UP Board Solutions Class 11 Maths Chapter 7 Permutations and Combinations

प्रश्नावली 7.1

Question 1. अंक 1, 2, 3, 4 और 5 से कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि
(i) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो ।
(ii) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो।
Answer: 3 अंकीय संख्या में 3 स्थान होते हैं : इकाई, दहाई और सैकड़ा ।
(i) इकाई का स्थान 5 तरीकों से भरा जा सकता है क्योंकि 1, 2, 3, 4, 5 में से कोई भी एक अंक लिया जा सकता है। दहाई का स्थान भी 5 तरीकों से भरा जा सकता है क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है। 1, 2, 3, 4, 5 में से कोई भी अंक लिया जा सकता है। इसी प्रकार सैकड़े का स्थान भी 5 तरीकों से भरा जा सकता है। 3 अंकीय संख्याओं की संख्या \( = 5 \times 5 \times 5 = 125 \).
(ii) इकाई का स्थान 1, 2, 3, 4, 5 में से कोई-से एक अंक को लेकर 5 तरीकों से भरा जा सकता है। दहाई का स्थान 4 तरीकों से भरा जा सकता है क्योंकि एक अंक पहले ही चयनित कर लिया गया। पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है। सैकड़े का स्थान 3 तरीकों से भरा जा सकता है क्योंकि 2 अंक पहले ही चयनित कर लिए गए हैं। 3 अंकीय संख्याओं की संख्या \( = 5 \times 4 \times 3 = 60 \).
In simple words: 3-अंकीय संख्याएँ बनाते समय, अगर अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है, तो प्रत्येक स्थान (इकाई, दहाई, सैकड़ा) के लिए 5 विकल्प होते हैं, जिससे कुल 125 संख्याएँ बनती हैं। यदि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, तो प्रत्येक स्थान के लिए विकल्प कम होते जाते हैं, जिससे कुल 60 संख्याएँ बनती हैं।

🎯 Exam Tip: पुनरावृत्ति की अनुमति (with replacement) और पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं (without replacement) के अंतर को स्पष्ट रूप से समझें, क्योंकि यह विकल्पों की संख्या को सीधे प्रभावित करता है।

 

Question 2. अंकः1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकेती है?
Answer: इकाई का स्थान 2, 4, 6 में से एक को लेकर 3 तरीकों से भरा जा सकता है। क्योंकि पुनरावृत्ति की जा सकती है, दहाई का स्थान 6 तरीकों से भरा जा सकता है। इसी प्रकार सैकड़े का स्थान भी 6 तरीकों से ही भरा जा सकता है। 3 अंकीय संख्याओं की संख्या \( = 6 \times 6 \times 3 = 108 \).
In simple words: एक 3-अंकीय सम संख्या बनाने के लिए, इकाई का अंक 2, 4 या 6 होना चाहिए (3 विकल्प)। चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है, इसलिए दहाई और सैकड़ा दोनों स्थानों के लिए 6-6 विकल्प होंगे, जिससे कुल 108 संख्याएँ बनती हैं।

🎯 Exam Tip: सम संख्या के लिए इकाई के अंक पर ध्यान दें। पुनरावृत्ति की अनुमति होने पर प्रत्येक स्थान स्वतंत्र रूप से भरा जा सकता है।

 

Question 3. अंग्रेजी वर्णमाला के प्रथम 10 अक्षरों से कितने 4 अक्षरों के कोड बनाए जा सकते हैं, यदि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती?
Answer: 4 अक्षरों वाले कोड में 4 स्थान हैं। प्रत्येक अक्षर के लिए एक स्थान चाहिए। पहले स्थान को 10 तरीकों से, दूसरे स्थान को 9 तरीकों से, तीसरे स्थान को 8 तरीकों से और चौथे स्थान को 7 तरीकों से भर सकते हैं क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है। एक अक्षर दुबारा नहीं लिखा जा सकता। चार अक्षर वाले कोडों की संख्या \( = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040 \).
In simple words: 4-अक्षरों का कोड बनाने के लिए, पहले स्थान के लिए 10 विकल्प हैं। क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, दूसरे स्थान के लिए 9, तीसरे के लिए 8 और चौथे के लिए 7 विकल्प बचते हैं, जिससे कुल 5040 कोड बनते हैं।

🎯 Exam Tip: जब पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं होती है, तो प्रत्येक अगले स्थान के लिए विकल्पों की संख्या एक कम होती जाती है।

 

Question 4. 0 से 9 तक के अंकों का प्रयोग करके कितने 5 अंकीय टेलीफोन नम्बर बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक नम्बर 67 से आरम्भ होता है और कोई अंक एक बार से अधिक नहीं आता है?
Answer: पांच अंकीय नम्बर में 5 स्थान हैं जिसमें पहले और दूसरे को। और II से निरूपित किया गया है । I और II स्थान पर 6 और 7 को रखा गया है। शेष 8 अंकों में से एक-एक अंक लेकर I, IV और V स्थान को भरना है। स्थान III को 8 तरीकों से, स्थान IV को 7 तरीकों से तथा स्थान V को 6 तरीकों से भर सकते है। 5 अंकीय टेलीफोन नम्बरों की संख्या \( = 8 \times 7 \times 6 = 336 \).
In simple words: यदि 5-अंकीय टेलीफोन नंबर 67 से शुरू होता है और अंकों की पुनरावृत्ति नहीं हो सकती, तो पहले दो स्थान निश्चित हैं। शेष तीन स्थानों के लिए, बचे हुए 8 अंकों में से क्रमशः 8, 7 और 6 विकल्प होते हैं, जिससे कुल 336 नंबर बनते हैं।

🎯 Exam Tip: दी गई शर्तों (जैसे '67 से आरंभ') को पहले संतुष्ट करें, फिर बचे हुए स्थानों के लिए पुनरावृत्ति न होने की शर्त के अनुसार विकल्पों की संख्या कम करते जाएं।

 

Question 5. एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है और परिणाम अंकित कर लिए जाते हैं। परिणामों की संभव संख्या क्या है?
Answer: एक बार सिक्का उछालने से दो में से एक भाग ऊपर आता है अर्थात T या H जबकि H चित्त और T पट को निरूपित करते हैं। एक बार सिक्का उछालने से दो परिणाम होते हैं। तीन बार सिक्का उछालने से \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \) परिणाम होंगे । ये परिणाम इस प्रकार है : TTT, TTH, THT, HTT, HHT, HTH, THH, HHH
In simple words: एक सिक्के को तीन बार उछालने पर, प्रत्येक उछाल के दो संभव परिणाम (चित्त या पट) होते हैं। चूंकि उछाल स्वतंत्र हैं, तो कुल परिणामों की संख्या \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \) होगी।

🎯 Exam Tip: स्वतंत्र घटनाओं की कुल संख्या निकालने के लिए प्रत्येक घटना के परिणामों की संख्या को गुणा करें।

 

Question 6. भिन्न-भिन्न रंगों के 5 झंडे दिए हुए हैं। इससे कितने विभिन्न संकेत बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक संकेत में 2 झंडों, एक के नीचे दूसरे के प्रयोग की आवश्यक पड़ती है?
Answer: झंडे के ऊपर का स्थान भरने के 5 तरीके हैं। एक झंडा प्रयोग होने के बाद 4 झंडे रह जाते हैं। नीचे का दूसरा स्थान 4 तरीकों से भरा जा सकता है। कुल संकेतों की संख्या \( = 5 \times 4 = 20 \).
In simple words: 5 अलग-अलग रंगों के झंडों में से 2 झंडों का उपयोग करके संकेत बनाने के लिए, पहले स्थान के लिए 5 विकल्प हैं। एक झंडे का उपयोग हो जाने के बाद, दूसरे स्थान के लिए 4 विकल्प बचते हैं, जिससे कुल \( 5 \times 4 = 20 \) विभिन्न संकेत बनते हैं।

🎯 Exam Tip: यह क्रमचय का एक सीधा उदाहरण है जहाँ वस्तुएँ भिन्न हैं और पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है।

प्रश्नावली 7.2

Question 1. मान निकालिए:
(i) 8!
(ii) 4! - 3!
Answer:
(i) \( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \).
(ii) \( 4! - 3! = (4 \times 3 \times 2 \times 1) - (3 \times 2 \times 1) = 24 - 6 = 18 \).
In simple words: 8! का अर्थ है 8 से 1 तक की सभी पूर्णांक संख्याओं का गुणनफल, जो 40320 होता है। 4! - 3! का अर्थ है 4! (24) में से 3! (6) को घटाना, जिसका परिणाम 18 होता है।

🎯 Exam Tip: फैक्टोरियल की गणना सही ढंग से करें और योग/घटाव जैसे संक्रियाओं में फैक्टोरियल को सीधे जोड़ने या घटाने से बचें।

 

Question 2. क्या \( 3! + 4! = 7! \)
Answer: बायाँ पक्ष \( = 3! + 4! = (3 \times 2 \times 1) + (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 6 + 24 = 30 \).
दायाँ पक्ष \( = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \).
अतः \( 3! + 4! \neq 7! \).
In simple words: नहीं, \( 3! + 4! \) 7! के बराबर नहीं है। \( 3! + 4! \) का मान 30 है, जबकि \( 7! \) का मान 5040 है।

🎯 Exam Tip: फैक्टोरियल के गुणधर्मों को याद रखें; \( n! + m! \neq (n+m)! \) सामान्यतः। प्रत्येक फैक्टोरियल का मान अलग-अलग निकाल कर तुलना करें।

 

Question 3. \( \frac{8!}{6! \times 2!} \) का परिकलन कीजिए ।
Answer:
\[ \frac{8!}{6! \times 2!} \] \[ = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} \] \[ = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \] \[ = \frac{56}{2} \] \[ = 28 \]In simple words: \( \frac{8!}{6! \times 2!} \) का मान निकालने के लिए, हम 8! को \( 8 \times 7 \times 6! \) के रूप में लिखते हैं, जिससे \( 6! \) अंश और हर से कट जाता है। फिर \( \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \) बचता है, जिसका परिणाम 28 आता है।

🎯 Exam Tip: फैक्टोरियल वाले भिन्नों को सरल करते समय, बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखें ताकि वे एक-दूसरे से कट सकें।

 

Question 4. यदि \( \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} = \frac{x}{8!} \), तो \( x \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
\[ \frac{x}{8!} = \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} \] \[ = \frac{1}{6!} + \frac{1}{7 \times 6!} \] \[ = \frac{7 + 1}{7 \times 6!} \] \[ = \frac{8}{7 \times 6!} \] \[ = \frac{8 \times 8}{8 \times 7 \times 6!} \] \[ = \frac{64}{8!} \]
\( \implies \frac{x}{8!} = \frac{64}{8!} \)
\( \implies x = 64 \).
In simple words: समीकरण को हल करने के लिए, हम 6! और 7! को 8! के हर में परिवर्तित करते हैं। दोनों पक्षों के हर में 8! होने पर, अंशों की तुलना करके \( x \) का मान 64 प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: फैक्टोरियल वाले समीकरणों में, सभी पदों को सबसे बड़े या सबसे छोटे फैक्टोरियल के सामान्य हर में बदलने का प्रयास करें।

 

Question 5. \( \frac{n!}{(n-r)!} \) का मान निकालिए जबकि
(i) \( n = 6, r = 2 \)
(ii) \( n = 9, r = 5 \)
Answer:
(i)
\[ \frac{n!}{(n-r)!} = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} \] \[ = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \] \[ = 6 \times 5 = 30. \]
(ii)
\[ \frac{n!}{(n-r)!} = \frac{9!}{(9-5)!} = \frac{9!}{4!} \] \[ = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \] \[ = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 15120. \]In simple words: यह क्रमचय \( ^nP_r \) का सूत्र है। \( n \) और \( r \) के दिए गए मानों को सूत्र में रखकर गणना की जाती है। पहले मामले में 30 और दूसरे में 15120 मान प्राप्त होते हैं।

🎯 Exam Tip: \( ^nP_r \) के सूत्र को याद रखें और इसे छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखकर गणना को सरल बनाएं।

प्रश्नावली 7.3

Question 1. 1 से 9 तक के अंकों को प्रयोग करके कितनी 3 अंकीय संख्याएं बनाई जा सकती हैं, यदि किसी भी अंक को दोहराया नहीं गया है?
Answer: 3 अंकीय संख्या में तीन स्थान होते हैं: इकाई, दहाई और सैकड़ा । इकाई के स्थान को 9 तरीकों से, दहाई के स्थान को 8 तरीकों से और सैकड़े के स्थान को 7 तरीकों से भरा जा सकता है। 3 अंकीय संख्याओं की संख्या \( = 9 \times 8 \times 7 = 504 \).
In simple words: 1 से 9 तक के अंकों का उपयोग करके बिना दोहराव के 3-अंकीय संख्याएँ बनाने के लिए, सैकड़ा स्थान पर 9 विकल्प, दहाई स्थान पर 8 विकल्प और इकाई स्थान पर 7 विकल्प होते हैं, जिससे कुल 504 संख्याएँ बनती हैं।

🎯 Exam Tip: जब पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं होती है, तो प्रत्येक स्थान को भरने के बाद उपलब्ध विकल्पों की संख्या कम होती जाती है।

 

Question 2. किसी भी अंक को दोहराए बिना कितनी 4 अंकीय संख्याएँ होती हैं?
Answer: 0 से 9 तक कुल 10 अंक हैं। 10 में से 4 अंक लेकर संख्याओं की संख्या \( = ^{10}P_4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040 \). इनमें वे संख्याएं सम्मिलित हैं जिनमें हजार के स्थान पर 0 है। 0 को हजार के स्थान पर रखने पर और शेष स्थानों पर कोई तीन अंक रखने पर कुल संख्याओं की संख्या \( = ^9P_3 = 9 \times 8 \times 7 = 504 \). चार अंकीय संख्याओं की संख्या \( = 5040 - 504 = 4536 \).
In simple words: बिना दोहराव के 4-अंकीय संख्याएँ बनाने के लिए, कुल 5040 व्यवस्थाओं में से उन 504 व्यवस्थाओं को घटाया जाता है जो 0 से शुरू होती हैं (जो कि 3-अंकीय संख्याएँ होती हैं), जिससे कुल 4536 वैध 4-अंकीय संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

🎯 Exam Tip: जब 0 शामिल हो और संख्या के अंकीय मान पर प्रतिबंध हो (जैसे 4-अंकीय संख्या), तो 0 से शुरू होने वाली अमान्य व्यवस्थाओं को कुल से घटाना याद रखें।

 

Question 3. अंक 1, 2, 3, 4, 6, 7 को प्रयुक्त करने से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है?
Answer: 2, 4, 6 में से किसी एक को इकाई के स्थान पर रखने से सम संख्या बनती है। इकाई का स्थान 3 तरीकों से भरा जा सकता है। दहाई के स्थान को 5 तरीकों से और सैकड़े के स्थान को 4 तरीकों से भरा जा सकता है। 3 अंकीय सम संख्याओं की संख्या \( = 3 \times 5 \times 4 = 60 \).
In simple words: इन अंकों से 3-अंकीय सम संख्याएँ बनाने के लिए, इकाई के स्थान पर 2, 4, या 6 में से कोई एक अंक रखा जा सकता है (3 विकल्प)। शेष दो स्थानों को बचे हुए अंकों से बिना दोहराव के भरने पर कुल 60 सम संख्याएँ बनती हैं।

🎯 Exam Tip: सम संख्या या विषम संख्या के प्रतिबंध को हमेशा पहले हल करें, क्योंकि यह इकाई के अंक के विकल्पों को सीमित करता है।

 

Question 4. अंक 1, 2, 3, 4, 5 के उपयोग द्वारा कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं। यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है? इनमें से कितनी सम संख्याएँ होंगी?
Answer:
(i) 5 में से 4 अंक लेकर संख्याओं की संख्या \( = ^5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120 \).
(ii) इकाई के स्थान पर 2 या 4 रखने से संख्या सम बनती है। इस प्रकार इकाई का स्थान 2 तरीकों से, दहाई का स्थान 4 तरीकों से, सैकड़े का स्थान 3 तरीकों से और हजार का स्थान 2 तरीकों से भरा जा सकता है। 4 अंकीय सम संख्याओं की संख्या \( = 2 \times 4 \times 3 \times 2 = 48 \).
In simple words: इन अंकों से बिना दोहराव के 4-अंकीय संख्याएँ बनाने के लिए 120 तरीके हैं। इनमें से सम संख्याएँ वे होंगी जिनकी इकाई का अंक 2 या 4 हो। इन प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए, 48 सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

🎯 Exam Tip: पुनरावृत्ति के बिना गणना करते समय, पहले विशिष्ट शर्तों (जैसे सम/विषम) वाले स्थान को भरें, फिर बचे हुए स्थानों के लिए क्रमचय नियम लागू करें।

 

Question 5. 8 व्यक्तियों की समिति में, हम कितने प्रकार से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष चुन सकते हैं, यह मानते हुए कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है?
Answer: 8 व्यक्तियों में से एक को अध्यक्ष चुनने के तरीके = 8 अध्यक्ष चुनने के बाद 7 व्यक्तियों में से एक उपाध्यक्ष चुना जाना है। उपाध्यक्ष चुनने के तरीके = 7 एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष को \( 8 \times 7 = 56 \) तरीकों से चुना जा सकता है।
In simple words: 8 व्यक्तियों में से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष चुनने के लिए, पहले अध्यक्ष के लिए 8 विकल्प हैं। चूंकि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता, उपाध्यक्ष के लिए शेष 7 व्यक्तियों में से एक विकल्प होगा, जिससे कुल \( 8 \times 7 = 56 \) तरीके बनते हैं।

🎯 Exam Tip: यह क्रमचय का एक सीधा अनुप्रयोग है, जहाँ पद भिन्न-भिन्न होते हैं और एक व्यक्ति एक से अधिक पद नहीं ले सकता (यानी पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं)।

 

Question 6. यदि \( ^{n-1}P_3 : ^nP_4 = 1 : 9 \) तो \( n \) ज्ञात कीजिए।
Answer: हम जानते हैं कि
\[ ^nP_r = n(n-1)...(n-r+1) \] \[ ^{n-1}P_3 = (n-1)(n-2)(n-3) \] \[ ^nP_4 = n(n-1)(n-2)(n-3) \] `\[ \frac{^{n-1}P_3}{^nP_4} = \frac{1}{9} \]`
\( \implies \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{n(n-1)(n-2)(n-3)} = \frac{1}{9} \)
\( \implies \frac{1}{n} = \frac{1}{9} \)
\( \implies n = 9 \).
In simple words: \( ^nP_r \) के सूत्र का उपयोग करके दिए गए अनुपात को सरल किया जाता है। अंश और हर में सामान्य पदों को रद्द करने के बाद, \( \frac{1}{n} = \frac{1}{9} \) का एक साधारण समीकरण प्राप्त होता है, जिससे \( n = 9 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: क्रमचय के अनुपात वाले प्रश्नों में, \( ^nP_r \) के विस्तारित रूप का उपयोग करके सामान्य पदों को रद्द करने का प्रयास करें।

 

Question 7. \( r \) ज्ञात कीजिए यदि
(i) \( ^5P_r = 2 \cdot ^6P_{r-1} \)
(ii) \( ^5P_r = ^6P_{r-1} \)
Answer:
(i)
\[ ^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} \] \[ ^5P_r = \frac{5!}{(5-r)!} \] \[ \text{और } ^6P_{r-1} = \frac{6!}{(6-(r-1))!} = \frac{6!}{(7-r)!} \] `\[ \frac{5!}{(5-r)!} = 2 \times \frac{6!}{(7-r)!} \]` `\[ \frac{5!}{(5-r)!} = 2 \times \frac{6 \times 5!}{(7-r)(6-r)(5-r)!} \]`
\( \implies 1 = \frac{2 \times 6}{(7-r)(6-r)} \)
\( \implies (7-r)(6-r) = 12 \)
\( \implies 42 - 7r - 6r + r^2 = 12 \)
\( \implies r^2 - 13r + 42 = 12 \)
\( \implies r^2 - 13r + 30 = 0 \)
\( \implies (r-10)(r-3) = 0 \)
\( \implies r = 10 \text{ या } 3 \) \( r \) संख्या 5 से अधिक नहीं हो सकती
\( \implies r \neq 10. \) अतः \( r = 3 \).
(ii)
\[ ^5P_r = \frac{5!}{(5-r)!} \] \[ ^6P_{r-1} = \frac{6!}{(6-(r-1))!} = \frac{6!}{(7-r)!} \] इसका मान \( ^5P_r = ^6P_{r-1} \) में रखने पर `\[ \frac{5!}{(5-r)!} = \frac{6!}{(7-r)!} \]` `\[ \frac{5!}{(5-r)!} = \frac{6 \times 5!}{(7-r)(6-r)(5-r)!} \]`
\( \implies 1 = \frac{6}{(7-r)(6-r)} \)
\( \implies (7-r)(6-r) = 6 \)
\( \implies 42 - 7r - 6r + r^2 = 6 \)
\( \implies r^2 - 13r + 42 = 6 \)
\( \implies r^2 - 13r + 36 = 0 \)
\( \implies (r-9)(r-4) = 0 \)
\( \implies r = 9, 4 \) \( r \neq 9 \) क्योंकि यह 5 से बड़ा है
अतः \( r = 4 \).
In simple words: दोनों भागों में, \( ^nP_r \) सूत्र का उपयोग करके समीकरणों को हल किया जाता है। पहला भाग एक द्विघात समीकरण देता है जिसके हल 10 और 3 हैं, लेकिन \( r \) 5 से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए \( r=3 \)। दूसरा भाग एक और द्विघात समीकरण देता है जिसके हल 9 और 4 हैं, और \( r \) 5 से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए \( r=4 \)।

🎯 Exam Tip: \( ^nP_r \) में \( r \) का मान हमेशा \( n \) के बराबर या उससे कम होना चाहिए। यदि द्विघात समीकरण के एक से अधिक हल हों, तो इस शर्त का उपयोग करके वैध हल चुनें।

 

Question 8. EQUATION शब्द के अक्षरों में से प्रत्येक को तथ्यतः केवल एक बार उपयोग करके कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं?
Answer: शब्द EQUATION में कुल 8 अक्षर हैं। इन अक्षरों से बनने वाले शब्दों (जो अर्थपूर्ण या अर्थहीन हैं) की संख्या \( = \frac{8!}{(8-8)!} = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \).
In simple words: EQUATION शब्द में 8 अलग-अलग अक्षर हैं। यदि प्रत्येक अक्षर का एक बार उपयोग करके शब्द बनाने हों, तो यह 8! (8 फैक्टोरियल) तरीकों से किया जा सकता है, जो 40320 है।

🎯 Exam Tip: जब सभी अक्षर भिन्न हों और सभी अक्षरों का उपयोग करके शब्द बनाने हों, तो कुल तरीकों की संख्या अक्षरों की संख्या का फैक्टोरियल होती है।

 

Question 9. MONDAY शब्द के अक्षरों से कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं, यह मानते हुए कि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जाती है,
(i) एक समय में 4 अक्षर लिए जाते हैं?
(ii) एक समय में सभी अक्षर लिए जाते हैं?
(iii) सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाता है, किन्तु प्रथम अक्षर एक स्वर है?
Answer:
(i) MONDAY शब्द में कुल 6 अक्षर हैं। 6 अक्षरों में से 4 अक्षर एक समय पर लेकर कुल शब्दों की संख्या \( = ^6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 \) जबकि शब्द अर्थपूर्ण या अर्थहीन हो सकते हैं।
(ii) सभी अक्षरों को एक साथ लेकर शब्दों की संख्या \( = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \).
(iii) पहले स्थान पर A या O रखना है। यह दो तरीकों से हो सकता है। शेष 5 स्थान \( 5! = 120 \) तरीकों से भरे जा सकते हैं। उन शब्दों की संख्या जो स्वर से प्रारम्भ होते हैं \( = 2 \times 120 = 240 \).
In simple words: (i) MONDAY के 6 अक्षरों में से 4 का उपयोग करके 360 शब्द बन सकते हैं। (ii) सभी 6 अक्षरों का उपयोग करके 720 शब्द बन सकते हैं। (iii) यदि पहला अक्षर स्वर हो (O या A), तो 240 शब्द बन सकते हैं।

🎯 Exam Tip: अक्षरों की पुनरावृत्ति न होने पर क्रमचय सूत्र \( ^nP_r \) का उपयोग करें। यदि कोई प्रतिबंध (जैसे पहला अक्षर स्वर हो) है, तो पहले उस प्रतिबंध को संतुष्ट करें और फिर शेष के लिए गणना करें।

 

Question 10. MISSISSIPPIशब्द के अक्षरों से बने भिन्न-भिन्न क्रमचयों में से कितनों में चारों I एक साथ नहीं आते हैं?
Answer: शब्द MISSISSIPPI में कुल 11 अक्षर हैं जिसमें M, एक बार; I चार बार; S चार बार, तथा P दो बार प्रयुक्त हो रहे हैं।
इन अक्षरों से बने शब्दों की कुल संख्या \( = \frac{11!}{4!4!2!} \)
मान लीजिए के 4 - I एक साथ हों, तब
कुल अक्षर \( = 8 \) (M, S, S, P, P, I, I, I - 1M, 4S, 2P, 4I, अब 4I को एक इकाई माना तो M, S, S, P, P, (IIII) - 1 M, 4 S, 2 P, 1 (IIII) - 8 अक्षर)
(यहां 4S और 2P की पुनरावृत्ति है)
इन अक्षरों से बनने वाले शब्दों की संख्या जब चारों I एक साथ हों \( = \frac{8!}{4!2!} \)
उन शब्दों की संख्या जब 4, I एक साथ नहीं है
\[ = \frac{11!}{4!4!2!} - \frac{8!}{4!2!} \] \[ = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8!}{4! \times 4! \times 2!} - \frac{8!}{4! \times 2!} \] \[ = \frac{8!}{4!2!} \left( \frac{11 \times 10 \times 9}{4!} - 1 \right) \] \[ = \frac{8!}{4!2!} \left( \frac{990}{24} - 1 \right) \] \[ = \frac{8!}{4!2!} \left( \frac{990 - 24}{24} \right) \] \[ = \frac{8!}{4!2!} \times \frac{966}{24} \] \[ = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 2 \times 1} \times \frac{966}{24} \] \[ = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{2} \times \frac{966}{24} \] \[ = (4 \times 7 \times 6 \times 5) \times \frac{966}{24} \] \[ = 840 \times \frac{966}{24} \] \[ = 35 \times 966 \] \[ = 33810. \]In simple words: MISSISSIPPI शब्द में पुनरावृत्ति वाले अक्षर हैं। उन क्रमचयों की कुल संख्या में से उन क्रमचयों को घटाया जाता है जहाँ सभी 'I' अक्षर एक साथ आते हैं। यह उन मामलों की संख्या देता है जहाँ सभी 'I' एक साथ नहीं आते हैं, जिसका परिणाम 33810 है।

🎯 Exam Tip: 'एक साथ नहीं आने' वाले प्रश्नों को हल करने के लिए, 'कुल' व्यवस्थाओं में से 'एक साथ आने' वाली व्यवस्थाओं को घटा दें। दोहराए गए अक्षरों के लिए फैक्टोरियल को हर में शामिल करना न भूलें।

 

Question 11. PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, यदि
(i) चयनित शब्द का प्रारंभ P से तथा अंत S से होता है।
(ii) चयनित शब्द में सभी स्वर एक साथ हैं।
(iii) चयनित शब्द में P तथा S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों?
Answer: PERMUTATIONS शब्द में कुल 12 अक्षर हैं जिनमें T - 2 है, शेष सब भिन्न हैं ।
(i) P और S के स्थान स्थिर कर दिए गए हैं। शेष 10 अक्षरों से बने शब्दों की संख्या \( = \frac{10!}{2!} = 1814400 \).
(ii) सभी स्वरों को एक साथ कर दिया गया है। (EUAIO)PRMTTNS जिनमें 2T हैं। उन शब्दों की संख्या जब स्वर एक साथ है \( = \frac{8!}{2!} \times 5! = \frac{40320 \times 120}{2} = 2419200 \).
(iii) P तथा S के बीच चार अक्षर होने चाहिए । मान लीजिए 12 अक्षरों के स्थानों का नाम 1, 2, 3, ... 12 रख दिया है। 12345678910 11 12 इस प्रकार P को स्थान 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 पर रखा जा सकता है तो S को स्थान 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 पर रखा जा सकता है। P और S को 7 स्थानों पर रखा जा सकता है। इसी प्रकार S और P को 7 स्थानों पर रखा जा सकता है। P और S या S और P को \( 7 + 7 = 14 \) तरीकों से रखा जा सकता शेष \( \frac{10!}{2!} \) अक्षरों को 10 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। उन शब्दों की संख्या जब P और S के बीच में 4 अक्षर हों \( = \frac{10!}{2!} \times 14 = 10! \times 7 = 25401600 \).
In simple words: (i) यदि P से शुरू और S पर समाप्त हो, तो 1814400 व्यवस्थाएँ संभव हैं। (ii) यदि सभी स्वर (EUAIO) एक साथ हों, तो 2419200 व्यवस्थाएँ संभव हैं। (iii) यदि P और S के बीच हमेशा 4 अक्षर हों, तो 25401600 व्यवस्थाएँ संभव हैं।

🎯 Exam Tip: दोहराए गए अक्षरों (जैसे PERMUTATIONS में T) के लिए फैक्टोरियल को हर में रखकर गणना करें। 'एक साथ' या 'के बीच' जैसे प्रतिबंधों को एक इकाई के रूप में मानकर हल करें।

प्रश्नावली 7.4

Question 1. यदि \( ^nC_8 = ^nC_2 \), तो \( ^nC_2 \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
\[ ^nC_8 = ^nC_2 \]
\( \implies n = 8 + 2 \)
\( \implies n = 10 \) अतः \( ^nC_2 = ^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{1 \times 2} = 45 \).
In simple words: \( ^nC_x = ^nC_y \) होने पर \( x=y \) या \( x+y=n \) होता है। यहाँ \( 8 \neq 2 \) है, इसलिए \( n = 8+2 = 10 \)। अब \( ^nC_2 \) का मान \( ^{10}C_2 \) के रूप में परिकलित किया जाता है, जो 45 है।

🎯 Exam Tip: संयोजन के गुणधर्म \( ^nC_x = ^nC_y \implies x=y \text{ or } x+y=n \) का प्रभावी ढंग से उपयोग करें।

 

Question 2. \( n \) का मान निकालिए, यदि
(i) \( ^{2n}C_3 : ^nC_2 = 12 : 1 \)
(ii) \( ^{2n}C_3 : ^nC_3 = 11 : 1 \)
Answer:
(i)
`\[ \frac{^{2n}C_3}{^nC_2} = \frac{12}{1} \]` `\[ \frac{\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{n(n-1)}{2 \times 1}} = \frac{12}{1} \]` `\[ \frac{2n(2n-1)2(n-1)}{6} \times \frac{2}{n(n-1)} = 12 \]` `\[ \frac{4n(2n-1)(n-1)}{3n(n-1)} = 12 \]` `\[ \frac{4(2n-1)}{3} = 12 \]`
\( \implies 4(2n-1) = 36 \)
\( \implies 2n-1 = 9 \)
\( \implies 2n = 10 \)
\( \implies n = 5 \).
(ii)
`\[ \frac{^{2n}C_3}{^nC_3} = \frac{11}{1} \]` `\[ \frac{\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{11}{1} \]` `\[ \frac{2n(2n-1)2(n-1)}{n(n-1)(n-2)} = 11 \]` `\[ \frac{4(2n-1)}{n-2} = 11 \]`
\( \implies 4(2n-1) = 11(n-2) \)
\( \implies 8n-4 = 11n-22 \)
\( \implies 3n = 18 \)
\( \implies n = 6 \).
In simple words: (i) संयोजन सूत्रों को अनुपात में लागू करके और सरल करके, हम \( n \) के लिए एक रैखिक समीकरण प्राप्त करते हैं, जिससे \( n=5 \) मिलता है। (ii) दूसरे अनुपात को हल करने पर भी एक रैखिक समीकरण बनता है, जिससे \( n=6 \) प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: संयोजन के सूत्र \( ^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) का उपयोग करते समय, पदों को सावधानीपूर्वक रद्द करें और अलजेब्रिक समीकरणों को हल करने में त्रुटियाँ न करें।

 

Question 3. किसी वृत्त पर स्थित 21 बिन्दुओं से होकर जाने वाली कितनी जीवाएँ खींची जा सकती हैं?
Answer: 21 बिन्दुओं में कोई 2 बिन्दु मिलाने से एक जीवा प्राप्त होती है।
जीवाओं की संख्या \( = ^{21}C_2 = \frac{21 \times 20}{1 \times 2} = 210 \).
In simple words: एक वृत्त पर 21 बिन्दु होने पर, किन्हीं भी दो बिन्दुओं को जोड़कर एक जीवा बनती है। इसलिए, 21 बिन्दुओं में से 2 बिन्दुओं को चुनने के तरीके \( ^{21}C_2 \) का उपयोग करके कुल 210 जीवाएँ खींची जा सकती हैं।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्न संयोजन के अनुप्रयोग होते हैं, क्योंकि दो बिन्दुओं का क्रम जीवा बनाने में मायने नहीं रखता।

 

Question 4. 5 लड़के और 4 लड़कियों में से 3 लड़के और 3 लड़कियों की टीमें बनाने के कितने तरीके हैं?
Answer: 5 लड़कों में से 3 लड़कों के चुनने के तरीके \( = ^5C_3 \)
4 लड़कियों में से 3 लड़कियाँ चुनने के तरीके \( = ^4C_3 \)
अतः 5 लड़कों और 4 लड़कियों में से 3 लड़के और 3 लड़कियों की टीमों की संख्या
\[ = ^5C_3 \times ^4C_3 \] \[ = ^5C_2 \times ^4C_1 \] \[ = \left( \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \right) \times \left( \frac{4}{1} \right) \] \[ = 10 \times 4 = 40. \]In simple words: 5 लड़कों में से 3 लड़कों को 10 तरीकों से चुना जा सकता है, और 4 लड़कियों में से 3 लड़कियों को 4 तरीकों से चुना जा सकता है। इन दोनों का गुणनफल (10 × 4) 40 तरीके देता है जिससे टीमें बनाई जा सकती हैं।

🎯 Exam Tip: संयोजन \( ^nC_r = ^nC_{n-r} \) गुणधर्म का उपयोग करके गणना को सरल बनाएं। विभिन्न समूहों से चुनने की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए व्यक्तिगत संयोजनों को गुणा करें।

 

Question 5. 6 लाल रंग की, 5 सफेद रंग की और 5 नीले रंग की गेंदों में से 9 गेंदों के चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए, यदि प्रत्येक संग्रह में प्रत्येक रंग की 3 गेंदें हैं।
Answer: 6 लाल रंग की गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके \( = ^6C_3 \)
5 सफेद रंग की गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके \( = ^5C_3 \)
5 नीले रंग की गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके \( = ^5C_3 \)
इस प्रकार 6 लाल, 5 सफेद तथा 5 नीले रंग की गेंदों में से प्रत्येक रंग की 3 गेंदों के चुनने के तरीके
\[ = ^6C_3 \times ^5C_3 \times ^5C_3 \] \[ = ^6C_3 \times ^5C_2 \times ^5C_2 \] \[ = \left( \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \right) \times \left( \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \right) \times \left( \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \right) \] \[ = 20 \times 10 \times 10 \] \[ = 2000. \]In simple words: 6 लाल गेंदों में से 3, 5 सफेद गेंदों में से 3, और 5 नीली गेंदों में से 3 चुनने के तरीकों की संख्या को अलग-अलग गणना की जाती है और फिर परिणामों को गुणा किया जाता है, जिससे कुल 2000 तरीके प्राप्त होते हैं।

🎯 Exam Tip: जब चुनने के लिए कई भिन्न-भिन्न श्रेणियाँ हों और प्रत्येक श्रेणी से एक निश्चित संख्या में आइटम चुनने हों, तो प्रत्येक श्रेणी के लिए संयोजनों को अलग-अलग ज्ञात करें और फिर उन्हें गुणा करें।

 

Question 6. 52 पत्तों की एक गड्डी में से 5 पत्तों को लेकर बनने वाले संचयों की संख्या निर्धारित कीजिए, यदि प्रत्येक संचय में तथ्यतः एक इक्का हो ।
Answer: ताश का गड्डी में 4 इक्के होते हैं।
4 में से 1 इक्का चुनने के तरीके \( = ^4C_1 \)
इक्का छोड़कर शेष पत्ते \( = 52 - 4 = 48 \)
48 पत्तों में से कोई 4 अन्य पत्ते चुनने के तरीके \( = ^{48}C_4 \)
अतः ताश की गड्डी में 1 इक्का और 4 अन्य पत्ते चुनने के तरीके
\[ = ^4C_1 \times ^{48}C_4 \] \[ = \frac{4}{1} \times \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \] \[ = 4 \times 194580 \] \[ = 778320. \]In simple words: 52 पत्तों की गड्डी में से 5 पत्ते चुनने हैं, जिसमें एक इक्का अवश्य होना चाहिए। इसका मतलब है कि 4 इक्कों में से 1 इक्का चुनना है और शेष 48 पत्तों में से 4 अन्य पत्ते चुनने हैं। इन दोनों संयोजनों को गुणा करने पर 778320 तरीके प्राप्त होते हैं।

🎯 Exam Tip: जब किसी चयन में एक विशिष्ट प्रकार के आइटम की निश्चित संख्या शामिल करने की शर्त हो, तो उस आइटम को पहले चुनें और फिर बचे हुए आइटमों में से शेष आवश्यक संख्या को चुनें।

 

Question 7. 17 खिलाड़ियों में से, जिनमें केवल 5 गेंदबाजी कर सकते हैं, एक क्रिकेट टीम के 11 खिलाड़ियों का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है, यदि प्रत्येक टीम में तथ्यतः 4 गेंदबाज हैं?
Answer: 5 गेंदबाज में 4 गेंदबाज चुनने के तरीके \( = ^5C_4 \)
शेष खिलाड़ी \( = 17-5 = 12 \)
शेष चुने जाने वाले खिलाड़ी \( = 11 - 4 = 7 \)
अतः 12 खिलाड़ियों में से 7 खिलाड़ी चुनने के तरीके \( = ^{12}C_7 \)
कुल टीमों की संख्या \( = ^5C_4 \times ^{12}C_7 \)
\[ = ^5C_1 \times ^{12}C_5 \] \[ = \frac{5}{1} \times \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] \[ = 3960. \]In simple words: 17 खिलाड़ियों में से 11 की टीम बनानी है, जिसमें 4 गेंदबाज होने चाहिए। 5 गेंदबाजों में से 4 चुनने के \( ^5C_4 \) तरीके हैं, और शेष 12 खिलाड़ियों में से बचे हुए 7 खिलाड़ियों को चुनने के \( ^{12}C_7 \) तरीके हैं। इन दोनों का गुणनफल (3960) कुल टीमों की संख्या है।

🎯 Exam Tip: विभिन्न कौशल सेट वाले खिलाड़ियों के चयन में, प्रत्येक श्रेणी से आवश्यक खिलाड़ियों का चयन अलग-अलग करें और फिर परिणामों को गुणा करें। \( ^nC_r = ^nC_{n-r} \) का उपयोग करके गणना को सरल बनाएं।

 

Question 8. एक थैली में 5 काली तथा 6 लाल गेंदें हैं। 2 काली तथा 3 लाल गेंदों के चयन के तरीकों की संख्या निर्धारित कीजिए।
Answer: 5 काली गेंदों में से 2 गेंदें चुनने के तरीके \( = ^5C_2 \)
6 लाल गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके \( = ^6C_3 \)
5 काली व 6 लाल गेंदों में से 2 काली और 3 लाल गेंदें चुनने के कुल तरीके
\[ = ^5C_2 \times ^6C_3 \] \[ = \left( \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \right) \times \left( \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \right) \] \[ = 10 \times 20 \] \[ = 200. \]In simple words: थैली से 2 काली गेंदें (5 में से) और 3 लाल गेंदें (6 में से) चुनने के लिए, काली गेंदों के चुनने के तरीके \( ^5C_2 \) और लाल गेंदों के चुनने के तरीके \( ^6C_3 \) की गणना की जाती है, और फिर इन दो परिणामों को गुणा किया जाता है, जिससे कुल 200 तरीके प्राप्त होते हैं।

🎯 Exam Tip: विभिन्न समूहों से आइटम चुनने की कुल संख्या प्राप्त करने के लिए प्रत्येक समूह के व्यक्तिगत संयोजनों को गुणा करें।

 

Question 9. 9 उपलब्ध पाठयक्रमों में से, एक विद्यार्थी 5 पाठयक्रमों का चयन कितने प्रकार से कर सकता है, यदि प्रत्येक विद्यार्थी के लिए 2 विशिष्ट पाठयक्रम अनिवार्य हैं?
Answer: दो पाठ्यक्रम अनिवार्य हों, तब शेष पाठ्यक्रम \( = 9 - 2 = 7 \)
7 पाठ्यक्रमों में से 3 पाठ्यक्रम चुनने के तरीके \( = ^7C_3 \)
अतः 9 में से 5 पाठ्यक्रम चुनने के तरीके \( = ^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \).
In simple words: 5 पाठ्यक्रमों का चयन करना है, जिसमें 2 अनिवार्य हैं। इसका मतलब है कि विद्यार्थी को शेष 7 पाठ्यक्रमों में से 3 अतिरिक्त पाठ्यक्रमों का चयन करना है, जिसके 35 तरीके हैं।

🎯 Exam Tip: यदि कुछ चयन अनिवार्य हैं, तो कुल उपलब्ध विकल्पों और आवश्यक चयनों की संख्या दोनों से उन अनिवार्य विकल्पों को घटा दें, फिर संयोजन सूत्र लागू करें।

अध्याय 7 पर विविध प्रश्नावली

Question 1. DAUGHTER शब्द के अक्षरों से, कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि प्रत्येक शब्द में 2 स्वर तथा 3 व्यंजन हों?
Answer: DAUGHTER शब्द में 8 अक्षर हैं जिसमें 3 स्वर (A, U, E) और 5 व्यंजन (D, G, H, T, R) हैं
3 स्वर में से 2 स्वर चुनने के तरीके \( = ^3C_2 = 3 \)
5 व्यंजनों में से 3 व्यंजन चुनने के तरीके \( = ^5C_3 = ^5C_2 \)
\[ = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] 2 स्वर और 3 व्यंजन चुनने के तरीके \( = 3 \times 10 = 30 \)
प्रत्येक संचय में 5 अक्षर हैं।
उनके क्रमसंचयों की संख्या \( = 5! = 120 \)
DAUGHTER शब्द के 2 स्वर और 3 व्यंजन लेकर शब्दों की संख्या \( = 30 \times 120 = 3600 \).
In simple words: DAUGHTER शब्द से 2 स्वर और 3 व्यंजन चुनकर 5-अक्षरों के शब्द बनाने के लिए, पहले 3 स्वरों में से 2 (3 तरीके) और 5 व्यंजनों में से 3 (10 तरीके) चुने जाते हैं। इन चयनों को गुणा करने पर 30 समूह बनते हैं। प्रत्येक 5-अक्षर के समूह को \( 5! \) तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, जिससे कुल \( 30 \times 120 = 3600 \) शब्द बनते हैं।

🎯 Exam Tip: पहले विभिन्न श्रेणियों से आवश्यक संख्या में आइटम चुनें (संयोजन), और फिर उन चुने हुए आइटमों को व्यवस्थित करें (क्रमचय)। कुल परिणाम के लिए दोनों को गुणा करें।

 

Question 2. EQUATION शब्द के अक्षरों से कितने, अर्थपूर्ण या अर्थहीन, शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि स्वर तथा व्यंजन एक साथ रहते हैं?
Answer: EQUATION शब्द में कुल 8 अक्षर हैं जिनमें 5 स्वर और 3 व्यंजन हैं। स्वर अक्षरों का क्रमसंचय \( = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \). व्यंजन अक्षरों का क्रमसंचय \( = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \). स्वरों और अक्षरों को 2 तरीकों से लिखा जा सकता है, पहले स्वर लें या व्यंजन लें। EQUATION शब्द के अक्षरों से बनने वाले शब्द जब स्वर तथा व्यंजन एक साथ आएँ \( = 120 \times 6 \times 2 = 1440 \).
In simple words: EQUATION में 5 स्वर और 3 व्यंजन हैं। यदि सभी स्वर एक साथ (एक इकाई) और सभी व्यंजन एक साथ (दूसरी इकाई) रहें, तो स्वरों को \( 5! \) और व्यंजनों को \( 3! \) तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इन दोनों इकाइयों को आपस में 2 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, जिससे कुल \( 120 \times 6 \times 2 = 1440 \) शब्द बनते हैं।

🎯 Exam Tip: जब अक्षरों के समूह को 'एक साथ' रखना हो, तो उस समूह को एक इकाई के रूप में मानें और फिर आंतरिक व्यवस्था (समूह के भीतर के अक्षरों का क्रमचय) और बाहरी व्यवस्था (इकाइयों का क्रमचय) दोनों पर विचार करें।

 

Question 3. 9 लड़के और 4 लड़कियों से 7 सदस्यों की एक समिति बनानी है, यह कितने प्रकार से किया सकता है, जबकि समिति में
(i) तथ्यतः 3 लड़कियाँ हैं?
(ii) न्यूनतम 3 लड़कियाँ हैं?
(iii) अधिकतम 3 लड़कियाँ हैं?
Answer: 9 लड़के और 4 लड़कियों से 7 सदस्यों की एक समिति बनानी है।
(i) जब उस समिति में 3 लड़कियाँ हों तो उस समिति में 4 लड़के होंगे। 3 लड़कियाँ और 4 लड़के चुनने के तरीके
\[ = ^4C_3 \times ^9C_4 \] \[ = ^4C_1 \times ^9C_4 \] \[ = \frac{4}{1} \times \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \] \[ = 4 \times 126 \] \[ = 504. \] (ii) समिति में कम से कम 3 लड़कियाँ है तो समितियाँ निम्न प्रकार बनेंगी :
(a) 3 लड़कियाँ 4 लड़के
(b) 4 लड़कियाँ 3 लड़के
इन समितियों को बनाने के कुल तरीके \( = ^4C_3 \times ^9C_4 + ^4C_4 \times ^9C_3 \)
\[ = ^4C_1 \times ^9C_4 + ^4C_4 \times ^9C_3 \] \[ = \frac{4}{1} \times \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} + \frac{1}{1} \times \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \] \[ = 4 \times 126 + 1 \times 84 \] \[ = 504 + 84 \] \[ = 588. \] (iii) यदि समिति में अधिकतम 3 लड़कियाँ लेनी हैं तो समितियाँ निम्न प्रकार बनेर्गी :
(a) कोई लड़की नहीं और 7 लड़के
(b) 1 लड़की और 6 लड़के
(c) 2 लड़की और 5 लड़के
(d) 3 लड़की और 4 लड़के
अतः बनी कुल समितियाँ \( = ^4C_0 \times ^9C_7 + ^4C_1 \times ^9C_6 + ^4C_2 \times ^9C_5 + ^4C_3 \times ^9C_4 \)
\[ = ^4C_0 \times ^9C_2 + ^4C_1 \times ^9C_3 + ^4C_2 \times ^9C_4 + ^4C_1 \times ^9C_4 \] \[ = 1 \times \frac{9 \times 8}{2 \times 1} + \frac{4}{1} \times \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} + \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} + \frac{4}{1} \times \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \] \[ = 1 \times 36 + 4 \times 84 + 6 \times 126 + 4 \times 126 \] \[ = 36 + 336 + 126 \times (6 + 4) \] \[ = 372 + 1260 \] \[ = 1632. \]In simple words: 7 सदस्यों की समिति बनानी है। (i) यदि ठीक 3 लड़कियाँ हों, तो 504 तरीके हैं। (ii) यदि न्यूनतम 3 लड़कियाँ हों (यानी 3 या 4 लड़कियाँ), तो 588 तरीके हैं। (iii) यदि अधिकतम 3 लड़कियाँ हों (यानी 0, 1, 2 या 3 लड़कियाँ), तो 1632 तरीके हैं।

🎯 Exam Tip: 'न्यूनतम' या 'अधिकतम' जैसी शर्तों वाले प्रश्नों को हल करते समय, सभी संभावित वैध संयोजनों (केसों) को पहचानें, प्रत्येक केस के लिए अलग-अलग गणना करें, और फिर सभी परिणामों को जोड़ दें।

 

Question 4. यदि शब्द EXAMINATION के सभी अक्षरों से बने विभिन्न क्रमचयों को शब्द कोष की तरह सूचीबद्ध किया जाता है, तो E से प्रारम्भ होने वाले प्रथम शब्द से पूर्व कितने शब्द हैं?

Answer: हल : A से प्रारंभ होने वाले शब्दों में 2I, 2N और शेष भिन्न अक्षर हैं ऐसे कुल शब्दों की संख्या = \( \frac{10!}{2!2!} \)
\( = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4} \)
\( = 907200 \) शब्द कोष के अक्षरों की तरह दिए हुए अक्षरों को क्रमबद्ध करते हुए अगला अक्षर E होगा।
. E से पहले बने शब्दों की संख्या = 907200.
In simple words: To find the number of words before 'E' when arranging letters of EXAMINATION, we consider all permutations starting with letters alphabetically before 'E'. Since the only letter before 'E' is 'A', we count permutations starting with 'A'. The word has 11 letters total, with 'A' appearing twice, 'I' twice, and 'N' twice. If 'A' is fixed at the start, we arrange the remaining 10 letters, accounting for repetitions.

🎯 Exam Tip: Questions involving alphabetical ordering of permutations often require careful counting of arrangements starting with letters preceding the specified one, accounting for repeated letters.

 

Question 5. 0, 1, 3, 5, 7 तथा 9 अंकों से, 10 से विभाजित होने वाली और बिना पुनरावृत्ति किए कितनी 6 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

Answer: हल : 10 से विभाजित होने वाली वे संख्याएँ हैं जिनमें इकाई के स्थान पर 0 को रखा गया है। अब हमें 6 अंकीय संख्याएँ बनाने के लिए शेष 5 स्थान और भरने हैं। 5 स्थानों को भरने का क्रमसंचय = 5! = 120
. 6 अंकीय संख्याएं जो 10 से विभाजित हो जाएँ उनकी संख्या = 120.
In simple words: For a number to be divisible by 10, its last digit must be 0. Since 0 is one of the given digits and repetition is not allowed, we fix 0 at the unit's place. Then, we need to arrange the remaining 5 distinct digits in the remaining 5 places, which can be done in 5! ways.

🎯 Exam Tip: When forming numbers with specific divisibility rules and no repetition, always fix the required digit(s) first, then arrange the remaining digits in the available places.

 

Question 6. अंग्रेजी वर्णमाला में 5 स्वर तथा 21 व्यंजन हैं। इस वर्णमाला में 2 भिन्न स्वरों और 2 भिन्न व्यंजनों वाले कितने शब्दों की रचना की जा सकती है?

Answer: हल : 5 स्वरों में से 2 स्वर लेकर संचयों की संख्या = \( {^5C_2} \) 21 व्यंजनों में से 2 व्यंजन लेकर संचयों की संख्या = \( {^{21}C_2} \) 2 स्वरों और 2 व्यंजन को चयन करने के तरीके = \( {^5C_2} \times {^{21}C_2} \) 2 स्वरों और 2 व्यंजनों का क्रमसंचय = 4!
. 2 स्वर और 2 व्यंजन से बनने वाले शब्दों की संख्या = \( {^5C_2} \times {^{21}C_2} \times 4! \)
\( = \frac{5 \times 4}{1 \times 2} \times \frac{21 \times 20}{1 \times 2} \times 24 \)
\( = 10 \times 210 \times 24 \)
\( = 50400 \).
In simple words: To form words with 2 distinct vowels and 2 distinct consonants, first choose 2 vowels from 5 available vowels (\({^5C_2}\) ways) and 2 consonants from 21 available consonants (\({^{21}C_2}\) ways). Once chosen, these 4 distinct letters (2 vowels + 2 consonants) can be arranged in 4! ways to form words. Multiply these counts to get the total.

🎯 Exam Tip: This problem combines selection (combinations) and arrangement (permutations). First, select the required letters, then arrange them. Remember to multiply the selection possibilities by the permutation possibilities of the selected items.

 

Question 7. किसी परीक्षा के एक प्रश्न पत्र में 12 प्रश्न हैं जो क्रमशः 5 तथा 7 प्रश्नों वाले दो खण्डों में विभक्त हैं अर्थात खंड 1 और खण्ड II, एक विद्यार्थी का प्रत्येक खंड से न्यूनतम 3 प्रश्नों का चयन करते हुए कुल 8 प्रश्नों को हल करना है। एक विद्यार्थी कितने प्रकार से प्रश्नों का चयन कर सकता है ?

Answer: हल : एक विद्यार्थी को कुल 8 प्रश्न हल करने हैं। प्रत्येक खण्ड से कम से कम 3 प्रश्न करने हैं। भाग I और II से प्रश्नों को इस प्रकार चुनाव करने हैं। भाग 1 से चुने जाने वाले प्रश्न 3 4 5 प्रश्नों की कुल संख्या 5 भाग II से चुने जाने वाले प्रश्न 5 4 3 प्रश्नों की कुल संख्या 7 इन प्रश्नों को चयन करने के कुल तरीके = \( {^5C_3} \times {^7C_5} + {^5C_4} \times {^7C_4} + {^5C_5} \times {^7C_3} \)
\( = {^5C_2} \times {^7C_2} + {^5C_1} \times {^7C_3} + 1 \times {^7C_3} \)
[:\( {^nC_r} = {^nC_{n-r}} \)]
\( = \frac{5 \times 4}{1 \times 2} \times \frac{7 \times 6}{1 \times 2} + \frac{5}{1} \times \frac{7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3} + 1 \times \frac{7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3} \)
\( = 10 \times 21 + 5 \times 35 + 35 \)
\( = 420 \).
In simple words: The student needs to solve 8 questions in total, with a minimum of 3 from each section. Possible combinations are (3 from Section I, 5 from Section II), (4 from Section I, 4 from Section II), or (5 from Section I, 3 from Section II). Calculate the combinations for each case using the formula \({^nC_r}\) and sum them up.

🎯 Exam Tip: When dealing with "at least" or "minimum" conditions in combinations, break down the problem into mutually exclusive cases that satisfy the condition and sum up the results.

 

Question 8. 52 पत्तों की एक गड्डी में से 5 पत्तों के संचय की संख्या निर्धारित कीजिए, यदि 5 पत्तों के प्रत्येक चयन (संचय) में तथ्यतः एक बादशाह है।

Answer: हल : बादशाह वाले पत्तों की कुल संख्या = 4 इनमें से एक पत्ता चयन करने के तरीके = \( {^4C_1} = 4 \) अब शेष 48 पत्तों में से 4 पत्ते चयन करने के तरीके = \( {^{48}C_4} \)
\( = \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{1 \times 2 \times 3 \times 4} \)
\( = 194580 \) इस प्रकार 52 पत्तों में से 5 पत्ते लेकर (जिनमें से 1 बादशाह है) संचयों की संख्या
\( = {^4C_1} \times {^{48}C_4} = 4 \times 194580 = 778320 \).
In simple words: To select 5 cards with exactly one King, first choose 1 King from the 4 Kings available (\({^4C_1}\) ways). Then, select the remaining 4 cards from the 48 non-King cards (\({^{48}C_4}\) ways). Multiply these two results to get the total number of selections.

🎯 Exam Tip: For "exactly one" conditions in card problems, first select the required specific card(s), then select the remaining cards from the remaining set of cards.

 

Question 9. 5 पुरुषों और 4 महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाया जाता है कि महिलाएँ सम स्थानों पर बैठती हैं। इस प्रकार कितने विन्यास संभव हैं ?

Answer: हल: 4 महिलाओं का 4 सम स्थानों पर बैठाने के विन्यास = 4! = 24 5 पुरुषों को 5 विषम स्थानों पर बैठाना (UPBoardSolutions.com) के तरीके = 5! = 120 4 महिलाओं को सम स्थानों पर और 5 पुरुषों को विषम स्थानों पर बैठाने के विन्यास = 4! x 5! = 24 x 120 = 2880.
In simple words: There are 9 positions in total. If women must sit in even places, and there are 4 women, they will occupy the 4 even positions (2nd, 4th, 6th, 8th). This can be done in 4! ways. The 5 men will then occupy the 5 odd positions (1st, 3rd, 5th, 7th, 9th), which can be done in 5! ways. The total number of arrangements is the product of these two permutations.

🎯 Exam Tip: When specific groups must occupy specific types of positions (e.g., even/odd), arrange each group independently within their assigned positions, then multiply the results.

 

Question 10. 25 विद्यार्थियों की एक कक्षा से 10 का चयन एक भ्रमण दल के लिए किया जाता है। तीन विद्यार्थी ऐसे हैं, जिन्होंने यह निर्णय लिया है कि या तो वे तीनों दल में शामिल होंगे या उनमें से कोई भी दल में शामिल नहीं होगा। भ्रमण दल का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है?

Answer: हल: 25 विद्यार्थियों में से 10 विद्यार्थियों को भ्रमण दल में शामिल करना है। परन्तु 10 विद्यार्थियों में से 3 ऐसे हैं (i) जब तीनों भ्रमण दल में शामिल होते हैं या (ii) तीनों नहीं होते है। (i) जब तीनों विद्यार्थी टीम में शामिल होते हैं तो भ्रमण दल का चयन करने के तरीके = \( {^{22}C_7} \) (ii) जब तीनों विद्यार्थी भ्रमण दल में शामिल नहीं होते हैं तो चयन करने के तरीके = \( {^{22}C_{10}} \) दोनो दशाओं में भ्रमण दल का चयन करने के तरीके = \( {^{22}C_7} + {^{22}C_{10}} \)
In simple words: We need to choose 10 students from 25. There are 3 specific students who either all join or all don't join. Case 1: The 3 students join. We need to select 7 more students from the remaining 22. This is \({^{22}C_7}\). Case 2: The 3 students do not join. We need to select 10 students from the remaining 22. This is \({^{22}C_{10}}\). The total number of ways is the sum of these two cases.

🎯 Exam Tip: For conditional selection problems, break them into mutually exclusive cases that satisfy the condition. For "either-or" scenarios, sum the results of each distinct case.

 

Question 11. ASSASSINATION शब्द के अक्षरों के कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं जबकि सभी S एक साथ रहें ?

Answer: हल: ASSASSINATION में कुल 13 अक्षर हैं जिसमें A तीन बार, S चार बार, I दो बार तथा N दो बार प्रयुक्त हो रहे हैं। 4 - S को एक साथ रहना है। अतः उसे एक अक्षर मान लिया। इस प्रकार इसमें 10 अक्षर रह गए जिसमें 3 - A, 2 - I और 2 - N समान हैं। इस शब्द के अक्षरों का विन्यास जब S एक साथ (UPBoardSolutions.com) रहते हो
\( = \frac{10!}{3!2!2!} \)
\( = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1) \times (2 \times 1)} \)
\( = 151200 \).
In simple words: To arrange the letters of "ASSASSINATION" such that all 'S's are together, treat all four 'S's as a single block. Now we have 10 "letters" to arrange (A, A, A, I, I, N, N, T, O, and the block of SSSS). Count the repetitions of other letters (3 'A's, 2 'I's, 2 'N's) and use the formula for permutations with repetitions: \(\frac{n!}{p_1! p_2! ... p_k!}\).

🎯 Exam Tip: When a set of identical letters must stay together, treat them as a single unit. Then, find the permutations of the new set of characters, accounting for any remaining repetitions.