UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 6 Coordinate Geometry Ex 62

Exercise 6.2 Coordinate Geometry अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. किसी बिन्दु का भुज किस चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है?
Answer: यदि किसी बिन्दु का भुज ऋणात्मक हो, तो वह द्वितीय (II) तथा तृतीय (III) चतुर्थांश में होगा। भुज, या x-निर्देशांक, y-अक्ष के बाईं ओर ऋणात्मक होता है।
In simple words: किसी बिन्दु का x-निर्देशांक दूसरे और तीसरे हिस्सों में ऋणात्मक होता है।

🎯 Exam Tip: चतुर्थांशों में निर्देशांकों के चिह्नों को याद रखने के लिए, x-अक्ष और y-अक्ष को मूल बिन्दु पर काटते हुए कल्पना करें।

Question 2. वह बिन्दु जिसके दोनों निर्देशांक धनात्मक हैं किस चतुर्थांश में होगा?
Answer: यदि किसी बिन्दु के दोनों निर्देशांक (भुज और कोटि) धनात्मक हैं, तो वह प्रथम (I) चतुर्थांश में होगा। इस चतुर्थांश में सभी मान मूल बिंदु से ऊपर और दाईं ओर होते हैं।
In simple words: जिस बिन्दु के दोनों नंबर (x और y) प्लस (+) में होते हैं, वह पहले हिस्से में होता है।

🎯 Exam Tip: निर्देशांकों के चिह्नों का सही ज्ञान होना महत्वपूर्ण है, खासकर जब बिन्दुओं को ग्राफ पर दर्शाना हो।

Question 3. तीसरे चतुर्थांश में भुज व कोटि के चिह्न क्या होंगे?
Answer: तृतीय चतुर्थांश में भुज (x-निर्देशांक) तथा कोटि (y-निर्देशांक) दोनों के चिह्न ऋणात्मक होते हैं, यानी \((-,-)\) होते हैं। यह चतुर्थांश मूल बिंदु से बाईं ओर और नीचे स्थित होता है।
In simple words: तीसरे हिस्से में x और y दोनों नंबर माइनस (-) में होते हैं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि तीसरे चतुर्थांश में, आपको मूल बिंदु से बाईं ओर और फिर नीचे जाना होता है, जिससे दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हो जाते हैं।

Question 4. किस चतुर्थांश में भुज व कोटि अलग-अलग चिह्न के होते हैं?
Answer: वह बिन्दु जिसके भुज और कोटि के चिह्न विपरीत होते हैं, वह द्वितीय (II) और चतुर्थ (IV) चतुर्थांश में होगा। द्वितीय चतुर्थांश में \((-,-)\) होता है और चतुर्थ चतुर्थांश में \((+,-)\) होता है।
In simple words: जब x और y के नंबरों के निशान अलग-अलग हों (एक प्लस, एक माइनस), तो वह बिन्दु दूसरे या चौथे हिस्से में होता है।

🎯 Exam Tip: यदि x और y निर्देशांक के चिह्न अलग-अलग हों, तो बिन्दु किसी भी अक्ष पर नहीं होता, बल्कि चतुर्थांश में होता है।

Question 5. बिन्दुओं O(0, 0), A(5, 0), B(5, 3), C(0, 3) को निरूपित कर तथा OA, AB, BC व CO, को मिलाने पर क्या आकृति प्राप्त होगी?
Answer: बिन्दुओं O(0, 0), A(5, 0), B(5, 3), और C(0, 3) को एक निर्देशांक तल पर निरूपित करने और भुजाओं OA, AB, BC, तथा CO को मिलाने पर एक आयत प्राप्त होता है। यह आकृति x-अक्ष और y-अक्ष के समानांतर भुजाओं वाला एक बंद क्षेत्र बनाती है।
In simple words: जब आप O(0,0), A(5,0), B(5,3) और C(0,3) बिन्दुओं को मिलाते हैं, तो आपको एक आयत मिलता है।

🎯 Exam Tip: किसी भी बिन्दु को निर्देशांक अक्षों पर सही ढंग से दर्शाना और फिर उन्हें एक क्रम में जोड़कर बनने वाली आकृति की पहचान करना सीखें।

Question 6. यदि किसी बिन्दु का x-निर्देशांक शून्य है तो वह किस चतुर्थांश में स्थित होगा?
Answer: यदि किसी बिन्दु का x-निर्देशांक शून्य हो (\(x=0\)), तो वह बिन्दु किसी भी चतुर्थांश में स्थित नहीं होगा। इसके बजाय, यह बिन्दु हमेशा y-अक्ष पर स्थित होगा। x-अक्ष पर y-निर्देशांक शून्य होता है, जबकि y-अक्ष पर x-निर्देशांक शून्य होता है।
In simple words: अगर किसी बिन्दु में x का मान 0 है, तो वह बिन्दु y-अक्ष पर होगा, किसी भी चतुर्थांश में नहीं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि जब कोई निर्देशांक शून्य होता है, तो बिन्दु चतुर्थांश में नहीं बल्कि निर्देशांक अक्ष पर स्थित होता है।

Question 7. एक बिन्दु जिसके दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं किस चतुर्थांश में होगा?
Answer: एक बिन्दु जिसके दोनों निर्देशांक (भुज और कोटि) ऋणात्मक हैं, वह तृतीय (III) चतुर्थांश में होगा। इस चतुर्थांश में x-मान बाईं ओर और y-मान नीचे होते हैं।
In simple words: जिस बिन्दु में x और y दोनों नंबर माइनस (-) में हों, वह तीसरे हिस्से में होता है।

🎯 Exam Tip: चतुर्थांशों में बिन्दुओं के चिह्नों को समझकर, आप किसी भी बिन्दु की स्थिति को आसानी से पहचान सकते हैं।

Question 8. x-अक्ष पर सभी बिन्दुओं के भुज का मान क्या है?
Answer: x-अक्ष पर स्थित सभी बिन्दुओं का भुज (x-निर्देशांक) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है। जबकि, x-अक्ष पर स्थित किसी भी बिन्दु का कोटि (y-निर्देशांक) हमेशा शून्य होता है।
In simple words: x-अक्ष पर कोई भी बिन्दु हो, उसका पहला नंबर (x-मान) कुछ भी हो सकता है, लेकिन दूसरा नंबर (y-मान) हमेशा 0 ही रहेगा।

🎯 Exam Tip: जब कोई बिन्दु x-अक्ष पर हो, तो उसका y-निर्देशांक हमेशा शून्य होता है।

Question 9. y-अक्ष पर उसकी विपरीत दिशा में 4 इकाई पर स्थित बिन्दु के निर्देशांक क्या हैं?
Answer: y-अक्ष पर उसकी विपरीत दिशा में 4 इकाई पर स्थित बिन्दु का मतलब है कि बिन्दु y-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में मूल बिन्दु से 4 इकाई नीचे है। ऐसे बिन्दु के निर्देशांक \((0, -4)\) होंगे। y-अक्ष पर सभी बिन्दुओं का x-निर्देशांक शून्य होता है।
In simple words: y-अक्ष पर, अगर आप उल्टी दिशा में 4 कदम जाते हैं, तो वह बिन्दु \((0, -4)\) होगा।

🎯 Exam Tip: विपरीत दिशा का मतलब अक्सर ऋणात्मक दिशा होता है, खासकर जब निर्देशांक अक्षों की बात हो।

Question 10. बिन्दु P(3, 4) की मूल बिन्दु से दूरी क्या है?
Answer: बिन्दु P(3, 4) और मूल बिन्दु O(0, 0) के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं। दूरी सूत्र: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
यहाँ \( (x_1, y_1) = (0, 0) \) और \( (x_2, y_2) = (3, 4) \)
\( PO = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} \)
\( PO = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \)
\( PO = \sqrt{9 + 16} \)
\( PO = \sqrt{25} \)
\( PO = 5 \) इकाई
इसलिए, बिन्दु P(3, 4) की मूल बिन्दु से दूरी 5 इकाई होगी। किसी बिन्दु की मूल बिन्दु से दूरी उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होती है।
In simple words: बिन्दु P(3,4) और मूल बिन्दु (0,0) के बीच की दूरी 5 इकाई है। हमने x-मानों के अंतर और y-मानों के अंतर का वर्ग करके, उन्हें जोड़कर और फिर वर्गमूल निकालकर यह दूरी ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: मूल बिन्दु \((0,0)\) से किसी बिन्दु \((x,y)\) की दूरी हमेशा \( \sqrt{x^2 + y^2} \) होती है। इस सूत्र को याद रखें।

Question 11. बिन्दु (5, -3) व (8, 1) के बीच की दूरी क्या है?
Answer: बिन्दु \((5, -3)\) और \((8, 1)\) के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं।
दूरी सूत्र: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
यहाँ \( (x_1, y_1) = (5, -3) \) और \( (x_2, y_2) = (8, 1) \)
\( d = \sqrt{(8-5)^2 + (1 - (-3))^2} \)
\( d = \sqrt{(3)^2 + (1+3)^2} \)
\( d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \)
\( d = \sqrt{9 + 16} \)
\( d = \sqrt{25} \)
\( d = 5 \) इकाई
इसलिए, बिन्दु \((5, -3)\) और \((8, 1)\) के बीच की दूरी 5 इकाई है। दूरी सूत्र दो बिन्दुओं के बीच की सीधी रेखा की लंबाई बताता है।
In simple words: बिन्दु \((5, -3)\) और \((8, 1)\) के बीच की दूरी 5 इकाई है। हमने x-मानों के अंतर और y-मानों के अंतर का वर्ग करके, उन्हें जोड़कर और फिर वर्गमूल निकालकर यह दूरी निकाली।

🎯 Exam Tip: दूरी सूत्र का उपयोग करते समय ऋणात्मक चिह्नों का ध्यान रखें, खासकर जब y-निर्देशांक ऋणात्मक हों।

Exercise 6.2 Coordinate Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 12. निम्न बिन्दुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ।
(i) (-5, 2) व (7, -3)
(ii) (2, 0) व (-1, 4)
Answer: हम प्रत्येक भाग के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करेंगे, जो \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) है।
(i) बिन्दु \((-5, 2)\) और \((7, -3)\) के बीच की दूरी:
\( d = \sqrt{(7 - (-5))^2 + (-3 - 2)^2} \)
\( d = \sqrt{(7 + 5)^2 + (-5)^2} \)
\( d = \sqrt{(12)^2 + (-5)^2} \)
\( d = \sqrt{144 + 25} \)
\( d = \sqrt{169} \)
\( d = 13 \) इकाई
(ii) बिन्दु \((2, 0)\) और \((-1, 4)\) के बीच की दूरी:
\( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (4 - 0)^2} \)
\( d = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} \)
\( d = \sqrt{9 + 16} \)
\( d = \sqrt{25} \)
\( d = 5 \) इकाई
दूरी सूत्र हमें दो बिन्दुओं के बीच सबसे छोटी दूरी खोजने में मदद करता है।
In simple words: (i) बिन्दु \((-5, 2)\) और \((7, -3)\) के बीच 13 इकाई की दूरी है। (ii) बिन्दु \((2, 0)\) और \((-1, 4)\) के बीच 5 इकाई की दूरी है। हमने दोनों के लिए दूरी सूत्र का इस्तेमाल किया।

🎯 Exam Tip: दूरी सूत्र में वर्ग और वर्गमूल की गणना करते समय चिह्नों और कोष्ठकों पर विशेष ध्यान दें ताकि गलतियाँ न हों।

Question 13. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (4, 3), (6, 4), (5, 6) व (3, 5) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
Answer: माना दिए गए बिन्दु हैं: \(A=(4, 3)\), \(B=(6, 4)\), \(C=(5, 6)\) और \(D=(3, 5)\)।
हमें यह सिद्ध करने के लिए कि ये एक वर्ग के शीर्ष हैं, सभी भुजाओं की लंबाई और विकर्णों की लंबाई ज्ञात करनी होगी। एक वर्ग में, सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और दोनों विकर्ण भी बराबर होते हैं।
दूरी सूत्र \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) का उपयोग करके:
भुजाओं की लंबाई:
\( AB = \sqrt{(6-4)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{(2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \) इकाई
\( BC = \sqrt{(5-6)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \) इकाई
\( CD = \sqrt{(3-5)^2 + (5-6)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \) इकाई
\( DA = \sqrt{(4-3)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \) इकाई
चूंकि \( AB = BC = CD = DA = \sqrt{5} \) इकाई, सभी भुजाएँ बराबर हैं।
विकर्णों की लंबाई:
\( AC = \sqrt{(5-4)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{(1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} \) इकाई
\( BD = \sqrt{(3-6)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \) इकाई
चूंकि \( AC = BD = \sqrt{10} \) इकाई, दोनों विकर्ण भी बराबर हैं।
अतः, क्योंकि सभी भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं, दिए गए बिन्दु एक वर्ग के शीर्ष हैं। यह ज्यामितीय गुण वर्ग की परिभाषा के लिए आवश्यक है।
In simple words: हमने सभी चार बिन्दुओं के बीच की दूरी निकाली। हमें पता चला कि सभी चार भुजाएँ (\(AB, BC, CD, DA\)) एक ही लंबाई की हैं (\( \sqrt{5} \) इकाई)। हमने विकर्णों (\(AC, BD\)) की दूरी भी निकाली, जो भी बराबर (\( \sqrt{10} \) इकाई) निकली। क्योंकि एक ऐसी आकृति में सभी भुजाएँ और विकर्ण बराबर होते हैं, वह एक वर्ग होता है।

🎯 Exam Tip: किसी चतुर्भुज को वर्ग सिद्ध करने के लिए, आपको उसकी चारों भुजाओं और दोनों विकर्णों की लंबाई को बराबर दिखाना होता है।

Question 14. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (14, 10), (11, 13) व (2, -2) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Answer: माना दिए गए बिन्दु हैं: \(A=(14, 10)\), \(B=(11, 13)\) और \(C=(2, -2)\)।
हमें यह सिद्ध करने के लिए कि ये एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं, प्रत्येक भुजा की लंबाई का वर्ग ज्ञात करना होगा और फिर पाइथागोरस प्रमेय को सत्यापित करना होगा (\(a^2 + b^2 = c^2\))।
दूरी सूत्र \(d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\) का उपयोग करके:
\( AB^2 = (11 - 14)^2 + (13 - 10)^2 = (-3)^2 + (3)^2 = 9 + 9 = 18 \)
\( BC^2 = (2 - 11)^2 + (-2 - 13)^2 = (-9)^2 + (-15)^2 = 81 + 225 = 306 \)
\( AC^2 = (2 - 14)^2 + (-2 - 10)^2 = (-12)^2 + (-12)^2 = 144 + 144 = 288 \)
अब, हम पाइथागोरस प्रमेय को सत्यापित करते हैं:
\( AB^2 + AC^2 = 18 + 288 = 306 \)
\( BC^2 = 306 \)
चूंकि \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \), पाइथागोरस प्रमेय यहाँ लागू होती है।
अतः, दिए गए बिन्दु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं, जहाँ कोण A पर समकोण बनता है।
In simple words: हमने तीनों बिन्दुओं के बीच की दूरियों का वर्ग निकाला। हमें मिला \(AB^2 = 18\), \(BC^2 = 306\) और \(AC^2 = 288\)। जब हमने \(AB^2\) और \(AC^2\) को जोड़ा, तो हमें \(18 + 288 = 306\) मिला, जो \(BC^2\) के बराबर है। क्योंकि यह पाइथागोरस के नियम का पालन करता है, यह एक समकोण त्रिभुज है।

🎯 Exam Tip: किसी त्रिभुज को समकोण सिद्ध करने के लिए, सबसे लंबी भुजा के वर्ग को शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर दिखाएँ।

Question 15. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1, 1), \( (\sqrt{3}, -\sqrt{3}) \) व (-1, -1) समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Answer: माना दिए गए बिन्दु हैं: \(A=(1, 1)\), \(B=(\sqrt{3}, -\sqrt{3})\) और \(C=(-1, -1)\)।
हमें यह सिद्ध करने के लिए कि ये एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं, सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात करनी होगी। एक समबाहु त्रिभुज में, तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं।
दूरी सूत्र \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) का उपयोग करके:
\( AB = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2 + (-\sqrt{3} - 1)^2} \)
\( AB = \sqrt{(\sqrt{3}^2 - 2\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3}^2 + 2\sqrt{3} + 1)} \)
\( AB = \sqrt{(3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1)} \)
\( AB = \sqrt{4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}} \)
\( AB = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) इकाई
\( BC = \sqrt{(-1 - \sqrt{3})^2 + (-1 - (-\sqrt{3}))^2} \)
\( BC = \sqrt{(-1 - \sqrt{3})^2 + (-1 + \sqrt{3})^2} \)
\( BC = \sqrt{(1 + 2\sqrt{3} + 3) + (1 - 2\sqrt{3} + 3)} \)
\( BC = \sqrt{4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2\sqrt{3}} \)
\( BC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) इकाई
\( CA = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2} \)
\( CA = \sqrt{(1 + 1)^2 + (1 + 1)^2} \)
\( CA = \sqrt{(2)^2 + (2)^2} \)
\( CA = \sqrt{4 + 4} \)
\( CA = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) इकाई
चूंकि \( AB = BC = CA = 2\sqrt{2} \) इकाई, तीनों भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, दिए गए बिन्दु एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
In simple words: हमने बिन्दुओं A, B, C के बीच की सभी दूरियाँ निकालीं। हमने देखा कि \(AB\), \(BC\), और \(CA\) तीनों की लंबाई \( 2\sqrt{2} \) इकाई है। क्योंकि तीनों भुजाएँ बराबर हैं, यह एक समबाहु त्रिभुज है।

🎯 Exam Tip: जब भी वर्गमूलों वाली संख्याएँ हों, तो \( (a+b)^2 \) और \( (a-b)^2 \) के सूत्रों का सावधानी से उपयोग करें।

Question 16. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (2, -2), (8, 4), (5, 7) व (-1, 1) एक आयत के शीर्ष हैं।
Answer: माना दिए गए बिन्दु हैं: \(A=(2, -2)\), \(B=(8, 4)\), \(C=(5, 7)\) और \(D=(-1, 1)\)।
हमें यह सिद्ध करने के लिए कि ये एक आयत के शीर्ष हैं, हमें विपरीत भुजाओं को बराबर और विकर्णों को बराबर दिखाना होगा।
दूरी सूत्र \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) का उपयोग करके:
भुजाओं की लंबाई:
\( AB = \sqrt{(8-2)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{(6)^2 + (6)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} \) इकाई
\( BC = \sqrt{(5-8)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} \) इकाई
\( CD = \sqrt{(-1-5)^2 + (1-7)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} \) इकाई
\( DA = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} \) इकाई
यहाँ, \(AB = CD = \sqrt{72}\) और \(BC = DA = \sqrt{18}\)। विपरीत भुजाएँ बराबर हैं।
विकर्णों की लंबाई:
\( AC = \sqrt{(5-2)^2 + (7 - (-2))^2} = \sqrt{(3)^2 + (9)^2} = \sqrt{9+81} = \sqrt{90} \) इकाई
\( BD = \sqrt{(-1-8)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-3)^2} = \sqrt{81+9} = \sqrt{90} \) इकाई
यहाँ, \(AC = BD = \sqrt{90}\)। दोनों विकर्ण भी बराबर हैं।
चूंकि विपरीत भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं, दिए गए बिन्दु एक आयत के शीर्ष हैं।
In simple words: हमने बिन्दुओं A, B, C, D के बीच की सभी दूरियाँ निकालीं। हमने देखा कि आमने-सामने की भुजाएँ (\(AB = CD\) और \(BC = DA\)) बराबर हैं। हमने विकर्णों (\(AC\) और \(BD\)) की लंबाई भी निकाली, जो भी बराबर निकलीं। क्योंकि आमने-सामने की भुजाएँ और दोनों विकर्ण बराबर हैं, यह एक आयत है।

🎯 Exam Tip: एक चतुर्भुज को आयत सिद्ध करने के लिए, आपको उसकी विपरीत भुजाओं की लंबाई को बराबर और उसके दोनों विकर्णों की लंबाई को बराबर दिखाना होगा।

Question 17. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (8, 4), (5, 7) व (-1, 1) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Answer: माना दिए गए बिन्दु हैं: \(A=(8, 4)\), \(B=(5, 7)\) और \(C=(-1, 1)\)।
हमें यह सिद्ध करने के लिए कि ये एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं, हमें प्रत्येक भुजा की लंबाई का वर्ग ज्ञात करना होगा और पाइथागोरस प्रमेय को सत्यापित करना होगा।
दूरी सूत्र \(d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\) का उपयोग करके:
\( AB^2 = (5 - 8)^2 + (7 - 4)^2 = (-3)^2 + (3)^2 = 9 + 9 = 18 \)
\( BC^2 = (-1 - 5)^2 + (1 - 7)^2 = (-6)^2 + (-6)^2 = 36 + 36 = 72 \)
\( CA^2 = (8 - (-1))^2 + (4 - 1)^2 = (9)^2 + (3)^2 = 81 + 9 = 90 \)
अब, हम पाइथागोरस प्रमेय को सत्यापित करते हैं:
सबसे लंबी भुजा \(CA\) है, तो हम जांचेंगे कि \(AB^2 + BC^2 = CA^2\) है या नहीं।
\( AB^2 + BC^2 = 18 + 72 = 90 \)
\( CA^2 = 90 \)
चूंकि \( AB^2 + BC^2 = CA^2 \), पाइथागोरस प्रमेय यहाँ लागू होती है।
अतः, दिए गए बिन्दु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं, जहाँ कोण B पर समकोण बनता है।
In simple words: हमने तीनों बिन्दुओं के बीच की दूरियों का वर्ग निकाला। हमें मिला \(AB^2 = 18\), \(BC^2 = 72\) और \(CA^2 = 90\)। जब हमने \(AB^2\) और \(BC^2\) को जोड़ा, तो हमें \(18 + 72 = 90\) मिला, जो \(CA^2\) के बराबर है। क्योंकि यह पाइथागोरस के नियम का पालन करता है, यह एक समकोण त्रिभुज है।

🎯 Exam Tip: पाइथागोरस प्रमेय के लिए, हमेशा दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे लंबी भुजा के वर्ग के बराबर होना चाहिए।

Ex 6.2 Coordinate Geometry दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 18. एक समकोण त्रिभुज PQR के शीर्ष P(8, 0), Q(0, 0) व R(0, -6) हैं। सिद्ध कीजिए कि इसके कर्ण की लम्बाई 10 इकाई है।
Answer: दिए गए समकोण त्रिभुज PQR के शीर्ष हैं: \(P=(8, 0)\), \(Q=(0, 0)\) और \(R=(0, -6)\)।
सबसे पहले, हमें यह पहचानना होगा कि कौन सी भुजा कर्ण है। समकोण त्रिभुज में, कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है और समकोण के विपरीत होती है। बिन्दु Q(0, 0) मूल बिन्दु है। P y-अक्ष पर है (y-निर्देशांक 0 है) और R x-अक्ष पर है (x-निर्देशांक 0 है)। इससे पता चलता है कि कोण Q पर समकोण है। तो, PR कर्ण होगा।
कर्ण PR की लंबाई ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( PR = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
यहाँ \( (x_1, y_1) = (8, 0) \) और \( (x_2, y_2) = (0, -6) \)
\( PR = \sqrt{(0-8)^2 + (-6-0)^2} \)
\( PR = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} \)
\( PR = \sqrt{64 + 36} \)
\( PR = \sqrt{100} \)
\( PR = 10 \) इकाई
अतः, समकोण त्रिभुज PQR के कर्ण की लंबाई 10 इकाई है।
In simple words: हमारे पास एक त्रिभुज के तीन कोने हैं। हमने देखा कि कर्ण (सबसे लंबी भुजा) P(8,0) और R(0,-6) के बीच है। दूरी सूत्र लगाकर, हमें कर्ण की लंबाई 10 इकाई मिली।

🎯 Exam Tip: किसी समकोण त्रिभुज में, हमेशा पहले पहचानें कि कौन सी भुजा कर्ण है (समकोण के सामने वाली भुजा) और फिर उसकी लंबाई ज्ञात करें।

Question 19. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (-5, 6), (3, 0) व (9, 8) एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
Answer: माना दिए गए बिन्दु हैं: \(A=(-5, 6)\), \(B=(3, 0)\) और \(C=(9, 8)\)।
हमें यह सिद्ध करने के लिए कि ये एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं, हमें पहले भुजाओं की लंबाई ज्ञात करनी होगी। एक समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ बराबर होती हैं, और एक समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय लागू होती है।
दूरी सूत्र \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) का उपयोग करके:
\( AB = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{(8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \) इकाई
\( BC = \sqrt{(9 - 3)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) इकाई
\( CA = \sqrt{(-5 - 9)^2 + (6 - 8)^2} = \sqrt{(-14)^2 + (-2)^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \) इकाई
यहाँ, \(AB = BC = 10\) इकाई, इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है (दो भुजाएँ बराबर हैं)।
अब, हम जांचेंगे कि यह एक समकोण त्रिभुज भी है या नहीं। हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: \(AB^2 + BC^2 = CA^2\)
\( AB^2 = (10)^2 = 100 \)
\( BC^2 = (10)^2 = 100 \)
\( CA^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \times 2 = 200 \)
\( AB^2 + BC^2 = 100 + 100 = 200 \)
चूंकि \( AB^2 + BC^2 = CA^2 \), पाइथागोरस प्रमेय लागू होती है।
अतः, दिए गए बिन्दु एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
In simple words: हमने तीनों भुजाओं \(AB, BC, CA\) की लंबाई निकाली। हमें \(AB=10\) और \(BC=10\) मिला, जिसका मतलब है कि दो भुजाएँ बराबर हैं (समद्विबाहु)। फिर, हमने देखा कि \(AB^2 + BC^2 = CA^2\) (\(100+100 = 200\)), जिसका मतलब है कि यह एक समकोण त्रिभुज भी है। इसलिए, यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के लिए, दो भुजाओं की लंबाई बराबर होनी चाहिए और उन भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर होना चाहिए।

Question 20. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (-2, 9), (10, -7) व (12, -5) से गुजरने वाले वृत्त का केन्द्र (4, 1) होगा।
Answer: माना वृत्त का केन्द्र \(O=(4, 1)\) है और दिए गए बिन्दु हैं: \(A=(-2, 9)\), \(B=(10, -7)\) और \(C=(12, -5)\)।
एक बिन्दु वृत्त का केन्द्र तभी होता है, जब वह वृत्त की परिधि पर स्थित सभी बिन्दुओं से समान दूरी पर हो। इसका मतलब है कि \(OA = OB = OC\) होना चाहिए।
दूरी सूत्र \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) का उपयोग करके, हम दूरियाँ ज्ञात करते हैं:
केन्द्र O से A की दूरी (त्रिज्या OA):
\( OA = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (9 - 1)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) इकाई
केन्द्र O से B की दूरी (त्रिज्या OB):
\( OB = \sqrt{(10 - 4)^2 + (-7 - 1)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) इकाई
केन्द्र O से C की दूरी (त्रिज्या OC):
\( OC = \sqrt{(12 - 4)^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \) इकाई
चूंकि \( OA = OB = OC = 10 \) इकाई, केन्द्र O से तीनों बिन्दुओं की दूरियाँ समान हैं।
अतः, बिन्दु \((4, 1)\) दिए गए बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्त का केन्द्र है।
In simple words: हमने बिन्दु O(4,1) से दिए गए तीनों बिन्दुओं A, B, C की दूरी निकाली। हमें पता चला कि \(OA, OB, OC\) तीनों की लंबाई 10 इकाई है। क्योंकि यह दूरी सभी बिन्दुओं से बराबर है, O(4,1) वृत्त का केन्द्र है।

🎯 Exam Tip: किसी बिन्दु को वृत्त का केन्द्र सिद्ध करने के लिए, दिखाएँ कि उसकी वृत्त पर स्थित सभी दिए गए बिन्दुओं से दूरी बराबर है।

Question 21. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (2a, 4a), (2a, 6a) व (2a + \(a\sqrt{3}\), 5a) एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Answer: माना दिए गए बिन्दु हैं: \(A=(2a, 4a)\), \(B=(2a, 6a)\) और \(C=(2a + a\sqrt{3}, 5a)\)।
समबाहु त्रिभुज सिद्ध करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि त्रिभुज की सभी तीनों भुजाएँ बराबर लंबाई की हैं।
दूरी सूत्र \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) का उपयोग करके:
\( AB = \sqrt{(2a - 2a)^2 + (6a - 4a)^2} = \sqrt{(0)^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \) इकाई
\( BC = \sqrt{((2a + a\sqrt{3}) - 2a)^2 + (5a - 6a)^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + (-a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \) इकाई
\( CA = \sqrt{((2a + a\sqrt{3}) - 2a)^2 + (5a - 4a)^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + (a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \) इकाई
चूंकि \( AB = BC = CA = 2a \) इकाई, त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, \(\triangle ABC\) एक समबाहु त्रिभुज है।
In simple words: हमने तीनों भुजाओं \(AB, BC, CA\) की लंबाई निकाली और देखा कि तीनों की लंबाई \(2a\) इकाई है। क्योंकि सभी भुजाएँ बराबर हैं, यह एक समबाहु त्रिभुज है।

🎯 Exam Tip: जब निर्देशांक में चर (जैसे \(a\)) हों, तो गणना करते समय बीजीय चिह्नों और कोष्ठकों का विशेष ध्यान रखें।

Question 22. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु P(2, 2) बिन्दु A(1, 2), B(2, 1) व C(2, 3) से गुजरने वाले वृत्त का केन्द्र है।
Answer: माना वृत्त का केन्द्र \(P=(2, 2)\) है और दिए गए बिन्दु हैं: \(A=(1, 2)\), \(B=(2, 1)\) और \(C=(2, 3)\)।
एक बिन्दु वृत्त का केन्द्र तभी होता है, जब वह वृत्त की परिधि पर स्थित सभी बिन्दुओं से समान दूरी पर हो। इसका मतलब है कि \(PA = PB = PC\) होना चाहिए।
दूरी सूत्र \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) का उपयोग करके, हम दूरियाँ ज्ञात करते हैं:
केन्द्र P से A की दूरी:
\( PA = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (0)^2} = \sqrt{1 + 0} = \sqrt{1} = 1 \) इकाई
केन्द्र P से B की दूरी:
\( PB = \sqrt{(2 - 2)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(0)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1 \) इकाई
केन्द्र P से C की दूरी:
\( PC = \sqrt{(2 - 2)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{(0)^2 + (1)^2} = \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1 \) इकाई
चूंकि \( PA = PB = PC = 1 \) इकाई, केन्द्र P से तीनों बिन्दुओं की दूरियाँ समान हैं।
अतः, बिन्दु \((2, 2)\) दिए गए बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्त का केन्द्र है।
In simple words: हमने बिन्दु P(2,2) से A(1,2), B(2,1) और C(2,3) की दूरियाँ निकालीं। सभी दूरियाँ 1 इकाई निकलीं। क्योंकि P से इन तीनों बिन्दुओं की दूरी बराबर है, P वृत्त का केन्द्र है।

🎯 Exam Tip: वृत्त के केन्द्र को सिद्ध करने के लिए, यह दिखाएँ कि वह दिए गए सभी बिन्दुओं (जो वृत्त पर स्थित हैं) से समान दूरी पर है।