UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 6 Coordinate Geometry Ex 64

Exercise 6.4 Coordinate Geometry अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष \( (0, 4), (0, -4) \) व \( (6, 0) \) हैं।
Answer: दिए गए शीर्षों \( (0, 4), (0, -4) \) और \( (6, 0) \) का उपयोग करके, हम त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं:
\( \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | (x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)) | \)
\( = \frac{1}{2} | (0(-4-0) + 0(0-4) + 6(4-(-4))) | \)
\( = \frac{1}{2} | (0 + 0 + 6(8)) | \)
\( = \frac{1}{2} | 48 | = 24 \) वर्ग इकाई। हमें हमेशा क्षेत्रफल को धनात्मक लेना चाहिए।
In simple words: इन तीन बिन्दुओं को जोड़कर जो त्रिभुज बनता है, उसका क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का सही उपयोग करें और यदि परिणाम ऋणात्मक आता है, तो हमेशा निरपेक्ष मान लें क्योंकि क्षेत्रफल कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता।

Question 2. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष \( (4, 6), (3, 4) \) व \( (6, 2) \) हैं।
Answer: दिए गए शीर्षों \( (4, 6), (3, 4) \) और \( (6, 2) \) के लिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र से निकालते हैं:
\( \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1) | \)
\( = \frac{1}{2} | (4 \times 4 + 3 \times 2 + 6 \times 6) - (6 \times 3 + 4 \times 6 + 2 \times 4) | \)
\( = \frac{1}{2} | (16 + 6 + 36) - (18 + 24 + 8) | \)
\( = \frac{1}{2} | 58 - 50 | \)
\( = \frac{1}{2} | 8 | = 4 \) वर्ग इकाई। यह दर्शाता है कि त्रिभुज कितनी जगह घेरता है।
In simple words: इन तीन बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है।

🎯 Exam Tip: निर्देशांकों को सही क्रम में रखना और गणना में कोई गलती न करना बहुत महत्वपूर्ण है, खासकर जब सूत्र में घटाव और गुणा शामिल हो।

Question 3. यदि बिन्दु \( A(x, y), B(3, 2) \) व \( C(1, 3) \) संरेख हैं तब \( x \) व \( y \) में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि तीन बिन्दु \( A(x, y), B(3, 2) \) और \( C(1, 3) \) संरेख (एक ही सीधी रेखा पर) हैं, तो उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
\( \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1) | = 0 \)

\( \implies \frac{1}{2} | (x \times 2 + 3 \times 3 + 1 \times y) - (y \times 3 + 2 \times 1 + 3 \times x) | = 0 \)

\( \implies (2x + 9 + y) - (3y + 2 + 3x) = 0 \)

\( \implies 2x + y + 9 - 3y - 3x - 2 = 0 \)

\( \implies -x - 2y + 7 = 0 \)

\( \implies x + 2y = 7 \)
यह समीकरण \( x \) और \( y \) के बीच का संबंध दिखाता है।
In simple words: अगर तीन बिन्दु एक ही रेखा पर हैं, तो उनके बीच का संबंध \( x + 2y = 7 \) होगा।

🎯 Exam Tip: संरेखता के प्रश्नों में, त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य के बराबर सेट करें और समीकरण को सरल बनाने के लिए सावधानी से गणना करें।

Question 4. यदि बिन्दु \( (a, 0), (1, -1) \) व \( (11, 4) \) सरेख हैं तब \( a \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: चूँकि बिन्दु \( (a, 0), (1, -1) \) और \( (11, 4) \) संरेख हैं, तो इनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
\( \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1) | = 0 \)

\( \implies \frac{1}{2} | (a \times (-1) + 1 \times 4 + 11 \times 0) - (0 \times 1 + (-1) \times 11 + 4 \times a) | = 0 \)

\( \implies (-a + 4 + 0) - (0 - 11 + 4a) = 0 \)

\( \implies -a + 4 + 11 - 4a = 0 \)

\( \implies -5a + 15 = 0 \)

\( \implies 5a = 15 \)

\( \implies a = 3 \)
इस तरह, \( a \) का मान 3 है।
In simple words: यदि ये बिन्दु एक ही रेखा पर हैं, तो \( a \) का मान 3 होगा।

🎯 Exam Tip: संरेखता के लिए त्रिभुज के क्षेत्रफल को शून्य के बराबर सेट करते समय, सभी पदों को सावधानी से विस्तारित करें और \( a \) के लिए हल करें।

Question 5. तीन बिन्दु संरेख होंगे यदि वे किस पर स्थित होंगे?
Answer: तीन बिन्दु संरेख कहलाते हैं यदि वे सभी एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। इसका मतलब है कि उनके बीच कोई मोड़ नहीं होता।
In simple words: तीन बिन्दु संरेख होते हैं, अगर वे एक सीधी लाइन में हों।

🎯 Exam Tip: 'संरेख' शब्द का अर्थ हमेशा 'एक ही रेखा पर स्थित' होता है। इस परिभाषा को याद रखना महत्वपूर्ण है।

Exercise 6.4 Coordinate Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 6. यदि बिन्दु \( (x, y), (-5, 7) \) व \( (-4, 5) \) संरेख हैं तो सिद्ध कीजिए कि \( 2x + y + 3 = 0 \)।
Answer: यदि तीन बिन्दु \( (x, y), (-5, 7) \) और \( (-4, 5) \) संरेख हैं, तो उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
\( \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1) | = 0 \)

\( \implies \frac{1}{2} | (x \times 7 + (-5) \times 5 + (-4) \times y) - (y \times (-5) + 7 \times (-4) + 5 \times x) | = 0 \)

\( \implies (7x - 25 - 4y) - (-5y - 28 + 5x) = 0 \)

\( \implies 7x - 25 - 4y + 5y + 28 - 5x = 0 \)

\( \implies 2x + y + 3 = 0 \)
इस तरह, यह संबंध सिद्ध होता है।
In simple words: अगर दिए गए बिन्दु एक ही रेखा पर हैं, तो उनका समीकरण \( 2x + y + 3 = 0 \) होगा।

🎯 Exam Tip: नकारात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय हमेशा सावधानी बरतें, खासकर घटाते समय, ताकि चिह्न संबंधी गलतियाँ न हों।

Question 7. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु \( (1, 2), (3, 3) \) व \( (-1, 1) \) संरेख हैं।
Answer: बिन्दु \( (1, 2), (3, 3) \) और \( (-1, 1) \) संरेख हैं या नहीं, यह जानने के लिए हम इनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
\( \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1) | \)
\( = \frac{1}{2} | (1 \times 3 + 3 \times 1 + (-1) \times 2) - (2 \times 3 + 3 \times (-1) + 1 \times 1) | \)
\( = \frac{1}{2} | (3 + 3 - 2) - (6 - 3 + 1) | \)
\( = \frac{1}{2} | 4 - 4 | \)
\( = \frac{1}{2} | 0 | = 0 \)
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है, इसका मतलब है कि ये तीनों बिन्दु एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं, यानी वे संरेख हैं।
In simple words: इन तीन बिन्दुओं से कोई त्रिभुज नहीं बनता, क्योंकि वे सभी एक सीधी लाइन में हैं।

🎯 Exam Tip: संरेखता सिद्ध करने के लिए क्षेत्रफल शून्य आना चाहिए। यदि आपको कोई गैर-शून्य मान मिलता है, तो अपनी गणना दोबारा जांचें।

Question 8. एक त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक \( (3, -\frac{7}{2}), (\frac{7}{2}, -1) \) व \( (\frac{5}{2}, \frac{3}{2}) \) हैं। सिद्ध कीजिए कि उसका क्षेत्रफल \( \frac{15}{8} \) वर्ग इकाई है।
Answer: दिए गए शीर्षों \( (3, -\frac{7}{2}), (\frac{7}{2}, -1) \) और \( (\frac{5}{2}, \frac{3}{2}) \) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करेंगे।
\( \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1) | \)
\( = \frac{1}{2} \left| \left( 3 \times (-1) + \frac{7}{2} \times \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \times \left(-\frac{7}{2}\right) \right) - \left( \left(-\frac{7}{2}\right) \times \frac{7}{2} + (-1) \times \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \times 3 \right) \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| \left( -3 + \frac{21}{4} - \frac{35}{4} \right) - \left( -\frac{49}{4} - \frac{10}{4} + \frac{18}{4} \right) \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| \left( \frac{-12 + 21 - 35}{4} \right) - \left( \frac{-49 - 10 + 18}{4} \right) \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| \frac{-26}{4} - \frac{-41}{4} \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| \frac{-26 + 41}{4} \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| \frac{15}{4} \right| = \frac{15}{8} \) वर्ग इकाई। इस प्रकार, क्षेत्रफल \( \frac{15}{8} \) वर्ग इकाई है।
In simple words: इस त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \frac{15}{8} \) वर्ग इकाई है, जो यह बताता है कि यह कितनी जगह घेरता है।

🎯 Exam Tip: भिन्न (fractions) वाले निर्देशांकों के साथ गणना करते समय, सामान्य हर (common denominator) का उपयोग करना और सभी संक्रियाओं को सावधानी से करना बहुत महत्वपूर्ण है।

Exercise 6.4 Coordinate Geometry दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 9. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु \( (a, b + c), (b, c + a) \) व \( (c, a + b) \) संरेख हैं।
Answer: यह सिद्ध करने के लिए कि बिन्दु \( (a, b+c), (b, c+a) \) और \( (c, a+b) \) संरेख हैं, हम इनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे। यदि क्षेत्रफल शून्य आता है, तो बिन्दु संरेख होंगे।
\( \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1) | \)
\( = \frac{1}{2} | (a(c+a) + b(a+b) + c(b+c)) - ((b+c)b + (c+a)c + (a+b)a) | \)
\( = \frac{1}{2} | (ac+a^2 + ab+b^2 + bc+c^2) - (b^2+bc + c^2+ac + a^2+ab) | \)
\( = \frac{1}{2} | ac+a^2+ab+b^2+bc+c^2 - b^2-bc-c^2-ac-a^2-ab | \)
\( = \frac{1}{2} | 0 | = 0 \)
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है, ये तीनों बिन्दु वास्तव में एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं, यानी वे संरेख हैं। यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण है।
In simple words: इन तीन बिन्दुओं को जोड़ने से त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य आता है, जिसका मतलब है कि ये सभी बिन्दु एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।

🎯 Exam Tip: इस तरह के बीजगणितीय प्रश्नों में, सभी पदों को सावधानी से विस्तारित करें और रद्द करें। अक्सर, ऐसे प्रश्नों में अंतिम परिणाम शून्य आता है।

Question 10. यदि बिन्दु \( (x, y),(2, 3) \) व \( (-3, 4) \) संरेख हैं तो सिद्ध कीजिए कि \( x + 5y = 17 \)।
Answer: यदि बिन्दु \( (x, y), (2, 3) \) और \( (-3, 4) \) संरेख हैं, तो इनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
\( \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1) | = 0 \)

\( \implies \frac{1}{2} | (x \times 3 + 2 \times 4 + (-3) \times y) - (y \times 2 + 3 \times (-3) + 4 \times x) | = 0 \)

\( \implies (3x + 8 - 3y) - (2y - 9 + 4x) = 0 \)

\( \implies 3x + 8 - 3y - 2y + 9 - 4x = 0 \)

\( \implies -x - 5y + 17 = 0 \)
दोनों पक्षों को \( -1 \) से गुणा करने पर, हमें संबंध प्राप्त होता है:
\( \implies x + 5y - 17 = 0 \)
\( \implies x + 5y = 17 \)
यह दर्शाता है कि बिन्दु \( x + 5y = 17 \) के समीकरण का पालन करते हैं।
In simple words: अगर ये बिन्दु एक सीधी रेखा में हैं, तो \( x \) और \( y \) के बीच का संबंध \( x + 5y = 17 \) होगा।

🎯 Exam Tip: संरेखता के लिए त्रिभुज के क्षेत्रफल को शून्य के बराबर निर्धारित करते समय, सूत्र में \( x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3 \) मानों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करें।

Question 11. सिद्ध कीजिए कि उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( \frac{41}{2} \) वर्ग इकाई है जिसके शीर्ष \( (1, 1), (3, 4), (5, -2) \) व \( (4, -7) \) हैं।
Answer: एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष \( A(1, 1), B(3, 4), C(5, -2) \) और \( D(4, -7) \) दिए गए हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करेंगे।
\( \text{चतुर्भुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) | \)
\( = \frac{1}{2} | (1 \times 4 + 3 \times (-2) + 5 \times (-7) + 4 \times 1) - (1 \times 3 + 4 \times 5 + (-2) \times 4 + (-7) \times 1) | \)
\( = \frac{1}{2} | (4 - 6 - 35 + 4) - (3 + 20 - 8 - 7) | \)
\( = \frac{1}{2} | (-33) - (8) | \)
\( = \frac{1}{2} | -41 | \)
\( = \frac{41}{2} \) वर्ग इकाई। क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए हम निरपेक्ष मान लेते हैं।
In simple words: इस चार-कोने वाली आकृति का क्षेत्रफल \( \frac{41}{2} \) वर्ग इकाई है, जो यह बताती है कि यह कितनी जगह घेरती है।

🎯 Exam Tip: चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, शीर्षों को एक क्रम में लेना सुनिश्चित करें (या तो दक्षिणावर्त या वामावर्त) और सूत्र को सही ढंग से लागू करें।

Question 12. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष \( (3, 0), (0, 6) \) व \( (6, 9) \) हैं। एक रेखा DE, AB व AC को \( 1 : 2 \) के अनुपात में विभाजित करती है। तब सिद्ध कीजिए कि \( \Delta ABC = 9\Delta ADE \)।
Answer: त्रिभुज ABC के शीर्ष \( A(3, 0), B(0, 6) \) और \( C(6, 9) \) दिए गए हैं। एक रेखा DE, भुजा AB और AC को \( 1:2 \) के अनुपात में विभाजित करती है।
सबसे पहले, हम विभाजन सूत्र का उपयोग करके बिन्दु D और E के निर्देशांक ज्ञात करेंगे:
1. बिन्दु D (जो AB को \( 1:2 \) में विभाजित करता है):
\( D = \left( \frac{1 \times 0 + 2 \times 3}{1+2}, \frac{1 \times 6 + 2 \times 0}{1+2} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{6}{3} \right) = (2, 2) \)
2. बिन्दु E (जो AC को \( 1:2 \) में विभाजित करता है):
\( E = \left( \frac{1 \times 6 + 2 \times 3}{1+2}, \frac{1 \times 9 + 2 \times 0}{1+2} \right) = \left( \frac{12}{3}, \frac{9}{3} \right) = (4, 3) \)
अब हम त्रिभुज ABC और त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे:
\( \text{त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | (3 \times 6 + 0 \times 9 + 6 \times 0) - (0 \times 0 + 6 \times 6 + 9 \times 3) | \)
\( = \frac{1}{2} | (18 + 0 + 0) - (0 + 36 + 27) | \)
\( = \frac{1}{2} | 18 - 63 | = \frac{1}{2} | -45 | = \frac{45}{2} \) वर्ग इकाई।
\( \text{त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | (3 \times 2 + 2 \times 3 + 4 \times 0) - (0 \times 2 + 2 \times 4 + 3 \times 3) | \)
\( = \frac{1}{2} | (6 + 6 + 0) - (0 + 8 + 9) | \)
\( = \frac{1}{2} | 12 - 17 | = \frac{1}{2} | -5 | = \frac{5}{2} \) वर्ग इकाई।
अब हम तुलना करेंगे:
\( 9 \times \text{त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल} = 9 \times \frac{5}{2} = \frac{45}{2} \)
चूँकि \( \text{त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल} = \frac{45}{2} \) है, इसलिए सिद्ध होता है कि \( \Delta ABC = 9\Delta ADE \)। यह संबंध समान त्रिभुजों के क्षेत्रफल के अनुपात को दर्शाता है।
In simple words: हमने पहले D और E बिन्दु खोजे, फिर बड़े त्रिभुज ABC और छोटे त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल निकाला। हमने देखा कि त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल त्रिभुज ADE के क्षेत्रफल का 9 गुना है।

🎯 Exam Tip: विभाजन सूत्र (section formula) का उपयोग करके आंतरिक विभाजन के लिए बिन्दुओं के निर्देशांकों की गणना करते समय बहुत सावधानी बरतें। फिर त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र को सही ढंग से लागू करें।

Question 13. एक बिन्दु इस प्रकार गति करता है कि उसकी बिन्दु \( (ae, 0) \) व \( (-ae, 0) \) से दूरी सदैव \( 2a \) रहती है। सिद्ध कीजिए कि उस बिन्दु का बिन्दुपथ \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) होगा। जहाँ \( b^2 = a^2(1 - e^2) \)।
Answer: माना गतिमान बिन्दु के निर्देशांक \( (h, k) \) हैं। बिन्दु \( (h, k) \) की बिन्दु \( (ae, 0) \) और \( (-ae, 0) \) से दूरियों का योग हमेशा \( 2a \) रहता है।
\( \sqrt{(h-ae)^2 + k^2} + \sqrt{(h+ae)^2 + k^2} = 2a \)
एक पद को दूसरी ओर ले जाकर वर्ग करने पर:
\( \sqrt{(h-ae)^2 + k^2} = 2a - \sqrt{(h+ae)^2 + k^2} \)
\( (h-ae)^2 + k^2 = 4a^2 + (h+ae)^2 + k^2 - 4a\sqrt{(h+ae)^2 + k^2} \)
\( h^2 - 2ahe + a^2e^2 + k^2 = 4a^2 + h^2 + 2ahe + a^2e^2 + k^2 - 4a\sqrt{(h+ae)^2 + k^2} \)
समान पदों को रद्द करने के बाद, हम पाते हैं:
\( -4ahe - 4a^2 = -4a\sqrt{(h+ae)^2 + k^2} \)

\( \implies a+he = \sqrt{(h+ae)^2 + k^2} \)
फिर से वर्ग करने पर:
\( (a+he)^2 = (h+ae)^2 + k^2 \)
\( a^2 + 2ahe + h^2e^2 = h^2 + 2ahe + a^2e^2 + k^2 \)
पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( a^2 - a^2e^2 = h^2 - h^2e^2 + k^2 \)
\( a^2(1 - e^2) = h^2(1-e^2) + k^2 \)

\( \implies 1 = \frac{h^2(1-e^2)}{a^2(1-e^2)} + \frac{k^2}{a^2(1-e^2)} \)

\( \implies \frac{h^2}{a^2} + \frac{k^2}{a^2(1-e^2)} = 1 \)
चूंकि दिया गया है कि \( b^2 = a^2(1 - e^2) \), हम इसे प्रतिस्थापित करते हैं:

\( \implies \frac{h^2}{a^2} + \frac{k^2}{b^2} = 1 \)
बिन्दुपथ के लिए, \( (h, k) \) को \( (x, y) \) से बदलने पर हमें प्राप्त होता है:
\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
यह दीर्घवृत्त का मानक समीकरण है।
In simple words: एक ऐसा बिन्दु जिसकी दो निश्चित बिन्दुओं से दूरियों का जोड़ हमेशा बराबर रहता है, वह एक अंडाकार रास्ता बनाता है जिसे दीर्घवृत्त कहते हैं।

🎯 Exam Tip: इस तरह के बिन्दुपथ के प्रश्नों में वर्ग करने की प्रक्रिया में बीजगणितीय विस्तार और सरलीकरण में सावधानी बरतें, क्योंकि इसमें कई पद होते हैं।

Question 14. एक बिन्दु इस प्रकार गति करता है कि उसकी बिन्दु \( (-g, -f) \) से दूरी सदैव \( a \) इकाई है। सिद्ध कीजिए कि उस बिन्दु का बिन्दुपथ \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) है, जहाँ \( c = g^2 + f^2 - a^2 \)।
Answer: माना गतिमान बिन्दु के निर्देशांक \( (h, k) \) हैं। इस बिन्दु की एक निश्चित बिन्दु \( (-g, -f) \) से दूरी हमेशा \( a \) इकाई रहती है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
\( \sqrt{(h - (-g))^2 + (k - (-f))^2} = a \)

\( \implies \sqrt{(h+g)^2 + (k+f)^2} = a \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( (h+g)^2 + (k+f)^2 = a^2 \)
इसे विस्तारित करने पर:
\( h^2 + 2hg + g^2 + k^2 + 2kf + f^2 = a^2 \)
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( h^2 + k^2 + 2gh + 2kf + g^2 + f^2 - a^2 = 0 \)
चूँकि दिया गया है कि \( c = g^2 + f^2 - a^2 \), हम इसे प्रतिस्थापित करते हैं:
\( h^2 + k^2 + 2gh + 2kf + c = 0 \)
बिन्दुपथ के लिए, \( (h, k) \) को \( (x, y) \) से बदलने पर हमें प्राप्त होता है:
\( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)
यह समीकरण एक वृत्त का सामान्य समीकरण है, जहाँ केंद्र \( (-g, -f) \) और त्रिज्या \( a \) है।
In simple words: एक ऐसा बिन्दु जो एक तय बिन्दु से हमेशा समान दूरी पर रहता है, वह एक वृत्त बनाता है।

🎯 Exam Tip: दूरी सूत्र को सही ढंग से लागू करें और फिर विस्तार और सरलीकरण के चरणों का ध्यान रखें। वर्ग करते समय हमेशा दोनों पक्षों का वर्ग करें।

Question 15. यदि तीन बिन्दु \( (a, 0), (0, b) \) व \( (x, y) \) संरेख हैं तब सिद्ध कीजिए कि \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1 \)।
Answer: यदि तीन बिन्दु \( (a, 0), (0, b) \) और \( (x, y) \) संरेख हैं, तो उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
\( \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1) | = 0 \)

\( \implies \frac{1}{2} | (a \times b + 0 \times y + x \times 0) - (0 \times 0 + b \times x + y \times a) | = 0 \)

\( \implies (ab + 0 + 0) - (0 + bx + ay) = 0 \)

\( \implies ab - bx - ay = 0 \)

\( \implies ab = bx + ay \)
दोनों पक्षों को \( ab \) से भाग देने पर (यह मानते हुए कि \( a \neq 0 \) और \( b \neq 0 \)):

\( \implies \frac{ab}{ab} = \frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} \)

\( \implies 1 = \frac{x}{a} + \frac{y}{b} \)
इस प्रकार, \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) संबंध सिद्ध होता है। यह एक रेखा का अंतःखंड रूप (intercept form) है।
In simple words: अगर तीन बिन्दु एक सीधी रेखा में हैं, तो वे \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) इस समीकरण का पालन करते हैं।

🎯 Exam Tip: संरेखता की स्थिति में, क्षेत्रफल के सूत्र को शून्य के बराबर रखें और समीकरण को सरल बनाने के लिए सही बीजगणितीय चरणों का पालन करें। ध्यान रखें कि \( ab \) से भाग देते समय यह शून्य नहीं होना चाहिए।

Question 16. यदि \( (-1, 3) \) व \( (4, -2) \) को मिलाने वाली रेखा बिन्दु \( (a, b) \) से होकर जाती है तो सिद्ध कीजिए कि \( a + b = 2 \)।
Answer: यदि बिन्दु \( (-1, 3) \) और \( (4, -2) \) को जोड़ने वाली रेखा बिन्दु \( (a, b) \) से होकर जाती है, तो इसका अर्थ है कि ये तीनों बिन्दु संरेख हैं। इसलिए, इनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
\( \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_1) | = 0 \)

\( \implies \frac{1}{2} | ((-1) \times (-2) + 4 \times b + a \times 3) - (3 \times 4 + (-2) \times a + b \times (-1)) | = 0 \)

\( \implies (2 + 4b + 3a) - (12 - 2a - b) = 0 \)

\( \implies 2 + 4b + 3a - 12 + 2a + b = 0 \)

\( \implies 5a + 5b - 10 = 0 \)

\( \implies 5a + 5b = 10 \)
दोनों पक्षों को \( 5 \) से भाग देने पर:

\( \implies a + b = 2 \)
यह सिद्ध करता है कि बिन्दु \( (a, b) \) रेखा पर स्थित होने पर \( a+b=2 \) संबंध का पालन करेगा।
In simple words: अगर तीन बिन्दु एक ही लाइन में हैं, तो उनके पहले दो बिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखा पर तीसरे बिन्दु के निर्देशांकों का योग \( a+b=2 \) होगा।

🎯 Exam Tip: बिन्दुओं के संरेख होने की स्थिति में, क्षेत्रफल को शून्य के बराबर सेट करें और सावधानीपूर्वक बीजगणितीय गणना करें, विशेष रूप से चिह्नों और गुणा को लेकर।