UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 10 Trigonometrical Ratios and Identities Ex 102

Ex 10.2 Trigonometrical Ratios and Identities अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. sec 45° का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: sec 45° का मान \( \sqrt{{2}} \) होता है। इस मान को याद रखना त्रिकोणमिति में बहुत उपयोगी है।
In simple words: sec 45° का मान \( \sqrt{{2}} \) है।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक मान (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) याद रखें, क्योंकि ये अक्सर सीधे प्रश्नों में पूछे जाते हैं।

Question 2. tan 60° का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: tan 60° का मान \( \sqrt{{3}} \) होता है। यह मान sin 60° को cos 60° से भाग देने पर मिलता है।
In simple words: tan 60° का मान \( \sqrt{{3}} \) होता है।

🎯 Exam Tip: tan, cot, sec, cosec के मानों को sin और cos के मानों से प्राप्त करना सीखें, यदि आप सीधे याद नहीं कर पा रहे हैं।

Question 3. यदि tan\( \theta \) = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), तब \( \theta \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि tan\( \theta \) = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), तो हम जानते हैं कि tan 30° का मान भी \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) होता है। इसलिए, \( \theta \) का मान 30° होगा।
In simple words: tan \( \theta \) = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) होने पर, \( \theta \) का मान 30° होता है क्योंकि tan 30° का मान \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) है।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय सारणी में दिए गए मानों को पहचानना सीखें, ताकि आप कोण का मान तुरंत बता सकें।

Question 4. cos 60° x sin 60° का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: cos 60° का मान \( \frac{1}{2} \) और sin 60° का मान \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) होता है।
हल:
cos 60° × sin 60° = \( \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
= \( \frac{\sqrt{3}}{4} \)
दोनों मानों को गुणा करने पर हमें \( \frac{\sqrt{3}}{4} \) मिलता है।
In simple words: cos 60° और sin 60° के मानों को गुणा करने पर, उत्तर \( \frac{\sqrt{3}}{4} \) आता है।

🎯 Exam Tip: गुणनफल वाले प्रश्नों में, पहले सभी अनुपातों के मान सही ढंग से रखें और फिर सावधानी से गुणा करें।

Ex 10.2 Trigonometrical Ratios and Identities लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-l)

Question 5. यदि \( \theta \) = 30°, तब सिद्ध कीजिए कि sin 2\( \theta \) = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Answer: यदि \( \theta \) = 30°, तो हम 2\( \theta \) का मान ज्ञात करेंगे।
\( \sin 2\theta = \sin (2 \times 30^\circ) \)
\( = \sin 60^\circ \)
और हम जानते हैं कि \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)। अतः यह सिद्ध होता है।
In simple words: \( \theta \) की जगह 30° रखने पर, sin \( 2\theta \) sin 60° बन जाता है, जिसका मान \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) होता है।

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, दिए गए मानों को समीकरण के एक पक्ष में रखकर हल करें और देखें कि क्या वह दूसरे पक्ष के बराबर आता है।

Question 6. यदि \( \theta \) = 45°, तब सिद्ध कीजिए कि sin 2\( \theta \) = 1
Answer: यदि \( \theta \) = 45°, तो हम sin 2\( \theta \) का मान ज्ञात करेंगे।
\( \sin 2\theta = \sin (2 \times 45^\circ) \)
\( = \sin 90^\circ \)
हम जानते हैं कि \( \sin 90^\circ = 1 \)। इस प्रकार, समीकरण सिद्ध होता है।
In simple words: \( \theta \) को 45° लेने पर, sin \( 2\theta \) का मतलब sin 90° होता है, और sin 90° का मान 1 होता है।

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने के लिए, अज्ञात चर का मान हमेशा सावधानी से रखें और गणितीय संक्रियाओं को सही क्रम में करें।

Question 7. सिद्ध कीजिए कि sin 30°⋅cosec 30°⋅tan 30° = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
Answer: हम प्रत्येक पद का मान रखेंगे।
sin 30° = \( \frac{1}{2} \)
cosec 30° = 2 (क्योंकि cosec \( \theta = \frac{1}{\sin \theta} \))
tan 30° = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
अब, इन मानों को समीकरण के बाएं पक्ष (LHS) में रखें:
LHS = sin 30° × cosec 30° × tan 30°
= \( \frac{1}{2} \times \frac{2}{1} \times \frac{1}{\sqrt{3}} \)
= \( 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \)
= \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
यह दाहिने पक्ष (RHS) के बराबर है। अतः यह सिद्ध होता है।
In simple words: sin 30°, cosec 30° और tan 30° के मानों को गुणा करने पर, \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: जब भी संभव हो, cosec, sec, cot जैसे अनुपातों को sin, cos, tan के पदों में बदलें ताकि गणना आसान हो जाए।

Ex 10.2 Trigonometrical Ratios and Identities लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

Question 8. निम्न की सत्यता की जाँच कीजिए – cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45° = \( \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \)
Answer: हम समीकरण के बाएं पक्ष (LHS) में मान रखेंगे।
cos 60° = \( \frac{1}{2} \)
cos 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
sin 60° = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
sin 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
LHS = cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45°
= \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \)
= \( \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \)
= \( \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \)
हर को परिमेयकरण करने के लिए, \( \sqrt{2} \) से गुणा और भाग करें:
= \( \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)
= \( \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{2}}{2 \times 2} \)
= \( \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \)
यह दाहिने पक्ष (RHS) के बराबर है। अतः यह सिद्ध होता है। त्रिकोणमितीय पहचान cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B को भी याद रखना सहायक होता है।
In simple words: सभी मानों को समीकरण में रखने के बाद, गुणा और घटाव करते हैं। हर में \( \sqrt{2} \) हटाने के लिए, \( \sqrt{2} \) से गुणा और भाग करने पर, हमें दाहिना पक्ष \( \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय मानों के गुणनफल और योग/अंतर में, हरों को समान बनाने और फिर परिमेयकरण करने पर ध्यान दें।

Question 9. cos 30° cos 45° – sin 30° sin 45° = \( \frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} \)
Answer: हम समीकरण के बाएं पक्ष (LHS) में मान रखेंगे।
cos 30° = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
cos 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
sin 30° = \( \frac{1}{2} \)
sin 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
LHS = cos 30° cos 45° – sin 30° sin 45°
= \( \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \)
= \( \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} \)
= \( \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \)
यह दाहिने पक्ष (RHS) के बराबर है। अतः यह सिद्ध होता है। यह भी cos(A+B) पहचान का एक उदाहरण है।
In simple words: दिए गए मानों को सूत्र में डालकर गुणा और घटाने पर, बायां पक्ष दाहिने पक्ष \( \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \) के बराबर आता है।

🎯 Exam Tip: गुणा करते समय अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करें, और फिर भिन्नों को घटाने के लिए एक सामान्य हर बनाए रखें।

Question 10. cosec\(^{2}\) 30° sin\(^{2}\) 45° – sec\(^{2}\) 60° = -2
Answer: हम समीकरण के बाएं पक्ष (LHS) में मान रखेंगे।
cosec 30° = 2 (क्योंकि sin 30° = \( \frac{1}{2} \))
sin 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
sec 60° = 2 (क्योंकि cos 60° = \( \frac{1}{2} \))
LHS = cosec\(^{2}\) 30° sin\(^{2}\) 45° – sec\(^{2}\) 60°
= \( (2)^2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} - (2)^2 \)
= \( 4 \cdot \frac{1}{2} - 4 \)
= \( 2 - 4 \)
= \( -2 \)
यह दाहिने पक्ष (RHS) के बराबर है। अतः यह सिद्ध होता है।
In simple words: cosec 30°, sin 45° और sec 60° के मानों को उनके वर्गों के साथ समीकरण में रखने और हल करने पर, हमें -2 मिलता है।

🎯 Exam Tip: वर्गों को हल करते समय, सुनिश्चित करें कि आप पहले अनुपात के मान का वर्ग करें, न कि केवल संख्या का।

Question 11. 4cos\(^{2}\) 60° + 4sin\(^{2}\) 45° – sin\(^{2}\) 30° = \( \frac{1}{4} \)
Answer: हम समीकरण के बाएं पक्ष (LHS) में मान रखेंगे।
cos 60° = \( \frac{1}{2} \)
sin 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
sin 30° = \( \frac{1}{2} \)
LHS = 4cos\(^{2}\) 60° + 4sin\(^{2}\) 45° – sin\(^{2}\) 30°
= \( 4 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
= \( 4 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \)
= \( 1 + 2 - \frac{1}{4} \)
= \( 3 - \frac{1}{4} \)
= \( \frac{12-1}{4} \)
= \( \frac{11}{4} \)
यहां, दिए गए RHS से उत्तर \( \frac{11}{4} \) आ रहा है, जो कि \( \frac{1}{4} \) नहीं है। कृपया प्रश्न को जांचें या इसे \( \frac{11}{4} \) के रूप में सिद्ध करने के लिए मानें। (Note: The provided answer in the source is \( \frac{1}{4} \), but the calculation leads to \( \frac{11}{4} \). I will present the calculated result.)
त्रिकोणमितीय मानों का सही उपयोग करते हुए गणना सावधानी से करनी चाहिए।
In simple words: सभी त्रिकोणमितीय मानों को समीकरण में रखते हुए, हम गुणा, जोड़ और घटाव करते हैं, जिससे अंतिम मान \( \frac{11}{4} \) आता है।

🎯 Exam Tip: मानों को ध्यान से बदलें और प्रत्येक गणितीय संक्रिया को सही क्रम में करें ताकि कोई त्रुटि न हो।

Question 12. cos 90° = 1 – 2 sin\(^{2}\) 45° = 2 cos\(^{2}\) 45° – 1
Answer: हम इस समीकरण के तीनों भागों की सत्यता की जाँच करेंगे।
**पहला भाग: cos 90°**
हम जानते हैं कि cos 90° = 0.

**दूसरा भाग: 1 – 2 sin\(^{2}\) 45°**
sin 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( 1 - 2 \sin^2 45^\circ = 1 - 2 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \)
\( = 1 - 2 \times \frac{1}{2} \)
\( = 1 - 1 \)
\( = 0 \)

**तीसरा भाग: 2 cos\(^{2}\) 45° – 1**
cos 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( 2 \cos^2 45^\circ - 1 = 2 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - 1 \)
\( = 2 \times \frac{1}{2} - 1 \)
\( = 1 - 1 \)
\( = 0 \)
चूंकि तीनों भागों का मान 0 है, अतः cos 90° = 1 – 2 sin\(^{2}\) 45° = 2 cos\(^{2}\) 45° – 1 सत्य है। यह cos 2A की पहचान के उदाहरण हैं।
In simple words: cos 90° का मान 0 होता है। जब हम 1 – 2 sin\(^{2}\) 45° और 2 cos\(^{2}\) 45° – 1 को हल करते हैं, तो उनका मान भी 0 आता है, इसलिए तीनों हिस्से बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए प्रत्येक भाग को अलग-अलग हल करें और फिर तुलना करें कि क्या वे बराबर हैं।

Question 13. cos 60° = 1 – 2 sin\(^{2}\) 30° = 2 cos\(^{2}\) 30° – 1
Answer: हम इस समीकरण के तीनों भागों की सत्यता की जाँच करेंगे।
**पहला भाग: cos 60°**
हम जानते हैं कि cos 60° = \( \frac{1}{2} \).

**दूसरा भाग: 1 – 2 sin\(^{2}\) 30°**
sin 30° = \( \frac{1}{2} \)
\( 1 - 2 \sin^2 30^\circ = 1 - 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
\( = 1 - 2 \times \frac{1}{4} \)
\( = 1 - \frac{1}{2} \)
\( = \frac{1}{2} \)

**तीसरा भाग: 2 cos\(^{2}\) 30° – 1**
cos 30° = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( 2 \cos^2 30^\circ - 1 = 2 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1 \)
\( = 2 \times \frac{3}{4} - 1 \)
\( = \frac{3}{2} - 1 \)
\( = \frac{1}{2} \)
चूंकि तीनों भागों का मान \( \frac{1}{2} \) है, अतः cos 60° = 1 – 2 sin\(^{2}\) 30° = 2 cos\(^{2}\) 30° – 1 सत्य है।
In simple words: cos 60° का मान \( \frac{1}{2} \) होता है। जब हम 1 – 2 sin\(^{2}\) 30° और 2 cos\(^{2}\) 30° – 1 को हल करते हैं, तो उनका मान भी \( \frac{1}{2} \) आता है, इसलिए तीनों हिस्से बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार की समस्याओं के लिए, cos 2A के लिए विभिन्न सूत्रों को याद रखना और उन्हें लागू करना महत्वपूर्ण है।

Question 14. cos\(^{2}\) 30° + cos\(^{2}\) 45° + cos\(^{2}\) 60° = sin\(^{2}\) 30° + sin\(^{2}\) 45° + sin\(^{2}\) 60°
Answer: हम समीकरण के बाएं पक्ष (LHS) और दाहिने पक्ष (RHS) को अलग-अलग हल करेंगे।
**बायां पक्ष (LHS):**
cos 30° = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
cos 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
cos 60° = \( \frac{1}{2} \)
LHS = cos\(^{2}\) 30° + cos\(^{2}\) 45° + cos\(^{2}\) 60°
= \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
= \( \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \)
= \( \frac{3+2+1}{4} \)
= \( \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)

**दाहिना पक्ष (RHS):**
sin 30° = \( \frac{1}{2} \)
sin 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
sin 60° = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
RHS = sin\(^{2}\) 30° + sin\(^{2}\) 45° + sin\(^{2}\) 60°
= \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \)
= \( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \)
= \( \frac{1+2+3}{4} \)
= \( \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
चूंकि LHS = RHS = \( \frac{3}{2} \), अतः समीकरण सिद्ध होता है।
In simple words: समीकरण के दोनों पक्षों में त्रिकोणमितीय मानों को रखकर हल करने पर, हमें दोनों तरफ \( \frac{3}{2} \) मिलता है, जिससे यह सिद्ध होता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, दोनों पक्षों को अलग-अलग हल करें और दिखाएं कि उनका अंतिम मान बराबर है।

Ex 10.2 Trigonometrical Ratios and Identities दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 15. सिद्ध कीजिए कि cot\(^{2}\) 30° + cot\(^{2}\) 45° + cot\(^{2}\) 60° = \( \frac{13}{3} \)
Answer: हम समीकरण के बाएं पक्ष (LHS) में मान रखेंगे।
cot 30° = \( \sqrt{3} \)
cot 45° = 1
cot 60° = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
LHS = cot\(^{2}\) 30° + cot\(^{2}\) 45° + cot\(^{2}\) 60°
= \( (\sqrt{3})^2 + (1)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \)
= \( 3 + 1 + \frac{1}{3} \)
= \( 4 + \frac{1}{3} \)
= \( \frac{12+1}{3} \)
= \( \frac{13}{3} \)
यह दाहिने पक्ष (RHS) के बराबर है। अतः यह सिद्ध होता है।
In simple words: सभी cot मानों को उनके वर्गों के साथ समीकरण में रखने पर, हमें कुल योग \( \frac{13}{3} \) मिलता है, जो कि दाहिने पक्ष के बराबर है।

🎯 Exam Tip: cot के मानों को याद रखना या tan के मानों का व्युत्क्रम करके निकालना, इस प्रकार के प्रश्नों के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 16. सिद्ध कीजिए कि 2(sin\(^{2}\) 45° + cot\(^{2}\) 30°) – 3(cosec\(^{2}\) 60° – sec\(^{2}\) 60°) = 15
Answer: हम समीकरण के बाएं पक्ष (LHS) में मान रखेंगे।
sin 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
cot 30° = \( \sqrt{3} \)
cosec 60° = \( \frac{2}{\sqrt{3}} \)
sec 60° = 2
LHS = 2(sin\(^{2}\) 45° + cot\(^{2}\) 30°) – 3(cosec\(^{2}\) 60° – sec\(^{2}\) 60°)
= \( 2 \left( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + (\sqrt{3})^2 \right) - 3 \left( \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - (2)^2 \right) \)
= \( 2 \left( \frac{1}{2} + 3 \right) - 3 \left( \frac{4}{3} - 4 \right) \)
= \( 2 \left( \frac{1+6}{2} \right) - 3 \left( \frac{4-12}{3} \right) \)
= \( 2 \left( \frac{7}{2} \right) - 3 \left( -\frac{8}{3} \right) \)
= \( 7 - (-8) \)
= \( 7 + 8 \)
= \( 15 \)
यह दाहिने पक्ष (RHS) के बराबर है। अतः यह सिद्ध होता है।
In simple words: सभी मानों को समीकरण के बाएं पक्ष में रखकर गुणा, जोड़ और घटाव करने पर, हमें 15 मिलता है, जो दाहिने पक्ष के बराबर है।

🎯 Exam Tip: कोष्ठकों और उनके सामने लगे गुणांकों को हल करते समय सावधानी बरतें, खासकर जब घटाव और ऋणात्मक मान शामिल हों।

Question 17. सिद्ध कीजिए कि 4 cot\(^{2}\) 45° – sec\(^{2}\) 60° + sin\(^{2}\) 30° = \( \frac{1}{4} \)
Answer: हम समीकरण के बाएं पक्ष (LHS) में मान रखेंगे।
cot 45° = 1
sec 60° = 2
sin 30° = \( \frac{1}{2} \)
LHS = 4 cot\(^{2}\) 45° – sec\(^{2}\) 60° + sin\(^{2}\) 30°
= \( 4 \times (1)^2 - (2)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
= \( 4 \times 1 - 4 + \frac{1}{4} \)
= \( 4 - 4 + \frac{1}{4} \)
= \( 0 + \frac{1}{4} \)
= \( \frac{1}{4} \)
यह दाहिने पक्ष (RHS) के बराबर है। अतः यह सिद्ध होता है।
In simple words: सभी मानों को समीकरण में रखने पर और गणना करने पर, हमें \( \frac{1}{4} \) मिलता है, जो कि दाहिने पक्ष के समान है।

🎯 Exam Tip: ध्यान रखें कि 4 cot\(^{2}\) 45° का मतलब 4 गुना (cot 45°) का वर्ग है। ऐसे पदों को सही ढंग से हल करें।

Question 18. यदि tan (A - B) = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), व tan(A + B) = \( \sqrt{3} \), तब A व B के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दो समीकरण दिए गए हैं:
1. tan (A - B) = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
हम जानते हैं कि tan 30° = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \).
तो, A - B = 30° ...(1)

2. tan (A + B) = \( \sqrt{3} \)
हम जानते हैं कि tan 60° = \( \sqrt{3} \).
तो, A + B = 60° ...(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
(A - B) + (A + B) = 30° + 60°
\( 2A = 90^\circ \)
\( A = \frac{90^\circ}{2} \)
\( A = 45^\circ \)

अब, A का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( 45^\circ + B = 60^\circ \)
\( B = 60^\circ - 45^\circ \)
\( B = 15^\circ \)
इस प्रकार, A = 45° और B = 15° है। यह दो अज्ञात राशियों को हल करने के लिए रैखिक समीकरणों का एक अच्छा उदाहरण है।
In simple words: tan के मानों से हमें A - B = 30° और A + B = 60° मिलते हैं। इन दोनों समीकरणों को हल करने पर, A = 45° और B = 15° मिलता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले त्रिकोणमितीय अनुपातों से कोणों के लिए रैखिक समीकरण बनाएं, और फिर उन्हें हल करने के लिए जोड़ या घटाव विधि का उपयोग करें।

Question 19. यदि sin (A – B) = cos(A + B) = \( \frac{1}{2} \), तब A व B के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दो समीकरण दिए गए हैं:
1. sin (A - B) = \( \frac{1}{2} \)
हम जानते हैं कि sin 30° = \( \frac{1}{2} \).
तो, A - B = 30° ...(1)

2. cos (A + B) = \( \frac{1}{2} \)
हम जानते हैं कि cos 60° = \( \frac{1}{2} \).
तो, A + B = 60° ...(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
(A - B) + (A + B) = 30° + 60°
\( 2A = 90^\circ \)
\( A = \frac{90^\circ}{2} \)
\( A = 45^\circ \)

अब, A का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( 45^\circ + B = 60^\circ \)
\( B = 60^\circ - 45^\circ \)
\( B = 15^\circ \)
इस प्रकार, A = 45° और B = 15° है। यह त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का एक और उदाहरण है।
In simple words: sin (A - B) = \( \frac{1}{2} \) से A - B = 30° मिलता है, और cos (A + B) = \( \frac{1}{2} \) से A + B = 60° मिलता है। इन दोनों को हल करने पर, A = 45° और B = 15° आता है।

🎯 Exam Tip: sin और cos दोनों के लिए एक ही मान के संगत कोण अलग-अलग होते हैं, इसलिए उन्हें सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है।

Question 20. यदि A = 30%, तो सिद्ध कीजिए कि –
(i) sin 3A = 3 sin A – 4 sin\(^{3}\) A
(ii) sin 2A = \( \frac{2 \tan A}{1 + \tan^2 A} = 2 \sin A \cos A \)
(iii) cos 2A = \( \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = 2 \cos^2 A - 1 = 1 - 2 \sin^2 A \)
(iv) tan 2A = \( \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} \)
Answer: दिया गया है A = 30°. हम प्रत्येक पहचान को सिद्ध करेंगे।

**(i) sin 3A = 3 sin A – 4 sin\(^{3}\) A**
LHS = sin 3A = sin (3 × 30°) = sin 90° = 1.
RHS = 3 sin A – 4 sin\(^{3}\) A
= \( 3 \sin 30^\circ - 4 \sin^3 30^\circ \)
= \( 3 \times \frac{1}{2} - 4 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 \)
= \( \frac{3}{2} - 4 \times \frac{1}{8} \)
= \( \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \)
= \( \frac{2}{2} = 1 \).
चूंकि LHS = RHS, अतः यह पहचान सिद्ध होती है।

**(ii) sin 2A = \( \frac{2 \tan A}{1 + \tan^2 A} = 2 \sin A \cos A \)**
**पहला भाग: sin 2A**
LHS = sin 2A = sin (2 × 30°) = sin 60° = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

**दूसरा भाग: \( \frac{2 \tan A}{1 + \tan^2 A} \)**
tan A = tan 30° = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \frac{2 \tan A}{1 + \tan^2 A} = \frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{3}} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3+1}{3}} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}} \)
\( = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{4} \)
\( = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} \)
हर का परिमेयकरण करें:
\( = \frac{3}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

**तीसरा भाग: 2 sin A cos A**
sin A = sin 30° = \( \frac{1}{2} \)
cos A = cos 30° = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( 2 \sin A \cos A = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
चूंकि तीनों भाग बराबर हैं, अतः यह पहचान सिद्ध होती है।

**(iii) cos 2A = \( \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = 2 \cos^2 A - 1 = 1 - 2 \sin^2 A \)**
**पहला भाग: cos 2A**
LHS = cos 2A = cos (2 × 30°) = cos 60° = \( \frac{1}{2} \).

**दूसरा भाग: \( \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} \)**
tan A = tan 30° = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \)
\( = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} \)
\( = \frac{\frac{3-1}{3}}{\frac{3+1}{3}} \)
\( = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \).

**तीसरा भाग: 2 cos\(^{2}\) A – 1**
cos A = cos 30° = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( 2 \cos^2 A - 1 = 2 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1 \)
\( = 2 \times \frac{3}{4} - 1 \)
\( = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \).

**चौथा भाग: 1 – 2 sin\(^{2}\) A**
sin A = sin 30° = \( \frac{1}{2} \)
\( 1 - 2 \sin^2 A = 1 - 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
\( = 1 - 2 \times \frac{1}{4} \)
\( = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).
चूंकि सभी भाग बराबर हैं, अतः यह पहचान सिद्ध होती है।

**(iv) tan 2A = \( \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} \)**
**पहला भाग: tan 2A**
LHS = tan 2A = tan (2 × 30°) = tan 60° = \( \sqrt{3} \).

**दूसरा भाग: \( \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} \)**
tan A = tan 30° = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} = \frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3-1}{3}} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \)
\( = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} \)
\( = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \).
चूंकि दोनों भाग बराबर हैं, अतः यह पहचान सिद्ध होती है। इन सभी पहचानों में A=30° के लिए मानों का उपयोग किया गया है।
In simple words: A = 30° रखकर, हमने त्रिकोणमितीय सूत्रों के दोनों तरफ के मानों को हल किया। हर बार, बाएं और दाहिने पक्ष एक ही उत्तर देते हैं, जिससे सिद्ध होता है कि सूत्र सही हैं।

🎯 Exam Tip: इन सभी त्रिकोणमितीय पहचानों को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि ये सीधे प्रश्नों में या जटिल समस्याओं को हल करने में उपयोग की जाती हैं।

Question 21. यदि A = 45° तथा B = 30°, तो सिद्ध कीजिए कि –
(i) tan(A + B) = \( \frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B} \)
(ii) sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
(iii) cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B
Answer: दिया गया है A = 45° और B = 30°. हम प्रत्येक पहचान को सिद्ध करेंगे।

**(i) tan(A + B) = \( \frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B} \)**
LHS = tan(A + B) = tan(45° + 30°) = tan 75°.
हम जानते हैं कि tan 75° = tan(45°+30°) = \( \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1-\tan 45^\circ \tan 30^\circ} \).
मान रखते हैं:
tan 45° = 1
tan 30° = \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)
RHS = \( \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} \)
= \( \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} \)
= \( \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \)
हर का परिमेयकरण करें:
= \( \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \)
= \( \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2-(1)^2} \)
= \( \frac{3+1+2\sqrt{3}}{3-1} \)
= \( \frac{4+2\sqrt{3}}{2} \)
= \( 2+\sqrt{3} \).
यह tan 75° का मान है, अतः LHS = RHS. यह पहचान सिद्ध होती है।

**(ii) sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B**
LHS = sin(A + B) = sin(45° + 30°) = sin 75°.
हम जानते हैं कि sin 75° = sin(45°+30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°.
मान रखते हैं:
sin 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
cos 30° = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
cos 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
sin 30° = \( \frac{1}{2} \)
RHS = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} \)
= \( \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} \)
= \( \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \)
हर का परिमेयकरण करें:
= \( \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \).
sin 75° का मान \( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) होता है, अतः LHS = RHS. यह पहचान सिद्ध होती है।

**(iii) cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B**
LHS = cos(A - B) = cos(45° - 30°) = cos 15°.
हम जानते हैं कि cos 15° = cos(45°-30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°.
मान रखते हैं:
cos 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
cos 30° = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
sin 45° = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
sin 30° = \( \frac{1}{2} \)
RHS = \( \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} \)
= \( \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} \)
= \( \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \)
हर का परिमेयकरण करें:
= \( \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \).
cos 15° का मान \( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) होता है, अतः LHS = RHS. यह पहचान सिद्ध होती है।
In simple words: A=45° और B=30° के लिए, हमने त्रिकोणमितीय योग और अंतर सूत्रों के दोनों पक्षों को हल किया। हर बार, हमें दोनों तरफ समान परिणाम मिलते हैं, जिससे पता चलता है कि सूत्र सही हैं।

🎯 Exam Tip: योग और अंतर के सूत्रों को याद रखना और उन्हें दिए गए कोणों के साथ सही ढंग से लागू करना, इस प्रकार के प्रश्नों के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 22. यदि \( \theta \) = 30°, तब सिद्ध कीजिए कि cos \( \theta \) = \( \sqrt{\frac{1+\cos 2 \theta}{2}} \)
Answer: दिया गया है \( \theta \) = 30°. हम समीकरण के बाएं पक्ष (LHS) और दाहिने पक्ष (RHS) को अलग-अलग हल करेंगे।
**बायां पक्ष (LHS):**
LHS = cos \( \theta \) = cos 30° = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

**दाहिना पक्ष (RHS):**
RHS = \( \sqrt{\frac{1+\cos 2 \theta}{2}} \)
पहले \( \cos 2\theta \) का मान ज्ञात करें:
\( \cos 2\theta = \cos (2 \times 30^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).
अब इस मान को RHS में रखें:
RHS = \( \sqrt{\frac{1+\frac{1}{2}}{2}} \)
= \( \sqrt{\frac{\frac{2+1}{2}}{2}} \)
= \( \sqrt{\frac{\frac{3}{2}}{2}} \)
= \( \sqrt{\frac{3}{2} \times \frac{1}{2}} \)
= \( \sqrt{\frac{3}{4}} \)
= \( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} \)
= \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
चूंकि LHS = RHS = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), अतः समीकरण सिद्ध होता है। यह cos \( \theta \) के लिए अर्ध-कोण सूत्र है।
In simple words: \( \theta \) को 30° लेने पर, cos \( \theta \) का मान \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) होता है। सूत्र के दूसरे पक्ष को हल करने पर, हमें \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) भी मिलता है, जिससे यह सिद्ध होता है।

🎯 Exam Tip: अर्ध-कोण सूत्रों को याद रखना और उन्हें लागू करते समय वर्गमूल और भिन्न की गणना में सावधानी बरतना महत्वपूर्ण है।