UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 8 Circles Ex 82

Exercise 8.2 Circles (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. दिये गये चित्र में \( O \) केन्द्र वाले एक वृत्त के बिन्दु \( A \) पर \( PAQ \) एक स्पर्शी है तथा \( \angle BAQ = 60^\circ \) तब \( \angle ABC \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिये गये चित्र के अनुसार:
\( \angle ACB = \angle BAQ = 60^\circ \) (एकान्तर वृत्त खण्ड प्रमेय के अनुसार, स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण, alternate segment में बने कोण के बराबर होता है।)
\( \angle BAC = 90^\circ \) (चूंकि \( BC \) वृत्त का व्यास है, अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।)
एक त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है:
\( \angle ACB + \angle BAC + \angle ABC = 180^\circ \)
\( \implies \angle ABC = 180^\circ - (\angle ACB + \angle BAC) \)
\( \implies \angle ABC = 180^\circ - (60^\circ + 90^\circ) \)
\( \implies \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ \)
\( \implies \angle ABC = 30^\circ \)
In simple words: चित्र में, स्पर्श रेखा \( PAQ \) और जीवा \( AB \) के बीच का कोण (\( \angle BAQ \)) \( 60^\circ \) है. Alternate Segment Theorem के अनुसार, यह कोण, वृत्त के alternate segment में बने कोण (\( \angle ACB \)) के बराबर होता है, इसलिए \( \angle ACB \) भी \( 60^\circ \) है. चूंकि \( BC \) व्यास है, तो अर्धवृत्त में बना कोण (\( \angle BAC \)) \( 90^\circ \) होता है. एक त्रिभुज \( ABC \) के तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है, इसलिए \( \angle ABC \) का मान \( 30^\circ \) होगा.

🎯 Exam Tip: जब भी वृत्त में स्पर्श रेखा और जीवा से संबंधित प्रश्न आएं, तो एकान्तर वृत्त खण्ड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) और अर्धवृत्त में बने कोण के \( 90^\circ \) होने की प्रमेय को याद रखें. ये प्रमेयें ऐसे प्रश्नों को हल करने की कुंजी हैं.

Question 2. दिये गये चित्र में, \( O \) केन्द्र वाले वृत्त के किसी बिन्दु \( P \) पर \( TPT' \) एक स्पर्शी है। यदि \( \angle APT = 65^\circ \) तथा \( \angle POA = x^\circ \) हो तो \( x \) का मान क्या होगा?
Answer:
दिये गये चित्र के अनुसार:
\( \angle AMP = \angle APT = 65^\circ \) (एकान्तर वृत्त खण्ड प्रमेय के अनुसार, स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण, alternate segment में बने कोण के बराबर होता है।)
हमें \( \angle POA \) का मान ज्ञात करना है, जो कि केंद्र पर बना कोण है।
हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र पर बना कोण, परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है, यदि वे एक ही चाप (arc) द्वारा बने हों।
यहाँ, चाप \( AP \) केंद्र पर \( \angle POA \) बनाती है और परिधि पर \( \angle AMP \) बनाती है।
\( \implies \angle POA = 2 \times \angle AMP \)
\( \implies \angle POA