UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 6 Coordinate Geometry Ex 63

Ex 6.3 Coordinate Geometry अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. (7, 5), (5, 7) व (-3, 3) शीर्षों वाले त्रिभुज का केन्द्रक ज्ञात कीजिए।
Answer: त्रिभुज के केन्द्रक (centroid) के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम शीर्षों के x-निर्देशांकों को जोड़कर 3 से भाग देते हैं और इसी तरह y-निर्देशांकों के साथ भी करते हैं।
दिए गए शीर्ष हैं: \( (7, 5) \), \( (5, 7) \) और \( (-3, 3) \)
केन्द्रक \( = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) \)
केन्द्रक \( = \left(\frac{7+5+(-3)}{3}, \frac{5+7+3}{3}\right) \)
केन्द्रक \( = \left(\frac{7+5-3}{3}, \frac{5+7+3}{3}\right) \)
केन्द्रक \( = \left(\frac{9}{3}, \frac{15}{3}\right) \)
केन्द्रक \( = (3, 5) \)
In simple words: हमने त्रिभुज के तीनों कोने के बिंदुओं के x-मानों को जोड़ा और 3 से भाग दिया, फिर y-मानों को जोड़ा और 3 से भाग दिया। इससे हमें त्रिभुज का बीच का बिंदु मिला, जिसे केन्द्रक कहते हैं।

🎯 Exam Tip: केन्द्रक हमेशा त्रिभुज के अंदर होता है और इसकी स्थिति तीनों भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाली माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से निर्धारित होती है।

Question 2. (6, 0) व (0, 8) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु (midpoint) के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम उनके x-निर्देशांकों के औसत और y-निर्देशांकों के औसत का उपयोग करते हैं।
दिए गए बिन्दु हैं: \( (6, 0) \) और \( (0, 8) \)
मध्य बिन्दु के निर्देशांक \( = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \)
मध्य बिन्दु के निर्देशांक \( = \left(\frac{6+0}{2}, \frac{0+8}{2}\right) \)
मध्य बिन्दु के निर्देशांक \( = \left(\frac{6}{2}, \frac{8}{2}\right) \)
मध्य बिन्दु के निर्देशांक \( = (3, 4) \)
In simple words: हमने दोनों बिंदुओं के x-मानों को जोड़ा और आधे कर दिए, फिर y-मानों को जोड़ा और आधे कर दिए। इससे हमें उस रेखा का ठीक बीच का बिंदु मिल गया।

🎯 Exam Tip: मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग किसी भी रेखाखंड को दो बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदु को खोजने के लिए किया जाता है।

Question 3. बिन्दुओं (-3, 4) व (3, -4) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम उनके x-निर्देशांकों और y-निर्देशांकों का औसत लेते हैं।
दिए गए बिन्दु हैं: \( (-3, 4) \) और \( (3, -4) \)
मध्य बिन्दु के निर्देशांक \( = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \)
मध्य बिन्दु के निर्देशांक \( = \left(\frac{-3+3}{2}, \frac{4+(-4)}{2}\right) \)
मध्य बिन्दु के निर्देशांक \( = \left(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}\right) \)
मध्य बिन्दु के निर्देशांक \( = (0, 0) \)
In simple words: हमने दिए गए बिंदुओं के x-मानों को जोड़ा और 2 से भाग दिया, फिर y-मानों को जोड़ा और 2 से भाग दिया। ऐसा करने पर हमें मूलबिंदु (0,0) मिला।

🎯 Exam Tip: यदि मध्यबिंदु (0, 0) आता है, तो इसका मतलब है कि दिए गए दो बिंदु मूलबिंदु के संबंध में एक-दूसरे के विपरीत हैं।

Question 4. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो (0, 0) व (4, 0) को मिलाने वाली रेखा को 1 : 3 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है।
Answer: एक रेखाखंड को दिए गए अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग किया जाता है।
दिए गए बिन्दु हैं: \( (0, 0) \) और \( (4, 0) \)
अनुपात \( m_1:m_2 = 1:3 \)
विभाजन बिंदु के निर्देशांक \( = \left(\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}, \frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}\right) \)
विभाजन बिंदु के निर्देशांक \( = \left(\frac{1 \times 4 + 3 \times 0}{1+3}, \frac{1 \times 0 + 3 \times 0}{1+3}\right) \)
विभाजन बिंदु के निर्देशांक \( = \left(\frac{4+0}{4}, \frac{0+0}{4}\right) \)
विभाजन बिंदु के निर्देशांक \( = \left(\frac{4}{4}, \frac{0}{4}\right) \)
विभाजन बिंदु के निर्देशांक \( = (1, 0) \)
In simple words: हमने दो बिंदुओं को 1:3 के अनुपात में बांटने वाले बिंदु को खोजा। इसके लिए, हमने विभाजन सूत्र का इस्तेमाल किया, जहाँ पहले बिंदु को 1 और दूसरे बिंदु को 3 गुना महत्व दिया।

🎯 Exam Tip: 'अन्तः विभाजन' का अर्थ है कि बिंदु रेखाखंड के अंदर स्थित है। यदि अनुपात में से कोई भी शून्य होता, तो बिंदु रेखाखंड के एक सिरे पर होता।

Question 5. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (2, -3) व (-4, 6) को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है।
Answer: हम रेखाखंड को आंतरिक रूप से 1:2 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करेंगे।
दिए गए बिन्दु हैं: \( (2, -3) \) और \( (-4, 6) \)
अनुपात \( m_1:m_2 = 1:2 \)
विभाजन बिंदु के निर्देशांक \( = \left(\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}, \frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}\right) \)
X-निर्देशांक \( = \frac{1 \times (-4) + 2 \times 2}{1+2} = \frac{-4+4}{3} = \frac{0}{3} = 0 \)
Y-निर्देशांक \( = \frac{1 \times 6 + 2 \times (-3)}{1+2} = \frac{6-6}{3} = \frac{0}{3} = 0 \)
अतः, विभाजन बिंदु के निर्देशांक \( = (0, 0) \)
In simple words: हमने दो दिए गए बिंदुओं को 1:2 के अनुपात में बांटने वाले बिंदु को ढूंढा। इसका मतलब है कि यह बिंदु पहले बिंदु से 1 भाग और दूसरे बिंदु से 2 भाग दूर है।

🎯 Exam Tip: यदि परिणामी विभाजन बिंदु मूलबिंदु (0,0) आता है, तो यह दर्शाता है कि रेखाखंड मूलबिंदु से होकर गुजरता है और उसे दिए गए अनुपात में विभाजित करता है।

Question 6. उस बिन्दु का भुज ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (0, 4) व (0, 8) को मिलाने वाली रेखा को 3 : 1 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है।
Answer: हमें केवल विभाजन बिंदु का x-निर्देशांक (भुज) ज्ञात करना है।
दिए गए बिन्दु हैं: \( (0, 4) \) और \( (0, 8) \)
अनुपात \( m_1:m_2 = 3:1 \)
विभाजन बिंदु का X-निर्देशांक \( = \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2} \)
X-निर्देशांक \( = \frac{3 \times 0 + 1 \times 0}{3+1} \)
X-निर्देशांक \( = \frac{0+0}{4} \)
X-निर्देशांक \( = \frac{0}{4} \)
X-निर्देशांक \( = 0 \)
In simple words: हमने दो बिंदुओं को 3:1 के अनुपात में बांटने वाले बिंदु का केवल x-मान पता किया। चूँकि दोनों मूल बिंदुओं का x-मान 0 था, इसलिए विभाजन बिंदु का x-मान भी 0 होगा।

🎯 Exam Tip: भुज (abscissa) हमेशा x-निर्देशांक को दर्शाता है। यदि दो बिंदुओं के x-निर्देशांक समान हों, तो उन्हें मिलाने वाले रेखाखंड को किसी भी अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का x-निर्देशांक भी वही होगा।

Question 7. यदि बिन्दु (4, 0), बिन्दुओं (-8, 13) व (x, 7) को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु है। तब x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए बिन्दुओं \( (-8, 13) \) और \( (x, 7) \) का मध्य बिन्दु \( (4, 0) \) है। हम मध्य बिन्दु सूत्र का उपयोग करके x का मान ज्ञात करेंगे।
मध्य बिन्दु का X-निर्देशांक \( = \frac{x_1+x_2}{2} \)
यहाँ, मध्य बिन्दु का X-निर्देशांक \( = 4 \)
\( 4 = \frac{-8+x}{2} \)
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर:
\( 8 = -8+x \)
x का मान ज्ञात करने के लिए, -8 को दूसरे पक्ष में ले जाएँ:
\( x = 8+8 \)
\( x = 16 \)
In simple words: हमें दो बिंदुओं के बीच का बिंदु दिया गया था, और हमें उनमें से एक बिंदु का गायब x-मान खोजना था। हमने मध्य बिंदु के सूत्र का उपयोग करके x का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: जब मध्यबिंदु दिया गया हो और एक अज्ञात निर्देशांक ज्ञात करना हो, तो केवल उसी निर्देशांक के मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करें जिसकी आवश्यकता है।

Question 8. वह अनुपात ज्ञात कीजिए, जिसमें (-4, -3) व (5, 2) को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष को काटता है।
Answer: माना रेखाखंड \( (-4, -3) \) और \( (5, 2) \) को मिलाने वाला बिंदु x-अक्ष को \( k:1 \) के अनुपात में विभाजित करता है। x-अक्ष पर किसी भी बिंदु का y-निर्देशांक हमेशा 0 होता है।
माना विभाजन बिंदु \( (X, 0) \) है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए, Y-निर्देशांक के लिए:
\( y = \frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \)
यहाँ, \( y = 0 \), \( (x_1, y_1) = (-4, -3) \), \( (x_2, y_2) = (5, 2) \), \( m_1 = k \), \( m_2 = 1 \)
\( 0 = \frac{k \times 2 + 1 \times (-3)}{k+1} \)
\( 0 = 2k - 3 \)
3 को दूसरे पक्ष में ले जाने पर:
\( 3 = 2k \)
अनुपात \( k = \frac{3}{2} \)
अतः, आवश्यक अनुपात \( m_1:m_2 = 3:2 \)
In simple words: हमने पता लगाया कि एक रेखा x-अक्ष को किस जगह काटती है। क्योंकि x-अक्ष पर y-मान हमेशा शून्य होता है, हमने इस जानकारी का उपयोग करके विभाजन अनुपात पता किया।

🎯 Exam Tip: जब कोई रेखाखंड x-अक्ष को काटता है, तो विभाजन बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है। यदि वह y-अक्ष को काटता है, तो विभाजन बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है।

Ex 6.3 Coordinate Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 9. त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (-1, 3), (-3, 2) व (5, -1) हैं । सिद्ध कीजिए कि शीर्ष A से डाली गयी माध्यिका की लम्बाई \(\sqrt{\frac{41}{4}}\) इकाई है।
Answer: हमें त्रिभुज ABC के शीर्ष दिए गए हैं और शीर्ष A से डाली गई माध्यिका की लंबाई ज्ञात करनी है।
शीर्ष हैं: \( A=(-1, 3) \), \( B=(-3, 2) \), \( C=(5, -1) \)
माध्यिका A से BC के मध्यबिंदु M तक जाती है। सबसे पहले, हम BC के मध्यबिंदु M के निर्देशांक ज्ञात करेंगे।
मध्यबिंदु M \( = \left(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}\right) \)
मध्यबिंदु M \( = \left(\frac{-3+5}{2}, \frac{2+(-1)}{2}\right) \)
मध्यबिंदु M \( = \left(\frac{2}{2}, \frac{1}{2}\right) \)
मध्यबिंदु M \( = \left(1, \frac{1}{2}\right) \)
अब, हम बिंदु A \( (-1, 3) \) और M \( \left(1, \frac{1}{2}\right) \) के बीच की दूरी (माध्यिका AM की लंबाई) ज्ञात करेंगे।
दूरी सूत्र \( = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
\( AM = \sqrt{(1-(-1))^2 + \left(\frac{1}{2}-3\right)^2} \)
\( AM = \sqrt{(1+1)^2 + \left(\frac{1-6}{2}\right)^2} \)
\( AM = \sqrt{(2)^2 + \left(\frac{-5}{2}\right)^2} \)
\( AM = \sqrt{4 + \frac{25}{4}} \)
\( AM = \sqrt{\frac{16+25}{4}} \)
\( AM = \sqrt{\frac{41}{4}} \) इकाई
इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि शीर्ष A से डाली गई माध्यिका की लंबाई \( \sqrt{\frac{41}{4}} \) इकाई है। माध्यिका एक रेखाखंड होती है जो एक शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ती है।
In simple words: हमने पहले त्रिभुज की एक भुजा (BC) का बीच का बिंदु (M) निकाला। फिर, हमने शीर्ष A से उस बीच के बिंदु M तक की दूरी निकाली। यही दूरी शीर्ष A से डाली गई माध्यिका की लंबाई है।

🎯 Exam Tip: माध्यिका की लंबाई ज्ञात करने के लिए हमेशा पहले विपरीत भुजा का मध्यबिंदु ज्ञात करें और फिर उस मध्यबिंदु और संबंधित शीर्ष के बीच की दूरी ज्ञात करें।

Question 10. एक चतुर्भुज के शीर्ष (3, -2), (-3, 4), (1, 8) व (7, 4) हैं। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाएँ एक समान्तर चतुर्भुज बनाती हैं।
Answer: माना दिए गए चतुर्भुज के शीर्ष हैं: \( A=(3, -2) \), \( B=(-3, 4) \), \( C=(1, 8) \) और \( D=(7, 4) \)।
हम भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्यबिंदुओं P, Q, R और S के निर्देशांक ज्ञात करेंगे।
P (AB का मध्यबिंदु) \( = \left(\frac{3+(-3)}{2}, \frac{-2+4}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}, \frac{2}{2}\right) = (0, 1) \)
Q (BC का मध्यबिंदु) \( = \left(\frac{-3+1}{2}, \frac{4+8}{2}\right) = \left(\frac{-2}{2}, \frac{12}{2}\right) = (-1, 6) \)
R (CD का मध्यबिंदु) \( = \left(\frac{1+7}{2}, \frac{8+4}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{12}{2}\right) = (4, 6) \)
S (DA का मध्यबिंदु) \( = \left(\frac{7+3}{2}, \frac{4+(-2)}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{2}{2}\right) = (5, 1) \)
अब, हमें सिद्ध करना है कि PQRS एक समांतर चतुर्भुज है। एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होता है यदि उसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (अर्थात्, उनके मध्यबिंदु समान होते हैं)।
विकर्ण PR का मध्यबिंदु \( = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{1+6}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{7}{2}\right) = \left(2, \frac{7}{2}\right) \)
विकर्ण SQ का मध्यबिंदु \( = \left(\frac{5+(-1)}{2}, \frac{1+6}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{7}{2}\right) = \left(2, \frac{7}{2}\right) \)
चूँकि विकर्ण PR और SQ के मध्यबिंदु समान हैं, अतः वे एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इससे सिद्ध होता है कि PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
In simple words: हमने एक बड़े चतुर्भुज की हर भुजा का बीच का बिंदु (मध्यबिंदु) पता किया। फिर, उन मध्यबिंदुओं को जोड़कर एक नया चतुर्भुज बनाया। हमने दिखाया कि इस नए चतुर्भुज के बीच के बिंदु भी समान हैं, जिसका मतलब है कि यह एक समांतर चतुर्भुज है।

🎯 Exam Tip: किसी भी चतुर्भुज के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला चतुर्भुज हमेशा एक समांतर चतुर्भुज होता है। इसे सिद्ध करने का सबसे सरल तरीका विकर्णों के मध्यबिंदुओं की समानता दिखाना है।

Ex 6.3 Coordinate Geometry दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 11. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (1, 4), B(2, -3) व C(-1, -2) हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक \(\left(\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}\right)\) हैं।
Answer: हमें त्रिभुज ABC के शीर्ष दिए गए हैं और हमें इसके केन्द्रक (centroid) के निर्देशांक सिद्ध करने हैं।
दिए गए शीर्ष हैं: \( A=(1, 4) \), \( B=(2, -3) \) और \( C=(-1, -2) \)
त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक \( = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) \)
केन्द्रक \( = \left(\frac{1+2+(-1)}{3}, \frac{4+(-3)+(-2)}{3}\right) \)
केन्द्रक \( = \left(\frac{1+2-1}{3}, \frac{4-3-2}{3}\right) \)
केन्द्रक \( = \left(\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}\right) \)
इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक \( \left(\frac{2}{3}, \frac{-1}{3}\right) \) हैं। यह केन्द्रक त्रिभुज के तीनों माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।
In simple words: हमने त्रिभुज के तीनों कोनों के x-मानों को जोड़ा और 3 से भाग दिया, फिर y-मानों को जोड़ा और 3 से भाग दिया। इस तरह हमें त्रिभुज का वह बिंदु मिला जो तीनों माध्यिकाओं के मिलने से बनता है।

🎯 Exam Tip: केन्द्रक सूत्र में ध्यान दें कि सभी निर्देशांकों को सही ढंग से जोड़ा जाए, विशेष रूप से ऋणात्मक मानों के साथ, और फिर योग को 3 से विभाजित करें।

Question 12. एक बिन्दु P, किसी रेखाखण्ड AB को 3 : 2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है। यदि बिन्दु A व B के निर्देशांक क्रमशः (4, 3) व (2, 1) हैं। सिद्ध कीजिए कि P के निर्देशांक (-2, -3) हैं।
Answer: हमें एक बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात करने हैं जो रेखाखंड AB को बाह्य रूप से 3:2 के अनुपात में विभाजित करता है।
दिए गए बिन्दु हैं: \( A=(4, 3) \) और \( B=(2, 1) \)
अनुपात \( m_1:m_2 = 3:2 \)
बाह्य विभाजन सूत्र है: \( \left(\frac{m_1x_2-m_2x_1}{m_1-m_2}, \frac{m_1y_2-m_2y_1}{m_1-m_2}\right) \)
बिंदु P का X-निर्देशांक \( = \frac{3 \times 2 - 2 \times 4}{3-2} = \frac{6-8}{1} = -2 \)
बिंदु P का Y-निर्देशांक \( = \frac{3 \times 1 - 2 \times 3}{3-2} = \frac{3-6}{1} = -3 \)
इस प्रकार, बिंदु P के निर्देशांक \( = (-2, -3) \) हैं। बाह्य विभाजन का मतलब है कि बिंदु रेखाखंड के बाहर, उसकी बढ़ी हुई रेखा पर स्थित है।
In simple words: हमने दो बिंदुओं को 3:2 के अनुपात में बाहर से बांटने वाले बिंदु को ढूंढा। बाह्य विभाजन सूत्र में, हम घटाते हैं बजाय जोड़ने के।

🎯 Exam Tip: आंतरिक और बाह्य विभाजन सूत्रों के बीच अंतर को ध्यान से समझें, विशेष रूप से चिह्न (+/-) के मामले में। बाह्य विभाजन में हमेशा माइनस चिह्न का उपयोग होता है।

Question 13. किसी वृत्त के व्यास के एक सिरे के निर्देशांक (3, 5) हैं। यदि केन्द्रक के निर्देशांक (6,6) हो तो व्यास के दूसरे सिरे के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें वृत्त के व्यास के एक सिरे के निर्देशांक और वृत्त के केंद्र के निर्देशांक दिए गए हैं। वृत्त का केंद्र व्यास का मध्यबिंदु होता है।
व्यास का एक सिरा \( = (3, 5) \)
केंद्र (मध्यबिंदु) \( = (6, 6) \)
माना व्यास का दूसरा सिरा \( = (x, y) \)
मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
केंद्र का X-निर्देशांक \( = \frac{x_1+x_2}{2} \)
\( 6 = \frac{3+x}{2} \)
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर:
\( 12 = 3+x \)
\( x = 12-3 \)
\( x = 9 \)
केंद्र का Y-निर्देशांक \( = \frac{y_1+y_2}{2} \)
\( 6 = \frac{5+y}{2} \)
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर:
\( 12 = 5+y \)
\( y = 12-5 \)
\( y = 7 \)
अतः, व्यास के दूसरे सिरे के निर्देशांक \( = (9, 7) \) हैं।
In simple words: हमें एक वृत्त के व्यास का एक सिरा और उसका केंद्र पता था। चूंकि केंद्र व्यास का ठीक बीच का बिंदु होता है, हमने इस जानकारी का उपयोग करके व्यास के दूसरे सिरे के निर्देशांक निकाले।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि वृत्त का केंद्र हमेशा उसके व्यास का मध्यबिंदु होता है। इस अवधारणा का उपयोग अक्सर अज्ञात व्यास के सिरे या केंद्र के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

Question 14. किसी समान्तर चतुर्भुज के तीन क्रमागत शीर्षों के निर्देशांक (-1, 0), (3, 1) व (2, 2) हैं। सिद्ध कीजिए कि चौथे शीर्ष के निर्देशांक (-2, 1) होंगे।
Answer: हमें एक समांतर चतुर्भुज के तीन क्रमागत शीर्ष दिए गए हैं और हमें चौथे शीर्ष के निर्देशांक सिद्ध करने हैं।
माना शीर्ष हैं: \( A=(-1, 0) \), \( B=(3, 1) \), \( C=(2, 2) \)।
माना चौथा शीर्ष \( D=(x, y) \) है।
एक समांतर चतुर्भुज में, विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, जिसका अर्थ है कि विकर्ण AC का मध्यबिंदु विकर्ण BD के मध्यबिंदु के समान होता है।
विकर्ण AC का मध्यबिंदु \( = \left(\frac{-1+2}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{2}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1\right) \)
विकर्ण BD का मध्यबिंदु \( = \left(\frac{3+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right) \)
अब, दोनों मध्यबिंदुओं के x-निर्देशांकों को बराबर करने पर:
\( \frac{3+x}{2} = \frac{1}{2} \)
\( 3+x = 1 \)
\( x = 1-3 \)
\( x = -2 \)
अब, दोनों मध्यबिंदुओं के y-निर्देशांकों को बराबर करने पर:
\( \frac{1+y}{2} = 1 \)
\( 1+y = 2 \)
\( y = 2-1 \)
\( y = 1 \)
अतः, चौथे शीर्ष D के निर्देशांक \( = (-2, 1) \) हैं। इस प्रकार, यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने समांतर चतुर्भुज के तीन कोने दिए होने पर चौथा कोना ढूंढा। हमने इस नियम का उपयोग किया कि समांतर चतुर्भुज के बीच से गुजरने वाली दोनों रेखाओं (विकर्णों) का मध्य बिंदु हमेशा एक ही होता है।

🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज की एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय विशेषता यह है कि उसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। यह संपत्ति अज्ञात शीर्ष निर्देशांकों को खोजने के लिए उपयोगी है।

Question 15. किसी \( \triangle ABC \) में, D भुजा BC का मध्य बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि \( AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + CD^2) \) है।
Answer: हमें सिद्ध करना है कि किसी त्रिभुज में, यदि D किसी भुजा का मध्यबिंदु है, तो \( AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + CD^2) \) होता है। यह अपोलोनियस प्रमेय है।
सरलता के लिए, हम निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करेंगे:
माना बिंदु D मूलबिंदु \( (0, 0) \) है।
चूंकि D भुजा BC का मध्यबिंदु है, तो B और C, D से समान दूरी पर विपरीत दिशाओं में होंगे।
माना \( C=(a, 0) \), तब \( B=(-a, 0) \) होगा।
माना शीर्ष \( A=(0, b) \) है।
अब, हम विभिन्न दूरियों के वर्गों की गणना करेंगे:
\( AB^2 = (0-(-a))^2 + (b-0)^2 = (a)^2 + (b)^2 = a^2+b^2 \)
\( AC^2 = (0-a)^2 + (b-0)^2 = (-a)^2 + (b)^2 = a^2+b^2 \)
बायां पक्ष: \( AB^2 + AC^2 = (a^2+b^2) + (a^2+b^2) = 2a^2+2b^2 = 2(a^2+b^2) \)
दायां पक्ष: अब \( AD^2 \) और \( CD^2 \) की गणना करें:
\( AD^2 = (0-0)^2 + (b-0)^2 = 0^2 + b^2 = b^2 \)
\( CD^2 = (a-0)^2 + (0-0)^2 = a^2 + 0^2 = a^2 \)
दायां पक्ष: \( 2(AD^2 + CD^2) = 2(b^2+a^2) = 2(a^2+b^2) \)
चूँकि बायां पक्ष \( (AB^2 + AC^2) \) और दायां पक्ष \( (2(AD^2 + CD^2)) \) दोनों \( 2(a^2+b^2) \) के बराबर हैं, अतः समीकरण सिद्ध होता है:
\( AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + CD^2) \)
In simple words: हमने एक त्रिभुज लिया और उसके एक किनारे के बीच के बिंदु को 'D' कहा। हमने फिर दिखाया कि त्रिभुज की बाकी दो भुजाओं के वर्गों का जोड़, किनारे के बीच के बिंदु से शीर्ष तक की दूरी के वर्ग और बीच के बिंदु से किनारे तक की दूरी के वर्ग के दो गुना के बराबर होता है।

🎯 Exam Tip: अपोलोनियस प्रमेय त्रिभुज ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण परिणाम है। इसे सिद्ध करने के लिए निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करते समय, मध्यबिंदु को मूलबिंदु पर रखना गणना को सरल बनाता है।