UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 9 Constructions Ex 91

Question 1. एक 10 सेमी लम्बी रेखा को 3 : 2 के अनुपात में अन्तःविभाजित करें।
Answer: दिए गए रेखाखंड AB को 3:2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

1. 10 सेमी लंबाई का एक रेखाखंड AB खींचिए।
2. बिंदु A से एक किरण AX इस तरह खींचिए कि यह AB के साथ एक न्यूनकोण (90° से कम) बनाए।
3. किरण AX पर 5 (= 3 + 2) समान बिंदु A1, A2, A3, A4 और A5 चिह्नित करें ताकि AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 हो। ये बिंदु एक कंपास का उपयोग करके समान दूरी पर बनाए जाते हैं।
4. A5 को B से मिलाइए।
5. बिंदु A3 से, A5B के समानांतर एक रेखा A3P खींचिए, जो रेखाखंड AB को बिंदु P पर काटे।

बिंदु P वह आवश्यक बिंदु है जो रेखाखंड AB को 3:2 के अनुपात में विभाजित करता है। यह विधि समान त्रिभुजों के गुण पर आधारित है। जाँच: A3P || A5B
\( \implies \)
\( \frac{AP}{PB} = \frac{AA_3}{A_3A_5} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2} \) इस प्रकार, AP:PB = 3:2।
In simple words: सबसे पहले, एक 10 सेमी की रेखा खींचें। फिर एक सिरे से एक छोटी तिरछी रेखा बनाएं और उस पर 5 बराबर निशान लगाएं। आखिरी निशान को मुख्य रेखा के दूसरे सिरे से जोड़ दें। अब, तीसरे निशान से इस जोड़ी गई रेखा के समानांतर एक और रेखा खींचें। यह दूसरी रेखा मुख्य रेखा को 3:2 के अनुपात में बांट देगी।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि समांतर रेखाएं खींचते समय कंपास का उपयोग सटीक हो, क्योंकि यह विभाजन के अनुपात को निर्धारित करता है।

Question 2. एक △ ABC की रचना कीजिए जिसमें AB = 4 सेमी, BC = 5 सेमी, AC = 6 सेमी, △ ABC के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी प्रत्येक भुजा, △ ABC की संगत भुजा की \( \frac{2}{3} \) है। (NCERT)
Answer: दिए गए त्रिभुज ABC के समरूप एक त्रिभुज बनाने के लिए, जिसकी भुजाएं मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं का \( \frac{2}{3} \) गुना हों, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

1. BC = 5 सेमी का एक रेखाखंड खींचिए।
2. बिंदु B को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक चाप खींचिए।
3. बिंदु C को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या का एक और चाप खींचिए जो पहले चाप को बिंदु A पर काटता है।
4. △ABC बनाने के लिए रेखाखंड AB और AC को मिलाइए।
5. रेखाखंड BC के नीचे एक किरण BX खींचिए जो एक न्यूनकोण ∠CBX बनाती है।
6. किरण BX पर तीन बिंदु B1, B2, B3 को इस प्रकार चिह्नित कीजिए कि BB1 = B1B2 = B2B3 हो। यह सुनिश्चित करने के लिए है कि बिंदु समान रूप से दूरी पर हों।
7. B3 को C से मिलाइए।
8. बिंदु B2 से B3C के समानांतर एक रेखा B2D खींचिए जो रेखाखंड BC को बिंदु D पर काटे।
9. बिंदु D से, CA के समानांतर एक रेखा DE खींचिए जो AB को बिंदु E पर काटे।

इस प्रकार, △EBD अभीष्ट त्रिभुज है, जिसकी भुजाएं मूल △ABC की भुजाओं की \( \frac{2}{3} \) गुनी हैं। समांतर रेखाएं खींचने के लिए आप सेट-स्क्वायर या कंपास का उपयोग कर सकते हैं।
In simple words: पहले एक त्रिभुज ABC बनाएं जिसकी भुजाएं 4, 5 और 6 सेमी हों। फिर, त्रिभुज के आधार (BC) से एक तिरछी रेखा खींचें और उस पर 3 बराबर निशान लगाएं। तीसरे निशान को बिंदु C से जोड़ें। अब, दूसरे निशान से एक रेखा खींचें जो इस जोड़ी गई रेखा के समानांतर हो, यह मुख्य रेखा BC को D पर काटेगी। अंत में, D से AC के समानांतर एक और रेखा खींचें जो AB को E पर काटेगी। आपको नया छोटा त्रिभुज EBD मिलेगा।

🎯 Exam Tip: जब आप एक समरूप त्रिभुज बनाते हैं जिसका स्केल फैक्टर 1 से कम होता है (जैसे \( \frac{2}{3} \)), तो नया त्रिभुज मूल त्रिभुज के अंदर बनता है।

Question 3. एक △ ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 45°, ∠A = 105° हैं। एक ऐसे त्रिभुज की रचना कीजिए जो △ ABC के समरूप हो तथा जिसकी भुजाएँ, △ ABC की संगत भुजाओं की \( \frac{4}{3} \) है। (NCERT)
Answer: त्रिभुज ABC और उसके समरूप एक बड़ा त्रिभुज बनाने के लिए, जिसकी भुजाएं मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं का \( \frac{4}{3} \) गुना हों, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

1. पहले, कोण A का मान ज्ञात करें। चूंकि त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है, तो ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (105° + 45°) = 180° - 150° = 30°।
2. 7 सेमी की एक सीधी रेखा BC खींचिए।
3. बिंदु B पर एक न्यूनकोण ∠CBX = 45° बनाइए।
4. बिंदु C पर एक कोण BCY = 30° बनाइए।
5. किरणें BX और CY एक दूसरे को बिंदु A पर प्रतिच्छेद करती हैं, इस प्रकार △ABC प्राप्त होता है।
6. अब, रेखाखंड BZ खींचिए जो BC के नीचे एक न्यूनकोण बनाता है।
7. BZ पर चार बिंदु B1, B2, B3, B4 को इस प्रकार चिह्नित कीजिए कि BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 हो।
8. B3 को C से मिलाइए (चूंकि स्केल फैक्टर में हर 3 है)।
9. बिंदु B4 से, B3C के समानांतर एक रेखा B4C' खींचिए जो रेखाखंड BC को बिंदु C' पर प्रतिच्छेद करती है। (चूंकि स्केल फैक्टर में अंश 4 है, हम B4 का उपयोग करते हैं)।
10. बिंदु C' से, CA के समानांतर एक रेखा खींचिए जो विस्तारित रेखाखंड BA को बिंदु A' पर प्रतिच्छेद करती है।

इस प्रकार, △A'BC' ही अभीष्ट त्रिभुज है, जो △ABC के समरूप है और जिसकी भुजाएं मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं का \( \frac{4}{3} \) गुना हैं। यहां नया त्रिभुज मूल त्रिभुज से बाहर की ओर फैलता है।
In simple words: सबसे पहले, 7 सेमी आधार वाली एक रेखा BC खींचें। फिर बिंदु B पर 45° का कोण और बिंदु C पर 30° का कोण बनाएं ताकि वे ऊपर बिंदु A पर मिलें और एक त्रिभुज ABC बन जाए। अब, बिंदु B से एक तिरछी रेखा खींचें और उस पर 4 बराबर निशान लगाएं। तीसरे निशान को C से जोड़ें। फिर चौथे निशान से एक समानांतर रेखा खींचें जो BC की बढ़ी हुई रेखा को C' पर काटे। अंत में, C' से AC के समानांतर एक और रेखा खींचें जो AB की बढ़ी हुई रेखा को A' पर काटे। नया त्रिभुज A'BC' मूल त्रिभुज से बड़ा होगा।

🎯 Exam Tip: यदि स्केल फैक्टर 1 से अधिक है (जैसे \( \frac{4}{3} \)), तो आपको मूल त्रिभुज के किनारों को बाहर की ओर बढ़ाना होगा ताकि समरूप त्रिभुज बन सके।

Question 4. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसमें भुजाएँ (कर्ण को छोडकर ) 5 सेमी तथा 4 सेमी हैं। फिर एक, दूसरे त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ, दिए गए त्रिभुज की \( \frac{5}{3} \) गुनी है।
Answer: दिए गए समकोण त्रिभुज ABC के समरूप एक त्रिभुज बनाने के लिए, जिसकी भुजाएं मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं का \( \frac{5}{3} \) गुना हों, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

1. BC = 5 सेमी का एक रेखाखंड खींचिए।
2. बिंदु B पर एक समकोण (90°) बनाइए और AB = 4 सेमी काटिए।
3. AC को मिलाइए, इस प्रकार △ABC, दिया गया समकोण त्रिभुज है।
4. अब, बिंदु B से एक न्यूनकोण ∠CBY नीचे की ओर बनाइए।
5. किरण BY पर 5 बिंदु B1, B2, B3, B4 और B5 को इस प्रकार चिह्नित कीजिए कि BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5 हो।
6. B3 को C से मिलाइए (चूंकि स्केल फैक्टर में हर 3 है)।
7. बिंदु B5 से B3C के समानांतर एक रेखा B5D खींचिए जो BC के बढ़े हुए भाग को बिंदु D पर काटे। (चूंकि स्केल फैक्टर में अंश 5 है, हम B5 का उपयोग करते हैं)।
8. बिंदु D से, CA के समानांतर एक रेखा DE खींचिए जो BA के बढ़े हुए भाग को बिंदु E पर काटे।

इस प्रकार, △EBD ही अभीष्ट त्रिभुज है। यह मूल त्रिभुज ABC से बड़ा होगा।
In simple words: सबसे पहले, एक समकोण त्रिभुज ABC बनाएं जिसकी एक भुजा 5 सेमी और दूसरी 4 सेमी (कर्ण को छोड़कर) हो। फिर, बिंदु B से नीचे की ओर एक तिरछी रेखा खींचें और उस पर 5 बराबर निशान लगाएं। तीसरे निशान को C से जोड़ें। अब, पांचवें निशान से एक रेखा खींचें जो इस जोड़ी गई रेखा के समानांतर हो, यह BC की बढ़ी हुई रेखा को D पर काटेगी। अंत में, D से AC के समानांतर एक और रेखा खींचें जो AB की बढ़ी हुई रेखा को E पर काटेगी। आपको नया बड़ा त्रिभुज EBD मिलेगा।

🎯 Exam Tip: जब आप एक समकोण त्रिभुज के समानुपाती एक बड़ा त्रिभुज बना रहे हों, तो सुनिश्चित करें कि आप मूल त्रिभुज की गैर-कर्ण भुजाओं को सही ढंग से पहचानें।

Question 5. एक △ PQR की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ QR = 7 सेमी, PQ = 6 सेमी तथा ∠PQR = 60° फिर एक, दूसरे त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ, △ PQR की संगत भुजाओं की \( \frac{3}{5} \) है।
Answer: दिए गए त्रिभुज PQR के समरूप एक छोटा त्रिभुज बनाने के लिए, जिसकी भुजाएं मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं का \( \frac{3}{5} \) गुना हों, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

1. PQ = 6 सेमी की एक सीधी रेखा खींचिए।
2. बिंदु Q पर एक कोण ∠PQY = 60° बनाइए।
3. किरण QY पर QR = 7 सेमी काटिए।
4. PR को मिलाइए। इस प्रकार, △PQR ही अभीष्ट त्रिभुज है।
5. अब, बिंदु P से एक किरण PX नीचे की ओर एक न्यूनकोण ∠QPX बनाते हुए खींचिए।
6. किरण PX पर पांच बिंदु P1, P2, P3, P4 और P5 को इस प्रकार चिह्नित कीजिए कि PP1 = P1P2 = P2P3 = P3P4 = P4P5 हो।
7. P5 को Q से मिलाइए (चूंकि स्केल फैक्टर में हर 5 है)।
8. बिंदु P3 से P5Q के समानांतर एक रेखा P3Q' खींचिए जो PQ को Q' पर प्रतिच्छेद करे। (चूंकि स्केल फैक्टर में अंश 3 है, हम P3 का उपयोग करते हैं)।
9. Q' से QR के समानांतर एक रेखा Q'R' खींचिए जो PR को R' पर प्रतिच्छेद करे।

इस प्रकार, △PQ'R' ही अभीष्ट त्रिभुज है, जिसकी भुजाएं △PQR की भुजाओं की \( \frac{3}{5} \) हैं। यह नया त्रिभुज मूल त्रिभुज के अंदर ही बनेगा।
In simple words: पहले एक त्रिभुज PQR बनाएं, जिसमें PQ = 6 सेमी, QR = 7 सेमी और कोण Q = 60° हो। फिर, बिंदु P से एक तिरछी रेखा खींचें और उस पर 5 बराबर निशान लगाएं। पांचवें निशान को Q से जोड़ें। अब, तीसरे निशान से एक समानांतर रेखा खींचें जो PQ को Q' पर काटे। अंत में, Q' से QR के समानांतर एक और रेखा खींचें जो PR को R' पर काटे। नया त्रिभुज PQ'R' मूल त्रिभुज से छोटा होगा।

🎯 Exam Tip: किसी भी त्रिभुज की रचना करते समय, पहले दी गई भुजाओं और कोणों का सही माप लें ताकि आधार त्रिभुज सटीक बने।

Question 6. एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका आधार 8 सेमी तथा ऊँचाई 4 सेमी है तथा तब एक ऐसे त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए गए, समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की \( \frac{3}{2} \) गुनी है (NCERT)
Answer: दिए गए समद्विबाहु त्रिभुज ABC के समरूप एक बड़ा त्रिभुज बनाने के लिए, जिसकी भुजाएं मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं का \( \frac{3}{2} \) गुना हों, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

1. BC = 8 सेमी की एक रेखा खींचिए।
2. BC का लंब समद्विभाजक खींचिए। आधार के मध्य बिंदु को M मानें।
3. M से 4 सेमी की ऊंचाई मापकर बिंदु A चिह्नित करें।
4. AB और AC को मिलाइए। इस प्रकार △ABC ही अभीष्ट समद्विबाहु त्रिभुज है।
5. अब, बिंदु B से एक न्यूनकोण ∠CBY नीचे की ओर बनाइए।
6. किरण BY पर तीन बिंदु B1, B2, B3 को इस प्रकार चिह्नित कीजिए कि BB1 = B1B2 = B2B3 हो।
7. B2 को C से मिलाइए (चूंकि स्केल फैक्टर में हर 2 है)।
8. बिंदु B3 से B2C के समानांतर एक रेखा B3D खींचिए जो BC के बढ़े हुए भाग को बिंदु D पर काटे। (चूंकि स्केल फैक्टर में अंश 3 है, हम B3 का उपयोग करते हैं)।
9. बिंदु D से, CA के समानांतर एक रेखा DE खींचिए जो BA के बढ़े हुए भाग को बिंदु E पर काटे।

इस प्रकार, △EBD ही अभीष्ट त्रिभुज है। यह मूल त्रिभुज ABC से बड़ा होगा।
In simple words: सबसे पहले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC बनाएं जिसका आधार 8 सेमी और ऊंचाई 4 सेमी हो। फिर, बिंदु B से एक तिरछी रेखा खींचें और उस पर 3 बराबर निशान लगाएं। दूसरे निशान को C से जोड़ें। अब, तीसरे निशान से एक समानांतर रेखा खींचें जो BC की बढ़ी हुई रेखा को D पर काटे। अंत में, D से AC के समानांतर एक और रेखा खींचें जो AB की बढ़ी हुई रेखा को E पर काटे। आपको नया बड़ा त्रिभुज EBD मिलेगा।

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई हमेशा उसके आधार को समद्विभाजित करती है, इसलिए मध्य बिंदु को सही ढंग से ढूंढना महत्वपूर्ण है।

Question 7. एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ 5 सेमी, 5.5 सेमी तथा 6.5 सेमी हैं। तब एक, दूसरे त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ, दिए गए त्रिभुज की भुजाओं की \( \frac{3}{5} \) गुनी है।
Answer: दिए गए त्रिभुज के समरूप एक छोटा त्रिभुज बनाने के लिए, जिसकी भुजाएं मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं का \( \frac{3}{5} \) गुना हों, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

1. BC = 5.5 सेमी का एक रेखाखंड खींचिए।
2. बिंदु B को केंद्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का एक चाप खींचिए।
3. बिंदु C को केंद्र मानकर 6.5 सेमी त्रिज्या का एक और चाप खींचिए जो पहले चाप को बिंदु A पर प्रतिच्छेद करे।
4. AB और AC को मिलाइए। इस प्रकार △ABC प्राप्त हुआ।
5. अब, रेखाखंड BC के नीचे एक किरण BX खींचिए जो एक न्यूनकोण ∠CBX बनाती है।
6. किरण BX पर पांच बिंदु B1, B2, B3, B4 और B5 को इस प्रकार चिह्नित कीजिए कि BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5 हो।
7. B5 को C से मिलाइए (चूंकि स्केल फैक्टर में हर 5 है)।
8. बिंदु B3 से B5C के समानांतर एक रेखा B3D खींचिए जो BC को D पर काटे। (चूंकि स्केल फैक्टर में अंश 3 है, हम B3 का उपयोग करते हैं)।
9. D से, CA के समानांतर एक रेखा DE खींचिए जो BA को E पर काटे।

इस प्रकार, △EBD अभीष्ट त्रिभुज है, जिसकी प्रत्येक भुजा △ABC की संगत भुजाओं की \( \frac{3}{5} \) गुनी है। नया त्रिभुज मूल त्रिभुज के अंदर ही बनेगा।
In simple words: पहले एक त्रिभुज ABC बनाएं जिसकी भुजाएं 5 सेमी, 5.5 सेमी और 6.5 सेमी हों। फिर, बिंदु B से एक तिरछी रेखा खींचें और उस पर 5 बराबर निशान लगाएं। पांचवें निशान को C से जोड़ें। अब, तीसरे निशान से एक समानांतर रेखा खींचें जो BC को D पर काटे। अंत में, D से AC के समानांतर एक और रेखा खींचें जो AB को E पर काटे। आपको नया छोटा त्रिभुज EBD मिलेगा।

🎯 Exam Tip: जब आप दिए गए तीन भुजाओं से एक त्रिभुज बनाते हैं, तो सुनिश्चित करें कि सबसे लंबी भुजा बाकी दो भुजाओं के योग से छोटी हो।

Question 8. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 6 सेमी, AB = 5 सेमी तथा ∠ABC = 60° तब एक ऐसा त्रिभुज बनाइए जिसकी भुजाएँ, △ ABC की संगत भुजाओं का \( \frac{3}{4} \) वाँ भाग हो । (NCERT)
Answer: दिए गए त्रिभुज ABC के समरूप एक छोटा त्रिभुज बनाने के लिए, जिसकी भुजाएं मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं का \( \frac{3}{4} \) गुना हों, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

1. AB = 5 सेमी की एक सरल रेखा खींचिए।
2. बिंदु B पर एक कोण ∠ABY = 60° बनाइए और BC = 6 सेमी काटिए।
3. AC को मिलाइए। इस प्रकार △ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
4. अब, बिंदु A से एक किरण AX नीचे की ओर एक न्यूनकोण ∠BAX = 60° बनाते हुए खींचिए।
5. किरण AX पर चार बिंदु A1, A2, A3 और A4 को इस प्रकार अंकित कीजिए कि AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 हो।
6. A4 को B से मिलाइए (चूंकि स्केल फैक्टर में हर 4 है)।
7. बिंदु A3 से A4B के समानांतर एक रेखा A3B' खींचिए जो AB को B' पर प्रतिच्छेद करे। (चूंकि स्केल फैक्टर में अंश 3 है, हम A3 का उपयोग करते हैं)।
8. B' से BC के समानांतर एक रेखा B'C' खींचिए जो AC को C' पर प्रतिच्छेद करती है।

इस प्रकार, △AB'C' ही अभीष्ट त्रिभुज है, जिसकी भुजाएं △ABC की संगत भुजाओं का \( \frac{3}{4} \) गुना हैं। यह नया त्रिभुज मूल त्रिभुज के अंदर ही बनेगा।
In simple words: सबसे पहले, एक त्रिभुज ABC बनाएं जिसकी भुजा AB 5 सेमी, BC 6 सेमी और कोण B 60° हो। फिर, बिंदु A से एक तिरछी रेखा खींचें और उस पर 4 बराबर निशान लगाएं। चौथे निशान को B से जोड़ें। अब, तीसरे निशान से एक समानांतर रेखा खींचें जो AB को B' पर काटे। अंत में, B' से BC के समानांतर एक और रेखा खींचें जो AC को C' पर काटे। आपको नया छोटा त्रिभुज AB'C' मिलेगा।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप कोण को सही ढंग से मापें और रेखाखंडों को दिए गए माप के अनुसार ही काटें ताकि त्रिभुज की मूल रचना सही हो।

Question 9. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसमें भुजाओं (कर्ण को छोड़कर) की लम्बाई 8 सेमी तथा 6 सेमी हैं तब एक, दूसरा त्रिभुज बनाइए जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं की \( \frac{3}{4} \) गुनी है।
Answer: दिए गए समकोण त्रिभुज के समरूप एक छोटा त्रिभुज बनाने के लिए, जिसकी भुजाएं मूल त्रिभुज की संगत भुजाओं का \( \frac{3}{4} \) गुना हों, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

1. BC = 8 सेमी की एक रेखा खींचिए।
2. बिंदु B पर एक समकोण बनाइए और AB = 6 सेमी काटिए।
3. AC को मिलाइए। इस प्रकार △ABC ही दिया गया समकोण त्रिभुज है।
4. अब, बिंदु B से एक न्यूनकोण ∠CBY नीचे की ओर बनाइए।
5. किरण BY पर चार बिंदु B1, B2, B3 और B4 को इस प्रकार अंकित कीजिए कि BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 हो।
6. B4 को C से मिलाइए (चूंकि स्केल फैक्टर में हर 4 है)।
7. बिंदु B3 से B4C के समानांतर एक रेखा B3D खींचिए जो BC को D पर प्रतिच्छेद करे। (चूंकि स्केल फैक्टर में अंश 3 है, हम B3 का उपयोग करते हैं)।
8. D से, CA के समानांतर एक रेखा DE खींचिए जो BA को E पर प्रतिच्छेद करे।

इस प्रकार, △EBD ही अभीष्ट त्रिभुज है। यह नया त्रिभुज मूल त्रिभुज के अंदर ही बनेगा।
In simple words: पहले एक समकोण त्रिभुज ABC बनाएं जिसकी एक भुजा 8 सेमी और दूसरी 6 सेमी (कर्ण को छोड़कर) हो। फिर, बिंदु B से एक तिरछी रेखा खींचें और उस पर 4 बराबर निशान लगाएं। चौथे निशान को C से जोड़ें। अब, तीसरे निशान से एक समानांतर रेखा खींचें जो BC को D पर काटे। अंत में, D से AC के समानांतर एक और रेखा खींचें जो AB को E पर काटे। आपको नया छोटा त्रिभुज EBD मिलेगा।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज में, समकोण बनाने वाली भुजाएं ही आधार और ऊंचाई होती हैं, जो त्रिभुज की रचना के लिए महत्वपूर्ण हैं।

Question 10. एक समकोण त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें AB = 6 सेमी, BC = 8 सेमी तथा ∠B = 90° तथा बिन्दु B से रेखा AC पर एक लम्ब BD डाले तथा बिन्दुओं B,C तथा D से गुजरने वाला एक वृत्त खींचा गया। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखायें खींचें।
Answer: दिए गए समकोण त्रिभुज ABC की रचना करने और बिंदु A से वृत्त BDC पर स्पर्श रेखाएं खींचने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

1. BC = 8 सेमी का एक रेखाखंड खींचिए।
2. बिंदु B पर एक समकोण (90°) बनाइए और AB = 6 सेमी काटिए।
3. AC को मिलाइए। इस प्रकार △ABC ही अभीष्ट समकोण त्रिभुज है।
4. बिंदु B से रेखाखंड AC पर एक लंब BD खींचिए। (D, AC पर स्थित है)।
5. बिंदुओं B, C और D से गुजरने वाला एक वृत्त खींचिए। इसके लिए, BC और CD के लंब समद्विभाजक खींचें। जहां वे मिलते हैं, वह वृत्त का केंद्र होगा (मान लीजिए F)। FB या FC या FD त्रिज्या लेकर वृत्त खींचें।
6. अब, बिंदु A से इस वृत्त (केंद्र F वाले) पर स्पर्श रेखाएं खींचनी हैं। इसके लिए, AF को मिलाइए और उसका लंब समद्विभाजक खींचिए। मध्य बिंदु को M मानें।
7. M को केंद्र मानकर और MA त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए। यह वृत्त पहले वृत्त (केंद्र F वाले) को दो बिंदुओं पर काटेगा (मान लीजिए E और G)।
8. AE और AG को मिलाइए।

AE और AG ही अभीष्ट स्पर्श रेखाएं हैं जो बिंदु A से वृत्त BDC पर खींची गई हैं। किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
In simple words: पहले एक समकोण त्रिभुज ABC बनाएं, जिसमें AB 6 सेमी, BC 8 सेमी और कोण B 90° हो। फिर, B से AC पर एक सीधी रेखा (लंब) BD खींचें। अब, B, C और D से होकर गुजरने वाला एक गोला (वृत्त) बनाएं। इस वृत्त का केंद्र ढूंढें। अंत में, बिंदु A से इस गोले पर दो रेखाएं खींचें जो गोले को केवल छूती हों (स्पर्श रेखाएं)।

🎯 Exam Tip: किसी भी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई हमेशा बराबर होती है।

Question 11. 8 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड AB खींचे। A को केन्द्र मानकर, 4 सेमी त्रिज्या का एक वत्त खींचे तथा B को केन्द्र मानकर एक 3 सेमी त्रिज्या का दूसरा वृत्त खींचें। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखायें खींचे । (NCERT)
Answer: 8 सेमी लंबे रेखाखंड AB, और दो वृत्तों के लिए स्पर्श रेखाएं खींचने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें, जहां एक वृत्त का केंद्र A और त्रिज्या 4 सेमी है, और दूसरे का केंद्र B और त्रिज्या 3 सेमी है:

1. AB = 8 सेमी का एक रेखाखंड खींचिए।
2. बिंदु A को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
3. बिंदु B को केंद्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का एक और वृत्त खींचिए।
4. रेखाखंड AB का लंब समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए L, AB का मध्य बिंदु है।
5. L को केंद्र मानकर और AL (या BL) त्रिज्या लेकर एक बिंदुदार वृत्त खींचिए।
6. यह बिंदुदार वृत्त पहले वृत्त (केंद्र A वाले) को P और Q पर काटता है, और दूसरे वृत्त (केंद्र B वाले) को R और S पर काटता है।
7. BR, BS, AP और AQ को मिलाइए।

इस प्रकार, BR और BS केंद्र A वाले वृत्त पर बिंदु B से खींची गई स्पर्श रेखाएं हैं, और AP और AQ केंद्र B वाले वृत्त पर बिंदु A से खींची गई स्पर्श रेखाएं हैं। यह रचना बाहरी बिंदुओं से स्पर्श रेखाएं खींचने के सिद्धांत पर आधारित है।
In simple words: 8 सेमी की एक रेखा AB खींचें। बिंदु A से 4 सेमी त्रिज्या का एक गोला और बिंदु B से 3 सेमी त्रिज्या का दूसरा गोला बनाएं। अब, AB रेखा का बीच का बिंदु (केंद्र) ढूंढें। इस बीच के बिंदु को केंद्र मानकर AB के आधे त्रिज्या का एक हल्का गोला बनाएं। यह हल्का गोला पहले दो गोलों को काटेगा। जहां यह काटता है, उन बिंदुओं को B से जोड़ें (पहले गोले के लिए) और A से जोड़ें (दूसरे गोले के लिए)। ये रेखाएं ही स्पर्श रेखाएं होंगी।

🎯 Exam Tip: जब दो वृत्त एक दूसरे को नहीं काटते हैं, तो आप प्रत्येक वृत्त के लिए दूसरे वृत्त के केंद्र से दो स्पर्श रेखाएं खींच सकते हैं।

Question 12. 3.5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त के बिन्दु P से दो स्पर्श रेखायें खींचे जिसकी वृत्त के केन्द्र से दूरी 6.2 सेमी है।
Answer: 3.5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त पर बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएं खींचने के लिए, जो वृत्त के केंद्र से 6.2 सेमी दूर है, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

1. O को केंद्र मानकर 3.5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
2. केंद्र O से 6.2 सेमी की दूरी पर एक बिंदु P चिह्नित करें।
3. OP को मिलाइए और उसका लंब समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए M, OP का मध्य बिंदु है।
4. M को केंद्र मानकर और MP (या MO) त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए। यह वृत्त पहले वृत्त (केंद्र O वाले) को दो बिंदुओं A और B पर काटता है।
5. PA और PB को मिलाइए।

इस प्रकार, PA और PB ही वृत्त पर दो अभीष्ट स्पर्श रेखाएं हैं। इस रचना में यह सुनिश्चित किया जाता है कि स्पर्श रेखा वृत्त की त्रिज्या के लंबवत हो।
In simple words: पहले एक गोला बनाएं जिसकी त्रिज्या 3.5 सेमी हो। गोले के केंद्र से 6.2 सेमी दूर एक बिंदु P चिह्नित करें। अब, केंद्र और बिंदु P को जोड़ने वाली रेखा का मध्य बिंदु ढूंढें। इस मध्य बिंदु को केंद्र मानकर एक और गोला बनाएं जो पहले गोले को दो जगह पर काटेगा। इन कटान बिंदुओं को P से जोड़ दें। ये दो रेखाएं (PA और PB) ही गोले की स्पर्श रेखाएं होंगी।

🎯 Exam Tip: किसी भी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई हमेशा समान होती है, और स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।