UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 7 Triangles Ex 71

Question 1. दी गई आकृति में DE ||BC यदि AD = 2.5 सेमी, DB = 3 सेमी तथा AE = 3.75 सेमी है तो AC का मान ज्ञात कीजिए।

Answer: दिया है,
\( AD = 2.5 \) सेमी
\( DB = 3 \) सेमी
\( AE = 3.75 \) सेमी
त्रिभुज ABC में, \( DE || BC \) है। हमें AC का मान ज्ञात करना है। एक त्रिभुज में जब एक रेखा किसी एक भुजा के समानांतर होती है और अन्य दो भुजाओं को काटती है, तो वह उन भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
आधारभूत समानुपातिका प्रमेय (थेल्स प्रमेय) से,
\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
\( \frac{2.5}{3} = \frac{3.75}{EC} \)
\( EC = \frac{3.75 \times 3}{2.5} \)
\( EC = \frac{11.25}{2.5} \)
\( EC = 4.5 \) सेमी
अब, \( AC = AE + EC \)
\( AC = 3.75 + 4.5 \)
\( AC = 8.25 \) सेमी
In simple words: हमने थेल्स प्रमेय का उपयोग किया क्योंकि DE, BC के समानांतर है। इससे भुजाओं का अनुपात बराबर हो जाता है। फिर EC का मान निकाल कर, AE और EC को जोड़कर कुल AC की लंबाई ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: थेल्स प्रमेय या आधारभूत समानुपातिका प्रमेय का प्रयोग करते समय यह याद रखें कि यदि कोई रेखा त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर हो, तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में बांटती है। इससे अज्ञात भुजाओं की लंबाई आसानी से निकाली जा सकती है।

Question 2. दी गई आकृति में DE ||BC यदि AD = 1.7 सेमी, AB = 6.8 सेमी तथा AC = 9 सेमी है तो AE का मान ज्ञात कीजिए।

Answer: दिया है,
\( AD = 1.7 \) सेमी
\( AB = 6.8 \) सेमी
\( AC = 9 \) सेमी
त्रिभुज ABC में, \( DE || BC \) है। हमें AE का मान ज्ञात करना है।
आधारभूत समानुपातिका प्रमेय के उपप्रमेय से, यदि एक रेखा त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर हो, तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में बांटती है, और इन भुजाओं के हिस्सों का अनुपात पूरी भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
\( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)
\( \frac{1.7}{6.8} = \frac{AE}{9} \)
\( AE = \frac{1.7 \times 9}{6.8} \)
\( AE = \frac{15.3}{6.8} \)
\( AE = 2.25 \) सेमी
In simple words: क्योंकि DE, BC के समानांतर है, इसलिए हमने भुजाओं के अनुपातों को बराबर सेट किया। AD को AB से भाग देने पर, वही मान मिला जो AE को AC से भाग देने पर मिलेगा। इस तरह AE का मान 2.25 सेमी आ गया।

🎯 Exam Tip: जब आपको भुजाओं के छोटे हिस्से और पूरी भुजाएं दी हों, और एक रेखा समानांतर हो, तो \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \) जैसे अनुपातों का उपयोग करना सबसे आसान होता है। यह थेल्स प्रमेय का एक महत्वपूर्ण परिणाम है।

Question 3. दो समान त्रिभुजों ABC तथा PQR का परिमाप क्रमशः 32 सेमी तथा 24 सेमी हैं। यदि PQ = 12 सेमी है तो AB का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: दिया है,
त्रिभुज ABC का परिमाप = 32 सेमी
त्रिभुज PQR का परिमाप = 24 सेमी
\( PQ = 12 \) सेमी
चूंकि दो त्रिभुज ABC और PQR समान हैं (\( \triangle ABC \sim \triangle PQR \))। जब दो त्रिभुज समान होते हैं, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात उनके परिमापों के अनुपात के बराबर होता है। यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण है।
\( \frac{AB}{PQ} = \frac{\text{परिमाप (ABC)}}{\text{परिमाप (PQR)}} \)
\( \frac{AB}{12} = \frac{32}{24} \)
\( AB = \frac{32 \times 12}{24} \)
\( AB = \frac{384}{24} \)
\( AB = 16 \) सेमी
In simple words: समान त्रिभुजों में, भुजाओं का अनुपात उनके कुल परिमाप के अनुपात के बराबर होता है। हमने इस नियम का उपयोग करके AB की लंबाई निकाली।

🎯 Exam Tip: समान त्रिभुजों के गुणों को याद रखना महत्वपूर्ण है: उनकी संगत भुजाओं का अनुपात, परिमापों का अनुपात, और क्षेत्रफलों का अनुपात सभी संबंधित होते हैं। यह सूत्र \( \frac{s_1}{s_2} = \frac{P_1}{P_2} \) कई समस्याओं को हल करने में मदद करता है।

Question 4. एक त्रिभुज ABC में, AD, ∠A का अर्द्धक है। जो भुजा BC पर D पर मिलता है। (i) यदि AB = 5.6 सेमी, AC = 6 सेमी, DC = 3 सेमी है तो BC ज्ञात कीजिए । (ii) यदि AD = 5.6 सेमी, BC = 6 सेमी, BD = 3.2 सेमी है तो AC ज्ञात कीजिए ।

Answer:
(i) दिया है: \( AB = 5.6 \) सेमी, \( AC = 6 \) सेमी, \( DC = 3 \) सेमी। हमें BC ज्ञात करना है।
चित्र से, \( BC = BD + DC \)
\( BC = BD + 3 \) ...(1)
प्रदत्त हल में, AD को कोण A का अर्द्धक बताया गया है, परंतु गणना में इसे BC पर लम्ब के रूप में उपयोग किया गया है। हम इसी गणना का पालन करेंगे।
समकोण त्रिभुज ADC में (यह मानते हुए कि AD, BC पर लम्ब है):
\( AC^2 = AD^2 + DC^2 \)
\( 6^2 = AD^2 + 3^2 \)
\( 36 = AD^2 + 9 \)
\( AD^2 = 36 - 9 \)
\( AD^2 = 27 \)
\( AD = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5.196 \) सेमी
इसी प्रकार, समकोण त्रिभुज ABD में (यह मानते हुए कि AD, BC पर लम्ब है):
\( AB^2 = BD^2 + AD^2 \)
\( (5.6)^2 = BD^2 + 27 \)
\( 31.36 = BD^2 + 27 \)
\( BD^2 = 31.36 - 27 \)
\( BD^2 = 4.36 \)
\( BD = \sqrt{4.36} \approx 2.088 \) सेमी
अब, \( BC = BD + DC \)
\( BC = 2.088 + 3 \)
\( BC \approx 5.088 \) सेमी

(ii) दिया है: \( BC = 6 \) सेमी, \( BD = 3.2 \) सेमी। हमें AC ज्ञात करना है। (इस भाग के लिए, AD = 5.6 सेमी और AD को BC पर लम्ब माना गया है।)
\( BC = BD + DC \)
\( 6 = 3.2 + DC \)
\( DC = 6 - 3.2 \)
\( DC = 2.8 \) सेमी
समकोण त्रिभुज ADC में (यह मानते हुए कि AD, BC पर लम्ब है):
\( AC^2 = AD^2 + DC^2 \)
\( AC^2 = (5.6)^2 + (2.8)^2 \)
\( AC^2 = 31.36 + 7.84 \)
\( AC^2 = 39.2 \)
\( AC = \sqrt{39.2} \approx 6.26 \) सेमी
In simple words: पहले भाग में, हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके BD और फिर पूरी BC भुजा निकाली। दूसरे भाग में, BC के एक हिस्से (DC) को ज्ञात करके और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके AC की लंबाई निकाली।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के सवालों में, ध्यान दें कि क्या कोई रेखा कोण समद्विभाजक है या लम्ब है। यदि यह कोण समद्विभाजक है, तो कोण समद्विभाजक प्रमेय लागू करें। यदि यह लम्ब है, तो पाइथागोरस प्रमेय या समरूप त्रिभुजों का उपयोग करें। कभी-कभी चित्र और प्रश्न का विवरण अलग-अलग संकेत दे सकते हैं, इसलिए हल में दिए गए तर्क का पालन करें।

Question 5. एक समान्तर चतुर्भुज ABCD है, भुजा BC पर एक बिन्दु P है तथा DP को बढ़ाने पर AB से बिन्दु L पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए कि (i) \( \frac{D P}{P L}=\frac{D C}{B L} \) (ii) \( \frac{D L}{D P}=\frac{A L}{DC} \)

Answer:
(i) हमें सिद्ध करना है: \( \frac{D P}{P L}=\frac{D C}{B L} \)
चित्रानुसार, एक समांतर चतुर्भुज ABCD दिया गया है, जिसमें BC पर बिंदु P है और DP को बढ़ाने पर वह AB को L पर मिलता है।
ΔALD में, चूंकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए AD || BC।
चूंकि P, BC पर एक बिंदु है, तो BP, AD के समानांतर होगा।
थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिका प्रमेय) से ΔALD में, जहाँ BP || AD है:
\( \frac{LB}{BA} = \frac{LP}{PD} \)
समांतर चतुर्भुज ABCD में, सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए \( AB = DC \)।
\( \frac{LB}{DC} = \frac{LP}{PD} \)
दोनों ओर का व्युत्क्रम लेने पर:
\( \frac{DC}{LB} = \frac{PD}{LP} \)
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
\( \frac{DP}{PL} = \frac{DC}{BL} \)
इस प्रकार पहला भाग सिद्ध होता है।

(ii) हमें सिद्ध करना है: \( \frac{D L}{D P}=\frac{A L}{DC} \)
भाग (i) से हमें पता है:
\( \frac{DP}{PL} = \frac{DC}{BL} \)
दोनों ओर का व्युत्क्रम लेने पर:
\( \frac{PL}{DP} = \frac{BL}{DC} \)
दोनों ओर 1 जोड़ने पर:
\( \frac{PL}{DP} + 1 = \frac{BL}{DC} + 1 \)
\( \frac{PL + DP}{DP} = \frac{BL + DC}{DC} \)
हमें पता है कि \( DL = DP + PL \)
और \( AL = AB + BL \)। चूंकि \( AB = DC \) है, इसलिए \( AL = DC + BL \)।
अतः, \( \frac{DL}{DP} = \frac{AL}{DC} \)
इस प्रकार दूसरा भाग भी सिद्ध होता है।
In simple words: हमने थेल्स प्रमेय और समांतर चतुर्भुज के गुणों का उपयोग किया। पहले हमने समानांतर रेखाओं (BP || AD) के कारण समानुपातिक संबंध (DP/PL = DC/BL) दिखाया। फिर इसी संबंध का उपयोग करके और 1 जोड़कर दूसरा आवश्यक अनुपात (DL/DP = AL/DC) सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: ज्यामिति के प्रमाण वाले सवालों में, थेल्स प्रमेय या आधारभूत समानुपातिका प्रमेय का उपयोग अक्सर किया जाता है। समांतर चतुर्भुज के गुणों (जैसे सम्मुख भुजाओं का बराबर होना) को सही जगह पर लगाना भी महत्वपूर्ण है। समीकरणों को उल्टा करना और 1 जोड़ना सिद्ध करने में उपयोगी तरीके हैं।

Question 6. एक चतुर्भुज ABCD है तथा P,Q, R तथा S क्रमशः AB, BC, CD व DA के ट्राईसैक्सन बिन्दु A व C के सम्मुख हैं। तो सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समान्तर चतुर्भुज होगा ।

Answer: चतुर्भुज ABCD दिया गया है। प्रश्न में P, Q, R, S को 'ट्राईसैक्सन बिन्दु' बताया गया है, लेकिन हल 'मध्य बिन्दु' मानकर किया गया है। हम हल में दिए गए तर्क का पालन करेंगे और उन्हें मध्य बिंदु मानेंगे।
माना P, Q, R, S क्रमशः AB, BC, CD और DA के मध्य बिंदु हैं। हमें सिद्ध करना है कि PQRS एक समांतर चतुर्भुज है। एक चतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज सिद्ध करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि उसकी सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समानांतर हैं।
AC को मिलाइए।
ΔABC में,
P, AB का मध्य बिंदु है और Q, BC का मध्य बिंदु है।
मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार, यदि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ा जाए, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है और उसकी आधी होती है।
इसलिए, \( PQ || AC \) ...(1)
ΔACD में,
R, CD का मध्य बिंदु है और S, DA का मध्य बिंदु है।
मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार,
इसलिए, \( SR || AC \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से,
\( PQ || AC \) और \( SR || AC \)
इसलिए, \( PQ || SR \)
इसी प्रकार, ΔABD में, P, AB का मध्य बिंदु है और S, AD का मध्य बिंदु है, तो \( PS || BD \)।
और ΔBCD में, Q, BC का मध्य बिंदु है और R, CD का मध्य बिंदु है, तो \( QR || BD \)।
अतः, \( PS || QR \)
चूंकि चतुर्भुज PQRS में सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समानांतर हैं (अर्थात् \( PQ || SR \) और \( PS || QR \)), तो PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
In simple words: हमने मध्य बिंदु प्रमेय का उपयोग करके दिखाया कि अंदर वाले चतुर्भुज (PQRS) की सम्मुख भुजाएँ समानांतर हैं। जैसे, PQ, AC के समानांतर है और SR भी AC के समानांतर है, तो PQ और SR भी एक-दूसरे के समानांतर हुए। इसी तरह PS और QR भी समानांतर साबित हुए, जिससे PQRS एक समांतर चतुर्भुज बन गया।

🎯 Exam Tip: मध्य बिंदु प्रमेय ज्यामिति में एक बहुत उपयोगी प्रमेय है, खासकर जब किसी चतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज सिद्ध करना हो। इस प्रमेय को अच्छी तरह से समझना और इसके अनुप्रयोगों को याद रखना परीक्षा में मदद करेगा। हमेशा सुनिश्चित करें कि आप प्रमेय की शर्तों को सही ढंग से लागू कर रहे हैं।

Question 7. एक △ ABC की भुजा BC का अर्द्धक D है। OAD पर कोई बिन्दु है। AC तथा AB में बिन्दु E तथा F मिल जाने पर BO तथा CO बनते हैं। AD को x तक बढ़ाया इसलिए D, OX का मध्य बिन्दु है तो सिद्ध कीजिए कि (i) AO : AX = AF : AB (ii) FE||BC

Answer: दिया है, त्रिभुज ABC में D, BC का मध्यबिंदु है, और O, AD पर स्थित एक बिंदु है। AD को X तक बढ़ाया गया है ताकि D, OX का मध्यबिंदु बन जाए। B और CX को मिलाया गया है।

(i) हमें सिद्ध करना है: \( \frac{AO}{AX} = \frac{AF}{AB} \)
चूंकि D, BC का मध्यबिंदु है और D, OX का मध्यबिंदु है, तो चतुर्भुज BOCX एक समांतर चतुर्भुज होगा (क्योंकि इसके विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)।
इसलिए, \( OB || CX \) और \( BX || OC \)।
ΔABX में, OF || BX (क्योंकि BX || CO, और F, AB पर है, O, AD पर है, CO, AD पर है)।
थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिका प्रमेय) से,
\( \frac{AO}{AX} = \frac{AF}{AB} \) ...(1)
इस प्रकार, पहला भाग सिद्ध होता है।

(ii) हमें सिद्ध करना है: \( FE || BC \)
ΔACX में, OE || CX (क्योंकि OB || CX, और O, AD पर है, E, AC पर है)।
थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिका प्रमेय) से,
\( \frac{AO}{AX} = \frac{AE}{AC} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से,
\( \frac{AF}{AB} = \frac{AE}{AC} \)
अब ΔABC में, F, AB पर और E, AC पर ऐसे बिंदु हैं कि वे AB और AC को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।
आधारभूत समानुपातिका प्रमेय के विलोम (Converse of Thales Theorem) से, यदि कोई रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह तीसरी भुजा के समानांतर होती है।
इसलिए, \( FE || BC \)
इस प्रकार, दूसरा भाग भी सिद्ध होता है।
In simple words: हमने थेल्स प्रमेय का उपयोग करके पहला संबंध (AO/AX = AF/AB) स्थापित किया। फिर, इसी प्रमेय का उपयोग करके एक और संबंध (AO/AX = AE/AC) पाया। इन दोनों संबंधों को मिलाकर हमने दिखाया कि AF/AB = AE/AC है, जिसका अर्थ है कि FE, BC के समानांतर है (थेल्स प्रमेय का उल्टा)।

🎯 Exam Tip: इस तरह के जटिल ज्यामिति प्रमाणों में, पहले समांतर चतुर्भुज या अन्य ज्ञात आकृतियों की पहचान करके उन पर लागू होने वाले प्रमेयों का उपयोग करें। मध्य बिंदु प्रमेय और थेल्स प्रमेय (और उसके विलोम) ऐसे सवालों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण उपकरण हैं। अपनी रेखाओं को सही ढंग से पहचानें।

Question 8. एक △ ABC में, बिन्दु D तथा E क्रमशः भुजाओं AB व AC पर हैं। तब प्रत्येक निम्नलिखित के लिए सिद्ध कीजिए कि DE || BC (i) AD = 5.7 सेमी, BD = 9.5 सेमी, AE = 3.3 सेमी, EC = 5.5 सेमी (ii) AB = 12 सेमी, AD = 8 सेमी, AE = 12 सेमी तथा AC = 18 सेमी

Answer: हमें सिद्ध करना है कि DE || BC है। थेल्स प्रमेय के विलोम (Converse of Basic Proportionality Theorem) के अनुसार, यदि एक रेखा त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह तीसरी भुजा के समानांतर होती है।

(i) दिया है: \( AD = 5.7 \) सेमी, \( BD = 9.5 \) सेमी, \( AE = 3.3 \) सेमी, \( EC = 5.5 \) सेमी।
अनुपात ज्ञात करें:
\( \frac{AD}{BD} = \frac{5.7}{9.5} = \frac{57}{95} = \frac{3 \times 19}{5 \times 19} = \frac{3}{5} \)
\( \frac{AE}{EC} = \frac{3.3}{5.5} = \frac{33}{55} = \frac{3 \times 11}{5 \times 11} = \frac{3}{5} \)
चूंकि \( \frac{AD}{BD} = \frac{AE}{EC} \) है, इसलिए थेल्स प्रमेय के विलोम से, \( DE || BC \) है।

(ii) दिया है: \( AB = 12 \) सेमी, \( AD = 8 \) सेमी, \( AE = 12 \) सेमी, \( AC = 18 \) सेमी।
पहले BD और EC की गणना करें:
\( BD = AB - AD = 12 - 8 = 4 \) सेमी
\( EC = AC - AE = 18 - 12 = 6 \) सेमी
अब अनुपात ज्ञात करें:
\( \frac{AD}{BD} = \frac{8}{4} = 2 \)
\( \frac{AE}{EC} = \frac{12}{6} = 2 \)
चूंकि \( \frac{AD}{BD} = \frac{AE}{EC} \) है, इसलिए थेल्स प्रमेय के विलोम से, \( DE || BC \) है।
In simple words: DE को BC के समानांतर दिखाने के लिए, हमें बस यह दिखाना था कि यह AB और AC भुजाओं को समान अनुपात में बांटता है। हमने दिए गए मापों का उपयोग करके अनुपातों की गणना की और पाया कि वे दोनों मामलों में बराबर थे, जिससे सिद्ध हुआ कि DE, BC के समानांतर है।

🎯 Exam Tip: थेल्स प्रमेय का विलोम सिद्ध करने वाले सवालों में, हमेशा दोनों अनुपातों \( \frac{AD}{DB} \) और \( \frac{AE}{EC} \) की अलग-अलग गणना करें। यदि वे बराबर आते हैं, तो आप आत्मविश्वास से कह सकते हैं कि रेखाएं समानांतर हैं। गणना में सावधानी बरतें।

Question 9. एक △ABC में, भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः बिन्दु D तथा E है तथा DE||BC है। यदि AD = 2.4 सेमी, AE = 3.2 सेमी, DE = 2 सेमी, BC = 5 सेमी है तो BD तथा CE ज्ञात कीजिए।

Answer: दिया है,
ΔABC में, D भुजा AB पर और E भुजा AC पर बिंदु है, और \( DE || BC \) है।
\( AD = 2.4 \) सेमी, \( AE = 3.2 \) सेमी, \( DE = 2 \) सेमी, \( BC = 5 \) सेमी।
हमें BD तथा CE ज्ञात करना है।
चूंकि \( DE || BC \) है, तो ΔADE और ΔABC समरूप त्रिभुज हैं। इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा। यह ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण नियम है।
\( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \)

पहले BD की गणना करें:
\( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \)
हम जानते हैं \( AB = AD + BD \)
\( \frac{AD}{AD + BD} = \frac{DE}{BC} \)
\( \frac{2.4}{2.4 + BD} = \frac{2}{5} \)
\( 2.4 \times 5 = 2 \times (2.4 + BD) \)
\( 12 = 4.8 + 2BD \)
\( 2BD = 12 - 4.8 \)
\( 2BD = 7.2 \)
\( BD = \frac{7.2}{2} \)
\( BD = 3.6 \) सेमी

अब CE की गणना करें:
\( \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \)
हम जानते हैं \( AC = AE + CE \)
\( \frac{AE}{AE + CE} = \frac{DE}{BC} \)
\( \frac{3.2}{3.2 + CE} = \frac{2}{5} \)
\( 3.2 \times 5 = 2 \times (3.2 + CE) \)
\( 16 = 6.4 + 2CE \)
\( 2CE = 16 - 6.4 \)
\( 2CE = 9.6 \)
\( CE = \frac{9.6}{2} \)
\( CE = 4.8 \) सेमी
In simple words: DE के BC के समानांतर होने के कारण, हमने बड़े और छोटे त्रिभुज को समरूप माना। फिर हमने उनकी भुजाओं के अनुपातों को बराबर करके BD और CE की लंबाई निकाली।

🎯 Exam Tip: जब त्रिभुज में एक रेखा किसी तीसरी भुजा के समानांतर होती है, तो छोटे त्रिभुज और बड़े त्रिभुज हमेशा समरूप होते हैं। इस गुण का उपयोग करके आप संगत भुजाओं के अनुपात को बराबर सेट कर सकते हैं और अज्ञात लंबाई आसानी से ज्ञात कर सकते हैं। BD और CE को ज्ञात करते समय, AB और AC को \( (AD+BD) \) और \( (AE+CE) \) के रूप में लिखना न भूलें।

Question 10. एक △ABC की भुजाओं AB तथा AC पर क्रमशः बिन्दु D तथा E हैं तथा DE ||BC और BD = CE है। तो सिद्ध कीजिए कि △ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
Answer: दिया है, ΔABC में, D और E क्रमशः भुजाओं AB और AC पर बिंदु हैं। यह भी दिया है कि \( DE || BC \) और \( BD = CE \) है। हमें सिद्ध करना है कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है (अर्थात \( AB = AC \))।
त्रिभुज ABC में, चूंकि \( DE || BC \) है, आधारभूत समानुपातिका प्रमेय (थेल्स प्रमेय) से,
\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) ...(1)
हमें दिया गया है कि \( BD = CE \)।
इसलिए, समीकरण (1) में \( EC \) के स्थान पर \( BD \) रखने पर,
\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{BD} \)
दोनों तरफ \( DB \) से गुणा करने पर,
\( AD = AE \)
अब, समीकरण (1) को फिर से देखें:
\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर (यह एक सामान्य बीजगणितीय तकनीक है जो ज्यामितीय प्रमाणों में उपयोगी है):
\( \frac{AD}{DB} + 1 = \frac{AE}{EC} + 1 \)
\( \frac{AD + DB}{DB} = \frac{AE + EC}{EC} \)
हम जानते हैं कि \( AD + DB = AB \) और \( AE + EC = AC \)
इसलिए, \( \frac{AB}{DB} = \frac{AC}{EC} \)
चूंकि हमें दिया गया है कि \( BD = CE \), हम समीकरण में \( EC \) की जगह \( BD \) रख सकते हैं:
\( \frac{AB}{BD} = \frac{AC}{BD} \)
दोनों तरफ \( BD \) से गुणा करने पर,
\( AB = AC \)
चूंकि त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ (AB और AC) बराबर हैं, इसलिए ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
In simple words: हमने थेल्स प्रमेय का उपयोग किया क्योंकि DE, BC के समानांतर है। इससे AD/DB = AE/EC संबंध मिला। फिर हमें पता था कि BD = CE है। इन दोनों बातों को मिलाकर, हमने AB/DB = AC/EC दिखाया, और चूंकि BD = CE था, तो AB और AC बराबर सिद्ध हो गए, जिससे त्रिभुज समद्विबाहु बन गया।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रमाणों में, दिए गए सभी तथ्यों का उपयोग करना महत्वपूर्ण है। थेल्स प्रमेय और उसके बीजगणितीय हेरफेर (जैसे 1 जोड़ना) का उपयोग करके आप भुजाओं के बीच संबंध स्थापित कर सकते हैं। समद्विबाहु त्रिभुज की परिभाषा (दो समान भुजाएँ) याद रखें।

Question 11. बिन्दुओं L, M, N के तीन रेखाखण्ड OA,OB तथा Oc ऐसे लिए गए हैं कि LM ||AB तथा MN||BC लेकिन न तो L, M, N न ही A,B,C समरेख हैं। तो सिद्ध कीजिए कि LN||AC

Answer: दिया है, O एक बिंदु है और L, M, N क्रमशः OA, OB, OC पर बिंदु हैं। यह भी दिया है कि \( LM || AB \) और \( MN || BC \) है। हमें सिद्ध करना है कि \( LN || AC \) है।
ΔOAB में,
चूंकि \( LM || AB \) है, आधारभूत समानुपातिका प्रमेय (थेल्स प्रमेय) से,
\( \frac{OL}{LA} = \frac{OM}{MB} \) ...(1)
इसी प्रकार, ΔOBC में,
चूंकि \( MN || BC \) है, आधारभूत समानुपातिका प्रमेय (थेल्स प्रमेय) से,
\( \frac{OM}{MB} = \frac{ON}{NC} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से, \( \frac{OM}{MB} \) दोनों में समान है, इसलिए हम लिख सकते हैं:
\( \frac{OL}{LA} = \frac{ON}{NC} \)
अब, ΔOAC में, L, OA पर एक बिंदु है और N, OC पर एक बिंदु है। हमने दिखाया है कि ये बिंदु भुजाओं OA और OC को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।
आधारभूत समानुपातिका प्रमेय के विलोम (Converse of Thales Theorem) से, यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह तीसरी भुजा के समानांतर होती है।
इसलिए, \( LN || AC \)
इस प्रकार यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने थेल्स प्रमेय को दो बार लगाया: पहले ΔOAB में LM || AB के लिए, और फिर ΔOBC में MN || BC के लिए। इससे हमें OL/LA और ON/NC के अनुपात बराबर मिले। अंत में, हमने ΔOAC में थेल्स प्रमेय के विलोम का उपयोग करके दिखाया कि LN, AC के समानांतर है।

🎯 Exam Tip: जब आपको कई समानांतर रेखाएं और प्रतिच्छेदन बिंदु दिए जाते हैं, तो थेल्स प्रमेय और उसके विलोम का उपयोग अक्सर किया जाता है। विभिन्न त्रिभुजों की पहचान करें और उनमें प्रमेय लागू करें, फिर परिणामों को संयोजित करें। यह एक सामान्य तकनीक है।

Question 12. त्रिभुज ABC का कोई अन्तः बिन्दु ० है । ∠AOB, ∠BOC तथा ∠COA का अर्द्धक भुजाओं AB, BC तथा CA से क्रमशः बिन्दुओं D, E तथा F में मिलता है। तो सिद्ध कीजिए कि AD × BE × CF = DB × EC × FA
Answer: दिया है, ΔABC में O एक आंतरिक बिंदु है। OD, ∠AOB का अर्द्धक है, OE, ∠BOC का अर्द्धक है और OF, ∠COA का अर्द्धक है। ये अर्द्धक क्रमशः AB, BC और CA को D, E और F पर मिलते हैं। हमें सिद्ध करना है कि \( AD \times BE \times CF = DB \times EC \times FA \) है। यह चेवा प्रमेय के त्रिकोणमितीय रूप का एक परिणाम है, जो कोण समद्विभाजक प्रमेय से प्राप्त होता है।
ΔAOB में,
OD, ∠AOB का कोण समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक प्रमेय से,
\( \frac{AD}{DB} = \frac{OA}{OB} \) ...(1)
ΔBOC में,
OE, ∠BOC का कोण समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक प्रमेय से,
\( \frac{BE}{EC} = \frac{OB}{OC} \) ...(2)
ΔCOA में,
OF, ∠COA का कोण समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक प्रमेय से,
\( \frac{CF}{FA} = \frac{OC}{OA} \) ...(3)
समीकरण (1), (2) और (3) को गुणा करने पर,
\( \frac{AD}{DB} \times \frac{BE}{EC} \times \frac{CF}{FA} = \frac{OA}{OB} \times \frac{OB}{OC} \times \frac{OC}{OA} \)
दाहिनी ओर, सभी \( OA, OB, OC \) पद कट जाएंगे (रद्द हो जाएंगे)।
\( \frac{AD \times BE \times CF}{DB \times EC \times FA} = 1 \)
\( AD \times BE \times CF = DB \times EC \times FA \)
इस प्रकार यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने तीन छोटे त्रिभुजों (AOB, BOC, COA) में कोण समद्विभाजक प्रमेय का उपयोग किया। इससे प्रत्येक त्रिभुज में भुजाओं के अनुपातों के लिए तीन समीकरण मिले। फिर, इन तीनों समीकरणों को एक साथ गुणा करने पर, हमने देखा कि सभी OA, OB, OC मान कट गए और हमें आवश्यक परिणाम मिला।

🎯 Exam Tip: कोण समद्विभाजक प्रमेय को याद रखें: "एक त्रिभुज में, एक कोण का आंतरिक समद्विभाजक विपरीत भुजा को उन दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है जो कोण को बनाती हैं।" इस प्रमेय को विभिन्न छोटे त्रिभुजों पर लागू करें और फिर परिणामों को गुणा करके एक सुंदर अंतिम प्रमाण प्राप्त करें।

Question 13. माना △ABC का मध्य AD है। ∠ADB तथा ∠ADC के अर्द्धक, AB तथा AC में क्रमशः E तथा F मिलते हैं तो सिद्ध कीजिए कि EF ||BC

Answer: दिया है, ΔABC में AD एक माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि D, BC का मध्यबिंदु है, अतः \( BD = DC \)। DE, ∠ADB का कोण समद्विभाजक है और यह AB को E पर मिलता है। DF, ∠ADC का कोण समद्विभाजक है और यह AC को F पर मिलता है। हमें सिद्ध करना है कि \( EF || BC \) है।
ΔADB में,
DE, ∠ADB का कोण समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक प्रमेय से,
\( \frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DB} \) ...(1)
ΔADC में,
DF, ∠ADC का कोण समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक प्रमेय से,
\( \frac{AF}{FC} = \frac{AD}{DC} \) ...(2)
चूंकि AD, ΔABC की माध्यिका है, इसलिए D, BC का मध्यबिंदु है। अतः,
\( DB = DC \)
समीकरण (1) और (2) से, चूंकि \( DB = DC \) है, तो \( \frac{AD}{DB} = \frac{AD}{DC} \) होगा।
इसलिए, हम लिख सकते हैं:
\( \frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC} \)
अब, ΔABC में, E, AB पर और F, AC पर ऐसे बिंदु हैं जो AB और AC को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।
आधारभूत समानुपातिका प्रमेय के विलोम (Converse of Basic Proportionality Theorem) से, यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह तीसरी भुजा के समानांतर होती है।
इसलिए, \( EF || BC \)
इस प्रकार यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने ΔADB और ΔADC में कोण समद्विभाजक प्रमेय का उपयोग किया। चूंकि AD एक माध्यिका थी, तो BD और DC बराबर थे। इससे AE/EB और AF/FC के अनुपात बराबर साबित हुए। अंत में, थेल्स प्रमेय के विलोम का उपयोग करके हमने दिखाया कि EF, BC के समानांतर है।

🎯 Exam Tip: यह प्रमाण कोण समद्विभाजक प्रमेय और थेल्स प्रमेय के विलोम का एक अच्छा संयोजन है। याद रखें कि माध्यिका का अर्थ है कि वह भुजा को दो बराबर भागों में बांटती है। इससे आपको \( DB = DC \) संबंध मिलता है जो प्रमाण को पूरा करने में महत्वपूर्ण है।