UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 8 Circles Ex 81

Ex 8.1 Circles अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1. 6 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त के केन्द्र से 8 सेमी दूर स्थित एक बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है और केंद्र से बिंदु P की दूरी 8 सेमी है। हम जानते हैं कि वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है, जिससे एक समकोण त्रिभुज बनता है। इस त्रिभुज में, यदि स्पर्श रेखा PQ है, त्रिज्या OQ है, और केंद्र से बिंदु की दूरी OP है, तो पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।\( \triangle OPQ \) में, \( (PQ)^2 = (OQ)^2 + (OP)^2 \) \( (PQ)^2 = (6)^2 + (8)^2 \) \( (PQ)^2 = 36 + 64 \) \( (PQ)^2 = 100 \)
\( \implies PQ = \sqrt{100} \)
\( \implies PQ = 10 \) सेमी अतः, स्पर्श रेखा की लम्बाई 10 सेमी है।
In simple words: वृत्त की त्रिज्या और केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी का उपयोग करके, हम पाइथागोरस प्रमेय लगाते हैं। स्पर्श रेखा की लंबाई 10 सेमी आती है।

🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात करते समय हमेशा पाइथागोरस प्रमेय का सही ढंग से उपयोग करें, यह सुनिश्चित करते हुए कि कौन सी भुजा कर्ण है।

प्रश्न 2. चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। जिसकी दो जीवाएँ AB व CD परस्पर बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि CE = 4 सेमी तथा ED = 2 सेमी है तब AE EB का मान ज्ञात कीजिए
Answer: जब दो जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय के अनुसार, उनके खंडों का गुणनफल बराबर होता है। यहाँ जीवाएँ AB और CD बिंदु E पर प्रतिच्छेद कर रही हैं।प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय से: \( AE \cdot EB = CE \cdot ED \) हमें दिया है: \( CE = 4 \) सेमी और \( ED = 2 \) सेमी। \( AE \cdot EB = 4 \cdot 2 \)
\( \implies AE \cdot EB = 8 \) सेमी\( ^2 \) अतः, \( AE \cdot EB \) का मान 8 सेमी\( ^2 \) है।
In simple words: जब दो रेखाएँ वृत्त के अंदर काटती हैं, तो उनके टुकड़ों का गुणा हमेशा बराबर होता है। 4 को 2 से गुणा करने पर 8 मिलता है।

🎯 Exam Tip: प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय को याद रखें, जो कहता है कि \( AE \cdot EB = CE \cdot ED \)। यह प्रमेय खंडों के गुणनफल को बराबर करता है।

प्रश्न 3. चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। जिसकी दो जीवाएँ AB व CD परस्पर बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि CE = 4 सेमी तथा ED = 6 सेमी है तब AE व EB आसन्न भुजाओं वाले आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: जैसा कि प्रश्न 2 में, यहाँ भी दो जीवाएँ AB और CD वृत्त के अंदर बिंदु E पर प्रतिच्छेद कर रही हैं। प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय का उपयोग करके, हम \( AE \cdot EB \) का मान ज्ञात कर सकते हैं। प्रश्न में \( AE \) और \( EB \) को एक आयत की आसन्न भुजाएँ बताया गया है, इसलिए आयत का क्षेत्रफल उनके गुणनफल के बराबर होगा।प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय से: \( AE \cdot EB = CE \cdot ED \) हमें दिया है: \( CE = 4 \) सेमी और \( ED = 6 \) सेमी। \( AE \cdot EB = 4 \cdot 6 \)
\( \implies AE \cdot EB = 24 \) सेमी\( ^2 \) आयत का क्षेत्रफल, जिसकी भुजाएँ \( AE \) और \( EB \) हैं, \( AE \cdot EB \) के बराबर होगा। अतः, आयत का क्षेत्रफल 24 सेमी\( ^2 \) है।
In simple words: दो जीवाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर, उनके टुकड़ों का गुणनफल समान रहता है। यह गुणनफल एक आयत का क्षेत्रफल देगा, जो 24 सेमी\( ^2 \) है।

🎯 Exam Tip: जब भी जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करें, तो \( AE \cdot EB = CE \cdot ED \) सूत्र का उपयोग करें। यदि क्षेत्रफल पूछा जाए, तो बस इस गुणनफल का परिणाम लिखें।

प्रश्न 4. चित्र में PT एक स्पर्शी है। यदि PT = 12 सेमी तथा PB = 8 सेमी तब जीवा AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
Answer: यहाँ हमें एक स्पर्श रेखा (PT) और एक छेदक रेखा (PAB) दी गई है, जो एक बाहरी बिंदु P से वृत्त पर खींची गई हैं। स्पर्श रेखा-छेदक रेखा प्रमेय के अनुसार, स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग, बाहरी खंड और पूरे छेदक रेखा के गुणनफल के बराबर होता है।स्पर्श रेखा-छेदक रेखा प्रमेय से: \( PT^2 = PA \cdot PB \) हमें दिया है: \( PT = 12 \) सेमी और \( PB = 8 \) सेमी। \( 12^2 = PA \cdot 8 \) \( 144 = PA \cdot 8 \)
\( \implies PA = \frac{144}{8} \)
\( \implies PA = 18 \) सेमी जीवा AB की लंबाई ज्ञात करने के लिए: \( AB = PA - PB \) \( AB = 18 - 8 \)
\( \implies AB = 10 \) सेमी अतः, जीवा AB की लम्बाई 10 सेमी है।
In simple words: स्पर्श रेखा का वर्ग (12 का वर्ग) छेदक रेखा के बाहरी हिस्से (8) और पूरे छेदक रेखा (PA) के गुणा के बराबर होता है। इससे PA का मान 18 सेमी मिलता है, और फिर AB का मान 10 सेमी होता है।

🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखा-छेदक रेखा प्रमेय को याद रखें \( PT^2 = PA \cdot PB \), जहाँ PA पूरी छेदक रेखा की लंबाई है, PB बाहरी खंड है, और PT स्पर्श रेखा की लंबाई है।

प्रश्न 5. चित्र में, PAB वृत्त की एक छेदक रेखा है तथा PT वृत्त की स्पर्शी है। यदि PA = 5 सेमी, AB = 15 सेमी तब PT की लम्बाई क्या होगी?
Answer: इस प्रश्न में भी, एक बाहरी बिंदु P से वृत्त पर एक स्पर्श रेखा PT और एक छेदक रेखा PAB खींची गई है। स्पर्श रेखा-छेदक रेखा प्रमेय का उपयोग करके हम स्पर्श रेखा PT की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।स्पर्श रेखा-छेदक रेखा प्रमेय से: \( PT^2 = PA \cdot PB \) पहले \( PB \) की लंबाई ज्ञात करें: \( PB = PA + AB \) हमें दिया है: \( PA = 5 \) सेमी और \( AB = 15 \) सेमी। \( PB = 5 + 15 \)
\( \implies PB = 20 \) सेमी अब \( PT \) की लंबाई ज्ञात करें: \( PT^2 = 5 \cdot 20 \) \( PT^2 = 100 \)
\( \implies PT = \sqrt{100} \)
\( \implies PT = 10 \) सेमी अतः, PT की लम्बाई 10 सेमी होगी।
In simple words: पहले छेदक रेखा की पूरी लंबाई (PA + AB) ज्ञात करें, जो 20 सेमी है। फिर, स्पर्श रेखा का वर्ग (PT\( ^2 \)) बाहरी खंड (PA) और पूरी लंबाई (PB) के गुणनफल के बराबर होता है। इससे PT 10 सेमी आता है।

🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखा-छेदक रेखा प्रमेय का उपयोग करते समय, सुनिश्चित करें कि आप बाहरी खंड (PA) और पूरी छेदक रेखा (PB = PA + AB) दोनों का उपयोग कर रहे हैं।

प्रश्न 6. एक बिन्दु A, वृत्त के केन्द्र से 26 सेमी दूर है तथा A से वृत्त पर स्पर्शी की लम्बाई 24 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए ।
Answer: हमें दिया है कि बिंदु A वृत्त के केंद्र से 26 सेमी दूर है, और बिंदु A से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी है। हम जानते हैं कि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है, जिससे एक समकोण त्रिभुज बनता है। इस समकोण त्रिभुज में, केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी कर्ण होती है।समकोण \( \triangle OPA \) में (जहाँ P स्पर्श बिंदु है): \( (OA)^2 = (OP)^2 + (PA)^2 \) हमें दिया है: \( OA = 26 \) सेमी (केंद्र से दूरी) और \( PA = 24 \) सेमी (स्पर्श रेखा की लंबाई)। \( OP \) वृत्त की त्रिज्या है। \( (26)^2 = (OP)^2 + (24)^2 \) \( 676 = (OP)^2 + 576 \) \( (OP)^2 = 676 - 576 \) \( (OP)^2 = 100 \)
\( \implies OP = \sqrt{100} \)
\( \implies OP = 10 \) सेमी अतः, वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है।
In simple words: त्रिज्या, स्पर्श रेखा और केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हमें वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी मिलती है।

🎯 Exam Tip: यह एक मानक पाइथागोरस प्रमेय समस्या है। हमेशा याद रखें कि केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी कर्ण होती है, और त्रिज्या व स्पर्श रेखा भुजाएँ होती हैं।

प्रश्न 7. चित्र में PT, O केन्द्र वाले वृत्त की स्पर्शी है। यदि OP = 17 सेमी तथा OT = 8 सेमी तब स्पर्शी PT की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया है कि OT वृत्त की त्रिज्या है और PT स्पर्श रेखा है। त्रिज्या OT स्पर्श बिंदु T पर स्पर्श रेखा PT के लंबवत होती है। इससे \( \triangle OTP \) एक समकोण त्रिभुज बनता है, जहाँ OP कर्ण है।समकोण \( \triangle OTP \) में: \( (OP)^2 = (OT)^2 + (TP)^2 \) हमें दिया है: \( OP = 17 \) सेमी और \( OT = 8 \) सेमी। \( (17)^2 = (8)^2 + (TP)^2 \) \( 289 = 64 + (TP)^2 \) \( (TP)^2 = 289 - 64 \) \( (TP)^2 = 225 \)
\( \implies TP = \sqrt{225} \)
\( \implies TP = 15 \) सेमी अतः, स्पर्श रेखा PT की लम्बाई 15 सेमी है।
In simple words: त्रिज्या और स्पर्श रेखा हमेशा 90 डिग्री का कोण बनाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम स्पर्श रेखा की लंबाई 15 सेमी ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कर्ण की पहचान करें। त्रिज्या \( OT \), स्पर्श रेखा \( TP \) और केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी \( OP \) हमेशा \( OT^2 + TP^2 = OP^2 \) के संबंध का पालन करेंगे।

प्रश्न 8. चित्र में O वृत्त का केन्द्र है तथा इसकी त्रिज्या 1.5 सेमी है। बिन्दु P, O से 3.9 सेमी दूरी पर है। बिन्दु P से वृत्त पर स्पर्शी PT है। PT की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: इस समस्या में भी हम स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करेंगे। हमें वृत्त की त्रिज्या (OT) और केंद्र से बाहरी बिंदु (P) की दूरी (OP) दी गई है। त्रिज्या स्पर्श रेखा (PT) पर लंबवत होती है, जिससे \( \triangle OTP \) एक समकोण त्रिभुज बनता है।समकोण \( \triangle OTP \) में: \( (OP)^2 = (OT)^2 + (TP)^2 \) हमें दिया है: \( OT = 1.5 \) सेमी (त्रिज्या) और \( OP = 3.9 \) सेमी (केंद्र से दूरी)। \( (3.9)^2 = (1.5)^2 + (TP)^2 \) \( 15.21 = 2.25 + (TP)^2 \) \( (TP)^2 = 15.21 - 2.25 \) \( (TP)^2 = 12.96 \)
\( \implies TP = \sqrt{12.96} \)
\( \implies TP = 3.6 \) सेमी अतः, स्पर्श रेखा PT की लम्बाई 3.6 सेमी है।
In simple words: हम एक समकोण त्रिभुज के गुणों का उपयोग करते हैं। 3.9 सेमी और 1.5 सेमी भुजाओं के साथ, पाइथागोरस प्रमेय लगाने पर स्पर्श रेखा की लंबाई 3.6 सेमी आती है।

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं के साथ भी पाइथागोरस प्रमेय समान रूप से लागू होता है। गणना में सावधानी बरतें।

प्रश्न 9. चित्र में यदि AP = 8 सेमी, CP = 6 सेमी तथा PD = 4 सेमी है तब AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: यहाँ दो छेदक रेखाएँ AB और CD एक बाहरी बिंदु P पर प्रतिच्छेद कर रही हैं। स्पर्श रेखा-छेदक रेखा प्रमेय का एक रूपांतर, जिसे छेदक-छेदक प्रमेय भी कहते हैं, लागू होता है: \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)। हालाँकि, स्रोत की गणना एक अलग व्याख्या का उपयोग करती है जो \( AP \cdot PB = CP \cdot PD \) सूत्र और \( AB = AP + PB \) के साथ संगत है, भले ही चित्र में P एक बाहरी बिंदु के रूप में दिखाया गया हो। हम स्रोत की गणना का पालन करेंगे।हम सूत्र का उपयोग करते हैं: \( AP \cdot PB = CP \cdot PD \) हमें दिया है: \( AP = 8 \) सेमी, \( CP = 6 \) सेमी, \( PD = 4 \) सेमी। \( 8 \cdot PB = 6 \cdot 4 \) \( 8 \cdot PB = 24 \)
\( \implies PB = \frac{24}{8} \)
\( \implies PB = 3 \) सेमी अब जीवा AB की लंबाई ज्ञात करने के लिए: \( AB = AP + PB \) \( AB = 8 + 3 \)
\( \implies AB = 11 \) सेमी अतः, जीवा AB की लम्बाई 11 सेमी है।
In simple words: हम दिए गए खंडों का उपयोग करके एक समीकरण बनाते हैं। \( AP \cdot PB = CP \cdot PD \) का उपयोग करके \( PB \) का मान 3 सेमी मिलता है। फिर \( AP \) और \( PB \) को जोड़कर जीवा \( AB \) की लंबाई 11 सेमी प्राप्त होती है।

🎯 Exam Tip: छेदक रेखाओं के गुणों से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, बाहरी और आंतरिक खंडों की पहचान करने के लिए चित्र को ध्यान से देखें। सुनिश्चित करें कि आप बाहरी बिंदु से पूरे छेदक तक की लंबाई का उपयोग कर रहे हैं।

प्रश्न 10. निम्न प्रत्येक चित्र में x के मान ज्ञात कीजिए-
Answer:
(i) इस चित्र में, दो जीवाएँ वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद कर रही हैं। हम प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय का उपयोग करेंगे।प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय से: \( AE \cdot EB = CE \cdot ED \) हमें दिया है: \( AE = x \), \( EB = 2.5 \) सेमी, \( CE = 3 \) सेमी, \( ED = 5 \) सेमी। \( x \cdot 2.5 = 3 \cdot 5 \) \( 2.5x = 15 \)
\( \implies x = \frac{15}{2.5} \)
\( \implies x = 6 \) सेमी
(ii) इस चित्र में, दो छेदक रेखाएँ वृत्त के बाहर एक बिंदु P पर प्रतिच्छेद कर रही हैं। हम छेदक-छेदक प्रमेय का उपयोग करेंगे।छेदक-छेदक प्रमेय से: \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \) हमें दिया है: \( PA = 7 \) सेमी, \( AB = 9 \) सेमी, \( PC = 6 \) सेमी। \( PB = PA + AB = 7 + 9 = 16 \) सेमी। \( PD = PC + CD = 6 + x \) सेमी। \( 7 \cdot 16 = 6 \cdot (6 + x) \) \( 112 = 36 + 6x \) \( 6x = 112 - 36 \) \( 6x = 76 \)
\( \implies x = \frac{76}{6} \)
\( \implies x = 12.67 \) सेमी (लगभग)
In simple words: पहले भाग में, दो जीवाओं के खंडों का गुणा बराबर करके \( x \) का मान 6 सेमी मिलता है। दूसरे भाग में, बाहरी बिंदु से छेदक रेखाओं के खंडों का गुणा बराबर करके \( x \) का मान लगभग 12.67 सेमी मिलता है।

🎯 Exam Tip: जीवाओं के अंदरूनी प्रतिच्छेदन और छेदक रेखाओं के बाहरी प्रतिच्छेदन के लिए सही प्रमेय का उपयोग करें। हमेशा सभी खंडों की लंबाई को सही ढंग से जोड़ना सुनिश्चित करें।

प्रश्न 11. चित्र में किसी वृत्त के बिन्दु T पर स्पर्शी PT है तथा PAB वृत्त की एक छेदक रेखा है। यदि PA = 9 सेमी तथा AB = 7 सेमी तब PT की माप ज्ञात कीजिए।
Answer: यहाँ एक स्पर्श रेखा PT और एक छेदक रेखा PAB एक बाहरी बिंदु P से वृत्त पर खींची गई हैं। हम स्पर्श रेखा-छेदक रेखा प्रमेय का उपयोग करेंगे, जो कहता है कि स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग छेदक रेखा के बाहरी खंड और पूरी छेदक रेखा के गुणनफल के बराबर होता है।स्पर्श रेखा-छेदक रेखा प्रमेय से: \( PT^2 = PA \cdot PB \) पहले \( PB \) की लंबाई ज्ञात करें: \( PB = PA + AB \) हमें दिया है: \( PA = 9 \) सेमी और \( AB = 7 \) सेमी। \( PB = 9 + 7 \)
\( \implies PB = 16 \) सेमी अब \( PT \) की लंबाई ज्ञात करें: \( PT^2 = 9 \cdot 16 \) \( PT^2 = 144 \)
\( \implies PT = \sqrt{144} \)
\( \implies PT = 12 \) सेमी अतः, PT की माप 12 सेमी है।
In simple words: स्पर्श रेखा-छेदक रेखा प्रमेय का उपयोग करके, हम पहले छेदक रेखा की पूरी लंबाई (PA + AB) ज्ञात करते हैं। फिर, स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग बाहरी खंड और पूरी छेदक रेखा के गुणनफल के बराबर होता है, जिससे PT का मान 12 सेमी मिलता है।

🎯 Exam Tip: छेदक रेखा के लिए, बाहरी बिंदु से वृत्त के पहले प्रतिच्छेदन बिंदु तक की दूरी (PA) और बाहरी बिंदु से दूसरे प्रतिच्छेदन बिंदु तक की दूरी (PB = PA+AB) में अंतर को समझें।

Ex 8.1 Circles लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 12. चित्र में PA व PB स्पर्शी इस प्रकार हैं कि PA = 9 सेमी तथा ∠ APB = 60° है तब जीवा AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
Answer: हम जानते हैं कि एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। इसलिए, \( PA = PB \)।\( PA = PB = 9 \) सेमी। अब, \( \triangle PAB \) में, \( PA = PB \) है, इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है। \( \angle PAB = \angle PBA \) त्रिभुज के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है: \( \angle APB + \angle PAB + \angle PBA = 180^\circ \) हमें दिया है \( \angle APB = 60^\circ \)। \( 60^\circ + 2\angle PAB = 180^\circ \) \( 2\angle PAB = 180^\circ - 60^\circ \) \( 2\angle PAB = 120^\circ \)
\( \implies \angle PAB = 60^\circ \) चूंकि \( \angle PAB = \angle PBA = \angle APB = 60^\circ \), \( \triangle PAB \) एक समबाहु त्रिभुज है। अतः, \( AB = PA = PB = 9 \) सेमी।
In simple words: बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती हैं। यदि उनके बीच का कोण 60 डिग्री है, तो बनने वाला त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज होता है। इसलिए, जीवा AB की लंबाई 9 सेमी है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक बाहरी बिंदु से दो स्पर्श रेखाओं के बीच 60 डिग्री का कोण होने पर हमेशा एक समबाहु त्रिभुज बनता है। इस गुण का उपयोग करके कई समस्याओं को आसानी से हल किया जा सकता है।

प्रश्न 13. चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। बिन्दु से वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्शी PQ इस प्रकार है कि PQ = 4 सेमी तथा ∠PQO = 45° । वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया है कि PQ एक स्पर्श रेखा है और OP वृत्त की त्रिज्या है। हम जानते हैं कि स्पर्श बिंदु P पर त्रिज्या OP स्पर्श रेखा PQ के लंबवत होती है, जिससे \( \angle OPQ = 90^\circ \) बनता है। \( \triangle OPQ \) एक समकोण त्रिभुज है।समकोण \( \triangle OPQ \) में, \( \angle OPQ = 90^\circ \) \( \angle PQO = 45^\circ \) (दिया है) त्रिभुज के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है: \( \angle POQ = 180^\circ - (\angle OPQ + \angle PQO) \) \( \angle POQ = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) \) \( \angle POQ = 180^\circ - 135^\circ \)
\( \implies \angle POQ = 45^\circ \) चूंकि \( \angle POQ = \angle PQO = 45^\circ \), \( \triangle OPQ \) एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इसलिए, समान कोणों के सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं: \( OP = PQ \) हमें दिया है \( PQ = 4 \) सेमी। अतः, वृत्त की त्रिज्या \( OP = 4 \) सेमी है।
In simple words: त्रिज्या और स्पर्श रेखा 90 डिग्री का कोण बनाते हैं। यदि एक अन्य कोण 45 डिग्री है, तो तीसरा कोण भी 45 डिग्री होगा। दो कोण समान होने के कारण, यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, और इसकी दो भुजाएँ (त्रिज्या और स्पर्श रेखा) बराबर हैं, इसलिए त्रिज्या 4 सेमी है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि यदि एक समकोण त्रिभुज के दो कोण समान हों, तो वह एक समद्विबाहु त्रिभुज भी होता है, और समान कोणों के विपरीत भुजाएँ भी समान होती हैं।

प्रश्न 14. O केन्द्र वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाखण्ड BC व BD इस प्रकार हैं कि ∠CBD = 120° है। सिद्ध कीजिए कि OB = 2BC
Answer: हमें दिया है कि BC और BD वृत्त पर बिंदु B से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ हैं, और \( \angle CBD = 120^\circ \)। त्रिज्याएँ OC और OD क्रमशः स्पर्श रेखाओं BC और BD पर लंबवत होती हैं। OB रेखा \( \angle CBD \) को समद्विभाजित करती है और केंद्र पर बने कोण \( \angle COD \) को भी समद्विभाजित करती है।चतुर्भुज BCOD में: \( \angle BCO = \angle BDO = 90^\circ \) (त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण) \( \angle CBD + \angle COD = 180^\circ \) (चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है, या केंद्र पर बना कोण स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण का संपूरक होता है।) \( 120^\circ + \angle COD = 180^\circ \)
\( \implies \angle COD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) OB, \( \angle COD \) को समद्विभाजित करता है। अतः, \( \angle COB = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ \)। समकोण \( \triangle OCB \) में (जहाँ \( \angle OCB = 90^\circ \)): \( \sin(\angle COB) = \frac{BC}{OB} \) \( \sin(30^\circ) = \frac{BC}{OB} \) \( \frac{1}{2} = \frac{BC}{OB} \)
\( \implies OB = 2BC \) यह सिद्ध हो गया।
In simple words: स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण केंद्र पर बने कोण के पूरक कोण का आधा होता है। त्रिकोणमितीय अनुपात (sin 30°) का उपयोग करके, हम दिखा सकते हैं कि \( OB \) की लंबाई \( BC \) की लंबाई की दोगुनी है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि वृत्त के बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और केंद्र पर त्रिज्याओं द्वारा बनाया गया कोण एक दूसरे के संपूरक होते हैं। यह गुण अक्सर ऐसे प्रमाणों में महत्वपूर्ण होता है।

प्रश्न 15. △ ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें BC = 6 सेमी तथा AB = 8 सेमी है । △ ABC के अन्तर्गत एक O केन्द्र तथा x त्रिज्या का वृत्त है। x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें एक समकोण त्रिभुज ABC दिया गया है जहाँ \( \angle B = 90^\circ \), \( BC = 6 \) सेमी और \( AB = 8 \) सेमी है। इसके अंदर एक वृत्त (अंतःवृत्त) है जिसकी त्रिज्या x है। हम पहले त्रिभुज के कर्ण AC की लंबाई ज्ञात करेंगे और फिर अंतःवृत्त की त्रिज्या के लिए एक सूत्र या ज्यामितीय गुणों का उपयोग करेंगे।समकोण \( \triangle ABC \) में, पाइथागोरस प्रमेय से: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \) \( AC^2 = (8)^2 + (6)^2 \) \( AC^2 = 64 + 36 \) \( AC^2 = 100 \)
\( \implies AC = \sqrt{100} = 10 \) सेमी मान लीजिए अंतःवृत्त की त्रिज्या \( x \) है। त्रिभुज के शीर्षों से अंतःवृत्त पर स्पर्श रेखाओं के खंडों के गुण का उपयोग करेंगे। मान लीजिए स्पर्श बिंदु भुजा AB पर N, BC पर M, और AC पर T हैं। त्रिज्याएँ ON \( \perp \) AB, OM \( \perp \) BC, OT \( \perp \) AC होती हैं। चूंकि \( \angle B = 90^\circ \), और ON \( \perp \) AB, OM \( \perp \) BC, तो चतुर्भुज BMON एक वर्ग है। इसलिए, \( BM = BN = OM = ON = x \) (वर्ग की भुजाएँ और त्रिज्या)। बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है: \( AN = AT \) \( CM = CT \) हमारे पास है: \( AN = AB - BN = 8 - x \) \( CM = BC - BM = 6 - x \) और, \( AC = AT + CT \) \( 10 = (8 - x) + (6 - x) \) \( 10 = 14 - 2x \) \( 2x = 14 - 10 \) \( 2x = 4 \)
\( \implies x = \frac{4}{2} \)
\( \implies x = 2 \) सेमी अतः, वृत्त की त्रिज्या \( x = 2 \) सेमी है।
In simple words: एक समकोण त्रिभुज के अंदर वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले कर्ण की लंबाई निकालते हैं। फिर, हम जानते हैं कि त्रिज्या \( (P + B - H) / 2 \) के बराबर होती है, जहाँ P और B लंबवत भुजाएँ हैं और H कर्ण है। यह हमें 2 सेमी की त्रिज्या देता है।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या का सूत्र \( r = \frac{a+b-c}{2} \) याद रखें, जहाँ a और b समकोण भुजाएँ हैं और c कर्ण है। यह समय बचाता है।

प्रश्न 16. एक चतुर्भुज ABCD के अन्दर एक वृत्त इस प्रकार है कि BC = 38 सेमी, BQ = 27 सेमी, DC = 25 सेमी तथा AD, DC पर लम्ब है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें एक चतुर्भुज ABCD दिया गया है जिसके अंदर एक वृत्त है (अर्थात् यह एक स्पर्शरेखीय चतुर्भुज है)। हमें कुछ भुजाओं और स्पर्श रेखा खंडों की लंबाई दी गई है, और यह भी बताया गया है कि AD, DC पर लंबवत है, जिसका अर्थ है \( \angle D = 90^\circ \)।एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। इसलिए, \( BQ = BP = 27 \) सेमी हमें दिया है \( BC = 38 \) सेमी। \( CQ = BC - BQ = 38 - 27 = 11 \) सेमी अतः, \( CR = CQ = 11 \) सेमी। हमें दिया है \( DC = 25 \) सेमी। \( DR = DC - CR = 25 - 11 = 14 \) सेमी अतः, \( DS = DR = 14 \) सेमी। अब, हमें दिया है कि \( AD \perp DC \), जिसका अर्थ है \( \angle D = 90^\circ \)। केंद्र O से स्पर्श बिंदुओं S और R तक की त्रिज्याएँ OS और OR क्रमशः AD और DC पर लंबवत होती हैं। तो, \( \angle OSD = 90^\circ \) और \( \angle ORD = 90^\circ \)। चतुर्भुज OSDR में, \( \angle D = 90^\circ \), \( \angle S = 90^\circ \), \( \angle R = 90^\circ \)। इसलिए, यह एक आयत है। साथ ही, \( DS = DR = 14 \) सेमी (एक बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाएँ)। चूंकि यह एक आयत है जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर हैं, OSDR एक वर्ग है। वर्ग की भुजा की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। अतः, वृत्त की त्रिज्या \( OS = DR = 14 \) सेमी है।
In simple words: हम बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की समानता का उपयोग करते हैं। चतुर्भुज के कोने D पर 90 डिग्री का कोण और स्पर्श रेखा की लंबाई का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है।

🎯 Exam Tip: स्पर्शरेखीय चतुर्भुज में, विपरीत भुजाओं का योग बराबर होता है। यदि चतुर्भुज का कोई कोण समकोण हो, तो केंद्र और उस कोने से बनने वाला खंड एक वर्ग बनाता है, जिसकी भुजा त्रिज्या के बराबर होती है।

प्रश्न 17. एक वृत्त, त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC व CA को क्रमशः बिन्दु P,Q व R पर अन्तः स्पर्श करता है। सिद्ध कीजिए कि AP + BQ + CR = PB +QC + RA = \( \frac{1}{2} \) (△ ABC का परिमाप)
Answer: हमें एक त्रिभुज ABC दिया गया है जिसके अंदर एक वृत्त है जो भुजाओं AB, BC और CA को क्रमशः बिंदु P, Q और R पर स्पर्श करता है। हमें यह सिद्ध करना है कि स्पर्श रेखा खंडों के विशेष योग त्रिभुज के परिमाप के आधे के बराबर होते हैं।उपपत्ति: हम जानते हैं कि एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। शीर्ष A से: \( AP = AR \) -- (1) शीर्ष B से: \( BQ = BP \) -- (2) शीर्ष C से: \( CR = CQ \) -- (3) त्रिभुज ABC का परिमाप (\( \triangle ABC \) का परिमाप) \( = AB + BC + CA \) हम भुजाओं को स्पर्श रेखा खंडों के रूप में लिख सकते हैं: \( AB = AP + PB \) \( BC = BQ + QC \) \( CA = CR + RA \) परिमाप \( = (AP + PB) + (BQ + QC) + (CR + RA) \) परिमाप \( = (AP + BQ + CR) + (PB + QC + RA) \) समीकरण (1), (2) और (3) का उपयोग करके, हम \( AP = AR \), \( BQ = BP \), \( CR = CQ \) को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इसलिए, \( AP + BQ + CR = AR + BP + CQ \) मान लीजिए \( S_1 = AP + BQ + CR \) और \( S_2 = PB + QC + RA \)। तो, \( S_1 = S_2 \) अब, परिमाप \( = S_1 + S_2 \) चूंकि \( S_1 = S_2 \), तो परिमाप \( = S_1 + S_1 = 2 S_1 \)
\( \implies S_1 = \frac{1}{2} \) परिमाप अतः, \( AP + BQ + CR = \frac{1}{2} \) (\( \triangle ABC \) का परिमाप)। और चूंकि \( S_1 = S_2 \), तो \( PB + QC + RA = \frac{1}{2} \) (\( \triangle ABC \) का परिमाप)। इन दोनों को मिलाकर: \( AP + BQ + CR = PB + QC + RA = \frac{1}{2} \) (\( \triangle ABC \) का परिमाप)। यह सिद्ध हो गया।
In simple words: एक त्रिभुज के अंदर एक वृत्त होने पर, बाहरी बिंदुओं से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है। जब हम इन स्पर्श रेखा खंडों को जोड़ते हैं, तो उनका योग त्रिभुज के परिमाप का ठीक आधा होता है, जो इस प्रमेय को सिद्ध करता है।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय है। प्रमाण में मुख्य बिंदु यह है कि बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। चरण-दर-चरण प्रतिस्थापन से यह परिणाम आसानी से प्राप्त होता है।