UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions

Exercise 5.1

Question 1. निम्नलिखित स्थितयों में से किन स्थितयों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P है और क्यों?
(i) प्रत्येक किलों मीटर के बाद टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया 15 Rs. है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया 8 Rs. है।
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की हवा का \( \frac { 1 }{ 4 } \) भाग बाहर निकाल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआं खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत 150 Rs. है और बाद में प्रत्येक खुदाई की लागत 50 Rs. बढ़ती जाती है।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि 10000 Rs. की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
Answer:
हलः (i) माना प्रथम किलोमीटर = 15 Rs. = T₁ = 15
चूँकि प्रथम किलोमीटर के बाद प्रति किलोमीटर किराया 8 Rs. है।
2 किमी का किराया = 15+1×8 = 15 + (2-1) × 8

\( \implies \) T₂ = a + 8
3 किमी का किराया = 15+2×8 = 15 + (3-1)8

\( \implies \) T₃ = a + 16
4 किमी का किराया = 15 Rs. + 3×8 = 15 Rs. + (4 - 1) 8

\( \implies \) T₄ = a + 24
5 किमी का किराया = 15 Rs. + 4×8 = 15 + (5-1) × 8 Rs.

\( \implies \) T₅ = a + 32
[ a = 15]
n किमी का किराया = 15 + (n-1) 8 = a + (n - 1) 8
स्पष्ट है कि उक्त पदों में लगातार 8 Rs. की वृद्धि होती है। अतः उक्त संख्याओं की सूची एक A.P. है।
(ii) माना बेलन में उपस्थित वायु की मात्रा = x इकाई
चूँकि प्रत्येक बार निकाली गई वायु की मात्रा = \( \frac { 1 }{ 4 } \) x
.. प्रथम बार के बाद बेलन में वायु = x - \( \frac { 1 }{ 4 } \) x = \( \frac { 3x }{ 4 } \) इकाई

\( \implies \) T₂
इसी प्रकार, T₃ = \( \frac { 3x }{ 4 } \) - \( \frac { 1 }{ 4 } \) (\( \frac { 3x }{ 4 } \)) = \( \frac { 3x }{ 4 } \) - \( \frac { 3x }{ 16 } \) = \( \frac { 12x - 3x }{ 16 } \) = \( \frac { 9x }{ 16 } \); T₄ = \( \frac { 9x }{ 16 } \) - \( \frac { 1 }{ 4 } \) (\( \frac { 9x }{ 16 } \)) = \( \frac { 9x }{ 16 } \) - \( \frac { 9x }{ 64 } \) = \( \frac { 36x - 9x }{ 64 } \) = \( \frac { 27x }{ 64 } \)
T₅ = \( \frac { 27x }{ 64 } \) - \( \frac { 1 }{ 4 } \) (\( \frac { 27x }{ 64 } \)) = \( \frac { 27x }{ 64 } \) - \( \frac { 27x }{ 256 } \) = \( \frac { 108x - 27x }{ 256 } \) = \( \frac { 81x }{ 256 } \)
इस प्रकार उक्त श्रेणी के पद इस प्रकार हैं x, \( \frac { 3x }{ 4 } \), \( \frac { 9x }{ 16 } \), \( \frac { 27x }{ 64 } \), \( \frac { 81x }{ 256 } \)...
यहाँ,
T₂-T₁ = \( \frac { 3x }{ 4 } \) - x = -\( \frac { x }{ 4 } \)
T₃-T₂ = \( \frac { 9x }{ 16 } \) - \( \frac { 3x }{ 4 } \) = \( \frac { 9x - 12x }{ 16 } \) = -\( \frac { 3x }{ 16 } \)
चूँकि -\( \frac { x }{ 4 } \) \( \ne \) -\( \frac { 3x }{ 16 } \)

\( \implies \) T₂ - T₁ \( \ne \) T₃ - T₂ अतः उक्त श्रेणी एक A.P. नहीं है।
(iii) प्रथम मीटर (खुदाई) की लागत = 150 Rs. = T₁ = 150
दूसरे मीटर (खुदाई) की लागत = 150+50 Rs. = 200 Rs.

\( \implies \) T₂ = 200
तीसरे मीटर (खुदाई) की लागत = 150+50 × 2 Rs. = 150+100 Rs. = 250 Rs.

\( \implies \) T₃ = 250
चौथे मीटर (खुदाई) की लागत = (150 + 50 × 3) Rs. = (150+150) Rs. = 300 Rs.
इस प्रकार, प्राप्त श्रेणी इस प्रकार है: 150, 200, 250, 300, ...
चूँकि,
200-150 = 50 \( \implies \) T₂-T₁ = 50
250-200 = 50 \( \implies \) T₃-T₂ = 50
300-250 = 50 \( \implies \) T₄-T₃ = 50
इस प्रकार, उक्त संख्याओं की श्रेणी A.P. है।
(iv) प्रथम वर्ष के अन्त में मिश्रधन
= \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{1} \)

\( \implies \) T₁ = \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{1} \)
दूसरे वर्ष के अन्त में मिश्रधन
= \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{2} \)

\( \implies \) T₂ = \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{2} \)
तीसरे वर्ष के अन्त में मिश्रधन
= \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{3} \)

\( \implies \) T₃ = \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{3} \)
चौथे वर्ष के अन्त में मिश्रधन
= \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{4} \)

\( \implies \) T₄ = \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{4} \)
इस प्रकार श्रेणी के पद इस प्रकार हैं:
\( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{1} \), \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{2} \), \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{3} \), \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{4} \) ...…
चूंकि, \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{2} \) - \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{1} \) \( \ne \) \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{3} \) - \( 10000(1+\frac { 8 }{ 100 })^{2} \)

\( \implies \) T₂-T₁ \( \ne \) T₃-T₂ अतः उक्त श्रेणी A.P. नहीं है।
In simple words: This question asks to identify if given situations form an Arithmetic Progression (A.P.). We check if the difference between consecutive terms is constant. Taxi fare and digging cost form an A.P. as their increase is constant. Air volume in a cylinder and compound interest do not form an A.P. because the change is proportional or exponential, not a fixed constant.

🎯 Exam Tip: To determine if a sequence is an A.P., always calculate the difference between consecutive terms (T₂-T₁, T₃-T₂, etc.). If these differences are constant, it's an A.P., and that constant difference is the common difference (d).

 

Question 2. दी हुई A.P के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं :
(i) a = 10, d = 10
(ii) a = -2, d = 0
(iii) a = 4, d = -3
(iv) a = -1, d = \( \frac {1}{ 2 } \)
(v) a = -1.25, d = -0.25
Answer:
हलः (i) चूँकि, T_n = a + (n-1) d
.. a = 10 और d = 10 होने पर हमें प्राप्त होता है:
T₁ = 10+ (1-1) × 10 = 10 + 0 = 10;
T₂ = 10+(2-1) × 10 = 10 + 10 = 20
T₃ = 10 + (3-1) × 10 = 10 + 20 = 30;
T₄ = 10 + (4-1) × 10 = 10 + 30 = 40
इस प्रकार A.P. के प्रथम चार पद हैं: 10, 20, 30, 40.
(ii) T_n = a + (n-1)d
.. a = - 2 और d = 0, होने पर, हमें प्राप्त होता है:
T₁ = -2+(1-1) × 0 = -2+0 = -2;
T₂ = -2+(2-1) × 0 = -2+0 = -2
T₃ = -2 +(3-1)x0 = -2+0 = -2;
T₄ = -2 +(4-1) × 0 = -2+0 = -2
.. A.P. के प्रथम चार पद हैं: -2, -2, -2, -2
(iii) T_n = a + (n-1)d
.:: a = 4 और d = -3 होने पर हमें प्राप्त होता है:
T₁ = 4+ (1-1) × (-3) = 4;
T₂ = 4+ (2-1) × (-3) = 1
T₃ = 4+ (3-1) × (-3) = -2;
T₄ = 4+ (4-1) × (-3) = -5
इस प्रकार, A.P. के प्रथम चार पद हैं: 4, 1, -2, -5
(iv) T_n = a + (n-1) d
:: a = - 1 और d = \( \frac { 1 }{ 2 } \) के लिए हमें प्राप्त होता है।
T₁ = -1 + (1-1) × \( \frac { 1 }{ 2 } \) = -1;
T₂ = -1+(2-1)x(\( \frac { 1 }{ 2 } \)) = -\( \frac { 1 }{ 2 } \)
T₃ = -1 + (3-1) × \( \frac { 1 }{ 2 } \) = 0;
T₄ = -1+(4-1)x(\( \frac { 1 }{ 2 } \)) = \( \frac { 1 }{ 2 } \)
इस प्रकार, A.P. के प्रथम चार पद हैं: -1, -\( \frac { 1 }{ 2 } \), 0, \( \frac { 1 }{ 2 } \)
(v) T_n = a + (n-1)d
.:. a = - 1.25 और d = -0.25 होने पर हमें प्राप्त होता है:
T₁ = -1.25+ (1-1) × (-0.25) = - (1.25 + 0) = -1.25
T₂ = -1.25+ (2-1) × (-0.25) = -1.25 + (-0.25) = -1.50
T₃ = -1.25+ (3-1) × (-0.25) = -1.25 + (-0.50) = -1.75
T₄ = -1.25+ (4-1) × (-0.25) = -1.25 + (-0.75) = -2.0
इस प्रकार, A.P. के प्रथम चार पद हैं: -1.25, -1.50, -1.75, -2.0
The prime factorization of 38 is 2 x 19.
In simple words: To find the first four terms of an A.P., we use the formula T_n = a + (n-1)d. We substitute n=1, 2, 3, and 4 to find T₁, T₂, T₃, and T₄ respectively, using the given first term 'a' and common difference 'd'.

🎯 Exam Tip: Remember that T₁ is simply 'a', T₂ is a+d, T₃ is a+2d, and T₄ is a+3d. This direct application of the formula for the first few terms is a common and easy way to start problems involving A.P.s.

 

Question 3. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |
(i) 3, 1, -1, -3, ......
(ii) -5, -1, 3, 7, ......
(iii) \( \frac { 1 }{ 3 } \), \( \frac { 5 }{ 3 } \), \( \frac { 9 }{ 3 } \), \( \frac { 13 }{ 3 } \)
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9
Answer:
हलः (i) हमें प्राप्त है कि: 3, 1, -1, -3, ...
..
T₁ = 3 \( \implies \) a = 3
T₂ = 1 \( \implies \) T₃ = -1
T₄ = -3
T₂-T₁ = 1-3 = -2
T₃-T₂ = -1-(-1) = -1+1 = 0
T₄-T₃ = -3-(-1) = -3 + 2 = -1
हमें प्राप्त है कि: T₂-T₁ = -2, T₃-T₂ = -2

\( \implies \) }d = -2
T₄-T₃ = -2
इस प्रकार, a = 3 और d = -2
(ii) हमें प्राप्त है कि: -5, -1, 3, 7, ...

\( \implies \)
T₁ = -5 = a = -5
T₂ = -1
T₂ - T₁ = -1- (-5) = -1+5 = 4
d = T₂ - T₁ = -1- (-5) = -1+5 = 4
T₃ = 3
T₄ - T₃ = 7-3 = 4
d = T₄ - T₃ = 7-3 = 4
T₄ = 7
इस प्रकार, a = -5 और d = 4
(iii) हमें प्राप्त है कि: \( \frac { 1 }{ 3 } \), \( \frac { 5 }{ 3 } \), \( \frac { 9 }{ 3 } \), \( \frac { 13 }{ 3 } \), ...

\( \implies \)
T₁ = \( \frac { 1 }{ 3 } \) \( \implies \) a = \( \frac { 1 }{ 3 } \)
T₂ = \( \frac { 5 }{ 3 } \)
T₃ = \( \frac { 9 }{ 3 } \)
T₄ = \( \frac { 13 }{ 3 } \)
d = T₂-T₁ = \( \frac { 5 }{ 3 } \) - \( \frac { 1 }{ 3 } \) = \( \frac { 4 }{ 3 } \)

\( \implies \) d = T₄-T₃ = \( \frac { 13 }{ 3 } \) - \( \frac { 9 }{ 3 } \) = \( \frac { 4 }{ 3 } \)
इस प्रकार, a = \( \frac { 1 }{ 3 } \) और d = \( \frac { 4 }{ 3 } \)
(iv) हमें प्राप्त है कि: 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ...

\( \implies \)
T₁ = 0.6 \( \implies \) a = 0.6
T₂ = 1.7
d = T₂-T₁ = 1.7 - 0.6 = 1.1
T₃ = 2.8
T₄ = 3.9

\( \implies \) d = T₄-T₃ = 3.9 - 2.8 = 1.1
इस प्रकार, a = 0.6 और d = 1.1
In simple words: To determine if a given sequence is an A.P., we calculate the common difference 'd' by subtracting each term from its succeeding term. If this difference is constant throughout the sequence, then it is an A.P. and 'd' is its common difference. Once 'd' is found, we can write the next three terms by adding 'd' to the last given term.

🎯 Exam Tip: Always calculate at least two consecutive differences (T₂-T₁ and T₃-T₂) to confirm a common difference. If they are equal, calculate the next terms by adding 'd' to the last known term in the sequence.

 

Question 4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |
(i) 2, 4, 8, 16, ...
(ii) 2, \( \frac { 5 }{ 2 } \), 3, \( \frac { 7 }{ 2 } \), ...
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ...
(iv) -10, -6, -2, 2, ...
(v) 3, 3+\( \sqrt{2} \), 3+2\( \sqrt{2} \), 3+3\( \sqrt{2} \), ...
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ...
(vii) 0, -4, -8, -12, ...
(viii) -\( \frac { 1 }{ 2 } \), -\( \frac { 1 }{ 2 } \), -\( \frac { 1 }{ 2 } \), -\( \frac { 1 }{ 2 } \), ...
(ix) 1, 3, 9, 27, ...
(x) a, 2a, 3a, 4a, ...
(xi) a, a², a³, a⁴, ...
(xii) \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{8} \), \( \sqrt{18} \), \( \sqrt{32} \), ...
(xiii) \( \sqrt{3} \), \( \sqrt{6} \), \( \sqrt{9} \), \( \sqrt{12} \), ...
(xiv) 1², 3², 5², 7², ...
(xv) 1², 5², 7², 73, ...
Answer:
हलः (i) हमें प्राप्त है कि: 2, 4, 8, 16, ...
यहाँ
T₁ = 2
T₂ = 4

\( \implies \) T₂-T₁ = 4-2 = 2
और
T₃ = 8
T₄ = 16

\( \implies \) T₄-T₃ = 16-8 = 8
चूँकि 2 \( \ne \) 8 \( \implies \) (T₂-T₁) \( \ne \) (T₄-T₃)
.. दी गई संख्याएँ A.P. में नहीं है।
(ii) हमें प्राप्त है कि: 2, \( \frac { 5 }{ 2 } \), 3, \( \frac { 7 }{ 2 } \), ...
यहाँ,
T₁ = 2,
T₂ = \( \frac { 5 }{ 2 } \)

\( \implies \) T₂-T₁ = \( \frac { 5 }{ 2 } \) - 2 = \( \frac { 1 }{ 2 } \)
T₃ = 3
T₄ = \( \frac { 7 }{ 2 } \)

\( \implies \) T₄-T₃ = \( \frac { 7 }{ 2 } \) - 3 = \( \frac { 1 }{ 2 } \)
चूँकि \( \frac { 1 }{ 2 } \) = \( \frac { 1 }{ 2 } \)

\( \implies \) (T₂-T₁) = (T₄-T₃)
.. दी गई संख्याएँ A.P. में हैं।
चूँकि सार्व अन्तर 'd' = \( \frac { 1 }{ 2 } \) और प्रथम पद a = 2
T₅ = a + (5-1) d = 2 + 4 × \( \frac { 1 }{ 2 } \) = 2 + 2 = 4
T₆ = 2 + (6-1) × \( \frac { 1 }{ 2 } \) = 2 + \( \frac { 5 }{ 2 } \) = \( \frac { 9 }{ 2 } \)
T₇ = 2 + (7-1) × \( \frac { 1 }{ 2 } \) = 2 + 3 = 5
अतः अगली तीन संख्याएँ हैं: 4, \( \frac { 9 }{ 2 } \), 5
(iii) हमें प्राप्त है कि: -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ...
T₁ = -1.2
T₂ = -3.2

\( \implies \) T₂-T₁ = -3.2-(-1.2) = -3.2+1.2 = -2
चूँकि
T₂ = -3.2
T₃ = -5.2

\( \implies \) T₃-T₂ = -5.2-(-3.2) = -5.2+3.2 = -2
(T₂-T₁) = (T₃-T₂) = -2 \( \implies \) d = -2
.. दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. हैं। अब, अगली तीन संख्याएँ हैं:
T₅ = T₄+(-2) = -7.2 + (-2) = -9.2
T₆ = T₅+(-2) = -9.2 + (-2) = -11.2
T₇ = T₆+(-2) = -11.2 + (-2) = -13.2
इस प्रकार, d = -2 और T₅ = -9.2, T₆ = -11.2 और T₇ = -13.2
(iv) हमें प्राप्त है कि: -10, -6, -2, 2, ...
..
T₁ = -10, T₂ = -6, T₃ = -2, T₄ = 2
T₂-T₁ = -6-(-10) = 4
T₃-T₂ = -2-(-6) = 4
T₄-T₃ = 2-(-2) = 4

\( \implies \) T₂-T₁ = T₃-T₂ = T₄-T₃ = 4 \( \implies \) d = 4
दी गई संख्याओं की सूची A.P. हैं।
अब, T₅ = T₄ + 4 = 2 + 4 = 6, T₆ = T₅ + 4 = 6 + 4 = 10, T₇ = T₆ + 4 = 10 + 4 = 14
इस प्रकार, d = 4 और T₅ = 6, T₆ = 10, T₇ = 14
(v) हमें प्राप्त है कि: 3, 3+\( \sqrt{2} \), 3+2\( \sqrt{2} \), 3+3\( \sqrt{2} \), ...
:
T₁ = 3, T₂ = 3+\( \sqrt{2} \), T₃ = 3+2\( \sqrt{2} \), T₄ = 3+3\( \sqrt{2} \)
T₂-T₁ = 3+\( \sqrt{2} \) - 3 = \( \sqrt{2} \)
T₃-T₂ = (3+2\( \sqrt{2} \)) - (3+\( \sqrt{2} \)) = \( \sqrt{2} \)
T₄-T₃ = (3+3\( \sqrt{2} \)) - (3+2\( \sqrt{2} \)) = \( \sqrt{2} \)
T₂-T₁ = T₃-T₂ = T₄-T₃ = \( \sqrt{2} \) = d = \( \sqrt{2} \)

\( \implies \) दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. है।
अब,
T₅ = T₄ + \( \sqrt{2} \) = 3+3\( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{2} \) = 3+4\( \sqrt{2} \)
T₆ = T₅ + \( \sqrt{2} \) = 3+4\( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{2} \) = 3+5\( \sqrt{2} \)
T₇ = T₆ + \( \sqrt{2} \) = 3+5\( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{2} \) = 3+6\( \sqrt{2} \)
इस प्रकार, d = \( \sqrt{2} \) और T₅ = 3+4\( \sqrt{2} \), T₆ = 3+5 \( \sqrt{2} \), T₇ = 3+6 \( \sqrt{2} \).
(vi) हमें प्राप्त है कि: 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ...
T₁ = 0.2
T₂ = 0.22

\( \implies \) T₂-T₁ = 0.22-0.2 = 0.02
T₃ = 0.222
T₄ = 0.2222

\( \implies \) T₄-T₃ = 0.2222 -0.222 = 0.0002.
चूँकि 0.02 \( \ne \) 0.0002 \( \implies \) T₂-T₁ \( \ne \) T₄-T₃
.. दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं है।
(vii) हमें प्राप्त है कि: 0, -4, -8, -12, ...
यहाँ
T₁ = 0
T₂ = -4

\( \implies \) T₂-T₁ = -4-0 = -4
T₃ = -8

\( \implies \) T₃-T₂ = -8-(-4) = -8 + 4 = -4
और
T₄ = -12

\( \implies \) T₄-T₃ = -12-(-8) = -12 + 8 = -4
चूँकि T₂ - T₁ = T₃ - T₂ = T₄-T₃ = -4
.. दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. है।
अब, सार्व अन्तर 'd' = -4
T₅ = T₄+(-4) = -12 + (-4) = -16
T₆ = T₅ + (-4) = -16 + (-4) = -20
T₇ = T₆ + (-4) = -20 + (-4) = -24
इस प्रकार अगले तीन पद हैं: -16, -20, -24
(viii) हमें प्राप्त है कि: -\( \frac { 1 }{ 2 } \), -\( \frac { 1 }{ 2 } \), -\( \frac { 1 }{ 2 } \), -\( \frac { 1 }{ 2 } \), ...
यहाँ
T₁ = -\( \frac { 1 }{ 2 } \)
T₂ = -\( \frac { 1 }{ 2 } \)
T₃ = -\( \frac { 1 }{ 2 } \)
T₄ = -\( \frac { 1 }{ 2 } \)
T₂-T₁ = -\( \frac { 1 }{ 2 } \) - (- \( \frac { 1 }{ 2 } \)) = 0;
T₃-T₂ = -\( \frac { 1 }{ 2 } \) - (- \( \frac { 1 }{ 2 } \)) = 0
T₄-T₃ = -\( \frac { 1 }{ 2 } \) - (- \( \frac { 1 }{ 2 } \)) = 0
चूँकि T₂ - T₁ = T₃ - T₂ = T₄-T₃ = 0
.. दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. है। यहाँ d = 0
T₅ = -\( \frac { 1 }{ 2 } \) + 0 = -\( \frac { 1 }{ 2 } \);
T₆ = -\( \frac { 1 }{ 2 } \) + 0 = -\( \frac { 1 }{ 2 } \);
T₇ = -\( \frac { 1 }{ 2 } \) + 0 = -\( \frac { 1 }{ 2 } \)
इस प्रकार A.P. के अगले तीन पद हैं: -\( \frac { 1 }{ 2 } \), -\( \frac { 1 }{ 2 } \), -\( \frac { 1 }{ 2 } \)
(ix) हमें प्राप्त है कि: 1, 3, 9, 27...
यहाँ,
T₁ = 1
T₂ = 3

\( \implies \) T₂-T₁ = 3-1 = 2
T₃ = 9
T₄ = 27

\( \implies \) T₄-T₃ = 27-9 = 18
चूँकि T₂-T₁ \( \ne \) T₄-T₃
.. दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं है।
(x) हमें प्राप्त है कि: a, 2a, 3a, 4a, ...
:
T₁ = a, T₂ = 2a, T₃ = 3a, T₄ = 4a
T₂-T₁ = 2a -a = a,
T₃-T₂ = 3a - 2a = a
T₄-T₃ = 4a - 3a = a
T₂-T₁ = T₃-T₂ = T₄-T₃ = a \( \implies \) d = a
.. दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. है।
अब, T₅ = T₄ + a = 4a + a = 5a, T₆ = T₅ + a = 5a + a = 6a, T₇ = T₆ + a = 6a + a = 7a
इस प्रकार, d = a और T₅ = 5a, T₆ = 6a, T₇ = 7a
(xi) हमें प्राप्त है कि: a, a², a³, a⁴, ...
T₁ = a
T₂ = a²

\( \implies \) T₂ - T₁ = a² - a = a[a -1]
T₃ = a³
T₄ = a⁴

\( \implies \) T₄ - T₃ = a⁴ - a³ = a³[a - 1]
चूँकि T₂-T₁ \( \ne \) T₄-T₃
.. दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं है।
(xii) हमें प्राप्त है कि: \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{8} \), \( \sqrt{18} \), \( \sqrt{32} \), ...
:
T₁ = \( \sqrt{2} \), T₂ = \( \sqrt{8} \), T₃ = \( \sqrt{18} \), T₄ = \( \sqrt{32} \)
T₂-T₁ = \( \sqrt{8} \) - \( \sqrt{2} \) = 2\( \sqrt{2} \) - \( \sqrt{2} \) = \( \sqrt{2} \)
T₃-T₂ = \( \sqrt{18} \) - \( \sqrt{8} \) = 3\( \sqrt{2} \) - 2\( \sqrt{2} \) = \( \sqrt{2} \)
T₄-T₃ = \( \sqrt{32} \) - \( \sqrt{18} \) = 4\( \sqrt{2} \) - 3\( \sqrt{2} \) = \( \sqrt{2} \)
T₂-T₁ = T₃-T₂ = T₄-T₃ = \( \sqrt{2} \)
.. दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. है।

\( \implies \) d = \( \sqrt{2} \)
अब, T₅ = 4\( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{2} \) = 5\( \sqrt{2} \) = \( \sqrt{50} \), T₆ = 5\( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{2} \) = 6\( \sqrt{2} \) = \( \sqrt{72} \)
T₇ = 6\( \sqrt{2} \) + \( \sqrt{2} \) = 7\( \sqrt{2} \) = \( \sqrt{98} \)
इस प्रकार, d = \( \sqrt{2} \) और T₅ = \( \sqrt{50} \), T₆ = \( \sqrt{72} \), T₇ = \( \sqrt{98} \)
(xiii) हमें प्राप्त है कि: \( \sqrt{3} \), \( \sqrt{6} \), \( \sqrt{9} \), \( \sqrt{12} \), ...
T₁ = \( \sqrt{3} \)
T₂ = \( \sqrt{6} \)

\( \implies \) T₂ - T₁ = \( \sqrt{6} \) - \( \sqrt{3} \) = \( \sqrt{3} \)(\( \sqrt{2} \) - 1)
और
T₃ = \( \sqrt{9} \)
T₄ = \( \sqrt{12} \)

\( \implies \) T₄ - T₃ = \( \sqrt{12} \) - \( \sqrt{9} \) = 2\( \sqrt{3} \) - 3 = \( \sqrt{3} \)(2-\( \sqrt{3} \))
T₂-T₁ \( \ne \) T₄-T₃
.. दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं है।
(xiv) हमें प्राप्त है कि: 1², 3², 5², 7², ...
:
T₁ = 1² = 1
T₂ = 3² = 9

\( \implies \) T₂-T₁ = 9-1 = 8
T₃ = 5² = 25
T₄ = 7² = 49

\( \implies \) T₄-T₃ = 49-25 = 24
T₂-T₁ \( \ne \) T₄-T₃
.. दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं है।
(xv) हमें प्राप्त है कि: 1², 5², 7², 73, ...
T₁ = 1² = 1, T₂ = 5² = 25, T₃ = 7² = 49, T₄ = 73
T₂-T₁ = 25-1 = 24
T₃-T₂ = 49-25 = 24,
T₄-T₃ = 73 - 49 = 24
T₂-T₁ = T₃-T₂ = T₄-T₃ = 24 \( \implies \) d = 24
.. दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. है।
अब, T₅ = T₄ + 24 = 73 + 24 = 97, T₆ = T₅ + 24 = 97 + 24 = 121
T₇ = T₆ + 24 = 121 + 24 = 145
इस प्रकार, d = 24 और T₅ = 97, T₆ = 121, T₇ = 145
In simple words: To identify A.P.s, calculate the difference between consecutive terms. If this difference (common difference 'd') is constant, it's an A.P. For A.P.s, find 'd' and then add 'd' to the last given term to find the next three terms. Sequences like 2,4,8,16 (geometric), square terms (1², 3², 5², 7²), or expressions like a, a², a³ are generally not A.P.s as their differences are not constant.

🎯 Exam Tip: Always show the calculation of common differences explicitly for at least two pairs of terms. This demonstrates understanding of the A.P. definition and helps earn full marks, especially for determining "why" a sequence is or isn't an A.P.

 

Exercise 5.2

Question 1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और n वाँ पद an है:

Answer:
हलः (i) चूँकि a_n = a + (n-1)d
: a₈ = 7 + (8-1)3
= 7+7×3 = 7 + 21 = 28
अतः a₈ = 28
(ii) चूँकि a_n = a + (n - 1) d
.. a₁₀ = -18+ (10 - 1) d
0 = -18 + 9d

\( \implies \) 9d = 18 \( \implies \) d = \( \frac { 18 }{ 9 } \) = 2
अतः d = 2
(iii) चूँकि a_n = a + (n - 1) d
-5 = a+(18-1) × (-3)

\( \implies \) -5 = a + 17 × (-3)

\( \implies \) -5 = a-51

\( \implies \) a = -5+51 = 46
अतः a = 46
(iv) चूँकि a_n = a + (n-1) d
.. 3.6 = -18.9+ (n-1) × 2.5
3.6+18.9 = (n-1) × 2.5

\( \implies \) (n-1) × 2.5 = 22.5

\( \implies \) n-1 = \( \frac { 22.5 }{ 2.5 } \) = 9
n = 9+1 = 10
इस प्रकार, n = 10
(v) चूँकि a_n = a + (n-1) d

\( \implies \) a_n = 3.5+ (105-1) × 0

\( \implies \) a_n = 3.5 + 104 × 0

\( \implies \) a_n = 3.5 + 0 = 3.5
इस प्रकार, a_n = 3.5
In simple words: This question requires filling in missing values in an A.P. table using the formula a_n = a + (n-1)d. By substituting the given values into this formula, we can algebraically solve for the unknown variable, whether it's 'a', 'd', 'n', or 'a_n'.

🎯 Exam Tip: Familiarity with the A.P. general term formula (a_n = a + (n-1)d) is crucial. Practice algebraic manipulation to isolate the required variable from this formula. Pay attention to signs, especially with negative common differences.

 

Question 2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(i) A.P: 10, 7, 4, ......... का 30 वाँ पद है:
(A) 97
(B) 77
(C) -77
(D) -87
(ii) A.P.: -3, -\( \frac { 1 }{ 2 } \), 2,..., का 11वाँ पद है:
(A) 28
(B) 22
(C)-38
(D) -48\( \frac { 1 }{ 2 } \)
Answer:
हल: (i) यहाँ, a = 10 और n = 30
चूँकि T_n = a + (n-1) d
और d = 7-10 = -3
.. T₃₀ = 10+ (30-1) (-3)

\( \implies \) T₃₀ = 10+29 (-3)

\( \implies \) T₃₀ = 10-87 = -77
.:. सही विकल्प (c) : -77 है।
(ii) यहाँ, a = -3, n = 11 और d = -\( \frac { 1 }{ 2 } \) - (-3)
= -\( \frac { 1 }{ 2 } \) + 3 = \( \frac { 5 }{ 2 } \)
अब, T_n = a + (n-1) d

\( \implies \) T₁₁ = -3 + (11- 1) × \( \frac { 5 }{ 2 } \)

\( \implies \) T₁₁ = -3 + 10 × \( \frac { 5 }{ 2 } \)

\( \implies \) T₁₁ = -3 + 25 = 22
इस प्रकार सही विकल्प (B) : 22 है।
In simple words: For multiple-choice questions about finding the nth term of an A.P., first identify the first term 'a', the common difference 'd', and the term number 'n'. Then, substitute these values into the formula a_n = a + (n-1)d and calculate the result. This will lead to the correct option.

🎯 Exam Tip: When calculating 'd' with negative numbers or fractions, be extra careful with subtraction and common denominators. A small error in 'd' will lead to an incorrect 'a_n'. Always double-check your arithmetic.

 

Question 3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए |
(i) 2, \[ \boxed{\phantom{14}} \], 26
(ii) \[ \boxed{\phantom{18}} \], 13, \[ \boxed{\phantom{8}} \], 3
(iii) 5, \[ \boxed{\phantom{8}} \], \[ \boxed{\phantom{\frac{1}{2}}} \], \( 9\frac { 1 }{ 2 } \)
(iv) -4, \[ \boxed{\phantom{-2}} \], \[ \boxed{\phantom{0}} \], \[ \boxed{\phantom{2}} \], \[ \boxed{\phantom{4}} \], 6
(v) \[ \boxed{\phantom{53}} \], 38, \[ \boxed{\phantom{23}} \], \[ \boxed{\phantom{8}} \], \[ \boxed{\phantom{-7}} \], -22
Answer:
हलः (i) यहाँ, a = 2 और T₃ = 26
माना सार्व अन्तर = d
.. T_n = a + (n-1) d
T₃ = 2 + (3-1) d = 2 + 2d
परन्तु T₃ = 26 .:. 2 + 2d = 26

\( \implies \) 2d = 26-2 = 24

\( \implies \) d = \( \frac { 24 }{ 2 } \) = 12
... रिक्त खाने वाला पद = 2 + 12 = 14
(ii) यहाँ, T₂ = 13 और T₄ = 3
चूँकि T₂ = a + d = 13,
.. T₄ = a + 3d = 3
T₄-T₂ = (a+3d) - (a + d) = 2d

\( \implies \) 2d = 3-13 = -10

\( \implies \) d = \( \frac { -10 }{ 2 } \) = (-5)
अब a + d = 13 = a + (-5) = 13

\( \implies \) a = 13+5 = 18
इस प्रकार रिक्त पद a और a + 2d है।
अर्थात् 18 और 18 + 2 (-5) = 8
इस प्रकार T₁ = 18 और T₃ = 8
(iii) यहाँ, a = 5 and T₄ = \( 9\frac { 1 }{ 2 } \)
चूँकि, T₄ = a + 3d

\( \implies \) \( 9\frac { 1 }{ 2 } \) = 5 + 3d

\( \implies \) 3d = \( 9\frac { 1 }{ 2 } \) - 5 = \( 4\frac { 1 }{ 2 } \)

\( \implies \) d = \( \frac { 9 }{ 2 } \) \( \times \) \( \frac { 1 }{ 3 } \) = \( \frac { 3 }{ 2 } \)
T₂ = a+d = 5+\( \frac { 3 }{ 2 } \) = \( \frac { 13 }{ 2 } \)
T₃ = a + 2d = 5+2(\( \frac { 3 }{ 2 } \)) = 8
.. रिक्त पद हैं: \( \frac { 13 }{ 2 } \) और 8
(iv) यहाँ, a = -4 and T₆ = 6
T₆ = a + (6-1) d
6 = -4 + 5d

\( \implies \) 5d = 6+4 = 10

\( \implies \) d = \( \frac { 10 }{ 5 } \) = 2
T₂ = a + d = -4 + 2 = -2,
T₃ = a + 2d = -4 + 2(2) = 0
T₄ = a + 3d = -4 + 3(2) = 2,
T₅ = a + 4d = -4 + 4(2) = 4
.. रिक्त पद है: -2, 0, 2, 4
(v) यहाँ, T₂ = 38 and T₆ = -22
.. T₂ = a + d = 38,
T₆ = a + 5d = -22

\( \implies \) T₆-T₂ = a + 5d - (a + d) = -22-38

\( \implies \) 4d = -60

\( \implies \) d = \( \frac { -60 }{ 4 } \) = -15
.. a + d = 38

\( \implies \) a + (-15) = 38

\( \implies \) a = 38+ 15 = 53
अब, T₃ = a + 2d = 53 + 2(-15) = 53-30 = 23
T₄ = a + 3d = 53 + 3(-15) = 53-45 = 8
T₅ = a + 4d = 53 - 4(-15) = 53-60 = -7
.. रिक्त पद हैं: 53, 23, 8, -7
In simple words: To fill in the missing terms in an A.P., first determine the common difference 'd' using the given terms and the formula a_n = a + (n-1)d. Once 'd' is known, find the first term 'a' (if not given) and then calculate all the required intermediate terms by adding 'd' sequentially.

🎯 Exam Tip: For fill-in-the-blank A.P. problems, write down all known terms and their positions (n-values). Use a pair of known terms (e.g., T₂ and T₄) to set up simultaneous equations if 'a' and 'd' are both unknown. This systematic approach ensures accuracy.

 

Question 3. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ...
Answer: हलः यहाँ, \( T_1 = 0.6 \)
\( T_2 = 1.7 \)
\( T_3 = 2.8 \)
\( T_4 = 3.9 \)
चूँकि, \( T_2 - T_1 = 1.7 - 0.6 = 1.1 \)
\( T_3 - T_2 = 2.8 - 1.7 = 1.1 \)
\( T_4 - T_3 = 3.9 - 2.8 = 1.1 \)
यहाँ, \( T_2 - T_1 = T_3 - T_2 = T_4 - T_3 \)
अतः, दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. है।
यहाँ, \( a = 0.6 \) और \( d = 1.1 \)
अगले तीन पद:
\( T_5 = T_4 + d = 3.9 + 1.1 = 5.0 \)
\( T_6 = T_5 + d = 5.0 + 1.1 = 6.1 \)
\( T_7 = T_6 + d = 6.1 + 1.1 = 7.2 \)
इस प्रकार, \( a = 0.6 \) और \( d = 1.1 \) तथा अगले तीन पद 5.0, 6.1, 7.2 हैं।In simple words: A sequence is an A.P. if the common difference between consecutive terms is constant. Here, the common difference is 1.1, so it's an A.P. We find the next three terms by adding the common difference repeatedly.

🎯 Exam Tip: Always calculate the differences between at least three consecutive terms to confirm if a sequence is an A.P. before proceeding to find further terms or sums.

 

Question 3. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |
(v) यहाँ, \( T_2 = 38 \) और \( T_6 = -22 \)
Answer: हलः हमें प्राप्त है:
\( T_2 = a + d = 38 \) ...(1)
\( T_6 = a + 5d = -22 \) ...(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( (a + 5d) - (a + d) = -22 - 38 \)
\( a + 5d - a - d = -60 \)
\( 4d = -60 \)
\( d = \frac{-60}{4} \)
\( d = -15 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + (-15) = 38 \)
\( a = 38 + 15 \)
\( a = 53 \)
अब, प्रथम पद \( T_1 = a = 53 \) है।
तीसरा पद \( T_3 = a + 2d = 53 + 2(-15) = 53 - 30 = 23 \)
चौथा पद \( T_4 = a + 3d = 53 + 3(-15) = 53 - 45 = 8 \)
पाँचवाँ पद \( T_5 = a + 4d = 53 + 4(-15) = 53 - 60 = -7 \)
इस प्रकार, रिक्त पद हैं: 53, 23, 8, -7In simple words: Given two terms of an A.P., we can form a system of linear equations to find the first term (a) and the common difference (d). Once 'a' and 'd' are known, any term in the A.P. can be found.

🎯 Exam Tip: When given two non-consecutive terms of an A.P., set up two equations using the formula \( T_n = a + (n-1)d \) and solve them simultaneously to find 'a' and 'd'. This method is crucial for finding missing terms or other properties of the A.P.

 

Question 4. A.P. : 3, 8, 13, 18,... का कौन सा पद 78 है ?
Answer: हलः माना nth पद 78 है।
यहाँ, प्रथम पद \( a = 3 \)
सार्व अंतर \( d = T_2 - T_1 = 8 - 3 = 5 \)
तथा, \( T_n = 78 \)
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
\( 78 = 3 + (n-1) \times 5 \)
\( 78 - 3 = (n-1) \times 5 \)
\( 75 = (n-1) \times 5 \)
\( \frac{75}{5} = n-1 \)
\( 15 = n-1 \)
\( n = 15 + 1 \)
\( n = 16 \)
अतः, पद 78, A.P. का 16वाँ पद है।In simple words: We are looking for the position (n) of the term 78 in the given A.P. By using the formula for the nth term of an A.P. and substituting the given values for the first term, common difference, and the term itself, we find that 78 is the 16th term.

🎯 Exam Tip: Remember the formula \( T_n = a + (n-1)d \). When finding 'n', isolate it carefully through algebraic manipulation. A common mistake is not adding 1 at the final step (\( n-1 \) to \( n \)).

 

Question 5. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं ?
(i) 7, 13, 19, ..., 205
(ii) 18, [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex], 13, ........., -47
Answer: हलः (i) यहाँ, \( a = 7 \)
सार्व अंतर \( d = 13 - 7 = 6 \)
माना दिए गए A.P. में पदों की संख्या \( n \) है और अन्तिम पद \( T_n = 205 \)
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
\( 205 = 7 + (n-1) \times 6 \)
\( 205 - 7 = (n-1) \times 6 \)
\( 198 = (n-1) \times 6 \)
\( \frac{198}{6} = n-1 \)
\( 33 = n-1 \)
\( n = 33 + 1 \)
\( n = 34 \)
अतः, दिए गए A.P. में पदों की संख्या 34 है।

(ii) यहाँ, प्रथम पद \( a = 18 \)
सार्व अंतर \( d = 15[latex]\frac{1}{2}[/latex] - 18 = \frac{31}{2} - 18 = \frac{31-36}{2} = -\frac{5}{2} \)
माना इस A.P. का nवाँ पद \( T_n = -47 \)
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
\( -47 = 18 + (n-1) \times (-\frac{5}{2}) \)
\( -47 - 18 = (n-1) \times (-\frac{5}{2}) \)
\( -65 = (n-1) \times (-\frac{5}{2}) \)
\( n-1 = -65 \times (-\frac{2}{5}) \)
\( n-1 = 13 \times 2 \)
\( n-1 = 26 \)
\( n = 26 + 1 \)
\( n = 27 \)
इस प्रकार, वांछित पदों की संख्या 27 है।In simple words: To find the number of terms (n) in an A.P., we use the formula for the nth term, \( T_n = a + (n-1)d \). By knowing the first term (a), common difference (d), and the last term (\( T_n \)), we can solve for 'n'.

🎯 Exam Tip: When dealing with mixed fractions for the common difference, convert them to improper fractions first to avoid calculation errors. Always verify your 'n' value, as the number of terms must be a positive integer.

 

Question 6. क्या A.P., 11, 8, 5, 2 ... का एक पद -150 है ? क्यों ?
Answer: हलः दिए गए A.P. के लिए,
प्रथम पद \( a = 11 \)
सार्व अंतर \( d = 8 - 11 = -3 \)
माना दिए गए A.P. का nवाँ पद \( T_n = -150 \) है।
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
\( -150 = 11 + (n-1) \times (-3) \)
\( -150 - 11 = (n-1) \times (-3) \)
\( -161 = (n-1) \times (-3) \)
\( n-1 = \frac{-161}{-3} \)
\( n-1 = \frac{161}{3} \)
\( n = \frac{161}{3} + 1 \)
\( n = \frac{161 + 3}{3} \)
\( n = \frac{164}{3} \)
\( n = 54\frac{2}{3} \)
चूँकि 'n' एक धनात्मक पूर्णांक (positive integer) होना चाहिए और यहाँ \( n = 54\frac{2}{3} \) जो कि एक पूर्णांक नहीं है।
अतः, -150 उक्त A.P. का पद नहीं है।In simple words: To check if a number is a term in an A.P., we calculate its position 'n' using the nth term formula. If 'n' is not a positive whole number, then the number is not a term in that A.P. Here, 'n' is a fraction, so -150 is not a term.

🎯 Exam Tip: The number of terms 'n' must always be a positive integer. If your calculation yields a fraction or a negative number for 'n', it means the value in question is not a part of the A.P.

 

Question 7. उस A.P का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11 वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
Answer: हलः यहाँ, \( T_{31} = ? \)
हमें दिया गया है: \( T_{11} = 38 \) और \( T_{16} = 73 \)
माना प्रथम पद 'a' और सार्व अंतर 'd' है।
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
इसलिए, \( T_{11} = a + (11-1)d \)
\( a + 10d = 38 \) ...(1)
और \( T_{16} = a + (16-1)d \)
\( a + 15d = 73 \) ...(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( (a + 15d) - (a + 10d) = 73 - 38 \)
\( a + 15d - a - 10d = 35 \)
\( 5d = 35 \)
\( d = \frac{35}{5} \)
\( d = 7 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 10(7) = 38 \)
\( a + 70 = 38 \)
\( a = 38 - 70 \)
\( a = -32 \)
अब हमें 31वाँ पद ज्ञात करना है:
\( T_{31} = a + (31-1)d \)
\( T_{31} = -32 + (30) \times 7 \)
\( T_{31} = -32 + 210 \)
\( T_{31} = 178 \)
इस प्रकार, 31वाँ पद 178 है।In simple words: Given two terms of an A.P., we can set up two equations using the nth term formula to find the first term (a) and the common difference (d). Once 'a' and 'd' are known, any specific term, like the 31st term, can be calculated.

🎯 Exam Tip: This type of problem often involves solving a pair of linear equations. Ensure careful substitution and calculation of 'a' and 'd' as any error will propagate to the final answer. Clearly label your equations for better readability.

 

Question 8. एक A.P में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः यहाँ, A.P. में कुल पद \( n = 50 \) हैं।
तीसरा पद \( T_3 = 12 \)
अंतिम पद \( T_{50} = 106 \)
माना प्रथम पद 'a' और सार्व अंतर 'd' है।
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
इसलिए, \( T_3 = a + (3-1)d \)
\( a + 2d = 12 \) ...(1)
और \( T_{50} = a + (50-1)d \)
\( a + 49d = 106 \) ...(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( (a + 49d) - (a + 2d) = 106 - 12 \)
\( a + 49d - a - 2d = 94 \)
\( 47d = 94 \)
\( d = \frac{94}{47} \)
\( d = 2 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 2(2) = 12 \)
\( a + 4 = 12 \)
\( a = 12 - 4 \)
\( a = 8 \)
अब हमें 29वाँ पद ज्ञात करना है:
\( T_{29} = a + (29-1)d \)
\( T_{29} = 8 + (28) \times 2 \)
\( T_{29} = 8 + 56 \)
\( T_{29} = 64 \)
इस प्रकार, 29वाँ पद 64 है।In simple words: Given the total number of terms, a specific term, and the last term of an A.P., we can set up two equations to find the first term (a) and the common difference (d). Then, we use these values to calculate any other required term, like the 29th term.

🎯 Exam Tip: Carefully identify the given information (e.g., \( T_3 \) means n=3, \( T_{50} \) means n=50). Solving the system of equations for 'a' and 'd' is a critical step, so practice this algebraic skill.

 

Question 9. यदि किसी A.P के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
Answer: हलः हमें दिया गया है:
तीसरा पद \( T_3 = 4 \)
नौवाँ पद \( T_9 = -8 \)
माना प्रथम पद 'a' और सार्व अंतर 'd' है।
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
इसलिए, \( T_3 = a + (3-1)d \)
\( a + 2d = 4 \) ...(1)
और \( T_9 = a + (9-1)d \)
\( a + 8d = -8 \) ...(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( (a + 8d) - (a + 2d) = -8 - 4 \)
\( a + 8d - a - 2d = -12 \)
\( 6d = -12 \)
\( d = \frac{-12}{6} \)
\( d = -2 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 2(-2) = 4 \)
\( a - 4 = 4 \)
\( a = 4 + 4 \)
\( a = 8 \)
अब, हमें वह पद ज्ञात करना है जो शून्य है। माना \( T_n = 0 \)
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
\( 0 = 8 + (n-1)(-2) \)
\( -8 = (n-1)(-2) \)
\( \frac{-8}{-2} = n-1 \)
\( 4 = n-1 \)
\( n = 4 + 1 \)
\( n = 5 \)
इस प्रकार, A.P. का 5वाँ पद शून्य (0) होगा।In simple words: To find which term of an A.P. is zero, first find the first term (a) and common difference (d) from the given terms. Then, set the nth term formula \( T_n = a + (n-1)d \) equal to zero and solve for 'n'.

🎯 Exam Tip: Clearly define 'a' and 'd' at the beginning. Pay close attention to signs when solving for 'd' and 'a', especially with negative numbers. A small error can lead to an incorrect 'n' value.

 

Question 10. किसी A.P का 17 वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः माना दिए गए A.P. का प्रथम पद 'a' और सार्व अंतर 'd' है।
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
इसलिए, 17वाँ पद \( T_{17} = a + (17-1)d = a + 16d \)
और 10वाँ पद \( T_{10} = a + (10-1)d = a + 9d \)
शर्त के अनुसार, 17वाँ पद 10वें पद से 7 अधिक है:
\( T_{17} = T_{10} + 7 \)
\( a + 16d = (a + 9d) + 7 \)
\( a + 16d - a - 9d = 7 \)
\( 7d = 7 \)
\( d = \frac{7}{7} \)
\( d = 1 \)
इस प्रकार, सार्व अंतर 1 है।In simple words: The problem states that the 17th term is 7 more than the 10th term. By expressing both terms using the A.P. formula \( T_n = a + (n-1)d \) and setting up an equation, we can directly solve for the common difference 'd'.

🎯 Exam Tip: This problem is a direct application of the nth term formula. Notice that the 'a' term cancels out, leading to a quick solution for 'd'. This is a common pattern for problems involving the difference between two terms.

 

Question 11. A.P. : 3, 15, 27, 39, ... का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
Answer: हलः यहाँ, प्रथम पद \( a = 3 \)
सार्व अंतर \( d = 15 - 3 = 12 \)
सबसे पहले, हम 54वाँ पद ज्ञात करेंगे:
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
\( T_{54} = a + (54-1)d \)
\( T_{54} = 3 + (53) \times 12 \)
\( T_{54} = 3 + 636 \)
\( T_{54} = 639 \)
अब, माना nवाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है।
\( T_n = T_{54} + 132 \)
\( T_n = 639 + 132 \)
\( T_n = 771 \)
अब, \( T_n = a + (n-1)d \) में मान रखने पर:
\( 771 = 3 + (n-1) \times 12 \)
\( 771 - 3 = (n-1) \times 12 \)
\( 768 = (n-1) \times 12 \)
\( \frac{768}{12} = n-1 \)
\( 64 = n-1 \)
\( n = 64 + 1 \)
\( n = 65 \)
अतः, 65वाँ पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा।In simple words: First, calculate the 54th term of the A.P. Then, find the value of the term that is 132 greater than the 54th term. Finally, use the nth term formula to determine the position (n) of this new term in the A.P.

🎯 Exam Tip: This problem involves a two-step calculation. Ensure accuracy in calculating the specific term (\( T_{54} \)) before using it to find the 'n' for the new condition. Double-check your arithmetic, especially with multiplication.

 

Question 12. दो समांतर श्रेढियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100 वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?
Answer: हलः माना प्रथम A.P. का प्रथम पद \( a_1 \) और द्वितीय A.P. का प्रथम पद \( a_2 \) है।
दोनों समांतर श्रेढियों का सार्व अंतर समान है, जिसे \( d \) मानते हैं।
प्रथम A.P. का nवाँ पद \( T_n = a_1 + (n-1)d \)
द्वितीय A.P. का nवाँ पद \( T'_n = a_2 + (n-1)d \)
शर्त के अनुसार, उनके 100वें पदों का अंतर 100 है:
\( T_{100} - T'_{100} = 100 \)
\( (a_1 + (100-1)d) - (a_2 + (100-1)d) = 100 \)
\( (a_1 + 99d) - (a_2 + 99d) = 100 \)
\( a_1 + 99d - a_2 - 99d = 100 \)
\( a_1 - a_2 = 100 \) ...(1)
अब, हमें उनके 1000वें पदों का अंतर ज्ञात करना है:
\( T_{1000} - T'_{1000} \)
\( = (a_1 + (1000-1)d) - (a_2 + (1000-1)d) \)
\( = (a_1 + 999d) - (a_2 + 999d) \)
\( = a_1 + 999d - a_2 - 999d \)
\( = a_1 - a_2 \)
समीकरण (1) से, हम जानते हैं कि \( a_1 - a_2 = 100 \)
अतः, \( T_{1000} - T'_{1000} = 100 \)
इस प्रकार, 1000वें पदों का अंतर भी 100 है।In simple words: When two A.P.s have the same common difference, the difference between their corresponding terms (e.g., 100th terms, 1000th terms) is constant and equal to the difference between their first terms. Since the 100th terms differ by 100, the 1000th terms will also differ by 100.

🎯 Exam Tip: This is a conceptual problem that tests understanding of common difference. Recognizing that the 'd' terms cancel out when finding the difference between corresponding terms of two A.P.s with the same common difference is key to a quick and elegant solution.

 

Question 13. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
Answer: हलः तीन अंकों वाली संख्याएँ 100 से 999 तक होती हैं।
सबसे छोटी तीन अंकों वाली संख्या जो 7 से विभाज्य है, वह 105 है (क्योंकि \( 100 = 14 \times 7 + 2 \), तो \( 100 + (7-2) = 105 \))।
सबसे बड़ी तीन अंकों वाली संख्या जो 7 से विभाज्य है, वह 994 है (क्योंकि \( 999 = 142 \times 7 + 5 \), तो \( 999 - 5 = 994 \))।
इस प्रकार, हमें एक A.P. प्राप्त होती है: 105, 112, 119, ..., 994
यहाँ, प्रथम पद \( a = 105 \)
सार्व अंतर \( d = 7 \) (क्योंकि संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं)
अंतिम पद \( T_n = 994 \)
हमें पदों की संख्या \( n \) ज्ञात करनी है।
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
\( 994 = 105 + (n-1) \times 7 \)
\( 994 - 105 = (n-1) \times 7 \)
\( 889 = (n-1) \times 7 \)
\( \frac{889}{7} = n-1 \)
\( 127 = n-1 \)
\( n = 127 + 1 \)
\( n = 128 \)
अतः, तीन अंकों वाली 128 संख्याएँ हैं जो 7 से विभाज्य हैं।In simple words: To find the count of numbers divisible by 7 within a range, first identify the smallest and largest numbers in that range divisible by 7. These form an A.P. with a common difference of 7. Then, use the nth term formula to find the total number of terms.

🎯 Exam Tip: The critical first step is correctly identifying the first and last terms of the A.P. within the given range. A common mistake is using 100 or 999 as the first or last term if they are not exactly divisible.

 

Question 14. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
Answer: हलः 10 और 250 के बीच 4 के गुणज वे संख्याएँ हैं जो 4 से विभाज्य हैं।
10 के बाद 4 का पहला गुणज 12 है (क्योंकि \( 10 = 2 \times 4 + 2 \), तो \( 10 + (4-2) = 12 \))।
250 से पहले 4 का अंतिम गुणज 248 है (क्योंकि \( 250 = 62 \times 4 + 2 \), तो \( 250 - 2 = 248 \))।
इस प्रकार, हमें एक A.P. प्राप्त होती है: 12, 16, 20, ..., 248
यहाँ, प्रथम पद \( a = 12 \)
सार्व अंतर \( d = 4 \)
अंतिम पद \( T_n = 248 \)
हमें पदों की संख्या \( n \) ज्ञात करनी है।
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
\( 248 = 12 + (n-1) \times 4 \)
\( 248 - 12 = (n-1) \times 4 \)
\( 236 = (n-1) \times 4 \)
\( \frac{236}{4} = n-1 \)
\( 59 = n-1 \)
\( n = 59 + 1 \)
\( n = 60 \)
अतः, 10 और 250 के बीच में 4 के 60 गुणज हैं।In simple words: To count multiples of a number within a range, identify the first multiple after the lower bound and the last multiple before the upper bound. These terms, along with the given common difference, form an A.P. which can be solved for 'n'.

🎯 Exam Tip: Always ensure you find the multiples *between* the given numbers (exclusive of endpoints) or *inclusive* of endpoints, as specified in the question. In this case, "बीच में" implies exclusive.

 

Question 15. n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढियों 63, 65, 67, ....... और 3, 10, 17, ........ के n वें पद बराबर होंगे?
Answer: हलः पहली समांतर श्रेढ़ी के लिए (A.P. 1): 63, 65, 67, ...
प्रथम पद \( a_1 = 63 \)
सार्व अंतर \( d_1 = 65 - 63 = 2 \)
पहली A.P. का nवाँ पद \( T_n = a_1 + (n-1)d_1 = 63 + (n-1)2 \)

दूसरी समांतर श्रेढ़ी के लिए (A.P. 2): 3, 10, 17, ...
प्रथम पद \( a_2 = 3 \)
सार्व अंतर \( d_2 = 10 - 3 = 7 \)
दूसरी A.P. का nवाँ पद \( T'_n = a_2 + (n-1)d_2 = 3 + (n-1)7 \)

शर्त के अनुसार, दोनों A.P. के nवें पद बराबर हैं:
\( T_n = T'_n \)
\( 63 + (n-1)2 = 3 + (n-1)7 \)
\( 63 + 2n - 2 = 3 + 7n - 7 \)
\( 61 + 2n = 7n - 4 \)
\( 61 + 4 = 7n - 2n \)
\( 65 = 5n \)
\( n = \frac{65}{5} \)
\( n = 13 \)
इस प्रकार, \( n = 13 \) के लिए दोनों समांतर श्रेढियों के nवें पद बराबर होंगे।In simple words: To find when the nth terms of two different A.P.s are equal, set their respective nth term formulas equal to each other. By substituting their individual first terms and common differences, we can solve for 'n'.

🎯 Exam Tip: Ensure you correctly identify 'a' and 'd' for *each* A.P. separately. Pay careful attention to algebraic manipulation when solving the equation for 'n', especially when distributing and combining like terms.

 

Question 16. वह A.P ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
Answer: हलः माना A.P. का प्रथम पद 'a' और सार्व अंतर 'd' है।
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
दिया गया है कि तीसरा पद \( T_3 = 16 \)
इसलिए, \( a + (3-1)d = 16 \)
\( a + 2d = 16 \) ...(1)
दिया गया है कि 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है:
\( T_7 = T_5 + 12 \)
\( a + (7-1)d = a + (5-1)d + 12 \)
\( a + 6d = a + 4d + 12 \)
\( 6d - 4d = 12 \)
\( 2d = 12 \)
\( d = \frac{12}{2} \)
\( d = 6 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 2(6) = 16 \)
\( a + 12 = 16 \)
\( a = 16 - 12 \)
\( a = 4 \)
अतः, A.P. के पद हैं: \( a, a+d, a+2d, a+3d, ... \)
4, \( 4+6 \), \( 4+2(6) \), \( 4+3(6) \), ...
4, 10, 16, 22, ...
इस प्रकार, वह A.P. 4, 10, 16, 22, ... है।In simple words: We used the given conditions to form two equations based on the A.P. formula. Solving these equations gave us the first term (a) and the common difference (d). With 'a' and 'd', we can list the terms of the A.P.

🎯 Exam Tip: Carefully translate the word problem into algebraic equations. The phrase "7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है" translates to \( T_7 = T_5 + 12 \), which simplifies to \( 2d = 12 \). This shortcut is very useful.

 

Question 17. A.P. : 3, 8, 13, ..., 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः दी गई A.P. है: 3, 8, 13, ..., 253
यहाँ, प्रथम पद \( a = 3 \)
सार्व अंतर \( d = 8 - 3 = 5 \)
अंतिम पद \( l = 253 \)
अंतिम पद से nवाँ पद ज्ञात करने का सूत्र है: \( l - (n-1)d \)
हमें अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात करना है, तो \( n = 20 \)
अंतिम पद से 20वाँ पद \( = l - (20-1)d \)
\( = 253 - (19) \times 5 \)
\( = 253 - 95 \)
\( = 158 \)
इस प्रकार, अंतिम पद से 20वाँ पद 158 है।In simple words: To find a term from the end of an A.P., use the formula \( l - (n-1)d \), where 'l' is the last term, 'n' is the position from the end, and 'd' is the common difference.

🎯 Exam Tip: Be careful not to confuse finding a term from the end with finding a term from the beginning. The formula \( T_n = a + (n-1)d \) is for terms from the beginning, while \( l - (n-1)d \) is for terms from the end.

 

Question 18. किसी A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः माना A.P. का प्रथम पद 'a' और सार्व अंतर 'd' है।
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
दिया गया है कि चौथे और 8वें पदों का योग 24 है:
\( T_4 + T_8 = 24 \)
\( (a + 3d) + (a + 7d) = 24 \)
\( 2a + 10d = 24 \)
2 से भाग देने पर:
\( a + 5d = 12 \) ...(1)
दिया गया है कि छठे और 10वें पदों का योग 44 है:
\( T_6 + T_{10} = 44 \)
\( (a + 5d) + (a + 9d) = 44 \)
\( 2a + 14d = 44 \)
2 से भाग देने पर:
\( a + 7d = 22 \) ...(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( (a + 7d) - (a + 5d) = 22 - 12 \)
\( a + 7d - a - 5d = 10 \)
\( 2d = 10 \)
\( d = \frac{10}{2} \)
\( d = 5 \)
\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 5(5) = 12 \)
\( a + 25 = 12 \)
\( a = 12 - 25 \)
\( a = -13 \)
अब, A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात करेंगे:
प्रथम पद \( T_1 = a = -13 \)
द्वितीय पद \( T_2 = a + d = -13 + 5 = -8 \)
तृतीय पद \( T_3 = a + 2d = -13 + 2(5) = -13 + 10 = -3 \)
इस प्रकार, A.P. के प्रथम तीन पद -13, -8, -3 हैं।In simple words: We used the given sums of terms to create two linear equations involving the first term (a) and common difference (d). Solving these equations gives 'a' and 'd', from which the first three terms of the A.P. can be listed.

🎯 Exam Tip: Simplify the equations as much as possible before solving. In this case, dividing by 2 simplified the equations for easier calculation. Always recheck your values of 'a' and 'd' before finding the terms.

 

Question 19. सुब्बा राव ने 1995 में 5000 Rs. के मासिक वेतन पद कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 Rs. की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन 7000 Rs. हो गया?
Answer: हलः यह एक समांतर श्रेढ़ी का उदाहरण है, जहाँ:
प्रथम पद (प्रारंभिक वेतन) \( a = 5000 \) Rs.
सार्व अंतर (वार्षिक वेतन वृद्धि) \( d = 200 \) Rs.
माना n वर्षों में उसका वेतन 7000 Rs. हो जाता है, तो \( T_n = 7000 \) Rs.
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
\( 7000 = 5000 + (n-1) \times 200 \)
\( 7000 - 5000 = (n-1) \times 200 \)
\( 2000 = (n-1) \times 200 \)
\( \frac{2000}{200} = n-1 \)
\( 10 = n-1 \)
\( n = 10 + 1 \)
\( n = 11 \)
इसका अर्थ है कि 11 वर्षों के बाद उसका वेतन 7000 Rs. हो जाएगा।
उसने 1995 में कार्य आरंभ किया था।
तो, जिस वर्ष में उसका वेतन 7000 Rs. हो जाएगा वह वर्ष \( = 1995 + (n-1) = 1995 + (11-1) = 1995 + 10 = 2005 \)
अतः, वर्ष 2005 में उसका वेतन 7000 Rs. हो जाएगा।In simple words: This scenario describes an A.P. where the starting salary is the first term, and the annual increment is the common difference. We use the nth term formula to find the number of years 'n' it takes for the salary to reach 7000 Rs., then add (n-1) to the starting year to find the target year.

🎯 Exam Tip: Remember that 'n' represents the number of terms (or increments plus initial value). If starting year is \( Y_0 \), the year for the nth term is \( Y_0 + (n-1) \). Always double check if the question asks for the number of years or the specific year.

 

Question 20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में 5 Rs. की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत 1.75 Rs. बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत 20.75 Rs. हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः यह एक समांतर श्रेढ़ी का उदाहरण है, जहाँ:
प्रथम पद (प्रथम सप्ताह की बचत) \( a = 5 \) Rs.
सार्व अंतर (साप्ताहिक बचत में वृद्धि) \( d = 1.75 \) Rs.
माना nवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत \( T_n = 20.75 \) Rs. हो जाती है।
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
\( 20.75 = 5 + (n-1) \times 1.75 \)
\( 20.75 - 5 = (n-1) \times 1.75 \)
\( 15.75 = (n-1) \times 1.75 \)
\( \frac{15.75}{1.75} = n-1 \)
\( 9 = n-1 \)
\( n = 9 + 1 \)
\( n = 10 \)
इस प्रकार, \( n = 10 \) वें सप्ताह में रामकली की साप्ताहिक बचत 20.75 Rs. हो जाएगी।In simple words: This problem models Ramkali's savings as an A.P., where initial saving is 'a' and weekly increment is 'd'. We use the nth term formula to find 'n', the number of weeks it takes for her saving to reach a specific target.

🎯 Exam Tip: Be precise with decimal calculations. The structure of this problem is identical to others where a quantity increases by a fixed amount over time, so identifying 'a', 'd', and \( T_n \) correctly is the first step.

Exercise 5.3 (NCERT Page 124)

एक A.P. के प्रथम 'n' पदों का योगफल
(i) यदि एक A.P. का प्रथम पद 'a' और सार्व अंतर 'd' हो, तो प्रथम 'n' पदों का योगफल है:
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
(ii) यदि एक A.P. का अंतिम पद \( l \) हो, तो
\( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \)

 

Question 1. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 2, 7, 12, . . ., 10 पदों तक
(ii) -37, -33, -29, ..., 12 पदों तक
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, ..., 100 पदों तक
(iv) [latex]\frac { 1 }{ 15 }[/latex], [latex]\frac { 1 }{ 12 }[/latex], [latex]\frac { 1 }{ 10 }[/latex], ......., 11
Answer: हलः (i) यहाँ, प्रथम पद \( a = 2 \)
सार्व अंतर \( d = 7 - 2 = 5 \)
पदों की संख्या \( n = 10 \)
हम जानते हैं कि \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_{10} = \frac{10}{2} [2(2) + (10-1)5] \)
\( S_{10} = 5 [4 + (9)5] \)
\( S_{10} = 5 [4 + 45] \)
\( S_{10} = 5 [49] \)
\( S_{10} = 245 \)
अतः, प्रथम 10 पदों का योगफल 245 है।

(ii) यहाँ, प्रथम पद \( a = -37 \)
सार्व अंतर \( d = -33 - (-37) = -33 + 37 = 4 \)
पदों की संख्या \( n = 12 \)
हम जानते हैं कि \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_{12} = \frac{12}{2} [2(-37) + (12-1)4] \)
\( S_{12} = 6 [-74 + (11)4] \)
\( S_{12} = 6 [-74 + 44] \)
\( S_{12} = 6 [-30] \)
\( S_{12} = -180 \)
अतः, प्रथम 12 पदों का योगफल -180 है।

(iii) यहाँ, प्रथम पद \( a = 0.6 \)
सार्व अंतर \( d = 1.7 - 0.6 = 1.1 \)
पदों की संख्या \( n = 100 \)
हम जानते हैं कि \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_{100} = \frac{100}{2} [2(0.6) + (100-1)1.1] \)
\( S_{100} = 50 [1.2 + (99)1.1] \)
\( S_{100} = 50 [1.2 + 108.9] \)
\( S_{100} = 50 [110.1] \)
\( S_{100} = 5505 \)
अतः, 100 पदों का अभीष्ठ योगफल 5505 है।

(iv) यहाँ, प्रथम पद \( a = \frac{1}{15} \)
सार्व अंतर \( d = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{5-4}{60} = \frac{1}{60} \)
पदों की संख्या \( n = 11 \)
हम जानते हैं कि \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
\( S_{11} = \frac{11}{2} [2(\frac{1}{15}) + (11-1)\frac{1}{60}] \)
\( S_{11} = \frac{11}{2} [\frac{2}{15} + (10)\frac{1}{60}] \)
\( S_{11} = \frac{11}{2} [\frac{2}{15} + \frac{1}{6}] \)
\( S_{11} = \frac{11}{2} [\frac{4+5}{30}] \)
\( S_{11} = \frac{11}{2} [\frac{9}{30}] \)
\( S_{11} = \frac{11}{2} [\frac{3}{10}] \)
\( S_{11} = \frac{33}{20} \)
अतः, प्रथम 11 पदों का योगफल [latex]\frac{33}{20}[/latex] है।In simple words: To find the sum of the first 'n' terms of an A.P., identify the first term (a), common difference (d), and the number of terms (n). Then, apply the sum formula \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \).

🎯 Exam Tip: Be careful with signs when 'a' or 'd' are negative. For fractions, ensure you find a common denominator correctly. Practice these calculations to avoid common arithmetic errors.

 

Question 2. नीचे दिए हुए योग्फालों को ज्ञात कीजिये:
(i) 7 + [latex]10\frac{1}{2}[/latex] + 14 + ..... + 84
(ii) 34 + 32 + 30 + ... + 10
(iii) -5 + (-8) + (-11) + . . . + (-230)
Answer: हलः (i) यहाँ, प्रथम पद \( a = 7 \)
सार्व अंतर \( d = 10\frac{1}{2} - 7 = \frac{21}{2} - 7 = \frac{21 - 14}{2} = \frac{7}{2} \)
अंतिम पद \( l = 84 \)
सबसे पहले, हमें पदों की संख्या \( n \) ज्ञात करनी होगी।
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
\( 84 = 7 + (n-1)\frac{7}{2} \)
\( 84 - 7 = (n-1)\frac{7}{2} \)
\( 77 = (n-1)\frac{7}{2} \)
\( n-1 = 77 \times \frac{2}{7} \)
\( n-1 = 11 \times 2 \)
\( n-1 = 22 \)
\( n = 22 + 1 \)
\( n = 23 \)
अब, हम योगफल \( S_n \) ज्ञात करेंगे।
हम जानते हैं कि \( S_n = \frac{n}{2} (a+l) \)
\( S_{23} = \frac{23}{2} (7+84) \)
\( S_{23} = \frac{23}{2} (91) \)
\( S_{23} = \frac{2093}{2} \)
\( S_{23} = 1046\frac{1}{2} \)
अतः, अभीष्ठ योगफल [latex]1046\frac{1}{2}[/latex] है।

(ii) यहाँ, प्रथम पद \( a = 34 \)
सार्व अंतर \( d = 32 - 34 = -2 \)
अंतिम पद \( l = 10 \)
सबसे पहले, हमें पदों की संख्या \( n \) ज्ञात करनी होगी।
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
\( 10 = 34 + (n-1)(-2) \)
\( 10 - 34 = (n-1)(-2) \)
\( -24 = (n-1)(-2) \)
\( n-1 = \frac{-24}{-2} \)
\( n-1 = 12 \)
\( n = 12 + 1 \)
\( n = 13 \)
अब, हम योगफल \( S_n \) ज्ञात करेंगे।
हम जानते हैं कि \( S_n = \frac{n}{2} (a+l) \)
\( S_{13} = \frac{13}{2} (34+10) \)
\( S_{13} = \frac{13}{2} (44) \)
\( S_{13} = 13 \times 22 \)
\( S_{13} = 286 \)
अतः, अभीष्ठ योगफल 286 है।

(iii) यहाँ, प्रथम पद \( a = -5 \)
सार्व अंतर \( d = -8 - (-5) = -8 + 5 = -3 \)
अंतिम पद \( l = -230 \)
सबसे पहले, हमें पदों की संख्या \( n \) ज्ञात करनी होगी।
हम जानते हैं कि \( T_n = a + (n-1)d \)
\( -230 = -5 + (n-1)(-3) \)
\( -230 + 5 = (n-1)(-3) \)
\( -225 = (n-1)(-3) \)
\( n-1 = \frac{-225}{-3} \)
\( n-1 = 75 \)
\( n = 75 + 1 \)
\( n = 76 \)
अब, हम योगफल \( S_n \) ज्ञात करेंगे।
हम जानते हैं कि \( S_n = \frac{n}{2} (a+l) \)
\( S_{76} = \frac{76}{2} (-5 + (-230)) \)
\( S_{76} = 38 (-5 - 230) \)
\( S_{76} = 38 (-235) \)
\( S_{76} = -8930 \)
इस प्रकार, अभीष्ठ योगफल -8930 है।In simple words: To find the sum of an A.P. when the first and last terms are known, first calculate the number of terms (n) using the nth term formula. Then, apply the sum formula \( S_n = \frac{n}{2}(a+l) \).

🎯 Exam Tip: When given the first and last terms, using \( S_n = \frac{n}{2}(a+l) \) is generally more efficient than \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \). Always calculate 'n' first, ensuring it's a positive integer.

 

Question. 3. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |
(ix) 1, 3, 9, 27,...
Answer: हलः यहाँ, \(T_1 = 1\) \(T_2 = 3\)
\(T_2-T_1 = 3-1 = 2\)
\(T_3 = 9\) \(T_4 = 27\)
\(T_4-T_3 = 27-9 = 18\) चूँकि \(T_2-T_1 \ne T_4-T_3\)
दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं है।
In simple words: To check if a sequence is an A.P., we look for a constant difference between consecutive terms. Here, the difference between the second and first term is 2, but the difference between the fourth and third term is 18, which means the difference is not constant, so it's not an A.P.

🎯 Exam Tip: Always calculate at least two differences between consecutive terms to confirm if a sequence is an A.P. If they are not equal, it's not an A.P.

 

Question. 3. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |
(x) a, 2a, 3a, 4a, ...
Answer: हलः हमें प्राप्त है किः \(T_1 = a, T_2 = 2a, T_3 = 3a, T_4 = 4a\)
\(T_2-T_1 = 2a - a = a\)
\(T_3-T_2 = 3a - 2a = a\)
\(T_4-T_3 = 4a - 3a = a\)
\(T_2-T_1 = T_3-T_2 = T_4-T_3 = a\)
\( \implies d = a\)
दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. है। अब, \(T_5 = T_4 + a = 4a + a = 5a\) \(T_6 = T_5 + a = 5a + a = 6a\) \(T_7 = T_6 + a = 6a + a = 7a\) इस प्रकार, \(d = a\) और \(T_5 = 5a, T_6 = 6a, T_7 = 7a\)
In simple words: The difference between any two consecutive terms is 'a', which is constant. Therefore, this is an A.P. with a common difference 'a'. The next three terms are found by adding 'a' to the previous term.

🎯 Exam Tip: For algebraic sequences, ensure the common difference is consistent. Showing \(T_2-T_1 = T_3-T_2 = T_4-T_3\) is key to proving it's an A.P.

 

Question. 3. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |
(xi) a, a², a³, a⁴, ...
Answer: हलः हमें प्राप्त है किः \(T_1 = a\) \(T_2 = a^2\)
\( \implies T_2 - T_1 = a^2 - a = a[a - 1]\)
\(T_3 = a^3\) \(T_4 = a^4\)
\( \implies T_4 - T_3 = a^4 - a^3 = a^3[a - 1]\) चूँकि \(T_2-T_1 \ne T_4-T_3\)
दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं है।
In simple words: The difference between the second and first term is \(a(a-1)\), while the difference between the fourth and third term is \(a^3(a-1)\). Since these differences are not the same (unless \(a=1\) or \(a=0\)), this sequence is not an A.P.

🎯 Exam Tip: Be careful with variable terms. Calculate the common difference algebraically. If the difference is not a constant value (i.e., it depends on 'a' in a non-constant way), it's not an A.P.

 

Question. 3. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |
(xii) \(\sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}, \)...
Answer: हलः हमें प्राप्त है किः \(T_1 = \sqrt{2}, T_2 = \sqrt{8}, T_3 = \sqrt{18}, T_4 = \sqrt{32}\)
\(T_2-T_1 = \sqrt{8}-\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}\)
\(T_3-T_2 = \sqrt{18} - \sqrt{8} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}\)
\(T_4-T_3 = \sqrt{32} - \sqrt{18} = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2}\)
\(T_2-T_1 = T_3-T_2 = T_4-T_3 = \sqrt{2}\)
\( \implies d = \sqrt{2}\)
दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. है। अब, \(T_5 = 4\sqrt{2} + \sqrt{2} = 5\sqrt{2} = \sqrt{50}\) \(T_6 = 5\sqrt{2} + \sqrt{2} = 6\sqrt{2} = \sqrt{72}\) \(T_7 = 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = 7\sqrt{2} = \sqrt{98}\) इस प्रकार, \(d = \sqrt{2}\) और \(T_5 = \sqrt{50}, T_6 = \sqrt{72}, T_7 = \sqrt{98}\)
In simple words: First, simplify the square roots to their prime factor form. Then, calculate the difference between consecutive terms. If the difference is constant (\(\sqrt{2}\) in this case), it is an A.P. To find subsequent terms, add the common difference to the last known term.

🎯 Exam Tip: Always simplify terms with square roots before calculating the common difference to identify patterns clearly. Common errors include not simplifying or incorrectly simplifying square roots.

 

Question. 3. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |
(xiii) \(\sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{9}, \sqrt{12}, \)...
Answer: हलः हमें प्राप्त है किः \(T_1 = \sqrt{3}\) \(T_2 = \sqrt{6}\)
\( \implies T_2 - T_1 = \sqrt{6} - \sqrt{3} = \sqrt{3} (\sqrt{2} - 1)\) और \(T_3 = \sqrt{9}\) \(T_4 = \sqrt{12}\)
\( \implies T_4 - T_3 = \sqrt{12} - \sqrt{9} = 2\sqrt{3} - 3 = \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})\) चूँकि \(T_2-T_1 \ne T_4-T_3\)
दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं है।
In simple words: Calculate the difference between consecutive terms. The differences \((\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)\) and \(\sqrt{3}(2-\sqrt{3}))\) are not constant. Therefore, this sequence is not an A.P.

🎯 Exam Tip: When dealing with square roots, simplify them first. If the common difference varies, the sequence is not an Arithmetic Progression.

 

Question. 3. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |
(xiv) \(1^2, 3^2, 5^2, 7^2\), ...
Answer: हलः हमें प्राप्त है किः \(T_1 = 1^2 = 1\) \(T_2 = 3^2 = 9\)
\( \implies T_2 - T_1 = 9-1 = 8\) \(T_3 = 5^2 = 25\) \(T_4 = 7^2 = 49\)
\( \implies T_4 - T_3 = 49-25 = 24\) चूँकि \(T_2-T_1 \ne T_4-T_3\)
दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. नहीं है।
In simple words: First, calculate the actual values of the squared terms. Then, find the difference between consecutive terms. Since the differences (8 and 24) are not constant, this sequence is not an A.P.

🎯 Exam Tip: Always evaluate the terms fully (e.g., \(1^2=1\)) before calculating differences. Mistakes often arise from directly comparing squared terms.

 

Question. 3. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |
(xv) \(1^2, 5^2, 7^2, 73\), ...
Answer: हलः हमें प्राप्त है किः \(T_1 = 1^2 = 1, T_2 = 5^2 = 25, T_3 = 7^2 = 49, T_4 = 73\)
\(T_2-T_1 = 25-1 = 24\)
\(T_3-T_2 = 49-25 = 24\)
\(T_4-T_3 = 73-49 = 24\)
\(T_2-T_1 = T_3-T_2 = T_4-T_3 = 24\)
\( \implies d = 24\)
दी गई संख्याओं की सूची एक A.P. है। अब, \(T_5 = T_4 + 24 = 73 + 24 = 97\) \(T_6 = T_5 + 24 = 97 + 24 = 121\) \(T_7 = T_6 + 24 = 121 + 24 = 145\) इस प्रकार, \(d = 24\) और \(T_5 = 97, T_6 = 121, T_7 = 145\)
In simple words: Convert the squared terms into their numerical values. Then, find the difference between consecutive terms. Since the common difference is constant (24), it is an A.P. The next three terms are found by adding this common difference repeatedly.

🎯 Exam Tip: Evaluate all terms to their numerical values before checking for a common difference. This helps avoid errors when terms are given in different formats (like squares).

 

प्रश्नावली 5.2 (NCERT Page 116)

Question 1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और n वाँ पद an है:

Answer: हलः (i) चूँकि
\(a_n = a + (n-1)d\)
\(a_8 = 7 + (8-1)3\)
\(= 7+7 \times 3 = 7 + 21 = 28\) अतः \(a_8 = 28\)
In simple words: Using the A.P. formula \(a_n = a + (n-1)d\) with \(a=7\), \(d=3\), and \(n=8\), we calculate the 8th term.

🎯 Exam Tip: Remember the formula for the nth term of an A.P., \(a_n = a + (n-1)d\). Substitute the given values carefully.

 

Question 1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और n वाँ पद an है:

Answer: (ii) चूँकि
\(a_n = a + (n-1)d\)
\(a_{10} = - 18+ (10 - 1) d\)
\(0 = - 18 + 9d\)
\( \implies 9d = 18\)
\( \implies d = \frac{18}{9} = 2\) अतः \(d = 2\)
In simple words: We use the A.P. formula with \(a_n=0\), \(a=-18\), and \(n=10\) to solve for the common difference \(d\).

🎯 Exam Tip: When finding 'd', set up the equation using \(a_n = a + (n-1)d\) and solve for 'd'. Double-check your arithmetic, especially with negative numbers.

 

Question 1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और n वाँ पद an है:

Answer: (iii) चूँकि
\(a_n = a + (n-1)d\)
\(-5 = a+(18-1) \times (-3)\)
\( \implies -5 = a + 17 \times (-3)\)
\( \implies -5 = a-51\)
\( \implies a = -5+51 = 46\) अतः \(a = 46\)
In simple words: We use the A.P. formula with \(a_n=-5\), \(d=-3\), and \(n=18\) to find the first term \(a\).

🎯 Exam Tip: When finding 'a', substitute \(a_n, n,\) and \(d\) into \(a_n = a + (n-1)d\). Be careful with signs during multiplication and addition/subtraction.

 

Question 1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और n वाँ पद an है:

Answer: (iv) चूँकि
\(a_n = a + (n-1)d\)
\(3.6 = -18.9+ (n-1) \times 2.5\)
\( \implies 3.6+18.9 = (n-1) \times 2.5\)
\( \implies (n-1) \times 2.5 = 22.5\)
\( \implies n-1 = \frac{22.5}{2.5} = 9\)
\( \implies n = 9+1 = 10\) इस प्रकार, \(n = 10\)
In simple words: We use the A.P. formula with \(a_n=3.6\), \(a=-18.9\), and \(d=2.5\) to solve for the number of terms \(n\).

🎯 Exam Tip: Be careful with decimal arithmetic. Isolate \((n-1)\) before solving for \(n\). The value of \(n\) must always be a positive integer.

 

Question 1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और n वाँ पद an है:

Answer: (v) चूँकि
\(a_n = a + (n-1)d\)
\( \implies a_n = 3.5+ (105-1) \times 0\)
\( \implies a_n = 3.5 + 104 \times 0\)
\( \implies a_n = 3.5 + 0 = 3.5\) इस प्रकार, \(a_n = 3.5\)
In simple words: When the common difference \(d\) is 0, all terms in the A.P. are the same as the first term. So, the 105th term is equal to the first term, 3.5.

🎯 Exam Tip: If the common difference 'd' is zero, all terms of the A.P. are identical to the first term 'a'. This is a quick mental check for such problems.

 

Question 2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(i) A.P: 10, 7, 4, ..... का 30 वाँ पद है:
(A) 97
(B) 77
(C) -77
(D) -87
Answer: हल: (i) यहाँ, \(a = 10\) और \(n = 30\)
चूँकि \(T_n = a + (n-1) d\) और \(d = 7-10 = -3\)
\(T_{30} = 10+ (30-1) (-3)\)
\( \implies T_{30} = 10+29 (-3)\)
\( \implies T_{30} = 10-87 = -77\)
अतः सही विकल्प (c) : -77 है।
In simple words: For the given A.P., the first term is 10 and the common difference is -3. Using the formula for the nth term, the 30th term is calculated as -77.

🎯 Exam Tip: Identify 'a' and 'd' correctly. Pay close attention to negative signs when calculating 'd' and when multiplying terms in the formula \(a_n = a + (n-1)d\).

 

Question 2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(ii) A.P.: -3, \(-\frac{1}{2}\), 2,..., का 11वाँ पद है:
(A) 28
(B) 22
(C) -38
(D) \(-48\frac{1}{2}\)
Answer: हल: (ii) यहाँ, \(a = -3, n = 11\) और \(d = -\frac{1}{2} - (-3)\)
\(= -\frac{1}{2} + 3 = \frac{-1+6}{2} = \frac{5}{2}\) अब, \(T_n = a + (n-1) d\)
\( \implies T_{11} = -3 + (11- 1)\times \frac{5}{2}\)
\( \implies T_{11} = -3 + 10 \times \frac{5}{2}\)
\( \implies T_{11} = -3 + 25 = 22\) इस प्रकार सही विकल्प (B) : 22 है।
In simple words: The first term is -3 and the common difference is \(\frac{5}{2}\). Using the formula for the nth term, the 11th term is found to be 22.

🎯 Exam Tip: Be careful when calculating the common difference with fractions and negative numbers. Ensure proper order of operations (multiplication before addition/subtraction) in the formula.

 

Question 3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए |
(i) 2, , 26
(ii) , 13, , 3
(iii) 5, , , \(9\frac{1}{2}\)
(iv) -4, , , , , 6
(v) , 38, , , , -22
Answer: हलः (i) यहाँ, \(a = 2\) और \(T_3 = 26\) माना सार्व अन्तर = \(d\)
\(T_n = a + (n-1) d\)
परन्तु \(T_3 = 2 + (3-1) d = 2 + 2d\)
\(26 = 2 + 2d\)
\( \implies 2d = 26-2 = 24\)
\( \implies d = \frac{24}{2} = 12\)
अतः रिक्त खाने वाला पद \(T_2 = a + d = 2 + 12 = 14\)
In simple words: Given the first term (a=2) and the third term (T3=26) of an A.P., we first find the common difference (d) using the formula \(T_n = a + (n-1)d\). Once 'd' is known, the missing second term (T2) can be calculated as \(a+d\).

🎯 Exam Tip: To find missing terms in an A.P., first establish 'a' and 'd'. The formula \(T_n = a + (n-1)d\) is crucial here. Use the given terms to form equations and solve for unknowns.

 

Question 3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए |
(i) 2, , 26
(ii) , 13, , 3
(iii) 5, , , \(9\frac{1}{2}\)
(iv) -4, , , , , 6
(v) , 38, , , , -22
Answer: (ii) यहाँ, \(T_2 = 13\) और \(T_4 = 3\) चूँकि \(T_2 = a + d = 13,\) और \(T_4 = a + 3d = 3\)
\(T_4-T_2 = (a+3d) - (a + d) = 2d\)
\(3-13 = -10\)
\( \implies 2d = -10\)
\( \implies d = \frac{-10}{2} = (-5)\) अब \(a + d = 13 \implies a + (-5) = 13\)
\( \implies a = 13+5 = 18\) इस प्रकार रिक्त पद \(a\) और \(a + 2d\) है। अर्थात् 18 और \(18 + 2 (-5) = 8\) इस प्रकार \(T_1 = 18\) और \(T_3 = 8\)
In simple words: Given the second (T2=13) and fourth (T4=3) terms, we can set up two equations: \(a+d=13\) and \(a+3d=3\). Solving these simultaneously gives us the common difference \(d=-5\) and the first term \(a=18\). Then, the missing third term (T3) is \(a+2d\).

🎯 Exam Tip: When given non-consecutive terms, form a system of linear equations using \(T_n = a + (n-1)d\). Subtracting equations is often the easiest way to find 'd', then substitute back to find 'a'.

 

Question 3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए |
(i) 2, , 26
(ii) , 13, , 3
(iii) 5, , , \(9\frac{1}{2}\)
(iv) -4, , , , , 6
(v) , 38, , , , -22
Answer: (iii) यहाँ, \(a = 5\) and \(T_4 = 9\frac{1}{2}\) चूँकि, \(T_4 = a + 3d\)
\( \implies 9\frac{1}{2} = 5 + 3d\)
\( \implies 3d = 9\frac{1}{2}-5 = 4\frac{1}{2}\)
\( \implies d = 4\frac{1}{2} \div 3 = \frac{9}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{2}\) रिक्त पद हैं: \(T_2 = a+d = 5+\frac{3}{2} = \frac{10+3}{2} = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}\) \(T_3 = a+2d = 5+2\left(\frac{3}{2}\right) = 5+3 = 8\)
In simple words: Convert the mixed fraction to an improper fraction. Use the given first term (a=5) and the fourth term (T4=\(9\frac{1}{2}\) or \(\frac{19}{2}\)) to find the common difference (d). Then, calculate the missing second and third terms using \(a+d\) and \(a+2d\) respectively.

🎯 Exam Tip: Convert mixed fractions to improper fractions (\(9\frac{1}{2} = \frac{19}{2}\)) for easier calculation. Careful handling of fractions in the A.P. formulas is essential.

 

Question 3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए |
(i) 2, , 26
(ii) , 13, , 3
(iii) 5, , , \(9\frac{1}{2}\)
(iv) -4, , , , , 6
(v) , 38, , , , -22
Answer: (iv) यहाँ, \(a = -4\) and \(T_6 = 6\)
\(T_n = a + (n-1) d\)
\( \implies T_6 = -4 +(6-1) d\)
\( \implies 6 = -4+5d\)
\( \implies 5d = 6+4 = 10\)
\( \implies d = 10 \div 5 = 2\)
\(T_2 = a + d = -4 + 2 = -2\)
\(T_3 = a + 2d = -4 + 2(2) = 0\)
\(T_4 = a + 3d = -4 + 3(2) = 2\)
\(T_5 = a + 4d = -4 + 4(2) = 4\)
रिक्त पद है: \(-2, 0, 2, 4\)
In simple words: Given the first term (a=-4) and the sixth term (T6=6), we can find the common difference (d) using the A.P. formula. Once 'd' is known, we can calculate all the missing intermediate terms by adding 'd' successively.

🎯 Exam Tip: Carefully count the terms to determine 'n' for the last given term. Use \(a_n = a + (n-1)d\) to solve for 'd' first, then systematically find each missing term.

 

Question 3. निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए |
(i) 2, , 26
(ii) , 13, , 3
(iii) 5, , , \(9\frac{1}{2}\)
(iv) -4, , , , , 6
(v) , 38, , , , -22
Answer: (v) यहाँ, \(T_2 = 38\) and \(T_6 = -22\)
\(T_2 = a + d = 38\),
\(T_6 = a + 5d = -22\)
\( \implies T_6-T_2 = (a + 5d) - (a + d)\)
\(= -22-38\)
\( \implies 4d = -60\)
\( \implies d = \frac{-60}{4} = -15\)
\(a + d = 38\)
\( \implies a + (-15) = 38\)
\( \implies a = 38+15 = 53\) अब,
\(T_3 = a + 2d = 53 + 2(-15)\) \(= 53-30 = 23\)
\(T_4 = a + 3d = 53 + 3(-15)\) \(= 53-45 = 8\)
\(T_5 = a + 4d = 53-4(-15)\) \(= 53-60 = -7\)
रिक्त पद हैं: \(53, 23, 8, -7\)
In simple words: Given the second (T2=38) and sixth (T6=-22) terms, we set up two equations and solve them simultaneously to find the common difference (d=-15) and the first term (a=53). Then, we calculate the missing terms T3, T4, and T5 using \(a+2d\), \(a+3d\), and \(a+4d\) respectively.

🎯 Exam Tip: For problems involving non-consecutive terms, always write down the equations based on \(a_n = a + (n-1)d\). Solving the system of equations by elimination or substitution will give 'a' and 'd'.

 

Question 4. A.P. : 3, 8, 13, 18,... का कौन सा पद 78 है ?
Answer: हलः माना nth पद 78 है। यहाँ \(a = 3, T_1 = 3\) और \(T_2 = 8\)
\(d = T_2-T_1 = 8-3 = 5\) अब, \(T_n = a + (n-1) d\)
\(T_n = 3 + (n-1) \times 5 = 78\)
\((n-1) \times 5 = 78-3 = 75\)
\( \implies (n-1) = \frac{75}{5} = 15\)
\( \implies n = 15+1 = 16\) अतः पद 78, A.P. का 16वाँ पद है।
In simple words: First, identify the first term \(a\) and common difference \(d\). Then, use the formula \(a_n = a + (n-1)d\) and set \(a_n=78\) to solve for \(n\).

🎯 Exam Tip: Clearly identify the first term (a) and common difference (d). The key is to correctly set up the equation \(a_n = a + (n-1)d\) with \(a_n\) as the target value and solve for \(n\). Check that \(n\) is a positive integer.

 

Question 5. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं ?
(i) 7, 13, 19, ..., 205
(ii) 18, \(15\frac{1}{2}\), 13, ........., -47
Answer: हलः (i) यहाँ, \(a = 7\)
\(d = 13-7 = 6\) माना दिए गए A.P. में पदों की संख्या = \(n\)
\(T_n = 205\) अब \(T_n = a + (n-1)d\)
\( \implies 205 = 7 + (n-1) \times 6\)
\( \implies (n-1) \times 6 = 205 - 7 = 198\)
\( \implies (n-1) = \frac{198}{6} = 33\)
\( \implies n = 33+1 = 34\) अतः दिए गए A.P. में पदों की संख्या = 34
In simple words: Identify the first term, common difference, and the last term of the A.P. Use the formula \(a_n = a + (n-1)d\) to find the number of terms \(n\).

🎯 Exam Tip: Make sure to correctly calculate 'd' and 'a'. Substitute \(a_n\) as the last term given and solve for 'n'. Remember that 'n' must always be a positive integer.

 

Question 5. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं ?
(i) 7, 13, 19, ..., 205
(ii) 18, \(15\frac{1}{2}\), 13, ........., -47
Answer: (ii) यहाँ, \(a = 18, d = 15\frac{1}{2}-18 = \frac{31}{2}-18 = \frac{31-36}{2} = -\frac{5}{2}\) माना इस A.P. का \(n\)वाँ पद = -47
\(T_n = a + (n-1) d\)
\( \implies -47 = 18+ (n-1) \times \left(-\frac{5}{2}\right)\)
\( \implies -47 - 18 = (n-1) \times \left(-\frac{5}{2}\right)\)
\( \implies -65 = (n - 1) \times \left(-\frac{5}{2}\right)\)
\( \implies n-1 = -65 \times \left(-\frac{2}{5}\right)\)
\( \implies n-1 = (-13) \times (-2) = 26\)
\( \implies n = 26+1 = 27\) इस प्रकार, वांछित पदों की संख्या = 27
In simple words: First, convert the mixed fraction to an improper fraction and calculate the common difference \(d\). With \(a=18\), \(d=-\frac{5}{2}\), and \(a_n=-47\), use the \(a_n = a+(n-1)d\) formula to find \(n\).

🎯 Exam Tip: Fractional common differences require careful calculation. Ensure negative signs are handled correctly throughout the solution, especially when multiplying or dividing.

 

Question 6. क्या A.P., 11, 8, 5, 2 ... का एक पद -150 है ? क्यों ?
Answer: हलः दिए गए A.P. के लिए \(a = 11\) और \(d = 8-11 = -3\) माना दिए गए A.P. का \(n\)वाँ पद = -150 है।
\(T_n = a + (n-1) d\)
\( \implies -150 = 11+ (n-1) \times (-3)\)
\( \implies -150-11 = (n-1) \times (-3)\)
\( \implies -161 = (n-1) \times (-3)\)
\( \implies n-1 = \frac{-161}{-3} = \frac{161}{3}\)
\( \implies n = \frac{161}{3} + 1 = \frac{161+3}{3} = \frac{164}{3} = 54\frac{2}{3}\) पर, \(n\), ऋणात्मक नहीं हो सकता इस प्रकार – 150, उक्त A.P. का पद नहीं है।
In simple words: We assume -150 is the \(n\)th term and use the A.P. formula. Solving for \(n\), we get a fractional value (\(54\frac{2}{3}\)). Since \(n\) must be a whole number (a term position), -150 cannot be a term in this A.P.

🎯 Exam Tip: The term number 'n' must always be a positive integer. If 'n' turns out to be a fraction or a negative number, then the assumed value (\(a_n\)) is not a term in the A.P.

 

Question 7. उस A.P का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11 वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
Answer: हलः यहाँ, \(T_{31} = ?, T_{11} = 38, T_{16} = 73\) यदि प्रथम पद 'a' और सार्व अन्तर 'd' हो, तो
\(a+ (11-1) d = 38\)
\( \implies a+10d = 38\) ...(1) और \(a + (16-1) d = 73\)
\( \implies a + 15d = 73\) ...(2) (2) में से (1) को घटाने पर \((a + 15d)-(a + 10d) = 73-38\)
\( \implies 5d = 35\)
\( \implies d = \frac{35}{5} = 7\) (1) से, \(a + 10 (7) = 38\)
\( \implies a + 70 = 38\)
\( \implies a = 38-70 = -32\) अब, \(T_{31} = a + (31- 1) d\)
\( \implies T_{31} = -32 + 30 \times 7\)
\( \implies T_{31} = -32 + 210\)
\( \implies T_{31} = 178\) इस प्रकार 31वाँ पद 178 है।
In simple words: Set up a system of two linear equations using the given 11th and 16th terms and the A.P. formula. Solve these equations to find the first term (\(a\)) and common difference (\(d\)). Then, use these values to calculate the 31st term (\(T_{31}\)).

🎯 Exam Tip: Convert given term values into equations (e.g., \(T_{11}=38 \implies a+10d=38\)). Solving this system of equations is the primary step. Pay attention to arithmetic, especially with negative numbers.

 

Question 8. एक A.P में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः यहाँ, \(n = 50, T_3 = 12\) चूँकि \(T_n = 106\)
\( \implies T_{50} = 106\) [: \(n = 50\)] यदि प्रथम पद = \(a\) और सार्व अन्तर = \(d\), तो
\(T_3 = a + (3-1) d = 12\) or \(T_3 = a + 2d = 12\) ...(1) इसी प्रकार, \(T_{50} = a + 49d = 106\) ...(2) अब, \(T_{50}-T_3\)
\( \implies (a + 49d) - (a + 2d) = 106-12\)
\( \implies 47d = 94\)
\( \implies d = \frac{94}{47} = 2\) अब (1) से, \(a + 2d = 12\)
\( \implies a + 2(2) = 12\)
\( \implies a + 4 = 12\)
\( \implies a = 12-4 = 8\) अब, \(T_{29} = a + (29- 1) d\) \(= 8 +28 \times 2\) \(= 8 + 56 = 64\) इस प्रकार, 29वाँ पद 64 है।
In simple words: Given the third term (\(T_3=12\)) and the last term (\(T_{50}=106\)) of a 50-term A.P., we first find the common difference (\(d\)) and the first term (\(a\)) by solving the system of equations. Then, we use these values to find the 29th term (\(T_{29}\)).

🎯 Exam Tip: When \(n\) is the total number of terms, the last term \(T_n\) can be used as \(a_n\). Formulate two equations from the given terms, solve for 'a' and 'd', then compute the required term.

 

Question 9. यदि किसी A.P के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
Answer: हलः यहाँ, \(T_3 = 4\) और \(T_9 = -8\) \(T_n = a + (n-1) d\) का प्रयोग करने पर,
\(T_3 = a + 2d = 4\) ...(1)
\(T_9 = a + 8d = -8\) ...(2) (2) में से (1) को घटाने पर, \((a + 8d)-(a+2d) = -8-4\)
\( \implies 6d = -12\)
\( \implies d = \frac{-12}{6} = -2\) अब, (1) से हमें प्राप्त होता है: \(a + 2d = 4\)
\( \implies a + 2(-2) = 4\)
\( \implies a-4 = 4\)
\( \implies a = 4+4 = 8\) माना कि \(n\)वाँ पद 0 है।
\(T_n = 0\)
\( \implies a+(n-1)d = 0\)
\( \implies 8+(n-1) \times (-2) = 0\)
\( \implies (n-1) \times (-2) = -8\)
\( \implies (n-1) = \frac{-8}{-2} = 4\)
\( \implies n = 4+1 = 5\) इस प्रकार, A.P. का 5वाँ पद शून्य (0) है।
In simple words: First, use the given third and ninth terms to find the first term (\(a\)) and common difference (\(d\)). Then, set the nth term \(a_n=0\) and solve for \(n\) to find which term is zero.

🎯 Exam Tip: Always solve for 'a' and 'd' first using the given terms. Then, to find which term is zero, set \(a_n = 0\) in the formula \(a_n = a + (n-1)d\) and solve for 'n'.

 

Question 10. दर्शाइए कि \(a_1, a_2, ..., a_n, . . .\) से एक A.P. बनती है, यदि \(a_n\) नीचे दिए अनुसार परिभाषित है:
(i) \(a_n = 3 + 4n\)
(ii) \(a_n = 9 – 5n\)
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः (i) यहाँ \(a_n = 3 + 4n\) \(n = 1, 2, 3, 4, ..., n\), रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
\(a_1 = 3 + 4 (1) = 7,\)
\(a_2 = 3 + 4 (2) = 11\)
\(a_3 = 3 + 4 (3) = 15,\)
\(a_4 = 3 + 4 (4) = 19\) ... ... ... ऐसी A.P. जिसका प्रथम पद \(a = 7\) और सार्व अन्तर \(d = 11 - 7 = 4\) इस प्रकार है: 7, 11, 15, 19, ... (\(3 + 4n\)). अब, \(S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)
\(S_{15} = \frac{15}{2}[(2 \times 7) + (15-1) \times 4]\)
\(= \frac{15}{2}[14 + (14 \times 4)]\)
\(= \frac{15}{2}[14 +56]\)
\(= \frac{15}{2}[70]\) \(= 15 \times 35 = 525\)
In simple words: To show it's an A.P., substitute \(n=1, 2, 3, ...\) to find the first few terms. If the common difference is constant, it's an A.P. Then, use the sum formula \(S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) to find the sum of the first 15 terms.

🎯 Exam Tip: To prove \(a_n\) generates an A.P., calculate \(a_n - a_{n-1}\) and show it's a constant. Or, calculate \(a_1, a_2, a_3\) and show \(a_2-a_1 = a_3-a_2\). Then use the sum formula \(S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) for the sum.

 

Question 10. दर्शाइए कि \(a_1, a_2, ..., a_n, . . .\) से एक A.P. बनती है, यदि \(a_n\) नीचे दिए अनुसार परिभाषित है:
(i) \(a_n = 3 + 4n\)
(ii) \(a_n = 9 – 5n\)
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: (ii) अब \(a_n = 9-5n\) \(n = 1, 2, 3, 4, ..., n\) रखने पर हमें प्राप्त होता है।
\(a_1 = 9-5 (1) = 4,\)
\(a_2 = 9-5 (2) = -1\)
\(a_3 = 9 - 5 (3) = -6,\)
\(a_4 = 9-5 (4) = -11\) ... ... ऐसी A.P. जिसका प्रथम पद \(a = 4\) और सार्व अन्तर \(d = -1 - 4 = -5\) इस प्रकार है: 4, -1, -6, -11, ... (\(9 – 5n\))
\(S_{15} = \frac{15}{2}[(2 \times 4) + (15-1) \times (-5)]\)
\(= \frac{15}{2}[8+ 14 \times (-5)]\)
\(= \frac{15}{2}[8-70]\)
\(= \frac{15}{2} \times (-62)\) \(= 15 \times (-31) = -465.\) अतः A.P. की प्रथम 15 पदों का योगफल = -465
In simple words: Substitute \(n=1, 2, 3, ...\) into \(a_n = 9-5n\) to find the first few terms. Confirm that the common difference is constant. Then, use the sum formula \(S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) to calculate the sum of the first 15 terms.

🎯 Exam Tip: When \(a_n\) is given, first generate the initial terms to find 'a' and 'd'. For negative common differences, ensure all calculations are accurate, especially when finding the sum of terms.

 

Question 11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग \(4n – n^2\) है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् \(S_1\)) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और n वें पद ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः हमें प्राप्त है किः
\(S_n = 4n-n^2\)
\(S_1 = 4 (1)-(1)^2\) \(= 4-1 = 3\)
\( \implies \) प्रथम पद = 3
\(S_2 = 4 (2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4\)
A.P. की प्रथम दो पदों का योगफल = 4
दूसरा पद \((S_2 - S_1) = 4 - 3 = 1\)
\(S_3 = 4 (3)-(3)^2\) \(= 12-9 = 3\)
A.P. के प्रथम 3 पदों का योगफल = 3
तीसरा पद \((S_3 - S_2) = 3 – 4 = -1\)
\(S_9 = 4 (9)-(9)^2 = 36 - 81 = -45\)
\(S_{10} = 4 (10)-(10)^2\) \(= 40-100 = -60\)
चौथा पद \(= S_{10}-S_9\) \(= [-60]-[-45] = -15\) अब, \(a_n = S_n - S_{n-1}\)
\(S_n = 4(n)-(n)^2 = 4n – n^2\)
\(S_{n-1} = 4 (n-1)– (n - 1)^2\) \(= 4n-4-[n^2 - 2n + 1]\) \(= 4n-4-n^2 + 2n-1\) \(= 6n-n^2-5\)
\(n\)th पद \(= S_n-S_{n-1}\) \(= [4n-n^2]- [6n-n^2-5]\) \(= 4n-n^2-6n + n^2 + 5\) \(= 5-2n\) अतः \(S_1 = 3\) and \(a_1 = 3\)
\(S_2 = 4\) and \(a_2 = 1\)
\(S_3 = 3\) and \(a_3 = -1\)
\(a_{10} = 5 - 2(10) = 5 - 20 = -15\)
\(a_n = 5-2n\)
In simple words: The sum of the first \(n\) terms is given as \(S_n = 4n-n^2\). The first term \(a_1\) is \(S_1\). The sum of the first two terms is \(S_2\). The second term \(a_2\) is \(S_2 - S_1\). Similarly, any term \(a_k = S_k - S_{k-1}\). We use this relationship to find the third term, 10th term, and the general \(n\)th term.

🎯 Exam Tip: Remember the crucial relationship \(a_n = S_n - S_{n-1}\). This is vital for finding individual terms when only the sum formula is provided. Clearly show the steps for calculating \(S_1, S_2, S_3, S_9, S_{10}\) before finding the individual terms.

 

Question 12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
Answer: हलः चूँकि 6 से विभाज्य प्रथम 40 घन पूर्णांक इस प्रकार हैं:
(6 x 1), (6 x 2), (6 x 3), (6 x 4), ... 6 x 40

\( \implies \) 6, 12, 18, 24, ..., 240 ये संख्याएँ एक ऐसी A.P. बनाते है जिसमें,
प्रथम पद (a) = 6,
सार्व अन्तर (d) = 12 - 6 = 6,
अन्तिम पद l = 12 x 40 = 240
चूँकि \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1) d] \)
.: \( S_{40} = \frac{40}{2} [2(6) + (40-1) \times 6] \)
= 20 [12 + 39 x 6]
= 20 [12+234]
= 20 x 246 = 4920
दूसरी विधिः
चूँकि \( S_n = \frac{n}{2} [a + l] \)

\( \implies \) \( S_{40} = \frac{40}{2} [6+240] \)
= 20 x 246 = 4920
अतः 6 से विभाज्य प्रथम 40 घन पूर्णांकों का योगफल 4920 है।
In simple words: To find the sum of the first 40 positive integers divisible by 6, we form an Arithmetic Progression (AP) starting with 6 and ending with 240. Then we apply the sum formula for an AP.

🎯 Exam Tip: Remember both formulas for the sum of an AP: one when the last term is not known (`\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)`) and one when it is (`\(S_n = \frac{n}{2}[a+l]\)`). Both are valid here.

 

Question 13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः 8 के प्रथम 15 गुणज इस प्रकार है:
(8 x 1), (8 x 2), (8 x 3), ..., (8 x 15)

\( \implies \) 8, 16, 24, ..., 120 ये संख्याएँ एक ऐसी A.P. बनाती है जहाँ
प्रथम पद (a) = 8,
सार्व अन्तर (d) = 16 - 8 = 8,
अन्तिम पद l = 120
चूँकि \( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \)
.: \( S_{15} = \frac{15}{2} (8+120) \)
= \( \frac{15}{2} \times 128 \)
= 15 x 64 = 960
दूसरी विधिः
चूँकि \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
= \( \frac{15}{2} [2(8) + (15-1) (8)] \)
= \( \frac{15}{2} [16 + 14 \times 8] \)
= \( \frac{15}{2} [16+112] \)
= \( \frac{15}{2} \times 128 \)
= 15 x 64 = 960
इस प्रकार 8 के प्रथम गुणजों का योगफल 960 है।
In simple words: To find the sum of the first 15 multiples of 8, we identify the AP with first term 8, common difference 8, and last term 120 (8x15). Then we use the sum formula for an AP.

🎯 Exam Tip: When finding the sum of multiples, the common difference 'd' will always be the number whose multiples are being considered (in this case, 8).

 

Question 14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः चूँकि 0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ इस प्रकार
हैं 1, 3, 5, 7, ..., 49
ये संख्याएँ एक ऐसी A.P. बनाती है जहाँ
प्रथम पद (a) = 1,
सार्व अन्तर (d) = 3-1 = 2,
अन्तिम पद l = 49
माना A.P. में पदों की संख्या = n
.: \( T_n = a + (n-1) d \)

\( \implies \) 49 = 1+(n-1) 2

\( \implies \) 49-1 = (n-1) 2

\( \implies \) \( (n-1) = \frac{48}{2} = 24 \)
.: n = 24+1 = 25
अब, \( S_{25} = \frac{25}{2} [1 +49] \)
= \( \frac{25}{2} [50] \)
= 25 x 25
= 625
इस प्रकार 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का
योगफल 625 है।
In simple words: We identify the odd numbers between 0 and 50 as an AP (1, 3, ..., 49). First, we find the number of terms 'n' using the formula for the n-th term, and then calculate their sum using the sum formula.

🎯 Exam Tip: Remember that odd numbers have a common difference of 2. For an AP of consecutive odd numbers starting from 1, the sum of 'n' terms is `\(n^2\)`. In this case, `\(25^2 = 625\)`, which can be a quick check.

 

Question 15. निर्माण कार्य से सम्बन्धी किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधन इस प्रकार है: पहले दिन के लिए 200 Rs, दूसरे दिन के लिए 250 Rs, तीसरे दिन के लिए 300 Rs इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उतरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 Rs अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है ?
Answer: हलः विलम्ब जुर्माना
[पहले दिन के लिए], [दूसरे दिन के लिए], [तीसरे दिन के लिए], ......
\( \downarrow \)
(200 + 50 x 0) Rs,

\( \implies \) 200 Rs, [200 + 50 x 1] Rs, [200 + 50 x 2] Rs ......
250 Rs, 300 Rs,
उक्त राशियाँ एक A.P. बनाते हैं। जहाँ
प्रथम पद (a) = 200,
सार्व अन्तर (d) = 250-200 = 50
चूँकि \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)
= \( \frac{30}{2} [2(200)+(30-1) 50] \)
= 15 [400 + 29 x 50]
= 15 [400 + 1450]
= 15 x 1850
= 27750
In simple words: The daily fines form an Arithmetic Progression (AP) starting at 200 Rs with a common difference of 50 Rs. To find the total fine for 30 days, we need to calculate the sum of the first 30 terms of this AP.

🎯 Exam Tip: Clearly identify the first term (a), common difference (d), and the number of terms (n) from the word problem before applying the AP sum formula to avoid calculation errors.

 

Question 16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 Rs की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 Rs कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः सभी पुरस्कारों के लिए राशि = 700 Rs
माना पहले पुरस्कार के लिए राशि = a
.. दूसरे पुरस्कार के लिए राशि = (a - 20);
तीसरे पुरस्कार के लिए राशि = (a - 40)
चौथे पुरस्कार के लिए राशि = (a - 60)
चूँकि a, (a - 20), (a - 30), (a - 40), .... एक A.P. को व्यक्त करते हैं, जिसमें
प्रथम पद = a,
सार्व अन्तर (d) = -20,
पदों की संख्या (n) = 7
चूँकि 7 पदों का योगफल (\(S_n\)) = 700
और \( S_n = \frac{n}{2} [2a+(n-1)d] \)
700 = \( \frac{7}{2} [2(a) + (7-1) \times (-20)] \)

\( \implies \) 700 = \( \frac{7}{2} [2a + \{6 \times (-20)\}] \)

\( \implies \) 700 = \( \frac{7}{2} [2a+(-120)] \)

\( \implies \) \( 2a - 120 = \frac{700 \times 2}{7} = 200 \)

\( \implies \) 2a = 200 + 120 = 320

\( \implies \) \( a = \frac{320}{2} = 160 \)
इस प्रकार 7 पुरस्कारों की राशि इस प्रकार है:
160 Rs, (160-20) Rs, (160-40) Rs, (160-60) Rs, (160-80) Rs, (160-100) Rs, (160-120) Rs
अर्थात् 160 Rs, 140 Rs, 120 Rs, 100 Rs, 80 Rs, 60 Rs और 40 Rs
In simple words: The prize amounts form an AP with a common difference of -20 Rs and a total sum of 700 Rs for 7 prizes. We first find the value of the first prize 'a' using the sum formula, and then list all 7 prize amounts.

🎯 Exam Tip: Pay careful attention to the common difference when amounts are decreasing. It will be negative. Ensure correct algebraic manipulation to solve for 'a'.

 

Question 17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदुषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोंचा । यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा । उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग एक पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा ही कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा । प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं । इस विद्यालय के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी ?
Answer: हलः यहाँ, कक्षाओं की संख्या = 12
चूँकि प्रत्येक कक्षा के अनुभागों की संख्या = 3
.. कक्षा I द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 1 x 3 = 3
कक्षा II द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 2 x 3 = 6
कक्षा III द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 x 3 = 9
कक्षा IV द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 4 x 3 = 12
...
कक्षा XII द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 12 x 3 = 36
चूँकि संख्याएँ 3, 6, 9, 12, ..., 36 एक A.P. में हैं जिसमें
प्रथम पद (a) = 3,
सार्व अन्तर (d) = 6-3 = 3,
पदों की संख्या (n) = 12
चूँकि n पदों वाली A.P. का योगफल \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)

\( \implies \) \( S_{12} = \frac{12}{2} [2(3)+(12-1) (3)] \)
= 6 [6+11x3]
= 6 x 39
= 234
अतः पेड़ों की अभीष्ठ संख्या = 234
In simple words: The number of trees planted by each class forms an AP (3, 6, 9, ..., 36) because each class has 3 sections and plants trees equal to its class number. We need to find the sum of these trees for classes I to XII.

🎯 Exam Tip: Carefully read the problem to determine the first term and common difference. Here, each class has 3 sections, so a class 'k' will plant `\(3 \times k\)` trees, giving a common difference of 3.

 

Question 18. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm वाले उत्तरोत्तर अर्धवृतों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है| तेरह क्रमागत अर्धवृतों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है ? (\( \pi = \frac{22}{7} \))
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक सर्पिल (स्पाइरल) दिखाता है जो दो केंद्रों A और B से बारी-बारी से खींचे गए अर्धवृत्तों से बना है। अर्धवृत्तों की त्रिज्याएँ 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, इत्यादि हैं, जो बढ़ती जाती हैं। इसमें 13 अर्धवृत्त हैं, जिनकी कुल लंबाई ज्ञात करनी है।
Answer: हलः चूँकि एक अर्धवृत्त की लम्बाई l = अर्धवृत्त की परिधि,
l = \( \frac{1}{2} \) [वृत्त की परिधि]
l = \( \frac{1}{2} [2 \pi r] \)

\( \implies \) l = \( \pi r \)
माना \(l_1, l_2, l_3, l_4, ...\) क्रमशः से त्रिज्या 0.5 सेमी., 1.0 सेमी., 1.5 सेमी, 2.0 सेमी. ... त्रिज्या वाले अर्धवृत्त की लम्बाई (परिधि) है।
.: \( l_1 = \pi r_1 = 0.5 \pi \) सेमी. = 1 x \( 0.5 \pi \) सेमी.
\( l_2 = \pi r_2 = 1.0 \pi \) सेमी. = 2 x \( 0.5 \pi \) सेमी.
\( l_3 = \pi r_3 = 1.5 \pi \) सेमी. = 3 x \( 0.5 \pi \) सेमी.
\( l_4 = \pi r_4 = 2.0 \pi \) सेमी. = 4 x \( 0.5 \pi \) सेमी.
..... .....
\( l_{13} = \pi r_{13} = 6.5 \pi \) सेमी. = 13 x \( 0.5 \pi \) सेमी.

\( \implies \) सर्पिल की कुल लम्बाई = \( l_1 + l_2 + l_3 + l_4 + ... + l_{13} \)
= \( 0.5 \pi [1 + 2 + 3 + 4 + 5 ... + 13] \) सेमी. ...(1)
चूँकि 1, 2, 3, 4, 5, ... 13 एक A.P. है, जिसमें a = 1, l = 13
चूँकि \( S_n = \frac{n}{2} [a + l] \) का प्रयोग करने पर,
\( S_{13} = \frac{13}{2} [1 + 13] \)
= \( \frac{13}{2} \times 14 \)
= 13 x 7 = 91
अब, (1) से, सर्पिल की कुल लम्बाई = \( 0.5 \times \pi \times 91 \) सेमी.
= \( \frac{5}{10} \times \frac{22}{7} \times 91 \)
= \( \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 91 \) सेमी. = 11 x 13 सेमी. = 143 सेमी.
अतः सर्पिल की कुल लम्बाई 143 सेमी. है।
In simple words: The lengths of consecutive semi-circles form an Arithmetic Progression (AP) with first term \(0.5\pi\) and common difference \(0.5\pi\). We calculate the sum of the first 13 terms of this AP to find the total length of the spiral.

🎯 Exam Tip: The length of a semi-circle is `\(\pi r\)`. Ensure you correctly identify the 'n' terms (13 here) and calculate the sum of the AP formed by the radii multiplied by pi.

 

Question 19. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है: सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि (देखिए आकृति)। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह लकड़ी के लट्ठों का ढेर दिखाता है जहाँ सबसे निचली पंक्ति में 20 लट्ठे हैं, अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, फिर 18 लट्ठे, और इसी तरह यह क्रम जारी है। कुल लट्ठों की संख्या 200 है। हमें यह बताना है कि ऐसे कितने पंक्तियाँ बनेंगी और सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे होंगे।
Answer: हलः यहाँ, पंक्ति I में, लट्ठों की संख्या = 20
पंक्ति II में, लट्ठों की संख्या = 19
पंक्ति III में, लट्ठों की संख्या = 18
स्पष्ट है कि संख्याएँ 20, 19, 18 .... A.P. में इस प्रकार है किः a = 20, d = 19 - 20 = -1
माना पंक्तियों की संख्या = n
.: \( S_n = 200 \)
\( S_n = \frac{n}{2} [2a+(n-1)d] \) का प्रयोग करने पर

\( \implies \) 200 = \( \frac{n}{2} [2(20) + (n - 1) \times (-1)] \)

\( \implies \) \( 2 \times 200 = n \times 40 - n(n-1) \)

\( \implies \) \( 400 = 40n - n^2 + n \)

\( \implies \) \( n^2 - 41n + 400 = 0 \)

\( \implies \) \( n^2 - 16n - 25n + 400 = 0 \)

\( \implies \) \( n(n-16) - 25 (n-16) = 0 \)

\( \implies \) \( (n-16) (n-25) = 0 \)
या, तो \( n-16 = 0 \)

\( \implies \) n = 16
या \( n-25 = 0 \)

\( \implies \) n = 25
यदि n = 25, तब सबसे ऊपरी पंक्ति में लट्ठों की संख्या \( T_{25} = a + (n-1)d \)
\( T_{25} = 20 + (25-1) \times (-1) \)
\( T_{25} = 20 - 24 = -4 \) (यह संभव नहीं है, लट्ठों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती।)
इसलिए n = 25 अवांछनीय है।
इस प्रकार, n = 16
... पंक्तियों की संख्या = 16
अब, \( T_{16} = a + (16-1) d \)
= 20 + 15 x (-1)
= 20 - 15 = 5
इस प्रकार, सबसे ऊपरी पंक्ति (16वीं पंक्ति) में लट्ठों की संख्या = 5
In simple words: The number of logs in each row forms a decreasing AP. We use the sum formula for an AP to find the number of rows, and then the n-th term formula to find the number of logs in the topmost row. We reject the solution that gives a negative number of logs.

🎯 Exam Tip: When solving quadratic equations for 'n' in real-world problems, always check the validity of both solutions. Here, a negative number of logs in a row is physically impossible, helping to identify the correct 'n'.

 

Question 20. एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5m की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति) । प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक आलू दौड़ का सेटअप दिखाता है। एक बाल्टी प्रारंभिक बिंदु पर है। पहले आलू की दूरी बाल्टी से 5 मीटर है, और उसके बाद प्रत्येक आलू 3 मीटर के अंतराल पर रखा गया है। कुल 10 आलू हैं। प्रतियोगी बाल्टी से आलू तक दौड़कर वापस आती है। हमें यह गणना करनी है कि सभी 10 आलू इकट्ठा करने में कुल कितनी दूरी तय की जाएगी।
Answer: संकेतः पहले और दूसरे आलुओं को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी = 2 x 5 + 2 x (5 + 3) हैं।
हलः यहाँ, आलूओं की संख्या = 10
आने और जाने की बाल्टी से, पहले आलू की दूरी = [5 मी.] x 2 = 10 मी.
आने और जाने की बाल्टी से, दूसरे आलू की दूरी = [5 + 3] मी. x 2 = 16 मी.
आने और जाने की बाल्टी से, तीसरे आलू की दूरी = [5 + 3 + 3] मी. x 2 = 22 मी.
आने और जाने की बाल्टी से चौथे आलू की दूरी = [5 + 3 + 3 + 3] मी. x 2 = 28 मी.
चूँकि संख्याएँ 10, 16, 22, 28, ... A.P. में है, जिसमें
प्रथम पद (a) = 10,
सार्व अन्तर (d) = 16-10 = 6

\( \implies \) \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1) d] \), का प्रयोग करने पर
\( S_{10} = \frac{10}{2} [2(10)+(10-1) \times 6)] \)
= 5 [20 + 9 x 6]
= 5 x [20 + 54]
= 5 x 74 = 370 मी.
इस प्रकार, प्रतियोगी को कुल 370 मी. की दूरी दौड़नी पड़ेगी।
In simple words: The distances covered to pick up each potato and return to the bucket form an Arithmetic Progression (AP). We need to find the sum of these distances for all 10 potatoes.

🎯 Exam Tip: Each potato involves a round trip (to and from the bucket), so the distance for each potato is twice the distance from the bucket to the potato. Ensure this doubling is accounted for in your AP terms.

 

प्रश्नावली 5.4 (NCERT Page 127)

 

Question 1. A.P : 121, 117, 113,...., का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा ? [संकेत : \(a_n < 0\) के लिए n ज्ञात कीजिए|]
Answer: हलः हमें प्राप्त है किः एक AP का प्रथम पद (a) = 121
और सार्वअन्तर (d) = 117 - 121 = -4
.. \( a_n = a + (n-1)d \)
= 121 + (n-1) x (-4)
= 121 - 4n + 4
= 125 - 4n
प्रथम ऋणात्मक पद के लिए \( a_n < 0 \)

\( \implies \) 125 - 4n < 0

\( \implies \) 125 < 4n

\( \implies \) \( \frac{125}{4} < n \)

\( \implies \) \( 31\frac{1}{4} < n \) or \( n > 31\frac{1}{4} \)
इस प्रकार A.P. का 32वाँ पद ऋणात्मक होगा।
In simple words: We want to find the first term of the AP that is less than zero. We set the formula for the n-th term, \(a_n\), to be less than zero and solve for 'n'. The smallest integer 'n' that satisfies this condition will be the answer.

🎯 Exam Tip: When finding the first negative term, the value of 'n' must be an integer. Always round up the fractional result to the next whole number to find the position of the first term that meets the condition.

 

Question 2. किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है | इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः यहाँ, \( T_3+T_7 = 6 \) और \( T_3 \times T_7 = 8 \)
माना प्रथम पद = (a) और सार्वअन्तर = d
.. \( T_3 = a + 2d \) और \( T_7 = a + 6d \)
\( T_3+T_7 = 6 \)

\( \implies \) \( (a+2d) + (a+6d) = 6 \)

\( \implies \) \( 2a + 8d = 6 \)

\( \implies \) \( a + 4d = 3 \) ...(1)
पुनः \( T_3 \times T_7 = 8 \)

\( \implies \) \( (a+2d) \times (a+6d) = 8 \)
(1) से \( a = 3 - 4d \), इसे \( T_3 \) और \( T_7 \) में रखने पर
\( T_3 = (3 - 4d) + 2d = 3 - 2d \)
\( T_7 = (3 - 4d) + 6d = 3 + 2d \)
अब, \( T_3 \times T_7 = 8 \)

\( \implies \) \( (3 - 2d) \times (3 + 2d) = 8 \)

\( \implies \) \( 3^2-(2d)^2 = 8 \)
\( 9 - 4d^2 = 8 \)

\( \implies \) \( -4d^2 = 8 - 9 = -1 \)

\( \implies \) \( d^2 = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} \)

\( \implies \) \( d = \pm \frac{1}{2} \)
जब \( d = \frac{1}{2} \), तो (1) से हमें प्राप्त होता है: \( a + 4(\frac{1}{2}) = 3 \)

\( \implies \) a + 2 = 3 or a = 3 - 2 = 1
अब \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \), का प्रयोग करने पर,
\( S_{16} = \frac{16}{2} [2(1)+(16-1) \times \frac{1}{2}] \)
= \( 8 [2 + 15 \times \frac{1}{2}] \)
= \( 8 [2 + \frac{15}{2}] \)
= \( 8 [\frac{4+15}{2}] \)
= \( 8 [\frac{19}{2}] \)
= 4 x 19 = 76
अर्थात् प्रथम 16 पदों का योग = 76
जब, \( d = -\frac{1}{2} \), तो (1) से हमें प्राप्त होता है: \( a + 4(-\frac{1}{2}) = 3 \)

\( \implies \) a - 2 = 3

\( \implies \) a = 5
पुनः, प्रथम 16 पदों का योगः \( S_{16} = \frac{16}{2} [2(5)+(16-1) \times (-\frac{1}{2})] \)
= \( 8 [10 + 15 \times (-\frac{1}{2})] \)
= \( 8 [10 - \frac{15}{2}] \)
= \( 8 [\frac{20-15}{2}] \)
= \( 8 [\frac{5}{2}] \)
= 4 x 5 = 20
अर्थात् प्रथम 16 पदों का योग = 20
In simple words: Given the sum and product of the 3rd and 7th terms, we form equations to find the first term 'a' and common difference 'd'. There are two possible values for 'd', leading to two possible APs and thus two possible sums for the first 16 terms.

🎯 Exam Tip: Remember to consider both positive and negative values for the common difference 'd' if `\(d^2\)` is found. Both cases will lead to a valid AP, and hence both sums should be calculated and presented as potential answers.

 

Question 3. एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दुरी पर हैं। डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 cm है | यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दुरी \(2\frac{1}{2}\) m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी ? [संकेत : डंडों की संख्या = \( \frac{250}{25} \div 1 \) हैं|]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक सीढ़ी को दर्शाता है जिसमें डंडे एक-दूसरे से 25 cm की दूरी पर हैं। सबसे निचला डंडा 45 cm लंबा है, और सबसे ऊपरी डंडा 25 cm लंबा है। डंडों की लंबाई समान रूप से कम हो रही है। ऊपरी और निचले डंडे के बीच की कुल ऊर्ध्वाधर दूरी 2.5 मीटर है। हमें सभी डंडों की कुल लंबाई ज्ञात करनी है।
Answer: हलः यहाँ, ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी = \( 2\frac{1}{2} \) मी.
= \( \frac{5}{2} \) मी.
= \( \frac{5}{2} \times 100 \) सेमी. = 250 सेमी.
क्रमागत दो डंडों के बीच की दूरी = 25 सेमी.
.: डंडों की संख्या = \( [\frac{250}{25} + 1] \)
= 10+1 = 11
सबसे निचले डंडे की लम्बाई (अर्थात् पहले डंडे की लम्बाई) = 45 सेमी.
सबसे ऊपरी डंडे की लम्बाई (अर्थात् 11वें डंडे की लम्बाई) = 25 सेमी.
माना डंडों की एक समान घटने वाली लम्बाई = x सेमी.
.: सभी डंडों की कुल लम्बाई = 45 सेमी. + (45-x) सेमी. + (45 - 2x) सेमी. + ... 25 सेमी.
चूंकि 45, (45-x), (45-2x), ... 25 एक A.P. है।
जिसमें प्रथम पद (a) = 45, अन्तिम पद = 25, पदों की संख्या = 11
अब, \( S_n = \frac{n}{2} (a + l) \) का प्रयोग करने पर
\( S_{11} = \frac{11}{2} (45 + 25) \)
= \( \frac{11}{2} \times 70 \)
= 11 x 35
= 385
\( \implies \) 11 डंडों की कुल लम्बाई = 385 सेमी.
In simple words: The lengths of the ladder rungs form an Arithmetic Progression (AP) where the first term is 45 cm and the last term is 25 cm. First, we find the total number of rungs, and then calculate the sum of their lengths to find the total wood required.

🎯 Exam Tip: Pay attention to units. Convert all measurements to a consistent unit (e.g., cm) before calculations. The number of terms 'n' in this type of problem is often (total distance / spacing) + 1.

 

Question 4. एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है| x का मान ज्ञात कीजिए | [संकेत : \(S_{x-1} = S_{49} – S_x\) है| ]
Answer: हलः हमें प्राप्त है किः
मकानों की क्रमागत संख्या: 1, 2, 3, 4, 5, ..., 49
ये संख्याएँ A.P. में इस प्रकार हैं किः
.: प्रथम पद (a) = 1,
सार्व अन्तर (d) = 2-1 = 1
पदों की संख्या (n) = 49
माना किसी, एक मकान की अंकित संख्या = x
.. इससे पहले वाले मकान पर अंकित संख्या = x - 1
इससे आगे वाले मकानों की संख्या = 49 - x
अब, मकान नम्बर x से पहले के मकानों की संख्याओं का
योग ज्ञात करने के लिए
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \) का प्रयोग करने पर,
\( S_{x-1} = \frac{x-1}{2} [2(1) + (x - 1 - 1) \times 1] \)
= \( \frac{x-1}{2} [2+x-2] \)
= \( \frac{x-1}{2} [x] \)
= \( \frac{x(x-1)}{2} = \frac{x^2-x}{2} \)
मकान संख्या x से आगे के मकानों की संख्याओं का
योगः
(x + 1), (x + 2), (x + 3), ..., 49
.. इन मकान संख्याओं (जो कि AP में हैं) के लिएः
प्रथम पद (a) = x + 1,
अन्तिम पद (l) = 49
.: \( S_n = \frac{n}{2} [a + l] \) का प्रयोग करने पर,
\( S_{49-x} = \frac{49-x}{2} [(x + 1) + 49] \)
= \( \frac{49-x}{2} [x + 50] \)
= \( \frac{49x+2450-x^2-50x}{2} \)
= \( \frac{-x^2-x+2450}{2} \)
प्रश्न के अनुसार,
\( \left. \begin{matrix} \text{x से अंकित मकान से} \\ \text{पहले के मकानों की} \\ \text{संख्याओं का योग} \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} \text{x से बाद के} \\ \text{मकानों की} \\ \text{संख्याओं का योग} \end{matrix} \right. \)
अर्थात् \( S_{x-1} = S_{49}-S_x \)

\( \implies \) \( \frac{x^2-x}{2} = \frac{-x^2-x+2450}{2} \)

\( \implies \) \( x^2-x = -x^2-x+2450 \)

\( \implies \) \( 2x^2 = 2450 \)

\( \implies \) \( x^2 = \frac{2450}{2} \)

\( \implies \) \( x^2 = 1225 \)

\( \implies \) \( x = \pm \sqrt{1225} \)

\( \implies \) \( x = \pm 35 \)
परन्तु x, एक ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकता, x = 35
In simple words: We are given an AP of house numbers from 1 to 49. We need to find a house number 'x' such that the sum of numbers before 'x' equals the sum of numbers after 'x'. We set up an equation using the AP sum formula for both parts and solve for 'x'.

🎯 Exam Tip: This problem involves setting up two sums of an AP and equating them. Be careful with the number of terms for `\(S_{49-x}\)` which is `\(49-x\)`, not `\(49-x-1\)`, since the house 'x' itself is excluded from the second sum.

 

Question 5. एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढीयाँ बनी हुई हैं। इन सीढीयों में से प्रत्येक की लंबाई 50m है वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी है प्रत्येक सीढ़ी में \( \frac{1}{4} \) m की चौड़ाई है और \( \frac{1}{2} \) m का फैलाव (चौड़ाई) है। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए| [संकेत : पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = \( \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \) \(m^3\) है।]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक चबूतरे की सीढ़ियों को दर्शाता है जो कंक्रीट से बनी हैं। प्रत्येक सीढ़ी की लंबाई 50 मीटर है, और चौड़ाई \( \frac{1}{4} \) मीटर है। प्रत्येक सीढ़ी की ऊँचाई पिछली सीढ़ी की ऊँचाई से \( \frac{1}{2} \) मीटर अधिक है। कुल 15 सीढ़ियाँ हैं। हमें इस चबूतरे को बनाने में उपयोग की गई कुल कंक्रीट का आयतन ज्ञात करना है।
Answer: हलः पहली सीढ़ी के लिएः
लम्बाई = 50 मी.,
चौड़ाई = \( \frac{1}{4} \) मी.
और ऊँचाई = \( \frac{1}{2} \) मी.
.: पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन
= लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई
= \( 50 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \) \(m^3\)
= \( (\frac{25}{4} \times 1) \) \(m^3\)
दूसरी सीढ़ी के लिएः
लम्बाई = 50 मी.,
चौड़ाई = \( \frac{1}{4} \) मी.
और ऊँचाई = \( (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \) मी. = \( (2 \times \frac{1}{2}) \) मी.
.: दूसरी सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन
= लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई
= \( 50 \times \frac{1}{4} \times (2 \times \frac{1}{2}) \) \(m^3\)
= \( (\frac{25}{4} \times 2) \) \(m^3\)
तीसरी सीढ़ी के लिएः
लम्बाई = 50 मी.,
चौड़ाई = \( \frac{1}{4} \) मी.
और ऊँचाई = \( (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \) मी. = \( (3 \times \frac{1}{2}) \) मी.
तीसरी सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन
= लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई
= \( 50 \times \frac{1}{4} \times (3 \times \frac{1}{2}) \) \(m^3\)
= \( (\frac{25}{4} \times 3) \) \(m^3\)
इस प्रकार, पहली, दूसरी, तीसरी,......... पन्द्रहवीं सीढ़ीयों
को बनाने में लगे कंक्रीट का आयतन (\(m^3\) में) क्रमशः
\( (\frac{25}{4} \times 1) \), \( (\frac{25}{4} \times 2) \), \( (\frac{25}{4} \times 3) \), ....., \( (\frac{25}{4} \times 15) \)
स्पष्ट है कि ये संख्याएँ एक A.P. में हैं जिसमें
प्रथम पद (a) = \( \frac{25}{4} \),
सार्व अन्तर (d) = \( \frac{25}{4} - \frac{25}{4} = \frac{25}{4} \)
पदों की संख्या (n) = 15
.: \( S_n = \frac{n}{2} [(2a) + (n-1)d] \) का प्रयोग करने पर, हमें
प्राप्त होता है:
\( S_{15} = \frac{15}{2} [2(\frac{25}{4})+(15-1) \times \frac{25}{4}] \)
= \( \frac{15}{2} [\frac{25}{2}+14 \times \frac{25}{4}] \)
= \( \frac{15}{2} [\frac{25}{2}+\frac{7 \times 25}{2}] \)
= \( \frac{15}{2} [\frac{25}{2}(1+7)] \)
= \( \frac{15}{2} [\frac{25}{2} \times 8] \)
= \( \frac{15}{2} [25 \times 4] \)
= \( \frac{15}{2} [100] \)
= 15 x 50 = 750
15 सीढ़ियों के बनाने में लगे कंक्रीट
का आयतन 750 \(m^3\) है।
अतः कंक्रीट का अभीष्ठ आयतन = 750 \(m^3\)
In simple words: The volume of concrete for each step forms an Arithmetic Progression (AP) because each step increases in height by a constant amount. We calculate the volume for each step and then sum these volumes for all 15 steps.

🎯 Exam Tip: The crucial part of this problem is recognizing that while length and width are constant, the height of each successive step increases. Thus, the volume for each step increases uniformly, forming an AP. Make sure to calculate the individual step heights correctly.