजित करता है।
\( \therefore B \text{ के निर्देशांक} = (\frac{2\times10+1\times4}{2+1}, \frac{2\times(-16)+1\times2}{2+1}, \frac{2\times6+1\times(-6)}{2+1}) \)
\( = (\frac{20+4}{3}, \frac{-32+2}{3}, \frac{12-6}{3}) \)
\( = (\frac{24}{3}, \frac{-30}{3}, \frac{6}{3}) \)
\( = (8, -10, 2) \)
अतः A तथा B के निर्देशांक क्रमशः (6,-4,-2) और (8, -10, 2) हैं।
In simple words: To trisect a line segment, find the two points that divide it into three equal parts. The first point divides the segment in a 1:2 ratio, and the second point divides it in a 2:1 ratio.

🎯 Exam Tip: Remember that trisection involves two points. Be careful to apply the section formula twice, once for the 1:2 ratio and once for the 2:1 ratio, ensuring correct coordinates for each. The ratio \( m:n \) refers to the parts from the start and end of the segment, respectively.

 

Miscellaneous Exercise On Chapter 12

Question 1. समांतर चतुर्भुज के तीन शीर्ष A(3, -1, 2), B(1, 2, -4) व C(-1, 1, 2) हैं। चौथे शीर्ष D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है, जिसके शीर्ष A, B, C, D हैं। विकर्ण AC और BD बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, जिसका अर्थ है कि बिंदु P दोनों विकर्णों का मध्य-बिंदु है।
शीर्ष A और C क्रमशः (3, -1, 2), (-1, 1, 2) हैं।
A और C के मध्य बिन्दु P के निर्देशांक \( (\frac{3+(-1)}{2}, \frac{-1+1}{2}, \frac{2+2}{2}) \) या (1, 0, 2)
मान लीजिए बिन्दु D के निर्देशांक (x, y, z) हैं और बिन्दु B के निर्देशांक (1, 2, -4) हैं।
\( \therefore DB \text{ का मध्य बिन्दु} (\frac{x+1}{2}, \frac{y+2}{2}, \frac{z-4}{2}) \)
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को 2 समान भागों में बाँटते हैं।
इसलिए \( \frac{x+1}{2}=1, \frac{y+2}{2}=0, \frac{z-4}{2}=2 \)
\( \implies x+1=2 \)
\( \implies x=1 \)
\( \implies y+2=0 \)
\( \implies y=-2 \)
\( \implies z-4=4 \)
\( \implies z=8 \)
अतः बिन्दु D के निर्देशांक (1, -2, 8) हैं।
In simple words: In a parallelogram, the diagonals bisect each other. This means the midpoint of one diagonal is the same as the midpoint of the other diagonal. Use this property to find the missing vertex by equating the midpoints.

🎯 Exam Tip: The midpoint formula is crucial here. Be precise in setting up the equations for each coordinate (x, y, z) from the equal midpoints and solve them systematically.

 

Question 2. एक त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः A(0, 0, 6), B(0, 4, 0) तथा C(6, 0, 0) हैं। त्रिभुज की माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जिसके शीर्ष A, B, C हैं। इसमें तीन माध्यिकाएँ AD, BE और CF खींची गई हैं। माध्यिका AD भुजा BC को बिंदु D पर, माध्यिका BE भुजा AC को बिंदु E पर, और माध्यिका CF भुजा AB को बिंदु F पर समद्विभाजित करती है।
हल : बिन्दु B(0, 4,0) और C (6, 0, 0) को मिलाने वाला रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु D \( (\frac{0+6}{2}, \frac{4+0}{2}, \frac{0+0}{2}) \) या (3, 2, 0) हैं।
\( \therefore \) बिन्दु A के निर्देशांक (0, 0, 6) हैं।
त्रिभुज ABC की माध्यिका AD की लंबाई
\( = \sqrt{(3-0)^2+(2-0)^2 + (0-6)^2} \)
\( = \sqrt{9+4+36} \)
\( = \sqrt{49}=7 \)
C और A के निर्देशांक (6, 0, 0) और (0, 0, 6)
AC का मध्य बिन्दु E \( (\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+6}{2}) \) या E (3, 0, 3)
और B के निर्देशांक (0, 4, 0) हैं।
त्रिभुज ABC की माध्यिका BE की लंबाई
\( = \sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2 + (3-0)^2} \)
\( = \sqrt{9+16+9} \)
\( =\sqrt{34} \)
बिन्दु A और B के निर्देशांक क्रमशः (0, 0, 6), (0, 4, 0) है।
\( \therefore AB \text{ का मध्य बिन्दु} F (\frac{0+0}{2},\frac{0+4}{2}, \frac{6+0}{2}) \) या F (0, 2, 3) है।
त्रिभुज ABC की माध्यिका CF की लम्बाई
\( = \sqrt{(6-0)^2+(0-2)^2 + (0-3)^2} \)
\( = \sqrt{36+4+9} \)
\( = \sqrt{49} = 7 \).
In simple words: To find the length of a median in a triangle, first calculate the midpoint of the side opposite to the vertex from which the median originates. Then, use the distance formula between that vertex and the midpoint.

🎯 Exam Tip: Remember that a median connects a vertex to the midpoint of the opposite side. Be careful to correctly identify the opposite side and its midpoint for each median.

 

Question 3. यदि त्रिभुज PQR का केन्द्रक मूल बिन्दु है और शीर्ष P(2a, 2, 6), Q(-4, 3b, -10) और R(8, 14, 2c) हैं तो a, b और C का मान ज्ञात कीजिए:
Answer: दिया है: त्रिभुज PQR के शीर्ष P(2a, 2, 6), Q(-4, 3b, -10), R(8, 14, 2c)
\( \therefore \triangle PQR \text{ का केंद्रक} (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}) \)
चूँकि केंद्रक मूल बिंदु (0, 0, 0) है, तो
\( \frac{2a-4+8}{3} = 0 \)
\( 2a+4 = 0 \)
\( 2a = -4 \)
\( a = -2 \)
\( \frac{2+3b+14}{3} = 0 \)
\( 3b+16 = 0 \)
\( 3b = -16 \)
\( b = -\frac{16}{3} \)
\( \frac{6-10+2c}{3} = 0 \)
\( -4+2c = 0 \)
\( 2c = 4 \)
\( c = 2 \)
अतः \( a = -2, b = -\frac{16}{3}, c = 2 \).
In simple words: The centroid of a triangle is the average of the x, y, and z coordinates of its vertices. If the centroid is at the origin, then each averaged coordinate must be zero, allowing us to solve for the unknown variables.

🎯 Exam Tip: Remember the centroid formula. When the centroid is the origin (0,0,0), it simplifies the equations considerably, making it straightforward to solve for unknowns by setting each component to zero.

 

Question 4. y-अक्ष पर उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिसकी बिन्दु P (3, -2, 5) से दूरी \( 5\sqrt{2} \) है।
Answer: हल : y-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक A(0, \( y_1 \), 0) है। A से P(3, -2, 5) के बीच की दूरी = \( 5\sqrt{2} \)
\( \therefore AP^2 = (3-0)^2 + (-2-y_1)^2 + (5-0)^2 \)
\( = 9+ (-2-y_1)^2 + 25 \)
\( = (y_1 + 2)^2 + 34 \)
दिया है
\( AP = \sqrt{(y_1 + 2)^2 + 34} = 5\sqrt{2} \)
दोनों ओर वर्ग करने पर,
\( (y_1 + 2)^2 + 34 = (5\sqrt{2})^2 \)
\( (y_1 + 2)^2 + 34 = 50 \)
\( (y_1 + 2)^2 = 50 – 34 = 16 \)
\( y_1 + 2 = \pm4 \)
+ve चिन्ह लेने पर,
\( y_1 = 4-2=2 \)
-ve चिन्ह लेने पर,
\( y_1 = -4-2=-6 \)
\( \therefore \) y-अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु (0, 2, 0) और (0, - 6, 0) है।
In simple words: A point on the y-axis has coordinates (0, y, 0). Use the distance formula between this generic point and the given point, set it equal to the given distance, and solve for y to find the possible coordinates.

🎯 Exam Tip: When dealing with points on an axis, remember that two of the three coordinates will be zero. Be careful with squaring both sides to remove the square root and solving the resulting quadratic equation to get all possible solutions.

 

Question 5. P(2, -3, 4) और (8, 0, 10) को मिलाने वाली रेखाखण्ड पर स्थित एक बिन्दु R का x- निर्देशांक 4 है। बिन्दु R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : माना बिन्दु R, PQ को \( k : 1 \) में विभाजित करता है जबकि P और Q के निर्देशांक P(2, -3, 4) और Q(8, 0, 10) हैं।
\( \therefore \text{बिन्दु R के निर्देशांक} (\frac{8k+2}{k+1}, \frac{-3k+0}{k+1}, \frac{10k+4}{k+1}) \)
परन्तु x- निर्देशांक 4 के समान है।
\( \therefore \frac{8k+2}{k+1} = 4 \)
\( \implies 8k + 2 = 4(k + 1) \)
\( \implies 8k + 2 = 4k + 4 \)
\( \implies 4k = 2 \)
\( \implies k = \frac{1}{2}=1:2 \)
अब k का मान अन्य निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करने पर:
\( y \text{- निर्देशांक} = \frac{-3k}{k+1} = \frac{-3(\frac{1}{2})}{\frac{1}{2}+1} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} = -1 \)
\( z \text{- निर्देशांक} = \frac{10k+4}{k+1} = \frac{10(\frac{1}{2})+4}{\frac{1}{2}+1} = \frac{5+4}{\frac{3}{2}} = \frac{9}{\frac{3}{2}} = 6 \)
अतः R के निर्देशांक (4,-1, 6) हैं।
In simple words: Given the x-coordinate of a point on a line segment, use the section formula for the x-coordinate to find the ratio (k:1) in which the point divides the segment. Then, use this ratio in the section formula for the y and z coordinates to find their values.

🎯 Exam Tip: When one coordinate of the dividing point is given, it's a shortcut to find the ratio 'k' first. Once 'k' is determined, apply it to the remaining coordinates to find the full point. Be careful with fractions in calculations.

 

Question 6. यदि बिन्दु A और B क्रमशः (3, 4, 5) तथा (-1, 3, -7) हैं। चर बिन्दु P द्वारा निर्मित समुच्चय से संबंधित समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ PA² + PB² = k² जब कि k अचर है।
Answer: हल : माना बिन्दु P के निर्देशांक \( (x, y, z) \) हैं।
बिन्दु A(3, 4, 5) है।
\[ PA^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 \]
बिन्दु B(-1, 3, 7) है।
\[ PB^2 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 7)^2 \]
दिया है, \( PA^2 + PB^2 = k^2 \)
\[ [(x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2] + [(x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 7)^2] = k^2 \]
या
\[ (x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y - 10z + 9 + 16 + 25) + (x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 6y + 14z + 1 + 9 + 49) = 2 \]
\[ 2(x^2 + y^2 + z^2) - 4x - 14y + 4z + 50 + 59 - k^2 = 0 \]
या
\[ 2(x^2 + y^2 + z^2) - 4x - 14y + 4z + 109 - k^2 = 0 \]
या
\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 7y + 2z = \frac{k^2 - 109}{2} \]
In simple words: हमने दो दिए गए बिंदुओं A और B से एक चर बिंदु P की दूरी का समीकरण \(PA^2 + PB^2 = k^2\) का उपयोग करके, तीन आयामों में P के निर्देशांकों (x, y, z) के लिए एक समीकरण व्युत्पन्न किया है। यह समीकरण अंतरिक्ष में उन सभी बिंदुओं के समुच्चय को दर्शाता है जो इस शर्त को पूरा करते हैं।

🎯 Exam Tip: दूरी सूत्र का सही अनुप्रयोग और बीजगणितीय विस्तार में सावधानी समीकरण प्राप्त करने में महत्वपूर्ण है। अंतिम समीकरण को सरलतम रूप में प्रस्तुत करना सुनिश्चित करें।