UP Board Solutions Class 11 Maths Chapter 1 Sets

Exercise 1.1

Question 1. निम्नलिखित में कौन से समुच्चय हैं? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
(i) j अक्षर से प्रारम्भ होने वाले वर्ष के सभी महीनों का संग्रह।
(ii) भारत के दस सबसे अधिक प्रतिभाशाली लेखकों का संग्रह।
(iii) विश्व के सर्वश्रेष्ठ ग्यारह बल्लबाजों का संग्रह ।
(iv) आप की कक्षा के सभी बालकों का संग्रह ।
(v) 100 से कम सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह।
(vi) लेखक प्रेमचन्द द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह।
(vii) सर्भीसम पूर्णाकों का संग्रह।
(viii) इस अध्याय में आने वाले प्रश्नों का संग्रह ।
(ix) विश्व में सबसे अधिक खतरनाक जानवरों का संग्रह।
Answer: (i) j से शुरु होने वाले महीनों के नाम : जनवरी, जून व जुलाई। अतः यह एक समुच्चय है।
(ii) प्रतिभाशाली लेखक को परिभाषित नहीं किया जा सकता। इसीलिए यह एक समुच्चय नहीं है।
(iii) सर्वश्रेष्ठ बल्लेबाज को परिभाषित नहीं कर सकते। अतः यह एक समुच्चय नहीं है।
(iv) कक्षा के सभी विद्यार्थियों की संख्या निश्चित होती है। अतः यह एक समुच्चय है ।
(v) 100 से कम प्राकृत संख्याएँ 1, 2, 3, - 99 हैं। अतः यह एक समुच्चय है।
(vi) लेखक प्रेमचन्द्र द्वारा लिखित उपन्यासों का संग्रह गबन, गोदान आदि द्वारा परिभाषित हैं। अतः यह एक समुच्चय है।
(vii) समपूर्णांक {..... -6, -4, -2, 4, 6, ....} हैं। इसलिए यह एक समुच्चय है।
(viii) इस अध्याय के प्रश्न परिभाषित हैं। अतः यह एक समुच्चय है।
(ix) संसार के सबसे अधिक खतरनाक पशुओं के संग्रह को परिभाषित नही किया जा सकता। इसलिए यह एक समुच्चय नहीं है।
In simple words: एक संग्रह तभी एक समुच्चय होता है जब उसके अवयवों को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सके। जैसे, 'j' से शुरू होने वाले महीने या कक्षा के छात्र निश्चित होते हैं, जबकि 'प्रतिभाशाली लेखक' या 'खतरनाक जानवर' व्यक्तिपरक होते हैं और स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किए जा सकते।

🎯 Exam Tip: समुच्चय की परिभाषा में 'सुपरिभाषित' (well-defined) वस्तुओं का संग्रह होना महत्वपूर्ण है। यह सुनिश्चित करें कि आप वस्तुनिष्ठ और व्यक्तिपरक परिभाषाओं के बीच अंतर कर सकें।

Question 2. मान लीजिए A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. रिक्त स्थानों में उपयुक्त प्रतीक ∈अथवा ∉ भरिए ।
(i) 5 ...... A
(ii) 8 ........ A
(iii) 0 ........ A
(iv) 4 ........ A
(v) 2 ........ A
(vi) 10 ....... A
Answer: (i) 5 ∈ A
(ii) 8 ∉ A
(iii) 0 ∉ A
(iv) 4 ∈ A
(v) 2 ∈ A
(vi) 10 ∉ A
In simple words: प्रतीक '∈' दर्शाता है कि एक अवयव एक समुच्चय से संबंधित है, जबकि '∉' दर्शाता है कि अवयव संबंधित नहीं है। आपको बस यह देखना है कि दी गई संख्या समुच्चय A में है या नहीं।

🎯 Exam Tip: '∈' (belongs to) और '∉' (does not belong to) प्रतीकों का सही उपयोग सुनिश्चित करें। यह समुच्चय सिद्धांत की मूल अवधारणा है।

Exercise 1.1

Question 3. निम्नलिखित समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिखिए:
(i) A = {x : x एक पूर्णाक है और -3 < x < 7}
(ii) B = {x : x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है ।}
(iii) C = {x : x दो अंको की ऐसी प्राकृत संख्या है जिसके अंकों का योगफल 8 है ।}
(iv) D = {x : x एक अभाज्य संख्या है जो 60 की भाजक है।
(v) E = TRIGONOMETRY शब्द के सभी अक्षरों का समुच्चय
(vi) F = BETTER शब्द के सभी अक्षरों क़ा समुच्च्य
Answer: (i) A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) B = {1, 2, 3, 4, 5}
(iii) C = {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80}
(iv) D = {2, 3, 5}
(v) E = {T, R, I, G, O, N, M, E, Y}
(vi) F = {B, E, T, R}
In simple words: रोस्टर रूप में, आप समुच्चय के सभी अवयवों को कोष्ठकों { } के अंदर लिखते हैं और उन्हें अल्पविराम से अलग करते हैं। दोहराए गए अवयवों को केवल एक बार सूचीबद्ध किया जाता है।

🎯 Exam Tip: रोस्टर रूप लिखते समय, सुनिश्चित करें कि सभी अद्वितीय अवयव सूचीबद्ध हैं और कोई भी अवयव दोहराया नहीं गया है। शब्द के अक्षरों के लिए, प्रत्येक अद्वितीय अक्षर को एक बार ही लिखें।

Question 4. निम्नलिखित समुच्चयों को समुच्चय निर्माण रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) {3, 6, 9, 12}
(ii) {2, 4, 8, 16, 32}
(iii) {5, 25, 125, 625}
(iv) {2, 4, 6, ....}
(v) {1, 4, 9, ......100}
Answer: (i) {x : x = 3n और 1 ≤ n ≤ 4}
(ii) {x : x = \( 2^n \) और 1 ≤ n ≤ 5}
(iii) {x : x = \( 5^n \) और 1 ≤ n ≤ 4}
(iv) {x : x एक सम प्राकृत संख्या है ।}
(v) {x : x = \( n^2 \), 1 ≤ n ≤ 10}
In simple words: समुच्चय निर्माण रूप में, आप समुच्चय के अवयवों के एक सामान्य गुण का वर्णन करते हैं जो समुच्चय के सभी अवयवों के लिए सत्य हो और किसी अन्य अवयव के लिए नहीं।

🎯 Exam Tip: समुच्चय निर्माण रूप लिखते समय, अवयवों के पैटर्न (जैसे गुणज, घात, वर्ग) को पहचानना और उचित चर और उसकी सीमा को परिभाषित करना महत्वपूर्ण है।

Question 5. निम्नलिखित समुच्चयों के सभी अवयवों (सदस्यों) को सूचीबद्ध कीजिए।
(i) A = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है।
(ii) B = {x : x एक पूर्णाक है, \( \frac{-1}{2} \) < x < \( \frac{9}{2} \)}
(iii) C = {x : x एक पूर्णाक है, \( x^2 \) ≤ 4}
(iv) D = {x: x, LOYAL शब्द का एक अक्षर है ।}
(v) F = {x : x वर्ष का एक ऐसा महीना है, जिसमें 31 दिन नहीं होते हैं ।}
(vi) F = {x : x अंग्रेजी वर्णमाला का एक व्यंजन है, जो k से पहले आता है ।}
Answer: (i) A = {1, 3, 5, 7, ..........}
(ii) B = { 0, 1, 2, 3, 4}
(iii) C = {-2, -1, 0, 1, 2}
(iv) D = {L, O, Y, A}
(v) E = {फरवरी, अप्रैल, जून, सितम्बर, नवम्बर}
(vi) F = {b, c, d, f, g, h, j}
In simple words: इस प्रश्न में, आपको समुच्चय निर्माण रूप में दिए गए समुच्चयों को रोस्टर रूप में परिवर्तित करना है, जिसका अर्थ है कि आपको समुच्चय के सभी अवयवों को स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध करना है।

🎯 Exam Tip: समुच्चय के अवयवों को सूचीबद्ध करते समय, दी गई शर्तों (जैसे पूर्णांक, प्राकृत संख्या, असमानताएँ, शब्दों के अक्षर) का ध्यानपूर्वक पालन करें। महीनों या अक्षरों जैसी विशिष्ट सूचियों के लिए सामान्य ज्ञान का भी उपयोग करें।

Question 6. बाई ओर रोस्टर रूप में लिखित और दाईं ओर समुच्चय निर्माण रूप में वर्णित समुच्चयों का सही मिलान कीजिए।
(i) {1, 2, 3, 6} (a) {x : x एक अभाज्य संख्या है और 6 की भाजक है।
(ii) {2, 3} (b) {x : x संख्या 10 से कम एक विषम प्राकृत संख्या है।
(iii) {M, A, T, H, E, I, C, S} (c) {x: x एक प्राकृत संख्या है और 6 की भाजक है।
(iv) {1, 3, 5, 7, 9} (d) {x : x MATHEMATICS शब्द का एक अक्षर है:
Answer: (i) → (c)
(ii) → (a)
(iii) → (d)
(iv) → (b)
In simple words: आपको समुच्चय के रोस्टर रूप को उसके संबंधित समुच्चय निर्माण रूप से मिलाना है, यह पहचानते हुए कि कौन सा नियम दिए गए अवयवों के सेट का सही वर्णन करता है।

🎯 Exam Tip: प्रत्येक रोस्टर रूप के लिए, उसके अवयवों के पैटर्न या विशेषताओं को पहचानें। फिर, प्रत्येक समुच्चय निर्माण रूप को पढ़कर जांचें कि क्या यह उन अवयवों का सही वर्णन करता है।

Exercise 1.2

Question 1. निम्नलिखित में से कौन से रिक्त समुच्चय के उदाहरण है?
(i) 2 से भाज्यं विषम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय
(ii) सम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय
(iii) {x : x एक प्राकृत संख्या है, x < 5 और साथ ही साथ x > 7}
(iv) {y : y किन्हीं भी दो समांतर रेखाओं का उभयनिष्ठ बिन्दु है ।}
Answer: (i) 2 से भाज्य कोई भी विषम प्राकृत संख्याएँ नहीं हैं। अतः यह एक रिक्त समुच्चय है।
(ii) सम अभाज्य संख्या का समुच्चय {2} है। यह एक रिक्त समुच्चय नहीं है।
(iii) x < 5 और x > 7 कोई प्राकृत संख्या नहीं है। अतः यह एक रिक्त समुच्चय है।
(iv) समांतर रेखाएँ कहीं भी नहीं मिलती हैं। अतः यह एक रिक्त समुच्चय है।
In simple words: रिक्त समुच्चय वह होता है जिसमें कोई भी अवयव न हो। आपको यह पहचानना है कि दी गई शर्तों के आधार पर कौन सा संग्रह खाली होगा।

🎯 Exam Tip: रिक्त समुच्चय की पहचान करते समय, दी गई शर्तों का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करें। 'और' शब्द पर विशेष ध्यान दें, क्योंकि यह एक साथ कई शर्तों को पूरा करने वाले अवयवों की मांग करता है।

Question 2. निम्नलिखित समुच्च्यों में से कौन परिमित और कौन अपरिमित हैं?
(i) वर्ष के महीनों का समुच्चय ।
(ii) {1, 2, 3, .....}
(iii) {1, 2, 3, - 99, 100}
(iv) 100 से बड़े धन पूर्णाकों का समुच्चय
(v) 99 से छोटे अभाज्य पूर्णाकों का समुच्चय
Answer: (i) वर्ष में 12 महीने होते हैं। अतः यह एक परिमित समुच्चय है।
(ii) समुच्चय {1, 2, 3, ......} में अनंत अवयव हैं। अंतः यह एक अपरिमित समुच्चय है।
(iii) समुच्चय {1, 2, 3, ...... 99, 100} में कुल 100 अवयव हैं। अतः यह एक परिमित समुच्चय है।
(iv) 100 से बड़े पूर्णाकों का समुच्चैय {101, 102, 103, ....} है जिसमें अनंत अवयव हैं। अतः यह एक अपरिमित समुच्चय है।
(v) 99 से छोटे अभाज्य पूर्णांकों का समुच्चय {2, 3, 5, 7, ...... 97} है जिसमें अवयवों की संख्या निश्चित है। अतः यह एक परिमित समुच्चय है।
In simple words: एक परिमित समुच्चय में अवयवों की संख्या सीमित होती है और उसे गिना जा सकता है, जबकि एक अपरिमित समुच्चय में अवयवों की संख्या अनंत होती है।

🎯 Exam Tip: परिमित और अपरिमित समुच्चयों के बीच अंतर करने के लिए, समुच्चय के अवयवों को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें। यदि अवयवों को गिना जा सकता है, तो वह परिमित है; अन्यथा, अपरिमित है। दीर्घवृत्त (...) की उपस्थिति पर ध्यान दें जो अक्सर अपरिमित समुच्चयों का संकेत देती है।

Question 3. निम्नलिखित समुच्चयों में से प्रत्येक के लिए बताइए कि कौन परिमित है और कौन अपरिमित है?
(i) x-अक्ष के समांतर रेखाओं का समुच्चय ।
(ii) अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों का समुच्चय ।
(iii) उन संख्याओं का समुच्चय जो 5 के गुणज हैं।
(iv) पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय
(v) मूल बिन्दु (0, 0) से होकर जाने वाले वृत्तों का समुच्चय ।
Answer: (i) x-अक्ष के समांतर अनंत रेखाएँ खींची जा सकती हैं। अतः यह एक अपरिमित समुच्चय है।
(ii) अंग्रेजी वर्णमाला में कुल 26 अक्षर होते हैं। इन अक्षरों से बनने वाला समुच्चय परिमित होगा ।
(iii) 5 से विभाजित होने वाली संख्याओं का समुच्चय {5, 10, 15, 20, ....} है, जिसमें अनंत अवयव हैं। अतः यह एक अपरिमित समुच्चय है।
(iv) पृथ्वी पर रहने वाले जानवरों का समुच्चय परिमित होगा ।
(v) मूल बिन्दु को केन्द्र मानकर अनन्त वृत्त चे जा सकते हैं। अतः यह अपरिमित होगा।
In simple words: परिमित समुच्चय में निश्चित संख्या में अवयव होते हैं, जबकि अपरिमित समुच्चय में अनंत संख्या में अवयव होते हैं। आपको प्रत्येक संग्रह के लिए यह तय करना है कि क्या उसके अवयवों को गिना जा सकता है।

🎯 Exam Tip: यह विश्लेषण करते समय कि एक समुच्चय परिमित है या अपरिमित, वास्तविक दुनिया की अवधारणाओं (जैसे पृथ्वी पर जानवर) और गणितीय अवधारणाओं (जैसे 5 के गुणज या रेखाएँ) दोनों पर विचार करें। अनंतता अक्सर असीमित विस्तार या संख्या से जुड़ी होती है।

Question 4. निम्नलिखित में बताइए कि A = B है अथवा नहीं है।
(i) A = {a, b, c, a}, B = {a, c, b, a}
(ii) A = {4, 8, 12, 16}, B = {8, 4, 16, 18}
(iii) A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {x : x सम धन पूर्णाक है और x ≤ 10}
(iv) A = {x : x संख्या 10 का एक गुणज है}, B = {10, 15,20, 25, 30, ...}
Answer: (i) A और B दोनों समुच्चयों के अवयव a, b, c, d हैं अतः A = B.
(ii) A में अवयव 12 है परन्तु B में नहीं है अतः A ≠ B.
(iii) A और B दोनों समुच्चयों में अवयव 2, 4, 6, 8 और 10 हैं। अतः A = B.
(iv) A = {10, 20, 30, 40, .....}, B = {10, 15, 25, 30, ....} 10 के गुणजों में 5, 15, 25 नहीं आता है। अतः A ≠ B.
In simple words: दो समुच्चय A और B समान होते हैं यदि उनमें बिल्कुल वही अवयव हों, अवयवों का क्रम या दोहराव मायने नहीं रखता।

🎯 Exam Tip: समान समुच्चयों का निर्णय करते समय, प्रत्येक समुच्चय के अद्वितीय अवयवों की तुलना करें। यह सुनिश्चित करें कि दोनों समुच्चयों में बिल्कुल वही अवयव मौजूद हों। दोहराए गए अवयवों को अनदेखा करें।

Question 5. क्या निम्नलिखित समुच्चय युग्म समान हैं ? कारण सहित बताइए।
(i) A = {2, 3}
B = {x : x समीकरण \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) का एक हल है ।}
(ii) A = {k : x शब्द ‘FOLLOW' का एक अक्षर है ।}
B = {y : y शब्द ‘WOLF का एक अक्षर है ।}
Answer: (i) A = {2, 3}, B = {x : x समीकरण \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)} = {-2, -3} स्पष्ट है कि समुच्चय A और B के अवयव भिन्न हैं। अत: A ≠ B.
(ii) A = {F, O, L, W}, B = {W, O, L, F} समुच्च्य A और B के अवयव समान हैं। अतः A = B.
In simple words: दो समुच्चय समान कहलाते हैं यदि उनमें समान अद्वितीय अवयव हों। आपको प्रत्येक समुच्चय को उसके रोस्टर रूप में परिवर्तित करके और फिर अवयवों की तुलना करके यह निर्धारित करना होगा कि वे समान हैं या नहीं।

🎯 Exam Tip: समीकरणों या शब्दों से अवयवों को निकालते समय सावधानी बरतें। समीकरणों के लिए सभी संभव हल ढूंढें और शब्दों के लिए, प्रत्येक अद्वितीय अक्षर को सूचीबद्ध करें। फिर, अवयवों की सीधी तुलना करें।

Question 6. नीचे दिए गए समुच्चयों में से समान समुच्चयों का चयन कीजिए:
A = {2, 4, 8, 12}
B = {1, 2, 3, 4}
C = {4, 8, 12, 14}
D = {3, 1, 4, 2}
E = {-1, 1}
F = {0, a}
G = {1, -1}
H = {0, 1}
Answer: यहाँ समुच्चय B और D के अवयव 1, 2, 3, 4, हैं । B = D तथा समुच्चय E और G में -1, 1 अवयव समान हैं। E = G
In simple words: समान समुच्चय वे होते हैं जिनमें समान सदस्य होते हैं, भले ही क्रम या दोहराव अलग-अलग हो। आपको सभी दिए गए समुच्चयों की तुलना करके समान जोड़े की पहचान करनी है।

🎯 Exam Tip: जब कई समुच्चय दिए हों, तो प्रत्येक समुच्चय के अद्वितीय अवयवों को स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध करें। फिर, उन समुच्चयों की पहचान करने के लिए तुलना करें जिनमें बिल्कुल समान अवयव हैं।

Exercise 1.3

Question 1. रिक्त स्थानों में प्रतीक \( \subset \) या \( \not\subset \) को भर कर सही कथन बनाइए:
(i) {2, 3, 4} .... {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {a, b, c}..... {b, c, d}
(iii) {x : x आपके विद्यालय की कक्षा XI का एक विद्यार्थी है } \( \subset \) {x : x आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है ।}
(iv) {x : x किसी समतल में स्थित एक वृत है} \( \not\subset \) {x : x एक समान समतल में एक वृत्त है। जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है ।}
(v) {x : x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है} .... {x: x किसी समतल में स्थित एक आयत है ।}
(vi) {x : x किसी संमतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है} \( \subset \) {x : x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है ।}
(vii) {x : x एक सम प्राकृत संख्या है} \( \subset \) {x : x एक पूर्णाक है}
Answer: (i) अवयव 2, 3, 4 ∈ {1, 2, 3, 4, 5} अतः {2, 3, 4} \( \subset \) {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {a, b, c} का अवयव a \( \not\subset \) {b, c, d} अतः {a, b, c} \( \not\subset \) {b, c, d}
(iii) जो विद्यार्थी विद्यालय की कक्षा XI में हैं वे विद्यालय में भी हैं। अतः {x : x विद्यालय की कक्षा XI का विद्यार्थी} \( \subset \) {x : x आपके विद्यालय का विद्यार्थी}
(iv) समुच्चय {x : x समतल में एक वृत्त} के एक अवयव वृत्त की त्रिज्या 1 से भिन्न हो सकती है। अतः {x : x समतल में वृत्त} \( \not\subset \) {x : x वृत्त की त्रिज्या 1 इकाई है }
(v) त्रिभुजों का समुच्चय आयतों के समुच्चय से बिल्कुल भिन्न है । अतः {x : x समतल में एक त्रिभुज} \( \not\subset \) {x : x समतल में एक आयत}
(vi) प्रत्येक समबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है। अतः {x : x समतल में एक समबाहु त्रिभुज} \( \subset \) {x : x समतल में एक त्रिभुज}
(vii) प्रत्येक सम प्राकृत संख्या एक पूर्णाक है। अतः {x : x एक सम प्राकृत संख्या} \( \subset \) {x : x एक पूर्णाक}
In simple words: ' \( \subset \)' प्रतीक का अर्थ है 'उपसमुच्चय है', जिसका मतलब है कि एक समुच्चय के सभी अवयव दूसरे समुच्चय में भी हैं। ' \( \not\subset \)' प्रतीक का अर्थ है 'उपसमुच्चय नहीं है'। आपको यह तय करना है कि क्या एक समुच्चय के सभी अवयव दूसरे में निहित हैं।

🎯 Exam Tip: उपसमुच्चय की परिभाषा को ध्यान में रखें: A \( \subset \) B का अर्थ है कि A का प्रत्येक अवयव B में भी है। यदि एक भी अवयव B में नहीं है, तो A \( \not\subset \) B। विशिष्ट मामलों में (जैसे ज्यामितीय आकृतियाँ), सुनिश्चित करें कि सभी शर्तें पूरी हों।

Question 2. जाँचिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य हैं:
(i) {a, b} \( \not\subset \) {b, c, a}
(ii) {a, e} \( \subset \) {x : x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है।}
(iii) {1, 2, 3} \( \subset \) {1, 3, 5}
(iv) {a} \( \subset \) {a, b, c}
(v) {a} \( \not\subset \) {a, b, c}
(vi) {x : x संख्या 6 से कम एक सम प्राकृत संख्या है । \( \subset \) {x: x एक प्राकृत संख्या है, जो संख्या 36 को विभाजित करती है।}
Answer: (i) समुच्चय {a, b} के अवयव a, b दासमुच्चय {b, c, a} में है । {a, b} \( \not\subset \) {b, c, a} अतः उपरोक्त कथन असत्य है।
(ii) a, e दोनों ही स्वर हैं। {a, e} = {x: x, अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है। अतः यह कथन सत्य है।
(iii) समुच्चय {1, 2, 3} और {1, 3, 5} में अवयव 2 समुच्चय {1, 3, 5} नहीं है। {1, 2, 3} \( \not\subset \) {1, 3, 5} कथने असत्य है।
(iv) a ∈ {a, b, c} {a} \( \subset \) {a, b, c} यह कथन सत्य है ।
(v) {4} समुच्चय है, अवयव नही है। {a} \( \not\subset \) {a, b, c} कथन असत्य है।
(vi) सम प्राकृत संख्या 2, 4 संख्या 6 से कम है तथा 36 को विभाजित करती है । {x : x एक सम प्राकृत संख्या है जो 6 से कम है} \( \subset \) {x : x एक सम प्राकृत संख्या 36 को विभाजित करती है। अतः यह कथन सत्य है ।}
In simple words: आपको यह जांचना है कि दिए गए कथन उपसमुच्चय संबंधों के बारे में सत्य हैं या असत्य। एक समुच्चय A, समुच्चय B का उपसमुच्चय होता है यदि A के सभी अवयव B में मौजूद हों।

🎯 Exam Tip: यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि 'a' एक अवयव है और '{a}' एक समुच्चय है जिसमें 'a' अवयव है। इस अंतर को समझें क्योंकि यह \( \in \) (belongs to) और \( \subset \) (is a subset of) प्रतीकों के सही उपयोग के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 3. मान लीजिए कि A = {1, 2, {3, 4}, 5}, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है और क्यों?
(i) {3, 4} \( \subset \) A
(ii) {3, 4} ∈ A
(iii) {{3, 4}} \( \subset \) A
(iv) 1 ∈ A
(v) 1 \( \subset \) A
(vi) {1, 2, 5} \( \subset \) A
(vii) {1, 2, 5} ∈A
(viii) {1, 2, 3} \( \subset \) A
(ix) \( \Phi \in \) A
(x) \( \Phi \subset \) A
(xi) { \( \Phi \)} \( \subset \) A
Answer: (i) सही नहीं है। समुच्चय {3, 4} एक अवयव है।
(ii) सही है। क्योंकि {3, 4} समुच्चय A का एक अवयव है।
(iii) सही है। A के अवयव {3, 4} का एक उपसमुच्चय है।
(iv) 1∈ A, सही है ।
(v) 1 \( \subset \) A सही नहीं है क्योंकि 1 एक समुच्चय नहीं है।
(vi) {1, 2, 5} \( \subset \) A सही है। समुच्चय {1, 2,5} के अवयव 1, 2, 5 समुच्चय A में है।
(vii) {1, 2, 5} ∈ सही नहीं है। {12, 5} अवयव नहीं है। यह एक समुच्चय है।
(viii) {1, 2, 3} \( \subset \) A सही नहीं है। अवयव 3 समुच्चय में नही है।
(ix) \( \Phi \in \) A, सही नहीं है। \( \Phi \) एक समुच्चय है, अवयव नहीं है।
(x) { \( \Phi \)} \( \subset \) A सही है। सभी समुच्चयों का उपसमुच्चय है।
(xi) { \( \Phi \)} \( \subset \) A सही नहीं है। { \( \Phi \)} समुच्चय का समुच्चय है।
In simple words: इस प्रश्न में, आपको यह पहचानना है कि एक समुच्चय A के लिए कौन से कथन सही या गलत हैं, यह ध्यान में रखते हुए कि A में '{3, 4}' एक अवयव है, न कि एक समुच्चय।

🎯 Exam Tip: जब कोई समुच्चय अवयव के रूप में दूसरे समुच्चय को समाहित करता है, जैसे A में '{3, 4}', तो यह एक 'अवयव' के रूप में व्यवहार करता है, न कि उपसमुच्चय के रूप में। इस बारीक अंतर को समझें: '{3, 4}' ∈ A सत्य है, जबकि '{3, 4}' \( \subset \) A असत्य है। '{ {3, 4} }' \( \subset \) A सत्य है क्योंकि यह '{3, 4}' अवयव वाला एक समुच्चय है। इसी तरह, \( \Phi \) (रिक्त समुच्चय) हमेशा हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, लेकिन यह किसी भी समुच्चय का अवयव नहीं होता जब तक कि उसे स्पष्ट रूप से एक अवयव के रूप में सूचीबद्ध न किया जाए।

Question 4. निम्नलिखित समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय लिखिए।
(i) {a}
(ii) {a, b}
(iii) {1, 2, 3}
(iv) \( \Phi \)
Answer: (i) \( \Phi \), {a}
(ii) \( \Phi \), {a}, {b}, {a, b}
(iii) \( \Phi \), {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}
(iv) \( \Phi \)
In simple words: एक समुच्चय के उपसमुच्चय वे सभी समुच्चय होते हैं जो उसके अवयवों से बनाए जा सकते हैं। रिक्त समुच्चय (\( \Phi \)) हमेशा किसी भी समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। n अवयवों वाले समुच्चय के लिए \( 2^n \) उपसमुच्चय होते हैं।

🎯 Exam Tip: उपसमुच्चय लिखते समय, हमेशा रिक्त समुच्चय (\( \Phi \)) से शुरू करें और फिर एकल अवयवों वाले समुच्चय, दो अवयवों वाले समुच्चय आदि तक जाएं, और अंत में मूल समुच्चय को स्वयं लिखें। सुनिश्चित करें कि आप \( 2^n \) उपसमुच्चय की गिनती करके कोई भी उपसमुच्चय छोड़ न दें।

Question 5. P (A) के कितने अवयव हैं, यदि A = \( \Phi \)?
Answer: A = \( \Phi \), P(A) = \( \Phi \) इस प्रकार P (A) को \( 2^0 \) = 1 अवयव है।
In simple words: घात समुच्चय P(A) वह समुच्चय होता है जिसमें समुच्चय A के सभी उपसमुच्चय होते हैं। यदि A एक रिक्त समुच्चय है, तो इसमें 0 अवयव होते हैं, और इसके घात समुच्चय में \( 2^0 = 1 \) अवयव होता है, जो स्वयं रिक्त समुच्चय है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी समुच्चय में n अवयव होने पर उसके घात समुच्चय P(A) में \( 2^n \) अवयव होते हैं। रिक्त समुच्चय में 0 अवयव होते हैं, इसलिए इसके घात समुच्चय में \( 2^0 = 1 \) अवयव होगा (जो रिक्त समुच्चय है)।

Question 6. निम्नलिखित को अंतराल रूप में लिखिए:
(i) {x: x ER, -4 < x ≤ 6}
(ii) {x: x ER, -12 < x < -10}
(iii) {x: x ∈ R, 0 ≤ x < 7}
(iv) {x: x ∈ R, 3 ≤ x ≤ 4}
Answer: वांछित अंतराल इस प्रकार हैं।
(i) (-4, 6]
(ii) (-12, -10)
(iii) [0, 7)
(iv) [3, 4]
In simple words: अंतराल रूप वास्तविक संख्याओं के एक समुच्चय को संक्षिप्त रूप से दर्शाता है। गोलाकार कोष्ठक '(' या ')' का अर्थ है कि अंतिम बिंदु शामिल नहीं है (खुला अंतराल), जबकि वर्गाकार कोष्ठक '[' या ']' का अर्थ है कि अंतिम बिंदु शामिल है (बंद अंतराल)।

🎯 Exam Tip: खुले और बंद अंतरालों के बीच के अंतर को स्पष्ट रूप से समझें। 'कम से' (≤) या 'अधिक से' (≥) के लिए वर्गाकार कोष्ठक का उपयोग करें, और 'से कम' (<) या 'से अधिक' (>) के लिए गोलाकार कोष्ठक का उपयोग करें।

Question 7. निम्नलिखित अंतरालों को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए:
(i) (-3, 0)
(ii) [6, 12]
(iii) (6, 12]
(iv) [-23, 5]
Answer: (i) (-3, 0) = {x : x ∈ R, -3 < x < 0}
(ii) [6, 12] = {x : x ∈ R, 6 ≤ x ≤ 12}
(iii) (6,12] = {x : x ∈ R, 6 < x ≤ 12}।
(iv) [-23, 5] = {x : x ∈ R, -23 ≤ x ≤ 5}
In simple words: समुच्चय निर्माण रूप में अंतराल को व्यक्त करने के लिए, आपको एक चर (जैसे x) को परिभाषित करना होगा और फिर वास्तविक संख्याओं के रूप में उसकी सीमा और प्रकार को निर्दिष्ट करना होगा।

🎯 Exam Tip: अंतराल को समुच्चय निर्माण रूप में बदलते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप 'वास्तविक संख्या' (R) के रूप में चर के प्रकार को सही ढंग से दर्शाएं और अंतरालों के लिए सही असमानताएँ (>, <, ≥, ≤) का उपयोग करें।

Question 8. निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए आप कौन सा सार्वत्रिक समुच्चय प्रस्तावित करेंगे?
(i) समकोण त्रिभुजों का समुच्चय
(ii) समद्विबाहु त्रिभुजों का समुच्चय
Answer: दोनों समुच्चयों के लिए सार्वत्रिक समुच्चय : {x : x समतल में स्थित एक त्रिभुज}
In simple words: सार्वत्रिक समुच्चय वह होता है जिसमें सभी संबंधित समुच्चय के सभी संभावित अवयव होते हैं। समकोण और समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए, सभी प्रकार के त्रिभुजों का समुच्चय ही सबसे उपयुक्त सार्वत्रिक समुच्चय होगा।

🎯 Exam Tip: सार्वत्रिक समुच्चय को पहचानते समय, दिए गए सभी समुच्चयों के लिए सबसे व्यापक श्रेणी पर विचार करें। यह वह समुच्चय होना चाहिए जो दिए गए सभी समुच्चयों को अपने उपसमुच्चय के रूप में समाहित करता है।

Question 9. समुच्चय A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} और C = {0, 2, 4, 6, 8} प्रदत्त हैं। इन तीनों समुच्चयों A, B और C के लिए निम्नलिखित में से कौन सा (से) सार्वत्रिक समुच्चय लिए जा सकते हैं?
(i) {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) \( \Phi \)
(iii) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(iv) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Answer: समुच्चय (iii), तीनों समुच्चय A, B, C के लिए {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} सार्वत्रिक समुच्चय हैं।
In simple words: सार्वत्रिक समुच्चय वह समुच्चय होता है जिसमें विचाराधीन सभी समुच्चयों के सभी अवयव शामिल होते हैं। आपको उस विकल्प को चुनना होगा जिसमें A, B और C के सभी अवयव शामिल हों।

🎯 Exam Tip: सार्वत्रिक समुच्चय के लिए, सुनिश्चित करें कि यह दिए गए सभी समुच्चयों के प्रत्येक अद्वितीय अवयव को समाहित करता है। किसी भी अवयव को छोड़ना इसे एक वैध सार्वत्रिक समुच्चय नहीं बनाएगा।

Exercise 1.4

Question 1. निम्नलिखित में से प्रत्येक समुच्चय युग्म का सम्मिलन ज्ञात कीजिए:
(i) X = {1, 3, 5}, Y = {1, 2, 3}
(ii) A = {a, e, i, o, u}, B = {a, b, c}
(iii) A = {x : एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है।
B = {x : x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है।
(iv) A = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 1 < x ≤ 6}
B = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 6 < x < 10}
(v) A = {1, 2, 3}, B = \( \Phi \)
Answer: (i) X \( \cup \) Y = {1, 3, 5} \( \cup \) {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 5}
(ii) A \( \cup \) B = {a, e, i, o, u} \( \cup \) {a, b, c} = {a, b, c, e, i, o, u}
(iii) A \( \cup \) B = {3, 6, 9....} \( \cup \) {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5 या संख्या 3 का गुणज}
(iv) A = {2, 3, 4, 5, 6}, B = {7, 8, 9} A \( \cup \) B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} अर्थात् {x : 1 < x < 10, x ∈ N}
(v) A \( \cup \) B = {1, 2, 3} \( \cup \) \( \Phi \) = {1, 2, 3}
In simple words: दो समुच्चयों का सम्मिलन (union) एक नया समुच्चय है जिसमें दोनों मूल समुच्चयों के सभी अद्वितीय अवयव होते हैं।

🎯 Exam Tip: सम्मिलन ज्ञात करते समय, दोनों समुच्चयों के सभी अवयवों को एक साथ सूचीबद्ध करें, यह सुनिश्चित करते हुए कि कोई भी अवयव दोहराया न जाए। यदि समुच्चय निर्माण रूप में दिए गए हैं, तो पहले उन्हें रोस्टर रूप में परिवर्तित करना सहायक हो सकता है।

Question 2. मान लीजिए कि A = {a, b}, B = {a, b, c} क्या A \( \subset \) B? A \( \cup \) B ज्ञात कीजिए।
Answer: A = {a, b}, B = {a, b, c} । समुच्चय A के अवयव a, b समुच्चय B में भी है। A \( \subset \) B = A \( \cup \) B = B और A \( \cup \) B = {a, b} \( \cup \) {a, b, c} = {a, b, c}
In simple words: यदि समुच्चय A, समुच्चय B का उपसमुच्चय है, तो A के सभी अवयव B में मौजूद होते हैं। इस स्थिति में, A और B का सम्मिलन B के समान ही होता है।

🎯 Exam Tip: यदि A \( \subset \) B, तो A \( \cup \) B हमेशा B के बराबर होगा। इस गुण को याद रखने से गणना आसान हो जाती है।

Question 3. यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि A \( \subset \) B, तो A \( \cup \) B क्या है?
Answer: A \( \subset \) B समुच्चय A के सभी अवयव समुच्चय B में हैं। A \( \subset \) B = B.
In simple words: जब एक समुच्चय A दूसरे समुच्चय B का उपसमुच्चय होता है, तो A और B का सम्मिलन हमेशा बड़ा समुच्चय B होता है, क्योंकि B में पहले से ही A के सभी अवयव शामिल होते हैं।

🎯 Exam Tip: यह समुच्चय सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण गुण है। यदि एक समुच्चय दूसरे का उपसमुच्चय है, तो उनका सम्मिलन हमेशा बड़ा समुच्चय होगा।

Question 4. यदि A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8} और D = {7, 8, 9, 10}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) A \( \cup \) B
(ii) A \( \cup \) C
(iii) B \( \cup \) C
(iv) B \( \cup \) D
(v) A \( \cup \) B \( \cup \) C
(vi) A \( \cup \) B \( \cup \) D
(vii) B \( \cup \) C \( \cup \) D
Answer: (i) A \( \cup \) B = {1, 2, 3, 4} \( \cup \) {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) A \( \cup \) C = {1, 2, 3, 4} \( \cup \) {5, 6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
(iii) B \( \cup \) C = {3, 4, 5, 6} \( \cup \) {5, 6, 7, 8} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
(iv) B \( \cup \) D = {3, 4, 5, 6} \( \cup \) {7, 8, 9, 10} = {3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(v) A \( \cup \) B \( \cup \) C = ({1, 2, 3, 4} \( \cup \) {3, 4, 5, 6}) \( \cup \) {5, 6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \( \cup \) {5, 6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
(vi) A \( \cup \) B \( \cup \) D = ({1, 2, 3, 4} \( \cup \) {3, 4, 5, 6}) \( \cup \) {7, 8, 9, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \( \cup \) {7, 8, 9, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(vii) B \( \cup \) C \( \cup \) D = ({3, 4, 5, 6} \( \cup \) {5, 6, 7, 8}) \( \cup \) {7, 8, 9, 10} = {3, 4, 5, 6, 7, 8} \( \cup \) {7, 8, 9, 10) = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
In simple words: कई समुच्चयों का सम्मिलन एक समुच्चय होता है जिसमें सभी मूल समुच्चयों के सभी अद्वितीय अवयव होते हैं। आप दो समुच्चयों को एक साथ जोड़कर और फिर परिणाम को तीसरे समुच्चय के साथ जोड़कर इसे चरण-दर-चरण कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: कई समुच्चयों के सम्मिलन की गणना करते समय, यह सुनिश्चित करने के लिए सावधानी बरतें कि प्रत्येक अद्वितीय अवयव को ठीक एक बार शामिल किया गया है। आप बाईं से दाईं ओर दो-दो समुच्चयों का सम्मिलन ज्ञात करके व्यवस्थित रूप से आगे बढ़ सकते हैं।

Question 5. प्रश्न 1 में दिए प्रत्येक समुच्चय युग्म का सर्वनिष्ठ समुच्चय ज्ञात कीजिए:
Answer: (i) X \( \cap \) Y = {1, 3, 5} \( \cap \) {1, 2, 3} = {1, 3}
(ii) A \( \cap \) B = {a, e, i, o, u} \( \cap \) {a,b,c} = {a}.
(iii) A \( \cap \) B = {3, 6, 9 .....} \( \cap \) {1, 2, 3, 4, 5} = {3}.
(iv) A \( \cap \) B = {2, 3, 4, 5, 6} \( \cap \) {7, 8, 9} = \( \Phi \)
(v) A \( \cap \) B = {1, 2, 3} \( \cap \) \( \Phi \) = \( \Phi \)
In simple words: दो समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (intersection) एक नया समुच्चय है जिसमें केवल वे अवयव होते हैं जो दोनों मूल समुच्चयों में समान रूप से मौजूद होते हैं।

🎯 Exam Tip: सर्वनिष्ठ ज्ञात करते समय, प्रत्येक समुच्चय के अवयवों की तुलना करें और केवल उन अवयवों को शामिल करें जो दोनों समुच्चयों में समान हैं। यदि कोई समान अवयव नहीं है, तो सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय \( \Phi \) होगा।

Question 6. यदि A = {3, 5, 7, 9, 11}, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15} और D = {15, 17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) A \( \cap \) B
(ii) B \( \cap \) C
(iii) A \( \cap \) C \( \cap \) D
(iv) A \( \cap \) C
(v) B \( \cap \) D
(vi) A \( \cap \) (B \( \cup \) C)
(vii) A \( \cap \) D
(viii) A \( \cap \)(B \( \cup \) D)
(ix) (A \( \cap \) B) \( \cap \) (B \( \cup \) C)
(x) (A \( \cup \) D) \( \cap \) (B \( \cup \) C)
Answer: (i) A \( \cap \) B = {3, 5, 7, 9, 11} \( \cap \) {7, 9, 11, 13} = {7, 9, 11}
(ii) B \( \cap \) C = {7, 9, 11, 13} \( \cap \) {11, 13, 15} = {11, 13}
(iii) A \( \cap \) C \( \cap \) D = ({3, 5, 7, 9, 11} \( \cap \) {11, 13, 15}) \( \cap \) {15, 17} = {11} \( \cap \) {15, 17} = \( \Phi \)
(iv) A \( \cap \) C = {3, 5, 7, 9, 11} \( \cap \) {11, 13, 15} = {11}.
(v) B \( \cap \) D = {7, 9, 11, 13} \( \cap \) {15, 17} = \( \Phi \)
(vi) A \( \cap \) (B \( \cup \) C) = {3, 5, 7, 9, 11} \( \cap \) ({7, 9, 11, 13} \( \cup \) {11, 13, 15}) = {3, 5, 7, 9, 11} \( \cap \) {7, 9, 11, 13, 15} = {7, 9, 11}.
(vii) A \( \cap \) D = {3, 5, 7, 9, 11} \( \cap \) {15, 17} = \( \Phi \)
(viii) A \( \cap \)(B \( \cup \) D) = {3, 5, 7, 9, 11} \( \cap \) ({7, 9, 11, 13} \( \cup \){15, 17}) = {3, 5, 7, 9, 11} \( \cap \) {7, 9, 11, 13, 15, 17} = {7, 9, 11).
(ix) (A \( \cap \) B) \( \cap \) (B \( \cup \) C) = {7, 9, 11} B \( \cup \) C = {7, 9, 11, 13} \( \cup \) {11, 13, 15) = {7, 9, 11, 13, 15). (A \( \cap \) B) \( \cap \) (B \( \cup \) C) = {7, 9, 11} \( \cap \) {7, 9, 11, 13, 15} = {7, 9, 11}.
(x) A \( \cup \) D = {3, 5, 7, 9, 11} \( \cup \) {15, 17} = {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17} B \( \cup \) C = {7, 9, 11, 13} \( \cup \) {11, 13, 15} = {7, 9, 11, 13, 15} (A \( \cup \) D) \( \cap \) (B \( \cup \) C) = {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17} \( \cap \) {7, 9, 11, 13, 15} = {7, 9, 11, 15}
In simple words: इस प्रश्न में विभिन्न समुच्चयों के सर्वनिष्ठ और सम्मिलन संक्रियाओं का अभ्यास करना है। सर्वनिष्ठ में समान अवयव शामिल होते हैं, जबकि सम्मिलन में सभी अद्वितीय अवयव शामिल होते हैं।

🎯 Exam Tip: जटिल संक्रियाओं (जैसे A \( \cap \) (B \( \cup \) C)) को हल करते समय, पहले कोष्ठकों के अंदर की संक्रिया (B \( \cup \) C) को पूरा करें, फिर परिणामी समुच्चय के साथ बाहर की संक्रिया (A \( \cap \) ) करें। सटीकता के लिए प्रत्येक चरण को ध्यान से करें।

Question 7. यदि A = {x : x एक प्राकृत संख्या है}, B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है} C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है}, D = {x : एक अभाज्य संख्या है} तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i) A \( \cap \) B
(ii) A \( \cap \) C
(iii) A \( \cap \) D
(iv) B \( \cap \) C
(v) B \( \cap \) D
(vi) C \( \cap \) D
Answer: A = {x : x एक प्राकृत संख्या है} = {1, 2, 3, 4......}
B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है} = {2, 4, 6, 8...}
C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है} = {1, 3, 5, 7...}
D = {x : x एक अभाज्य संख्या है} = {2, 3, 5, 7, 11....}
(i) A \( \cap \) B = {1, 2, 3, 4....} \( \cap \) {2, 4, 6, 8....} = {2, 4, 6, 8....} = B
(ii) A \( \cap \) C = {1, 2, 3, 4......} \( \cap \) {1, 3, 5, 7....} = {1, 3, 5, 7....} = C
(iii) A \( \cap \) D = {1, 2, 3, 4...} \( \cap \) {2, 3, 5, 7.....} = {2, 3, 5, 7......} = D
(iv) B \( \cap \) C = {2, 4, 6, 8...} \( \cap \) {1, 3, 5, 7......} = \( \Phi \)
(v) B \( \cap \) D = {2, 4, 6, 8.....} \( \cap \) {2, 3, 5, 7.....} = {2}
(vi) C \( \cap \) D = {1, 3, 5, 7.....} \( \cap \) {2, 3, 5, 7, 11.......} = {3, 5, 7, 11, 13......} = {x : x एक विषम अभाज्य संख्या}
In simple words: इस प्रश्न में, आपको विभिन्न प्रकार की संख्याओं (प्राकृत, सम, विषम, अभाज्य) के समुच्चयों के बीच सर्वनिष्ठ ज्ञात करना है। आपको पहले प्रत्येक समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखना होगा।

🎯 Exam Tip: समुच्चय निर्माण रूप में दिए गए समुच्चयों को हल करते समय, उन्हें पहले रोस्टर रूप में लिखना सहायक होता है ताकि अवयवों को स्पष्ट रूप से देखा जा सके। फिर, सर्वनिष्ठ के लिए समान अवयवों को चुनें। 'प्राकृत संख्या' और 'पूर्णांक' जैसी शब्दावली से सावधान रहें।

Question 8. निम्नलिखित समुच्चय युग्मों में से कौन से युग्म असंयुक्त हैं?
(i) {1, 2, 3, 4} तथा {x : x एक प्राकृत संख्या है और 4 ≤ x ≤ 6}
(ii) {a, e, i, o, u} तथा {c, d, e, f}
(iii) {x : x एक सम पूर्णांक है। और {x : x एक विषम पूर्णाक है।
Answer: (i) मान लीजिए E = {1, 2, 3, 4} F = {x : x एक प्राकृत संख्या और 4 ≤ x ≤ 6} = {4, 5, 6} अवयव 4, E और F दोनों समुच्चयों में है। अतः दोनों युग्म असंयुक्त नहीं हैं।
(ii) दिये हुए समुच्चयों में अवयव उभयनिष्ठ है। अतः यह असंयुक्त समुच्चय नहीं है।
(iii) मान लीजिए A = {x : x एक सम पूर्णांक हैं । = {....-4, -2, 0, 2, 4...} B = {x : x एक विषम पूर्णांक है} = {....-5, -3, -1, 1, 3, 5.....} A और B समुच्चयों में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।
In simple words: दो समुच्चय असंयुक्त (disjoint) कहलाते हैं यदि उनमें कोई भी समान अवयव न हो, अर्थात उनका सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय हो।

🎯 Exam Tip: असंयुक्त समुच्चयों की पहचान करने के लिए, प्रत्येक समुच्चय के अवयवों को सूचीबद्ध करें और उनके सर्वनिष्ठ (intersection) को ज्ञात करें। यदि सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय \( \Phi \) है, तो समुच्चय असंयुक्त हैं।

Question 9. यदि A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}, B = {4, 8, 12, 16, 20}, C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, D = {5, 10, 15, 20}, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i) A – B
(ii) A – C
(iii) A – D
(iv) B - A
(v) C-A
(vi) D - A
(vii) B – C
(viii) B – D
(ix) C - B
(x) D-B
(xi) C - D
(xii) D – C
Answer: (i) A – B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {4, 8, 12, 16, 20} = {3, 6, 9, 15, 18, 21}
(ii) A – C = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} = {3, 9, 15, 18, 21}
(iii) A – D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {5, 10, 15, 20} = {3, 6, 9, 12, 18, 21}
(iv) B – A = {4, 8, 12, 16, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} = {4, 8, 16, 20}
(v) C – A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} = {2, 4, 8, 10, 14, 16}
(vi) D – A = {5, 10, 15, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} = {5, 10, 20}
(vii) B – C = {4, 8, 12, 16, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} = {20}
(viii) B – D = {4, 8, 12, 16, 20} – {5, 10, 15, 20} = {4, 8, 12, 16}
(ix) C – B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {4, 8, 12, 16, 20} = {2, 6, 10, 14}
(x) D – B = {5, 10, 15, 20} – {4, 8, 12, 16, 20} = {5, 10, 15}
(xi) C –D = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {5, 10, 15, 20} = {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16}
(xii) D – C = {5, 10, 15, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} = {5, 15, 20}
In simple words: समुच्चय अंतर A - B का अर्थ है उन सभी अवयवों का समुच्चय जो A में हैं लेकिन B में नहीं हैं। आपको प्रत्येक जोड़े के लिए इन अवयवों की पहचान करनी होगी।

🎯 Exam Tip: समुच्चय अंतर A-B की गणना करते समय, पहले A के अवयवों पर ध्यान केंद्रित करें। फिर, उन अवयवों को हटा दें जो B में भी मौजूद हैं। शेष अवयव A-B का निर्माण करेंगे। यह संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है, यानी A-B \( \neq \) B-A।

Question 10. यदि X = {a, b, c, d} औरै Y = {f, b, d, g} तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i) X - Y
(ii) Y - X
(iii) X \( \cap \) Y
Answer: (i) X – Y= {a, b, c, d} – {f, b, d, g} = {a, c}
(ii) Y – X = {f, b, d, g} – {a, b, c, d} = {f, g}
(iii) X \( \cap \) Y= {a, b, c, d} \( \cap \) {f, b, d, g} = {b, d}
In simple words: X - Y में X के वे अवयव होते हैं जो Y में नहीं हैं, Y - X में Y के वे अवयव होते हैं जो X में नहीं हैं, और X \( \cap \) Y में दोनों में समान अवयव होते हैं।

🎯 Exam Tip: समुच्चय अंतर (X-Y) और (Y-X) के बीच के अंतर को स्पष्ट रूप से समझें क्योंकि वे आम तौर पर समान नहीं होते हैं। सर्वनिष्ठ (X \( \cap \) Y) दोनों के लिए समान अवयवों को दर्शाता है।

Question 11. यदि R वास्तविक संख्याओं और Q परिमेय संख्याओं के समुच्चय हैं, तो R – Q क्या होगा?
Answer: R = {x : x एक वास्तविक संख्या है ।} p = {x : x एक परिमेय संख्या है ।} R – Q = {x : x एक अपरिमेय संख्या है ।} अतः यह अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।
In simple words: वास्तविक संख्याओं के समुच्चय (R) में परिमेय संख्याएँ (Q) और अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं। इसलिए, वास्तविक संख्याओं में से परिमेय संख्याओं को हटाने पर अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय बचता है।

🎯 Exam Tip: संख्या प्रणालियों के मूलभूत वर्गीकरण को याद रखें। वास्तविक संख्याओं को परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के सम्मिलन के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ असंयुक्त होती हैं।

Question 12. बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए ।
(i) {2, 3, 4, 5} तथा {3, 6} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(ii) {a, e, i, o, u} तथा {a, b, c, 4} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iii) {2, 6, 10, 14} तथा {3, 7, 11, 15} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iv) {2, 6, 10} तथा {3, 7, 11} असंयुक्त समुच्चय हैं।
Answer: (i) यह कथन सत्य नहीं है क्योंकि समुच्चय {2, 3, 4, 5} और {3, 6} में अवयव 3 उभयनिष्ठ है।
(ii) यह कथन सत्य नहीं है क्योंकि समुच्चय {a, e, i, o, u} और {a, b, c, d} में अवयव a उभयनिष्ठ है।
(iii) यह कथन सत्य है क्योंकि समुच्चय {2, 6, 10, 14} और {3, 7, 11, 15} में कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।
(iv) यह कथन सत्य है क्योंकि समुच्चय {2, 6, 10} और {3, 7, 11} में कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।
In simple words: असंयुक्त समुच्चय वे होते हैं जिनमें कोई समान अवयव नहीं होता है। आपको प्रत्येक जोड़े की तुलना करके यह देखना होगा कि उनमें कोई समान अवयव है या नहीं।

🎯 Exam Tip: यह जांचने के लिए कि दो समुच्चय असंयुक्त हैं, उनका सर्वनिष्ठ ज्ञात करें। यदि सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय \( \Phi \) है, तो समुच्चय असंयुक्त हैं; अन्यथा, वे नहीं हैं।

Exercise 1.5

Question 1. मान लीजिए कि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} और C = {3, 4, 5, 6} तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i) A'
(ii) B'
(iii) (A \( \cup \) C)'
(iv) (A \( \cup \) B)'
(v) (A')'
(vi) (B – C)'
Answer: (i) A' = U – A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4} = {5, 6, 7, 8, 9}
(ii) B' = U – B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 4, 6, 8} = {1, 3, 5, 7, 9}
(iii) A \( \cup \) C = {1, 2, 3, 4} \( \cup \) {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(A \( \cup \) C)' = U – (A \( \cup \) C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {7, 8, 9}
(iv) A \( \cup \) B = {1, 2, 3, 4} \( \cup \) {2, 4, 6, 8} = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
(A \( \cup \) Β)' = U – (A \( \cup \) B) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4, 6, 8} = {5, 7, 9}
(v) (A')' = U – A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4} = {5, 6, 7, 8, 9}
(A')' = U- A' = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {5, 6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4}
(vi) B – C = {2, 4, 6, 8} – {3, 4, 5, 6} = {2, 8}
(B – C)' = U – (B – C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2,8} = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
In simple words: एक समुच्चय का पूरक (complement) U - A होता है, यानी सार्वत्रिक समुच्चय U के वे अवयव जो A में नहीं हैं। (A \( \cup \) B)' का मतलब है U में से (A \( \cup \) B) के अवयवों को हटाना, और (A')' हमेशा A के बराबर होता है।

🎯 Exam Tip: पूरक, सम्मिलन और अंतर की संक्रियाओं को करते समय, सुनिश्चित करें कि आप सार्वत्रिक समुच्चय (U) के संदर्भ में काम कर रहे हैं। (A')' = A और डी मॉर्गन के नियम (जैसे (A \( \cup \) B)' = A' \( \cap \) B') याद रखें।

Question 2. यदि U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, तो निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक ज्ञात कीजिये:
(i) A = {a, b, c}
(ii) B = {d, e, f, g}
(iii) C = {a, c, e, g}
(iv) D = {f, g, h, a}
Answer: (i) A' = U – A = {a, b, c, d, e, f, g, h} – {a, b,c} = {d, e, f, g, h}
(ii) B' = U – B = {a, b, c, d, e, f, g, h} - {d, e, f, g} = {a, b, c, h}
(iii) C' = U – C = {a, b, c, d, e, f, g, h} – {a, c, e, g} = {b, d, f, h}
(iv) D' = U – D = {a, b, c, d, e, f, g, h} – {f, g, h, a} = {b, c, d, e}.
In simple words: एक समुच्चय का पूरक सार्वत्रिक समुच्चय में से उस समुच्चय के अवयवों को हटाने से प्राप्त होता है। आपको बस U में से दिए गए समुच्चय के अवयवों को हटाना है।

🎯 Exam Tip: पूरक (complement) ज्ञात करने के लिए, सार्वत्रिक समुच्चय (U) और दिए गए समुच्चय के बीच के अंतर को स्पष्ट रूप से ज्ञात करें। U में सभी अवयवों को सूचीबद्ध करें, फिर उन अवयवों को हटा दें जो दिए गए समुच्चय में हैं।

Question 3. प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को सार्वत्रिक समुच्चय मानते हुए, निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक लिखिए:
(i) {x : x एक प्राकृत सम संख्या है ।}
(ii) {x : x एक प्राकृत विषम संख्या है ।}
(iii) {x : x संख्या 3 को एक धन गुणज है ।}
(iv) {x : x एक अभाज्य संख्या है ।}
(v) {x : x, 3 और 5 से विभाजित होने वाली एक संख्या है ।}
(vi) {x : x एक पूर्ण वर्ग संख्या है ।}
(vii) {x : x एक पूर्ण घन संख्या है ।}
(viii){x: x + 5 = 8}
(ix) {x : 2x + 5 = 9}
(x) {x: x ≥ 7}
(xi) {x : x ∈ N और 2x + 1 > 10}
Answer: (i) {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है ।}
(ii) {x : एक सम संख्या है ।}
(iii) {x: x ∈ N और x संख्या 3 का धन गुणज नहीं है ।}
(iv) {x : x = 1 और x एक धन भाज्य संख्या है ।}
(v) {x : x ∈ N और x, संख्या 3 व 5 किसी से भी विभाजित नहीं होती ।}
(vi) {x : x ∈ N तथा x एक पूण वर्ग संख्या नहीं है ।}
(vii) {x: x ∈ N तथा x एक पूर्ण वर्ग घन संख्या नहीं है ।}
(viii) {x : x ∈ N तथा x \( \neq \) 3}
(ix) {x : x ∈ N तथा x \( \neq \) 2}
(x) {x : x ∈ N तथा x < 7}
(xi) {x : x ∈ N तथा x < \( \frac{9}{2} \)}
In simple words: यदि सार्वत्रिक समुच्चय प्राकृत संख्याएँ (N) हैं, तो किसी समुच्चय का पूरक N के वे अवयव होंगे जो उस समुच्चय में नहीं हैं। उदाहरण के लिए, सम प्राकृत संख्याओं का पूरक विषम प्राकृत संख्याएँ होंगी।

🎯 Exam Tip: प्राकृत संख्याओं के संदर्भ में पूरक ज्ञात करते समय, दी गई शर्त के 'विपरीत' शर्त को परिभाषित करें। जैसे, 'सम' का पूरक 'विषम' है, '3 का गुणज' का पूरक '3 का गुणज नहीं' है, और 'x ≥ 7' का पूरक 'x < 7' है। समीकरणों को हल करके x का मान ज्ञात करें, फिर उसका पूरक लिखें।

Question 4. यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {2, 4, 6, 8} और B = {2, 3, 5, 7}, तो सत्यापित कीजिए किः
(i) (A \( \cup \) B)' = A' \( \cap \) B'
(ii) (A \( \cap \) B)' = A' \( \cup \) B'
Answer: (i) A \( \cup \) B = {2, 4, 6, 8} \( \cup \){2, 3, 5, 7} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
बायाँ पक्ष = (A \( \cup \) B)' = U – (A \( \cup \) B) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1, 9}
A' = U – A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 4, 6, 8} = {1, 3, 5, 7, 9}
B' = U – B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 3, 5, 7} = {1, 4, 6, 8, 9}
दायाँ पक्ष = A' \( \cap \) B' = {1, 3, 5, 7, 9} \( \cap \) {1, 4, 6, 8, 9} = {1, 9}
अतः (A \( \cup \) B)' = A' \( \cap \) B'.
(ii) बायाँ पक्ष = (A \( \cap \) B)'
(A \( \cap \) B) = {2, 4, 6, 8} \( \cap \) {2, 3, 5, 7} = {2}
(A \( \cap \) B)' = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2} = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
दायाँ पक्ष : A' \( \cup \) B' = {1, 3, 5, 7, 9} \( \cup \) {1, 4, 6, 8, 9} = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
अतः (A \( \cap \) B)' = A' \( \cup \) Β'.
In simple words: यह डी मॉर्गन के नियम (De Morgan's Laws) का सत्यापन है। पहला नियम कहता है कि दो समुच्चयों के सम्मिलन का पूरक उनके पूरकों के सर्वनिष्ठ के बराबर होता है, और दूसरा नियम कहता है कि दो समुच्चयों के सर्वनिष्ठ का पूरक उनके पूरकों के सम्मिलन के बराबर होता है।

🎯 Exam Tip: डी मॉर्गन के नियम समुच्चय सिद्धांत में मौलिक हैं। इन गुणों को सत्यापित करने के लिए, बाईं ओर और दाईं ओर दोनों को अलग-अलग गणना करें और दिखाएं कि वे समान परिणाम देते हैं। गणना में कोई गलती न हो, इसका ध्यान रखें।

Question 5. दिखाइए कि यदि A⊂ B तो C-B⊂C-A.
Answer: मान लीजिए x ∈ C - B \( \implies \) x ∈ C परंतु x ∈ B दिया है: A ⊂ B \( \implies \) यदि x \(\notin\) B \( \implies \) x \(\notin\) A अर्थात, x ∈ C और x \(\notin\) A \( \implies \) x ∈C - A यहाँ हम पाते हैं कि यदि x ∈ C - B तब x ∈ C-A \( \implies \) C-B⊂C-A.
In simple words: If A is a subset of B, then any element removed from C by B will also be removed from C by A, showing C-B is a subset of C-A.

🎯 Exam Tip: Understanding subset definitions and set difference operations is crucial for proving such relationships.

Question 6. मान लीजिए कि P(A) = P(B), सिद्ध कीजिए कि A = B.
Answer: मान लीजिए x, समुच्चय A का कोई अवयव है। तब एक उपसमुच्चय X (मान लो) ऐसा होगा जिसमे x ∈ A जिसके अनुसार X ⊂ A \( \implies \) X ∈ P(A) X ∈ P(B) [P(A) = P(B)] \( \implies \) X ⊂ B या x ∈ B अर्थात यदि x ∈ A तब x ∈ B \( \implies \) A ⊂ B .....(i) y समुच्चय B का कोई अवयव हो, तब समुच्चय B का कोई उपसमुच्चय Y होगा जिससे y ∈ Y Y ⊂ B \( \implies \) Y ∈P(B) Y ∈P(A) [P(A) = P(B)] \( \implies \) Y ⊂ A यदि y ∈ B तब y ∈ A \( \implies \) B ⊂ A .........(ii) समीकरण (i) और (ii) से, हम पाते हैं। A = B.
In simple words: If the power sets of two sets A and B are equal, it means they contain the exact same subsets. This implies that the sets A and B themselves must be identical.

🎯 Exam Tip: Remember the definition of a power set and how element membership relates to subset inclusion to correctly articulate this proof.

Question 7. किन्हीं भी समुच्चयों A तक B के लिए क्या यह सत्य है कि P(A) u P(B) = P(A u B) ? अपने उत्तर का औचित्य बताइए ।
Answer: मान लीजिए । A = {a}, B = {b}, और A u B = {a, b} P(A) = {Φ, {a}}, P(B) = {Φ, {b}} P(A) u P(B) = {Φ, {a}, {b}} ... (i) अब A u B = {a, b} P(A u B) = {Φ, {a}, {b}, {a, b}} समी. (i) और (ii) से हम देखते हैं कि अतः P(A) u P(B) \(\neq\) P(A u B)
In simple words: No, this statement is generally false. The union of power sets of A and B is not necessarily equal to the power set of the union of A and B because the power set of A union B would include subsets formed by elements from both A and B which are not present in P(A) or P(B) individually.

🎯 Exam Tip: Always test set identities with simple examples to confirm their validity. A single counterexample disproves a universal statement.

Question 8. किन्हीं दो समुच्चयों A तथा B के लिए सिद्ध कीजिए कि A = (A ∩ B) u (A - B) और Au (B – A) = A u B.
Answer: (i) दायाँ पक्ष = (A ∩ B) u (A - B) = (A ∩ B) u (A - B) [A - B = A ∩ B'] = (A ∩ (B u B') (वितरण गुण से) = A ∩ U (यहाँ U सार्वत्रिक समुच्चय) = A अतः (A ∩ B) u (A - B) = A. (ii) बायाँ पक्ष = A u (B - A) = A u (B ∩ A') [B - A = B ∩ A'] = (A u B) ∩ (A u A') (वितरण गुण से) = (A u B) ∩ U [यहाँ U सार्वत्रिक समुच्चय] = A u B अतः : A u (B - A) = A u B
In simple words: This proves two fundamental set identities. First, any set A can be expressed as the union of its intersection with B and its difference with B. Second, the union of A with the difference B-A simplifies to the overall union of A and B.

🎯 Exam Tip: These are important identities. Practice using Venn diagrams or element-wise proofs to understand the distribution property in set theory.

Question 9. समुच्चयों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि (i) A u (A ∩ B) = A (ii) A ∩ (A u B) = A.
Answer: (i) बायाँ पक्ष = A u (A ∩ B) = (A u A) ∩ (A u B) (वितरण गुण से) = A ∩ (A u B) (A u A = A) = A [A⊂A u B] \( \implies \) A u (A ∩ B) = A. (ii) बायाँ पक्षु = A ∩ (A u B) = (A ∩ A) u (A ∩ B) [वितरण गुण से] = A u (A ∩ B) [A ∩ A = A] = A [A ∩ B ⊂ A] अतः A ∩(A u B) = A.
In simple words: These are absorption laws. The first states that the union of A with the intersection of A and B is simply A. The second states that the intersection of A with the union of A and B is also A.

🎯 Exam Tip: Absorption laws are key for simplifying complex set expressions. Remember that when one set is a subset of the other, the union or intersection simplifies to one of the original sets.

Question 10. दिखलाइए कि A ∩ B = A ∩ C का तात्पर्य B = C आवश्यक रूप से नहीं होता।
Answer: मान लीजिए A = {1, 2}, B = {1, 7} तथा C = {1, 4} हो, तब A ∩ B = {1, 2} ∩ {1, 7} = {1} A ∩ C = {1, 2} ∩ {1, 4} = {1} A ∩ B = A ∩ C B \(\neq\) C यदि A ∩ B = A ∩ C तो आवश्यक नूह है कि B = C.
In simple words: Just because A intersected with B is the same as A intersected with C, it doesn't mean B and C are the same. A counterexample shows that B and C can be different while still having the same intersection with A.

🎯 Exam Tip: When proving a statement is *not* necessarily true, a single clear counterexample is sufficient and effective.

Question 11. मान लीजिए कि A और B समुच्चय हैं। यदि किसी समुच्चय X के लिए Au X = B u X = \(\Phi\) तथा A u X =BuX तो सिद्ध कीजिए कि A = B.
Answer: दिया है A u X = B u X, जब कि X कोई समुच्चय है। A ∩ (A u X) = A ∩ (B u X) [A⊂A u X, A ∩ (A u X) = A] \( \implies \) A = (A ∩ B) u (A ∩ X) [वितरण गुण से] = (A ∩ B) u \(\Phi\) (दिया है, A ∩ X = \(\Phi\)) \( \implies \) A = A ∩ B ......(i) A u X = B u X \( \implies \) B ∩(A u X) = B ∩ (B u X) \( \implies \) B = B [B ⊂ B u X] \( \implies \) B = (B ∩ A) u (B ∩ X) [वितरण गुण से] \( \implies \) B = (B ∩ A) u \(\Phi\) [दिया है: B ∩ X = \(\Phi\)] \( \implies \) B = B ∩ A .....(ii) समी. (i) और (ii) से, हम पाते हैं कि A = B.
In simple words: This proof uses the property that if the union of A with X is equal to the union of B with X, and their intersection with X is also equal, then A and B must be identical. It leverages distributive laws and the given conditions to show A is a subset of B and B is a subset of A.

🎯 Exam Tip: This problem involves applying set properties like distributivity and the definitions of union and intersection to construct a formal proof. Pay close attention to each step of logical implication.

Question 12. ऐसे समुच्चय A, B और C ज्ञात कीजिए ताकि A ∩ B, B ∩ C तथा A ∩ C आरिक्त समुच्चय हों और A ∩ B ∩ C = \(\Phi\).
Answer: मान लीजिए । A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3} A ∩ B = {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}, B ∩ C = {2, 3} ∩ {1, 3} = {3} C ∩ A = {1, 3} ∩ {1, 2} = {1} अतः A ∩ B, B ∩ C, C ∩ A रिक्त समुच्चय नहीं हैं। A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C = {2} ∩ {1, 3} = \(\Phi\) इति सिद्धम्
In simple words: This question asks for three sets where each pair intersects, but there is no element common to all three sets. The example provided shows sets A={1,2}, B={2,3}, C={1,3} which satisfy these conditions.

🎯 Exam Tip: When constructing example sets for specific conditions, start with simple elements and add them to create the desired intersections and non-intersections. Visualizing with a Venn diagram can be helpful.

Question 13. किसी विद्यालय के 600 विद्यार्थियों के सर्वेक्षण से ज्ञात हुआ कि 150 विद्यार्थी चाय, 225 विद्यार्थी कॉफी तथा 100 विद्यार्थी चाय और कॉफी दोनों पीते हैं। ज्ञात कीजिए कि कितने विद्यार्थी न तो चाय पीते हैं और न कॉफी पीते हैं।
Answer: मान लीजिए T और C चाय तथा कॉफी पीने वाले विद्यार्थियों के समुच्चय हों, तब n(T) = 150, n(C) = 225, n(T ∩ C) = 100 n(T u C) = n(T) + n(C) - n(T ∩ C) = 150 + 225 - 100 = 275 = उन विद्यार्थियों की संख्या जो चाय या कॉफी पीते हैं या चाय और कॉफी दोनों पीते हैं। विद्यार्थियों की कुल संख्या = 600 उन विद्यार्थियों की संख्या जो चाय या कॉफी कुछ भी नहीं पीते = 600 - 275 = 325.
In simple words: Out of 600 students, 275 drink either tea or coffee. To find students who drink neither, subtract the number of students who drink at least one beverage from the total number of students.

🎯 Exam Tip: Use the formula n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) for finding the union of two sets. To find those who do neither, subtract this union from the total.

Question 14. विद्यार्थियों के समूह में, 100 विद्यार्थी हिन्दी, 50 विद्यार्थी अंग्रेजी तथा 25 विद्यार्थी दोनों भाषाओं को जानते हैं। विद्यार्थियों में से प्रत्येक या तो हिन्दी या अंग्रेजी जानता है। समूह में कुल कितने विद्यार्थी हैं?
Answer: पाना तथा क्रमशः हिन्दी और अंग्रेजी जानने वालों के समुच्चय हों, तब n(H) = 100, n(E) = 50, n(H ∩ E) = 25 n(H u E) = n(H) + n(E) - n(H ∩ E) = 100 + 50 - 25 = 125 उन विद्यार्थियों की संख्या जो हिन्दी या अंग्रेजी जानते हैं = 125.
In simple words: This problem asks for the total number of students in a group, given how many speak Hindi, how many speak English, and how many speak both. Using the union formula, we add the number of Hindi speakers and English speakers, then subtract those who speak both to avoid double-counting.

🎯 Exam Tip: Apply the inclusion-exclusion principle for two sets: Total = n(Set1) + n(Set2) - n(Set1 ∩ Set2). This avoids overcounting individuals who belong to both categories.

Question 15. 60 लोगों के सर्वेक्षण में पाया गया कि 25 लोग समाचार पत्र H, 26 लोग समाचार पत्र T, 26 लोग समाचार पत्र I, 9 लोग H तथा । दोनों, 11 लोग H तथा T दोनों, 8 लोग T तथा । दोनों और 3 लोग तीनों ही समाचार पत्र पढ़ते हैं, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए: (i) कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या । (ii) ठीक ठीक केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या ।
Answer: कुल लोगों की संख्या जिनका सर्वेक्षण किया गया = 60
H समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H) = 25
T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (T) = 26
I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (I) = 26
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वेन आरेख है जो तीन समाचार पत्रों H, T और I को पढ़ने वाले लोगों की संख्या को दर्शाता है। इसमें प्रत्येक ओवरलैप (चौराहे) और एकल क्षेत्र में लोगों की संख्या को विभाजित किया गया है, जिसमें कुल 60 लोग हैं। संख्याएं बताती हैं कि कितने लोग केवल एक, दो या तीनों समाचार पत्रों को पढ़ते हैं।
H और I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H ∩ I) = 9
H और T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H ∩ T) = 11
T और I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (T ∩ I) = 8
तीनों समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H ∩ T ∩ I) = 3
H और I समाचार पत्र पढ़ने वाले तथा T समाचार पत्र न पढ़ने वालों की संख्या = n(H ∩ I) - n(H ∩ T ∩ I) = 9 - 3 = 6
H और T समाचार पत्र पढ़ने वाले तथा I समाचार पत्र न पढ़ने वालों की संख्या = n(H ∩ T) - n(H ∩ T ∩ I) = 11 - 3 = 8
T और I समाचार पत्र पढ़ने वाले तथा H समाचार पत्र न पढ़ने वालों की संख्या = n(T ∩ I) - n(H ∩ T ∩ I) = 8 - 3 = 5
केवल H समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = n(H) - n(H ∩ T) - n(H ∩ I) + n(H ∩ T ∩ I) = 25 - 8 - 6 - 3 = 8
केवल T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = n(T) - n(H ∩ T) - n(T ∩ I) + n(H ∩ T ∩ I) = 26 - 8 - 3 - 5 = 10
केवल I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = n(I) - n(H ∩ I) - n(T ∩ I) + n(H ∩ T ∩ I) = 26 - 6 - 3 - 5 = 12
कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या + केवल दो समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या + तीनों समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = (8 + 10 + 12) + (8 + 6 + 5) + 3 = 30 + 19 + 3 = 52
वैकल्पिक विधि : n(H u T u I) = n(H) + n(T) + n(I) - n(H ∩ T) - n(T ∩ I) - n(H ∩ I) + n(H ∩ T ∩ I) = 25 + 26 + 26 - 11 - 8 - 9 + 3 = 77 - 28 + 3 = 80 - 28 = 52
(ii) केवल H और T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 11 - 3 = 8
केवल T और I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 8 - 3 = 5
केवल I और H समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 9 - 3 = 6
तीनों समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 3
केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 52 - (8 + 5 + 6 + 3) = 52 - 22 = 30.
In simple words: This problem uses the principle of inclusion-exclusion for three sets to find those reading at least one newspaper and those reading exactly one. We calculate the individual, two-way, and three-way overlaps to determine the various categories of readers.

🎯 Exam Tip: For problems involving three sets, use the formula n(A u B u C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C). Break down "exactly one" or "exactly two" into sums of specific regions in a Venn diagram.

Question 16. एक सर्वेक्षण में पाया गया कि 21 लोग उत्पाद A, 26 लोग उत्पाद B, 29 लोग उत्पाद C पसंद करते हैं। यदि 14 लोग उत्पाद A तथा B, 12 लोग उत्पाद C तथा A, 14 लोग उत्पाद B तथा C और 8 लोग तीनों ही उत्पादों को पसंद करते हैं। ज्ञात कीजिए कि कितने लोग केवल उत्पाद C को पसंद करते हैं?
Answer: दिया है:
n(A) = 21,
n(B) = 26,
n(C) = 29
n(A ∩ B) = 14,
n(A ∩ C) = 12
n(B ∩ C) = 14,
n(A ∩ B ∩ C) = 8
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वेन आरेख है जो तीन उत्पादों A, B और C को पसंद करने वाले लोगों की संख्या को दर्शाता है। इसमें प्रत्येक ओवरलैप और एकल क्षेत्र में लोगों की संख्या को विभाजित किया गया है, जिसमें तीनों उत्पादों को पसंद करने वाले 8 लोग केंद्र में हैं। यह आरेख केवल उत्पाद C को पसंद करने वाले लोगों की गणना में मदद करता है।
n(केवल A और C) = n(A ∩ C) - n(A ∩ B ∩ C) = 12 - 8 = 4
n(केवल B और C) = n(B ∩ C) - n(A ∩ B ∩ C) = 14 - 8 = 6
n(केवल C) = n(C) - n (केवल A और C) - n (केवल B और C) - n(A ∩ B ∩ C) = 29 - 4 - 6 - 8 = 29 - 18 = 11.
In simple words: To find the number of people who like only product C, we start with the total number of people who like product C and subtract those who also like A, those who also like B, and those who like all three products. This ensures we count only those who exclusively prefer C.

🎯 Exam Tip: When dealing with "only X" in a three-set problem, subtract all overlaps involving X (X ∩ Y, X ∩ Z) and then add back the triple overlap (X ∩ Y ∩ Z) as it was subtracted twice. Alternatively, use specific region calculations from a Venn diagram.