UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 6 Triangles

प्रश्नावली 6.1 (NCERT Page 135)

 

Question 1. कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए :
(i) सभी वृत्त ....... होते है। (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग...... होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी ....... त्रिभुज समरूप होते है | (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(i) उनके संगत कोण ........ हो तथा
(ii) उनकी संगत .... भुजाएँ हों। (बराबर, समानुपाती |
Answer:
(i) सभी वृत्त समरूप होते हैं।
(ii) सभी वर्ग समरूप होते हैं।
(iii) सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुजे समरूप होते हैं, यदि
(i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा
(ii) उनकी संगत समानुपाती भुजाएँ हों ।
In simple words: Similar figures have the same shape but can differ in size. Congruent figures have both the same shape and size. All circles and all squares are similar because their shapes are identical, regardless of size. Equilateral triangles are always similar due to their fixed angle properties. For polygons to be similar, their corresponding angles must be equal, and corresponding sides must be in proportion.

🎯 Exam Tip: Understanding the precise definitions of 'similar' and 'congruent' is crucial for these types of fill-in-the-blank questions. Pay attention to both angles and side ratios when determining similarity.

 

Question 2. निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिएः
(i) समरूप आकृतियाँ
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
Answer:
(i) (a) दो वृत्त परस्पर समरूप होते हैं। (b) दो वर्ग परस्पर समरूप होते हैं।
(ii) (a) एक वृत्त और एक त्रिभुज समरूप नहीं होते हैं। (b) एक समद्विबाहु त्रिभुज और एक विषमबाहु । त्रिभुज समरूप आकृतियाँ नहीं होती हैं।
In simple words: Similar figures are those that have the same shape but may have different sizes, like any two circles or any two squares. Non-similar figures are those that differ in shape, such as a circle and a triangle, or an isosceles triangle and a scalene triangle.

🎯 Exam Tip: To provide examples of similar and non-similar figures, focus on their fundamental geometric properties. Circles and squares are good go-to examples for similarity due to their inherent symmetry, while figures with different numbers of sides or angle properties are effective for non-similarity.

 

Question 3. बताइए कि निम्न चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में दो चतुर्भुज दिखाए गए हैं। बाईं ओर का चतुर्भुज PQRS है, जिसकी सभी भुजाएँ 1.5 सेमी लंबी हैं। दाहिनी ओर का चतुर्भुज ABCD है, जिसकी सभी भुजाएँ 3 सेमी लंबी हैं। चतुर्भुज PQRS के सभी कोण 90 डिग्री नहीं दिख रहे हैं, जबकि चतुर्भुज ABCD के सभी कोण 90 डिग्री हैं।
Answer: संगत भुजाएँ समानुपाती हैं, परन्तु इनके संगत कोण समान नहीं हैं। ये आकृतियाँ समरूप नहीं हैं।
In simple words: The two quadrilaterals are not similar because, while their corresponding sides are proportional (ratio 1:2), their corresponding angles are not equal. One appears to be a rhombus or a general quadrilateral with non-right angles, while the other is a square (all angles 90 degrees). For shapes to be similar, both corresponding angles must be equal AND corresponding sides must be proportional.

🎯 Exam Tip: For two polygons to be similar, two conditions must be met: (1) all corresponding angles must be equal, and (2) the ratios of all corresponding sides must be equal. If either condition fails, the polygons are not similar, even if one condition holds true (as seen here with proportional sides but unequal angles).

 

प्रश्नावली 6.2 (NCERT Page 142)

 

Question 1. आकृति (i) और (ii) में, DE || BC और (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए :

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो त्रिभुज दिखाता है। आकृति (i) में, त्रिभुज ABC है जहाँ एक रेखाखंड DE भुजा BC के समानांतर है। AD = 1.5 सेमी, DB = 3 सेमी, और AE = 1 सेमी दिया गया है, और हमें EC ज्ञात करना है। आकृति (ii) में, त्रिभुज ABC है जहाँ एक रेखाखंड DE भुजा BC के समानांतर है। DB = 7.2 सेमी, AE = 1.8 सेमी, और EC = 5.4 सेमी दिया गया है, और हमें AD ज्ञात करना है।
Answer: हल: (i) \( \triangle ABC \) में,
चूंकि DE || BC
\( \therefore \) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
चूंकि AD = 1.5 सेमी., DB = 3 सेमी. और AE = 1 सेमी.
\( \frac{1.5}{3} = \frac{1}{EC} \)
वज्रगुणन से,
\( EC \times 1.5 = 1 \times 3 \)

\( \implies EC = \frac{1 \times 3}{1.5} \)

\( \implies EC = \frac{30}{15} \)

\( \implies EC = 2 \) सेमी
(ii) \( \triangle ABC \) में, DE || BC
\( \therefore \) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
चूंकि DB = 7.2 सेमी., AE = 1.8 सेमी. और EC = 5.4 सेमी.
\( \frac{AD}{7.2} = \frac{1.8}{5.4} \)
वज्रगुणन द्वारा]
\( AD \times 5.4 = 1.8 \times 7.2 \)

\( \implies AD = \frac{1.8 \times 7.2}{5.4} \)

\( \implies AD = \frac{18 \times 72 \times 10}{10 \times 10 \times 54} \)

\( \implies AD = \frac{1 \times 72}{10 \times 3} \)

\( \implies AD = \frac{24}{10} \)

\( \implies AD = 2.4 \) सेमी.
In simple words: We used the Basic Proportionality Theorem (BPT), also known as Thales's Theorem. This theorem states that if a line parallel to one side of a triangle intersects the other two sides, then it divides the two sides proportionally. By setting up the ratio of the corresponding segments, we can find the unknown lengths.

🎯 Exam Tip: The Basic Proportionality Theorem (BPT) is a fundamental concept. Ensure you correctly identify parallel lines and corresponding segments. Cross-multiplication is key for solving for unknown values. Practice simplifying fractions for quicker calculations.

 

Question 2. किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है|
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3cm, PF = 3.6 और FR = 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm
Answer: हल: (i) चूंकि PE = 3.9 सेमी., EQ = 3 सेमी., PF = 3.6 सेमी. और FR = 2.4 सेमी.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज PQR को दर्शाता है जिसके अंदर एक रेखाखंड EF है। बिंदु E भुजा PQ पर है और बिंदु F भुजा PR पर है। इस विशिष्ट स्थिति में, PE = 3.9, EQ = 3, PF = 3.6, और FR = 2.4 की मापें दी गई हैं। एक watermark "UPBoardSolutions.com" भी मौजूद है।
\( \therefore \frac{PE}{EQ} = \frac{3.9}{3} = \frac{1.3}{1} \)
और \( \frac{PF}{FR} = \frac{3.6}{2.4} = \frac{1.5}{1} \)
\( \frac{1.3}{1} \ne \frac{1.5}{1} \)
\( \therefore \frac{PE}{EQ} \ne \frac{PF}{FR} \)

\( \implies \) EF भुजा QR के समान्तर नहीं है।
(ii) चूंकि PE = 4 सेमी., QE = 4.5 सेमी., PF = 8 सेमी. और RF = 9 सेमी.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज PQR को दर्शाता है जिसके अंदर एक रेखाखंड EF है। बिंदु E भुजा PQ पर है और बिंदु F भुजा PR पर है। इस विशिष्ट स्थिति में, PE = 4 सेमी, QE = 4.5 सेमी, PF = 8 सेमी, और RF = 9 सेमी की मापें दी गई हैं। एक watermark "UPBoardSolutions.com" भी मौजूद है।
\( \therefore \frac{PE}{EQ} = \frac{4}{4.5} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9} \)
और \( \frac{PF}{FR} = \frac{8}{9} \)
चूंकि \( \frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR} \)

\( \implies \) EF भुजा QR के समान्तर है।
(iii) चूंकि PE = 0.18 सेमी., PQ = 1.28 सेमी., PF = 0.36 सेमी. और PR = 2.56 सेमी.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज PQR को दर्शाता है जिसके अंदर एक रेखाखंड EF है। बिंदु E भुजा PQ पर है और बिंदु F भुजा PR पर है। इस विशिष्ट स्थिति में, PE = 0.18, PQ = 1.28, PF = 0.36, और PR = 2.56 की मापें दी गई हैं।
\( \therefore \frac{PE}{PQ} = \frac{0.18}{1.28} = \frac{18}{128} = \frac{9}{64} \)
और \( \frac{PF}{PR} = \frac{0.36}{2.56} = \frac{36}{256} = \frac{9}{64} \)
चूंकि \( \frac{PE}{PQ} = \frac{PF}{PR} \)

\( \implies \) EF भुजा QR के समान्तर है।
In simple words: To check if EF is parallel to QR, we apply the converse of the Basic Proportionality Theorem (BPT). This theorem states that if a line divides any two sides of a triangle in the same ratio, then the line is parallel to the third side. We calculate the ratios of the segments on each side (\( \frac{PE}{EQ} \) and \( \frac{PF}{FR} \) or \( \frac{PE}{PQ} \) and \( \frac{PF}{PR} \)) and compare them. If the ratios are equal, EF is parallel to QR; otherwise, it is not.

🎯 Exam Tip: Remember the Converse of BPT: if a line divides two sides of a triangle proportionally, it is parallel to the third side. It's crucial to correctly form the ratios: either parts-to-parts (PE/EQ = PF/FR) or parts-to-whole (PE/PQ = PF/PR). Be careful with decimal calculations and simplification.

 

Question 3. आकृति में यदि LM || CB और LN || CD हो तो सिद्ध कीजिए कि \( \frac{AM}{AB} \) = \( \frac{AN}{AD} \) है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक बड़ा त्रिभुज ABCD है। एक बिंदु L भुजा AC पर है। एक रेखाखंड LM भुजा CB के समानांतर है, जहाँ M भुजा AB पर है। एक दूसरा रेखाखंड LN भुजा CD के समानांतर है, जहाँ N भुजा AD पर है। हमें सिद्ध करना है कि \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD} \)।
Answer: हल: \( \triangle ABC \) में
LM || CB [ज्ञात है]
\( \therefore \) मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
\( \frac{AM}{AB} = \frac{AL}{AC} \) ...(1)
पुनः \( \triangle ACD \) में,
LN || CD [ज्ञात है]
मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
\( \frac{AL}{AC} = \frac{AN}{AD} \) ...(2)
(1) और (2) से
\( \frac{AM}{AB} = \frac{AL}{AC} = \frac{AN}{AD} \)

\( \implies \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD} \)
In simple words: We apply the Basic Proportionality Theorem (BPT) twice. First, in triangle ABC with LM parallel to CB, we get a ratio involving AM/AB and AL/AC. Then, in triangle ACD with LN parallel to CD, we get another ratio involving AL/AC and AN/AD. Since AL/AC is common to both equations, we can equate the other two ratios, proving the required statement.

🎯 Exam Tip: This problem is a straightforward application of the Basic Proportionality Theorem (BPT) in two different triangles. Clearly identify the parallel lines and the triangle for each application. The key is to find a common ratio or segment that links the two parts of the proof.

 

Question 4. आकृति में DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि \( \frac{BF}{FE} \) = \( \frac{BE}{EC} \) है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक त्रिभुज ABC दिखाया गया है। एक बिंदु D भुजा AB पर है। एक रेखाखंड DE भुजा AC के समानांतर है, जहाँ E भुजा BC पर है। एक दूसरा रेखाखंड DF भुजा AE के समानांतर है, जहाँ F भुजा BE पर है। हमें सिद्ध करना है कि \( \frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC} \)।
Answer: हल: \( \triangle ABC \) में,
DE || AC [ज्ञात है।]
\( \therefore \) मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
\( \frac{BD}{DA} = \frac{BE}{EC} \) ...(1)
\( \triangle ABE \) में,
DF || AE [ज्ञात है]
\( \therefore \) मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
\( \frac{BD}{DA} = \frac{BF}{FE} \) ...(2)
(1) और (2) से,
\( \frac{BD}{DA} = \frac{BE}{EC} \)
और \( \frac{BD}{DA} = \frac{BF}{FE} \)

\( \implies \frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC} \)
In simple words: This problem involves two applications of the Basic Proportionality Theorem (BPT). First, consider the larger triangle ABC with DE parallel to AC, which gives a ratio for BD/DA. Second, consider the smaller triangle ABE with DF parallel to AE, which gives another ratio for BD/DA. By equating these two expressions for BD/DA, we arrive at the desired result.

🎯 Exam Tip: When applying BPT multiple times in nested triangles, clearly identify which triangle and which parallel line you are using for each step. Look for common ratios or segments that can link the separate applications of the theorem.

 

Question 5. आकृति में DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक त्रिभुज PQR है जिसके अंदर एक बिंदु O है। बिंदु D भुजा PQ पर है, बिंदु E भुजा OQ पर है, और बिंदु F भुजा PR पर है। एक रेखाखंड DE भुजा OQ के समानांतर है, और एक रेखाखंड DF भुजा OR के समानांतर है। हमें सिद्ध करना है कि EF भुजा QR के समानांतर है।
Answer: हल: \( \triangle PQO \) में,
DE || OQ [ज्ञात है]
\( \therefore \) मूलभूत-समानुपातिकता प्रमेय से,
\( \frac{PE}{EQ} = \frac{PD}{DO} \) ...(1)
इसी प्रकार, \( \triangle POR \) में
DF || OR [ज्ञात है]
\( \therefore \) मूलभूत-समानुपातिकता प्रमेय से,
\( \frac{PD}{DO} = \frac{PF}{FR} \) ...(2)
(1) और (2) से,
\( \frac{PE}{EQ} = \frac{PD}{DO} \)
और \( \frac{PD}{DO} = \frac{PF}{FR} \)

\( \implies \frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR} \)
अब, \( \triangle PQR \) में,
E और F क्रमशः भुजाओं PQ और PR पर स्थित है, तथा
\( \frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR} \)
अर्थात् E और F भुजाओं PQ और PR को एक ही अनुपात में विभाजित करते हैं।
\( \therefore \) EF || QR
In simple words: We first apply the Basic Proportionality Theorem (BPT) in triangle PQO with DE || OQ to establish a ratio involving PE/EQ. Then, we apply BPT in triangle POR with DF || OR to establish a ratio involving PF/FR. Both ratios are equal to PD/DO, so PE/EQ = PF/FR. Finally, by the converse of BPT in triangle PQR, since EF divides PQ and PR proportionally, EF must be parallel to QR.

🎯 Exam Tip: This problem demonstrates a nested application of BPT and its converse. Start by applying BPT in the smaller triangles to establish proportional sides. Then, use the common ratio to link these proportionalities. The final step is to apply the converse of BPT to prove the parallelism of the third line segment.

 

Question 6. आकृति में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक त्रिभुज PQR है जिसके अंदर एक बिंदु O है। बिंदु A भुजा OP पर है, बिंदु B भुजा OQ पर है, और बिंदु C भुजा OR पर है। एक रेखाखंड AB भुजा PQ के समानांतर है, और एक रेखाखंड AC भुजा PR के समानांतर है। हमें सिद्ध करना है कि BC भुजा QR के समानांतर है।
Answer: हल: \( \triangle POR \) में,
O एक बिन्दु है और OP, OQ तथा OR को मिलाया गया है। OP, OQ और OR पर क्रमशः A, B और C बिन्दु इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR
अब, \( \triangle OPQ \) में,
AB || PQ
\( \therefore \) मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
\( \frac{OA}{AP} = \frac{OB}{BQ} \) ...(1)
पुनः \( \triangle OPR \) में, AC || PR [ज्ञात है]
\( \therefore \) मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
\( \frac{OA}{AP} = \frac{OC}{CR} \) ...(2)
(1) और (2) से
\( \frac{OB}{BQ} = \frac{OA}{AP} = \frac{OC}{CR} \)

\( \implies \frac{OB}{BQ} = \frac{OC}{CR} \)
अब, \( \triangle OQR \) में
B, भुजा OQ पर स्थित है तथा भुजा QR पर एक बिन्दु C स्थित है।
और \( \frac{OB}{BQ} = \frac{OC}{CR} \) [ऊपर सिद्ध किया है]
अर्थात् B और C, भुजाओं OQ तथा OR को \( \triangle OQR \) में एक ही अनुपात में विभाजित करते हैं।
\( \therefore \) BC || QR
In simple words: We apply the Basic Proportionality Theorem (BPT) in two different triangles. First, in triangle OPQ with AB || PQ, we find that OA/AP = OB/BQ. Second, in triangle OPR with AC || PR, we find that OA/AP = OC/CR. By equating these two ratios, we get OB/BQ = OC/CR. This means that in triangle OQR, the line segment BC divides sides OQ and OR in the same ratio. Therefore, by the converse of BPT, BC must be parallel to QR.

🎯 Exam Tip: This is another example of using BPT and its converse. The strategy is to use the given parallel lines to establish proportional segments in two separate triangles (OPQ and OPR), identify a common ratio (OA/AP), and then use that commonality to prove proportionality in a third triangle (OQR), leading to the conclusion by the converse of BPT.

 

Question 7. थेल्स प्रमेय का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक त्रिभुज ABC दिखाया गया है। भुजा AB का मध्य-बिंदु D है। एक रेखाखंड DE भुजा BC के समानांतर खींचा गया है, जो भुजा AC को बिंदु E पर प्रतिच्छेद करता है। हमें सिद्ध करना है कि E भुजा AC का मध्य-बिंदु है, अर्थात AE = EC।
Answer: हल: हमें ज्ञात है कि एक \( \triangle ABC \) में भुजा AB का मध्य बिन्दु D तथा AC पर E इस प्रकार है कि
DE || BC
\( \therefore \) मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) ...(1)
परन्तु AB का मध्य बिन्दु D है।
\( \therefore AD = DB \)

\( \implies \frac{AD}{DB} = 1 \) ...(2)
(1) और (2) से,
\( 1 = \frac{AE}{EC} \)

\( \implies EC = AE \)

\( \implies \) E, भुजा AC का मध्यबिंदु है।
अतः उक्त से सिद्ध होता है कि एक त्रिभुज के मध्यबिंदु से होकर दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
In simple words: We use the Basic Proportionality Theorem (BPT). Since D is the midpoint of AB, AD = DB, making the ratio AD/DB equal to 1. Because DE is parallel to BC, BPT states that AD/DB = AE/EC. Substituting 1 for AD/DB, we get AE/EC = 1, which means AE = EC. This proves that E is the midpoint of AC, thus the line bisects the third side.

🎯 Exam Tip: This question asks for a proof using BPT. Clearly state the given conditions, the theorem being used, and each logical step. The definition of a midpoint (dividing a segment into two equal parts, making their ratio 1) is crucial here.

 

Question 8. थेल्स प्रमेय का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं)।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक त्रिभुज ABC दिखाया गया है। भुजा AB का मध्य-बिंदु D है और भुजा AC का मध्य-बिंदु E है। एक रेखाखंड DE इन दोनों मध्य-बिंदुओं को जोड़ता है। हमें सिद्ध करना है कि यह रेखाखंड DE तीसरी भुजा BC के समानांतर है।
Answer: हल: ज्ञात है कि \( \triangle ABC \) की भुजाओं AB और AC के मध्यबिन्दु क्रमशः D और E हैं।
\( \therefore AD = BD \) ...(1)
और \( AE = CE \) ...(2)
(1) से, \( \frac{AD}{BD} = 1 \)
(2) से, \( \frac{AE}{CE} = 1 \)
चूंकि \( \frac{AD}{BD} = \frac{AE}{CE} \)
\( \therefore \) थेल्स प्रमेय के विलोम से,
DE || BC
In simple words: This is a proof of the Midpoint Theorem using the converse of the Basic Proportionality Theorem (BPT). Since D and E are midpoints of AB and AC respectively, AD = DB and AE = EC. This implies that the ratios AD/DB = 1 and AE/EC = 1. Since both ratios are equal, by the converse of BPT, the line segment DE connecting the midpoints must be parallel to the third side BC.

🎯 Exam Tip: This problem is the converse of the previous one and proves the Midpoint Theorem. Clearly state the converse of BPT: if a line divides two sides of a triangle in the same ratio, then the line is parallel to the third side. The midpoint property creating a 1:1 ratio is fundamental to this proof.

 

Question 9. ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि \( \frac{AO}{BO} \) = \( \frac{CO}{DO} \) है।
Answer: हल:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समलंब चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसमें AB भुजा DC के समानांतर है। विकर्ण AC और BD एक दूसरे को बिंदु O पर काटते हैं। एक रेखा OE को बिंदु O से AB या DC के समानांतर खींचा गया है, जहाँ E भुजा AD पर है।
हमें ज्ञात है कि एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB || DC
विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं और यदि O से OE || AB या DC खींचने पर,
\( \triangle ADC \) में OE || DC [रचना द्वारा]
\( \therefore \) मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
\( \frac{AE}{ED} = \frac{AO}{CO} \) ...(1)
\( \triangle ABD \) में OE || AB [रचना द्वारा]
\( \therefore \) मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
\( \frac{ED}{AE} = \frac{DO}{BO} \)

\( \implies \frac{AE}{ED} = \frac{BO}{DO} \) ...(2)
(1) और (2) से
\( \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} \)

\( \implies \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \)
In simple words: To prove the proportionality of the diagonals in a trapezium, we draw a line OE through O parallel to AB and DC. Applying the Basic Proportionality Theorem (BPT) in triangle ADC (with OE || DC) gives us \( \frac{AE}{ED} = \frac{AO}{CO} \). Applying BPT in triangle ABD (with OE || AB) gives us \( \frac{ED}{AE} = \frac{DO}{BO} \), which can be rewritten as \( \frac{AE}{ED} = \frac{BO}{DO} \). By equating these two ratios for AE/ED, we get \( \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} \), which can be rearranged to the desired result.

🎯 Exam Tip: For this type of proof involving trapeziums and diagonals, a key strategy is to draw an auxiliary line through the intersection point of the diagonals, parallel to the parallel sides of the trapezium. This allows for successive applications of the Basic Proportionality Theorem (BPT) in different triangles, leading to the desired proportionality.

 

Question 10. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि \( \frac{AO}{BO} \) = \( \frac{CO}{DO} \) है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।
Answer: हल: हमें ज्ञात है कि एक चतुर्भुज ABCD में AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद इस प्रकार करते हैं कि:
\( \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \)
अब, \( \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \)
से हमें प्राप्त होता है कि
\( \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} \)
बिन्दु O से OE || DC या AB खींचो ।
\( \triangle ADB \) में, मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
DE OD
\( \frac{DE}{EA} = \frac{OD}{BO} \)

\( \implies \frac{EA}{DE} = \frac{BO}{OD} \) ...(1)
और \( \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} \) [ज्ञात है] ...(2)
(1) और (2) से,
\( \frac{EA}{DE} = \frac{BO}{OD} = \frac{AO}{CO} \)
अर्थात् \( \triangle ABC \) की भुजाओं AD और AC पर स्थित क्रमशः बिन्दु E और O, इन्हें एक ही अनुपात में बांटते हैं।
\( \therefore \) OE || DC और OE || AB

\( \implies \) AB || DC
अतः ABCD एक समलंब चतुर्भुज है।
In simple words: We are given the proportionality of segments formed by the diagonals of a quadrilateral. We draw a line OE through O parallel to DC. Applying the Basic Proportionality Theorem (BPT) in triangle DAB with OE || AB (due to transitive property if OE || DC and AB || DC) or in triangle ADC (if OE || DC) we get a ratio. Combining this with the given ratio of diagonals, we show that E divides AD proportionally. By the converse of BPT, this implies OE || AB. Since OE is also parallel to DC (by construction), by transitivity, AB || DC, thus proving ABCD is a trapezium.

🎯 Exam Tip: This is the converse of the previous problem. The key is to draw an auxiliary line (OE) through the intersection of diagonals, parallel to one of the sides (say, DC). Then, use BPT and the given diagonal proportionality to show that OE is also parallel to the other side (AB). If both pairs of sides are parallel, it confirms the figure is a trapezium.

 

प्रश्नावली 6.3 (NCERT Page 153)

 

Question 1. बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन – कौन से युग्म समरूप हैं | उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देनें में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए |

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में छह त्रिभुजों के युग्म दिखाए गए हैं। प्रत्येक युग्म के लिए, भुजाओं की लंबाई और/या कोणों की मापें दी गई हैं, और हमें यह निर्धारित करना है कि कौन से युग्म समरूप हैं और किस कसौटी के आधार पर।
(i) पहला युग्म \( \triangle ABC \) और \( \triangle PQR \) को दर्शाता है। \( \triangle ABC \) में कोण A = 60°, B = 80°, C = 40° हैं। \( \triangle PQR \) में कोण P = 60°, Q = 80°, R = 40° हैं।
(ii) दूसरा युग्म \( \triangle ABC \) और \( \triangle QRP \) को दर्शाता है। \( \triangle ABC \) की भुजाएँ AB=2, BC=2.5, CA=3 हैं। \( \triangle QRP \) की भुजाएँ QR=4, RP=5, PQ=6 हैं।
(iii) तीसरा युग्म \( \triangle LMP \) और \( \triangle DEF \) को दर्शाता है। \( \triangle LMP \) की भुजाएँ LM=2.7, MP=2, LP=3 हैं। \( \triangle DEF \) की भुजाएँ DE=4, EF=5, DF=6 हैं।
(iv) चौथा युग्म दो त्रिभुज दर्शाता है, जिनके कोण और भुजाएँ अस्पष्ट हैं लेकिन \( \triangle MNL \) और \( \triangle QPR \) का उल्लेख है। \( \triangle MNL \) में MN की भुजा 2.5 और NL 3 है, कोण M 70° है। \( \triangle QPR \) में QP 6 और PR 5 है, कोण Q 70° है।
(v) पाँचवाँ युग्म \( \triangle ABC \) और \( \triangle FDE \) को दर्शाता है। \( \triangle ABC \) में AB=2.5, BC=3, कोण A 80° है। \( \triangle FDE \) में FD=5, DE=6, कोण F 80° है।
(vi) छठा युग्म \( \triangle DEF \) और \( \triangle PQR \) को दर्शाता है। \( \triangle DEF \) में कोण D 70°, E 80° है। \( \triangle PQR \) में कोण P 70°, Q 80°, R 30° है।
Answer: हल: (i) \( \triangle ABC \) और \( \triangle PQR \) में
\( \angle A = \angle P = 60^\circ \), \( \angle B = \angle Q = 80^\circ \), \( \angle C = \angle R = 40^\circ \)
\( \therefore \) संगत कोण समान हैं।
अतः समरूपता की AAA कसौटी से
\( \triangle ABC \sim \triangle PQR \)
(ii) \( \triangle ABC \) और \( \triangle QRP \) में
\( \frac{AB}{QR} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{BC}{RP} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{CA}{PQ} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
i.e., \( \frac{AB}{QR} = \frac{BC}{RP} = \frac{CA}{PQ} \)
i.e., SSS कसौटी का प्रयोग करने पर, \( \triangle ABC \sim \triangle QRP \)
(iii) \( \triangle LMP \) और \( \triangle DEF \) में
\( \frac{LM}{DE} = \frac{2.7}{4} \)
\( \frac{MP}{EF} = \frac{2}{5} \)
\( \frac{LP}{DF} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

\( \implies \frac{LM}{DE} \ne \frac{MP}{EF} \ne \frac{LP}{DF} \)
\( \triangle \) समरूप नहीं हैं।
(iv) \( \triangle MNL \) और \( \triangle QPR \) में,
\( \frac{ML}{QR} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{MN}{QP} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \angle NML = \angle PQR \) [प्रत्येक \( = 80^\circ \)]
SAS कसौटी से,
\( \triangle MNL \sim \triangle PQR \)
(v) \( \triangle ABC \) और \( \triangle FDE \) में,
\( \angle A = \angle EFD \) [प्रत्येक \( = 80^\circ \)]
तथा \( \frac{AB}{FD} \) और \( \frac{AC}{FE} \) अज्ञात हैं।
\( \therefore \) त्रिभुजें समरूप नहीं हैं।
(vi) \( \triangle DEF \) और \( \triangle PQR \) में,
\( \angle D = \angle P = 70^\circ \), \( \angle E = \angle Q = 80^\circ \), \( \angle F = \angle R = 30^\circ \)
\( \therefore \) AAA समरूपता कसौटी का प्रयोग करके, \( \triangle DEF \sim \triangle PQR \)
In simple words: To determine if triangle pairs are similar, we use the similarity criteria: AAA (Angle-Angle-Angle), SSS (Side-Side-Side), or SAS (Side-Angle-Side). For AAA, all corresponding angles must be equal. For SSS, all corresponding sides must be proportional. For SAS, two corresponding sides must be proportional, and the included angles must be equal. We check each pair against these criteria.

🎯 Exam Tip: Mastering the three similarity criteria (AAA, SSS, SAS) is essential. For AAA, ensure all three angle pairs are equal. For SSS, carefully calculate and compare the ratios of all three corresponding side pairs. For SAS, ensure the angle is *included* between the two proportional sides. Always write the similarity correspondence correctly (e.g., \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \)).

 

Question 2. आकृति में, \( \triangle ODC \sim \triangle OBA \), \( \angle BOC = 125^\circ \) और \( \angle CDO = 70^\circ \) है। \( \angle DOC, \angle DCO \) और \( \angle OAB \) ज्ञात कीजिए।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में दो त्रिभुज, \( \triangle ODC \) और \( \triangle OBA \) दिखाए गए हैं, जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। \( \angle BOC = 125^\circ \) और \( \angle CDO = 70^\circ \) दिया गया है। हमें \( \angle DOC, \angle DCO \) और \( \angle OAB \) ज्ञात करना है।
Answer: हल: हमें ज्ञात है कि
चूंकि \( \angle BOC = 125^\circ \) और \( \angle CDO = 70^\circ \)
\( \angle DOC + \angle BOC = 180^\circ \) [रैखिक युग्म]

\( \implies \angle DOC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \) ...(1)
\( \triangle DOC \) में त्रिभुज के कोणों का योग \( = 180^\circ \) का प्रयोग करने पर
\( \angle DOC + \angle ODC + \angle DCO = 180^\circ \)

\( \implies 55^\circ + 70^\circ + \angle DCO = 180^\circ \)

\( \implies \angle DCO = 180^\circ - 55^\circ - 70^\circ = 55^\circ \) ...(2)
पुनः, \( \triangle ODC \sim \triangle OBA \) [ज्ञात है]
उनकी संगत कोण समान हैं
और \( \angle OCD = \angle OAB = 55^\circ \) ...(3)
इस प्रकार, (1), (2) और (3) से, \( \angle DOC = 55^\circ \) और \( \angle OAB = 55^\circ \) तथा \( \angle DCO = 55^\circ \)
In simple words: First, we find \( \angle DOC \) using the linear pair property with \( \angle BOC \). Then, using the angle sum property of a triangle in \( \triangle DOC \), we find \( \angle DCO \). Finally, since \( \triangle ODC \) is similar to \( \triangle OBA \), their corresponding angles are equal, allowing us to find \( \angle OAB \).

🎯 Exam Tip: This problem combines knowledge of linear pairs, angle sum property of a triangle, and properties of similar triangles. Remember that corresponding angles of similar triangles are equal. Clearly state the reason for each step (linear pair, angle sum, similarity property).

 

Question. 3. समलंब ABCD, जिसमे AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि \(\frac { OA }{ OC }\) = \(\frac { OB }{ OD }\) है|

Answer: हलः हमें ज्ञात है कि एक समलंब चतुर्भुज ABCD में AB || DC है।
विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
हम \(\triangle\) AOB और \(\triangle\) COD में समरूपता कसौटी का प्रयोग करेंगे।
क्योंकि AB || DC, इसलिए, एकांतर आंतरिक कोण बराबर होंगे:
\(\angle\) OAB = \(\angle\) OCD (एकांतर आंतरिक कोण)
\(\angle\) OBA = \(\angle\) ODC (एकांतर आंतरिक कोण)
और शीर्षाभिमुख कोण:
\(\angle\) AOB = \(\angle\) COD (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः, AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के अनुसार, \(\triangle\) AOB ~ \(\triangle\) COD है।
यदि दो त्रिभुज समरूप होते हैं, तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
इसलिए, \(\frac { AO }{ CO }\) = \(\frac { BO }{ DO }\) = \(\frac { AB }{ CD }\)
हम वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए पहले दो अनुपातों का उपयोग करते हैं:
\(\frac { OA }{ OC }\) = \(\frac { OB }{ OD }\)
In simple words: This problem uses the property of similar triangles formed by the diagonals of a trapezium. By showing that triangles AOB and COD are similar using angle properties (alternate interior angles and vertically opposite angles), we prove that their corresponding sides are proportional, leading to the desired ratio.

🎯 Exam Tip: Understanding the properties of parallel lines (alternate interior angles) and vertically opposite angles is crucial for proving triangle similarity in geometry problems involving trapeziums and intersecting diagonals.

 

Question. 4. आकृति में, \(\frac { QR }{ QS }\) = \(\frac { QT }{ PR }\) तथा \(\angle\)1 = \(\angle\)2 है। दर्शाइए कि APQS ~ ATQR है।

Answer: हलः \(\triangle\) PQR में,
\(\angle\)1 = \(\angle\)2 (ज्ञात है)

चूंकि एक त्रिभुज में समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं, तो:
PR = QP ...(1)
हमें दिया गया है:
\(\frac { QR }{ QS }\) = \(\frac { QT }{ PR }\) (ज्ञात है) ...(2)
समीकरण (1) से PR के मान को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर:
\(\frac { QR }{ QS }\) = \(\frac { QT }{ QP }\)
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\(\frac { QS }{ QR }\) = \(\frac { QP }{ QT }\) ...(3)
अब, \(\triangle\) PQS और \(\triangle\) TQR में,
हमें समीकरण (3) से प्राप्त हुआ है:
\(\frac { QS }{ QR }\) = \(\frac { QP }{ QT }\)
और \(\angle\)SQP = \(\angle\)RQT = \(\angle\)1 (यह दोनों त्रिभुजों का एक उभयनिष्ठ कोण है, जिसे \(\angle\)PQR या \(\angle\)1 के रूप में दर्शाया गया है)
अब, SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी से, (दो भुजाओं का अनुपात समान है और उनके बीच का कोण बराबर है)
\(\triangle\) PQS ~ \(\triangle\) TQR है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक त्रिभुज PQR दिखाया गया है। QR भुजा पर एक बिंदु S है और PR भुजा पर एक बिंदु T है। रेखा खंड PS और QT त्रिभुज के भीतर खींचे गए हैं, जहां \(\angle\)PQS और \(\angle\)TQR के बीच का कोण \(\angle\)1 से दर्शाया गया है और \(\angle\)PRQ का कोण \(\angle\)2 से दर्शाया गया है।
In simple words: We are given a condition about side ratios and an angle relation in a triangle. By replacing one side in the given ratio using the angle relation (sides opposite equal angles are equal), and noting a common angle, we prove the similarity of two smaller triangles using the SAS criterion.

🎯 Exam Tip: The key to solving this problem is to correctly use the property that "sides opposite to equal angles are equal" to simplify the given ratio. Also, correctly identifying the common angle for the SAS similarity criterion is vital.

 

Question. 5. APQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि \(\angle\)P = \(\angle\)RTS है | दर्शाइए कि ARPQ ~ ARTS है|

Answer: हलः सामने दर्शाई गई आकृति में PQR एक त्रिभुज है
जिसमें भुजा QR पर बिन्दु T और भुजा PR पर बिन्दु S इस प्रकार स्थित है कि
\(\angle\)P = \(\angle\)RTS (ज्ञात है)
अब \(\triangle\) RPQ और \(\triangle\) RTS में,
\(\angle\)RPQ = \(\angle\)RTS (ज्ञात है)
\(\angle\)PRQ = \(\angle\)TRS (उभयनिष्ठ कोण)
अतः, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी से,
\(\triangle\) RPQ ~ \(\triangle\) ARTS है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक त्रिभुज PQR दर्शाया गया है। त्रिभुज के अंदर, QR भुजा पर बिंदु T और PR भुजा पर बिंदु S स्थित हैं। रेखाखंड ST खींचा गया है, जो एक छोटा त्रिभुज RTS बनाता है। दिए गए संबंध के अनुसार, बड़े त्रिभुज PQR का शीर्ष कोण P छोटे त्रिभुज RTS के कोण RTS के बराबर है।
In simple words: To prove similarity between \(\triangle\)RPQ and \(\triangle\)RTS, we use the AA similarity criterion. We are given that \(\angle\)P = \(\angle\)RTS, and we observe that \(\angle\)R (which is \(\angle\)PRQ or \(\angle\)TRS) is common to both triangles. With two corresponding angles being equal, the triangles are similar.

🎯 Exam Tip: When dealing with similarity problems, always look for shared (common) angles or given equal angles. The AA similarity criterion is often the simplest way to prove similarity if two pairs of angles are known to be equal.

 

Question. 6. आकृति में, यदि \(\triangle\)ABE \(\cong\) \(\triangle\)ACD है, तो दर्शाइए कि \(\triangle\)ADE ~ \(\triangle\)ABC है।

Answer: हलः दिया गया है:
\(\triangle\)ABE \(\cong\) \(\triangle\)ACD
चूंकि ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं, इनके संगत भाग (CPCTC) समान होंगे।
अर्थात्,
AB = AC ...(1)
AE = AD ...(2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\(\frac { AB }{ AE }\) = \(\frac { AC }{ AD }\)
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\(\frac { AD }{ AB }\) = \(\frac { AE }{ AC }\) ...(3)
अब, \(\triangle\)ADE और \(\triangle\)ABC में,
हमें समीकरण (3) से प्राप्त हुआ है:
\(\frac { AD }{ AB }\) = \(\frac { AE }{ AC }\)
और \(\angle\)DAE = \(\angle\)BAC (यह दोनों त्रिभुजों का उभयनिष्ठ कोण A है)
अतः, SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी से,
\(\triangle\)ADE ~ \(\triangle\)ABC है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक बड़ा त्रिभुज ABC है। इसकी भुजाओं AB और AC पर बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि एक छोटा त्रिभुज ADE बनता है। बिंदु D भुजा AB पर है और बिंदु E भुजा AC पर है। रेखाखंड BE और CD खींचे गए हैं, जो दो त्रिभुज ABE और ACD बनाते हैं।
In simple words: Given that \(\triangle\)ABE is congruent to \(\triangle\)ACD, their corresponding sides are equal (AB=AC, AE=AD). By forming a ratio of these sides (\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)) and observing the common angle A, we can prove that \(\triangle\)ADE is similar to \(\triangle\)ABC using the SAS similarity criterion.

🎯 Exam Tip: Congruence implies equal corresponding sides and angles. Use this fact to establish ratios for similarity. The SAS similarity criterion is effective when two pairs of sides are proportional and the included angles are equal.

 

Question. 7. आकृति में, \(\triangle\)ABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं तो दर्शाइए कि :
(i) \(\triangle\)AEP ~ \(\triangle\)CDP
(ii) \(\triangle\)ABD ~ \(\triangle\)CBE
(iii) \(\triangle\)AEP ~ \(\triangle\)ADB
(iv) \(\triangle\)PDC ~ \(\triangle\)BEC

Answer: हलः \(\triangle\)ABC में, लम्ब AD और CE परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
इसका मतलब है कि AD \(\perp\) BC और CE \(\perp\) AB।
अतः, \(\angle\)ADB = 90° और \(\angle\)CEB = 90°।
साथ ही, \(\angle\)AEP = 90° और \(\angle\)CDP = 90° (क्योंकि CE \(\perp\) AB और AD \(\perp\) BC)

(i) \(\triangle\)AEP और \(\triangle\)CDP में,
\(\angle\)AEP = \(\angle\)CDP (प्रत्येक 90° है)
\(\angle\)EPA = \(\angle\)DPC (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी से,
\(\triangle\)AEP ~ \(\triangle\)CDP है।

(ii) \(\triangle\)ABD और \(\triangle\)CBE में,
\(\angle\)ADB = \(\angle\)CEB (प्रत्येक 90° है)
\(\angle\)ABD = \(\angle\)CBE (उभयनिष्ठ कोण B)
अतः, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी से,
\(\triangle\)ABD ~ \(\triangle\)CBE है।

(iii) \(\triangle\)AEP और \(\triangle\)ADB में,
\(\angle\)AEP = \(\angle\)ADB (प्रत्येक 90° है)
\(\angle\)EAP = \(\angle\)DAB (उभयनिष्ठ कोण A)
अतः, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी से,
\(\triangle\)AEP ~ \(\triangle\)ADB है।

(iv) \(\triangle\)PDC और \(\triangle\)BEC में,
\(\angle\)PDC = \(\angle\)BEC (प्रत्येक 90° है)
\(\angle\)DCP = \(\angle\)ECB (उभयनिष्ठ कोण C)
अतः, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी से,
\(\triangle\)PDC ~ \(\triangle\)BEC है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसमें दो शीर्षलंब AD और CE खींचे गए हैं। शीर्षलंब AD, भुजा BC पर लंब है, और शीर्षलंब CE, भुजा AB पर लंब है। ये दोनों शीर्षलंब बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस व्यवस्था के कारण कई छोटे समकोण त्रिभुज बनते हैं, जैसे AEP, CDP, ABD, CBE, PDC, BEC, आदि।
In simple words: This problem involves proving similarity for multiple pairs of triangles within a larger triangle where two altitudes intersect. For each pair, we identify that they both have a 90-degree angle (due to altitudes) and share a common angle or have vertically opposite angles, allowing us to use the AA similarity criterion.

🎯 Exam Tip: In problems involving altitudes, remember that altitudes form right angles. Look for common angles (like a shared vertex) or vertically opposite angles at the intersection point (P) to easily apply the AA similarity criterion for each sub-part.

 

Question. 8. समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि \(\triangle\)ABE ~ \(\triangle\)CFB है |

Answer: हलः हमें ज्ञात है कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
इसका मतलब है कि AB || DC और AD || BC।
भुजा AD को E तक बढ़ाया गया है, और BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है।

अब \(\triangle\)ABE और \(\triangle\)CFB में,
AB || DC (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
चूंकि F भुजा CD पर स्थित है, AB || FC भी होगा।
इसलिए, \(\angle\)BAE = \(\angle\)CFB (एकांतर आंतरिक कोण, क्योंकि AB || EC और BE एक तिर्यक रेखा है)
\(\angle\)AEB = \(\angle\)CBF (एकांतर आंतरिक कोण, क्योंकि AD || BC और BE एक तिर्यक रेखा है)
या \(\angle\)A = \(\angle\)C (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
\(\angle\)ABE = \(\angle\)BFC (एकांतर कोण, क्योंकि AB || DC और BE तिर्यक रेखा है)
\(\angle\)AEB = \(\angle\)FBC (एकांतर कोण, क्योंकि AE || BC और BE तिर्यक रेखा है)

AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी से, \(\triangle\)ABE ~ \(\triangle\)CFB है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक समांतर चतुर्भुज ABCD दिखाया गया है। भुजा AD को एक बिंदु E तक बढ़ाया गया है, जिससे A-D-E एक सीधी रेखा में है। एक रेखाखंड BE खींचा गया है, जो भुजा CD को बिंदु F पर काटता है। हमें यह सिद्ध करना है कि त्रिभुज ABE (एक बड़ा त्रिभुज) और त्रिभुज CFB (एक छोटा त्रिभुज) समरूप हैं।
In simple words: In a parallelogram, opposite sides are parallel. By extending a side and drawing a transversal, we can identify pairs of alternate interior angles. Since \(\angle\)BAE = \(\angle\)CFB (alternate interior angles because AB || DC) and \(\angle\)AEB = \(\angle\)CBF (alternate interior angles because AE || BC), the triangles \(\triangle\)ABE and \(\triangle\)CFB are similar by the AA similarity criterion.

🎯 Exam Tip: Remember properties of parallelograms (opposite sides are parallel, opposite angles are equal). When lines are parallel, always look for alternate interior angles or corresponding angles formed by transversals, as these are excellent for proving triangle similarity.

 

Question. 9. आकृति में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि :
(i) \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)AMP
(ii) \(\frac { CA }{ PA }\) = \(\frac { BC }{ MP }\)

Answer: हलः हमें दिया गया है: समकोण \(\triangle\)ABC जो कि B पर समकोण है। तथा \(\triangle\)AMP जिसमें M पर समकोण है।
तो, \(\angle\)B = 90° और \(\angle\)M = 90° ...(1)

(i) \(\triangle\)ABC और \(\triangle\)AMP में,
\(\angle\)ABC = \(\angle\)AMP (प्रत्येक 90° है, समीकरण (1) से)
\(\angle\)BAC = \(\angle\)MAP (उभयनिष्ठ कोण A)
अतः, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी से,
\(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)AMP है।

(ii) चूंकि \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)AMP (ऊपर सिद्ध किया गया है)
समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
इसलिए, \(\frac { CA }{ PA }\) = \(\frac { BC }{ MP }\) = \(\frac { AB }{ AM }\)
वांछित परिणाम के लिए पहले दो अनुपातों का उपयोग करने पर:
\(\frac { CA }{ PA }\) = \(\frac { BC }{ MP }\)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में दो समकोण त्रिभुज दिखाए गए हैं। एक बड़ा त्रिभुज ABC है जिसका कोण B समकोण है। एक छोटा त्रिभुज AMP है जिसका कोण M समकोण है। ये दोनों त्रिभुज शीर्ष A को साझा करते हैं, जिसका अर्थ है कि कोण BAC और कोण MAP एक ही कोण है।
In simple words: For part (i), we prove similarity using AA criterion because both triangles have a right angle and share a common angle A. For part (ii), since the triangles are similar, their corresponding sides are proportional, directly leading to the desired ratio.

🎯 Exam Tip: When triangles share a common vertex and are right-angled, the AA similarity criterion is usually the quickest way to prove similarity. Once similarity is established, remember that the ratios of corresponding sides are equal, which helps derive proportional relationships.

 

Question. 10. CD और GH क्रमश: \(\angle\)ACB और \(\angle\)EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: \(\triangle\)ABC और \(\triangle\)FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)FEG है, तो दर्शाइए कि :
(i) \(\frac { CD }{ GH }\) = \(\frac { AC }{ FG }\)
(ii) \(\triangle\)DCB ~ \(\triangle\)HGE
(iii) \(\triangle\)DCA ~ \(\triangle\)HGF

Answer: हलः ज्ञात हैः दो समरूप त्रिभुजें \(\triangle\)ABC और \(\triangle\)FEG इस प्रकार है कि:
\(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)FEG
CD, \(\angle\)ACB का समद्विभाजक है और GH, \(\angle\)EGF का समद्विभाजक है।

चूंकि \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)FEG, इसलिए इनके संगत कोण बराबर होंगे और संगत भुजाएँ समानुपाती होंगी।
\(\angle\)A = \(\angle\)F
\(\angle\)B = \(\angle\)E
\(\angle\)C = \(\angle\)G \(\implies\) \(\angle\)ACB = \(\angle\)FGE ...(1)
\(\frac { AB }{ FE }\) = \(\frac { BC }{ EG }\) = \(\frac { AC }{ FG }\) ...(2)

चूंकि CD और GH कोण समद्विभाजक हैं, तो:
\(\angle\)ACD = \(\angle\)DCB = \(\frac { 1 }{ 2 }\)\(\angle\)ACB ...(3)
\(\angle\)FGH = \(\angle\)HGE = \(\frac { 1 }{ 2 }\)\(\angle\)FGE ...(4)
समीकरण (1), (3) और (4) से, हमें प्राप्त होता है:
\(\frac { 1 }{ 2 }\)\(\angle\)ACB = \(\frac { 1 }{ 2 }\)\(\angle\)FGE
\(\angle\)ACD = \(\angle\)FGH और \(\angle\)DCB = \(\angle\)HGE ...(5)

(i) \(\triangle\)ACD और \(\triangle\)FGH में,
\(\angle\)A = \(\angle\)F (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)
\(\angle\)ACD = \(\angle\)FGH (समीकरण (5) से)
अतः, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी से,
\(\triangle\)ACD ~ \(\triangle\)FGH है।
चूंकि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं, तो:
\(\frac { CD }{ GH }\) = \(\frac { AC }{ FG }\) = \(\frac { AD }{ FH }\)

(ii) \(\triangle\)DCB और \(\triangle\)HGE में,
\(\angle\)B = \(\angle\)E (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)
\(\angle\)DCB = \(\angle\)HGE (समीकरण (5) से)
अतः, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी से,
\(\triangle\)DCB ~ \(\triangle\)HGE है।

(iii) \(\triangle\)DCA और \(\triangle\)HGF में,
\(\angle\)DAC = \(\angle\)HFG (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण, \(\angle\)A = \(\angle\)F)
\(\angle\)DCA = \(\angle\)HGF (समीकरण (5) से)
अतः, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी से,
\(\triangle\)DCA ~ \(\triangle\)HGF है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में दो समरूप त्रिभुज ABC और FEG दिखाए गए हैं। CD त्रिभुज ABC के कोण C का समद्विभाजक है, जिसका अर्थ है कि यह कोण ACB को दो बराबर भागों (ACD और DCB) में बांटता है, और बिंदु D भुजा AB पर स्थित है। इसी तरह, GH त्रिभुज FEG के कोण G का समद्विभाजक है, जो कोण EGF को दो बराबर भागों (FGH और HGE) में बांटता है, और बिंदु H भुजा FE पर स्थित है।
In simple words: Given that \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)FEG, their corresponding angles are equal, and sides are proportional. Since CD and GH are angle bisectors, they divide the equal angles C and G into equal halves. Using these angle equalities (\(\angle\)A=\(\angle\)F, \(\angle\)ACD=\(\angle\)FGH for (i); \(\angle\)B=\(\angle\)E, \(\angle\)DCB=\(\angle\)HGE for (ii); \(\angle\)A=\(\angle\)F, \(\angle\)DCA=\(\angle\)HGF for (iii)), we apply the AA similarity criterion to prove the similarity of the respective triangle pairs. For (i), similarity leads to the proportionality of sides.

🎯 Exam Tip: The core idea is that if two triangles are similar, their corresponding angles are equal. When angle bisectors are involved in similar triangles, they divide the corresponding angles into equal halves, which is crucial for applying the AA similarity criterion to the smaller triangles formed by the bisectors. Remember to explicitly state which angles are equal due to similarity and which due to angle bisection.

 

Question. 11. आकृति में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है| यदि AD \(\perp\) BC और EF \(\perp\) AC है तो सिद्ध कीजिए कि \(\triangle\)ABD ~ \(\triangle\)ECF है|

Answer: हलः हमें प्राप्त है। एक समद्विबाहु \(\triangle\)ABC जिसमें AB = AC है।
चूंकि एक समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं, तो:
\(\angle\)ABC = \(\angle\)ACB ...(1)
दिया गया है कि AD \(\perp\) BC। इसलिए, \(\angle\)ADB = 90°।
दिया गया है कि EF \(\perp\) AC। इसलिए, \(\angle\)EFC = 90°।

अब, \(\triangle\)ABD और \(\triangle\)ECF में,
\(\angle\)ADB = \(\angle\)EFC (प्रत्येक 90° है)
\(\angle\)ABD = \(\angle\)ECF (समीकरण (1) से, क्योंकि \(\angle\)ABC = \(\angle\)ACB, और \(\angle\)ABD, \(\angle\)ABC का एक हिस्सा है, \(\angle\)ECF, \(\angle\)ACB का एक हिस्सा है, लेकिन E, CB की बढ़ाई गई भुजा पर है, तो \(\angle\)ECF = \(\angle\)ACB, जबकि \(\angle\)ABD = \(\angle\)ABC होता है।)
तो, \(\angle\)ABD = \(\angle\)ECF
अतः, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी से,
\(\triangle\)ABD ~ \(\triangle\)ECF है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC दिखाया गया है, जहाँ AB = AC है। भुजा CB को आगे E बिंदु तक बढ़ाया गया है। शीर्ष A से भुजा BC पर एक शीर्षलंब AD खींचा गया है, जिसका अर्थ है AD \(\perp\) BC। इसी तरह, बिंदु E से भुजा AC पर एक शीर्षलंब EF खींचा गया है, जिसका अर्थ है EF \(\perp\) AC।
In simple words: In an isosceles triangle ABC with AB=AC, angles opposite to equal sides are equal, so \(\angle\)ABC = \(\angle\)ACB. Given AD \(\perp\) BC and EF \(\perp\) AC, we have two right angles: \(\angle\)ADB = 90° and \(\angle\)EFC = 90°. Comparing \(\triangle\)ABD and \(\triangle\)ECF, we find both have a 90° angle, and \(\angle\)ABD = \(\angle\)ECF (\(\angle\)ABC = \(\angle\)ACB), thus proving similarity by AA criterion.

🎯 Exam Tip: For isosceles triangles, remember that angles opposite equal sides are equal. This is often a crucial angle relationship to establish similarity. Also, recognize that perpendiculars (altitudes) always create 90-degree angles, which are key for the AA similarity criterion.

 

Question. 12. एक त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति)| दर्शाइए कि \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)PQR है|

Answer: हलः हमें ज्ञात है कि \(\triangle\)ABC और \(\triangle\)PQR में भुजाओं AB और BC तथा माध्यिका AD और PM के बीच निम्न संबंध है:
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { BC }{ QR }\) = \(\frac { AD }{ PM }\) (ज्ञात है) ...(1)

चूंकि AD \(\triangle\)ABC की माध्यिका है, वह BC को दो बराबर भागों में बांटती है, तो BD = CD = \(\frac { 1 }{ 2 }\)BC।
चूंकि PM \(\triangle\)PQR की माध्यिका है, वह QR को दो बराबर भागों में बांटती है, तो QM = RM = \(\frac { 1 }{ 2 }\)QR।

समीकरण (1) से, हम लिख सकते हैं:
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { \frac { 1 }{ 2 }BC }{ \frac { 1 }{ 2 }QR }\) = \(\frac { AD }{ PM }\)
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { BD }{ QM }\) = \(\frac { AD }{ PM }\)

अब, \(\triangle\)ABD और \(\triangle\)PQM में,
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { BD }{ QM }\) = \(\frac { AD }{ PM }\) (ऊपर सिद्ध किया गया है)
अतः, SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी से,
\(\triangle\)ABD ~ \(\triangle\)PQM है।

चूंकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण समान होते हैं,
\(\angle\)ABD = \(\angle\)PQM
या, \(\angle\)ABC = \(\angle\)PQR ...(2)

अब, \(\triangle\)ABC और \(\triangle\)PQR में,
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { BC }{ QR }\) (ज्ञात है, समीकरण (1) से)
\(\angle\)ABC = \(\angle\)PQR (ऊपर सिद्ध किया गया है, समीकरण (2) से)
अतः, SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी से,
\(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)PQR है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में दो त्रिभुज, ABC और PQR, दिखाए गए हैं। AD त्रिभुज ABC की माध्यिका है, जो भुजा BC को बिंदु D पर समद्विभाजित करती है। PM त्रिभुज PQR की माध्यिका है, जो भुजा QR को बिंदु M पर समद्विभाजित करती है। प्रश्न में यह दिया गया है कि भुजाओं AB, BC और माध्यिका AD का अनुपात क्रमशः भुजाओं PQ, QR और माध्यिका PM के अनुपात के समान है।
In simple words: We are given that two sides and a median of one triangle are proportional to two sides and a median of another. First, we use the SSS similarity criterion to show that the smaller triangles (\(\triangle\)ABD and \(\triangle\)PQM) are similar. This establishes that their corresponding angles are equal, specifically \(\angle\)ABC = \(\angle\)PQR. Then, using this angle and the initially given proportional sides (\(\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}\)), we apply the SAS similarity criterion to prove that the larger triangles (\(\triangle\)ABC and \(\triangle\)PQR) are similar.

🎯 Exam Tip: This problem is a classic application of combined similarity criteria. The key steps are: 1) using the median definition to establish proportionality for smaller triangles, 2) proving the similarity of smaller triangles using SSS, 3) using the resulting equal angles from similar smaller triangles to prove similarity of larger triangles using SAS.

 

Question. 13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि \(\angle\)ADC = \(\angle\)BAC है | दर्शाइए कि CA² = CB.CD है|

Answer: हलः हमें ज्ञात है: \(\triangle\)ABC जिसकी भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि \(\angle\)ADC = \(\angle\)BAC है।

अब, \(\triangle\)ABC और \(\triangle\)DAC में,
\(\angle\)BAC = \(\angle\)ADC (ज्ञात है)
\(\angle\)BCA = \(\angle\)DCA (उभयनिष्ठ कोण C)
अतः, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,
\(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)DAC है।

चूंकि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं, तो:
\(\frac { CB }{ CA }\) = \(\frac { CA }{ CD }\) = \(\frac { AB }{ DA }\)
पहले दो अनुपातों का उपयोग करने पर:
\(\frac { CB }{ CA }\) = \(\frac { CA }{ CD }\)
वज्रगुणन (cross-multiplication) करने पर:
CA \(\times\) CA = CB \(\times\) CD
CA² = CB.CD

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक त्रिभुज ABC है। भुजा BC पर एक बिंदु D स्थित है। बिंदु D, B और C के बीच में है। रेखाखंड AD खींचा गया है, जो एक आंतरिक रेखाखंड बनाता है। प्रश्न में यह विशेष शर्त दी गई है कि कोण ADC (बिंदु D पर बनने वाला कोण) त्रिभुज ABC के शीर्ष कोण BAC के बराबर है।
In simple words: Given an angle equality (\(\angle\)BAC = \(\angle\)ADC) and a common angle (\(\angle\)C) between \(\triangle\)ABC and \(\triangle\)DAC, we use the AA similarity criterion to prove \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)DAC. Since corresponding sides of similar triangles are proportional, we set up the ratio \(\frac{CB}{CA} = \frac{CA}{CD}\) and cross-multiply to get the desired result: CA² = CB.CD.

🎯 Exam Tip: When a point on a side of a triangle creates a smaller triangle with an angle equal to a vertex angle of the larger triangle, always look for the common angle. The AA similarity criterion is usually the most straightforward path to proving similarity, which then allows for side proportionality.

 

Question. 14. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)PQR है।

Answer: हलः दो त्रिभुजों ABC और PQR में,
AD और PM क्रमशः भुजाओं BC और QR के संगत माध्यिकाएँ हैं।
हमें दिया गया है कि भुजाएँ और माध्यिकाएँ समानुपाती हैं:
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { AC }{ PR }\) = \(\frac { AD }{ PM }\) ...(1)

अब, \(\triangle\)ABD और \(\triangle\)PQM में,
हम \(\triangle\)ABC में भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार लेते हैं कि AD माध्यिका है।
इसी तरह, \(\triangle\)PQR में भुजा QR पर एक बिंदु M इस प्रकार लेते हैं कि PM माध्यिका है।

हमने समीकरण (1) में दिया गया है:
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { AD }{ PM }\)
हम एक निर्माण करते हैं: AD को E तक इस प्रकार बढ़ाते हैं कि AD = DE। और CE को मिलाते हैं।
इसी तरह, PM को N तक इस प्रकार बढ़ाते हैं कि PM = MN। और RN को मिलाते हैं।

\(\triangle\)ABD और \(\triangle\)EDC में, (यहां प्रश्न में एक निर्माण की आवश्यकता है, लेकिन बिना निर्माण के भी हल किया जा सकता है। हम सिर्फ दिए गए अनुपातों का उपयोग करेंगे।)

\(\triangle\)ABD और \(\triangle\)PQM में,
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { AD }{ PM }\) (ज्ञात है)

अब, \(\triangle\)ABC और \(\triangle\)PQR में,
हमें दिया गया है:
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { AC }{ PR }\) = \(\frac { AD }{ PM }\)
यह सिद्ध करने के लिए कि \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)PQR है, हमें या तो एक कोण बराबर सिद्ध करना होगा (जैसे \(\angle\)A = \(\angle\)P) या तीसरी भुजा का अनुपात भी समान सिद्ध करना होगा (\(\frac{BC}{QR}\))।

यह प्रश्न थोड़ा भ्रामक है क्योंकि यह \(\frac{BC}{QR}\) के बारे में कोई जानकारी नहीं देता है। आमतौर पर, माध्यिकाएँ भुजाओं को आधा करती हैं, इसलिए \(\frac{AD}{PM}\) = \(\frac{BC}{QR}\) का संबंध होना चाहिए।

यदि हम यह मान लें कि अनुपात \(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { AC }{ PR }\) = \(\frac { BC }{ QR }\) दिया गया है (जैसा कि यह एक SSS समरूपता समस्या का रूप ले सकता है, या SAS समरूपता के लिए कोण A = कोण P)।

मान लीजिए कि हम \(\triangle\)ABE और \(\triangle\)PQM को सिद्ध करने के लिए SSS का उपयोग करते हैं (जैसे प्रश्न 12 में)।
हमें प्राप्त है:
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { AD }{ PM }\)
\(\frac { AC }{ PR }\) = \(\frac { AD }{ PM }\)

एक विशिष्ट प्रमेय है: यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और माध्यिका दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और माध्यिका के समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। इस प्रमेय को सीधे लागू किया जा सकता है।

इस प्रमेय के अनुसार, चूंकि भुजा AB और AC तथा माध्यिका AD, भुजा PQ और PR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं,
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { AC }{ PR }\) = \(\frac { AD }{ PM }\)

अतः, \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)PQR है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो त्रिभुजों, ABC और PQR को दर्शाता है। AD त्रिभुज ABC की माध्यिका है, जो भुजा BC को दो बराबर भागों में बांटती है। PM त्रिभुज PQR की माध्यिका है, जो भुजा QR को दो बराबर भागों में बांटती है। यह दिया गया है कि भुजाएँ AB, AC और माध्यिका AD क्रमशः भुजाएँ PQ, PR और माध्यिका PM के समानुपाती हैं।
In simple words: This problem asks to prove the similarity of two triangles where two sides and the included median are proportional. A direct theorem states that if two sides and a median of one triangle are proportional to two sides and a median of another, then the triangles are similar. Applying this theorem directly to the given proportionality of AB/PQ = AC/PR = AD/PM, we conclude that \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)PQR.

🎯 Exam Tip: This problem can be solved by recalling a specific theorem about proportionality involving two sides and a median. If this theorem isn't explicitly known, it typically involves a construction (like extending the median) to create congruent triangles and then using SSS or SAS similarity for the main triangles. However, citing the direct theorem is sufficient if allowed.

 

Question. 15. लंबाई 6m वाले एक उध्वार्धर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लंबाई 4m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

Answer: हलः माना समकोण \(\triangle\)ABC में, स्तंभ की ऊँचाई AB और उसकी छाया की लंबाई BC है।
AB = 6 मी. (स्तंभ की ऊँचाई)
BC = 4 मी. (छाया की लंबाई)

दूसरी ओर, माना समकोण \(\triangle\)DEF में, मीनार की ऊँचाई DE और उसकी छाया की लंबाई EF है।
DE = h (मीनार की ऊँचाई, जिसे ज्ञात करना है)
EF = 28 मी. (छाया की लंबाई)

चूंकि स्तंभ और मीनार एक ही समय पर स्थित हैं, सूर्य का उन्नयन कोण दोनों के लिए समान होगा। इसलिए, उनके द्वारा बनाई गई त्रिभुजें समरूप होंगी।
\(\triangle\)ABC और \(\triangle\)DEF में,
\(\angle\)B = \(\angle\)E = 90° (स्तंभ और मीनार ऊर्ध्वाधर हैं, छाया क्षैतिज होती है)
\(\angle\)A = \(\angle\)D (सूर्य का उन्नयन कोण समान होने के कारण)
अतः, AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी द्वारा,
\(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)DEF है।

चूंकि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं,
\(\frac { AB }{ DE }\) = \(\frac { BC }{ EF }\)
मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
\(\frac { 6 }{ h }\) = \(\frac { 4 }{ 28 }\)
वज्रगुणन करने पर:
4 \(\times\) h = 6 \(\times\) 28
4h = 168
h = \(\frac { 168 }{ 4 }\)
h = 42 मी.

इस प्रकार, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 42 मी. है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में दो समकोण त्रिभुज दिखाए गए हैं। पहला त्रिभुज एक 6 मीटर ऊंचे स्तंभ और उसकी 4 मीटर लंबी छाया को दर्शाता है। दूसरा त्रिभुज एक अज्ञात ऊंचाई 'h' वाली मीनार और उसकी 28 मीटर लंबी छाया को दर्शाता है। दोनों ही मामलों में, स्तंभ/मीनार जमीन पर लंबवत खड़े हैं, और छाया जमीन पर है, जिससे समकोण त्रिभुज बनते हैं।
In simple words: At the same time, the angle of elevation of the sun is constant, meaning any vertical object and its shadow form similar triangles. We set up a proportion using the height and shadow length of the pole (6m height, 4m shadow) and the unknown height of the tower (h) with its shadow (28m). Solving the proportion \(\frac{6}{4} = \frac{h}{28}\) gives the tower's height as 42m.

🎯 Exam Tip: This is a common application of triangle similarity. Remember that at the same time of day, all objects cast shadows such that the triangles formed by the object, its shadow, and the sun's rays are similar. This allows you to set up a direct proportion between heights and shadow lengths.

 

Question. 16. AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)PQR है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { AD }{ PM }\) है|

Answer: हलः हमें प्राप्त है: \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)PQR
AD और PM क्रमशः भुजाओं BC और QR की माध्यिकाएँ हैं।

चूंकि \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)PQR है, तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होंगी और संगत कोण बराबर होंगे।
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { BC }{ QR }\) = \(\frac { AC }{ PR }\) ...(1)
\(\angle\)A = \(\angle\)P, \(\angle\)B = \(\angle\)Q और \(\angle\)C = \(\angle\)R ...(2)

चूंकि AD \(\triangle\)ABC की माध्यिका है, तो D भुजा BC का मध्यबिंदु है।
इसलिए, BC = 2BD।
चूंकि PM \(\triangle\)PQR की माध्यिका है, तो M भुजा QR का मध्यबिंदु है।
इसलिए, QR = 2QM।

समीकरण (1) में BC और QR के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { 2BD }{ 2QM }\)
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { BD }{ QM }\) ...(3)

अब, \(\triangle\)ABD और \(\triangle\)PQM में,
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { BD }{ QM }\) (समीकरण (3) से)
\(\angle\)ABD = \(\angle\)PQM (समीकरण (2) से, क्योंकि \(\angle\)B = \(\angle\)Q)
अतः, SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी से,
\(\triangle\)ABD ~ \(\triangle\)PQM है।

चूंकि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं, तो:
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { BD }{ QM }\) = \(\frac { AD }{ PM }\)
वांछित परिणाम के लिए पहले और तीसरे अनुपात का उपयोग करने पर:
\(\frac { AB }{ PQ }\) = \(\frac { AD }{ PM }\)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में दो समरूप त्रिभुज, ABC और PQR, दिखाए गए हैं। AD त्रिभुज ABC की माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि D भुजा BC का मध्यबिंदु है। PM त्रिभुज PQR की माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि M भुजा QR का मध्यबिंदु है। हमें यह सिद्ध करना है कि त्रिभुज की भुजाओं AB और PQ का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं AD और PM के अनुपात के बराबर है।
In simple words: Given that \(\triangle\)ABC ~ \(\triangle\)PQR, we know their corresponding sides are proportional (\(\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}\)) and angles are equal (\(\angle\)B = \(\angle\)Q). Since AD and PM are medians, they bisect BC and QR, respectively. We substitute BC=2BD and QR=2QM into the proportionality, getting \(\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}\). Now, by using SAS similarity for \(\triangle\)ABD and \(\triangle\)PQM (with \(\angle\)B = \(\angle\)Q and the proportional sides), we prove their similarity, which means \(\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}\).

🎯 Exam Tip: This is a fundamental theorem. When dealing with medians in similar triangles, remember that medians divide the base into two equal halves. This property helps establish side proportionality for the smaller triangles formed by the medians, which is crucial for applying the SAS similarity criterion to those smaller triangles and deriving the final ratio.

 

Question 3. आकृति में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं। यदि AD, BC कोप O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए की ar(ABC)/ar(DBC) = AO/DO है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC और एक त्रिभुज DBC दिखाता है जो एक ही आधार BC पर बने हैं। एक रेखाखंड AD, जो त्रिभुज ABC के शीर्ष A से आधार BC पर बिंदु D तक है, आधार BC को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करता है। त्रिभुजों के अंदर से एक लंब AE और DF आधार BC पर खींचे गए हैं।
Answer: हलः हमें प्राप्त है: △ ABC और △ DBC एक आधार BC पर स्थित हैं। BC और AD, बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। AE \( \perp \) BC और DF \( \perp \) BC खींचो। अब, AOE में \( \angle \)AEO = 90° और A DOF में, \( \angle \) DFO = 90°
\( \implies \) \( \angle \)AEO = \( \angle \) DFO ...(1) तथा \( \angle \)AOE = \( \angle \) DOF [शीर्षाभिमुख कोण] ...(2) (1) और (2) से, ∆AOE ~ A DOF
इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।
In simple words: This question asks us to prove that the ratio of the areas of two triangles (ABC and DBC) sharing the same base (BC) is equal to the ratio of the segments (AO and DO) formed by the intersection of their altitudes with the line connecting their vertices. We use properties of similar triangles formed by the altitudes to establish the ratio of altitudes, which then relates to the ratio of areas.

🎯 Exam Tip: Understanding how to apply similarity criteria (like AAA) to prove ratios involving altitudes and areas is crucial. Clearly drawing and labeling auxiliary lines (altitudes in this case) is key to solving such problems.

 

Answer:
\( \implies \frac{AE}{DF} = \frac{AO}{DO} \) ...(3)
अब, ar (ABC) = \( \frac{1}{2} \) \( \times \) BC \( \times \) AE
ar(DBC) = \( \frac{1}{2} \) \( \times \) BC \( \times \) DF
\( \therefore \frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle DBC)} = \frac{\frac{1}{2} \times BC \times AE}{\frac{1}{2} \times BC \times DF} = \frac{AE}{DF} \) ...(4)
(3) और (4) से \( \frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle DBC)} = \frac{AO}{DO} \)
In simple words: We extend the previous step by calculating the areas of the triangles ABC and DBC using the formula: Area = (1/2) * base * height. Since they share the same base BC, the ratio of their areas simplifies to the ratio of their altitudes (AE/DF), which we already proved is equal to AO/DO from similar triangles.

🎯 Exam Tip: Remember the area formula for a triangle, especially when the base is common. Connecting ratios from similar triangles to area ratios is a common technique in geometry problems.

 

Question 4. यदि दो समरूप तत्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
Answer: हलः हमें प्राप्त है: △ABC ~ A DEF तथा ar(A ABC) = ar(A DEF)
चूंकि, समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
\( \therefore \frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle DEF)} = (\frac{AB}{DE})^2 = (\frac{BC}{EF})^2 = (\frac{AC}{DF})^2 \)
परन्तु ar(∆ABC) = ar(A DEF) [ज्ञात है]
In simple words: This problem asks us to prove that if two similar triangles have equal areas, then they must also be congruent. We will use the property that the ratio of the areas of similar triangles is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.

🎯 Exam Tip: This is a fundamental theorem. Clearly stating the given conditions (similarity and equal areas) and the property of area ratios for similar triangles is essential. The goal is to show that corresponding sides are equal, leading to congruence.

 

Answer:
\( \implies \frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle DEF)} = 1 \)
\( \implies (\frac{AB}{DE})^2 = (\frac{BC}{EF})^2 = (\frac{AC}{DF})^2 = 1 \)
\( \implies \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = 1 \)
\( \implies \frac{AB}{DE} = 1 \implies AB = DE \)
\( \implies \frac{BC}{EF} = 1 \implies BC = EF \)
\( \implies \frac{AC}{DF} = 1 \implies AC = DF \)
अर्थात △ABC और A DEF की संगत भुजाएँ समान हैं।
\( \implies \) ∆ABC \( \cong \) A DEF
[AAA सर्वांगसमता की कसौटी से]
In simple words: Since the ratio of the areas is 1, it means the square of the ratio of corresponding sides is 1. Taking the square root, we find that the ratio of corresponding sides is also 1, which implies that each pair of corresponding sides are equal in length. Triangles with all three corresponding sides equal are congruent (SSS congruence).

🎯 Exam Tip: The logical flow from equal area ratios to equal side ratios, and then to SSS congruence, is the core of this proof. Make sure to clearly state each implication. The congruence criterion used here is SSS, not AAA, as AAA is for similarity (angles) and here we are proving side equality.

 

Question 5. एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिन्दु क्रमशः D, E और F हैं। त्रिभुज DEF और त्रिभुज ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए |
Answer: हलः हमें प्राप्त है: ∆ABC में भुजाओं AB, AC और BC के मध्य बिन्दु क्रमशः D, E और F हैं। D, F और F को मिलाने पर △DEF बनता है अब, D भुजा AB का मध्य बिंदु है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह त्रिभुज ABC दिखाता है जिसके भुजाओं AB, BC और CA के मध्यबिंदु क्रमशः D, E और F हैं। आंतरिक त्रिभुज DEF इन मध्यबिंदुओं को जोड़कर बनाया गया है।
In simple words: We are given a triangle ABC and the midpoints of its sides (D, E, F). We need to find the ratio of the area of the smaller triangle DEF (formed by joining these midpoints) to the area of the larger triangle ABC.

🎯 Exam Tip: This problem involves the Midpoint Theorem implicitly. Recognizing that the line segment connecting midpoints of two sides is parallel to the third side and half its length is crucial for proving similarity and ultimately finding the area ratio.

 

Answer:
\( \implies \frac{AD}{AB} = \frac{1}{2} \) ...(1)
इसी प्रकार, \( \frac{AE}{AC} = \frac{1}{2} \) ...(2)
(1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है: \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)
थेल्स प्रमेय के विलोम का प्रयोग करके, हम कह सकते हैं कि
DE || BC
\( \implies \angle ADE = \angle ABC \) [ संगत कोण] ...(3)
और \( \angle AED = \angle ACB \) [संगत कोण] ...(4)
(3) और (4) से, हमें प्राप्त होता है:
∆ABC ~ A DEF
[AA समरूपता की कसौटी से]
In simple words: Since D and E are midpoints, AD/AB = 1/2 and AE/AC = 1/2. This implies that AD/AB = AE/AC. By the converse of Thales' Theorem (Midpoint Theorem), DE is parallel to BC. This parallelism leads to corresponding angles being equal (∠ADE = ∠ABC and ∠AED = ∠ACB), thus proving that triangles ADE and ABC are similar by AA criterion. Similarly, we can show similarity for triangle DEF.

🎯 Exam Tip: The Midpoint Theorem (or its converse, Thales' Theorem) is key here. Showing parallel lines allows us to identify corresponding angles, which is a common way to establish similarity between triangles using the AA criterion. Ensure to clearly state the theorem used.

 

Answer:
\( \therefore \frac{ar(\triangle DEF)}{ar(\triangle ABC)} = \frac{(DE)^2}{(BC)^2} = \frac{DE}{BC}^2 \) ...(5)
[ \( \because \) समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के समान होता है]
परन्तु DE, A ABC की भुजाओं AB और AC के क्रमशः मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा है।
\( \therefore DE = \frac{1}{2} BC \) ...(6)
(5) और (6) से हमें प्राप्त होता है:
\( \frac{ar(\triangle DEF)}{ar(\triangle ABC)} = \frac{(\frac{1}{2} BC)^2}{(BC)^2} = \frac{\frac{1}{4} BC^2}{BC^2} = \frac{1}{4} \)
\( \therefore ar(\triangle DEF): ar(\triangle ABC) = 1:4 \)
In simple words: Since triangle DEF is similar to triangle ABC, the ratio of their areas is the square of the ratio of their corresponding sides. By the Midpoint Theorem, the side DE is half the length of BC (DE = 1/2 BC). Substituting this into the area ratio, we find that the area of triangle DEF is (1/2)^2 = 1/4 of the area of triangle ABC. So the ratio is 1:4.

🎯 Exam Tip: Clearly state the relationship between the areas of similar triangles and the ratio of their sides. The Midpoint Theorem (DE = 1/2 BC) is critical. Showing the step-by-step substitution and simplification will earn full marks.

 

Question 6. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
Answer: हलः हमें प्राप्त है: ∆ABC और △DEF इस प्रकार है कि ∆ABC ~ ADEF
तथा AM और DN क्रमशः भुजाओं BC और EF' के संगत माध्यिकाएँ हैं।
चूंकि ∆ABC ~ ADEF
इनके क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के समान होगी।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह दो समरूप त्रिभुज, ABC और DEF, को दर्शाता है। AM त्रिभुज ABC की माध्यिका है जो BC को दो बराबर भागों में बांटती है। DN त्रिभुज DEF की माध्यिका है जो EF को दो बराबर भागों में बांटती है।
In simple words: This question asks us to prove that for any two similar triangles, the ratio of their areas is equal to the square of the ratio of their corresponding medians. We will use the properties of similar triangles and the fact that a median divides the base into two equal parts.

🎯 Exam Tip: This is an important theorem. To prove it, first state the property of the ratio of areas of similar triangles. Then, use the similarity of the main triangles to show that smaller triangles formed by the medians are also similar, which will allow you to relate sides and medians.

 

Answer:
\( \therefore \frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle DEF)} = (\frac{AB}{DE})^2 \) ...(1)
तथा \( \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} \) ...(2)
\( \therefore \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} \)
\( \implies \frac{AB}{DE} = \frac{2BM}{2EN} = \frac{BM}{EN} \) ...(3)
△ ABM और △ DEN, में हमें प्राप्त है:
\( \frac{AB}{DE} = \frac{BM}{EN} \) [(3) से]
\( \angle B = \angle E \) [समरूप के संगत कोण]
In simple words: We start by stating the known property that the ratio of areas of similar triangles is the square of the ratio of their corresponding sides. Also, corresponding sides are proportional. Since AM and DN are medians, they bisect BC and EF respectively. This allows us to write BC as 2BM and EF as 2EN, leading to AB/DE = BM/EN. Combined with the equality of angles ∠B and ∠E (from overall triangle similarity), we establish similarity between triangles ABM and DEN.

🎯 Exam Tip: Correctly identifying that medians bisect sides (BC = 2BM, EF = 2EN) is a key step. Using this to establish the ratio of sides involving medians (AB/DE = BM/EN) is crucial for proving the similarity of the smaller triangles (ABM and DEN) by the SAS criterion.

 

Answer:
\( \therefore \) SSS समरूपता कसौटी से
∆ABM ~ A DEN
\( \implies \) इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।
\( \therefore \frac{AB}{DE} = \frac{BM}{EN} = \frac{AM}{DN} \) ...(4)
अब (1) और (4) से हमें प्राप्त होता है
\( \frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle DEF)} = (\frac{AM}{DN})^2 \)
In simple words: Since triangles ABM and DEN are similar (proven in the previous step by SAS, not SSS as mentioned in the OCR, which is a slight error; it should be SAS from the previous step which established side ratio and angle equality), their corresponding sides are proportional. This means AM/DN = AB/DE. By substituting this ratio into the initial area ratio (which stated area ratio is (AB/DE)^2), we prove that the ratio of the areas is equal to the square of the ratio of their corresponding medians (AM/DN).

🎯 Exam Tip: Pay close attention to the similarity criterion. While SSS can be derived, SAS is more directly applied in the earlier step. The final substitution linking the median ratio to the area ratio is the concluding step of the proof.

 

Question 7. सिद्ध कीजिए कि दो एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है |
Answer: हलः हमें प्राप्त है कि वर्ग ABCD में विकर्ण AC है।
भुजा BC पर समबाहु ABQC और विकर्ण AC पर समबाहु △APC बनाई गई है।
सभी समबाहु त्रिभुजें समरूप होती हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वर्ग ABCD दर्शाता है। वर्ग की भुजा BC पर एक समबाहु त्रिभुज ABQC बना है, और वर्ग के विकर्ण AC पर एक और समबाहु त्रिभुज APC बना है।
In simple words: We need to prove that if we construct an equilateral triangle on one side of a square and another equilateral triangle on its diagonal, the area of the triangle on the side is half the area of the triangle on the diagonal.

🎯 Exam Tip: Key properties to remember are that all equilateral triangles are similar, and in a square, the diagonal is \( \sqrt{2} \) times the side length. These facts will be crucial for setting up the ratios of sides and areas.

 

Answer:
AAPC ~ ABQC
इनके क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के वर्गों के समान हैं।
i.e., \( \frac{ar(\triangle APC)}{ar(\triangle BQC)} = (\frac{AC}{BC})^2 \) ...(1)
चूंकि एक वर्ग के विकरण की लम्बाई = \( \sqrt{2} \times \) भुजा
\( \therefore AC = \sqrt{2} \times BC \) ...(2)
(1) और (2) से
\( \frac{ar(\triangle APC)}{ar(\triangle BQC)} = (\frac{\sqrt{2} BC}{BC})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \)
\( \implies ar(\triangle BQC) = \frac{1}{2} ar(\triangle APC) \)
In simple words: Since all equilateral triangles are similar, triangle APC and triangle BQC are similar. The ratio of their areas is the square of the ratio of their corresponding sides (AC/BC). For a square, the diagonal AC is \( \sqrt{2} \) times the side BC. Substituting AC = \( \sqrt{2} \) BC into the area ratio, we get ( \( \sqrt{2} \) BC / BC)^2 = ( \( \sqrt{2} \) )^2 = 2. This means the area of triangle APC is twice the area of triangle BQC, or conversely, the area of triangle BQC is half the area of triangle APC.

🎯 Exam Tip: The critical step is correctly relating the diagonal to the side length of the square (\( AC = \sqrt{2} BC \)). This directly leads to the ratio of the areas. Ensure the area ratio property for similar triangles is correctly applied.

 

Question 8. ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कोई भुजद BC का मध्य-बिन्दु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है:
(A) 2:1
(B) 1:2
(C) 4:1
(D) 1:4
Answer: हलः हमें प्राप्त है।
समबाहु ∆ABC में, भुजा BC का मध्यबिंदु D है। DE को इस प्रकार खींचा गया है कि ABDE भी एक समबाहु त्रिभुज है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समबाहु त्रिभुज ABC को दर्शाता है। भुजा BC का मध्यबिंदु D है। एक दूसरा समबाहु त्रिभुज BDE, D को शीर्ष E से जोड़कर बनाया गया है, जहाँ E त्रिभुज ABC के बाहर स्थित है।
In simple words: We have an equilateral triangle ABC. D is the midpoint of BC. Another equilateral triangle BDE is formed. We need to find the ratio of the areas of triangle ABC and triangle BDE.

🎯 Exam Tip: All equilateral triangles are similar. The ratio of their areas is the square of the ratio of their corresponding sides. Identify the relationship between the side lengths of the two triangles. Specifically, D being the midpoint means BD = BC/2.

 

Answer:
चूंकि सभी समबाहु त्रिभुजें समरूप होती हैं।
ДАВС ~ ABDE
इनके क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के समान होता है।
\( \therefore \frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle BDE)} = (\frac{AB}{BD})^2 \) ...(1)
\( \therefore AB = AC = BC \) [समबाहु △ ABC की भुजाएँ]
और \( BD = \frac{1}{2} BC \) [BC का मध्य बिन्दु D है]
\( \implies BC = 2 BD \)
\( \therefore AB = BC \) [AB = BC]
(1) और (2) से,
\( \frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle BDE)} = (\frac{2 BD}{BD})^2 = \frac{2^2}{1^2} = \frac{4}{1} \)
\( \therefore ar(ABC): ar(ABDE) = 4:1 \)
इस प्रकार,
Answer: (C) 4:1
In simple words: Since both triangles are equilateral, they are similar. The ratio of their areas is (side of ABC / side of BDE)^2. Since D is the midpoint of BC, and triangle BDE is equilateral on side BD, its side length BD is half of BC. As ABC is equilateral, AB = BC. So, AB is twice BD. The ratio of sides (AB/BD) is 2. Therefore, the ratio of areas is 2^2 = 4, which means the answer is 4:1.

🎯 Exam Tip: The key is to correctly establish the relationship between the side lengths of the two equilateral triangles. Since D is the midpoint of BC, BD = (1/2)BC. Because △ABC is equilateral, AB = BC. Therefore, AB = 2BD. This ratio of sides (2:1) squared (4:1) gives the area ratio.

 

Question 9. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4 : 9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है :
(A) 2:3
(B) 4:9
(C) 81: 16
(D) 16: 81
Answer: हलः हमें दो समरूप त्रिभुजें इस प्रकार प्राप्त हैं कि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात 4:9 है।
चूंकि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के समान होता है।
In simple words: This is a straightforward application of the theorem that states the ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of their corresponding sides. We are given the ratio of the sides (4:9) and need to find the ratio of the areas.

🎯 Exam Tip: This is a direct application of a core theorem. Ensure you remember that for similar triangles, the area ratio is the *square* of the side ratio. Avoid simply stating the side ratio as the area ratio.

 

Answer:
\( \therefore \frac{क्षे. - (\triangle - I)}{क्षे. - (\triangle - II)} = (\frac{4}{9})^2 = \frac{16}{81} \)
\( \implies \) क्षे. (∆ - I) : क्षे. (II) = 16:81
इस प्रकार,
Answer: (D) 16: 81
In simple words: Given the ratio of sides is 4:9, the ratio of their areas will be the square of this ratio. So, (4/9)^2 = 16/81. Therefore, the ratio of the areas is 16:81.

🎯 Exam Tip: Double-check the order of the ratio. If the side ratio is `a:b`, the area ratio is `a^2:b^2`. A common mistake is to reverse the ratio or not square it correctly.

Exercise 6.5

 

Question 1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
Answer: हलः (i) चूंकि दी गई भुजाएं हैं:
7 सेमी., 24 सेमी. और 25 सेमी.
यहाँ \( (7 \text{ सेमी.})^2 = 49 \text{ सेमी.}^2 \)
\( (24 \text{ सेमी.})^2 = 576 \text{ सेमी.}^2 \)
\( (25 \text{ सेमी.})^2 = 625 \text{ सेमी.}^2 \)
\( \therefore (49+576) \text{ सेमी.}^2 = 625 \text{ सेमी.}^2 \)
\( \therefore \) दी गई त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है
विकर्ण = 25 सेमी.
(ii) यहाँ दी गई \( \triangle \) की भुजाएं हैं:
3 सेमी., 8 सेमी., 6 सेमी.
यहाँ \( (3 \text{ सेमी.})^2 = 9 \text{ सेमी.}^2 \)
\( (8 \text{ सेमी.})^2 = 64 \text{ सेमी.}^2 \)
\( (6 \text{ सेमी.})^2 = 36 \text{ सेमी.}^2 \)
In simple words: To determine if a triangle is a right-angled triangle, we use the converse of the Pythagorean theorem. This theorem states that if the square of the longest side (hypotenuse) is equal to the sum of the squares of the other two sides, then the triangle is right-angled. For each set of given side lengths, we calculate the squares of all three sides and check this condition. If it is a right triangle, the longest side is the hypotenuse.

🎯 Exam Tip: Always identify the longest side first. Calculate the square of the longest side and the sum of the squares of the other two sides. Clearly state whether the Pythagorean condition holds or not. If it holds, state the hypotenuse length.

 

Answer:
\( (9+36) \neq 64 \text{ सेमी.} \)
\( \therefore \) यह एक समकोण त्रिभुज नहीं है।
(iii) दी गई \( \triangle \) की भुजाएं हैं:
50 सेमी., 80 सेमी., 100 सेमी.
यहाँ \( (50 \text{ सेमी.})^2 = 2500 \text{ सेमी.}^2 \)
\( (80 \text{ सेमी.})^2 = 6400 \text{ सेमी.}^2 \)
\( (100 \text{ सेमी.})^2 = 10000 \text{ सेमी.}^2 \)
\( \therefore (2500 + 6400) \text{ सेमी.}^2 \neq 10000 \text{ सेमी.}^2 \)
\( \therefore \) यह एक समकोण त्रिभुज नहीं है।
(iv) चूंकि दी गई \( \triangle \) की भुजाएं हैं:
13 सेमी., 12 सेमी. और 5 सेमी.
यहाँ \( (13 \text{ सेमी.})^2 = 169 \text{ सेमी.}^2 \)
\( (12 \text{ सेमी.})^2 = 144 \text{ सेमी.}^2 \)
\( (5 \text{ सेमी.})^2 = 25 \text{ सेमी.}^2 \)
\( \therefore (144 + 25) \text{ सेमी.}^2 = 169 \text{ सेमी.}^2 \)
दी गई त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है,
विकर्ण = 13 सेमी.
In simple words: We continue applying the converse of the Pythagorean theorem. For (ii) and (iii), the sum of the squares of the two shorter sides does not equal the square of the longest side, so they are not right-angled triangles. For (iv), the sum of the squares of 5 cm and 12 cm (25+144=169) equals the square of 13 cm (169), so it is a right-angled triangle with 13 cm as the hypotenuse.

🎯 Exam Tip: Always clearly state the comparison between \( a^2 + b^2 \) and \( c^2 \). If they are equal, the triangle is right-angled, and c is the hypotenuse. If not, it is not a right triangle. Be meticulous with calculations.

 

Question 2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM \( \perp \) QR है। दर्शाइए कि PM\(^2\) = QM . MR है।
Answer: हल: A QMP और △ QPR में
\( \angle \)QMP = \( \angle \) QPR [प्रत्येक = 90° ]
\( \angle \)Q = \( \angle \)Q [उभयनिष्ठ]
\( \implies \) AQMP ~ A QPR ...(1)
[AA समरूपता कसौटी से]
पुनः △ PMR और △ QPR में,
\( \angle \)PMR = \( \angle \) QPR [प्रत्येक = 90°]
\( \angle \)R = \( \angle \)R [उभयनिष्ठ]
\( \implies \) ARMP ~ AQPR ...(2)
[AA समरूपता कसौटी से]
(1) और (2) से हमें प्राप्त होता है किः
AQMP ~ A PMR
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समकोण त्रिभुज PQR दर्शाता है, जहाँ कोण P समकोण है। शीर्ष P से कर्ण QR पर एक लंब PM खींचा गया है, जो QR को बिंदु M पर प्रतिच्छेद करता है।
In simple words: We are given a right-angled triangle PQR with a right angle at P. A perpendicular PM is drawn from P to the hypotenuse QR. We need to prove that PM squared is equal to the product of QM and MR. This is a classic result derived from the similarity of the sub-triangles formed by the altitude to the hypotenuse.

🎯 Exam Tip: The key insight here is that the altitude drawn to the hypotenuse of a right triangle divides the triangle into two smaller triangles that are similar to the original triangle and to each other. Proving △QMP ~ △PMR is the direct path to the required proportion.

 

Answer:
\( \therefore \) इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।
\( \implies \frac{QM}{PM} = \frac{PM}{RM} \)
\( \implies QM.RM = PM. PM \) [वज्रगुणन से]
\( \implies PM^2 = QM.RM \)
In simple words: Since triangles QMP and PMR are similar, their corresponding sides are proportional. This means the ratio of QM to PM is equal to the ratio of PM to MR. By cross-multiplication, we get PM * PM = QM * MR, which simplifies to PM^2 = QM * MR, thus proving the statement.

🎯 Exam Tip: After establishing similarity, correctly writing the ratio of corresponding sides is crucial. Ensure the terms are paired correctly (e.g., side opposite to angle Q in △QMP corresponds to side opposite to angle P in △PMR). Cross-multiplication then gives the final result directly.

 

Question 3. आकृति 6.53 में ABD एक समकोण त्रिभुज है। जिसका कोण A समकोण है तथा AC \( \perp \) BD है। दर्शाइए कि
(i) AB\(^2\) = BC . BD
(ii) AC\(^2\) = BC . DC
(iii) AD\(^2\) = BD. CD
Answer: हलः (i) आकृति में दर्शाई गई A BAC और A BDA में
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समकोण त्रिभुज ABD को दर्शाता है, जहाँ कोण A समकोण है। शीर्ष A से कर्ण BD पर एक लंब AC खींचा गया है, जो BD को बिंदु C पर प्रतिच्छेद करता है।
In simple words: We are given a right-angled triangle ABD, with the right angle at A. A perpendicular AC is drawn from A to the hypotenuse BD. We need to prove three different relationships involving the squares of the sides and the segments created on the hypotenuse. These proofs rely on the similarity of the sub-triangles formed by the altitude to the hypotenuse.

🎯 Exam Tip: This question is a set of standard results for a right-angled triangle with an altitude to the hypotenuse. Remember that triangle ABC, triangle ACD, and triangle ABD are all similar to each other. Use this similarity to find the required ratios.

 

Answer:
\( \angle \)ACB = \( \angle \)BAD [प्रत्येक 90°]
\( \angle \)B = \( \angle \) B [उभयनिष्ठ]
\( \implies \) ∆BAC ~ ∆BDA
[AA समरूपता कसौटी से]
\( \therefore \) इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।
\( \implies \frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA} \)
\( \implies \frac{AB}{BD} = \frac{BC}{AB} \)
\( \implies AB \times AB = BC \times BD \) [वज्रगुणन से]
\( \implies AB^2 = BC. BD \)
(ii) आकृति में दर्शाई गई △ ACB और A DCA में,
In simple words: For part (i), we show that triangle BAC is similar to triangle BDA by the AA similarity criterion (both have a right angle and share angle B). Since they are similar, their corresponding sides are proportional. Setting up the proportion AB/DB = BC/BA and then cross-multiplying gives us AB^2 = BC * BD.

🎯 Exam Tip: When proving similarity, always identify common angles and right angles clearly. Correctly matching corresponding sides in the proportion (e.g., side opposite to angle B in one triangle corresponds to side opposite to angle B in the other) is critical for setting up the correct equation.

 

Answer:
\( \angle \)ACB = \( \angle \)DCA [प्रत्येक 90°]
\( \angle \)C = \( \angle \)C [उभयनिष्ठ]
\( \therefore \) AA समरूपता कसौटी से,
∆ACB ~ ∆DCA
\( \therefore \) इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।
\( \frac{AC}{DC} = \frac{BC}{AC} \)
\( \implies AC \times AC = BC \times CD \) [वज्रगुणन से]
\( \implies AC^2 = BC. DC \)
In simple words: For part (ii), we show that triangle ACB is similar to triangle DCA by the AA similarity criterion (both have a right angle and share angle C). Since they are similar, their corresponding sides are proportional. Setting up the proportion AC/DC = BC/AC and then cross-multiplying gives us AC^2 = BC * DC.

🎯 Exam Tip: Ensure that the vertices of the similar triangles are listed in the correct order to accurately identify corresponding angles and sides. This prevents errors when setting up the proportion for cross-multiplication.

 

Answer: (iii) आकृति में दर्शाई गई △ ADB और A CDA में,
\( \therefore \angle \)D = \( \angle \)D [उभयनिष्ठ]
\( \angle \)DAB = \( \angle \)DCA [प्रत्येक = 90° ]
AA समरूपता कसौटी से,
AADB ~ ∆CDA
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समकोण त्रिभुज ABD को दर्शाता है, जहाँ कोण A समकोण है। शीर्ष A से कर्ण BD पर एक लंब AC खींचा गया है, जो BD को बिंदु C पर प्रतिच्छेद करता है।
\( \therefore \) इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।
\( \frac{AD}{CD} = \frac{BD}{AD} \)
वज्रगुणन से, हमें प्राप्त होता है:
\( AD \times AD = BD \times CD \)
\( AD^2 = BD.CD \)
In simple words: For part (iii), we show that triangle ADB is similar to triangle CDA by the AA similarity criterion (both share angle D and have a right angle). Since they are similar, their corresponding sides are proportional. Setting up the proportion AD/CD = BD/AD and then cross-multiplying gives us AD^2 = BD * CD.

🎯 Exam Tip: Pay careful attention to the common angle and the right angles when establishing similarity. This setup of `altitude^2 = (segment 1) * (segment 2)` is a standard geometric mean theorem in right triangles. Confirming the corresponding sides for the ratio is vital.

 

Question 4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB\(^2\) = 2AC\(^2\) है|
Answer: हलः चूंकि समकोण त्रिभुज ABC में,
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जहाँ कोण C समकोण है। भुजाएं AC और BC बराबर हैं।
In simple words: We are given an isosceles right-angled triangle ABC, where the right angle is at C. We need to prove that the square of the hypotenuse (AB^2) is equal to twice the square of one of the equal sides (2AC^2).

🎯 Exam Tip: For an isosceles right-angled triangle, the two shorter sides are equal. Use the Pythagorean theorem directly and substitute the equality of sides (AC=BC) to simplify the expression and arrive at the desired result.

 

Answer:
\( \angle \)C = 90° और AC = BC
अब, पाइथागोरस प्रमेय से,
\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)
\( = AC^2 + AC^2 \) [ \( \because AB = AC \) (दिया है)]
\( = 2 AC^2 \)
इस प्रकार, \( AB^2 = 2 AC^2 \)
In simple words: Since triangle ABC is a right-angled triangle at C, we can apply the Pythagorean theorem: AB^2 = AC^2 + BC^2. Given that it's an isosceles triangle with the right angle at C, AC must be equal to BC. Substituting BC = AC into the Pythagorean equation gives AB^2 = AC^2 + AC^2, which simplifies to AB^2 = 2AC^2.

🎯 Exam Tip: The key steps are: 1. State the Pythagorean theorem. 2. Identify the equal sides in the isosceles right-angled triangle (AC = BC). 3. Substitute one side for the other in the theorem. 4. Simplify the expression.

 

Question 5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है| यदि AB\(^2\) = 2AC\(^2\) है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।
Answer: हलः हमें दी गई एक △ ABC जिसमें
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC को दर्शाता है जहाँ भुजाएं AC और BC बराबर हैं।
In simple words: We are given an isosceles triangle ABC with AC = BC. We are also given the relationship AB^2 = 2AC^2. We need to prove that triangle ABC is a right-angled triangle. This is the converse of the Pythagorean theorem.

🎯 Exam Tip: To prove a triangle is right-angled, use the converse of the Pythagorean theorem. The goal is to show that the square of one side equals the sum of the squares of the other two sides. Manipulate the given equation (AB^2 = 2AC^2) using the isosceles property (AC=BC).

 

Question 6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः हमें प्राप्त है कि
\( \triangle \) ABC समबाहु है जिसमें \( \text{AB} = \text{AC} = \text{CA} = 2\text{a} \)
CD \( \perp \) AB खींचो। अर्थात् AB के संगत CD शीर्षलम्ब है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक समबाहु त्रिभुज ABC दिखाया गया है जिसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई 2a है। बिंदु D भुजा AB पर स्थित है, और CD त्रिभुज का शीर्षलंब है जो C से AB पर लंब है। शीर्षलंब CD, भुजा AB को D पर समद्विभाजित करता है।

अब, \( \triangle \) ACD और \( \triangle \) BCD में
\( \therefore \)
\( \text{AC} = \text{BC} \)
\( \text{CD} = \text{CD} \)
\( \angle \text{ADC} = \angle \text{BDC} \)
\( \triangle \text{ACD} \cong \triangle \text{BCD} \)
\( \therefore \) इनके संगत भाग समान हैं।

\( \implies \text{AD} = \text{BD} \)
अर्थात् D, भुजा AB का मध्यबिन्दु है

\( \implies \text{AD} = \frac{1}{2} \text{AB} = \frac{1}{2} (2\text{a}) = \text{a} \)
पुनः समकोण \( \triangle \) ADC में
\( \text{AC}^2 = \text{AD}^2 + \text{CD}^2 \)

\( \implies \text{CD}^2 = \text{AC}^2 - \text{AD}^2 \)
\( = (2\text{a})^2 - (\text{a})^2 \)
\( = 4\text{a}^2 - \text{a}^2 = 3\text{a}^2 \)
\( \therefore \)
\( \text{CD} = \sqrt{3\text{a}^2} = \sqrt{3}\text{a} \)
या
\( \text{a}\sqrt{3} \)
इसी प्रकार, अन्य भुजाओं का शीर्षलम्ब भी \( \text{a}\sqrt{3} \) होगा।
[समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा समान होती है।]
In simple words: हमने एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया है। हमने भुजा को 2a मानकर, शीर्षलंब को \(a\sqrt{3}\) के रूप में निकाला है।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज के शीर्षलंब की लंबाई के सूत्र को याद रखना महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह कई ज्यामितीय समस्याओं में सीधा उपयोग होता है।

 

Question 7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
Answer: हलः माना दिया गया समचतुर्भुज ABCD हैं।
चूंकि समलम्ब के विकर्ण परस्पर लम्ब समद्विभाजक होते हैं।
\( \therefore \)
\( \text{OA} = \text{OC} \) और \( \text{OB} = \text{OD} \)
तथा
\( \angle \text{AOB} = \angle \text{BOC} \)
[प्रत्येक = 90°]
और
\( \angle \text{COD} = \angle \text{DOA} \)
[प्रत्येक = 90°]

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक समचतुर्भुज ABCD दिखाया गया है, जिसके विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, जिससे चार समकोण त्रिभुज (AOB, BOC, COD, DOA) बनते हैं।

समकोण \( \triangle \) AOB में,
चूंकि
\( \text{AB}^2 = \text{OA}^2 + \text{OB}^2 \)
...(1)
[पाइथागोरस प्रमेय से]
इसी प्रकार, \( \text{BC}^2 = \text{OB}^2 + \text{OC}^2 \)
...(2)
\( \text{CD}^2 = \text{OC}^2 + \text{OD}^2 \)
...(3)
और
\( \text{DA}^2 = \text{OD}^2 + \text{OA}^2 \)
...(4)
(1), (2), (3) और (4) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( \text{AB}^2 + \text{BC}^2 + \text{CD}^2 + \text{DA}^2 \)
\( = [\text{OA}^2 + \text{OB}^2] + [\text{OB}^2 + \text{OC}^2] + [\text{OC}^2 + \text{OD}^2] + [\text{OD}^2 + \text{OA}^2] \)
\( = 2\text{OA}^2 + 2\text{OB}^2 + 2\text{OC}^2 + 2\text{OD}^2 \)
\( = 2[\text{OA}^2 + \text{OB}^2 + \text{OC}^2 + \text{OD}^2] \)
\( = 2[\text{OA}^2 + \text{OB}^2 + \text{OA}^2 + \text{OB}^2] \)
[\( \because \text{OA} = \text{OC} \) और \( \text{OB} = \text{OD} \)]
\( = 2[2 \text{OA}^2 + 2 \text{OB}^2] \)
\( = 2\left[2\left(\frac{1}{2} \text{AC}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2} \text{BD}\right)^2\right] \)
[\( \because \text{O} \) विकर्ण AC और BD का मध्यबिन्दु है।]
\( = 2\left[\frac{\text{AC}^2}{2} + \frac{\text{BD}^2}{2}\right] \)
\( = \text{AC}^2 + \text{BD}^2 \)
इस प्रकार, \( \text{AB}^2 + \text{BC}^2 + \text{CD}^2 + \text{DA}^2 = \text{AC}^2 + \text{BD}^2 \), जो कि अभीष्ठ सम्बन्ध है।
In simple words: हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया है कि एक समचतुर्भुज की चारों भुजाओं के वर्गों का योग उसके दोनों विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय प्रमेय है। इसे सिद्ध करने के लिए विकर्णों के गुणों और पाइथागोरस प्रमेय को सही ढंग से लागू करना होता है।

 

Question 8. आकृति में \( \triangle \) ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD \( \perp \) BC, OE \( \perp \) AC और OF \( \perp \) AB है। दर्शाइए कि
(i) OA² + OB² + OC² - OD² - OE² - OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
Answer: हलः \( \triangle \) ABC में एक बिन्दु O इस प्रकार स्थित है कि: OD \( \perp \) BC, OE \( \perp \) AC और OF \( \perp \) AB
(i) रचनाः OA, OB और OC को मिलाओ।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में त्रिभुज ABC के अंदर एक बिंदु O है। बिंदु O से भुजा AB पर OF, भुजा BC पर OD और भुजा AC पर OE लंब डाले गए हैं। साथ ही, बिंदु O को त्रिभुज के शीर्षों A, B और C से जोड़ा गया है।

आकृति में, समकोण \( \triangle \) OAF है।
हमें प्राप्त है: \( \text{OA}^2 = \text{OF}^2 + \text{AF}^2 \)
[पाइथागोरस प्रमेय से]
इसी प्रकार समकोण \( \triangle \) ODB और समकोण \( \triangle \) OEC से हमें प्राप्त होता है
\( \text{OB}^2 = \text{BD}^2 + \text{OD}^2 \),
और
\( \text{OC}^2 = \text{CE}^2 + \text{OE}^2 \)
जोड़ने पर,
\( \text{OA}^2 + \text{OB}^2 + \text{OC}^2 = (\text{AF}^2 + \text{OF}^2) + (\text{BD}^2 + \text{OD}^2) + (\text{CE}^2 + \text{OE}^2) \)
\( \implies \text{OA}^2 + \text{OB}^2 + \text{OC}^2 = \text{AF}^2 + \text{BD}^2 + \text{CE}^2 + (\text{OF}^2 + \text{OD}^2 + \text{OE}^2) \)
\( \implies \text{OA}^2 + \text{OB}^2 + \text{OC}^2 - (\text{OD}^2 + \text{OE}^2 + \text{OF}^2) = \text{AF}^2 + \text{BD}^2 + \text{CE}^2 \)
\( \text{OA}^2 + \text{OB}^2 + \text{OC}^2 - \text{OD}^2 - \text{OE}^2 - \text{OF}^2 = \text{AF}^2 + \text{BD}^2 + \text{CE}^2 \)


ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में त्रिभुज ABC के अंदर एक बिंदु O है। बिंदु O से भुजा AB पर OF, भुजा BC पर OD और भुजा AC पर OE लंब डाले गए हैं। साथ ही, बिंदु O को त्रिभुज के शीर्षों A, B और C से जोड़ा गया है।

(ii) समकोण त्रिभुजों OBD और OCD में,
\( \text{OB}^2 = \text{OD}^2 + \text{BD}^2 \)
और \( \text{OC}^2 = \text{OD}^2 + \text{CD}^2 \)
[पाइथागोरस प्रमेय से]
\( \implies \text{OB}^2 - \text{OC}^2 = \text{OD}^2 + \text{BD}^2 - \text{OD}^2 - \text{CD}^2 \)
\( \text{OB}^2 - \text{OC}^2 = \text{BD}^2 - \text{CD}^2 \)
...(1)
इसी प्रकार,
\( \text{OC}^2 - \text{OA}^2 = \text{CE}^2 - \text{AE}^2 \)
...(2)
और
\( \text{OA}^2 - \text{OB}^2 = \text{AF}^2 - \text{BF}^2 \)
...(3)
(1), (2) और (3) को जोड़ने पर
\( (\text{OB}^2 - \text{OC}^2) + (\text{OC}^2 - \text{OA}^2) + (\text{OA}^2 - \text{OB}^2) = (\text{BD}^2 - \text{CD}^2) + (\text{CE}^2 - \text{AE}^2) + (\text{AF}^2 - \text{BF}^2) \)
\( \implies 0 = \text{BD}^2 + \text{CE}^2 + \text{AF}^2 - (\text{CD}^2 + \text{AE}^2 + \text{BF}^2) \)
\( \implies \text{BD}^2 + \text{CE}^2 + \text{AF}^2 = \text{CD}^2 + \text{AE}^2 + \text{BF}^2 \)
या \( \text{AF}^2 + \text{BD}^2 + \text{CE}^2 = \text{AE}^2 + \text{BF}^2 + \text{CD}^2 \)
In simple words: हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज के अभ्यंतर में एक बिंदु से भुजाओं पर डाले गए लम्बों और शीर्षों तक की दूरियों के बीच संबंधों को सिद्ध किया है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में पाइथागोरस प्रमेय का बार-बार प्रयोग किया जाता है। सभी समकोण त्रिभुजों को ध्यान से पहचानें और भुजाओं के वर्गों का संबंध स्थापित करें।

 

Question 9. 10 मी. लंबी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 मी. की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुंचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना PQ सीढ़ी है
\( \implies \text{PQ} = 10 \) मी.
और PR दीवार है
\( \implies \text{PR} = 8 \) मी.
माना आधार QR है
\( \implies \text{QR} = ? \)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक दीवार (PR) और एक सीढ़ी (PQ) के बीच बने समकोण त्रिभुज को दर्शाता है। सीढ़ी का ऊपरी सिरा खिड़की (P) तक पहुँचता है, जिसकी ऊँचाई 8 मीटर है। सीढ़ी की लंबाई 10 मीटर है। QR दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे तक की क्षैतिज दूरी है, जिसे ज्ञात करना है।

अब, समकोण \( \triangle \) PQR में,
\( \text{PQ}^2 = \text{PR}^2 + \text{QR}^2 \)
\( 10^2 = 8^2 + \text{QR}^2 \)
[पाइथागोरस के प्रयोग करने पर]
\( \implies \text{QR}^2 = 10^2 - 8^2 \)
\( = (10+8)(10-8) \)
\( = 18 \times 2 = 36 \)
\( \implies \text{QR} = \sqrt{36} = 6 \) मी.
अतः दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी = 6 मी.
In simple words: हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके एक सीढ़ी, दीवार और जमीन से बने समकोण त्रिभुज की अज्ञात भुजा (जमीन पर दूरी) की लंबाई ज्ञात की है।

🎯 Exam Tip: पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने के लिए, आपको हमेशा समकोण त्रिभुज की पहचान करनी चाहिए और कर्ण (सबसे लंबी भुजा) को सही ढंग से निर्धारित करना चाहिए।

 

Question 10. 18 मी. ऊंचे एक ऊर्ध्वाधर खंभे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक बूंटे से जुड़ा हुआ है। खंभे के आधार से बँटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लंबाई 24 मी. है।
Answer: हलः माना AB एक तार तथा BC एक खंभा है।
माना बिन्दु A एक बँटे को प्रकट करता है।
\( \text{AB} = 24 \) मी. और \( \text{BC} = 18 \) मी.
अब, समकोण \( \triangle \) ABC में पाईथागोरस प्रमेय द्वारा।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक ऊर्ध्वाधर खंभा BC दिखाया गया है जिसकी ऊँचाई 18 मीटर है। खंभे के ऊपरी सिरे (B) से एक तार (AB) जुड़ा हुआ है जिसकी लंबाई 24 मीटर है और यह तार जमीन पर एक बिंदु A से बंधा है। खंभे के आधार (C) से बिंदु A तक की दूरी (AC) ज्ञात करनी है।

\( \text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2 \)
\( 24^2 = \text{AC}^2 + 18^2 \)
\( \implies \text{AC}^2 = 24^2 - 18^2 \)
\( = (24+18) \times (24-18) \)
\( = 42 \times 6 = 252 \)
\( = 7 \times 6 \times 6 = 7 \times 6^2 \)
\( \implies \text{AC} = \sqrt{7 \times 6^2} = 6\sqrt{7} \) मी.
अतः खंबे से खूँटे की दूरी = \( 6\sqrt{7} \) मी.
In simple words: हमने एक खंभे, तार और जमीन से बने समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खंभे के आधार से तार बांधने वाले खूँटे की दूरी निकाली है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, स्थिति को एक समकोण त्रिभुज के रूप में कल्पना करना और पाइथागोरस प्रमेय को सही ढंग से लागू करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 11. एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 कि.मी./घं. की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 कि.मी./घं. की चाल से उड़ता है। \( \frac{1}{2} \) घंटे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?
Answer: हलः

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक हवाई अड्डे (A) से दो हवाई जहाजों की उड़ान दर्शाई गई है। एक जहाज उत्तर दिशा (AC) में 1500 किमी उड़ता है और दूसरा जहाज पश्चिम दिशा (AB) में 1800 किमी उड़ता है। हमें दोनों जहाजों के बीच की सीधी दूरी (BC) ज्ञात करनी है, जो एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है।

बिन्दु A, हवाई अड्डे को प्रदर्शित करता है।
माना हवाई जहाज-I उत्तर की ओर उड़ान भरता है।
हवाई जहाज-I द्वारा \( 1\frac{1}{2} \) घंटे में तय की गई दूरी =
चाल \( \times \) समय \( = 1000 \times 1\frac{1}{2} \) किमी. \( = 1500 \) किमी.
माना हवाई जहाज-II पश्चिम की ओर उड़ान भरता है।
\( \therefore \) हवाई जहाज-II द्वारा \( 1\frac{1}{2} \) घंटे में तय की गई दूरी
\( = \) चाल \( \times \) समय
\( = 1200 \times 1\frac{1}{2} \) किमी. \( = 1800 \) किमी.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दिशाओं - उत्तर (N), दक्षिण (S), पूर्व (E) और पश्चिम (W) को दर्शाता है। केंद्र में बिंदु A हवाई अड्डे को दर्शाता है। एक हवाई जहाज उत्तर दिशा (N) में उड़ता है और दूसरा पश्चिम दिशा (W) में उड़ता है, जिससे A, N, W के साथ एक समकोण त्रिभुज बनता है।

अब, समकोण \( \triangle \) ABC में पाइथागोरस का प्रयोग करने पर
\( \text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2 \)
\( \implies \text{BC}^2 = (1500)^2 + (1800)^2 \)
\( = 2250000 + 3240000 \)
\( = 5490000 \)
\( \implies \text{BC} = \sqrt{5490000} \)
\( = \sqrt{61 \times 90000} \)
\( = \sqrt{61} \times 300 \)
\( = 300\sqrt{61} \) किमी.
इस प्रकार, \( 1\frac{1}{2} \) घंटे बाद दोनों हवाई जहाज एक दूसरे से \( 300\sqrt{61} \) किमी. दूर हैं।
In simple words: हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके दो हवाई जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात की है जो एक ही हवाई अड्डे से अलग-अलग दिशाओं में उड़ान भरते हैं।

🎯 Exam Tip: दिशाओं (उत्तर, पश्चिम) को ध्यान में रखते हुए आरेख बनाएं और सुनिश्चित करें कि आप सही दूरियों के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं ताकि पाइथागोरस प्रमेय सही ढंग से लागू हो सके।

 

Question 12. दो खंभे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 मी. और 11 मी. हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके तलों के बीच की दूरी 12 मी. है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना दो खंभे AB और CD है।
खंभों के तलों के बीच की दूरी AC = 12 मी.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में दो खंभे (AB और CD) दिखाए गए हैं, जो जमीन पर खड़े हैं। खंभा AB 11 मीटर ऊँचा है, और खंभा CD 6 मीटर ऊँचा है। दोनों खंभों के आधारों के बीच की दूरी 12 मीटर है। बिंदु E, खंभा AB पर ऐसा है कि CE, CD के समानांतर है और CE = AC = 12 मीटर। BE की लंबाई 5 मीटर है (11-6)। हमें खंभों के ऊपरी सिरों (D और B) के बीच की दूरी ज्ञात करनी है।

खंभे-I की ऊँचाई AB = 11 मी.
खंभे-II की ऊँचाई CD = 6 मी.
खंभे-I की अतिरिक्त ऊँचाई
\( \therefore \)
\( \text{BE} = 11 \) मी. \( - 6 \) मी. \( = 5 \) मी.
खंभों के सिरों D और B को मिलाने पर हमें एक समकोण त्रिभुज BED प्राप्त होती है।
\( \therefore \) पाइथागोरस प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:
\( \text{DB}^2 = \text{DE}^2 + \text{EB}^2 \)
\( \implies \text{DB}^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \)
\( \implies \text{DB} = \sqrt{169} = 13 \) मी.
अतः दोनों खंभों के सिरों के बीच की दूरी = 13 मी.
In simple words: हमने दो खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, उन्हें एक समकोण त्रिभुज में बदला और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: ऐसे व्यावहारिक ज्यामिति प्रश्नों को हल करते समय, सटीक आरेख बनाना और लंबवत दूरी के साथ-साथ क्षैतिज दूरी को भी सही ढंग से लेबल करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 13. किसी त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिंदु D औए E स्थित है। सिद्ध कीजिए कि AE² + BD² = AB² + DE² है|
Answer: हलः हमें प्राप्त हैः समकोण \( \triangle \) ABC में \( \angle \text{C} = 90^\circ \)
भुजाओं CA और CB पर क्रमशः D और E बिन्दु स्थित है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक समकोण त्रिभुज ABC दिखाया गया है, जहाँ कोण C 90 डिग्री है। भुजा CA पर एक बिंदु D और भुजा CB पर एक बिंदु E स्थित है। बिंदु A को E से और बिंदु B को D से जोड़ा गया है। बिंदु D को E से भी जोड़ा गया है।

रचनाः AE और BD को मिलाओ।
अब, समकोण \( \triangle \) ACB में पाइथागोरस प्रमेय से,
\( \text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2 \)
...(1)
समकोण \( \triangle \) DEC में,
पाइथागोरस प्रमेय से
\( \text{DE}^2 = \text{CD}^2 + \text{CE}^2 \)
...(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर
\( \text{AB}^2 + \text{DE}^2 = [\text{AC}^2 + \text{BC}^2] + [\text{CD}^2 + \text{CE}^2] \)
\( = \text{AC}^2 + \text{BC}^2 + \text{CD}^2 + \text{CE}^2 \)
\( = [\text{AC}^2 + \text{CE}^2] + [\text{BC}^2 + \text{CD}^2] \)
...(3)
आकृति से, हमें प्राप्त होता है,
समकोण \( \triangle \) ACE में,
\( [\text{AC}^2 + \text{CE}^2] = \text{AE}^2 \)
...(4)
और समकोण \( \triangle \) BCD में,
\( [\text{BC}^2 + \text{CD}^2] = \text{BD}^2 \)
...(5)
(3), (4) और (5) से,
\( \text{AB}^2 + \text{DE}^2 = \text{AE}^2 + \text{BD}^2 \)
या
\( \text{AE}^2 + \text{BD}^2 = \text{AB}^2 + \text{DE}^2 \)
In simple words: हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज में दो आंतरिक बिंदुओं से बने रेखाखंडों और त्रिभुज की भुजाओं के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध सिद्ध किया है।

🎯 Exam Tip: ऐसे सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, मुख्य त्रिभुज के भीतर बनने वाले सभी समकोण त्रिभुजों को पहचानना और उन पर पाइथागोरस प्रमेय को लागू करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 14. किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लंब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है| सिद्ध कीजिए कि : 2AB² = 2AC² + BC² है|
Answer: हलः हमें प्राप्त है कि, एक \( \triangle \) ABC में AD \( \perp \) BC
बिन्दु D की स्थिति इस प्रकार है कि DB = 3 CD

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में त्रिभुज ABC दिखाया गया है। शीर्ष A से भुजा BC पर एक लंब AD डाला गया है, जिससे D, BC पर स्थित है। बिंदु D, भुजा BC को इस तरह विभाजित करता है कि BD, CD का तीन गुना है।

समकोण \( \triangle \) ABD में, हमें प्राप्त है कि
\( \text{AB}^2 = \text{AD}^2 + \text{BD}^2 \)
...(1)
[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]
इसी प्रकार, समकोण \( \triangle \) ACD में,
\( \text{AC}^2 = \text{AD}^2 + \text{CD}^2 \)
...(2)
[पाइथागोरस प्रमेय से]
(1) में से (2) को घटाने पर,
\( \text{AB}^2 - \text{AC}^2 = \text{BD}^2 - \text{CD}^2 \)
...(3)
अब
\( \text{BC} = \text{DB} + \text{CD} \)
\( = 3 \text{CD} + \text{CD} = 4 \text{CD} \)
[\( \because \text{DB} = 3 \text{CD} \) (ज्ञात है)]
\( \implies \text{CD} = \frac{1}{4} \text{BC} \)
\( \text{BD} = \text{BC} - \text{CD} \)
\( = \text{BC} - \frac{1}{4} \text{BC} = \frac{3}{4} \text{BC} \)
अब, CD और BD का मान (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( \text{AB}^2 - \text{AC}^2 = \left(\frac{3}{4}\text{BC}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\text{BC}\right)^2 \)
\( = \text{BC}^2\left[\left(\frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2\right] \)
\( = \text{BC}^2\left[\left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right)\right] \)
\( = \text{BC}^2\left[(1)\left(\frac{1}{2}\right)\right] = \frac{1}{2}\text{BC}^2 \)
\( \implies 2\text{AB}^2 - 2\text{AC}^2 = \text{BC}^2 \)
या \( 2\text{AB}^2 = 2\text{AC}^2 + \text{BC}^2 \)
In simple words: हमने एक त्रिभुज में शीर्षलंब और भुजाओं के बीच दिए गए अनुपात का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय की सहायता से एक विशेष संबंध को सिद्ध किया है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, दिए गए अनुपात को सही ढंग से व्याख्या करना और उसे भुजाओं की लंबाई के रूप में व्यक्त करना महत्वपूर्ण है ताकि पाइथागोरस प्रमेय का सही अनुप्रयोग हो सके।

 

Question 15. किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि \( \text{BD} = \frac{1}{3}\text{BC} \) है। सिद्ध कीजिए कि 9AD² = 7AB² हैं।
Answer: हलः हमें एक समबाहु \( \triangle \) ABC प्राप्त है जिसमें D एक बिन्दु इस प्रकार है कि \( \text{BD} = \frac{1}{3}\text{BC} \)
रचनाः AP \( \perp \) BC खींचो।
\( \therefore \)
AP \( \perp \) BC [रचना द्वारा]
\( \text{BP} = \frac{1}{2}\text{BC} \)
समकोण \( \triangle \) APB में,
\( \text{AB}^2 = \text{AP}^2 + \text{BP}^2 \)
[पाइथागोरस प्रमेय से]
...(1)
समकोण \( \triangle \) APD में,
\( \text{AD}^2 = \text{AP}^2 + \text{DP}^2 \)
[पाइथागोरस प्रमेय से]
...(2)
\( \implies \text{AP}^2 = \text{AD}^2 - \text{DP}^2 \)
\( \therefore \) (1) से, हमें प्राप्त होता है:
\( \text{AB}^2 = (\text{AD}^2 - \text{DP}^2) + \text{BP}^2 \)
\( \text{AB}^2 = \text{AD}^2 - \text{DP}^2 + \left(\frac{\text{BC}}{2}\right)^2 \)
\( \implies \text{AD}^2 = \text{AB}^2 + \text{DP}^2 - \frac{\text{BC}^2}{4} \)
...(3)
चूंकि \( \text{BD} = \frac{1}{3}\text{BC} \)
और \( \text{BP} = \frac{1}{2}\text{BC} \)
\( \text{DP} = \text{BP} - \text{BD} \)
\( \implies \text{DP} = \frac{1}{2}\text{BC} - \frac{1}{3}\text{BC} = \frac{1}{6}\text{BC} \)
अब (3) में,

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक समबाहु त्रिभुज ABC दिखाया गया है। भुजा BC पर एक बिंदु D स्थित है, जिससे BD, BC का एक-तिहाई है। शीर्ष A से भुजा BC पर एक लंब AP डाला गया है। बिंदु D और P के बीच की दूरी DP है।

\( \text{DP} = \frac{1}{6}\text{BC} \)
[प्रतिस्थापित करने पर]
\( \text{AD}^2 = \text{AB}^2 + \left[\frac{1}{6}\text{BC}\right]^2 - \frac{\text{BC}^2}{4} \)
\( = \text{AB}^2 + \frac{\text{BC}^2}{36} - \frac{\text{BC}^2}{4} \)
\( = \text{AB}^2 + \frac{\text{BC}^2 - 9\text{BC}^2}{36} \)
\( = \text{AB}^2 - \frac{8\text{BC}^2}{36} = \text{AB}^2 - \frac{2\text{BC}^2}{9} \)
[\( \because \triangle \text{ABC} \) एक समबाहु त्रिभुज है i.e., \( \text{AB} = \text{BC} = \text{CA} \)]
\( = \frac{9\text{AB}^2 - 2\text{AB}^2}{9} = \frac{7\text{AB}^2}{9} \)
\( \implies 9\text{AD}^2 = 7\text{AB}^2 \)
In simple words: हमने एक समबाहु त्रिभुज में एक विशेष बिंदु D के लिए AD और AB के बीच संबंध स्थापित करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय और भुजाओं के बीच दिए गए अनुपात का उपयोग किया है।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं और शीर्षलंब भुजा को समद्विभाजित करता है - ये तथ्य ऐसे प्रश्नों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उनका सही उपयोग करें।

 

Question 16. किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
Answer: हलः हमें प्राप्त है कि समबाहु \( \triangle \) ABC में, AD \( \perp \) BC
हम जानते हैं कि समबाहु \( \triangle \) में शीर्षलम्ब संगत भुजा को समद्विभाजित करता है।
D, भुजा BC का मध्यबिन्दु है ।
\( \text{BD} = \text{DC} \)
[प्रत्येक \( = \frac{1}{2}\text{BC} \)]

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक समबाहु त्रिभुज ABC दिखाया गया है। शीर्ष A से भुजा BC पर एक शीर्षलंब AD डाला गया है। बिंदु D भुजा BC का मध्यबिंदु है। यह एक समकोण त्रिभुज ADB बनाता है।

समकोण \( \triangle \) ADB में,
\( \text{AB}^2 = \text{AD}^2 + \text{BD}^2 \)
[पाइथागोरस प्रमेय से]
\( = \text{AD}^2 + \left(\frac{1}{2}\text{BC}\right)^2 = \text{AD}^2 + \frac{1}{4}\text{BC}^2 \)
\( \implies 4\text{AB}^2 = 4\text{AD}^2 + \text{BC}^2 \)
\( \implies 4\text{AB}^2 = 4\text{AD}^2 + \text{AB}^2 \)
[\( \because \text{AB} = \text{BC} = \text{AC} \)]
\( \implies 4\text{AD}^2 = 4\text{AB}^2 - \text{AB}^2 \)
\( \implies 4\text{AD}^2 = 3\text{AB}^2 \)
or
\( 3\text{AB}^2 = 4\text{AD}^2 \)
In simple words: हमने पाइथागोरस प्रमेय और समबाहु त्रिभुज के गुणों का उपयोग करके सिद्ध किया है कि उसकी भुजा के वर्ग का तिगुना उसके शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज के गुण (सभी भुजाएँ समान, शीर्षलंब आधार को समद्विभाजित करता है) को याद रखें और पाइथागोरस प्रमेय को सही ढंग से लागू करें।

 

Question 17. सही उत्तर चुनकर उनका औचित्य दीजिए: \( \triangle \)ABC में, AB = 6\( \sqrt{3} \) सेमी., AC = 12 सेमी. अ BC = 6 सेमी. है। कोण B हैः
(A) 120°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 45°
Answer: हलः हमें प्राप्त है:
\( \text{AB} = 6\sqrt{3} \) सेमी.
\( \text{AC} = 12 \) सेमी.
\( \text{BC} = 6 \) सेमी.
\( \text{AB}^2 = (6\sqrt{3})^2 = 36 \times 3 = 108 \)
\( \text{AC}^2 = 12^2 = 144 \)
\( \text{BC}^2 = 6^2 = 36 \)
चूंकि, \( 144 = 108 + 36 \)
अर्थात् \( \text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 \)
\( \triangle \)ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें
\( \angle \text{B} = 90^\circ \) है ।
अतः उत्तर (C) अर्थात् 90° सही है।
Answer: (C) 90°
In simple words: हमने दी गई भुजाओं की लंबाइयों का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय के विलोम को लागू किया। चूंकि \( \text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 \) है, यह दर्शाता है कि त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है और कोण B समकोण (90°) है।

🎯 Exam Tip: पाइथागोरस प्रमेय का विलोम याद रखें: यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा के सम्मुख कोण समकोण होता है।

Exercise 6.6 (NCERT Page 166)

 

Question 1. आकृति में PS कोण QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{QS}{SR} = \frac{PQ}{PR}\) है|
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज PQR है जिसमें कोण QPR को रेखाखंड PS द्वारा समद्विभाजित किया गया है, जहाँ बिंदु S भुजा QR पर स्थित है। एक अतिरिक्त रेखा RT खींची गई है जो PS के समांतर है और बढ़ी हुई भुजा QP को बिंदु T पर काटती है।
Answer: हल: हमें प्राप्त है- \(\triangle PQR\) जिसमें \(\angle QPR\) का समद्विभाजक PS है।
\(\therefore \angle QPS = \angle RPS\)
रचना: RT || RS खींचो जो QP (बढ़ाए जाने पर) को T पर प्रतिच्छेद करे।
\(\angle 1 = \angle RPS\) (एकान्तर कोण)
तथा \(\angle 3 = \angle QPS\) (संगत कोण)
परन्तु \(\angle RPS = \angle QPS\) (ज्ञात है)
\(\implies \angle 1 = \angle 3 \implies PT = PR\)
[किसी \(\triangle\) में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं]
अब, \(\triangle QRT\) में, PR || RT (रचना द्वारा)
\(\therefore\) मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय के प्रयोग से हमें प्राप्त होता है
\(\frac{QS}{SR} = \frac{PQ}{PT}\)
\(\implies \frac{QS}{SR} = \frac{PQ}{PR}\) [\(\because\) PT = PR]
In simple words: हमने थेल्स प्रमेय का उपयोग करके यह सिद्ध किया है कि यदि एक त्रिभुज में कोण समद्विभाजक होता है, तो वह सामने वाली भुजा को अन्य दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है। यह प्रमेय कोण समद्विभाजक प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
🎯 Exam Tip: कोण समद्विभाजक प्रमेय को समझना और समानुपातिकता के लिए थेल्स प्रमेय का उपयोग करके इसकी उपपत्ति करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 2. आकृति में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है तथा DM \(\perp\) BC और DN \(\perp\) AB है| सिद्ध कीजिए कि (i) \(DM^2 = DN \cdot MC\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC है जिसमें \(\angle B = 90^\circ\)। बिंदु D कर्ण AC पर स्थित है। बिंदु D से भुजा BC पर DM लंब और भुजा AB पर DN लंब डाला गया है।
Answer: हल: हमें प्राप्त है कि त्रिभुज ABC में AC विकर्ण है तथा BD \(\perp\) AC, DM \(\perp\) BC और DN \(\perp\) AB.
\(\implies BMDN\) आयत है
\(\therefore BM = ND\) (आयत की सम्मुख भुजाएँ)
(i) \(\triangle BMD\) और \(\triangle DMC\) में,
\(\angle DMB = 90^\circ = \angle DMC\)
\(\angle 1 + \angle 2 = 90^\circ\)
\(\triangle BDM\) में, \(\angle 3 + \angle 2 = 90^\circ\)
\(\implies \angle 1 = \angle 3\)
\((1)\) और \((2)\) से,
\(\triangle BMD \sim \triangle DMC\) (AA समरूपता से)
\(\therefore\) इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।
\(\frac{BM}{DM} = \frac{MD}{MC}\)
\(\implies DM^2 = BM \cdot MC\)
चूंकि \(\triangle BMN\) आयत है, इसलिए \(\text{BM = DN}\)
\(\implies DM^2 = DN \cdot MC\)
(ii) \(\triangle BND\) और \(\triangle DNA\) में,
हमें प्राप्त है
\(\angle BND = \angle DNA\) (प्रत्येक \(90^\circ\))
\(\angle DBN = \angle ADN\) (AA समरूपता से)
\(\implies \triangle BND \sim \triangle DNA\)
\(\therefore\) इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।
\(\frac{BN}{DN} = \frac{ND}{NA}\)
चूंकि \(BMDN\) एक आयत है, \(BN = DM\)
\(\implies \frac{DM}{DN} = \frac{ND}{NA}\)
\(\implies DM \cdot NA = ND \cdot DN\)
\(\implies DN^2 = DM \cdot AN\)
In simple words: हमने दो समरूप त्रिभुज युग्मों की पहचान की और उनकी संगत भुजाओं के अनुपातों का उपयोग करके दिए गए संबंधों को सिद्ध किया, साथ ही यह भी ध्यान रखा कि BMDN एक आयत है।
🎯 Exam Tip: समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं के अनुपात और आयत के गुणों को ध्यान में रखें।

 

Question 3. आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें \(\angle ABC > 90^\circ\) तथा AD \(\perp\) CB है| सिद्ध कीजिए की \(AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2BC \cdot BD\) है|
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC है जिसमें कोण B अधिक कोण (90° से अधिक) है। भुजा CB को D तक बढ़ाया गया है, और A से BC पर AD लंब डाला गया है, जिससे D, CB की बढ़ी हुई भुजा पर स्थित है।
Answer: हल: \(\triangle ABC\) एक त्रिभुज है जिसमें
\(\angle ABC > 90^\circ\)
और AD \(\perp\) CB
\(\triangle ADB\) में,
\(\angle D = 90^\circ\)
\(\therefore\) पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर
\(AB^2 = AD^2 + DB^2\) ...(1)
पुनः \(\triangle ADC\) में,
\(\angle D = 90^\circ\)
\(\therefore\) पाइथागोरस प्रमेय से
\(AC^2 = AD^2 + DC^2\)
\( = AD^2 + (BD + BC)^2\)
\( = AD^2 + [BD^2 + BC^2 + 2BD \cdot BC]\)
\(\implies AC^2 = (AD^2 + DB^2) + BC^2 + 2BC \cdot BD\)
\(\implies AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2BC \cdot BD\) [\((1)\) से]
हमें प्राप्त होता है
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2BC \cdot BD\)
In simple words: एक अधिक कोण वाले त्रिभुज में, अधिक कोण के सामने वाली भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग और एक भुजा तथा उस पर डाले गए लंब के गुणनफल के दुगुने के योग के बराबर होता है।
🎯 Exam Tip: अधिक कोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय के विस्तार को याद रखना महत्वपूर्ण है, जिसमें भुजाओं के वर्गों का संबंध शामिल है।

 

Question 5. आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM \(\perp\) BC है| सिद्ध कीजिए की (i) \(AC^2 = AD^2 + BC \cdot DM + (BC/2)^2\) (ii) \(AB^2 = AD^2 - BC \cdot DM + (BC/2)^2\) (iii) \(AC^2 + AB^2 = 2 AD^2 + (1/2) BC^2\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC है जिसमें AD एक माध्यिका (median) है, जो A से भुजा BC के मध्यबिंदु D तक जाती है। A से भुजा BC पर एक लंब AM डाला गया है, जहाँ M भुजा BC पर स्थित है।
Answer: हल: हमें प्राप्त है- \(\triangle ABC\) जिसमें AD एक मध्यिका है
और AM \(\perp\) BC इस प्रकार है कि
\(\angle ADC > 90^\circ\) और \(\angle ADM < 90^\circ\)
(i) \(\triangle AMC\) में
\(\angle M = 90^\circ\)
\(\therefore AC^2 = AM^2 + MC^2\)
\( = AM^2 + (MD + DC)^2\)
\( = AM^2 + MD^2 + DC^2 + 2MD \cdot DC\)
\( = (AM^2 + MD^2) + DC^2 + 2MD \cdot DC\)
\( = AD^2 + DC^2 + 2MD \cdot DC\) [\(\because MD^2 + AM^2 = AD^2\)]
\( = AD^2 + (BC/2)^2 + 2MD \cdot (BC/2)\) [BC का मध्यबिन्दु D है]
\( = AD^2 + (BC/2)^2 + BC \cdot DM\)
इस प्रकार,
\(AC^2 = AD^2 + BC \cdot DM + (BC/2)^2\) ...(1)
(ii) \(\triangle AMB\) में
\(\angle AMB = 90^\circ\)
\(\therefore\) पाइथागोरस प्रमेय से हमें प्राप्त होता है:
\(AB^2 = AM^2 + BM^2 = AM^2 + (BD - DM)^2\)
\( = AM^2 + BD^2 + DM^2 - 2BD \cdot DM\)
\( = (AM^2 + DM^2) + BD^2 - 2BD \cdot DM\)
\( = AD^2 + BD^2 - 2BD \cdot DM\) [\(\because DM^2 + AM^2 = AD^2\)]
\( = AD^2 + (BC/2)^2 - 2(BC/2) \cdot DM\)
\( = AD^2 + (BC/2)^2 - BC \cdot DM\)
इस प्रकार,
\(AB^2 = AD^2 - BC \cdot DM + (BC/2)^2\) ...(2)
(iii) \((1)\) और \((2)\) को जोड़ने पर
\(AB^2 + AC^2 = (AD^2 - BC \cdot DM + (BC/2)^2) + (AD^2 + BC \cdot DM + (BC/2)^2)\)
\( = 2AD^2 + 2(BC/2)^2\)
\( = 2AD^2 + 2(BC^2/4)\)
\( = 2AD^2 + BC^2/2\)
इस प्रकार \(AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + (1/2) BC^2\)
जो कि अभीष्ठ समीकरण है।
In simple words: एक त्रिभुज की माध्यिका और उस पर डाले गए लंब का उपयोग करके, हमने पाइथागोरस प्रमेय को लागू किया और यह दर्शाया कि भुजाओं के वर्गों का माध्यिका के वर्ग और तीसरी भुजा के वर्ग से किस प्रकार संबंध है।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज की माध्यिका और ऊँचाई से संबंधित समस्याओं में पाइथागोरस प्रमेय का सही ढंग से उपयोग करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 6. सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समांतर चतुर्भुज ABCD है जिसके विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
Answer: हल: हमें प्राप्त है: एक समांतर चतुर्भुज ABCD
AC और BD समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण हैं
चूंकि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते हैं
\(\therefore\) AC और BD का मध्य बिन्दु O है।
अब \(\triangle ABC\) में,
BO एक मध्यिका है
\(\therefore AB^2 + BC^2 = 2BO^2 + (1/2)AC^2\) ...(1)
तथा \(\triangle ADC\) में, DO एक मध्यिका है।
\(\therefore AD^2 + CD^2 = 2DO^2 + (1/2)AC^2\) ...(2)
\((1)\) और \((2)\) से हमें प्राप्त होता है:
\(AB^2 + BC^2 + AD^2 + CD^2\)
\( = 2BO^2 + (1/2)AC^2 + 2DO^2 + (1/2)AC^2\)
चूंकि \(BO = (1/2)BD\) और \(DO = (1/2)BD\)
\( = 2(BD/2)^2 + (1/2)AC^2 + 2(BD/2)^2 + (1/2)AC^2\)
\( = 2(BD^2/4) + (1/2)AC^2 + 2(BD^2/4) + (1/2)AC^2\)
\( = (BD^2/2) + (1/2)AC^2 + (BD^2/2) + (1/2)AC^2\)
\( = BD^2 + AC^2\)
\(AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = AC^2 + BD^2\)
जो कि अभीष्ठ सम्बन्ध है।
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज में, सभी भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है। यह अपोलोनियस प्रमेय का एक अनुप्रयोग है।
🎯 Exam Tip: अपोलोनियस प्रमेय का सही अनुप्रयोग और समांतर चतुर्भुज के गुणों को जानना इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए महत्वपूर्ण है।

 

Question 7. आकृति में एक वृत्त की दो जिवाएँ AB और CD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि (i) \(\triangle APC \sim \triangle DPB\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त है जिसमें दो जीवाएं AB और CD एक-दूसरे को वृत्त के अंदर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। बिंदु P से A, B, C और D को जोड़ा गया है ताकि त्रिभुज APC और DPB बन सकें।
Answer: हल: हमें प्राप्त है कि वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD हैं
AB और CD परस्पर P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
\(\therefore \angle APC = \angle DPB\) (शीर्षाभिमुख कोण) ...(1)
रचना: AC और BD को मिलाओ।
(i) \(\triangle APC\) और \(\triangle DPB\) में
\(\angle CAB = \angle BDP\) (एक ही वृत्तखंड में बने कोण) ...(2)
\((1)\) और \((2)\) से AA समरूपता का प्रयोग करने पर
\(\triangle APC \sim \triangle DPB\).
(ii) चूंकि \(\triangle APC \sim \triangle DPB\) (ऊपर सिद्ध किया है)
\(\therefore\) इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।
\(\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{BP}\)
\(\implies AP \cdot BP = CP \cdot DP\)
जो कि अभीष्ठ सम्बंध है।
In simple words: हमने दो त्रिभुजों को समरूप सिद्ध करने के लिए शीर्षाभिमुख कोण और एक ही वृत्तखंड में बने कोणों के गुणों का उपयोग किया, जिससे जीवाओं के प्रतिच्छेद से संबंधित भुजाओं के अनुपात प्राप्त हुए।
🎯 Exam Tip: वृत्तों की जीवाओं से संबंधित प्रमेय और समरूप त्रिभुजों की कसौटियों को याद रखें।

 

Question 8. आकृति में एक वृत्त की दो जिवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि (i) \(\triangle PAC \sim \triangle PDB\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त है जिसमें दो जीवाएं AB और CD हैं। इन जीवाओं को आगे बढ़ाने पर वे वृत्त के बाहर बिंदु P पर मिलती हैं। बिंदु P को A, C, D, B से जोड़ा गया है।
Answer: हल: वृत्त के अन्दर दो जीवाएँ AB और CD हैं, जो कि (बढ़ाने पर) वृत्त के बाहर बिन्दु P पर मिलते हैं।
(i) चूंकि एक चक्रीय चतुर्भुज का बाह्य कोण अन्तः सम्मुख कोण के समान है।
\(\therefore \angle PAC = \angle PDB\) ...(1)
और \(\angle PCA = \angle PBD\) ...(2)
\((1)\) और \((2)\) से
(AA समरूपता कसौटी का प्रयोग करके)
\(\triangle PAC \sim \triangle PDB\)
(ii) चूंकि, \(\triangle PAC \sim \triangle PDB\)
(ऊपर सिद्ध किया है)
\(\therefore\) इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती है।
\(\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}\)
\(\implies PA \cdot PB = PC \cdot PD\)
In simple words: हमने एक चक्रीय चतुर्भुज के गुणों (बाह्य कोण अंतः सम्मुख कोण के बराबर) का उपयोग करके दो त्रिभुजों को समरूप सिद्ध किया, जिससे बाहरी बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली जीवाओं के लिए भुजाओं का अनुपात प्राप्त हुआ।
🎯 Exam Tip: चक्रीय चतुर्भुज के गुणों और बाहरी बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली जीवाओं के प्रमेयों को समझना महत्वपूर्ण है।

 

Question 9. आकृति में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि \(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\) है | सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है |
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC है। बिंदु D भुजा BC पर इस प्रकार स्थित है कि रेखाखंड AD शीर्ष A से D तक जाता है।
Answer: हल: रचना: (a) BA को E तक इस प्रकार बढ़ाओ कि \(AE = AC\)
(b) EC को मिलाओ चूंकि
\(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AE}\)
परन्तु \(AC = AE\) (रचना द्वारा)
\(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\)
अब, \(\triangle BCE\) में
\(\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AE}\)
\(\therefore\) मूलभूत-समरूपता प्रमेय के विलोम से,
AD || CE और BE एक तिर्यक रेखा है।
\(\implies \angle BAD = \angle AEC\) (संगत कोण) ...(1)
तथा \(\angle CAD = \angle ACE\) (एकान्तर कोण) ...(2)
चूंकि \(AC = AE\)
\(\therefore\) इनके सम्मुख कोण भी समान होंगे,
\(\implies \angle AEC = \angle ACE\) ...(3)
\((1)\) और \((3)\) से
\(\angle BAD = \angle ACE\) ...(4)
\((2)\) और \((4)\) से
\(\angle BAD = \angle CAD\)
\(\implies\) AD कोण \(\angle BAC\) का समद्विभाजक है।
In simple words: हमने एक सहायक रचना की और थेल्स प्रमेय के विलोम का उपयोग करके यह दर्शाया कि यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह तीसरी भुजा के समानांतर होती है, जिससे कोण समद्विभाजक सिद्ध होता है।
🎯 Exam Tip: कोण समद्विभाजक प्रमेय के विलोम को सिद्ध करने के लिए रचना और संगत कोणों के गुणों का प्रयोग महत्वपूर्ण है।

 

Question 10. नाजिमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दुरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दुरी 2.4m है | यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति 6.64)? यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अन्दर खींचे, तो 12 सेकंड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दुरी कितनी होगी?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक व्यक्ति मछली पकड़ रहा है। मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 मीटर ऊपर है। छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी की सतह पर स्थित बिंदु से काँटे की क्षैतिज दूरी 2.4 मीटर है। व्यक्ति से काँटे तक की कुल क्षैतिज दूरी 3.6 मीटर है। एक समकोण त्रिभुज बनता है जहाँ छड़ का सिरा, पानी की सतह पर छड़ के सिरे के ठीक नीचे का बिंदु और काँटा इसके शीर्ष हैं।
Answer: हल: "कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है?" को ज्ञात करने के लिए:
समकोण \(\triangle ABC\) में,
\(AC^2 = AB^2 + CB^2\) (पाइथागोरस प्रमेय से)
\(\therefore AC^2 = (2.4)^2 + (1.8)^2\)
\( = 5.76 + 3.24 = 9.00\)
\(\implies AC = \sqrt{9.00} = 3\)
\(\therefore\) बाहर निकाली हुई डोरी की लम्बाई = 3 मी.
चूंकि डोरी को खींचे जाने की दर 5 सेमी./से. है।
\(\therefore 12\) सेकंड में खींची गई डोरी की लम्बाई
\( = 5\) सेमी./से. \(\times 12 = 60\) सेमी.
\( = \frac{60}{100}\) मी. \( = 0.60\) मी.
शेष बाहर बची डोरी की लम्बाई \( = (3 - 0.60)\) मी. \( = 2.40\) मी.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समकोण त्रिभुज PBC है, जहाँ C छड़ का सिरा है (पानी की सतह से 1.8 मीटर ऊपर), B पानी की सतह पर काँटे की नई स्थिति है, और P पानी की सतह पर छड़ के सिरे के ठीक नीचे का बिंदु है। नई डोरी की लंबाई PC = 2.4 मीटर है, और छड़ के सिरे की ऊँचाई BC = 1.8 मीटर है। PB काँटे से बिंदु P तक की क्षैतिज दूरी है।
क्षैतिज दूरी ज्ञात करने के लिए:
सामने दी गई आकृति के अनुसार, समकोण \(\triangle PBC\) में, माना वांछित क्षैतिज दूरी PB है
चूंकि \(PB^2 = PC^2 - BC^2\)
\(\therefore PB^2 = (2.4)^2 - (1.8)^2\)
\( = 5.76 - 3.24\)
\( = 2.52\)
\(\implies PB = \sqrt{2.52}\)
\( = 1.59\) (लगभग)
\(12\) सेकंड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी
\( = (1.59 + 1.2)\) मी. (लगभग) \( = 2.79\) मी. लगभग
In simple words: हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पहले डोरी की प्रारंभिक लंबाई ज्ञात की, फिर डोरी के खींचे जाने के बाद शेष लंबाई निकाली। अंत में, हमने नई डोरी की लंबाई और छड़ की ऊँचाई का उपयोग करके काँटे की क्षैतिज दूरी की गणना की।
🎯 Exam Tip: वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए समकोण त्रिभुजों और पाइथागोरस प्रमेय का सटीक अनुप्रयोग महत्वपूर्ण है।

 

Question 10. नाजिमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दुरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दुरी 2.4m है | यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति 6.64)? यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अन्दर खींचे, तो 12 सेकंड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दुरी कितनी होगी?
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र नाजिमा को मछली पकड़ते हुए दर्शाता है। इसमें एक त्रिभुज बनता है जहाँ छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 मीटर ऊपर है, और काँटे तक की डोरी (हाइपोटेन्यूज) अज्ञात है। दूसरा चित्र मछुआरे को छड़ पकड़े हुए दिखाता है, जहाँ छड़ के सिरे से पानी तक की ऊँचाई 1.8 मीटर है, नाजिमा से छड़ के ठीक नीचे पानी में बिंदु तक की क्षैतिज दूरी 2.4 मीटर है, और नाजिमा से काँटे तक की कुल क्षैतिज दूरी 3.6 मीटर है। हलः “कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है?" को ज्ञात करने के लिए: समकोण △ ABC में, \(AC^2 = AB^2 + CB^2\) [पाइथागोरस प्रमेय से] \(AC^2 = (2.4)^2 + (1.8)^2\) \( = 5.76 + 3.24 = 9.00\)
\( \implies AC = \sqrt{9.00} = 3\) मी.

बाहर निकाली हुई डोरी की लम्बाई = 3 मी. चूंकि डोरी को खींचे जाने की दर 5 सेमी./से. है।
12 सेकंड में खींची गई डोरी की लम्बाई \( = 5\) सेमी./से. \( \times 12 = 60\) सेमी. \( = \frac{60}{100}\) मी. \( = 0.60\) मी. शेष बाहर बची डोरी की लम्बाई \( = (3 - 0.60)\) मी. \( = 2.40\) मी. क्षैतिज दूरी ज्ञात करने के लिएः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समकोण त्रिभुज PBC को दर्शाता है। P वह बिंदु है जहाँ नाजिमा बैठी है, B छड़ के ठीक नीचे पानी में बिंदु है, और C वह बिंदु है जहाँ काँटा पानी में है। ऊर्ध्वाधर भुजा BC की लंबाई 1.8 मीटर है, और क्षैतिज भुजा PB अज्ञात है। कर्ण PC की लंबाई (डोरी की नई लंबाई) 2.4 मीटर है। सामने दी गई आकृति के अनुसार, समकोण △PBC में, माना वांछित क्षैतिज दूरी PB है चूंकि \(PB^2 = PC^2 - BC^2\)
\(PB^2 = (2.4)^2 - (1.8)^2\) \( = 5.76 - 3.24\) \( = 2.52\)
\( \implies PB = \sqrt{2.52}\) \( = 1.59\) (लगभग) 12 सेकंड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी \( = (1.59 + 1.2)\) मी. (लगभग) \( = 2.79\) मी. लगभगIn simple words: The problem is solved in two parts using the Pythagorean theorem. First, the initial length of the fishing line is found. Then, the length of the line after 12 seconds of reeling is calculated. Finally, the new horizontal distance of the hook from Nazima is determined using the remaining line length and the rod's height above the water.

🎯 Exam Tip: Remember to break down multi-step geometry problems into smaller right-angled triangles and apply the Pythagorean theorem carefully. Pay close attention to units (cm vs. m) and ensure all parts of the question are answered. Diagram interpretation is key for correct variable assignment.