UP Board Solutions Class 11 Maths Chapter 2 Relations and Functions

प्रश्नावली 2.1

Question 1. यदि \(\left(x+1, y-\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)\) तो x तथा y ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : दिया है : \(\left(x+1, y-\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)\) दोनों पक्षों के क्रमित अवयवों की तुलना से, \(x+1 = \frac{5}{3}\)
\( \implies x = \frac{5}{3}-1 \)
\( \implies x = \frac{5-3}{3} \)
\( \implies x = \frac{2}{3}\) और \(y-\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\)
\( \implies y = \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\)
\( \implies y = \frac{1+2}{3}\)
\( \implies y = \frac{3}{3}\)
\( \implies y = 1\) अतः x = 2/3, y = 1.
In simple words: हमने दिए गए क्रमित युग्मों के संगत घटकों की तुलना करके x और y के मान ज्ञात किए। इससे हमें x = 2/3 और y = 1 प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: क्रमित युग्मों की समानता के सिद्धांत को सही ढंग से लागू करना और भिन्नों का सटीक जोड़-घटाव करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 2. यदि समुच्चय A में 3 अवयव हैं तथा समुच्चय B = {3, 4, 5}, तो A x B में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: समुच्चय A में 3 अवयव है और समुच्चय B में भी 3 अवयव हैं। A x B में अवयवों की संख्या = 3 x 3 = 9.
In simple words: यदि समुच्चय A में 3 और समुच्चय B में 3 अवयव हैं, तो उनके कार्तीय गुणन A x B में कुल 3 गुणा 3 यानी 9 अवयव होंगे।

🎯 Exam Tip: कार्तीय गुणन में अवयवों की संख्या n(A) x n(B) सूत्र से निर्धारित होती है, जहाँ n(A) समुच्चय A में अवयवों की संख्या है।

 

Question 3. यदि G = {7, 8} और H = {5, 4, 2}, तो G x H तथा H x G ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल: G = {7, 8}, H = {5, 4, 2}
G x H = {7, 8} x {5, 4, 2} = {(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)}
तथा H x G = {5, 4, 2} x {7, 8} = {(5, 7), (5, 8), (4, 7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)}
In simple words: हमने G और H समुच्चयों के कार्तीय गुणन G x H और H x G को ज्ञात किया, जिसमें पहले समुच्चय के हर अवयव को दूसरे समुच्चय के हर अवयव के साथ क्रमित युग्म के रूप में लिखा जाता है।

🎯 Exam Tip: G x H और H x G में क्रमित युग्मों का क्रम महत्वपूर्ण है; वे सामान्यतः समान नहीं होते हैं जब तक कि G = H न हो।

 

Question 4. बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य है। यदि कथन असत्य है, तो दिए गए कथन को सही बनाकर लिखिए ।
(i) यदि P= {m, n} और Q = {n, m} तो P x Q = {(m, n), (n, m)}.
(ii) यदि A और B अरिक्त समुच्चय हैं, तो A x B क्रमित युग्मों (x, y) का एक अरिक्त समुच्यय है इस प्रकार कि x ∈ A तथा y ∈ B.
(iii) यदि A = {1, 2}, B = {3, 4}, तो A x (B ∩ Φ) = Φ
Answer: हल: (i) दिया है : P = {m, n} Q = {n, m }
P x Q = {m, n} x {n, m} = {(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)}
अतः दिया गया P x Q = {(m, n), (n, m),} कथन असत्य है। (सही कथन: P x Q = {(m, n), (m, m), (n, n), (n, m) होगा।)
(ii) सत्य है क्योंकि A x B क्रमित युग्म (x, y) का अरिक्त समुच्चय है जिसमें x ∈ A तथा y ∈ B.
(iii) सत्य है क्योंकि B ∩ Φ = Φ
A x (B ∩ Φ ) = A x Φ = Φ.
In simple words: हमने दिए गए कथनों की सत्यता की जाँच की। पहला कथन गलत था क्योंकि कार्तीय गुणन में सभी संभव युग्म शामिल नहीं थे। दूसरा और तीसरा कथन सही थे, दूसरे में कार्तीय गुणन की परिभाषा दी गई थी और तीसरे में खाली समुच्चय के साथ कार्तीय गुणन का परिणाम खाली समुच्चय होता है।

🎯 Exam Tip: कार्तीय गुणन की सटीक परिभाषा और खाली समुच्चय के गुणों को समझना आवश्यक है। क्रमित युग्मों के सभी संभावित संयोजनों को शामिल करना सुनिश्चित करें।

 

Question 5. यदि A= {-1, 1}, तो A x A x A ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: A = {-1, 1}
A x A = {-1, 1} x {-1, 1} = {(-1,-1), (-1, 1), (1,-1), (1,1)}
A x A x A = {-1, 1} x {(-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)} = {(-1, -1, -1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (1, -1, -1), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)}.
In simple words: हमने समुच्चय A के साथ तीन बार कार्तीय गुणन किया, जिसमें A के प्रत्येक अवयव को A के अन्य अवयवों के साथ क्रमिक रूप से युग्मित करके सभी संभव त्रि-तत्व क्रमित युग्मों का एक समुच्चय बनाया।

🎯 Exam Tip: A x A x A जैसे बहु-कार्तीय गुणनफल के लिए, प्रत्येक क्रमिक चरण में सभी संभावित युग्मों या ट्रिपलेट्स को व्यवस्थित रूप से सूचीबद्ध करना सुनिश्चित करें।

 

Question 6. यदि A x B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} तो A तथा B ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल: A x B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)}
A = {a, b}, B = {x, y}.
In simple words: दिए गए कार्तीय गुणनफल A x B से, हमने समुच्चय A के पहले घटकों (a, b) और समुच्चय B के दूसरे घटकों (x, y) को पहचान कर उन्हें अलग किया।

🎯 Exam Tip: कार्तीय गुणनफल A x B में सभी क्रमित युग्मों (p, q) के लिए, p हमेशा समुच्चय A से और q हमेशा समुच्चय B से होता है।

 

Question 7. मान लीजिए कि A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} तथा D = {5, 6, 7, 8} सत्यापित कीजिए कि
(i) A x (B ∩ C)= (A x B) ∩ (A x C)
(ii) A x C, B x D का एक उपसमुच्चय है।
Answer: हल: दिया है। A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6}, D = {5, 6, 7, 8}
(i) बायाँ पक्ष = A x (B ∩ C)
= {1, 2} x ({1, 2, 3, 4} ∩ {5, 6})
= {1, 2} x Φ = Φ
दायाँ पक्ष = (A x B) ∩ (A x C)
= [{1, 2} x {1, 2, 3, 4}] ∩ [{1, 2} x {5, 6}]
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} ∩ {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
= Φ
अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
(ii) A x C = {1, 2} x {5, 6} = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
B x D = {1, 2, 3, 4} x {5, 6, 7, 8} = {(1,5), (1,6), (1, 7), (1, 8), (2,5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
हम पाते हैं कि A x C के सभी अवयव समुच्चय B x D में स्थित हैं।
अतः A x C \(\subseteq\) B x D.
In simple words: हमने दो भागों में सत्यापन किया। पहले भाग में, हमने दिखाया कि A x (B ∩ C) और (A x B) ∩ (A x C) दोनों खाली समुच्चय के बराबर हैं। दूसरे भाग में, हमने दिखाया कि A x C के सभी क्रमित युग्म B x D में मौजूद हैं, जिससे यह सिद्ध हुआ कि A x C, B x D का एक उपसमुच्चय है।

🎯 Exam Tip: कार्तीय गुणन और समुच्चय संक्रियाओं (जैसे प्रतिच्छेदन) को सावधानी से लागू करें। उपसमुच्चय सिद्ध करने के लिए, दिखाएँ कि पहले समुच्चय के प्रत्येक अवयव दूसरे समुच्चय में भी मौजूद है।

 

Question 8. मान लीजिए कि A = {1, 2} और B = {3, 4}. A x B लिखिए। A x B के कितने उपसमुच्चय होंगें ? उनकी सूची बनाइए ।
Answer: हल: A x B = {1, 2} x {3, 4} = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
A x B के उपसमुच्चयों की संख्या = \(2^{n(A \times B)}\) = \(2^4\) = 16
A x B के उपसमुच्चयों के अवयव =
Φ
{(1, 3)}
{(1, 4)}
{(2, 3)}
{(2, 4)}
{(1, 3), (1, 4)}
{(1, 3), (2, 3)}
{(1, 3), (2, 4)}
{(1, 4), (2, 3)}
{(1, 4), (2, 4)}
{(2, 3), (2, 4)}
{(1, 3), (1, 4), (2, 3)}
{(1, 3), (1, 4), (2, 4)}
{(1, 3), (2, 3), (2, 4)}
{(1, 4), (2, 3), (2, 4)}
{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}.
In simple words: हमने समुच्चय A और B का कार्तीय गुणन A x B ज्ञात किया। फिर, हमने A x B के अवयवों की संख्या का उपयोग करके उपसमुच्चयों की कुल संख्या \(2^4 = 16\) निकाली और उन सभी 16 उपसमुच्चयों को सूचीबद्ध किया, जिसमें खाली समुच्चय और खुद A x B भी शामिल हैं।

🎯 Exam Tip: \(n(A \times B)\) ज्ञात करने के लिए \(n(A) \times n(B)\) का उपयोग करें, और उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n(A \times B)}\) सूत्र से ज्ञात करें। सभी उपसमुच्चयों को सूचीबद्ध करते समय व्यवस्थित रहें।

 

Question 9. मान लीजिए कि A और B दो समुच्चय हैं, जहाँ n(A) = 3 और n(B) = 2. यदि (x, 1), (y, 2), (z, 1), A x B में हैं, तो A और B को ज्ञात कीजिए, जहाँ x, y और z भिन्न-भिन्न अवयव हैं।
Answer: हल: क्रमित युग्मों (x, 1), (y, 2), (z, 1) के पहले घटक समुच्चय A के अवयव होंगे, और दूसरे घटक समुच्चय B के अवयव होंगे।
चूंकि x, y, z भिन्न-भिन्न अवयव हैं और n(A) = 3, तो A = {x, y, z}.
चूंकि 1 और 2 क्रमित युग्मों के दूसरे घटक हैं और n(B) = 2, तो B = {1, 2}.
अर्थात् A = {x, y, z} और B = {1, 2}.
In simple words: दिए गए क्रमित युग्मों से, हमने पहले घटकों को समुच्चय A के रूप में और दूसरे घटकों को समुच्चय B के रूप में पहचान कर A और B को ज्ञात किया, यह देखते हुए कि x, y, z भिन्न हैं और A व B में अवयवों की संख्या क्रमशः 3 और 2 है।

🎯 Exam Tip: कार्तीय गुणनफल के क्रमित युग्मों में, पहला घटक हमेशा डोमेन समुच्चय से आता है और दूसरा घटक हमेशा रेंज समुच्चय से आता है। दिए गए घटकों और समुच्चय के आकार का उपयोग करके समुच्चयों को पहचानें।

 

Question 10. कार्तीय गुणन AXA में 9 अवयव हैं जिनमें (-1, 0) तथा (0, 1) भी हैं। समुच्चय A ज्ञात कीजिए तथा A x A के शेष अवयव भी ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: चूँकि A x A में 9 अवयव हैं, इसका अर्थ है कि n(A) x n(A) = 9, तो n(A) = 3.
(-1, 0) ∈ A x A \(\implies\) -1 ∈ A और 0 ∈ A
(0, 1) ∈ A x A \(\implies\) 0 ∈ A तथा 1 ∈ A
अतः -1, 0, 1 सभी A के अवयव हैं। चूंकि n(A) = 3, तो A = {-1, 0, 1}.
अब A x A ज्ञात करते हैं:
A x A = {-1, 0, 1} x {-1, 0, 1}
= {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1,-1), (1,0), (1,1)}
जिसमें (-1, 0) और (0, 1) सम्मिलित हैं।
अतः A x A के शेष अवयव = {(-1, -1), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (1,- 1), (1, 0), (1, 1)}.
In simple words: A x A में 9 अवयवों और दिए गए क्रमित युग्मों (-1, 0) और (0, 1) का उपयोग करके, हमने पाया कि समुच्चय A में -1, 0, 1 अवयव हैं। फिर, हमने A x A के सभी अवयवों को सूचीबद्ध किया और दिए गए अवयवों को हटाकर शेष अवयवों को पहचाना।

🎯 Exam Tip: यदि n(A x A) = \(k^2\), तो n(A) = k. दिए गए क्रमित युग्मों से अवयवों को पहचानें और सुनिश्चित करें कि आप सभी संभावित संयोजनों को सूचीबद्ध करें।

 

प्रश्नावली 2.2

Question 1. मान लीजिए A = {1, 2, 3, -14}, R = {(x, y) : 3x – y = 0, जहाँ x, y ∈ A} द्वारा A से A का एक संबंध R लिखिए। इसके प्रांत, सहप्रांत और परिसर लिखिए।
Answer: हल: A = {1, 2, 3, ..., 14},
R : A से A में संबंध, जहाँ R = {(x, y) : 3x – y = 0 या y = 3x}.
चूंकि y ∈ A, इसलिए y का मान 14 से अधिक नहीं हो सकता है।
यदि x = 1, y = 3(1) = 3 \(\in\) A. (1, 3)
यदि x = 2, y = 3(2) = 6 \(\in\) A. (2, 6)
यदि x = 3, y = 3(3) = 9 \(\in\) A. (3, 9)
यदि x = 4, y = 3(4) = 12 \(\in\) A. (4, 12)
यदि x = 5, y = 3(5) = 15 \(\notin\) A (क्योंकि 15 समुच्चय A में नहीं है).
इसलिए, R = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}.
(i) प्रांत : संबंध R के समुच्चयों में x के अवयव = {1, 2, 3, 4}.
सहप्रांत : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.
परिसर : संबंध R के समुच्चयों में y के अवयव = {3, 6, 9, 12}.
In simple words: हमने दिए गए संबंध R को रोस्टर रूप में लिखा, जिसमें हमने A के उन मानों x को लिया जिनके लिए 3x का मान भी A में था। फिर हमने संबंध के प्रांत (सभी x मान), सहप्रांत (समुच्चय A), और परिसर (सभी y मान) को पहचाना।

🎯 Exam Tip: संबंध के लिए क्रमित युग्मों को सावधानी से चुनें ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि x और y दोनों दिए गए समुच्चय (इस मामले में A) में हैं। प्रांत पहले घटकों का समुच्चय है, सहप्रांत पूरा दूसरा समुच्चय है, और परिसर दूसरे घटकों का समुच्चय है।

 

Question 2. प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर R = {(x, y) : y = x + 5, x संख्या 4 से कम, एक प्राकृत संख्या है, x, y ∈ N} द्वारा एक संबंध R परिभाषित कीजिए। इस संबंध को
(i) रोस्टर रूप में इसके प्रांत और परिसर लिखिए।
Answer: हल: संबंध R, दिया गया है।
R = {(x, y) : y = x + 5, x, y ∈ N तथा x < 4}
चूँकि x एक प्राकृत संख्या है और x < 4, तो x के संभावित मान हैं: 1, 2, 3.
जब x = 1, y = 1 + 5 = 6. (1, 6)
जब x = 2, y = 2 + 5 = 7. (2, 7)
जब x = 3, y = 3 + 5 = 8. (3, 8)
R = {(1, 6), (2, 7), (3, 8)}
(i) प्रान्त = {1, 2, 3}.
परिसर = {6, 7, 8}.
In simple words: हमने संबंध R को रोस्टर रूप में लिखा, जिसमें x के मानों को 4 से कम प्राकृत संख्याओं तक सीमित किया और y को x + 5 के रूप में परिभाषित किया। फिर हमने इस संबंध के प्रांत (x मान) और परिसर (y मान) को सूचीबद्ध किया।

🎯 Exam Tip: दिए गए प्रतिबंधों (जैसे x < 4 और x, y ∈ N) के अनुसार x के संभावित मानों को ध्यान से पहचानें। प्रांत पहले घटकों का समुच्चय है और परिसर दूसरे घटकों का समुच्चय है।

 

Question 3. A = {1, 2, 3, 5) और B = {4, 6, 9}, A से B में एक सम्बन्ध R = {(x,y} : x और y का अंतर विषम है, x ∈ A, y ∈ B} द्वार परिभाषित कीजिए| R को रोस्टर रूप में लिखिए।
Answer: हल: दिया है: A = {1, 2, 3, 5} और B = {4, 6, 9}.
A से B में संबंध, R = {(x, y) : x, y में अंतर विषम है, x ∈ A, y ∈ B}
हम A और B के अवयवों के सभी संभावित क्रमित युग्मों पर विचार करते हैं और उनके अंतर की जाँच करते हैं:
(1, 4): |1 - 4| = |-3| = 3 (विषम) \(\implies\) (1, 4) \(\in\) R
(1, 6): |1 - 6| = |-5| = 5 (विषम) \(\implies\) (1, 6) \(\in\) R
(1, 9): |1 - 9| = |-8| = 8 (सम) \(\implies\) (1, 9) \(\notin\) R
(2, 4): |2 - 4| = |-2| = 2 (सम) \(\implies\) (2, 4) \(\notin\) R
(2, 6): |2 - 6| = |-4| = 4 (सम) \(\implies\) (2, 6) \(\notin\) R
(2, 9): |2 - 9| = |-7| = 7 (विषम) \(\implies\) (2, 9) \(\in\) R
(3, 4): |3 - 4| = |-1| = 1 (विषम) \(\implies\) (3, 4) \(\in\) R
(3, 6): |3 - 6| = |-3| = 3 (विषम) \(\implies\) (3, 6) \(\in\) R
(3, 9): |3 - 9| = |-6| = 6 (सम) \(\implies\) (3, 9) \(\notin\) R
(5, 4): |5 - 4| = |1| = 1 (विषम) \(\implies\) (5, 4) \(\in\) R
(5, 6): |5 - 6| = |-1| = 1 (विषम) \(\implies\) (5, 6) \(\in\) R
(5, 9): |5 - 9| = |-4| = 4 (सम) \(\implies\) (5, 9) \(\notin\) R
अतः, R = {(1, 4), (1, 6), (2, 9), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)}.
In simple words: हमने समुच्चय A और B के बीच उन सभी क्रमित युग्मों (x, y) को सूचीबद्ध किया जिनके घटकों x और y का अंतर एक विषम संख्या है, जिससे संबंध R को रोस्टर रूप में प्राप्त किया गया।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई युग्म छूटा नहीं है, व्यवस्थित रूप से A के प्रत्येक अवयव को B के प्रत्येक अवयव के साथ युग्मित करें और अंतर के विषम होने की शर्त की जाँच करें।

 

Question 4. दी हुई आकृति समुच्चय P से Q का एक संबंध दर्शाती है। इस संबंध को
(i) समुच्चय निर्माण रूप में
(ii) रोस्टर रूप में लिखिए। इसके प्रांत व परिसर क्या हैं ?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र समुच्चय P से समुच्चय Q तक एक संबंध को दर्शाता है। समुच्चय P में 5, 6, 7 अवयव हैं और समुच्चय Q में 3, 4, 5 अवयव हैं। चित्र में तीर P के अवयवों को Q के अवयवों से जोड़ते हैं: 5 से 3, 6 से 4, और 7 से 5।

Answer: हल: चित्र से, समुच्चय P = {5, 6, 7} और समुच्चय Q = {3, 4, 5}.
संबंधित क्रमित युग्म हैं: (5, 3), (6, 4), (7, 5).
प्रत्येक युग्म में, दूसरा घटक पहले घटक से 2 कम है (उदाहरण के लिए, 3 = 5 - 2, 4 = 6 - 2, 5 = 7 - 2).
(i) समुच्चय निर्माण रूप में, R = {(x, y) : y = x - 2, जहाँ x ∈ P, y ∈ Q}.
(ii) रोस्टर रूप में, R = {(5, 3), (6, 4), (7, 5)}.
प्रांत = {5, 6, 7}.
परिसर = {3, 4, 5}.
In simple words: हमने दिए गए चित्र से समुच्चय P, Q और उनके बीच के क्रमित युग्मों को पहचाना। फिर, हमने क्रमित युग्मों के बीच के नियम (y = x - 2) को देखकर संबंध को समुच्चय निर्माण और रोस्टर रूप में लिखा, और अंत में प्रांत व परिसर को ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: आरेख से संबंधों को निकालते समय, तीर के निशान का पालन करें। समुच्चय निर्माण रूप में संबंध को परिभाषित करने वाले नियम को पहचानना महत्वपूर्ण है, और प्रांत व परिसर को सही ढंग से सूचीबद्ध करें।

 

Question 5. मान लीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 6} मान लीजिए कि R, A पर {(a, b) : a, b ∈ A, संख्या a संख्या b को यथावथ विभाजित करती है। द्वारा परिभाषित एक संबंध है।
(i) R को रोस्टर रूप में लिखिए।
(ii) R का प्रांत ज्ञात कीजिए।
(iii) R का परिसर ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: दिया है : A = {1, 2, 3, 4, 6}
R = {(a, b) : a, b ∈ A, a संख्या b को विभाजित करती है।}
(i) रोस्टर रूप में, R =
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6),
(2, 2), (2, 4), (2, 6),
(3, 3), (3, 6),
(4, 4),
(6, 6)}.
(ii) R का प्रांत = {1, 2, 3, 4, 6}. (यह समुच्चय A के समान है क्योंकि A का प्रत्येक अवयव स्वयं को विभाजित करता है, और 1 सभी को विभाजित करता है।)
(iii) R का परिसर = {1, 2, 3, 4, 6}. (यह समुच्चय A के समान है क्योंकि A का प्रत्येक अवयव कम से कम 1 से विभाजित होता है, और अन्य अवयवों से भी।)
In simple words: हमने समुच्चय A के उन सभी क्रमित युग्मों (a, b) को सूचीबद्ध किया जहाँ a, b को पूरी तरह विभाजित करता है, जिससे संबंध R का रोस्टर रूप प्राप्त हुआ। फिर, हमने R के प्रांत और परिसर को ज्ञात किया, जो इस मामले में समुच्चय A के समान निकले।

🎯 Exam Tip: 'विभाजित करती है' शर्त का मतलब है कि जब b को a से भाग दिया जाए तो कोई शेषफल नहीं बचना चाहिए। रोस्टर रूप लिखते समय कोई भी संभव युग्म न छोड़ें। प्रांत और परिसर की सही पहचान करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 6. R = {(x, x + 5) : x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}} द्वारा परिभाषित संबंध R के प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: R = {(x, x + 5) : x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}}
x के प्रत्येक मान के लिए y = x + 5 का मान ज्ञात करें:
यदि x = 0, y = 0 + 5 = 5 \(\implies\) (0, 5)
यदि x = 1, y = 1 + 5 = 6 \(\implies\) (1, 6)
यदि x = 2, y = 2 + 5 = 7 \(\implies\) (2, 7)
यदि x = 3, y = 3 + 5 = 8 \(\implies\) (3, 8)
यदि x = 4, y = 4 + 5 = 9 \(\implies\) (4, 9)
यदि x = 5, y = 5 + 5 = 10 \(\implies\) (5, 10)
इसलिए, R = {(0, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10)}.
R का प्रांत = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
R का परिसर = {5, 6, 7, 8, 9, 10}.
In simple words: हमने दिए गए संबंध R के लिए x के प्रत्येक मान के लिए y का मान (x+5) ज्ञात करके रोस्टर रूप में संबंध लिखा। फिर हमने प्रांत को x मानों के समुच्चय के रूप में और परिसर को y मानों के समुच्चय के रूप में पहचाना।

🎯 Exam Tip: दिए गए समुच्चय के सभी x मानों का उपयोग करें और y के संगत मानों को सावधानीपूर्वक गणना करें। प्रांत पहले घटकों का समुच्चय है और परिसर दूसरे घटकों का समुच्चय है।

 

Question 7. संबंध R = {(x, x3) : x संख्या 10 से कम एक अभाज्य संख्या है। को रोस्टर रूप में लिखिए।
Answer: हल: 10 से कम अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5, 7.
इन अभाज्य संख्याओं के लिए x3 के मान ज्ञात करें:
यदि x = 2, x3 = \(2^3\) = 8 \(\implies\) (2, 8)
यदि x = 3, x3 = \(3^3\) = 27 \(\implies\) (3, 27)
यदि x = 5, x3 = \(5^3\) = 125 \(\implies\) (5, 125)
यदि x = 7, x3 = \(7^3\) = 343 \(\implies\) (7, 343)
अतः, रोस्टर रूप में, R = {(2, 8), (3, 27), (5, 125), (7, 343)}.
In simple words: हमने 10 से कम सभी अभाज्य संख्याओं को पहचाना, फिर प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए उसके घन की गणना की, और इन युग्मों को रोस्टर रूप में संबंध R के रूप में सूचीबद्ध किया।

🎯 Exam Tip: 10 से कम सभी अभाज्य संख्याओं (2, 3, 5, 7) को सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है। प्रत्येक x मान के लिए \(x^3\) की सटीक गणना करें।

 

Question 8. मान लीजिए कि A= {x, y, z} और B = {1, 2}, A से B के संबंधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: दिया है: A = {x, y, z}, B = {1, 2}.
n(A) = 3 (A में अवयवों की संख्या)
n(B) = 2 (B में अवयवों की संख्या)
A x B में क्रमित युग्मों की संख्या = n(A) x n(B) = 3 x 2 = 6.
A से B में संबंधों की कुल संख्या = \(2^{n(A \times B)}\) = \(2^6\) = 64.
In simple words: हमने पहले समुच्चय A और B में अवयवों की संख्या का उपयोग करके A x B में क्रमित युग्मों की संख्या ज्ञात की। फिर, संबंधों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हमने \(2^{n(A \times B)}\) सूत्र का उपयोग किया, जिससे 64 संबंध प्राप्त हुए।

🎯 Exam Tip: दो समुच्चयों के बीच संबंधों की संख्या, उनके कार्तीय गुणनफल के उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर होती है। सूत्र \(2^{n(A) \times n(B)}\) को याद रखना महत्वपूर्ण है।

 

Question 9. मान लीजिए कि R, Z पर, R= {(a, b) : a, b ∈ Z, a - b एक पूर्णांक है}, द्वारा परिभाषित एक संबंध है। R के प्रांत व परिसर ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल: R समुच्चय Z पर एक संबंध है तथा R = {(a, b), a ∈ Z, b ∈ Z, a - b एक पूर्णांक संख्या है}.
प्रांत (R) = {a : (a, b) ∈ R किसी b ∈ Z के लिए}.
चूंकि a ∈ Z और b ∈ Z, तो उनका अंतर (a - b) हमेशा एक पूर्णांक होगा। इसलिए, a कोई भी पूर्णांक हो सकता है।
प्रांत (R) = Z (सभी पूर्णांकों का समुच्चय).
परिसर (R) = {b : (a, b) ∈ R किसी a ∈ Z के लिए}.
चूंकि a ∈ Z और b ∈ Z, तो a - b एक पूर्णांक होगा। इसका मतलब है कि b कोई भी पूर्णांक हो सकता है जिसके लिए कोई न कोई a मौजूद हो (उदाहरण के लिए, यदि b = 5, तो a = 5 ले सकते हैं, 5 - 5 = 0, जो एक पूर्णांक है)।
परिसर (R) = Z (सभी पूर्णांकों का समुच्चय).
In simple words: हमने परिभाषित संबंध R के प्रांत और परिसर को ज्ञात किया, जहाँ a और b पूर्णांक हैं और उनका अंतर भी एक पूर्णांक है। चूंकि किन्हीं भी दो पूर्णांकों का अंतर हमेशा एक पूर्णांक होता है, इसलिए प्रांत और परिसर दोनों ही पूर्णांकों का समुच्चय (Z) हैं।

🎯 Exam Tip: प्रांत उन सभी पहले घटकों का समुच्चय होता है जिनके लिए संबंध परिभाषित होता है, और परिसर उन सभी दूसरे घटकों का समुच्चय होता है जो संबंध में आते हैं। पूर्णांकों के गुणधर्मों को ध्यान में रखें।

 

प्रश्नावली 2.3

Question 1. निम्नलिखित संबंधों में से कौन से फलन हैं ? कारण का उल्लेख कीजिए। यदि संबंध एक फलन है तो उसका परिसर निर्धारित कीजिए ।
(i) {(2,1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)}
(ii) {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}
(iii) {(1, 3), (1, 5), (2, 5)}
Answer: हल: एक संबंध एक फलन होता है यदि प्रांत के प्रत्येक अवयव का केवल एक ही अद्वितीय प्रतिबिंब हो। दूसरे शब्दों में, क्रमित युग्मों में पहला घटक कभी भी दोहराया नहीं जाना चाहिए।
(i) माना R = {(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)}
यह संबंध एक फलन है क्योंकि किसी भी दो क्रमित युग्म का पहला घटक बराबर नहीं है (सभी पहले घटक अद्वितीय हैं: 2, 5, 8, 11, 14, 17).
प्रांत = {2, 5, 8, 11, 14, 17}.
परिसर = {1}.
(ii) माना R = {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}
यह एक फलन है क्योंकि किसी भी दो क्रमित युग्म का पहला घटक बराबर नहीं है (सभी पहले घटक अद्वितीय हैं: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14).
प्रांत = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.
परिसर = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
(iii) माना R = {(1, 3), (1, 5), (2, 5)}
यह एक फलन नहीं है क्योंकि (1, 3) और (1, 5) में पहला घटक '1' समान है, जिसका अर्थ है कि एक ही इनपुट (1) के दो अलग-अलग आउटपुट (3 और 5) हैं।
In simple words: हमने प्रत्येक संबंध की जाँच यह देखने के लिए की कि क्या प्रांत के प्रत्येक अवयव का केवल एक ही प्रतिबिंब है। संबंध (i) और (ii) फलन हैं क्योंकि कोई भी पहला घटक दोहराया नहीं गया है, जबकि संबंध (iii) फलन नहीं है क्योंकि इनपुट 1 के दो अलग-अलग आउटपुट हैं। जहाँ फलन थे, उनके परिसर भी ज्ञात किए गए।

🎯 Exam Tip: एक संबंध को फलन होने के लिए, यह आवश्यक है कि प्रांत के प्रत्येक अवयव का केवल एक ही प्रतिबिंब हो। क्रमित युग्मों में पहले घटक की पुनरावृत्ति न देखें; यदि यह दोहराया जाता है और संबंधित दूसरे घटक अलग-अलग होते हैं, तो यह एक फलन नहीं है।

 

Question 2. निम्नलिखित वास्तविक फलनों के प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
(i) \(f(x) = - |x|\)
(ii) \(f(x) = \sqrt{9-x^2}\)
Answer: हल :
(i) दिया है : \(f(x) = - |x|\)
परिभाषा के अनुसार, \(|x|\) सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए परिभाषित है। इसलिए, \(f(x) = -|x|\) भी सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए परिभाषित है।
अतः, f का प्रांत = R (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय).
चूंकि \(|x| \ge 0\) किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, तो \(-|x| \le 0\).
इस प्रकार, f(x) का मान 0 या 0 से कम कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है।
अतः, f का परिसर = \(\{y : y \in R, y \le 0\} = (-\infty, 0]\).
(ii) दिया है: \(f(x) = \sqrt{9-x^2}\)
\(f(x)\) तभी परिभाषित होगा जब वर्गमूल के अंदर की मात्रा ऋणात्मक न हो।
इसलिए, \(9-x^2 \ge 0\)

\(\implies x^2 \le 9\)

\(\implies -3 \le x \le 3\)
अतः, f का प्रांत = \(\{x : x \in R, -3 \le x \le 3\} = [-3, 3]\).
परिसर ज्ञात करने के लिए, मान लीजिए \(y = \sqrt{9-x^2}\).
चूंकि \(y\) एक वर्गमूल है, \(y \ge 0\).
\(y^2 = 9-x^2\)

\(\implies x^2 = 9-y^2\)
चूंकि \(x^2 \ge 0\), तो \(9-y^2 \ge 0\)

\(\implies y^2 \le 9\)

\(\implies -3 \le y \le 3\)
लेकिन पहले हमने स्थापित किया कि \(y \ge 0\).
इसलिए, \(0 \le y \le 3\).
अतः, f का परिसर = \(\{y : y \in R, 0 \le y \le 3\} = [0, 3]\).
In simple words: (i) \(f(x) = -|x|\) के लिए, प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं क्योंकि यह हमेशा परिभाषित होता है, और परिसर सभी गैर-धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं क्योंकि \(|x|\) हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। (ii) \(f(x) = \sqrt{9-x^2}\) के लिए, यह तभी परिभाषित होता है जब \(9-x^2 \ge 0\), जिससे प्रांत \([-3, 3]\) मिलता है। परिसर के लिए, हमने \(y = \sqrt{9-x^2}\) सेट किया और पाया कि y का मान 0 से 3 तक हो सकता है, जिससे परिसर \([0, 3]\) मिला।

🎯 Exam Tip: प्रांत ज्ञात करने के लिए उन x मानों को पहचानें जिनके लिए फलन परिभाषित है (जैसे वर्गमूल के अंदर गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, हर शून्य नहीं होना चाहिए)। परिसर ज्ञात करने के लिए, y के संभावित आउटपुट मानों की सीमा निर्धारित करें।

 

Question 3. एक फलन f(x) = 2x – 5 द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित के मान लिखिए:
(i) f(0)
(ii) f(7)
(iii) f(-3)
Answer: हल: दिया है: \(f(x) = 2x - 5\)
(i) \(f(0) = 2 \times 0 - 5 = 0 - 5 = -5\)
(ii) \(f(7) = 2 \times 7 - 5 = 14 - 5 = 9\)
(iii) \(f(-3) = 2 \times (-3) - 5 = -6 - 5 = -11\).
In simple words: हमने दिए गए फलन \(f(x) = 2x - 5\) में x के मानों 0, 7 और -3 को प्रतिस्थापित करके उनके संगत फलन मानों की गणना की।

🎯 Exam Tip: फलन में मानों को प्रतिस्थापित करते समय गणना की सटीकता सुनिश्चित करें, विशेष रूप से नकारात्मक संख्याओं के साथ।

 

Question 4. फलन 't' सेल्सियस तापमान का फारेनहाइट तापमान में प्रतिचित्रण करता है, जो \(t(C) = \frac{9C}{5} + 32\) द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i) t(0)
(ii) t(28)
(iii) t(-10)
(iv) C का मान, जब t(C) = 212
Answer: हल : दिया है : \(t(C) = \frac{9C}{5} + 32\)
(i) \(t(0) = \frac{9 \times 0}{5} + 32 = 0 + 32 = 32\)
(ii) \(t(28) = \frac{9 \times 28}{5} + 32 = \frac{252}{5} + 32 = \frac{252+160}{5} = \frac{412}{5}\)
(iii) \(t(-10) = \frac{9 \times (-10)}{5} + 32 = -18 + 32 = 14\).
(iv) दिया है: \(t(C) = 212\)
\(\implies \frac{9C}{5} + 32 = 212\)
\(\implies \frac{9C}{5} = 212 - 32\)
\(\implies \frac{9C}{5} = 180\)
\(\implies 9C = 180 \times 5\)
\(\implies C = \frac{180 \times 5}{9}\)
\(\implies C = 20 \times 5\)
\(\implies C = 100\).
In simple words: हमने दिए गए तापमान रूपांतरण फलन में सेल्सियस मानों (0, 28, -10) को प्रतिस्थापित करके फारेनहाइट मानों की गणना की। अंत में, फारेनहाइट मान 212 दिए जाने पर संगत सेल्सियस मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को हल किया।

🎯 Exam Tip: भिन्नों और ऋणात्मक संख्याओं के साथ गणना करते समय सावधान रहें। समीकरण को हल करते समय बीजगणितीय चरणों का सही ढंग से पालन करें।

 

Question 5. निम्नलिखित में से प्रत्येक फलन का परिसर ज्ञात कीजिए:
(i) \(f(x) = 2 - 3x, x \in R, x > 0\).
(ii) \(f(x) = x^2 + 2, x\) एक वास्तविक संख्या है।
(iii) \(f(x) = x, x\) एक वास्तविक संख्या है।
Answer: हल :
(i) दिया है : \(f(x) = 2 - 3x, x \in R, x > 0\).
मान लीजिए \(y = f(x)\).
\(y = 2 - 3x\)

\(\implies 3x = 2 - y\)

\(\implies x = \frac{2 - y}{3}\)
चूंकि \(x > 0\), तो \(\frac{2 - y}{3} > 0\)

\(\implies 2 - y > 0\)

\(\implies 2 > y\)

\(\implies y < 2\)
अतः, f का परिसर = \((-\infty, 2)\).
(ii) दिया है : \(f(x) = x^2 + 2, x \in R\).
मान लीजिए \(y = f(x)\).
\(y = x^2 + 2\)

\(\implies x^2 = y - 2\)
चूंकि \(x\) एक वास्तविक संख्या है, \(x^2 \ge 0\).

\(\implies y - 2 \ge 0\)

\(\implies y \ge 2\)
अतः, f का परिसर = \(\{y : y \in R \text{ और } y \ge 2\} = [2, \infty)\).
(iii) दिया है : \(f(x) = x, x \in R\).
मान लीजिए \(y = f(x)\).
\(y = x\)
चूंकि \(x\) एक वास्तविक संख्या है, तो \(y\) भी एक वास्तविक संख्या होगी।
अतः, f का परिसर = \(\{y : y \in R\} = R\).
In simple words: (i) \(f(x) = 2 - 3x\) के लिए जब \(x > 0\), हमने y को f(x) के बराबर रखा और x के लिए हल किया, जिससे y < 2 का परिसर प्राप्त हुआ। (ii) \(f(x) = x^2 + 2\) के लिए, हमने \(x^2 = y - 2\) से y का मान y \(\ge\) 2 पाया, क्योंकि \(x^2\) हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। (iii) \(f(x) = x\) के लिए, प्रांत और परिसर दोनों ही सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R हैं।

🎯 Exam Tip: परिसर ज्ञात करने के लिए, \(y = f(x)\) सेट करें और x के लिए y के संदर्भ में हल करें। फिर y के उन मानों को निर्धारित करें जिनके लिए x परिभाषित है (जैसे वर्गमूल के अंदर गैर-ऋणात्मक, हर शून्य नहीं)।

 

अध्याय 2 पर विविध प्रश्नावली

Question 1. संबंध \(f, f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 3 \\ 3x, & 3 \le x \le 10 \end{cases}\) द्वारा परिभाषित है।
संबंध \(g, g(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 2 \\ 3x, & 2 \le x \le 10 \end{cases}\) द्वारा परिभाषित है।
दर्शाइए कि क्यों f एक फलन है और g फलन नहीं है।
Answer: हल :
**फलन f के लिए:**
दिया गया फलन \(f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 3 \\ 3x, & 3 \le x \le 10 \end{cases}\)
हमें x = 3 पर फलन के मान की जाँच करनी होगी, क्योंकि यह वह बिंदु है जहाँ परिभाषा बदलती है।
जब \(x = 3\), फलन का पहला भाग देता है: \(f(3) = 3^2 = 9\).
जब \(x = 3\), फलन का दूसरा भाग देता है: \(f(3) = 3 \times 3 = 9\).
चूंकि x = 3 पर दोनों परिभाषाएँ समान मान (9) देती हैं, इसलिए प्रांत के प्रत्येक अवयव का एक अद्वितीय प्रतिबिंब है।
अतः, f एक फलन है।

**संबंध g के लिए:**
दिया गया संबंध \(g(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \le x \le 2 \\ 3x, & 2 \le x \le 10 \end{cases}\)
हमें x = 2 पर संबंध के मान की जाँच करनी होगी, क्योंकि यह वह बिंदु है जहाँ परिभाषा बदलती है।
जब \(x = 2\), संबंध का पहला भाग देता है: \(g(2) = 2^2 = 4\).
जब \(x = 2\), संबंध का दूसरा भाग देता है: \(g(2) = 3 \times 2 = 6\).
चूंकि x = 2 के लिए संबंध g के दो अलग-अलग मान (4 और 6) हैं, इसलिए प्रांत के एक ही अवयव के दो प्रतिबिंब हैं।
अतः, g एक फलन नहीं है।
In simple words: हमने जाँच की कि क्या f और g एक फलन हैं या नहीं। फलन f के लिए, हमने पाया कि x = 3 पर, दोनों परिभाषाएँ एक ही मान (9) देती हैं, इसलिए f एक फलन है। संबंध g के लिए, x = 2 पर, हमें दो अलग-अलग मान (4 और 6) मिले, जिसका अर्थ है कि g एक फलन नहीं है क्योंकि एक ही इनपुट के दो आउटपुट हैं।

🎯 Exam Tip: खंडशः परिभाषित फलन की जाँच करते समय, उन बिंदुओं पर विशेष ध्यान दें जहाँ फलन की परिभाषा बदलती है। यदि इन बिंदुओं पर फलन के दो अलग-अलग मान मिलते हैं, तो वह एक फलन नहीं होगा।

 

Question 2. यदि \(f(x) = x^2\) तो \(\frac{f(1.1)-f(1)}{1.1-1}\) ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : दिया है: \(f(x) = x^2\)
सबसे पहले, \(f(1.1)\) और \(f(1)\) के मान ज्ञात करें।
\(f(1.1) = (1.1)^2 = 1.21\)
\(f(1) = 1^2 = 1\)
अब दिए गए व्यंजक में मान प्रतिस्थापित करें:
\(\frac{f(1.1)-f(1)}{1.1-1} = \frac{1.21-1}{1.1-1}\)

\(\implies = \frac{0.21}{0.1}\)

\(\implies = 2.1\).
In simple words: हमने पहले \(f(1.1)\) और \(f(1)\) के मानों की गणना की, फिर उन मानों को दिए गए भिन्नात्मक व्यंजक में प्रतिस्थापित किया और इसे सरल करके अंतिम उत्तर 2.1 प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं का वर्ग और भिन्न का मूल्यांकन करते समय गणना में सटीकता सुनिश्चित करें। यह व्यंजक अवकलन की परिभाषा से मिलता-जुलता है।

 

Question 3. फलन \(f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x^2-8x+12}\) का प्रांत ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : दिया है : \(f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x^2-8x+12}\)
यह एक परिमेय फलन है। एक परिमेय फलन तभी परिभाषित होता है जब उसका हर शून्य न हो।
इसलिए, हमें हर को शून्य के बराबर नहीं रखना चाहिए:
\(x^2-8x+12 \ne 0\)
हर का गुणनखंडन करें:
\(x^2-2x-6x+12 \ne 0\)
\(x(x-2)-6(x-2) \ne 0\)
\((x-2)(x-6) \ne 0\)
इसका अर्थ है कि \(x-2 \ne 0\) और \(x-6 \ne 0\)

\(\implies x \ne 2\) और \(x \ne 6\)
अतः, फलन का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, सिवाय उन संख्याओं के जहाँ x = 2 या x = 6 है।
प्रांत = \(R - \{2, 6\}\).
In simple words: फलन का प्रांत ज्ञात करने के लिए, हमने उन मानों को पहचाना जिनके लिए हर शून्य हो जाता है, क्योंकि फलन उन बिंदुओं पर अपरिभाषित होगा। हर का गुणनखंडन करने पर, हमें x = 2 और x = 6 मिले, इसलिए प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय 2 और 6 के।

🎯 Exam Tip: किसी भी परिमेय फलन का प्रांत उन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है जिनके लिए हर शून्य नहीं होता है। हर को शून्य के बराबर करके और x के मानों को हल करके उन अपवर्जित बिंदुओं को ज्ञात करें।

 

Question 4. \(f(x) = \sqrt{x-1}\) द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन f का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : दिया है : \(f(x) = \sqrt{x-1}\)
**प्रांत ज्ञात करना:**
एक वास्तविक फलन के रूप में, वर्गमूल \( \sqrt{A} \) तभी परिभाषित होता है जब \(A \ge 0\).
इसलिए, \(x-1 \ge 0\)

\(\implies x \ge 1\)
अतः, f का प्रांत = \(\{x : x \in R, x \ge 1\} = [1, \infty)\).
**परिसर ज्ञात करना:**
मान लीजिए \(y = f(x)\).
\(y = \sqrt{x-1}\)
चूंकि \(y\) एक वर्गमूल का परिणाम है, \(y\) हमेशा गैर-ऋणात्मक होगा।
इसलिए, \(y \ge 0\).
साथ ही, \(y = \sqrt{x-1}\)
वर्ग करने पर, \(y^2 = x-1\)

\(\implies x = y^2 + 1\)
चूंकि x का मान \(\ge 1\) होना चाहिए, तो \(y^2 + 1 \ge 1\)

\(\implies y^2 \ge 0\)
जो y के सभी वास्तविक मानों के लिए सत्य है।
लेकिन हमें y \(\ge\) 0 की शर्त को भी संतुष्ट करना होगा।
अतः, f का परिसर = \(\{y : y \in R, y \ge 0\} = [0, \infty)\).
In simple words: \(f(x) = \sqrt{x-1}\) के प्रांत के लिए, हमने शर्त \(x-1 \ge 0\) लगाई, जिससे प्रांत \([1, \infty)\) मिला। परिसर के लिए, हमने \(y = \sqrt{x-1}\) मानकर और वर्गमूल के गैर-ऋणात्मक होने की शर्त का उपयोग करके पाया कि y का मान 0 या उससे अधिक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, जिससे परिसर \([0, \infty)\) मिला।

🎯 Exam Tip: वर्गमूल फलन के प्रांत के लिए, वर्गमूल के अंदर की व्यंजक को हमेशा गैर-ऋणात्मक रखें। परिसर के लिए, याद रखें कि वर्गमूल का मुख्य मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है।

 

Question 5. \(f(x) = |x - 1|\) द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन f का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : दिया है : \(f(x) = |x - 1|\)
**प्रांत ज्ञात करना:**
मापांक फलन \(|A|\) किसी भी वास्तविक संख्या A के लिए परिभाषित होता है।
इसलिए, \(|x - 1|\) सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए परिभाषित है।
अतः, f का प्रांत = R (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय).
**परिसर ज्ञात करना:**
मापांक फलन का परिणाम हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है।
इसलिए, \(|x - 1| \ge 0\).
इसका अर्थ है कि \(f(x)\) का मान 0 या 0 से बड़ी कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।
उदाहरण के लिए, यदि x = 1, f(1) = |1 - 1| = 0.
यदि x = 5, f(5) = |5 - 1| = 4.
यदि x = -2, f(-2) = |-2 - 1| = |-3| = 3.
अतः, f का परिसर = \(\{y : y \in R, y \ge 0\} = [0, \infty)\).
In simple words: फलन \(f(x) = |x - 1|\) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है, इसलिए इसका प्रांत R है। चूंकि मापांक फलन का परिणाम हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसका परिसर 0 या उससे बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, यानी \([0, \infty)\)।

🎯 Exam Tip: मापांक फलन का प्रांत हमेशा R होता है। इसका परिसर हमेशा \([0, \infty)\) होता है क्योंकि मापांक का मान कभी भी ऋणात्मक नहीं होता है।

 

Question 6. मान लीजिए कि \(f = \left\{ \left( x, \frac{x^2}{1+x^2} \right) : x \in R \right\}\) R से R में एक फलन है। f का परिसर निर्धारित कीजिए।
Answer: हल : दिया है : \(f(x) = \frac{x^2}{1+x^2}, x \in R\).
परिसर ज्ञात करने के लिए, मान लीजिए \(y = f(x)\).
\(y = \frac{x^2}{1+x^2}\)
यहाँ, \(x^2 \ge 0\) किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए।
इसलिए, \(1+x^2 \ge 1\).
चूंकि \(x^2 \ge 0\) और \(1+x^2 > 0\), तो \(y = \frac{x^2}{1+x^2} \ge 0\).
यह हमें परिसर के लिए निचली सीमा देता है: \(y \ge 0\).
अब, y की ऊपरी सीमा ज्ञात करने के लिए:
\(y = \frac{x^2}{1+x^2}\)

\(\implies y(1+x^2) = x^2\)

\(\implies y + yx^2 = x^2\)

\(\implies y = x^2 - yx^2\)

\(\implies y = x^2(1 - y)\)

\(\implies x^2 = \frac{y}{1 - y}\)
चूंकि \(x^2 \ge 0\), तो \(\frac{y}{1 - y} \ge 0\).
यह असमानता तभी सत्य है जब:
स्थिति 1: \(y \ge 0\) और \(1 - y > 0\) (हर शून्य नहीं हो सकता)
\(\implies y \ge 0\) और \(1 > y\)
\(\implies 0 \le y < 1\)
स्थिति 2: \(y \le 0\) और \(1 - y < 0\)
\(\implies y \le 0\) और \(1 < y\)
यह स्थिति संभव नहीं है क्योंकि y \(\le\) 0 और y > 1 दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते हैं।
इसलिए, केवल स्थिति 1 वैध है।
और हमने पहले ही स्थापित किया था कि \(y \ge 0\).
अतः, फलन का परिसर = \([0, 1)\).
In simple words: फलन \(f(x) = \frac{x^2}{1+x^2}\) का परिसर ज्ञात करने के लिए, हमने y को f(x) के बराबर रखा और x² के लिए हल किया। चूंकि \(x^2\) हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, हमने \(\frac{y}{1-y} \ge 0\) की शर्त का उपयोग किया। इसके विश्लेषण से पता चला कि y का मान 0 से 1 के बीच होगा, जिसमें 0 शामिल है लेकिन 1 शामिल नहीं है।

🎯 Exam Tip: परिसर ज्ञात करने के लिए \(y = f(x)\) सेट करें और \(x^2\) के लिए हल करें। फिर \(x^2 \ge 0\) की शर्त का उपयोग करके y के लिए एक असमानता स्थापित करें। यह सुनिश्चित करने के लिए कि हर शून्य न हो, विशेष ध्यान दें।

 

Question 7. मान लीजिए कि f, g : R \(\to\) R क्रमशः \(f(x) = x + 1, g(x) = 2x - 3\) द्वारा परिभाषित है। \(f + g, f - g\) और \(\frac{f}{g}\) ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : दिया है : \(f(x) = x + 1\) और \(g(x) = 2x - 3\).
**\(f + g\) ज्ञात करना:**
\((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
\(= (x + 1) + (2x - 3)\)
\(= x + 1 + 2x - 3\)
\(= 3x - 2\)
**\(f - g\) ज्ञात करना:**
\((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)
\(= (x + 1) - (2x - 3)\)
\(= x + 1 - 2x + 3\)
\(= -x + 4\)
**\(\frac{f}{g}\) ज्ञात करना:**
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)
\(= \frac{x + 1}{2x - 3}\)
फलन \(\frac{f}{g}\) तभी परिभाषित होगा जब हर \(g(x) \ne 0\).
\(2x - 3 \ne 0\)

\(\implies 2x \ne 3\)

\(\implies x \ne \frac{3}{2}\)
अतः, \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x + 1}{2x - 3}\), जहाँ \(x \ne \frac{3}{2}\).
In simple words: हमने f और g फलनों के योग, अंतर और भागफल को ज्ञात किया। योग के लिए, हमने \(f(x)\) और \(g(x)\) को जोड़ा। अंतर के लिए, हमने \(g(x)\) को \(f(x)\) से घटाया। भागफल के लिए, हमने \(f(x)\) को \(g(x)\) से भाग दिया और यह शर्त लगाई कि हर शून्य नहीं होना चाहिए।

🎯 Exam Tip: फलनों पर बीजगणितीय संक्रियाएँ करते समय, कोष्ठकों का सही उपयोग सुनिश्चित करें, विशेष रूप से घटाने के लिए। भागफल के लिए, हमेशा उस शर्त को शामिल करें कि हर शून्य नहीं हो सकता।

 

Question 8. मान लीजिए कि f = {(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)} Z से Z में, f(x) = ax + b, द्वारा परिभाषित एक फलन है, जहाँ a, b कोई पूर्णांक हैं। a, b को निर्धारित कीजिए।
Answer: हल: दिया है: \(f = \{(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)\}\) और \(f(x) = ax + b\).
फलन के क्रमित युग्मों का उपयोग करके, हम समीकरण बना सकते हैं:
(1, 1) \(\implies f(1) = 1\)
\(a(1) + b = 1\)

\(\implies a + b = 1\) -------- (i)
(2, 3) \(\implies f(2) = 3\)
\(a(2) + b = 3\)

\(\implies 2a + b = 3\) -------- (ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर:
\((2a + b) - (a + b) = 3 - 1\)
\(a = 2\)
a का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर:
\(2 + b = 1\)

\(\implies b = 1 - 2\)

\(\implies b = -1\)
तो, a = 2 और b = -1.
जांच के लिए, हम अन्य बिंदुओं का उपयोग कर सकते हैं:
\(f(x) = 2x - 1\)
\(f(0) = 2(0) - 1 = -1\). यह (0, -1) से मेल खाता है।
\(f(-1) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3\). यह (-1, -3) से मेल खाता है।
अतः, a = 2 और b = -1.
In simple words: हमें फलन \(f(x) = ax + b\) में a और b के मान ज्ञात करने थे। हमने फलन के दिए गए क्रमित युग्मों का उपयोग करके दो रैखिक समीकरण बनाए और उन्हें a और b के लिए हल किया, जिससे हमें a = 2 और b = -1 प्राप्त हुए।

🎯 Exam Tip: दिए गए क्रमित युग्मों में से कम से कम दो का उपयोग करके दो समीकरणों का एक सेट बनाएं। इन समीकरणों को हल करने के लिए विलोपन या प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें। अपने उत्तर की पुष्टि के लिए अन्य बिंदुओं के साथ जाँच करें।

 

Question 9. R = {(a, b) : a, b ∈ N तथा \(a = b^2\)} द्वारा परिभाषित N से N में, एक संबंध R है। क्या निम्नलिखित कथन सत्य है।
(i) {a, a} ∈ R सभी a ∈ N
(ii) (a, b) ∈ R का तात्पर्य है कि (b, a) ∈ R
(iii) (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R का तात्पर्य है कि (a, c) ∈ R? प्रत्येक दशा में अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए ।
Answer: हल: दिया है: R = {(a, b) : a, b ∈ N तथा \(a = b^2\)}
(i) क्या (a, a) ∈ R सभी a ∈ N के लिए?
यदि (a, a) ∈ R, तो \(a = a^2\).
यह तभी सत्य है जब \(a^2 - a = 0\), या \(a(a-1) = 0\).
तो \(a = 0\) या \(a = 1\).
लेकिन \(a \in N\), तो \(a = 1\) के लिए ही \(a = a^2\) सत्य है। (0 प्राकृत संख्या नहीं है)।
यह सभी a ∈ N के लिए सत्य नहीं है (उदाहरण के लिए, यदि a = 2, तो \(2 \ne 2^2\)).
अतः, कथन असत्य है।

(ii) क्या (a, b) ∈ R का तात्पर्य है कि (b, a) ∈ R?
यदि (a, b) ∈ R, तो \(a = b^2\).
यदि (b, a) ∈ R, तो \(b = a^2\).
यदि \(a = b^2\), तो \(b = (b^2)^2 = b^4\).
यह तभी सत्य है जब \(b = b^4\), या \(b^4 - b = 0\), या \(b(b^3 - 1) = 0\).
चूंकि \(b \in N\), तो \(b = 1\). यदि \(b = 1\), तो \(a = 1^2 = 1\). इस स्थिति में (1, 1) ∈ R और (1, 1) ∈ R है।
लेकिन यह सभी प्राकृत संख्याओं के लिए सत्य नहीं है।
उदाहरण के लिए, (4, 2) ∈ R क्योंकि \(4 = 2^2\). लेकिन (2, 4) \(\notin\) R क्योंकि \(2 \ne 4^2\).
अतः, कथन असत्य है।

(iii) क्या (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R का तात्पर्य है कि (a, c) ∈ R?
यदि (a, b) ∈ R, तो \(a = b^2\).
यदि (b, c) ∈ R, तो \(b = c^2\).
इन दोनों को मिलाने पर, \(a = (c^2)^2 = c^4\).
यदि (a, c) ∈ R, तो \(a = c^2\).
लेकिन हमें \(a = c^4\) मिला है। क्या \(c^4 = c^2\) हमेशा सत्य है?
\(c^4 - c^2 = 0\)
\(c^2(c^2 - 1) = 0\)
चूंकि \(c \in N\), तो \(c^2 = 1\), जिससे \(c = 1\).
यह सभी प्राकृत संख्याओं के लिए सत्य नहीं है।
उदाहरण के लिए, (16, 4) ∈ R क्योंकि \(16 = 4^2\). (4, 2) ∈ R क्योंकि \(4 = 2^2\).
तो (a, c) = (16, 2). क्या (16, 2) ∈ R? नहीं, क्योंकि \(16 \ne 2^2\).
अतः, कथन असत्य है।
In simple words: हमने संबंध R के लिए प्रत्येक कथन की जाँच की जहाँ \(a = b^2\)। (i) सत्य नहीं है क्योंकि \(a = a^2\) केवल a=1 के लिए सत्य है। (ii) सत्य नहीं है क्योंकि यदि \(a = b^2\), तो \(b = a^2\) केवल a=1, b=1 के लिए सत्य है, जैसे (4,2) ∈ R लेकिन (2,4) \(\notin\) R। (iii) सत्य नहीं है क्योंकि यदि \(a = b^2\) और \(b = c^2\), तो \(a = c^4\), जो \(a = c^2\) की संबंध शर्त को संतुष्ट नहीं करता जब तक कि c=1 न हो, जैसे (16,4) ∈ R और (4,2) ∈ R, लेकिन (16,2) \(\notin\) R।

🎯 Exam Tip: संबंधों की सत्यता की जाँच करते समय, दिए गए प्रतिबंधों के तहत विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करें। यदि कोई भी प्रतिउदाहरण (counterexample) मिल जाता है, तो कथन असत्य हो जाता है। प्राकृत संख्याओं के सेट (N) पर विशेष ध्यान दें।

 

Question 10. मान लीजिए A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 5, 9, 11, 15, 16} और f = {(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)}, क्या निम्नलिखित कथन सत्य है ?
(i) f, A से B में एक संबंध है।
(ii) f, A से B में एक फलन है। प्रत्येक दशा में अपने उत्तर का औचित्य बताइए ।
Answer: हल: दिया है: A = {1, 2, 3, 4} तथा B = {1, 5, 9, 11, 15, 16}.
और \(f = \{(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)\}\).
(i) f, A से B में एक संबंध है।
एक संबंध R, A से B में तभी होता है जब R, A x B का एक उपसमुच्चय हो।
A x B = {(1, 1), (1, 5), (1, 9), (1,11), (1, 15), (1, 16), (2, 1), (2, 5), (2, 9), (2, 11), (2, 15), (2, 16), (3, 1), (3, 5), (3, 9), (3, 11), (3, 15), (3,16), (4, 1), (4, 5), (4,9), (4, 11), (4, 15), (4, 16)}.
फलन f के क्रमित युग्मों को देखें:
(1, 5) \(\in\) A x B (1 \(\in\) A, 5 \(\in\) B)
(2, 9) \(\in\) A x B (2 \(\in\) A, 9 \(\in\) B)
(3, 1) \(\in\) A x B (3 \(\in\) A, 1 \(\in\) B)
(4, 5) \(\in\) A x B (4 \(\in\) A, 5 \(\in\) B)
(2, 11) \(\in\) A x B (2 \(\in\) A, 11 \(\in\) B)
चूंकि f के सभी अवयव A x B में हैं, f, A से B में एक संबंध है।
अतः, कथन सत्य है।

(ii) f, A से B में एक फलन है।
एक संबंध एक फलन होता है यदि प्रांत के प्रत्येक अवयव का केवल एक ही अद्वितीय प्रतिबिंब हो।
फलन f के क्रमित युग्मों को देखें:
(2, 9) और (2, 11) दोनों f में मौजूद हैं।
इसका मतलब है कि प्रांत के अवयव 2 के दो अलग-अलग प्रतिबिंब (9 और 11) हैं।
अतः, f, A से B में एक फलन नहीं है।
कथन असत्य है।
In simple words: (i) हमने पाया कि f के सभी क्रमित युग्मों के पहले घटक समुच्चय A से और दूसरे घटक समुच्चय B से संबंधित हैं, इसलिए f, A से B में एक संबंध है। (ii) f एक फलन नहीं है क्योंकि प्रांत के अवयव 2 के दो अलग-अलग प्रतिबिंब (9 और 11) हैं।

🎯 Exam Tip: संबंध की जाँच करने के लिए, सुनिश्चित करें कि सभी क्रमित युग्म A x B के अवयव हैं। फलन की जाँच करने के लिए, सुनिश्चित करें कि प्रांत का कोई भी अवयव एक से अधिक प्रतिबिंब न रखता हो।

 

Question 11. मान लीजिए कि \(f, f = \{(ab, a + b); a, b \in Z\}\) द्वारा परिभाषित Z x Z का एक उपसमुच्चय है। क्या f, Z से Z में एक फलन है ? अपने उत्तर का औचित्य भी स्पष्ट कीजिए ।
Answer: हल: दिया है: \(f = \{(ab, a + b); a, b \in Z\}\).
हमें यह जाँच करनी है कि क्या f, Z से Z में एक फलन है। एक फलन के लिए, प्रांत के प्रत्येक अवयव का एक अद्वितीय प्रतिबिंब होना चाहिए।
यहाँ, प्रांत के अवयव \(ab\) के रूप में हैं, और प्रतिबिंब \(a+b\) के रूप में हैं।
मान लीजिए हम एक ऐसा उदाहरण लेते हैं जहाँ \(ab\) का मान समान हो लेकिन \(a+b\) का मान भिन्न हो।
स्थिति 1: मान लीजिए \(a = 1, b = 0\).
तब \(ab = 1 \times 0 = 0\).
और \(a + b = 1 + 0 = 1\).
तो, f में क्रमित युग्म है: (0, 1).
स्थिति 2: मान लीजिए \(a = 2, b = 0\).
तब \(ab = 2 \times 0 = 0\).
और \(a + b = 2 + 0 = 2\).
तो, f में क्रमित युग्म है: (0, 2).
यहाँ, प्रांत के अवयव '0' के दो अलग-अलग प्रतिबिंब (1 और 2) हैं।
इसलिए, f एक फलन नहीं है।
In simple words: हमने एक प्रतिउदाहरण (counterexample) का उपयोग करके यह जाँच की कि क्या f एक फलन है। हमने पाया कि प्रांत के एक ही अवयव (0) के दो अलग-अलग प्रतिबिंब (1 और 2) मौजूद हैं, जो फलन की परिभाषा का उल्लंघन करता है। इसलिए, f एक फलन नहीं है।

🎯 Exam Tip: एक फलन के लिए, प्रांत के प्रत्येक अवयव का केवल एक ही अद्वितीय प्रतिबिंब होना चाहिए। यदि आप एक ऐसा इनपुट पाते हैं जिसके दो या अधिक आउटपुट हैं, तो संबंध एक फलन नहीं है। ऐसे मामलों में, एक विशिष्ट प्रतिउदाहरण सबसे अच्छा स्पष्टीकरण होता है।

 

Question 12. मान लीजिए कि A = {9, 10, 11, 12, 13} तथा f : A\(\to\)N, f(n) = n का महत्तम अभाज्य गुणक द्वारा परिभाषित है । f का परिसर ज्ञात करो ।
Answer: हल: दिया है: A = {9, 10, 11, 12, 13}
फलन \(f(n)\) को \(n\) के महत्तम अभाज्य गुणक के रूप में परिभाषित किया गया है।
हमें A के प्रत्येक अवयव के लिए \(f(n)\) का मान ज्ञात करना है:
n = 9: 9 के अभाज्य गुणक \(3 \times 3\) हैं। सबसे बड़ा अभाज्य गुणक = 3. तो, \(f(9) = 3\).
n = 10: 10 के अभाज्य गुणक \(2 \times 5\) हैं। सबसे बड़ा अभाज्य गुणक = 5. तो, \(f(10) = 5\).
n = 11: 11 का अभाज्य गुणक 11 है। सबसे बड़ा अभाज्य गुणक = 11. तो, \(f(11) = 11\).
n = 12: 12 के अभाज्य गुणक \(2 \times 2 \times 3\) हैं। सबसे बड़ा अभाज्य गुणक = 3. तो, \(f(12) = 3\).
n = 13: 13 का अभाज्य गुणक 13 है। सबसे बड़ा अभाज्य गुणक = 13. तो, \(f(13) = 13\).
फलन के सभी प्रतिबिंबों का समुच्चय परिसर है।
परिसर = \(\{3, 5, 11, 13\}\).
In simple words: हमने समुच्चय A के प्रत्येक अवयव के लिए उसके महत्तम अभाज्य गुणक को ज्ञात किया। 9 का महत्तम अभाज्य गुणक 3 है, 10 का 5, 11 का 11, 12 का 3, और 13 का 13 है। इन मानों का संग्रह \(\{3, 5, 11, 13\}\) फलन का परिसर है।

🎯 Exam Tip: महत्तम अभाज्य गुणक ज्ञात करने के लिए, संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करें और उनमें से सबसे बड़ी अभाज्य संख्या को चुनें। परिसर में डुप्लिकेट मान शामिल नहीं होते हैं, इसलिए उन्हें एक बार ही सूचीबद्ध करें।