UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 8 Introduction to Trigonometry

UP Board Solution Class 10 Math Chapter 8 प्रश्नावली 8.1 (NCERT Page 200)

Question 1. △ABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है| निम्न लिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जहाँ कोण B समकोण (90 डिग्री) है। भुजा AB की लंबाई 24 सेमी है और भुजा BC की लंबाई 7 सेमी है। भुजा AC त्रिभुज का कर्ण है, जिसकी लंबाई अज्ञात है।
Answer: हलः समकोण △ ABC में, हमें प्राप्त है: \(p = 24\) सेमी., \(b = 7\) सेमी.
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा \[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
\( \implies AC^2 = 24^2 + 7^2 \) \( = 576 + 49 = 625 = 25^2 \) \( AC = 25 \) अब, (i) \( \sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{25} \); \( \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{25} \) (ii) \( \sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{25} \); \( \cos C = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{25} \)
In simple words: हमने पहले पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज के कर्ण AC की लंबाई ज्ञात की। फिर, कोण A के लिए sin A और cos A के मान निकाले, और अंत में कोण C के लिए sin C और cos C के मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज में, कोण के सामने वाली भुजा को लम्ब, संलग्न भुजा को आधार और 90° के सामने वाली भुजा को कर्ण कहते हैं। त्रिकोणमितीय अनुपातों को सही भुजाओं के अनुपात के रूप में पहचानना महत्वपूर्ण है।

Question 2. आकृति में, tan P - cot R का मान ज्ञात कीजिए |
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समकोण त्रिभुज PQR को दर्शाता है, जहाँ कोण Q समकोण (90 डिग्री) है। भुजा PQ की लंबाई 12 सेमी है और भुजा PR की लंबाई 13 सेमी है। भुजा QR की लंबाई अज्ञात है।
Answer: हलः एक समकोण △PQR में, पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है। \[QR^2 = PR^2 - PQ^2\]
\( \implies QR^2 = 13^2 - 12^2 \) \( = (13 - 12)(13 + 12) = 1 \times 25 = 25 \)
\( QR = \sqrt{25} = 5 \) अब \( \tan P = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12} \) \( \cot R = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12} \) \( \tan P - \cot R = \frac{5}{12} - \frac{5}{12} = 0 \)
In simple words: हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात भुजा QR का मान निकाला। फिर, tan P और cot R के मान ज्ञात किए, और अंत में उनके अंतर की गणना की, जो कि शून्य है।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप सही भुजाओं (लम्ब, आधार, कर्ण) का चयन कोण के सापेक्ष कर रहे हैं। tan और cot जैसे अनुपातों को सावधानी से लागू करें।

Question 3. यदि sin A = \( \frac{3}{4} \), तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जहाँ कोण B समकोण (90 डिग्री) है। भुजा BC की लंबाई 3k और कर्ण AC की लंबाई 4k के अनुपात में है, जिससे sin A = 3/4 बनता है। भुजा AB की लंबाई अज्ञात है।
Answer: हलः एक त्रिभुज ABC लें, जो कि B पर समकोण है। इससे हमें ∠A के लिए प्राप्त होता है कि माना लम्ब = BC और कर्ण = AC \( \sin A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4} \) \( BC = 3k \) और \( AC = 4k \) \( AB^2 = AC^2 - BC^2 = (4k)^2 - (3k)^2 \) \( = (4k + 3k)(4k - 3k) \) \( = (7k)(k) = 7 k^2 \)
\( \implies AB = \sqrt{7k^2} = \sqrt{7}k \) अब, \( \cos A = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{7}k}{4k} = \frac{\sqrt{7}}{4} \) \( \tan A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{BC}{AB} = \frac{3k}{\sqrt{7}k} = \frac{3}{\sqrt{7}} \)
In simple words: हमने sin A के दिए गए मान का उपयोग करके त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात निर्धारित किया, फिर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके तीसरी भुजा AB की लंबाई ज्ञात की। अंत में, हमने cos A और tan A के मानों की गणना की।

🎯 Exam Tip: जब त्रिकोणमितीय अनुपात दिया गया हो, तो त्रिभुज की भुजाओं को एक स्थिरांक (जैसे k) के गुणज के रूप में मानना एक अच्छा अभ्यास है। इससे गणना आसान हो जाती है और अनुपात सही रहते हैं।

Question 4. यदि 15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जहाँ कोण B समकोण (90 डिग्री) है। भुजा AB की लंबाई 8k और भुजा BC की लंबाई 15k के अनुपात में है, जिससे cot A = 8/15 बनता है। कर्ण AC की लंबाई अज्ञात है।
Answer: हलः माना समकोण ∆ABC में, हमें प्राप्त है। \( 15 \cot A = 8 \)
\( \cot A = \frac{8}{15} \) चूंकि \( \cot A = \frac{AB}{BC} \implies \frac{AB}{BC} = \frac{8}{15} \) माना \( AB = 8k \) और \( BC = 15k \) पाइथागोरस प्रमेय की सहायता से, \( AC^2 = AB^2 + BC^2 = (8k)^2 + (15k)^2 \) \( = 64k^2 + 225k^2 = 289k^2 = (17k)^2 \)
\( \implies AC = \sqrt{(17k)^2} = 17k \) अब, \( \sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{15k}{17k} = \frac{15}{17} \) और \( \sec A = \frac{AC}{AB} = \frac{17k}{8k} = \frac{17}{8} \) उत्तर
In simple words: हमने दिए गए 15 cot A = 8 से cot A का मान निकाला। फिर, त्रिभुज की भुजाओं को k के गुणज के रूप में मानकर और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण AC ज्ञात किया। अंत में, sin A और sec A के मानों की गणना की।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों के लिए 'k' विधि का उपयोग करने से गणना सरल हो जाती है, खासकर जब भुजाओं का अनुपात दिया गया हो। यह अनुपात के सटीक प्रतिनिधित्व को सुनिश्चित करता है।

Question 5. sec θ = \( \frac{13}{12} \), हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जहाँ कोण B समकोण (90 डिग्री) है और कोण A को θ माना गया है। कर्ण AC की लंबाई 13k और भुजा AB की लंबाई 12k के अनुपात में है, जिससे sec θ = 13/12 बनता है। भुजा BC की लंबाई अज्ञात है।
Answer: हलः माना समकोण ∆ABC में ∠B = 90° माना, ∠A = θ और \( \sec \theta = \frac{13}{12} \)
\( \implies \frac{AC}{AB} = \frac{13k}{12k} \) माना \( AC = 13k \) और \( AB = 12k \) अब समकोण △ ABC में, पाइथागोरस प्रमेय से, \( BC^2 = AC^2 - AB^2 \) \( BC^2 = (13k)^2 - (12k)^2 \) \( = (13k - 12k)(13k + 12k) = k(25k) = 25k^2 = (5k)^2 \)
\( \implies BC = \sqrt{(5k)^2} = 5k \) अब, \( \sin \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13} \) \( \cos \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13} \) \( \tan \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{5k}{12k} = \frac{5}{12} \) \( \operatorname{cosec} \theta = \frac{AC}{BC} = \frac{13k}{5k} = \frac{13}{5} \) \( \cot \theta = \frac{AB}{BC} = \frac{12k}{5k} = \frac{12}{5} \)
In simple words: sec θ के दिए गए मान का उपयोग करके, हमने त्रिभुज के कर्ण और आधार की लंबाई k के गुणज के रूप में निर्धारित की। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हमने तीसरी भुजा (लंब) ज्ञात की, और फिर सभी छह त्रिकोणमितीय अनुपातों की गणना की।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों को याद रखना और उन्हें सही भुजाओं से जोड़ना महत्वपूर्ण है। एक अनुपात से शुरू होकर अन्य सभी अनुपातों को प्राप्त करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय और व्युत्क्रम संबंधों का उपयोग करें।

Question 6. यदि ∠A और ∠B न्यून कोण हो, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जहाँ कोण C समकोण (90 डिग्री) है। कोण A और कोण B न्यून कोण हैं।
Answer: हलः माना समकोण △ ABC में \( \angle C = 90^\circ \) अब, \( \cos A = \frac{AC}{AB} \) और \( \cos B = \frac{BC}{AB} \) चूँकि \( \cos A = \cos B \) [ज्ञात है]
\( \implies \frac{AC}{AB} = \frac{BC}{AB} \)
\( \implies AC = BC \) अब, △ ABC में, दो भुजाएँ AC और BC समान है। अब, △ABC में समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान हैं।
\( \implies \angle A = \angle B \)
In simple words: cos A = cos B के दिए गए संबंध का उपयोग करके, हमने त्रिभुज की भुजाओं AC और BC को बराबर दिखाया। चूंकि एक त्रिभुज में समान भुजाओं के सामने वाले कोण भी समान होते हैं, इसलिए हमने निष्कर्ष निकाला कि कोण A और कोण B बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए एक समकोण त्रिभुज बनाना और cos के लिए आधार/कर्ण के अनुपात का सही ढंग से उपयोग करना महत्वपूर्ण है। ज्यामिति के मूल सिद्धांतों, जैसे समान भुजाओं के सामने वाले कोणों का उपयोग करें।

Question 7. यदि cot θ = \( \frac{7}{8} \), तो (i) \( \frac{(1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta)}{(1 + \cos \theta)(1 - \cos \theta)} \), (ii) \( \cot^2 \theta \) का मान निकालिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जहाँ कोण B समकोण (90 डिग्री) है और कोण A को θ माना गया है। भुजा AB की लंबाई 7k और भुजा BC की लंबाई 8k के अनुपात में है, जिससे cot θ = 7/8 बनता है। कर्ण AC की लंबाई \( \sqrt{113}k \) है।
Answer: हलः माना एक समकोण △ ABC, जिसमें \( \angle B = 90^\circ \) और \( \angle A = \theta \) \( \cot \theta = \frac{7}{8} \) [ज्ञात है] ...(1) परन्तु समकोण △ ABC में, \( \cot \theta = \frac{AB}{BC} \) ...(2) (1) और (2) से, \( \frac{AB}{BC} = \frac{7}{8} \)
\( \implies AB = 7k \) और \( BC = 8k \)
\( \implies AC^2 = AB^2 + BC^2 = (7k)^2 + (8k)^2 \) \( = 49k^2 + 64k^2 = 113k^2 = (\sqrt{113}k)^2 \)
\( \implies AC = \sqrt{113}k \) अब, \( \sin \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{8k}{\sqrt{113}k} = \frac{8}{\sqrt{113}} \) \( \cos \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{7k}{\sqrt{113}k} = \frac{7}{\sqrt{113}} \) (i) \( \frac{(1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta)}{(1 + \cos \theta)(1 - \cos \theta)} \) \( = \frac{1^2 - \sin^2 \theta}{1^2 - \cos^2 \theta} \) \( = \frac{1 - \left(\frac{8}{\sqrt{113}}\right)^2}{1 - \left(\frac{7}{\sqrt{113}}\right)^2} \) \( = \frac{1 - \frac{64}{113}}{1 - \frac{49}{113}} \)
\( \implies = \frac{\frac{113 - 64}{113}}{\frac{113 - 49}{113}} \) \( = \frac{49}{64} \) (ii) \( \cot^2 \theta = \left(\frac{AB}{BC}\right)^2 \) \( = \left(\frac{7}{8}\right)^2 = \frac{49}{64} \)
In simple words: cot θ के मान से, हमने एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात ज्ञात किए और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण की लंबाई निकाली। फिर sin θ और cos θ के मान प्राप्त किए। भाग (i) में, हमने बीजगणितीय सर्वसमिका \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) का उपयोग करके मानों को सरल किया, और भाग (ii) में सीधे cot θ का वर्ग किया।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, \( a^2 - b^2 \) जैसी बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग गणना को सरल बना सकता है। त्रिकोणमितीय अनुपातों के सही मानों को याद रखना और उन्हें सटीक रूप से प्रतिस्थापित करना महत्वपूर्ण है।

Question 8. यदि \( 3 \cot A = 4 \), तो जाँच कीजिए कि \( \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \cos^2 A - \sin^2 A \) है या नहीं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जहाँ कोण B समकोण (90 डिग्री) है और कोण A को θ माना गया है। भुजा AB की लंबाई 4k और भुजा BC की लंबाई 3k के अनुपात में है, जिससे cot A = 4/3 बनता है। कर्ण AC की लंबाई 5k है।
Answer: हलः माना समकोण △ ABC में \( \angle B = 90^\circ \) है, और \( \angle A = \theta \) \( 3 \cot A = 4 \) \( \cot A = \frac{4}{3} \) ...(1) परन्तु \( \cot A = \frac{\text{आधार}}{\text{लम्ब}} = \frac{AB}{BC} \) ...(2) (1) और (2) से, \( \frac{AB}{BC} = \frac{4}{3} \)
\( \implies AB = 4k \) और \( BC = 3k \) पाइथागोरस प्रमेय से, हमें प्राप्त होता है \( AC^2 = AB^2 + BC^2 = (4k)^2 + (3k)^2 \) \( = 16k^2 + 9k^2 = 25k^2 = (5k)^2 \)
\( \implies AC = 5k \) अब, \( \sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5} \) \( \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5} \) तथा \( \tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4} \) अब दिए गए समीकरण की जाँच करने के लिएः L.H.S. \( = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} \) \( = \frac{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2}{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2} \) \( = \frac{1 - \frac{9}{16}}{1 + \frac{9}{16}} \) \( = \frac{\frac{16 - 9}{16}}{\frac{16 + 9}{16}} = \frac{7}{25} \) ...(1) R.H.S. \( = \cos^2 A - \sin^2 A \) \( = \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 \) \( = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} \) \( = \frac{16 - 9}{25} = \frac{7}{25} \) ...(2) (1) और (2) से L.H.S. = R.H.S.
\( \implies \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \cos^2 A - \sin^2 A \).
In simple words: हमने cot A के दिए गए मान से त्रिभुज की भुजाओं को k के गुणज के रूप में पाया और कर्ण ज्ञात किया। फिर sin A, cos A और tan A के मान निकाले। अंत में, हमने दिए गए समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष में इन मानों को प्रतिस्थापित किया और दिखाया कि दोनों पक्ष बराबर हैं, जिससे समीकरण की सत्यता सिद्ध हुई।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सत्यापन प्रश्नों में, समीकरण के दोनों पक्षों को अलग-अलग हल करना और फिर परिणामों की तुलना करना सबसे अच्छा तरीका है। प्रत्येक त्रिकोणमितीय अनुपात के मान की सटीक गणना सुनिश्चित करें।

Question 9. त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C - sin A sin C
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जहाँ कोण B समकोण (90 डिग्री) है। भुजा AB की लंबाई \( \sqrt{3}k \) और भुजा BC की लंबाई \( 1k \) के अनुपात में है, जिससे tan A = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) बनता है। कर्ण AC की लंबाई 2k है।
Answer: हलः माना एक समकोण △ ABC में, \( \angle B = 90^\circ \) न्यून कोण A के लिएः आधार = AB, कर्ण = AC, लम्ब = BC \( \tan A = \frac{1}{\sqrt{3}} \) [ज्ञात है] ...(1) परन्तु, \( \tan A = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{BC}{AB} \) ...(2) (1) और (2) से हमें प्राप्त होता है: \( \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \implies AB = \sqrt{3}k \) और \( BC = 1k \) अब, पाइथागोरस प्रमेय से \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \) \( AC^2 = (\sqrt{3}k)^2 + (k)^2 \) \( = 3k^2 + k^2 = 4k^2 = 2k^2 \)
\( \implies AC = 2k \) अब, \( \sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} \) और \( \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) पुनः न्यूनकोण C के लिए आधार = BC, कर्ण = AC और लम्ब = AB \( \sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \cos C = \frac{BC}{AC} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} \) अब, दिए गए व्यंजकों से, हमें प्राप्त होता है: (i) \( \sin A \cos C + \cos A \sin C = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) \( = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \) (ii) \( \cos A \cos C - \sin A \sin C = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) \( = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0 \)
In simple words: tan A के दिए गए मान से, हमने त्रिभुज की भुजाओं को k के गुणज के रूप में निर्धारित किया और कर्ण ज्ञात किया। फिर हमने कोण A और C के लिए sin और cos के मान निकाले। अंत में, हमने इन मानों को दिए गए व्यंजकों में प्रतिस्थापित करके उनके मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों को हल करते समय, यह सुनिश्चित करने के लिए कि लंब और आधार सही हों, प्रत्येक कोण के संदर्भ में भुजाओं को सावधानीपूर्वक पहचानें। कोण A और कोण C के लिए अलग-अलग भुजाओं के अनुपात का ध्यान रखें।

Question 10. △PQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR = 25 सेमी. और PQ = 5 सेमी. है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समकोण त्रिभुज PQR को दर्शाता है, जहाँ कोण Q समकोण (90 डिग्री) है। भुजा PQ की लंबाई 5 सेमी है और PR + QR = 25 सेमी दिया गया है। भुजा PR को \( 25-x \) और QR को \( x \) के रूप में दर्शाया गया है।
Answer: हलः एक समकोण △ PQR में, \( \angle Q = 90^\circ \) है माना \( PR + QR = 25 \) सेमी. और \( PQ = 5 \) cm माना \( QR = x \) सेमी.
\( \implies PR = (25-x) \) पाइथागोरस प्रमेय से, हमें प्राप्त होता है: \( PR^2 = QR^2 + PQ^2 \) \( (25 - x)^2 = x^2 + 5^2 \) \( 625 - 50x + x^2 = x^2 + 25 \)
\( \implies -50x = 25 - 625 \) \( -50x = -600 \)
\( \implies x = \frac{-600}{-50} = 12 \) अर्थात् \( QR = 12 \) सेमी.
\( \implies PR = 25 - 12 = 13 \) सेमी. अब, हमें प्राप्त है किः \( \sin P = \frac{RQ}{RP} = \frac{12}{13} \) \( \cos P = \frac{PQ}{RP} = \frac{5}{13} \) \( \tan P = \frac{RQ}{PQ} = \frac{12}{5} \)
In simple words: हमने अज्ञात भुजाओं QR और PR को x के रूप में व्यक्त किया। फिर, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके x का मान ज्ञात किया, जिससे सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात हुई। अंत में, हमने कोण P के लिए sin P, cos P और tan P के मानों की गणना की।

🎯 Exam Tip: जब दो भुजाओं का योग दिया गया हो, तो एक भुजा को एक चर (जैसे x) और दूसरी को योग - x के रूप में व्यक्त करें। यह अज्ञात भुजाओं को हल करने और त्रिकोणमितीय अनुपातों को खोजने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने में मदद करेगा।

Question 11. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य । कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) tan A को मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = \( \frac{12}{5} \) है।
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = \( \frac{4}{3} \) है।
Answer: हलः (i) असत्यः [चूंकि, समकोण त्रिभुज में कर्ण के अतिरिक्त अन्य दो भुजाओं का अनुपात 1 के समान या असमान हो सकता है।] (ii) सत्यः [\( \cos A \) का मान सदैव 1 से कम होता है। अर्थात् \( \sec A \) का मान 1 से सदैव बड़ा होता है ।] (iii) असत्यः [cosine A को संक्षिप्त रूप 'cos A' होता है ।] (iv) असत्यः [अकेले 'cot' का कोई अर्थ नहीं है। cot A एक ही त्रिकोणमितीय अनुपात होता है ।] (v) असत्यः [sin θ का मान 1 से अधिक नहीं हो सकता, क्योंकि sin θ का अधिकतम मान 1 होता है।]
In simple words: हमने प्रत्येक कथन की सत्यता का मूल्यांकन त्रिकोणमिति के मूल सिद्धांतों और परिभाषाओं के आधार पर किया। tan A का मान 1 से कम या अधिक हो सकता है, sec A का मान हमेशा 1 से बड़ा या उसके बराबर होता है (या -1 से छोटा या उसके बराबर), cos A cosecant का संक्षिप्त रूप नहीं है, cot A गुणनफल नहीं है, और sin θ का मान कभी भी 1 से अधिक नहीं हो सकता।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों की परिभाषाओं और उनकी सीमाओं को समझना महत्वपूर्ण है। sin और cos का मान -1 और 1 के बीच होता है, जबकि sec और cosec का मान 1 से बड़ा या बराबर (या -1 से छोटा या बराबर) होता है। tan और cot का मान कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है।

Exercise 8.1 Class 10 Exercise 8.2 (NCERT Page 206)

Question 1. निम्नलिखित के मान निकालिएः
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° - sin² 60°
(iii) \( \frac{\cos 45^\circ}{\sec 30^\circ + \operatorname{cosec} 30^\circ} \)
(iv) \( \frac{\sin 30^\circ + \tan 45^\circ - \operatorname{cosec} 60^\circ}{\sec 30^\circ + \cos 60^\circ + \cot 45^\circ} \)
(v) \( \frac{5 \cos^2 60^\circ + 4 \sec^2 30^\circ – \tan^2 45^\circ}{\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ} \)
Answer: हल: (i) \( \sin 60^\circ \cos 30^\circ + \sin 30^\circ \cos 60^\circ \) चूँकि \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) और \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) \( \therefore \sin 60^\circ \cos 30^\circ + \sin 30^\circ \cos 60^\circ \) \( = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \) \( = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \) (ii) \( 2 \tan^2 45^\circ + \cos^2 30^\circ - \sin^2 60^\circ \) चूँकि \( \tan 45^\circ = 1 \), \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) और \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \therefore 2 \tan^2 45^\circ + \cos^2 30^\circ - \sin^2 60^\circ \) \( = 2(1)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \) \( = [2 \times 1] + \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 2 + 0 = 2 \) (iii) \( \frac{\cos 45^\circ}{\sec 30^\circ + \operatorname{cosec} 30^\circ} \) चूँकि \( \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \), \( \sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}} \) और \( \operatorname{cosec} 30^\circ = 2 \) \( \therefore \frac{\cos 45^\circ}{\sec 30^\circ + \operatorname{cosec} 30^\circ} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} + 2} \) \( = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} \) \( = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2 + 2\sqrt{3}} \) \( = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}(2 + 2\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}(1 + \sqrt{3})} \) \( = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}(1 + \sqrt{3})} \times \frac{\sqrt{2}(1 - \sqrt{3})}{\sqrt{2}(1 - \sqrt{3})} \) \( = \frac{\sqrt{6}(1 - \sqrt{3})}{2 \times 2 (1^2 - (\sqrt{3})^2)} \) \( = \frac{\sqrt{6}(1 - \sqrt{3})}{4 (1 - 3)} \) \( = \frac{\sqrt{6}(1 - \sqrt{3})}{4 (-2)} \) \( = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{18}}{-8} = \frac{\sqrt{18} - \sqrt{6}}{8} \) (iv) \( \frac{\sin 30^\circ + \tan 45^\circ - \operatorname{cosec} 60^\circ}{\sec 30^\circ + \cos 60^\circ + \cot 45^\circ} \) चूँकि \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), \( \tan 45^\circ = 1 \), \( \operatorname{cosec} 60^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}} \) और \( \sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}} \), \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), \( \cot 45^\circ = 1 \) \( \therefore \frac{\sin 30^\circ + \tan 45^\circ - \operatorname{cosec} 60^\circ}{\sec 30^\circ + \cos 60^\circ + \cot 45^\circ} \) \( = \frac{\frac{1}{2} + 1 - \frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2} + 1} \) \( = \frac{\frac{1+2}{2} - \frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1+2}{2}} \) \( = \frac{\frac{3}{2} - \frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{3}{2}} \) \( = \frac{\frac{3\sqrt{3} - 4}{2\sqrt{3}}}{\frac{4 + 3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}} \) \( = \frac{3\sqrt{3} - 4}{3\sqrt{3} + 4} \) \( = \frac{3\sqrt{3} - 4}{3\sqrt{3} + 4} \times \frac{3\sqrt{3} - 4}{3\sqrt{3} - 4} \) \( = \frac{(3\sqrt{3})^2 + (4)^2 - 2 \times 4 \times 3\sqrt{3}}{(3\sqrt{3})^2 - (4)^2} \) \( = \frac{27 + 16 - 24\sqrt{3}}{27 - 16} \) \( = \frac{43 - 24\sqrt{3}}{11} \) (v) \( \frac{5 \cos^2 60^\circ + 4 \sec^2 30^\circ – \tan^2 45^\circ}{\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ} \) हमें प्राप्त है: \( = \frac{5 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4 \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - (1)^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \) \( = \frac{5 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{4}{3} - 1}{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \) \( = \frac{\frac{5}{4} + \frac{16}{3} - 1}{\frac{1+3}{4}} \) \( = \frac{\frac{15 + 64 - 12}{12}}{\frac{4}{4}} \) \( = \frac{\frac{67}{12}}{1} = \frac{67}{12} \)
In simple words: हमने प्रत्येक त्रिकोणमितीय अनुपात के मानक कोणों के मानों को प्रतिस्थापित किया। भाग (i) और (ii) में सीधे गणना की गई। भाग (iii) और (iv) में हर से अपरिमेय संख्या हटाने के लिए परिमेयकरण का उपयोग किया गया। भाग (v) में, हमने मानों को प्रतिस्थापित किया और भिन्न को सरल बनाया, यह ध्यान में रखते हुए कि हर \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) है।

🎯 Exam Tip: मानक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानों को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है। परिमेयकरण (rationalization) जैसे बीजगणितीय तकनीकों को सही ढंग से लागू करना सुनिश्चित करें, खासकर जब हर में अपरिमेय संख्याएँ हों।

Question 2. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए :
(i) \( \frac{2 \tan 30^\circ}{1 + \tan^2 30^\circ} \)
(A) sin 60° (B) cos 60° (C) tan 60° (D) sin 30°
(ii) \( \frac{1 - \tan^2 45^\circ}{1 + \tan^2 45^\circ} \)
(A) tan 90° (B) 1 (C) sin 45° (D) 0
(iii) sin 2A = 2 sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है:
(A) 0° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
(iv) \( \frac{2 \tan 30^\circ}{1 - \tan^2 30^\circ} \)
(A) cos 60° (B) sin 60° (C) tan 60° (D) sin 30°
Answer: हलः (i) \( \frac{2 \tan 30^\circ}{1 + \tan^2 30^\circ} \) \( = \frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \) \( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{3}} \) \( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3+1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}} \) \( = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( = \sin 60^\circ \) अतः विकल्प (A) सही है। (ii) \( \frac{1 - \tan^2 45^\circ}{1 + \tan^2 45^\circ} \) \( = \frac{1 - (1)^2}{1 + (1)^2} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0 \) अतः विकल्प (D) सही है। (iii) जब \( A = 0^\circ \) हो, तो हमें प्राप्त होता है: \( \sin 2A = \sin 2(0^\circ) = \sin 0^\circ = 0 \) \( 2 \sin A = 2 \sin 0^\circ = 2 \times 0 = 0 \) i.e., \( \sin 2A = 2 \sin A \) for \( A = 0^\circ \) अतः विकल्प (A) सही है। (iv) \( \frac{2 \tan 30^\circ}{1 - \tan^2 30^\circ} \) \( = \frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \) \( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \) \( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3-1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \) \( = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \) \( = \tan 60^\circ \) अतः विकल्प (C) सही है।
In simple words: प्रत्येक बहुविकल्पीय प्रश्न में, हमने दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजकों में मानक कोणों के मानों को प्रतिस्थापित किया और परिणामों की गणना की। फिर, परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से की और सही विकल्प का चयन किया। कुछ मामलों में, हमने सर्वसमिकाओं (जैसे \( \sin 2A = 2 \sin A \cos A \) या \( \tan 2A = \frac{2 \tan A}{1-\tan^2 A} \)) का भी उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: बहुविकल्पीय प्रश्नों में समय बचाने के लिए मानक कोणों के त्रिकोणमितीय मानों और कुछ बुनियादी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को याद रखना फायदेमंद होता है। विकल्पों को हल करके भी सही उत्तर तक पहुंचा जा सकता है।

Question 3. यदि \( \tan (A + B) = \sqrt{3} \) और \( \tan (A - B) = \frac{1}{\sqrt{3}} \); \( 0^\circ < A + B \le 90^\circ \); \( A > B \) तो \( A \) और \( B \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः तालिका से, हमें प्राप्त होता है: \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \) ...(1) चूंकि \( \tan (A + B) = \sqrt{3} \) [ज्ञात है] ...(2) (1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है। \( A + B = 60^\circ \) .........(3) इसी प्रकार, \( \tan (A - B) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) तालिका से, हमें प्राप्त होता है: \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \) \( A - B = 30^\circ \) .......... (4) (3) और (4) को जोड़ने पर, \( 2A = 90^\circ \)
\( \implies A = 45^\circ \) (3) में से (4) को घटाने पर, \( 2B = 30^\circ \)
\( \implies B = 15^\circ \)
In simple words: हमने \( \tan (A+B) \) और \( \tan (A-B) \) के दिए गए मानों को त्रिकोणमितीय तालिका में संगत कोणों से मिलाया, जिससे A+B और A-B के लिए दो रैखिक समीकरण प्राप्त हुए। इन दोनों समीकरणों को हल करके हमने A और B के मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक कोणों के मानों को याद रखना महत्वपूर्ण है। दो चरों वाले रैखिक समीकरणों को हल करने की बीजगणितीय विधि का उपयोग करें।

Question 4. बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए ।
(i) \( \sin (A + B) = \sin A + \sin B \).
(ii) \( \theta \) में वृद्धि होने के साथ \( \sin \theta \) के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) \( \theta \) में वृद्धि होने के साथ \( \cos \theta \) के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) \( \theta \) के सभी मानों पर \( \sin \theta = \cos \theta \)
(v) \( A = 0^\circ \) पर \( \cot A \) परिभाषित नहीं है।
Answer: हलः (i) असत्य माना \( A = 30^\circ \) और \( B = 60^\circ \) L.H.S. \( = \sin (30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1 \) R.H.S. \( = \sin 30^\circ + \sin 60^\circ = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \) L.H.S. \( \ne \) R.H.S. कथन “\( \sin (A+B) = \sin A + \sin B \)” असत्य है। (ii) सत्य चूँकि “जब \( \theta \) का मान \( 0^\circ \) से \( 90^\circ \) तक बढ़ता है तो \( \sin \theta \) का मान 0 से 1 तक बढ़ता है।” दिया गया कथन सही है। (iii) असत्य चूँकि “जब \( \theta \) का माप \( 0^\circ \) से \( 90^\circ \) तक बढ़ता है, तो \( \cos \theta \) का मान 1 से 0 तक घटता है।” दिया गया कथन असत्य है। (iv) असत्य माना \( \theta = 30^\circ \) है। तालिका से हमें प्राप्त होता है: \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) और \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \sin 30^\circ \ne \cos 30^\circ \) अतः दिया गया कथन असत्य है। (v) सत्य तालिका से हमें प्राप्त है: \( \cot 0^\circ = \) अपरिभाषित अतः दिया गया कथन सत्य है।
In simple words: हमने प्रत्येक कथन की सत्यता की जाँच विशिष्ट कोण मानों का उपयोग करके या त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों के आधार पर की। \( \sin (A+B) \ne \sin A + \sin B \)। \( \sin \theta \) का मान \( 0^\circ \) से \( 90^\circ \) तक बढ़ता है, जबकि \( \cos \theta \) का मान घटता है। \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) केवल \( 45^\circ \) पर बराबर होते हैं, और \( \cot 0^\circ \) अपरिभाषित होता है।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़िकल व्यवहार और विशेष मानों को याद रखें। \( 0^\circ \) से \( 90^\circ \) तक \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के मानों में होने वाले परिवर्तनों को समझना महत्वपूर्ण है। प्रति उदाहरणों का उपयोग करके असत्य कथनों को सिद्ध करें।

Exercise 8.1 Class 10 Exercise 8.3 (NCERT Page 209)

Question 1. निम्नलिखित का मान निकालिएः
(i) \( \frac{\sin 18^\circ}{\cos 72^\circ} \)
(ii) \( \frac{\tan 26^\circ}{\cot 64^\circ} \)
(iii) \( \cos 48^\circ – \sin 42^\circ \)
(iv) \( \operatorname{cosec} 31^\circ – \sec 59^\circ \)
Answer: हल: (i) \( \frac{\sin 18^\circ}{\cos 72^\circ} \) चूँकि \( \sin (90^\circ - A) = \cos A \) \( \sin 18^\circ = \sin (90^\circ - 72^\circ) \)
\( \implies \sin 18^\circ = \cos 72^\circ \) अब, \( \frac{\sin 18^\circ}{\cos 72^\circ} = \frac{\cos 72^\circ}{\cos 72^\circ} = 1 \) (ii) \( \frac{\tan 26^\circ}{\cot 64^\circ} \) हमें प्राप्त है: \( \tan 26^\circ = \tan (90^\circ - 64^\circ) = \cot 64^\circ \) [\( \tan (90^\circ - A) = \cot A \)] \( \therefore \frac{\tan 26^\circ}{\cot 64^\circ} = \frac{\cot 64^\circ}{\cot 64^\circ} = 1 \) (iii) \( \cos 48^\circ – \sin 42^\circ \) हल: \( \cos 48^\circ – \sin 42^\circ \)
\( \implies \sin(90^\circ – 48^\circ) – \sin 42^\circ \)
\( \implies \sin 42^\circ – \sin 42^\circ = 0 \) (iv) \( \operatorname{cosec} 31^\circ – \sec 59^\circ \) हल: \( \operatorname{cosec} 31^\circ – \sec 59^\circ \)
\( \implies \sec (90^\circ – 31^\circ) – \sec 59^\circ \) [ \( \operatorname{cosec} q = \sec (90^\circ – q) \) ]
\( \implies \sec 59^\circ – \sec 59^\circ = 0 \)
In simple words: हमने पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों की पहचान की। उदाहरण के लिए, \( \sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta \) और \( \tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta \)। इन सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हमने प्रत्येक व्यंजक को सरल बनाया और उनके मान निकाले।

🎯 Exam Tip: पूरक कोणों के संबंधों को समझना इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने की कुंजी है। याद रखें कि \( \sin \) और \( \cos \), \( \tan \) और \( \cot \), और \( \sec \) और \( \operatorname{cosec} \) एक दूसरे के पूरक हैं।

Question 2. मान निकालिएः
(i) \( \tan 48^\circ \tan 23^\circ \tan 42^\circ \tan 67^\circ = 1 \)
(ii) \( \cos 38^\circ \cos 52^\circ – \sin 38^\circ \sin 52^\circ = 0 \)
Answer: हल: (i) L.H.S. \( = \tan 48^\circ \tan 23^\circ \tan 42^\circ \tan 67^\circ \) \( = \tan (90^\circ - 42^\circ) \tan 23^\circ \tan 42^\circ \tan (90^\circ - 23^\circ) \) \( = \cot 42^\circ \tan 23^\circ \tan 42^\circ \cot 23^\circ \) [\( \tan (90^\circ - A) = \cot A \)] \( = \frac{1}{\tan 42^\circ} \times \tan 23^\circ \times \tan 42^\circ \times \frac{1}{\tan 23^\circ} \) [ \( \cot A = \frac{1}{\tan A} \) ] \( = 1 = \text{R.H.S.} \) इस प्रकार, \( \tan 48^\circ \tan 23^\circ \tan 42^\circ \tan 67^\circ = 1 \) (ii) चूँकि L.H.S. \( = \cos 38^\circ \cos 52^\circ - \sin 38^\circ \sin 52^\circ \) \( = \cos 38^\circ \cos (90^\circ - 38^\circ) - \sin 38^\circ \sin (90^\circ - 38^\circ) \) \( = \cos 38^\circ \sin 38^\circ - \sin 38^\circ \cos 38^\circ \) [ \( \sin (90^\circ - A) = \cos A \) and \( \cos (90^\circ - A) = \sin A \) ] \( = 0 = \text{R.H.S.} \) इस प्रकार, \( \cos 38^\circ \cos 52^\circ - \sin 38^\circ \sin 52^\circ = 0 \)
In simple words: हमने पूरक कोणों की सर्वसमिकाओं (जैसे \( \tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta \) और \( \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta \)) का उपयोग करके दिए गए व्यंजकों को सरल बनाया। पहले भाग में, हमने \( \tan \theta \) और \( \cot \theta \) के गुणनफल का उपयोग करके मान को 1 सिद्ध किया, जबकि दूसरे भाग में, हमने समान पदों को रद्द करके मान को 0 सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: पूरक कोणों की सर्वसमिकाओं को याद रखें। जब कोणों का योग 90° हो, तो उनका उपयोग करें। \( \tan \theta \cot \theta = 1 \) और \( \sin \theta = \cos (90^\circ - \theta) \) जैसे संबंधों का उपयोग करके गणना को सरल बनाएं।

Question 3. यदि \( \tan 2A = \cot (A – 18^\circ) \), जहाँ \( 2A \) एक न्यूनकोण है, तो \( A \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: \( \tan 2A = \cot (A – 18^\circ) \)
\( \implies \cot (90^\circ – 2A) = \cot(A – 18^\circ) \) दोनों पक्षों में तुलना करने पर
\( \implies 90^\circ – 2A = A - 18^\circ \)
\( \implies 90^\circ + 18^\circ = A + 2A \)
\( \implies 3A = 108^\circ \)
\( \implies A = 36^\circ \)
In simple words: हमने \( \tan \) को \( \cot \) में बदलने के लिए पूरक कोण की सर्वसमिका \( \tan \theta = \cot (90^\circ - \theta) \) का उपयोग किया। फिर, दोनों पक्षों पर \( \cot \) फलन को हटाकर एक रैखिक समीकरण बनाया और \( A \) का मान ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, दोनों पक्षों पर त्रिकोणमितीय फलन को समान बनाने के लिए पूरक कोणों की सर्वसमिकाओं का उपयोग करना महत्वपूर्ण है। फिर कोणों को बराबर करके एक बीजगणितीय समीकरण हल करें।

Question 4. यदि \( \tan A = \cot B \), तो सिद्ध कीजिए कि \( A + B = 90^\circ \).
Answer: हल: \( \tan A = \cot B \) दिया है ।
\( \implies \tan A = \tan (90^\circ – B) \) तुलना करने पर
\( \implies A = 90^\circ – B \)
\( \implies A + B = 90^\circ \) Proved.
In simple words: हमने \( \cot B \) को \( \tan (90^\circ - B) \) में बदलने के लिए पूरक कोण की सर्वसमिका का उपयोग किया। फिर, \( \tan A = \tan (90^\circ - B) \) से दोनों कोणों को बराबर किया और \( A + B = 90^\circ \) सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पूरक कोणों के संबंधों को समझना आवश्यक है। एक त्रिकोणमितीय फलन को उसके पूरक के रूप में व्यक्त करके आप समीकरण को सरल बना सकते हैं।

Question 5. यदि \( \sec 4A = \operatorname{cosec}(A – 20^\circ) \), जहाँ \( 4A \) एक न्यूनकोण है, तो \( A \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: \( \sec 4A = \operatorname{cosec}(A – 20^\circ) \)
\( \implies \operatorname{cosec} (90^\circ – 4A) = \operatorname{cosec}(A – 20^\circ) \) [ \( \sec q = \operatorname{cosec} (90^\circ – q) \) ] तुलना करने पर
\( \implies 90^\circ – 4A = A - 20^\circ \)
\( \implies 90^\circ + 20^\circ = A + 4A \)
\( \implies 5A = 110^\circ \)
\( \implies A = 22^\circ \)
In simple words: हमने \( \sec 4A \) को \( \operatorname{cosec} (90^\circ - 4A) \) में बदलने के लिए पूरक कोण की सर्वसमिका का उपयोग किया। फिर, \( \operatorname{cosec} \) फलन को दोनों पक्षों से हटाकर एक रैखिक समीकरण बनाया और \( A \) का मान ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: जब \( \sec \) और \( \operatorname{cosec} \) जैसे पूरक फलन बराबर हों, तो उनके कोणों का योग \( 90^\circ \) होगा। इस संपत्ति का उपयोग करके आप \( A \) के लिए एक समीकरण स्थापित कर सकते हैं और उसे हल कर सकते हैं।

Question 6. यदि \( A, B \) और \( C \) त्रिभुज \( ABC \) के अंतःकोण हों, तो दिखाइए किः \( \sin \left(\frac{B+C}{2}\right) = \cos \frac{A}{2} \).
Answer: हलः चूँकि △ABC में, \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
\( \implies \angle B + \angle C = (180^\circ - \angle A) \) दोनों ओर 2 से भाग करने पर, \( \frac{B+C}{2} = \frac{180^\circ - A}{2} \)
\( \implies \frac{B+C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2} \)
\( \implies \sin \left(\frac{B+C}{2}\right) = \sin \left(90^\circ - \frac{A}{2}\right) \) \( = \cos \frac{A}{2} \) [ \( \sin 90^\circ - \theta = \cos \theta \) ]
In simple words: हमने त्रिभुज के कोणों के योग के नियम का उपयोग किया कि \( A+B+C=180^\circ \)। फिर, \( B+C \) को \( 180^\circ - A \) के रूप में व्यक्त किया और दोनों पक्षों को 2 से भाग दिया। अंत में, दोनों पक्षों पर \( \sin \) फलन लगाया और पूरक कोण की सर्वसमिका \( \sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta \) का उपयोग करके परिणाम सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए त्रिभुज के कोण योग गुण और पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय संबंधों का सही ढंग से उपयोग करना महत्वपूर्ण है। \( \frac{A}{2}, \frac{B}{2}, \frac{C}{2} \) वाले व्यंजकों को ध्यान से हल करें।

Question 1. त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए ।
Answer:
(a) sin A = \( \frac{1}{\text{cosec A}} \) \( \implies \) \( \text{sin A} = \frac{1}{\sqrt{\text{cosec}^2 \text{A}}} \) \( \implies \) \( \text{sin A} = \frac{1}{\sqrt{1 + \text{cot}^2 \text{A}}} \)
(b) पुनः sec A = \( \sqrt{\text{sec}^2 \text{A}} = \sqrt{1 + \text{tan}^2 \text{A}} \) \( \implies \) \( \sqrt{1 + \frac{1}{\text{cot}^2 \text{A}}} = \sqrt{\frac{\text{cot}^2 \text{A} + 1}{\text{cot}^2 \text{A}}} \)
(c) tan A = \( \frac{1}{\text{cot A}} \)
In simple words: To express trigonometric ratios in terms of cot A, we use fundamental identities like \( \sin A = 1/\text{cosec A} \), \( \text{cosec A} = \sqrt{1+\text{cot}^2 A} \), and \( \text{sec A} = \sqrt{1+\text{tan}^2 A} = \sqrt{1+1/\text{cot}^2 A} \).

🎯 Exam Tip: Mastering the fundamental trigonometric identities is crucial for converting one ratio into another. Practice these conversions thoroughly for quick recall during exams.

Question 2. ∠ A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।
Answer:
(a) sin A = \( \frac{\text{sin A}}{1} = \frac{\text{sin A} \div \text{cos A}}{1 \div \text{cos A}} = \frac{\text{tan A}}{\text{sec A}} \) \( \implies \) \( \frac{\sqrt{\text{tan}^2 \text{A}}}{\text{sec A}} = \frac{\sqrt{\text{sec}^2 \text{A}-1}}{\text{sec A}} \)..(1)
(b) cos A = \( \frac{1}{\text{sec A}} \)
(c) tan A = \( \sqrt{\text{tan}^2 \text{A}} = \sqrt{\text{sec}^2 \text{A}-1} \)
(d) cosec A = \( \frac{1}{\text{sin A}} \) \( \implies \) \( \frac{1}{\frac{\sqrt{\text{sec}^2 \text{A}-1}}{\text{sec A}}} \) \( \implies \) \( \frac{\text{sec A}}{\sqrt{\text{sec}^2 \text{A}-1}} \) (1) से
(e) cot A = \( \frac{1}{\text{tan A}} \) \( \implies \) \( \frac{1}{\sqrt{\text{sec}^2 \text{A}-1}} \) (2) से
In simple words: To express all other trigonometric ratios in terms of sec A, we use identities involving sec A such as \( \text{cos A} = 1/\text{sec A} \) and \( \text{tan}^2 \text{A} = \text{sec}^2 \text{A} - 1 \).

🎯 Exam Tip: Remember the Pythagorean identity \( \text{sec}^2 A - \text{tan}^2 A = 1 \). This identity is fundamental for converting between secant and tangent, and subsequently to other ratios.

Question 3. मान निकालिएः
Answer:
(i) \( \frac{\sin^2 63^\circ + \sin^2 27^\circ}{\cos^2 17^\circ + \cos^2 73^\circ} \)
हल: (i) चूँकि \( \sin 63^\circ = \sin (90^\circ-27^\circ) = \cos 27^\circ \)
पुनः \( \cos 73^\circ = \cos (90^\circ-17^\circ) = \sin 17^\circ \)
∴ \( \frac{\sin^2 63^\circ + \sin^2 27^\circ}{\cos^2 17^\circ + \cos^2 73^\circ} = \frac{\cos^2 27^\circ + \sin^2 27^\circ}{\cos^2 17^\circ + \sin^2 17^\circ} = \frac{1}{1} = 1 \) [\( \cos^2 A + \sin^2 A = 1 \)]
(ii) \( \sin 25^\circ \cos 65^\circ + \cos 25^\circ \sin 65^\circ \)
चूँकि \( \sin 25^\circ = \sin (90^\circ-65^\circ) = \cos 65^\circ \) [\( \sin (90^\circ - A) = \cos A \)]
और \( \cos 25^\circ = \cos (90^\circ-65^\circ) = \sin 65^\circ \) [\( \cos (90^\circ - A) = \sin A \)]
∴ \( \sin 25^\circ \cos 65^\circ + \cos 25^\circ \sin 65^\circ = \cos 65^\circ \cos 65^\circ + \sin 65^\circ \sin 65^\circ = (\cos 65^\circ)^2 + (\sin 65^\circ)^2 \)
\( = \cos^2 65^\circ + \sin^2 65^\circ = 1 \) [\( \cos^2 A + \sin^2 A = 1 \)]
In simple words: These problems demonstrate using complementary angle identities (like \( \sin(90^\circ - A) = \cos A \)) and the fundamental Pythagorean identity \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \) to simplify trigonometric expressions.

🎯 Exam Tip: Recognize complementary angles (angles summing to 90 degrees) to simplify expressions. The identity \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \) is a cornerstone for many simplification problems.

Question 4(i). 9 sec² A-9 tan² A बराबर है:
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 0
Answer: (B) 9
हल: (i) चूँकि \( 9 \text{sec}^2 \text{A}- 9 \text{tan}^2 \text{A} \)
\( = 9 (\text{sec}^2 \text{A}-\text{tan}^2 \text{A}) \)
\( = 9 (1) = 9 \) [\( \text{sec}^2 \text{A}-\text{tan}^2 \text{A} = 1 \)]
अतः विकल्प (B) सही है।
In simple words: By factoring out 9 and applying the trigonometric identity \( \text{sec}^2 A - \text{tan}^2 A = 1 \), the expression simplifies to 9.

🎯 Exam Tip: Always look for common factors and apply Pythagorean identities (like \( \text{sec}^2 A - \text{tan}^2 A = 1 \)) to simplify expressions, which often leads to a direct answer in MCQs.

Question 4(ii). (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ - cosec θ) बराबर है:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D)-1
Answer: (C) 2
(ii) यहाँ \( (1 + \text{tan} \theta + \text{sec} \theta) (1 + \text{cot} \theta - \text{cosec} \theta) \)
\( = (1 + \text{tan} \theta + \text{sec} \theta) \left(1+ \frac{1}{\text{tan} \theta} - \frac{\text{cosec} \theta}{\text{tan} \theta}\right) \)
\( = (1 + \text{tan} \theta + \text{sec} \theta) \left(\frac{\text{tan} \theta+1 - \text{tan} \theta \text{cosec} \theta}{\text{tan} \theta}\right) \)
\( = \frac{(1+\text{tan} \theta + \text{sec} \theta) [\text{tan} \theta + 1 - \text{sec} \theta]}{\text{tan} \theta} \) [\( \text{tan} \theta \cdot \text{cosec} \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{\cos \theta} = \text{sec} \theta \)]
\( = \frac{(1 + \text{tan} \theta)^2 - \text{sec}^2 \theta}{\text{tan} \theta} \)
\( = \frac{1+ \text{tan}^2 \theta + 2 \text{tan} \theta-\text{sec}^2 \theta}{\text{tan} \theta} \)
\( = \frac{1+2 \text{tan} \theta- (\text{sec}^2 \theta - \text{tan}^2 \theta)}{\text{tan} \theta} \)
\( = \frac{1+2 \text{tan} \theta-1}{\text{tan} \theta} = \frac{2 \text{tan} \theta}{\text{tan} \theta} = 2 \)
इस प्रकार विकल्प (C) सही है।
In simple words: This problem is solved by converting all terms into tangent and secant, then using the identity \( \text{sec}^2 \theta - \text{tan}^2 \theta = 1 \) to simplify the expression, ultimately resulting in 2.

🎯 Exam Tip: When dealing with expressions involving multiple trigonometric ratios, converting them to sine and cosine or tangent and secant (if convenient) often helps simplify the problem. Look for identities like \( (A+B)(A-B) = A^2-B^2 \).

Question 4(iii). (sec A + tan A) (1 – sin A) बराबर है:
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A
Answer: (D) cos A
(iii) हमें प्राप्त है: \( (\text{sec A} + \text{tan A}) (1 – \text{sin A}) \)
\( = \left(\frac{1}{\cos \text{A}} + \frac{\sin \text{A}}{\cos \text{A}}\right) (1-\text{sin A}) \)
\( = \frac{(1+\sin \text{A}) (1 - \sin \text{A})}{\cos \text{A}} \)
\( = \frac{1^2- \sin^2 \text{A}}{\cos \text{A}} = \frac{\cos^2 \text{A}}{\cos \text{A}} = \cos \text{A} \) [\( 1- \sin^2 \text{A} = \cos^2 \text{A} \)]
इस प्रकार विकल्प (D) सही है।
In simple words: By converting sec A and tan A to sine and cosine, and then simplifying using the identity \( 1 - \sin^2 A = \cos^2 A \), the expression simplifies to cos A.

🎯 Exam Tip: Converting all trigonometric ratios to their sine and cosine forms is a powerful strategy for simplifying complex expressions. This often reveals opportunities to apply Pythagorean identities.

Question 4(iv). \( \frac{1 + \tan^2 A}{1 + \cot^2 A} \) बराबर है:
(A) sec² A
(B)-1
(C) cot² A
(D) tan² A
Answer: (D) tan² A
(iv) यहाँ, \( \frac{1 + \tan^2 \text{A}}{1 + \cot^2 \text{A}} = \frac{1 + \tan^2 \text{A}}{1 + \frac{1}{\tan^2 \text{A}}} \)
\( = \frac{1 + \tan^2 \text{A}}{\frac{\tan^2 \text{A} + 1}{\tan^2 \text{A}}} \)
\( = (1 + \tan^2 \text{A}) \times \frac{\tan^2 \text{A}}{(1 + \tan^2 \text{A})} \)
\( = \tan^2 \text{A} \)
अतः विकल्प (D) सही है।
In simple words: Using the identity \( \cot^2 A = 1/\tan^2 A \) and simplifying the complex fraction leads directly to \( \tan^2 A \).

🎯 Exam Tip: Simplify expressions by converting cotangent to tangent (or vice-versa) using reciprocal identities. Recognizing the form \( \frac{A}{1+1/A} \) can quickly lead to \( A \). Alternatively, directly use \( 1 + \tan^2 A = \text{sec}^2 A \) and \( 1 + \cot^2 A = \text{cosec}^2 A \), then convert to sine/cosine.

Question 5. निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण है :

Question 5(i). \( (\text{cosec} \theta - \text{cot} \theta)^2 = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} \)
Answer:
हल: (i) L.H.S. \( = (\text{cosec} \theta - \text{cot} \theta)^2 \)
\( = \left(\frac{1}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^2 \)
\( = \frac{(1-\cos \theta)^2}{\sin^2 \theta} \)
\( = \frac{(1-\cos \theta)^2}{1-\cos^2 \theta} \) [\( \sin^2 \theta = 1-\cos^2 \theta \)]
\( = \frac{(1-\cos \theta) (1 - \cos \theta)}{(1-\cos \theta) (1 + \cos \theta)} \) [\( a^2-b^2 = (a - b) (a + b) \)]
\( = \frac{1-\cos \theta}{1 + \cos \theta} = \text{R.H.S.} \)
In simple words: This identity is proven by converting cosec θ and cot θ into sine and cosine, then simplifying the expression using the Pythagorean identity \( \sin^2 \theta = 1-\cos^2 \theta \) and factoring the denominator.

🎯 Exam Tip: When proving identities, starting with the more complex side and converting all terms to sine and cosine is a reliable strategy. Look for opportunities to apply \( a^2-b^2 \) factoring.

Question 5(ii). \( \frac{\cos A}{1 + \sin A} + \frac{1 + \sin A}{\cos A} = 2 \sec A \)
Answer:
(ii) L.H.S. \( = \frac{\cos A}{1 + \sin A} + \frac{1 + \sin A}{\cos A} \)
\( = \frac{\cos^2 A + (1 + \sin A)^2}{(1 + \sin A) \cos A} \)
\( = \frac{\cos^2 A + 1 + \sin^2 A + 2 \sin A}{(1 + \sin A) \cos A} \)
\( = \frac{(\cos^2 A + \sin^2 A) + 1 + 2 \sin A}{(1 + \sin A) \cos A} \)
\( = \frac{1+1+2 \sin A}{(1+\sin A) \cos A} \) [\( \cos^2 A + \sin^2 A = 1 \)]
\( = \frac{2 + 2 \sin A}{(1+\sin A) \cos A} \)
\( = \frac{2(1 + \sin A)}{\cos A (1 + \sin A)} \)
\( = \frac{2}{\cos A} = 2 \sec A = \text{R.H.S.} \)
In simple words: The identity is proven by taking the common denominator, expanding the square, and using the Pythagorean identity \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \) to simplify the numerator, leading to the right-hand side.

🎯 Exam Tip: For sum/difference of fractions, find a common denominator. Expanding squared binomials (like \( (1+\sin A)^2 \)) and then applying \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \) is a common step.

Question 5(iii). \( \frac{\tan \theta}{1 - \cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1 - \tan \theta} = 1 + \sec \theta \text{cosec} \theta \)
Answer:
(iii) L.H.S. \( = \frac{\tan \theta}{1 - \cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1 - \tan \theta} \)
\( = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1 - \frac{\cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1 - \frac{\sin \theta}{\cos \theta}} \)
\( = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta}} \)
\( = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\sin \theta}{\sin \theta - \cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{\cos \theta}{\cos \theta - \sin \theta} \)
\( = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta (\sin \theta - \cos \theta)} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta (\cos \theta - \sin \theta)} \)
\( = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta (\sin \theta - \cos \theta)} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta (\sin \theta - \cos \theta)} \)
\( = \frac{1}{(\sin \theta - \cos \theta)} \left[\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}\right] \)
\( = \frac{1}{(\sin \theta - \cos \theta)} \left[\frac{\sin^3 \theta - \cos^3 \theta}{\sin \theta \cos \theta}\right] \)
\( = \frac{(\sin \theta - \cos \theta) (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta)}{(\sin \theta - \cos \theta) \sin \theta \cos \theta} \)
\( = \frac{1 + \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \) [\( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)]
\( = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( = \text{cosec} \theta \cdot \sec \theta + 1 \)
∴ L.H.S. = R.H.S.
In simple words: This proof involves converting all tangent and cotangent terms to sine and cosine, simplifying fractions, finding a common denominator, and then applying the \( a^3-b^3 \) factorization and the Pythagorean identity \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \).

🎯 Exam Tip: For expressions involving both tangent and cotangent, converting to sine and cosine is usually the best approach. Remember the factorization \( a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \).

Question 5(iv). \( \frac{1 + \sec A}{\sec A} = \frac{\sin^2 A}{1 - \cos A} \)
Answer:
(iv) L.H.S. \( = \frac{1 + \sec A}{\sec A} \)
\( = \frac{1 + \frac{1}{\cos A}}{\frac{1}{\cos A}} \)
\( = \frac{\frac{\cos A + 1}{\cos A}}{\frac{1}{\cos A}} \)
\( = \cos A + 1 \)
\( = (1 + \cos A) \times \frac{(1 - \cos A)}{(1 - \cos A)} \) [\( (1 - \cos A) \) से गुणा और भाग करने पर ]
\( = \frac{1 - \cos^2 A}{1 - \cos A} \)
\( = \frac{\sin^2 A}{1 - \cos A} \) [\( 1 - \cos^2 A = \sin^2 A \)]
∴ L.H.S. = R.H.S.
In simple words: This identity is proven by simplifying the left-hand side by converting sec A to cos A, then multiplying the numerator and denominator by \( (1-\cos A) \) to use the \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) identity and \( 1-\cos^2 A = \sin^2 A \).

🎯 Exam Tip: When the target expression has terms like \( (1-\cos A) \) or \( (1+\sin A) \), consider multiplying by its conjugate to use the \( a^2-b^2 \) identity and connect to \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).

Question 5(v). सर्वसमिका cosec² A = 1 + cot² A को लागू करके \( \frac{\cos A - \sin A + 1}{\cos A + \sin A - 1} = \text{cosec A} + \cot A \)
Answer:
(v) L.H.S \( = \frac{\cos A - \sin A + 1}{\cos A + \sin A - 1} \)
'अंश' और 'हर' के प्रत्येक पद को \( \sin A \) से भाग करने पर,
\( = \frac{\frac{\cos A}{\sin A} - \frac{\sin A}{\sin A} + \frac{1}{\sin A}}{\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\sin A}{\sin A} - \frac{1}{\sin A}} \)
\( = \frac{\cot A - 1 + \text{cosec A}}{\cot A + 1 - \text{cosec A}} \)
\( = \frac{(\cot A + \text{cosec A}) - 1}{(\cot A - \text{cosec A}) + 1} \)
\( = \frac{(\cot A + \text{cosec A}) - (\text{cosec}^2 A - \cot^2 A)}{(\cot A - \text{cosec A}) + 1} \) [\( \text{cosec}^2 A - \cot^2 A = 1 \)]
\( = \frac{(\cot A + \text{cosec A}) - (\text{cosec A} - \cot A) (\text{cosec A} + \cot A)}{(\cot A - \text{cosec A}) + 1} \)
\( = \frac{(\cot A + \text{cosec A}) [1 - (\text{cosec A} - \cot A)]}{(\cot A - \text{cosec A}) + 1} \)
\( = \frac{(\cot A + \text{cosec A}) [1 - \text{cosec A} + \cot A]}{(\cot A - \text{cosec A}) + 1} \)
\( = \cot A + \text{cosec A} = \text{R.H.S.} \)
In simple words: This proof involves dividing the numerator and denominator by \( \sin A \) to transform the expression into cot A and cosec A, then applying the identity \( \text{cosec}^2 A - \cot^2 A = 1 \) and factoring \( (a^2-b^2) \) to simplify.

🎯 Exam Tip: When the identity involves cosec and cot, dividing by sine (or cos if it involves sec and tan) is a key step. Remember \( \text{cosec}^2 A - \cot^2 A = 1 \) and its factorization \( (\text{cosec A} - \cot A)(\text{cosec A} + \cot A) = 1 \).

Question 5(vi). \( \sqrt{\frac{1 + \sin A}{1 - \sin A}} = \sec A + \tan A \)
Answer:
(vi) L.H.S. \( = \sqrt{\frac{1 + \sin A}{1 - \sin A}} \)
\( = \sqrt{\frac{(1 + \sin A)(1 + \sin A)}{(1 - \sin A)(1 + \sin A)}} \) [\( (1 + \sin A) \) से गुणा और भाग करने पर ]
\( = \sqrt{\frac{(1 + \sin A)^2}{1^2 - \sin^2 A}} \) [\( (1 - \sin A)(1 + \sin A) = 1 - \sin^2 A \)]
\( = \sqrt{\frac{(1 + \sin A)^2}{\cos^2 A}} \) [\( 1 - \sin^2 A = \cos^2 A \)]
\( = \frac{1 + \sin A}{\cos A} \)
\( = \frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} \)
\( = \sec A + \tan A = \text{R.H.S.} \)
In simple words: This identity is proven by rationalizing the denominator under the square root, using the \( (a-b)(a+b) \) identity, then applying \( 1-\sin^2 A = \cos^2 A \) and separating the fraction into sec A and tan A.

🎯 Exam Tip: When dealing with square roots involving \( (1 \pm \sin A) \) or \( (1 \pm \cos A) \), multiply the numerator and denominator by the conjugate to simplify. This often leads to \( \sin^2 A \) or \( \cos^2 A \).

Question 5(vii). \( \frac{\sin \theta - 2 \sin^3 \theta}{2 \cos^3 \theta - \cos \theta} = \tan \theta \)
Answer:
(vii) L.H.S. \( = \frac{\sin \theta - 2 \sin^3 \theta}{2 \cos^3 \theta - \cos \theta} \)
\( = \frac{\sin \theta (1 - 2 \sin^2 \theta)}{\cos \theta (2 \cos^2 \theta - 1)} \)
\( = \frac{\sin \theta [(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) - 2 \sin^2 \theta]}{\cos \theta [2 \cos^2 \theta - (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)]} \) [\( 1 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \)]
\( = \frac{\sin \theta [\cos^2 \theta - \sin^2 \theta]}{\cos \theta [\cos^2 \theta - \sin^2 \theta]} \)
\( = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
\( = \tan \theta = \text{R.H.S.} \)
L.H.S. = R.H.S.
In simple words: This identity is proven by factoring out \( \sin \theta \) from the numerator and \( \cos \theta \) from the denominator, then replacing '1' with \( (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \) to simplify the remaining terms.

🎯 Exam Tip: Factorization is a powerful tool. When you see terms with powers, try to factor out the lowest power. Also, strategically substituting '1' with \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \) can reveal cancellations.

Question 5(viii). \( (\sin A + \text{cosec} A)^2 + (\cos A + \sec A)^2 = 7 + \tan^2 A + \cot^2 A \)
Answer:
(viii) L.H.S. \( = (\sin A + \text{cosec} A)^2 + (\cos A + \sec A)^2 \)
\( = (\sin^2 A + \text{cosec}^2 A + 2 \sin A \cdot \text{cosec} A) + (\cos^2 A + \sec^2 A + 2 \cos A \cdot \sec A) \)
\( = (\sin^2 A + \text{cosec}^2 A + 2) + (\cos^2 A + \sec^2 A + 2) \) [\( \sin A \cdot \text{cosec} A = 1 \) और \( \cos A \cdot \sec A = 1 \)]
\( = \sin^2 A + \cos^2 A + \text{cosec}^2 A + \sec^2 A + 4 \)
\( = 1 + \text{cosec}^2 A + \sec^2 A + 4 \) [\( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \)]
\( = \text{cosec}^2 A + \sec^2 A + 5 \)
\( = (1 + \cot^2 A) + (1 + \tan^2 A) + 5 \) [\( \text{cosec}^2 A = 1 + \cot^2 A \) और \( \sec^2 A = 1 + \tan^2 A \)]
\( = 7 + \cot^2 A + \tan^2 A = \text{R.H.S.} \)
L.H.S. = R.H.S.
In simple words: This identity is proven by expanding the squared terms, using the reciprocal identities (\( \sin A \cdot \text{cosec} A = 1 \)), the Pythagorean identity (\( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \)), and then expressing \( \text{cosec}^2 A \) and \( \sec^2 A \) in terms of \( \cot^2 A \) and \( \tan^2 A \).

🎯 Exam Tip: Expanding squared binomials is a good starting point. Remember reciprocal identities (\( \sin A \text{cosec} A = 1 \)) and Pythagorean identities (\( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), \( \text{sec}^2 A = 1 + \tan^2 A \), \( \text{cosec}^2 A = 1 + \cot^2 A \)).

Question 5(ix). \( (\text{cosec A} - \sin A) (\sec A - \cos A) = \frac{1}{\tan A + \cot A} \)
Answer:
(ix) L.H.S. \( = (\text{cosec A} - \sin A) (\sec A - \cos A) \)
\( = \left(\frac{1}{\sin A} - \sin A\right) \left(\frac{1}{\cos A} - \cos A\right) \)
\( = \left(\frac{1-\sin^2 A}{\sin A}\right) \left(\frac{1-\cos^2 A}{\cos A}\right) \)
\( = \frac{\cos^2 A}{\sin A} \cdot \frac{\sin^2 A}{\cos A} \) [\( 1-\sin^2 A = \cos^2 A \) and \( 1 - \cos^2 A = \sin^2 A \)]
\( = \cos A \sin A \)
R.H.S. \( = \frac{1}{\tan A + \cot A} \)
\( = \frac{1}{\frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\cos A}{\sin A}} \)
\( = \frac{1}{\frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin A \cos A}} \)
\( = \frac{1}{\frac{1}{\sin A \cos A}} \) [\( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \)]
\( = \sin A \cos A \)
(1) और (2) से हमें प्राप्त होता है: L.H.S. = R.H.S.
In simple words: This identity is proven by simplifying both sides independently. The left side simplifies by converting to sine and cosine and applying Pythagorean identities. The right side simplifies by converting tan A and cot A to sine and cosine, finding a common denominator, and using \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).

🎯 Exam Tip: When proving complex identities, it's often easier to simplify both the L.H.S. and R.H.S. separately until they are identical. Converting all terms to sine and cosine is a highly effective strategy.

Question 5(x). \( \frac{1 + \tan^2 A}{1 + \cot^2 A} = \left(\frac{1 - \tan A}{1 - \cot A}\right)^2 = \tan^2 A \)
Answer:
(x) L.H.S. \( = \frac{1 + \tan^2 A}{1 + \cot^2 A} \)
\( = \frac{1 + \tan^2 A}{1 + \frac{1}{\tan^2 A}} \)
\( = \frac{1 + \tan^2 A}{\frac{\tan^2 A + 1}{\tan^2 A}} \)
\( = (1 + \tan^2 A) \times \frac{\tan^2 A}{(1 + \tan^2 A)} \)
\( = \tan^2 A \)..(1)
तथा \( \left(\frac{1 - \tan A}{1 - \cot A}\right)^2 \)
\( = \left(\frac{1 - \tan A}{1 - \frac{1}{\tan A}}\right)^2 \)
\( = \left(\frac{1 - \tan A}{\frac{\tan A - 1}{\tan A}}\right)^2 \)
\( = \left(\frac{(1 - \tan A) \tan A}{- (1 - \tan A)}\right)^2 \)
\( = (-\tan A)^2 = \tan^2 A \)..(2)
(1) और (2) से हमें प्राप्त होता है: L.H.S. = R.H.S.
In simple words: This identity is proven by simplifying the first part using the identity \( \cot^2 A = 1/\tan^2 A \) and simplifying the second part by converting cot A to \( 1/\tan A \) and algebraic manipulation, both leading to \( \tan^2 A \).

🎯 Exam Tip: When an identity has three parts (A = B = C), prove A = C and B = C separately. Simplify expressions by converting cotangent to tangent (or vice-versa) to reduce the number of distinct ratios.