UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 7 Triangles Ex 73

Question 1. यदि △ ABC ~ △ DEF तथा AB = 1.2 सेमी तथा DE = 1.4 सेमी है तो △ ABC और △ DEF के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि त्रिभुज ABC और त्रिभुज DEF समरूप हैं, यानी \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)।
हमें भुजाओं की लंबाई दी गई है: \( AB = 1.2 \) सेमी और \( DE = 1.4 \) सेमी।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह त्रिभुजों के क्षेत्रफलों से संबंधित एक महत्वपूर्ण प्रमेय है।
इसलिए, \( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{(AB)^2}{(DE)^2} \)
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{(1.2)^2}{(1.4)^2} \)
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{1.44}{1.96} \)
अब, हम इस भिन्न को सरल करते हैं। दशमलव हटाने के लिए अंश और हर को 100 से गुणा करें:
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{144}{196} \)
दोनों संख्याओं को 4 से भाग देने पर:
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{36}{49} \)
अतः, त्रिभुज ABC और त्रिभुज DEF के क्षेत्रफलों का अनुपात \( 36 : 49 \) है।
In simple words: जब दो त्रिभुज एक जैसे दिखते हैं (समरूप होते हैं), तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी बराबर वाली भुजाओं की लंबाई के वर्ग के अनुपात जैसा होता है। हमने दी गई भुजाओं की लंबाई का वर्ग किया और उन्हें सरल करके अनुपात 36:49 पाया।

🎯 Exam Tip: यह याद रखें कि समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह सूत्र बहुत महत्वपूर्ण है और इस तरह के प्रश्नों को हल करने के लिए अक्सर उपयोग होता है।

Question 2. यदि △ ABC ~ △ DEF तथा △ ABC का क्षेत्रफल 9 सेमी \(^2\) है और △ DEF का क्षेत्रफल 16 सेमी \(^2\) है व BC = 2.1 सेमी है तो EF ज्ञात कीजिए ।
Answer: दिया गया है कि त्रिभुज ABC और त्रिभुज DEF समरूप हैं, यानी \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)।
हमें त्रिभुजों के क्षेत्रफल दिए गए हैं: \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC) = 9 \) सेमी \(^2\) और \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF) = 16 \) सेमी \(^2\)।
एक भुजा की लंबाई दी गई है: \( BC = 2.1 \) सेमी।
हमें संगत भुजा EF की लंबाई ज्ञात करनी है।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह हमें अज्ञात भुजा की लंबाई निकालने में मदद करता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{(BC)^2}{(EF)^2} \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \implies \frac{9}{16} = \frac{(2.1)^2}{(EF)^2} \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( \implies \sqrt{\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{(2.1)^2}{(EF)^2}} \)
\( \implies \frac{3}{4} = \frac{2.1}{EF} \)
अब EF के लिए हल करें:
\( \implies EF = \frac{2.1 \times 4}{3} \)
\( \implies EF = \frac{8.4}{3} \)
\( \implies EF = 2.8 \) सेमी।
इस प्रकार, भुजा EF की लंबाई 2.8 सेमी है।
In simple words: दो समान दिखने वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों और उनकी भुजाओं के बीच एक संबंध होता है। अगर हमें त्रिभुजों का क्षेत्रफल और एक भुजा पता हो, तो हम इस संबंध का उपयोग करके दूसरी त्रिभुज की संगत भुजा की लंबाई निकाल सकते हैं। हमने दी गई संख्याओं का उपयोग करके EF की लंबाई 2.8 सेमी पाई।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, हमेशा ध्यान रखें कि क्षेत्रफल का अनुपात भुजाओं के 'वर्गों' के अनुपात में होता है, न कि केवल भुजाओं के अनुपात में। वर्गमूल लेना एक सामान्य कदम है।

Question 3. यदि △ ABC ~ △DEF है, यदि (△ABC) का क्षेत्रफल = 36 सेमी \(^2\), (△ DEF) का क्षेत्रफल = 64 सेमी \(^2\) तथा DE = 6.2 सेमी है तो AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
Answer: दिया गया है कि त्रिभुज ABC और त्रिभुज DEF समरूप हैं, यानी \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)।
हमें त्रिभुजों के क्षेत्रफल दिए गए हैं: \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC) = 36 \) सेमी \(^2\) और \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF) = 64 \) सेमी \(^2\)।
एक भुजा की लंबाई दी गई है: \( DE = 6.2 \) सेमी।
हमें संगत भुजा AB की लंबाई ज्ञात करनी है।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह सूत्र हमें एक अज्ञात भुजा की लंबाई निकालने में मदद करेगा।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{(AB)^2}{(DE)^2} \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \implies \frac{36}{64} = \frac{(AB)^2}{(6.2)^2} \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( \implies \sqrt{\frac{36}{64}} = \sqrt{\frac{(AB)^2}{(6.2)^2}} \)
\( \implies \frac{6}{8} = \frac{AB}{6.2} \)
अब AB के लिए हल करें:
\( \implies AB = \frac{6 \times 6.2}{8} \)
\( \implies AB = \frac{37.2}{8} \)
\( \implies AB = 4.65 \) सेमी।
इस प्रकार, भुजा AB की लंबाई 4.65 सेमी है।
In simple words: हमें दो समान दिखने वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल और एक भुजा की लंबाई दी गई थी। हमने क्षेत्रफलों के अनुपात के सूत्र का उपयोग किया, जो भुजाओं के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है। फिर हमने समीकरण को हल करके अज्ञात भुजा AB की लंबाई 4.65 सेमी निकाली।

🎯 Exam Tip: संगत भुजाओं को सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है। यदि \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) है, तो AB की संगत भुजा DE है, BC की संगत भुजा EF है, और AC की संगत भुजा DF है।

Question 4. यदि △ ABC ~ △DEF तथा (△ ABC) का क्षेत्रफल = 16 सेमी \(^2\), (△DEF) का क्षेत्रफल = 25 सेमी \(^2\) तथा BC = 2.3 सेमी है तो EF ज्ञात कीजिए ।
Answer: दिया गया है कि त्रिभुज ABC और त्रिभुज DEF समरूप हैं, यानी \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)।
हमें त्रिभुजों के क्षेत्रफल दिए गए हैं: \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC) = 16 \) सेमी \(^2\) और \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF) = 25 \) सेमी \(^2\)।
एक भुजा की लंबाई दी गई है: \( BC = 2.3 \) सेमी।
हमें संगत भुजा EF की लंबाई ज्ञात करनी है।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह प्रमेय हमें EF की लंबाई निकालने में मदद करेगा।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{(BC)^2}{(EF)^2} \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \implies \frac{16}{25} = \frac{(2.3)^2}{(EF)^2} \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( \implies \sqrt{\frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{(2.3)^2}{(EF)^2}} \)
\( \implies \frac{4}{5} = \frac{2.3}{EF} \)
अब EF के लिए हल करें:
\( \implies EF = \frac{2.3 \times 5}{4} \)
\( \implies EF = \frac{11.5}{4} \)
\( \implies EF = 2.875 \) सेमी।
इस प्रकार, भुजा EF की लंबाई 2.875 सेमी है।
In simple words: हमें दो समान दिखने वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल और एक भुजा की लंबाई दी गई थी। हमने क्षेत्रफलों और भुजाओं के बीच के संबंध का उपयोग करके समीकरण बनाया। फिर हमने इस समीकरण को हल करके अज्ञात भुजा EF की लंबाई 2.875 सेमी पाई।

🎯 Exam Tip: गणना करते समय, दशमलव स्थानों का ध्यान रखें। वर्गमूल लेते समय, अंश और हर दोनों का वर्गमूल लेना न भूलें।

Question 5. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 81 सेमी \(^2\) तथा 49 सेमी \(^2\) हैं। उनकी संगत ऊँचाईयों का अनुपात ज्ञात कीजिए तथा उनकी संगत माध्यिकाओं का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
Answer: माना दो समरूप त्रिभुज \( \triangle ABC \) और \( \triangle DEF \) हैं, यानी \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)।
हमें त्रिभुजों के क्षेत्रफल दिए गए हैं: \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC) = 81 \) सेमी \(^2\) और \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF) = 49 \) सेमी \(^2\)।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत ऊँचाईयों के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
माना AL, \( \triangle ABC \) की ऊँचाई है और DM, \( \triangle DEF \) की ऊँचाई है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{(AL)^2}{(DM)^2} \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \implies \frac{81}{49} = \frac{(AL)^2}{(DM)^2} \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( \implies \sqrt{\frac{81}{49}} = \sqrt{\frac{(AL)^2}{(DM)^2}} \)
\( \implies \frac{9}{7} = \frac{AL}{DM} \)
अतः, उनकी संगत ऊँचाईयों का अनुपात \( 9:7 \) है।
इसी तरह, हम यह भी जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। माध्यिका वह रेखा होती है जो शीर्ष से सामने वाली भुजा के मध्य-बिंदु तक जाती है।
माना AP, \( \triangle ABC \) की माध्यिका है और DQ, \( \triangle DEF \) की माध्यिका है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{(AP)^2}{(DQ)^2} \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \implies \frac{81}{49} = \frac{(AP)^2}{(DQ)^2} \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( \implies \sqrt{\frac{81}{49}} = \sqrt{\frac{(AP)^2}{(DQ)^2}} \)
\( \implies \frac{9}{7} = \frac{AP}{DQ} \)
अतः, उनकी संगत माध्यिकाओं का अनुपात भी \( 9:7 \) है।
In simple words: अगर दो त्रिभुज समान दिखते हैं, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी ऊँचाईयों के वर्ग और उनकी माध्यिकाओं के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है। हमने दिए गए क्षेत्रफलों के अनुपात का वर्गमूल निकालकर ऊँचाईयों और माध्यिकाओं दोनों का अनुपात 9:7 पाया।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है कि समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात केवल संगत भुजाओं के वर्ग के अनुपात में नहीं होता, बल्कि संगत ऊँचाईयों और संगत माध्यिकाओं के वर्ग के अनुपात में भी होता है।

Question 6. यदि △ ABC ~ △DEF तथा BC = 3 सेमी, EF = 4 सेमी और (△ABC) का क्षेत्रफल = 54 सेमी \(^2\) है तो △ DEF का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि त्रिभुज ABC और त्रिभुज DEF समरूप हैं, यानी \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)।
हमें भुजाओं की लंबाई दी गई है: \( BC = 3 \) सेमी और \( EF = 4 \) सेमी।
\( \triangle ABC \) का क्षेत्रफल दिया गया है: \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC) = 54 \) सेमी \(^2\)।
हमें \( \triangle DEF \) का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{(BC)^2}{(EF)^2} \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \implies \frac{54}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{(3)^2}{(4)^2} \)
\( \implies \frac{54}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{9}{16} \)
अब \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF) \) के लिए हल करें:
\( \implies \text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF) = \frac{54 \times 16}{9} \)
\( \implies \text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF) = 6 \times 16 \)
\( \implies \text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF) = 96 \) सेमी \(^2\)।
इस प्रकार, \( \triangle DEF \) का क्षेत्रफल 96 सेमी \(^2\) है।
In simple words: हमें दो समान दिखने वाले त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई और एक त्रिभुज का क्षेत्रफल दिया गया था। हमने इस जानकारी का उपयोग करके दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया। नियम यह है कि क्षेत्रफलों का अनुपात भुजाओं के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, अज्ञात मान को ढूंढने के लिए दिए गए अनुपात को सावधानी से स्थापित करें। क्रॉस-गुणा करके समीकरण को हल करें।

Question 7. दो समद्विबाहु त्रिभुजों के शीर्ष कोण समान हैं तथा उनके क्षेत्रफलों का अनुपात 36 : 25 है। तब उनकी संगत ऊँचाईयों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: माना दो समद्विबाहु त्रिभुज \( \triangle ABC \) और \( \triangle DEF \) हैं।
\( \triangle ABC \) में \( AB = AC \) और \( \triangle DEF \) में \( DE = DF \)।
हमें दिया गया है कि उनके शीर्ष कोण समान हैं, यानी \( \angle A = \angle D \)।
क्षेत्रफलों का अनुपात दिया गया है: \( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{36}{25} \)
चूंकि \( \triangle ABC \) और \( \triangle DEF \) समद्विबाहु त्रिभुज हैं और उनके शीर्ष कोण समान हैं, और संगत भुजाओं का अनुपात \( \frac{AB}{AC} = 1 \) और \( \frac{DE}{DF} = 1 \) है।
इस प्रकार, \( \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} \) (क्योंकि \( AB = AC \) और \( DE = DF \), और कोण A और D समान हैं, इसलिए SAS समरूपता कसौटी से, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \))।
जब दो समद्विबाहु त्रिभुजों के शीर्ष कोण समान होते हैं, तो वे समरूप होते हैं।
अब, हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत ऊँचाईयों के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
माना AL, \( \triangle ABC \) की ऊँचाई है और DM, \( \triangle DEF \) की ऊँचाई है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{(AL)^2}{(DM)^2} \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \implies \frac{36}{25} = \frac{(AL)^2}{(DM)^2} \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( \implies \sqrt{\frac{36}{25}} = \sqrt{\frac{(AL)^2}{(DM)^2}} \)
\( \implies \frac{6}{5} = \frac{AL}{DM} \)
अतः, उनकी संगत ऊँचाईयों का अनुपात \( 6:5 \) है।
In simple words: हमें दो समान आकार वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात दिया गया था, और हमें उनकी ऊँचाईयों का अनुपात निकालना था। क्योंकि ये त्रिभुज समद्विबाहु हैं और उनके शीर्ष कोण बराबर हैं, वे समरूप होते हैं। समरूप त्रिभुजों में, क्षेत्रफलों का अनुपात ऊँचाईयों के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है, इसलिए हमने वर्गमूल लेकर अनुपात 6:5 पाया।

🎯 Exam Tip: यह जानना महत्वपूर्ण है कि यदि दो समद्विबाहु त्रिभुजों के शीर्ष कोण बराबर हैं, तो वे समरूप त्रिभुज होते हैं। इससे आप समरूपता के क्षेत्रफलों के प्रमेय को लागू कर सकते हैं।

Question 8. △ ABC में, D तथा E क्रमशः AB तथा AC के मध्य बिन्दु हैं । △ ADE और △ ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए। (NCERT)
Answer: दिया गया है कि \( \triangle ABC \) में, D भुजा AB का मध्य-बिंदु है और E भुजा AC का मध्य-बिंदु है।
क्योंकि D, AB का मध्य-बिंदु है, तो \( AB = 2AD \), जिसका अर्थ है \( \frac{AB}{AD} = 2 \).
क्योंकि E, AC का मध्य-बिंदु है, तो \( AC = 2AE \), जिसका अर्थ है \( \frac{AC}{AE} = 2 \).
इस प्रकार, \( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = 2 \).
अब, \( \triangle ADE \) और \( \triangle ABC \) में:
\( \angle DAE = \angle BAC \) (यह उभयनिष्ठ कोण है, यानी दोनों त्रिभुजों में समान है)।
\( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{2} \) (उपरोक्त संबंधों से, हमने अनुपातों को उलट दिया है)।
SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी द्वारा, \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \).
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ADE)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)} = \frac{(AD)^2}{(AB)^2} \)
चूंकि \( AB = 2AD \), हम AB को \( 2AD \) से प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ADE)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)} = \frac{(AD)^2}{(2AD)^2} \)
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ADE)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)} = \frac{(AD)^2}{4(AD)^2} \)
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ADE)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)} = \frac{1}{4} \)
अतः, \( \triangle ADE \) और \( \triangle ABC \) के क्षेत्रफलों का अनुपात \( 1:4 \) है। यह मध्यबिंदु प्रमेय का एक अनुप्रयोग है, जिससे पता चलता है कि मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा मूल त्रिभुज को छोटे समरूप त्रिभुज में विभाजित करती है।
In simple words: एक बड़े त्रिभुज ABC में, हमने दो भुजाओं के बीच के बिंदुओं को जोड़ा। इससे एक छोटा त्रिभुज ADE बना। क्योंकि ये बिंदु भुजाओं के ठीक बीच में थे, छोटा त्रिभुज बड़े त्रिभुज का आधा हो गया, और दोनों त्रिभुज समान आकार के (समरूप) हो गए। जब हमने उनके क्षेत्रफलों का अनुपात निकाला, तो वह 1:4 आया।

🎯 Exam Tip: मध्यबिंदु प्रमेय को याद रखें, जो कहता है कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसका आधा होता है। यह अक्सर समरूपता के प्रश्नों में काम आता है।

Question 9. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 169 सेमी \(^2\) तथा 121 सेमी \(^2\) हैं। यदि बड़े त्रिभुज की बड़ी भुजा 26 सेमी हैं तो छोटे त्रिभुज की बड़ी भुजा ज्ञात कीजिए ।
Answer: माना दो समरूप त्रिभुज \( \triangle DEF \) (बड़ा त्रिभुज) और \( \triangle ABC \) (छोटा त्रिभुज) हैं।
हमें त्रिभुजों के क्षेत्रफल दिए गए हैं:
\( \text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF) = 169 \) सेमी \(^2\)
\( \text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC) = 121 \) सेमी \(^2\)
बड़े त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा \( DF = 26 \) सेमी दी गई है।
हमें छोटे त्रिभुज \( \triangle ABC \) की सबसे बड़ी भुजा AC ज्ञात करनी है।
चूंकि \( \triangle DEF \sim \triangle ABC \), हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)} = \frac{(DF)^2}{(AC)^2} \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \implies \frac{169}{121} = \frac{(26)^2}{(AC)^2} \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( \implies \sqrt{\frac{169}{121}} = \sqrt{\frac{(26)^2}{(AC)^2}} \)
\( \implies \frac{13}{11} = \frac{26}{AC} \)
अब AC के लिए हल करें:
\( \implies AC = \frac{26 \times 11}{13} \)
\( \implies AC = 2 \times 11 \)
\( \implies AC = 22 \) सेमी।
इस प्रकार, छोटे त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा की लंबाई 22 सेमी है।
In simple words: हमें दो समान दिखने वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल और बड़े त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा दी गई थी। हमने क्षेत्रफलों के अनुपात के नियम का उपयोग किया, जो भुजाओं के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है। फिर हमने समीकरण को हल करके छोटे त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा 22 सेमी निकाली।

🎯 Exam Tip: यह पहचानना महत्वपूर्ण है कि बड़ी भुजा की संगत भुजा दूसरे त्रिभुज की भी बड़ी भुजा होगी। संगत भुजाओं का चयन सही होना चाहिए।

Question 10. दिये गये चित्र में, PB तथा QA, रेखाखण्ड AB के लम्बवत् है। यदि PO = 5 सेमी,QO = 7 सेमी तथा △ POB का क्षेत्रफल = 150 सेमी² है। तो △QOA का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
हमें दिया गया है कि PB और QA रेखाखंड AB पर लंबवत् हैं।
\( PO = 5 \) सेमी, \( QO = 7 \) सेमी।
\( \text{क्षेत्रफल } (\triangle POB) = 150 \) सेमी \(^2\)।
हमें \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle QOA) \) ज्ञात करना है।
त्रिभुज \( \triangle POB \) और \( \triangle QOA \) में:
1. \( \angle POB = \angle QOA \) (शीर्षाभिमुख कोण, जो हमेशा बराबर होते हैं)।
2. \( \angle OBP = 90^\circ \) (क्योंकि PB, AB पर लंबवत् है)।
3. \( \angle OAQ = 90^\circ \) (क्योंकि QA, AB पर लंबवत् है)।
इसलिए, \( \angle OBP = \angle OAQ = 90^\circ \).
AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा, \( \triangle POB \sim \triangle QOA \).
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle POB)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle QOA)} = \frac{(PO)^2}{(QO)^2} \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \implies \frac{150}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle QOA)} = \frac{(5)^2}{(7)^2} \)
\( \implies \frac{150}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle QOA)} = \frac{25}{49} \)
अब \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle QOA) \) के लिए हल करें:
\( \implies \text{क्षेत्रफल } (\triangle QOA) = \frac{150 \times 49}{25} \)
\( \implies \text{क्षेत्रफल } (\triangle QOA) = 6 \times 49 \)
\( \implies \text{क्षेत्रफल } (\triangle QOA) = 294 \) सेमी \(^2\)।
इस प्रकार, \( \triangle QOA \) का क्षेत्रफल 294 सेमी \(^2\) है।
In simple words: हमें एक चित्र दिया गया था जिसमें दो त्रिभुज बनते हैं, और वे समरूप थे क्योंकि उनके कोण बराबर थे (शीर्षाभिमुख कोण और लंबवत् होने के कारण 90° के कोण)। हमने समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के नियम का उपयोग किया, जो कहता है कि क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है। इससे हमने दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल 294 सेमी \(^2\) निकाला।

🎯 Exam Tip: जब भी दो रेखाएँ काटती हैं, तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं। यह और लंबवत रेखाओं के 90 डिग्री के कोण अक्सर समरूप त्रिभुजों को पहचानने में मदद करते हैं।

Question 11. दो समरूप त्रिभुजों ABC तथा PQR के क्षेत्रफलों का अनुपात 9 : 16 है यदि BC = 4.5 सेमी है तो QR की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि दो त्रिभुज \( \triangle ABC \) और \( \triangle PQR \) समरूप हैं, यानी \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \)।
उनके क्षेत्रफलों का अनुपात दिया गया है: \( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle PQR)} = \frac{9}{16} \).
एक भुजा की लंबाई दी गई है: \( BC = 4.5 \) सेमी।
हमें संगत भुजा QR की लंबाई ज्ञात करनी है।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle PQR)} = \frac{(BC)^2}{(QR)^2} \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \implies \frac{9}{16} = \frac{(4.5)^2}{(QR)^2} \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( \implies \sqrt{\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{(4.5)^2}{(QR)^2}} \)
\( \implies \frac{3}{4} = \frac{4.5}{QR} \)
अब QR के लिए हल करें:
\( \implies QR = \frac{4.5 \times 4}{3} \)
\( \implies QR = \frac{18}{3} \)
\( \implies QR = 6.0 \) सेमी।
इस प्रकार, भुजा QR की लंबाई 6.0 सेमी है।
In simple words: हमें दो समान दिखने वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात और एक भुजा की लंबाई दी गई थी। हमने यह नियम लागू किया कि क्षेत्रफलों का अनुपात भुजाओं के वर्ग के अनुपात जैसा होता है। इस नियम का उपयोग करके हमने दूसरे त्रिभुज की भुजा QR की लंबाई 6.0 सेमी पाई।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप BC की संगत भुजा QR ले रहे हैं। समरूपता के क्रम में भुजाओं का सही मिलान करना महत्वपूर्ण है।

Question 12. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 100 सेमी \(^2\) तथा 49 सेमी \(^2\) हैं। यदि बड़े त्रिभुज की ऊँचाई 5 सेमी है तो दूसरे त्रिभुज की संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
Answer: माना दो समरूप त्रिभुज \( \triangle DEF \) (बड़ा त्रिभुज) और \( \triangle ABC \) (छोटा त्रिभुज) हैं।
हमें त्रिभुजों के क्षेत्रफल दिए गए हैं:
\( \text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF) = 100 \) सेमी \(^2\)
\( \text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC) = 49 \) सेमी \(^2\)
बड़े त्रिभुज \( \triangle DEF \) की ऊँचाई \( 5 \) सेमी दी गई है। हमें \( \triangle ABC \) की संगत ऊँचाई ज्ञात करनी है।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत ऊँचाईयों के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)} = \frac{(\text{DEF की ऊँचाई})^2}{(\text{ABC की ऊँचाई})^2} \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \implies \frac{100}{49} = \frac{(5)^2}{(\text{ABC की ऊँचाई})^2} \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( \implies \sqrt{\frac{100}{49}} = \sqrt{\frac{(5)^2}{(\text{ABC की ऊँचाई})^2}} \)
\( \implies \frac{10}{7} = \frac{5}{\text{ABC की ऊँचाई}} \)
अब \( \text{ABC की ऊँचाई} \) के लिए हल करें:
\( \implies \text{ABC की ऊँचाई} = \frac{5 \times 7}{10} \)
\( \implies \text{ABC की ऊँचाई} = \frac{35}{10} \)
\( \implies \text{ABC की ऊँचाई} = 3.5 \) सेमी।
इस प्रकार, दूसरे त्रिभुज की संगत ऊँचाई 3.5 सेमी है।
In simple words: हमें दो समान दिखने वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल और बड़े त्रिभुज की ऊँचाई दी गई थी। हमने इस नियम का उपयोग किया कि क्षेत्रफलों का अनुपात ऊँचाईयों के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है। इससे हमने दूसरे त्रिभुज की ऊँचाई 3.5 सेमी निकाली।

🎯 Exam Tip: ऊँचाईयों और माध्यिकाओं के साथ-साथ भुजाओं के लिए भी क्षेत्रफलों के अनुपात का प्रमेय लागू होता है। याद रखें कि यह हमेशा वर्ग का अनुपात होता है।

Question 13. सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग ABCD की एक भुजा BC को आधार लेकर बने एक त्रिभुज BCE का क्षेत्रफल, विकर्ण AC को आधार लेकर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
Answer: दिया है, ABCD एक वर्ग है।
त्रिभुज BCE भुजा BC पर बना समबाहु त्रिभुज है।
त्रिभुज ACF विकर्ण AC पर बना समबाहु त्रिभुज है।
हमें सिद्ध करना है कि \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle BCE) = \frac{1}{2} \times \text{क्षेत्रफल } (\triangle ACF) \).
चूंकि \( \triangle BCE \) और \( \triangle ACF \) दोनों समबाहु त्रिभुज हैं, उनके सभी कोण 60° के होते हैं।
इसलिए, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा, \( \triangle BCE \sim \triangle ACF \).
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle BCE)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ACF)} = \frac{(BC)^2}{(AC)^2} \)
वर्ग ABCD में, भुजा BC और विकर्ण AC के बीच संबंध है: \( AC = \sqrt{2} \times BC \).
इस मान को समीकरण में रखने पर:
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle BCE)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ACF)} = \frac{(BC)^2}{(\sqrt{2}BC)^2} \)
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle BCE)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ACF)} = \frac{(BC)^2}{2(BC)^2} \)
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle BCE)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ACF)} = \frac{1}{2} \)
\( \implies \text{क्षेत्रफल } (\triangle BCE) = \frac{1}{2} \times \text{क्षेत्रफल } (\triangle ACF) \).
इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि एक वर्ग की भुजा पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके विकर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
In simple words: हमने एक वर्ग लिया और उसकी एक भुजा पर एक त्रिभुज (BCE) बनाया, और उसके विकर्ण पर दूसरा त्रिभुज (ACF) बनाया। दोनों त्रिभुज समबाहु थे, यानी उनकी सभी भुजाएँ बराबर थीं। हमने दिखाया कि पहला त्रिभुज दूसरे से आधा है। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि वर्ग का विकर्ण उसकी भुजा से \(\sqrt{2}\) गुना बड़ा होता है, और त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी भुजाओं के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है।

🎯 Exam Tip: वर्ग की भुजा और विकर्ण के बीच संबंध \( (\text{विकर्ण} = \sqrt{2} \times \text{भुजा}) \) को याद रखें। यह ज्यामिति के प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।

Question 14. एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा पर समबाहु त्रिभुज खींचा गया है। तो सिद्ध कीजिए कि कर्ण पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल, अन्य दो भुजाओं पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
Answer:
माना \( \triangle ABC \) एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें \( \angle B = 90^\circ \) (जैसा कि चित्र में \( \angle ABC \) 90 डिग्री है)।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
हम मानते हैं कि भुजाओं AB, BC और AC पर तीन समबाहु त्रिभुज बने हैं: \( \triangle ADB \) (AB पर), \( \triangle BEC \) (BC पर) और \( \triangle AFC \) (AC पर)।
चूंकि सभी तीन त्रिभुज समबाहु हैं, इसलिए वे सभी समरूप हैं (क्योंकि उनके सभी कोण 60° के होते हैं, AAA समरूपता)।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ADB)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle AFC)} = \frac{(AB)^2}{(AC)^2} \)
\( \implies \text{क्षेत्रफल } (\triangle ADB) = \text{क्षेत्रफल } (\triangle AFC) \times \frac{(AB)^2}{(AC)^2} \) ....(1)

और
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle BEC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle AFC)} = \frac{(BC)^2}{(AC)^2} \)
\( \implies \text{क्षेत्रफल } (\triangle BEC) = \text{क्षेत्रफल } (\triangle AFC) \times \frac{(BC)^2}{(AC)^2} \) ....(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( \text{क्षेत्रफल } (\triangle ADB) + \text{क्षेत्रफल } (\triangle BEC) = \text{क्षेत्रफल } (\triangle AFC) \times \frac{(AB)^2}{(AC)^2} + \text{क्षेत्रफल } (\triangle AFC) \times \frac{(BC)^2}{(AC)^2} \)
\( \implies \text{क्षेत्रफल } (\triangle ADB) + \text{क्षेत्रफल } (\triangle BEC) = \text{क्षेत्रफल } (\triangle AFC) \times \left( \frac{(AB)^2}{(AC)^2} + \frac{(BC)^2}{(AC)^2} \right) \)
\( \implies \text{क्षेत्रफल } (\triangle ADB) + \text{क्षेत्रफल } (\triangle BEC) = \text{क्षेत्रफल } (\triangle AFC) \times \left( \frac{(AB)^2 + (BC)^2}{(AC)^2} \right) \)
पाइथागोरस प्रमेय से, \( (AB)^2 + (BC)^2 = (AC)^2 \).
इस मान को समीकरण में रखने पर:
\( \implies \text{क्षेत्रफल } (\triangle ADB) + \text{क्षेत्रफल } (\triangle BEC) = \text{क्षेत्रफल } (\triangle AFC) \times \left( \frac{(AC)^2}{(AC)^2} \right) \)
\( \implies \text{क्षेत्रफल } (\triangle ADB) + \text{क्षेत्रफल } (\triangle BEC) = \text{क्षेत्रफल } (\triangle AFC) \times 1 \)
\( \implies \text{क्षेत्रफल } (\triangle ADB) + \text{क्षेत्रफल } (\triangle BEC) = \text{क्षेत्रफल } (\triangle AFC) \).
अतः, यह सिद्ध होता है कि कर्ण पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल, अन्य दो भुजाओं पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। यह पाइथागोरस प्रमेय का एक दिलचस्प ज्यामितीय अनुप्रयोग है।
In simple words: अगर हम एक समकोण त्रिभुज लेते हैं और उसकी तीनों भुजाओं पर समबाहु त्रिभुज बनाते हैं, तो सबसे बड़ी भुजा (कर्ण) पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल बाकी दो छोटी भुजाओं पर बने त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को जोड़ने पर मिलता है। यह बिलकुल पाइथागोरस प्रमेय जैसा है, लेकिन क्षेत्रफलों के साथ।

🎯 Exam Tip: यह प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय का एक सामान्यीकरण है। याद रखें कि सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं, और समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

Question 15. एक त्रिभुज ABC है। PQ एक सीधी रेखा है। AB, P में मिल रही है। तथा AC, Q में, यदि AP = 1 सेमी, PB = 3 सेमी, AQ = 1.5 सेमी, QC = 4.5 सेमी है। तो सिद्ध कीजिए कि △APQ का क्षेत्रफल, △ ABC के क्षेत्रफल का \( \frac{1}{16} \) है।
Answer:
हमें दिया गया है: \( AP = 1 \) सेमी, \( PB = 3 \) सेमी, \( AQ = 1.5 \) सेमी, \( QC = 4.5 \) सेमी।
भुजाओं AB और AC की पूरी लंबाई ज्ञात करें:
\( AB = AP + PB = 1 + 3 = 4 \) सेमी।
\( AC = AQ + QC = 1.5 + 4.5 = 6 \) सेमी।
अब, \( \triangle APQ \) और \( \triangle ABC \) में, भुजाओं के अनुपात ज्ञात करें:
\( \frac{AP}{AB} = \frac{1}{4} \)
\( \frac{AQ}{AC} = \frac{1.5}{6} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \)
तो, \( \frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{1}{4} \).
साथ ही, \( \angle PAQ = \angle BAC \) (उभयनिष्ठ कोण)।
SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी द्वारा, \( \triangle APQ \sim \triangle ABC \).
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle APQ)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)} = \frac{(AP)^2}{(AB)^2} \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle APQ)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)} = \frac{(1)^2}{(4)^2} \)
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle APQ)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)} = \frac{1}{16} \).
इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि \( \triangle APQ \) का क्षेत्रफल, \( \triangle ABC \) के क्षेत्रफल का \( \frac{1}{16} \) है।
In simple words: हमें एक बड़ा त्रिभुज ABC और उसके अंदर एक छोटा त्रिभुज APQ दिया गया था। हमने देखा कि छोटे त्रिभुज की भुजाएँ बड़े त्रिभुज की भुजाओं का 1/4 थीं। क्योंकि उनके बीच का कोण समान था, वे समरूप त्रिभुज बन गए। समरूप त्रिभुजों के नियम से, उनका क्षेत्रफलों का अनुपात भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है, इसलिए यह 1/16 आया।

🎯 Exam Tip: समरूप त्रिभुजों को पहचानने के लिए SAS कसौटी का उपयोग करते समय, भुजाओं के अनुपात की गणना सावधानी से करें और सुनिश्चित करें कि कोण उभयनिष्ठ हैं या बराबर हैं।

Question 16. दो समरूप त्रिभुजों की संगत ऊँचाईयाँ क्रमशः 6 सेमी तथा 9 सेमी हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: माना दो समरूप त्रिभुज \( \triangle ABC \) और \( \triangle DEF \) हैं, यानी \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)।
हमें उनकी संगत ऊँचाईयाँ दी गई हैं: \( AL = 6 \) सेमी और \( AM = 9 \) सेमी।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत ऊँचाईयों के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{(AL)^2}{(AM)^2} \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{(6)^2}{(9)^2} \)
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{36}{81} \)
दोनों संख्याओं को 9 से भाग देने पर:
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{4}{9} \)
इस प्रकार, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात \( 4:9 \) है।
In simple words: हमें दो समान दिखने वाले त्रिभुजों की ऊँचाई दी गई थी। हमने यह नियम लागू किया कि क्षेत्रफलों का अनुपात ऊँचाईयों के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है। ऊँचाईयों का वर्ग करके और उन्हें सरल करके, हमने क्षेत्रफलों का अनुपात 4:9 पाया।

🎯 Exam Tip: प्रश्न को ध्यान से पढ़ें कि क्या भुजाओं का अनुपात दिया गया है या ऊँचाईयों का। दोनों ही मामलों में क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करने के लिए वर्ग करना होता है।

Question 17. △ ABC में, भुजा AB, P द्वारा विभाजित है तथा AP : PB = 1 : 2, AC पर एक बिन्दु Q है तथा PQ||BC है। △ ABC के क्षेत्रफल तथा समलम्ब चतुर्भुज BPQC के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
Answer:
दिया गया है कि \( \triangle ABC \) में, \( AP : PB = 1 : 2 \)।
इसका मतलब है कि \( AP = x \) और \( PB = 2x \) किसी \( x \) के लिए।
तो, \( AB = AP + PB = x + 2x = 3x \).
इसलिए, \( \frac{AP}{AB} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3} \).
हमें यह भी दिया गया है कि \( PQ || BC \)।
अब \( \triangle APQ \) और \( \triangle ABC \) में:
1. \( \angle A = \angle A \) (उभयनिष्ठ कोण)।
2. \( \angle APQ = \angle ABC \) (संगत कोण, क्योंकि \( PQ || BC \))।
AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा, \( \triangle APQ \sim \triangle ABC \).
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle APQ)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)} = \frac{(AP)^2}{(AB)^2} \)
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle APQ)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)} = \left( \frac{AP}{AB} \right)^2 \)
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle APQ)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \)
\( \implies \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle APQ)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)} = \frac{1}{9} \).
अब, हमें \( \triangle ABC \) के क्षेत्रफल और समलम्ब चतुर्भुज BPQC के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC) = \text{क्षेत्रफल } (\triangle APQ) + \text{क्षेत्रफल } (\text{समलम्ब चतुर्भुज BPQC}) \).
इसलिए, \( \text{क्षेत्रफल } (\text{समलम्ब चतुर्भुज BPQC}) = \text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC) - \text{क्षेत्रफल } (\triangle APQ) \).
मान लीजिए \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC) = K \). तब \( \text{क्षेत्रफल } (\triangle APQ) = \frac{1}{9}K \).
तो, \( \text{क्षेत्रफल } (\text{समलम्ब चतुर्भुज BPQC}) = K - \frac{1}{9}K = \frac{9K - K}{9} = \frac{8}{9}K \).
अतः, \( \triangle ABC \) के क्षेत्रफल और समलम्ब चतुर्भुज BPQC के क्षेत्रफल का अनुपात है:
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\text{समलम्ब चतुर्भुज BPQC})} = \frac{K}{\frac{8}{9}K} = \frac{1}{\frac{8}{9}} = \frac{9}{8} \).
इस प्रकार, अनुपात \( 9:8 \) है।
In simple words: एक त्रिभुज ABC में, एक रेखा PQ, BC के समानांतर खींची गई थी। इस रेखा ने त्रिभुज ABC को एक छोटे त्रिभुज APQ और एक समलम्ब चतुर्भुज BPQC में बाँट दिया। क्योंकि PQ और BC समानांतर थे, त्रिभुज APQ और ABC समान आकार के (समरूप) थे। हमने पाया कि छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल बड़े त्रिभुज का 1/9 था। तो, समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल बड़े त्रिभुज के क्षेत्रफल का 8/9 था। इसलिए, बड़े त्रिभुज और समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफलों का अनुपात 9:8 आया।

🎯 Exam Tip: जब एक त्रिभुज के अंदर एक रेखा एक भुजा के समानांतर खींची जाती है, तो वह एक छोटा समरूप त्रिभुज बनाती है। इस तथ्य का उपयोग करके क्षेत्रफलों का अनुपात आसानी से निकाला जा सकता है, और फिर आप बचे हुए चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात कर सकते हैं।

Question 18. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 100 सेमी \(^2\) तथा 64 सेमी \(^2\) हैं। यदि छोटे त्रिभुज की माध्यिका 5.6 सेमी है। तो दूसरे की संगत माध्यिका ज्ञात कीजिए।
Answer: माना दो समरूप त्रिभुज \( \triangle DEF \) (बड़ा त्रिभुज) और \( \triangle ABC \) (छोटा त्रिभुज) हैं।
हमें त्रिभुजों के क्षेत्रफल दिए गए हैं:
\( \text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF) = 100 \) सेमी \(^2\)
\( \text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC) = 64 \) सेमी \(^2\)
छोटे त्रिभुज \( \triangle ABC \) की माध्यिका \( 5.6 \) सेमी दी गई है। हमें बड़े त्रिभुज \( \triangle DEF \) की संगत माध्यिका ज्ञात करनी है।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{\text{क्षेत्रफल } (\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल } (\triangle DEF)} = \frac{(\text{ABC की माध्यिका})^2}{(\text{DEF की माध्यिका})^2} \)
दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \implies \frac{64}{100} = \frac{(5.6)^2}{(\text{DEF की माध्यिका})^2} \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( \implies \sqrt{\frac{64}{100}} = \sqrt{\frac{(5.6)^2}{(\text{DEF की माध्यिका})^2}} \)
\( \implies \frac{8}{10} = \frac{5.6}{\text{DEF की माध्यिका}} \)
अब \( \text{DEF की माध्यिका} \) के लिए हल करें:
\( \implies \text{DEF की माध्यिका} = \frac{5.6 \times 10}{8} \)
\( \implies \text{DEF की माध्यिका} = \frac{56}{8} \)
\( \implies \text{DEF की माध्यिका} = 7 \) सेमी।
इस प्रकार, दूसरे (बड़े) त्रिभुज की संगत माध्यिका 7 सेमी है।
In simple words: हमें दो समान दिखने वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल और छोटे त्रिभुज की माध्यिका दी गई थी। हमने यह नियम लागू किया कि क्षेत्रफलों का अनुपात माध्यिकाओं के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है। इस नियम का उपयोग करके हमने बड़े त्रिभुज की माध्यिका 7 सेमी निकाली।

🎯 Exam Tip: माध्यिका, ऊँचाई और भुजाओं के लिए समरूपता प्रमेय समान रूप से लागू होता है। सुनिश्चित करें कि आप छोटे त्रिभुज के मानों को अंश में और बड़े त्रिभुज के मानों को हर में रखें ताकि गणना सही हो।

Question 1. यदि △ ABC ~ △ DEF तथा AB = 1.2 सेमी तथा DE = 1.4 सेमी है तो △ ABC और △ DEF के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है:
\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)
AB = 1.2 सेमी
DE = 1.4 सेमी
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय है जो समरूप त्रिभुजों पर लागू होती है।
इसलिए,
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ (AB)^2 }{ (DE)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ (1.2)^2 }{ (1.4)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ 1.44 }{ 1.96 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ 144 }{ 196 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ 36 }{ 49 } \)
अतः, △ ABC और △ DEF के क्षेत्रफलों का अनुपात 36:49 है।
In simple words: जब दो त्रिभुज समरूप होते हैं, तो उनके क्षेत्रफल का अनुपात उनकी मिलती-जुलती भुजाओं की लंबाई के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है। यहाँ हमने भुजाओं का वर्ग करके अनुपात निकाला.

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात में होता है, न कि केवल भुजाओं के अनुपात में।

Question 2. यदि △ ABC ~ △ DEF तथा △ ABC का क्षेत्रफल 9 सेमी² है और △ DEF का क्षेत्रफल 16 सेमी² है व BC = 2.1 सेमी है तो EF ज्ञात कीजिए ।
Answer:
दिया है:
\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)
क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \) = 9 सेमी\( ^2 \)
क्षेत्रफल \( (\triangle DEF) \) = 16 सेमी\( ^2 \)
BC = 2.1 सेमी
हमें EF का मान ज्ञात करना है।
चूँकि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है, हम इस प्रमेय का उपयोग करेंगे। यह प्रमेय हमें अज्ञात भुजा की लंबाई ज्ञात करने में मदद करती है।
इसलिए,
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ (BC)^2 }{ (EF)^2 } \)

\( \implies \frac{ 9 }{ 16 } = \frac{ (2.1)^2 }{ (EF)^2 } \)

\( \implies \frac{ 9 }{ 16 } = \frac{ 4.41 }{ (EF)^2 } \)

\( \implies (EF)^2 = \frac{ 4.41 \times 16 }{ 9 } \)

\( \implies (EF)^2 = \frac{ 70.56 }{ 9 } \)

\( \implies (EF)^2 = 7.84 \)
वर्गमूल लेने पर,
\( \implies EF = \sqrt{7.84} \)

\( \implies EF = 2.8 \) सेमी
अतः, भुजा EF की लम्बाई 2.8 सेमी है।
In simple words: हमने समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के अनुपात का सूत्र इस्तेमाल किया। दिए गए मानों को सूत्र में डालकर, हमने EF की लंबाई निकाली.

🎯 Exam Tip: गणना करते समय दशमलव संख्याओं के वर्गों और वर्गमूलों का ध्यान रखें। वर्गमूल लेते समय, सकारात्मक मान ही लिया जाता है क्योंकि यह लंबाई है।

Question 3. यदि △ ABC ~ △DEF है, यदि (△ABC) का क्षेत्रफल = 36 सेमी², (△ DEF) का क्षेत्रफल = 64 सेमी² तथा DE = 6.2 सेमी है तो AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
Answer:
दिया है:
\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)
क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \) = 36 सेमी\( ^2 \)
क्षेत्रफल \( (\triangle DEF) \) = 64 सेमी\( ^2 \)
DE = 6.2 सेमी
हमें AB की लम्बाई ज्ञात करनी है।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह नियम हमें अज्ञात भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने में मदद करता है जब क्षेत्रफल दिए गए हों।
चूँकि \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \),
इसलिए,
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ (AB)^2 }{ (DE)^2 } \)

\( \implies \frac{ 36 }{ 64 } = \frac{ (AB)^2 }{ (6.2)^2 } \)

\( \implies \frac{ 36 }{ 64 } = \frac{ (AB)^2 }{ 38.44 } \)

\( \implies (AB)^2 = \frac{ 36 \times 38.44 }{ 64 } \)

\( \implies (AB)^2 = \frac{ 1383.84 }{ 64 } \)

\( \implies (AB)^2 = 21.6225 \)
वर्गमूल लेने पर,
\( \implies AB = \sqrt{21.6225} \)

\( \implies AB = 4.65 \) सेमी
अतः, भुजा AB की लम्बाई 4.65 सेमी है।
In simple words: हमने समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल और भुजाओं के बीच के संबंध का सूत्र लगाया। दिए गए मानों को रखकर AB की लंबाई को हल किया.

🎯 Exam Tip: भिन्न को सरल बनाना गणना को आसान बना सकता है (जैसे \( \frac{36}{64} \) को \( \frac{9}{16} \) बनाना)। यह गणना में त्रुटियों की संभावना को कम करता है।

Question 4. यदि △ ABC ~ △DEF तथा (△ ABC) का क्षेत्रफल = 16 सेमी², (△DEF) का क्षेत्रफल = 25 सेमी² तथा BC = 2.3 सेमी है तो EF ज्ञात कीजिए ।
Answer:
दिया है:
\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)
क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \) = 16 सेमी\( ^2 \)
क्षेत्रफल \( (\triangle DEF) \) = 25 सेमी\( ^2 \)
BC = 2.3 सेमी
हमें EF का मान ज्ञात करना है।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। इस प्रमेय का उपयोग करके हम अज्ञात भुजा की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।
चूँकि \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \),
इसलिए,
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ (BC)^2 }{ (EF)^2 } \)

\( \implies \frac{ 16 }{ 25 } = \frac{ (2.3)^2 }{ (EF)^2 } \)

\( \implies \frac{ 4^2 }{ 5^2 } = \frac{ (2.3)^2 }{ (EF)^2 } \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,
\( \implies \frac{ 4 }{ 5 } = \frac{ 2.3 }{ EF } \)

\( \implies 4 \times EF = 5 \times 2.3 \)

\( \implies 4 \times EF = 11.5 \)

\( \implies EF = \frac{ 11.5 }{ 4 } \)

\( \implies EF = 2.875 \) सेमी
अतः, भुजा EF की लम्बाई 2.875 सेमी है।
In simple words: हमने समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग किया। दिए गए क्षेत्रफल और एक भुजा की लंबाई का इस्तेमाल करके, हमने दूसरी संगत भुजा EF की लंबाई निकाली.

🎯 Exam Tip: जब अनुपात एक पूर्ण वर्ग होता है (जैसे \( \frac{16}{25} \)), तो गणना को सरल बनाने के लिए तुरंत वर्गमूल लेना एक अच्छी रणनीति है।

Question 5. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 81 सेमी² तथा 49 सेमी² हैं। उनकी संगत ऊँचाईयों का अनुपात ज्ञात कीजिए तथा उनकी संगत माध्यिकाओं का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना दो समरूप त्रिभुज \( \triangle ABC \) और \( \triangle DEF \) हैं।
दिया है:
\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)
क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \) = 81 सेमी\( ^2 \)
क्षेत्रफल \( (\triangle DEF) \) = 49 सेमी\( ^2 \)
हमें उनकी संगत ऊँचाईयों और माध्यिकाओं का अनुपात ज्ञात करना है।

हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत ऊँचाईयों (या माध्यिकाओं) के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह हमें ऊँचाई और माध्यिका के बीच का संबंध समझने में मदद करता है।

मान लीजिए AL त्रिभुज \( \triangle ABC \) की ऊँचाई है और DM त्रिभुज \( \triangle DEF \) की ऊँचाई है।
चूँकि \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \),
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ (AL)^2 }{ (DM)^2 } \)

\( \implies \frac{ 81 }{ 49 } = \frac{ (AL)^2 }{ (DM)^2 } \)

\( \implies \left( \frac{9}{7} \right)^2 = \left( \frac{AL}{DM} \right)^2 \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,
\( \implies \frac{ AL }{ DM } = \frac{ 9 }{ 7 } \)
अतः, संगत ऊँचाईयों का अनुपात \( AL : DM = 9:7 \) है।

अब, मान लीजिए AP त्रिभुज \( \triangle ABC \) की माध्यिका है और DQ त्रिभुज \( \triangle DEF \) की माध्यिका है।
चूँकि \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \),
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ (AP)^2 }{ (DQ)^2 } \)

\( \implies \frac{ 81 }{ 49 } = \frac{ (AP)^2 }{ (DQ)^2 } \)

\( \implies \left( \frac{9}{7} \right)^2 = \left( \frac{AP}{DQ} \right)^2 \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,
\( \implies \frac{ AP }{ DQ } = \frac{ 9 }{ 7 } \)
अतः, संगत माध्यिकाओं का अनुपात \( AP : DQ = 9:7 \) है।
In simple words: जब दो त्रिभुज समरूप होते हैं, तो उनके क्षेत्रफल का अनुपात उनकी ऊँचाईयों या माध्यिकाओं के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है। हमने दिए गए क्षेत्रफल का वर्गमूल लेकर ऊँचाईयों और माध्यिकाओं का अनुपात 9:7 प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है कि समरूप त्रिभुजों की ऊँचाईयों, माध्यिकाओं और कोण समद्विभाजकों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।

Question 6. यदि △ ABC ~ △DEF तथा BC = 3 सेमी, EF = 4 सेमी और (△ABC) का क्षेत्रफल = 54 सेमी² है तो △ DEF का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है:
\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)
BC = 3 सेमी
EF = 4 सेमी
क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \) = 54 सेमी\( ^2 \)
हमें क्षेत्रफल \( (\triangle DEF) \) ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह प्रमेय हमें दिए गए मानों से अज्ञात क्षेत्रफल ज्ञात करने में मदद करती है।
चूँकि \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \),
इसलिए,
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ (BC)^2 }{ (EF)^2 } \)

\( \implies \frac{ 54 }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ (3)^2 }{ (4)^2 } \)

\( \implies \frac{ 54 }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ 9 }{ 16 } \)

\( \implies 9 \times \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) = 54 \times 16 \)

\( \implies \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) = \frac{ 54 \times 16 }{ 9 } \)

\( \implies \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) = 6 \times 16 \)

\( \implies \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) = 96 \) सेमी\( ^2 \)
अतः, △ DEF का क्षेत्रफल 96 सेमी\( ^2 \) है।
In simple words: हमने समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के नियम का उपयोग किया। दिए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल और दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाओं की लंबाई का उपयोग करके, हमने दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाला.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, अज्ञात मान को अकेला करने के लिए सही बीजगणितीय चरणों का पालन करना महत्वपूर्ण है। क्रॉस-गुणा अक्सर एक उपयोगी पहला कदम होता है।

Question 7. दो समद्विबाहु त्रिभुजों के शीर्ष कोण समान हैं तथा उनके क्षेत्रफलों का अनुपात 36 : 25 है। तब उनकी संगत ऊँचाईयों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना दो समद्विबाहु त्रिभुज \( \triangle ABC \) और \( \triangle DEF \) हैं।
\( \triangle ABC \) में, AB = AC
\( \triangle DEF \) में, DE = DF
दिया है, \( \angle A = \angle D \)
और उनके क्षेत्रफलों का अनुपात \( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ 36 }{ 25 } \)
हमें उनकी संगत ऊँचाईयों का अनुपात ज्ञात करना है।

चूँकि AB = AC, तो \( \frac{AB}{AC} = 1 \)।
चूँकि DE = DF, तो \( \frac{DE}{DF} = 1 \)।
इससे यह भी पता चलता है कि \( \frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF} \)।

अब, हमारे पास है:
\( \frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF} \)
और \( \angle A = \angle D \) (दिया है)
तो, SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी द्वारा, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत ऊँचाईयों के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
माना AL त्रिभुज \( \triangle ABC \) की ऊँचाई है और DM त्रिभुज \( \triangle DEF \) की ऊँचाई है।
तो,
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ (AL)^2 }{ (DM)^2 } \)

\( \implies \frac{ 36 }{ 25 } = \frac{ (AL)^2 }{ (DM)^2 } \)

\( \implies \left( \frac{6}{5} \right)^2 = \left( \frac{AL}{DM} \right)^2 \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,
\( \implies \frac{ AL }{ DM } = \frac{ 6 }{ 5 } \)
अतः, संगत ऊँचाईयों का अनुपात \( AL : DM = 6:5 \) है।
In simple words: हमने पहले दिखाया कि दिए गए समद्विबाहु त्रिभुज समरूप हैं क्योंकि उनके शीर्ष कोण समान हैं और भुजाएँ समान अनुपात में हैं। फिर, हमने समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के नियम का उपयोग करके उनकी ऊँचाईयों का अनुपात निकाला, जो कि 6:5 आया.

🎯 Exam Tip: यह याद रखें कि समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनकी संगत ऊँचाईयों, माध्यिकाओं या कोण समद्विभाजकों के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

Question 8. △ ABC में, D तथा E क्रमशः AB तथा AC के मध्य बिन्दु हैं । △ ADE और △ ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए। (NCERT)
Answer:
दिया है:
\( \triangle ABC \) में, D भुजा AB का मध्य बिन्दु है।
E भुजा AC का मध्य बिन्दु है।
हमें क्षेत्रफल \( (\triangle ADE) \) और क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \) का अनुपात ज्ञात करना है।

चूँकि D AB का मध्य बिन्दु है, तो AB = 2AD या \( \frac{AB}{AD} = 2 \)...(1)
चूँकि E AC का मध्य बिन्दु है, तो AC = 2AE या \( \frac{AC}{AE} = 2 \)...(2)
समीकरण (1) और (2) से,
\( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \)

अब, \( \triangle ADE \) और \( \triangle ABC \) में:
1. \( \angle DAE = \angle BAC \) (उभयनिष्ठ कोण)
2. \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \) (दोनों \( \frac{1}{2} \) के बराबर हैं, समीकरण 1 और 2 से)
इसलिए, SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी द्वारा,
\( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। मध्यबिंदु प्रमेय से भी यह संबंध आसानी से देखा जा सकता है।
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ADE) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) } = \frac{ (AD)^2 }{ (AB)^2 } \)
हमें पता है कि AB = 2AD, तो इसे समीकरण में रखेंगे।
\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ADE) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) } = \frac{ (AD)^2 }{ (2AD)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ADE) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) } = \frac{ (AD)^2 }{ 4(AD)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ADE) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) } = \frac{ 1 }{ 4 } \)
अतः, △ ADE का क्षेत्रफल : △ ABC का क्षेत्रफल = 1 : 4।
In simple words: चूंकि D और E त्रिभुज ABC की भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं, तो छोटा त्रिभुज ADE बड़े त्रिभुज ABC के समरूप है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी भुजाओं के वर्गों के अनुपात में होता है, जिससे यह अनुपात 1:4 आता है.

🎯 Exam Tip: मध्यबिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) याद रखें, जो बताता है कि त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर और उसका आधा होता है। यह समरूपता साबित करने में मदद करता है।

Question 9. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 169 सेमी² तथा 121 सेमी² हैं। यदि बड़े त्रिभुज की बड़ी भुजा 26 सेमी है तो छोटे त्रिभुज की बड़ी भुजा ज्ञात कीजिए ।
Answer:
माना दो समरूप त्रिभुज \( \triangle DEF \) और \( \triangle ABC \) हैं।
दिया है:
क्षेत्रफल \( (\triangle DEF) \) = 169 सेमी\( ^2 \)
क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \) = 121 सेमी\( ^2 \)
बड़े त्रिभुज \( (\triangle DEF) \) की बड़ी भुजा (DF) = 26 सेमी
हमें छोटे त्रिभुज \( (\triangle ABC) \) की बड़ी भुजा (AC) ज्ञात करनी है।

हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह प्रमेय हमें अज्ञात भुजा की लंबाई ज्ञात करने में मदद करती है।
चूँकि \( \triangle DEF \sim \triangle ABC \),
इसलिए,
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) } = \frac{ (DF)^2 }{ (AC)^2 } \)

\( \implies \frac{ 169 }{ 121 } = \frac{ (26)^2 }{ (AC)^2 } \)

\( \implies \left( \frac{13}{11} \right)^2 = \left( \frac{26}{AC} \right)^2 \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,
\( \implies \frac{ 13 }{ 11 } = \frac{ 26 }{ AC } \)

\( \implies 13 \times AC = 26 \times 11 \)

\( \implies AC = \frac{ 26 \times 11 }{ 13 } \)

\( \implies AC = 2 \times 11 \)

\( \implies AC = 22 \) सेमी
अतः, छोटे त्रिभुज की बड़ी भुजा 22 सेमी है।
In simple words: हमने समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग किया, जो कहता है कि क्षेत्रफल का अनुपात भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। दिए गए क्षेत्रफल और बड़े त्रिभुज की भुजा की लंबाई से, हमने छोटे त्रिभुज की संगत भुजा की लंबाई 22 सेमी निकाली.

🎯 Exam Tip: यह समझना महत्वपूर्ण है कि "बड़ी भुजा" संगत भुजा ही होती है। क्षेत्रफल के अनुपात का वर्गमूल लेने से भुजाओं का अनुपात मिलता है, जिससे गणना आसान हो जाती है।

Question 10. दिये गये चित्र में, PB तथा QA, रेखाखण्ड AB के लम्बवत् है। यदि PO = 5 सेमी,QO = 7 सेमी तथा △ POB का क्षेत्रफल = 150 सेमी² है। तो △QOA का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है:
PB \( \perp \) AB
QA \( \perp \) AB
PO = 5 सेमी
QO = 7 सेमी
क्षेत्रफल \( (\triangle POB) \) = 150 सेमी\( ^2 \)
हमें क्षेत्रफल \( (\triangle QOA) \) ज्ञात करना है।

\( \triangle POB \) और \( \triangle QOA \) में:
1. \( \angle POB = \angle QOA \) (शीर्षाभिमुख कोण, ये कोण एक-दूसरे के ठीक सामने होते हैं जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, और वे हमेशा बराबर होते हैं।)
2. \( \angle OBP = 90^\circ \) (क्योंकि PB \( \perp \) AB)
3. \( \angle OAQ = 90^\circ \) (क्योंकि QA \( \perp \) AB)
इसलिए, \( \angle OBP = \angle OAQ = 90^\circ \)।
AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,
\( \triangle POB \sim \triangle QOA \)।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle POB) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle QOA) } = \frac{ (PO)^2 }{ (QO)^2 } \)

\( \implies \frac{ 150 }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle QOA) } = \frac{ (5)^2 }{ (7)^2 } \)

\( \implies \frac{ 150 }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle QOA) } = \frac{ 25 }{ 49 } \)

\( \implies 25 \times \text{क्षेत्रफल} (\triangle QOA) = 150 \times 49 \)

\( \implies \text{क्षेत्रफल} (\triangle QOA) = \frac{ 150 \times 49 }{ 25 } \)

\( \implies \text{क्षेत्रफल} (\triangle QOA) = 6 \times 49 \)

\( \implies \text{क्षेत्रफल} (\triangle QOA) = 294 \) सेमी\( ^2 \)
अतः, △ QOA का क्षेत्रफल 294 सेमी\( ^2 \) है।
In simple words: पहले हमने दिखाया कि त्रिभुज POB और QOA समरूप हैं, क्योंकि उनके कोण बराबर हैं। फिर, हमने समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग किया। दिए गए क्षेत्रफल और संगत भुजाओं की लंबाई का उपयोग करके, हमने त्रिभुज QOA का क्षेत्रफल 294 सेमी² निकाला.

🎯 Exam Tip: शीर्षाभिमुख कोण और लंबवत रेखाओं से बनने वाले 90° के कोणों का उपयोग करके त्रिभुजों की समरूपता सिद्ध करना एक आम तकनीक है। इसे ध्यान में रखें।

Question 11. दो समरूप त्रिभुजों ABC तथा PQR के क्षेत्रफलों का अनुपात 9 : 16 है यदि BC = 4.5 सेमी है तो QR की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है:
\( \triangle ABC \sim \triangle PQR \)
क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) : \) क्षेत्रफल \( (\triangle PQR) = 9:16 \)
BC = 4.5 सेमी
हमें QR की लम्बाई ज्ञात करनी है।

हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह एक मौलिक प्रमेय है जो हमें भुजाओं और क्षेत्रफल के बीच संबंध स्थापित करने में मदद करती है।
चूँकि \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \),
इसलिए,
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle PQR) } = \frac{ (BC)^2 }{ (QR)^2 } \)

\( \implies \frac{ 9 }{ 16 } = \frac{ (4.5)^2 }{ (QR)^2 } \)

\( \implies \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \left( \frac{4.5}{QR} \right)^2 \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,
\( \implies \frac{ 3 }{ 4 } = \frac{ 4.5 }{ QR } \)

\( \implies 3 \times QR = 4.5 \times 4 \)

\( \implies 3 \times QR = 18 \)

\( \implies QR = \frac{ 18 }{ 3 } \)

\( \implies QR = 6.0 \) सेमी
अतः, भुजा QR की लम्बाई 6.0 सेमी है।
In simple words: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनकी भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। हमने इस नियम का उपयोग करके QR की लंबाई निकाली.

🎯 Exam Tip: अनुपात को सीधे \( \frac{3}{4} \) के रूप में लिखने से गणना बहुत आसान हो जाती है, जिससे दशमलव के साथ गुणा करने की जटिलता कम होती है।

Question 12. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 100 सेमी² तथा 49 सेमी² हैं। यदि बड़े त्रिभुज की ऊँचाई 5 सेमी है तो दूसरे त्रिभुज की संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
Answer:
माना दो समरूप त्रिभुज \( \triangle DEF \) (बड़ा) और \( \triangle ABC \) (छोटा) हैं।
दिया है:
क्षेत्रफल \( (\triangle DEF) \) = 100 सेमी\( ^2 \)
क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \) = 49 सेमी\( ^2 \)
\( \triangle DEF \) की ऊँचाई = 5 सेमी
हमें \( \triangle ABC \) की संगत ऊँचाई ज्ञात करनी है।

हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत ऊँचाईयों के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह प्रमेय हमें ऊँचाई और क्षेत्रफल के बीच संबंध स्थापित करने में मदद करती है।
चूँकि \( \triangle DEF \sim \triangle ABC \),
इसलिए,
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) } = \frac{ (\triangle DEF \text{ की ऊँचाई})^2 }{ (\triangle ABC \text{ की ऊँचाई})^2 } \)

\( \implies \frac{ 100 }{ 49 } = \frac{ (5)^2 }{ (\triangle ABC \text{ की ऊँचाई})^2 } \)

\( \implies \left( \frac{10}{7} \right)^2 = \left( \frac{5}{ (\triangle ABC \text{ की ऊँचाई}) } \right)^2 \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,
\( \implies \frac{ 10 }{ 7 } = \frac{ 5 }{ \triangle ABC \text{ की ऊँचाई} } \)

\( \implies 10 \times (\triangle ABC \text{ की ऊँचाई}) = 5 \times 7 \)

\( \implies 10 \times (\triangle ABC \text{ की ऊँचाई}) = 35 \)

\( \implies \triangle ABC \text{ की ऊँचाई} = \frac{ 35 }{ 10 } \)

\( \implies \triangle ABC \text{ की ऊँचाई} = 3.5 \) सेमी
अतः, दूसरे त्रिभुज की संगत ऊँचाई 3.5 सेमी है।
In simple words: हमने समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल और उनकी ऊँचाईयों के बीच के संबंध का उपयोग किया। दिए गए क्षेत्रफल और बड़े त्रिभुज की ऊँचाई का इस्तेमाल करके, हमने छोटे त्रिभुज की ऊँचाई 3.5 सेमी निकाली.

🎯 Exam Tip: यह ध्यान दें कि बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल अधिक होगा और उसकी ऊँचाई भी अधिक होगी, जबकि छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल कम होगा और उसकी ऊँचाई भी कम होगी। यह एक त्वरित जांच है।

Question 13. सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग ABCD की एक भुजा BC को आधार लेकर बने एक त्रिभुज BCE का क्षेत्रफल, विकर्ण AC को आधार लेकर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
Answer:
दिया है:
ABCD एक वर्ग है।
\( \triangle BCE \) एक समबाहु त्रिभुज है जो भुजा BC पर बना है।
\( \triangle ACF \) एक समबाहु त्रिभुज है जो विकर्ण AC पर बना है।
हमें सिद्ध करना है कि क्षेत्रफल \( (\triangle BCE) = \frac{1}{2} \times \) क्षेत्रफल \( (\triangle ACF) \)।

चूँकि \( \triangle BCE \) और \( \triangle ACF \) दोनों समबाहु त्रिभुज हैं, उनके सभी कोण 60° के होंगे। इसलिए, वे AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा समरूप होंगे। समबाहु त्रिभुजों के सभी कोण बराबर होते हैं, जिससे वे हमेशा समरूप होते हैं।
\( \triangle BCE \sim \triangle ACF \)

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle BCE) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ACF) } = \frac{ (BC)^2 }{ (AC)^2 } \)

वर्ग ABCD में, भुजा BC है। विकर्ण AC की लंबाई भुजा BC के संबंध में \( \sqrt{2} \times BC \) होती है (पाइथागोरस प्रमेय से: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 = BC^2 + BC^2 = 2BC^2 \implies AC = \sqrt{2}BC \))।
इसलिए, \( AC = \sqrt{2}BC \)।

मान को समीकरण में रखने पर,
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle BCE) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ACF) } = \frac{ (BC)^2 }{ (\sqrt{2}BC)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle BCE) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ACF) } = \frac{ (BC)^2 }{ 2(BC)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle BCE) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ACF) } = \frac{ 1 }{ 2 } \)

\( \implies \text{क्षेत्रफल} (\triangle BCE) = \frac{1}{2} \times \text{क्षेत्रफल} (\triangle ACF) \)
यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने देखा कि भुजा और विकर्ण पर बने दोनों समबाहु त्रिभुज समरूप हैं। वर्ग का विकर्ण भुजा का \( \sqrt{2} \) गुना होता है। इस संबंध का उपयोग करके, हमने दिखाया कि भुजा पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल विकर्ण पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है.

🎯 Exam Tip: वर्ग के विकर्ण और भुजा के बीच का संबंध \( d = \sqrt{2}a \) याद रखना इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है। समबाहु त्रिभुजों की समरूपता को सिद्ध करने के लिए कोणों का उपयोग करें।

Question 14. एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा पर समबाहु त्रिभुज खींचा गया है। तो सिद्ध कीजिए कि कर्ण पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल, अन्य दो भुजाओं पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
Answer:
माना \( \triangle ABC \) एक समकोण त्रिभुज है जिसका \( \angle B \) समकोण है।
तो, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)।
मान लीजिए \( \triangle ADB, \triangle BEC \) और \( \triangle AFC \) क्रमशः भुजाओं AB, BC और AC पर बने समबाहु त्रिभुज हैं। समबाहु त्रिभुजों के सभी कोण बराबर (60°) होते हैं, इसलिए वे सभी आपस में समरूप होते हैं।

चूँकि सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं, हम जानते हैं कि उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय है जो ज्यामितीय प्रमाणों में अक्सर उपयोग की जाती है।

\( \triangle AFC \sim \triangle BEC \)
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle AFC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle BEC) } = \frac{ (AC)^2 }{ (BC)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle BEC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle AFC) } = \frac{ (BC)^2 }{ (AC)^2 } \)...(1)

इसी प्रकार, \( \triangle AFC \sim \triangle ADB \)
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle AFC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ADB) } = \frac{ (AC)^2 }{ (AB)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ADB) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle AFC) } = \frac{ (AB)^2 }{ (AC)^2 } \)...(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle BEC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle AFC) } + \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ADB) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle AFC) } = \frac{ (BC)^2 }{ (AC)^2 } + \frac{ (AB)^2 }{ (AC)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle BEC) + \text{क्षेत्रफल} (\triangle ADB) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle AFC) } = \frac{ (BC)^2 + (AB)^2 }{ (AC)^2 } \)

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)।
इसलिए, \( \frac{ (BC)^2 + (AB)^2 }{ (AC)^2 } = \frac{ (AC)^2 }{ (AC)^2 } = 1 \)।

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle BEC) + \text{क्षेत्रफल} (\triangle ADB) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle AFC) } = 1 \)

\( \implies \text{क्षेत्रफल} (\triangle BEC) + \text{क्षेत्रफल} (\triangle ADB) = \text{क्षेत्रफल} (\triangle AFC) \)
यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं पर बने समबाहु त्रिभुजों को समरूप दिखाया। फिर हमने समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के सूत्र और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया कि कर्ण पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर बने त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है.

🎯 Exam Tip: यह प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय का एक ज्यामितीय विस्तार है। समबाहु त्रिभुजों की समरूपता और उनके क्षेत्रफलों के अनुपात का उपयोग करना मुख्य कदम हैं।

Question 15. एक त्रिभुज ABC है। PQ एक सीधी रेखा है। AB, P में मिल रही है। तथा AC, Q में, यदि AP = 1 सेमी, PB = 3 सेमी, AQ = 1.5 सेमी, QC = 4.5 सेमी है। तो सिद्ध कीजिए कि △APQ का क्षेत्रफल, △ ABC के क्षेत्रफल का \( \frac{1}{16} \) है।
Answer:
दिया है:
AP = 1 सेमी
PB = 3 सेमी
AQ = 1.5 सेमी
QC = 4.5 सेमी

हमें सिद्ध करना है कि क्षेत्रफल \( (\triangle APQ) = \frac{1}{16} \times \) क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \)।

पहले, भुजाओं का अनुपात ज्ञात करेंगे:
AB = AP + PB = 1 + 3 = 4 सेमी
इसलिए, \( \frac{ AP }{ AB } = \frac{ 1 }{ 4 } \)...(1)

AC = AQ + QC = 1.5 + 4.5 = 6 सेमी
इसलिए, \( \frac{ AQ }{ AC } = \frac{ 1.5 }{ 6 } = \frac{ 15 }{ 60 } = \frac{ 1 }{ 4 } \)...(2)

\( \triangle APQ \) और \( \triangle ABC \) में:
1. \( \angle PAQ = \angle BAC \) (उभयनिष्ठ कोण)
2. \( \frac{ AP }{ AB } = \frac{ AQ }{ AC } = \frac{1}{4} \) (समीकरण (1) और (2) से)
SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी द्वारा,
\( \triangle APQ \sim \triangle ABC \)।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle APQ) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) } = \frac{ (AP)^2 }{ (AB)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle APQ) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) } = \frac{ (1)^2 }{ (4)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle APQ) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) } = \frac{ 1 }{ 16 } \)

\( \implies \text{क्षेत्रफल} (\triangle APQ) = \frac{1}{16} \times \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) \)
यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने पहले भुजाओं का अनुपात निकाला और दिखाया कि \( \frac{AP}{AB} \) और \( \frac{AQ}{AC} \) दोनों \( \frac{1}{4} \) हैं। फिर, SAS समरूपता का उपयोग करके \( \triangle APQ \) को \( \triangle ABC \) के समरूप सिद्ध किया। अंत में, समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के नियम का उपयोग करके यह साबित किया कि \( \triangle APQ \) का क्षेत्रफल \( \triangle ABC \) के क्षेत्रफल का \( \frac{1}{16} \) है.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, पहले भुजाओं के अनुपातों की गणना करना और फिर समरूपता कसौटी (यहां SAS) लागू करना महत्वपूर्ण है। दशमलव से भिन्न में बदलने से गणना आसान हो जाती है।

Question 16. दो समरूप त्रिभुजों की संगत ऊँचाईयाँ क्रमशः 6 सेमी तथा 9 सेमी हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना दो समरूप त्रिभुज \( \triangle ABC \) और \( \triangle DEF \) हैं।
दिया है:
\( \triangle ABC \) की ऊँचाई (AL) = 6 सेमी
\( \triangle DEF \) की ऊँचाई (DM) = 9 सेमी
हमें उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करना है।

हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत ऊँचाईयों के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह प्रमेय हमें सीधे ऊँचाईयों से क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात करने में मदद करती है।
चूँकि \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \),
इसलिए,
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ (AL)^2 }{ (DM)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ (6)^2 }{ (9)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ 36 }{ 81 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) } = \frac{ 4 }{ 9 } \)
अतः, \( \triangle ABC \) और \( \triangle DEF \) के क्षेत्रफलों का अनुपात 4:9 है।
In simple words: हमने समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग किया, जो कहता है कि क्षेत्रफल का अनुपात उनकी ऊँचाईयों के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है। हमने दी गई ऊँचाईयों के वर्ग करके उनके क्षेत्रफलों का अनुपात 4:9 निकाला.

🎯 Exam Tip: इस प्रमेय को भुजाओं, माध्यिकाओं और कोण समद्विभाजकों पर भी लागू किया जा सकता है। याद रखें कि हमेशा वर्गों का अनुपात लिया जाता है।

Question 17. △ ABC में, भुजा AB, P द्वारा विभाजित है तथा AP : PB = 1 : 2, AC पर एक बिन्दु Q है तथा PQ||BC है। △ ABC के क्षेत्रफल तथा समलम्ब चतुर्भुज BPQC के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
Answer:
दिया है:
AP : PB = 1 : 2
PQ || BC
हमें क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \) और क्षेत्रफल (समलम्ब चतुर्भुज BPQC) का अनुपात ज्ञात करना है।

AP : PB = 1 : 2 का अर्थ है कि AP = x और PB = 2x, जहाँ x कोई धनात्मक संख्या है।
तो, AB = AP + PB = x + 2x = 3x।
इससे \( \frac{ AP }{ AB } = \frac{ x }{ 3x } = \frac{ 1 }{ 3 } \)।

अब, \( \triangle APQ \) और \( \triangle ABC \) में:
1. \( \angle APQ = \angle ABC \) (संगत कोण, क्योंकि PQ || BC)
2. \( \angle A = \angle A \) (उभयनिष्ठ कोण)
AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,
\( \triangle APQ \sim \triangle ABC \)।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle APQ) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) } = \frac{ (AP)^2 }{ (AB)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle APQ) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) } = \frac{ (1)^2 }{ (3)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle APQ) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) } = \frac{ 1 }{ 9 } \)

अब, हम समलम्ब चतुर्भुज BPQC के क्षेत्रफल को ज्ञात कर सकते हैं। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल पूरे त्रिभुज के क्षेत्रफल में से छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है।
क्षेत्रफल (समलम्ब चतुर्भुज BPQC) = क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \) - क्षेत्रफल \( (\triangle APQ) \)

चूँकि क्षेत्रफल \( (\triangle APQ) = \frac{1}{9} \times \) क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \),
क्षेत्रफल (समलम्ब चतुर्भुज BPQC) = क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) - \frac{1}{9} \times \) क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \)

\( \implies \) क्षेत्रफल (समलम्ब चतुर्भुज BPQC) = \( \left( 1 - \frac{1}{9} \right) \times \) क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \)

\( \implies \) क्षेत्रफल (समलम्ब चतुर्भुज BPQC) = \( \frac{ 9-1 }{ 9 } \times \) क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \)

\( \implies \) क्षेत्रफल (समलम्ब चतुर्भुज BPQC) = \( \frac{ 8 }{ 9 } \times \) क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \)

अब, हमें क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \) और क्षेत्रफल (समलम्ब चतुर्भुज BPQC) का अनुपात ज्ञात करना है:
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\text{समलम्ब चतुर्भुज BPQC}) } = \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \frac{8}{9} \times \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\text{समलम्ब चतुर्भुज BPQC}) } = \frac{ 1 }{ \frac{8}{9} } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\text{समलम्ब चतुर्भुज BPQC}) } = \frac{ 9 }{ 8 } \)
अतः, क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) : \) क्षेत्रफल (समलम्ब चतुर्भुज BPQC) = 9:8 है।
In simple words: हमने पहले दिखाया कि छोटा त्रिभुज APQ बड़े त्रिभुज ABC के समरूप है, क्योंकि PQ || BC है। फिर हमने उनके क्षेत्रफलों का अनुपात निकाला, जो 1:9 आया। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल पूरे त्रिभुज के क्षेत्रफल में से छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाकर निकाला। अंत में, हमने त्रिभुज ABC और समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफलों का अनुपात 9:8 प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: समांतर रेखाएँ (PQ || BC) संगत कोण बनाती हैं, जो त्रिभुजों की समरूपता सिद्ध करने में मदद करती हैं। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कुल क्षेत्रफल में से छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाने की विधि याद रखें।

Question 18. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः 100 सेमी² तथा 64 सेमी² हैं। यदि छोटे त्रिभुज की माध्यिका 5.6 सेमी है। तो दूसरे की संगत माध्यिका ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना दो समरूप त्रिभुज \( \triangle DEF \) (बड़ा) और \( \triangle ABC \) (छोटा) हैं।
दिया है:
क्षेत्रफल \( (\triangle DEF) \) = 100 सेमी\( ^2 \)
क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \) = 64 सेमी\( ^2 \)
\( \triangle ABC \) की माध्यिका = 5.6 सेमी
हमें \( \triangle DEF \) की संगत माध्यिका ज्ञात करनी है।

हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह प्रमेय हमें माध्यिकाओं और क्षेत्रफल के बीच संबंध स्थापित करने में मदद करती है।
चूँकि \( \triangle DEF \sim \triangle ABC \),
इसलिए,
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle DEF) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) } = \frac{ (\triangle DEF \text{ की माध्यिका})^2 }{ (\triangle ABC \text{ की माध्यिका})^2 } \)

\( \implies \frac{ 100 }{ 64 } = \frac{ (\triangle DEF \text{ की माध्यिका})^2 }{ (5.6)^2 } \)

\( \implies \left( \frac{10}{8} \right)^2 = \left( \frac{ \triangle DEF \text{ की माध्यिका} }{ 5.6 } \right)^2 \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,
\( \implies \frac{ 10 }{ 8 } = \frac{ \triangle DEF \text{ की माध्यिका} }{ 5.6 } \)

\( \implies 8 \times (\triangle DEF \text{ की माध्यिका}) = 10 \times 5.6 \)

\( \implies 8 \times (\triangle DEF \text{ की माध्यिका}) = 56 \)

\( \implies \triangle DEF \text{ की माध्यिका} = \frac{ 56 }{ 8 } \)

\( \implies \triangle DEF \text{ की माध्यिका} = 7 \) सेमी
अतः, दूसरे त्रिभुज की संगत माध्यिका 7 सेमी है।
In simple words: हमने समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल और उनकी माध्यिकाओं के बीच के संबंध का उपयोग किया। दिए गए क्षेत्रफल और छोटे त्रिभुज की माध्यिका का इस्तेमाल करके, हमने बड़े त्रिभुज की संगत माध्यिका 7 सेमी निकाली.

🎯 Exam Tip: वर्गमूल लेने से पहले भिन्न \( \frac{100}{64} \) को \( \left(\frac{10}{8}\right)^2 \) के रूप में लिखने से गणना आसान हो जाती है। सुनिश्चित करें कि आप संगत माध्यिकाओं का सही अनुपात ले रहे हैं।

Question 19. △ ABC, A पर समकोण है तथा AD \( \perp \) BC है। यदि BC = 13 सेमी और AC = 5 सेमी है तो △ ABC तथा △ ADC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है:
\( \triangle ABC \) में, \( \angle BAC = 90^\circ \)
AD \( \perp \) BC
BC = 13 सेमी
AC = 5 सेमी
हमें क्षेत्रफल \( (\triangle ABC) \) और क्षेत्रफल \( (\triangle ADC) \) का अनुपात ज्ञात करना है।

\( \triangle ABC \) और \( \triangle ADC \) में:
1. \( \angle BAC = \angle ADC = 90^\circ \) (दिया गया है)
2. \( \angle C = \angle C \) (उभयनिष्ठ कोण)
AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,
\( \triangle ABC \sim \triangle ADC \)।
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ADC) } = \frac{ (BC)^2 }{ (AC)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ADC) } = \frac{ (13)^2 }{ (5)^2 } \)

\( \implies \frac{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ABC) }{ \text{क्षेत्रफल} (\triangle ADC) } = \frac{ 169 }{ 25 } \)
अतः, \( \triangle ABC \) और \( \triangle ADC \) के क्षेत्रफलों का अनुपात 169:25 है।
In simple words: हमने पहले दिखाया कि त्रिभुज ABC और ADC समरूप हैं, क्योंकि उनमें एक उभयनिष्ठ कोण और एक समकोण है। फिर, हमने समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके उनके क्षेत्रफलों का अनुपात निकाला, जो 169:25 आया.

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुजों में, शीर्ष से कर्ण पर डाले गए लंब से बने छोटे त्रिभुज हमेशा मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं। यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण है जिसे याद रखना चाहिए।