UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 10 Trigonometrical Ratios and Identities Ex 101

Ex 10.1 Trigonometrical Ratios and Identities अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1. यदि \( \sin \theta = \frac{3}{5} \), तब \( \tan \theta \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।\( (\text{कर्ण})^2 = (\text{लम्ब})^2 + (\text{आधार})^2 \) दिया गया है कि \( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5} \)। इससे लम्ब = 3 और कर्ण = 5 मिलता है। अब आधार की गणना करते हैं: \( (5)^2 = (3)^2 + (\text{आधार})^2 \) \( 25 = 9 + (\text{आधार})^2 \) \( 25 - 9 = (\text{आधार})^2 \) \( 16 = (\text{आधार})^2 \) \( \text{आधार} = \sqrt{16} \) \( \text{आधार} = 4 \) अब, \( \tan \theta \) का मान ज्ञात करते हैं: \( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{3}{4} \)
In simple words: हमें \( \sin \theta \) दिया गया है, जिससे हमने त्रिभुज का लम्ब और कर्ण पता किया। फिर, हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आधार ज्ञात किया, जो 4 आया। अंत में, हमने लम्ब और आधार का उपयोग करके \( \tan \theta \) का मान \( \frac{3}{4} \) निकाला।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों के प्रश्नों को हल करते समय, सबसे पहले एक समकोण त्रिभुज बनाकर दी गई जानकारी को चिह्नित करें और फिर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात भुजा ज्ञात करें।

प्रश्न 2. यदि \( \cos \theta = \frac{1}{3} \), तब \( \sin \theta \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।\( (\text{कर्ण})^2 = (\text{लम्ब})^2 + (\text{आधार})^2 \) दिया गया है कि \( \cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{1}{3} \)। इससे आधार = 1 और कर्ण = 3 मिलता है। अब लम्ब की गणना करते हैं: \( (3)^2 = (\text{लम्ब})^2 + (1)^2 \) \( 9 = (\text{लम्ब})^2 + 1 \) \( 9 - 1 = (\text{लम्ब})^2 \) \( 8 = (\text{लम्ब})^2 \) \( \text{लम्ब} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) अब, \( \sin \theta \) का मान ज्ञात करते हैं: \( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
In simple words: हमें \( \cos \theta \) दिया गया था, जिससे हमने त्रिभुज का आधार और कर्ण ज्ञात किया। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हमने लम्ब को \( 2\sqrt{2} \) निकाला। फिर, हमने लम्ब और कर्ण का उपयोग करके \( \sin \theta \) का मान \( \frac{2\sqrt{2}}{3} \) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जब भी \( \sqrt{8} \) जैसी संख्याएँ आएं, उन्हें \( 2\sqrt{2} \) जैसे सरलतम रूप में लिखना न भूलें ताकि उत्तर साफ-सुथरा लगे।

प्रश्न 3. यदि \( \cos \theta = \frac{4}{5} \), तब \( \tan \theta \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।\( (\text{कर्ण})^2 = (\text{लम्ब})^2 + (\text{आधार})^2 \) दिया गया है कि \( \cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{4}{5} \)। इससे आधार = 4 और कर्ण = 5 मिलता है। अब लम्ब की गणना करते हैं: \( (5)^2 = (\text{लम्ब})^2 + (4)^2 \) \( 25 = (\text{लम्ब})^2 + 16 \) \( 25 - 16 = (\text{लम्ब})^2 \) \( 9 = (\text{लम्ब})^2 \) \( \text{लम्ब} = \sqrt{9} = 3 \) अब, \( \tan \theta \) का मान ज्ञात करते हैं: \( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{3}{4} \)
In simple words: \( \cos \theta \) से आधार और कर्ण पता चला। पाइथागोरस प्रमेय का इस्तेमाल करके लम्ब 3 आया। फिर, \( \tan \theta \) का मान \( \frac{3}{4} \) मिला।

🎯 Exam Tip: यह एक मानक त्रिकोणमितीय अनुपात है। आप \( \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \) के 3-4-5 त्रिकोणमितीय युग्म को याद रख सकते हैं, जो गणनाओं को तेज़ करता है।

प्रश्न 4. यदि \( \sec \theta = 2 \), तब \( \cot \theta \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।\( (\text{कर्ण})^2 = (\text{लम्ब})^2 + (\text{आधार})^2 \) दिया गया है कि \( \sec \theta = 2 = \frac{2}{1} \)। हम जानते हैं कि \( \sec \theta = \frac{\text{कर्ण}}{\text{आधार}} \)। इससे कर्ण = 2 और आधार = 1 मिलता है। अब लम्ब की गणना करते हैं: \( (2)^2 = (\text{लम्ब})^2 + (1)^2 \) \( 4 = (\text{लम्ब})^2 + 1 \) \( 4 - 1 = (\text{लम्ब})^2 \) \( 3 = (\text{लम्ब})^2 \) \( \text{लम्ब} = \sqrt{3} \) अब, \( \cot \theta \) का मान ज्ञात करते हैं: \( \cot \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{लम्ब}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
In simple words: हमने \( \sec \theta \) से कर्ण और आधार पता किया। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके लम्ब को \( \sqrt{3} \) निकाला। फिर, \( \cot \theta \) का मान \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) मिला।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि \( \sec \theta \) और \( \cos \theta \) एक-दूसरे के व्युत्क्रम (उल्टे) होते हैं। इसी तरह, \( \cot \theta \) और \( \tan \theta \) भी व्युत्क्रम होते हैं। यह संबंध गणनाओं को आसान बनाता है।

प्रश्न 5. यदि \( \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \), तब \( \frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:हमें \( \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \) दिया गया है। अब दिए गए व्यंजक में यह मान रखते हैं: \( \frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta} \) \( = \frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \) \( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \) \( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3-1}{3}} \) \( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \) \( = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} \) \( = \frac{3}{\sqrt{3}} \) \( = \sqrt{3} \)
In simple words: हमने \( \tan \theta \) का दिया गया मान सीधे समीकरण में रखा। फिर, हमने भिन्न को सरल बनाया, वर्ग किया और घटाया, जिससे हमें अंत में \( \sqrt{3} \) उत्तर मिला। यह एक प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय पहचान का सूत्र भी है, \( \tan 2\theta \)।

🎯 Exam Tip: इस तरह के व्यंजक को हल करते समय, भिन्नों को सावधानी से सरल करें और सुनिश्चित करें कि आप वर्ग और गुणा के क्रम का सही ढंग से पालन कर रहे हैं। याद रखें कि \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) \( \tan 30^\circ \) का मान है।

प्रश्न 6. यदि \( \sin \theta = \frac{4}{5} \), तब \( 3 \sec \theta - 5 \cos \theta \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।दिया गया है कि \( \sin \theta = \frac{4}{5} \)। हम जानते हैं कि \( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} \)। इससे लम्ब = 4 और कर्ण = 5 मिलता है। पाइथागोरस प्रमेय से आधार की गणना करते हैं: \( (\text{आधार})^2 = (\text{कर्ण})^2 - (\text{लम्ब})^2 \) \( (\text{आधार})^2 = (5)^2 - (4)^2 \) \( (\text{आधार})^2 = 25 - 16 \) \( (\text{आधार})^2 = 9 \) \( \text{आधार} = \sqrt{9} = 3 \) अब, \( \cos \theta \) और \( \sec \theta \) के मान ज्ञात करते हैं: \( \cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5} \) \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3} \) अब दिए गए व्यंजक में मान रखते हैं: \( 3 \sec \theta - 5 \cos \theta \) \( = 3 \times \frac{5}{3} - 5 \times \frac{3}{5} \) \( = 5 - 3 \) \( = 2 \)
In simple words: \( \sin \theta \) से हमने लम्ब और कर्ण को जाना। पाइथागोरस प्रमेय से आधार 3 मिला। फिर \( \cos \theta \) और \( \sec \theta \) के मान निकाले। अंत में, इन मानों को दिए गए समीकरण में रखकर सरल करने पर हमें 2 मिला।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच के संबंधों को याद रखना महत्वपूर्ण है, जैसे \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \), यह गणनाओं को तेज और आसान बनाता है।

Ex 10.1 Trigonometrical Ratios and Identities लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 7. यदि \( 4 \tan \theta = 3 \), तब सिद्ध कीजिए कि : \( \frac{4 \sin \theta+3 \cos \theta}{8 \sin \theta+5 \cos \theta}=\frac{6}{11} \)
Answer:हमें \( 4 \tan \theta = 3 \) दिया गया है, इसलिए \( \tan \theta = \frac{3}{4} \)। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।\( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{3}{4} \)। इससे लम्ब = 3 और आधार = 4 मिलता है। कर्ण की गणना करते हैं: \( (\text{कर्ण})^2 = (\text{लम्ब})^2 + (\text{आधार})^2 \) \( (\text{कर्ण})^2 = (3)^2 + (4)^2 \) \( (\text{कर्ण})^2 = 9 + 16 \) \( (\text{कर्ण})^2 = 25 \) \( \text{कर्ण} = \sqrt{25} = 5 \) अब, \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के मान ज्ञात करते हैं: \( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5} \) \( \cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{4}{5} \) अब दिए गए व्यंजक के LHS में मान रखते हैं: \( \text{LHS} = \frac{4 \sin \theta+3 \cos \theta}{8 \sin \theta+5 \cos \theta} \) \( = \frac{4 \times \frac{3}{5} + 3 \times \frac{4}{5}}{8 \times \frac{3}{5} + 5 \times \frac{4}{5}} \) \( = \frac{\frac{12}{5} + \frac{12}{5}}{\frac{24}{5} + \frac{20}{5}} \) \( = \frac{\frac{12+12}{5}}{\frac{24+20}{5}} \) \( = \frac{\frac{24}{5}}{\frac{44}{5}} \) \( = \frac{24}{5} \times \frac{5}{44} \) \( = \frac{24}{44} \) \( = \frac{6}{11} \) \( = \text{RHS} \)
In simple words: हमने \( \tan \theta \) से एक त्रिभुज की भुजाएँ निकालीं और \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के मान प्राप्त किए। फिर, उन मानों को दिए गए समीकरण के बाएँ भाग में रखकर सरल किया, जिससे हमें दायाँ भाग \( \frac{6}{11} \) मिला। इससे सिद्ध होता है कि समीकरण सही है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, \( \tan \theta \) से \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के मान ज्ञात करने के लिए समकोण त्रिभुज विधि अक्सर सबसे सीधी होती है। आप अंश और हर को \( \cos \theta \) से विभाजित करके भी सीधे \( \tan \theta \) का उपयोग कर सकते हैं।

प्रश्न 8. यदि \( \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \), तब सिद्ध कीजिए कि \( 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta = 0 \)
Answer:हमें \( \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) दिया गया है। अब दिए गए व्यंजक के LHS में यह मान रखते हैं: \( \text{LHS} = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \) \( = 4 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 - 3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) \( = 4 \times \frac{(\sqrt{3})^3}{(2)^3} - \frac{3\sqrt{3}}{2} \) \( = 4 \times \frac{3\sqrt{3}}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{2} \) \( = \frac{12\sqrt{3}}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{2} \) \( = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} \) \( = 0 \) \( = \text{RHS} \)
In simple words: हमने \( \cos \theta \) के दिए गए मान को समीकरण के बाईं ओर रखा। फिर, हमने घन किया, गुणा किया और घटाया, जिससे हमें 0 मिला, जो समीकरण का दाहिना भाग है। यह दिखाता है कि \( \cos 3\theta \) का सूत्र \( 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \) है।

🎯 Exam Tip: यह \( \cos 3\theta \) का एक मानक त्रिकोणमितीय सूत्र है। यदि आप इसे याद रखते हैं, तो आप सीधे \( \cos 3\theta = \cos (3 \times 30^\circ) = \cos 90^\circ = 0 \) लिखकर उत्तर की पुष्टि कर सकते हैं।

प्रश्न 9. यदि \( \tan \theta = \sqrt{2} - 1 \), तब सिद्ध कीजिए कि \( \cot \theta = \sqrt{2} + 1 \)
Answer:हमें \( \tan \theta = \sqrt{2} - 1 \) दिया गया है। हम जानते हैं कि \( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \)। तो, \( \cot \theta = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \) अब हर का परिमेयकरण (rationalize) करते हैं: \( \cot \theta = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} \) \( \cot \theta = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - (1)^2} \) (क्योंकि \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \)) \( \cot \theta = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} \) \( \cot \theta = \frac{\sqrt{2} + 1}{1} \) \( \cot \theta = \sqrt{2} + 1 \) यह RHS के बराबर है।
In simple words: हमने \( \tan \theta \) के व्युत्क्रम \( \cot \theta \) को लिखा। फिर, हर से वर्गमूल हटाने के लिए, हमने \( (\sqrt{2} + 1) \) से ऊपर-नीचे गुणा किया। इससे हर 1 हो गया और हमें \( \cot \theta = \sqrt{2} + 1 \) मिला, जो हमें सिद्ध करना था।

🎯 Exam Tip: जब हर में वर्गमूल वाली संख्याएँ हों, तो उसे हमेशा परिमेयकरण करके सरल बनाना याद रखें। यह आपके उत्तर को मानक रूप में प्रस्तुत करता है।

प्रश्न 10. यदि \( \cos \theta = \frac{4}{5} \), तब सिद्ध कीजिए कि \( \frac{\tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=\frac{\sin \theta}{\sec \theta} \)
Answer:हमें \( \cos \theta = \frac{4}{5} \) दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।\( \cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{4}{5} \)। इससे आधार = 4 और कर्ण = 5 मिलता है। लम्ब की गणना करते हैं: \( (\text{लम्ब})^2 = (\text{कर्ण})^2 - (\text{आधार})^2 \) \( (\text{लम्ब})^2 = (5)^2 - (4)^2 \) \( (\text{लम्ब})^2 = 25 - 16 \) \( (\text{लम्ब})^2 = 9 \) \( \text{लम्ब} = \sqrt{9} = 3 \) अब अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात करते हैं: \( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5} \) \( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{3}{4} \) \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4} \) अब LHS की गणना करते हैं: \( \text{LHS} = \frac{\tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta} = \frac{\frac{3}{4}}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2} \) \( = \frac{\frac{3}{4}}{1+\frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{16+9}{16}} \) \( = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{25}{16}} = \frac{3}{4} \times \frac{16}{25} \) \( = \frac{3 \times 4}{25} = \frac{12}{25} \) अब RHS की गणना करते हैं: \( \text{RHS} = \frac{\sin \theta}{\sec \theta} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{5}{4}} \) \( = \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{25} \) चूंकि LHS = RHS है, इसलिए यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने \( \cos \theta \) से त्रिभुज की भुजाएँ निकालीं और \( \sin \theta, \tan \theta, \sec \theta \) के मान ज्ञात किए। फिर, हमने समीकरण के बाएँ और दाएँ दोनों भागों को अलग-अलग हल किया। दोनों का मान \( \frac{12}{25} \) आया, जिससे सिद्ध होता है कि समीकरण सही है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, पहले सभी आवश्यक त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात करें और फिर समीकरण के दोनों पक्षों को अलग-अलग हल करें। एक पहचान \( 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \) का उपयोग करके LHS को सीधे \( \frac{\tan \theta}{\sec^2 \theta} = \frac{\sin \theta / \cos \theta}{1 / \cos^2 \theta} = \sin \theta \cos \theta \) में भी बदला जा सकता है, और RHS \( \frac{\sin \theta}{\sec \theta} = \sin \theta \cos \theta \) है।

प्रश्न 11. यदि \( \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \), तब सिद्ध कीजिए कि \( 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta = -1 \)
Answer:हमें \( \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।\( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)। इससे लम्ब = \( \sqrt{3} \) और कर्ण = 2 मिलता है। आधार की गणना करते हैं: \( (\text{आधार})^2 = (\text{कर्ण})^2 - (\text{लम्ब})^2 \) \( (\text{आधार})^2 = (2)^2 - (\sqrt{3})^2 \) \( (\text{आधार})^2 = 4 - 3 \) \( (\text{आधार})^2 = 1 \) \( \text{आधार} = \sqrt{1} = 1 \) अब, \( \cos \theta \) का मान ज्ञात करते हैं: \( \cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{1}{2} \) अब दिए गए व्यंजक के LHS में \( \cos \theta \) का मान रखते हैं: \( \text{LHS} = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \) \( = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 3 \left(\frac{1}{2}\right) \) \( = 4 \times \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \) \( = \frac{4}{8} - \frac{3}{2} \) \( = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \) \( = \frac{1-3}{2} \) \( = \frac{-2}{2} \) \( = -1 \) \( = \text{RHS} \)
In simple words: \( \sin \theta \) से हमने त्रिभुज का लम्ब और कर्ण निकाला। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आधार 1 मिला, जिससे \( \cos \theta = \frac{1}{2} \) आया। इस मान को समीकरण के बाएँ भाग में रखा और सरल करने पर -1 मिला, जो दाएँ भाग के बराबर है।

🎯 Exam Tip: यह भी \( \cos 3\theta \) का एक और उपयोग है, क्योंकि \( \cos \theta = \frac{1}{2} \) का अर्थ \( \theta = 60^\circ \) है। तब \( \cos 3\theta = \cos (3 \times 60^\circ) = \cos 180^\circ = -1 \)। सीधे \( \theta \) का मान पता करके भी आप उत्तर की जाँच कर सकते हैं।

प्रश्न 12. यदि \( \tan \theta = 2 \), तब सिद्ध कीजिए कि \( \sec \theta \sin \theta + \tan^2 \theta - \operatorname{cosec}^2 \theta = \frac{19}{4} \)
Answer:हमें \( \tan \theta = 2 = \frac{2}{1} \) दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।\( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{2}{1} \)। इससे लम्ब = 2 और आधार = 1 मिलता है। कर्ण की गणना करते हैं: \( (\text{कर्ण})^2 = (\text{लम्ब})^2 + (\text{आधार})^2 \) \( (\text{कर्ण})^2 = (2)^2 + (1)^2 \) \( (\text{कर्ण})^2 = 4 + 1 \) \( (\text{कर्ण})^2 = 5 \) \( \text{कर्ण} = \sqrt{5} \) अब अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात करते हैं: \( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \) \( \sec \theta = \frac{\text{कर्ण}}{\text{आधार}} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5} \) \( \operatorname{cosec} \theta = \frac{\text{कर्ण}}{\text{लम्ब}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \) अब दिए गए व्यंजक के LHS में मान रखते हैं: \( \text{LHS} = \sec \theta \sin \theta + \tan^2 \theta - \operatorname{cosec}^2 \theta \) \( = \left(\sqrt{5}\right) \times \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) + (2)^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 \) \( = 2 + 4 - \frac{5}{4} \) \( = 6 - \frac{5}{4} \) \( = \frac{24 - 5}{4} \) \( = \frac{19}{4} \) \( = \text{RHS} \)
In simple words: \( \tan \theta \) के मान से हमने त्रिभुज की सभी भुजाएँ (लम्ब, आधार, कर्ण) ज्ञात कीं। फिर, हमने \( \sin \theta, \sec \theta, \operatorname{cosec} \theta \) के मान निकाले। अंत में, इन सभी मानों को समीकरण के बाएँ भाग में रखकर सरल किया, जिससे हमें \( \frac{19}{4} \) मिला, जो दाएँ भाग के बराबर है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणनाएँ सही हैं, हमेशा त्रिकोणमितीय अनुपातों की परिभाषाओं और पाइथागोरस प्रमेय का सही ढंग से उपयोग करें। भिन्न वाली संख्याओं को जोड़ते या घटाते समय सामान्य हर (LCM) का उपयोग करें।

Ex 10.1 Trigonometrical Ratios and Identities दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 13. यदि \( \sin \theta = \frac{a}{b} \), तब सिद्ध कीजिए कि \( (\tan \theta - \cot \theta) = \frac{2 a^{2}-b^{2}}{a \sqrt{b^{2}-a^{2}}} \)
Answer:हमें \( \sin \theta = \frac{a}{b} \) दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।\( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{a}{b} \)। इससे लम्ब = a और कर्ण = b मिलता है। आधार की गणना करते हैं: \( (\text{आधार})^2 = (\text{कर्ण})^2 - (\text{लम्ब})^2 \) \( (\text{आधार})^2 = b^2 - a^2 \) \( \text{आधार} = \sqrt{b^2 - a^2} \) अब, \( \tan \theta \) और \( \cot \theta \) के मान ज्ञात करते हैं: \( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{a}{\sqrt{b^2 - a^2}} \) \( \cot \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{लम्ब}} = \frac{\sqrt{b^2 - a^2}}{a} \) अब दिए गए व्यंजक के LHS में मान रखते हैं: \( \text{LHS} = \tan \theta - \cot \theta \) \( = \frac{a}{\sqrt{b^2 - a^2}} - \frac{\sqrt{b^2 - a^2}}{a} \) सामान्य हर लेकर घटाते हैं: \( = \frac{a \times a - \sqrt{b^2 - a^2} \times \sqrt{b^2 - a^2}}{a \sqrt{b^2 - a^2}} \) \( = \frac{a^2 - (b^2 - a^2)}{a \sqrt{b^2 - a^2}} \) \( = \frac{a^2 - b^2 + a^2}{a \sqrt{b^2 - a^2}} \) \( = \frac{2a^2 - b^2}{a \sqrt{b^2 - a^2}} \) \( = \text{RHS} \)
In simple words: हमने \( \sin \theta \) से त्रिभुज का लम्ब और कर्ण निकाला। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके आधार \( \sqrt{b^2-a^2} \) मिला। फिर \( \tan \theta \) और \( \cot \theta \) के मान निकाले। अंत में, इन मानों को समीकरण के बाएँ भाग में रखकर सरल किया, जिससे हमें दायाँ भाग मिला।

🎯 Exam Tip: बीजीय व्यंजकों (algebraic expressions) वाले त्रिकोणमितीय प्रश्नों को हल करते समय, भिन्नों को जोड़ते या घटाते समय सामान्य हर (LCM) सही ढंग से लें और बीजगणित के नियमों का पालन करें। \( \sqrt{x} \times \sqrt{x} = x \) को ध्यान में रखें।

प्रश्न 14. यदि \( \cot \theta = \frac{3}{4} \), तब सिद्ध कीजिए कि \( \frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta-\cos \theta} = 7 \)
Answer:हमें \( \cot \theta = \frac{3}{4} \) दिया गया है। दिए गए व्यंजक को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को \( \sin \theta \) से विभाजित करते हैं: \( \text{LHS} = \frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta-\cos \theta} \) अंश और हर को \( \sin \theta \) से विभाजित करने पर: \( = \frac{\frac{\sin \theta}{\sin \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\sin \theta}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta}} \) हम जानते हैं कि \( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta \)। \( = \frac{1 + \cot \theta}{1 - \cot \theta} \) अब \( \cot \theta = \frac{3}{4} \) का मान रखते हैं: \( = \frac{1 + \frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}} \) अंश को सरल करते हैं: \( 1 + \frac{3}{4} = \frac{4+3}{4} = \frac{7}{4} \) हर को सरल करते हैं: \( 1 - \frac{3}{4} = \frac{4-3}{4} = \frac{1}{4} \) \( = \frac{\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}} \) \( = \frac{7}{4} \times \frac{4}{1} \) \( = 7 \) \( = \text{RHS} \)
In simple words: हमें \( \cot \theta \) का मान दिया गया था। हमने दिए गए भिन्न के अंश और हर दोनों को \( \sin \theta \) से भाग दिया, जिससे यह \( \cot \theta \) के रूप में बदल गया। फिर, \( \cot \theta \) का मान रखकर और भिन्नों को सरल करके हमें 7 मिला, जो दाहिना भाग है।

🎯 Exam Tip: जब भी \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के पद अंश और हर दोनों में हों, और आपको \( \tan \theta \) या \( \cot \theta \) का मान दिया गया हो, तो अंश और हर को \( \cos \theta \) (यदि \( \tan \theta \) दिया गया हो) या \( \sin \theta \) (यदि \( \cot \theta \) दिया गया हो) से विभाजित करना अक्सर सबसे प्रभावी तरीका होता है।

प्रश्न 15. यदि \( \tan \theta = \frac{a}{b} \), तब सिद्ध कीजिए कि \( \frac{a \sin \theta-b \cos \theta}{a \sin \theta+b \cos \theta}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \)
Answer:हमें \( \tan \theta = \frac{a}{b} \) दिया गया है। दिए गए व्यंजक को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को \( \cos \theta \) से विभाजित करते हैं: \( \text{LHS} = \frac{a \sin \theta-b \cos \theta}{a \sin \theta+b \cos \theta} \) अंश और हर को \( \cos \theta \) से विभाजित करने पर: \( = \frac{\frac{a \sin \theta}{\cos \theta} - \frac{b \cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{a \sin \theta}{\cos \theta} + \frac{b \cos \theta}{\cos \theta}} \) हम जानते हैं कि \( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta \)। \( = \frac{a \tan \theta - b}{a \tan \theta + b} \) अब \( \tan \theta = \frac{a}{b} \) का मान रखते हैं: \( = \frac{a \left(\frac{a}{b}\right) - b}{a \left(\frac{a}{b}\right) + b} \) \( = \frac{\frac{a^2}{b} - b}{\frac{a^2}{b} + b} \) अंश में सामान्य हर लेते हैं: \( \frac{a^2 - b^2}{b} \) हर में सामान्य हर लेते हैं: \( \frac{a^2 + b^2}{b} \) \( = \frac{\frac{a^2 - b^2}{b}}{\frac{a^2 + b^2}{b}} \) \( = \frac{a^2 - b^2}{b} \times \frac{b}{a^2 + b^2} \) \( = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} \) \( = \text{RHS} \)
In simple words: \( \tan \theta \) का मान दिया गया था। हमने समीकरण के अंश और हर दोनों को \( \cos \theta \) से भाग दिया, जिससे सभी पद \( \tan \theta \) के रूप में बदल गए। फिर, \( \tan \theta \) का मान रखकर और भिन्नों को सरल करके हमें \( \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \) मिला, जो दाहिना भाग है।

🎯 Exam Tip: यह एक सामान्य तरीका है जब आपको \( \tan \theta \) का मान दिया गया हो और व्यंजक में \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) दोनों हों। अंश और हर को \( \cos \theta \) से विभाजित करने से व्यंजक पूरी तरह से \( \tan \theta \) के पदों में बदल जाता है, जिससे गणना आसान हो जाती है।

प्रश्न 16. यदि \( \tan \theta = \frac{4}{3} \), तब सिद्ध कीजिए कि \( \sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}} = 3 \)
Answer:हमें \( \tan \theta = \frac{4}{3} \) दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।\( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{4}{3} \)। इससे लम्ब = 4 और आधार = 3 मिलता है। कर्ण की गणना करते हैं: \( (\text{कर्ण})^2 = (\text{लम्ब})^2 + (\text{आधार})^2 \) \( (\text{कर्ण})^2 = (4)^2 + (3)^2 \) \( (\text{कर्ण})^2 = 16 + 9 \) \( (\text{कर्ण})^2 = 25 \) \( \text{कर्ण} = \sqrt{25} = 5 \) अब, \( \sin \theta \) का मान ज्ञात करते हैं: \( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{4}{5} \) अब दिए गए व्यंजक के LHS में मान रखते हैं: \( \text{LHS} = \sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}} \) \( = \sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{1-\frac{4}{5}}} \) अंश को सरल करते हैं: \( 1 + \frac{4}{5} = \frac{5+4}{5} = \frac{9}{5} \) हर को सरल करते हैं: \( 1 - \frac{4}{5} = \frac{5-4}{5} = \frac{1}{5} \) \( = \sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{\frac{1}{5}}} \) \( = \sqrt{\frac{9}{5} \times \frac{5}{1}} \) \( = \sqrt{9} \) \( = 3 \) \( = \text{RHS} \)
In simple words: \( \tan \theta \) से हमने त्रिभुज की भुजाएँ निकालीं, जिससे \( \sin \theta = \frac{4}{5} \) आया। इस मान को समीकरण के बाएँ भाग में रखा और भिन्नों को सरल करके वर्गमूल लिया, जिससे हमें 3 मिला, जो दाएँ भाग के बराबर है।

🎯 Exam Tip: यह सिद्ध करने वाले प्रश्नों में अक्सर पूछा जाने वाला एक प्रकार है। आप \( \sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}} \) को \( \sec \theta + \tan \theta \) के बराबर भी सिद्ध कर सकते हैं, जो अक्सर गणनाओं को सरल बनाता है।

प्रश्न 17. यदि \( \cos \theta = \frac{5}{13} \), तब सिद्ध कीजिए कि \( \frac{2 \sin \theta-3 \cos \theta}{4 \sin \theta-9 \cos \theta} = 3 \)
Answer:हमें \( \cos \theta = \frac{5}{13} \) दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।\( \cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{5}{13} \)। इससे आधार = 5 और कर्ण = 13 मिलता है। लम्ब की गणना करते हैं: \( (\text{लम्ब})^2 = (\text{कर्ण})^2 - (\text{आधार})^2 \) \( (\text{लम्ब})^2 = (13)^2 - (5)^2 \) \( (\text{लम्ब})^2 = 169 - 25 \) \( (\text{लम्ब})^2 = 144 \) \( \text{लम्ब} = \sqrt{144} = 12 \) अब, \( \sin \theta \) का मान ज्ञात करते हैं: \( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{12}{13} \) अब दिए गए व्यंजक के LHS में मान रखते हैं: \( \text{LHS} = \frac{2 \sin \theta-3 \cos \theta}{4 \sin \theta-9 \cos \theta} \) \( = \frac{2 \left(\frac{12}{13}\right) - 3 \left(\frac{5}{13}\right)}{4 \left(\frac{12}{13}\right) - 9 \left(\frac{5}{13}\right)} \) \( = \frac{\frac{24}{13} - \frac{15}{13}}{\frac{48}{13} - \frac{45}{13}} \) \( = \frac{\frac{24-15}{13}}{\frac{48-45}{13}} \) \( = \frac{\frac{9}{13}}{\frac{3}{13}} \) \( = \frac{9}{13} \times \frac{13}{3} \) \( = \frac{9}{3} \) \( = 3 \) \( = \text{RHS} \)
In simple words: हमने \( \cos \theta \) से त्रिभुज की भुजाएँ निकालीं, जिससे \( \sin \theta = \frac{12}{13} \) आया। फिर, \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के मानों को समीकरण के बाएँ भाग में रखकर सरल किया। इससे हमें 3 मिला, जो दाएँ भाग के बराबर है।

🎯 Exam Tip: यह भी एक उदाहरण है जहाँ आप अंश और हर को \( \cos \theta \) से विभाजित करके \( \tan \theta \) के पदों में हल कर सकते हैं। \( \tan \theta = \frac{12}{5} \) होगा, और फिर आप इसे सीधे व्यंजक में डाल सकते हैं। 5-12-13 एक मानक त्रिकोणमितीय त्रिक (Pythagorean triplet) है।

प्रश्न 18. यदि \( \sin \theta = \frac{4}{5} \), तब सिद्ध कीजिए कि \( \frac{4 \tan \theta-5 \cos \theta}{\sec \theta+\cot \theta}=\frac{28}{29} \)
Answer:हमें \( \sin \theta = \frac{4}{5} \) दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।\( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{4}{5} \)। इससे लम्ब = 4 और कर्ण = 5 मिलता है। आधार की गणना करते हैं: \( (\text{आधार})^2 = (\text{कर्ण})^2 - (\text{लम्ब})^2 \) \( (\text{आधार})^2 = (5)^2 - (4)^2 \) \( (\text{आधार})^2 = 25 - 16 \) \( (\text{आधार})^2 = 9 \) \( \text{आधार} = \sqrt{9} = 3 \) अब अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात करते हैं: \( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{4}{3} \) \( \cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5} \) \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3} \) \( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} \) अब दिए गए व्यंजक के LHS में मान रखते हैं: \( \text{LHS} = \frac{4 \tan \theta-5 \cos \theta}{\sec \theta+\cot \theta} \) \( = \frac{4 \left(\frac{4}{3}\right) - 5 \left(\frac{3}{5}\right)}{\frac{5}{3} + \frac{3}{4}} \) अंश को सरल करते हैं: \( \frac{16}{3} - \frac{15}{5} = \frac{16}{3} - 3 = \frac{16-9}{3} = \frac{7}{3} \) हर को सरल करते हैं (LCM 12 है): \( \frac{5}{3} + \frac{3}{4} = \frac{5 \times 4 + 3 \times 3}{12} = \frac{20 + 9}{12} = \frac{29}{12} \) \( = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{29}{12}} \) \( = \frac{7}{3} \times \frac{12}{29} \) \( = \frac{7 \times 4}{29} \) \( = \frac{28}{29} \) \( = \text{RHS} \)
In simple words: \( \sin \theta \) से हमने त्रिभुज की भुजाएँ निकालीं और सभी आवश्यक त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात किए। फिर, इन मानों को समीकरण के बाएँ भाग में रखा और भिन्नों को सावधानी से सरल किया, जिससे हमें \( \frac{28}{29} \) मिला, जो दाएँ भाग के बराबर है।

🎯 Exam Tip: जब व्यंजक में कई अलग-अलग त्रिकोणमितीय अनुपात शामिल हों, तो पहले एक समकोण त्रिभुज से सभी आधारभूत अनुपातों (sin, cos, tan) को ज्ञात करना और फिर उनके व्युत्क्रमों (cosec, sec, cot) को निकालना सबसे अच्छा तरीका है।

प्रश्न 19. यदि \( \tan \theta = \sqrt{2} - 1 \), तब सिद्ध कीजिए कि \( \sin \theta \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{4} \)
Answer:हमें \( \tan \theta = \sqrt{2} - 1 = \frac{\sqrt{2}-1}{1} \) दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।\( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} \)। इससे लम्ब = \( \sqrt{2} - 1 \) और आधार = 1 मिलता है। कर्ण की गणना करते हैं: \( (\text{कर्ण})^2 = (\text{लम्ब})^2 + (\text{आधार})^2 \) \( (\text{कर्ण})^2 = (\sqrt{2} - 1)^2 + (1)^2 \) \( (\text{कर्ण})^2 = ((\sqrt{2})^2 - 2 \times \sqrt{2} \times 1 + 1^2) + 1 \) (क्योंकि \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)) \( (\text{कर्ण})^2 = (2 - 2\sqrt{2} + 1) + 1 \) \( (\text{कर्ण})^2 = 3 - 2\sqrt{2} + 1 \) \( (\text{कर्ण})^2 = 4 - 2\sqrt{2} \) \( (\text{कर्ण})^2 = 2(2 - \sqrt{2}) \) \( \text{कर्ण} = \sqrt{2(2 - \sqrt{2})} \) अब, \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के मान ज्ञात करते हैं: \( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2(2 - \sqrt{2})}} \) \( \cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{1}{\sqrt{2(2 - \sqrt{2})}} \) अब, \( \sin \theta \cos \theta \) की गणना करते हैं: \( \text{LHS} = \sin \theta \cos \theta \) \( = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2(2 - \sqrt{2})}} \times \frac{1}{\sqrt{2(2 - \sqrt{2})}} \) \( = \frac{\sqrt{2}-1}{2(2 - \sqrt{2})} \) हर को परिमेयकृत करते हैं: \( = \frac{\sqrt{2}-1}{2(2 - \sqrt{2})} \times \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \) \( = \frac{(\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})}{2((2)^2 - (\sqrt{2})^2)} \) \( = \frac{2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 - 2 - \sqrt{2}}{2(4 - 2)} \) \( = \frac{2\sqrt{2} + 2 - 2 - \sqrt{2}}{2(2)} \) \( = \frac{\sqrt{2}}{4} \) \( = \text{RHS} \)
In simple words: \( \tan \theta \) के मान से हमने त्रिभुज का लम्ब और आधार निकाला। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण \( \sqrt{2(2-\sqrt{2})} \) मिला। फिर \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के मानों को गुणा किया। अंत में, हर का परिमेयकरण करके व्यंजक को सरल किया, जिससे हमें \( \frac{\sqrt{2}}{4} \) मिला।

🎯 Exam Tip: जब \( (\sqrt{2}-1)^2 \) जैसे व्यंजक को सरल कर रहे हों, तो \( (a-b)^2 \) सूत्र का उपयोग करें। वर्गमूल वाले हर का परिमेयकरण करते समय, उपयुक्त संयुग्मी (conjugate) से गुणा करना न भूलें ताकि हर एक पूर्णांक बन जाए।

प्रश्न 20. यदि \( \operatorname{cosec} \theta = \frac{5}{3} \), तब सिद्ध कीजिए कि \( \frac{\cos \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \cot \theta}=-\frac{1}{5} \)
Answer:हमें \( \operatorname{cosec} \theta = \frac{5}{3} \) दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।\( \operatorname{cosec} \theta = \frac{\text{कर्ण}}{\text{लम्ब}} = \frac{5}{3} \)। इससे कर्ण = 5 और लम्ब = 3 मिलता है। आधार की गणना करते हैं: \( (\text{आधार})^2 = (\text{कर्ण})^2 - (\text{लम्ब})^2 \) \( (\text{आधार})^2 = (5)^2 - (3)^2 \) \( (\text{आधार})^2 = 25 - 9 \) \( (\text{आधार})^2 = 16 \) \( \text{आधार} = \sqrt{16} = 4 \) अब अन्य त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात करते हैं: \( \cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{4}{5} \) \( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{3}{4} \) \( \cot \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{लम्ब}} = \frac{4}{3} \) हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta \)। तो, \( \frac{1}{\tan \theta} = \frac{4}{3} \) अब दिए गए व्यंजक के LHS में मान रखते हैं: \( \text{LHS} = \frac{\cos \theta - \frac{1}{\tan \theta}}{2 \cot \theta} \) \( = \frac{\frac{4}{5} - \frac{4}{3}}{2 \times \frac{4}{3}} \) अंश को सरल करते हैं (LCM 15 है): \( \frac{4}{5} - \frac{4}{3} = \frac{4 \times 3 - 4 \times 5}{15} = \frac{12 - 20}{15} = \frac{-8}{15} \) हर को सरल करते हैं: \( 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \) \( = \frac{\frac{-8}{15}}{\frac{8}{3}} \) \( = \frac{-8}{15} \times \frac{3}{8} \) \( = \frac{-1}{5} \) \( = \text{RHS} \)
In simple words: \( \operatorname{cosec} \theta \) से हमने त्रिभुज की भुजाएँ निकालीं और सभी आवश्यक त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात किए। फिर, इन मानों को समीकरण के बाएँ भाग में रखा और भिन्नों को सावधानी से सरल किया, जिससे हमें \( -\frac{1}{5} \) मिला, जो दाएँ भाग के बराबर है।

🎯 Exam Tip: जटिल भिन्नों को हल करते समय, पहले अंश और हर को अलग-अलग सरल करें। सुनिश्चित करें कि आप चिह्नों (जैसे ऋणात्मक चिह्न) का सही ढंग से उपयोग कर रहे हैं। 3-4-5 एक मानक त्रिकोणमितीय त्रिक (Pythagorean triplet) है।