UP Board Solutions Class 11 Maths Chapter 8 Binomial Theorem

प्रश्नावली 8.1

Question 1. 1 से 5 तक प्रत्येक व्यंजक को प्रसार ज्ञात कीजिए:

Question 1. (1-2x)⁵
Answer: हल :
\( (1-2x)^5 = {}^5C_0 \cdot 1^5 + {}^5C_1 \cdot 1^4 \cdot (-2x) + {}^5C_2 \cdot 1^3 \cdot (-2x)^2 +{}^5C_3 \cdot 1^2 \cdot (-2x)^3 \)
\( +{}^5C_4 \cdot 1^1 \cdot (-2x)^4 + {}^5C_5 \cdot 1^0 \cdot (-2x)^5 \)
\( = 1 + 5 (-2x) + 10 \cdot 4x^2 + 10 \cdot (-8x^3) + 5 \cdot (-2x)^4 + 1 (-2x)^5 \)
\( = 1 - 10x + 40x^2 - 80x^3 + 80x^4 - 32x^5 \).
In simple words: द्विपद प्रमेय का उपयोग करके (1-2x)⁵ का विस्तार किया गया है, जिसमें प्रत्येक पद को हल करके अंतिम सरल रूप में प्रस्तुत किया गया है।

🎯 Exam Tip: द्विपद प्रमेय के सूत्रों और गुणांकों को सही ढंग से लागू करना विस्तार समस्याओं में सटीकता के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 2. \( \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^5 \)
Answer: हल :
\( \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^5 = {}^5C_0 \left(\frac{x}{2}\right)^5 + {}^5C_1 \left(\frac{x}{2}\right)^4 \left(-\frac{2}{x}\right) + {}^5C_2 \left(\frac{x}{2}\right)^3 \left(-\frac{2}{x}\right)^2 \)
\( + {}^5C_3 \left(\frac{x}{2}\right)^2 \left(-\frac{2}{x}\right)^3 + {}^5C_4 \left(\frac{x}{2}\right)^1 \left(-\frac{2}{x}\right)^4 + {}^5C_5 \left(-\frac{2}{x}\right)^5 \)
\( = \frac{x^5}{32} + 5 \cdot \frac{x^4}{16} \cdot \left(-\frac{2}{x}\right) + 10 \cdot \frac{x^3}{8} \cdot \frac{4}{x^2} + 10 \cdot \frac{x^2}{4} \cdot \left(-\frac{8}{x^3}\right) + 5 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{16}{x^4} + 1 \cdot \left(-\frac{32}{x^5}\right) \)
\( = \frac{x^5}{32} - \frac{5x^3}{8} + \frac{5x}{2} - \frac{20}{x} + \frac{40}{x^3} - \frac{32}{x^5} \).
In simple words: द्विपद प्रमेय का उपयोग करके \( \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^5 \) का विस्तार किया गया है, जिसमें घातों और गुणांकों को सही ढंग से संयोजित करके प्रत्येक पद को सरल बनाया गया है।

🎯 Exam Tip: नकारात्मक पदों के साथ द्विपद विस्तार करते समय, चिन्हों को सही ढंग से संभालने के लिए विशेष ध्यान दें।

Question 3. (2x – 3)⁶
Answer: हल :
\( (2x-3)^6 = {}^6C_0 (2x)^6 + {}^6C_1 (2x)^5 (-3) + {}^6C_2 (2x)^4 (-3)^2 + {}^6C_3 (2x)^3 (-3)^3 \)
\( + {}^6C_4 (2x)^2 (-3)^4 + {}^6C_5 (2x)^1 (-3)^5 + {}^6C_6 (-3)^6 \)
\( = 64x^6 + 6 \cdot 32x^5 (-3) + 15 \cdot 16x^4 \cdot 9 + 20 \cdot 8x^3 (-27) \)
\( + 15 \cdot 4x^2 \cdot 81 + 6 \cdot 2x (-243) + 729 \)
\( = 64x^6 - 576x^5 + 2160x^4 - 4320x^3 + 4860x^2 - 2916x + 729 \).
In simple words: द्विपद प्रमेय का उपयोग करके (2x - 3)⁶ का विस्तार किया गया है, जिसमें सभी पदों के गुणांकों और घातों को ध्यान में रखते हुए गणना की गई है।

🎯 Exam Tip: बड़ी घातों के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करते समय, गुणांकों \( ({}^nC_r) \) और पदों की घातों की सावधानीपूर्वक गणना सुनिश्चित करें।

Question 4. \( \left(\frac{x}{3} + \frac{1}{x}\right)^5 \)
Answer: हल :
\( \left(\frac{x}{3} + \frac{1}{x}\right)^5 = {}^5C_0 \left(\frac{x}{3}\right)^5 + {}^5C_1 \left(\frac{x}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{x}\right) + {}^5C_2 \left(\frac{x}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{x}\right)^2 \)
\( + {}^5C_3 \left(\frac{x}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{x}\right)^3 + {}^5C_4 \left(\frac{x}{3}\right)^1 \left(\frac{1}{x}\right)^4 + {}^5C_5 \left(\frac{1}{x}\right)^5 \)
\( = \frac{x^5}{243} + 5 \cdot \frac{x^4}{81} \cdot \frac{1}{x} + 10 \cdot \frac{x^3}{27} \cdot \frac{1}{x^2} + 10 \cdot \frac{x^2}{9} \cdot \frac{1}{x^3} + 5 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^5} \)
\( = \frac{x^5}{243} + \frac{5x^3}{81} + \frac{10x}{27} + \frac{10}{9x} + \frac{5}{3x^3} + \frac{1}{x^5} \).
In simple words: द्विपद प्रमेय का उपयोग करके \( \left(\frac{x}{3} + \frac{1}{x}\right)^5 \) का विस्तार किया गया है, जिसमें प्रत्येक पद को सावधानीपूर्वक सरल किया गया है।

🎯 Exam Tip: भिन्न वाले द्विपद विस्तार में, x की घातों को सही ढंग से जोड़ना और घटाना सुनिश्चित करें।

Question 5. \( \left(x + \frac{1}{x}\right)^6 \)
Answer: हल :
\( \left(x + \frac{1}{x}\right)^6 = {}^6C_0 x^6 + {}^6C_1 x^5 \left(\frac{1}{x}\right) + {}^6C_2 x^4 \left(\frac{1}{x}\right)^2 + {}^6C_3 x^3 \left(\frac{1}{x}\right)^3 \)
\( + {}^6C_4 x^2 \left(\frac{1}{x}\right)^4 + {}^6C_5 x^1 \left(\frac{1}{x}\right)^5 + {}^6C_6 \left(\frac{1}{x}\right)^6 \)
\( = x^6 + 6 \cdot x^5 \cdot \frac{1}{x} + 15 \cdot x^4 \cdot \frac{1}{x^2} + 20 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{x^3} + 15 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^4} + 6 \cdot x \cdot \frac{1}{x^5} + \frac{1}{x^6} \)
\( = x^6 + 6x^4 + 15x^2 + 20 + \frac{15}{x^2} + \frac{6}{x^4} + \frac{1}{x^6} \).
In simple words: द्विपद प्रमेय का उपयोग करके \( \left(x + \frac{1}{x}\right)^6 \) का विस्तार किया गया है, जिसमें x की घातों को जोड़कर और घटाकर प्रत्येक पद को सरल किया गया है।

🎯 Exam Tip: पदों को सरल करते समय x की घातों को सही ढंग से रद्द करना महत्वपूर्ण है।

Question. द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए (प्रश्न 6 से 9 तक)

Question 6. (96)³
Answer: हल :
\( (96)^3 = (100-4)^3 \)
\( = (100)^3 + {}^3C_1 (100)^2 (-4) + {}^3C_2 (100)^1 (-4)^2 + (-4)^3 \)
\( = 1000000 + 3 \times 10000 (-4) + 3 \times 100 \times 16 - 64 \)
\( = 1000000 - 120000 + 4800 - 64 = 884736 \).
In simple words: (96)³ का मान ज्ञात करने के लिए इसे (100-4)³ के रूप में लिखा गया है और द्विपद प्रमेय का उपयोग करके विस्तार किया गया है।

🎯 Exam Tip: संख्याओं की बड़ी घातों को हल करने के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करते समय, संख्या को \( (a+b)^n \) या \( (a-b)^n \) के रूप में व्यक्त करें ताकि गणना आसान हो।

Question 7. (102)⁵
Answer: हल :
\( (102)^5 = (100 + 2)^5 \)
\( = (100)^5 + {}^5C_1 (100)^4 \times 2 + {}^5C_2 (100)^3 2^2 \)
\( + {}^5C_3 (100)^2 \times 2^3 + {}^5C_4 (100) \times 2^4 + 2^5 \)
\( = 10000000000 + 5 \times 100000000 \times 2 \)
\( + 10 \times 1000000 \times 4 + 10 \times 10000 \times 8 + 5 \times 100 \times 16 + 32 \)
\( = 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32 \)
\( = 11040808032 \).
In simple words: (102)⁵ का मान ज्ञात करने के लिए इसे (100+2)⁵ के रूप में लिखा गया है और द्विपद प्रमेय का उपयोग करके विस्तार और योग किया गया है।

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं के साथ द्विपद विस्तार में, प्रत्येक पद की गणना सावधानीपूर्वक करें और सभी योगों को सटीक रूप से जोड़ें।

Question 8. (101)⁴
Answer: हल :
\( (101)^4 = (100 + 1)^4 \)
\( = (100)^4 + {}^4C_1 \times (100)^3 \times 1 + {}^4C_2 \times (100)^2 \times 1^2 \)
\( + {}^4C_3 \times (100) \times 1^3 + 1^4 \)
\( = 100000000 + 4 \times 1000000 + 6 \times 10000 + 400 + 1 \)
\( = 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1 \)
\( = 104060401 \).
In simple words: (101)⁴ का मान ज्ञात करने के लिए इसे (100+1)⁴ के रूप में लिखा गया है और द्विपद प्रमेय का उपयोग करके विस्तार किया गया है।

🎯 Exam Tip: जब द्विपद के दूसरे पद का मान 1 हो, तो गणना सरल हो जाती है, गुणांकों पर अधिक ध्यान दें।

Question 9. (99)⁵
Answer: हल :
\( (99)^5 = (100-1)^5 \)
\( = (100)^5 + {}^5C_1 \times (100)^4 \times (-1) \)
\( + {}^5C_2 \times (100)^3 \times (-1)^2 + {}^5C_3 \times (100)^2 \times (-1)^3 \)
\( + {}^5C_4 \times (100) \times (-1)^4 + (-1)^5 \)
\( = 10000000000 - 5 \times 100000000 \)
\( + 10 \times 1000000 - 10 \times 10000 + 5 \times 100 - 1 \)
\( = 10000000000 - 500000000 + 10000000 - 100000 + 500 - 1 \)
\( = 9509900499 \).
In simple words: (99)⁵ का मान ज्ञात करने के लिए इसे (100-1)⁵ के रूप में लिखा गया है और द्विपद प्रमेय का उपयोग करके विस्तार और सरल किया गया है।

🎯 Exam Tip: नकारात्मक दूसरे पद के साथ द्विपद विस्तार में, वैकल्पिक चिन्हों को सही ढंग से लागू करना महत्वपूर्ण है।

Question 10. द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है- (1.1)¹⁰⁰⁰⁰ या 1000
Answer: हल :
\( (1.1)^{10000} = (1 + 0.1)^{10000} \)
\( = 1^{10000} + {}^{10000}C_1 \times 1^{9999} (0.1)^1 + \dots \)
\( = 1 + 10000 \times (0.1) + \dots = 1 + 1000 + \dots = 1001 + \dots \) स्पष्ट है कि \( (1.1)^{10000} \) संख्या 1000 से बड़ी है।
In simple words: (1.1)¹⁰⁰⁰⁰ को (1+0.1)¹⁰⁰⁰⁰ के रूप में विस्तारित करके दिखाया गया है कि यह 1001 से बड़ा है, इसलिए यह 1000 से बड़ा है।

🎯 Exam Tip: संख्याओं की तुलना करते समय द्विपद प्रमेय का उपयोग करें, केवल कुछ शुरुआती पदों का विस्तार करके भी बड़े मान का अनुमान लगाया जा सकता है।

Question 11. (a + b)⁴ – (a – b)⁴ का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके \( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 – (\sqrt{3}-\sqrt{2})^4 \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हल :
\( (a + b)^4 = a^4 + {}^4C_1 a^3 b + {}^4C_2 a^2b^2 + {}^4C_3 ab^3 + b^4 \)
\( = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4 \) इसी प्रकार
\( (a - b)^4 = a^4 - {}^4C_1 a^3 b + {}^4C_2 a^2b^2 - {}^4C_3 ab^3 + b^4 \)
\( = a^4 - 4a^3 b + 6a^2 b^2 - 4ab^3 + b^4 \) घटाने पर
\( (a + b)^4 – (a - b)^4 = (a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4) - (a^4 - 4a^3 b + 6a^2 b^2 - 4ab^3 + b^4) \)
\( = 2 (4a^3 b + 4ab^3) \)
\( = 8ab (a^2 + b^2) \) इसमें \( a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2} \) रखने पर
\( (\sqrt{3}+\sqrt{2})^4 - (\sqrt{3}-\sqrt{2})^4 = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} [(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2] \)
\( = 8\sqrt{6} (3+2) = 40\sqrt{6} \).
In simple words: पहले (a+b)⁴ और (a-b)⁴ का विस्तार किया गया, फिर उन्हें घटाकर एक सरल अभिव्यक्ति प्राप्त की गई, और अंत में \( a=\sqrt{3} \) और \( b=\sqrt{2} \) का मान प्रतिस्थापित करके अंतिम परिणाम प्राप्त किया गया।

🎯 Exam Tip: जटिल व्यंजकों को हल करने के लिए द्विपद विस्तार की घटाव विधि का उपयोग करें, यह कई पदों को रद्द करके गणना को सरल बनाता है।

Question 12. \( (x + 1)^6 + (x – 1)^6 \) का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा \( (\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} – 1)^6 \) का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल :
\( (x + 1)^6 = x^6 + {}^6C_1 x^5 \cdot 1^1 + {}^6C_2 x^4 \times 1^2 + {}^6C_3 x^3 \times 1^3 + {}^6C_4 x^2 \cdot 1^4 + {}^6C_5 \cdot x \cdot 1^5 + 1^6 \)
\( = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1 \) इसी प्रकार
\( (x - 1)^6 = x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6x + 1 \) जोड़ने पर
\( (x + 1)^6 + (x - 1)^6 = 2(x^6 + 15x^4 + 15x^2 + 1) \) इसमें \( x = \sqrt{2} \) रखने पर
\( (\sqrt{2}+1)^6 + (\sqrt{2}-1)^6 = 2 [(\sqrt{2})^6 + 15(\sqrt{2})^4 + 15(\sqrt{2})^2 + 1] \)
\( = 2 [8 + 15 \times 4 + 15 \times 2 + 1] \)
\( = 2 [8 + 60 + 30 + 1] \)
\( = 2 \times 99 \)
\( = 198 \).
In simple words: पहले (x+1)⁶ और (x-1)⁶ का विस्तार किया गया, फिर उन्हें जोड़कर एक सरल अभिव्यक्ति प्राप्त की गई, और अंत में \( x=\sqrt{2} \) का मान प्रतिस्थापित करके अंतिम परिणाम प्राप्त किया गया।

🎯 Exam Tip: द्विपद विस्तार को जोड़ते या घटाते समय, समान पदों को जोड़ना या घटाना सुनिश्चित करें और वैकल्पिक चिन्हों का ध्यान रखें।

Question 13. दिखाइए कि \( 9^{n+1} – 8n – 9 \), 64 से विभाज्य है जहाँ n एक धन पूर्णाक है।
Answer: हल : \( (1+x)^{n+1} \) का प्रसार करने पर,
\( (1 + x)^{n+1} = 1 + {}^{n+1}C_1 x + {}^{n+1}C_2 x^2 + {}^{n+1}C_3 x^3 + \dots \) \( x = 8 \) रखने पर,
\( 9^{n+1} = 1 + (n + 1) \cdot 8 + {}^{n+1}C_2 \times 8^2 + {}^{n+1}C_3 \cdot 8^3 + \dots \)
\( = 1 + 8n + 8 + {}^{n+1}C_2 \times 64 + {}^{n+1}C_3 \cdot 8^3 + \dots \)
\( = 8n + 9 + 64 \left({}^{n+1}C_2 + {}^{n+1}C_3 \cdot 8 + \dots \right) \) अत: \( 9^{n+1} – 8n – 9 = 64 \left({}^{n+1}C_2 + {}^{n+1}C_3 \cdot 8 + \dots \right) \)
\( \implies \) \( 9^{n+1} – 8n – 9 \), संख्या 64 से विभाज्य है।
In simple words: \( 9^{n+1} \) को \( (1+8)^{n+1} \) के रूप में विस्तारित किया गया और द्विपद प्रमेय का उपयोग करके यह दिखाया गया कि \( 9^{n+1} - 8n - 9 \) का मान 64 का गुणज है, इस प्रकार यह 64 से विभाज्य है।

🎯 Exam Tip: विभाज्यता सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, द्विपद प्रमेय का उपयोग करके व्यंजक को इस तरह से विस्तारित करें कि एक सामान्य गुणज को गुणनखंडित किया जा सके।

Question 14. सिद्ध कीजिए कि \( \sum_{r=0}^{n} 3^r {}^nC_r = 4^n \).
Answer: हल :
\( \sum_{r=0}^{n} 3^r {}^nC_r = {}^nC_0 3^0 + {}^nC_1 3^1 + {}^nC_2 3^2 + \dots + {}^nC_n 3^n \)
\( = 1 + {}^nC_1 \cdot 3 + {}^nC_2 \cdot 3^2 + \dots + {}^nC_n \cdot 3^n \)
\( = (1 + 3)^n = 4^n \).
In simple words: द्विपद प्रमेय के सूत्र \( (a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} {}^nC_r a^{n-r} b^r \) का उपयोग करके, \( a=1 \) और \( b=3 \) रखने पर, यह सिद्ध होता है कि दिया गया योग \( 4^n \) के बराबर है।

🎯 Exam Tip: द्विपद प्रमेय के मूलभूत सूत्रों को याद रखें, विशेषकर योगों को सरल बनाने में उनकी उपयोगिता को।

प्रश्नावली 8.2

Question 1. 1 और 2 में गुणांक ज्ञात कीजिए:

Question 1. \( (x + 3)^8 \) में \( x^5 \) का ।
Answer: हल :
\( (x + 3)^8 \) का व्यापक पद \( = {}^8C_r x^{8-r} \cdot 3^r \)
\( x^{8-r} = x^5 \) अर्थात
\( 8-r = 5 \implies r = 3 \) \( x^5 \) का गुणांक \( = {}^8C_3 (3)^3 \)
\( = \frac{8 \times 7 \times 6}{1 \times 2 \times 3} \times 27 \)
\( = 56 \times 27 = 1512 \).
In simple words: \( (x+3)^8 \) के विस्तार में \( x^5 \) का गुणांक ज्ञात करने के लिए, हमने व्यापक पद के सूत्र का उपयोग किया, \( x \) की घातों की तुलना करके \( r \) का मान निकाला, और फिर गुणांक की गणना की।

🎯 Exam Tip: किसी विशेष पद का गुणांक ज्ञात करने के लिए, द्विपद प्रमेय के सामान्य पद \( T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r \) का उपयोग करें और फिर चर की घात की तुलना करके \( r \) का मान निकालें।

Question 2. \( (a – 2b)^{12} \) में \( a^5b^7 \) का।
Answer: हल :
\( (a - 2b)^{12} \) का व्यापक पद \( = {}^{12}C_r a^{12-r} (-2b)^r \)
\( = {}^{12}C_r a^{12-r} (-1)^r \cdot 2^r b^r \) \( b^r = b^7 \)
\( \implies r = 7 \) अब \( r = 7 \) रखने पर,
\( = {}^{12}C_7 \cdot a^{12-7} \cdot (-1)^7 \cdot 2^7 \cdot b^7 \)
\( = a^5 b^7 \cdot {}^{12}C_7 \cdot (-1) \cdot 2^7 \) \( a^5 b^7 \) का गुणांक \( = - {}^{12}C_7 \cdot 2^7 = - {}^{12}C_5 \cdot 2^7 \)
\( = - \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} \times 128 = - 101376 \).
In simple words: \( (a-2b)^{12} \) के विस्तार में \( a^5b^7 \) का गुणांक ज्ञात करने के लिए, हमने व्यापक पद के सूत्र का उपयोग किया, \( b \) की घातों की तुलना करके \( r \) का मान निकाला, और फिर गुणांक की गणना की, जिसमें नकारात्मक चिन्ह का भी ध्यान रखा गया।

🎯 Exam Tip: जब द्विपद में एक नकारात्मक पद हो, तो \( (-1)^r \) घटक को ध्यान में रखें जो गुणांक के चिन्ह को प्रभावित करता है।

Question. 3 व 4 के प्रसार में व्यापक पद लिखिए ।

Question 3. \( (x^2-y)^6 \).
Answer: हल :
\( (x^2 - y)^6 \) का व्यापक पद \( = {}^6C_r (x^2)^{6-r} (-y)^r \)
\( = (-1)^r {}^6C_r x^{12-2r} y^r \).
In simple words: \( (x^2-y)^6 \) का व्यापक पद ज्ञात करने के लिए, हमने \( T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r \) सूत्र का उपयोग किया और पदों को उनके घातों के अनुसार सरल किया।

🎯 Exam Tip: व्यापक पद लिखते समय, चर की घातों को सही ढंग से गुणा करना और नकारात्मक पद के चिन्ह को शामिल करना सुनिश्चित करें।

Question 4. \( (x^2 + yx)^{12}, x \ne 0 \).
Answer: हल :
\( (x^2 + yx)^{12} \) का व्यापक पद \( = {}^{12}C_r (x^2)^{12-r} (yx)^r \)
\( = {}^{12}C_r x^{24-2r} y^r x^r \)
\( = {}^{12}C_r x^{24-r} y^r \).
In simple words: \( (x^2+yx)^{12} \) का व्यापक पद ज्ञात करने के लिए, हमने \( T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r \) सूत्र का उपयोग किया और फिर \( x \) की सभी घातों को एक साथ संयोजित किया।

🎯 Exam Tip: यदि आधार में एक से अधिक चर हैं, तो व्यापक पद को अंतिम रूप देने से पहले सभी संबंधित घातों को संयोजित करें।

Question 5. \( (x – 2y)^{12} \) के प्रसार में चौथा पद ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल :
\( (x – 2y)^{12} \) का चौथा पद \( = T_{3+1} = {}^{12}C_3 x^{12-3} (-2y)^3 \)
\( = \frac{12 \times 11 \times 10}{1 \times 2 \times 3} \times x^9 (-1)^3 \cdot 2^3 y^3 \)
\( = - 220 \times 8 x^9 y^3 = - 1760 x^9 y^3 \).
In simple words: \( (x-2y)^{12} \) का चौथा पद ज्ञात करने के लिए, \( T_{r+1} \) सूत्र का उपयोग किया गया, जहाँ \( r=3 \), और फिर सभी गुणांकों और घातों को हल करके अंतिम पद प्राप्त किया गया।

🎯 Exam Tip: किसी विशिष्ट पद की गणना करते समय, \( r \) मान को सही ढंग से पहचानना (उदाहरण के लिए, चौथा पद के लिए \( r=3 \)) और सभी गुणांकों और घातों को सावधानीपूर्वक गणना करना महत्वपूर्ण है।

Question 6. \( \left(9x - \frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18} \) के प्रसार में 13वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: हल :
\( \left(9x - \frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18} \) के प्रसार में 13वाँ पद
\( T_{12+1} = {}^{18}C_{12} (9x)^{18-12} \left(-\frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{12} \)
\( = {}^{18}C_{12} (9x)^6 \left(-\frac{1}{3x^{1/2}}\right)^{12} \)
\( = {}^{18}C_{12} 9^6 x^6 \frac{(-1)^{12}}{3^{12} (x^{1/2})^{12}} \)
\( = {}^{18}C_{12} 9^6 x^6 \frac{1}{3^{12} x^6} \)
\( = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6} \times \frac{3^{12} x^6}{3^{12} x^6} \)
\( = 18564 \).
In simple words: \( \left(9x - \frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18} \) के 13वें पद को ज्ञात करने के लिए, हमने \( T_{r+1} \) सूत्र का उपयोग किया, जहाँ \( r=12 \), और फिर सभी गुणांकों और घातों को हल करके पद को सरल किया, जिसमें \( x \) की घातें रद्द हो गईं।

🎯 Exam Tip: जटिल द्विपद व्यंजकों में पदों को सरल करते समय, चर की घातों को सही ढंग से संयोजित करने के लिए घातों के नियमों का सावधानीपूर्वक पालन करें।

Question. 7 व 8 के प्रसारों में मध्य पद ज्ञात कीजिए।

Question 7. \( \left(3-\frac{x^3}{6}\right)^7 \)
Answer: हल :
\( \left(3-\frac{x^3}{6}\right)^7 \) में \( (7+1) = 8 \) पद है। चूँकि पदों की संख्या सम है (8), इसलिए दो मध्य पद होंगे: \( \frac{8}{2} = 4 \)वाँ पद और \( \left(\frac{8}{2}+1\right) = 5 \)वाँ पद। पहला मध्य पद, \( T_4 = T_{3+1} \)
\( T_4 = {}^7C_3 (3)^{7-3} \left(-\frac{x^3}{6}\right)^3 \)
\( = {}^7C_3 3^4 (-1)^3 \frac{x^9}{6^3} \)
\( = \frac{7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3} \times 3^4 \times (-1) \times \frac{x^9}{6^3} \)
\( = 35 \times 81 \times (-1) \times \frac{x^9}{216} \)
\( = - 35 \frac{3^4 x^9}{2^3 \cdot 3^3} \)
\( = - 35 \frac{3x^9}{8} \)
\( = - \frac{105x^9}{8} \) दूसरा मध्य पद, \( T_5 = T_{4+1} \)
\( T_5 = {}^7C_4 (3)^{7-4} \left(-\frac{x^3}{6}\right)^4 \)
\( = {}^7C_4 3^3 (-1)^4 \frac{x^{12}}{6^4} \)
\( = \frac{7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3} \times 3^3 \times 1 \times \frac{x^{12}}{6^4} \)
\( = 35 \times 27 \times \frac{x^{12}}{1296} \)
\( = 35 \frac{3^3 x^{12}}{2^4 \cdot 3^4} \)
\( = 35 \frac{x^{12}}{2^4 \cdot 3} \)
\( = \frac{35x^{12}}{16 \times 3} = \frac{35x^{12}}{48} \).
In simple words: \( \left(3-\frac{x^3}{6}\right)^7 \) में 8 पद हैं, इसलिए दो मध्य पद (चौथा और पाँचवां) हैं। प्रत्येक पद के लिए, हमने \( T_{r+1} \) सूत्र का उपयोग किया, \( r \) का सही मान ज्ञात किया, और फिर प्रत्येक पद को सरल किया।

🎯 Exam Tip: द्विपद विस्तार में मध्य पद ज्ञात करने के लिए, पदों की कुल संख्या (n+1) की गणना करें। यदि यह सम है, तो दो मध्य पद \( \frac{n+1}{2} \) और \( \left(\frac{n+1}{2}+1\right) \) होंगे; यदि विषम है, तो एक मध्य पद \( \frac{n+1+1}{2} \) होगा।

Question 8. \( \left(\frac{x}{3} + 9y\right)^{10} \)
Answer: हल :
इसमें \( 10 + 1 = 11 \) पद हैं जो विषम संख्या है। मध्य पद \( = \frac{11+1}{2} = 6 \) वाँ पद।
\( T_6 = T_{5+1} = {}^{10}C_5 \left(\frac{x}{3}\right)^{10-5} (9y)^5 \)
\( = {}^{10}C_5 \left(\frac{x}{3}\right)^5 (9y)^5 \)
\( = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} \times \frac{x^5}{3^5} \times 9^5 y^5 \)
\( = 252 \times \frac{x^5}{3^5} \times (3^2)^5 y^5 \)
\( = 252 \times \frac{x^5}{3^5} \times 3^{10} y^5 \)
\( = 252 \times 3^5 x^5 y^5 \)
\( = 252 \times 243 x^5 y^5 \)
\( = 61236 x^5 y^5 \).
In simple words: \( \left(\frac{x}{3} + 9y\right)^{10} \) में पदों की संख्या 11 है, जो विषम है, इसलिए एक ही मध्य पद होगा (छठा पद)। हमने \( T_{r+1} \) सूत्र का उपयोग किया, \( r=5 \) रखा, और फिर गुणांकों और घातों को हल करके मध्य पद प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: मध्य पद की गणना करते समय, सुनिश्चित करें कि \( {}^nC_r \) के गुणांकों की गणना सही हो और घातों को सही ढंग से संयोजित किया गया हो, विशेषकर जब आधारों में भिन्न या गुणांक हों।

Question 9. \( (1 + a)^{m+n} \) के प्रसार में सिद्ध कीजिए कि \( a^m \) तथा \( a^n \) के गुणांक बराबर हैं।
Answer: हल :
\( (1 + a)^{m+n} \) का व्यापक पद \( = {}^{m+n}C_r 1^{m+n-r} a^r = {}^{m+n}C_r a^r \) दिया है : \( a^r = a^m \) अर्थात् \( r = m \)
\( \implies a^m \) का गुणांक \( = {}^{m+n}C_m \) और \( a^r = a^n \) अर्थात् \( r = n \)
\( \implies a^n \) का गुणांक \( = {}^{m+n}C_n \) हम जानते हैं कि \( {}^nC_r = {}^nC_{n-r} \) इसलिए, \( {}^{m+n}C_n = {}^{m+n}C_{(m+n)-n} = {}^{m+n}C_m \) अतः \( a^m \) और \( a^n \) के गुणांक बराबर हैं।
In simple words: हमने \( (1+a)^{m+n} \) के व्यापक पद का उपयोग किया और \( a^m \) और \( a^n \) के गुणांकों को \( {}^{m+n}C_m \) और \( {}^{m+n}C_n \) के रूप में पाया। द्विपद गुणांकों के गुणधर्म \( {}^nC_r = {}^nC_{n-r} \) का उपयोग करके, हमने सिद्ध किया कि ये दोनों गुणांक बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: द्विपद गुणांकों के गुणधर्मों, जैसे \( {}^nC_r = {}^nC_{n-r} \) को याद रखना, ऐसे प्रमाण-आधारित प्रश्नों को हल करने में बहुत सहायक होता है।

Question 10. \( (x + 1)^n \) के प्रसार में \( (r – 1) \) वाँ, \( r \) वाँ और \( (r + 1) \) वें पदों के गुणांक में 1: 3 : 5 का अनुपात हो तो \( n \) तथा \( r \) का मान ज्ञात करो ।
Answer: हल :
\( (x + 1)^n \) का व्यापक पद \( T_{k+1} = {}^nC_k x^{n-k} \) \( (r+1) \) वें पद का गुणांक \( = {}^nC_r \) \( (r-1) \) वें पद का गुणांक \( = {}^nC_{r-2} \) (क्योंकि \( T_{r-1} \) पद के लिए, \( k = r-2 \)) \( r \) वें पद का गुणांक \( = {}^nC_{r-1} \) (क्योंकि \( T_r \) पद के लिए, \( k = r-1 \)) दिया हुआ है कि \( {}^{n}C_{r-2} : {}^{n}C_{r-1} : {}^{n}C_r = 1:3:5 \)
(i) \( \frac{{}^{n}C_{r-2}}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{1}{3} \)
\( \implies \frac{n! / ((r-2)!(n-r+2)!)}{n! / ((r-1)!(n-r+1)!)} = \frac{1}{3} \)
\( \implies \frac{(r-1)!(n-r+1)!}{(r-2)!(n-r+2)!} = \frac{1}{3} \)
\( \implies \frac{r-1}{n-r+2} = \frac{1}{3} \)
\( \implies 3(r-1) = n-r+2 \)
\( \implies 3r-3 = n-r+2 \)
\( \implies n-4r = -5 \) ... (1)
(ii) \( \frac{{}^{n}C_{r-1}}{{}^{n}C_r} = \frac{3}{5} \)
\( \implies \frac{n! / ((r-1)!(n-r+1)!)}{n! / (r!(n-r)!)} = \frac{3}{5} \)
\( \implies \frac{r!(n-r)!}{(r-1)!(n-r+1)!} = \frac{3}{5} \)
\( \implies \frac{r}{n-r+1} = \frac{3}{5} \)
\( \implies 5r = 3(n-r+1) \)
\( \implies 5r = 3n-3r+3 \)
\( \implies 3n-8r = -3 \) ... (2) समीकरण (1) तथा (2) को हल करने पर, समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर: \( 3n - 12r = -15 \) ... (3) समीकरण (2) में से समीकरण (3) को घटाने पर: \( (3n-8r) - (3n-12r) = -3 - (-15) \) \( 4r = 12 \) \( r = 3 \) \( r=3 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर, \( n - 4(3) = -5 \) \( n - 12 = -5 \) \( n = 7 \) अतः \( n = 7, r = 3 \).
In simple words: दिए गए पदों के गुणांकों के अनुपात का उपयोग करके, हमने द्विपद गुणांकों के गुणों के आधार पर दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके, हमने \( n \) और \( r \) के मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: द्विपद गुणांकों के अनुपातों के लिए सूत्र \( \frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r} \) का उपयोग करके गणना को सरल बनाया जा सकता है। यह कदम त्रुटियों को कम करने में मदद करता है।

Question 11. सिद्ध कीजिए कि \( (1 + x)^{2n} \) के प्रसार में \( x^n \) का गुणांक, \( (1 + x)^{2n-1} \) के प्रसार में \( x^n \) के गुणांक का दुगुना होता है।
Answer: हल :
\( (1 + x)^{2n} \) के प्रसार में व्यापक पद \( = {}^{2n}C_r x^r \) यदि \( x^r = x^n \) अर्थात् \( r = n \)
\( \implies x^n \) का गुणांक \( = {}^{2n}C_n \) ... (i) \( (1 + x)^{2n-1} \) के प्रसार में व्यापक पद \( = {}^{2n-1}C_r x^r \) यदि \( x^r = x^n \) अर्थात् \( r = n \)
\( \implies x^n \) का गुणांक \( = {}^{2n-1}C_n \) ... (ii) समी. (i) व (ii) के गुणांकों का अनुपात
\( \frac{{}^{2n}C_n}{{}^{2n-1}C_n} = \frac{\frac{(2n)!}{n! n!}}{\frac{(2n-1)!}{n! (n-1)!}} \)
\( = \frac{(2n)!}{n! n!} \times \frac{n! (n-1)!}{(2n-1)!} \)
\( = \frac{(2n) \cdot (2n-1)!}{n \cdot (n-1)! n!} \times \frac{n! (n-1)!}{(2n-1)!} \)
\( = \frac{2n}{n} \)
\( = 2 \).
\( \implies {}^{2n}C_n = 2 \cdot {}^{2n-1}C_n \) इति सिद्धम् ।
In simple words: \( (1+x)^{2n} \) में \( x^n \) के गुणांक \( {}^{2n}C_n \) और \( (1+x)^{2n-1} \) में \( x^n \) के गुणांक \( {}^{2n-1}C_n \) का अनुपात ज्ञात किया गया। गणना से पता चला कि यह अनुपात 2 है, जिससे सिद्ध होता है कि पहला गुणांक दूसरे का दुगुना है।

🎯 Exam Tip: द्विपद गुणांकों से संबंधित सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, फैक्टोरियल के गुणों और \( {}^{n}C_r = \frac{n}{r} {}^{n-1}C_{r-1} \) जैसे संबंधों का उपयोग करें ताकि सरलता से हल किया जा सके।

Question 12. \( m \) का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए \( (1 + x)^m \) के प्रसार में \( x^2 \) का गुणांक 6 हो ।
Answer: हल :
\( (1+x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{1 \cdot 2} x^2 + \dots \) \( x^2 \) का गुणांक \( = \frac{m(m-1)}{2} \) दिया है कि \( x^2 \) का गुणांक \( = 6 \)
\( \implies \frac{m(m-1)}{2} = 6 \)
\( \implies m(m-1) = 12 \)
\( \implies m^2 - m - 12 = 0 \) अर्थात् \( (m-4)(m+3) = 0 \)
\( \implies m = 4 \) या \( m = -3 \) चूँकि \( m \) का धनात्मक मान ज्ञात करना है, अतः \( m = 4 \).
In simple words: \( (1+x)^m \) के विस्तार में \( x^2 \) के गुणांक के लिए सूत्र का उपयोग किया गया। दिए गए गुणांक (6) के साथ समीकरण बनाकर, \( m \) के मानों को गुणनखंड विधि से हल किया गया और धनात्मक मान चुना गया।

🎯 Exam Tip: घात 2 के गुणांक के लिए सूत्र को याद रखें \( \left(\frac{n(n-1)}{2}\right) \) और समीकरणों को हल करते समय धनात्मक/ऋणात्मक मानों के लिए शर्तों पर ध्यान दें।

अभ्यास 8 पर विविध प्रश्नावली

Question 1. यदि \( (a + b)^n \) के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729, 7290 तथा 30375 हों तो a, b तथा n ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल :
\( (a + b)^n = {}^nC_0 a^n + {}^nC_1 a^{n-1}b + {}^nC_2 a^{n-2}b^2 + \dots \) हमें दिया है : प्रथम पद \( {}^nC_0 a^n = a^n = 729 \) ... (i) दूसरा पद \( {}^nC_1 a^{n-1}b = na^{n-1}b = 7290 \) ... (ii) तीसरा पद \( {}^nC_2 a^{n-2}b^2 = \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} a^{n-2}b^2 = 30375 \) ... (iii) समी. (ii) को (i) से भाग देने पर,
\( \frac{na^{n-1}b}{a^n} = \frac{7290}{729} \)
\( \implies n \frac{b}{a} = 10 \) ... (iv) समी (iii) को (ii) से भाग देने पर,
\( \frac{\frac{n(n-1)}{2} a^{n-2}b^2}{na^{n-1}b} = \frac{30375}{7290} \)
\( \implies \frac{n-1}{2} \frac{b}{a} = \frac{6075}{1458} \)
\( \implies \frac{n-1}{2} \frac{b}{a} = \frac{675}{162} = \frac{75}{18} = \frac{25}{6} \) ... (v) समी. (iv) को (v) से भाग देने पर,
\( \frac{n \frac{b}{a}}{\frac{n-1}{2} \frac{b}{a}} = \frac{10}{\frac{25}{6}} \)
\( \implies \frac{n}{\frac{n-1}{2}} = \frac{10 \times 6}{25} \)
\( \implies \frac{2n}{n-1} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5} \)
\( \implies 10n = 12(n-1) \)
\( \implies 10n = 12n - 12 \)
\( \implies 2n = 12 \)
\( \implies n = 6 \) \( n=6 \) का मान समी (iv) में रखने पर,
\( 6 \frac{b}{a} = 10 \)
\( \implies \frac{b}{a} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \)
\( \implies b = \frac{5}{3}a \) समी. (i) से,
\( a^n = 729 \)
\( a^6 = 729 \) या \( a^6 = 3^6 \)
\( \implies a = 3 \) अब
\( b = \frac{5}{3} \times 3 \)
\( \implies b = 5 \) अत: \( a = 3, b = 5, \) तथा \( n = 6 \).
In simple words: द्विपद विस्तार के पहले तीन पदों के दिए गए मानों का उपयोग करके, हमने \( a, b \) और \( n \) को शामिल करने वाले तीन समीकरण स्थापित किए। इन समीकरणों को हल करने से हमें \( n=6, a=3, \) और \( b=5 \) के मान प्राप्त हुए।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए, द्विपद प्रमेय के सामान्य पदों के सूत्रों का उपयोग करें और फिर \( {}^nC_r \) के गुणों का उपयोग करके प्राप्त समीकरणों को व्यवस्थित रूप से हल करें।

Question 2. यदि \( (3 + ax)^9 \) के प्रसार में \( x^2 \) और \( x^3 \) के गुणांक समान हों, तो \( a \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हल :
\( (3 + ax)^9 \) के प्रसार में व्यापक पद \( = {}^9C_r 3^{9-r} (ax)^r \)
\( = {}^9C_r 3^{9-r} a^r x^r \) \( r = 2 \) रखने से, \( x^2 \) का गुणांक \( = {}^9C_2 3^{9-2} a^2 \)
\( = {}^9C_2 3^7 a^2 \)
\( = \frac{9 \times 8}{1 \times 2} \times 3^7 a^2 \)
\( = 36 \cdot 3^7 a^2 \) ... (i) \( r = 3 \) रखने से, \( x^3 \) का गुणांक \( = {}^9C_3 3^{9-3} a^3 \)
\( = {}^9C_3 3^6 a^3 \)
\( = \frac{9 \times 8 \times 7}{1 \times 2 \times 3} \times 3^6 a^3 \)
\( = 84 \cdot 3^6 a^3 \) ... (ii) दोनों गुणांक समान हैं। \( \implies \) (i) और (ii) से,
\( 36 \cdot 3^7 a^2 = 84 \cdot 3^6 a^3 \)
\( \implies a = \frac{36 \cdot 3^7}{84 \cdot 3^6} \)
\( \implies a = \frac{36 \cdot 3}{84} \)
\( \implies a = \frac{108}{84} = \frac{9}{7} \).
In simple words: हमने \( (3+ax)^9 \) के विस्तार में \( x^2 \) और \( x^3 \) के गुणांकों के लिए व्यंजक लिखे। फिर, इन गुणांकों को बराबर करके, हमने \( a \) के लिए एक समीकरण हल किया और उसका मान \( \frac{9}{7} \) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: \( x^m \) और \( x^n \) के गुणांकों को बराबर करने वाले प्रश्नों में, व्यापक पद \( T_{r+1} \) का उपयोग करें और फिर \( r \) के सही मानों के लिए गुणांकों को स्थापित करें। सरल करते समय सभी शर्तों पर ध्यान दें।

Question 3. द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए गुणनफल \((1 + 2x)^6 (1 - x)^7\) में \(x^5\) का गुणांक ज्ञात कीजिए।
Answer:हल : \((1+2x)^6 = 1 + ^6C_1 (2x) + ^6C_2 (2x)^2 + ^6C_3 (2x)^3 + ^6C_4 (2x)^4 + ^6C_5 (2x)^5 +...\) \(= 1 + 12x + 60 x^2 + 160x^3 + 240x^4 + 192x^5 +....\) और \((1 - x)^7 = 1 - ^7C_1 x + ^7C_2 x^2 - ^7C_3 x^3 + ^7C_4 x^4 - ^7C_5 x^5 +...\) \(= 1-7x + 21x^2 - 35x^3 + 35x^4 - 21x^5 +...\) इन दोनों के गुणनफल में से \(x^5\) के गुणांक का चयन करते हुए \(x^5\) का गुणांक \(= 192 - 7 \times 240 + 21 \times 160 - 35 \times 60 + 35 \times 12 - 21 \times 1\) \(= 192 - 1680 + 3360 - 2100 + 420 - 21\) \(= 171\).
In simple words: To find the coefficient of \(x^5\) in the product of two binomial expansions, we expand both binomials separately up to the \(x^5\) term. Then, we multiply terms from each expansion that result in \(x^5\) and sum their coefficients to get the final answer.

🎯 Exam Tip: When dealing with products of binomial expansions, carefully list out the terms from each expansion that contribute to the desired power of \(x\). Pay close attention to signs and combination calculations to avoid errors.

Question 4. यदि \(a\) और \(b\) भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि \(a^n – b^n\) का एक गुणनखंड \((a – b)\) है, जबकि \(n\) एक धन पूर्णांक है।
Answer:हल : माना \(a = b + (a - b)\) तब \(a^n = [b + (a - b)]^n\) द्विपद प्रमेय का प्रयोग करने पर: \(= b^n + ^nC_1 b^{n-1} (a - b) + ^nC_2 b^{n-2}(a - b)^2 + ....... + ^nC_n (a - b)^n\)
\( \implies a^n – b^n = ^nC_1 b^{n-1} (a - b) + ^nC_2 b^{n-2} (a - b)^2 + ....... + ^nC_n (a - b)^n\) \(= (a - b) [^nC_1 b^{n-1} + ^nC_2 b^{n-2} (a - b) +.......+ ^nC_n (a - b)^{n-1}]\) अतः स्पष्ट है क़ि \(a^n - b^n\) का \(a - b\) एक गुणनखण्ड है।
In simple words: We express 'a' as 'b + (a-b)' and expand \(a^n\) using the binomial theorem. By isolating \(b^n\) and factoring out \((a-b)\) from the remaining terms, we demonstrate that \((a-b)\) is a factor of \(a^n - b^n\).

🎯 Exam Tip: This proof illustrates a fundamental property often tested in algebraic manipulations. Ensure clear binomial expansion steps and proper factorization of the common term \((a-b)\).

Question 5. \((√3 + √2)^6 – (√3 – √2)^6\) का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer:हल : \((a + b)^6\) और \((a - b)^6\) का प्रसार करने पर, \((a + b)^6 = a^6 + ^6C_1 a^5 b + ^6C_2 a^4 b^2 + ^6C_3 a^3 b^3 + ^6C_4 a^2 b^4 + ^6C_5 ab^5 + ^6C_6 b^6\) \(= a^6 + 6a^5b + 15a^4 b^2 + 20a^3 b^3 + 15a^2 b^4 + 6ab^5 + b^6\) ...(i) इसी प्रकार \((a - b)^6 = a^6 - 6a^5b + 15a^4b^2 - 20a^3b^3 + 15a^2b^4 - 6ab^5 + b^6\) ...(ii) समी. (i) में से (ii) घटाने पर \((a + b)^6 - (a - b)^6 = 2 (6a^5b + 20a^3 b^3 + 6ab^5)\) \(= 4ab (3a^4 + 10 a^2b^2 + 3b^4)\) इसमें \(a = √3, b = √2\) रखने पर \((√3+√2)^6 - (√3-√2)^6 = 4√3√2 [3(√3)^4 +10 (√3)² (√2)² +3 (√2)^4]\) \(= 4√6 (3 \times 9 + 10 \times 3 \times 2 + 3 \times 4)\) \(= 4√6 (27+60 + 12)\) \(= 4√6 \times 99 = 396√6\).
In simple words: We use the binomial theorem to expand \((a+b)^6\) and \((a-b)^6\). Subtracting the two expansions simplifies the expression significantly, allowing us to substitute \(a=\sqrt{3}\) and \(b=\sqrt{2}\) into the simplified form and calculate the result.

🎯 Exam Tip: Recognizing the pattern \((a+b)^n - (a-b)^n\) which results in twice the sum of odd-indexed terms (or even-indexed terms, depending on n) is crucial for simplifying such problems. This shortcut saves time and reduces calculation errors.

Question 6. \((a^2+√a^2-1)^4 + (a^2-√a^2-1)^4\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:हल : \(a^2 = x, √a^2-1 = y\) रखने पर \((x + y)^4 = x^4 + ^4C_1 x^3 y + ^4C_2 x^2 y^2 + ^4C_3 xy^3 + ^4C_4 y^4\) \(= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\) इसी प्रकार \((x - y)^4 = x^4 - 4x^3 y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4\) दोनों को जोड़ने पर \((x + y)^4 + (x - y)^4 = 2 (x^4 + 6x^2y^2 + y^4)\) \(x\) और \(y\) का मान रखने पर \((a^2+√a^2-1)^4 + (a^2-√a^2-1)^4 = 2 [(a^2)^4 + 6(a^2)^2 (√a^2-1)^2 + (√a^2-1)^4]\) \(= 2 [a^8+6a^4 (a^2-1) + (a^2 - 1)^2]\) \(= 2 [a^8 + 6a^6-6a^4 + a^4-2a^2+1]\) \(= 2 [a^8 + 6a^6-5a^4-2a^2 + 1]\) \(= 2a^8 + 12a^6-10a^4-4a^2 + 2\).
In simple words: By substituting \(x=a^2\) and \(y=\sqrt{a^2-1}\), the expression takes the form \((x+y)^4 + (x-y)^4\). Expanding this using the binomial theorem and adding them eliminates odd-powered terms of 'y', simplifying the calculation before substituting back the original values.

🎯 Exam Tip: Using substitution to simplify complex expressions into a standard binomial form is a powerful technique. Remember that \((A+B)^n + (A-B)^n\) often simplifies to twice the sum of terms with even powers of B (or A).

Question 7. \((0.99)^5\) प्रसार के पहले 3 पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।
Answer:हलः \((0.99)^5 = (1 - 0.01)^5\) द्विपद प्रमेय के पहले 3 पदों का प्रयोग करने पर: \(= 1 - ^5C_1 (0.01) + ^5C_2 \times (0.01)^2 +....\) \(= 1 - 5 \times 0.01 + 10 \times 0.0001\) \(= 1 - 0.05 + 0.001\) \(= 1.001 - 0.05\) \(= 0.951\).
In simple words: We rewrite \(0.99\) as \((1 - 0.01)\) and use the binomial theorem to expand \((1 - 0.01)^5\). By considering only the first three terms of this expansion, we can quickly find an approximate value.

🎯 Exam Tip: For approximations using the binomial theorem, write the number in the form \((1 \pm x)^n\) where \(x\) is a small value. Typically, only the first few terms are needed for a good estimate, as higher powers of small \(x\) become negligible.

Question 8. यदि \(\left(\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n\) के प्रसार में आरम्भ से 5वें और अंत से 5वें पद का अनुपात \(\sqrt{6}: 1\) हो, तो \(n\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:हल : \(\left(\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n\) के प्रसार में आरंभ से 5वां पद (\(T_{4+1}\)) \(= ^nC_4 (\sqrt{2})^{n-4}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^4\) \(= ^nC_4 2^{\frac{n-4}{2}} \frac{1}{3^2}\) \(= ^nC_4 2^{\frac{n-4}{2}} \frac{1}{9}\) ...(i) दिए गए व्यंजक के प्रसार में \(n + 1\) पद हैं। अंत से 5 वाँ पद, प्रारंभ से \(((n + 1) - 5 + 1)\) वाँ पद होगा, जो कि \((n - 3)\) वाँ पद है। \(T_{n-3} = T_{(n-4)+1} = ^nC_{n-4} (\sqrt{2})^{n-(n-4)} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n-4}\)
\( \implies = ^nC_{n-4} (\sqrt{2})^4 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n-4}\)
\( \implies = ^nC_4 (\sqrt{2})^4 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n-4}\) [ \(\because ^nC_r = ^nC_{n-r}\) ]
\( \implies = ^nC_4 \cdot 2^2 \cdot \frac{1}{3^{\frac{n-4}{2}}}\)
\( \implies = ^nC_4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{3^{\frac{n-4}{2}}}\) ...(ii) समी. (i) को (ii) से भाग देने पर प्रारंभ से 5वाँ पद / अंत से 5वाँ पद \(= \frac{^nC_4 2^{\frac{n-4}{2}} \frac{1}{9}}{^nC_4 4 \frac{1}{3^{\frac{n-4}{2}}}}\) दिया गया अनुपात \(= \frac{\sqrt{6}}{1}\) है।
\( \implies \frac{2^{\frac{n-4}{2}} \frac{1}{9}}{4 \frac{1}{3^{\frac{n-4}{2}}}} = \frac{\sqrt{6}}{1}\)
\( \implies \frac{2^{\frac{n-4}{2}}}{9} \times \frac{3^{\frac{n-4}{2}}}{4} = \sqrt{6}\)
\( \implies \frac{(2 \cdot 3)^{\frac{n-4}{2}}}{36} = \sqrt{6}\)
\( \implies \frac{6^{\frac{n-4}{2}}}{6^2} = 6^{\frac{1}{2}}\)
\( \implies 6^{\frac{n-4}{2}-2} = 6^{\frac{1}{2}}\) अर्थात् \(\frac{n-4}{2} - 2 = \frac{1}{2}\)
\( \implies \frac{n-4-4}{2} = \frac{1}{2}\)
\( \implies n-8 = 1\)
\( \implies n = 9\).
In simple words: We calculate the 5th term from the beginning and the 5th term from the end of the binomial expansion. Then, we set their ratio equal to \(\sqrt{6}:1\) and solve the resulting equation for \(n\).

🎯 Exam Tip: Remember that the r-th term from the end of a binomial expansion with \((n+1)\) terms is the \((n-r+2)\)-th term from the beginning. Also, utilize the property \((ab)^m = a^m b^m\) and \((a^p)^q = a^{pq}\) for simplifying exponents.

Question 9. \(\left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^4\), \(x \ne 0\) का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
Answer:हल : \(\left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^4 = \left[\left(1+\frac{x}{2}\right)-\frac{2}{x}\right]^4\) \(= \left(1+\frac{x}{2}\right)^4 + ^4C_1 \left(1+\frac{x}{2}\right)^3 \left(-\frac{2}{x}\right) + ^4C_2 \left(1+\frac{x}{2}\right)^2 \left(-\frac{2}{x}\right)^2 + ^4C_3 \left(1+\frac{x}{2}\right) \left(-\frac{2}{x}\right)^3 + ^4C_4 \left(-\frac{2}{x}\right)^4\) \(= \left(1+\frac{x}{2}\right)^4 + 4 \left(1+\frac{x}{2}\right)^3 \left(-\frac{2}{x}\right) + 6 \left(1+\frac{x}{2}\right)^2 \left(\frac{4}{x^2}\right) + 4 \left(1+\frac{x}{2}\right) \left(-\frac{8}{x^3}\right) + \left(\frac{16}{x^4}\right)\) अब \(\left(1+\frac{x}{2}\right)^4\), \(\left(1+\frac{x}{2}\right)^3\), \(\left(1+\frac{x}{2}\right)^2\), \(\left(1+\frac{x}{2}\right)\) का प्रसार करने पर \(= \left(1+4\left(\frac{x}{2}\right)+6\left(\frac{x}{2}\right)^2+4\left(\frac{x}{2}\right)^3+\left(\frac{x}{2}\right)^4\right) - \frac{8}{x} \left(1+3\left(\frac{x}{2}\right)+3\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{x}{2}\right)^3\right) + \frac{24}{x^2} \left(1+2\left(\frac{x}{2}\right)+\left(\frac{x}{2}\right)^2\right) - \frac{32}{x^3} \left(1+\frac{x}{2}\right) + \frac{16}{x^4}\) \(= \left(1+2x+\frac{3x^2}{2}+\frac{x^3}{2}+\frac{x^4}{16}\right) - \left(\frac{8}{x}+12+6x+x^2\right) + \left(\frac{24}{x^2}+\frac{24}{x}+6\right) - \left(\frac{32}{x^3}+\frac{16}{x^2}\right) + \frac{16}{x^4}\) \(= 1+2x+\frac{3x^2}{2}+\frac{x^3}{2}+\frac{x^4}{16} - \frac{8}{x}-12-6x-x^2 + \frac{24}{x^2}+\frac{24}{x}+6 - \frac{32}{x^3}-\frac{16}{x^2} + \frac{16}{x^4}\) पदों को एकत्रित करने पर: \(= \frac{x^4}{16} + \frac{x^3}{2} + \left(\frac{3}{2}-1\right)x^2 + (2-6)x + (1-12+6) + \left(-\frac{8}{x}+\frac{24}{x}\right) + \left(\frac{24}{x^2}-\frac{16}{x^2}\right) - \frac{32}{x^3} + \frac{16}{x^4}\) \(= \frac{x^4}{16} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^2}{2} - 4x - 5 + \frac{16}{x} + \frac{8}{x^2} - \frac{32}{x^3} + \frac{16}{x^4}\).
In simple words: To expand a trinomial raised to a power, we group two terms together, treating the expression as a binomial. Then, we apply the binomial theorem, expand the grouped terms, and finally collect like terms to simplify the entire expression.

🎯 Exam Tip: When expanding trinomials, choose the grouping that simplifies intermediate calculations. Be methodical in expanding each binomial term and meticulous in collecting like terms based on powers of \(x\).

Question 10. \((3x^2 – 2ax + 3a^2)^3\) का द्विपद प्रमेय से प्रसार ज्ञात कीजिए।
Answer:हल : \([3x^2- a(2x – 3a)]^3\) \(= (3x^2)^3 - ^3C_1 (3x^2)^2 \cdot a(2x-3a) + ^3C_2 (3x^2) \cdot a^2(2x-3a)^2 - a^3(2x – 3a)^3\) \(= 27x^6-3 \times 9x^4 \cdot a(2x-3a) + 3 \times 3x^2 \cdot a^2(4x^2 - 12a x + 9a^2) - a^3(8x^3-3 \times 4x^2 \times 3a + 3 \times 2x \times 9a^2 – 27 a^3)\) \(= 27x^6 - 54ax^5 + 81 a^2 x^4 + 36 a^2 x^4 - 108a^3 x^3 + 81a^4x^2 - 8 a^3x^3 + 36 a^4 x^2 - 54a^5x + 27a^6\) \(= 27x^6-54ax^5 + 117a^2 x^4 - 116a^3x^3 + 117a^4x^2-54a^5x + 27a^6\).
In simple words: This problem involves expanding a trinomial cube. We group it as a binomial and apply the binomial theorem for the cube, then expand the resulting quadratic terms and combine all like terms to get the final expanded form.

🎯 Exam Tip: For complex expansions like this, careful organization of terms and meticulous multiplication is key. Be especially vigilant with negative signs and combining powers of both \(x\) and \(a\) correctly.