UP Board Solutions Class 11 Maths Chapter 6 Linear Inequalities

प्रश्नावली 6.1

Question 1. हल कीजिए : 24x < 100, जब
(i) x एक प्राकृत संख्या है।
(ii) x एक पूर्णांक है। 24x < 100
Answer: हल: 24x < 100 24 से दोनों पक्षों में भाग करने पर x < \( \frac { 100 }{ 24 } \) अर्थात x < \( \frac { 25 }{ 6 } \)
(i) यदि x एक प्राकृत संख्या है तो हल {1, 2, 3, 4} है।
(ii) यदि x एक पूर्णांक संख्या है तो हल {.... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.
In simple words: हम असमिका को x के लिए हल करते हैं, फिर x के मानों को प्राकृत संख्या और पूर्णांक संख्या के लिए निर्धारित करते हैं, क्योंकि \( \frac{25}{6} \) लगभग 4.16 है।

🎯 Exam Tip: असमिकाओं को हल करते समय, ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है, इस बात का ध्यान रखें।

Question 2. हल कीजिए: 12x > 30, जब
(i) x एक प्राकृत संख्या है।
(ii) x एक पूर्णाक है।
Answer: हल: - 12x > 30 -12 से दोनों पक्षों में भाग करने पर, x < \( \frac { 30 }{ -12 } \) अर्थात x < \( \frac { -5 }{ 2 } \)
(i) यदि x प्राकृत संख्या है तो कोई हल नहीं है।
(ii) यदि x पूर्णाक संख्या है तो हल {..... -5, -4, -3} है।
In simple words: असमिका को x के लिए हल करने पर x < -2.5 प्राप्त होता है। क्योंकि प्राकृत संख्याएँ धनात्मक होती हैं, कोई हल नहीं मिलता; पूर्णांकों के लिए, -2.5 से छोटे सभी पूर्णांक हल होते हैं।

🎯 Exam Tip: प्राकृत संख्या और पूर्णांक संख्या के सेट को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है, क्योंकि असमिका का हल इन सेटों के आधार पर भिन्न हो सकता है।

Question 3. हल कीजिए : 5x - 3 < 7, जब
(i) x एक पूर्णाक है।
(ii) x एक वास्तविक संख्या है।
Answer: हल: 5x - 3 < 7 दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर, 5x < 10 5 से भाग देने पर x < \( \frac { 10 }{ 5 } \) अर्थात x < 2
(i) यदि x एक पूर्णांक संख्या है तो हल {.... -2, -1, 0, 1}.
(ii) यदि x एक वास्तविक संख्या है तो हल x ∈ (-∞, 2).
In simple words: असमिका को x के लिए हल करने पर x < 2 आता है। पूर्णांक हल 2 से छोटे पूर्णांक हैं, जबकि वास्तविक संख्या हल 2 से छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, जिन्हें अंतराल (-∞, 2) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

🎯 Exam Tip: वास्तविक संख्या के लिए हल को हमेशा अंतराल संकेतन (interval notation) में व्यक्त करें, जबकि पूर्णांकों के लिए समुच्च्य (set) में लिखें।

Question 4. हल कीजिए : 3x + 8 > 2, जब
(i) x एक पूर्णाक है।
(ii) एक वास्तविक संख्या है।
Answer: हल: 3x + 8 > 2
3x > 2 - 8
या 3x > -6 .
3 से भाग करने पर x > \( \frac { -6 }{ 3 } \)
या x > -2
(i) यदि x एक पूर्णांक संख्या है तो हल {-1, 0, 1, 2,....}.
(ii) यदि x एक वास्तविक संख्या है तो हल x ∈ (-2, ∞).
In simple words: असमिका को x के लिए हल करने पर x > -2 मिलता है। पूर्णांक हल -2 से बड़े पूर्णांक हैं, और वास्तविक संख्या हल -2 से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

🎯 Exam Tip: असमिका को हल करने के बाद, परिणाम को दी गई संख्याओं के प्रकार (पूर्णांक या वास्तविक) के अनुसार सही ढंग से व्यक्त करना सुनिश्चित करें।

Question 5. हल कीजिए : 4x + 3 < 6x + 7.
Answer: हल: 4x + 3 < 6x + 7
6x को बाएँ पक्ष में तथा 3 को दाएँ पक्ष में रखने पर,
4x - 6x < 7 - 3
-2x < 4
-2 से भाग देने पर,
x > \( \frac { 4 }{ -2 } \)
या x > -2
दी हुई असमिका का हल है: x = (-2, ∞).
In simple words: असमिका को हल करने के लिए, x वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाते हैं। -2 से भाग देने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है, जिससे x > -2 का हल प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि एक ऋणात्मक संख्या से असमिका को गुणा या भाग करने पर असमिका का चिन्ह बदल जाता है।

Question 6. हल कीजिए : 3x - 7 > 5x - 1
Answer: हल: 3x -7 > 5x - 1
5x को बाएँ पक्ष में और 7 को दाएँ पक्ष में रखने पर,
3x - 5x > -1 + 7
या -2x > 6
-2x से भाग देने पर ।
x < -3
दी हुई असमिका का हल है x ∈ (-∞, - 3).
In simple words: असमिका को सरल बनाने के लिए x वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाते हैं। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिन्ह बदल जाता है, जिससे x < -3 का हल प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: असमिकाओं को हल करते समय, पदों को सही ढंग से स्थानांतरित करें और ऋणात्मक संख्याओं से भाग देते समय असमिका चिन्ह को पलटना न भूलें।

Question 7. हल कीजिए : 3(x - 1) ≤ 2 (x - 3).
Answer: हल: असमिका 3(x - 1) ≤ 2 (x - 3)
3x - 3 ≤ 2x - 6
2x को बाएँ पक्ष में और 3 को दाएँ पक्ष में रखने पर,
3x - 2x ≤ 3 - 6
x < - 3
हल है : x ∈ (-∞, - 3].
In simple words: पहले कोष्ठकों को खोलते हैं, फिर x वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ इकट्ठा करते हैं। इससे सीधे x के लिए हल मिलता है, जो x <= -3 है।

🎯 Exam Tip: कोष्ठकों को सावधानी से खोलना और पदों को सही ढंग से व्यवस्थित करना असमिकाओं को हल करने में महत्वपूर्ण प्रारंभिक चरण हैं।

Question 8. हल कीजिए : 3 (2 - x) ≥ 2 (1 - x).
Answer: हल: दी हुई असमिका 3(2 - x) ≥ 2 (1 - x)
6 - 3x ≥ 2 - 2x
2x को बायीं ओर तथा 6 को दायीं ओर रखने पर,
2x - 3x ≥ 2 - 6
या -x ≥ -4
या x ≤ 4
हल है : x ∈ (-∞, 4]
In simple words: कोष्ठकों को विस्तृत करके और x वाले पदों को एक तरफ तथा स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाकर असमिका को सरल बनाया जाता है। ऋणात्मक से गुणा करने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है, जिससे x <= 4 का हल मिलता है।

🎯 Exam Tip: असमिकाओं में ऋणात्मक गुणांक से गुणा या भाग करते समय, हमेशा असमिका के चिन्ह को पलटना याद रखें ताकि परिणाम सही हो।

Question 9. हल कीजिए : \( x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} < 11 \).
Answer: हल :
\( x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} < 11 \)
\( \frac{6x+3x+2x}{6} < 11 \)
या \( \frac{11x}{6} < 11 \)
11 से भाग देने पर,
\( x < \frac{66}{11} \)
\( x < 6 \)
अतः हल है : \( x \in (-\infty, 6) \).
In simple words: असमिका में भिन्नों को हल करने के लिए, सभी पदों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेते हैं, फिर असमिका को सरल करते हैं और x के लिए हल करते हैं।

🎯 Exam Tip: भिन्नों वाली असमिकाओं में, सभी पदों को समान हर पर लाने के लिए LCM का उपयोग करें, इससे गणना आसान हो जाती है।

Question 10. हल कीजिए: \( \frac{x}{3} > \frac{x}{2} + 1 \).
Answer: हल : दी हुई असमिका
\( \frac{x}{3} > \frac{x}{2} + 1 \)
\( \frac{x}{3} - \frac{x}{2} > 1 \)
को बायीं ओर रखने पर,
या \( \frac{2x-3x}{6} > 1 \)
या \( \frac{-x}{6} > 1 \)
6 से गुणा करने पर
\( -x > 6 \)
\( \implies \)
\( x < -6 \)
अतः हल है : \( \chi \in (-\infty, - 6) \).
In simple words: x वाले पदों को एक तरफ इकट्ठा करें, समान हर लाएँ, और फिर x के लिए हल करें। ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमिका का चिन्ह उलटना याद रखें।

🎯 Exam Tip: भिन्न समीकरणों में, समान हर प्राप्त करना और फिर अंशों को सरल करना मानक प्रक्रिया है, जिससे हल आसान हो जाता है।

Question 11. हल कीजिए : \( \frac{3(x-2)}{5} \le \frac{5(2-x)}{3} \).
Answer: हल : दी हुई असमिका है :
\( \frac{3(x-2)}{5} \le \frac{5(2-x)}{3} \)
दोनों ओर 15 से गुणा करने पर
\( 9(x-2) \le 5 (2-x) \)
या \( 9x-18 \le 50-25x \)
25x को बायीं ओर तथा 18 को दायीं ओर रखने पर,
\( 9x+25x \le 50 + 18 \)
या \( 34x \le 68 \)
या \( x \le 2 \)
अतः दी हुई असमिका का हल है \( x \in (-\infty, 2] \).
In simple words: असमिका में भिन्नों को हटाने के लिए दोनों पक्षों को उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें। फिर, इसे एक रेखीय असमिका के रूप में सरल करें और x के लिए हल करें।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को हटाकर असमिकाओं को सरल बनाने के लिए LCM का उपयोग एक कुशल तरीका है, जो गणना त्रुटियों को कम करता है।

Question 12. हल कीजिए : \( \frac{1}{2}(\frac{3x}{5} + 4) \ge \frac{1}{3}(x-6) \).
Answer: हल : दी हुई असमिका
\( \frac{1}{2}(\frac{3x}{5} + 4) \ge \frac{1}{3}(x-6) \)
या \( \frac{3x+20}{10} \ge \frac{x-6}{3} \)
या \( 3(3x + 20) \ge 10(x - 6) \)
\( 9x+60 \ge 10x - 60 \)
10x को बाईं ओर तथा + 60 को दाईं ओर रखने पर,
\( 9x-10x \ge -60-60 \)
या \( -x \ge -120 \)
(- 1) से गुणा करने पर
\( \implies \)
\( x \le 120 \)
.. हल है : \( x \in (-\infty, 120] \).
In simple words: कोष्ठकों को विस्तृत करें, फिर भिन्नों को हटाने के लिए दोनों पक्षों को LCM से गुणा करें। x वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाएँ, और अंत में x के लिए हल करें, ऋणात्मक से गुणा करने पर चिन्ह उलट जाता है।

🎯 Exam Tip: जटिल असमिकाओं को सरल करते समय वितरण गुण (distributive property) और LCM का सावधानीपूर्वक उपयोग करें, और ऋणात्मक संख्याओं से गुणा करते समय चिन्ह परिवर्तन पर विशेष ध्यान दें।

Question 13. हल कीजिए : 2 (2x + 3) - 10 < 6 (x - 2)
Answer: हल: दी हुई असमिका 2 (2x + 3) - 10 < 6 (x - 2)
4x + 6 - 10 < 6x - 12
6x को बायीं ओर तथा -4 को दायीं ओर रखने पर,
4x - 4 < 6x - 12
4x - 6x < -12 + 4
-2x < -8
(-1) से गुणा करने पर,
\( \implies \)
x > 4
हल है : x ∈ (4, ∞)
In simple words: कोष्ठकों को खोलकर असमिका को सरल करें। x वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाएँ। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिन्ह बदल जाता है, जिससे x > 4 का हल प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: कोष्ठकों को सावधानीपूर्वक विस्तृत करें और ऋणात्मक संख्याओं से गुणा या भाग करते समय असमिका चिन्ह को उलटना याद रखें।

Question 14. हल कीजिए : 37 - (3x + 5) ≥ 9x - 8(x - 3).
Answer: हल: दी हुई असमिका 37 - (3x + 5) ≥ 9x - 8(x - 3)
37 - 3x - 5 ≥ 9x - 8x + 24
-3x + 32 ≥ x + 24
x को बायीं ओर तथा 32 को दायीं ओर रखने पर
-3x - x ≥ 24 - 32
-4x ≥ - 8
(-1) से गुणा करने पर तथा 4 से भाग देने पर ।
\( \implies \)
x ≤ \( \frac { 8 }{ 4 } \)
या x ≤ 2
हल है: x ∈ (-∞, 2]
In simple words: कोष्ठकों को खोलकर असमिका को सरल करें। x वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाएँ। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिन्ह बदल जाता है, जिससे x <= 2 का हल प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: कोष्ठकों को हटाते समय चिन्हों का ध्यान रखें, खासकर जब ऋणात्मक चिन्ह हो, और ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय असमिका के चिन्ह को पलटना याद रखें।

Question 15. हल कीजिए : \( \frac{x}{4} < \frac{5x-2}{3} - \frac{7x-3}{5} \).
Answer: हल : दी हुई असमिका
\( \frac{x}{4} < \frac{5x-2}{3} - \frac{7x-3}{5} \)
60 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर
\( 15x < 20(5x-2) - 12 (7x - 3) \)
या \( 15x < 100x-40-84x + 36 \)
या \( 15x < 16x-4 \)
16x को बायीं ओर लाने पर,
\( 15x-16x < -4 \)
या \( -x < -4 \)
- 1 से गुणा करने पर
\( \implies \)
\( x > 4 \)
.. हल है : \( \chi \in (4,\infty) \).
In simple words: भिन्नों को हटाने के लिए दोनों पक्षों को लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें। फिर, x वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाएँ। ऋणात्मक से गुणा करने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है।

🎯 Exam Tip: भिन्न वाली असमिकाओं में, सभी हरों का LCM लेकर गुणा करने से असमिका समीकरण सरल हो जाती है, जिससे गणना त्रुटियाँ कम होती हैं।

Question 16. हल कीजिए : \( \frac{2x-1}{3} \ge \frac{3x-2}{4} - \frac{2-x}{5} \).
Answer: हल : दी हुई असमिका
\( \frac{2x-1}{3} \ge \frac{3x-2}{4} - \frac{2-x}{5} \)
60 से गुणा करने पर,
\( 20(2x-1) \ge 15 (3x - 2) - 12(2 - x) \)
या \( 40x-20 \ge 45x-30-24 + 12x \)
या \( 40x-20 \ge 57x - 54 \)
57x को बायीं ओर तथा 20 को दायीं ओर रखने पर,
\( 40x-57x \ge -54 + 20 \)
\( -17x \ge -34 \)
- 17 से भाग देने पर
\( \implies \)
\( x \le 2 \)
.. हल है : \( \chi \in (-\infty, 2] \).
In simple words: असमिका में भिन्नों को हटाने के लिए दोनों पक्षों को उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें। फिर, x वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाएँ और x के लिए हल करें। ऋणात्मक से भाग देने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है।

🎯 Exam Tip: जटिल भिन्न असमिकाओं को हल करते समय, सभी हरों का LCM लेकर गुणा करना सबसे प्रभावी तरीका है, जिससे गणना सरल हो जाती है।

प्रश्न 17 से 20 तक की असमिकाओं को हल ज्ञात कीजिए तथा उन्हें संख्या रेखा पर आलेञ्चित कीजिए ।

Question 17. 3x - 2 < 2x + 1
Answer: हलः दी हुई असमिका . 3x - 2 < 2x + 1
2x को बायीं ओर तथा 2 को दायीं ओर रखने पर,
3x - 2x < 1+2
x < 3
हल है : x ∈ (-∞, 3).
In simple words: x वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाकर असमिका को सरल करें, जिससे सीधे x < 3 का हल प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: रेखीय असमिकाओं में, x वाले पदों और स्थिरांकों को व्यवस्थित करके हल खोजना सबसे सीधा तरीका है।

Question 18. 5x-3 ≥ 3x - 5.
Answer: हलः दी हुई असमिका
5x-3 ≥ 3x - 5
3x को बायीं ओर तथा 3 को दायीं ओर रखने पर,
5x-3x ≥ -5 + 3
2x ≥ -2
2 से भाग देने पर
x ≥ -1
हल है x ∈ [-1, ∞).
In simple words: x वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाएँ, फिर x के लिए हल करें।

🎯 Exam Tip: असमिकाओं में पदों को स्थानांतरित करते समय चिन्हों का ध्यान रखें और धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिन्ह नहीं बदलता है।

Question 19. 3 (1 - x) < 2 (x + 4).
Answer: हलः दी हुई असमिका
3(1 - x) < 2(x + 4)
3- 3x < 2x + 8
2x को बायीं ओर तथा 3 को दायीं ओर रखने पर,
-3x - 2x < 8-3
- 5x < 5
-5 से भाग देने पर
\( \implies \)
x > -1
हल है: x ∈ (-1, ∞)
In simple words: कोष्ठकों को खोलकर असमिका को सरल करें। x वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाएँ। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिन्ह बदल जाता है, जिससे x > -1 का हल प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: वितरण गुण (distributive property) का उपयोग करके कोष्ठकों को सावधानीपूर्वक खोलें और ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय असमिका चिन्ह को उलटना याद रखें।

Question 20. \( \frac{x}{2} < \frac{5x-2}{3} - \frac{7x-3}{5} \)
Answer: हल : दी हुई असमिका
\( \frac{x}{2} < \frac{5x-2}{3} - \frac{7x-3}{5} \)
30 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर
\( 15x < 10 (5x-2) -6(7x - 3) \)
या \( 15x < 50x-20-42x+18 \)
या \( 15x < 8x-2 \)
8x को बायीं ओर रखने पर,
\( 15x-8x < -2 \)
या \( 7x < -2 \)
या \( x < \frac{-2}{7} \)
.. हल है : \( (-\infty, \frac{-2}{7}) \).
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह संख्या रेखा -∞ से +∞ तक फैली हुई है। इस पर मुख्य बिंदु 0, -1, -2, -2/7 और 1 दिखाए गए हैं। हल क्षेत्र x < -2/7 को -2/7 के बाईं ओर एक खाली वृत्त (जो यह दर्शाता है कि -2/7 शामिल नहीं है) से शुरू होकर बाईं ओर नकारात्मक अनंत तक एक गहरे रंग की रेखा से दर्शाया गया है।
In simple words: सभी भिन्नों को हटाने के लिए असमिका को लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें। फिर, x वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाएँ और x के लिए हल करें।

🎯 Exam Tip: भिन्नों वाली असमिकाओं को हल करते समय, सभी हरों का LCM लेकर गुणा करना सबसे प्रभावी तरीका है, जिससे गणना सरल हो जाती है। संख्या रेखा पर खुले और बंद अंतरालों का सही निरूपण याद रखें।

Question 21. रवि ने पहली दो एकक परीक्षा में 70 और 75 अंक प्राप्त किए हैं। वह न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए, जिसे वह तीसरी एकक परीक्षा में पाकर 60 अंक का न्यूनतम औसत प्राप्त कर सके ।
Answer: हलः मान लीजिए तीसरे एकक परीक्षा में x अंक प्राप्त किए।
रवि द्वारा प्राप्त अंकों का औसत = \( \frac{70+75 + x}{3} \)
प्रश्नानुसार,
.. \( \frac{70+75+ x}{3} \ge 60 \)
या \( \frac{145+ x}{3} \ge 60 \)
3 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर,
\( 145+ x \ge 180 \)
या \( x \ge 180-145 \)
या \( x \ge 35 \)
अतः रवि को तीसरी परीक्षा में 35 से अधिक या उसके बराबर अंक प्राप्त करने हैं।
In simple words: रवि के तीसरी परीक्षा के अंकों को x मानकर औसत के सूत्र का उपयोग करें। दिए गए न्यूनतम औसत 60 के लिए एक असमिका स्थापित करें और x के लिए हल करें।

🎯 Exam Tip: औसत के सूत्र को सही ढंग से लागू करें और न्यूनतम या अधिकतम शर्तों के लिए सही असमिका चिन्ह का उपयोग करें।

Question 22. किसी पाठयक्रम में ग्रेड A पाने के लिए एक व्यक्ति को सभी पाँच परीक्षाओं (प्रत्येक 100 अंकों में से) में 90 अंक या अधिक अंक का औसत प्राप्त करना चाहिए यदि सुनीता के प्रथम चार परीक्षाओं के प्राप्तांक 87, 92, 94 और 95 हों तो वह न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए जिसे पांचवीं परीक्षा में प्राप्त करके सुनीता उस पाठ्यक्रम में ग्रेड A पाएगी ।
Answer: हल : मान लीजिए सुनीता ने पांचवीं परीक्षा में x अंक प्राप्त किए।
पाँच परीक्षाओं के प्राप्त अंकों का औसत = \( \frac{87+92+94+95 + x}{5} \)
= \( \frac{368+ x}{5} \)
प्रश्नानुसार
.. \( \frac{368+ x}{5} \ge 90 \)
5 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर
\( 368+x \ge 5 \times 90 \)
या \( 368+ x \ge 450 \)
या \( x \ge 450-368 \)
\( x \ge 82 \)
.. अतः सुनीता को पाँचवीं परीक्षा में 82 से अधिक या उसके बराबर अंक प्राप्त करने चाहिए।
In simple words: सुनीता के पाँचवीं परीक्षा के अंकों को x मानकर, सभी पाँच परीक्षाओं के औसत का सूत्र लगाएँ। ग्रेड A के लिए न्यूनतम 90 के औसत की शर्त के साथ असमिका स्थापित करें और x के लिए हल करें।

🎯 Exam Tip: औसत की गणना सही ढंग से करें और यह सुनिश्चित करें कि असमिका का चिन्ह (≥ या ≤) समस्या की 'न्यूनतम' या 'अधिकतम' शर्त से मेल खाता हो।

Question 23. 10 से कम क्रमागत विषम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए जिनके योगफल 11 से अधिक हों।
Answer: हल: मान लीजिए x और x + 2 दो विषम परिमेय संख्याएँ हैं।
x तथा x + 2 दोनों ही 10 से कम हैं।
\( \implies \) x < 10 और x + 2 < 10
या x < 8
दोनों का योगं 11 से अधिक है ।
x + (x + 2) > 11
2x + 2 > 11
या 2x > 11 - 2
2x > 9
या x > \( \frac { 9 }{ 2 } \)
या x > \( 4\frac { 1 }{ 2 } \)
अर्थात् यदि x = 5 हो, तब दूसरी संख्या = x + 2 = 7
इसी प्रकार यदि x = 7, तो x + 2 = 9
दूसरा युग्म (7, 9)
x = 9 नहीं हो सकता क्योंकि x + 2 = 11 > 10
अतः वांछित युग्म है (5, 7), 7, 9).
In simple words: दो क्रमागत विषम संख्याओं को x और x+2 के रूप में व्यक्त करें। उन्हें 10 से छोटा और उनका योग 11 से अधिक होने की असमिकाएँ स्थापित करें। फिर x के लिए हल करें और युग्म ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: क्रमागत विषम या सम संख्याओं को x और x+2 के रूप में दर्शाने का तरीका याद रखें। शर्तों को असमिकाओं में सही ढंग से अनुवाद करना महत्वपूर्ण है।

Question 24. क्रमागत सर्म संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए जिनमें से प्रत्येक 5 से बड़े हों, तथा उनका योगफल 23 से कम हो ।
Answer: हल: मान लीजिए x और x + 2 दो सम संख्याएँ हैं।
x और x + 2 दोनों ही 5 से बड़ी है ।
\( \implies \) x > 5
x + (x + 2) < 23
2x + 2 < 23
2x < 23 - 2 = 21
2x < 21
या x < \( \frac { 21 }{ 2 } \)
यदि x = 10, x + 2 = 12
\( \implies \) x + (x + 2) < 23
इसी प्रकार (6, 8), (8, 10) युग्म भी दी हुई शर्त पूरी करते हैं।
वांछित युग्म (6, 8), (8, 10), (10, 12).
In simple words: दो क्रमागत सम संख्याओं को x और x+2 के रूप में लें। उन्हें 5 से बड़ा और उनका योग 23 से कम होने की असमिकाएँ स्थापित करें। फिर x के लिए हल करें और युग्म ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: क्रमागत सम संख्याओं के लिए सही प्रतिनिधित्व (x, x+2) का उपयोग करें और सभी दी गई शर्तों को असमिकाओं में सावधानी से बदलें।

Question 25. एक त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा सबसे छोटी भुजा की तीन गुनी है तथा त्रिभुज की तीसरी भुजा सबसे बड़ी भुजा से 2 सेमी कम है। तीसरी भुजा की न्यूनतम लंबाई ज्ञात कीजिए जबकि त्रिभुज का परिमाप न्यूनतम 61 सेमी है।
Answer: हल: मान लीजिए त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा = x सेमी
सबसे बड़ी भुजा = 3x सेमी
तीसरी भुजा = 3x - 2 सेमी
प्रश्नानुसार x + 3x + (3x - 2) ≥ 61
7x - 2 ≥ 61
7x ≥ 61 + 2 = 63
x ≥ 9
सबसे छोटी भुजा 9 सेमी है।
In simple words: त्रिभुज की भुजाओं को x के पदों में व्यक्त करें। त्रिभुज के परिमाप का सूत्र उपयोग करके परिमाप ≥ 61 सेमी की असमिका स्थापित करें। x के लिए हल करें, जो सबसे छोटी भुजा की न्यूनतम लंबाई देगा।

🎯 Exam Tip: समस्या में दिए गए भुजाओं के संबंधों को सही ढंग से बीजगणितीय व्यंजकों में अनुवाद करें और परिमाप के लिए उचित असमिका स्थापित करें।

Question 26. एक व्यक्ति 91 सेमी लंबे बोर्ड में से तीन लंबाईयाँ काटना चाहता है। दूसरी लंबाई सबसे छोटी लंबाई से 3 सेमी अधिक और तीसरी लंबाई सबसे छोटी लंबाई की दूनी है। सबसे छोटे बोर्ड की संभावित लंबाई क्या है, यदि तीसरा टुकड़ा दूसरे टुकड़े से कम से कम 5 सेमी अधिक लंबा हो ?
Answer: हल: मान लीजिए कटे हुए सबसे छोटे बोर्ड की लंबाई = x सेमी
दूसरे कटे हुए बोर्ड की लम्बाई = x + 3
तीसरे कटे हुए बोर्ड की लम्बाई = 2x सेमी
दिया है कि x + (x + 3) + 2x ≤ 91
4x + 3 ≤ 91
4x ≤ 91 - 3 = 88
4x ≤ 88
x ≤ 22 ......(1)
यह भी दिया गया है कि 2x ≥ (x + 3) + 5
2x ≥ x + 8
x ≥ 8 ......(2)
सबसे छोटे बोर्ड की लम्बाई कम से कम 8 सेमी हो और अधिक से अधिक 22 सेमी हो ।
In simple words: सबसे छोटी लंबाई को x मानें और अन्य दो लंबाइयों को x के पदों में व्यक्त करें। बोर्ड की कुल लंबाई की सीमा और तीसरे टुकड़े व दूसरे टुकड़े के बीच के संबंध के लिए दो असमिकाएँ स्थापित करें। फिर x के लिए हल करें।

🎯 Exam Tip: समस्या की सभी शर्तों को अलग-अलग असमिकाओं में तोड़ दें और फिर x के लिए एक वैध अंतराल खोजने के लिए सभी असमिकाओं के प्रतिच्छेदन (intersection) का उपयोग करें।

प्रश्नावली 6.2

निम्नलिखित असमिकाओं को आलेखन विधि से द्विविमीय तल में निरूपित कीजिए। (प्रश्न 1 से 10 तक)

Question 1. x + y < 5.
Answer: हलः समीकरण x + y = 5 को लीजिए। यह एक सरल रेखा है जो बिन्दु (5, 0), (0, 5) से होकर गुजरती है।
x = 0, y = 0 असमिका x + y < 5 में रखने पर,
अर्थात 0+0<5 या 0 < 5
\( \implies \) मूल बिन्दु x + y < 5 के क्षेत्र में है।
छायाकिंत क्षेत्र x + y < 5 को निरूपित करता है जो इसका हल है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक निर्देशांक तल को दर्शाता है जिसमें x-अक्ष और y-अक्ष हैं। एक सीधी रेखा x + y = 5 को बिंदु (5,0) और (0,5) से गुजरते हुए खींचा गया है। इस रेखा को डैश-लाइन के रूप में दिखाया गया है, जो यह दर्शाता है कि रेखा पर के बिंदु समाधान में शामिल नहीं हैं। मूल बिंदु (0,0) सहित रेखा के नीचे का क्षेत्र छायांकित किया गया है, जो असमिका x + y < 5 के समाधान को दर्शाता है।
In simple words: पहले समीकरण x + y = 5 की रेखा खींचें। फिर यह निर्धारित करने के लिए कि मूल बिंदु असमिका के क्षेत्र में आता है या नहीं, (0,0) को असमिका में प्रतिस्थापित करें। यदि यह सत्य है, तो मूल बिंदु की ओर का क्षेत्र छायांकित करें; यदि नहीं, तो विपरीत दिशा का क्षेत्र छायांकित करें। चूंकि असमिका '<' है, रेखा डैश-लाइन वाली होगी।

🎯 Exam Tip: रेखीय असमिकाओं का ग्राफ बनाते समय, पहले संबंधित समीकरण की रेखा खींचें। मूल बिंदु परीक्षण का उपयोग छायांकित क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए करें। यदि असमिका में '<' या '>' है, तो रेखा डैश-लाइन वाली होगी; यदि '≤' या '≥' है, तो रेखा ठोस होगी।

Question 2. 2x + y ≥ 6
Answer: हलः 2x + y ≥ 6
समीकरण 2x + y = 6 को लीजिए, यह रेखा (3,0) और (0, 6) से गुजरती है।
x = 0, y = 0 को 2x + y ≥ 6 में रखें तो 0 ≥ 6, जो सत्य नहीं है।
मूल बिन्दु 2x + y ≥ 6 के क्षेत्र में नहीं हैं।
2x + y ≥ 6 का क्षेत्र छायांकित किया गया है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक निर्देशांक तल को दर्शाता है जिसमें x-अक्ष और y-अक्ष हैं। एक सीधी रेखा 2x + y = 6 को बिंदु (3,0) और (0,6) से गुजरते हुए खींचा गया है। यह रेखा ठोस है क्योंकि असमिका में '≥' शामिल है। मूल बिंदु (0,0) असमिका को संतुष्ट नहीं करता, इसलिए समाधान क्षेत्र रेखा के विपरीत दिशा में (मूल बिंदु से दूर) छायांकित है।
In simple words: समीकरण 2x + y = 6 की रेखा खींचें। यह एक ठोस रेखा होगी क्योंकि असमिका में '≥' है। मूल बिंदु (0,0) का उपयोग करके परीक्षण करें कि छायांकित क्षेत्र रेखा के ऊपर है या नीचे।

🎯 Exam Tip: यदि असमिका में '≥' या '≤' है, तो सीमा रेखा को ठोस खींचें। परीक्षण बिंदु (0,0) का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए एक कुशल तरीका है कि किस तरफ के क्षेत्र को छायांकित करना है।

Question 3. 3x + 4y ≤ 12.
Answer: हलः दी गई असमिका 3x + 4y ≤ 12 सरल रेखा 3x + 4y = 12 बिन्दु (4, 0), (0, 3) से होकर जाती है।
असमिका 3x + 4y ≤ 12 में (0, 0) रखने पर,
0 + 0 ≤ 12 अर्थात 0 ≤ 12 जो सत्य है।
मूल बिन्दु 3x + 4y ≤ 12 के क्षेत्र में आता है।
इसका आलेख साथ वाली आकृति में दिखा गया है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक निर्देशांक तल को दर्शाता है। एक सीधी रेखा 3x + 4y = 12 को बिंदु (4,0) और (0,3) से गुजरते हुए खींचा गया है। यह रेखा ठोस है क्योंकि असमिका में '≤' शामिल है। मूल बिंदु (0,0) असमिका को संतुष्ट करता है, इसलिए समाधान क्षेत्र रेखा के नीचे (मूल बिंदु की ओर) छायांकित है।
In simple words: समीकरण 3x + 4y = 12 की रेखा खींचें। यह एक ठोस रेखा होगी। (0,0) को असमिका में रखकर जाँचें कि मूल बिंदु समाधान क्षेत्र में है या नहीं, और उसके अनुसार क्षेत्र को छायांकित करें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप असमिका के चिन्ह के आधार पर सही प्रकार की रेखा (ठोस या डैश-लाइन) का उपयोग करें।

Question 4. y + 8 ≥ 2x
Answer: हलः दी हुई रैखिक असमिका y + 8 ≥ 2x सरल रेखा 2x - y = 8 बिन्दु (4, 0) और (0, -8) से होकर जाती है।
असमिका y + 8 ≥ 2x,
x = 0, y = 0 रखने पर
0 + 8 ≥ 0 अर्थात 8 ≥ 0 जो सत्य है।
मूल बिन्दु y + 8 ≥ 2x के क्षेत्र में आता है।
इसका आलेख साथ दी हुई आकृति में बनाया गया है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक निर्देशांक तल को दर्शाता है। एक सीधी रेखा 2x - y = 8 को बिंदु (4,0) और (0,-8) से गुजरते हुए खींचा गया है। यह रेखा ठोस है क्योंकि असमिका में '≥' शामिल है। मूल बिंदु (0,0) असमिका को संतुष्ट करता है, इसलिए समाधान क्षेत्र रेखा के ऊपर (मूल बिंदु की ओर) छायांकित है।
In simple words: असमिका को y ≥ 2x - 8 के रूप में पुनः व्यवस्थित करें, फिर संबंधित रेखा y = 2x - 8 खींचें। मूल बिंदु को परीक्षण बिंदु के रूप में उपयोग करके, यह निर्धारित करें कि किस क्षेत्र को छायांकित करना है।

🎯 Exam Tip: असमिका को हमेशा y के लिए हल करना आवश्यक नहीं है, लेकिन यह समझने में मदद करता है कि 'ऊपर' या 'नीचे' का मतलब क्या है। परीक्षण बिंदु का उपयोग करना हमेशा विश्वसनीय होता है।

Question 5. x - y ≤ 2.
Answer: हलः दी हुई असमिका x - y ≤ 2.
सरल रेखा x - y = 2 बिन्दु (2, 0), (0, -2) से होकर जाती है।
x = 0, y = 0 असमिका x - y ≤ 2 में रखने पर 0 ≤ 2 जो सत्य है।
मूल बिन्दु x - y ≤ 2 के क्षेत्र में है।
असमिका x - y ≤ 2 का आलेख साथ वाली आकृति में बनाया गया है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक निर्देशांक तल को दर्शाता है। एक सीधी रेखा x - y = 2 को बिंदु (2,0) और (0,-2) से गुजरते हुए खींचा गया है। यह रेखा ठोस है क्योंकि असमिका में '≤' शामिल है। मूल बिंदु (0,0) असमिका को संतुष्ट करता है, इसलिए समाधान क्षेत्र रेखा के ऊपर (मूल बिंदु की ओर) छायांकित है।
In simple words: समीकरण x - y = 2 की रेखा खींचें। यह एक ठोस रेखा होगी। मूल बिंदु को असमिका में रखकर जाँचें कि छायांकित क्षेत्र रेखा के किस तरफ होना चाहिए।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप असमिका में बराबर चिन्ह (equality sign) की उपस्थिति के आधार पर रेखा को ठोस या डैश-लाइन खींचें।

Question 6. 2x - 3y > 6.
Answer: हलः दी हुई रैखिक असमिका 2x - 3y > 6
सरल रेखा 2x - 3y = 6, (3, 0) और (0, -2) से होकर जाती है।
असमिका 2x - 3y > 6 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 > 6 जो सत्य नहीं है।
मूल बिन्दु (0, 0) दी हुई असमिका में नहीं आता है।
इसका आलेख दी हुई आकृति में दर्शाया गया है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक निर्देशांक तल को दर्शाता है। एक सीधी रेखा 2x - 3y = 6 को बिंदु (3,0) और (0,-2) से गुजरते हुए खींचा गया है। यह रेखा डैश-लाइन वाली है क्योंकि असमिका में '>', बराबर चिन्ह नहीं है। मूल बिंदु (0,0) असमिका को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए समाधान क्षेत्र रेखा के विपरीत दिशा में (मूल बिंदु से दूर) छायांकित है।
In simple words: समीकरण 2x - 3y = 6 की रेखा खींचें। चूंकि असमिका में केवल '>' है, रेखा डैश-लाइन वाली होगी। मूल बिंदु परीक्षण का उपयोग करके, उस क्षेत्र को छायांकित करें जो मूल बिंदु को शामिल नहीं करता है।

🎯 Exam Tip: 'सख्त' असमिकाओं (strict inequalities) (> या <) के लिए हमेशा डैश-लाइन वाली रेखा का उपयोग करें, यह दर्शाता है कि रेखा के बिंदु समाधान में शामिल नहीं हैं।

Question 7. -3x + 2y ≥ -6.
Answer: हलः दी हुई रैखिक असमिका -3x + 2y ≥ -6 या 3x - 2y ≤ 6
सरल रेखा -3x + 2y = - 6 बिन्दु (2, 0) और (0, -3) से होकर जाती है।
-3x + 2y ≥ -6 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ -6, जो सत्य है।
मूल बिन्दु (0, 0), 3x + 2y ≥ -6 असमिका के क्षेत्र में है।
इसका आलेख दी हुई आकृति में दर्शाया गया है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक निर्देशांक तल को दर्शाता है। एक सीधी रेखा -3x + 2y = -6 को बिंदु (2,0) और (0,-3) से गुजरते हुए खींचा गया है। यह रेखा ठोस है क्योंकि असमिका में '≥' शामिल है। मूल बिंदु (0,0) असमिका को संतुष्ट करता है, इसलिए समाधान क्षेत्र रेखा के ऊपर (मूल बिंदु की ओर) छायांकित है।
In simple words: समीकरण -3x + 2y = -6 की रेखा खींचें, यह एक ठोस रेखा होगी। मूल बिंदु को परीक्षण बिंदु के रूप में उपयोग करके, उस क्षेत्र को छायांकित करें जो असमिका को संतुष्ट करता है।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक गुणांक वाली असमिकाओं को हल करते समय, उन्हें धनात्मक गुणांक में बदलना कभी-कभी समझने में आसान होता है, लेकिन मूल बिंदु परीक्षण हमेशा सीधे काम करता है।

Question 8. 3y - 5x < 30.
Answer: हलः दी हुई असमिका 3y - 5x < 30
सरल रेखा 3y - 5x = 30, बिन्दु (-6, 0) और (0, 10) से होकर जाती है।
असमिका 3y - 5x < 30 में x = 0, y = 0 रखने पर
0 < 30 सत्य है।
मूल बिन्दु (0, 0), 3y - 5x < 30 के क्षेत्र में है।
इसका आलेख दी गई आकृति में दर्शाया गया है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक निर्देशांक तल को दर्शाता है। एक सीधी रेखा 3y - 5x = 30 को बिंदु (-6,0) और (0,10) से गुजरते हुए खींचा गया है। यह रेखा डैश-लाइन वाली है क्योंकि असमिका में '<' शामिल है। मूल बिंदु (0,0) असमिका को संतुष्ट करता है, इसलिए समाधान क्षेत्र रेखा के नीचे (मूल बिंदु की ओर) छायांकित है।
In simple words: समीकरण 3y - 5x = 30 की रेखा खींचें। यह एक डैश-लाइन वाली रेखा होगी क्योंकि असमिका में '<' है। मूल बिंदु परीक्षण का उपयोग करके, उस क्षेत्र को छायांकित करें जो असमिका को संतुष्ट करता है।

🎯 Exam Tip: x और y अंतःखंडों (intercepts) का उपयोग करके रेखा को प्लॉट करना ग्राफ बनाने का एक कुशल तरीका है।

Question 9. y < -2
Answer: हलः दी हुई रैखिक असमिका y < -2
सरल रेखा y = -2 बिन्दु (2, -2) और (-2, -2) से होकर जाती है।
y < -2 में y = 0 रखने पर 0 < -2, यह सत्य नहीं है।
मूल बिन्दु (0, 0), < -2 में नहीं।
दी हुई आकृति में छायांकित क्षेत्र से दर्शाया गया है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक निर्देशांक तल को दर्शाता है। एक क्षैतिज रेखा y = -2 को खींचा गया है। यह रेखा डैश-लाइन वाली है क्योंकि असमिका में '<' शामिल है। समाधान क्षेत्र रेखा y = -2 के नीचे छायांकित है, जो y < -2 को दर्शाता है।
In simple words: क्षैतिज रेखा y = -2 खींचें। चूंकि असमिका में '<' है, यह एक डैश-लाइन वाली रेखा होगी। चूंकि y < -2, रेखा के नीचे का क्षेत्र छायांकित करें।

🎯 Exam Tip: क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं का ग्राफ बनाना बहुत सीधा होता है, केवल यह याद रखें कि क्या वे ठोस या डैश-लाइन वाली हैं और किस तरफ छायांकन होना चाहिए।

Question 10. x > -3
Answer: हलः दी हुई रैखिक असमिका x > -3
सरल रेखा x = -3 बिन्दु (-3, 2), (-3, -2) से होकर जाती है।
x > -3 में x = 0 रखने पर,
0 > -3, यह सत्य है।
मूल बिन्दु (0, 0), x > 3 में है।
दी हुई आकृति में x > -3 छायांकित क्षेत्र से दर्शाया गया है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक निर्देशांक तल को दर्शाता है। एक ऊर्ध्वाधर रेखा x = -3 को खींचा गया है। यह रेखा डैश-लाइन वाली है क्योंकि असमिका में '>' शामिल है। मूल बिंदु (0,0) असमिका को संतुष्ट करता है, इसलिए समाधान क्षेत्र रेखा x = -3 के दाईं ओर छायांकित है, जो x > -3 को दर्शाता है।
In simple words: ऊर्ध्वाधर रेखा x = -3 खींचें। चूंकि असमिका में '>' है, यह एक डैश-लाइन वाली रेखा होगी। चूंकि x > -3, रेखा के दाईं ओर का क्षेत्र छायांकित करें।

🎯 Exam Tip: ऊर्ध्वाधर रेखाओं के लिए, x-अक्ष पर x के मान को पहचानें। '>' का मतलब दाईं ओर छायांकन है, और '<' का मतलब बाईं ओर छायांकन है।

प्रश्नावली 6.3

प्रश्न 1 से 15 तक निम्नलिखित असमिकाओं को आलेखीय विधि से हल कीजिए:

Question 1. x ≥ 3, y ≥ 2
Answer: हल: x ≥ 3, y ≥ 2
(i) सरल रेखा x = 3 बिन्दु (3, 0) और (3, 2) से होकर जाती है । x ≥ 3 में x = 0 रखने पर 0 ≥ 3, यह सत्य नहीं है। मूल बिन्दु (0, 0) x ≥ 3 के क्षेत्र में नहीं है।
(ii) सरल रेखा y = 2 बिन्दु (0, 2) और (3, 2) से होकर जाती है। y ≥ 2 में y = 0 रखने पर 0 ≥ 2, यह सत्य नहीं है। मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में नहीं है। x ≥ 3 और y ≥ 2 का हल उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र से दर्शाया गया है।
In simple words: रेखा x=3 (एक ऊर्ध्वाधर रेखा) और y=2 (एक क्षैतिज रेखा) खींचें। चूंकि दोनों असमिकाओं में '≥' है, दोनों रेखाएँ ठोस होंगी। x ≥ 3 के लिए रेखा x=3 के दाईं ओर और y ≥ 2 के लिए रेखा y=2 के ऊपर का क्षेत्र छायांकित करें। दोनों छायांकित क्षेत्रों का उभयनिष्ठ क्षेत्र ही समाधान है।

🎯 Exam Tip: दो या अधिक असमिकाओं के लिए समाधान क्षेत्र सभी व्यक्तिगत असमिकाओं के समाधान क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन (intersection) होता है। ठोस रेखाओं का उपयोग करें क्योंकि बराबर चिन्ह शामिल हैं।

Question 2. 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 1, y ≥ 2.
Answer: दी हुई रैखिक असमिकाएँ 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 1, y ≥ 2.
(i) रेखा 3x + 2y = 12 बिन्दु (2, 0) और (0, 6) से होकर जाती है।
3x + 2y ≤ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर।
0 + 0 ≤ 12, अर्थात् 0 ≤ 12 जो सत्य है।
मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में है।
3x + 2y ≤ 12 के हल में वे सभी बिन्दु हैं जो AB के नीचे है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख तीन असमिकाओं 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 1 और y ≥ 2 के हल क्षेत्र को दर्शाता है। इसमें एक त्रिभुजाकार क्षेत्र PQR है जो इन तीनों असमिकाओं के लिए उभयनिष्ठ हल क्षेत्र है। रेखाएं 3x + 2y = 12, x = 1, और y = 2 द्वारा बने क्षेत्र को छायांकित किया गया है, जिसमें बिंदु A(0,6), B(0,2), C(0,2) और D(3,2) और R(3,2) चिह्नित हैं।
(ii) रेखा x = 1 बिन्दु B(1, 0), Q(1, 2) से होकर जाती है। x ≥ 1 में x = 0 रखने पर 0 ≥ 1, यह सत्य नहीं है। मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में नहीं है। x ≥ 1 को हल के सभी बिन्दु है जो है जो x = 1 के दाईं ओर है।
(iii) रेखा y = 2, बिन्दु C(0, 2) और D(3, 2) से होकर जाती है। y ≥ 2 में y = 0 रखने पर 0 ≥ 2, यह सत्य नहीं है। मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में नहीं है । y ≥ 2 का हल वे सब बिन्दु हैं जो y = 2 के ऊपर हैं। तीनों असमिकाओं का हल इसके उभयनिष्ठ क्षेत्र ∆POR के सभी बिन्दु हैं।
In simple words: यह प्रश्न तीन रैखिक असमिकाओं के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को ग्राफीय विधि से ज्ञात करने के लिए है। प्रत्येक असमिका के लिए संबंधित रेखा खींचकर और परीक्षण बिंदु का उपयोग करके हल क्षेत्र निर्धारित किया जाता है, और फिर सभी क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन उभयनिष्ठ हल होता है।

🎯 Exam Tip: रैखिक असमिकाओं के ग्राफीय हल में, सबसे पहले प्रत्येक असमिका को समीकरण के रूप में दर्शाने वाली रेखा खींचें। फिर, परीक्षण बिंदुओं (जैसे मूल बिंदु) का उपयोग करके यह निर्धारित करें कि कौन सा क्षेत्र असमिका को संतुष्ट करता है। अंत में, सभी असमिकाओं द्वारा संतुष्ट उभयनिष्ठ क्षेत्र को छायांकित करें।

Question 3. 2x + y ≥ 6, 3x + 4y ≤ 12.
Answer: दी हुई असमिकाएँ 2x + y ≥ 6, 3x + 4y ≤ 12
(i) सरल रेखा 2x + y = 6 बिन्दु (3, 0) तथा (0, 6) से होकर जाती है।
2x + y ≥ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 6 जो सत्य नहीं है।
मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में नहीं है।
2x + y ≥ 6 का हुल वे सभी बिन्दु हैं जो 2x + y = 6 के ऊपर हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख दो रैखिक असमिकाओं 2x + y ≥ 6 और 3x + 4y ≤ 12 के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को दर्शाता है। रेखा 2x + y = 6 बिंदुओं (3,0) और (0,6) से गुजरती है, जबकि रेखा 3x + 4y = 12 बिंदुओं (4,0) और (0,3) से गुजरती है। इन दोनों रेखाओं द्वारा सीमित और संतुष्ट क्षेत्र को छायांकित किया गया है, जिसमें बिंदु A(0,6), B(3,0), C(0,3) और D(4,0) चिह्नित हैं।
(ii) सरल रेखा 3x + 4y = 12 बिन्दु D(4, 0) और C (0, 3) से होकर जाती है। 3x + 4y ≤ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 + 0 ≤ 12, जो सत्य है। मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में है। अत: 3x + 4y ≤ 12 का हल वे सब बिन्दु हैं जो रेखा CD के नीचे हैं। इस प्रकार 2x + y ≥ 6, 3x + 4y ≤ 12 का हल वह उभयनिष्ठ क्षेत्र है जो 2x + y = 6 के ऊपर और 3x + 4y = 12 के नीचे है। यह चित्र में उभयनिष्ठ क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।
In simple words: इस प्रश्न में दो रैखिक असमिकाओं का ग्राफीय हल ज्ञात किया गया है। प्रत्येक असमिका के लिए पहले उसकी संगत समीकरण रेखा खींची जाती है, फिर मूल बिंदु या किसी अन्य परीक्षण बिंदु का उपयोग करके असमिका का क्षेत्र निर्धारित किया जाता है। अंत में, दोनों क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन उभयनिष्ठ हल होता है।

🎯 Exam Tip: आलेखन विधि में, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को ध्यान से पहचानें क्योंकि यह उभयनिष्ठ हल क्षेत्र की सीमाओं को परिभाषित करता है। विभिन्न असमिकाओं के लिए सही पक्ष का चयन करने के लिए परीक्षण बिंदुओं का उपयोग महत्वपूर्ण है।

Question 4. x + y > 4, 2x – y > 0.
Answer: दी हुई रैखिक असमिकाएँ x + y > 4, 2x – y > 0,
(i) रेखा x + y = 4, बिन्दु (4, 0) और (0, 4) से होकर जाती है।
अब x + y > 4 में x = 0, y = 0 रखने पर, हमें प्राप्त हुआ 0 > 4 जो सत्य नहीं है।
मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में नहीं है।
x + y > 4 का हल वे सब बिन्दु हैं जो रेखा AB के ऊपर है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख दो असमिकाओं x + y > 4 और 2x - y > 0 के हल क्षेत्र को दर्शाता है। रेखा x + y = 4 बिंदुओं (4,0) और (0,4) से गुजरती है, जबकि रेखा 2x - y = 0 मूल बिंदु (0,0) और बिंदु (1,2) से होकर जाती है। इन दोनों असमिकाओं को संतुष्ट करने वाला उभयनिष्ठ क्षेत्र छायांकित है, जिसमें बिंदु O(0,0), A(4,0), D(1,2) चिह्नित हैं।
(ii) रेखा 2x – y = 0, बिन्दु O (0, 0) और D (1, 2) से होकर जाती है। 2x – y > 0 में x = 1, y = 0 रखते हुए 2 > 0, जो सत्य है। बिन्दु P(1, 0), 2x – y > 0 के क्षेत्र में है। 2x - y > 0 का हल वे सब बिन्दु हैं जो OD के नीचे हैं।
In simple words: इस प्रश्न में दो रैखिक असमिकाओं के हल क्षेत्र को ग्राफीय रूप से दर्शाया गया है। प्रत्येक असमिका के लिए सीमा रेखा खींचकर और परीक्षण बिंदुओं का उपयोग करके सही क्षेत्र निर्धारित किया जाता है। अंत में, दोनों क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन उभयनिष्ठ हल को दर्शाता है।

🎯 Exam Tip: '>', '<' चिह्नों वाली असमिकाओं के लिए, सीमा रेखा को बिंदीदार (dashed) बनाएं क्योंकि रेखा के बिंदु हल क्षेत्र में शामिल नहीं होते हैं। इसके विपरीत, '≥', '≤' चिह्नों के लिए, सीमा रेखा को ठोस (solid) बनाएं।

Question 5. 2x – y > 1, x – 2y < -1.
Answer: दी हुई रैखिक असमिकाएँ 2x – y > 1 और x – 2y < -1
(i) सरल रेखा 2x – y = 1 बिन्दु \( (\frac{1}{2}, 0) \) और (0, -1) से होकर जाती है। 2x – y > 1 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 > 1, यह सत्य नहीं है।
मूल बिन्दु (0, 0), 2x – y >1 के क्षेत्र में नहीं है।
2x – y > 1 का हल वे सब बिन्दु हैं जो रेखा AB के नीचे है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख दो असमिकाओं 2x - y > 1 और x - 2y < -1 के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को दर्शाता है। रेखा 2x - y = 1 बिंदुओं (1/2, 0) और (0,-1) से गुजरती है, जिसे AB चिह्नित किया गया है। रेखा x - 2y = -1 बिंदुओं (-1,0) और (0, 1/2) से गुजरती है, जिसे CD चिह्नित किया गया है। इन दोनों असमिकाओं को संतुष्ट करने वाला उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र QPR से दर्शाया गया है।
(ii) रेखा x – 2y = -1 बिन्दु C(-1, 0) और D(0, \( \frac{1}{2} \)) से होकर जाती है। x – 2y < -1 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 < -1, यह सत्य नहीं है। मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में नहीं है। 2x – y > 1 और x – 2y < -1 का हल वह उभयनिष्ठ भाग QPR है जो AB के नीचे और CD के ऊपर है।
In simple words: यह प्रश्न दो रैखिक असमिकाओं के ग्राफीय हल को दर्शाता है। इसमें प्रत्येक असमिका के लिए सीमा रेखा खींचकर और मूल बिंदु का उपयोग करके संबंधित क्षेत्र का निर्धारण किया जाता है। फिर, दोनों क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन उभयनिष्ठ हल प्रदान करता है।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक गुणांकों वाली असमिकाओं को हल करते समय सावधानी बरतें। यदि आप किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते हैं, तो असमिका का चिह्न पलट जाता है।

Question 6. x + y ≤ 6, x + y ≥ 4.
Answer: दी हुई रैखिक असमिकाएँ x + y ≤ 6 और x + y ≥ 4 है।
(i) रेखा x + y = 6, बिन्दु A(6, 0), B(0, 6) से होकर जाती है । x + y ≤ 6 में x = 0, y= 0 रखने पर 0 + 0≤6 अर्थात् 0 ≤ 6 जो सत्य है। मूल बिन्दु (0, 0), x + y ≤ 6 के क्षेत्र में है।
(ii) रेखा x + y = 4, बिन्दु C (4, 0) और D(0, 4) से होकर जाती है।
x + y ≥ 4 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 4, यह सत्य नहीं है।
मूल बिन्दु (0, 0) x + y ≥ 4 में नहीं है। इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो CD के ऊपर है।
दी हुई आकृति में छायांकित क्षेत्र x + y ≤ 6 और x + y ≥ 4 कै हल को दर्शाता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख दो रैखिक असमिकाओं x + y ≤ 6 और x + y ≥ 4 के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को दर्शाता है। रेखा x + y = 6 बिंदुओं A(6,0) और B(0,6) से गुजरती है, जबकि रेखा x + y = 4 बिंदुओं C(4,0) और D(0,4) से गुजरती है। इन दोनों रेखाओं के बीच का क्षेत्र, जो मूल बिंदु की ओर x+y≤6 और मूल बिंदु के विपरीत x+y≥4 है, छायांकित किया गया है, जो हल क्षेत्र को दर्शाता है।
In simple words: इस प्रश्न में, दो रैखिक असमिकाओं के बीच का क्षेत्र हल के रूप में निर्धारित किया गया है। प्रत्येक असमिका के लिए सीमा रेखा खींची जाती है और परीक्षण बिंदु से सही क्षेत्र का चयन किया जाता है, जिसके बाद दोनों क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन ही अंतिम हल होता है।

🎯 Exam Tip: जब दो असमिकाओं में समांतर रेखाएं हों (जैसे x+y=k), तो हल क्षेत्र उन समांतर रेखाओं के बीच एक पट्टी (strip) होता है। यदि असमिका में '≤' या '≥' चिह्न हैं, तो रेखाएं हल क्षेत्र में शामिल होती हैं।

Question 7. 2x + y ≥ 8, x + 2y ≥ 10.
Answer: दी हुई रैखिक असमिकाएँ 2x + y ≥ 8, x + 2y ≥ 10.
(i) रेखा 2x + y = 8 बिन्दु A(4, 0), B(0, 8) से होकर जाती है।
2x + y ≥ 8 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 > 8 जो असत्य है।
मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में नहीं है।
2x + y ≥ 8 को हल वे सब बिन्दु हैं जो रेखा AB के ऊपर है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख दो रैखिक असमिकाओं 2x + y ≥ 8 और x + 2y ≥ 10 के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को दर्शाता है। रेखा 2x + y = 8 बिंदुओं A(4,0) और B(0,8) से गुजरती है, जबकि रेखा x + 2y = 10 बिंदुओं C(10,0) और D(0,5) से गुजरती है। इन दोनों असमिकाओं के हल क्षेत्र, जो दोनों रेखाओं के ऊपर की ओर हैं, का उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र BPC से दर्शाया गया है।
(ii) रेखा x + 2y = 10, बिन्दु C (10, 0) और D(0, 5) से होकर जाती है । x + 2y ≥ 10 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 10, यह सत्य नहीं है। मूल बिन्दु (0, 0) x + 2y ≥ 10 में नहीं है । x + 2y ≥ 10 के सभी बिन्दु CD के ऊपर हैं। अर्थात् 2x + y ≥ 8, x + 2y ≥ 10 का हल छायांकित उभयनिष्ठ भाग BPC है।
In simple words: इस प्रश्न में दो रैखिक असमिकाओं के ग्राफीय हल को दर्शाया गया है। प्रत्येक असमिका के लिए उसकी संगत रेखा खींचकर और परीक्षण बिंदुओं का उपयोग करके हल क्षेत्र को निर्धारित किया जाता है, और फिर दोनों क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन उभयनिष्ठ हल प्रदान करता है।

🎯 Exam Tip: दो या दो से अधिक असमिकाओं के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को खोजने के लिए, प्रत्येक असमिका के हल क्षेत्र को अलग-अलग चिह्नित करें, फिर उन सभी क्षेत्रों का ओवरलैपिंग (अतिव्यापी) भाग ही अंतिम हल होता है।

Question 8. x + y ≤ 9, y > x, x ≥ 0.
Answer: दी हुई रैखिक असमिकाएँ x + y ≤ 9, y > x, x ≥ 0
(i) सरल रेखा x + y = 9 बिन्दु A(9, 0) और B(0, 9) से होकर जाती है । x + y ≤ 9 में x = 0, y = 0 रखते हुए 0 + 0 ≤ 9 अर्थात् 0 ≤ 9 जो सत्य है। मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में है । x +y ≤ 9 के बिन्दु AB रेखा के नीचे हैं।
(ii) सरल रेखा y = x बिन्दु O(0, 0) और C (3, 3) से होकर जाती है।
y > x में x = 0, y = 3 रखने पर, 3 > 0 जो सत्य है।
y > x के सभी बिन्दु y = x के ऊपर हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख तीन असमिकाओं x + y ≤ 9, y > x और x ≥ 0 के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को दर्शाता है। रेखा x + y = 9 बिंदुओं A(9,0) और B(0,9) से गुजरती है। रेखा y = x मूल बिंदु O(0,0) और C(3,3) से गुजरती है। रेखा x = 0 y-अक्ष को दर्शाती है। इन तीनों असमिकाओं को संतुष्ट करने वाला त्रिभुजाकार छायांकित क्षेत्र उभयनिष्ठ हल है।
(iii) सरल रेखा x = 0, y-अक्ष को निरूपित करती है। x ≥ 0 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 0 जो सत्य है । x ≥ 0 के सभी बिन्दु x = 0 के दाईं ओर है। आकृति में उभयनिष्ठ छायांकित क्षेत्र असमिकाओं x + y ≤ 9, y > x, x ≥ 0 का हल है।
In simple words: यह प्रश्न तीन रैखिक असमिकाओं के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को ग्राफीय विधि से ज्ञात करने के लिए है। प्रत्येक असमिका को एक रेखा से दर्शाकर और परीक्षण बिंदुओं का उपयोग करके उसके संतुष्टि क्षेत्र को निर्धारित किया जाता है। अंत में, सभी क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन अंतिम हल होता है।

🎯 Exam Tip: \(x \ge 0\) और \(y \ge 0\) असमिकाएँ हमेशा प्रथम चतुर्थांश को दर्शाती हैं, जो कई समस्याओं में एक महत्वपूर्ण सीमा होती है। इन्हें ग्राफीय हल के लिए प्रारंभिक आधार के रूप में मानें।

Question 9. 5x + 4y ≤ 20, x ≥ 1, y ≥ 2.
Answer: दी हुई रैखिक असमिकाएँ 5x + 4y ≤ 20, x ≥ 1, y ≥ 2
सरल रेखा 5x + 4y = 20 बिन्दु A (4, 0) और B (0, 5) से होकर जाती हैं।
5x + 4y ≤ 20 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 + 0 ≤ 20 अर्थात् 0 ≤ 20 जो सत्य है।
मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में है।
5x + 4y ≤ 20 के सभी बिन्दु रेखा AB के नीचे है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख तीन असमिकाओं 5x + 4y ≤ 20, x ≥ 1 और y ≥ 2 के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को दर्शाता है। रेखा 5x + 4y = 20 बिंदुओं A(4,0) और B(0,5) से गुजरती है। रेखा x = 1, y-अक्ष के समानांतर है और रेखा y = 2, x-अक्ष के समानांतर है। इन तीनों असमिकाओं को संतुष्ट करने वाला त्रिभुजाकार छायांकित क्षेत्र PDR उभयनिष्ठ हल है, जिसमें बिंदु C(1,0), D(1,2), E(0,2), F(4,2) और R(4,2) चिह्नित हैं।
(i) x = 1 बिन्दु C(1, 0), D(1, 2) से होकर जाती है।
x ≥ 1 में x = 0 रखने पर 0 ≥ 1 जो सत्य नहीं है।
x ≥ 1 के सभी बिन्दु x = 1 के दायीं ओर होते हैं।
(ii) y = 2, बिन्दु E(0, 2) और F(4, 2) से होकर जाती है। y ≥ 2 में y = 0 रखने पर 0 ≥ 2 सत्य नहीं है। मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में नहीं है। y ≥ 2 का हल वे सब बिन्दु हैं जो EF के ऊपर हैं। दी हुई असमिकाओं का हल आकृति में उभयनिष्ठ PDR छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है।
In simple words: इस प्रश्न में तीन रैखिक असमिकाओं का ग्राफीय हल ज्ञात किया गया है। प्रत्येक असमिका के लिए रेखा खींचकर और परीक्षण बिंदु से सही क्षेत्र का चुनाव किया जाता है। अंत में, सभी असमिकाओं द्वारा संतुष्ट उभयनिष्ठ क्षेत्र ही हल होता है।

🎯 Exam Tip: जब असमिकाएं \(x \ge a\) या \(y \ge b\) के रूप में हों, तो वे क्रमशः ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाओं के रूप में दिखती हैं, जो \(a\) और \(b\) के मानों पर निर्भर करती हैं। इन विशेष मामलों को हल करते समय रेखाओं की दिशा पर ध्यान दें।

Question 10. 3x + 4y ≤ 60, x + 3y ≤ 30, x ≥ 0, y ≥ 0.
Answer: दी हुई असमिकाएँ : 3x + 4y ≤ 60, x + 3y ≤ 30, x ≥ 0, y ≥ 0.
(i) रेखा 3x + 4y = 60 बिन्दु A(20, 0) तथा B(0, 15) से होकर जाती है।
असमिका 3x + 4y ≤ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 60 जो सत्य है।
मूल बिन्दु इस क्षेत्र में पड़ता है।
इस असंमिका का हल वे सब बिन्दु हैं जो AB के नीचे हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख चार असमिकाओं 3x + 4y ≤ 60, x + 3y ≤ 30, x ≥ 0 और y ≥ 0 के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को दर्शाता है। रेखा 3x + 4y = 60 बिंदुओं A(20,0) और B(0,15) से गुजरती है, जबकि रेखा x + 3y = 30 बिंदुओं C(30,0) और D(0,10) से गुजरती है। x ≥ 0 y-अक्ष के दाईं ओर और y ≥ 0 x-अक्ष के ऊपर का क्षेत्र है। इन सभी असमिकाओं को संतुष्ट करने वाला बहुभुजाकार छायांकित क्षेत्र PDOA उभयनिष्ठ हल है।
(ii) रेखा x + 3y = 30 बिन्दु C (30, 0) और D(0, 10) से होकर जाती है। असमिका x + 3y ≤ 30 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 30 जो सत्य है। मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में है। इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो CD के नीचे हैं।
(iii) x = 0, y-अक्ष को निरुपित करती है। x ≥ 0 में वे सब बिन्दु हैं जो y-अक्ष की दाईं ओर हैं।
(iv) y = 0, x-अक्ष को निरुपित करती है। और y ≥ 0 में वे सब बिन्दु हैं जो x-अक्ष के ऊपर हैं। दी हुई असमिका का हल वे सब बिन्दु हैं जो उभयनिष्ठ क्षेत्र PDOA में आते हैं।
In simple words: यह प्रश्न चार रैखिक असमिकाओं के ग्राफीय हल को दर्शाता है। इसमें प्रत्येक असमिका के लिए रेखा खींचकर और परीक्षण बिंदुओं की सहायता से हल क्षेत्र का निर्धारण किया जाता है। सभी क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन एक बहुभुजाकार क्षेत्र बनाता है जो अंतिम हल होता है।

🎯 Exam Tip: \(x \ge 0\) और \(y \ge 0\) की असमिकाएँ आमतौर पर ग्राफीय हल को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित कर देती हैं, जिससे समस्या को समझने में आसानी होती है। इन सीमाओं को हमेशा पहले ध्यान में रखें।

Question 11. 2x + y ≥ 4, x + y ≤ 3, 2x – 3y ≤ 6.
Answer: दी हुई असमिकाएँ 2x + y ≥ 4, x + y ≤ 3, 2x – 3y ≤ 6.
(i) रेखा 2x + y = 4, बिन्दु A (2, 0) और B(0, 4) से होकर जाती है।
असमिका 2x + y ≥ 4 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 + 0 ≥ 4 अर्थात् 0 ≥ 4जो सत्य नहीं है।
मूल बिन्दु इस क्षेत्र में नहीं है।
इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो AB के ऊपर हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख तीन रैखिक असमिकाओं 2x + y ≥ 4, x + y ≤ 3 और 2x - 3y ≤ 6 के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को दर्शाता है। रेखा 2x + y = 4 बिंदुओं A(2,0) और B(0,4) से गुजरती है। रेखा x + y = 3 बिंदुओं C(3,0) और D(0,3) से गुजरती है। रेखा 2x - 3y = 6 बिंदुओं C(3,0) और E(0,-2) से गुजरती है। इन तीनों असमिकाओं को संतुष्ट करने वाला छायांकित क्षेत्र AQC उभयनिष्ठ हल है।
(ii) रेखा x + y = 3 बिन्दु C (3, 0), D(0, 3) से होकर जाती है। असमिका x + y ≤ 3 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 3 जो सत्य है। मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में है। इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो CD के नीचे हैं।
(iii) रेखा 2x – 3y = 6, बिन्दु C (3, 0) और E(0, -2) से होकर जाती है। असमिका 2x – 3y ≤ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 6, जो सत्य है। मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में है। इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो CE के ऊपर हैं। दी हुई असमिकाओं का हल छायांकित उभयनिष्ठ क्षेत्र AQC के सब बिन्दु हैं।
In simple words: यह प्रश्न तीन रैखिक असमिकाओं के ग्राफीय हल को दर्शाता है। इसमें प्रत्येक असमिका के लिए सीमा रेखा खींचकर और परीक्षण बिंदुओं का उपयोग करके हल क्षेत्र निर्धारित किया जाता है। अंत में, सभी क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन एक त्रिभुजाकार उभयनिष्ठ हल क्षेत्र बनाता है।

🎯 Exam Tip: तीन या अधिक असमिकाओं के लिए, सुनिश्चित करें कि प्रत्येक रेखा को सही ढंग से लेबल किया गया है और प्रत्येक असमिका के लिए सही पक्ष को चिह्नित किया गया है ताकि अंतिम उभयनिष्ठ क्षेत्र की पहचान आसान हो।

Question 12. x – 3y ≤ 3, 3x + 4y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 1.
Answer: दी हुई असमिकाएँ x – 3y ≤ 3, 3x + 4y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 1.
(i) रेखा x – 3y = 3 बिन्दु A(3, 0), B(0, -1) से होकर जाती है।
असमिका x – 3y ≤ 3 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 3 जो सत्य है।
मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में है। इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो AB के नीचे है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख चार असमिकाओं x - 3y ≤ 3, 3x + 4y ≥ 12, x ≥ 0 और y ≥ 1 के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को दर्शाता है। रेखा x - 3y = 3 बिंदुओं A(3,0) और B(0,-1) से गुजरती है। रेखा 3x + 4y = 12 बिंदुओं C(4,0) और D(0,3) से गुजरती है। रेखा x = 0 y-अक्ष को दर्शाती है और रेखा y = 1 x-अक्ष के समानांतर है। इन सभी असमिकाओं को संतुष्ट करने वाला बहुभुजाकार छायांकित क्षेत्र PDQRS उभयनिष्ठ हल है।
(ii) रेखा 3x + 4y = 12 बिन्दु C(4, 0) और D(0, 3) से होकर जाती है। असमिका 3x +4y ≥ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 12, जो सत्य नहीं है। मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में नहीं है। इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो CD के ऊपर है।
(iii) x = 0, y-अक्ष को दर्शाती है। x ≥ 0 का हल वे सब बिन्दु हैं जो y-अक्ष के दाईं ओर है।
(iv) रेखा y = 1 बिन्दु E(0, 1), Q(3, 1) से होकर जाती है। असमिका y ≥ 1 का हल वे सब बिन्दु है जो संख्या y = 1 पर पड़ते हैं या इसके ऊपर हैं। दी हुई असमिकाओं का हल वे सब बिन्दु हैं जो उभयनिष्ठ क्षेत्र PDQRS से निरूपित किया गया है।
In simple words: यह प्रश्न चार रैखिक असमिकाओं के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को ग्राफीय विधि से ज्ञात करने के लिए है। प्रत्येक असमिका के लिए उसकी संगत रेखा खींचकर और परीक्षण बिंदु से सही क्षेत्र का चुनाव किया जाता है, जिसके बाद सभी क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन अंतिम हल क्षेत्र प्रदान करता है।

🎯 Exam Tip: जब असमिकाएँ \(x \ge 0\) और \(y \ge 1\) जैसी हों, तो ये अक्षों या उनके समांतर रेखाओं पर सीमाएँ बनाती हैं। इन सीमाओं को ध्यान से प्लॉट करें क्योंकि वे अंतिम हल क्षेत्र को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती हैं।

Question 13. 4x + 3y ≤ 60, y ≥ 2x, x ≥ 3, x, y ≥ 0.
Answer: दी हुई असमिकाएँ 4x + 3y ≤ 60, y ≥ 2x, x ≥ 3, x, y ≥ 0.
(i) सरल रेखा 4x + 3y = 60 बिन्दु A(15, 0), B(0, 20) से होकर जाती है।
4x + 3y ≤ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 60 जो सत्य है।
मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में है।
इस असमिका का हल वे बिन्दु हैं जो रेखा AB या AB के नीचे होते हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख चार असमिकाओं 4x + 3y ≤ 60, y ≥ 2x, x ≥ 3, x ≥ 0 और y ≥ 0 के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को दर्शाता है। रेखा 4x + 3y = 60 बिंदुओं A(15,0) और B(0,20) से गुजरती है। रेखा y = 2x मूल बिंदु O(0,0) और C(5,10) से गुजरती है। रेखा x = 3, y-अक्ष के समानांतर है। x ≥ 0 और y ≥ 0 प्रथम चतुर्थांश को दर्शाते हैं। इन सभी असमिकाओं को संतुष्ट करने वाला बहुभुजाकार छायांकित क्षेत्र POR उभयनिष्ठ हल है।
(ii) y – 2x = 0, बिन्दु O(0, 0) और C (5, 10) से होकर जाती है । y – 2x ≥ 0 में x = 5, y = 0 रखने पर, 0 – 10 ≥ 0 अर्थात् -10 ≥ 0 जो सत्य नहीं है। बिन्दु (5,0) इसके क्षेत्र में नहीं है । y – 2x ≥ 0 को हल वे सब बिन्दु हैं जो OC पर और OC के ऊपर हैं।
(iii) रेखा x ≥ 3 बिन्दु D(3, 0), E(3, 10) से होकर जाती है। असमिका x ≥ 3 के हल वे बिन्दु हैं जो DE या DE के दाईं ओर हैं।
(iv) x ≥ 0,y ≥ 0 पहले चतुर्थांश के बिन्दु हैं। दी हुई असमिकाओं का हल उभयनिष्ठ क्षेत्र POR पर और उसके अन्दर के बिन्दु हैं।
In simple words: इस प्रश्न में कई रैखिक असमिकाओं का ग्राफीय हल दिखाया गया है। प्रत्येक असमिका के लिए रेखा खींचकर और परीक्षण बिंदु का उपयोग करके हल क्षेत्र निर्धारित किया जाता है। सभी हल क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन अंतिम उभयनिष्ठ बहुभुजाकार हल क्षेत्र होता है।

🎯 Exam Tip: जटिल प्रणाली में, प्रत्येक असमिका को एक-एक करके हल करें और प्रत्येक के लिए हल क्षेत्र को हल्के से चिह्नित करें। अंतिम हल क्षेत्र वह होगा जहां सभी व्यक्तिगत हल क्षेत्र ओवरलैप करते हैं।

Question 14. 3x + 2y ≤ 150, x + 4y ≤ 80, x ≤ 15, y ≥ 0.
Answer: दी हुई असमिकाएँ 3x + 2y ≤ 150, x + 4y ≤ 80, x ≤ 15, y ≥ 0.
(i) सरल रेखां 3x + 2y = 150, बिन्दु A(50, 0), B(0, 75) से होकर जाती है।
असमिका 3x + 2y ≤ 150 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 150 जो सत्य है।
मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में है।
इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो AB पर या AB से नीचे हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख चार असमिकाओं 3x + 2y ≤ 150, x + 4y ≤ 80, x ≤ 15 और y ≥ 0 के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को दर्शाता है। रेखा 3x + 2y = 150 बिंदुओं A(50,0) और B(0,75) से गुजरती है। रेखा x + 4y = 80 बिंदुओं C(80,0) और D(0,20) से गुजरती है। रेखा x = 15 y-अक्ष के समानांतर है। y ≥ 0 x-अक्ष के ऊपर का क्षेत्र है। इन सभी असमिकाओं को संतुष्ट करने वाला बहुभुजाकार छायांकित क्षेत्र PORS उभयनिष्ठ हल है।
(ii) रेखा x + 4y = 80 बिन्दु C(80, 0), D(0, 20) से होकर जाती है। असमिका x + 4y ≤ 80 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 80 जो सत्य है। मूल बिन्दु इस क्षेत्र में है। इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो CD पर या CD के नीचे स्थित है।
(iii) x = 15 रेखा -अक्ष के समान्तर है और x ≤ 15 का हल वे बिन्दु हैं जो x = 15 पर या इसके बाईं ओर स्थित है।
(iv) y ≥ 0 में y-अक्ष पर और उसके ऊपर के सब बिन्दु हैं। दी हुई असमिकाओं का हल उभयनिष्ठ क्षेत्र PORS हैं।
In simple words: यह प्रश्न चार रैखिक असमिकाओं के ग्राफीय हल को दर्शाता है। प्रत्येक असमिका के लिए संगत रेखाएँ खींची जाती हैं और परीक्षण बिंदुओं से हल क्षेत्र का निर्धारण किया जाता है। सभी हल क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन एक बहुभुजाकार उभयनिष्ठ क्षेत्र देता है जो अंतिम हल होता है।

🎯 Exam Tip: बड़े संख्या मानों वाली असमिकाओं के लिए, उपयुक्त पैमाना चुनें ताकि ग्राफ स्पष्ट और पठनीय हो। सभी सीमा रेखाओं और प्रतिच्छेदन बिंदुओं को सटीक रूप से चिह्नित करें।

Question 15. x + 2y ≤ 10, x + y ≥ 1, x – y ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0.
Answer: दी हुई असमिकाएँ x + 2y ≤ 10, x + y ≥ 1, x – y ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख पाँच असमिकाओं x + 2y ≤ 10, x + y ≥ 1, x - y ≤ 0, x ≥ 0 और y ≥ 0 के उभयनिष्ठ हल क्षेत्र को दर्शाता है। रेखा x + 2y = 10 बिंदुओं A(10,0) और B(0,5) से गुजरती है। रेखा x + y = 1 बिंदुओं C(1,0) और D(0,1) से गुजरती है। रेखा x - y = 0 (अर्थात् y = x) मूल बिंदु O(0,0) और बिंदु P(1,1) से गुजरती है। x ≥ 0 y-अक्ष के दाईं ओर और y ≥ 0 x-अक्ष के ऊपर का क्षेत्र है। इन सभी असमिकाओं को संतुष्ट करने वाला बहुभुजाकार छायांकित क्षेत्र PQDB उभयनिष्ठ हल है।
(i) सरल रेखा x + 2y = 10 बिन्दु A(10, 0) और B(0, 5) से होकर जाती है। असमिका x + 2y ≤ 10 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 10 जो सत्य है। मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में है। इस असमिका का हल वे सब बिन्दु हैं जो AB पर हैं तथा AB के नीचे हैं।
(ii) रेखा x + y = 1 बिन्दु C(1,0), D(0, 1) से होकर जाती है। असमिका x + y ≥ 1 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 1 जो सत्य नहीं है। मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में नहीं है। इस असमिका का हल वे सब बिन्दु हैं जो CD पर हैं या इसके ऊपर हैं।
(iii) रेखा x – y = 0 बिन्दु (0, 0) और (1, 1) से होकर जाती है। असमिका x - y ≤ 0 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 0 जो सत्य है। (0, 0) इसके क्षेत्र में है। इस असमिका का हल वे बिन्दु जो x - y = 0 पर हैं या इसके ऊपर हैं।
(iv) x ≥ 0 वह क्षेत्र है जो y-अक्ष के दाईं ओर है।
(v) y ≥ 0 वह क्षेत्र है जो x-अक्ष के ऊपर है। दी हुई असमिकाओं का हल वे सब बिन्दु हैं जो उभयनिष्ठ क्षेत्र PQDB में है।
In simple words: इस प्रश्न में पाँच रैखिक असमिकाओं के ग्राफीय हल को दर्शाया गया है। प्रत्येक असमिका के लिए रेखा खींचकर और परीक्षण बिंदुओं का उपयोग करके हल क्षेत्र निर्धारित किया जाता है। सभी हल क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन एक बहुभुजाकार उभयनिष्ठ हल क्षेत्र बनाता है।

🎯 Exam Tip: जब कई असमिकाएँ हों, तो अक्षों पर और उनके बीच के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ध्यान से निर्धारित करें। यह हल क्षेत्र की सही सीमाओं को परिभाषित करने में मदद करता है।

अध्याय 6 पर विविध प्रश्नावली

Question 1. 2 ≤ 3x-4 ≤ 5.
Answer: 2 ≤ 3x – 4 ≤ 5
2 + 4 ≤ 3x ≤ 5 + 4
6 ≤ 3x ≤ 9
3 से दोनों पक्षों में भाग देने पर 2 ≤ x ≤ 3
दी हुई असमिका का हल = [2, 3].
In simple words: इस असमिका को हल करने के लिए, सभी तीन भागों में एक ही क्रिया (जोड़ना, भाग देना) की जाती है ताकि x को अलग किया जा सके। इससे x का मान 2 और 3 के बीच आता है, जिसमें 2 और 3 दोनों शामिल हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसी संयुक्त असमिकाओं को हल करते समय, सुनिश्चित करें कि आप सभी तीन भागों पर एक साथ समान संक्रिया लागू करें ताकि असमिका का संबंध सही बना रहे।

Question 2. 6 ≤ -3 (2x - 4) < 12.
Answer: 6 < -3(2x - 4) < 12
6 ≥ -6(x – 2) > 12
-6 से भाग करने पर -1 ≥ x – 2 > -2;
-1 + 2 ≥ x > -2 + 2
1 ≥ x > 0 या 0 < x ≤ 1
दी हुई असमिका का हल (0, 1].
In simple words: इस असमिका को हल करने के लिए, पहले इसे दो अलग-अलग असमिकाओं में विभाजित किया जाता है, या सभी तीन भागों में गुणा-भाग किया जाता है। ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमिका का चिह्न पलट जाता है।

🎯 Exam Tip: जब असमिका के एक भाग को किसी ऋणात्मक संख्या से विभाजित या गुणा किया जाता है, तो असमिका का चिह्न अवश्य पलट दें, अन्यथा उत्तर गलत होगा।

Question 3. हल कीजिए : - 3 ≤ 4- \( \frac{7x}{2} \) ≤ 18.
Answer: दी हुई असमिका \[ -3 \le 4 - \frac{7x}{2} \le 18 \] 2 से गुणा करने पर \[ -6 \le 8 - 7x \le 36 \] 8 घटाने पर, \[ -14 \le -7x \le 28 \] - 7 से भाग देने पर
\( \implies \) \( 2 \ge x \ge -4 \) या \( -4 \le x \le 2 \)
.. दी हुई असमिका का हल [-4, 2].
In simple words: इस संयुक्त असमिका को हल करने के लिए, पहले सभी तीन भागों को 2 से गुणा किया जाता है, फिर 8 घटाया जाता है, और अंत में -7 से भाग दिया जाता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिह्न पलट जाता है, जिससे x का परिसर -4 से 2 तक प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: असमिका में भिन्नात्मक पदों को हटाने के लिए, प्रत्येक पद को हर के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें। ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय असमिका चिह्न को पलटना न भूलें।

Question 4. हल कीजिए : - 15 < \( \frac{3(x-2)}{5} \) ≤ 0.
Answer:\[ -15 < \frac{3(x-2)}{5} \le 0 \] 5 से गुणा करने पर \[ -75 < 3(x-2) \le 0 \] \[ -75 < 3x - 6 \le 0 \] या \[ -75 + 6 < 3x \le 6 \] \[ -69 < 3x \le 6 \] 3 से भाग देने पर \[ \frac{-69}{3} < x \le \frac{6}{3} \]
\( \implies \) \( -23 < x \le 2 \) या \( -23 < x \le 2 \)
.. असमिका का हल = (- 23, 2].
In simple words: इस असमिका को हल करने के लिए, पहले सभी भागों को 5 से गुणा किया जाता है, फिर 3x - 6 को अलग करने के लिए ब्रैकेट खोला जाता है। इसके बाद, 6 जोड़ा जाता है और अंत में 3 से भाग दिया जाता है ताकि x का मान -23 से 2 तक प्राप्त हो सके, जिसमें 2 शामिल है।

🎯 Exam Tip: जब असमिका में ब्रैकेट हों, तो पहले उन्हें खोलकर सरल करें। फिर, सभी भागों पर एक साथ जोड़ और घटाव की संक्रियाएँ लागू करें, और अंत में गुणा या भाग करके x को अलग करें।

Question 5. हल कीजिए : - 12 < 4 - \( \frac{3x}{-5} \) ≤ 2.
Answer:\[ -12 < 4 - \frac{3x}{-5} \le 2 \] \[ -12 < 4 + \frac{3x}{5} \le 2 \] या 4 घटाने पर \[ -16 < \frac{3x}{5} \le -2 \] 5/3 से गुणा करने पर, \[ -16 \times \frac{5}{3} < x \le -2 \times \frac{5}{3} \] \[ \frac{-80}{3} < x \le \frac{-10}{3} \]
.. असमिका का हल = \( ( \frac{-80}{3}, \frac{-10}{3} ] \)
In simple words: इस असमिका को हल करने के लिए, पहले ऋणात्मक हर को धनात्मक बनाया जाता है, फिर सभी भागों से 4 घटाया जाता है। अंत में, \( \frac{5}{3} \) से गुणा करके x को अलग किया जाता है, जिससे x का परिसर \( \frac{-80}{3} \) से \( \frac{-10}{3} \) तक प्राप्त होता है, जिसमें \( \frac{-10}{3} \) शामिल है।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को हल करते समय, यदि हर ऋणात्मक हो, तो इसे धनात्मक बनाने के लिए अंश और हर दोनों को -1 से गुणा करें, जिससे गणना में आसानी हो।

Question 6. 7 ≤ \( \frac{3x + 11}{2} \) ≤ 11.
Answer:\[ 7 \le \frac{3x+11}{2} \le 11 \] 2 से गुणा करने पर \[ 14 \le 3x + 11 \le 22 \] 11 घटाने पर \[ 3 \le 3x \le 11 \] 3 से भाग देने पर \[ 1 \le x \le \frac{11}{3} \]
.. असमिका का हल = \( [1, \frac{11}{3}] \)
In simple words: इस संयुक्त असमिका को हल करने के लिए, पहले सभी तीन भागों को 2 से गुणा किया जाता है, फिर 11 घटाया जाता है, और अंत में 3 से भाग दिया जाता है। इससे x का मान 1 और \( \frac{11}{3} \) के बीच प्राप्त होता है, जिसमें 1 और \( \frac{11}{3} \) दोनों शामिल हैं।

🎯 Exam Tip: असमिका में भिन्नात्मक पदों को हल करते समय, सभी पक्षों को हर से गुणा करें। यह पूर्णांकों के साथ काम करना आसान बनाता है और गलती की संभावना कम कर देता है।

प्रश्न 7 से 12 तक की असमिकाओं को हल कीजिए और उनके हल को संख्या-रेखा पर निरूपित कीजिए:

Question 7. 5x + 1 > -24, 5x – 1 < 24.
Answer:
(i) 5x + 1 > -24 या 5x > -25 या x > -5
(ii) 5x – 1 < 24 या 5x < 25
x < 5
असमिकाओं का हल (-5, 5).
इसका संख्या रेखा द्वारा निरूपण इस प्रकार है:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख संख्या रेखा पर असमिकाओं \(x > -5\) और \(x < 5\) के हल क्षेत्र को दर्शाता है। संख्या रेखा पर -5 और 5 के बीच के सभी बिंदुओं को एक खुली रेखा द्वारा दर्शाया गया है, जिसमें -5 और 5 शामिल नहीं हैं।
In simple words: इन दो असमिकाओं को अलग-अलग हल करने पर x का मान -5 से बड़ा और 5 से छोटा प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि x, -5 और 5 के बीच की कोई भी संख्या हो सकती है, जिन्हें संख्या रेखा पर एक खुले अंतराल के रूप में दर्शाया जाता है।

🎯 Exam Tip: संख्या-रेखा पर अंतराल को दर्शाते समय, यदि हल में अंत बिंदु शामिल नहीं हैं (जैसे '>' या '<' के लिए), तो खुले वृत्त (open circles) का उपयोग करें। यदि अंत बिंदु शामिल हैं (जैसे '≥' या '≤' के लिए), तो ठोस वृत्त (solid circles) का उपयोग करें।

Question 8. 2(x – 1) < x + 5, 3(x + 2) > 2-x
Answer: दी हुई असमिकाएँ
(i) 2(x – 1) < x + 5
2x – 2 < x + 5
2x – x < 5 + 2
x < 7
(ii) 3(x + 2) > 2-x
3x + 6 > 2-x
3x + x > 2 – 6
4x > -4
x > -1
असमिकाओं का हल (-1, 7).
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख संख्या रेखा पर असमिकाओं \(x < 7\) और \(x > -1\) के हल क्षेत्र को दर्शाता है। संख्या रेखा पर -1 और 7 के बीच के सभी बिंदुओं को एक खुली रेखा द्वारा दर्शाया गया है, जिसमें -1 और 7 शामिल नहीं हैं।
In simple words: इन दो असमिकाओं को हल करने पर, हमें x का मान -1 से बड़ा और 7 से छोटा मिलता है। संख्या रेखा पर, इसे -1 और 7 के बीच के खुले अंतराल के रूप में दर्शाया गया है।

🎯 Exam Tip: यदि असमिका में चर एक से अधिक स्थानों पर आता है, तो पहले सभी चर पदों को एक साथ (आमतौर पर बाईं ओर) और स्थिरांकों को दूसरी ओर लाएँ, फिर चर को अलग करें।

Question 9. 3x – 7 > 2(x – 6), 6 − x > 11 – 2x
Answer: दी हुइ असमिकाएँ
(i) 3x – 7 > 2(x – 6)
3x – 7 > 2x – 12
2x को बाईं ओर तथा 7 को दाईं ओर लाते हुए
3x – 2x > -12 + 7
x > -5
(ii) 6 – x > 11 – 2x
2x को बाईं ओर तथा 6 को दाईं ओर रखने पर,
6 + 2x – x > 11
6 + x > 11
x > 11 – 6
x > 5
दी हुई असमिकाओं का हल (5, ∞) है और संख्या रेखा पर निरूपण इस प्रकार है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आलेख संख्या रेखा पर असमिकाओं \(x > -5\) और \(x > 5\) के हल क्षेत्र को दर्शाता है। चूंकि \(x > 5\) शर्त \(x > -5\) को भी संतुष्ट करती है, इसलिए हल क्षेत्र 5 से बड़े सभी वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है, जिसे संख्या रेखा पर 5 के दाईं ओर एक खुली रेखा द्वारा दर्शाया गया है, जिसमें 5 शामिल नहीं है।
In simple words: इन दो असमिकाओं को हल करने पर, हमें x का मान 5 से बड़ा प्राप्त होता है। संख्या रेखा पर, इसे 5 से शुरू होकर अनंत तक जाने वाले एक खुले अंतराल के रूप में दर्शाया जाता है।

🎯 Exam Tip: जब दो असमिकाओं को हल करते हैं और उनके हल के बीच एक "और" संबंध होता है, तो अंतिम हल दोनों व्यक्तिगत हल क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन होता है।

Question 10. 5(2x – 7) – 3(2x + 3) ≤ 0, 2x + 19 ≤ 6x + 47.

Question 11. एक विलयन को 68°F और 77°F के मध्य रखना है। सेल्सियस पैमाने पर विलयन के तापमान को परिसर ज्ञात कीजिए, जहाँ सेल्सियस फारेनहाइट परिवर्तन सूत्र परिसर ज्ञात कीजिए, जहाँ सेल्सियस फॉरेन्हाइत परिवर्तन सूत्र F = \(\frac { 9 }{ 5 } \) C + 32 है।
Answer: हल : दिया है :
\( F=\frac{9}{5} C+32 \)
और \( 68^{\circ} < F < 77^{\circ} \)
\[ \implies 68^{\circ} < \frac{9}{5} C + 32^{\circ} < 77^{\circ} \]
32 घटाने पर
\[ \implies 68^{\circ}-32^{\circ} < \frac{9}{5} C < 77^{\circ}-32^{\circ} \]
\[ 36^{\circ} < \frac{9}{5} C < 45^{\circ} \]
\(\frac{5}{9}\) से गुणा करने पर
\[ \implies 20^{\circ} < C < 25^{\circ} \]
अतः C का परिसर अंतराल (20°, 25°).
In simple words: तापमान को फारेनहाइट से सेल्सियस में बदलने के लिए दिए गए सूत्र का उपयोग किया जाता है। फारेनहाइट तापमान की सीमा को सूत्र में प्रतिस्थापित करके, हम सेल्सियस तापमान के लिए एक संगत सीमा प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: तापमान परिवर्तन के सूत्रों को सही ढंग से लागू करना और असमिकाओं को हल करते समय सावधानी बरतना महत्वपूर्ण है ताकि सटीक परिसर प्राप्त किया जा सके।

Question 12. 8% बोरिक एसिड के विलयन में 2% बोरिक एसिड का विलयन मिलाकर तनु (dilute) किया जाता है। परिणामी मिश्रण में बोरिक एसिड 4% से अधिक तथा 6% से कम होना चाहिए। यदि हमारे पास 8% विलयन की मात्रा 640 लीटर हो तो ज्ञात कीजिए कि 2% विलयन के कितने लीटर इसमें मिलाने होंगे?
Answer: हल: मान लीजिए 2% बोरिक एसिड का x लीटर विलयन मिलाया जाता है। कुल मिश्रण की संख्या = 640 + x
(i) यदि मिश्रण में 4% से अधिक का विलयन है तो
x का 2% + 640 का 8% > (640 + x) को 4%
\[ \frac{2}{100} x + \frac{8}{100} \times 640 > \frac{4}{100} \times (640 + x) \]
या \[ 2x + 5120 > 2560 + 4x \]
या \[ 5120-2560 > 4x - 2x \]
\[ \implies 2x < 2560 \]
या \[ x < 1280 \]
(ii) यदि मिश्रण 6% बोरिक मिश्रण एसिड विलयन से कम है।
इस प्रकार 2% एसिड
x का 2% + 640 का 8% < (640+ x) का 6%
\[ \frac{2}{100} x + \frac{8}{100} \times 640 < \frac{6}{100} \times (640 + x) \]
या \[ 2x+5120 < 3840 + 6x \]
या \[ 5120-3840 < 6x - 2x \]
\[ \implies 4x > 1280 \]
\[ \implies x > 320 \]
अतः विलयन की मात्रा 320 लीटर से अधिक और 1280 लीटर से कम होनी चाहिए।
In simple words: 2% बोरिक एसिड के विलयन की मात्रा ज्ञात करने के लिए, हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि परिणामी मिश्रण में बोरिक एसिड की सांद्रता 4% से 6% के बीच रहे। इसके लिए दो असमिकाएँ स्थापित की जाती हैं और उन्हें हल करके x के लिए एक सीमा प्राप्त की जाती है।

🎯 Exam Tip: प्रतिशत सांद्रता वाले मिश्रणों से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, प्रत्येक घटक की मात्रा और उनकी कुल मात्रा का सही अनुमान लगाना महत्वपूर्ण है। असमिकाओं को सावधानी से स्थापित करें और हल करें।

Question 13. 45% अम्ल के 1125 लीटर विलयन में कितना पानी मिलाया लाए कि परिणामी मिश्रण में अम्ल 25% से अधिक परन्तु 30% से कम हो जाए?
Answer: हल: मान लीजिए 45% एसिड विलयन में x लीटर पानी मिलाया जाए, तो मिश्रण की कुल मात्रा = (1125 + x) लीटर
(i) (1125 + x) का 25% < 1125 का 45%
\[ \frac{25}{100} \times (1125 + x) < \frac{45}{100} \times 1125 \]
20 से गुणा करने पर
\[ 5(1125 + x) < 9(1125) \]
या \[ 5625+5x < 10125 \]
या \[ 5x < 10125-5625 \]
\[ \implies x < \frac{4500}{5} \]
\[ \implies x < 900. \]
(ii) (1125 + x) का 30% > 1125 का 45%
\[ \frac{30}{100} \times (1125 + x) > \frac{45}{100} \times 1125 \]
\(\frac{20}{3}\) से गुणा करने पर
\[ 2(1125 + x) > 3 \times 1125 \]
या \[ 2250+ 2x > 3375 \]
\[ \implies 2x > 3375-2250 \]
\[ \implies x > \frac{1125}{2} \]
\[ \implies x > 562.5 \]
अर्थात् 562.5 लीटर से अधिक किंतु 900 लीटर से कम।
In simple words: इस समस्या में, हमें यह निर्धारित करना है कि एक 45% अम्ल विलयन में कितना पानी मिलाया जाए ताकि परिणामी मिश्रण की अम्ल सांद्रता 25% से 30% के बीच रहे। इसके लिए दो असमिकाएँ बनाई जाती हैं जो आवश्यक पानी की मात्रा की निचली और ऊपरी सीमाओं को परिभाषित करती हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, ध्यान दें कि आप केवल पानी मिला रहे हैं, इसलिए अम्ल की कुल मात्रा स्थिर रहती है, जबकि कुल विलयन की मात्रा बदलती है। प्रतिशत की गणना सही ढंग से करें और असमिकाओं को हल करने में सावधानी बरतें।

Question 14. एक व्यक्ति के बोद्धिक-लब्धि (I.Q.) मापन का सूत्र निम्नलिखित है: IQ = \(\frac { MA }{ CA } \) x 100 जहाँ MA मानसिक आयु और CA कालानुक्रमी आयु है। यदि 12 वर्ष की आयु के बच्चों के एक समूह की IQ, असमिका 80 ≤ IQ ≤ 140 द्वारा व्यक्त हो, तो उस समूह के बच्चों की मानसिक आयु का परिसर ज्ञात कीजिए।
Answer: हल :
\( IQ = \frac{MA}{CA} \times 100 \)
दिया है कि
\( 80 \leq IQ \leq 140 \)
अतः
\[ 80 \leq \frac{MA}{CA} \times 100 \leq 140 \]
परन्तु CA = 12 वर्ष
\[ \implies 80 \leq \frac{MA}{12} \times 100 \leq 140 \]
\(\frac{3}{5}\) से गुणा करने पर
\[ 48 \leq MA \times 5 \leq 84 \]
5 से भाग देने पर
\[ 9.6 \leq MA \leq 16.8 \]
अतः मानसिक आयु कम से कम 9.6 वर्ष है और अधिक से अधिक 16.8 वर्ष है।
In simple words: IQ सूत्र का उपयोग करके और दिए गए IQ रेंज (80 से 140) और कालानुक्रमी आयु (12 वर्ष) को प्रतिस्थापित करके, हम बच्चों के समूह की मानसिक आयु के लिए एक सीमा प्राप्त कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: IQ सूत्र को सही ढंग से समझना और दिए गए मानों को असमिका में प्रतिस्थापित करते समय सटीकता बनाए रखना महत्वपूर्ण है। गणना करते समय गुणा और भाग के नियमों का पालन करें, खासकर जब असमिकाओं के साथ काम कर रहे हों।