UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 9 Some Applications of Trigonometry

प्रश्नावली 9.1 (Ncert Page 225)

Chapter 9 Class 10 Math प्र० 1.सर्कस का एक कलाकार एक 20 मी. लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जहाँ AB एक खंभा है, और AC 20 मीटर लंबी डोर है जो खंभे के शिखर A से जमीन पर एक बिंदु C तक बंधी है। डोर भूमि स्तर पर 30° का कोण बनाती है।
Answer:हलः आकृति में माना AC, 20 मीटर वह डोर है जिस पर सर्कस कलाकार चढ़ता है। समकोण \( \triangle \) ABC में, हमें प्राप्त है कि \[ \frac{AB}{AC} = \sin 30^\circ \] परन्तु \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \implies \frac{AB}{AC} = \frac{1}{2} \)
\( \implies \frac{AB}{20} = \frac{1}{2} \) [ \( AC = 20 \) मी.]
\( \implies AB = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \) मी. अतः खंभे की अभीष्ठ ऊँचाई 10 मी. है।
In simple words: एक सर्कस कलाकार 20 मीटर लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो 30° के कोण पर भूमि से जुड़ी है; त्रिकोणमिति का उपयोग करके, खंभे की ऊँचाई 10 मीटर आती है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, समकोण त्रिभुज की पहचान करना और सही त्रिकोणमितीय अनुपात (sin, cos, tan) का चुनाव करना महत्वपूर्ण है। दी गई और ज्ञात की जाने वाली भुजाओं के आधार पर अनुपात चुनें।

Chapter 9 Class 10 Math प्र० 2.आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 मी. है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक टूटे हुए पेड़ को दर्शाता है, जहाँ OP पेड़ की मूल ऊँचाई है। पेड़ बिंदु A से टूटता है और उसका शिखर P जमीन को बिंदु B पर छूता है। टूटा हुआ भाग (AP) जमीन के साथ 30° का कोण बनाता है, और बिंदु O से B तक की दूरी 8 मीटर है।
Answer:हलः माना पेड़ की मूल ऊँचाई = OP माना यह बिन्दु A से टूटता है और इसका शिखर जमीन को B पर छूता है। अब, समकोण \( \triangle \) AOB में, हमें प्राप्त है: \[ \frac{AO}{OB} = \tan 30^\circ \] परन्तु \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \frac{AO}{OB} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \frac{AO}{8} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \implies AO = \frac{8}{\sqrt{3}} \) और, \[ \frac{AB}{OB} = \sec 30^\circ \] \[ \frac{AB}{8} = \frac{2}{\sqrt{3}} \]
\( \implies AB = \frac{2 \times 8}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} \) अब पेड़ की ऊँचाई \( OP = OA + AP = OA + AB \) \( = \frac{8}{\sqrt{3}} + \frac{16}{\sqrt{3}} \) [ \( AB = AP \)] \( = \frac{24}{\sqrt{3}} \) मी. \( = \frac{24}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \) मी. \( = \frac{24\sqrt{3}}{3} \) मी. \( = 8\sqrt{3} \) मी. अतः पेड़ की अभीष्ठ ऊँचाई = \( 8\sqrt{3} \) मी.
In simple words: एक पेड़ आँधी में टूटकर जमीन को 30° के कोण पर छूता है, और आधार से टूटे हुए हिस्से की दूरी 8 मीटर है। त्रिकोणमिति का उपयोग करके, पेड़ की कुल ऊँचाई \( 8\sqrt{3} \) मीटर है।

🎯 Exam Tip: पेड़ की कुल ऊँचाई ज्ञात करने के लिए टूटे हुए भाग (कर्ण) और खड़े भाग (लंब) दोनों को जोड़ना न भूलें। उन्नयन कोण और दूरियों का सही उपयोग करें।

Chapter 9 Class 10 Math प्र० 3.एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी पिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 मी. की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 मी. की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° को कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में दो फिसलनपट्टियाँ दिखाई गई हैं। छोटी फिसलनपट्टी (DE) 1.5 मीटर ऊँची है और 30° का कोण बनाती है, जबकि बड़ी फिसलनपट्टी (AC) 3 मीटर ऊँची है और 60° का कोण बनाती है। BDE और ABC दो समकोण त्रिभुज हैं।
Answer:हलः आकृति में, माना छोटे बच्चों के लिए फिसलनपट्टी DE और बड़े बच्चों के लिए फिसलनपट्टी AC है। अब, समकोण \( \triangle \) ABC में, \( AB = 3 \) मी. \[ \frac{AB}{AC} = \sin 60^\circ \]
\( \implies \frac{3}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \implies AC = \frac{2 \times 3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) मी. पुनः समकोण \( \triangle \) BDE में, \[ \frac{DE}{BD} = \text{cosec } 30^\circ \] \[ \frac{DE}{1.5} = 2 \]
\( \implies DE = 2 \times 1.5 \) मी.
\( \implies DE = 3 \) मी. अतः फिसलन पट्टियों की लम्बाई 3 मी. और \( 2\sqrt{3} \) मी. है।
In simple words: ठेकेदार बच्चों के लिए दो फिसलनपट्टियाँ लगा रही है- एक 1.5 मी ऊँची 30° कोण पर और दूसरी 3 मी ऊँची 60° कोण पर। त्रिकोणमिति से छोटी की लंबाई 3 मीटर और बड़ी की लंबाई \( 2\sqrt{3} \) मीटर आती है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, अलग-अलग स्थितियों के लिए अलग-अलग समकोण त्रिभुजों की कल्पना करें। प्रत्येक त्रिभुज में दी गई ऊँचाई और कोण का उपयोग करके फिसलनपट्टी (कर्ण) की लंबाई ज्ञात करने के लिए उचित त्रिकोणमितीय अनुपात (sin या cosec) का चयन करें।

Chapter 9 Class 10 Maths प्र० 4.भूमि के एक बिंद से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 मी. की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक मीनार AB को दर्शाता है। बिंदु C जमीन पर मीनार के पाद से 30 मीटर दूर है। बिंदु C से मीनार के शिखर B का उन्नयन कोण 30° है। हमें मीनार की ऊँचाई (h) ज्ञात करनी है।
Answer:हलः आकृति में, समकोण \( \triangle \) ABC की भुजा AC = मीनार की ऊँचाई बिन्दु C की मीनार से दूरी = 30 मी. \( AC = 30 \) मी. अब, \[ \frac{AB}{AC} = \tan 30^\circ \]
\( \implies \frac{h}{30} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \implies h = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \) मी. इस प्रकार, मीनार की अभीष्ठ ऊँचाई = \( 10\sqrt{3} \) मी.
In simple words: मीनार के आधार से 30 मीटर दूर एक बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। त्रिकोणमिति का उपयोग करके, मीनार की ऊँचाई \( 10\sqrt{3} \) मीटर है।

🎯 Exam Tip: मीनार की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आधार और उन्नयन कोण के साथ `tan` अनुपात का उपयोग करें। यदि उत्तर में हर में वर्गमूल आता है, तो उसे परिमेयकरण करके सरल करें।

Application Of Trigonometry Class 10 प्र० 5.भूमि से 60 मी. की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक पतंग को दर्शाता है जो भूमि से 60 मीटर की ऊँचाई (AB) पर उड़ रही है। पतंग की डोरी (OB) भूमि के बिंदु O से बंधी है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती है। हमें डोरी की लंबाई (OB) ज्ञात करनी है।
Answer:हलः माना, समकोण \( \triangle \) AOB में, \( AB = 60 \) मी. = पतंग की ऊँचाई \[ \frac{OB}{AB} = \text{cosec } 60^\circ \] \[ \frac{OB}{60} = \frac{2}{\sqrt{3}} \]
\( \implies OB = \frac{2 \times 60}{\sqrt{3}} \)
\( \implies OB = \frac{120}{\sqrt{3}} = \frac{120 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{120\sqrt{3}}{3} = 40\sqrt{3} \) इस प्रकार डोरी की अभीष्ठ लम्बाई \( 40\sqrt{3} \) मी. है।
In simple words: एक पतंग 60 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रही है, जिसकी डोरी जमीन से 60° का कोण बनाती है। डोरी में ढील न मानते हुए, डोरी की लंबाई \( 40\sqrt{3} \) मीटर है।

🎯 Exam Tip: जब ऊँचाई और कोण दिया हो और कर्ण (डोरी) की लंबाई ज्ञात करनी हो, तो `sin` या `cosec` अनुपात का उपयोग करें। हर में वर्गमूल का परिमेयकरण करना सुनिश्चित करें।

UP Board Solution Class 10 Math प्र० 6.1.5 मी. लंबा एक लड़का 30 मी. ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक 30 मीटर ऊँचे भवन (OA) और 1.5 मीटर लंबे लड़के को दर्शाता है। लड़के की आँखों से भवन के शिखर का उन्नयन कोण पहले 30° (बिंदु C पर) और फिर 60° (बिंदु D पर) हो जाता है। हमें लड़के द्वारा तय की गई दूरी (CD) ज्ञात करनी है।
Answer:हलः आकृति में, माना भवन की ऊँचाई = OA अब, समकोण \( \triangle \) ABD में, \[ \frac{AD}{BD} = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
\( \implies BD = AD\sqrt{3} \) [ \( AD = 30 \) मी. - 1.5 मी. = 28.5 मी.]
\( \implies BD = 28.5\sqrt{3} \) मी. पुनः, समकोण \( \triangle \) ACD में, \[ \frac{AD}{CD} = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \]
\( \implies CD = \frac{AD}{\sqrt{3}} = \frac{28.5}{\sqrt{3}} \) मी. अब, \( BC = BD - CD \) \( = 28.5\sqrt{3} - \frac{28.5}{\sqrt{3}} \) \( = 28.5 \left[ \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \right] \) \( = 28.5 \left[ \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right] \) \( = 28.5 \times \frac{2}{\sqrt{3}} \) \( = \frac{28.5 \times 2 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \) \( = \frac{28.5 \times 2 \times \sqrt{3}}{3} \) \( = 9.5 \times 2 \times \sqrt{3} = 19\sqrt{3} \) मी. अतः भवन की ओर लड़के द्वारा चली गई दूरी = \( 19\sqrt{3} \) मी.
In simple words: एक 1.5 मीटर लंबा लड़का 30 मीटर ऊँचे भवन की ओर चलता है, जिससे उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। लड़के की आँखों के स्तर से भवन की प्रभावी ऊँचाई 28.5 मीटर है, और लड़का भवन की ओर \( 19\sqrt{3} \) मीटर चला।

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में, प्रेक्षक की ऊँचाई को भवन की कुल ऊँचाई से घटाना न भूलें ताकि सही लंब ऊँचाई मिल सके। दो अलग-अलग समकोण त्रिभुज बनाकर, दूरी के लिए `tan` अनुपात का उपयोग करें और अंत में दूरियों को घटाकर चली गई दूरी ज्ञात करें।

Class 10 Math Chapter 9 Solutions प्र० 7.भूमि के एक बिंदु से एक 20 मी. ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक 20 मीटर ऊँचे भवन (BC) को दर्शाता है, जिसके ऊपर एक संचार मीनार (CD) लगी है। भूमि पर एक बिंदु A से, मीनार के तल C का उन्नयन कोण 45° और मीनार के शिखर D का उन्नयन कोण 60° है। हमें मीनार की ऊँचाई (x) ज्ञात करनी है।
Answer:हलः आकृति में, माना BC = भवन की ऊँचाई, BC = 20 मी. माना संचार मीनार की ऊँचाई = x मी. CD = x मी. माना मीनार के तल से बिन्दु A की दूरी = y मी. अब, समकोण \( \triangle \) ABC में, \[ \frac{BC}{AB} = \tan 45^\circ = 1 \]
\( \implies \frac{20}{y} = 1 \)
\( \implies y = 20 \) मी. i.e., \( AB = 20 \) मी. अब, समकोण \( \triangle \) ABD में, \[ \frac{BD}{AB} = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \]
\( \implies \frac{BD}{20} = \sqrt{3} \)
\( \implies \frac{20 + x}{20} = \sqrt{3} \)
\( \implies 20 + x = 20\sqrt{3} \)
\( \implies x = 20\sqrt{3} - 20 = 20[\sqrt{3} - 1] \)
\( \implies x = 20[1.732 - 1] \)
\( \implies x = 20 \times 0.732 = 14.64 \) इस प्रकार, संचार मीनार की अभीष्ठ ऊँचाई = 14.64 मी.
In simple words: एक 20 मीटर ऊँचे भवन पर लगी संचार मीनार के तल और शिखर का उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° है। त्रिकोणमिति का उपयोग करके, मीनार की ऊँचाई 14.64 मीटर आती है।

🎯 Exam Tip: ऐसे दो-त्रिभुज वाले प्रश्नों में, पहले छोटे त्रिभुज से आधार या कोई ज्ञात भुजा निकालें, फिर उस मान का उपयोग बड़े त्रिभुज में अज्ञात ऊँचाई या दूरी ज्ञात करने के लिए करें। \( \sqrt{3} \) का मान (1.732) याद रखना गणना को आसान बनाता है।

Ch 9 Maths Class 10 प्र० 8.एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 मी. ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिंदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक पेडस्टल BC को दर्शाता है, जिसके ऊपर 1.6 मीटर ऊँची मूर्ति CD लगी है। भूमि पर एक बिंदु A से, पेडस्टल के शिखर C का उन्नयन कोण 45° और मूर्ति के शिखर D का उन्नयन कोण 60° है। हमें पेडस्टल की ऊँचाई (h) ज्ञात करनी है।
Answer:हलः आकृति में, माना DC मूर्ति और BC पेडस्टल है। अब समकोण \( \triangle \) ABC में हमें प्राप्त है कि \[ \frac{AB}{BC} = \cot 45^\circ = 1 \]
\( \implies \frac{AB}{h} = 1 \)
\( \implies AB = h \) मीटर अब, समकोण \( \triangle \) ABD में, \[ \frac{BD}{AB} = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \]
\( \implies \frac{BD}{h} = \sqrt{3} \)
\( \implies BD = \sqrt{3} \times AB = \sqrt{3}h \) \( h + 1.6 = \sqrt{3}h \)
\( \implies 1.6 = \sqrt{3}h - h = h(\sqrt{3} - 1) \)
\( \implies h = \frac{1.6}{\sqrt{3} - 1} \) \( h = \frac{1.6}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} \) \( h = \frac{1.6 \times (\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} \) \( = \frac{1.6 \times (\sqrt{3} + 1)}{2} \) \( = 0.8(\sqrt{3} + 1) \) मी. इस प्रकार, पेडस्टल की ऊँचाई \( 0.8(\sqrt{3} + 1) \) मी.
In simple words: एक 1.6 मीटर ऊँची मूर्ति पेडस्टल पर लगी है, जिसके शिखर का उन्नयन कोण 60° और पेडस्टल के शिखर का 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई \( 0.8(\sqrt{3} + 1) \) मीटर है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, आधार को उभयनिष्ठ मानते हुए दो समकोण त्रिभुज बनाएँ। `tan` या `cot` अनुपात का उपयोग करके दो समीकरण स्थापित करें और उन्हें हल करके अज्ञात ऊँचाई (जैसे पेडस्टल की ऊँचाई) ज्ञात करें। हर का परिमेयकरण करना आवश्यक है।

Chapter 9 Maths Class 10 प्र० 9.एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 मी. ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक भवन (AB) और एक मीनार (CD) को दर्शाता है। मीनार की ऊँचाई 50 मीटर है। भवन के आधार से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है, और मीनार के आधार से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। हमें भवन की ऊँचाई (h) ज्ञात करनी है।
Answer:हलः आकृति में, माना भवन की ऊँचाई = AB = h मी. और मीनार की ऊँचाई = CD = 50 मी. अब, समकोण \( \triangle \) ABC में \[ \frac{AC}{AB} = \cot 30^\circ = \sqrt{3} \]
\( \implies \frac{AC}{h} = \sqrt{3} \)
\( \implies AC = h\sqrt{3} \) ...(1) पुनः समकोण \( \triangle \) DCA में, \[ \frac{DC}{AC} = \tan 60^\circ \]
\( \implies \frac{50}{AC} = \sqrt{3} \)
\( \implies AC = \frac{50}{\sqrt{3}} \) ...(2) (1) और (2) से, \[ \sqrt{3}h = \frac{50}{\sqrt{3}} \]
\( \implies h = \frac{50}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{50}{3} \) मी. इस प्रकार, भवन की ऊँचाई = \( 16\frac{2}{3} \) मी.
In simple words: एक 50 मीटर ऊँची मीनार से, भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। भवन की ऊँचाई \( 16\frac{2}{3} \) मीटर है।

🎯 Exam Tip: जब दो ऊँचाइयाँ और दो कोण दिए गए हों, तो दो अलग-अलग समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके आधार को दोनों समीकरणों में एक उभयनिष्ठ चर के रूप में उपयोग करें। फिर अज्ञात ऊँचाई या दूरी ज्ञात करने के लिए समीकरणों को हल करें।

Applications Of Trigonometry Class 10 प्र० 10.एक 80 मी. चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° है। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक 80 मीटर चौड़ी सड़क (AC) के दोनों ओर समान ऊँचाई (h) के दो खंभे (AB और CD) दर्शाता है। सड़क पर एक बिंदु P से, खंभे AB के शिखर B का उन्नयन कोण 60° और खंभे CD के शिखर D का उन्नयन कोण 30° है। बिंदु P से खंभों की दूरी AP (x) और CP (80-x) है।
Answer:हलः माना AB तथा CD दो खंभे हैं। \( AB = h \) मीटर \( CD = h \) मीटर माना सड़क पर एक बिन्दु P इस प्रकार है किः \( AP = x \) मी. \( CP = (80-x) \) मी. अब समकोण \( \triangle \) APB में, हमें प्राप्त है: \[ \frac{AB}{AP} = \tan 60^\circ \]
\( \implies \frac{h}{x} = \sqrt{3} \)
\( \implies h = x\sqrt{3} \) ...(1) पुनः समकोण \( \triangle \) CPD में हमें प्राप्त है: \[ \frac{CD}{CP} = \tan 30^\circ \]
\( \implies \frac{h}{80 - x} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \implies h = \frac{80 - x}{\sqrt{3}} \) ...(2) (1) और (2) से, \[ \sqrt{3}x = \frac{80 - x}{\sqrt{3}} \]
\( \implies \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times x = 80 - x \)
\( \implies 3x = 80 - x \)
\( \implies 3x + x = 80 \)
\( \implies 4x = 80 \)
\( \implies x = \frac{80}{4} = 20 \) अब \( 80 - x = 80 - 20 = 60 \) अब, (1) से हमें प्राप्त होता है, \( h = \sqrt{3} \times 20 = 1.732 \times 20 = 34.64 \) (i) इस प्रकार, अभीष्ट बिन्दु की स्थिति पहले खंभे से 20 मीटर और दूसरे खंभे से 60 मीटर की दूरी पर है। (ii) प्रत्येक खंभे की ऊँचाई = 34.64 मीटर
In simple words: 80 मीटर चौड़ी सड़क पर दो समान ऊँचाई के खंभों के बीच एक बिंदु से उन्नयन कोण 60° और 30° हैं। त्रिकोणमिति का उपयोग करके, खंभों की ऊँचाई 34.64 मीटर है, और बिंदु की दूरियाँ 20 मीटर और 60 मीटर हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सड़क की चौड़ाई को आधार मानें और बिंदु P की स्थिति को x और (कुल चौड़ाई - x) में विभाजित करें। दो अलग-अलग त्रिभुजों के लिए ऊँचाई (h) के लिए समीकरण बनाएँ और उन्हें हल करके h और x के मान ज्ञात करें।

Ch 9 Class 10 Maths प्र० 11.एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊध्वाधरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिंदु से 20 मी. दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक नहर के तट पर खड़े टीवी टॉवर (AB) को दर्शाता है। नहर की चौड़ाई BC (x) है। बिंदु C से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। बिंदु C से 20 मीटर दूर बिंदु D से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। हमें टॉवर की ऊँचाई (h) और नहर की चौड़ाई (x) ज्ञात करनी है।
Answer:हलः माना T.V. टावर की ऊँचाई = AB = h मीटर माना दो बिन्दु C और D इस प्रकार हैं किः \( BC = x, CD = 20 \) अब, समकोण \( \triangle \) ABC, में हमें प्राप्त है: \[ \frac{AB}{BC} = \tan 60^\circ \]
\( \implies \frac{h}{x} = \sqrt{3} \)
\( \implies h = \sqrt{3}x \) ...(1) पुनः समकोण \( \triangle \) ABD में \[ \frac{AB}{BD} = \tan 30^\circ \] \( \therefore AB = h \) और \( BD = x + 20 \)
\( \implies \frac{h}{x + 20} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \implies h = \frac{x + 20}{\sqrt{3}} \) ...(2) (1) और (2) से हमें प्राप्त होता है: \[ \sqrt{3}x = \frac{x + 20}{\sqrt{3}} \]
\( \implies 3x = x + 20 \)
\( \implies 3x - x = 20 \)
\( \implies 2x = 20 \)
\( \implies x = \frac{20}{2} = 10 \) मी. अब (1) से हमें प्राप्त होता है। \( h = \sqrt{3} \times 10 \) \( = 1.732 \times 10 = 17.32 \) इस प्रकार, मीनार की ऊँचाई = 17.32 मी. और नहर की चौड़ाई = 10 मी.
In simple words: एक नहर के तट पर खड़े टीवी टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण दूसरे तट से 60° और 20 मीटर दूर एक अन्य बिंदु से 30° है। त्रिकोणमिति का उपयोग करके, टॉवर की ऊँचाई 17.32 मीटर और नहर की चौड़ाई 10 मीटर है।

🎯 Exam Tip: यह एक सामान्य प्रकार का प्रश्न है जहाँ दो अलग-अलग कोणों के साथ एक ही वस्तु की ऊँचाई और दूरी ज्ञात करनी होती है। दो समकोण त्रिभुज बनाएँ, `tan` अनुपात का उपयोग करके दो समीकरण स्थापित करें और उन्हें हल करके अज्ञात ऊँचाई और दूरी ज्ञात करें।

Some Applications Of Trigonometry Solutions प्र० 12.7 मी. ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक 7 मीटर ऊँचे भवन (AB) और एक केबल टॉवर (CD) को दर्शाता है। भवन के शिखर A से टॉवर के शिखर D का उन्नयन कोण 60° है, और भवन के शिखर A से टॉवर के पाद C का अवनमन कोण 45° है। हमें टॉवर की ऊँचाई ज्ञात करनी है।
Answer:हलः आकृति में, माना टावर AB की ऊँचाई = 7 मी. माना केबल टॉवर CD है अब, समकोण \( \triangle \) DAE में हमें प्राप्त है, \[ \frac{DE}{EA} = \tan 60^\circ \]
\( \implies \frac{h}{x} = \sqrt{3} \)
\( \implies h = \sqrt{3}x \) ...(1) पुनः समकोण \( \triangle \) ABC में, \[ \frac{AB}{BC} = \tan 45^\circ \]
\( \implies \frac{7}{x} = 1 \)
\( \implies x = 7 \) ...(2) (1) और (2) से \( h = 7\sqrt{3} = DE \) \( CD = CE + ED \) \( = 7 + 7\sqrt{3} = 7(1 + \sqrt{3}) \) मी. \( = 7(1 + 1.732) \) मी. \( = 7 \times 2.732 \) मी. = 19.124 मी. इस प्रकार, केबल टॉवर की ऊँचाई 19.124 मी. है।
In simple words: 7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° और पाद का अवनमन कोण 45° है। त्रिकोणमिति का उपयोग करके, टॉवर की कुल ऊँचाई 19.124 मीटर है।

🎯 Exam Tip: जब उन्नयन और अवनमन दोनों कोण दिए गए हों, तो क्षैतिज रेखा खींचकर समानांतर रेखाओं के एकांतर आंतरिक कोणों (अवनमन कोण = आधार कोण) का उपयोग करें। दो समकोण त्रिभुजों का निर्माण करें, आधार को उभयनिष्ठ चर मानें, और समीकरणों को हल करके कुल ऊँचाई ज्ञात करें।

Question 13. समुद्र-तल से 75 मी. ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं । यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक लाइटहाउस (AB) को दर्शाता है जिसकी ऊँचाई 75 मी. है। लाइटहाउस के शिखर (B) से दो जहाजों (C और D) को देखा जा रहा है। जहाज C के लिए अवनमन कोण 45° है और जहाज D के लिए अवनमन कोण 30° है, जिससे दो समकोण त्रिभुज ABC और ABD बनते हैं।
Answer: हलः आकृति में, माना AB लाइट-हाउस है।
. AB = 75 मी.
माना C और D दो जहाज इस प्रकार हैं कि B से उनके
अवनमन कोण क्रमशः 45° और 30° हैं।
अब, समकोण \( \triangle \) ABC में, हमें प्राप्त है:
\( \frac{AB}{AC} = \tan 45^\circ \)
\( \frac{75}{AC} = 1 \)

\(\implies\) \( AC = 75 \)
पुनः समकोण \( \triangle \) ABD में, हमें प्राप्त है:
\( \frac{AB}{AD} = \tan 30^\circ \)

\(\implies\) \( \frac{75}{AD} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

\(\implies\) \( AD = 75\sqrt{3} \)
चूंकि, दोनों जहाजों के बीच की दूरी = CD
\( = AD - AC = 75\sqrt{3} - 75 \)
\( = 75[\sqrt{3} - 1] = 75[1.732 - 1] \)
\( = 75 \times 0.732 = 54.9 \)
इस प्रकार, दोनों जहाजों के बीच की अभीष्ठ दूरी
= 54.9 मी.
In simple words: We used the tangent function to find the horizontal distances of each ship from the lighthouse based on their angles of depression. Then, we subtracted the distance of the closer ship from the distance of the farther ship to find the distance between them.

🎯 Exam Tip: Accurately identifying the angles of depression from the top of the lighthouse and applying the correct trigonometric ratios (tan in this case) for each triangle is crucial. Ensure precise calculation and subtraction of distances for the final answer.

Question 14. 1.2 मी. लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 मी. की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है। इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक लड़की (जिसकी आँख की स्थिति C है) को दर्शाता है जो 1.2 मी. लंबी है। वह 88.2 मी. की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। गुब्बारे की प्रारंभिक स्थिति A है, जहाँ उन्नयन कोण 60° है, और कुछ समय बाद गुब्बारे की स्थिति P हो जाती है, जहाँ उन्नयन कोण 30° है। AF और PD गुब्बारे की ऊँचाई को लड़की की आँख के स्तर से ऊपर दर्शाते हैं।
Answer: हलः आकृति में,
माना बिन्दु C प्रेक्षक (लड़की) की स्थिति को दर्शाता है।
A और P गुब्बारे की दो स्थितियाँ हैं।
यहाँ, PD = AB = AF - FD
= 88.2 मी. - 1.2 मी. = 87 मी.
अब, समकोण \( \triangle \) ABC में, हमें प्राप्त है:
\( \frac{AB}{BC} = \tan 60^\circ \)

\(\implies\) \( \frac{87}{BC} = \sqrt{3} \)

\(\implies\) \( BC = \frac{87}{\sqrt{3}} \) मी.
समकोण \( \triangle \) PDC में,
\( \frac{PD}{CD} = \tan 30^\circ \)

\(\implies\) \( \frac{87}{CD} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

\(\implies\) \( CD = 87\sqrt{3} \)
अब, BD = CD - BC = \( 87\sqrt{3} - \frac{87}{\sqrt{3}} \)
\( = 87\left[\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right] \)
\( = 87 \times \left[\frac{3 - 1}{\sqrt{3}}\right] \)
\( = 87 \times \left[\frac{2}{\sqrt{3}}\right] \)
\( = \frac{2 \times 87 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \)
\( = \frac{2 \times 87 \times \sqrt{3}}{3} \)
\( = 2 \times 29 \times \sqrt{3} \) मी.
इस प्रकार गुब्बारे की दोनों स्थितियों
की अभीष्ठ दूरी = \( 58\sqrt{3} \) मी.
In simple words: We first calculated the effective height of the balloon from the girl's eye level. Then, using the tangent function for both 60° and 30° angles, we found the horizontal distances to the balloon's initial and final positions. The difference between these distances gave us the horizontal distance the balloon traveled.

🎯 Exam Tip: Always subtract the observer's height from the total height of the object if the angles are measured from the observer's eye level. Use trigonometric ratios correctly for both angles to find the horizontal distances and then compute the difference.

Question 15. एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है। छः सेकेंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक मीनार (AB) को दर्शाता है जिसके शिखर पर एक आदमी खड़ा है। कार राजमार्ग पर मीनार की ओर बढ़ रही है। कार की प्रारंभिक स्थिति C पर अवनमन कोण 30° है, और 6 सेकंड बाद कार D पर पहुँच जाती है, जहाँ अवनमन कोण 60° हो जाता है। यह एक गति समस्या है जिसे त्रिकोणमिति की सहायता से हल किया गया है।
Answer: हलः आकृति में,
माना AB, मीनार की ऊँचाई को व्यक्त करता है। C
और D कार की दो स्थितियों को दर्शाते हैं।
समकोण \( \triangle \) ABD में, हमें प्राप्त है:
\( \frac{AB}{AD} = \tan 60^\circ \)

\(\implies\) \( AB = \sqrt{3} \)

\(\implies\) \( AB = \sqrt{3} AD \) ...(1)
समकोण \( \triangle \) ABC में, हमें प्राप्त है:
\( \frac{AB}{AC} = \tan 30^\circ \)

\(\implies\) \( \frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

\(\implies\) \( AB = \frac{AC}{\sqrt{3}} \) ...(2)
(1) और (2) से
\( \sqrt{3} AD = \frac{AC}{\sqrt{3}} \)

\(\implies\) \( AC = \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times AD = 3 AD \)
अब CD = AC - AD
= 3 AD - AD = 2 AD
∴ दूरी 2 AD को तय करने में लगा समय
= 6 सेकंड
∴ दूरी AD को तय करने में लगा समय
\( = \frac{6}{2} \) सेकंड = 3 सेकंड
अतः कार को D से मीनार तक पहुँचने में लगा
अभीष्ठ समय = 3 सेकंड
In simple words: We used trigonometric ratios to establish a relationship between the distances from the tower and the angles of depression. Since the car moves at a uniform speed, the time taken to cover a certain distance is proportional to that distance. We found that the distance CD is twice the distance AD, so the time taken to cover AD is half of the time taken to cover CD.

🎯 Exam Tip: This problem combines trigonometry with uniform motion. Clearly define the distances in terms of 'AD' to easily deduce the time relation. Ensure correct application of alternate interior angles for depression angles.

Question 16. मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मी. और 9 मी. की दूरी पर स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मी. है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक मीनार (AB) को दर्शाता है जिसकी ऊँचाई 'h' मी. है। मीनार के आधार से 4 मी. और 9 मी. की दूरी पर दो बिंदु (D और C) हैं। बिंदु C से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण \( \theta \) है, और बिंदु D से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण \( 90^\circ - \theta \) (पूरक कोण) है। यह सेटअप मीनार की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए उपयोग किया गया है।
Answer: हलः
माना (आकृति में) AB मीनार को व्यक्त करता है।
माना AB = h मीटर
. समकोण \( \triangle \) ABC में, हमें प्राप्त है:
\( \frac{AB}{AC} = \tan \theta \)

\(\implies\) \( \frac{h}{9} = \tan \theta \) ...(1)
समकोण \( \triangle \) ABD में
\( \frac{AB}{AD} = \tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta \)

\(\implies\) \( \frac{h}{4} = \cot \theta \) ...(2)
(1) और (2) का गुणन करने परं,
\( \frac{h}{9} \times \frac{h}{4} = \tan \theta \times \cot \theta = 1 \)
[∴ \( \tan \theta \times \cot \theta = 1 \)]

\(\implies\) \( \frac{h^2}{36} = 1 \)

\(\implies\) \( h^2 = 36 \)

\(\implies\) \( h = \pm 6 \) मी.

\(\implies\) \( h = 6 \) मी
[∴ ऊँचाई धनात्मक होती है]
इस प्रकार, मीनार की ऊँचाई 6 मी. है।
In simple words: We set up two trigonometric equations for the height 'h' using the given distances and the complementary angles of elevation. By multiplying these two equations, we used the identity tan \( \theta \) * cot \( \theta \) = 1 to eliminate the angle and solve directly for the height of the tower.

🎯 Exam Tip: The key to solving this problem is understanding complementary angles and the identity \( \tan \theta \times \cot \theta = 1 \). This allows for a direct calculation of height by multiplying the two tangent equations.