UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 7 Coordinate Geometry

प्रश्नावली 7.1 (NCERT Page 177)

Question 1. बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए :
(i) (2, 3), (4, 1)
(ii) (-5, 7), (-1, 3)
(iii) (a, b), (-a, -b)
Answer:
हलः (i) यहाँ \(x_1 = 2, y_1 = 3, x_2 = 4\) और \(y_2 = 1\)
अतः अभीष्ठ दूरी \( = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( = \sqrt{(4-2)^2 + (1-3)^2} \)
\( = \sqrt{2^2 +(-2)^2} \)
\( = \sqrt{4 + 4 = \sqrt{8}} \)
\( = \sqrt{2 \times 4} = 2\sqrt{2} \)
(ii) यहाँ, \(x_1 = -5, y_1 = 7, x_2 = -1, y_2 = 3\)
अभीष्ठ दूरी \( = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( = \sqrt{[-1 - (-5)]^2 + (3 - 7)^2} \)
\( = \sqrt{(-1+5)^2 + (-4)^2} \)
\( = \sqrt{16 +16} \)
\( = \sqrt{32} = \sqrt{2 \times 16} = 4\sqrt{2} \)
(iii) यहाँ, \(x_1 = a, y_1 = b, x_2 = -a, y_2 = -b\)
अतः अभीष्ठ दूरी \( = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( = \sqrt{(-a-a)^2+(-b--b)^2} \)
\( = \sqrt{(-2a)^2 + (-2b)^2} \)
\( = \sqrt{4a^2 + 4b^2} \)
\( = \sqrt{4(a^2 + b^2)} = 2\sqrt{a^2 + b^2} \)
In simple words: यह प्रश्न दिए गए बिन्दुओं के युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करता है। प्रत्येक भाग में, निर्देशांकों को दूरी सूत्र में प्रतिस्थापित करके सरलीकृत किया गया है।

🎯 Exam Tip: दूरी सूत्र \( \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \) को सही ढंग से लागू करना और ऋणात्मक संख्याओं के वर्गों को सावधानीपूर्वक गणना करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 2. बिन्दुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। एक शहर B एक अन्य शहर A से 36 किमी. पूर्व (east) और 15 किमी. उत्तर (north) की ओर है। शहर B की शहरे A से बिना वास्तविक मापन के दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली को दर्शाता है। बिंदु A को मूलबिंदु (0,0) पर दर्शाया गया है। बिंदु B, A से 36 किमी पूर्व (x-अक्ष पर) और 15 किमी उत्तर (y-अक्ष पर) की ओर स्थित है, जिससे B के निर्देशांक (36, 15) बनते हैं। एक सीधी रेखा AB को दर्शाया गया है, जो दोनों शहरों के बीच की दूरी को निरूपित करती है।

\( AB = \sqrt{(36-0)^2 + (15-0)^2} \)
\( = \sqrt{(36)^2 + (15)^2} = \sqrt{1296 + 225} \)
\( = \sqrt{1521} = \sqrt{39^2} = 39 \)
Part-II माना P(0, 0) शहर A और Q (36, 15) शहर B को व्यक्त करते हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली को दर्शाता है। बिंदु P को मूलबिंदु (0,0) पर दर्शाया गया है। बिंदु Q, P से 36 किमी पूर्व (x-अक्ष पर) और 15 किमी उत्तर (y-अक्ष पर) की ओर स्थित है, जिससे Q के निर्देशांक (36, 15) बनते हैं। एक सीधी रेखा PQ को दर्शाया गया है, जो दोनों शहरों के बीच की दूरी को निरूपित करती है।
यहाँ \( x_1 = 0, x_2 = 36, y_1 = 0, y_2 = 15 \)
अतः \( PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( = \sqrt{(36-0)^2 + (15-0)^2} = 39 \) किमी.
अतः दोनों शहरों के बीच की दूरी 39 किमी. है।
In simple words: शहर A को मूलबिंदु (0,0) पर और शहर B को (36,15) पर मानकर, उनके बीच की दूरी को पाइथागोरस प्रमेय (दूरी सूत्र) का उपयोग करके सीधे गणना की जाती है।

🎯 Exam Tip: दिशाओं (पूर्व, उत्तर) को कार्तीय निर्देशांकों (x, y) में सही ढंग से अनुवाद करना और दूरी सूत्र का उपयोग करके दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा दूरी ज्ञात करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 3. निर्धारित कीजिए की क्या बिन्दु (1, 5), (2, 3) और (-2, -11) सरेंखी हैं।
Answer:
हलः माना दिए गये बिंदु A(1, 5), B(2, 3) और C(-2, -11) हैं यदि A, B और C सरेखी हैं तो
AB + BC = AC, AC + CB = AB,
BA + AC = BC
अतः \( AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-5)^2} \)
\( = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \)
\( BC = \sqrt{(-2-2)^2 + (-11-3)^2} \)
\( = \sqrt{(-4)^2 + (-14)^2} \)
\( = \sqrt{16 + 196} = \sqrt{212} \)
\( AC = \sqrt{(-2-1)^2 + (-11 - 5)^2} \)
\( = \sqrt{(-3)^2 + (-16)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 256} = \sqrt{265} \)
चूंकि \( AB + BC \neq AC, AC + CB \neq AB, BA + AC \neq BC \)
अतः बिन्दु A, B और C सरेखी नहीं है।
In simple words: तीन बिंदु संरेखीय होते हैं यदि किन्हीं भी दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर हो। यहाँ, हमने सभी तीन दूरियाँ AB, BC, और AC की गणना की और पाया कि कोई भी दो दूरियों का योग तीसरे के बराबर नहीं है, इसलिए बिंदु संरेखीय नहीं हैं।

🎯 Exam Tip: संरेखीयता की जांच के लिए तीनों संभावित दूरियों (AB, BC, AC) की गणना करें और सत्यापित करें कि क्या किन्हीं भी दो का योग तीसरे के बराबर है; यदि नहीं, तो बिंदु संरेखीय नहीं हैं।

 

Question 4. जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5, -2), (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं |
Answer:
हलः माना A(5, - 2), B(6, 4) और C (7, - 2) हैं।
\( AB = \sqrt{(6-5)^2 + [4 - (-2)]^2} \)
\( = \sqrt{(1)^2 + (6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} \)
\( BC = \sqrt{(7-6)^2 + (-2-4)^2} \)
\( = \sqrt{(1)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} \)
\( AC = \sqrt{(5-7)^2 + (-2 - (-2))^2} \)
\( = \sqrt{(-2)^2 + (0)^2} = \sqrt{4 + 0} = 2 \)
चूंकि \( AB = BC = \sqrt{37} \) और \( AC = 2 \)

\( \implies AB = BC \neq AC \)
अतः \( \triangle \) ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
In simple words: एक त्रिभुज समद्विबाहु होता है यदि उसकी कोई भी दो भुजाएँ समान लंबाई की हों। यहाँ, हमने तीन भुजाओं AB, BC, और AC की लंबाई की गणना की और पाया कि AB और BC दोनों \( \sqrt{37} \) के बराबर हैं, इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

🎯 Exam Tip: यह दिखाने के लिए कि त्रिभुज समद्विबाहु है, दूरी सूत्र का उपयोग करके तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें और जाँच करें कि क्या उनमें से कोई दो समान हैं।

 

Question 5. किसी कक्षा में. चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसाकि आकृति 7.8 में दर्शाया गया है | चंपा और चमेली कक्षा के अन्दर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने तक के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, 'क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है ?' चमेली इससे सहमत नहीं है ?' दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक ग्रिड दर्शाता है जहाँ x-अक्ष स्तंभों की संख्या को और y-अक्ष पंक्तियों की संख्या को प्रदर्शित करता है। चार मित्र A, B, C, और D बिन्दुओं पर बैठे हैं। A के निर्देशांक (3,4), B के (6,7), C के (9,4) और D के (6,1) हैं। यह एक वर्ग जैसी आकृति बनाते हुए दर्शाया गया है।
हलः माना आकृति में स्तंभों की संख्या x-अक्ष पर और पंक्तियों की संख्या y-अक्ष पर प्रदर्शित हैं।
इस प्रकार, दिए गए बिन्दु हैं:
A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4) और D(6, 1)
\( AB = \sqrt{(6-3)^2 + (7-4)^2} \)
\( = \sqrt{(3)^2 + (3)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
\( BC = \sqrt{(9-6)^2 + (4-7)^2} \)
\( = \sqrt{3^2 + (-3)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
\( CD = \sqrt{(6-9)^2 + (1-4)^2} \)
\( = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
\( AD = \sqrt{(6-3)^2 + (1-4)^2} \)
\( = \sqrt{(3)^2 + (-3)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
चूंकि \( AB = BC = CD = AD \) अर्थात् सभी चार भुजाएँ समान हैं।
तथा \( AC = \sqrt{(9-3)^2+(4-4)^2} \)
\( = \sqrt{(-6)^2 + (0)^2} = 6 \)
और \( BD = \sqrt{(6-6)^2 + (1 - 7)^2} \)
\( = \sqrt{(0)^2 + (-6)^2} = 6 \)
अर्थात् \( BD = AC \)
\( \implies \) दोनों विकर्ण भी समान हैं।
अतः ABCD एक वर्ग है। अर्थात् चंपा सही है।
In simple words: एक चतुर्भुज को वर्ग सिद्ध करने के लिए, हमें उसकी सभी चार भुजाओं की लंबाई और दोनों विकर्णों की लंबाई की गणना करनी होती है। यदि सभी भुजाएँ समान हैं और विकर्ण भी समान हैं, तो वह एक वर्ग है। यहाँ, चंपा सही है क्योंकि गणना से यह एक वर्ग सिद्ध होता है।

🎯 Exam Tip: किसी भी चतुर्भुज को वर्ग साबित करने के लिए, सभी भुजाओं (AB, BC, CD, DA) और दोनों विकर्णों (AC, BD) की लंबाई की गणना करें। सभी भुजाएँ समान होनी चाहिए और विकर्ण भी समान होने चाहिए।

 

Question 6. निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चर्तुभुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथाअपने उतर के लिए करण भी दीजिए :
(i) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
Answer:
हलः (i) माना दिए गये बिन्दु हैं:
A(-1,-2), B(1, 0), C(-1, 2) और D(-3, 0)
अतः \( AB = \sqrt{(1+1)^2 + (0 + 2)^2} \)
\( = \sqrt{(2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \)
\( BC = \sqrt{(-1-1)^2+(2-0)^2} \)
\( = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \)
\( CD = \sqrt{(-3 + 1)^2 + (0-2)^2} \)
\( = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \)
\( DA = \sqrt{(-1+3)^2 + (-2-0)^2} \)
\( = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \)
\( AC = \sqrt{(-1+ 1)^2 + (2-2)^2} \)
\( = \sqrt{0 + 4^2} = 4 \)
\( BD = \sqrt{(-3-1)^2 + (0-0)^2} \)
\( = \sqrt{4^2} = 4 \)

\( \implies AB = BC = CD = AD \)
अर्थात् सभी भुजाएँ समान हैं, और \( AC = BD \)
अर्थात् AC और BD (विकरण) भी समान हैं।

\( \implies \) ABCD एक वर्ग है।
In simple words: इस भाग में, दिए गए चार बिंदुओं से बनने वाले चतुर्भुज के प्रकार का पता लगाने के लिए हमने सभी चार भुजाओं और दोनों विकर्णों की लंबाई की गणना की। चूंकि सभी भुजाएँ समान हैं (\( \sqrt{8} \)) और दोनों विकर्ण भी समान हैं (4), यह एक वर्ग है।

🎯 Exam Tip: चतुर्भुज के प्रकार को निर्धारित करने के लिए, सभी चार भुजाओं और दोनों विकर्णों की लंबाई की गणना करना आवश्यक है। समान भुजाएँ और समान विकर्ण एक वर्ग को इंगित करते हैं।

 

Question 6. निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चर्तुभुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथाअपने उतर के लिए करण भी दीजिए :
(i) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
Answer:
(ii) माना दिए गये बिन्दु हैं:
A(-3, 5), B(3, 1), C(0, 3) और D(-1,-4)
अतः \( AB = \sqrt{[3-(-3)]^2 + (1 - 5)^2} \)
\( = \sqrt{6^2+(-4)^2} \)
\( = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \)
\( BC = \sqrt{(0-3)^2 + (3-1)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \)...(1)
\( CD = \sqrt{(-1-0)^2 + (-4 - 3)^2} \)
\( = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \)
\( DA = \sqrt{[-3-(-1)]^2 + [5- (-4)]^2} \)
\( = \sqrt{(2)^2 + (9)^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85} \)
\( AC = \sqrt{[(0-(-3)]^2 + (3-5)^2} \)
\( = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \)...(2)
\( BD = \sqrt{(-1-3)^2 + (-4 -1)^2} \)
\( = \sqrt{(-4)^2 + (-5)^2} \)
\( = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \)
अब, (1) और (2) से, \( \sqrt{13}+\sqrt{13} = 2\sqrt{13} \)
अर्थात् \( AC + BC = AB \)

\( \implies \) A, B, C और D सरेखी हैं। इस प्रकार, ABCD एक चतुर्भुज नहीं है।
In simple words: दूसरे भाग में दिए गए चार बिंदुओं के लिए, हमने सभी भुजाओं और विकर्णों की लंबाई की गणना की। चूंकि \( AC + BC = AB \) (यानी \( \sqrt{13} + \sqrt{13} = 2\sqrt{13} \)), इसका मतलब है कि बिंदु A, B और C संरेखीय हैं। इसलिए, ये चार बिंदु एक चतुर्भुज नहीं बना सकते हैं।

🎯 Exam Tip: चार बिंदुओं से चतुर्भुज का प्रकार निर्धारित करते समय, संरेखीयता के लिए भी जाँच करें। यदि कोई तीन बिंदु संरेखीय हैं, तो वे एक चतुर्भुज नहीं बना सकते हैं।

 

Question 6. निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चर्तुभुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथाअपने उतर के लिए करण भी दीजिए :
(i) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
Answer:
(iii) माना कि दिए गये बिन्दु हैं:
A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3) और D(1, 2)
\( AB = \sqrt{(7-4)^2 + (6-5)^2} \)
\( = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \)...(1)
\( BC = \sqrt{(4-7)^2+(3-6)^2} \)
\( = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \)...(2)
\( CD = \sqrt{(1-4)^2 + (2-3)^2} \)
\( = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{10} \)...(3)
\( DA = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \)...(4)
\( AC = \sqrt{(4-4)^2 + (3-5)^2} \)
\( = \sqrt{0 + (-2)^2} = 2 \)
\( BD = \sqrt{(1-7)^2 + (2-6)^2} \)
\( = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \)
(1) और (3) से तथा (2) और (4) से,
\( AB = CD \) तथा \( BC = DA \)
[ अर्थात् चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ समान हैं]
परन्तु \( AC \neq BD \) अर्थात् विकर्ण समान नहीं है।
अतः ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
In simple words: तीसरे भाग में, हमने दिए गए चार बिंदुओं की भुजाओं और विकर्णों की लंबाई की गणना की। चूंकि सम्मुख भुजाएँ (AB और CD, BC और DA) समान हैं, लेकिन विकर्ण (AC और BD) समान नहीं हैं, यह एक समांतर चतुर्भुज है।

🎯 Exam Tip: एक चतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज साबित करने के लिए, दिखाएँ कि सम्मुख भुजाओं की लंबाई समान है। यदि विकर्ण भी समान हों, तो वह एक आयत या वर्ग होगा, लेकिन यहाँ वे समान नहीं हैं।

 

Question 7. x - अक्ष मान पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समदूरस्थ हैं।
Answer:
हल : माना A (2, -5), B (-2, 9), तथा x-अक्ष पर बिंदु P (x, 0), हैं|
हलः हम जानते हैं कि x-अक्ष पर स्थित बिन्दु का कोटि-अंक (ordinate) 0 होता है।
माना बिन्दु P के निर्देशांक (x, 0) हैं। दिए गये A(2, - 5) और B(-2, 9) से,
\( PA = \sqrt{(x - 2)^2 + [0 - (-5)]^2} \)
\( = \sqrt{(x - 2)^2 +5^2} \)
\( = \sqrt{x^2-4x + 4 + 25} \)
\( = \sqrt{x^2-4x+29} \)
\( PB = \sqrt{[x-(-2)]^2+(0-9)^2} \)
\( = \sqrt{(x + 2)^2 + (-9)^2} \)
\( = \sqrt{x^2 + 4x + 4 + 81} \)
\( = \sqrt{x^2 + 4x +85} \)
अतः \( PA = PB \)

\( \implies \sqrt{x^2 - 4x + 29} = \sqrt{x^2 + 4x + 85} \)
दोनों ओर का वर्ग करने पर,

\( \implies x^2-4x + 29 = x^2 + 4x + 85 \)

\( \implies x^2-4x-x^2 - 4x = 85-29 \)

\( \implies -8x = 56 \)

\( \implies x = \frac{56}{-8} = -7 \)
इस प्रकार अभीष्ठ बिन्दु (-7,0) है।
In simple words: x-अक्ष पर स्थित एक बिंदु का y-निर्देशांक हमेशा 0 होता है, इसलिए हम इसे (x, 0) मान लेते हैं। फिर, इस बिंदु से दिए गए दोनों बिंदुओं की दूरी को समान करके एक समीकरण बनाते हैं, जिसे x का मान ज्ञात करने के लिए हल किया जाता है।

🎯 Exam Tip: x-अक्ष पर स्थित बिंदु के निर्देशांक (x, 0) और y-अक्ष पर स्थित बिंदु के निर्देशांक (0, y) होते हैं। समदूरस्थ का अर्थ है कि दोनों दूरियाँ समान हैं, जिसका उपयोग समीकरण बनाने के लिए किया जाता है।

 

Question 8. y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P (2, -3) और Q (10, y) के बीच की दुरी 10 मात्रक है।
Answer:
हलः दिए गये बिन्दु हैं: P(2, -3) और Q (10, y)
अतः \( PQ = \sqrt{(10-2)^2 + [y-(-3)]^2} \)
\( = \sqrt{8^2 + (y + 3)^2} \)
\( = \sqrt{64+ y^2 + 6y +9} \)
\( = \sqrt{y^2 + 6y +73} \)
परन्तु \( PQ = 10 \)
अतः \( \sqrt{y^2 + 6y + 73} = 10 \)
दोनों ओर का वर्ग करने पर,

\( \implies y^2 + 6y + 73 = 100 \)

\( \implies y^2+6y-27 = 0 \)

\( \implies y^2 - 3y + 9y - 27 = 0 \)

\( \implies (y-3) (y + 9) = 0 \)
या, तो \( y-3=0 \)

\( \implies y = 3 \)
या \( y+9=0 \)

\( \implies y = -9 \)
अतः y का मान 3 या (-9) है।
In simple words: दूरी सूत्र का उपयोग करके दो बिंदुओं P और Q के बीच की दूरी को 10 के बराबर सेट किया जाता है। समीकरण को सरल करके, हमें y में एक द्विघात समीकरण मिलता है, जिसे हल करने पर y के दो मान (3 और -9) प्राप्त होते हैं।

🎯 Exam Tip: जब दूरी दी गई हो और एक निर्देशांक अज्ञात हो, तो दूरी सूत्र को लागू करें और अज्ञात को हल करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करें। अक्सर, इससे एक द्विघात समीकरण बनता है जिसके दो संभावित हल हो सकते हैं।

 

Question 9. यदि Q (0, 1) बिन्दुओं P (5, -3) और R (x, 6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। दुरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए|
Answer:
हलः यहाँ, \( QP = \sqrt{(5-0)^2 + [(-3)-1]^2} \)
\( = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41} \)
\( QR = \sqrt{(x-0)^2 + (6-1)^2} \)
\( = \sqrt{x^2 + 5^2} = \sqrt{x^2 + 25} \)
अतः \( QP = QR \)
\( \sqrt{41} = \sqrt{x^2 + 25} \)
दोनों ओर से वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( x^2 + 25 = 41 \)

\( \implies x^2 + 25-41 = 0 \)

\( \implies x^2-16 = 0 \)

\( \implies x = \pm 4 \)
इस प्रकार, बिन्दु R के निर्देशांक हैं: (4,6) या (-4, 6)
अब, \( QR = \sqrt{[(\pm4) - (0)]^2 + (6-1)^2} \)
\( = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \)
और \( PR = \sqrt{(\pm4-5)^2 + (6 + 3)^2} \)

\( \implies PR = \sqrt{(4-5)^2 + (6 + 3)^2} \)
or \( \sqrt{(-4-5)^2 + (6+3)^2} \)

\( \implies PR = \sqrt{1+81} \) or \( \sqrt{(-9)^2 +9^2} \)

\( \implies PR = \sqrt{82} \) or \( \sqrt{2 \times 9^2} \)

\( \implies PR = \sqrt{82} \) or \( 9\sqrt{2} \)
In simple words: Q बिंदु P और R से समदूरस्थ है, जिसका अर्थ है QP = QR। हम QP और QR के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करके एक समीकरण स्थापित करते हैं और इसे x के लिए हल करते हैं, जिससे x के दो मान \( \pm 4 \) प्राप्त होते हैं। फिर, x के इन मानों के लिए QR और PR की दूरियों की गणना की जाती है।

🎯 Exam Tip: 'समदूरस्थ' का अर्थ है कि दोनों दूरियाँ समान हैं। दूरी सूत्र का उपयोग करके एक समीकरण बनाएं और इसे हल करें। अज्ञात निर्देशांक के लिए अक्सर दो मान संभव होते हैं।

 

Question 10. x और y में एक ऐसा संबध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x, y) बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो ।
Answer:
हलः माना हमें प्राप्त है: A(x, y), B = (3, 6) और C(-3, 4)
\( AB = \sqrt{(3-x)^2 + (6-y)^2} \)
और \( AC = \sqrt{[(-3) - x]^2 + (4 - y)^2} \)
चूंकि, बिन्दु (x, y) बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हैं,
अतः \( AB = AC \)

\( \implies \sqrt{(3-x)^2+(6-y)^2} = \sqrt{(-3-x)^2+(4-y)^2} \)
दोनों ओर से वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( (3 - x)^2 + (6 - y)^2 = (-3-x)^2 + (4-y)^2 \)

\( \implies (9+x^2-6x) + (36 + y^2-12y) \)
\( = (9+ x^2 + 6x) + (16+ y^2 - 8y) \)

\( \implies 9 + x^2 - 6x + 36 + y^2 - 12y-9-x^2-6x - 16-y^2 + 8y = 0 \)

\( \implies -6x-6x + 36-12y-16 + 8y = 0 \)

\( \implies -12x-4y + 20 = 0 \)

\( \implies - 3x - y + 5 = 0 \) [4 से विभाजित करने पर]

\( \implies 3x + y - 5 = 0 \) जो कि x और y में अभीष्ठ संबंध है।
In simple words: हमने एक अज्ञात बिंदु (x,y) से दो दिए गए बिंदुओं तक की दूरियों को दूरी सूत्र का उपयोग करके बराबर सेट किया। दोनों पक्षों का वर्ग करके और समीकरण को सरल करके, हमें x और y के बीच एक रैखिक संबंध \( 3x + y - 5 = 0 \) प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: समदूरस्थ बिंदुओं के प्रश्नों में, दोनों पक्षों का वर्ग करना एक महत्वपूर्ण चरण है ताकि वर्गमूल हट जाए और एक सरल बीजगणितीय समीकरण प्राप्त हो सके।

 

प्रश्नावली 7.2 (NCERT Page 183)

Question 1. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है |
Answer:
हलः माना वांछित बिन्दु P(x, y) है।
यहाँ रेखाखण्ड के अन्तः बिन्दु हैं (-1, 7) और (4, - 3)
चूंकि अनुपात \( = 2 : 3 = m_1:m_2 \)
अतः \( x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2} = \frac{(2 \times 4)+3 \times (-1)}{2+3} = \frac{8-3}{5} = \frac{5}{5} = 1 \)
और \( y = \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} = \frac{2 \times (-3)+(3 \times 7)}{2+3} = \frac{-6+21}{5} = \frac{15}{5} = 3 \)
इस प्रकार अभीष्ठ बिन्दु (1, 3) हैं।
In simple words: विभाजन सूत्र का उपयोग करके एक रेखाखंड को दिए गए अनुपात (2:3) में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात किए जाते हैं। x और y निर्देशांक के लिए सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें बिंदु (1,3) प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: विभाजन सूत्र \( (x, y) = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right) \) को सही ढंग से याद रखना और x और y के मानों को सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 2. बिन्दुओं (4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
Answer:
हलः माना दिए गये बिन्दु हैं: A(4, -1) और B(-2, - 3)
माना रेखाखण्ड AB को बिन्दु P और Q समत्रिभाजित करते हैं।
अर्थात् \( AP = PQ = QB \)

\( \implies \) बिन्दु P रेखाखण्ड AB को 1:2 के अनुपात में विभाजित करता है।
इसी प्रकार बिन्दु Q रेखाखण्ड AB को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
माना बिन्दु P के निर्देशांक (x, y) हैं
\( x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2} = \frac{1(-2)+2(4)}{1+2} = \frac{-2+8}{3} = 2 \)
\( y = \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} = \frac{1(-3)+2 \times (-1)}{1+2} = \frac{-3-2}{3} = \frac{-5}{3} \)
बिन्दु P के अभीष्ठ निर्देशांक हैं: \( \left(2, \frac{-5}{3}\right) \)
माना Q के निर्देशांक (X, Y) हैं।
\( X = \frac{m_1X_2 + m_2X_1}{m_1 + m_2} = \frac{2(-2)+1(4)}{2+1} = \frac{-4+4}{3} = 0 \)
\( Y = \frac{m_1Y_2 + m_2Y_1}{m_1 + m_2} = \frac{2(-3)+1(-1)}{2+1} = \frac{-6+-1}{3} = \frac{-7}{3} \)
इस प्रकार, Q के निर्देशांक हैं: \( \left(0, \frac{-7}{3}\right) \)
In simple words: समत्रिभाजन का अर्थ है रेखाखंड को तीन समान भागों में विभाजित करना। इसके लिए दो बिंदु (P और Q) आवश्यक हैं। बिंदु P रेखाखंड को 1:2 के अनुपात में विभाजित करता है और बिंदु Q इसे 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। दोनों बिंदुओं के निर्देशांक विभाजन सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किए जाते हैं।

🎯 Exam Tip: समत्रिभाजन के प्रश्नों में, अनुपात का सही निर्धारण (1:2 और 2:1) महत्वपूर्ण है। प्रत्येक बिंदु के लिए विभाजन सूत्र को अलग-अलग लागू करें।

 

Question 3. आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चुने से परस्पर 1m की दुरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं | AD के अनुदिश परस्पर 1m की दुरी पर 100 गमले रखे हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के \( \frac{1}{4} \) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के \( \frac{1}{5} \) भाग के बराबर की दूरी दौडती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड देती है दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए ?
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक आयताकार मैदान ABCD को दर्शाता है, जिसमें x-अक्ष पर स्तंभ और y-अक्ष पर पंक्तियाँ हैं। AD के अनुदिश 100 गमले 1m की दूरी पर रखे गए हैं। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग पर एक हरा झंडा (F) गाड़ती है और प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग पर एक लाल झंडा (P) गाड़ती है।
हलः आकृति में, AB और AD क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष हैं।
अब, हरे-झंडे की स्थिति \( \left(2, \frac{100}{4}\right) \) या (2, 25) है।
और लाल रंग के झंडे की स्थिति है: \( \left(8, \frac{100}{5}\right) \) या (8, 20)
दोनों झंडों के बीच की दूरी \( = \sqrt{(8-2)^2 + (20 - 25)^2} = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \)
माना झंडों को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्यबिन्दु M(x, y) है।
अतः \( x = \frac{2+8}{2} \) और \( y = \frac{25+20}{2} \)
या \( x = 5 \) और \( y = (22.5) \)
अतः नीला झण्डा 5 वीं लाइन पर AB के ऊपर 22.5m की दूरी पर गाड़ना चाहिए।
In simple words: निहारिका और प्रीत के झंडों के निर्देशांक उनकी पंक्तियों और AD के भाग के आधार पर निर्धारित किए गए। फिर, दोनों झंडों के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग किया गया। अंत में, रश्मि के नीले झंडे के लिए मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करके उस स्थान का पता लगाया गया जहाँ उसे झंडा गाड़ना चाहिए।

🎯 Exam Tip: आरेख से निर्देशांकों को सही ढंग से निकालना महत्वपूर्ण है (उदा. 2वीं पंक्ति x=2, AD का 1/4 भाग y-निर्देशांक)। मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग \( \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \) करके ठीक आधी दूरी ज्ञात की जाती है।

 

Question 4. बिन्दुओं (-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिन्दु (-1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।
Answer: हलः माना दिए गए बिन्दुओं के निर्देशांक हैं: A(-3, 10) और B(6, -8) माना बिन्दु P(-1, 6) रेखाखण्ड AB को \(m_1 : m_2\) के अनुपात में विभाजित करता है। .
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विभाजन सूत्र से हमें प्राप्त होता है: \((x, y) = \left(\frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2}\right)\)
\(\implies\) \((-1, 6) = \left(\frac{m_1 \times 6 + m_2 \times (-3)}{m_1 + m_2}, \frac{m_1 \times (-8) + m_2 \times 10}{m_1 + m_2}\right)\)
\(\implies\) \((-1, 6) = \left(\frac{6m_1 - 3m_2}{m_1 + m_2}, \frac{-8m_1 + 10m_2}{m_1 + m_2}\right)\)
\(\implies\) \(-1 = \frac{6m_1 - 3m_2}{m_1 + m_2}\) और \(6 = \frac{-8m_1 + 10m_2}{m_1 + m_2}\)
\(\implies\) \(-1(m_1 + m_2) = 6m_1 - 3m_2\) और \(6(m_1 + m_2) = -8m_1 + 10m_2\)
\(\implies\) \(-m_1 - m_2 - 6m_1 + 3m_2 = 0\) और \(6m_1 + 6m_2 + 8m_1 - 10m_2 = 0\)
\(\implies\) \(-7m_1 + 2m_2 = 0\) और \(14m_1 - 4m_2 = 0\) या \(7m_1 - 2m_2 = 0\)
\(\implies\) \(2m_2 = 7m_1\) और \(7m_1 = 2m_2\)
\(\implies\) \(\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{7}\) और \(\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{7}\) इस प्रकार अभीष्ठ अनुपात 2:7 है।In simple words: The section formula is used to find the ratio in which a point divides a line segment. By equating the coordinates of the given point P(-1, 6) to the section formula, we solve for the ratio \(m_1:m_2\). Both x and y coordinates yield the same ratio of 2:7, meaning point P divides the line segment AB in the ratio 2:7.

🎯 Exam Tip: Remember to apply the section formula for both x and y coordinates. If the point divides the segment, both equations should yield the same ratio. Be careful with signs during calculations.

 

Question 5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A (1, -5) और B (-4, 5) को मिलाने वाला रेखाखंड x- अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए |
Answer: हलः दिए गये बिंदु A(1, -5) और B(-4, 5) हैं। माना बिन्दु P(x, y) AB को k:1 के अनुपात में विभाजित करता है। भाग-I : अनुपात ज्ञात करना चूंकि बिन्दु P, x-अक्ष पर स्थित है.
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y-निर्देशांक 0 है \((x, y) = \left(\frac{k x_2 + 1 x_1}{k+1}, \frac{k y_2 + 1 y_1}{k+1}\right)\)
\(\implies\) \(x = \frac{k(-4) + 1(1)}{k+1}\) और \(0 = \frac{k(5) + 1(-5)}{k+1}\)
\(\implies\) \(x = \frac{-4k+1}{k+1}\) और \(0 = \frac{5k-5}{k+1}\)
\(\implies\) \(x(k+1) = -4k+1\) और \(5k-5 = 0 \implies k=1\) भाग-II : निर्देशांक ज्ञात करना
\(\implies\) \(x(k+1) = -4k+1\)
\(\implies\) \(x(1+1) = -4+1\) [\(\because\) k = 1]
\(\implies\) \(2x = -3 \implies x = \frac{-3}{2}\) .
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अभीष्ठ अनुपात k:1 = 1:1, अभीष्ठ निर्देशांक \(P(x, 0) = P\left(\frac{-3}{2}, 0\right)\)In simple words: When a line segment is divided by the x-axis, the y-coordinate of the division point is 0. Using this fact with the section formula, we can find the ratio k:1. Once the ratio is known, we substitute it back into the x-coordinate part of the section formula to find the coordinates of the division point.

🎯 Exam Tip: Always remember that a point on the x-axis has y-coordinate 0, and a point on the y-axis has x-coordinate 0. This is crucial for problems involving axis division of line segments.

 

Question 6. यदि बिन्दु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5), इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हो तो x और y ज्ञात कीजिए |
Answer: हलः हमें समान्तर चतुर्भुज प्राप्त है, जिसके शीर्ष हैं: A(1,2), B(4, y), C(x, 6) और D(3,5)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसमें शीर्ष A(1,2), B(4,y), C(x,6) और D(3,5) हैं। बिंदु P, जो विकर्णों AC और BD का प्रतिच्छेदन बिंदु है, को भी चित्रित किया गया है, जो दर्शाता है कि P विकर्णों को समद्विभाजित करता है। चूंकि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर बिन्दु P पर समद्विभाग करते हैं। .
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P के निर्देशांक हैं: P का x-निर्देशांक = \(\frac{x+1}{2} = \frac{3+4}{2}\)
\(\implies\) \(\frac{x+1}{2} = \frac{7}{2} \implies x+1=7 \implies x=6\) P का y-निर्देशांक = \(\frac{5+y}{2} = \frac{6+2}{2}\)
\(\implies\) \(\frac{5+y}{2} = \frac{8}{2} \implies 5+y=8 \implies y=3\) इस प्रकार x और y के अभीष्ठ मान हैं: x = 6, y = 3In simple words: In a parallelogram, the diagonals bisect each other, meaning their midpoints coincide. By using the midpoint formula for both diagonals AC and BD, we can equate their x-coordinates and y-coordinates to find the unknown values of x and y.

🎯 Exam Tip: The property that diagonals of a parallelogram bisect each other is key. Ensure correct application of the midpoint formula: \(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\).

 

Question 7. बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2, -3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।
Answer: हलः यहाँ, वृत्त का केन्द्र O(2, -3) है। माना वृत्त के व्यास के अन्त बिन्दु A(x, y) और B(1, 4) हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O(2, -3) है। व्यास AB खींचा गया है, जिसके एक सिरे A(x, y) और दूसरे सिरे B(1, 4) हैं। यह चित्र स्पष्ट करता है कि केंद्र O व्यास AB का मध्यबिंदु है। चूंकि, वृत्त का केन्द्र इसके व्यास को समद्विभाजित करता है। .
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\(O(2, -3) = \left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right)\)
\(\implies\) \(2 = \frac{x+1}{2}\) या \(4 = x+1 \implies x = 3\) और \(-3 = \frac{y+4}{2}\) या \(-6 = y+4 \implies y = -10\) अतः A के निर्देशांक हैं (3, -10)In simple words: The center of a circle is the midpoint of its diameter. Given the center and one endpoint of the diameter, we can use the midpoint formula to find the coordinates of the other endpoint.

🎯 Exam Tip: Understanding that the center of a circle acts as the midpoint of any diameter is fundamental. This problem directly tests the application of the midpoint formula.

 

Question 8. यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हो तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = \(\frac{3}{7}\) AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो |
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक रेखाखंड AB को दर्शाता है, जहाँ A(-2, -2) और B(2, -4) हैं। बिंदु P (x, y) इस रेखाखंड पर स्थित है, जो रेखाखंड को AP:PB = 3:4 के अनुपात में विभाजित करता है, जैसा कि AP = \(\frac{3}{7}\)AB से व्युत्पन्न होता है। यहाँ दिए गये बिन्दु हैं: A(-2, -2) और B(2, -4) माना रेखाखण्ड AB को बिन्दु P इस प्रकार विभाजित करता है किः AP = \(\frac{3}{7}\)AB या \(\frac{AP}{AB} = \frac{3}{7}\)
\(\implies\) चूंकि AB = AP + BP
\(\implies\) \(\frac{AP}{AP+BP} = \frac{3}{7}\)
\(\implies\) \(7 AP = 3(AP+BP)\)
\(\implies\) \(7 AP = 3 AP + 3 BP\)
\(\implies\) \(4 AP = 3 BP\)
\(\implies\) \(\frac{AP}{BP} = \frac{3}{4}\) \(\implies\) AP : PB = 3:4 i.e., P(x, y) AB को 3:4 के अनुपात में विभाजित करता है।. .
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\(x = \frac{3 \times 2 + 4 \times (-2)}{3+4} = \frac{6-8}{7} = \frac{-2}{7}\) \(y = \frac{3 \times (-4) + 4 \times (-2)}{3+4} = \frac{-12-8}{7} = \frac{-20}{7}\) इस प्रकार, P के निर्देशांक हैं: \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)\)In simple words: First, we determine the ratio in which point P divides the line segment AB from the given condition AP = \(\frac{3}{7}\)AB. This ratio is found to be 3:4. Then, we apply the section formula with this ratio to find the coordinates of point P.

🎯 Exam Tip: When given a condition like AP = k * AB, remember to convert it into a ratio AP:PB before applying the section formula. This often involves simple algebraic manipulation.

 

Question 9. बिन्दुओं A (-2, 2) और B (2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक रेखाखंड AB को दर्शाता है, जहाँ A(-2, 2) और B(2, 8) हैं। रेखाखंड को चार समान भागों में विभाजित करने वाले तीन बिंदु P1, P2, और P3 दिखाए गए हैं। P2 AB का मध्यबिंदु है, P1 AP2 का मध्यबिंदु है, और P3 P2B का मध्यबिंदु है। यहाँ, दिए गये बिन्दु हैं: A(-2, 2) और B(2, 8) माना P1, P2 और P3 रेखाखंण्ड AB को चार समान भागों में विभाजित करते हैं: AP1 = P1P2 = P2P3 = P3B स्पष्ट है कि P2 रेखाखण्ड AB का मध्यबिन्दु है। .
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P2 के निर्देशांक हैं: \(P_2 = \left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right)\) या (0,5) पुनः P1 रेखाखण्ड AP2 का मध्यबिन्दु है। .
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P1 के निर्देशांक हैं: \(P_1 = \left(\frac{-2+0}{2}, \frac{2+5}{2}\right)\) या \(\left(-1, \frac{7}{2}\right)\) और P3 रेखाखण्ड P2B का मध्य बिन्दु है। .
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P3 के निर्देशांक हैं: \(P_3 = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{5+8}{2}\right)\) या \(\left(1, \frac{13}{2}\right)\) इस प्रकार P1, P2 और P3 के निर्देशांक क्रमशः हैं: \(\left(-1, \frac{7}{2}\right)\), (0,5), और \(\left(1, \frac{13}{2}\right)\)In simple words: To divide a line segment into four equal parts, we first find the midpoint of the entire segment (P2). Then, P1 is the midpoint of the segment AP2, and P3 is the midpoint of the segment P2B. We apply the midpoint formula sequentially to find the coordinates of these points.

🎯 Exam Tip: For dividing a segment into 'n' equal parts, systematically find midpoints or use the section formula with appropriate ratios. For four equal parts, finding midpoints twice is often the most straightforward approach.

 

Question 10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं
Answer: संकेतः समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) (उसके विकर्णों का गुणनफल) हलः माना दिए गये समचतुर्भुज के शीर्ष निम्नांकित हैं: A(3, 0), B(4, 5), C(-1, 4) और D(-2, -1)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समचतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसके शीर्ष A(3,0), B(4,5), C(-1,4), और D(-2,-1) हैं। इसके दो विकर्ण AC और BD भी दर्शाए गए हैं, जो समचतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करते हैं और इसके क्षेत्रफल की गणना के लिए आवश्यक हैं। चूंकि, AC और BD समचतुर्भुज ABCD के विकर्ण हैं। और विकर्ण AC = \(\sqrt{(-1-3)^2 + (4-0)^2}\) = \(\sqrt{(-4)^2 + (4)^2}\) = \(\sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) तथा विकर्ण BD = \(\sqrt{(-2-4)^2 + (-1-5)^2}\) = \(\sqrt{(-6)^2 + (-6)^2}\) = \(\sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) चूंकि एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) (विकर्णों का गुणनफल) = \(\frac{1}{2}\) (AC x BD) = \(\frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 6\sqrt{2}\) वर्ग इकाई = \(\frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times 2\) वर्ग इकाई = 4 \(\times\) 6 वर्ग इकाई = 24 वर्ग इकाईIn simple words: The area of a rhombus is half the product of its diagonals. We first calculate the lengths of the two diagonals, AC and BD, using the distance formula between the given vertices. Then, we multiply these lengths and divide by two to find the area.

🎯 Exam Tip: Remember the distance formula \(\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) for calculating diagonal lengths. The area formula for a rhombus, \(\frac{1}{2} d_1 d_2\), is essential for this type of problem.

 

प्रश्नावली 7.3 (NCERT Page 188)

 

Question 1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं: (i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4) (ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
Answer: हलः (i) माना दिए गये \(\triangle\)ABC के शीर्षों के निर्देशांक हैं: A(2, 3), B(-1,0) और C(2, -4) यहाँ \(x_1 = 2, y_1 = 3, x_2 = -1, y_2 = 0, x_3 = 2, y_3 = -4\) चूंकि \(\triangle\) का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} [x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]\) .
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\(\triangle\) ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} [2(0 - (-4)) + (-1)(-4 - 3) + 2(3 - 0)]\) = \(\frac{1}{2} [2(0 + 4) + (-1)(-7) + 2(3)] = \frac{1}{2} [8 + 7 + 6]\) = \(\frac{1}{2} [21] = \frac{21}{2}\) वर्ग इकाई (ii) माना दिए गये के शीर्षों के निर्देशांक हैं: A(-5, -1), B(3, -5) और C(5, 2) यहाँ \(x_1 = -5, y_1 = -1, x_2 = 3, y_2 = -5, x_3 = 5, y_3 = 2\) .
.
\(\triangle\) का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} [x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]\) .
.
\(\triangle\)ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} [-5(-5 - 2) + 3(2 - (-1)) + 5(-1 - (-5))]\) = \(\frac{1}{2} [-5(-7) + 3(2 + 1) + 5(-1 + 5)]\) = \(\frac{1}{2} [35 + 9 + 20]\) = \(\frac{1}{2} \times 64 = 32\) वर्ग इकाईIn simple words: To find the area of a triangle given its vertices, we use the determinant formula (or shoelace formula). We substitute the x and y coordinates of the three vertices into the formula and perform the calculations to get the area in square units.

🎯 Exam Tip: The formula for the area of a triangle with vertices \((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)\) is \(\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\). Pay close attention to the order of operations and signs, especially with negative coordinates.

 

Question 2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में '4' का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु संरेखी हों। (i) (7, -2), (5, 1), (3, k) (ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
Answer: .
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A, B और C सरेखी होंगे यदि क्षे. (\(\triangle\)ABC) = 0 अर्थात् \(x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) = 0\) (i) \(7(1 - k) + 5(k+2) + 3(2-1) = 0\)
\(\implies\) \(7-7k+5k+10+3(1) = 0\)
\(\implies\) \(17-2k+3 = 0 \implies 20-2k = 0 \implies 2k = 20\)
\(\implies\) \(k = \frac{20}{2} = 10\) अतः k का अभीष्ठ मान = 10 (ii) माना (8, 1), (k, -4) और (2, -5) एक \(\triangle\) के शीर्षों के निर्देशांक हैं। A, B और C सरेखी होंगे, यदि क्षे. (\(\triangle\)ABC) = 0 i.e., \(8(-4+5) + k(-5-1)+2(1-(-4)) = 0\)
\(\implies\) \(8(1) + k(-6)+2(5) = 0\)
\(\implies\) \(8 - 6k + 10 = 0 \implies 18 - 6k = 0\)
\(\implies\) \(6k = 18 \implies k = \frac{18}{6} = 3\) इस प्रकार, k = 3In simple words: For three points to be collinear (lie on the same straight line), the area of the triangle formed by these points must be zero. We use the triangle area formula, set it to zero, and then solve the resulting equation for the unknown variable 'k'.

🎯 Exam Tip: This is a standard problem type for collinear points. Remember that the area of a triangle formed by collinear points is always zero. Be meticulous with algebraic calculations involving negative numbers and variable 'k'.

 

Question 3. शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ। अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना \(\triangle\) के शीर्ष (0, -1), (2, 1) और (0, 3) हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक बड़े त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसके शीर्ष A(0,-1), B(2,1), और C(0,3) हैं। इसकी भुजाओं BC, CA, और AB के मध्यबिंदुओं को क्रमशः D(1,2), E(0,1), और F(1,0) से दर्शाया गया है। ये मध्यबिंदु मिलकर एक छोटा त्रिभुज DEF बनाते हैं। माना D, E और F क्रमशः \(\triangle\) ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्यबिंदु हैं। D के निर्देशांक है \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) i.e., \(\left(\frac{2}{2}, \frac{4}{2}\right)\) or (1,2) E के निर्देशांक हैं: \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right)\) i.e., \(\left(\frac{0}{2}, \frac{2}{2}\right)\) i.e., (0, 1) F के निर्देशांक हैं: \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right)\) i.e., \(\left(\frac{2}{2}, \frac{0}{2}\right)\) i.e., (1, 0) अब, क्षे. (\(\triangle\)ABC) = \(\frac{1}{2} [0(1-3)+2(3 - (-1)) + 0(-1-1)]\) = \(\frac{1}{2} [0(-2) + 2(4) + 0(-2)] = \frac{1}{2} [0+8+0] = \frac{1}{2} \times 8 = 4\) वर्ग इकाई क्षे. \(\triangle\)(DEF) = \(\frac{1}{2} [1(1 - 0) + 0(0 - 2) + 1(2 - 1)]\) = \(\frac{1}{2} [1(1) + 0 + 1(1)]\) = \(\frac{1}{2} [1+0+1] = \frac{1}{2} \times 2 = 1\) वर्ग इकाई .
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\(\frac{\text{क्षे. (A DEF)}}{\text{क्षे. (}\triangle\text{ ABC)}} = \frac{1}{4}\)
\(\implies\) क्षे. (\(\triangle\)DEF) : क्षे. (\(\triangle\)ABC) = 1:4.In simple words: First, calculate the coordinates of the midpoints of the sides of the original triangle using the midpoint formula. These midpoints form a new triangle. Next, calculate the area of both the original triangle and the new triangle formed by the midpoints using the area formula for a triangle. Finally, find the ratio of their areas.

🎯 Exam Tip: A key geometric property is that the triangle formed by joining the midpoints of the sides of a given triangle has an area that is \(\frac{1}{4}\) of the area of the original triangle. Knowing this can help verify your answer.

 

Question 4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं।
Answer: हलः माना दिए गये चतुर्भुज के शीर्ष इस प्रकार हैं: A(-4,-2), B(-3,-5) C(3,-2) और D(2, 3)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है, जिसके शीर्ष A(-4,-2), B(-3,-5), C(3,-2), और D(2,3) हैं। इस चतुर्भुज को विकर्ण BD द्वारा दो त्रिभुजों, \(\triangle\)ABD और \(\triangle\)CBD में विभाजित किया गया है, जिनका क्षेत्रफल अलग-अलग निकालकर जोड़ा जाता है। विकर्ण BD को मिलाते हैं। अब, क्षे. (\(\triangle\)ABD) = \(\frac{1}{2} [x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]\) = \(\frac{1}{2} [(-4)(-5-3)+(-3)(3 - (-2))+2(-2 - (-5))]\) = \(\frac{1}{2} [(-4)(-8) + (-3)(5) + 2(-2 + 5)]\) = \(\frac{1}{2} [32 - 15 + 6] = \frac{1}{2} [23] = \frac{23}{2}\) वर्ग इकाई क्षे. (\(\triangle\)CBD) = \(\frac{1}{2} [x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]\) = \(\frac{1}{2} [3(-5-3)+(-3)(3 - (-2))+2(-2 - (-5))]\) = \(\frac{1}{2} [3(-8) + (-3)(5) + 2(3)]\) = \(\frac{1}{2} [-24 - 15 + 6] = \frac{1}{2} [-33] = -\frac{33}{2}\) वर्ग इकाई चूंकि, क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए हम उसका निरपेक्ष मान लेते हैं, अर्थात् \(\frac{33}{2}\) वर्ग इकाई। .
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क्षे. (च.भु. ABCD) = क्षे. (\(\triangle\)ABD) + क्षे. \(\triangle\)CBD = \(\frac{23}{2} + \frac{33}{2}\) वर्ग इकाई = \(\frac{56}{2}\) वर्ग इकाई = 28 वर्ग इकाईIn simple words: To find the area of a quadrilateral, we divide it into two triangles by drawing one of its diagonals. We then calculate the area of each triangle separately using the triangle area formula. The sum of the areas of these two triangles gives the total area of the quadrilateral.

🎯 Exam Tip: Always remember that the area cannot be negative. If your calculation yields a negative value, take its absolute value. Carefully breaking down the quadrilateral into two triangles and applying the area formula twice is key.

 

Question 5. कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A (4, -6), B (3, -2) और C (5, 2) हैं।
Answer: हलः यहाँ \(\triangle\) ABC के शीर्षों के निर्देशांक इस प्रकार हैं: A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसके शीर्ष A(4,-6), B(3,-2), और C(5,2) हैं। रेखाखंड AD त्रिभुज की एक माध्यिका है जो शीर्ष A से भुजा BC के मध्यबिंदु D(4,0) तक खींची गई है। यह माध्यिका त्रिभुज ABC को दो छोटे त्रिभुजों ABD और ACD में विभाजित करती है। .
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D के निर्देशांक हैं: माध्यिका AD भुजा BC को समद्विभाजित करती है, इसलिए D, BC का मध्यबिंदु है। \(D = \left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{2}\right)\) या (4, 0) चूंकि रेखाखंड AD, \(\triangle\) ABC को दो भागों \(\triangle\) ABD और \(\triangle\) ACD में विभाजित करता है। अब, क्षे. (\(\triangle\)ABD) = \(\frac{1}{2} [x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]\) = \(\frac{1}{2} [4(-2 - 0) + 3(0 - (-6)) + 4(-6 - (-2))]\) = \(\frac{1}{2} [4(-2) + 3(6) + 4(-4)]\) = \(\frac{1}{2} [-8 + 18 - 16]\) = \(\frac{1}{2} [-6] = -3\) वर्ग इकाई = 3 वर्ग इकाई ...(1) क्षे. (\(\triangle\)ACD) = \(\frac{1}{2} [x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]\) = \(\frac{1}{2} [4(0 - 2) + 4(2 - (-6)) + 5(-6 - 0)]\) = \(\frac{1}{2} [4(-2) + 4(8) + 5(-6)]\) = \(\frac{1}{2} [-8 + 32 - 30]\) = \(\frac{1}{2} [-6] = -3\) वर्ग इकाई = 3 वर्ग इकाई ...(2) (1) और (2) से, क्षे. (\(\triangle\) ABD) = क्षे. (\(\triangle\) ACD) अर्थात्, माध्यिका एक त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बांटती है।In simple words: First, find the midpoint D of the side BC using the midpoint formula. Then, calculate the area of the two triangles formed by the median (AD), namely \(\triangle\)ABD and \(\triangle\)ACD, using the triangle area formula. If the areas are equal, the property is verified.

🎯 Exam Tip: This problem verifies a fundamental property of medians. Remember that area must be positive, so take the absolute value if calculations result in a negative area. Precision in midpoint and area calculations is vital.

 

प्रश्नावली 7.4 (NCERT Page 188)

 

Question 1. बिन्दुओं A (2, -2) और B (3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा 2x + y - 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना दिए गये बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड AB को रेखा 2x + y - 4 = 0 बिन्दु C पर k:1 के अनुपात में विभाजित करती है। .
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C के निर्देशांक हैं: \(\left(\frac{k(3)+1(2)}{k+1}, \frac{k(7)+1(-2)}{k+1}\right)\) या \(\left(\frac{3k+2}{k+1}, \frac{7k-2}{k+1}\right)\) चूंकि बिन्दु C रेखा 2x + y - 4 = 0 पर स्थित है, .
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अतः, C के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करेंगे: \(2\left(\frac{3k+2}{k+1}\right) + \left(\frac{7k-2}{k+1}\right) - 4 = 0\)
\(\implies\) \(2(3k+2) + (7k-2) - 4(k+1) = 0\)
\(\implies\) \(6k+4+7k-2-4k-4 = 0\)
\(\implies\) \((6+7-4)k + (4-2-4) = 0\)
\(\implies\) \(9k - 2 = 0 \implies 9k=2 \implies k=\frac{2}{9}\) अभीष्ठ अनुपात = k:1 = \(\frac{2}{9}\):1 = 2:9In simple words: Assume the line segment is divided in the ratio k:1. Use the section formula to find the coordinates of the division point C in terms of k. Since this point C lies on the given line, its coordinates must satisfy the equation of the line. Substitute the coordinates of C into the line's equation and solve for k to find the ratio.

🎯 Exam Tip: This problem combines the section formula with linear equations. Remember that if a point lies on a line, it must satisfy the line's equation. Be careful with algebraic manipulation and fraction handling.

 

Question 2. x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिउंदु (x, y), (1, 2) और (7, 0) सरेंखी हैं।
Answer: हलः दिए गये बिन्दु हैं: A(x, y), B(1, 2) और C(7, 0) A, B और C सरेखी होंगे यदि इन बिन्दुओं से बनी का क्षेत्रफल शून्य हो। अर्थात् \(x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) = 0\) यदि \(x(2-0) + 1(0-y) + 7(y-2) = 0\) यदि \(2x - y + 7y - 14 = 0\) यदि \(2x + 6y - 14 = 0\) यदि \(x + 3y - 7 = 0\) जो कि x और y के बीच अभीष्ठ संबंध है।In simple words: If three points are collinear, the area of the triangle formed by them is zero. We apply the triangle area formula using the coordinates of the three points, set the expression equal to zero, and simplify to find a linear relationship between x and y.

🎯 Exam Tip: The collinearity condition (area of triangle = 0) is fundamental here. Ensure correct substitution of coordinates into the area formula and careful algebraic simplification to derive the relationship.

 

Question 3. बिन्दुओं (6, -6), (3, 7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए|
Answer: हलः माना बिन्दुओं A(6, -6), B(3, -7) और C(3, 3) से गुजरने वाले वृत्त का केन्द्र P(x, y) है। .
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AP = BP = CP
\(\implies\) AP = BP \(\implies\) \(AP^2 = BP^2\) \((x-6)^2 + (y+6)^2 = (x-3)^2 + (y+7)^2\) \(x^2 - 12x + 36 + y^2 + 12y + 36 = x^2 - 6x + 9 + y^2 + 14y + 49\)
\(\implies\) \(-12x + 6x + 12y - 14y + 72 - 58 = 0\)
\(\implies\) \(-6x - 2y + 14 = 0\)
\(\implies\) \(3x + y - 7 = 0\) ...(1) [-2 से भाग करने पर] अब BP = CP, से हमें प्राप्त है \(BP^2 = CP^2\) \((x-3)^2 + (y+7)^2 = (x-3)^2 + (y-3)^2\) \(x^2 - 6x + 9 + y^2 + 14y + 49 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9\)
\(\implies\) \(14y + 49 = -6y + 9\)
\(\implies\) \(14y + 6y = 9 - 49\)
\(\implies\) \(20y = -40\)
\(\implies\) \(y = \frac{-40}{20} = -2\) ...(2) (1) और (2) से, y का मान समीकरण (1) में रखने पर: \(3x + (-2) - 7 = 0\)
\(\implies\) \(3x - 9 = 0 \implies 3x=9 \implies x=3\) i.e., x = 3 और y = -2 अतः वृत्त का अभीष्ठ केन्द्र (3, -2) है।In simple words: The center of a circle is equidistant from all points on its circumference. We take the three given points and equate the squared distances from the center (x, y) to any two pairs of these points. This will give us two linear equations in x and y, which can then be solved simultaneously to find the coordinates of the center.

🎯 Exam Tip: Squaring the distance formula (\(d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2\)) often simplifies calculations by eliminating the square root. Be meticulous with algebraic expansions and solving simultaneous equations.

 

Question 4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं) वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना वर्ग ABCD में A (-1, 2) और C (3, 2) सम्मुख शीर्ष हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वर्ग ABCD को दर्शाता है जिसके दो सम्मुख शीर्ष A(-1,2) और C(3,2) हैं। अज्ञात शीर्ष B और D को भी दर्शाया गया है। यह चित्र वर्ग के गुणों को समझने में मदद करता है कि सभी भुजाएँ समान होती हैं और विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं। माना अज्ञात शीर्ष B के निर्देशांक (x, y) हैं। चूंकि एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं। AB = BC \(\implies\) \(AB^2 = BC^2\) \((x+1)^2 + (y-2)^2 = (x-3)^2 + (y-2)^2\)
\(\implies\) \((x+1)^2 = (x-3)^2\)
\(\implies\) \(x^2+2x+1 = x^2-6x+9\)
\(\implies\) \(2x+1 = -6x+9\)
\(\implies\) \(8x = 8 \implies x=1\) ...(1) चूंकि एक वर्ग का प्रत्येक कोण 90° होता है, .
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\(\triangle\)ABC एक समकोण है। .
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पाइथागोरस प्रमेय से, हमें प्राप्त है: \(AB^2+BC^2 = AC^2\) \([(x+1)^2 + (y-2)^2] + [(x-3)^2 + (y-2)^2] = [(3-(-1))^2 + (2-2)^2]\)
\(\implies\) \([ (x+1)^2 + (y-2)^2 + (x-3)^2 + (y-2)^2 ] = [ (4)^2 + (0)^2 ]\)
\(\implies\) \([ (x+1)^2 + (y-2)^2 + (x-3)^2 + (y-2)^2 ] = 16\) \(2x^2 + 2y^2 - 4x - 8y + 2 + 1 + 4 + 9 = 16\)
\(\implies\) \(2x^2 + 2y^2 - 4x - 8y + 16 = 16\)
\(\implies\) \(2x^2 + 2y^2 - 4x - 8y = 0\)
\(\implies\) \(x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0\) ...(2) (1) से x का मान (2) में प्रतिस्थापित करने पर, \((1)^2 + y^2 - 2(1) - 4y = 0\)
\(\implies\) \(1 + y^2 - 2 - 4y = 0\)
\(\implies\) \(y^2 - 4y - 1 = 0\) Correction: In the original OCR, there was a mistake in the Pythagorean equation. Let's re-evaluate. Given A(-1, 2) and C(3, 2). Let B(x, y). \(AB^2 = (x - (-1))^2 + (y-2)^2 = (x+1)^2 + (y-2)^2\) \(BC^2 = (x-3)^2 + (y-2)^2\) \(AC^2 = (3 - (-1))^2 + (2-2)^2 = 4^2 + 0^2 = 16\) Since ABCD is a square, AB=BC, so \(AB^2 = BC^2\). \((x+1)^2 + (y-2)^2 = (x-3)^2 + (y-2)^2\) \((x+1)^2 = (x-3)^2\) \(x^2+2x+1 = x^2-6x+9\) \(8x = 8 \implies x=1\). (This is correct) Also, for a square, \(\angle ABC = 90^\circ\). So, \(\triangle ABC\) is a right-angled triangle. \(AB^2 + BC^2 = AC^2\) \((x+1)^2 + (y-2)^2 + (x-3)^2 + (y-2)^2 = 16\) Substitute \(x=1\): \((1+1)^2 + (y-2)^2 + (1-3)^2 + (y-2)^2 = 16\) \(2^2 + (y-2)^2 + (-2)^2 + (y-2)^2 = 16\) \(4 + (y-2)^2 + 4 + (y-2)^2 = 16\) \(8 + 2(y-2)^2 = 16\) \(2(y-2)^2 = 8\) \((y-2)^2 = 4\) \(y-2 = \pm 2\) Case 1: \(y-2 = 2 \implies y = 4\) Case 2: \(y-2 = -2 \implies y = 0\) So the coordinates for B are (1, 4) and for D are (1, 0) (or vice-versa). अतः दूसरे दो शीर्ष हैं: (1, 0) और (1, 4)In simple words: In a square, all sides are equal, and the diagonals bisect each other at right angles. By using the property that the distance from the unknown vertex to the two given opposite vertices is equal (as they are sides of the square) and applying the Pythagorean theorem (since adjacent sides are perpendicular), we can set up equations to solve for the coordinates of the other two vertices.

🎯 Exam Tip: Remember the properties of a square: all sides are equal, and diagonals are equal and bisect each other at 90 degrees. Using the distance formula and the Pythagorean theorem simultaneously is often the most efficient way to solve this type of problem.

 

Question 5. कृष्णा नगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विधार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है | गुलमोहर की पौध को परस्पर 1m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है | इस भूखंड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है | विधार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं | (i) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए | (ii) यदि मूलबिंदु C हो, त्रिभुज APQR के निर्देशांक क्या होंगे। साथ ही, उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं ?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक आयताकार भूखंड ABCD को दर्शाता है जिसमें x-अक्ष पर 'स्तंभ' (कॉलम) और y-अक्ष पर 'पंक्ति' (रो) दिखाए गए हैं। एक त्रिभुजाकार लॉन PQR भूखंड के अंदर बना हुआ है। इसमें दो परिदृश्य प्रस्तुत किए गए हैं: पहला A को मूलबिंदु मानते हुए, और दूसरा C को मूलबिंदु मानते हुए। हलः (i) A को मूल बिन्दु (origin) और AD तथा AB के निर्देशांक अक्ष लेने पर हमें प्राप्त होता है कि P के निर्देशांक (4, 6), Q के निर्देशांक (3, 2), R के निर्देशांक (6, 5) APQR के शीर्ष हैं। (ii) बिन्दु C के मूल बिन्दु और CB तथा CD को निर्देशांक-अक्ष लेने पर \(\triangle\)PQR के शीर्षों के निर्देशांक हैं: P (12, 2), Q (13, 6) और R (10, 3) अब, क्षे. (\(\triangle\)APQR) [जबकि P(4, 6), Q(3, 2) और R(6, 5) हैं] क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} [x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)]\) = \(\frac{1}{2} [4(2 - 5) + 3(5 - 6) + 6(6 - 2)]\) = \(\frac{1}{2} [4(-3) + 3(-1) + 6(4)]\) = \(\frac{1}{2} [-12 - 3 + 24]\) = \(\frac{1}{2} [9] = \frac{9}{2}\) वर्ग इकाई क्षे. (\(\triangle\)APQR) [जब P(12, 2), Q(13, 6) और R(10, 3) हैं] क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} [12(6 - 3) + 13(3 - 2) + 10(2 - 6)]\) = \(\frac{1}{2} [12(3) + 13(1) + 10(-4)]\) = \(\frac{1}{2} [36 + 13 - 40]\) = \(\frac{1}{2} [9] = \frac{9}{2}\) वर्ग इकाई इस प्रकार, दोनों अवस्थाओं में \(\triangle\)PQR का क्षेत्रफल एक ही है।In simple words: For part (i), we assign coordinates assuming point A as the origin (0,0) and then read the coordinates of P, Q, and R from the grid. For part (ii), we assume point C as the origin and determine the new coordinates of P, Q, and R relative to C. In both cases, we calculate the area of triangle PQR using the area formula for a triangle. We observe that the area remains the same regardless of the chosen origin.

🎯 Exam Tip: When the origin changes, the coordinates of the points change, but the geometric properties like distance and area remain invariant. This concept is fundamental in coordinate geometry.

 

Question 6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (4, 6), B (1, 5) और C (7, 2) हैं | भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है की \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4}\) है | त्रिभुज AADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए
Answer: और इसकी तुलना त्रिभुज \(\triangle\)ABC के क्षेत्रफल से कीजिए| हलः हमें प्राप्त है:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसके शीर्ष A(4,6), B(1,5) और C(7,2) हैं। भुजा AB पर बिंदु D और भुजा AC पर बिंदु E इस प्रकार स्थित हैं कि \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4}\)। DE रेखाखंड खींचा गया है, और इसका उद्देश्य छोटे त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। \(\frac{AD}{AB} = \frac{1}{4}\)
\(\implies\) \(\frac{AB}{AD} = \frac{4}{1}\)
\(\implies\) \(\frac{AD+DB}{AD} = \frac{4}{1}\)
\(\implies\) \(\frac{AD}{AD} + \frac{DB}{AD} = \frac{4}{1}\)
\(\implies\) \(1 + \frac{DB}{AD} = 4 \implies \frac{DB}{AD} = 3 \implies AD:DB = 1:3\) इसी प्रकार, बिन्दु D रेखाखण्ड AB को 1:3 के अनुपात में विभाजित करता है। .
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बिन्दु D के निर्देशांक हैं: \(D = \left(\frac{1 \times 1 + 3 \times 4}{1+3}, \frac{1 \times 5 + 3 \times 6}{1+3}\right)\) या \(\left(\frac{1+12}{4}, \frac{5+18}{4}\right)\) या \(\left(\frac{13}{4}, \frac{23}{4}\right)\) इसी प्रकार, \(AE:EC = 1:3\) अतः बिन्दु E रेखाखण्ड AC को 1:3 के अनुपात में विभाजित करता है। .
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E के निर्देशांक हैं: \(E = \left(\frac{1 \times 7 + 3 \times 4}{1+3}, \frac{1 \times 2 + 3 \times 6}{1+3}\right)\) या \(\left(\frac{7+12}{4}, \frac{2+18}{4}\right)\) या \(\left(\frac{19}{4}, \frac{20}{4}\right)\) या \(\left(\frac{19}{4}, 5\right)\) अब, क्षे. (\(\triangle\)ADE) = \(\frac{1}{2} [x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]\) = \(\frac{1}{2} \left[4\left(\frac{23}{4} - 5\right) + \frac{13}{4}\left(5 - 6\right) + \frac{19}{4}\left(6 - \frac{23}{4}\right)\right]\) = \(\frac{1}{2} \left[4\left(\frac{23-20}{4}\right) + \frac{13}{4}(-1) + \frac{19}{4}\left(\frac{24-23}{4}\right)\right]\) = \(\frac{1}{2} \left[4\left(\frac{3}{4}\right) - \frac{13}{4} + \frac{19}{4}\left(\frac{1}{4}\right)\right]\) = \(\frac{1}{2} \left[3 - \frac{13}{4} + \frac{19}{16}\right]\) = \(\frac{1}{2} \left[\frac{48 - 52 + 19}{16}\right]\) = \(\frac{1}{2} \left[\frac{15}{16}\right] = \frac{15}{32}\) वर्ग इकाई क्षे. (\(\triangle\)ABC) = \(\frac{1}{2} [4(5-2) + 1(2-6) + 7(6-5)]\) = \(\frac{1}{2} [4(3) + 1(-4) + 7(1)]\) = \(\frac{1}{2} [12 - 4 + 7]\) = \(\frac{1}{2} [15] = \frac{15}{2}\) वर्ग इकाई अब, \(\frac{\text{क्षे (A ADE)}}{\text{क्षे (}\triangle\text{ ABC)}} = \frac{15/32}{15/2} = \frac{15}{32} \times \frac{2}{15} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}\) क्षे. (\(\triangle\)ADE) : क्षे. (\(\triangle\)ABC) = 1:16.In simple words: First, use the given ratio \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4}\) to determine the coordinates of points D and E using the section formula. Then, calculate the area of the smaller triangle \(\triangle\)ADE and the larger triangle \(\triangle\)ABC using the triangle area formula. Finally, find the ratio of these two areas.

🎯 Exam Tip: This problem demonstrates a property of similar triangles: if a line segment divides two sides of a triangle proportionally, the line is parallel to the third side, and the smaller triangle formed is similar to the larger one. The ratio of their areas is the square of the ratio of their corresponding sides. Here, \(\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\).

 

Question 7. मान लीजिए A (4, 2), B (6, 5) और C (1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं |
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है | बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की AP : PD = 2 : 1 हो|
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो|
(iv) आप क्या देखते हैं ? [नोट : वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।]
(v) यदि A (x1, y1), B (x2, y2 ) और C (x3, y3) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer:
हलः हमें प्राप्त है किः \( \triangle ABC \) के शीर्ष \( A(4, 2), B(6, 5) \) और \( C(1, 4) \) हैं।
(i) चूंकि AD एक माध्यिका है
\( \therefore \) D के निर्देशांक हैं:
\( \left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right) \) या \( \left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right) \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसके शीर्ष A (4, 2), B (6, 5) और C (1, 4) हैं। AD, BE और CF त्रिभुज की माध्यिकाएँ हैं जो एक बिंदु Q पर प्रतिच्छेद करती हैं। यह माध्यिकाएँ त्रिभुज के अंदर एक संतुलन बिंदु या केंद्रक को दर्शाती हैं।
(ii) चूंकि AP : PD = 2 : 1 अर्थात् P रेखाखण्ड AD को 2:1 के अनुपात में बांटता है।
\( \therefore \) P के निर्देशांक हैं:
\( \left(\frac{2 \times \frac{7}{2} + 1 \times 4}{2+1}, \frac{2 \times \frac{9}{2} + 1 \times 2}{2+1}\right) \) या \( \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right) \)
(iii) चूंकि BQ: QE = 2:1
\( \implies \) Q रेखाखंड BE को 2:1 के अनुपात में बांटती है,
\( \therefore \) Q के निर्देशांक हैं:
\( \left(\frac{2 \times \frac{5+1}{2} + 1 \times 6}{2+1}, \frac{2 \times \frac{4+5}{2} + 1 \times 5}{2+1}\right) \) या \( \left(\frac{5+6}{3}, \frac{6+5}{3}\right) \)
या \( \left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right) \)
R के निर्देशांक हैं:
\( \left(\frac{2 \times \frac{4+1}{2} + 1 \times 4}{2+1}, \frac{2 \times \frac{2+5}{2} + 1 \times 2}{2+1}\right) \) या \( \left(\frac{4+6}{3}, \frac{2+5}{3}\right) \)
या \( \left(\frac{10}{3}, \frac{7}{3}\right) \)
(iv) स्पष्ट है कि P, Q और R एक बिन्दु को व्यक्त करते हैं।
(v) हमें प्राप्त है कि \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) \) और \( C(x_3, y_3) \)
\( \triangle ABC \) के शीर्ष हैं। तथा AD, BE और CF इसकी माध्यिकाएँ हैं।
\( \therefore \) D, E और F क्रमश: BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं।
हम जानते है केन्द्रक माध्यिका पर स्थित एक ऐसा बिन्दु होता है जो उसे 2:1 के अनुपात में बांटे।
माध्यिका AD के अन्तः-बिन्दुओं के निर्देशांक हैं:
\( \left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}\right) \)
माना G एक केन्द्रक है,
\( \therefore \) केन्द्रक के निर्देशांक हैं:
\( \left(\frac{1 \times x_1 + 2 \times \frac{x_2+x_3}{2}}{1+2}, \frac{1 \times y_1 + 2 \times \frac{y_2+y_3}{2}}{1+2}\right) \)
\( = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) \)
इसी प्रकार, अन्य माध्यिकाओं से, हमें प्राप्त होता है कि
G के निर्देशांक: \( \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) \)
अर्थात्, एक केन्द्रक के निर्देशांक:
\( \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) \) हैं।
In simple words: Question 7 asks to find the coordinates of points related to medians and the centroid of a triangle. The centroid is the intersection point of all medians and divides each median in a 2:1 ratio. The general formula for the centroid coordinates is the average of the x-coordinates and the average of the y-coordinates of the triangle's vertices.

🎯 Exam Tip: Understanding the midpoint formula and section formula is crucial for solving problems involving medians and centroids of triangles. The centroid formula is a direct application of the section formula for a 2:1 ratio.

 

Question 8. बिन्दुओं A (-1, -1), B (-1, 4), C (5, 4) और D (5, -1) से एक आयात ABCD बनता है | PQR और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिन्दु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? सकारण उत्तर दीजिए|
Answer:
हलः हमें प्राप्त है कि एक चतुर्भुज जिसके शीर्ष हैं:
A(-1,-1), B(-1, 4), C(5, 4), D(5, -1)
चूंकि AB का मध्य बिन्दु P है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक आयत ABCD दिखाता है जिसके शीर्ष A(-1,-1), B(-1,4), C(5,4) और D(5,-1) हैं। भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्यबिंदु क्रमशः P, Q, R और S हैं। इन मध्यबिंदुओं को जोड़ने पर एक नया आंतरिक चतुर्भुज PQRS बनता है, जिसकी प्रकृति (वर्ग या समचतुर्भुज) निर्धारित की जानी है।
\( \therefore \) P के निर्देशांक हैं: \( \left(\frac{-1+(-1)}{2}, \frac{-1+4}{2}\right) \) या \( \left(-1, \frac{3}{2}\right) \)
इसी प्रकार Q के निर्देशांक हैं: \( \left(\frac{-1+5}{2}, \frac{4+4}{2}\right) \) या \( (2,4) \)
तथा R के निर्देशांक हैं: \( \left(\frac{5+5}{2}, \frac{-1+4}{2}\right) \) या \( \left(5, \frac{3}{2}\right) \)
और S के निर्देशांक हैं: \( \left(\frac{-1+5}{2}, \frac{-1+(-1)}{2}\right) \) या \( (2,-1) \)
अब, PQ \( = \sqrt{(2 - (-1))^2 + \left(4 - \frac{3}{2}\right)^2} \)
\( = \sqrt{(3)^2 + \left(\frac{8-3}{2}\right)^2} \)
\( = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{36+25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}} = \frac{\sqrt{61}}{2} \)
QR \( = \sqrt{(5-2)^2 + \left(\frac{3}{2}-4\right)^2} \)
\( = \sqrt{(3)^2 + \left(\frac{3-8}{2}\right)^2} \)
\( = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{36+25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}} = \frac{\sqrt{61}}{2} \)
RS \( = \sqrt{(2-5)^2 + \left(-1-\frac{3}{2}\right)^2} \)
\( = \sqrt{(-3)^2 + \left(\frac{-2-3}{2}\right)^2} \)
\( = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{36+25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}} = \frac{\sqrt{61}}{2} \)
SP \( = \sqrt{(-1-2)^2 + \left(\frac{3}{2}-(-1)\right)^2} \)
\( = \sqrt{(-3)^2 + \left(\frac{3+2}{2}\right)^2} \)
\( = \sqrt{9 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{36+25}{4}} = \sqrt{\frac{61}{4}} = \frac{\sqrt{61}}{2} \)
QS \( = \sqrt{(2-2)^2 + (4-(-1))^2} \)
\( = \sqrt{0^2 + (5)^2} = \sqrt{25} = 5 \)
PR \( = \sqrt{(5-(-1))^2 + \left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)^2} \)
\( = \sqrt{(6)^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 \)
उक्त से स्पष्ट है कि PQ = QR = RS = SP
अर्थात् चतुर्भुज PQRS की सभी भुजाएँ समान हैं।
\( \therefore \) यह एक वर्ग या एक समचतुर्भुज हो सकता है।
चूंकि PR \( \neq \) QS
अर्थात् PQRS के विकर्ण समान नहीं हैं।
\( \therefore \) PQRS एक समचतुर्भुज है।
In simple words: This problem involves finding the midpoints of a rectangle's sides to form a new quadrilateral, PQRS, and then determining if PQRS is a square or a rhombus. By calculating the lengths of all sides and diagonals of PQRS using the distance formula, we find all sides are equal but the diagonals are not. This means PQRS is a rhombus, not a square.

🎯 Exam Tip: To differentiate between a square and a rhombus, remember that both have all four sides equal. However, a square's diagonals are equal, while a rhombus's diagonals are not. Always calculate both side lengths and diagonal lengths for such problems.