UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations Ex 45

Ex 4.5 Quadratic Equations संख्याओं तथा भिन्नों पर आधारित प्रश्न

Question 1. दो संख्याओं का योग 16 तथा उनके व्युत्क्रमों का योग \(\frac{1}{3}\) है, संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये पहली संख्या \(x\) है और दूसरी संख्या \(y\) है।
पहली शर्त के अनुसार, दोनों संख्याओं का जोड़ 16 है, इसलिए:
\(x + y = 16\) ...(1)
दूसरी शर्त के अनुसार, उनके उल्टे (व्युत्क्रमों) का जोड़ \(\frac{1}{3}\) है:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}\)
इसे हल करने पर, हमें मिलता है:
\(\frac{y+x}{xy} = \frac{1}{3}\)
समीकरण (1) से \(x+y\) का मान रखने पर:
\(\frac{16}{xy} = \frac{1}{3}\)
\(\implies xy = 48\)
अब, समीकरण (1) से \(y = 16 - x\) को \(xy = 48\) में रखें:
\(x(16 - x) = 48\)
\(16x - x^2 = 48\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(x^2 - 16x + 48 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 - 12x - 4x + 48 = 0\)
\(x(x - 12) - 4(x - 12) = 0\)
\((x - 12)(x - 4) = 0\)
इसलिए, \(x - 12 = 0\) या \(x - 4 = 0\)
अगर \(x = 12\) है, तो समीकरण (1) से \(y = 16 - 12 = 4\)
अगर \(x = 4\) है, तो समीकरण (1) से \(y = 16 - 4 = 12\)
तो, संख्याएँ 12 और 4 हैं। द्विघात समीकरणों का उपयोग अक्सर ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जहाँ संख्याओं के बीच संबंध दिए गए होते हैं।
In simple words: हमने दो संख्याएँ ऐसी ढूंढीं जिनका जोड़ 16 था और जिनके उल्टे का जोड़ \(\frac{1}{3}\) था. वे संख्याएँ 12 और 4 हैं. इसे हल करने के लिए हमने एक समीकरण बनाया और उसे हल किया.

🎯 Exam Tip: जब दो चरों के साथ समीकरण हों, तो एक चर का मान दूसरे के रूप में व्यक्त करके समीकरणों को सरल बनाने का प्रयास करें.

Question 2. दो संख्याओं का योग 18 और उनके व्युत्क्रमों का योग \(\frac{1}{4}\) है। संख्याएं ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये पहली संख्या \(x\) है और दूसरी संख्या \(y\) है।
पहली शर्त के अनुसार, दोनों संख्याओं का जोड़ 18 है, इसलिए:
\(x + y = 18\) ...(1)
दूसरी शर्त के अनुसार, उनके उल्टे का जोड़ \(\frac{1}{4}\) है:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\)
इसे हल करने पर, हमें मिलता है:
\(\frac{y+x}{xy} = \frac{1}{4}\)
समीकरण (1) से \(x+y\) का मान रखने पर:
\(\frac{18}{xy} = \frac{1}{4}\)
\(\implies xy = 72\)
अब, समीकरण (1) से \(y = 18 - x\) को \(xy = 72\) में रखें:
\(x(18 - x) = 72\)
\(18x - x^2 = 72\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(x^2 - 18x + 72 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 - 12x - 6x + 72 = 0\)
\(x(x - 12) - 6(x - 12) = 0\)
\((x - 12)(x - 6) = 0\)
इसलिए, \(x - 12 = 0\) या \(x - 6 = 0\)
अगर \(x = 12\) है, तो \(y = \frac{72}{12} = 6\)
अगर \(x = 6\) है, तो \(y = \frac{72}{6} = 12\)
तो, संख्याएँ 12 और 6 हैं। ऐसी समस्याओं में संख्याओं के मान एक-दूसरे को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, लेकिन युग्म वही रहता है।
In simple words: हमने ऐसी दो संख्याएँ ढूंढीं जिनका जोड़ 18 था और जिनके उल्टे का जोड़ \(\frac{1}{4}\) था. वे संख्याएँ 12 और 6 हैं. हमने एक द्विघात समीकरण बनाकर इसे हल किया.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप दोनों संभावित \(x\) मानों के लिए \(y\) मानों की गणना करते हैं, क्योंकि दोनों समाधान मान्य हो सकते हैं.

Question 3. दो संख्या a व b का योग 15 तथा उनके व्युत्क्रमों \(\frac{1}{a}\) तथा \(\frac{1}{b}\) का योग \(\frac{3}{10}\) है | a व b ज्ञात कीजिए।
Answer:
प्रश्नानुसार, पहली शर्त है:
\(a + b = 15\) ...(1)
दूसरी शर्त है कि उनके व्युत्क्रमों का योग \(\frac{3}{10}\) है:
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{10}\)
इसे हल करने पर:
\(\frac{b+a}{ab} = \frac{3}{10}\)
समीकरण (1) से \(a+b\) का मान रखने पर:
\(\frac{15}{ab} = \frac{3}{10}\)
\(\implies 3ab = 150\)
\(\implies ab = 50\)
अब, समीकरण (1) से \(b = 15 - a\) को \(ab = 50\) में रखें:
\(a(15 - a) = 50\)
\(15a - a^2 = 50\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(a^2 - 15a + 50 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(a^2 - 10a - 5a + 50 = 0\)
\(a(a - 10) - 5(a - 10) = 0\)
\((a - 10)(a - 5) = 0\)
इसलिए, \(a - 10 = 0\) या \(a - 5 = 0\)
अगर \(a = 10\) है, तो \(b = \frac{50}{10} = 5\)
अगर \(a = 5\) है, तो \(b = \frac{50}{5} = 10\)
तो, संख्याएँ 10 और 5 हैं। यह दिखाता है कि कैसे एक ही समीकरण दो अलग-अलग मानों के युग्म दे सकता है।
In simple words: हमने दो संख्याएँ \(a\) और \(b\) ढूंढीं जिनका जोड़ 15 था और जिनके उल्टे का जोड़ \(\frac{3}{10}\) था. वे संख्याएँ 10 और 5 हैं. हमने द्विघात समीकरण का उपयोग करके इसे हल किया.

🎯 Exam Tip: जब चर \(a\) और \(b\) सममित होते हैं, तो हल अक्सर \( (x, y) \) और \( (y, x) \) के रूप में होते हैं, जैसा कि इस प्रश्न में है.

Question 4. दो संख्याओं का अन्तर 5 तथा उनके व्युत्क्रमों का अन्तर \(\frac{1}{10}\) है। संख्याऐं ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये वे दोनों संख्याएँ \(x\) और \(x - 5\) हैं। (मान लीजिये \(x\) बड़ी संख्या है।)
प्रश्नानुसार, संख्याओं के व्युत्क्रमों का अन्तर \(\frac{1}{10}\) है:
\(\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x} = \frac{1}{10}\)
इसे हल करने पर:
\(\frac{x - (x-5)}{x(x-5)} = \frac{1}{10}\)
\(\frac{x - x + 5}{x^2 - 5x} = \frac{1}{10}\)
\(\frac{5}{x^2 - 5x} = \frac{1}{10}\)
\(\implies x^2 - 5x = 50\)
\(\implies x^2 - 5x - 50 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 - 10x + 5x - 50 = 0\)
\(x(x - 10) + 5(x - 10) = 0\)
\((x - 10)(x + 5) = 0\)
इसलिए, \(x - 10 = 0\) या \(x + 5 = 0\)
अगर \(x = 10\) है, तो दूसरी संख्या \(x - 5 = 10 - 5 = 5\)
अगर \(x = -5\) है, तो दूसरी संख्या \(x - 5 = -5 - 5 = -10\)
तो, संख्याएँ 10 और 5 हैं, या -5 और -10 हैं। यह दर्शाता है कि ऋणात्मक संख्याएँ भी समाधान हो सकती हैं, जब तक कि प्रश्न में "प्राकृत" या "धनात्मक" न कहा गया हो।
In simple words: हमने दो संख्याएँ ढूंढीं जिनका अन्तर 5 था और जिनके उल्टे का अन्तर \(\frac{1}{10}\) था. वे संख्याएँ 10 और 5 हैं, या -5 और -10 हैं. हमने द्विघात समीकरण बनाकर इसे हल किया.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणनाएँ सही हैं, अपने समाधानों को मूल समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करके जांचना हमेशा एक अच्छा विचार है.

Question 5. एक संख्या व उसके व्युत्क्रम का योगफल \(\frac{17}{4}\) है। संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये अभीष्ट संख्या \(x\) है।
तब संख्या का व्युत्क्रम \(\frac{1}{x}\) होगा।
प्रश्नानुसार, संख्या और उसके व्युत्क्रम का योगफल \(\frac{17}{4}\) है:
\(x + \frac{1}{x} = \frac{17}{4}\)
इसे हल करने पर:
\(\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{17}{4}\)
तिरछा गुणा करने पर:
\(4(x^2 + 1) = 17x\)
\(4x^2 + 4 = 17x\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(4x^2 - 17x + 4 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(4x^2 - 16x - x + 4 = 0\)
\(4x(x - 4) - 1(x - 4) = 0\)
\((4x - 1)(x - 4) = 0\)
इसलिए, \(4x - 1 = 0\) या \(x - 4 = 0\)
अगर \(4x - 1 = 0\) है, तो \(4x = 1 \implies x = \frac{1}{4}\)
अगर \(x - 4 = 0\) है, तो \(x = 4\)
तो, अभीष्ट संख्या 4 या \(\frac{1}{4}\) है। यह दर्शाता है कि एक संख्या और उसका व्युत्क्रम अक्सर एक-दूसरे के समाधान होते हैं।
In simple words: हमने एक संख्या ढूंढी जिसका अपने उल्टे के साथ जोड़ \(\frac{17}{4}\) था. वे संख्याएँ 4 और \(\frac{1}{4}\) हैं. हमने द्विघात समीकरण बनाकर इसे हल किया.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में जहाँ संख्या और उसके व्युत्क्रम का संबंध होता है, अक्सर दो उत्तर होते हैं जो एक-दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं.

Question 6. दो प्राकृत संख्याओं के वर्गों का अन्तर 45 है। छोटी संख्या का वर्ग, बड़ी संख्या से 4 गुना है। संख्याऐं ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये बड़ी संख्या \(x\) है और छोटी संख्या \(y\) है।
पहली शर्त के अनुसार, दो प्राकृत संख्याओं के वर्गों का अन्तर 45 है:
\(x^2 - y^2 = 45\) ...(1)
दूसरी शर्त के अनुसार, छोटी संख्या का वर्ग, बड़ी संख्या से 4 गुना है:
\(y^2 = 4x\) ...(2)
समीकरण (2) से \(y^2\) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\(x^2 - 4x = 45\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(x^2 - 4x - 45 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 - 9x + 5x - 45 = 0\)
\(x(x - 9) + 5(x - 9) = 0\)
\((x - 9)(x + 5) = 0\)
इसलिए, \(x - 9 = 0\) या \(x + 5 = 0\)
अगर \(x - 9 = 0\) है, तो \(x = 9\)
अगर \(x + 5 = 0\) है, तो \(x = -5\)
चूंकि \(x\) एक प्राकृत संख्या है, इसलिए \(x = -5\) अमान्य है। तो, बड़ी संख्या \(x = 9\) है।
अब, \(x = 9\) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\(y^2 = 4 \times 9\)
\(y^2 = 36\)
\(\implies y = \sqrt{36}\)
\(\implies y = \pm 6\)
चूंकि \(y\) भी एक प्राकृत संख्या है, इसलिए \(y = -6\) अमान्य है। तो, छोटी संख्या \(y = 6\) है।
तो, संख्याएँ 9 और 6 हैं। प्राकृत संख्याओं का उपयोग अक्सर वास्तविक दुनिया की समस्याओं को मॉडल करने के लिए किया जाता है।
In simple words: हमने दो प्राकृत संख्याएँ ढूंढीं जिनके वर्गों का अन्तर 45 था और जहाँ छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का 4 गुना था. वे संख्याएँ 9 और 6 हैं. हमने समीकरणों को हल करके यह पता लगाया.

🎯 Exam Tip: "प्राकृत संख्याएँ" या "धनात्मक पूर्णांक" जैसी शर्तों पर ध्यान दें, क्योंकि वे ऋणात्मक समाधानों को अमान्य कर देते हैं.

Question 7. एक भिन्न का अंश, उसके हर से 2 कम है। यदि अंश व हर दोनों में 1 जोड़ा जाये तथा मूल तथा संशोधित भिन्न का योग \(\frac{19}{15}\) है। मूल भिन्न ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये भिन्न का हर \(x\) है।
प्रश्नानुसार, अंश उसके हर से 2 कम है, इसलिए अंश \(x - 2\) है।
तो, मूल भिन्न \(\frac{x-2}{x}\) है।
यदि अंश व हर दोनों में 1 जोड़ा जाये, तो नया अंश \((x - 2) + 1 = x - 1\) और नया हर \(x + 1\) होगा।
तो, संशोधित भिन्न \(\frac{x-1}{x+1}\) है।
प्रश्नानुसार, मूल भिन्न और संशोधित भिन्न का योग \(\frac{19}{15}\) है:
\(\frac{x-2}{x} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{19}{15}\)
इसे हल करने पर:
\(\frac{(x-2)(x+1) + x(x-1)}{x(x+1)} = \frac{19}{15}\)
\(\frac{(x^2 + x - 2x - 2) + (x^2 - x)}{x^2 + x} = \frac{19}{15}\)
\(\frac{x^2 - x - 2 + x^2 - x}{x^2 + x} = \frac{19}{15}\)
\(\frac{2x^2 - 2x - 2}{x^2 + x} = \frac{19}{15}\)
तिरछा गुणा करने पर:
\(15(2x^2 - 2x - 2) = 19(x^2 + x)\)
\(30x^2 - 30x - 30 = 19x^2 + 19x\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(30x^2 - 19x^2 - 30x - 19x - 30 = 0\)
\(11x^2 - 49x - 30 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(11x^2 - 55x + 6x - 30 = 0\)
\(11x(x - 5) + 6(x - 5) = 0\)
\((x - 5)(11x + 6) = 0\)
इसलिए, \(x - 5 = 0\) या \(11x + 6 = 0\)
अगर \(x - 5 = 0\) है, तो \(x = 5\)
अगर \(11x + 6 = 0\) है, तो \(x = -\frac{6}{11}\)
चूंकि हर (denominator) ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए \(x = -\frac{6}{11}\) अमान्य है। तो, हर \(x = 5\) है।
मूल भिन्न का अंश \(x - 2 = 5 - 2 = 3\) है।
तो, अभीष्ट मूल भिन्न \(\frac{3}{5}\) है। भिन्न की समस्याओं में हमेशा जांच लें कि क्या ऋणात्मक मान वास्तविक संदर्भ में मान्य हैं।
In simple words: हमने एक भिन्न ढूंढा जिसका अंश हर से 2 कम था. जब अंश और हर दोनों में 1 जोड़ा गया, तो मूल भिन्न और नई भिन्न का जोड़ \(\frac{19}{15}\) हुआ. मूल भिन्न \(\frac{3}{5}\) है.

🎯 Exam Tip: भिन्न वाली समस्याओं को हल करते समय, \(x\) के अमान्य मानों को अस्वीकार करना याद रखें, जैसे कि ऋणात्मक हर या अंश जो किसी भौतिक मात्रा का प्रतिनिधित्व करते हैं.

Question 8. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 88 है यदि बड़ी संख्या, छोटी के दोगुने से 5 कम है तब संख्याऐं ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये बड़ी संख्या \(x\) है और छोटी संख्या \(y\) है।
पहली शर्त के अनुसार, दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 88 है:
\(x^2 - y^2 = 88\) ...(1)
दूसरी शर्त के अनुसार, बड़ी संख्या, छोटी संख्या के दोगुने से 5 कम है:
\(x = 2y - 5\) ...(2)
समीकरण (2) से \(x\) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\((2y - 5)^2 - y^2 = 88\)
\((4y^2 - 20y + 25) - y^2 = 88\)
\(3y^2 - 20y + 25 - 88 = 0\)
\(3y^2 - 20y - 63 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(3y^2 - 27y + 7y - 63 = 0\)
\(3y(y - 9) + 7(y - 9) = 0\)
\((y - 9)(3y + 7) = 0\)
इसलिए, \(y - 9 = 0\) या \(3y + 7 = 0\)
अगर \(y - 9 = 0\) है, तो \(y = 9\)
अगर \(3y + 7 = 0\) है, तो \(y = -\frac{7}{3}\)
चूंकि संख्याएँ आमतौर पर धनात्मक मानी जाती हैं जब तक कि विशेष रूप से न कहा गया हो, \(y = -\frac{7}{3}\) अमान्य है। तो, छोटी संख्या \(y = 9\) है।
अब, \(y = 9\) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\(x = 2(9) - 5\)
\(x = 18 - 5\)
\(x = 13\)
तो, बड़ी संख्या 13 है और छोटी संख्या 9 है। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए अक्सर चर को एक चर में बदलना सबसे अच्छा होता है।
In simple words: हमने दो संख्याएँ ढूंढीं जिनके वर्गों का अन्तर 88 था. बड़ी संख्या छोटी के दोगुने से 5 कम थी. वे संख्याएँ 13 और 9 हैं. हमने दो समीकरणों को हल करके यह पता लगाया.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप समीकरणों में चरों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करते हैं, खासकर जब एक चर को दूसरे के संदर्भ में दिया गया हो.

Ex 4.5 Quadratic Equations समय एवं दूरी पर आधारित प्रश्न

Question 9. एक रेलगाड़ी एक नियत चाल से 300 किमी की दूरी तय करती है। यदि इसकी चाल को 5 किमी/घण्टा बढ़ा दिया जाये तो वह यात्रा 2 घण्टे कम में पूरी करती है। रेलगाड़ी की मूल चाल ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये रेलगाड़ी की मूल चाल \(x\) किमी/घण्टा है।
रेलगाड़ी को 300 किमी की दूरी तय करने में लगा समय (समय = दूरी/चाल) = \(\frac{300}{x}\) घण्टे।
यदि चाल को 5 किमी/घण्टा बढ़ा दिया जाये, तो नई चाल \((x + 5)\) किमी/घण्टा होगी।
तब 300 किमी की दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{300}{x+5}\) घण्टे।
प्रश्नानुसार, नई चाल से लिया गया समय मूल चाल से लिए गए समय से 2 घण्टे कम है:
\(\frac{300}{x} - \frac{300}{x+5} = 2\)
इसे हल करने पर, सामान्य हर लेकर:
\(\frac{300(x+5) - 300x}{x(x+5)} = 2\)
\(\frac{300x + 1500 - 300x}{x^2 + 5x} = 2\)
\(\frac{1500}{x^2 + 5x} = 2\)
\(\implies 1500 = 2(x^2 + 5x)\)
\(\implies 750 = x^2 + 5x\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(x^2 + 5x - 750 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 + 30x - 25x - 750 = 0\)
\(x(x + 30) - 25(x + 30) = 0\)
\((x + 30)(x - 25) = 0\)
इसलिए, \(x + 30 = 0\) या \(x - 25 = 0\)
अगर \(x + 30 = 0\) है, तो \(x = -30\)
अगर \(x - 25 = 0\) है, तो \(x = 25\)
चूंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x = -30\) अमान्य है। तो, रेलगाड़ी की मूल चाल 25 किमी/घण्टा है। दूरी और समय की समस्याओं में चाल हमेशा धनात्मक होती है।
In simple words: एक रेलगाड़ी 300 किमी का सफर तय करती है. अगर उसकी चाल 5 किमी/घण्टा बढ़ जाए, तो उसे 2 घण्टे कम लगते हैं. रेलगाड़ी की असली चाल 25 किमी/घण्टा है.

🎯 Exam Tip: समय, दूरी और चाल वाले प्रश्नों में, प्रत्येक स्थिति के लिए समय को एक ही इकाई में व्यक्त करना सुनिश्चित करें और फिर उन्हें समीकरण में सेट करें.

Question 10. एक हवाई जहाज की चाल यदि सामान्य चाल से 100 किमी/घण्टा बढ़ा दी जाये तो 1200 किमी की यात्रा पूरी करने में उसे 1 घण्टा कम लगेगा। हवाई जहाज की सामान्य चाल ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये हवाई जहाज की सामान्य चाल \(x\) किमी/घण्टा है।
चाल बढ़ाने पर चाल \((x + 100)\) किमी/घण्टा होगी।
दूरी = 1200 किमी।
सामान्य चाल से लगा समय = \(\frac{1200}{x}\) घण्टे।
बढ़ी हुई चाल से लगा समय = \(\frac{1200}{x+100}\) घण्टे।
प्रश्नानुसार, नई चाल से लिया गया समय सामान्य चाल से लिए गए समय से 1 घण्टा कम है:
\(\frac{1200}{x} - \frac{1200}{x+100} = 1\)
इसे हल करने पर:
\(\frac{1200(x+100) - 1200x}{x(x+100)} = 1\)
\(\frac{1200x + 120000 - 1200x}{x^2 + 100x} = 1\)
\(\frac{120000}{x^2 + 100x} = 1\)
\(\implies x^2 + 100x = 120000\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(x^2 + 100x - 120000 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 + 400x - 300x - 120000 = 0\)
\(x(x + 400) - 300(x + 400) = 0\)
\((x + 400)(x - 300) = 0\)
इसलिए, \(x + 400 = 0\) या \(x - 300 = 0\)
अगर \(x + 400 = 0\) है, तो \(x = -400\)
अगर \(x - 300 = 0\) है, तो \(x = 300\)
चूंकि हवाई जहाज की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x = -400\) अमान्य है। तो, हवाई जहाज की सामान्य चाल 300 किमी/घण्टा है। चाल की समस्याओं में, गति का धनात्मक मान ही वास्तविक होता है।
In simple words: एक हवाई जहाज की चाल अगर 100 किमी/घण्टा बढ़ाई जाए, तो उसे 1200 किमी की यात्रा में 1 घण्टा कम लगता है. हवाई जहाज की सामान्य चाल 300 किमी/घण्टा है.

🎯 Exam Tip: समय, दूरी और चाल के प्रश्नों में, \( (D/S_1) - (D/S_2) = \Delta T \) या \( (D/S_2) - (D/S_1) = \Delta T \) जैसे समीकरणों का उपयोग करना सीखें.

Question 11. एक हवाई जहाज अपने निश्चित समय से 50 मिनट की देरी से उड़ता है तथा 1250 किमी की दूरी पर स्थिति गन्तव्य पर सही समय पर पहुँचने के लिए अपनी चाल को 250 किमी/घण्टा बढ़ाना पड़ता है। उसकी सामान्य चाल ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये हवाई जहाज की सामान्य चाल \(x\) किमी/घण्टा है।
चाल बढ़ाने पर हवाई जहाज की चाल \((x + 250)\) किमी/घण्टा होगी।
दूरी = 1250 किमी।
50 मिनट = \(\frac{50}{60}\) घण्टे = \(\frac{5}{6}\) घण्टे।
सामान्य चाल से लगा समय = \(\frac{1250}{x}\) घण्टे।
बढ़ी हुई चाल से लगा समय = \(\frac{1250}{x+250}\) घण्टे।
प्रश्नानुसार, हवाई जहाज को देरी की भरपाई के लिए चाल बढ़ानी पड़ी, जिसका मतलब है कि सामान्य समय, बढ़ी हुई चाल से लिए गए समय से 50 मिनट अधिक है:
\(\frac{1250}{x} - \frac{1250}{x+250} = \frac{5}{6}\)
इसे हल करने पर:
\(\frac{1250(x+250) - 1250x}{x(x+250)} = \frac{5}{6}\)
\(\frac{1250x + 312500 - 1250x}{x^2 + 250x} = \frac{5}{6}\)
\(\frac{312500}{x^2 + 250x} = \frac{5}{6}\)
तिरछा गुणा करने पर:
\(6 \times 312500 = 5(x^2 + 250x)\)
\(1875000 = 5x^2 + 1250x\)
पूरे समीकरण को 5 से भाग देने पर:
\(375000 = x^2 + 250x\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(x^2 + 250x - 375000 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 + 750x - 500x - 375000 = 0\)
\(x(x + 750) - 500(x + 750) = 0\)
\((x + 750)(x - 500) = 0\)
इसलिए, \(x + 750 = 0\) या \(x - 500 = 0\)
अगर \(x + 750 = 0\) है, तो \(x = -750\)
अगर \(x - 500 = 0\) है, तो \(x = 500\)
चूंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x = -750\) अमान्य है। तो, हवाई जहाज की सामान्य चाल 500 किमी/घण्टा है। विलम्ब के मामलों में, अतिरिक्त चाल की गणना करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: एक हवाई जहाज 50 मिनट की देरी से उड़ता है. 1250 किमी दूर पहुंचने के लिए उसे अपनी चाल 250 किमी/घण्टा बढ़ानी पड़ती है. उसकी सामान्य चाल 500 किमी/घण्टा है.

🎯 Exam Tip: समय की इकाइयों को संगत रखना महत्वपूर्ण है; मिनट को घंटों में बदलना न भूलें ताकि सभी मान एक ही इकाई में हों.

Question 12. मुम्बई तथा पुणे के बीच की 192 किमी की दूरी तय करने में फास्ट ट्रेन, धीमी ट्रेन से 2 घण्टे कम लेती है। यदि धीमी ट्रेन की औसत चाल, फास्ट ट्रेन से 16 किमी/घण्टा कम है तो प्रत्येक ट्रेन की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये फास्ट ट्रेन की चाल \(x\) किमी/घण्टा है।
धीमी ट्रेन की चाल फास्ट ट्रेन से 16 किमी/घण्टा कम है, इसलिए धीमी ट्रेन की चाल \((x - 16)\) किमी/घण्टा होगी।
दूरी = 192 किमी।
फास्ट ट्रेन द्वारा लिया गया समय = \(\frac{192}{x}\) घण्टे।
धीमी ट्रेन द्वारा लिया गया समय = \(\frac{192}{x-16}\) घण्टे।
प्रश्नानुसार, फास्ट ट्रेन धीमी ट्रेन से 2 घण्टे कम लेती है:
\(\frac{192}{x-16} - \frac{192}{x} = 2\)
इसे हल करने पर:
\(\frac{192x - 192(x-16)}{x(x-16)} = 2\)
\(\frac{192x - 192x + 3072}{x^2 - 16x} = 2\)
\(\frac{3072}{x^2 - 16x} = 2\)
\(\implies 3072 = 2(x^2 - 16x)\)
\(\implies 1536 = x^2 - 16x\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(x^2 - 16x - 1536 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 - 48x + 32x - 1536 = 0\)
\(x(x - 48) + 32(x - 48) = 0\)
\((x - 48)(x + 32) = 0\)
इसलिए, \(x - 48 = 0\) या \(x + 32 = 0\)
अगर \(x - 48 = 0\) है, तो \(x = 48\)
अगर \(x + 32 = 0\) है, तो \(x = -32\)
चूंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x = -32\) अमान्य है। तो, फास्ट ट्रेन की चाल 48 किमी/घण्टा है।
धीमी ट्रेन की चाल \(x - 16 = 48 - 16 = 32\) किमी/घण्टा है। ट्रेनों की सापेक्षिक गति की गणना करते समय यह समीकरण अक्सर उत्पन्न होता है।
In simple words: मुम्बई से पुणे तक 192 किमी के सफर में फास्ट ट्रेन धीमी ट्रेन से 2 घण्टे कम लेती है. धीमी ट्रेन की चाल फास्ट ट्रेन से 16 किमी/घण्टा कम है. फास्ट ट्रेन की चाल 48 किमी/घण्टा और धीमी ट्रेन की चाल 32 किमी/घण्टा है.

🎯 Exam Tip: जब सापेक्षिक चालों से निपटना हो, तो हमेशा यह स्पष्ट करें कि आप किस वस्तु की चाल को \(x\) मान रहे हैं और दूसरे को उसके सापेक्ष कैसे व्यक्त कर रहे हैं.

Question 13. एक यात्री की सामान्य चाल में 5 किमी प्रति घण्टा की वृद्धि कर देने पर वह 300 किमी दूरी तय करने में 2 घण्टे कम समय लेता है। उसकी सामान्य (मूल) चाल ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये यात्री की सामान्य चाल \(x\) किमी प्रति घण्टा है।
300 किमी दूरी तय करने में यात्री को लगा सामान्य समय = \(\frac{300}{x}\) घण्टे।
जब चाल में 5 किमी प्रति घण्टा की वृद्धि होती है, तो नई चाल \((x + 5)\) किमी प्रति घण्टा होगी।
तब 300 किमी दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{300}{x+5}\) घण्टे।
प्रश्नानुसार, नई चाल से लिया गया समय सामान्य समय से 2 घण्टे कम है:
\(\frac{300}{x} - \frac{300}{x+5} = 2\)
इसे हल करने पर:
\(\frac{300(x+5) - 300x}{x(x+5)} = 2\)
\(\frac{300x + 1500 - 300x}{x^2 + 5x} = 2\)
\(\frac{1500}{x^2 + 5x} = 2\)
\(\implies 1500 = 2(x^2 + 5x)\)
\(\implies 750 = x^2 + 5x\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(x^2 + 5x - 750 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 + 30x - 25x - 750 = 0\)
\(x(x + 30) - 25(x + 30) = 0\)
\((x + 30)(x - 25) = 0\)
इसलिए, \(x + 30 = 0\) या \(x - 25 = 0\)
अगर \(x + 30 = 0\) है, तो \(x = -30\)
अगर \(x - 25 = 0\) है, तो \(x = 25\)
चूंकि यात्री की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x = -30\) अमान्य है। तो, यात्री की सामान्य चाल 25 किमी प्रति घण्टा है। ऐसे गति के प्रश्नों को हल करने के लिए द्विघात समीकरण एक शक्तिशाली उपकरण है।
In simple words: एक यात्री की चाल 5 किमी प्रति घण्टा बढ़ाने पर उसे 300 किमी की दूरी तय करने में 2 घण्टे कम लगते हैं. यात्री की सामान्य चाल 25 किमी प्रति घण्टा है.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणनाएँ सही हैं, समय की बचत या वृद्धि को घंटों में व्यक्त करना सुनिश्चित करें और इसे समीकरण में सही ढंग से दर्ज करें.

Ex 4.5 Quadratic Equations क्षेत्रमिति तथा ज्यामिति पर आधारित प्रश्न

Question 14. एक समकोण त्रिभुज के रूप के एक घास के मैदान का कर्ण, उसकी छोटी भुजा के दो गुने से 1 मीटर अधिक है। यदि तीसरी भुजा, उसकी छोटी भुजा से 7 मीटर बड़ी है। तब उसकी भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये समकोण त्रिभुज की छोटी भुजा \(x\) मीटर है।
तीसरी भुजा (आधार या लम्ब) छोटी भुजा से 7 मीटर बड़ी है, इसलिए यह \((x + 7)\) मीटर है।
कर्ण छोटी भुजा के दो गुने से 1 मीटर अधिक है, इसलिए कर्ण \((2x + 1)\) मीटर है।

समकोण त्रिभुज ABC में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर (कर्ण\(^2\) = आधार\(^2\) + लम्ब\(^2\)):
\((2x + 1)^2 = x^2 + (x + 7)^2\)
\((4x^2 + 4x + 1) = x^2 + (x^2 + 14x + 49)\)
\(4x^2 + 4x + 1 = x^2 + x^2 + 14x + 49\)
\(4x^2 + 4x + 1 = 2x^2 + 14x + 49\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(4x^2 - 2x^2 + 4x - 14x + 1 - 49 = 0\)
\(2x^2 - 10x - 48 = 0\)
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
\(x^2 - 5x - 24 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 - 8x + 3x - 24 = 0\)
\(x(x - 8) + 3(x - 8) = 0\)
\((x - 8)(x + 3) = 0\)
इसलिए, \(x - 8 = 0\) या \(x + 3 = 0\)
अगर \(x - 8 = 0\) है, तो \(x = 8\)
अगर \(x + 3 = 0\) है, तो \(x = -3\)
चूंकि त्रिभुज की भुजा की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x = -3\) अमान्य है। तो, छोटी भुजा \(x = 8\) मीटर है।
तीसरी भुजा (लम्ब) = \(x + 7 = 8 + 7 = 15\) मीटर।
कर्ण = \(2x + 1 = 2(8) + 1 = 16 + 1 = 17\) मीटर।
तो, त्रिभुज की भुजाएँ 8 मीटर, 15 मीटर और 17 मीटर हैं। पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं को ज्ञात करने के लिए आवश्यक है।
In simple words: एक समकोण त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा \(x\) मीटर है. कर्ण छोटी भुजा के दोगुने से 1 मीटर अधिक है, और तीसरी भुजा छोटी भुजा से 7 मीटर बड़ी है. त्रिभुज की भुजाएँ 8 मीटर, 15 मीटर और 17 मीटर हैं.

🎯 Exam Tip: ज्यामिति की समस्याओं में, अज्ञात भुजाओं को व्यक्त करने के लिए हमेशा एक चर का उपयोग करें और फिर पाइथागोरस प्रमेय जैसे उपयुक्त सूत्र को लागू करें.

Question 15. एक हाल की लम्बाई उसकी चौड़ाई से 5 मीटर अधिक है। यदि हाल के फर्श का क्षेत्रफल 84 वर्ग मीटर है तो हाल की लम्बाई व चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये हाल की चौड़ाई \(x\) मीटर है।
प्रश्नानुसार, हाल की लम्बाई उसकी चौड़ाई से 5 मीटर अधिक है, इसलिए लम्बाई \((x + 5)\) मीटर है।
हाल के फर्श का क्षेत्रफल 84 वर्ग मीटर है।
क्षेत्रफल = लम्बाई \(\times\) चौड़ाई
\(84 = (x + 5)x\)
\(84 = x^2 + 5x\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(x^2 + 5x - 84 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 + 12x - 7x - 84 = 0\)
\(x(x + 12) - 7(x + 12) = 0\)
\((x + 12)(x - 7) = 0\)
इसलिए, \(x + 12 = 0\) या \(x - 7 = 0\)
अगर \(x + 12 = 0\) है, तो \(x = -12\)
अगर \(x - 7 = 0\) है, तो \(x = 7\)
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x = -12\) अमान्य है। तो, हाल की चौड़ाई \(x = 7\) मीटर है।
हाल की लम्बाई \(x + 5 = 7 + 5 = 12\) मीटर है।
तो, हाल की लम्बाई 12 मीटर और चौड़ाई 7 मीटर है। क्षेत्रफल से संबंधित समस्याओं में, हमेशा सुनिश्चित करें कि माप सकारात्मक हों।
In simple words: एक हाल की लम्बाई उसकी चौड़ाई से 5 मीटर अधिक है. अगर उसके फर्श का क्षेत्रफल 84 वर्ग मीटर है, तो हाल की लम्बाई 12 मीटर और चौड़ाई 7 मीटर है.

🎯 Exam Tip: जब आप क्षेत्रफल से संबंधित समस्याओं को हल करते हैं, तो हमेशा याद रखें कि लंबाई और चौड़ाई जैसी भौतिक माप ऋणात्मक नहीं हो सकतीं.

Question 16. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 640 वर्ग मीटर है। यदि उनके परिमाप में 64 मीटर का अन्तर है तो वर्गों की भुजा ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये पहले वर्ग की भुजा \(x\) मीटर है और दूसरे वर्ग की भुजा \(y\) मीटर है।
पहले वर्ग का क्षेत्रफल = \(x^2\) वर्ग मीटर।
दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = \(y^2\) वर्ग मीटर।
पहले वर्ग का परिमाप = \(4x\) मीटर।
दूसरे वर्ग का परिमाप = \(4y\) मीटर।
प्रश्नानुसार, दोनों वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 640 वर्ग मीटर है:
\(x^2 + y^2 = 640\) ...(1)
दोनों वर्गों के परिमाप का अन्तर 64 मीटर है:
\(4x - 4y = 64\)
पूरे समीकरण को 4 से भाग देने पर:
\(x - y = 16\)
\(\implies y = x - 16\) ...(2)
समीकरण (2) से \(y\) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\(x^2 + (x - 16)^2 = 640\)
\(x^2 + (x^2 - 32x + 256) = 640\)
\(2x^2 - 32x + 256 = 640\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(2x^2 - 32x + 256 - 640 = 0\)
\(2x^2 - 32x - 384 = 0\)
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
\(x^2 - 16x - 192 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 - 24x + 8x - 192 = 0\)
\(x(x - 24) + 8(x - 24) = 0\)
\((x - 24)(x + 8) = 0\)
इसलिए, \(x - 24 = 0\) या \(x + 8 = 0\)
अगर \(x - 24 = 0\) है, तो \(x = 24\)
अगर \(x + 8 = 0\) है, तो \(x = -8\)
चूंकि भुजा की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x = -8\) अमान्य है। तो, पहले वर्ग की भुजा 24 मीटर है।
अब, \(x = 24\) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\(y = 24 - 16 = 8\)
तो, दूसरे वर्ग की भुजा 8 मीटर है। ज्यामितीय समस्याओं में, सकारात्मक मानों पर विचार करना हमेशा महत्वपूर्ण होता है।
In simple words: दो वर्गों के क्षेत्रफलों का जोड़ 640 वर्ग मीटर है, और उनके परिमापों का अन्तर 64 मीटर है. पहले वर्ग की भुजा 24 मीटर और दूसरे वर्ग की भुजा 8 मीटर है.

🎯 Exam Tip: वर्गों के परिमाप और क्षेत्रफल से संबंधित समस्याओं में, सुनिश्चित करें कि आप भुजाओं को सही ढंग से परिभाषित करें और फिर दिए गए संबंधों के अनुसार समीकरण स्थापित करें.

Question 17. एक अध्यापक अपने छात्रों को एक ड्रिल के लिए ठोस वर्ग के रूप में व्यवस्थिति करता है तो 24 छात्र शेष बचते हैं। यदि वह वर्ग का आकार 1 विद्यार्थी को जोड़कर बढ़ाता है तो 25 विद्यार्थी कम पड़ते हैं। विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये विद्यार्थियों की कुल संख्या \(x\) है और वर्ग की भुजा \(y\) है (यानी वर्ग में \(y^2\) छात्र हैं)।
पहली शर्त के अनुसार, जब \(y \times y\) छात्रों का एक वर्ग बनाया जाता है, तो 24 छात्र शेष बचते हैं:
\(x = y^2 + 24\)
\(\implies x - y^2 = 24\) ...(1)
दूसरी शर्त के अनुसार, यदि वर्ग का आकार 1 विद्यार्थी से बढ़ा दिया जाये (यानी भुजा \((y + 1)\) हो जाये), तो 25 विद्यार्थी कम पड़ते हैं:
\(x = (y + 1)^2 - 25\)
\(\implies x = y^2 + 2y + 1 - 25\)
\(\implies x = y^2 + 2y - 24\)
\(\implies x - y^2 - 2y = -24\) ...(2)
अब समीकरण (1) से \(x - y^2\) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\(24 - 2y = -24\)
\(-2y = -24 - 24\)
\(-2y = -48\)
\(2y = 48\)
\(\implies y = 24\)
अब \(y = 24\) का मान समीकरण (1) में रखने पर, विद्यार्थियों की कुल संख्या ज्ञात होती है:
\(x = (24)^2 + 24\)
\(x = 576 + 24\)
\(x = 600\)
तो, विद्यार्थियों की कुल संख्या 600 है। यह समस्या यह दर्शाती है कि कैसे वर्ग संख्याओं का उपयोग करके छात्रों को व्यवस्थित किया जा सकता है।
In simple words: एक अध्यापक छात्रों को वर्ग में खड़ा करता है. अगर \(y \times y\) छात्र खड़े हों, तो 24 बचते हैं. अगर वर्ग की भुजा 1 बढ़ाई जाए \((y+1) \times (y+1)\), तो 25 छात्र कम पड़ते हैं. कुल 600 छात्र हैं.

🎯 Exam Tip: जब आप वर्ग से संबंधित समस्याओं को हल करते हैं, तो हमेशा सुनिश्चित करें कि आप कुल संख्या और वर्ग में व्यवस्थित संख्या को सही ढंग से जोड़ते या घटाते हैं.

Question 18. 13 मीटर व्यास वाले एक वृत्ताकार पार्क के एक व्यास के दोनों अन्तः बिन्दुओं पर बने फाटकों A व B से खम्भे की दूरियों का अन्तर 7 हो। क्या ऐसा सम्भव है? यदि है तो दोनों फाटकों से कितनी दूरियों पर खम्भा गाड़ना है।
Answer:
मान लीजिये फाटक A से खम्भे C की दूरी \(x\) मीटर है।
फाटक B से खम्भे C की दूरी \((x - 7)\) मीटर है (चूंकि दूरियों का अन्तर 7 है)।
वृत्ताकार पार्क का व्यास AB = 13 मीटर है।
चूंकि खम्भा C वृत्त पर स्थित है और AB व्यास है, इसलिए \(\angle ACB\) एक अर्धवृत्त में बना कोण है, जो 90 डिग्री होता है।
तो, ABC एक समकोण त्रिभुज है।

पाइथागोरस प्रमेय से, \(AC^2 + BC^2 = AB^2\)
\(x^2 + (x - 7)^2 = (13)^2\)
\(x^2 + (x^2 - 14x + 49) = 169\)
\(2x^2 - 14x + 49 = 169\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(2x^2 - 14x + 49 - 169 = 0\)
\(2x^2 - 14x - 120 = 0\)
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
\(x^2 - 7x - 60 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 - 12x + 5x - 60 = 0\)
\(x(x - 12) + 5(x - 12) = 0\)
\((x - 12)(x + 5) = 0\)
इसलिए, \(x - 12 = 0\) या \(x + 5 = 0\)
अगर \(x - 12 = 0\) है, तो \(x = 12\)
अगर \(x + 5 = 0\) है, तो \(x = -5\)
चूंकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x = -5\) अमान्य है। तो, फाटक A से खम्भे की दूरी \(x = 12\) मीटर है।
फाटक B से खम्भे की दूरी \(x - 7 = 12 - 7 = 5\) मीटर है।
हां, ऐसा संभव है। खम्भे को 12 मीटर और 5 मीटर की दूरी पर गाड़ना होगा। अर्धवृत्त में बने कोण का गुणधर्म इस समस्या को हल करने में महत्वपूर्ण था।
In simple words: एक वृत्ताकार पार्क का व्यास 13 मीटर है. खम्भे C से फाटकों A और B की दूरियों का अन्तर 7 मीटर है. यह संभव है, और खम्भा A से 12 मीटर और B से 5 मीटर दूर है.

🎯 Exam Tip: व्यास पर स्थित दो बिंदुओं और वृत्त पर एक तीसरे बिंदु से बनने वाले त्रिभुज के समकोण त्रिभुज होने के गुणधर्म को याद रखें.

Ex 4.5 Quadratic Equations आयु पर आधारित प्रश्न

Question 19. एक वर्ष पहले एक व्यक्ति की आयु अपने पुत्र की आयु से 8 गुनी थी। अब उसकी आयु अपने पुत्र की आयु के वर्ग के बराबर है। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये व्यक्ति की वर्तमान आयु \(x\) वर्ष है और उसके पुत्र की वर्तमान आयु \(y\) वर्ष है।
पहली शर्त के अनुसार, एक वर्ष पहले व्यक्ति की आयु अपने पुत्र की आयु से 8 गुनी थी:
एक वर्ष पहले व्यक्ति की आयु \((x - 1)\) वर्ष थी।
एक वर्ष पहले पुत्र की आयु \((y - 1)\) वर्ष थी।
\(x - 1 = 8(y - 1)\)
\(x - 1 = 8y - 8\)
\(x - 8y = -8 + 1\)
\(x - 8y = -7\) ...(1)
दूसरी शर्त के अनुसार, अब व्यक्ति की आयु अपने पुत्र की आयु के वर्ग के बराबर है:
\(x = y^2\) ...(2)
समीकरण (2) से \(x\) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\(y^2 - 8y = -7\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(y^2 - 8y + 7 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(y^2 - 7y - y + 7 = 0\)
\(y(y - 7) - 1(y - 7) = 0\)
\((y - 7)(y - 1) = 0\)
इसलिए, \(y - 7 = 0\) या \(y - 1 = 0\)
अगर \(y - 7 = 0\) है, तो \(y = 7\)
अगर \(y - 1 = 0\) है, तो \(y = 1\)
यदि पुत्र की वर्तमान आयु 1 वर्ष है, तो एक वर्ष पहले पुत्र की आयु 0 वर्ष होती, जो संभव नहीं है। इसलिए, \(y = 1\) अमान्य है। तो, पुत्र की वर्तमान आयु \(y = 7\) वर्ष है।
अब, \(y = 7\) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\(x = (7)^2 = 49\)
तो, व्यक्ति की वर्तमान आयु 49 वर्ष है और पुत्र की वर्तमान आयु 7 वर्ष है। आयु संबंधी समस्याओं को हल करते समय हमेशा यह जांचें कि क्या समाधान व्यावहारिक रूप से संभव है।
In simple words: एक वर्ष पहले, पिता की उम्र बेटे की उम्र से 8 गुना थी. अब पिता की उम्र बेटे की उम्र के वर्ग के बराबर है. पिता की वर्तमान उम्र 49 वर्ष और बेटे की 7 वर्ष है.

🎯 Exam Tip: आयु संबंधी समस्याओं में, भविष्य या अतीत की आयु को सही ढंग से व्यक्त करना महत्वपूर्ण है; हमेशा वर्तमान आयु से शुरू करें और फिर घटाना या जोड़ना करें.

Question 20. एक लड़की की आयु, अपनी बहन की आयु से दोगुनी है। चार वर्ष बाद दोनों की आयु का गुणनफल 160 है। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये लड़की की बहन की वर्तमान आयु \(x\) वर्ष है।
प्रश्नानुसार, लड़की की वर्तमान आयु अपनी बहन की आयु से दोगुनी है, इसलिए लड़की की वर्तमान आयु \(2x\) वर्ष है।
चार वर्ष बाद, बहन की आयु \((x + 4)\) वर्ष होगी।
चार वर्ष बाद, लड़की की आयु \((2x + 4)\) वर्ष होगी।
प्रश्नानुसार, चार वर्ष बाद दोनों की आयु का गुणनफल 160 है:
\((x + 4)(2x + 4) = 160\)
गुणा करने पर:
\(2x^2 + 4x + 8x + 16 = 160\)
\(2x^2 + 12x + 16 = 160\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(2x^2 + 12x + 16 - 160 = 0\)
\(2x^2 + 12x - 144 = 0\)
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
\(x^2 + 6x - 72 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 + 12x - 6x - 72 = 0\)
\(x(x + 12) - 6(x + 12) = 0\)
\((x + 12)(x - 6) = 0\)
इसलिए, \(x + 12 = 0\) या \(x - 6 = 0\)
अगर \(x + 12 = 0\) है, तो \(x = -12\)
अगर \(x - 6 = 0\) है, तो \(x = 6\)
चूंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x = -12\) अमान्य है। तो, बहन की वर्तमान आयु 6 वर्ष है।
लड़की की वर्तमान आयु \(2x = 2 \times 6 = 12\) वर्ष है।
तो, लड़की की वर्तमान आयु 12 वर्ष और बहन की वर्तमान आयु 6 वर्ष है। आयु संबंधी प्रश्नों में, हमेशा भौतिक रूप से संभव समाधानों पर विचार करें।
In simple words: एक लड़की अपनी बहन से दोगुनी उम्र की है. चार साल बाद, उनकी उम्र का गुणा 160 होगा. लड़की की वर्तमान उम्र 12 साल और बहन की 6 साल है.

🎯 Exam Tip: यह हमेशा जांचना याद रखें कि आपके उत्तर प्रश्न की शर्तों के अनुरूप हैं या नहीं, जैसे कि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती.

Question 21. क्या निम्न स्थिति सम्भव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आय ज्ञात कीजिए। “दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है, चार वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल 48 वर्ष था।”
Answer:
मान लीजिये एक मित्र की वर्तमान आयु \(x\) वर्ष है।
चूंकि दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है, इसलिए दूसरे मित्र की वर्तमान आयु \((20 - x)\) वर्ष होगी।
चार वर्ष पूर्व, पहले मित्र की आयु \((x - 4)\) वर्ष थी।
चार वर्ष पूर्व, दूसरे मित्र की आयु \((20 - x - 4) = (16 - x)\) वर्ष थी।
प्रश्नानुसार, चार वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल 48 वर्ष था:
\((x - 4)(16 - x) = 48\)
गुणा करने पर:
\(16x - x^2 - 64 + 4x = 48\)
\(-x^2 + 20x - 64 = 48\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(-x^2 + 20x - 64 - 48 = 0\)
\(-x^2 + 20x - 112 = 0\)
\(x^2 - 20x + 112 = 0\)
अब इस द्विघात समीकरण के विविक्तकर (Discriminant) की गणना करें, \(D = b^2 - 4ac\)।
यहाँ, \(a = 1\), \(b = -20\), \(c = 112\)।
\(D = (-20)^2 - 4(1)(112)\)
\(D = 400 - 448\)
\(D = -48\)
चूंकि विविक्तकर \(D < 0\) है, समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसका मतलब है कि \(x\) का कोई वास्तविक मान नहीं है जो दी गई शर्तों को पूरा करता हो। इसलिए, यह स्थिति संभव नहीं है। यदि विविक्तकर ऋणात्मक है, तो कोई वास्तविक समाधान नहीं होते हैं।
In simple words: दो दोस्तों की उम्र का जोड़ 20 साल है. चार साल पहले, उनकी उम्र का गुणा 48 था. यह स्थिति संभव नहीं है क्योंकि समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है.

🎯 Exam Tip: आयु संबंधी समस्याओं को हल करते समय, सबसे पहले विविक्तकर \( (b^2 - 4ac) \) की जांच करें. यदि यह ऋणात्मक है, तो स्थिति संभव नहीं है और आप आगे के समाधान से बच सकते हैं.

Question 22. दो बहनों की आयु का गुणनफल 104 तथा अन्तर 5 वर्ष है। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये दोनों बहनों की वर्तमान आयु \(x\) वर्ष तथा \(y\) वर्ष है।
प्रश्नानुसार, दोनों बहनों की आयु का गुणनफल 104 है:
\(xy = 104\) ...(1)
दोनों की आयु का अन्तर 5 वर्ष है:
\(x - y = 5\)
\(\implies y = x - 5\) ...(2)
समीकरण (2) से \(y\) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\(x(x - 5) = 104\)
\(x^2 - 5x = 104\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(x^2 - 5x - 104 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 - 13x + 8x - 104 = 0\)
\(x(x - 13) + 8(x - 13) = 0\)
\((x - 13)(x + 8) = 0\)
इसलिए, \(x - 13 = 0\) या \(x + 8 = 0\)
अगर \(x - 13 = 0\) है, तो \(x = 13\)
अगर \(x + 8 = 0\) है, तो \(x = -8\)
चूंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x = -8\) अमान्य है। तो, एक बहन की आयु 13 वर्ष है।
अब, \(x = 13\) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\(y = 13 - 5 = 8\)
तो, दूसरी बहन की आयु 8 वर्ष है। इसलिए, दोनों बहनों की आयु 13 वर्ष और 8 वर्ष है। आयु संबंधी समस्याओं में सकारात्मक समाधानों का चयन करें।
In simple words: दो बहनों की उम्र का गुणा 104 है और उनकी उम्र का अन्तर 5 साल है. उन बहनों की उम्र 13 साल और 8 साल है.

🎯 Exam Tip: आयु की समस्याओं को हल करते समय, यदि आप दो समीकरणों के साथ काम कर रहे हैं, तो प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके एक चर को दूसरे में व्यक्त करना अक्सर सबसे प्रभावी होता है.

Ex 4.5 Quadratic Equations विविध प्रश्न

Question 23. एक समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ 3(x + 1) तथा (2x - 1) सेमी हैं। यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 30 वर्ग सेमी है तो त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ हैं: \(3(x + 1)\) सेमी और \((2x - 1)\) सेमी।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}\)
क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \times (3(x + 1)) \times (2x - 1)\)
प्रश्नानुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल 30 वर्ग सेमी है:
\(\frac{1}{2} \times 3(x + 1)(2x - 1) = 30\)
\(3(x + 1)(2x - 1) = 60\)
\((x + 1)(2x - 1) = \frac{60}{3}\)
\((x + 1)(2x - 1) = 20\)
गुणा करने पर:
\(2x^2 - x + 2x - 1 = 20\)
\(2x^2 + x - 1 = 20\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(2x^2 + x - 21 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(2x^2 - 6x + 7x - 21 = 0\)
\(2x(x - 3) + 7(x - 3) = 0\)
\((x - 3)(2x + 7) = 0\)
इसलिए, \(x - 3 = 0\) या \(2x + 7 = 0\)
अगर \(x - 3 = 0\) है, तो \(x = 3\)
अगर \(2x + 7 = 0\) है, तो \(x = -\frac{7}{2}\)
चूंकि त्रिभुज की भुजाएँ ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, इसलिए \(x = -\frac{7}{2}\) अमान्य है। तो, \(x = 3\) है।
भुजाओं की लम्बाईयाँ ज्ञात करने पर:
पहली भुजा = \(3(x + 1) = 3(3 + 1) = 3(4) = 12\) सेमी।
दूसरी भुजा = \((2x - 1) = (2(3) - 1) = 6 - 1 = 5\) सेमी।
अब, कर्ण की लम्बाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें:
कर्ण\(^2\) = \(12^2 + 5^2\)
कर्ण\(^2\) = \(144 + 25\)
कर्ण\(^2\) = \(169\)
कर्ण = \(\sqrt{169} = 13\) सेमी।
तो, त्रिभुज की भुजाएँ 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी हैं। क्षेत्रफल के साथ ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, चर के लिए केवल सकारात्मक समाधानों का उपयोग करें।
In simple words: एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ \(3(x+1)\) और \((2x-1)\) सेमी हैं. यदि उसका क्षेत्रफल 30 वर्ग सेमी है, तो भुजाएँ 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी हैं.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप त्रिभुज की भुजाओं को व्यक्त करने के लिए एक ही चर का उपयोग करते हैं और फिर समीकरणों को हल करते समय नकारात्मक समाधानों को अमान्य करते हैं.

Question 24. एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 17 सेमी है तथा अन्य दोनों भुजाओं का अन्तर 7 सेमी है, त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं की माप ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये समकोण त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा \(x\) सेमी है।
प्रश्नानुसार, अन्य दोनों भुजाओं का अन्तर 7 सेमी है, इसलिए दूसरी भुजा \((x + 7)\) सेमी है।
कर्ण = 17 सेमी।
समकोण त्रिभुज में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर (कर्ण\(^2\) = आधार\(^2\) + लम्ब\(^2\)):
\(17^2 = x^2 + (x + 7)^2\)
\(289 = x^2 + (x^2 + 14x + 49)\)
\(289 = 2x^2 + 14x + 49\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(2x^2 + 14x + 49 - 289 = 0\)
\(2x^2 + 14x - 240 = 0\)
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
\(x^2 + 7x - 120 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 + 15x - 8x - 120 = 0\)
\(x(x + 15) - 8(x + 15) = 0\)
\((x + 15)(x - 8) = 0\)
इसलिए, \(x + 15 = 0\) या \(x - 8 = 0\)
अगर \(x + 15 = 0\) है, तो \(x = -15\)
अगर \(x - 8 = 0\) है, तो \(x = 8\)
चूंकि त्रिभुज की भुजा की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x = -15\) अमान्य है। तो, सबसे छोटी भुजा \(x = 8\) सेमी है।
दूसरी भुजा = \(x + 7 = 8 + 7 = 15\) सेमी।
तो, त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ 8 सेमी और 15 सेमी हैं। यह समस्या पाइथागोरस प्रमेय का एक सीधा अनुप्रयोग है।
In simple words: एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 17 सेमी है. इसकी दो अन्य भुजाओं का अन्तर 7 सेमी है. वे भुजाएँ 8 सेमी और 15 सेमी हैं.

🎯 Exam Tip: यह महत्वपूर्ण है कि ज्यामितीय समस्याओं में, लंबाई और अन्य भौतिक मापों को हमेशा सकारात्मक मानें; ऋणात्मक समाधानों को अस्वीकार करें.

Question 25. वे दो क्रमागत प्राकृत संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 545 है।
Answer:
मान लीजिये दो क्रमागत प्राकृत संख्याएँ \(x\) और \((x + 1)\) हैं।
प्रश्नानुसार, उनके वर्गों का योग 545 है:
\(x^2 + (x + 1)^2 = 545\)
\(x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 545\)
\(2x^2 + 2x + 1 = 545\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(2x^2 + 2x + 1 - 545 = 0\)
\(2x^2 + 2x - 544 = 0\)
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
\(x^2 + x - 272 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 + 17x - 16x - 272 = 0\)
\(x(x + 17) - 16(x + 17) = 0\)
\((x + 17)(x - 16) = 0\)
इसलिए, \(x + 17 = 0\) या \(x - 16 = 0\)
अगर \(x + 17 = 0\) है, तो \(x = -17\)
अगर \(x - 16 = 0\) है, तो \(x = 16\)
चूंकि \(x\) एक प्राकृत संख्या है (जो धनात्मक होती है), इसलिए \(x = -17\) अमान्य है। तो, पहली संख्या \(x = 16\) है।
दूसरी क्रमागत प्राकृत संख्या = \(x + 1 = 16 + 1 = 17\) है।
तो, अभीष्ट क्रमागत प्राकृत संख्याएँ 16 और 17 हैं। क्रमागत संख्याओं से संबंधित समस्याओं में, चर को सही ढंग से परिभाषित करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमने दो क्रमागत प्राकृत संख्याएँ ढूंढीं जिनके वर्गों का जोड़ 545 था. वे संख्याएँ 16 और 17 हैं.

🎯 Exam Tip: क्रमागत प्राकृत संख्याओं से संबंधित प्रश्नों में, हमेशा याद रखें कि प्राकृत संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक होती हैं, इसलिए ऋणात्मक समाधानों को अस्वीकार करें.

Question 26. तीन क्रमागत प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योगफल 149 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये तीन क्रमागत प्राकृत संख्याएँ \((x - 1)\), \(x\) और \((x + 1)\) हैं।
प्रश्नानुसार, उनके वर्गों का योगफल 149 है:
\((x - 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 = 149\)
\((x^2 - 2x + 1) + x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 149\)
\(3x^2 + 2 = 149\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(3x^2 = 149 - 2\)
\(3x^2 = 147\)
\(x^2 = \frac{147}{3}\)
\(x^2 = 49\)
\(x = \sqrt{49}\)
\(x = \pm 7\)
चूंकि \(x\) एक प्राकृत संख्या है, इसलिए \(x = -7\) अमान्य है। तो, \(x = 7\) है।
संख्याएँ ज्ञात करने पर:
पहली संख्या = \(x - 1 = 7 - 1 = 6\)
दूसरी संख्या = \(x = 7\)
तीसरी संख्या = \(x + 1 = 7 + 1 = 8\)
तो, अभीष्ट तीन क्रमागत प्राकृत संख्याएँ 6, 7 और 8 हैं। माध्य संख्या को \(x\) मानकर इस प्रकार की समस्याओं को हल करना अक्सर आसान होता है।
In simple words: हमने तीन क्रमागत प्राकृत संख्याएँ ढूंढीं जिनके वर्गों का जोड़ 149 था. वे संख्याएँ 6, 7 और 8 हैं.

🎯 Exam Tip: क्रमागत संख्याओं को \(x-1, x, x+1\) के रूप में लेने से समाधान प्रक्रिया सरल हो जाती है, क्योंकि \(x\) के विषम पद अक्सर रद्द हो जाते हैं.

Question 27. ऐसी दो क्रमागत धनात्मक सम संख्याऐं ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 452 है।
Answer:
मान लीजिये दो क्रमागत धनात्मक सम संख्याएँ \(2x\) और \((2x + 2)\) हैं।
प्रश्नानुसार, उनके वर्गों का योग 452 है:
\((2x)^2 + (2x + 2)^2 = 452\)
\(4x^2 + (4x^2 + 8x + 4) = 452\)
\(8x^2 + 8x + 4 = 452\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(8x^2 + 8x + 4 - 452 = 0\)
\(8x^2 + 8x - 448 = 0\)
पूरे समीकरण को 8 से भाग देने पर:
\(x^2 + x - 56 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(x^2 + 8x - 7x - 56 = 0\)
\(x(x + 8) - 7(x + 8) = 0\)
\((x + 8)(x - 7) = 0\)
इसलिए, \(x + 8 = 0\) या \(x - 7 = 0\)
अगर \(x + 8 = 0\) है, तो \(x = -8\)
अगर \(x - 7 = 0\) है, तो \(x = 7\)
चूंकि \(2x\) एक धनात्मक सम पूर्णांक है, इसलिए \(x\) का मान धनात्मक होना चाहिए। तो, \(x = -8\) अमान्य है। अतः, \(x = 7\) है।
संख्याएँ ज्ञात करने पर:
पहली धनात्मक सम संख्या = \(2x = 2 \times 7 = 14\)
दूसरी धनात्मक सम संख्या = \(2x + 2 = 2 \times 7 + 2 = 14 + 2 = 16\)
तो, अभीष्ट क्रमागत धनात्मक सम पूर्णांक 14 और 16 हैं। क्रमागत सम संख्याओं को \(2x\) और \(2x+2\) के रूप में दर्शाया जाता है।
In simple words: हमने दो क्रमागत धनात्मक सम संख्याएँ ढूंढीं जिनके वर्गों का जोड़ 452 था. वे संख्याएँ 14 और 16 हैं.

🎯 Exam Tip: क्रमागत सम या विषम संख्याओं को व्यक्त करने के लिए \(2x, 2x+2\) या \(2x-1, 2x+1\) जैसे सामान्य रूपों का उपयोग करना याद रखें, जो गणनाओं को सरल बनाता है.

Question 28. ऐसी दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याऐं ज्ञात कीजिये जिनके वर्गों का योगफल 130 है।
Answer:
मान लीजिये दो क्रमागत धनात्मक विषम पूर्णांक \((2x - 1)\) और \((2x + 1)\) हैं। (या \((2x - 3)\) और \((2x - 1)\))
प्रश्नानुसार, उनके वर्गों का योगफल 130 है:
\((2x - 1)^2 + (2x + 1)^2 = 130\)
\((4x^2 - 4x + 1) + (4x^2 + 4x + 1) = 130\)
\(8x^2 + 2 = 130\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(8x^2 = 130 - 2\)
\(8x^2 = 128\)
\(x^2 = \frac{128}{8}\)
\(x^2 = 16\)
\(x = \sqrt{16}\)
\(x = \pm 4\)
चूंकि हमें धनात्मक विषम संख्याएँ चाहिए, हम \(x = 4\) का उपयोग करेंगे। (यदि हम \(x = -4\) का उपयोग करते हैं, तो संख्याएँ ऋणात्मक होंगी, जो अमान्य होंगी)।
संख्याएँ ज्ञात करने पर:
पहली विषम संख्या = \(2x - 1 = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7\)
दूसरी विषम संख्या = \(2x + 1 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9\)
तो, अभीष्ट क्रमागत धनात्मक विषम पूर्णांक 7 और 9 हैं। इन संख्याओं को \( (2x-1) \) और \( (2x+1) \) के रूप में व्यक्त करना अक्सर गणनाओं को सरल बनाता है।
In simple words: हमने दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएँ ढूंढीं जिनके वर्गों का जोड़ 130 था. वे संख्याएँ 7 और 9 हैं.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपके समाधान वैध हैं, हमेशा "धनात्मक" और "विषम" जैसी विशिष्ट शर्तों पर ध्यान दें.

Question 29. 15 मीटर लम्बाई, 12 मीटर चौड़ाई के एक कमरे के चारों ओर एक 90 वर्ग मीटर क्षेत्रफल का बरामदा है, बरामदे की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
कमरे की लम्बाई = 15 मीटर।
कमरे की चौड़ाई = 12 मीटर।
कमरे का क्षेत्रफल = लम्बाई \(\times\) चौड़ाई = \(15 \times 12 = 180\) वर्ग मीटर।
मान लीजिये बरामदे की चौड़ाई \(x\) मीटर है।
बरामदे सहित कमरे की लम्बाई = \((15 + 2x)\) मीटर (चूंकि बरामदा कमरे के चारों ओर है, लम्बाई और चौड़ाई दोनों तरफ \(x\) से बढ़ती हैं)।
बरामदे सहित कमरे की चौड़ाई = \((12 + 2x)\) मीटर।
बरामदे सहित कमरे का क्षेत्रफल = \((15 + 2x)(12 + 2x)\) वर्ग मीटर।

बरामदे का क्षेत्रफल = (बरामदे सहित कमरे का क्षेत्रफल) - (कमरे का क्षेत्रफल)
\(90 = (15 + 2x)(12 + 2x) - 180\)
\(90 = (180 + 30x + 24x + 4x^2) - 180\)
\(90 = 4x^2 + 54x\)
इसे सही रूप में लिखने पर:
\(4x^2 + 54x - 90 = 0\)
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
\(2x^2 + 27x - 45 = 0\)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\(2x^2 + 30x - 3x - 45 = 0\)
\(2x(x + 15) - 3(x + 15) = 0\)
\((x + 15)(2x - 3) = 0\)
इसलिए, \(x + 15 = 0\) या \(2x - 3 = 0\)
अगर \(x + 15 = 0\) है, तो \(x = -15\)
अगर \(2x - 3 = 0\) है, तो \(2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5\)
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x = -15\) अमान्य है। तो, बरामदे की चौड़ाई 1.5 मीटर है। ऐसी ज्यामितीय समस्याओं में, यह जानना महत्वपूर्ण है कि बाहरी विस्तार के लिए चौड़ाई को दोनों तरफ जोड़ा जाता है।
In simple words: एक कमरे की लम्बाई 15 मीटर और चौड़ाई 12 मीटर है. इसके चारों ओर 90 वर्ग मीटर का एक बरामदा है. बरामदे की चौड़ाई 1.5 मीटर है.

🎯 Exam Tip: जब एक बरामदे या रास्ते की चौड़ाई दी जाती है, तो हमेशा याद रखें कि यह कमरे की मूल लंबाई और चौड़ाई दोनों में दोनों तरफ जुड़ जाती है.

Question 30. एक आयताकार मैदान की लम्बाई में 3 मीटर की वृद्धि तथा चौड़ाई में 2 मीटर की कमी कर दी जाये तो उसका क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है। यदि इसकी लम्बाई 2 मीटर घटा दी जाये व चौड़ाई 3 मीटर बढ़ा दी जाये तो उसका क्षेत्रफल 5 वर्ग मीटर बढ़ जाता है। मैदान की लम्बाई व चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिये आयताकार मैदान की लम्बाई \(x\) मीटर है और चौड़ाई \(y\) मीटर है।
मैदान का क्षेत्रफल = \(xy\) वर्ग मीटर।
प्रथम शर्त के अनुसार, यदि लम्बाई में 3 मीटर की वृद्धि और चौड़ाई में 2 मीटर की कमी की जाती है, तो क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है:
\((x + 3)(y - 2) = xy\)
\(xy - 2x + 3y - 6 = xy\)
\(-2x + 3y - 6 = 0\)
\(\implies 2x - 3y = -6\) ...(1)
द्वितीय शर्त के अनुसार, यदि लम्बाई में 2 मीटर की कमी और चौड़ाई में 3 मीटर की वृद्धि की जाती है, तो क्षेत्रफल 5 वर्ग मीटर बढ़ जाता है:
\((x - 2)(y + 3) = xy + 5\)
\(xy + 3x - 2y - 6 = xy + 5\)
\(3x - 2y - 6 = 5\)
\(\implies 3x - 2y = 11\) ...(2)
अब समीकरण (1) और (2) को हल करें।
समीकरण (1) को 2 से गुणा करें: \(4x - 6y = -12\) ...(3)
समीकरण (2) को 3 से गुणा करें: \(9x - 6y = 33\) ...(4)
समीकरण (4) से समीकरण (3) को घटाने पर:
\((9x - 6y) - (4x - 6y) = 33 - (-12)\)
\(9x - 4x - 6y + 6y = 33 + 12\)
\(5x = 45\)
\(\implies x = 9\)
अब \(x = 9\) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\(2(9) - 3y = -6\)
\(18 - 3y = -6\)
\(-3y = -6 - 18\)
\(-3y = -24\)
\(3y = 24\)
\(\implies y = 8\)
तो, मैदान की लम्बाई \(x = 9\) मीटर है और चौड़ाई \(y = 8\) मीटर है। दो-चर समीकरणों का उपयोग अक्सर ऐसे आयताकार समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।
In simple words: एक मैदान की लम्बाई 9 मीटर और चौड़ाई 8 मीटर है. लम्बाई और चौड़ाई बदलने पर क्षेत्रफल कैसे बदलता है, यह जानने के लिए हमने दो समीकरण बनाए और उन्हें हल किया.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार की दो-चर समस्याओं में, दोनों समीकरणों को एक साथ हल करने के लिए विलोपन या प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना याद रखें.

Question 31. एक आयताकार मैदान की लम्बाई में 2 मीटर की वृद्धि और चौड़ाई में 3 मीटर की कमी कर दी जाये तो मैदान का क्षेत्रफल 45 वर्ग मीटर कम हो जाता है। परन्तु यदि लम्बाई में 2 मीटर की कमी तथा चौड़ाई में 2 मीटर की वृद्धि कर दी जाये तो क्षेत्रफल 10 वर्ग मीटर बढ़ जाता है। मैदान की लम्बाई तथा चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer: माना आयताकार मैदान की लम्बाई \( x \) मीटर और चौड़ाई \( y \) मीटर है।
क्षेत्रफल \( = xy \) वर्ग मीटर।
पहली शर्त के अनुसार, लम्बाई में 2 मीटर की वृद्धि और चौड़ाई में 3 मीटर की कमी करने पर क्षेत्रफल 45 वर्ग मीटर कम हो जाता है:
\( (x + 2)(y - 3) = xy - 45 \)
\( xy - 3x + 2y - 6 = xy - 45 \)
\( -3x + 2y = -45 + 6 \)
\( -3x + 2y = -39 \)
\( 3x - 2y = 39 \) ...(1)
दूसरी शर्त के अनुसार, लम्बाई में 2 मीटर की कमी और चौड़ाई में 2 मीटर की वृद्धि करने पर क्षेत्रफल 10 वर्ग मीटर बढ़ जाता है:
\( (x - 2)(y + 2) = xy + 10 \)
\( xy + 2x - 2y - 4 = xy + 10 \)
\( 2x - 2y = 10 + 4 \)
\( 2x - 2y = 14 \) ...(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर:
\( (3x - 2y) - (2x - 2y) = 39 - 14 \)
\( 3x - 2y - 2x + 2y = 25 \)
\( x = 25 \)
\( x \) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( 2(25) - 2y = 14 \)
\( 50 - 2y = 14 \)
\( -2y = 14 - 50 \)
\( -2y = -36 \)
\( y = \frac{-36}{-2} \)
\( y = 18 \)
अतः, मैदान की लम्बाई 25 मीटर और चौड़ाई 18 मीटर है। इस तरह के सवालों में दो अलग-अलग स्थितियाँ दी होती हैं, जिनसे दो समीकरण बनते हैं जिन्हें हल करके अज्ञात मान निकाले जाते हैं।
In simple words: मैदान की लम्बाई को \( x \) और चौड़ाई को \( y \) मानकर, दी गई दोनों शर्तों से दो समीकरण बनाए गए हैं। इन समीकरणों को हल करने पर लम्बाई 25 मीटर और चौड़ाई 18 मीटर मिलती है।

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में सावधानी से समीकरण बनाएं। क्षेत्रफल के सूत्रों को सही ढंग से लागू करें और चर के लिए नकारात्मक मानों को ध्यान में रखें यदि वे भौतिक मापों के संदर्भ में अमान्य हों।

Question 32. दो अंकों वाली एक संख्या के अंकों का गुणनफल 18 है। जब संख्या में से 63 घटा दिया जाता है तो अंकों के स्थान बदल जाते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: माना दो अंकों की संख्या का दहाई का अंक \( x \) है।
चूंकि अंकों का गुणनफल 18 है, तो इकाई का अंक \( = \frac{18}{x} \)
मूल संख्या \( = 10 \times (\text{दहाई का अंक}) + (\text{इकाई का अंक}) = 10x + \frac{18}{x} \)
अंकों का स्थान बदलने पर प्राप्त संख्या \( = 10 \times (\text{इकाई का अंक}) + (\text{दहाई का अंक}) = 10 \left(\frac{18}{x}\right) + x = \frac{180}{x} + x \)
प्रश्नानुसार, जब मूल संख्या में से 63 घटाया जाता है, तो अंकों के स्थान बदल जाते हैं:
\( 10x + \frac{18}{x} - 63 = \frac{180}{x} + x \)
पूरे समीकरण को \( x \) से गुणा करने पर:
\( 10x^2 + 18 - 63x = 180 + x^2 \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( 10x^2 - x^2 - 63x + 18 - 180 = 0 \)
\( 9x^2 - 63x - 162 = 0 \)
पूरे समीकरण को 9 से भाग देने पर:
\( x^2 - 7x - 18 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
\( x^2 - 9x + 2x - 18 = 0 \)
\( x(x - 9) + 2(x - 9) = 0 \)
\( (x - 9)(x + 2) = 0 \)
इससे हमें \( x \) के दो मान मिलते हैं:
\( x - 9 = 0 \implies x = 9 \)
\( x + 2 = 0 \implies x = -2 \)
चूंकि दहाई का अंक ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए \( x = -2 \) अमान्य है।
अतः, दहाई का अंक \( x = 9 \)
इकाई का अंक \( = \frac{18}{x} = \frac{18}{9} = 2 \)
इसलिए, अभीष्ट संख्या \( = 10(9) + 2 = 90 + 2 = 92 \)
यह विधि यह समझने में मदद करती है कि कैसे दो अंकों की संख्या को उसके अंकों का उपयोग करके गणितीय रूप से दर्शाया जाता है।
In simple words: हमने दहाई के अंक को \( x \) माना और इकाई का अंक \( \frac{18}{x} \) हो गया। फिर हमने संख्या और उसके बदले हुए अंकों से बनी संख्या के बीच के रिश्ते से एक समीकरण बनाया। इसे हल करने पर \( x=9 \) आया, तो संख्या 92 है।

🎯 Exam Tip: दो अंकों वाली संख्या के प्रश्नों में, मूल संख्या को \( 10x + y \) और अंकों के बदलने पर बनी संख्या को \( 10y + x \) के रूप में लिखने का ध्यान रखें। यह एक आम शुरुआत है।

Question 33. दो अंकों की संख्या के अंकों का गुणनफल 18 है। जब संख्या में से 27 घटाया जाये तो अंकों के स्थान बदल जाते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: माना दो अंकों की संख्या का दहाई का अंक \( x \) है।
चूंकि अंकों का गुणनफल 18 है, तो इकाई का अंक \( = \frac{18}{x} \)
मूल संख्या \( = 10x + \frac{18}{x} \)
अंकों का स्थान बदलने पर प्राप्त संख्या \( = 10 \left(\frac{18}{x}\right) + x = \frac{180}{x} + x \)
प्रश्नानुसार, जब मूल संख्या में से 27 घटाया जाता है, तो अंकों के स्थान बदल जाते हैं:
\( 10x + \frac{18}{x} - 27 = \frac{180}{x} + x \)
पूरे समीकरण को \( x \) से गुणा करने पर:
\( 10x^2 + 18 - 27x = 180 + x^2 \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( 10x^2 - x^2 - 27x + 18 - 180 = 0 \)
\( 9x^2 - 27x - 162 = 0 \)
पूरे समीकरण को 9 से भाग देने पर:
\( x^2 - 3x - 18 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
\( x^2 - 6x + 3x - 18 = 0 \)
\( x(x - 6) + 3(x - 6) = 0 \)
\( (x - 6)(x + 3) = 0 \)
इससे हमें \( x \) के दो मान मिलते हैं:
\( x - 6 = 0 \implies x = 6 \)
\( x + 3 = 0 \implies x = -3 \)
चूंकि दहाई का अंक ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए \( x = -3 \) अमान्य है।
अतः, दहाई का अंक \( x = 6 \)
इकाई का अंक \( = \frac{18}{x} = \frac{18}{6} = 3 \)
इसलिए, अभीष्ट संख्या \( = 10(6) + 3 = 60 + 3 = 63 \)
अंकों के स्थान बदलने पर संख्या के मान में कमी या वृद्धि, अंकों के अंतर और संख्या के मान पर निर्भर करती है।
In simple words: हमने दहाई के अंक को \( x \) माना और इकाई का अंक \( \frac{18}{x} \) हो गया। फिर हमने संख्या और उसके बदले हुए अंकों से बनी संख्या के बीच के रिश्ते से एक समीकरण बनाया। इसे हल करने पर \( x=6 \) आया, तो संख्या 63 है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप \( x \) के अमान्य मानों को तर्क के साथ खारिज करें, खासकर जब वे वास्तविक दुनिया की स्थितियों जैसे 'अंक' या 'माप' का प्रतिनिधित्व करते हों।

Question 34. एक परीक्षा में रिजुता के गणित व अंग्रेजी के अंकों का योग 30 है। यदि उसके गणित में 2 अंक अधिक तथा अंग्रेजी में 3 अंक कम आये तो उसके द्वारा प्राप्त अंकों का गुणनफल 210 है। दोनों विषयों में उसके द्वारा अलग-अलग प्राप्त अंक ज्ञात कीजिए।
Answer: माना रिजुता के गणित में प्राप्त अंक \( x \) हैं।
चूंकि गणित और अंग्रेजी के अंकों का योग 30 है, तो अंग्रेजी में प्राप्त अंक \( = (30 - x) \)
नई शर्त के अनुसार:
गणित में 2 अंक अधिक मिलने पर, गणित के नए अंक \( = x + 2 \)
अंग्रेजी में 3 अंक कम मिलने पर, अंग्रेजी के नए अंक \( = (30 - x) - 3 = 27 - x \)
इन नए अंकों का गुणनफल 210 है:
\( (x + 2)(27 - x) = 210 \)
गुणा करने पर:
\( 27x - x^2 + 54 - 2x = 210 \)
\( -x^2 + 25x + 54 = 210 \)
सभी पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
\( -x^2 + 25x + 54 - 210 = 0 \)
\( -x^2 + 25x - 156 = 0 \)
\( x^2 - 25x + 156 = 0 \) (पूरे समीकरण को -1 से गुणा किया गया)
मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
\( x^2 - 12x - 13x + 156 = 0 \)
\( x(x - 12) - 13(x - 12) = 0 \)
\( (x - 12)(x - 13) = 0 \)
इससे हमें \( x \) के दो मान मिलते हैं:
\( x - 12 = 0 \implies x = 12 \)
\( x - 13 = 0 \implies x = 13 \)
स्थिति 1: यदि गणित में अंक \( x = 12 \)
तब अंग्रेजी में अंक \( = 30 - x = 30 - 12 = 18 \)
स्थिति 2: यदि गणित में अंक \( x = 13 \)
तब अंग्रेजी में अंक \( = 30 - x = 30 - 13 = 17 \)
अतः, रिजुता को गणित और अंग्रेजी में (12, 18) या (13, 17) अंक प्राप्त हुए। ऐसे प्रश्नों में यह समझना महत्वपूर्ण है कि दो चर को एक चर में कैसे बदला जाए।
In simple words: रिजुता के गणित के अंक को \( x \) और अंग्रेजी के अंक को \( 30-x \) माना गया। फिर, नए अंकों (गणित में 2 ज़्यादा, अंग्रेजी में 3 कम) का गुणा करके 210 के बराबर रखा गया। इस समीकरण को हल करने पर गणित में अंक 12 या 13 मिले, जिससे अंग्रेजी के अंक भी निकल गए।

🎯 Exam Tip: जब एक ही प्रश्न में दो संभावित हल आते हैं, तो सुनिश्चित करें कि आप दोनों हल प्रस्तुत करें और दिखाएं कि वे दोनों स्थितियों को कैसे संतुष्ट करते हैं।

Question 35. दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांकों के वर्गों का योग 394 है। पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
Answer: माना दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक \( x \) और \( x + 2 \) हैं।
प्रश्नानुसार, उनके वर्गों का योग 394 है:
\( x^2 + (x + 2)^2 = 394 \)
वर्ग खोलने पर:
\( x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 394 \)
\( 2x^2 + 4x + 4 = 394 \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( 2x^2 + 4x + 4 - 394 = 0 \)
\( 2x^2 + 4x - 390 = 0 \)
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
\( x^2 + 2x - 195 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
\( x^2 + 15x - 13x - 195 = 0 \)
\( x(x + 15) - 13(x + 15) = 0 \)
\( (x + 15)(x - 13) = 0 \)
इससे हमें \( x \) के दो मान मिलते हैं:
\( x + 15 = 0 \implies x = -15 \)
\( x - 13 = 0 \implies x = 13 \)
चूंकि हमें धनात्मक पूर्णांक चाहिए, इसलिए \( x = -15 \) अमान्य है।
अतः, पहला विषम धनात्मक पूर्णांक \( x = 13 \)
दूसरा विषम धनात्मक पूर्णांक \( = x + 2 = 13 + 2 = 15 \)
विषम धनात्मक पूर्णांकों के बीच का अंतर हमेशा 2 होता है, यह ध्यान रखना समस्या को सरल बनाता है।
In simple words: हमने दो लगातार विषम धनात्मक संख्याओं को \( x \) और \( x+2 \) माना। उनके वर्गों को जोड़ा और 394 के बराबर रखा। इस समीकरण को हल करने पर हमें संख्याएँ 13 और 15 मिलीं।

🎯 Exam Tip: क्रमागत विषम या सम संख्याओं के लिए, उन्हें हमेशा \( x \) और \( x+2 \) के रूप में दर्शाएँ, न कि \( x \) और \( x+1 \) के रूप में, क्योंकि \( x+1 \) सम या विषम हो सकता है।

Question 36. तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार हैं कि पहली संख्या का वर्ग तथा शेष दो के गुणनफलों का योग 46 है। पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
Answer: माना तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक \( x \), \( x + 1 \) और \( x + 2 \) हैं।
प्रश्नानुसार, पहली संख्या का वर्ग तथा शेष दो के गुणनफलों का योग 46 है:
\( x^2 + (x + 1)(x + 2) = 46 \)
गुणनफल खोलने पर:
\( x^2 + (x^2 + 2x + x + 2) = 46 \)
\( x^2 + x^2 + 3x + 2 = 46 \)
\( 2x^2 + 3x + 2 = 46 \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( 2x^2 + 3x + 2 - 46 = 0 \)
\( 2x^2 + 3x - 44 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
\( 2x^2 + 11x - 8x - 44 = 0 \)
\( x(2x + 11) - 4(2x + 11) = 0 \)
\( (2x + 11)(x - 4) = 0 \)
इससे हमें \( x \) के दो मान मिलते हैं:
\( 2x + 11 = 0 \implies x = -\frac{11}{2} \)
\( x - 4 = 0 \implies x = 4 \)
चूंकि हमें धनात्मक पूर्णांक चाहिए, इसलिए \( x = -\frac{11}{2} \) अमान्य है।
अतः, पहला धनात्मक पूर्णांक \( x = 4 \)
दूसरा धनात्मक पूर्णांक \( = x + 1 = 4 + 1 = 5 \)
तीसरा धनात्मक पूर्णांक \( = x + 2 = 4 + 2 = 6 \)
इसलिए, तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक 4, 5 और 6 हैं। इस प्रकार की समस्याओं में, सही चर असाइनमेंट एक सफल समाधान की कुंजी है।
In simple words: हमने तीन लगातार धनात्मक संख्याओं को \( x \), \( x+1 \) और \( x+2 \) माना। पहली संख्या का वर्ग और बाकी दो के गुणा को जोड़कर 46 के बराबर रखा। समीकरण को हल करने पर हमें संख्याएँ 4, 5 और 6 मिलीं।

🎯 Exam Tip: क्रमागत पूर्णांकों को \( x, x+1, x+2 \) के रूप में मानना एक सामान्य और प्रभावी तरीका है। नकारात्मक या भिन्नात्मक मानों को तब खारिज करें जब प्रश्न में 'धनात्मक पूर्णांक' की आवश्यकता हो।

Question 37. संख्या 7 के दो क्रमागत गुणज (multiple) के वर्गों का योग 637 है। गुणज ज्ञात कीजिए।
Answer: माना संख्या 7 के दो क्रमागत गुणज \( x \) और \( x + 7 \) हैं।
प्रश्नानुसार, उनके वर्गों का योग 637 है:
\( x^2 + (x + 7)^2 = 637 \)
वर्ग खोलने पर:
\( x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 637 \)
\( 2x^2 + 14x + 49 = 637 \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( 2x^2 + 14x + 49 - 637 = 0 \)
\( 2x^2 + 14x - 588 = 0 \)
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
\( x^2 + 7x - 294 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
\( x^2 + 21x - 14x - 294 = 0 \)
\( x(x + 21) - 14(x + 21) = 0 \)
\( (x + 21)(x - 14) = 0 \)
इससे हमें \( x \) के दो मान मिलते हैं:
\( x + 21 = 0 \implies x = -21 \)
\( x - 14 = 0 \implies x = 14 \)
चूंकि गुणज आमतौर पर धनात्मक पूर्णांक होते हैं, और प्रश्न में निहित है कि हम धनात्मक गुणज की तलाश कर रहे हैं, इसलिए \( x = -21 \) अमान्य है।
अतः, पहला गुणज \( x = 14 \)
दूसरा गुणज \( = x + 7 = 14 + 7 = 21 \)
इसलिए, संख्या 7 के दो क्रमागत गुणज 14 और 21 हैं। गुणज की परिभाषा को समझना इन समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमने 7 के दो लगातार गुणजों को \( x \) और \( x+7 \) माना। उनके वर्गों को जोड़ा और 637 के बराबर रखा। इस समीकरण को हल करने पर हमें संख्याएँ 14 और 21 मिलीं।

🎯 Exam Tip: किसी संख्या के क्रमागत गुणजों को \( nx \) और \( n(x+1) \) या \( x \) और \( x+n \) के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ \( n \) वह संख्या है जिसका गुणज ज्ञात करना है।

Question 38. दो क्रमागत सम संख्याओं के वर्गों का योग 340 है। संख्याऐं ज्ञात कीजिए।
Answer: माना दो क्रमागत सम संख्याएँ \( x \) और \( x + 2 \) हैं।
प्रश्नानुसार, उनके वर्गों का योग 340 है:
\( x^2 + (x + 2)^2 = 340 \)
वर्ग खोलने पर:
\( x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 340 \)
\( 2x^2 + 4x + 4 = 340 \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( 2x^2 + 4x + 4 - 340 = 0 \)
\( 2x^2 + 4x - 336 = 0 \)
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
\( x^2 + 2x - 168 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
\( x^2 + 14x - 12x - 168 = 0 \)
\( x(x + 14) - 12(x + 14) = 0 \)
\( (x + 14)(x - 12) = 0 \)
इससे हमें \( x \) के दो मान मिलते हैं:
\( x + 14 = 0 \implies x = -14 \)
\( x - 12 = 0 \implies x = 12 \)
चूंकि हम आमतौर पर धनात्मक सम संख्याओं की तलाश करते हैं, इसलिए \( x = -14 \) को अमान्य माना जा सकता है।
अतः, पहली सम संख्या \( x = 12 \)
दूसरी सम संख्या \( = x + 2 = 12 + 2 = 14 \)
इसलिए, दो क्रमागत सम संख्याएँ 12 और 14 हैं। यह याद रखना कि क्रमागत सम संख्याओं के बीच हमेशा 2 का अंतर होता है, समस्या को सरल बनाता है।
In simple words: हमने दो लगातार सम संख्याओं को \( x \) और \( x+2 \) माना। उनके वर्गों को जोड़ा और 340 के बराबर रखा। इस समीकरण को हल करने पर हमें संख्याएँ 12 और 14 मिलीं।

🎯 Exam Tip: 'क्रमागत सम संख्याएँ' या 'क्रमागत विषम संख्याएँ' हमेशा \( x \) और \( x+2 \) के रूप में लिखी जाती हैं। यह याद रखने से समीकरण बनाने में गलती नहीं होती।

Question 39. दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 8 है, उसके अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या मूल संख्या से 18 कम है। संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: माना दो अंकों की संख्या का दहाई का अंक \( x \) है।
चूंकि अंकों का योग 8 है, तो इकाई का अंक \( = 8 - x \)
मूल संख्या \( = 10 \times (\text{दहाई का अंक}) + (\text{इकाई का अंक}) = 10x + (8 - x) = 9x + 8 \)
अंकों का स्थान बदलने पर प्राप्त संख्या \( = 10 \times (\text{इकाई का अंक}) + (\text{दहाई का अंक}) = 10(8 - x) + x = 80 - 10x + x = 80 - 9x \)
प्रश्नानुसार, अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या मूल संख्या से 18 कम है:
\( 80 - 9x = (9x + 8) - 18 \)
\( 80 - 9x = 9x - 10 \)
\( 80 + 10 = 9x + 9x \)
\( 90 = 18x \)
\( x = \frac{90}{18} \)
\( x = 5 \)
अतः, दहाई का अंक \( x = 5 \)
इकाई का अंक \( = 8 - x = 8 - 5 = 3 \)
इसलिए, अभीष्ट संख्या \( = 10(5) + 3 = 50 + 3 = 53 \)
इस प्रकार की समस्याएं संख्या प्रतिनिधित्व के मूल सिद्धांतों को समझने में मदद करती हैं।
In simple words: हमने दहाई के अंक को \( x \) माना, तो इकाई का अंक \( 8-x \) हो गया। मूल संख्या और अंकों को बदलने के बाद बनी संख्या के बीच के रिश्ते से समीकरण बनाया। इसे हल करने पर \( x=5 \) आया, तो संख्या 53 है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सुनिश्चित करें कि आप 'अंकों का योग' और 'संख्या का मान' के बीच के अंतर को स्पष्ट रूप से समझते हैं ताकि समीकरण सही बने।

Question 40. एक समकोण त्रिभुज का विकर्ण \( 3 \sqrt{10} \) सेमी है। यदि उसकी छोटी भुजा को तीन गुना तथा बड़ी भुजा को दोगुना किया जाये तो नये विकर्ण की लम्बाई \( 9 \sqrt{5} \) सेमी हो जाती है। त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: माना समकोण त्रिभुज की बड़ी भुजा \( x \) सेमी और छोटी भुजा \( y \) सेमी है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, \( (\text{बड़ी भुजा})^2 + (\text{छोटी भुजा})^2 = (\text{विकर्ण})^2 \)
पहली शर्त से:
\( x^2 + y^2 = (3\sqrt{10})^2 \)
\( x^2 + y^2 = 9 \times 10 \)
\( x^2 + y^2 = 90 \) ...(1)
दूसरी शर्त से, छोटी भुजा को तीन गुना करने पर \( 3y \) और बड़ी भुजा को दोगुना करने पर \( 2x \)। नया विकर्ण \( 9\sqrt{5} \) है:
\( (2x)^2 + (3y)^2 = (9\sqrt{5})^2 \)
\( 4x^2 + 9y^2 = 81 \times 5 \)
\( 4x^2 + 9y^2 = 405 \) ...(2)
समीकरण (1) को 4 से गुणा करने पर:
\( 4(x^2 + y^2) = 4 \times 90 \)
\( 4x^2 + 4y^2 = 360 \) ...(3)
अब समीकरण (2) में से समीकरण (3) को घटाने पर:
\( (4x^2 + 9y^2) - (4x^2 + 4y^2) = 405 - 360 \)
\( 5y^2 = 45 \)
\( y^2 = \frac{45}{5} \)
\( y^2 = 9 \)
\( y = \sqrt{9} \)
\( y = 3 \) (भुजा की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \( y = -3 \) अमान्य है)
\( y \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( x^2 + (3)^2 = 90 \)
\( x^2 + 9 = 90 \)
\( x^2 = 90 - 9 \)
\( x^2 = 81 \)
\( x = \sqrt{81} \)
\( x = 9 \) (भुजा की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \( x = -9 \) अमान्य है)
अतः, त्रिभुज की बड़ी भुजा 9 सेमी और छोटी भुजा 3 सेमी है। इस प्रकार की समस्याएं ज्यामिति और बीजगणित के सिद्धांतों को जोड़ती हैं।
In simple words: हमने त्रिभुज की भुजाओं को \( x \) और \( y \) माना। दी गई शर्तों से दो समीकरण बनाए: एक मूल त्रिभुज के लिए और दूसरा बदली हुई भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए। इन समीकरणों को हल करके, हमें भुजाएँ 9 सेमी और 3 सेमी मिलीं।

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय समस्याओं में, भुजाओं की लंबाई के लिए हमेशा धनात्मक मानों पर विचार करें। समीकरणों को हल करते समय नकारात्मक मानों को सही ढंग से खारिज करें।