UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 10 Circles

UP Board Solutions For Class 10 Maths Chapter 10 Circles (वृत्त)

प्रश्नावली 10.1

Question 1. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
Answer: एक वृत्त की अनगिनत स्पर्श-रेखाएँ हो सकती हैं।
In simple words: एक वृत्त पर अनंत स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं क्योंकि वृत्त पर अनंत बिंदु होते हैं और प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।

🎯 Exam Tip: इस प्रश्न में, 'अनगिनत' या 'अनंत' शब्द का उपयोग सही है और यह वृत्त की ज्यामितीय प्रकृति को दर्शाता है।

Question 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिएः
(i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे बिंदु .............. पर प्रतिच्छेद करती है।
(ii) वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को .............. कहते हैं।
(iii) एक वृत्त की .............. समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
(iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को .............. कहते हैं।
Answer:
(i) केवल एक
(ii) छेदक-रेखा
(iii) दो
(iv) स्पर्श बिन्दु
In simple words: एक स्पर्श रेखा वृत्त को सिर्फ एक बिंदु पर छूती है, जबकि छेदक रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है। वृत्त की अधिकतम दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं, और स्पर्श रेखा तथा वृत्त के उभयनिष्ठ बिंदु को स्पर्श बिंदु कहते हैं।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न वृत्त और उसकी रेखाओं से संबंधित बुनियादी शब्दावली और परिभाषाओं की समझ का परीक्षण करता है। सभी रिक्त स्थानों को सही ढंग से भरना महत्वपूर्ण है।

Question 3. 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र 0 से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी । PQ की लंबाई है।
(A) 12 सेमी.
(B) 13 सेमी.
(C) 8.5 सेमी.
(D) \( \sqrt{119} \) सेमी.
Answer: हलः चूंकि वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है। बिंदु P वृत्त पर स्थित है, जहाँ PQ एक स्पर्श रेखा है। त्रिज्या OP, स्पर्श रेखा PQ पर लंब है। OQ एक रेखाखंड है जो केंद्र O को बाहरी बिंदु Q से जोड़ता है। OQ की लंबाई 12 सेमी और OP की त्रिज्या 5 सेमी है।
\( \therefore \) \( \triangle \) OPQ में \( \angle \) OPQ = 90°
अब, पाइथागोरस प्रमेय से,
\( \text{PQ}^2 = \text{OQ}^2 - \text{OP}^2 \)

\( \implies \text{PQ} = \sqrt{\text{OQ}^2 - \text{OP}^2} \)
\( = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119} \)
\( \therefore \) विकल्प (D) सही है।
In simple words: एक वृत्त में, स्पर्श रेखा हमेशा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है, जिससे एक समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखा और त्रिज्या के लंबवत होने के गुण का उपयोग करके समकोण त्रिभुज बनाना और पाइथागोरस प्रमेय लागू करना इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने की कुंजी है। गणनाओं में सावधानी बरतें।

Question 4. एक वृत्त खीचिए और एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खीचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।
Answer: हलः वांछित आकृति नीचे दर्शाई गई है। इसमें O वृत्त का केन्द्र है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आरेख में एक वृत्त है जिसका केंद्र O है। एक दी गई रेखा l को सबसे नीचे दिखाया गया है। रेखा l के समांतर दो अन्य रेखाएँ खींची गई हैं: PT जो वृत्त की स्पर्श रेखा है और AB जो वृत्त की छेदक रेखा है। PT वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है और AB वृत्त को दो बिंदुओं A और B पर काटती है।
(i) रेखा l दी गई रेखा है।
(ii) PT और AB दोनों l के समान्तर हैं।
(iii) PT बिन्दु P पर एक स्पर्श रेखा है।
(iv) AB वृत्त की छेदक रेखा है।
In simple words: एक वृत्त के बाहर एक रेखा दी गई है। हमें इस रेखा के समांतर दो और रेखाएँ खींचनी हैं: एक जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर छुए (स्पर्श रेखा) और दूसरी जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटे (छेदक रेखा)।

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय निर्माण के प्रश्नों में, आरेख स्पष्ट और सही होना चाहिए। मुख्य गुण (जैसे समांतर रेखाएँ और स्पर्श/छेदक रेखा की परिभाषा) को दर्शाना महत्वपूर्ण है।

प्रश्नावली 10.2

प्रश्न सं. 1,2,3 में सही विकल्प चुनिए एवं उचित कारण दीजिए।

Question 1. एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी. तथा Q की केंद्र से दूरी 25 सेमी. है। वृत्त की त्रिज्या है:
(A) 7 सेमी.
(B) 12 सेमी.
(C) 15 सेमी.
(D) 24.5 सेमी.
Answer: हलः चूंकि O वृत्त का केन्द्र और QT एक स्पर्श रेखा है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। बिंदु T वृत्त पर है और QT एक स्पर्श रेखा है जिसकी लंबाई 24 सेमी है। बिंदु Q वृत्त के बाहर है। केंद्र O से बिंदु Q तक की दूरी 25 सेमी है। त्रिज्या OT स्पर्श रेखा QT पर लंब है, जिससे समकोण त्रिभुज OTQ बनता है।
\( \therefore \angle \text{OTQ} = 90^\circ \)
\( \therefore \) समकोण \( \triangle \) OTQ में, पाइथागोरस प्रमेय से
\( \text{OT}^2 = \text{OQ}^2 - \text{QT}^2 \)

\( \text{OT}^2 = 25^2 - 24^2 \)

\( \text{OT}^2 = (25 + 24) (25 - 24) = 49 \times 1 \)

\( \text{OT} = \sqrt{49 \times 1} = \pm 7 \)
\( \therefore \text{OQ} = 25 \) सेमी.
और \( \text{QT} = 24 \) सेमी,
[ज्ञात है]
परन्तु OT का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
\( \therefore \text{OT} = 7 \) सेमी.
अतः विकल्प (A) सही है।
In simple words: स्पर्श रेखा हमेशा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है, जिससे केंद्र O, स्पर्श बिंदु T और बाहरी बिंदु Q के बीच एक समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम त्रिज्या OT की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: यह समझना महत्वपूर्ण है कि त्रिज्या (OT) और स्पर्श रेखा (QT) के बीच का कोण 90° होता है। यह समकोण त्रिभुज बनाता है, जिससे पाइथागोरस प्रमेय लागू करना संभव हो जाता है। हमेशा धनात्मक मान का चयन करें क्योंकि त्रिज्या एक लंबाई है।

Question 2. आकृति में, यदि TP, TQ केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि \( \angle \text{POQ} = 110^\circ \), तो \( \angle \text{PTQ} \) बराबर हैं:
(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°
Answer: हलः आकृति में O वृत्त का केन्द्र है, बाह्य बिन्दु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP और TQ इस प्रकार हैं कि \( \angle \text{POQ} = 110^\circ \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है। बाहरी बिंदु T से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ TP और TQ खींची गई हैं। P और Q स्पर्श बिंदु हैं। त्रिज्या OP और OQ क्रमशः स्पर्श रेखाओं TP और TQ पर लंब हैं। केंद्र पर कोण \( \angle \text{POQ} \) 110° दिया गया है।
\( \text{OP} \perp \text{PT} \) और \( \text{OQ} \perp \text{QT} \)

\( \implies \angle \text{OPT} = 90^\circ \) और \( \angle \text{OQT} = 90^\circ \)
अब, चतुर्भुज TPOQ में, हमें प्राप्त है:
\( \angle \text{PTQ} + 90^\circ + 110^\circ + 90^\circ = 360^\circ \)

\( \implies \angle \text{PTQ} + 290^\circ = 360^\circ \)

\( \implies \angle \text{PTQ} = 360^\circ - 290^\circ = 70^\circ \)
इस प्रकार विकल्प (B) सही है।
In simple words: एक चतुर्भुज में, सभी आंतरिक कोणों का योग 360° होता है। चूंकि स्पर्श रेखाएँ त्रिज्याओं के लंबवत होती हैं, तो दो कोण 90° होते हैं। केंद्र पर बना कोण दिया गया है, इसलिए हम बाहरी बिंदु पर बने कोण को आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि किसी भी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती हैं। इस प्रकार बने चतुर्भुज (OP TQ) के कोणों का योग 360° होता है।

Question 3. यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों, तो \( \angle \text{POA} \) बराबर हैः
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
Answer: हलः चूंकि, वृत्त का केन्द्र O और P से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB हैं:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। बाहरी बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं। A और B स्पर्श बिंदु हैं। स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हैं, यानी \( \angle \text{APB} = 80^\circ \)। त्रिज्या OA और OB क्रमशः स्पर्श रेखाओं PA और PB पर लंब हैं। रेखाखंड OP केंद्र को बाहरी बिंदु से जोड़ता है।
\( \text{OA} \perp \text{AP} \) और \( \text{OB} \perp \text{BP} \)
\( \angle \text{OAP} = \angle \text{OBP} = 90^\circ \)
अब, चतुर्भुज PAOB में, हमें प्राप्त है:
\( \angle \text{APB} + \angle \text{PAO} + \angle \text{AOB} + \angle \text{PBO} = 360^\circ \)

\( \implies 80^\circ + 90^\circ + \angle \text{AOB} + 90^\circ = 360^\circ \)

\( \implies 260^\circ + \angle \text{AOB} = 360^\circ \)

\( \implies \angle \text{AOB} = 360^\circ - 260^\circ \)

\( \implies \angle \text{AOB} = 100^\circ \)
अब, समकोण \( \triangle \text{OAP} \) तथा समकोण \( \triangle \text{OBP} \) में,
OP = OP [उभयनिष्ठ]
\( \angle \text{OAP} = \angle \text{OBP} \) [प्रत्येक = 90°]
OA = OB [एक ही वृत की त्रिज्याएँ]
\( \triangle \text{OAP} \cong \triangle \text{OBP} \) [SAS]
इनके संगत-अंग समान होंगे।
\( \angle \text{POA} = \angle \text{POB} \)

\( \implies \angle \text{POA} = \frac{1}{2} \times 100^\circ = 50^\circ \)
इस प्रकार, विकल्प (A) सही है।
In simple words: बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं, और त्रिज्याएँ स्पर्श रेखाओं के लंबवत होती हैं। चतुर्भुज PAOB के कोणों का योग 360° का उपयोग करके \( \angle \text{AOB} \) ज्ञात करें, फिर इसे आधा करके \( \angle \text{POA} \) प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि एक बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं, और केंद्र से बाहरी बिंदु तक खींची गई रेखा स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है। साथ ही, त्रिज्या और स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर लंबवत होती हैं।

Question 4. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। PQ इस वृत्त का एक व्यास है। व्यास के सिरों P और Q पर दो स्पर्श रेखाएँ AB और CD खींची गई हैं। त्रिज्या OP स्पर्श रेखा AB पर लंब है और त्रिज्या OQ स्पर्श रेखा CD पर लंब है।
आकृति में, हमें प्राप्त है किः वृत का केन्द्र O और PQ एक व्यास है। माना AB और CD वृत्त के व्यास PQ के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं। चूंकि स्पर्श-बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या वृत्त की स्पर्श-रेखा पर लम्ब होती है।
\( \text{PQ} \perp \text{AB} \implies \angle \text{APQ} = 90^\circ \) .....(1)
और \( \text{PQ} \perp \text{CD} \implies \angle \text{PQD} = 90^\circ \) .........(2)
(1) और (2) से,
\( \angle \text{APQ} = \angle \text{PQD} \)
परन्तु ये संगत कोणों का एक युग्म बनाते हैं ।
\( \therefore \text{AB} \parallel \text{CD} \)
In simple words: व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ व्यास के लंबवत होती हैं। जब दो रेखाएँ एक ही रेखा के लंबवत होती हैं, तो वे आपस में समांतर होती हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए स्पर्श रेखा-त्रिज्या के लंबवत होने के गुण और एकांतर अंतः कोण या संगत कोणों के नियम का उपयोग किया जाता है। आरेख की स्पष्टता और सही कोण संबंधों को दर्शाना महत्वपूर्ण है।

Question 5. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। रेखा AB वृत्त की एक स्पर्श रेखा है जो बिंदु P पर स्पर्श करती है। OP वृत्त की त्रिज्या है और यह स्पर्श रेखा AB पर लंबवत है। एक काल्पनिक रेखा QP खींची गई है जो AB पर लंबवत है लेकिन केंद्र O से नहीं गुजरती है, यह दर्शाने के लिए कि यह एक विरोधाभास उत्पन्न करती है।
आकृति में, O, वृत्त का केन्द्र और स्पर्श रेखा AB वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है। OP को मिलाओ। चूंकि स्पर्श-बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या वृत्त की स्पर्श-रेखा पर लम्ब होती है।
\( \text{AB} \perp \text{OP} \implies \angle \text{OPB} = 90^\circ \) ........(1)
यदि सम्भव हो, तो PQ \( \perp \) AB खीचिए जो कि O से नहीं गुजरता है।
\( \text{AB} \perp \text{OP} \implies \angle \text{QPB} = 90^\circ \) .........(2)
(1) और (2) से,
\( \angle \text{QPB} = \angle \text{OPB} \)
यह तभी संभव है, जब O और Q संपाती हो।
इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि: स्पर्श रेखा पर स्पर्श बिन्दु से खींचा गया लम्ब, वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
In simple words: हम विरोधाभास विधि का उपयोग करते हैं। मान लें कि स्पर्श बिंदु पर लंब केंद्र से नहीं गुजरता है। चूँकि त्रिज्या स्पर्श रेखा के लंबवत होती है, तो यह लंब त्रिज्या के साथ संपाती होना चाहिए, जिससे यह सिद्ध होता है कि लंब केंद्र से होकर जाता है।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय है जिसे विरोधाभास विधि का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। प्रमुख तर्क यह है कि किसी दिए गए बिंदु पर एक रेखा के लिए केवल एक अद्वितीय लंब रेखा हो सकती है।

Question 6. एक बिंदु A से, जो वृत्त के केंद्र से 5 सेमी. दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 सेमी. है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है। बिंदु A वृत्त के बाहर स्थित है, केंद्र O से 5 सेमी की दूरी पर। AT वृत्त पर एक स्पर्श रेखा है जिसकी लंबाई 4 सेमी है। T स्पर्श बिंदु है। त्रिज्या OT स्पर्श रेखा AT पर लंब है, जिससे समकोण त्रिभुज OAT बनता है।
चूंकि वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।
\( \angle \text{OTA} = 90^\circ \)
समकोण \( \triangle \text{OTA} \) में हमें प्राप्त है:

\( \implies \text{OA}^2 = \text{OT}^2 + \text{AT}^2 \)

\( \implies 5^2 = \text{OT}^2 + 4^2 \)

\( \implies \text{OT}^2 = 5^2 - 4^2 \)

\( \implies \text{OT}^2 = (5 - 4) (5 + 4) \)

\( \implies \text{OT}^2 = 1 \times 9 = 9 = 3^2 \)

\( \implies \text{OT} = 3 \)
इस प्रकार, वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है।
In simple words: स्पर्श रेखा त्रिज्या के लंबवत होती है, जिससे एक समकोण त्रिभुज बनता है। इस त्रिभुज में केंद्र से बाहरी बिंदु तक की दूरी कर्ण होती है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्न में, सबसे पहले एक स्वच्छ आरेख बनाएं और दी गई लंबाइयों को लेबल करें। स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच 90° का कोण दर्शाना न भूलें, जो पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने की अनुमति देता है।

Question 7. दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी. तथा 3 सेमी. हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो ।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह दो संकेंद्रीय वृत्त दिखाता है जिनका केंद्र O है। छोटे वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है और बड़े वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है। त्रिज्या OP स्पर्श रेखा AB पर लंब है। OP छोटे वृत्त की त्रिज्या है जबकि OA बड़े वृत्त की त्रिज्या है।
आकृति में, O दोनों वृत्तों का उभयनिष्ठ केन्द्र है। बड़े वृत्त की जीवा AB इस प्रकार है कि यह छोटे वृत्त की P पर स्पर्श रेखा है।
\( \implies \text{OP} \perp \text{AB} \implies \angle \text{OPB} = 90^\circ \)
हम यह भी जानते हैं कि स्पर्श-बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है। AB को OP समद्विभाजित करता है।
\( \implies \text{AP} = \text{PB} \) (यह पिछले स्टेटमेंट से पता चलता है कि OP, AB को समद्विभाजित करता है)
समकोण \( \triangle \text{APO} \) में,

\( \implies \text{OA}^2 = \text{AP}^2 + \text{OP}^2 \)

\( \implies 5^2 = \text{AP}^2 + 3^2 \)

\( \implies \text{AP}^2 = 5^2 - 3^2 \)

\( \implies \text{AP}^2 = (5 - 3) (5 + 3) = 2 \times 8 \)

\( \implies \text{AP}^2 = 16 = (4)^2 \)

\( \implies \text{AP} = 4 \) सेमी.
\( \text{AB} = 2 \times \text{AP} \)

\( \implies \text{AB} = 2 \times 4 = 8 \) सेमी.
अतः जीवा AB की अभीष्ठ लम्बाई 8 सेमी. है।
In simple words: जब बड़े वृत्त की एक जीवा छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, तो वह छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा बन जाती है। छोटे वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर जीवा के लंबवत होती है, और यह जीवा को समद्विभाजित भी करती है, जिससे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके जीवा की लंबाई ज्ञात की जा सकती है।

🎯 Exam Tip: यह एक शास्त्रीय समस्या है जिसमें स्पर्श रेखा-त्रिज्या की लंबवतता का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज बनाना शामिल है। याद रखें कि केंद्र से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए जीवा की लंबाई ज्ञात करने के लिए आपको AP के मान को दोगुना करना होगा।

Question 8. एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिएः
AB + CD = AD + BC
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक वृत्त दिखाता है जो एक चतुर्भुज ABCD के अंदर परिगत है, जिसका अर्थ है कि वृत्त चतुर्भुज की सभी चार भुजाओं को स्पर्श करता है। स्पर्श बिंदु क्रमशः P, Q, R, S हैं, जहाँ AB को P पर, BC को Q पर, CD को R पर और DA को S पर स्पर्श करता है।
चूंकि चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ AB, BC, CD और DA वृत्त को बिन्दुओं P, Q, R और S पर स्पर्श करती हैं। और एक बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान होती हैं।
AP= AS .....(1)
BP = BQ .....(2)
CR = CQ .....(3)
DR = DS .....(4)
उक्त समीकरणों को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है।
(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)

\( \implies \text{AB} + \text{CD} = \text{AD} + \text{BC} \)
यही सिद्ध करना था।
In simple words: किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है। यदि एक चतुर्भुज एक वृत्त के परिगत है, तो हम इस गुण का उपयोग करके विपरीत भुजाओं के युग्मों के योग को समान सिद्ध कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय है। समाधान का मुख्य बिंदु यह तथ्य है कि किसी बाहरी बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। प्रत्येक भुजा के खंडों को सही ढंग से जोड़ना सुनिश्चित करें।

Question 9. आकृति में XY तथा X'Y', O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि \( \angle \text{AOB} = 90^\circ \) है।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। XY और X'Y' दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं जो वृत्त को क्रमशः P और Q पर स्पर्श करती हैं। एक तीसरी स्पर्श रेखा AB वृत्त को C पर स्पर्श करती है और XY को A पर तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है। OP, OC, OQ त्रिज्याएँ हैं।
चूंकि एक बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श-रेखाएँ समान होती है।
AP = AC
\( \triangle \text{PAO} \) और \( \triangle \text{AOC} \) में, हमें प्राप्त है।
AO = AO [उभयनिष्ठ]
OP = OC [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
AP = AC [बिन्दु A से वृत पर स्पर्श रेखाएँ]
\( \triangle \text{PAO} \cong \triangle \text{AOC} \) [SSS सर्वांगसमता]
\( \angle \text{PAO} = \angle \text{CAO} \)
\( \implies \angle \text{PAC} = 2 \angle \text{CAO} \) .... (1)
इसी प्रकार, \( \angle \text{CBQ} = 2\angle \text{CBO} \) .......(2)
हम यह भी जानते हैं कि यहाँ तिर्यक रेखा AB के एक ही ओर के अन्तः कोणों का योग 180° होगा।
\( \angle \text{PAC} + \angle \text{CBQ} = 180^\circ \)
या \( 2 \angle \text{CAO} + 2 \angle \text{CBO} = 180^\circ \) [ (1) और (2) से ]
\( \implies \angle \text{CAO} + \angle \text{CBO} = 90^\circ \) .....(3)
अब \( \triangle \text{AOB} \) में,
\( \angle \text{BAO} + \angle \text{ABO} + \angle \text{AOB} = 180^\circ \)
या \( \angle \text{CAO} + \angle \text{CBO} + \angle \text{AOB} = 180^\circ \)
\( \angle \text{BAO} \) और \( \angle \text{CAO} \) एक ही कोण है। तथा \( \angle \text{ABO} \) और \( \angle \text{CBO} \) एक कोण है।
\( 90^\circ + \angle \text{AOB} = 180^\circ \) [(3) से]

\( \implies \angle \text{AOB} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
अतः \( \angle \text{AOB} = 90^\circ \)
In simple words: बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं, और केंद्र को बाहरी बिंदु से मिलाने वाली रेखा उन कोणों को समद्विभाजित करती है। समांतर रेखाओं के बीच बने अंतः कोणों का योग 180° होता है। इन गुणों का उपयोग करके, हम \( \angle \text{AOB} \) को 90° सिद्ध कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रमेय को सिद्ध करने में कई ज्यामितीय गुण शामिल हैं: बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाओं की समानता, सर्वांगसम त्रिभुज, और समांतर रेखाओं के बीच अंतः कोणों का योग 180° होना। चरण-दर-चरण तर्क को सावधानीपूर्वक प्रस्तुत करें।

Question 10. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। बाहरी बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं। A और B स्पर्श बिंदु हैं। त्रिज्या OA और OB क्रमशः स्पर्श रेखाओं PA और PB पर लंब हैं। रेखाखंड AB स्पर्श बिंदुओं को जोड़ता है। केंद्र पर अंतरित कोण \( \angle \text{AOB} \) है और स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण \( \angle \text{APB} \) है।
माना PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ हैं जो कि वृत्त पर बाह्य बिन्दु P पर खींची गई है। वृत्त का केन्द्र O बिन्दु पर है। अब, समकोण \( \triangle \text{OAP} \) और \( \triangle \text{OBP} \) में, हमें प्राप्त है कि:
PA = PB [बाह्य बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श-रेखाएँ]
OA = OB [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
OP = OP [उभयनिष्ठ]
SSS सर्वांगसमता से, \( \triangle \text{OAP} \cong \triangle \text{OBP} \)
इनके संगत भाग भी समान होंगे।

\( \implies \angle \text{OAP} = \angle \text{OBP} \) (यह पिछले स्टेटमेंट से पता चलता है कि \( \triangle \text{OAP} \) और \( \triangle \text{OBP} \) सर्वांगसम हैं)
और \( \angle \text{AOP} = \angle \text{BOP} \)
\( \angle \text{APB} = 2 \angle \text{OPA} \)
और \( \angle \text{AOB} = 2\angle \text{AOP} \)
परन्तु \( \angle \text{OAP} = 90^\circ \)
\( \triangle \text{OAP} \) में, \( \angle \text{AOP} + \angle \text{OPA} + \angle \text{OAP} = 180^\circ \)
\( \angle \text{AOP} + \angle \text{OPA} + 90^\circ = 180^\circ \)
\( \angle \text{AOP} + \angle \text{OPA} = 90^\circ \)
\( 2(\angle \text{AOP} + \angle \text{OPA}) = 180^\circ \)
\( 2\angle \text{AOP} + 2\angle \text{OPA} = 180^\circ \)
\( \angle \text{AOB} + \angle \text{APB} = 180^\circ \)
\( \implies \angle \text{AOB} + \angle \text{APB} = 180^\circ \)
In simple words: स्पर्श रेखाएँ स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती हैं, जिससे एक चतुर्भुज PAOB बनता है। इस चतुर्भुज में, \( \angle \text{A} \) और \( \angle \text{B} \) 90° होते हैं। चूंकि एक चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है, तो \( \angle \text{P} \) (बाहरी कोण) और \( \angle \text{O} \) (केंद्र पर अंतरित कोण) का योग 180° होगा।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय है। इसे सिद्ध करने के लिए चतुर्भुज PAOB के कोणों के योग का उपयोग किया जाता है। याद रखें कि त्रिज्याएं स्पर्श रेखाओं के लंबवत होती हैं, जिससे \( \angle \text{OAP} = \angle \text{OBP} = 90^\circ \) होता है।

Question 11. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समांतर चतुर्भुज ABCD दिखाता है जिसके अंदर एक वृत्त परिगत है, जिसका केंद्र O है। वृत्त चतुर्भुज की भुजाओं AB, BC, CD और DA को क्रमशः P, Q, R और S बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
हमें प्राप्त है कि समान्तर चतुर्भुज ABCD उस वृत्त को परिगत करता है (अर्थात् इसकी भुजाएँ उस वृत्त को स्पर्श करती हैं), जिसका केन्द्र O है।
चूंकि, इस बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाई समान होती है।
AP = AS .....(1)
BP = BQ .....(2)
CR = CQ .....(3)
DR = DS .....(4)
जोड़ने पर ।
(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)

\( \implies \text{AB} + \text{CD} = \text{AD} + \text{BC} \)
परन्तु AB = CD [च.भु. ABCD की भुजाएँ]

\( \implies \text{AB} + \text{CD} = \text{AD} + \text{BC} \)

\( \implies 2 \text{AB} = 2 \text{BC} \)

\( \implies \text{AB} = \text{BC} \)
इसी प्रकार AB = DA और DA = CD अतः AB = BC = CD = AD
ABCD एक समचर्तुभुज है।
In simple words: यदि एक समांतर चतुर्भुज एक वृत्त के परिगत है, तो उसकी विपरीत भुजाओं का योग बराबर होता है। चूंकि समांतर चतुर्भुज में विपरीत भुजाएँ पहले से ही बराबर होती हैं, तो इससे पता चलता है कि सभी भुजाएँ बराबर हैं, और इसलिए यह एक समचतुर्भुज है।

🎯 Exam Tip: इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाओं की लंबाई की समानता के गुण और समांतर चतुर्भुज के गुणों (विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं) का उपयोग करें। चरणों को तार्किक क्रम में लिखना महत्वपूर्ण है।

Question 12. 4 सेमी, त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिंदु D द्वारा BC विभाजित है) की लंबाइयाँ क्रमशः 8 सेमी. और 6 सेमी. हैं (देखिए आकृति) । भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC दिखाता है जिसके अंदर एक वृत्त परिगत है, जिसका केंद्र O और त्रिज्या 4 सेमी है। वृत्त त्रिभुज की भुजाओं BC, CA और AB को क्रमशः D, E और F पर स्पर्श करता है। बिंदु D भुजा BC को BD = 8 सेमी और DC = 6 सेमी में विभाजित करता है।
यहां, वृत्त को केन्द्र O तथा त्रिज्या 4 सेमी. है।
इसके परिगत एक \( \triangle \text{ABC} \) है।
चूंकि \( \triangle \) की भुजाएँ BC, CA और AB वृत्त को क्रमश: D, E और F पर स्पर्श करती हैं।
BF = BD = 8 सेमी.
CF = CD = 6 सेमी.
AF = AE = x सेमी. (माना)
\( \triangle \) की भुजाएँ इस प्रकार हैं:
BC = 14 सेमी. (8+6)
AC = (x + 6) सेमी.
AB = (x + 8) सेमी.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह त्रिभुज ABC के अंदर एक वृत्त दिखाता है। केंद्र O से, वृत्त की त्रिज्या 4 सेमी है। त्रिभुज की भुजाएँ AB, BC, CA क्रमशः F, D, E पर वृत्त को स्पर्श करती हैं। BD = 8 सेमी, CD = 6 सेमी और AF = AE = x सेमी (माना गया) है।
\( \triangle \text{ABC} \) का परिमाप \( = [14 + (\text{x} + 6) + (\text{x} + 8)] \) सेमी.
\( = [14 + 6 + 8 + 2\text{x}] \) सेमी.
\( = 28 + 2\text{x} \) सेमी.

\( \implies \triangle \text{ABC} \) का अर्धपरिमाप
\( \text{S} = \frac{1}{2} [28 + 2\text{x}] \) सेमी.
\( = (14 + \text{x}) \) सेमी.
\( \therefore \text{S} - \text{AB} = (14 + \text{x}) - (8+ \text{x}) = 6 \)
\( \text{S} - \text{BC} = (14 + \text{x}) - (14) = \text{x} \)
\( \text{S} - \text{AC} = (14+\text{x}) - (6+ \text{x}) = 8 \)
\( \therefore \triangle \text{ABC} \) का क्षेत्रफल
\( = \sqrt{\text{S}(\text{S}-\text{AB}) (\text{S} - \text{BC}) (\text{S} - \text{AC})} \)
\( = \sqrt{(14 + \text{x}) (6) (\text{x}) (8)} \) सेमी.\(^2\)
\( = \sqrt{(14 + \text{x}) 48\text{x}} \) सेमी.\(^2\) ...(1)
अब, \( \text{A (OBC)} \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{BC} \times \text{OD} \)
\( = \frac{1}{2} \times 14 \times 4 \)
\( = 28 \) सेमी.\(^2\) [OD = त्रिज्या]
क्षे. \( (\triangle \text{OCA}) = \frac{1}{2} \text{CA} \times \text{OE} = \frac{1}{2} \times (\text{x} + 6) \times 4 \)
\( = \frac{1}{2} \times 4(\text{x} + 6) = (2\text{x} + 12) \) सेमी.\(^2\)
क्षे. \( (\triangle \text{OAB}) = \frac{1}{2} \times \text{AB} \times \text{OF} \)
\( = \frac{1}{2} \times (\text{x} + 8) \times 4 \)
\( = (2\text{x} + 16) \) सेमी.\(^2\)
\( \therefore \) क्षे. \( (\triangle \text{ABC}) = \text{ar} (\triangle \text{OBC}) + \text{ar}(\triangle \text{OCA}) + \text{ar}(\triangle \text{OAB}) \)
\( = 28 \) सेमी.\(^2 + (2\text{x} + 12) \) सेमी.\(^2 + (2\text{x} + 16) \) सेमी.\(^2\)
\( = (28 + 12 + 16) + 4\text{x} \) सेमी.\(^2\)
\( = (56 + 4\text{x}) \) सेमी.\(^2\) ...(2)
(1) और (2) से
\( 56 + 4\text{x} = \sqrt{(14 + \text{x}) 48\text{x}} \)
\( 4[14+\text{x}] = \sqrt{4 (14 + \text{x}) \times 3\text{x}} \)

\( \implies 14 + \text{x} = \sqrt{(14 + \text{x})3\text{x}} \)
दोनों ओर वर्ग करने पर,
\( (14 + \text{x})^2 = (14 + \text{x}) 3\text{x} \)

\( \implies 196 + \text{x}^2 + 28\text{x} = 42\text{x} + 3\text{x}^2 \)

\( \implies 2\text{x}^2 + 14\text{x} - 196 = 0 \)

\( \implies \text{x}^2 + 7\text{x} - 98 = 0 \)

\( \implies (\text{x} - 7) (\text{x} + 14) = 0 \)
\( \implies \) या तो \( \text{x} - 7 = 0 \implies \text{x} = 7 \)
या \( \text{x} + 14 = 0 \implies \text{x} = (-14) \)
परन्तु \( \text{x} = (-14) \) अवांछनीय है । \( \text{x} = 7 \) सेमी. इस प्रकार,
AB \( = 8 + 7 = 15 \) सेमी.,
BC \( = 8 + 6 = 14 \) सेमी.,
CA \( = 6 + 7 = 13 \) सेमी.
In simple words: बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाओं की समानता का उपयोग करके त्रिभुज की भुजाओं को व्यक्त करें। त्रिभुज का क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र का उपयोग करके और केंद्र से प्रत्येक भुजा पर बने त्रिभुजों के क्षेत्रफल के योग के रूप में ज्ञात करें। दोनों अभिव्यक्तियों को बराबर करके 'x' का मान ज्ञात करें, फिर भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: यह एक लंबा और जटिल प्रश्न है जिसमें हीरोन के सूत्र और केंद्र से बनने वाले छोटे त्रिभुजों के क्षेत्रफल के योग दोनों का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना शामिल है। बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई की समानता को लागू करने और बीजगणितीय समीकरणों को सावधानीपूर्वक हल करने में सटीकता बनाए रखें।

Question 13. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है, और एक चतुर्भुज ABCD इस वृत्त के परिगत है। वृत्त भुजाओं AB, BC, CD और DA को क्रमशः P, Q, R, S पर स्पर्श करता है। केंद्र O से स्पर्श बिंदुओं और चतुर्भुज के शीर्षों तक रेखाखंड खींचे गए हैं, जिससे विभिन्न कोण बनते हैं, जिन्हें \( \angle 1 \) से \( \angle 8 \) तक लेबल किया गया है।
हमें प्राप्त है कि वृत्त जिसका केन्द्र O है, के परिगत चतुर्भुज ABCD है।
चतुर्भुज की भुजाएँ AB, BC, CD और DA वृत्त को क्रमशः P, Q, R और S पर स्पर्श करती हैं। हम जानते हैं कि बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ, केन्द्र पर समान कोण बनाती हैं।
\( \angle 1 = \angle 2 \)
\( \angle 3 = \angle 4 \)
\( \angle 5 = \angle 6 \)
और \( \angle 7 = \angle 8 \)
एक बिन्दु पर बने सभी कोणों का योग 360° होता है।
\( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 + \angle 7 + \angle 8 = 360^\circ \)

\( \implies 2(\angle 1 + \angle 8 + \angle 5 + \angle 4) = 360^\circ \)
\( \implies (\angle 1 + \angle 8 + \angle 5 + \angle 4) = 180^\circ \) ...(1)
और \( 2(\angle 2 + \angle 3 + \angle 6 + \angle 7) = 360^\circ \)

\( \implies (\angle 2 + \angle 3) + (\angle 6 + \angle 7) = 180^\circ \) ...(2)
चूंकि \( \angle 2 + \angle 3 = \angle \text{AOB} \)
\( \angle 6 + \angle 7 = \angle \text{COD} \)
\( \angle 1 + \angle 8 = \angle \text{AOD} \)
\( \angle 4 + \angle 5 = \angle \text{BOC} \)
(1) और (2) से हमें प्राप्त होता है।
\( \angle \text{AOD} + \angle \text{BOC} = 180^\circ \)
और \( \angle \text{AOB} + \angle \text{COD} = 180^\circ \)
In simple words: किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं। केंद्र पर बने सभी कोणों का योग 360° होता है। इस तथ्य का उपयोग करके, हम सिद्ध कर सकते हैं कि चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण बनाती हैं।

🎯 Exam Tip: यह एक और महत्वपूर्ण प्रमेय है। मुख्य विचार यह है कि केंद्र से स्पर्श बिंदुओं तक खींची गई रेखाएं चतुर्भुज के शीर्षों से केंद्र तक खींची गई रेखाओं के साथ सर्वांगसम त्रिभुज बनाती हैं, जिससे केंद्र पर समान कोण उत्पन्न होते हैं। एक बिंदु के चारों ओर कोणों के योग 360° का उपयोग करके इसे सिद्ध करें।