UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 6 Coordinate Geometry Ex 61

Official UP Board Solutions for Class 10 Maths: Chapter 06 निर्देशांक ज्यामिति

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Chapter-wise Solutions for Maths: Chapter 06 निर्देशांक ज्यामिति

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प्रश्न 1. वह चतुर्थांश ज्ञात कीजिए जिसमें निम्न बिन्दु स्थित हैं –
(i) \( (-1, -4) \)
(ii) \( (4, 1) \)
(iii) \( (3, -2) \)
(iv) \( (-3, 1) \)
(v) \( (7, 2) \)
(vi) \( (-3, -2) \)
(vii) \( (-6, 4) \)
(viii) \( (2, -2) \)
Answer:
(i) बिन्दु \( (-1, -4) \) तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, क्योंकि इसके दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं।
(ii) बिन्दु \( (4, 1) \) पहले चतुर्थांश में स्थित है, क्योंकि इसके दोनों निर्देशांक धनात्मक हैं।
(iii) बिन्दु \( (3, -2) \) चौथे चतुर्थांश में स्थित है, क्योंकि इसका x-निर्देशांक धनात्मक और y-निर्देशांक ऋणात्मक है।
(iv) बिन्दु \( (-3, 1) \) दूसरे चतुर्थांश में स्थित है, क्योंकि इसका x-निर्देशांक ऋणात्मक और y-निर्देशांक धनात्मक है।
(v) बिन्दु \( (7, 2) \) पहले चतुर्थांश में स्थित है, क्योंकि इसके दोनों निर्देशांक धनात्मक हैं।
(vi) बिन्दु \( (-3, -2) \) तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, क्योंकि इसके दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं।
(vii) बिन्दु \( (-6, 4) \) दूसरे चतुर्थांश में स्थित है, क्योंकि इसका x-निर्देशांक ऋणात्मक और y-निर्देशांक धनात्मक है।
(viii) बिन्दु \( (2, -2) \) चौथे चतुर्थांश में स्थित है, क्योंकि इसका x-निर्देशांक धनात्मक और y-निर्देशांक ऋणात्मक है।
In simple words: हम बिन्दु के निर्देशांक के चिह्न देखकर बताते हैं कि वह किस चतुर्थांश में है। जैसे, \( (+,+) \) पहले में, \( (-,+) \) दूसरे में, \( (-,-) \) तीसरे में और \( (+,-) \) चौथे चतुर्थांश में होता है।

🎯 Exam Tip: चतुर्थांशों को याद रखने के लिए, x और y अक्षों के धनात्मक और ऋणात्मक चिह्नों के पैटर्न को समझें।

 

प्रश्न 2. निम्न में से कौन-से बिन्दु x-अक्ष पर स्थित है?
(i) \( A(2, 3) \)
(ii) \( B(2, 0) \)
(iii) \( C(0, 2) \)
(iv) \( D(0, 0) \)
(v) \( E(-1, 0) \)
(vi) \( F(0, -2) \)
(vii) \( G(6, 0) \)
(viii) \( H(0, -7) \)
Answer: x-अक्ष पर स्थित बिन्दु वे होते हैं जिनकी y-निर्देशांक (कोटि) शून्य होती है।
(ii) बिन्दु \( B(2, 0) \) x-अक्ष पर स्थित है।
(v) बिन्दु \( E(-1, 0) \) x-अक्ष पर स्थित है।
(vii) बिन्दु \( G(6, 0) \) x-अक्ष पर स्थित है।
ये सभी बिन्दु केवल x-अक्ष पर क्षैतिज रूप से स्थित हैं और इनकी ऊर्ध्वाधर स्थिति शून्य है।
In simple words: x-अक्ष पर स्थित होने के लिए बिन्दु का y-मान शून्य होना चाहिए।

🎯 Exam Tip: किसी भी बिन्दु के x-अक्ष पर होने का मतलब है कि उसकी ऊँचाई (y-निर्देशांक) हमेशा 0 होगी।

 

प्रश्न 3. निम्न प्रत्येक बिन्दु को अक्षों पर निरूपित कीजिए तथा वह चतुर्थांश भी ज्ञात कीजिए जिसमें ये स्थित हैं
(i) \( (-2, 0) \)
(ii) \( (0, 5) \)
(iii) \( (0, 0) \)
(iv) \( (3, -2) \)
(v) \( (-5, -1) \)
(vi) \( (0, \frac{-3}{2}) \)
Answer: इन बिन्दुओं को कार्तीय तल पर दर्शाया गया है और उनके चतुर्थांश या अक्ष की स्थिति इस प्रकार है:
(i) बिन्दु \( (-2, 0) \) x-अक्ष पर स्थित है (धनात्मक या ऋणात्मक x-अक्ष पर)।
(ii) बिन्दु \( (0, 5) \) y-अक्ष पर स्थित है (धनात्मक y-अक्ष पर)।
(iii) बिन्दु \( (0, 0) \) मूल बिन्दु है, जो x-अक्ष और y-अक्ष का कटान बिन्दु है।
(iv) बिन्दु \( (3, -2) \) चौथे चतुर्थांश में स्थित है।
(v) बिन्दु \( (-5, -1) \) तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
(vi) बिन्दु \( (0, \frac{-3}{2}) \) y-अक्ष पर स्थित है (ऋणात्मक y-अक्ष पर)। अक्षों पर स्थित बिन्दु किसी विशेष चतुर्थांश में नहीं होते, बल्कि अक्षों की रेखाओं पर होते हैं।
In simple words: हर बिन्दु को \( (x, y) \) के रूप में दर्शाया जाता है। हम x और y मानों को देखकर बिन्दु को ग्राफ पर रखते हैं और बताते हैं कि वह किस हिस्से में है या किस रेखा पर है।

X X' Y Y' 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 Q (-2,0) (0,5) (0,-3/2) (3,-2) (-5,-1)

🎯 Exam Tip: याद रखें कि x-अक्ष पर स्थित बिन्दु की कोटि (y-निर्देशांक) हमेशा 0 होती है, और y-अक्ष पर स्थित बिन्दु का भुज (x-निर्देशांक) हमेशा 0 होता है। मूल बिन्दु \( (0,0) \) दोनों अक्षों पर स्थित होता है।

 

प्रश्न 4.
(i) \( (-4, 5) \) का भुज ज्ञात कीजिए।
(ii) \( (-6, 6) \) की कोटि ज्ञात कीजिए।
(iii) मूल बिन्दु के निर्देशांक क्या होते हैं?
(iv) भुज \( 0 \) वाला बिन्दु कहाँ स्थित होगा?
(v) कोटि \( 0 \) वाला बिन्दु कहाँ स्थित होगा?
Answer:
(i) बिन्दु \( (-4, 5) \) में भुज (x-निर्देशांक) \( -4 \) है। भुज एक बिन्दु की क्षैतिज स्थिति को दर्शाता है।
(ii) बिन्दु \( (-6, 6) \) में कोटि (y-निर्देशांक) \( 6 \) है। कोटि एक बिन्दु की ऊर्ध्वाधर स्थिति को दर्शाता है।
(iii) मूल बिन्दु के निर्देशांक \( (0, 0) \) होते हैं। यह वह बिन्दु है जहाँ x-अक्ष और y-अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं।
(iv) यदि किसी बिन्दु का भुज (x-निर्देशांक) \( 0 \) है, तो वह बिन्दु हमेशा y-अक्ष पर स्थित होगा।
(v) यदि किसी बिन्दु की कोटि (y-निर्देशांक) \( 0 \) है, तो वह बिन्दु हमेशा x-अक्ष पर स्थित होगा।
In simple words: भुज x-मान है और कोटि y-मान है। मूल बिन्दु ठीक बीच में \( (0,0) \) पर होता है। यदि x-मान शून्य है, तो बिन्दु y-अक्ष पर होगा; यदि y-मान शून्य है, तो बिन्दु x-अक्ष पर होगा।

🎯 Exam Tip: भुज (x-निर्देशांक) और कोटि (y-निर्देशांक) की परिभाषाओं को अच्छे से समझें, क्योंकि ये निर्देशांक ज्यामिति के आधार हैं।

 

प्रश्न 5. बिन्दु P(-4, 2) को निरूपित कर बिन्दु Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए यदि रेखाखण्ड PQ, x-अक्ष का लम्ब समद्विभाजक है।
Answer: बिन्दु P के निर्देशांक \( (-4, 2) \) हैं। यदि रेखाखण्ड PQ, x-अक्ष का लम्ब समद्विभाजक है, तो इसका अर्थ है कि x-अक्ष रेखाखण्ड PQ को मध्यबिन्दु पर काटता है और उस पर लंबवत होता है।
\( \therefore \) बिन्दु P का x-निर्देशांक \( -4 \) है और y-निर्देशांक \( 2 \) है। चूँकि x-अक्ष लम्ब समद्विभाजक है, बिन्दु Q का x-निर्देशांक भी \( -4 \) ही रहेगा, लेकिन y-निर्देशांक P के y-निर्देशांक का ऋणात्मक होगा।
\( \implies \) इसलिए, बिन्दु Q के निर्देशांक \( (-4, -2) \) होंगे। यह एक परावर्तन का उदाहरण है जहाँ x-अक्ष एक दर्पण के रूप में कार्य करता है।
In simple words: बिन्दु P \( (-4, 2) \) है। यदि x-अक्ष, PQ को बीच से काटता है और 90 डिग्री का कोण बनाता है, तो Q बिन्दु P का x-अक्ष पर प्रतिबिम्ब होगा, यानी \( (-4, -2) \)।

X X' Y Y' 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 P(-4,2) Q(-4,-2)

🎯 Exam Tip: जब कोई रेखाखण्ड x-अक्ष का लम्ब समद्विभाजक होता है, तो बिन्दु \( (x, y) \) का प्रतिबिम्ब \( (x, -y) \) होता है। यदि यह y-अक्ष का लम्ब समद्विभाजक होता, तो प्रतिबिम्ब \( (-x, y) \) होता।

 

प्रश्न 6. निम्न अंकित बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए-
Answer: ग्राफ को देखकर, हम प्रत्येक अंकित बिन्दु के x-निर्देशांक और y-निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं:
बिन्दु \( P \) के निर्देशांक हैं \( (4, -6) \)।
बिन्दु \( Q \) के निर्देशांक हैं \( (-1, 3) \)।
बिन्दु \( S \) के निर्देशांक हैं \( (5, 6) \)।
बिन्दु \( N \) के निर्देशांक हैं \( (-1, -1) \)।
बिन्दु \( G \) के निर्देशांक हैं \( (3, 2) \)।
बिन्दु \( H \) के निर्देशांक हैं \( (-3, 1) \)।
बिन्दु \( I \) के निर्देशांक हैं \( (3, -2) \)।
यह समझना महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक बिन्दु की स्थिति को x-अक्ष और y-अक्ष से उसकी दूरी के अनुसार परिभाषित किया जाता है।
In simple words: ग्राफ पर दिए गए हर बिन्दु के x और y मानों को देखकर हम उसके निर्देशांक लिखते हैं।

X X' Y Y' 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 P Q S N G H I

🎯 Exam Tip: किसी भी बिन्दु के निर्देशांक हमेशा \( (x, y) \) क्रम में लिखे जाते हैं, जहाँ \( x \) भुज और \( y \) कोटि होती है।

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